Trigonometrik De gi˘sken De gi˘stirmekisi.deu.edu.tr/cem.celik/files/1009_hafta_10.pdfDi ger Baz...

Diger Bazı Integral Alma Teknikleri Trigonometrik Degisken Degistirme

Trigonometrik Degisken Degistirme

a, bir gercel sayı olmak uzere √a2 + x2√x2 − a2√a2 − x2,

ifadelerini iceren integralleri hesaplamak icin trigonometrik donusumlerkullanırız.

MAT 1009 Kalkulus I 1 / 26


Durum 1√a2 + x2 ifadesinin oldugu integrallerde

x = a tan θ

donusumu kullanılır. Boylelikle, a2 + x2 ve dx ifadeleri sırasıyla

a2 + x2 = a2 + a2 tan2 θ = a2(1 + tan2 θ) = a2 sec2 θ

dx = a sec2 θdθ

ifadelerine donusur. x = a tan θ donusumunde ilk degisken θ’ya geri donusyapabilmek icin x = a tan θ donusumunun tersinir olmasını bekleriz.Dolayısıyla, tan−1 fonksiyonunun tanımlı olmasını kullanarak

θ = tan−1(xa

), −π

2< θ <

π

2

ters donusumunu yaparız.



Ornek 1

−π/2 < θ < π/2 icin x = 2 tan θ degisken degisikligini yaparak∫1

x2√x2 + 4

dx integralini hesaplayınız.

Cozum.

Degisken degisikligini uygularsak

x = 2 tan θ, dx = 2 sec2 θ, −π/2 < θ < π/2,√x2 + 4 =

√(2 tan θ)2 + 4 =

√4 sec2 θ = 2| sec θ|

elde edilir. −π/2 < θ < π/2 oldugundan | sec θ| = sec θ yazarız.



Cozum (devamı).

Boylece, ∫1

x2√x2 + 4

dx =

∫1

(4 tan2 θ)(2 sec θ)2 sec2 θdθ

=1

4

∫sec θ

tan2 θdθ =

1

4

∫sin θ

cos3 θdθ

=∣∣ u=cos θdu=− sin θdθ

∣∣ = 1

4

∫−duu3

=1

4

(u−2

2

)+ c =

1

8cos−2 θ + c

=1

32(x2 + 4) + c

elde edilir. Burada θ = arctan(x2

)ters donusumunu kullandık.



Durum 2√x2 − a2 ifadesini iceren integralleri hesaplamada

x = a sec θ

donusumu kullanılır. Boylelikle, x2 − a2 ve dx ifadeleri sırasıyla

x2 − a2 = a2 sec2 θ − a2 = a2(sec2 θ − 1) = a2 tan2 θ

dx = a sec θ tan θdθ

ifadelerine donusur. Integrali almaya basladıgımız ilk degisken θ’ya geridonus yapabilmek icin donusumumuzun tersinir olmasını bekleriz.Dolayısıyla, sec−1 fonksiyonunun tanımından

θ = sec−1(xa

),

{0 ≤ θ < π

2 ,xa ≥ 1

π2 < θ ≤ π, x

a ≤ −1

donusumunu kullanabiliriz.



Ornek 2

0 ≤ θ < π/2 veya π ≤ θ < 3π/2 icin x = sec θ degisken degisikligini

yaparak

∫ √x2 − 1

x4dx integralini hesaplayınız.

Cozum.

Donusumu uygulayarak

x = sec θ, dx = sec θ tan θ,√x2 − 1 =

√(sec θ)2 − 1 =

√tan2 θ = | tan θ|

elde ederiz. 0 ≤ θ < π/2 ya da π ≤ θ < 3π/2 oldugundan | tan θ| = tan θyazabiliriz.



Cozum (devamı).

Boylece, ∫ √x2 − 1

x4dx =

∫tan θ

sec4 θsec θ tan θdθ

=

∫tan2 θ

sec3 θdθ =

∫sin2 θ cos θdθ

=∣∣ u=sin θdu=cos θdθ

∣∣ = ∫ u2du

=

(u3

3

)+ c =

1

3sin3 θ + c

=1

3

(√x2 − 1

x

)3

+ c

elde ederiz. Burada θ = arcsecx ters donusumu uygulanmıstır.



Durum 3√a2 − x2 ifadesini iceren integralleri hesaplamada

x = a sin θ

donusumu kullanılır. Boylelikle, a2 − x2 ve dx ifadeleri sırasıyla

a2 − x2 = a2 − a2 sin2 θ = a2(1− sin2 θ) = a2 cos2 θ

dx = a cos θdθ

ifadelerine donusur. Integrali almaya basladıgımız ilk degisken θ’ya geridonus yapabilmek icin donusumumuzun tersinir olmasını bekleriz.Dolayısıyla, sin−1 fonksiyonunun tanımından

θ = sin−1(xa

),

−π2≤ θ ≤ π

2

donusumunu kullanabiliriz.



Ornek 3

−π/2 ≤ θ ≤ π/2 icin x = 3 sin θ degisken degisikligini yaparak∫ √9− x2x2

dx integralini hesaplayınız.

Cozum.

Donusumu uygulayarak

x = sin θ, dx = cos θ,√9− x2 =

√9− (3 sin θ)2 =

√cos2 θ = | cos θ|.

elde edilir. −π/2 ≤ θ ≤ π/2 oldugundan | cos θ| = cos θ yazabiliriz.



Cozum (devamı).

Boylece, ∫ √9− x2x2

dx =

∫cos θ

sin2 θcos θdθ

=

∫cos2 θ

sin2 θdθ =

∫1− sin2 θ

sin2 θdθ

=

∫1

sin2 θ− 1dθ

= − cot θ − θ + c

= −√9− x2x

− arcsin(x3

)+ c

elde edilir. Burada θ = arcsin(x3

)ters donusumunu kullandık.


Diger Bazı Integral Alma Teknikleri Kısmi Kesirler

Kısmi Kesirler

Rasyonel fonksiyonların (polinomların oranının) integralini almak icinonları, kısmi kesirler olarak adlandırılan, integrallerinin nasıl alınacagınıbildigimiz daha basit kesirlerin toplamı olarak yazarız.



Ornek 4∫x3 + x

x− 1dx integralini hesaplayınız.

Cozum.

Payın derecesi paydanın derecesinden buyuk oldugundan once bolmeislemini uygularız. Boylece,∫

x3 + x

x− 1dx =

∫ (x2 + x+ 2 +

2

x− 1

)dx

=x3

3+x2

2+ 2x+ 2 ln |x− 1|+ c

elde edilir.



Ornek 5∫x2 + 2x− 1

2x3 + 3x2 − 2xdx integralini hesaplayınız.

Cozum.

Payın derecesi paydanın derecesinden kucuk oldugundan bolme isleminegerek yoktur. Paydayı

2x3 + 3x2 − 2x = x(2x2 + 3x− 2) = x(2x− 1)(x+ 2)

olarak carpanlarına ayırırız. Paydanın uc farklı dogrusal carpanıoldugundan integrali alınan fonksiyon

x2 + 2x− 1

x(2x− 1)(x+ 2)=A

x+

B

2x− 1+

C

x+ 2

biciminde kısmi kesirler cinsinden ifade edilir.



Cozum (devamı).

A, B ve C’yi belirlemek icin denklemin iki yanını paydaların carpımı olanx(2x− 1)(x+ 2) ile carparak

x2 + 2x− 1 = A(2x− 1)(x+ 2) +Bx(x+ 2) + Cx(2x− 1)

elde ederiz. Bu denklemin sag yanını acıp standart polinom yapısındayazarak

x2 + 2x− 1 = (2A+B + 2C)x2 + (3A+ 2B − C)x− 2A

buluruz. Denklemdeki polinomlar ozdestir, bu nedenle katsayıları esitolmalıdır.



Cozum (devamı).

Bu, A, B ve C icin

2A+B + 2C = 1

3A+ 2B − C = 2

−2A = −1

denklem sistemini verir. Denklemleri cozerek, A = 12 , B = 1

5 ve C = − 110

elde eder ve buradan∫x2 + 2x− 1

2x3 + 3x2 − 2xdx =

∫ [1

2

1

x+

1

5

1

2x− 1− 1

10

1

x+ 2

]dx

=1

2ln |x|+ 1

10ln |2x− 1| − 1

10ln |x+ 2|+K

buluruz.



Ornek 6

a 6= 0 icin

∫dx

x2 − a2integralini bulunuz.

Cozum.

Kısmi kesirler yontemi

1

x2 − a2=

1

(x− a)(x+ a)=

A

x− a+

B

x+ a

ve dolayısıyla A(x+ a) +B(x− a) = 1 olur. Bu denklemde x = a alıpA = 1/(2a), x = −a alıp B = −1/(2a) buluruz. Sonuc olarak,∫

dx

x2 − a2=

1

2a

∫ [1

x− a− 1

x+ a

]dx

=1

2aln

∣∣∣∣x− ax+ a

∣∣∣∣+ c olur.



Ornek 7∫x4 − 2x2 + x+ 1

x3 − x2 − x+ 1dx integralini bulunuz.

Cozum.

Ilk adım olarak bolme islemini yapar ve

x4 − 2x2 + x+ 1

x3 − x2 − x+ 1= x+ 1 +

4x

x3 − x2 − x+ 1

elde edilir. Ikinci adım, paydayı carpanlarına ayırmaktır. x = 1 icin payda 0oldugundan, carpanlardan birisi x− 1 dir ve

x3 − x2 − x+ 1 = (x− 1)(x2 − 1) = (x− 1)2(x+ 1)

olur.



Cozum (devamı).

x− 1 carpanı iki kere gorundugunden kısmi kesirlerle ifadesi

4x

(x− 1)2(x+ 1)=

A

x− 1+

B

(x− 1)2+

C

x+ 1

olarak yazılır. Paydaların en kucuk ortak katı olan (x− 1)2(x+ 1) ilecarparak

4x = (A+ C)x2 + (B − 2C)x+ (−A+B + C)

elde ederiz. Katsayıları esitlersek A = 1, B = 2 ve C = −1 buluruz.Boylece,∫

x4 − 2x2 + x+ 1

x3 − x2 − x+ 1dx =

∫ [x+ 1 +

1

x− 1+

2

(x− 1)2− 1

x+ 1

]dx

=x2

2+ x− 2

x− 1+ ln

∣∣∣∣x− 1

x+ 1

∣∣∣∣+K olur.



Ornek 8∫4x2 − 3x+ 2

4x2 − 4x+ 3dx integralini bulunuz.

Cozum.

Payın derecesi, paydanın derecesinden kucuk olmadıgından once bolerek

4x2 − 3x+ 2

4x2 − 4x+ 3= 1 +

x− 1

4x2 − 4x+ 3

elde ederiz. b2 − 4ac = −32 < 0 oldugundan 4x2 − 4x+ 3 ikinci dereceteriminin indirgenemez olduguna dikkat ediniz. Bu, carpanlaraayrılamayacagı dolayısıyla, kısmi kesirler yontemini uygulamamıza gerekolmadıgı anlamına gelir. Verilen fonksiyonun integralini bulmak icinpaydasını

4x2 − 4x+ 3 = (2x− 1)2 + 2

seklinde kareye tamamlarız.



Cozum (devamı).

Bu, u = 2x− 1 degisken degisikligi islemini yapmamızı onerir. Dolayısıyla,du = 2dx ve x = (u+ 1)/2 olur. Buradan∫

4x2 − 3x+ 2

4x2 − 4x+ 3dx =

∫ (1 +

x− 1

4x2 − 4x+ 3

)dx

= x+1

4

∫u− 1

u2 + 2du

= x+1

4

∫u

u2 + 2du− 1

4

∫1

u2 + 2

= x+1

8ln(u2 + 2)− 1

4

1√2arctan

(u√2

)+ c

= x+1

8ln(4x2 − 4x+ 3)

− 1

4√2arctan

(2x− 1√

2

)+ c olur.



Ornek 9

x3 + x2 + 1

x(x− 1)(x2 + x+ 1)(x2 + 1)3fonksiyonunun kısmi kesirler cinsinden

ifadesini yazınız.

Cozum.

Acıkca,

x3 + x2 + 1

x(x− 1)(x2 + x+ 1)(x2 + 1)3

=A

x+

B

x− 1+

Cx+D

x2 + x+ 1+Ex+ F

x2 + 1+

Gx+H

(x2 + 1)2+

Ix+ J

(x2 + 1)3

yazılır. Buradan, A = −1, B = 1/8, C = −1, D = −1, E = 15/8,F = −1/8, G = 3/4, H = 3/4, I = −1/2 ve J = 1/2 bulunur.



Ornek 10∫1− x+ 2x2 − x3

x(x2 + 1)2dx integralini bulunuz.

Cozum.

Integrali hesaplanacak fonksiyonunun kısmi kesirler cinsinden ifadesi

1− x+ 2x2 − x3

x(x2 + 1)2=A

x+Bx+ C

x2 + 1+

Dx+ E

(x2 + 1)2

olur. x(x2 + 1)2 ile carparsak

−x3 + 2x2 − x+ 1 = A(x2 + 1)2 + (Bx+ C)x(x2 + 1) + (Dx+ E)x

= (A+B)x4 + Cx3 + (2A+B +D)x2 + (C + E)x+A

elde ederiz.



Cozum (devamı).

Katsayıları esitledigimizde

A+B = 0 C = −1 2A+B +D = 2 C + E = −1 A = 1

sistemi olusur. Buradan, A = 1, B = −1, C = −2, D = 1 ve E = 0 eldeederiz. Sonuc olarak,∫

1− x+ 2x2 − x3

x(x2 + 1)2dx =

∫ (1

x− x+ 1

x2 + 1+

x

(x2 + 1)2

)dx

=

∫1

xdx−

∫x

x2 + 1dx−

∫1

x2 + 1dx+

∫x

(x2 + 1)2dx

= ln |x| − 1

2ln(x2 + 1)− arctanx− 1

2(x2 + 1)+ k

buluruz.



Not 1

Payın derecesi paydanınkine esit veya daha buyuk ise ilk once payı paydayabolmemiz gerekir. Ornegin,

2x3 − 11x2 − 2x+ 2

2x2 + x− 2= x− 6 +

5x− 4

(x+ 1)(2x− 1).

Not 2

Paydada ikiden fazla dogrusal carpan varsa, her carpan icin bir terimeklememiz gerekir. Ornegin,

x+ 6

x(x− 3)(4x+ 5)=A

x+

B

x− 3+

C

4x+ 5

Burada A, B ve C sabitleri, A, B ve C bilinmeyenlerini iceren ucdenklemden olusan sistemi cozerek belirlenir.



Not 3

Dogrusal carpanlardan biri tekrarlanıyorsa kısıni kesire fazladan terimlereklen1emiz gerekir. Ornegin:

x

(x+ 2)2(x− 1)=

A

x+ 2+

B

(x+ 2)2+

C

x− 1.



Not 4

Paydayı olabildigince carpanlanna ayırırken, b2 − 4ac diskriminantı negatifolan, indirgenemeyen ikinci dereceden ax2+ bx+ c carpanını elde edebiliriz.Buna karsılık gelen kısmi kesir, A ve B belirlenecek sabitler olmak uzere

Ax+B

ax2 + bx+ c

dir. Bu terimin integralini, kareye tamamlayarak ve∫dx

x2 + a2=

1

atan−1

(xa

)+ C

formulunu kulanarak hesaplarız.


Trigonometrik De gi˘sken De gi˘stirmekisi.deu.edu.tr/cem.celik/files/1009_hafta_10.pdfDi ger Baz...

Documents

Transcript of Trigonometrik De gi˘sken De gi˘stirmekisi.deu.edu.tr/cem.celik/files/1009_hafta_10.pdfDi ger Baz...