Tratamiento de los Errores Accidentales · f(v) v. Funciones de Distribución de Probabilidades 13...

Tratamiento de los Errores Accidentales

Clasificación de los Errores: Repaso

2

MEDICIONES ELÉCTRICAS IDepartamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica

Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata

Groseros Sistemáticos Accidentaleso fortuitos

Clasificación de los errores

Errores Groseros:

Son aquellos que por una cuestión inadvertida llevan a una evaluación

fallida de la medición.

Errores Sistemáticos:

Son aquellos que se repiten en magnitud y signo (en igualdad de

condiciones). Se los debería calcular y desafectar con alguna corrección.

Errores Accidentales:

Son aquellos que no se repiten siempre con la misma intensidad y signo

sino que siguen leyes del azar. No se los puede desafectar.

Resumen de cómo tratar errores: Repaso

3



Groseros Sistemáticos Accidentaleso fortuitos

Clasificación de los errores

Se deben detectar y eliminar.

De ser posible se deben determinar y

desafectar de la medida usando

alguna corrección.

De no ser posible desafectarlos

contribuirán a la incertidumbre.

Se deben estimar y

considerar en la

incertidumbre

Valor medido + Corrección ± Incertidumbre

(por errores sistemáticos)

(por errores fortuitos o sistemáticos no corregidos

por falta de alguna información)

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En muchas aplicaciones es suficiente que el valor medido sea el resultado de

una única medición, y que la incertidumbre tome el valor de un Error Máximo o

Límite (como venimos haciendo).

Medición Única vs Varias Mediciones

Valor medido + Corrección ± Incertidumbre

Sin embargo, cuando se quiere aumentar la exactitud del resultado (es decir

acercarse más al valor verdadero) se pueden hacer varias mediciones del mismo

valor de la magnitud en las mismas condiciones experimentales, ya que si hay

en cada medición se cometen errores accidentales que siguen las leyes del

azar es posible que en una serie de mediciones haya por lo menos una

compensación parcial de esos errores accidentales. (Una medición

accidentalmente en exceso se compense con otra medición accidentalmente en

defecto).

5



Si hay una compensación (aunque sea parcial) de los errores accidentales,

puede ser que algún valor representativo de esa serie de mediciones (por

ejemplo el promedio de ellas) sea más representativo del valor verdadero que una

medición tomada individualmente.

Medición Única vs Varias Mediciones

Conclusión general: Varias mediciones en las mismas

condiciones y un tratamiento estadístico posterior tienden a

mejorar la calidad de la medida

Además, si tomamos varias mediciones en lugar de una sola, podríamos

calcular algún índice que nos dé información acerca de la dispersión de los

valores medidos respecto del promedio, y si utilizamos ese índice de dispersión

como incertidumbre tendremos más información que si solo usamos el error

absoluto límite.

¡Para que esto suceda, los errores deben ser puramente aleatorios, lo que

implica que todas las correcciones por errores sistemáticos deben ser

realizadas previamente al tratamiento estadístico!

Conceptos Básicos sobre el Tratamiento Estadístico de una Serie de Mediciones

7



Media aritmética:

Parámetros Característicos de una Serie de Mediciones

Mediana (Mn):

Si llamamos v1 , v2 , ….. vn a las variantes de “n” mediciones independientes

obtenidas en las mismas condiciones se define:

Es el promedio de las “n” mediciones: 𝑣 =1

𝑛 𝑣𝑖

𝑛

𝑖=1

Es aquella variante que divide el campo de observaciones en dos partes iguales.

Es decir la mitad de las mediciones son iguales o superiores a la mediana y la

mitad de las mediciones tienen valores iguales o menores que la mediana.

Si el número de variantes “n” es par se toma como mediana el promedio de los dos

valores centrales equidistantes de los extremos.

Modo (Mo):

Es aquella variante que se repite más veces.

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El Error Límite (E.L.) de una serie de mediciones:


Está determinado por los valores máximos de las desviaciones de la serie.

Si se usa este índice de dispersión para acotar una medida puede expresarse el

resultado como:

10.000+25

-50

𝑣 = 𝑣 −𝐸𝐿+𝐸𝐿

No necesariamente los límites superior e inferior deben ser iguales, por ejemplo se

puede poner:

..LEv ..LEv v

100% de las

mediciones

9



El Error Probable (E.P) de una serie de mediciones:


Se define como aquel valor tal que la mitad de las variantes resultan comprendidas

entre:

Error Medio (E.M.) de una serie de mediciones:Es el promedio de los valores absolutos de las desviaciones parciales.

𝐸. 𝑀. =1

𝑛 𝑣1 − 𝑣 + 𝑣2 − 𝑣 + ⋯ . + 𝑣𝑛 − 𝑣 =

1

𝑛 𝑣𝑖 − 𝑣

𝑛

𝑖=1

Si se usa este índice de dispersión para acotar una medida, la cota de error será

lógicamente menor que al usar E.L.

𝑣 = 𝑣 ± 𝐸. 𝑀.

50% de las “n” variantes

𝑣 − 𝐸. 𝑃. 𝑣 𝑣 + 𝐸. 𝑃.

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La Desviación Normal o Desviación Típica (σ):

Es la raíz cuadrada del promedio de los cuadrados de los errores aparentes o

desvíos respecto de la media aritmética:

𝜎 = 1

𝑛 (𝑣𝑖 − 𝑣 )2

𝑛

𝑖=1

• Para salvar este inconveniente, y como en la

práctica el número de mediciones es acotado, se

reemplaza “n” por “n-1” con lo que la ecuación

anterior se modifica a:

𝑠 = 1

𝑛 − 1 (𝑣𝑖 − 𝑣 )2

𝑛

𝑖=1

• Si se realizara una sola medición (n = 1) la

desviación normal “σ” daría cero y la conclusión sería

incorrecta, puesto que con una sola medición se

estaría diciendo que la desviación es nula (es como

decir que no hubo error accidental) y eso no tiene

sentido.

(desviación típica

para muestras pequeñas)𝑉 = 𝜎2

• Al cuadrado de los errores aparentes, es decir,

el cuadrado de la desviación normal se lo llama

Varianza (V):

11



Histograma de Frecuencias Relativas

Intervalo Lecturas

Frecuencia

Relativa (fr)

(lecturas/total de

lecturas)

(99,65 a 99,75] 1 0,02

(99,75 a 99,85] 3 0,06

(99,85 a 99,95] 12 0,24

(99,95 a 100,05] 18 0,36

(100,05 a 100,15] 11 0,22

(100,15 a 100,25] 4 0,08

(100,25 a 100,35) 1 0,02

Total = 50 Suma = 1

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

99,7 99,8 99,9 100 100,1 100,2 100,3

Es un gráfico que representa como se distribuyen las mediciones que se presentaron

(es decir con que frecuencia se repitieron)

Ejemplo de 50 mediciones:

• Al histograma de frecuencias relativas también se lo denomina histograma de

probabilidad.

fr

Cantidades medidas

Funciones de Distribución de Probabilidades

12



Los histogramas de probabilidades pueden ser

reinterpretados al tomar una función continua que

sea envolvente del gráfico escalonado. Estas

envolventes se denominan “funciones se

distribución de probabilidades”

Así como la media para “n” variantes se calcula con la ecuación vista en la

transparencia 7:

Se puede demostrar que se llega a la siguiente ecuación usando una distribución de

probabilidades “f(v)” (una función continua) en lugar de las “n” mediciones, quedando

esta expresión:

𝑣 =1

𝑛 𝑣𝑖

𝑛

𝑖=1

dvvfvv ).(.

fr

f(v)

v


13



Los histogramas de probabilidades pueden ser

reinterpretados al tomar una función continua que

sea envolvente del gráfico escalonado. Estas

envolventes se denominan “funciones de

distribución de probabilidades”

Así como la varianza para “n” variantes se calcula con la ecuación vista en la

transparencia 9:

𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 =1

𝑛 (𝑣𝑖 − 𝑣 )2

𝑛

𝑖=1

Se puede demostrar que se llega a la siguiente ecuación usando una distribución de

probabilidades “f(v)” (una función continua) en lugar de las “n” mediciones, quedando

esta expresión:

dvvfvvVarianza ).(.)( 2


14



Hay cuatro funciones de distribución de probabilidad que son las de mayor utilización

en el campo de las medidas eléctricas.

Funciones de distribución de probabilidades

más usadas

Distribución rectangular o uniforme

Distribución triangular

Distribución de Gauss

Distribución Student o “t”

Recordemos que en toda función de distribución de probabilidad el área

debajo de la curva es “1”.


