Trigonométrie Résolution d’équation trigonométrique · Exercices 9 et 10 : équations...
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Trigonométrie – Résolution d’équation trigonométrique – Exercices corrigés
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1
Sont abordés dans cette fiche :
Exercice 1 : résolution d’équation trigonométrique dans en utilisant les valeurs remarquables du
cosinus et du sinus d’un angle
Exercice 2 : résolution d’équation trigonométrique dans à l’aide des formules fondamentales
Exercices 3 et 4 : résolution d’équation trigonométrique dans un intervalle donné de
Exercices 5 et 6 : résolution d’équation trigonométrique dans en utilisant les angles associés
Exercice 7 : résolution d’équation trigonométrique de degré 2
Exercice 8 : résolution d’équation trigonométrique dans en utilisant les formules de duplication
Exercices 9 et 10 : équations trigonométriques difficiles
Remarque : Les relations et formules de cette fiche sont valables pour tout réel .
Trigonométrie – Résolution d’équation trigonométrique
Exercices corrigés
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2
Résoudre dans les équations suivantes :
√
√
Rappel : Valeurs remarquables dans
Valeurs du cosinus et du sinus d’angles compris entre
√
√
√
√
√
√
√
√
Valeurs du cosinus et du sinus d’angles compris entre
√
√
√
√
√
√
√
√
.
1ère
équation
( )
( )
2ème
équation
√
( )
( )
3ème
équation
√
( )
( )
4ème
équation
( )
( )
Exercice 1 (1 question) Niveau : facile
Correction de l’exercice 1
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3
Résoudre dans les équations suivantes :
( ) (
) (
)
√
( ) (
) (
)
Rappel : Résolution d’équation trigonométrique
( ) ( ) { ( )
( )
( ) ( ) { ( )
( )
1ère
équation
( ) (
)
( ) (
) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2ème
équation
(
)
√
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Exercice 2 (1 question) Niveau : facile
Correction de l’exercice 2
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4
3ème
équation
( ) (
)
( ) (
) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
4ème
équation
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
⏟
( )
( )
Résoudre dans [
] les équations suivantes :
(
) ( ) (
)
Avant de résoudre les équations dans [
], déterminons les solutions dans .
1ère
équation
Exercice 3 (1 question) Niveau : facile
Correction de l’exercice 3
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5
(
) (
)
( )
( )
( )
Si :
[
] Donc
est solution.
Si :
[
] Donc
est solution.
Si :
[
] Donc
est solution.
Si :
[
] Donc
est solution.
Si :
[
] Donc
n’est pas solution.
Pour tout entier , l’équation n’admet pas de solution de [
].
Si :
( )
[
] Donc
n’est pas solution.
Pour tout entier relatif , l’équation n’admet pas de solution de [
].
En résumé, l’ensemble des solutions de l’équation dans [
] est :
{
}
2ème
équation
( ) (
)
( ) (
) ( )
( )
( )
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6
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
Les réels solutions de l’équation initiale ( ) dans [
] sont les solutions de ( ) et ( ) où est un
entier relatif à déterminer pour que [
].
Intéressons-nous tout d’abord aux solutions de ( ).
Si :
[
] Donc
est solution.
Si :
[
] Donc
est solution.
Si :
[
] Donc
est solution.
Si :
[
] Donc
n’est pas solution.
Pour tout entier , l’équation ( ) n’admet pas de solution de [
].
Si :
( )
[
] Donc
n’est pas solution.
Pour tout entier relatif , l’équation ( ) n’admet pas de solution de [
].
En résumé, l’ensemble des solutions de l’équation ( ) dans [
] est :
{
}
Intéressons-nous désormais aux solutions de ( ).
Si :
[
] Donc
est solution.
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Si :
[
] Donc
est solution.
Si :
[
] Donc
est solution.
Si :
[
] Donc
est solution.
Si :
[
] Donc
est solution.
