Trigonometria - CEPRE UNI 2007-I.pdf
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CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2007-ISEMINARIO Nº 01
TRIGONOMETRÍA
1. Si se sabe que 25 grados de un nuevosistema P equivalen a 30º, determineuna fórmula de conversión entre elsistema P y el sistema radial.
!P "
1#0 25=
π$!
P "
150=
π
%!P "
30=
π&!
P 2"
150=
π
'!P 2"
1#0=
π
2. Si re(resenta la 300ava (arte de un
grado centesimal y $ la 100ava (arte
de un radian. )alle
$.
!100
π$!
5
*00
π%!
150
π
&!*00
π'!
#00
π
3. Si S, % y " son los n+merosque e(resan la medida de un
mismo -ngulo en gradosseagesimales, centesimales yradianes res(ectivamente. dem-s se
cum(le S/ S %/ % /, / 1+ = − = > .)alle la medida de dico -ngulo enradianes.
!31
3*0
π$!
35
3*00
π%!
3*1
3*00
π
&!3#1
3*0
π'!
3#1
3*00
π
4. Si S, % y " son los n+meros quere(resentan las medidas de un -nguloen los sistemas seagesimal,centesimal y radial res(ectivamente. dem-s se cum(le
3 S 30 % 33+ = . )alle la medida dedico -ngulo en radianes
! 20
π
$!
3
20
π
%! 10
π
&!2
π'!
π
5. Si S, % y " son los n+meros queindican la medida de un -ngulo en lossistemas seagesimal, centesimal yradial res(ectivamente y se verifica
que % S % S " 14 1!+ + − = + , allela medida de dico -ngulo enradianes.
!15
π$!
1*
π%!
1#
π
&!14
π'!
20
π
6. Si S, % y " son los n+meros quere(resentan las medidas de un -ngulo
en los tres sistemas convencionales ysi cum(le
2 2
2 2
% 3%S 2S "
14% 3%S 2S
− += −
π+ +
alle la medida del -ngulo enradianes.
!
π$!
2
π%!
3
π
&!
π'!
5
π
7. 'n la figura mostrada se cum(le que
a 6 b 6 c 7 450 6 2,5π siendo a, b yc las medidas del -ngulo 89:. )alleel valor de a ; b.
! ; 100 $! ; 0 %! ; 50&! ; #0 '! ; 20
8. 5 15
− −
= ! 12 $! 1 %! 2&! 20 '!10
CEPRE-UNI TRIGONOMETRÍA 1
8
:
9
cradbg
aº
-
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CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2007-ISEMINARIO Nº 01
9. Si S, % y " re(resentan la medida deun mismo -ngulo en los 3 sistemas demedición angular. : se cum(le que
3%º ; 2Sg 7 π rad. %alcule la medidade dico -ngulo en radianes.
! 15*
π $! 1523
π %! 4π
&!#
4
π'!
1
1#
π
10. Si S y % son n+meros que re(resentan
la medida de un mismo -ngulo en lossistemas seagesimal y centesimal,que cum(le
º g
3% 2Sa b a b = + −
calcule el valor
a(roimado deb
? 11a
= − π, 22
π ≅ !.
!1
5$!
1
*%!
1
&!1
#'!
1
4
11. Se tiene un nuevo sistema de medidaangular en el cual la unidad
fundamental se denota (or 1∗ y
resulta de sumar las unidadesfundamentales del sistemaseagesimal y centesimal. %alculecu-ntas unidades del nuevo sistema
equivalen a *2 radianes22
!
π = .
! 2100 $! 1#400 %! 15300&! 12400 '! 1#000
12. @a suma del n+mero de minutoscentesimales y el n+mero desegundos seagesimales de la medidade un -ngulo es 3300. )alle lamedida de dico -ngulo en radianes.
!10
π$!
20
π%!
30
π
&!0
π'!
2
25
π
13.
S % % %= + + +
!10
π$!
15
π%!
20
π
&!25
π'!
30
π
1. Sabiendo que
α 7 2º 6 º 6 *º 6 #º 6A. 620º
g g g g10 20 30 200
.....4 4 4 4
β = + + + + .
)alle la medida de α ; β en elsistema radial.
! ;4
π$! ;
5
4
π%!
3
π
&!4
π'!
5
4
π
15. 'n la figura mostrada, si la medida del-ngulo y en radianes! est- dada (or
y 7 θ 2 6 θ 6 1, alle el m-imo valorde la medida del -ngulo enradianes!.
!1
2$!
3
%!
1
2π −
&!3
π − '!1
π −
CEPRE-UNI TRIGONOMETRÍA 2
$
%
y
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CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2007-ISEMINARIO Nº 01
16. &e la figura mostrada 9B, $9'y %9& son sectores circulares,adem-s $% 7 &' 7 a, $ 7 'B 7 2a,
» » »%& $' B@ , @ y, @ C= = =
%alcule D 7 2 6 C! y ;1
! 1 $! 2 %! 3&! '! 5
17. Se tiene el sector circular 9%,
donde 9 7 9% 7 r y m∠ 9% 7 θ .Si r crece 10E y el -ngulo centralcrece 20E
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CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2007-ISEMINARIO Nº 01
&! 40º '! 10#º23. Si en el sistema mostrado, el disco
gira 40º.
! 3*º $! 5º %! 1#º&! 40º '! 2º
24. 'n el sistema mostrado, si la rueda
da3
de vuelta, entonces la longitud
recorrida la (or la rueda % es
! 3,*π $! 3*π %! 1,#π
&! 1#π '!4
π
25. Si
sen620º!.sec260º! 71, ∈ 〈025º〉 , calcule
sen*,!.cos3,!.tan5,!Dcot,!.sec,!.sen2,!
=
!1
2$!
3
2%!
1
&!3
'!
1
3
2*. Si
sec2;1#º!sen2#º! 7 1, ∈ 〈4º
5º〉 , alle el valor deB 7 sen ; 10º! 6 cos 6 20º!
!1
2$! 1 %!
3
2
&! 2 '! 3
2. Si
13 senα ! 7 5, ∈ 〈040º〉 ,
calcule cot ! 5
α−
! 5 $! 23 %! 2*
&! 2 2* '! 10
28. Se tiene un tri-ngulo $%, donde
m∠ %$ 7 15º, m∠ $% 7 135º y$%7 * 2− unidades. %alcule lalongitud en u! del segmento %.
! * 2+ $! * 2− %! *&! 2 '! 2 2
29. &e la figura mostrada si
$% 7 3$ a 3= , ' 7 2u, &% 7 1u,
adem-s m∠ $' 7 5º, m∠ &$% 730º. %alcule @ 3sen ! 2sen != α + β
!3 *
a
$!*
a
%! *a
&! 2 *a '!*
a*
CEPRE-UNI TRIGONOMETRÍA 4
5
%
$
1
3
α β
$
%' &
6
$
%
# 2
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30. &e la figura adFunta, si $ 7 m,$% 7 n, &% 7 , ' 7 y, $' 7 $&.
&etermine y
, en función de m, n, α y
β .
!m sen !
nsen !
αβ $!
mcsc !
ncos !
α
β
%! msen !n sen !βα &!
mcsc !nsen !βα
'!mcos !
nsen !
αβ
31. 'n la figura mostrada, $%& es uncuadrado, calcule
J 10 sec ! tan != θ + θ
! # $! %! *&! 5 '!
32. 'n la figura mostrada se tiene uncuadrado $%& de lado 2 l unidades,donde D y K son (untos medios delos lados $ y $% del cuadrado,
res(ectivamente. )alle el -rea en u2
de la región triangular DK&.
!23
2
l$! 22l %!
25
2
l
&!24
l'! 23l
33. 'n la figura mostrada $%' es un
rect-ngulo, adem-s m∠ %$ 7 θ ,m∠ %'& 7 α , m∠ &$ 7 β .&etermine tanθ ! en función de α yβ .
! tanβ ! ; tanα ! $!( )
1tan ! tanβ − α
CEPRE-UNI TRIGONOMETRÍA 5
$
% ' &
θ
37º
$
%&
$ %
&
D
K
'
&$ %
α β
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%! cotβ ! ; tanα ! &!( )
1
cot ! tanβ − α
'! cotβ ! ; cotα !34. 'n la figura mostrada $ 7 & 7 $%,
m∠ $% 7 40º, m∠ $& 7 32º,m∠ $%& 7 θ . %alcule cotθ !.
! 0,5 $! 1,25 %! 2,45&! 3,5 '! ,35
35. 'n la figura mostrada $& 7 &%,
m∠ $% 7 α , m∠ $D& 7 β ,determine tanβ ! en t=rminos de α .
! 2cotα ! ; tanα ! $! 2tanα !6cotα !
%! tanα ! 6 cotα ! &! 2tanα !;cotα !
'! 2cotα ! 6 tanα !
3*. 'n la figura mostrada
m∠ $% 7m∠ B' 7 40º, m∠ 'B 7α , m∠ %$ 7 3º, $& 7 &%, calculetanα !.
!1
12$!
15%
23
11
&!1*
'! 354
37. &e la figura mostrada si D es (untomedio de %, calcule
( ) ( )2 2B cos sen= θ − θ
!3
5$!
3
2%!
5
&!1
2'!
1
38. 'n la figura mostrada, si el -rea de laregión triangular %&' es igual a lamitad del -rea de la región triangular %& y =sta a su veC es igual a latercera (arte del -rea de la región
triangular $%, calcule tanα !.
!3
3 $!*
3 %!3
2
&!2
3'!
*
2
CEPRE-UNI TRIGONOMETRÍA 6
θ
$
%
&
α%
$
βM
'
D
B
A CF
E
D
$
% 53º
'
%
$
&
α
α
&
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39. 'n la figura adFunta 9$ es un sector
circular, tal que » » % %$= y 9& 7 &$,
si m∠ '%& 7 θ , calcule cotθ !.
! 2 1− $! 2 ; 2 %! 1 6 2&! 2 6 2 '! 3 6 2
40. 'n la figura mostrada, 9 es el centrode la semicircunferencia, adem-s
L 7 2LP, ∠ D9$ 7 40º y m∠ DLP 7
α , calcule senα !.
! 32
$! 12
%! 22
&!3
3'!
2
41. 'n la figura mostrada, 9 es el centro
de la circunferencia, m∠ $% 7 2φ ,m∠ &MB 7 θ , determine' 7 1 6 cot5º ; φ ! en función de θ .