15



Distribución rectangular:

12

)()(:

22 ab

VVarianza

2

)(:ba

Xmedia

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Distribución triangular:


3

)(:cba

Xmedia

18

)(:222

2 bcacabcbaVVarianza

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Distribución de Gauss o distribución normal:


.Se utiliza muy a menudo para muestras

de gran tamaño (n>30) porque muchas

mediciones repetidas siguen este

comportamiento.

Se basa en los siguientes postulados:

El valor verdadero de un número muy grande de mediciones efectuadas eniguales condiciones, está dado por la media aritmética de las mismas.

Es igualmente probable cometer errores de igual valor absoluto, pero dedistinto signo.

Es tanto más probable cometer errores pequeños que grandes.

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y

v

x

0

-x

v

Ejemplo: Sea una población=10.000 resistencias

La media aritmética de la población

la llamaremos µ

La desviación normal de la población

la llamaremos σ

Si graficamos la función de

distribución de probabilidades

generalmente es normal


• Es una función continua que está caracterizada por dos parámetros:

la media “μ” y la desviación típica, “σ”.

• Su función de distribución es:

La curva normal adopta una forma acampanada con un número infinito

de variaciones, determinadas por sus parámetros μ y σ.



Distribución de Gauss:


e 2

1)(

2

2

1-

v

vf

(media) y (desviación típica) son parámetros de la distribución

v = valores observados de la variable en estudio

19


• La forma general de la distribución es acampanada, asintótica al eje de las

abscisas

• Los puntos de inflexión tienen como abscisas los valores

• Simétrica con respecto a la media () donde coinciden la mediana (Mn) y

el modo (Mo )




68%

99%

95%

Resolviendo la integral de la

distribución de Gauss se obtiene el

área bajo la curva:

, Mo, Mn

- + 20

𝜇 ± 𝜎 ≅ 68%

𝜇 ± 2𝜎 ≅ 95%

𝜇 ± 3𝜎 ≅ 99%

Ejemplo:

Área entre:

20 30 40 50 60 70 80

5

10

Curvas gaussianas con distintas medias y desviaciones estándar



Distribución de Gauss: Ejemplos


µ20 30 40 50 60 70 80

50

40

60

v v

f(v)

e 2

1)(

2

2

1-

v

vf

21





Si “n” variantes (o mediciones) siguen una distribución Gaussiana, la probabilidadde que una variante cualquiera “v” de las “n” mediciones se encuentre comprendidaentre “a” y “b” será el aérea de la curva de distribución de probabilidades.

e 2

1)(

2

2

1-

v

vf

dv )()(

b

a

vfbvaP

Debido a que es muy laborioso resolver esta

integral para encontrar una probabilidad se realiza

un cambio de variable que simplifica el cálculo.

)( bvaP

22




Se define una variable auxiliar “z” 𝑧 =𝑣 − 𝜇

𝜎

La nueva variable z se distribuye como una Distribución de Gauss

normalizada o “distribución NORMAL” con media = 0 y

desviación típica = 1

-3 -2 -1 0 1 2 3

z

68%

99%

95%

¿Cómo se resuelve una integral sobre la distribución de Gauss?

23

𝜇 ± 𝜎 ≅ 68%

𝜇 ± 2𝜎 ≅ 95%

𝜇 ± 3𝜎 ≅ 99%



¿Cómo se resuelve una integral sobre la distribución de Gauss?


El área bajo la curva de esta distribución normal con media = 0 y

desviación típica = 1 en la variable “z” está resuelta, y sus valores

se muestran en distintas tablas.

Hay varios tipos de tablas de la

distribución normal

La que se explica aquí representa

áreas para diferentes valores de z

desde 0 hasta +

Entonces una vez transformada la variable “v” a valores de “z”

se busca en la tabla el área correspondiente

0+

Los valores negativos de z NOestán tabulados, ya que la distribución es simétrica

24



Funciones de Distribución de Probabilidades¿Cómo se resuelve una integral sobre la distribución de Gauss?

