Trigonometrische Funktionen. Gliederung 1. Definition der Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck...
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Trigonometrische Funktionen
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Gliederung
1. Definition der Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck und am Einheitskreis; Komplementärbetrachtungen
2. Sätze über Winkelfunktionen: Sinussatz und Cosinussatz
3. Additionstheoreme4. Der Tangenssatz
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a) am rechtwinkligen Dreieckb) am Einheitskreis; c) Komplementärbetrachtungen
1. Definition der Winkelfunktionen
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a) Definition der Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck
HypotenuseteGegenkathe
ca sin
90 ° A
a
B
c
Cb
AnkatheteteGegenkathe
ba tan
HypotenuseAnkathete
cb cos
teGegenkatheAnkathete
ab cot
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b) Definition der Winkel-funktionen am Einheitskreis
sin : Ordinate (y-Wert) des zu gehörenden Punktes auf dem Einheitskreis
cos : Abszisse (x-Wert) des zu gehörenden Punktes auf dem Einheitskreis
tan : Länge des Abschnittes der senkrechten Tangente im Punkt P(1/0) bis zum „freien“ Schenkel des Winkels . Für Winkel über 90° hinaus muß dieser Schenkel „rückwärts“ verlängert werden
cot : Länge des Abschnittes der waagrechten Tangente im Punkt T(0/1) bis zum „freien“ Schenkel des Winkels
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c) Komplementbeziehungen
sin = a/c = cos sin = cos (90°-)cos = b/c = sin cos = sin ( 90°-)tan = a/b = cot tan = cot (90°-)cot = b/a = tan cot = tan (90°-)
c
C
b
A
a
B
90 °
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d) Definition der trigonometrischen Funktionen
cot:)cot(
tan:)tan(
cos:)2cos(
sin:)2sin(
k
k
k
k
20 und kfür Z
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2. Sätze über Winkelfunktionen
a)Sinussatz b)Cosinussatz
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Allgemeiner Sinussatz
Ist R der Radius des Umkreises des Dreiecks ABC mit Winkeln , so ist
RABAC
2sinsinsin
BC
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Beweis:
A B
C
90 °
M
A B
C
M
A'
'90 °
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Sinussatz
In einem Dreieck gilt:
cba sinsinsin
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Beweis:
A B
C
ab
c H
h
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Folgerung aus dem Sinussatz
Ein Dreieck hat den Flächeninhalt abc/4R, wobei R der Umkreisradius ist.
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Beweis:
A B
C
ab
c H
hMR
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Cosinussatz
Im Dreieck ist das Quadrat der einen Seite gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten, vermindert um das doppelte Produkt aus diesen beiden anderen Seiten und dem Cosinuswert des eingeschlossenen Winkels.
a² = b²+c²-2bc cos b² = a²+c²-2ac cos c² = a²+b²-2ab cos
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Beweis:
A
B
C
a
b
c
H
hq
p
A
B
C
a
b
c
H
qh
p
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Folgerung aus dem Cosinussatz
In einem Dreieck gilt:
coscos cba
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3. Additionstheoreme (1)
sinsincoscos)cos(
sincoscossin)sin( b)
1²cos²sin a)
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Beweis:
A B
C
D A''
1. Für spitze Winkel
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2. Für stumpfe Winkel
A B
C
DA'
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Additionstheoreme (2)
tantan1
tantan)tan( c)
2sin
2sin2coscos 4.
2cos
2cos2coscos 3.
2sin
2cos2sinsin 2.
2cos
2sin2sinsin 1. d)
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cos³sin8cossin4)4sin( 3.
³sin4sin3)3sin( 2.
cossin2)2sin( 1. e)
coscos21
sinsin f)
2)2cos(1
²sin g)
Additionstheoreme (3)
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4. Tangenssatz
baba
2tan
2tan
In einem Dreieck gilt: