Trigonometrija-1

Razumijevanje postupka rješavanja složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Mira Mihajlović Petković 1

Trigonometrijska kružnica

2 2sin cos 1x x

sin

cos

xtgx

x

cos

sin

xctgx

x

1tgx ctgx



Vrijednost trigonometrijskih funkcija karakterističnih kutova:

I. kvadrant II. kvadrant

0o 30o 45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o

0

6

4

3

2

3

24

36

5

sin 0

2

1

2

22

3 1

2

3

2

22

1 0

cos 12

3

2

22

1 0-

2

1-

2

2-

2

3 -1

tg 0

3

3 1 3 - 3 -1-

3

3 0

ctg 3 13

3 0-

3

3 -1 - 3

III. kvadrant IV. kvadrant

180o 210o 225o 240o 270o 300o 315o 330o 360o

6

74

53

42

33

54

76

11 2

sin 0-

2

1-

2

2-

2

3 -1-

2

3-

2

2 -2

1 0

cos -1-

2

3-

2

2 -2

1 02

1

2

2

2

3 1

tg 0

3

3 1 3 - 3 -1-

3

3 0

ctg 3 1

3

3 0-

3

3 -1 - 3



Trigonometrijske funkcije po kvadrantima

Kvadrant 1. 2. 3. 4.

stupnjevi 0°-90° 90°-180° 180°-270° 270°-360°

radijani2

0

2 2

3

22

3

sinus + + - -

kosinus + - - +

tangens + - + -



Primjeri:

1. Izračunaj vrijednost izraza:

a)

6

7sin

6

5cos

6sin

3

2cos

3sin

3cos

22

222

b)

6

58cos

6

77sin

Rješenje 1. a):

6

7sin

6

5cos

6sin

3

2cos

3sin

3cos

22

222

Izračunaj:

2

1

3

2cos

2

3

3sin

2

1

3cos

2

1

6

7sin

2

3

6

5cos

2

1

6sin

Dobivene rezultate uvrsti u početi razlomak i izračunaj:

2

1

6

3

4

64

3

4

2314

131

2

1

4

3

4

14

1

4

3

4

1

2

1

2

3

2

1

2

1

2

3

2

1

22

222

Rješenje 1. b):

6

58cos

6

77sin

Odredi predznak vrijednosti funkcije

6

58cos

poštujući svojstvo parnosti

cosinusa :

Cosinus je parna funkcija, što znači da vrijedi : cos(-x) = cosx, pa možemo napisati:

6

58cos

6

58cos



.Nađi glavnu mjeru kutova : 6

58,

6

77

3

524

3

28

3

29

3

29

6

58,

6

526

6

512

6

77

dakle glavne mjere su : 3

5

6

58,

6

5

6

77

Pročitaj u tablici vrijednosti trigonometrijskih funkcija glavnih mjera danih kutova.

2

1

3

5cos,

2

1

6

5sin

Uvrsti te vrijednosti u početni izraz i izračunaj ga.

4

1

2

1

2

1

6

58cos

6

77sin

2. Pojednostavni izraze:

a) xx sin1sin1 =

b)

x

x

x

x

cos1

sin

sin

cos1

Rješenje 2. a): xx sin1sin1 =

pomnoži zagrade, ili iz formule za razliku kvadrata primijeni:

22 bababa xxx 22 cos1cos1cos1

iz osnovne trigonometrijske relacije sin2x+cos2x=1 xnx 22 sincos1

Rješenje 2. b):

x

x

x

x

cos1

sin

sin

cos1

svedi na zajednički nazivnik

*cos1sin

sincos1cos1

cos1

sin

sin

cos1 2

xx

xxx

x

x

x

x

Koristeći formulu za razliku kvadrata 22 bababa dobivamo:

xxx 2cos1cos1cos1 , pa uvrštavanjem u * dobivamo:



0cos1sin

sinsin

cos1sin

sincos1 2222

xx

xx

xx

xx

3. Izračunaj vrijednost ostalih trigonometrijskih funkcija ako je zadano:

a)2

3,

5

3sin

xx

b)2

137,

16

153

xtgx

Rješenje 3. a): 2

3,

5

3sin

xx

Odredi :

Kvadrant u kojem se nalazi kut x iz uvjeta: 2

3 x

Predznake trigonometrijskih funkcija u tom (III) kvadrantu

Napiši formule koje iz sinusa daju vrijednosti kosinusa, tangensa i kotangensa

xx 2sin1cos , x

xtgx

cos

sin ,

x

xctgx

sin

cos

Od tih formula izaberi najjednostavniju i primjeni je:

a to je: xx 2sin1cos , a predznak koji biramo je – , a biramo na osnovu trigonometrijske kružnice.



5

4

5

31sin1cos

22

xx

Izaberi najjednostavnije formule koje iz poznate dvije funkcije izražavaju preostale dvije nepoznate i primijeni ih.