! tanθ ! $! 2 tanθ ! %!cotθ
&! 2cotθ ! '! tanθ !42. 'n el tri-ngulo rect-ngulo $%,
m∠ $% 7 *0º, se traCa la altura $),relativa a la i(otenusa, y luego laceviana $K K entre ) y %! tal que
K) 7 2K%. Si m∠ )$K 7 α ym∠ K$% 7 θ , calcule P 7 cotα !cotθ !. ! 2,5 $! 3,5 %! ,5&! 5,5 '! *,5
43. Hna ormiga observa la (arte su(eriorde un -rbol con un -ngulo de
elevación de medida α . Si la ormigase acerca acia el -rbol una distanciaigual a @ metros, el nuevo -ngulo deelevación (ara el mismo (unto es
aora de medida β entonces la alturadel -rbol en t=rminos de @, α y βes
A) @ Ntanα ! ;tanβ !O
B) @ Ncotα ! ;cotβ !O
C) @ Ntanα ! ;tanβ !O ;1
D) @ Ncotα ! ;cotβ !O ;1
E) @ tanα ! .tanβ
44. Hn nio observa la (arte mas alta deun muro con un -ngulo de elevación
θ , luego avanCa acia el muro unadistancia igual a la diferencia de las
alturas entre el muro y el nio y el-ngulo de elevación es aora elcom(lemento del anterior, calcule
tanθ ! 6 cotθ !CEPRE-UNI TRIGONOMETRÍA 7
%
$'9 &
MP
B0A
Q
&
B
%
$
'
M
9
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!5 1
2
−$! 5 1− %! 5
&! 5 1+ '!5 1
2
+
45. Hna antena est- ubicada en la (artem-s alta de un edificio. &esde un(unto del suelo se observa losetremos de la antena con -ngulos deelevación de 5º y 53º. Si la antenamide * metros entonces la alturaen m! del edificio es ! 12 $! 15 %! 1#&! 21 '! 2
46. Hn avión vuela oriContalmente a unaaltura constante y antes de (asarsobre dos (untos en tierra y $ losobserva con -ngulos de de(resión de5º y 3º res(ectivamente. %uandoest- sobre $ es visto desde con un
-ngulo de elevación α . %alculetanα !.
! 1 $! 2 %! 3&! '! *
47. &esde la (arte su(erior e inferior delsegundo (iso de un edificio de (isosiguales se observa una (iedra en elsuelo, a una distancia de 4 m y con
-ngulos de de(resión α y θres(ectivamente. &esde la (arte m-salta del edificio la de(resión angular
(ara la (iedra es β , si( ) ( )
1tan ! tan tan
β − α − θ = . %alcule la
medida del -ngulo de de(resión conque se ve a la (iedra desde la (artesu(erior del tercer (iso. ! 30º $! 5º %! 53º&! 3º '! *0º
#. &ados los (untos
7 ;2 ; 3!, $ 7 2 1!, % 7 ; 4! y
D (unto medio de $% . @a distancia de
D al segmento % es
! 2 $! 2 2 %!
&! 2 '! *
49. @os (untos1 #
D y P 53 3
son
los (untos de trisección del segmento $. )alle la longitud del segmento $. ! * $! %! #
&! 5 '! 5#
50. &ado los v=rtices ;2 ! y $* ;2!de un tri-ngulo $% y el (unto )13!de intersección de sus alturas.&etermine el v=rtice %.
! ; 10! $! 2 13! %! 1314!&! ;10 20! '! 13!
51. &ados los (untos 3 ! y $;5 2!.&etermine la ecuación del lugargeom=trico de todos los (untos queequidistan de los (untos y $. ! y 7 ; 1 $! y 7 6 1%! y 7 ; ; 1 &! 7 6 3'! y 7 ;3
52. &etermine el lugar geom=trico detodos los (untos en el (lanocartesiano, que equidistan de los(untos ;3 5! y $# 2!, dar comores(uesta su ecuación. ! 11 63y ; # 7 0$! 11 ; 3y ; 1 7 0%! 5 ; 3y ; 1 7 0
&! 11 ; 3y ; 1 7 0'! 11 6 3y 6 1 7 0
53. &etermine la ecuación de la recta que(asa (or el (unto ; 2 2! y sea(aralela a la recta @ ; y ; 3 7 0. ! y 7 6 $! y 7 ; 6 y%! y 7 2 6 1 &! y 7 2 ; 1'! y 7 ; 6 1
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54. &etermine la ecuación de una rectaque (asa (or el (unto 33! y sea(er(endicular a la recta@ 6 y 6 2 7 0 ! y 7 $! y 7 2 %! y 7 3y
&! y 7 '! y 7 6 1
55. &ada la ecuación de la recta@ 2 ; y ; 2 7 0, determine laecuación de la recta @1 que (asa (or# ! y es (er(endicular a @ ! 6 2y ; 1* 7 0$! 2 ; 5y ; 1* 7 0%! ; 2y 6 # 7 0
&! 2 6 y 6 1* 7 0'! 6 2y 6 1* 7 0
56. &etermine la ecuación de la recta(er(endicular a la recta @ 6 y ; 1 7 0y que (asa (or el (unto deintersección de las rectas@1 2 ; 5y 6 3 7 0 y @2 ;3y ; 7 0 ! ; y 6 2 7 0
$! 6 2y ; 12 7 0%! 3 ; 2y 6 35 7 0&! 2 6 y ; 21 7 0'! ; y ; 2 7 0
57. Si los (untos 2, 3!, $, *! y % * 1!forman un tri-ngulo $%. &etermine laecuación de la recta que contiene a la
altura relativa al lado % .
