Travail Energie Cours
Transcript of Travail Energie Cours
Travail et énergie و ا����� ا��
A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST
196
1/������� � � ��:(travail et puissance)
��������:(puissance)
������:����M���� �� �� ���� v����� ������ R.��������� ����� F
���� ���� ��� �M������� �� � !� �" :
)1.6(
�� ��:������:����� !��F
��� &�� ��� t���� �� '�� ���� ������ M�" M������ (�) OM r=
����� ��� &�� � 't dt+���� �� 'M�" 'M
������ (�)OM' r dr= +����� � �!����� *�� ����� � ���� �+ ':
)2.6(.dW P dt=
��� � ���� ���� , :' ' .OM OM MM dr v dt− = = =
������ ����� ������ � �
����� !�� ���� -���� �)�+ �F�
./���� !����0� !�1 �� d�:)3.6(dW = F.dr
� �
� ��& 2� � �+ !���� �1 � 3������4.)4.6(. .cosdW F dr θ=
� �
�1 � 3�:.cos TF Fθ =.��� �)�dr ds=��+ � !��&� � � � ���� 5&� !/ � :
)5.6 (.TdW F ds=
VI/&و ا+ـــ*ـــ()ـــ ا+ـــ0ـــ/ـــ.TRAVAIL ET ENERGIE
ABr� θ
F�
TF�
M T�v�
O
'M
C
!�4��1.6
.-1
watt(W) P N F P F v
m.s v
←← =
←
� �
Travail et énergie و ا����� ا��
A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST
197
���� �1 .1!����0� 5 �� 6"� ����� ���� �" ./���� !����0� 2� � .��� !.�� �&� !����� !�� ��A)�� &�� �"At(5��B)�� &�� �"Bt(!�� 5&�
5� ����C�� �� !���� !�4 5&� �&��� !���� ���� 5&� !/ � ':
)6.6(
������ ���� 7� �/���� ��� �� �"F�5&� !���� 8���� 9���:�� � 4�� ����;
�<" 8���� �� :)7.6(
�=���� !����0� 5&� �� ����� =���� �+ !��� 0 ����)/ 2θ π=. (��� �:!�4�� 5&� !;���� 8���2.6 .��� 5&� !���� �+ � ����; =�> ���? ���� ��"1.
P�
F�
f�
N�
θC
v�
NF�
+
����s��� !����� 8:����� !�� F�:. .cosFW F s θ=�
�������� ����� !�� :f�
.fW f s= −�
!�;�� !�� P�:0PW =�
�������� ����� !�� N�:0NW =���
��� �� ��@� �� �� �� �" �������� ����� !�� ����)!�4��3.6.(
. .B B
TA A
W F dr F ds= =∫ ∫� �
. .B B
TA A
F F W F ds F ds W F s= ⇒ = = ⇔ =∫ ∫
Travail et énergie و ا����� ا��
A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST
198
�(��� �)�, ,x y zF F F���&� �&������ (������ �+ F��, ,dx dy dz(������
./���� !����:� A��4� �&������dr ��<" :
)8.6(
���� ��� ����:=�> � �� ����� 8��� ��� �)�1 2 3, , ........ ,nF F F F� � � ����&/ �
RF��+ =���� 9)+ !� !�> �� B����� !���� �<" :
)9.6(1 2 3
1 2 3
..............
. . . .......... .
.
n
n
R
dW dW dW dW dW
dW F dr F dr F dr F dr
dW F dr
= + + + +
= + + + +
=
� � � �� � � �� �
��� 1.6:!�4�� �" ��� ����>�4 (�;� C��� � ��� 8B3�� !���� , 1)4.6 (� ���3cm*���� (��; �1 ��&� A�� .1 �� � 150 .k N m−=.�����:
2
02
1. .2
2.25.10
x
F kx dW kx dx W k x
W J−
= → = ⇒ =
=
∫
��� .62:��>2 ( )F t N=���&�� ���� 5&� ;D� 2kg.!�> �� B����� !���� , 1��� ��� �" ���� (��� ������ �1 ��&� 5��?� ����;�� !3� ����� 9)+.
