tRIGONOMETRIA MARISTA
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COLÉGIO MARISTA DE MACEIÓ
NAP – NÚCLEO DE APOIO PEDAGÓGICO
2008 MÉDIO MATUTINO III 09/2008
JOÃO ARAÚJO MATEMÁTICA
TRIGONOMETRIA
I - RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO RETÂNGULO
Elementos:
Relações Métricas
1. Num triângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual a soma dos quadrados das medidas dos
catetos. (Teorema de Pitágoras)
2. Num triângulo retângulo, o quadrado da medida de cada cateto é igual ao
produto da medida da hipotenusa pela medida da projeção do cateto sobre ela.
3. Num triângulo retângulo, o quadrado da
medida da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das medidas das projeções dos catetos sobre a
hipotenusa.
4. Num triângulo retângulo, o produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa a ela é
igual ao produto das medidas dos catetos.
ALUNO(A)
ANO ENSINO TURMA TURNO UNIDADE DATA
DISCIPLINA PROFESSOR(A)
II –RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER
1. Triângulo acutângulo
- O quadrado da medida de um lado oposto a um ângulo é igual à soma dos quadrados das medidas
dos outros dois lados, menos o dobro do produto das medidas de um desses lados pela medida da
projeção do outro sobre ele.
2. Triângulo obtusângulo
- O quadrado da medida de um lado oposto a um ângulo obtuso é igual à soma dos quadrados das
medidas dos outros dois lados, mais o dobro do produto da medida de um desses lados pela medida
da projeção do outro sobre ele.
III – RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
1. O seno de um ângulo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da
hipotenusa.
2. O cosseno de um ângulo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da
hipotenusa.
3. A tangente de um ângulo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida do
cateto adjacente.
Tabela
Ângulo
30º 45º 60º
Seno ½
cosseno
½
Tangente
1
IV – RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER
1. Lei dos cossenos
Num triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos
outros dois, menos o dobro do produto das medidas desses dois lados pelo cosseno do ângulo
aposto ao primeiro lado, ou seja:
a) a2 = b
2 + c
2 - 2 b c . cos
b) b2 = a
2 + c
2 - 2 a c . cos
c) c2 = a
2 + b
2 - 2 a b . cos
2. Leis dos senos
Em todo triângulo, as medidas dos seus lados proporcionais aos senos dos lados opostos.
V – ÁREA DE UM TRIÂNGULO
Num triângulo qualquer, a área é igual ao semiproduto das medidas de dois lados pelo seno do
ângulo formado por esses lados.
Estudo de Circunferência VI – ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA
Arco de circunferência é cada uma das partes em que uma circunferência fica dividida por dois
de seus pontos.
VII – ÂNGULO CENTRAL
Unindo os pontos A e B ao centro da circunferência, determinamos o ângulo
central
Utilizando as mesmas medidas para um arco unitário (arco de medida igual a 1)
e seu correspondente ângulo central, dizemos que as medidas do arco e do
ângulo central que o determina são iguais.
Obs.: note que a medida de um arco não representa a medida do comprimento desse
arco.
Ex.:
Obs.: Cada arco determina um ângulo e cada ângulo determina um arco. Por isso, as
unidades utilizada para medir arcos são os mesmos usados para medir ângulos.
VIII – UNIDADES DE MEDIDAS
Grau
Um grau é definido como a medida do ângulo central subtendido por um arco igual a 1/360, da
circunferência que contém o arco.
- Um minuto é igual a 1/60
- Um segundo é igual a 1/60 do minuto.
Símbolos
grau ( º )
minuto ( ‘ )
segundo ( “ )
Radiano
Medida de um ângulo central subtendido por um arco igual ao raio da circunferência que contém o
arco.
Obs.: Seja a circunferência de raio r e o segmento AB que a representa.
- O comprimento da circunferência é dado por : C = 2 r
IX – MEDIDAS DE ÂNGULOS E ARCOS
Grau Grado Radiano
90º 100
180º 200
270º 300
360º 400 2
X – COMPRIMENTO DE UM ARCO
Consideremos a figura
A medida do ângulo em radianos é igual ao quociente entre o comprimento
S do arco pelo raio da circunferência.
Ou seja:
01. CIRCUNFERÊNCIA ORIENTADA: Uma circunferência se diz orientada quando se escolhe um sentido de percurso.
Obs.: Convenciona-se como positivo o sentido anti-horário.
02. ARCO ORIENTADO: É todo arco definido sobre uma circunferência orientada.
Arco AB ( + )
03. ARCO NULO: É todo arco cujo comprimento é zero; e a origem e a extremidade são coincidentes.
+
+
+ +
+
-
-
- -
-
A
B
+
A
B
-
A = B o
04. CICLO TRIGONOMÉTRICO: É uma circunferência orientada de centro na origem do sistema de eixos cartesianos, de raio
unitário (r = 1) e cujo sentido positivo é o anti-horário.
AB = + 90º = rd2
AB' = - 90º = - rd
2
Obs.: O ponto A(1 , 0) é a origem de todos os arcos trigonométricos.
05. QUADRANTE: O sistema cartesiano divide o ciclo trigonométrico em quatro partes denominadas de quadrante.
0º 90º 1º Quadrante
90º 180º 2º Quadrante
180º 270º 3º Quadrante
270º 360º 4º Quadrante
Obs.: Arcos que medem 0º, 90º, 180º, 270º, 360º e seus côngruos não pertencem a nenhum dos
quadrante.
B
B'
A' A'
1
-1
-1 1
I Q
o
II Q
III Q IV Q
90º = rd2
0º = 0 rd
360º = 2 rd rd = 180º
270º = rd2
3
06. ARCOS CÔNGRUOS: Dois arcos são côngruos quando possuem a mesma origem e a mesma extremidade. De maneira geral:
- Se um arco mede graus, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é dada por, º + K .
360º, onde K Z.