Si :
[
] Donc
n’est pas solution.
Pour tout entier , l’équation ( ) n’admet pas de solution de [
].
Si :
( )
[
] Donc
n’est pas solution.
Pour tout entier relatif , l’équation ( ) n’admet pas de solution de [
].
En résumé, l’ensemble des solutions de l’équation ( ) dans [
] est :
{
}
Finalement, les solutions de l’équation initiale est la réunion des solutions et .
{
} {
} {
}
Résoudre dans puis dans les équations suivantes.
( ) (
) (
) (
)
Exercice 4 (2 questions) Niveau : facile
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8
1ère
équation
Résolvons dans un premier temps l’équation proposée dans .
( ) ( )
Déterminons dans un second temps les solutions dans ]– ].
Si :
. Or, ]– ]. Donc est solution dans ]– ].
Si :
. Or, ]– ]. Donc n’est pas solution dans ]– ].
Pour tout entier , l’équation n’admet pas de solution.
Si :
( ) . Or, ]– ]. Donc n’est pas solution dans ]– ].
Pour tout entier , l’équation n’admet pas de solution.
En définitive, l’équation admet une solution unique dans ]– ]. On a { }.
2ème
équation
Tout d’abord, résolvons dans l’équation proposée.
( ) (
)
( ) (
) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
Dorénavant, précisons les solutions de l’équation dans ]– ].
Intéressons-nous tout d’abord aux solutions de ( ).
Si :
– Donc
est solution.
Correction de l’exercice 4
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Si :
– Donc
n’est pas solution.
Pour tout entier , l’équation ( ) n’admet pas de solution dans ]– ].
Si :
– Donc
est solution.
Si :
– Donc
n’est pas solution.
Pour tout entier relatif , l’équation ( ) n’admet pas de solution dans ]– ].
En résumé, l’ensemble des solutions de l’équation ( ) dans ]– ] est :
{
}
Intéressons-nous désormais aux solutions de ( ).
Si :
– Donc
est solution.
Si :
– Donc
est solution.
Si :
– Donc
est solution.
Si :
– Donc
n’est pas solution.
Pour tout entier , l’équation ( ) n’admet pas de solution de ]– ].
Si :
– Donc
est solution.
Si :
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10
– Donc
n’est pas solution.
Pour tout entier relatif , l’équation ( ) n’admet pas de solution de ]– ].
En résumé, l’ensemble des solutions de l’équation ( ) dans ]– ] est :
{
}
Finalement, les solutions de l’équation initiale est la réunion des solutions et .
{
} {
} {
}
Résoudre dans les équations suivantes :
( ) (
)
Rappel : Angles associés
(
) ( )
(
) ( )
(
) ( )
(
) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1ère
équation
1ère
méthode :
(
)
( ) (
) ( )
( )
( )
( )
Exercice 5 (1 question) Niveau : facile
Correction de l’exercice 5
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( )
2ème
méthode :
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
⏟
( )
2ème
équation
(
)
( ) (
) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
Etudions les solutions selon les valeurs de , entier relatif, et remarquons alors que les solutions de ( ) se
trouvent dans l’ensemble des solutions de ( ).
( )
( )
( )
( )
( )
Ainsi, l’ensemble des solutions de l’équation est : {
}
3ème
équation
( ) (
) (
) (
)
{
( )
(
) ( )
{
( )
( )
{
( )
( )
{
( )
( )
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⏟
{
( )
( )
Résoudre dans puis dans l’équation suivante : ( ) (
)
Pour tout réel,
( ) (
) (
) (
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
⏟ ( )
( ) ( )
( )
( )
Les solutions dans l’intervalle sont :
En effet,
Si :
Ces deux valeurs appartiennent à l’intervalle donc elles sont solutions de l’équation.
Si :
Exercice 6 (2 questions) Niveau : facile
Correction de l’exercice 6
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Parmi ces deux valeurs, seule la première appartient à l’intervalle donc
est solution de
l’équation ; est en revanche exclue.