�����:!���� ���� �� 6&��� :.W F dx= ∫
!����0� E�� � ��B�� ��0 � �"�� ����� �1 �F .�� ������ �� � 0 �)� ���B�� ��0 � !����0� .��B�� ��0 � ���� 0�1 , �:
12
0
12 2. . )2
-1dv tF=ma F=m t v dt v t (m.sdt m
⇔ = ⇒ = ⇒ =∫�� ��
��B�� ��0 � ./���� !����0� �� G��� �H� �:
F�
T�
+!�4��4.6
. ( . . . )B B
x y zA A
W F dr F dx F dy F dz= = + +∫ ∫� �
Travail et énergie و ا����� ا��
A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST
199
2 21 12 2
dxv t dx t dtdt
= = ⇒ =
� ��� C��� � !���� ���� 5�dx����� ��&/�� ���� ������� :1
2 4
0 0
1 1. 2 .2 4
x
W F dx t t dt W t W=0.25J= = ⇒ =∫ ∫
��� 3.6:���&� ���� ����22F xyi x j= +� � �.����� !�> �� B����� !���� , 1F
�
���� �� !���� �� �� ��(0,0)������ 5� (2,0)� ��� !�� 5&� OX.
�����:� �&� B��� I&� 6"� !���� ������ �1 � 3� (������� !3� ��OX��� ����
0 0y dy= ⇒ =.���� !�� B����� !���� ,� ���� ��; �� �:
2( . . ) (2 .0. .0) 0x yW F dx F dy x dx x W= + = + ⇒ =∫ ∫
!����:� A��4 5&� �� ��� ����� �? ����� ��� �)+ �:2.
0.
F x jF dr W
dr dx i=
⇒ ⊥ ⇒ ==
� � ���
2/������ �����:(énergie cinétique)
�1 ���� ���1 TdW F ds=.����&� �� J����� ������ ������ 9)+ �� �>3:)10.6(
./���� !���� ���� !����:)11.6(
7� av������ �" I ���� �� A�Bv������ �" I ���� �� B.������:���&�� �� �� ����� ��� �� �>���� m��� &�� ���� � 4 �v�+
������:
.Tdv dsdW F ds m ds dW m dv dW mvdvdt dt
= = ⇒ = ⇒ =
2 21 12 2
B
B AA
W m vdv W mv mv= ⇒ = −∫
Travail et énergie و ا����� ا��
A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST
200
)12.6 (212cE mv=
�1 ��� �p mv=����� ���� :
)13.6 (2
2cpEm
=
������� ����� ��� !:(théorème de l’énergie cinétique)
"!�:"=���� �&/ � !�� .��� ���� � ��� �� �� ����� ��� �� �>���� �" �L���������� ���&� ����&� ����� &�� ".
)14.6 (c i ci
W E W E= ∆ ⇔ = ∆∑
��� .64:��@� ��:� ���� �+ ��0v8�� 5��� ���� 5&�?� � � ����>�4 ������� ����� ��&� M&�� ���hNC?� O� 6�" )���� !����(����� 0.(
���:*&�; �+ 8��� ��� ���� ���� � � ��� �����P�:
zh
Z0v =
0v�P�
RرضBا
X
( )M t
O
0 0 2. TmMP m g GR
= =
2TmMP mg G
z= =
2 2
02 20 0
P g R Rg g ; g=-g.kP g z z
= = ⇒ =��
z
��� �� �>���� ���� 6��� :cW E= ∆
2 20
1 1 . .2 2
R h R h
R R
mv mv P dz = mg dz + +
− = ∫ ∫� �� �
� 5/>1 M&�� 8��� ��� *� �&0v =:
Travail et énergie و ا����� ا��
A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST
201
22 2
0 0 02
2 00 0 0
1 10 . .2
2 .1.
R hR h
RR
R h
R
Rmv m g dz g Rz z
g R hv g R vz R h
++
+
− = − = − −
= − ⇒ = +
∫
3/� ��#� $� � $ �#�% � ��#� �� � &��:)les forces conservatives ou dérivant d’un potentiel(
������:)� ���� �� ���4� ��> �1 ��"� � ���1 ��> �� !��� 3��� ��&�� ��� ���� � 63��0� ���� ��� !�� ��� !����0� ��� ���� ������ I&��� ��
!�/���.����� ��� �)�C�<" ��&L� :
)15.6(
�#�� ��� :7� ��B���� (��;� � �&�� �"OZ5&�?� � � *����� !�>�4�� �+ �<" )16.6(
��B������ (��;� 0�� ./���� !����0� ���� !������
. . .dr dx i dy j dz k= + +�� ��
J����� ���� :.dW F dr mgdz= = −� �
������ ��� !����� !�1 �� !���� �1 =� �� ����� 9)+ �&�����A
�B��" ��+�&�� ���� � ������ I&���� 6&��� 0:2
1
2 1 1 2( ) ( )z
z
W mgdz W mg z z W mg z z= − ⇒ = − − ⇒ = −∫
! � ��� 8� �� !�;�� !�> �� B����� !���� �<" .����� EP� �" �������� (��� �)���"� � ��> !�;�� �1 5&�.1 2 0z z W= ⇒ =
��"� � ��> !�;�� �1 ��� ���� �)�+ �.
