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Tringulo rectngulo 1

Tringulo rectngulo

En geometra, se llama tringulo rectngulo a todo

tringulo que posee un ngulo recto, es decir, un ngulo

de 90 grados. Las razones entre las longitudes de los

lados de un tringulo rectngulo es un enfoque de la

trigonometra plana. En particular, en un tringulo

rectngulo, se cumple el llamado teorema de Pitgoras

ya conocido por los babilonios.[1]

Terminologa

Un tringulo rectngulo y sus elementos.

Se denomina hipotenusa al lado mayor del tringulo, el

lado opuesto al ngulo recto. Se llaman catetos a los

dos lados menores, los que conforman el ngulo recto.

Solo si la medida de los tres lados son nmeros enteros,

estos constituyen un tro de nombre terna pitagrica.

Propiedades

Todo tringulo tiene exactamente dos ngulos

agudos.

La hipotenusa es mayor que cualquiera de los

catetos.

La hipotenusa es menor que la suma de los dos

catetos.

Para efectos de rea, un cateto cualquiera se puede considerar como base y el otro cateto como altura.[2]

Tipos de tringulo rectnguloExisten dos tipos de tringulo rectngulo:

Tringulo rectngulo issceles: los dos catetos son de la misma longitud, los ngulos interiores son de 45-45-90.

En este tipo de tringulo, la hipotenusa mide veces la longitud del cateto.

Tringulo rectngulo escaleno: los tres lados y los tres ngulos tienen diferente medida. Un caso particular es

aqul cuyos ngulos interiores miden 30-60-90, en este tipo de tringulo, la hipotenusa mide el doble del cateto

menor, y el cateto mayor veces la longitud del cateto menor.

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Tringulo rectngulo issceles. Tringulo rectngulo escaleno.

Tringulo rectngulo de lados consecutivos: las medidas de sus lados tienen 3, 4 y 5 unidades de longitud.

Aparece en las culturas del cercano oriente: Babilonia y Egipto. Histrico, til y didctico, adaptable a un

geoplano.[3] Sin lados consecutivos es el tringulo de lados que miden 5,12 y 13 unidades de longitud, menos

conocido que el anterior.

Relaciones mtricasLas relaciones mtricas del tringulo rectngulo son cuatro. Los tres tringulos formados al trazar la altura relativa a

la hipotenusa son rectngulos y semejantes.

Ilustracin de los principales elementos del tringulo rectngulo:

a es la hipotenusa,

b el cateto mayor,

c el cateto menor,

h la altura relativa a la hipotenusa,

m la proyeccin del catetob yn la proyeccin del catetoc.

La hipotenusa es igual a la suma de

las proyecciones.

Por semejanza de tringulos, tenemos

que:

El cuadrado de la altura relativa delos catetos.

El cuadrado de un cateto, es igual al

producto entre su proyeccin (que

se encuentra de su lado) y la

hipotenusa.

El producto entre la hipotenusa y la altura relativa a ella, es igual al producto de los catetos.

=== Teorema de Pitgoras dice que:

===

El teorema de Pitgoras establece que:

En todo tringulo rectngulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3A30-60-90_triangle.svghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_de_Taleshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3AElementos_do_tri%C3%A2ngulo_ret%C3%A2ngulo.svghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Tri%C3%A1ngulohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3A30-60-90_triangle.svghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3ATriangle-45-45-90.svg

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Tringulo rectngulo 3

Frmulas para calcular un lado desconocido en funcin de los otros dos, donde a y b son los catetos y c es la

hipotenusa.

Teorema de la alturaEl teorema de "la altura de un tringulo rectngulo" establece que:

Teorema de la altura (forma 1)

En cualquier tringulo rectngulo la altura relativa a la hipotenusa es la media geomtrica entre las

proyecciones ortogonales de los catetos sobre la hipotenusa.

Demostracin

La altura del tringulo rectngulo ABC (vase Figura 1) lo divide en dos tringulos rectngulos semejantes, de

forma que

Figura 1: Teorema de la altura.