z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .090.0 .50000 .49601 .49202 .48803 .48405 .48006 .47608 .47210 .46812 .464140.1 .46017 .45620 .45224 .44828 .44433 .44038 .43644 .43251 .42858 .424650.2 .42074 .41683 .41294 .40905 .40517 .40129 .39743 .39358 .38974 .385910.3 .38209 .37828 .37448 .37070 .36693 .36317 .35942 .35569 .35197 .348270.4 .34458 .34090 .33724 .33360 .32997 .32636 .32276 .31918 .31561 .312070.5 .30854 .30503 .30153 .29806 .29460 .29116 .28774 .28434 .28096 .277600.6 .27425 .27093 .26763 .26435 .26109 .25785 .25463 .25143 .24825 .245100.7 .24196 .23885 .23576 .23270 .22965 .22663 .22363 .22065 .21770 .214760.8 .21186 .20897 .20611 .20327 .20045 .19766 .19489 .19215 .18943 .186730.9 .18406 .18141 .17879 .17619 .17361 .17106 .16853 .16602 .16354 .161091.0 .15866 .15625 .15386 .15151 .14917 .14686 .14457 .14231 .14007 .137861.1 .13567 .13350 .13136 .12924 .12714 .12507 .12302 .12100 .11900 .117021.2 .11507 .11314 .11123 .10935 .10749 .10565 .10383 .10204 .10027 .098531.3 .09680 .09510 .09342 .09176 .09012 .08851 .08691 .08534 .08379 .082261.4 .08076 .07927 .07780 .07636 .07493 .07353 .07215 .07078 .06944 .068111.5 .06681 .06552 .06426 .06301 .06178 .06057 .05938 .05821 .05705 .055921.6 .05480 .05370 .05262 .05155 .05050 .04947 .04846 .04746 .04648 .045511.7 .04457 .04363 .04272 .04182 .04093 .04006 .03920 .03836 .03754 .036731.8 .03593 .03515 .03438 .03362 .03288 .03216 .03144 .03074 .03005 .029381.9 .02872 .02807 .02743 .02680 .02619 .02559 .02500 .02442 .02385 .023302.0 .02275 .02222 .02169 .02118 .02068 .02018 .01970 .01923 .01876 .01831

Tabla Distribución Normal: Area desde +z a infinito

x?

25



Funciones de Distribución de Probabilidades¿Cómo se resuelve una integral sobre la distribución de Gauss?

Tabla Distribución Normal: Area desde +z a infinito(continuación)

z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .092.1 .01786 .01743 .01700 .01659 .01618 .01578 .01539 .01500 .01463 .014262.2 .01390 .01355 .01321 .01287 .01255 .01222 .01191 .01160 .01130 .011012.3 .01072 .01044 .01017 .00990 .00964 .00939 .00914 .00889 .00866 .008422.4 .00820 .00798 .00776 .00755 .00734 .00714 .00695 .00676 .00657 .00639

2.5 .00621 .00604 .00587 .00570 .00554 .00539 .00523 .00508 .00494 .004802.6 .00466 .00453 .00440 .00427 .00415 .00402 .00391 .00379 .00368 .003572.7 .00347 .00336 .00326 .00317 .00307 .00298 .00289 .00280 .00272 .002642.8 .00256 .00248 .00240 .00233 .00226 .00219 .00212 .00205 .00199 .001932.9 .00187 .00181 .00175 .00169 .00164 .00159 .00154 .00149 .00144 .001393.0 .00135 .00097 .00069 .00048 .00034 .00023 .00016 .00011 .00007 .000054.0 .00003 .00002 .00001 .00001 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000

x?

26

EJEMPLO

Una fuente de tensión fue medida 100 veces dando un valor

promedio de 4V en las mismas condiciones experimentales,

obteniendo de las mediciones un desviación normal = 1.5 V

¿Cuál es la probabilidad de que una nueva medición tenga un

valor superior a 6 V asumiendo que los valores se distribuyen

según la distribución de Gauss?

v 6V → (P(v 6 ))



27

?6-3 -2 -1 0 1 2 3 z



Solución:

= 4 V = 1.5 V

Hallar P ( v > 6 )

1.- Transformamos la variable tensión en una variable z.

El valor de z para una tensión de 6 V será:

z = (6 V – 4V)/1.5V = 1.33

v μz

σ

28

6



Solución:

= 4 V = 1.5 V

Hallar P ( v > 6 )

2.- Hallamos P ( z > 1.33) de una tabla:

P ( z > 1.33) = 0,09176 →

.02275

.02872

.03593

.04457

.05480

.06681

.08076

.09680

.11507

.13567

.15866

.18406

.21186

.24196

.27425

.30854

.34458

.38209

.42074

.46017

.50000

.00

.02222

.02807

.03515

.04363

.05370

.06552

.07927

.09510

.11314

.13350

.15625

.18141

.20897

.23885

.27093

.30503

.34090

.37828

.41683

.45620

.49601

.01

.02169

.02743

.03438

.04272

.05262

.06426

.07780

.09342

.11123

.13136

.15386

.17879

.20611

.23576

.26763

.30153

.33724

.37448

.41294

.45224

.49202

.02

.02118

.02680

.03362

.04182

.05155

.06301

.07636

.09176

.10935

.12924

.15151

.17619

.20327

.23270

.26435

.29806

.33360

.37070

.40905

.44828

.48803

.03

.02068

.02619

.03288

.04093

.05050

.06178

.07493

.09012

.10749

.12714

.14917

.17361

.20045

.22965

.26109

.29460

.32997

.36693

.40517

.44433

.48405

.04

.02018

.02559

.03216

.04006

.04947

.06057

.07353

.08851

.10565

.12507

.14686

.17106

.19766

.22663

.25785

.29116

.32636

.36317

.40129

.44038

.48006

.05

.01970

.02500

.03144

.03920

.04846

.05938

.07215

.08691

.10383

.12302

.14457

.16853

.19489

.22363

.25463

.28774

.32276

.35942

.39743

.43644

.47608

.06

.01923

.02442

.03074

.03836

.04746

.05821

.07078

.08534

.10204

.12100

.14231

.16602

.19215

.22065

.25143

.28434

.31918

.35569

.39358

.43251

.47210

.07

.01876

.02385

.03005

.03754

.04648

.05705

.06944

.08379

.10027

.11900

.14007

.16354

.18943

.21770

.24825

.28096

.31561

.35197

.38974

.42858

.46812

.08

.018312.0

.023301.9

.029381.8

.036731.7

.045511.6

.055921.5

.068111.4

.082261.3

.098531.2

.117021.1

.137861.0

.161090.9

.186730.8

.214760.7

.245100.6

.277600.5

.312070.4

.348270.3

.385910.2

.424650.1

.464140.0

.09z*

.02275

.02872

.03593

.04457

.05480

.06681

.08076

.09680

.11507

.13567

.15866

.18406

.21186

.24196

.27425

.30854

.34458

.38209

.42074

.46017

.50000

.00

.02222

.02807

.03515

.04363

.05370

.06552

.07927

.09510

.11314

.13350

.15625

.18141

.20897

.23885

.27093

.30503

.34090

.37828

.41683

.45620

.49601

.01

.02169

.02743

.03438

.04272

.05262

.06426

.07780

.09342

.11123

.13136

.15386

.17879

.20611

.23576

.26763

.30153

.33724

.37448

.41294

.45224

.49202

.02

.02118

.02680

.03362

.04182

.05155

.06301

.07636

.09176

.10935

.12924

.15151

.17619

.20327

.23270

.26435

.29806

.33360

.37070

.40905

.44828

.48803

.03

.02068

.02619

.03288

.04093

.05050

.06178

.07493

.09012

.10749

.12714

.14917

.17361

.20045

.22965

.26109

.29460

.32997

.36693

.40517

.44433

.48405

.04

.02018

.02559

.03216

.04006

.04947

.06057

.07353

.08851

.10565

.12507

.14686

.17106

.19766

.22663

.25785

.29116

.32636

.36317

.40129

.44038

.48006

.05

.01970

.02500

.03144

.03920

.04846

.05938

.07215

.08691

.10383

.12302

.14457

.16853

.19489

.22363

.25463

.28774

.32276

.35942

.39743

.43644

.47608

.06

.01923

.02442

.03074

.03836

.04746

.05821

.07078

.08534

.10204

.12100

.14231

.16602

.19215

.22065

.25143

.28434

.31918

.35569

.39358

.43251

.47210

.07

.01876

.02385

.03005

.03754

.04648

.05705

.06944

.08379

.10027

.11900

.14007

.16354

.18943

.21770

.24825

.28096

.31561

.35197

.38974

.42858

.46812

.08

.018312.0

.023301.9

.029381.8

.036731.7

.045511.6

.055921.5

.068111.4

.082261.3

.098531.2

.117021.1

.137861.0

.161090.9

.186730.8

.214760.7

.245100.6

.277600.5

.312070.4

.348270.3

.385910.2

.424650.1

.464140.0

.09z*

z = (6 V – 4V)/1.5V = 1.33

9,176%

29

30



Sea una población de mediciones que tiene una media μ y una distribución Gaussiana:

Sacamos su media

Supongamos que extraemos un subconjunto

(una muestra) de “n” mediciones :

𝑣 µ

Las medias de distintas muestras de “n” mediciones cada una, forman también una distribución de Gauss, alrededor de µ que tiene una desviación normal

𝑣 1

𝑣 1 = 𝜇 ; 𝑣 1 < 𝜇 ; 𝑣 1 > 𝜇

y

v

x

0

-x

v

µ

𝜎𝑣 =𝜎𝑣1

𝑛

y su desviación S


Puede ser que:

distribución de la

media de las muestras

1v

nv

31



Sucede que cuando el tamaño de la muestra (n) es muy pequeño, la muestra puede no ser

representativa, entonces la desviación normal de la muestra “S” (que es lo que podemos calcular) solo sirve

como primera aproximación para calcular la desviación de la media respecto de la media del universo.

𝑣 1

µ

𝑣 µ

y

v

x

0

-x

v

W. S. Goset bajo el seudónimo de “Student” llegó a establecer una distribución parecida a una normal pero “más ancha y

más plana” que resulta útil para estimar con cierta probabilidad la diferencia entre media del universo (μ) y la

media de una muestra pequeña ( ).Esa distribución “t” varía con el tamaño de la muestra y se

torna similar a una normal cuando n>30.(es decir cuando n>30, “t” se hace igual a “Z”)


n

Stv

v11

1v

S

1v

32



Distribución de Gosset o Student (también llamada “t”):


Al igual que la distribución normal, es una distribución continua, acampanada y

simétrica.

La distribución de Student tiene una media de cero, es simétrica respecto de la

media y se extiende de - a + .

No hay una distribución de Student, sino una "familia" de

distribuciones Student, todas con la misma media cero, pero con su respectiva

desviación estándar diferente de acuerdo con el tamaño de la muestra n. Existe

una “distribución t” p.ej. para una muestra de 10, otra para una muestra de 11,

y así sucesivamente.

La distribución Student es más ancha y más plana en el centro que la

distribución de Gauss. Sin embargo, a medida que aumenta el tamaño de la

muestra, la distribución t se aproxima a la distribución de Gauss.



Distribución de Gauss vs Student:


Distribución Normal (es única)

Distribución Student para n=2





33




¿Cómo se trabaja con la distribución de Student?

Se define una variable t :

Los valores de t están tabulados para distintas probabilidades de

ocurrencia y grados de libertad (n-1) existiendo distintas tablas con

ligeras variaciones en cuanto a como se las utiliza.

n

S

vt

1

Distribución de Gosset o Student (también llamada “t”):

n

Stv 134

Entonces se puede afirmar que:



Distribución Student:

Funciones de Distribución de Probabilidadesα

35

Dada una muestra de “n”

variantes

1

)(

1

211

n

vvn

i

i

Sn

Stv 1

Es una afirmación con la probabilidad (α ) que se fijó de ser verdadera

f(y)



𝑣 1

µ

Grados de libertad = n-1

Se fija una probabilidad

(por ende un valor de α)

Se extrae un valor de t de tabla

¿Cómo se trabaja con las distribuciones de Student?

37

Se realiza un estudio de consumo de agua en una pequeña ciudad, tomando

como referencia las mediciones en una muestra al azar de 10 viviendas,

arrojando los siguientes consumos diarios:

Vivienda Consumo [litros/día]



EJEMPLO

Calcule cuanto consume en promedio

una vivienda de la ciudad con una

probabilidad del 90% de ser una

afirmación correcta.

38

díaln

n

vv

n

sS

n

i

v/93.6

1

)(1

2

En función de los grados de libertad y el índice de confianza se

determina el valor de t de la tabla de Student

díalv /168



Solución:

39




41

díaln

n

x

n

sS

n

i

n/93.6

1

1

2

díal /)13168()93,6.833,1(168

díalitrospromedioconsumodíalitros /181/155

díalv /168



Solución:

42

Distribución

de StudentCuando por

razones

económicas la

muestra está

acotada en

número

Distribución

de GaussCuando

disponemos de

un número

considerable de

muestras (>30)

Tamaño de

la muestra

En resumen:



Medición de Corriente de Corte

de Fusibles

(ensayo destructivo)

CASO IICASO I

Medición de Capacitores

(ensayo no destructivo)



Teoría de Gauss Teoría de Student

EJEMPLO

44

Ley de Propagación de la Varianza

)v,u(fw Sea una función que relaciona dos variables u y v:

),( vufW



Ley de propagación de la Varianza

Y que se realicen una serie de “n” mediciones de u y v, demanera que se puedan calcular las medias aritméticas y lasdesviaciones típicas de esas variables:

Nos proponemos encontrar cuanto vale la desviación típica de la variable W, es decir, σw :

u u v v

u,.....,u ,u n21 v,....., v,v n21

46

111.)(.)( ,, vvuv

wuvuu

ww EEE

Podemos tomar los errores cometidos en la medición numero 1 de u (u1)

(llamémoslo Eu1) y en la medición 1 de v (v1) que podemos llamarlo Ev1 y

propagarlos con la ley de propagación del error, para obtener el error en la medición

1 de w (llamémoslo Ew1). Es decir:

1uE1v

EyPRIMERA MEDICION:




Para otro par de mediciones u2 y v2 tendremos lo mismo:

222.)(.)( ,, vvuv

wuvuu

ww EEE

2uE2vEySEGUNDA MEDICION:

Genéricamente:

iii vvuvw

uvuuw

w EEE .)(.)( ,,

47

Es lo que vimos en la clase anterior

n

i

wwwww inE

nEEE

n 1

22222 1......

121

Con todos los errores cometidos sobre la variable W (Ew1, Ew2,….., Ewn) podemos

calcular la varianza σw aplicando su definición (transparencia 10):




Pero como dijimos:

Entonces su valor al cuadrado será:

2,,

2.)(.)(

iii vvuvw

uvuuw

w EEE

iii vvuvw

uvuuw

w EEE .)(.)( ,,

iiiii vvuvw

uvuuw

vvuvw

uvuuw

w EEEEE .).(.).(2.)(.)( ,,

22

,

22

,

2

48

n

i

ww iE

n 1

22 1

Reemplazando:




Pero:

n

i

vuvuvw

vuuw

n

i

vvuvw

n

i

uvuuw

w iiiiEEEE

n 1

,,

1

22

,

1

22

,

2)()(2)()(

1

2

1

21u

n

i

uiE

n

2

1

21v

n

i

viE

n

Esta expresión se conoce como ley de propagación de la varianza

n

i

vuvuvw

vuuw

vvuvw

uvuuw

w iiEE

n 1

,,

22

,

22

,

2 1)()(2)()(

Caso particular:





para variables no correlacionadas

01

n

i

vu iiEE

Si los errores que afectan a las variables u y v (Eui y Evi) son totalmente

independientes, es decir, un error aleatorio que afecte a u no tiene ninguna

relación con el error aleatorio que afecte a v, la expresión anterior se simplifica

porque:

22

,

22

,

2)()( vvuv

wuvuu

ww

Entonces:





para variables correlacionadas

01

1

n

i

vu iiEE

n

Si los errores que afectan a las variables u y v (Eui y Evi) no son totalmente

independientes, es decir, si están relacionados de alguna manera se cumple que:

),(cov)()(2)()( ,,

22

,

22

,

2vuvuv

wvuu

wvvuv

wuvuu

ww

Entonces:

v)(u, covarianza1

1

n

i

vu iiEE

n

A este término se lo denomina covarianza:

52



• Las magnitudes de entrada u y v son independientes; por ejemplo,

cuando se han observado reiterada, pero no simultáneamente, en

diferentes experimentos independientes, o cuando representan

magnitudes resultantes de diferentes evaluaciones que se han realizado

de forma independiente.

• No existe información suficiente para valorar la existencia de una

correlación entre las magnitudes de entrada.

En la práctica, se considera que no hay correlación entre las variables

cuando:


Ejemplo:

Averiguar la desviación típica porcentual de una resistencia calculada a partir de

“n” mediciones de tensión y “n” mediciones de corriente, cuyos valores medios y

desviaciones típicas son: U = 100 V ± 12 V y I = 10 A ± 2 A.

22222 .)(.)( IIR

UUR

R

2222122 II

UUIR

2

2

2

2

2

22221 210

10012

10

12

II

UUIR

33.2444.1R %3.23% R

Una desviación del 12% en la tensión y del 20% en

la corriente contribuyen para que la desviación

normal en la resistencia calculada sea del 23%.



10m

m

mI

VR

Fórmula usada porque no hay datos para evaluar una correlación entre tensión y corriente

210mR

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