Si :
Aucune de ces valeurs n’appartient à l’intervalle . Aucune d’elle n’est donc solution de l’équation.
Pour tout entier naturel , .
Si :
( )
( )
Parmi ces deux valeurs, seule la première appartient à l’intervalle donc est solution de l’équation ;
n’est en revanche pas solution.
Résoudre dans les équations suivantes :
Rappel : Résolution d’équation de la forme
Si , l’ensemble des solutions est l’ensemble vide
Si , l’ensemble des solutions est { }
Si , l’ensemble des solutions est { √ √ }
1ère
équation
√
√
√
√
( )
( )
( )
( )
Exercice 7 (1 question) Niveau : facile
Correction de l’exercice 7
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2ème
équation
√
√
√
√
3ème
équation
Rappel : Relation fondamentale entre le sinus et le cosinus d’un angle
On est ainsi amené à résoudre la première équation de cet exercice. D’après ce qui précède, les solutions sont :
( )
( )
( )
( )
Résoudre dans les équations suivantes :
( ) ( )
Rappel : Formules de duplication
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1ère
équation
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Exercice 8 (1 question) Niveau : moyen
Correction de l’exercice 8
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( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
Remarquons en effet que les solutions de ( ) se trouvent dans l’ensemble des solutions de ( ). Il suffit de
prendre multiple de : si , alors
( ) ( ).
2ème
équation
( )
Posons . Alors, comme pour tout réel , , il vient que et l’expression
devient .
Soit le discriminant du trinôme du second degré . Alors ( ) .
Comme , admet deux racines réelles distinctes :
√
√
En outre, le trinôme est factorisable : ( ) ( ).
On a bien et donc :
( ) (
) ( ) (
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3ème
équation
( ) ( )
( )
( )
( )
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Résoudre dans l’équation suivante : ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Lorsque , le réel
appartient à l’intervalle si et seulement si :
Or,
Donc la seule valeur de telle que
est .
De même, lorsque , le réel
appartient à l’intervalle si et seulement si :
Or,
Il n’existe donc aucun entier relatif tel
.
Par conséquent,
( )
Il existe un réel unique de tel que
. D’où :
( ) ( )
Exercice 9 (1 question) Niveau : difficile
Correction de l’exercice 9
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17
A l’aide de la calculatrice, on trouve à près par défaut. En effet, ( ) .
Résoudre dans [
] l’équation suivante : ( ) ( ) ( ) .
Rappel : Formules d’addition
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Résolvons dans [
] l’équation suivante : ( ) ( ) ( ) .
Pour tout réel ,
( ) ( ) ( )
( ) ( ( ))⏟ ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )⏟ ( )
( ) ( )
( ) ( )⏟ ( )
( ) ( ( ))⏟ ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ( ))⏟ ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
⏟ ( )
( ) ( ( ) ( ))
( ) ( ( ) ( ) )
Exercice 10 (1 question) Niveau : difficile
Correction de l’exercice 10
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Etudions le trinôme ( ) ( ) . Pour cela, posons ( ). Remarquons que, pour tout
réel, ( ) , donc . L’expression ( ) ( ) devient .
En posant le discriminant de ce trinôme du second degré d’inconnue , ( ) .
donc le trinôme admet deux racines réelles distinctes :
√
( )
√
( )
En outre, comme , le trinôme est factorisable et ( )( ).
Enfin, comme et , on obtient que :
( ) ( ) ( ( ) ) ( ( )
)
D’où, pour tout réel ,
( ) ( ) ( )
( ) ( ( ) ( ) )
( ) [ ( ( ) ) ( ( )
)]
( ) ( ( ) ) ( ( )
)
( ) ( ( ) ) ( ( )
)
Or, dans [
], on a :
( )
( ) ( )
( )
( )
L’équation ( ) ( ) ( ) admet 3 solutions dans [
] :
.