Multiplicando los dos miembros de la igualdad por

se tiene:

por lo que

(1)

Otra forma del mismo teorema

La altura h correspondiente a la hipotenusa de un

tringulo rectngulo (vase Figura 1) tambin puedeobtenerse reemplazando a los valores m y n de la

ecuacin (1) del presente teorema por sus respectivos equivalentes dados por el teorema del cateto.

;

(h2)

lo que al simplificar en el ltimo trmino de la ecuacin (h2) la raz con los cuadrados nos conduce a:

(h3)

Dondeh es la altura (relativa a la hipotenusa),b yc los catetos ya la hipotenusa.

La ecuacin (h3) nos permite establecer el enunciado (forma 2) del teorema:

Teorema de la altura (forma 2)

En todo tringulo rectngulo la altura h (relativa a la hipotenusa) es igual al producto de sus catetos b y c

divididos por la hipotenusaa.

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_del_catetohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3ATri%C3%A2ngulo_ret%C3%A2ngulo.svghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Tri%C3%A1ngulos_semejanteshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Proyecci%C3%B3n_ortogonalhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Media_geom%C3%A9tricahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Hipotenusa

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Teorema del cateto

El teorema del cateto establece lo siguiente:

Teorema del cateto

En todo tringulo rectngulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyeccin

ortogonal de ese cateto sobre la hipotenusa.

Este teorema (vaseFigura 1) puede expresarse matemticamentepara cada uno de sus dos catetos como:

Donde m y n son, respectivamente, lasproyecciones de los catetos b y a sobre la hipotenusa c.

Demostracin

Figura 1 - Los segmentosm yn son las respectivas proyecciones de los ladosb yasobre la hipotenusac, siendoh la altura correspondiente a la hipotenusa.

Sea el tringulo ABC rectngulo en C,

dispuesto de modo que su base es la

hipotenusa c. La altura h determina los

segmentos m y n, que son, respectivamente,

las proyecciones de los catetos b y a sobre

la hipotenusa.

Los tringulos rectngulos ABC, ACH y

BCH tienen iguales sus ngulos, y por lo

tanto son semejantes:

1.1. Todos tienen un ngulo recto.

2. Los ngulos B y ACH son iguales por

ser agudos, por abarcar un mismo arco, y

tener sus lados perpendiculares.

3. Igualmente sucede con los ngulos A y

BCH.

Puesto que en las figuras semejantes los lados homlogos son proporcionales, tendremos que:

Por la semejanza entre los tringulos ACH y ABC

de donde,

Por la semejanza entre los tringulos BCH y ABC

y el teorema queda demostrado.

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Semejanza_%28geometr%C3%ADa%29http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=%C3%81ngulohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Tri%C3%A1ngulohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3ATri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngulo.svghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Hipotenusa

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Corolario

En todo tringulo rectngulo la longitud de la proyeccin ortogonal de cualquier cateto sobre la hipotenusa

es igual al cuadrado de la longitud de ese mismo cateto dividido por la longitud de la hipotenusa.

Basados en las dos ecuaciones del teorema anterior, para deducir el corolario 1 basta con despejar en cada una de

ellas, la respectiva variable de su proyeccin ortogonal, siendo stasm yn:

en las que al despejar respectivamentem yn producen las ecuaciones del corolario 1:

dondem es la proyeccin ortogonal del catetob sobre la hipotenusac (vasefigura 1) yn es la proyeccin ortogonal

del catetoa tambin sobre la hipotenusac.

Cualquier tringulo se puede dividir en 2 tringulos

rectngulos. La medida de un cateto es la media

proporcional entre la medida de la hipotenusa y su

proyeccin sobre ella.

, tambin se cumple:

La medida de la altura es media proporcional entre los

dos segmentos que determina sobre la hipotenusa.

, es decir:

Las tres alturas del tringulo rectngulo pueden calcularse como:

; ;

dondeb yc son los catetos ya, la hipotenusa, en tanto queha

,hb

yhc

son las alturas sobre los respectivos lados.

Razones trigonomtricasEn un tringulo rectngulo, las razones trigonomtricas del ngulo, con vrtice en 'A, con medida ', son:

El seno: la razn entre el cateto opuesto y la hipotenusa,

; su inverso

multiplicativo, si existe, se denomina

cosecante

El coseno: la razn entre el cateto adyacente y la

hipotenusa,

; su inverso multiplicativo

si existe, se llama secante.

La tangente: la razn entre el cateto opuesto y el adyacente,

; el inverso de la razn

anterior, si es posible, se nombra

cotangente.[4]

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Tangente_%28trigonometr%C3%ADa%29http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Cosenohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Hipotenusahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Catetohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Seno_%28matem%C3%A1ticas%29http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3ATri%C3%A1ngulo-en-c%C3%ADrculo.svghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Trigonometr%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3ATri%25C3%25A2ngulo_ret%25C3%25A2ngulo.svg

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rea

fig.ar1: Relacin entre el rectngulo y dos de las tres alturas (la de

los catetos) de un tringulo rectngulo.

Se puede considerar el rea de un tringulo rectngulo

como la mitad del rea de un rectngulo partido por su

diagonal, vasefig.ar1, (o un cuadrado si el tringulo

rectngulo es adems issceles).

(A1)

donde a y b de la ecuacin (A1) representan las

medidas de los dos catetos que coinciden con los dos

lados y las correspondientes alturas del rectngulo

(vasefig.ar1).

En todo tringulo rectngulo cada uno de los dos

catetos es siempre la respectiva altura del otro. Asumiendo que a = cateto1 y b = cateto2 se puede escribir una

versin equivalente de ecuacin (A1) de la siguiente manera:

La demostracin anterior es solo un caso especial, restringido, de una mucho ms general que vale para todo

tringulo (no solo para los tringulos rectngulos); Y esta es la "proposicin I.41[5] de Euclides, la cual se basa en

el concepto ms general deparalelogramo y no se restringe al rectngulo. Dicha proposicin I.41 extiende la validez

de la ecuacin (A1) a todo tringulo.

rea mxima

Un tringulo de mayor rea que se puede inscribir en una semicircunferencia es el que tiene cada cateto igual al radio

r de la semicircunferencia y la hipotenusa coincide con el dimetro. Es pues un tringulo rectngulo issceles. [6]

En tres dimensionesUn tringulo rectngulo que gira, teniendo como eje uno de sus catetos y como generatriz su hipotenusa, genera un

cono de radio igual el cateto no axial y altura igual al cateto axial.

Si dos tringulos rectngulos semejantes engendran dos conos, en las condiciones del enunciado precedente,

entonces sus volmenes son proporcionales a los cubos de cualquier par de lados correspondientes. Tambin las

reas son proporcionales a los cuadrados de cualquier par de lados correspondientes.

Si ambos conos tienen el mismo eje, y un plano secante que interseca ambos conos genera dos elipses, dichas elipses

tienen ejes proporcionales entre s (es decir, son semejantes).

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Elipsehttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Secci%C3%B3n_c%C3%B3nicahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Cono_%28geometr%C3%ADa%29http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Generatrizhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Movimiento_de_rotaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Paralelogramohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Tri%C3%A1ngulo%23Clasificaci%C3%B3n_de_los_tri%C3%A1nguloshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Diagonalhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3ARectangle.svg

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Referencias[1][1] Hofmann: "Historia de la Matemtica" (2003), Limusa Noriega Editores, Mxico, D.F. pg. 11

[2][2] Nichols. Palmer. Schacht: Geometra Moderna, Cecsa Mxico dcimatercera impresin (1989)

[3] Esta nota se basa en Matemticas, publicacin de la revistaLife

[4][4] lgebra y trigonometra con geometra analtica ISBN 968-880-222-0

[5] Euclides Los Elementos, proposicin I.41 "Si un paralelogramo tiene la misma base que un tringulo y est contenido entre las mismas

paralelas, el paralelogramo es el doble del tringulo".[6][6] Se usa la funcin rea, A(x)= 2rh, donde la altura h es media proporcional entre x y (2r-x), proyecciones de los catetos sobre el dimetro

Sitio web:Disfruta las matemticas(http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/

triangulos-rectangulos.html).

Enlaces externos

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Fuentes y contribuyentes del artculo 8

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