4

3

5

45

3

cos

sin

x

xtgx ,

3

41

tgxctgx

Rješenje 3. b): 2

137,

16

153

xtgx

Odredi:

nađi glavnu mjeru kutova 2

13,7

pretvori 16

153 u razlomak

postupak analogan zadatku 3.a) – napiši ga i provedi.

napomena:za određivanje kvadranta i predznaka sinusa i kosinusa koristi slike:



4. Pokaži da vrijedi jednakost:

a) 1sin

cos

ctgxx

x

b) xtgx

tgxxcos1

sin

Rješenje 4. a)

Pokaži da vrijedi jednakost: 1sin

cos

ctgxx

x

Da bi potvrdili da vrijedi jednakost, potrebno je složeniju stranu jednakosti transformirati koristeći poznate veze među trigonometrijskim funkcijama te je pojednostavniti da dobije vrijednost druge strane jednakosti. Dakle, transformiramo lijevu stranu jednakosti:

1cos

cos

sin

cossin

cos

x

x

x

xx

x

Rješenje 4. b)

xtgx

tgxxcos1

sin



transformiramo lijevu stranu

1cos

sin

1cossin

cos

sincos

sincossin

cos

sincos

sinsin

sin

xx

xx

x

xx

xxx

x

xx

xx

tgx

tgxx

Zadatci za vježbu:

1. Izračunaj vrijednost izraza:

a)

6

11cos

6

7sin

6

5cos

3sin

3

4cos

3

2sin

22

22

b)

6

11

6

7

6

533

4

3

2

222

222

ctgtgctg

tgctgtg

c)

6

57cos

3

47sin

=

d)

4

21

3

14

3

8cos

3

22sin

ctgtg

e)

3

25

3

29

4

5cos

3

26cos

3sin

tgctg

f)

1351590sin240

225cos5702070sin

tgctg

tg

g)

4440750sin4

125

6

109

3

55cos

3

44sin

tg

ctg

h)

4

27

3

26

3

20cos

3

28sin

4

27

3

20

3

14cos

3

28sin

ctgtg

ctgtg



2. Pojednostavni izraze:

a)

x

x

x

x

sin1

cos

cos

sin1

b)

x

x

x

x

sin1

cos

cos

sin1

c) xxtg 22 cos1

d) xxctg 22 sin1

e)

x

xtg

2

2

cos

11

1

f)

x

xctg

2

2

sin

11

1

3. Izračunaj vrijednost ostalih trigonometrijskih funkcija ako je zadano:

a) xx

2,

13

5cos

b)2

3,

12

5 xtgx

c) xctgx

2,

20

21

d) 17

2

33,

29

21sin xx

e) 10

2

19,

65

16cos xx

f)2

199,

4

3 xctgx

4. Pokaži da vrijedi jednakost:

a) 1cos

sin

tgxx

x

b) xtgx

tgxxcos1

sin

c) xctgx

ctgxxsin1

cos

d) xxctg

xctgx 22

22

coscos

e) xxtg

xtgx 22

22

sinsin

f) xtgxctg

xxtg 42

22 sin

g) xctgxtg

xxctg 42

22 cos

Uputa za rješavanje :

1. a)

6

11cos

6

7sin

6

5cos

3sin

3

4cos

3

2sin

22

22

riješi na osnovu primjera 1.a)



1. b)

6

11

6

7

6

533

4

3

2

222

222

ctgtgctg

tgctgtg riješi na osnovu primjera 1 a).

1.c) Za izračunavanje vrijednosti izraza:

6

57cos

3

47sin

. Sam raščlani postupak i

provedi ga kao u primjeru 1. b) .

1.d) Za izračunavanje vrijednosti izraza:

4

21

3

14

3

8cos

3

22sin

ctgtg . Sam raščlani postupak i provedi ga

kao u primjeru 1. b) .

1.h) Za izračunavanje vrijednosti izraza:

4

27

3

26

3

20cos

3

28sin

4

27

3

20

3

14cos

3

28sin

ctgtg

ctgtg . Sam raščlani postupak i provedi

ga kao u primjeru 1. b) .

2. a), b), c), d), e), f) riješi koristeći analogan postupak kao i u primjeru 2. a) i b).

3. a), b) riješi koristeći analogan postupak kao i u primjeru 3. a). 3. c), d), e), f) riješi koristeći analogan postupak kao i u primjeru 3. b).

4. a), b), c), d), e), f), g) riješi koristeći analogan postupak kao i u primjeru 4. a).

Za učenike koji imaju problema sa jednostavnijim računima i nemaju dobro predznanje da bi mogli glatko savladavati složenije probleme za ovaj nivo školovanja, nužno je da bi se nekako nadoknadilo to predznanje naučiti raščlanjivati složenije problemske zadatke i svesti ih na razinu na kojoj se učenici snalaze i mogu ih uspješno rješavati. Na taj način se najmanje gubi na brzini savladavanja zadanog programa.Napomena: Minimum koji je dovoljan za savladavanje ovakvog načina učenja i usvajanje gradiva je: na osnovu danih postupaka riješiti dane primjere i napisati plan rada za rješavanje sličnih. Dakle to su zadaci dani pod 1.a), 1.b) i 1.c) 1.d) i 1.e), te 2.a), 2.b) i 2.c) i 3.a) i 3.b) i 4.a) i 4.b)Za one koji hoće više i ambiciozniji su potrebno je pokazati smisao za primjenu danih postupaka za nove tipove zadataka.Seminarski rad će biti provjeren usmenim ispitivanjem.

Trigonometrija-1

Documents

Transcript of Trigonometrija-1