0 0C
C , W= F.dr W∀ = ⇔ =∫� ��
P F mgk= = −�� �
Z
Ok�
P�
g�
.EF+6.6ا
Travail et énergie و ا����� ا��
A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST
202
��� 5.6:������ !���2 2( ). 3 .F x y i xy j= − +� � ������� �� (0,0)A������ 5��
(2,4)B�� �� !� 6"� ����2y x=�2y x=.N ��"� � ����� 9)+ !+ �����:��' (�� � )&� 2y x=:
2 2
2 2
2 22 30
0
2 3 . 6 .2 . . . 2 .
. ( . . ) ( 3 . 12 )
9 3 ;
x y
y x F x i x jdy dx ; dr=dx i dy j dr=dx i dx j
W F dr F dx F dy x dx x dx
W x dx x W=24J
= ⇒ = − += + ⇒ +
= = + = − +
= =
∫ ∫ ∫
∫
� � �� � � �� �
� �
*!��� (�� � )&�:2y x=:2 2 4 3
2 4 4
222 4 5 3
00
( ). 3 .2 . . . 2 .
. ( . ). ( ) 6
1( 5 )3
x y
y x F x x i x jdy xdx ; dr=dx i dy j dr=dx i xdx j
W F dr F dx F dy x x dx x dx
W x x dx x x W=34.6J
= ⇒ = − += + ⇒ +
= = + = − +
= + = + ⇒
∫ ∫ ∫
∫
� � �� � � �� �
� �
����� �<" *�&� � ������� �F �3����F��"� � �F ��� �� 9)+ �" �.
4/�! ��� �����:(énergie potentielle )
������:����> ��� !������ ���� 7� � '(��;� � ��� �+ ������� �>�������� ��&��� ����&� 8 ���� !���� .��� !�/��� � 63��0� �� ���)��D���
��� 5�� �@� ��0� ��������@����� ��.(��� �)�F��<" ���� �� ���4� ��> :
)17.6(
��� �>���� ���� � � ��� 9)�R�� ��� 5�� ��@� ����� ����)0pE =.(��� �>���� �������pE����� �"��� (��;� �"G�� .
�$�� ��+��*�,�-��! ��� ����� � � �� :(Relation entre différentielles du travail et de l’énergie potentielle)
.A B
B
p pA
W F dr E E= = −∫� �
Travail et énergie و ا����� ا��
A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST
203
��� �� ������ �)�( )pE z mgz=�+ ��&��P� �<" :'( ) ( ). ( )p p pdE z E z dz dE z mgdz= ⇒ =
�1 !�;�� !�� ,� !�;�� ������� �" ���� ���1dW mgdz= −.������� �������������� 5�� !/� ����/����:
)18.6(
�.��� �! ��� �������#� ��#�:(énergie potentielle de quelques champs de force)
���,�' ���/���� 0 �! � �#�� *& � ���:(particule dans le champ de pesanteur terrestre uniforme)
��� �)� z��� �>��&� � ��� )��D��� C?� O� �� ��� � ' �&��� �+ �<" ' �����+ C?� O�� ������ ����&� ������� �>����:
)19.6(pdE dW= − ⇒
'������ ��� ������ (&���� �)� ������ ��� �� �" �, � ������ ���� ��� ����� '������� �>���� �<"
������� :
������ �>���� �<" 6 1 �P/� ���@� �+ ��� ��� ������� ��� ������� �L� .
��!� ��#� ��,�1 � ���:(particule soumise à une force élastique)
*���� (��; ' C��� �" ���;� ������ (��� �)� kS�" �+ � *��� �0l�l*��� �&� ��� , � �&���� 9)�� ������� �>���� �<" ' ������� !� � �+�:
)20.6(2 21 102 2
0
. ( )x
p p pdE dW ; E kxdx E k x k l l= − = − − ⇒ = = −∫
pE mgz=
( ) ( )p pdW dE z dE z = -dW= − ⇔
1z
2z
A
B
(�)*+++++0pEا�/+++++.-ي ا� =
�� �7.6
21 2
2
0( )
01 p
p1 p
z z EE mg z z
z z E
> ⇒ >= −
< ⇒ <
Travail et énergie و ا����� ا��
A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST
204
�$�����2� �#� *& � ���:( particule dans un champ électrostatique)
�������� !� �� �1 ������L������ E �" � �/�E����� �� 4 �� ������
Q� ���� �" � ������� O(��;� T� ( . )rOM r u=������ �������� ��� :
)21.6(
�� 4� ������q���&� ���� ���<" !� �� �)+ �" � ����� :
20
1 .. .4
Q qF qE urπε
= =� � �
������ (�) ������� �>���� �� ���4� ��������� ����� �1 �� 6� ��� !��� ��:
)22.6(
�� 4� ������� �>���� �<" ������ ��� �� �" �q���� �" ������ !� �" � ���� ( )M���� ������ 7� �+ ����( )V M��� �� �+ ( ) ( , , )p pE M E x y z=�������
!�4�� 5&�:
)23.6(
��2���� ��#! �#� *& � ���M:)particule dans un champ d‘un point de masse M(
��� �)�g gk= −���������� �������� �>���� ���� 5�� !/��� �������� !� �� ��
C?� ���� 8������ ���)���� !� �" � ������ ����&�:
)24.6(
0
1 ..4p
Q qErπε
=
0
0
1 ..4
.1 .