! y 7 3 6 1 $! y 7 2 ; 2%! y 7 ; &! y 7 2 6 1'! y 7 2 ; 3
58. Sean las rectas @1 3 ; y 6 12 7 0 y@2 3 6 y ; 12 7 0, determine laecuación de la recta @ que (asa (or elorigen de coordenadas y (or el (untode intersección de las rectas @1 y @2. ! y 7 ; 3 $! y 7 0 %! 7 0
&! 7 3 '! 6 3y ; 12 7 0
59. Si los v=rtices de una región triangularson ; 3 ; *!, $* 4! y 3 12!
determine la ecuación de la recta
(aralela a $ y que (asa (or el
baricentro de la región triangularmencionada. ! 5 6 3y 6 5 7 0
$! 5 ; 3y ; 5 7 0%! 5 ; 3y 6 5 7 0&! 5 6 3y ; 5 7 0'! 5 6 3y 6 15 7 0
60. Hn segmento de recta, forma conlos semieFes (ositivo de la abscisa yordenada un tri-ngulo rect-ngulo cuya-rea es de 3m2, si la mediatriC de lai(otenusa (asa (or el origen decoordenadas, determine la ecuaciónde la recta que contiene al segmentode recta.
! 6 y ; * 7 0
$! ; y 6 * 7 0
%! 6 y 6 * 7 0
&! * 6 y ; 1 7 0
'! 6 * y ; 1 7 0
*1. Sean la recta @ 3 ; y 6 7 0 y el
(unto P 7 ;1 ; 1!. &etermine laecuación de dos rectas (aralelas a @ yque equidisten del (unto P, 2u. ! @1 ; 3y ; 4 7 0
@2 ; 3y 6 11 7 0
$! @1 ; 3y 6 4 7 0 @2 ; 3y ; 11 7 0
%! @1 2 6 y 6 5 7 0 @2 3 6 y ; 11 7 0
&! @1 3 ; y 6 4 7 0 @2 3 ; y ; 11 7 0
'! @1 3 ; y ; 4 7 0 @2 3 ; ; 11 7 0
62. Hn rayo de luC que (arte de 55!incide en un es(eFo (lano que est-sobre el eFe :. Si el rayo refleFadoforma con los eFes coordenados en el
CEPRE-UNI TRIGONOMETRÍA 9
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CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2007-ISEMINARIO Nº 01
(rimer cuadrante un tri-ngulo de5
#
u2,de -rea, determine la ecuación delrayo refleFado.
!
y 15= − +$!
y , 1
5= − −
%!5
y 1
= − −
&!
y , 25
= − −
'!5
y 1
= − +
63. &etermine la ecuación de la rectade (endiente negativa! bisectriC del-ngulo que forman las rectas
1@ 3 y 1 0− + =
2@ 3y 0 0− + =
A) 6 y 7 34B) ; y 7 ; 34C) ; y 7 ; 1D) 7 y 6 2'! 2 6 3y 6 1 7 0
64. @as rectas @1 ; y 6 2 7 0,@2 6 2y ; 7 0 y @3 2 6 y ;117 0se intersectan dos a dos y los tres(untos de intersección forman un
tri-ngulo. )alle la tangente del menor-ngulo interior.