- Se um arco mede radianos, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é dada por + 2K,
onde K Z. - Quando a medida do arco é dada em radianos, convertemos essa medida para graus. Ex.: 1: Determine a extremidade dos seguintes arcos. a) 420º
420 360
60º 1
420º = 60º + 1 . 360º (expressão geral)
número de voltas completas o arco de 420º tem a mesma extremidade que o arco de 60º.
b) rd3
10 º600
3
180.10
600 360
240º 1
600 = 240º + 1 . 360º
número de voltas completas. o arco de 600º tem a mesma extremidade que o arco de 240º.
60º
420º
A
240º
600º
07. PRIMEIRA DETERMINAÇÃO POSITIVA DE UM ARCO
Denominamos de primeira determinação positiva o arco de graus de um arco que mede
graus sendo o arco côngruo a e º360 .
Ex.: Calcule a 1ª determinação positiva e escreva a expressão geral dos arcos côngruos a:
a) 420º
420º 360
60º 1 420º = 60º + 1 . 360 1ª determinação positiva
* Expressão geral = 60º + K . 360º b) - 1110º
1110º 360
30º 3 - 1110 = - 30º + 3 . 360 - 30 + 360 = 330º 1ª determinação positiva
* Expressão geral = 330º + K . 360º
08. NÚMEROS TRIGONOMÉTRICOS:
* Seno (sen) de um arco: É a ordenada da extremidade desse arco no ciclo trigonométrico: * sen x = OP (lê-se seno de x) * Cosseno (cos) de m arco: É a abscissa da extremidade desse arco no ciclo trigonométrico. cos x = OM (lê-se cosseno de x)
B
A
p
O
x
O
x
A M
09. VALORES IMPORTANTES DE sen x e cos x:
x = 0º = 0 rd
1º0cos
0º0sen
x = 90º = 2
02
cosº90cos
12
senº90sen
x = 180º = rd
1cosº180cos
0senº180sen
x = 270º = rd2
3
02
3cosº270cos
12
3sen270sen
x = 360º = 2 rd
12cosº360cos
02senº360sen
10. VARIAÇÃO DO SINAL DO SENO E DO COSSENO:
I Quadrante
0xcos
0xsen III Quadrante
0xcos
0xsen
II Quadrante
0xcos
0xsen IV Quadrante
0xcos
0xsen
Resumo Sinais do seno sinais do cosseno
* Sabemos que o ciclo trigonométrico possui raio unitário, então os valores do seno e do cosseno estão compreendidos entre - 1 e 1. Logo:
- 1 sen x 1 e - 1 cos x 1
A
+ +
- -
+ -
- +
A
11. SENO E COSSENO DOS ARCOS MÚLTIPLOS DE 30º:
A medida da altura em função do lado é dado por: h = 2
3
sen 30º =
2 cos 30º =
2
3
sen 30º =
1x
2 cos 30º =
1x
2
3
sen 30º = 2
1 cos 30º =
2
3
sen 60º =
2
3
cos 60º =
2
sen 60º =
1x
2
3 cos 60º =
1x
2
sen 60º = 2
3 cos 60º =
2
1
Resumindo:
1) sen 30º = 2
1 3) sen 60º =
2
3
2) cos 30º = 2
3 4) cos 60º =
2
1
30º
60º
h
A
B
C
2
M
12. SENO E COSSENO DOS ARCOS MÚLTIPLOS DE 30º NO CICLO TRIGONOMÉTRICO 13. SENO E COSSENO DOS ARCOS MÚLTIPLOS DE 45º: Seja o quadrado
A medida da diagonal d em função do lado é dado por:
d = 2
No triângulo retângulo BAD, temos:
sen 45º = 2
cos 45º =
2
sen 45º = 2
2x
2
cos 45º =
2
2x
2
sen 45º =
.2
2 cos 45º =
.2
2
sen 45º = 2
2 cos 45º =
2
2
90º
60º
30º
330º
0º
300º
270º
240º
210º
180º
150º
120º 1
-1
-1 1
2
3
2
3
2
3
2
3
2
1
2
1
2
1
2
1
C D
45º
45º B A
.
O
14. SENO E COSSENO DOS ARCOS MÚLTIPLOS DE 45º NO CICLOTRIGONOMÉTRICO
15. RELAÇÕES FUNDAMENTAIS ENTRE AS FUNÇÕES DE UM MESMO ARCO: I - Tangente (tg) de um arco É o quociente entre o seno (sen) e o cosseno (cos) desse arco, ou seja:
tg x = xcos
xsen
Seja o ciclo trigonométrico da figura e T a interseção da reta OM com o eixo das tangentes.
Definimos com tangente (do arco AM ou do ângulo x) a medida algébrica do segmento AT , e indicamos tg x = AT
II - Cotangente de arco (cotg) Define-se a cotangente como a razão entre o cosseno e o seno de um arco ou seja:
cotg x = xsen
xcos
2
2
90º
0º
270º
180º
1 135º 45º
315º 225º
-1 1
-1
2
2
2
2
2
2
O
o M'
M''
y
x x
tg T
A
Observação: A cotangente dos arcos de 0º, 180º e seus côngruos, não é definida pois:
cotg 0º = º0sen
º0cos =
0
1 cotg 180º =
º180sen
º180cos =
0
1
III - Secante (sec) de um arco É o inverso do cosseno desse arco, ou seja:
sec x = xcos
1
A secante dos arcos de 90º, 270º e seus côngruos, não é definida, pois:
sec 90º = º90cos
1 =
0
1 sec 270º =
º270cos
1 =
0
1
IV - Cossecante (cossec) de um arco
É o inverso do seno (sen) desse arco, ou seja:
cossec x = xsen
1
Observação: A cossecante dos arcos de 0º, 180º e seus côngruos não está definida, pois
cossec 0º = º0sen
1 =
0
1 cossec 180º =
º180
1 =
V - Sen2 x + cos2 x = 1 x R
Demonstração:
22
22
)x(cosxcos
)xsen(xsen
Observe: cos x = OM sen x = OP OB = 1 (raio do ciclo trigonométrico)
Aplicando o teorema de Pitagoras, vem: (OM)2 + (MB)2 = (OB)2 (OM)2 + (OP)2 = (OB)2 Substituindo temos: (cos x)2 + (sen x)2 = 12 cos2 x + sen2 x = 1
16. RELAÇÕES DERIVADAS: Das relações fundamentais podemos deduzir outras que são muito usadas no cálculo.
I cotg x = xtg
1 (x K
2
, K Z).