4
p
p
Q qEr
E qVQVr
πε
πε
=⇒ =
=
( ) 20
1 . .4M r
QE urπε
=� �
0
14
p
Q MmMq m E G
rG
πε
→→ ⇒ = −
→ −
Travail et énergie و ا����� ا��
A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST
205
������ ����� ���� �@������ !� �� �� ��@� ���������)24.6 (!�4�� 5&�:
)25.6(
)26.6(
V:5�� ��+ B������)���� ��� ������ ���" ��� ���� ������ �" m.
5/�2! )�%� *�� �! ��� ����� $ ��+�! � &�� � ��#� �#� ����� :(expression du champ de force conservative à partir de l’énergie potentielle dont il dérive)
P�� �" �� 4 �� ������ �1 !����� ��&����� ��.cosF θ5 �� 6"� ����� ���� �+ !����0�ds��� ��� �)<" ' *�&� � U( , , )pE x y z���� 5&� !�/ �� ������ F
�6"� ���4��� ,� � I�) � ��� .1/pdE ds−5�� ���� ���+���:� ���4��� ��� &�pE.
�H� ,��� �1 ���� 6�� ��� ����:
)27.6(
�1 ��&�( , , )pE x y z,��� ��&��P� �<" (��L�� 73; (�) ��� �+ :
)28.6 (p p pp
E E EdE dx dy dz
x y z∂ ∂ ∂
= + +∂ ∂ ∂
�������� �������)27.6 ( �)28.6 ( ����&� ����� ���� ��B������ (��;� :� 5�� !/���( , , )pE x y z:
)29.6 (p p px y z
E E EF ; F ; F
x y z∂ ∂ ∂
= − = − = −∂ ∂ ∂
����� ���� �/��� ����� �:)30.6(p pF gradE E= − = −∇
������� �
���� $� ��,��� $3��! ���F�$� � $ �#�% 4�� 5
MV Gr
= −
.( . . . )
. . .
p
p x y z
x z
dW dE
dW F drdE F dx F dy F dz
dr dx i dy j dz kF F F F
= −
=⇒ = − + +
= + +
= + +
� ��� ��
� � � �
pE mV=
Travail et énergie و ا����� ا��
A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST
206
��� �� ������ ()30.6 ( �1 �� �D��� ������" ��"� ��� =���� ��� �" ��� � ������ J � ��� pE� ��� 8� ��0 . V� ��� 8� �� ����F
�:
)31.6(( ) 0 0p pF gradE rotF rot gradE rotF= − ⇔ = − = ⇔ =������ ���� ���� ������ ����� �� � �
������ 5�� . V� ,� �� :( ) 0y yx xz zF FF FF FrotF )i-( )j+( k
z y z x y x∂ ∂∂ ∂∂ ∂= − − − =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
���� � �� � �
�P�� ����� �1 (�;�� ������� (0 ����� �� 6� �� �1 �)� F����� �� ���4� :
)32.6(
��� 6.6:��� $� �� $22pE x xy yz= − +.����� ���� ��1F���B������ (��;� :� �&�� �" .N ���� �� ���4� ����� !+
���:������ !3L��� I�) � ����� (���� �� 7 ��)29.6: (p p p
x y zE E E
F =-4x+y ; F =x-z ; F yx y z
∂ ∂ ∂= − = − = − = −
∂ ∂ ∂
�����4�� ������ �<" *�� ��+ ���&� :( .F 4x+y).i+(x-z).j-y k= −�� � �
�1 �� �H� 6� �� F������� �� ���4� ( , , )pE x y z.1 0rotF =
���� ��:1 1; 0 0; 1 1y yx x z zF FF F F F
y x z x y z∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂= ⇒ + = + = ⇒ = = ⇒− = −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
���� �� ���4� ����� !�P���.!������ � ����� �� �� (��� �)� ��������� ����;� :��θ6"� !����:� �<" '
���� �/� A��4�.��� d.��� . ����� !����:� �rdθ)!�4��8.6.(
y yx x z zF FF F F F ; ; y x z x y z
∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂= = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Travail et énergie و ا����� ا��
A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST
207
O
F�
F�
Fθ
�
A
'Adr�
dr rdθ
dθ
C
θ1p p
rE E
F ; Fr rθ θ
∂ ∂= − = −
∂ ∂
. .rdr dr u rd u θθ= +� � �
(33.6)
�����8����� (���� ��+�� �� � ���� �1 ED� 0 ��P�� 9)+ :���!���' 7��������( , , )r zθ�+ ./���� !����:� 7�
. . .rdr dr u rd u dz kθθ= + +�� � �
)34.6(
������� 7��������( , , )r θ ϕ/���� !����:� 7� �+ .
. sin . .rdr dr u r d u rd uθ ϕϕ θ ϕ= + +� � � �
)35.6(
6/����!��� � �����:(énergie mécanique)
������:�>���� A���� .��� � � �� � �" �� �� ����� ����������� �>���� ������� �>���� � ��� ��:
)36.6(
+� $:�*���� (��; C��� �� ����� �&��� ����������� �>����k*������ �
0l l x− =�� &�� �" t���&�� ���� �;D� ( � m��� &�� ���� �v�+ :2 21 1
2 2ME mv kx= +
1; ;p p pr z
E E EF F F
r r zθ θ∂ ∂ ∂
= − = − = −∂ ∂ ∂
1 1; ;sin
p p pr
E E EF F F
r r rθ ϕθ θ ϕ∂ ∂ ∂
= − = − = −∂ ∂ ∂
( , , )M c p M c pE E E E E E x y z= + ⇔ = +
Travail et énergie و ا����� ا��
A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST
208
�8� ��� ��� �" :212ME mv mgz= +
�����!��� � ����� �-�! ��� :(principe de la conservation de l’énergie mécanique)
��"� � ��> !� �")���� �� ���4��� .1 (��B�� !3� ���P � ����������� �>���� teC0+++++++1�2 : U M c p E E E= + te= C )37.6 (
8� �� �+�L� �1 .1 :0ME∆ =.��� ��� �� �>���� �L� �<" =�1 ����� �1 ������� �>���� �L�c pE E∆ = ∆.=�1 ����� �1 :���>�� �<" ��������� ���B�� �&���� (��� �)����P � ����������� .
=�> !���1 A���� .��� ����������� �>���� �" �L��� �<" (����� � ��� ��� �" I��� :�)frottW∑:(
)38.7 (M frottE W∆ =∑
��!� ��� �#� *& � ��� ����:(cas d’une particule dans un champ de force élastique)
!�4�� !;�� 9.6 �&�� 8� �� ������ ��������� �&�� ( )m*�&�� C���� 8 �&� *���� (��; � �&���( )kS�" �+� *��� �0( )l.
m
A��� ���� ���� 8��� �� � !� �" .F kx u= −� ��0x l l= −7� l!��
8��� !����� !3� �� �� � �" C�����.������ �� 8��� !����� ��A������ 5�� B����� ���� :
, , . . .B B B
c c B c A xA A A
E E E F dl F dx k x dx∆ = − = = = −∫ ∫ ∫��
)39.6 (2 21 1. .2 2c A B pE k x k x E∆ = − = −∆
�>���� ��P �� � �� , ,��� ����������� :
Travail et énergie و ا����� ا��
A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST
209
2 2 2 2 te, ,
1 1 1 1. . . . C2 2 2 2M A M B A A B BE E k x m v k x m v= ⇔ + = + =
5&� �L��8��� � ��� ���"1 )x a= −(�� �>3���� ���� *�B��)0x =(8;��@� ��� �� �� � *�D4� *���.������� ��� ����� ������ �� � 8��� B���
��� ��x a= −�x a= +.!�4�� !;��10.6 ��0 � ������� �>���� (��L� ������C����� )0x l l= −.( ��&;�
��� �� �>���� (��L� ����� ��� !�4�� EP� 5&�.
xO a+a−
ME
XpE
cE
212 .k a
teME C=
pE cE
�� � !� �" �1 � 3� )40.6 (2
c1E ka2
tepE C+ = =
� ��� �>�� !�4 5&� *���� ����� �>�� !�4 5&� �&���� 9 ��P� �� E����O� /.
��� 7.6:��@� ��� ��� ' ��� I��0Av =���&�� '1m g=���� �� A��� �+�> �/� �� !�� �1,25R m=������ 5�� !/�� B��� ' 14Bv ms−=.
)!�4��11.6.((�;1=���� 9)+ !�� > � I��� � =��� ���� ����� 9)+ �1 .)�D�210g ms−=.