!1
$!
1
2%!
3
&! 1 '!
3
65. @a recta @1 es (aralela a la recta@2 3y ; ; 100 7 0Si el -rea de la región triangular
limitada (or el eFe y la recta y 7 , (orla recta @1, es 2 u
3, alle la ordenadade la intersección de @1 con el eFe y
! ; 2 2 $! ; 3 2%! ; 1 &! ; 2 '!
; 3
66. Sean las rectas @1 y 7 0 y
@2 6 y ; 1 7 0. &etermine laecuación de la recta bisectriC del-ngulo obtuso formado (or las rectas@1 y @2.
! ( )2 2 1 y 2 1− + = −
$! ( )2 2 1 y 2 1− + = +
%! ( )2 1 2y 2 1+ = − = −
&! ( )2 1 2y 2 1+ − = +
'! ( )2 1 y 2 1+ − = +
67. &os rectas @1 y @2 se intersectan en el(unto 5, 12! adem-s los interce(tosde @1 con el eFe 8 y @2 con el eFe :est-n contenidos en una recta cuyaecuación es y ; 2 ; 2 7 0. %alculeel menor -ngulo formado con las
rectas @1 y @2. ! 15º $! 30º %! 3º&! 5º '! *0º
68. Se traCan las rectas @, @1 y @2como en la figura!, tal que
@ ; 3y ; 3 7 0 @2 y 7 2 @ ⊥ @1 y $ 7 2 $%. &etermine la abscisa del(unto P.
!#
4$! 1 %!
10
4
CEPRE-UNI TRIGONOMETRÍA 10
L2
8
@
@1
0
P
%
$
:
-
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CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2007-ISEMINARIO Nº 01
&!11
4'!
3
69. )alle el (unto L del gr-fico (araque la suma de las distancias
d, L! 6 dL, $! sea la mGnima
! 2, 0! $!5
,02
%!
,02
&! 3,0! '! , 0!
70. Si senθ ! 6 1 ; senθ ! ; 17 ; 1,θ ∈ QQQ%, calcule
( )R 3 tan sec 30º != θ − θ +
! ; 2 $! ; 1 %! 0
&! 2 '! 3
71. Si senθ ! 71
3, tanθ !7 tanθ ! y
secθ !7 ; secθ !, alle el valor deJ 2 cot ! csc != θ + θ
! ; 2 $! ; 1 %! 0&! 1 '! 2
72. Sabiendo que senθ 71
, tanθ !
0 y senθ ! 0, alle el valor de( ) ( )B 15 sec csc = θ + θ − .
! ;# 15 $! ; 15 %! ;2 15
&! ; 15 '! 15
73. Si csc! 7 ; 3, ∈ QR%. )alle el valorde m en la siguiente igualdad
3
m.cos !cot!
sen! sen !=
−
!3 2
2
− $!3 2
%!3 2
2
&!3 2
− '! 3 2
74. Si el (unto P de coordenadas
a, ; 2a! (ertenece al lado final deun -ngulo α en (osición normal yadem-s a 0. )alle el valor de
? 7 ; 5sen3 ! tan3 !α+ α
! 0 $! 1 %! 2&! 3 '!
75. 'n la figura mostrada si 7 5 ; 3!,
9 7 $, calcule tanα !
! ; 5 $! ; %! ; 3&! ; 2 '! ; 1
76. &e la figura mostrada si P 7 5 ; !,
calcule D tan ! 1cos != θ − θ .
CEPRE-UNI TRIGONOMETRÍA 11
0 4!
$5 *!
L 0!
:
80
α
$
0
θ
P
:
8
8
:
-
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CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2007-ISEMINARIO Nº 01
! ; 4 $! ; # %! &! # '! 4
77. 'n la figura mostrada, % es el centrode la circunferencia de coordenadas;1 3!, adem-s P y L son (untos detangencia, calcule
B 7 tanα! ; tanθ !