II sec2 x = 1 + tg2 x
Demonstração:
sec2 x = 1 + tg2 x sec2 x = xcos
12
sec2 x = 1 + xcos
xsen
2
2
sec2 x = sec2 x
sec2 x = xcos
xsenxcos
2
22
O M
P B
A
III cossec2 x = 1 + cotg2 x Demonstração:
cossec2 x = 1 + xsen
xcos
2
2
cossec2 x = xsen
xcosxsen
2
22
cossec2 x = xsen
12
cossec2 x = cossec2 x
17. REDUÇÃO AO 1º QUADRANTE: Arcos no 2º Quadrante Se x é um arco do 2º quadrante, então (180 - x) será um arco do 1º quadrante. Logo: sen x = sen (180 - x)
cos x = - cos (180 -x)
Arcos no 3º Quadrante Se x é um arco do 3º quadrante, então (x – 180) será do 1º quadrante.
Logo: sen x = - sen (x – 180º) cos x = - cos (x – 180º)
Arcos no 4º Quadrante Se x é um arco do 4º quadrante, então (360º - x) será um arco do 1º quadrante. Logo: sen x = - sen (360º - x) cos x = cos (360º - x)
18. ARCOS COMPLEMENTARES E ARCOS SUPLEMENTARES:
1. Arcos Suplementares
Dois arcos são chamados arcos suplementares, quando a soma dos dois arcos for 180º ou rad. Os senos de dois arcos suplementares são iguais, e os cossenos de dois arcos suplementares são opostos.
2. Arcos complementares
Dois arcos são chamados complementares quando, quando a soma dos dois arcos for 90º ou 2
ρ
rad. O seno de um arco é igual ao cosseno do seu complemento e vice-versa.
19. TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS:
I. Adição e Subtração de Arcos
Sendo a e b a medida de dois arcos quaisquer. Pode-se provar que são válidas,
para as seguintes identidades. 1. sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a 2. sen (a – b) = sen a . cos b – sen b . cos a 3. cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b 4. cos (a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b.
5. tg (a + b) = btg.atg1
btgatg
6. tg (a – b) = btg.atg1
btgatg
II – Arco Duplo
Sabendo-se que: 2a = a + a, então 1. sen 2a = sen (a + a) = sen a cos a + sen a cos a sen 2a = 2 . sen a cos a 2. cos 2a = cos (a + a) = cos a cos a – sen a sen a cos 2a = cos2 a – sen2 a
3. tg 2a = tg (a + a) = atg.atg1
atgatg
tg 2a = atg1
atg22
III. Arco Triplo Seno do arco triplo 1. sen 3x = 3 sen x – 4 sen3 x Cosseno do arco triplo cos 3x = 4 cos3 x – 3 cos x Obs.: Pelas igualdades das fórmulas demonstradas, podemos escrever: sen 6a = sen (3a + 3a) = sen 3a cos 3a + sen 3a cos 3a sen 6a = 2 sen 3a cos 3a cos 6a = cos (3a + 3a) = cos 3a cos 3a – sen 3a sen 3a cos 6a = cos2 3a
tg 6a = tg (3a + tg 3a) = a3tg.a3tg1
a3tga3tg
tg 6a = a3tg1
a3tg22
IV. Arco Metade
Seno do Arco Metade Sabemos que: cos 2x = cos2 – sen2 x cos 2x = 1 – sen2 x – sen2 x cos 2x = 1 – 2 sen2 x
fazendo 2x = a x = 2
a
substituindo temos
cos a = 1 – 2 sen2 2
a
2 sen2 2
a = 1 – cos a
sen2 2
acos1
2
a
sen 2
acos1
2
a
Cosseno do Arco Metade Sabemos que: cos 2x = cos2 x – sen2 x cos 2x = cos2 x – (1 – cos2 x) cos 2x = cos2 x – 1 + cos2 x cos 2x = 2 cos2 x – 1
fazendo 2x = a x = 2
a
substituindo temos:
cos a = 2 . cos2 2
a – 1
2 cos2 2
a = cos a + 1
cos2 2
1acos
2
a cos
2
1cos
2
aa
Obs.: O sinal positivo ou negativo é determinado pelo quadrante em que se encontra a função
seno ou cosseno.
Tangente do Arco Metade Sabendo que:
tg x = xcos
xsen
fazendo x = 2
a
temos
tg
2
acos
2
asen
2
a
tg
2
acos1
2
acos1
2
a
tg acos1
2x
2
acos1
2
a
tg acos1
acos1
2
a
20. FÓRMULA DE TRANSFORMAÇÃO EM PRODUTO:
Sabendo que: sen (a + b) = sen a cos b + sen b cos a sen (a – b) = sen a cos b – sen b cos a sen (a + b) + sen (a – b) = 2 sen a cos b fazendo a + b = x a + b = x a – b = y a – b = y (-1)
2a = x + y a + b = x – a + b = – y
a = 2
yx 2b = x – y b =
2
yx
Temos:
1. sen x + sen y = 2 . sen
2
yxcos.
2
yx
concluímos que:
2. sen x – sen y = 2 . sen
2
yxcos.
2
yx
3. cos x + cos y = 2 cos
2
yxsen.
2
yx
4. cos x – cos y = – 2 sen
2
yxsen.
2
yx
21. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS: Demonstrar uma identidade trigonométrica é provar que as igualdades que envolvem as
funções trigonométricas, são verdadeiras. Ex.: mostrar que:
xcosxsen1 2
22
2 )x(cosxsen1
1 – sen2 x = cos2 x cos2 x = cos2 x
22. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS:
I – Função do Seno É a função que associa a cada arco x R o número sen x R.
Gráfico da função seno f(x) = sen x ou y = sen x
x y
0 0
2
1
0
2
3
-1
2 0
Domínio = R
Imagem = { y R -1 y 1 }
y
x
- 1
+ 1
2
2
3
2
o
Período - 2
Obs.: O gráfico da função seno é chamado de senóide.
Propriedades da Função Seno
1) A função seno é definida de R R, o domínio é o conjunto dos números reais. D(sen x) = R 2) Na circunferência trigonométrica, o raio é igual a 1. O conjunto imagem dessa função é, portanto, Im (sen x) [ -1 , 1 ]
3) A função y = sen x é periódica, pois a função se repete a cada 2. Logo o período da função seno
é 2. 4) A função seno é positiva no 1º ou no 2º quadrante e negativa no 3º ou 4º quadrante. 5) A função seno é crescente no 1º e no 4º quadrantes e decrescente 2º e 3º quadrantes 6) Como sen x = - sen (-x) ou sen (-x) = - sen x concluímos que a função seno é impar. e seu gráfico
apresenta simetria em relação à origem O.
II – Função Cosseno
É a função que associa a cada arco x R o número sen x R.
Gráfico da Função Cosseno f(x) = cos x ou y = cos x
x y
0 1
2
0
-1
2
3
0
0
Domínio = R
Imagem = { y R -1 y 1 }
Período = 2 Obs.: O gráfico da função cosseno é chamada de co-senóide.
Propriedade da Função Cosseno.
1) A função cosseno é definida de R R, o domínio é o conjunto dos números reais. D(cos x) = R 2) Pelo fato de o ciclotrigonométrico ter raio igual a 1 o cosseno não pode assumir valores
maiores que 1 ou menos que - 1. O conjunto imagem da função cosseno é, Im = [ -1 ; 1 ]
3) A função y = cos x é periódica, pois a função se repete a cada 2. Logo o período da função
cosseno é 2. 4) A função cosseno é positiva no 1º ou no 4º quadrante e negativa no 2º ou 3º quadrante. 5) A função cosseno é crescente no 3º e no 4º quadrantes e decrescente no 1º e 2 quadrantes. 6) Como cos x = cos (- x), concluímos que a função cosseno é par. E seu gráfico apresenta
simetria em relação a origem.
III - Função Tangente
Gráfico da função tangente
x y
0 0
2
0
2
3
2 0
4
5
2 2
3
4
3
4
7
4
2
Propriedades do gráfico da Tangente 1) O gráfico da função tangente é chamado tangentoide.
2) O domínio da função y = tg x é D = { x R x 2
+ k com K Z}.
3) A imagem da função y = tg x é o intervalo ] - , + [, isto é, - < tg x < + .
4) O período da função y = tg x é p = . 5) A função y = tg x é positiva no 1º e 3º quadrantes e negativa no 2º e 4º quadrantes. 6) A função y = tg x é uma função crescente ou seja: ela é crescente no 1º, 2º, 3º e 4º quadrantes. 7) A função y = tg x é impar, isto é, tg x = - tg(-x)
IV – Função co-tangente Gráfico da função co-tangente
x y
0
2
0
2
3
0
2
Propriedades da Função Co-tangente 1) O gráfico da função co-tangente é chamado co-tangentoide.
2) O domínio da função y = cotg x é D = {x R x K com K Z}
3) A imagem da função y = cotg x é o intervalo ] - < cotg x < + .
4) O período da função y = cotg x é igual a . 5) A função y = cotg x é positiva no 1º e 3º quadrantes e negativa no 2º e 4º quadrantes. 6) A função y = cotg x é uma função decrescente ou seja, é decrescente no 1º, 2º, 3º e 4º
quadrantes. 7) A função y = cotg x é impar, isto é: cotg x = - cotg (-x).
V – Função Secante
Propriedades
1) O domínio da função y = sec x é x 2
+ K , K Z.
2) A imagem da função y = sec x é sec x - 1 ou sec 1
VI – Função Cossecante
Propriedades
1) O domínio da função y = cossec x é x K , K Z.
2) A imagem da função y = cossec x é cossec x - 1 ou cossec x 1
23. EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
1 – Definição Denomina de equação trigonométrica toda equação em que figura uma função
trigonométrica, com um arco desconhecido. Exemplos:
1) sen x = 0 3) cos = - 2
2
2) cos x = 2
1 4) tg x = 3
2 – Resolução de equações trigonométrica Resolver uma equação é determinarmos todos os valores que satisfaçam essa equação.
Ex.: 1 Resolver a equação sen =
sen = 2
1.
sen = sen 6
K
ouK
26
26
Logo: S = ZKKouK
,26
52
6
Ex.: 2 Resolver a equação cos = 2
2
cos = 2
2
cos = cos 4
K
ouK
24
24
(k Z)
6
-
6
o 2
1
4
4
Logo: S =
ZKK ,24
Ex.: 3 Resolver a equação tg = 3
3
tg = 3
3
tg = tg 6
= 6
+ K , K Z.
Logo: S =
ZKK ,6
24. INEQUAÇÃO TRIGONOMÉTRICA:
1) Definição; Denominamos de inequação trigonométrica toda inequação em que figura uma função
trigonométrica com arco desconhecido. Exemplos:
1) sen x > 2
1 3) tg x 1
2) cos x - 2
2 4) 2 sen2 x – sen x 0
2) Resolução de inequações trigonométricas
Exemplo: Resolver a inequação sen x 0, para 0 x 2.
sen x 0 0 0 x
S = { x R 0 x }
01. (FAAP-SP) Calcular a área do triângulo ABC, de altura h = 2 , sendo = 30º e = 45º.
02. (FGV-SP) No ∆ABC da figura, Â = 90º, B = 60º e AB = 50cm. Calcule o comprimento do
segmento AC .
03. FAAP-SP) A soma dos comprimentos das base de um trapézio retângulo vale 30m. A base maior
mede o dobro da menor. Calcule a altura do trapézio, sabendo que seu ângulo agudo mede 30º.
04. (FUVEST-SP) Na figura, ABCD é um trapézio, BC = 2, BD = 4 e o ângulo ABC é reto.
a) Calcule a área do triângulo ACD.
b) Determine AB , sabendo que BV = 3VD.
C
A B
H
h
^
B A
C
V
A B
D C
05. (Unesp - SP) A área de um triângulo retângulo é de 12 dm2. Se um dos catetos é
3
2do outro, calcule
a medida da hipotenusa desse triângulo.
06. Um topógrafo coloca seu teodolito à margem de um rio, onde observa uma árvores sob um ângulo
de 60º. Recuando 30m vê a mesma árvore sob ângulo de 30º. Sabendo que a luneta do Teodolito
está a 1,80 m do solo, calcular a altura da árvore e a largura do rio (com aproximadamente de 0,01).
07. (FAAP-SP) A soma dos comprimentos das bases de um trapézio retângulo vale 30m. A base maior
mede do dobro da menor. Calcule a altura do trapézio, sabendo que seu ângulo agudo mede 30º.
08. Calcular o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando este marca 13h25min.
09. Determinar, em graus, a medida do arco.
a) 4
3 rad. d)
3
5rad.
b) 6
5 rad. e)
6
7 rad.
c) 3
4 rad. f)
12
5
10. Calcule, em radianos, as medidas dos arcos:
a) 45º d) 330º
b) 240º e) 72º
c) 300º
11. Calcule o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando este marca:
a) 2h30min d) 12h47min
b) 12h15min e) 20h29min
c) 3h45min
30º 60º
H
1,80m 1,80m 30m
12. Determine, e graus e rad, a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às
18h20min.
13. A figura a seguir representa a planta do terraço de um apartamento.Qual o perímetro do piso desse
terraço? Considere 14,3 .
14. (PUC-RJ) Calcule o ângulo entre os ponteiros do relógio às 4 horas e 20 minutos.
15. Um automóvel percorre uma distância de 12 Km. Sabendo que o raio de cada roda mede 30cm,
calcule o número de voltas dadas por uma das rodas.
Adote = 3,14.
16. Calcule o raio de uma circunferência sabendo que seu comprimento é 280 cm.
Use = 3,14.
17. Determine em qual quadrante está a extremidade de cada um dos arcos abaixo.
a) 5
3 e)
4
9
b) 6
7 f)
4
13
c) 3
5 g)
6
11
d) 4
3 h)
6
7
18. Dentre os arcos abaixo, identifique os côngruos.
a) - 30º e 330º d) 3
rad e
3
30 rad
b) 10º e 700º e) 3
rad e
3
30rad
c) 1º e 1081º
19. Calcule a medida da 1ª determinação positiva dos arcos:
a) 750º d) 2
33rad
4m 4m
4m 4m 5m
b) 3810º e) 4
9rad
c) - 500º f) 4
rad
20. Calcule a determinação principal e escreva a expressão geral dos arcos côngruos dos arcos de:
a) 1910º d) 7
85rad
b) 2925º e) 4
75rad
c) - 2580º f) 9
235 rad
21. (PUC-SP) Determine x, de modo que se verifique sen
= 3
1x2
22. (FUVEST-SP) Qual dos números é o maior? justifique.
a) sen 830º ou sen 1195º.
b) cos (-535º) ou cos 190º.
23. (FUVEST-SP) Foram feitos os gráficos das funções f(x) = sen 4x e g(x) = 100
x, para x no
intervalo [0 , 2[. Determine o número de pontos comuns aos dois gráficos.
24. (MACK-SP) Determine o domínio de y = x3sen para o x .
25. (UFRN) Dada a função f:R , em que f(x) = xsen2
3x4x 2
, determine o conjunto dos x R, tal que
f(x) > 0.
26. (FTD) Determine m para que exista o arco x, satisfazendo as igualdades:
a) sen x = 3m + 10
b) sen x = m1
2m5
27. (FTD) Simplifique:
a)
)x4(tg.x2
7sen.)x5(cos
x2
15tg.x
2cos.)x(sen
28. (FEI-SP) Sendo x um ângulo do primeiro quadrante e tg x = 3, calcule sem x.
29. (PUC-SP0 Sendo cos x = m
1 e sen x =
m
1m , determine m.
30. Sabendo que sen x = a e cos x = a, calcule o valor de a.
31. Determine m para que se tenha, simultaneamente, cossec x = m + 1 e cotg x = m4 .
32. (UFSC) Conhecendo o valor de sen x = 5
3 e x
2,0 , calcule o valor numérico da expressão
1
2
2
xseccos.xsen.6
xtg.xseccosxgcot.xsec
.
33. (FET-SP) Sendo x = 3
1 com 0 x
2
, calcule: j =
xseccos1
xtgxcos.xsen
34. (ITA - SP) Sabendo que o cos = - 7
3 e tg < 0, calcule o valor da expressão x =
2tg1
tg2.
35 . (PUC-SP) Sabendo que cossec x = 4
5 e x é do primeiro quadrante, calcule o valor da expressão 25
sen2 x - 9 tg
2 x.
36. (FUVEST-SP) Se tg x = 4
3, com
2
3x
, determine o valor de y = cos x - sen x.
37. (FTD) Sabendo que 9 . sen2 x + 18 . cos
2 x = 13, com 0 < x <
2
, calcule sen x e cos x.
38. (FTD) Demonstre que
a) (se x + tg x) (cos x + cotg x) = (1 + sen x) (1 + cos x)
b) (1 + tg x)2 + (1 - tg x)
2 = 2 . sec
2 x
39. (FTD) Demonstre as identidades.
a) 2)aseccosag(cotacos1
acos1
b) sen2 x . tg
2 x + cos
2 x , cotg
2 x = tg
2 x + cotg
2 x - 1
40. (FTD) Sabendo que x é um arco com extremidade no 3º quadrante, determine o sinal da expressão
y, dada por:
a) y = xtg.xsen.4
xgcot.xseccos.xcos.3 2
b) y = xtg.xseccos.xsec
xcos.xsen3
23
41. (FTD) Diga em que quadrante se localiza a extremidade do arco x, sabendo que:
a) cos x > 0 e cotg x < 0
b) cossec x < 0 e tg x < 0
c) sec x > 0 e sen x < 0
42. (Cefet-MG) Calcule os valores de T que satisfazem a igualdade:
sec x = t2
T21
.
43. (UFF-RJ) Determine os valores de m de modo que se verifiquem simultaneamente as igualdades:
a) sec x = 2m e tg x = 2
1m
b) cotg x = 1m e sen x = 2m
1mm2m 23
44. (UFF-RJ) Calcule o valor de:
y = cos
2 10º + cos
2 20º + cos
2 30º + cos
2 60º + cos
2 70º + cos
2 80º
45. (Vunesp-SP) Um farol localizado a 36 m acima do nível do mar é avistado por um barco a uma
distância x da base do farol, a partir de um ângulo , conforme a figura:
a) Admitindo-se que sen = 5
3, calcule a distância x.
b) Assumindo-se que o barco se aproximou do farol e que uma nova observação foi realizada, na
qual o ângulo passou exatamente para 2 , calcule a nova distância x' a que o barco se
encontrará da base do farol.
46. (FTD) Determine os valores de:
a) sen 15º
b) cos 105º
c) tg 105º
47. (FTD) Sabendo que sen x = 2
2, cos y =
2
3 e que x e y têm extremidades no 1º cuadrante, calcule:
a) sen (x + y)
b) cos (x + y)
c) tg (x + y)
48. (FTD) Demonstre que a igualdade cos (a + b) . cos (a - b) = cos2 a + cos
2 b - 1 é uma identidade.
49. Demonstre que o valor numérico da expressão y = )º30x(cos)º30x(cos
)xº30(sen)º60x(cos
é
3
3.
50. (FTD) Simplifique a expressão
a3cos.a4cosa2cos.a3cos
a3sen.a4cosa2sen.a3cos
=
.
36 m
x
51. (UFU-MG) Determine o período de f(x) = 6 . sen x . cos x.
52. (FEI-SP) Calcule:
L = sen )x(cosx2
cos)x(senx2
53. (PUC-SP) Se tg (x + y) = 33 e tg x = 3, calcule tg y.
54. (Faap-SP) Calcule sen 2x, e sen x = 4
3 e x é um arco do 2º quadrante.
55. (Cescem-SP) Sendo 4º quadrante e cos = 5
1, calcule cos 2.
56. (FEI-SP) Se sen x - cos x = 5
1, calcule sen 2x.
57. (FEI-SP) Calcule sen 2x, sabendo que tg x + cotg x = 3.
58. (Faap-SP) Se a e b são ângulos positivos inferiores a 180º, calcule sen 2a e cos 2b, sabendo que
sec a = - 2
3 e cos b =
3
1.
59. (Faap-SP) Se tg a = 7
1 e sen b =
10
1, calcule tg (a + 2b). Supondo 0 < a, b <
2
.
60. (Fei-SP) Sendo tg A = 2 e tg B = 1, ache tg (A - B).
61. (UF-CE) Se sen x + cos x = 3
1, calcule. sen 2x.
62. (Mauá-SP) Dado sen x = 4
26 , calcule cos 2x.
63. (Ita-SP) Transforme em produto a expressão:
y = sen 3x + sen x.
64. (PUC-SP) Transforme em produto sen a + 2 sen 2a + sen 3a.
65. (Mack-SP) Resolva a equação 2sen2 x + 6cos x - cos 2x = 5.
66. (Cesgranrio) Resolva a equação (cos x + sen x)2 =
2
1.
67. (Vunesp) Determine um valor de n N, tal que n
seja solução da equação 8 cos
4 - 8 cos
2 + 1 =
0
68. (Fatec-SP) Resolva a inequação 0 < 1 + 2 cos 2x < 3 + 1, para 0 x .
69. ((Fuvest-SP) Resolva a inequação 4
1 sen . cos <
2
2, sendo 0 e em radianos.
70. ((Fuvest-SP) No intervalo 0 x 2
, determine o conjunto solução:
a) da equação sen 2x - cos x = 0
b) da inequação sen 2x - cos x > 0.
TESTES DE VESTIBULARES
1. (Cefet-PR) Na figura, HC = 9m e AH = 12 m.
A medida de AB é, em metros:
a) 15 c) 25 e) 35
b) 20 d) 30
2. (FTD) As medidas dos catetos de um triângulo retângulo são 1 cm e 2 cm. A medida da altura do
triângulo relativo à hipotenusa, em centímetros, é igual a:
a) 2
1 c)
5
3 e)
7
3
b) 2
2 d)
5
2
3. (EEAr) As bases de um trapézio medem 32 cm e 20 cm, e a altura, 18 cm. Traça-se uma paralela às
bases. O comprimento dessa paralela é o dobro de sua distância à base menor. A medida dessa
paralela, em centímetros, é:
a) 24 c) 28
b) 26 d) 30
4. (FTD) Quando o sol encontra a 54º acima do horizonte, a sombra de uma árvore, projetada no chão,
mede 12 cm. Qual é a altura dessa árvore? *use tg 54º 1,376
5. (UFRGS) Sabendo-se que a = 1 e b = 3 , na figura, então C é igual a:
a) 2
2 c)
2
1 e) 3
b) 2
3 d) 1
6. (Mackonzie-SP) Em um triângulo retângulo, a medida da hipotenusa é o dobro da medida de um dos
catetos. O ângulo oposto ao menor lado desse triângulo mede:
a) 36º c) 45º e) 72º
C
4
A B
b
2
a c
b) 60º d) 30º
7. (UFRN) Considerando o triângulo retângulo abaixo, qual das alternativas é falsa?
a) cos = 5
3 d) tg =
5
4
b) + = 90º e) tg = 3
4
c) sen = 5
4
8. (Unifor-CE) Se cos 26º = k, então é verdade que seu 64º é igual a:
a) k c) k
1 e) 1 – k
2
b) – k d) k2
9. (UGF) O valor de m indicado na figura é igual a:
a) cm35 c) 8 cm
b) 6 cm d) 10cm
e) cm310
10. (F. C. Chagas-BA) Calcule o valor de x na figura.
a) x = 50 c) x = 100
b) x = 60 d) x = 2
3100
e) x não pode ser determinado por falta de dados:
11. (FET-SP) No triângulo da figura, o valor do cos é:
a) 12
6 d)
4
6
b) 2
3 e)
3
62
5
4
3
B
E 30º
cm310
m
30º
C D A
30º
30º
100 x
2 4
3
c) 2
1
12. (FEI-SP) Se em um triângulo ABC o lado AB mede 3 cm, o lado BC mede 4 cm e o ângulo
interno formado entre os lados AB e BC mede 60º, então o lado AC mede:
a) cm37 c) cm132 e) cm22
b) cm13 d) cm33
13. (Cescem-SP) Se uma circunferência tem um raio unitário (1 cm), a medida de um ângulo central,
em radianos:
a) é igual ao arco por ele subtendido.
b) é numericamente igual à medida do arco por ele subtendido.
c) é 1 cm.
d) é igual a 1 radiano.
e) n.d.a.
14. (PUC-SP) Na figura, = 1,5 rad, AC = 1,5 e o comprimento do arco AB é 3. Qual é a medida do
arco CD?
a) 1,33
b) 4,5
c) 5,25
d) 6,50
e) 7,25
15. (UFPA) Quantos radianos percorre o ponteiro dos minutos de um relógio em 50 min?
a) 9
16 c)
3
4 e)
3
3
b) 3
5 d)
2
4
16. (ITA-SP) O ângulo convexo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos às 10 horas e 15
minutos é:
a) 142º 30’ c) 142º
b) 142º 40’ d) 141º 30’
e) n.d.a.
17. (PUC-SP) Qual dos pares de ângulos é côngruo de 120º?
D
B
0
A
C
a) –240º e 1920º d) –100º e 0º
b) 300º e 1560º e) n.d.a.
c) 200º e 600º
18. (UFPA) Um arco côngruo de 5
137 rad é
a) rad5
2 c) rad
5
b) 3 rad d) 2 rad
e) rad5
7
19. (Mack-SP) A menor determinação positiva de – 4900 é:
a) 100º c) 40º e) n.d.a.
b) 140º d) 80º
20. (UFRS) Qual é a expressão geral, em radianos, dos arcos de extremidades nos pontos indicados?
a)
k24
3
b)
k4
3
c) 2
k
4
3
d)
k4
21. (Santa Casa – SP) Se A = sen 580, B = sen (-780º) e C = cos 350º, então é verdade que:
a) A < B < C c) A < C < B
b) B < A < C d) B < C < A
f) C < B < A
22. (OPUC-SP) O valor de sen x é:
a) crescente em todo intervalo de 0 a .
b) decrescente em todo intervalo de 2
3 a 2.
c) decrescente em todo intervalo de 2
3 a 0.
d) crescente em todo intervalo de 2
3 a
2
.
e) crescente em todo o intervalo de 2
a
2
.
y
M1
135º
0 x
M2
23. (PUC-SP) Na função trigonométrica y = - 3 = sem (x - 4
), o período e o conjunto imagem são
iguais, respectivamente, a:
a) 5
e {2 , 4} d)
4
9 e [-1 , 1]
b) 2 e {-4 , -2} e) n.d.a.
c) 2 e [-1, 1]
24. (FEI-SP) O período da função y – 5 . cos (4x + 3
)
a) 5
c)
2
e) n.d.a.
b) 2
1 d)
3
25. (Mack-SP) Se x = 2
, então,
x4secxseccos2
xtg
x2cos2
xgcot2xsen
é igual a:
a) –2 c) 2
1 e) 4
b) 0 d) 2
26. (FGV-SP) simplificando-se a expressão
asec.acastg.acos
aseccos.atg.asen, obtém-se:
a) 0 c) sen2 a e) tg
2 a
b) sec2 a d) 1
27.(U. E. Ponta Grossa) O quadrante em que a tangente, a secante e o cosseno são negativos é o:
a) 1º c) 3º e) n.d.a.
b) 2º d) 4º
28. (PUC-SP) O valor de sen 1200º igual a:
a) cos 60º c) cos 30º e) cos 45º
b) – sen 60º d) – sen 30º
29. (Cescea-SP) O valor da expressão cos 150º + sen 300º - tg 225º - cos 90º é:
a) 13 c) 13 e) não sei
b) 13 d) 2
33
30. (Faap-SP) Se sen x = 5
3 , com x 4º quadrante, então tg x é:
a) 4
3 c)
5
4 e)
5
4
b) 2
1 d)
4
3
31. (Fafig-PR) Se sen x = 3
2 e
x
2, então:
a) tg x = 2
7 c) cos x =
3
5
b) cotg x = 7
2 d) sec x =
5
53
e) cossec x = 2
1
32. (UFMA) Sabendo-se que tg x = - 2 e que é um arco do segundo quadrante, então cos x + sen x
vale:
a) 5
5 c)
5
5 e)
3
5
b) 3
3 d)
3
3
33. (PUC-SP) Se x pertence ao 4º quadrante e séc x = 2 , então a expressão xseccosxgcot1
xseccosxtg1
é
igual a:
a) – 1 c) 1 d)
b) 0 d) – 2
34. (Cefet-MG) Se sen 2
1
6
, então sen
6
19 é:
a) 2
1 c) 0 e)
2
3
b) 2
3 d)
2
1
35. (UFRN) Sabendo-se que sen x = 3
1 e x está no 1º quadrante, qual o valor de cos
x
3?
a) 6
32 c)
6
23 e)
6
3
b) 6
322 d)
3
2
36. (Fatec-SP) Se sen 2x = 2
1, então tg x + cotg x é igual a:
a) 8 c) 4 e) 1
b) 6 d) 2
37. (Mackenzie-SP) Se tg x - 3 e 0 < x < 2
, então tg
2
x vale:
a) 2
3 c)
4
1 e)
2
3
b) 2
1 d)
3
3
38. (FEI-SP) Sendo tg A = 2 e tg B = 1, então tg (A – B) é:
a) 2
1 c)
3
1 e)
4
1
b) 1 d) 3
2
39. (Mack-SP) Se sec x = 5
13 e
2
3x
, então o valor de sen 2x é:
a) 13
12 c)
13
12 e)
144
125
b) 169
120 d)
169
120
40. (PUC-SP) Sabendo-se que tg2 x =
16
9 e que tg
2 y =
16
84, o valor de tg (x + y) . tg (x – y) é:
a) 2,4 c) 1,8 e) 1
b) 5,2 d) 0
41. (PUC-SP) Considere a identidade cos 2a = cos2 a – sen
2 a. Se cos x =
25
7, então cos
2
x vale:
a) 50
7 c)
25
3 e)
25
18
b) 5
2 d)
5
4
42. (UF-PA) O menor valor positivo de x que satisfaz a equação 2 sen x – 1 = 0 é:
a) 6
c)
3
e)
b) 4
d)
2
43. (UF-ES) As soluções da equação trigonométrica 2 sec x = tg + cotg x são:
a) 6
7e
6
5,
6
d)
6
5e
6
b) 3
5e
6
5,
6
e) n.d.a.