Travail et énergie و ا����� ا��
A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST
210
A
B
CR
m ( ) ( ) 0p pE A E C= =O
���:����������� �>���� ��P �� 1 � 6��� :�7������� 8��9 *&:2 11
20 0 5M B BE mv mgR v ms−∆ = ⇒ − = ⇒ =
3��������� ��� 4 �� ��1 ��&� ������ � 4�� �1 �:'B Bv v> �V� �� �)+
(����� � ���.�7������ �����:M frottE W∆ =∑*�&�� :
' 2 312 4.5 10 0M frott B frottE W mv mgR W J−∆ = = − ⇒ = − × <∑ ∑
������ *#&��� ::2�:(oscillateur harmonique simple)
������:�B��� !� ��� �� � 8��� �&�� !� �+ ����� ��"����� B ���� .? ���� 0� ��� �B��� ���� )(����� :� !;� (��;� .? 0 �.
������ ��&��P��� �� ������ ���� � �� ��:20 . 0x xω+ =��
!�4�� �� �+ �� ����� 9)�� 8���� ! �� �1 ��� :cos( )x a tω ϕ= +
�::2� ����:(énergie de l’oscillateur)
!�4�� !;��12.6 )�(���� ���� )*��� � �����:� 8� � �����l.(����
�&���� m��&�; ' �����&� P������ �T
����&� .����� !�� ����� ���� �� 6�4� !�;��T��" ���� 5&� . ��� *&�� �1 ��� 8� ��
�� � !� .������ �� ���� ��"?� =����� ������� �>��&� � ��� )�D�O.!�1 �� ����B&� ,����� �����θ:
( ) ( ) (1 cos )pE mgz mg OH mg CO CH mgl θ= = = − = −
�+ ��&� ������ ��@� �� ���� ���� :.v l uθθ=� ��
Travail et énergie و ا����� ا��
A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST
211
����12.6ا
Z
O
αθ
H m
P�
T�
C
l
z 0zN
)ب(
Z
O
αθ
H m
P�
T�
ru�
uθ�
C
l
z
)ا(
E���&� ����������� �>���� ,� �H� ������)�>��&� !�?� !������� 5�� �� �1 : ()41.6 (2 21(1 cos )
2te
M p cE E E mgl ml Cθ θ= + = − + =�
�� ����� 8��)41.6(5&� 2ml'8;���20
gl
ω =�5&� ����������� �>���� ���� O�/������� !�4�� :
)42.6 (2 202 (1 cos ) Kθ ω θ+ − =�
7� 2
2. teCKml
=��@� ��:� ��4�� 9 � (��; .��)�1 �)� 3;�"0 0θ =�!�1 ��
0θ α=!�4�� , � ��� �� 9)+ �" '11.6),(:2 2
0
2 2
10 ( )2
1(cos cos )2
M p cE E E mg z z ml
mgl ml
θ
θ α θ
∆ = ⇒−∆ = ∆ ⇒ − − =
− − =
��
��
�� ����� �<" ��4�� 9)+ !;� �"�)42.6(O�/� :)43.6 (2 2
02 (cos cos ) 0θ ω α θ+ − =�
������ ����� :(équation du mouvement)
�� �� �� �������;�� �� �� �� ��&��P� �� ��� �+ .6���4�� ���&� !/ � ������ �� �����)43.6 (��B&� ������:
)44.6 (20 sin 0θ ω θ+ =��
Travail et énergie و ا����� ا��
A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST
212
�(�B�B�+� !�1 ����� ���;<)( )sin 10radθ θ θ⇐ ° ≥�(O�/� �� ����� �<":
)45.6 (20 0θ ω θ+ =��
�+ �� ����� 9)�� 8���� ! ��:)46.6 (cos( )tθ α ω ϕ= +
����� ����� ����� �� �� �1 .10ω�+� �:
)47.6 (0
2 2 lTg
π πω
= =
�� ����� 5�� !�/��� ������)44.6 (I� ��� ����> �� �>3���P T ma+ =� � �I�) �
������ 9)+ ���<�.���� 5 ���� 5&� ���?�:20sin sin 0mg mlθ θ θ ω θ− = ⇒ + =�� ��
���� �� 3� -���� !�;��� �)+ �� �:5��?� �� �� �� ��&��P� �� ��� -���� �� ( )E�� �&��� (�� ���?� 9)�" '
����;�� �� �� �� ��&��P��� (0 �����( )DI� ��� ����> �� ��� ���� �.�" !��� �1 ��� �� 9)+( )E(0 ���&� !�?� !������ �+ ( )D).1( )D5��?� (���4��� �+
�� ���&�( )E.( ����� '��� ���� ��� �� �" �� )43.6(�� ���&� !�?� !������ �+ )44.6.(
7/�<7� ���� 0��:(collision de particules)
������ �� � �-�!=:(conservation de la quantité de mouvement)
��� ����� (��L� �+/��� (�� 5&� (1� �)� �� / (�&� ���1 �&�� �� !��� � !�> �� ' ���� &�� ��� �>���� � �� �� ���� �" ! ��� 7 � 7� ' �� /�� �� ��
/����� �&���.
���� 1p��2p�!�> ������� �� �� ����� � 8� �/0�'
1p��'2p� �� �� �� �����
!�4��13.6
'2p�
'1p�
2p�
1p�
�++++5�67ا�:+++++9م
+++++++;�9+++++�1
Travail et énergie و ا����� ا��
A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST
213
� �/0�8.���B�� �&���� .�� ������ (��;D��� ���&���� ���) �������� ���1m�2m7 �
���� 8 /�� �1 !��� �)� � ��L/ � � S�P�� �� � � ����� �" .��P � ��� �� �>���� � �� �� ���� �<" ���B�� �&���� �1 ������ .����� ����:
)48.6(' '1 2 1 2 0p p p p Cte p+ = + = ⇒∆ =
�� � � � �
)49.6(' '1 1 2 2 1 1 2 2. . . .m v m v m v m v+ = +� � � �
$������ �� *���%� >���� ��.$� � 0�<�:(choc élastique)
���� (��� �)� ��� ������ ��� 8 /�� ���� ��&��� ��� �� �>cE�&��&� 8 �/��� 2��;1 ���P �.8 /�� �� �� �� 0 �������� .
� 8 /�� !�> ��� �� �>���� 5�� ��B� )�WcE� �W'cE� 8 /�� ��
�>3��� �)��2
2cpEm
=����� ���� :)50.6(' 0c c cE E E= ⇔∆ =
)51.6(2 2 '2 ' 21 2 1 2
1 2 1 22 2 2 2p p p pm m m m
+ = +
)52.6(2 2 ' 2 ' 21 1 2 2 1 1 2 2
1 1 1 1. . . .2 2 2 2
m v m v m v m v+ = +
7���� �� * ��� >���� �� .������ � $)51.6 (�)52.6 (��� $���&��0��<���� �#��� ��A� B�.
��� .68:���&�� �P�)>800g��� ��"1 8���� �� 6"� I �� 11ms−���� �" + ,�/��
*�&��800g.� ��/� ��� 6"� ,�/��� � ��� I �� 6"?� �30− °.�/8� �/:� �� �P�)��� �� � 4 � ��� .,/8� �/:� �� � ��� �� � 4 .
�����:�/��� 4 ,� � �P�)��� �� ��� � � :!�4�� ��1)14.6(
Travail et énergie و ا����� ا��
A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST
214
2 '2 21 1
2 ' 2 21 21 1 2
1 2
2 2 2p p p
p p pm m mm m m
= +⇒ = +
= =
7&;��� �)�OAB@�> 8⇐!���� A3�?� .B���� :90 60α β α+ = °⇒ = °' '
' 11 11
1 1
cos 0.50p v v msp v
α −= = ⇒ =
1p�
'1p�
2p�
1p�α
30β = − °O
A
B
,/� ��� �� � 4 ,� :1
1 1
cos( 30 ) 0.87mv v v msmv v
−− ° = = ⇒ =
�$��� 0�<�:(choc mou)
��� �� �F ������ ��� 8 /�� ���� �&�� ������ 8� �/0� �� �� �� �)� �������� EP� ���� O�/�" � ��.
��� �� 9)+ �" :(��� �)�1p��2p�� 8 /�� !�> ���&/P�� ������� �� �� ����� (���'p���� �� ������&� �� �� ��������� ������ 8 /�� �� :
(53.6) '1 2 0p p p Cte p+ = = ⇒∆ =
�� � � �
)54.6 (2 2 '21 2
1 2 1 22 2 2( )p p pm m m m
+ =+
)55.6 (2 2 '21 1 2 2 1 2
1 1 1. . ( )2 2 2
m v m v m m v+ = +
��� 9.6:���&�� ���� I ��5kg��� 120ms−���&�� ���� �� �� ��� 8 �/�� 6kg��� I �� (��� 115ms−.���� 8� �/0� ��� �)�:�/N �&��&� �� �� ���� �� ,/8� �/0� �� �������� �� , 1.
Travail et énergie و ا����� ا��
A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST
215
�����:�/1134.5 . .kg m s−,/112.23 .m s−
8/�! ��� ����� 7��!�! �%��! :(discussion des courbes d’énergie potentielle)
!�4�� 5&� ��&;�15.6 ���� �� � 1 �� ��� �" ��P�� �� �� )8���� 6"� 8��.(����� � 4 ���� ,���F�!�4�� 5&� :
pdEF
dx= −
�1 �FpdEdx
5� ���� !�� !;�� ( )pE x.� � ��B�� 5� ���� ���� �� ����� ���� !����!P?� � � ����� � �/>���� 5� ���� ���� �� ���� ���� � 5&�?� � � ����� .�
�+ ����� �<" �)F�)!��&� ����� ����4� ���� ���� �+ �(����� �1 ���� ����
�� ������ � � ����� � ����� ���� � � ��B�� ������� �>���� ���� �� ���� � � �/>���� ������� �>���� ����.!�4�� 5&� ��� �� 9)+ �� ��15.6���"1 8��� !�4�� !P1 6����� �.
( )pE x
xO
(1)(2)
(3)
(4)
pE
A B
C D F G
HI
K
MEpE
cE
1M
2M
3M
'A 'B-++++>?ا�A/++++++++�ر
-++++>?B++++++++AAا�
-++++>?B++++++++AAا�
-++++>?ا�A/++++++++�ر
Travail et énergie و ا����� ا��
A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST
216
�4�� �"��� �)� ����� �� �� ���� :0c M pE E E= − >.���"?� (�������� !;���P&��� (0� �" ����������� �>����.
�4��' �����:8����&� ��"����� ����������� �>����)1(5� ���� ���� .)��( )pE x
������ �"A�B.���&/�P�� ��� B��� ������Ax�Bx�F ���� �1 �F U���� 5&� �����B�� 5&� �A�? 0c M pE E E= − <!� �� �)+� .
���!��� �����:8����&� ��"����� ����������� �>����)2(5� ���� ���� .)��( )pE x�" ���� ��1, , ,C D F G.�&� ��B�B�+0� �� &� ������� ������� I��+��� :��� ���&/�P��Cx�Dx���&/�P�� ���� 'Fx�GxB�B�+0� ������ 0 ������ �1 �F U
�&� ,�� *�? =�1 5�� ����� �� BP��� ����� 0 � ��������� = � �" 0� ��> �� �������DF!� �� �)+ �)��� �� �>���� ������� 9)+ �" �?
����0c M pE E E= − <(*��� ��� �����B�� ����� �� �� 7� ��������� :���$� ���.
������� �����:8����&� ��"����� ����������� �>����)3.(�� 8�� �� �� �������� �,H I.
������ �����:8����&� ��"����� ����������� �>����)4.(� ��B�B�+� �� 8� �� �� �� !���� ������K����� 0 �� 5��.
�$:��� >,� :(positions d’équilibre) ���� �� 0pdE
dx=��� �0F =��� ��L/1 �1 �����1 ���� ������� �>���� �<"
������ �"3 2 1M , M , M.�+ ������� 9)+$:�� >,� .�$��� C��( )pE x���;<� :
�#�� $:��� )�" ��� '3�&> ������ (� � �)�3 1M , M��> �<" ��� �1 ����� '���B��� ���� 5�� �����: ���&� ;V� .(
�$��� C��( )pE x�� �� :�#�� ��9 B� )�� $:��� )������ (� � �)� �" ��� '3�&>2M���� �� �+ ���: ���&� ;V� ��> �<" '���B���.(
Travail et énergie و ا����� ا��
A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST
217
�������, , , , , , ,A B C D F G H I�>���� ����� 5�� .�1 ������ �>��� ������ 9)+ �"���� 9���� �� �L�.
9/� &�� ��;� ��#�)$� � $ �#�% ��;� ��((forces ne dérivant pas d’un potentiel)
"��"� � �F =�> I��+ ������� �.!�;� I��� :� ��>I�) 5&� .I��� :�" ��&L� ���� ��� �� 5� ������ I&���� 6&��� *&�� � !����0� ��@� E���� �>0B�:�
�� ����� � ��� �� E�� !���� �<")30.6 (� ��/ �F.6&��� ���� ���� �� E����� .)�� � �@����� �" I��� T� ������ �?� I�)� �
����� �� !��� �+ ����� ����. �� �X �" ��"� � �F =��� � ��"� � =��� ����� ���� �1 ����� ����.
��� �:�>D� *& �#�� � ���:��&�;� ����� ��"P
���> � ���� �� 6�4��� ���� �� ���4� �L�� I��� :�.
�$� � E�!� *&:A��:� ���� ����� ������.F kx i= −� ���"� � �+ �
�>0B�:� I��� :� ���� I�)� ���� �'F Cv= −� ��1 ��&� ��"� � �L��
���?� 9)+ !�� :2' ' . . ' . . 0W F dr C x dx W C x dt= = − ⇒ = − <
� � � �
���� P� �� �)+ � �&���� �� �>���� Y��� (����� :� �1 �+ ������ ��4:� !�� ����� .