! ;15
$! ;
4
%!
4
&!15
'!
13
3
78. 'n la figura mostrada se cum(le
que PD 7 DL, m∠ LP 7 40ºm∠ 9P 7 1#.5º y las coordenadasdel (unto P son ; 3, ; *!, calcule
' 7 tanθ ! 6 cotθ !.
!5
#2$! ;
#5
2%!
#5
2
&!
5
#2 '! ;
*
79. 'n la figura mostrada, m∠ "P9 7 53º,m∠ L9T 7 40º, PL 7 2 L". )alle elvalor de " 7 #tanθ ! ; 3cotθ !
! ; 5 $! ; 3 %! 0&! 3 '! 5
#0. )alle las medidas de 2 -nguloscoterminales negativos que son(ro(orcionales a los n+meros y 5. dem-s la diferencia de las medidasde dicos -ngulos est- com(rendida
entre 50º y 400º ! ;1#00º, ;2520º $! ;400º, ;12*0º%! ;100º, ;2520º &! ;3*00º,;500º'! ;500º, ;*300º
CEPRE-UNI TRIGONOMETRÍA 12
L
8
:
P
θD
0
:
8
"
P
L
T
0
θ
:
8
%
α
θ
L
P
-
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81. Sean α y β la medida de dos-ngulos coterminales α U β ! tal queel doble del menor es a la suma deellos como 13 es a 23. %alcule la
medida del mayor de ellos si est-com(rendido entre 1100º y 1300º ! 4##º $! 10##º %! 11##º&! 12##º '! 132#º
82. Si α y β son -ngulos coterminales
tal que ( ) ( )5 5
tan y sen12 13
α = − β = − ,
alle ' 7 cosα ! tanβ !.
!12
13 $! ;12
13 %!5
13
&! ;5
13'!
5
12
83. Si los (untos P y L con coordenadas;1, a! y b, ; 4! (ertenecen al ladofinal de un -ngulo en (osición normal
de medida θ y3
sen !10
−θ = , alle la
distancia entre los (untos P y L. ! 10 $! 2 10 %! 3 10
&! 10 '! 5 10
84. 'n la figura mostrada las coordenadasdel (unto D y $ son 3 ; #! y * ; 10!res(ectivamente, adem-s $ 7 D$
calcule D 7 3 cotθ !
! 0 $! 1 %! ; 1
&!1
3'! ;
1
3
85. &ada la recta @ que (asa (or el origende coordenadas y dados los (untos P
y L que (ertenecen a la recta @, alle
( ) ( )tan !
' sen cos13
θ= θ + θ +
! ;13
3$! ;
3
13%! 13
&!3
13'!
13
3
86. 'n un tri-ngulo $% se conocen losv=rtices 2 1! $5 3! y el (untoM3 y ! que es la intersección de lasmedianas. Si el lado final de un -ngulo
normal θ (asa (or el v=rtice %,calcule tanθ !.
! 1 $! 2 %! 3&! '! *
87. @a recta @ corta a los eFescoordenados en 7 , y 7 ; 2. Sea $un (unto (erteneciente a la recta @, ysea la recta @1 (er(endicular a la recta@, de tal manera que @1 (asa (or el(unto $ y el (unto 0,1!.
Si 9$ es el lado final de un -ngulo θen (osición normal, alle tanθ !. 9es el origen de coordenadas!
CEPRE-UNI TRIGONOMETRÍA 13
$D
:
8
θ
:
8
θ
@
L*.V
3a!
Pa, ;2!
0
-
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! ; 2 $! ;
*%! ;1
&! ;*
'! ;
1
2
88. Si P es un (unto del lado terminal del
-ngulo θ , en (osición normal yadem-s es el (unto de intersección delas gr-ficas de las rectas.@1 y 7 2, @2 y 7 ; 2 6 .