c) 3
7e
6
44. (Cecfet-MG) Se cos x < 2
1 e 0 < x < , então:
a) 6
5x
6
d) 0 < x <
3
b) 3
2x
3
e)
x
3
2
c) x < 3
45. (UF-RGS) No intervalo real
2,0 , o conjunto solução da desigualdade sen x. cos x
2
1 é:
a)
15,0 d)
8,0
b)
12,0 e)
6,0
c)
10,0
46. (UFAL) Se cos x = 2
1 e 0
2x
o valor da expressão
xsecxsecscos
xtg2E
é:
a) )33(4
3 c)
4
359
b) 13
32236 d)
4
359 e) 2
47. (UFAL) Se cos x = 2
1, o valor de cos 2x é:
a) 2
2 c)
22
1 e)
2
1
b) 2
1 d) 0
48. (Fatec-SP) Se x é um arco de 3º quadrante e cos x = 5
4 , então cossec x é igual a:
a) 3
5 c)
5
3 e)
3
5
b) 5
3 d)
5
4
49. (Unama-PA) Sendo M = xgcot1
xseccosxsec
, cos x =
5
1 e x pertencente ao 4º quadrante, então:
a) M = 5
5 d) M = 5
b) M = 55 e) M = 25
c) M = 5
50. U.F. Ouro Preto-MG) Se cos x = n
1n então
1xgcot
1tg2
x2
é igual a:
a) 2)1n(
1n2
c)
2)1n(
1n
b) 2n
1n2 d)
2
2
n
)1n(
e) 1n2
)1n( 2
51. A expressão sen (a + b) . sen (a – b) é equivalente a:
a) cos b – cos a d) sen2 b – sen
2 a
b) sen b – sen a e) sen (a2 – b
2)
c) cos2 b – cos
2 a
52. (UF-CE) Sabenendo que cos = 2
3 e que sen =
2
1 , podemos afirmar corretamente que cos (0
+ 2
) + sem (0 +
2
2) é igual a:
a) 0 d) 2
1
2
3
b) 2
1
2
3 e)
2
1
2
3
c) 2
1
2
3
GABARITO
APLICAÇÕES
01. A = 6326
1
02. 50 3 cm
03. 3
310
04. a) 32 b) 36
05. 132 dm
06.
m
mh
15
75,27
07. 3
310 m
08. 107º 30'
09. a) 135º d) 300º
b) 150º e) 210º
c) 240º f) 75º
10. a) rad4
d) rad
6
11
b) rad3
4 e) rad
5
2
c) rad3
5
11. a) 105º d) 131º30'
b) 82º30' e) 80º30'
c) 157º30'
12. 10º ; rad10
13
13. 30,56 m
14. 10º ou 350º
15. 6369,42
16. 55,58 cm
17. a) II Quadrante
b) III Quandrante
c) I Quadrante
d) II Quadrante
e) I Quadrante
f) I Quadrante
g) I Quadrante
h) II Quadrante
18. A , C , E
19. a) 30º d) rad2
b) 210º e) rad4
c) 220º
20. a) 110º, 110º + k . 360º (k z)
b) 45º, 45º + K . 360º
c) 300º , 300º + K . 360º
d) k
27
,7
e) k
24
3,
4
3
f)
k29
17,
9
17
21. – 1 x 2
22. a) sen 830º
b) cos 190º
23. 8
24. x R 0 x 3
ou
3
2 x
25. {x R x < 1 ou x > 3 }
26. a) 33
11 m
b) 2
1
4
1 m
27. a) -1 b) - tg x
28. 10
103
29. – 1,2
30. 2
51
31. – 4 ou 1
32. 12
67
33. 72
2
34. 31
1012
35. zero
36. 5
1
37. sen x = 3
5 e cos x =
3
2
38. a) mostrar que a igualda-
de é verdadeira
b) mostrar que a igualda-
de é verdadeira
39. Demonstração
40. a) y < 0
b) y < 0
41. a) 4º quadrante
b) 4º quadrante
c) 4º quadrante
42. T - 1 ou T 1 e T 2
43. a)
1
3
m
oum
b) m = 0 ou m = - 1
44. 3
45. a) 48 m b) 10,5 m
46. a) 4
26
b) 4
62
47. a) 4
26
b) 4
26
48. Demonstração
49. Demonstração
50. – cotg 6a
51.
52. L = 0
53. 10
3
54. 8
73
55. 25
23
56. 25
24
57. 3
2
58. sen 2a = 0
54
cos 2b = 9
7
59. 1
60. 3
1
61. 3
2
62. 2
3
63. 2 sen 2x . cos x
64. 4 sen 2a. cos2
2
a
65. {x = 2K ou
x = 3
+ 2K , K Z}
66. x = 2
7 + K ou
x = 12
11 + K com K Z
67. n = 8
68. {1 x R 12
< x <
3
}
69. { R 12
12
5}
70. a)
2,
6
b)
2,
6
GABARITO
TESTES DE
VESTIBULARES
01. b
02. d
03. d
04. 16,512 m
05. c
06. d
07. d
08. a
09. d
10. a
11. a
12. b
13. b
14. c
15. b
16. a
17. a
18. e
19. b
20. b
21. b
22. e
23. b
24. b
25. d
26. e
27. b
28. c
29. a
30. a
31. c
32. a
33. a
34. a
35. b
36. c
37. d
38. c
39. d
40. a
41. d
42. a
43. d
44. b
45. e
46. d
47. d
48. a
49. d
50. a
51. c
52. c