%alcule B 5sen ! tan != θ + θ . ! 0 $! 1 %! 2&! 3 '!
89. &e la figura mostrada KT 7 TD,
adem-s @ y 7 2 6 3, alle 1senθ !.
! 2 1 $! 3 1 %! 1&! 5 1 '! * 1
90. @a recta ; 2y 6 7 0 intersecta al eFede abscisas en el (unto , y al eFe deordenadas en el (unto $. Si D es(unto medio del segmento $, y a laveC D es un (unto del lado final del
-ngulo en (osición normal β , calculecotβ !. ! ;2 $! ; 1 %! 1&! 2 '! 3
91. 'n la figura mostrada, la ecuación dela recta es @ y 7 3. )alle el valor de
( ) ( )B 10sen tan= α − θ
! ; 3 $! 0 %! 3&! * '! 4
92. &e la figura mostrada, siPL 7 L" 7 "S, L 7 3!.)alle
cotα !.
!4
$!
%!5
&!3
'!
1
93. 'n la circunferencia trigonom=trica si
1 2, ,
2
π< < < π , indique la veracidad R!
o falsedad B! de las siguientes(ro(osiciones
I. sen1! U sen2!
II. cos2!U cos1!III. tan1! tan2!
! BBB $! BBR %! BRB
CEPRE-UNI TRIGONOMETRÍA 14
:
8
θK
T
D
0
@
:
8
θ
@
α
:
80
S
α
"
L
P
-
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CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2007-ISEMINARIO Nº 01
&! BRR '! RRR
94. 'n la figura mostrada se tiene lacircunferencia trigonom=trica, donde¼m$P = θ . )alle la variación del -rea
de la región triangular $PL si2
π < θ < π
.
!1
02
$!3
0
%! 〈01〉
&!3
02
'! 〈0 2〉
95. 'n la circunferencia trigonom=trica dela figura mostrada 9D 7 D, calcule
' 7 tanθ ! ; secθ !.
! 2 $! ; 2 %! 1&! ; 1 '! 0
4*. )alle el valor m-imo de a si
a 2 5sen , 2
* 2 2
π − π + = ∈ π ! 2 $! 2 1+ %! 2 2&! 2 6 2 '! 2 6
97. &etermine el valor de ( )2 SL en la
circunferencia trigonom=trica adFunta,
si la medida del arco ¼ $D es θ .
A) 1 6 senθ ! 6 cosθ !B) 1 ; senθ ! 6 cosθ !C) 1 6 senθ ! ; cosθ !D) senθ ! 6 cosθ ! ; 1E) 1 ; senθ ! ; cosθ !
98. 'n la circunferencia trigonom=trica
mostrada si tanθ ! 7 1, calcule el-rea de la región triangular 9D.
!1
2$!
2
2
%! 1
&!1 2
2
+'!
2 1
2
−
99. @a circunferencia es trigonom=trica,alle el -rea de la región triangular
$% si ¼m PLS = θ .
CEPRE-UNI TRIGONOMETRÍA 15
W
:
8
$
D
$W
θ
L
$
WW
D$W
S
D
0
θ
P
%
$
S
8
L
:
:
8
$
L
9
P
:
8
8
:
-
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CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2007-ISEMINARIO Nº 01
! tanθ ! $! ; 0,5 tanθ !%! 0,5 tanθ ! &! 0,5'! ; 0,5 60,5 tanθ !
100. 'n la figura se tiene la circunferenciatrigonom=trica, alle el -rea de laregión sombreada.
! 0,5 [ ]1 sen !− θ $! 0,5 [ ]1 cos !− θ
%! 0,5 [ ]sen !θ &! [ ]0,5 cos !θ'! 0,5
CEPRE UNI TRIGONOMETRÍA 16
θ
0 W 8
$
:
$W
: