Tratamiento Consistente de Restricciones e Impacto en Dinámica ...

T E S I S D O C T O R A L

Universidad Politecnica de Madrid

Tratamiento Consistente deRestricciones e Impacto enDinamica de Sistemas Multicuerpo

Roberto Ortega AguileraIngeniero Civil

2 0 1 3

Departamento de Mecanica de Medios Continuos

y Teorıa de Estructuras

Escuela Tecnica Superior de Ingenieros de

Caminos, Canales y Puertos

Tratamiento Consistente de

Restricciones e Impacto en

Dinamica de Sistemas Multicuerpo

T E S I S D O C T O R A L

A U T O R

Roberto Ortega Aguilera

Ingeniero Civil

D I R E C T O R

Juan Carlos Garcıa Orden

Doctor Ingeniero Aeronautico

La composicion del texto se ha realizado utilizando LATEX.C++, Python, TikZ, Gnuplot, Paraview, Octave.

Madrid, 2013.Autor: Roberto OrtegaEmail: [email protected]

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mailto:[email protected]

Tribunal nombrado por el Mgfco. y Excmo. Sr. Rector de la UniversidadPolitecnica de Madrid, el dıa 26 de Abril de 2013.

Presidente D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vocal D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vocal D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vocal D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Secretario D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Realizado el acto de defensa y lectura de la Tesis el dıa . . . . . de . . . . . . . . . . .de 2013 en la E.T.S. de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de laU.P.M.

Calificacion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EL PRESIDENTE LOS VOCALES

EL SECRETARIO

Resumen

Esta tesis esta enmarcada en el estudio de diferentes procedimientosnumericos para resolver la dinamica de un sistema multicuerpo sometidoa restricciones e impacto, que puede estar compuesto por solidos rıgidosy deformables conectados entre sı por diversos tipos de uniones.

Dentro de los metodos numericos analizados se presta un especialinteres a los metodos consistentes, los cuales tienen por objetivo quela energıa calculada en cada paso de tiempo, para un sistema mecani-co, tenga una evolucion coherente con el comportamiento teorico de laenergıa. En otras palabras, un metodo consistente mantiene constante laenergıa total en un problema conservativo, y en presencia de fuerzas di-sipativas proporciona un decremento positivo de la energıa total. En estalınea se desarrolla un algoritmo numerico consistente con la energıa totalpara resolver las ecuaciones de la dinamica de un sistema multicuerpo.Como parte de este algoritmo se formulan energeticamente consistenteslas restricciones y el contacto empleando multiplicadores de Lagrange,penalizacion y Lagrange aumentado.

Se propone tambien un metodo para el contacto con solidos rıgidosrepresentados mediante superficies implıcitas, basado en una restriccionregularizada que se adaptada adecuadamente para el cumplimiento exac-to de la restriccion de contacto y para ser consistente con la conservacionde la energıa total. En este contexto se estudian dos enfoques: uno parael contacto elastico puro (sin deformacion) formulado con penalizaciony Lagrange aumentado; y otro basado en un modelo constitutivo parael contacto con penetracion. En el segundo enfoque se usa un potencialde penalizacion que, en ausencia de componentes disipativas, restaura laenergıa almacenada en el contacto y disipa energıa de forma consistentecon el modelo continuo cuando las componentes de amortiguamiento yfriccion son consideradas.

Abstract

This thesis focuses on the study of several numerical procedures usedto solve the dynamics of a multibody system subjected to constraints andimpact. The system may be composed by rigid and deformable bodiesconnected by different types of joints.

Within this framework, special attention is paid to consistent met-hods, which preserve the theoretical behavior of the energy at each timestep. In other words, a consistent method keeps the total energy constantin a conservative problem, and provides a positive decrease in the totalenergy when dissipative forces are present. A numerical algorithm hasbeen developed for solving the dynamical equations of multibody sys-tems, which is energetically consistent. Energetic consistency in contactsand constraints is formulated using Lagrange multipliers, penalty andaugmented Lagrange methods.

A contact methodology is proposed for rigid bodies with a boundaryrepresented by implicit surfaces. The method is based on a suitable regu-larized constraint formulation, adapted both to fulfill exactly the contactconstraint, and to be consistent with the conservation of the total energy.In this context two different approaches are studied: the first applied topure elastic contact (without deformation), formulated with penalty andaugmented Lagrange; and a second one based on a constitutive model forcontact with penetration. In this second approach, a penalty potentialis used in the constitutive model, that restores the energy stored in thecontact when no dissipative effects are present. On the other hand, theenergy is dissipated consistently with the continuous model when frictionand damping are considered.

Agradecimientos

En el contexto academico, quiero agradecer a mi director de tesis, elDr. Juan Carlos Garcıa Orden, por su apoyo incondicional, su interesy su entusiasmo. Agradezco tambien el apoyo que durante estos anosme brindaron los profesores, investigadores y companeros de despacho,en especial a Juan Jose Arribas, Felipe Gabaldon, Luis Lacoma, DanielIglesias, Miguel Martın, Pablo Antolın y Sergio Conde, con quienes sos-tuve interesantes discusiones que enriquecieron sin duda mi trabajo.

En el ambito personal, quiero dar gracias a mi familia y amigos porcompartir conmigo las distintas etapas que hicieron posible este resulta-do, en especial a Amandine.

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Indice

Resumen VII

Abstract IX

Agradecimientos XI

1. Introduccion 1

1.1. Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Estado del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4. Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2. Formulacion Dinamica de Sistemas Multicuerpo 15

2.1. Conceptos preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.1. Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.2. Restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2. Cinematica, tension y deformacion . . . . . . . . . . . . 17

2.2.1. Funcion de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.2. Gradiente de deformacion . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.3. Medidas de deformacion y tension . . . . . . . . . 19

2.2.4. Ley constitutiva: Hiperelasticidad . . . . . . . . . 19

2.3. Formulacion discreta de solidos . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.1. Solido deformable: Discretizacion . . . . . . . . . 20

2.3.2. Solido rıgido: Parametrizacion . . . . . . . . . . . 22

2.4. Ecuaciones del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4.1. Principio de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4.2. Coordenadas independientes . . . . . . . . . . . . 27

2.4.3. Coordenadas dependientes . . . . . . . . . . . . . 27

2.5. Planteamiento global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5.1. Sistema multicuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5.2. Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . 30

2.5.3. Penalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.5.4. Lagrange aumentado . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3. Formulacion Consistente de las Restricciones 33

3.1. Descretizacion temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.1.1. Ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . . 34

3.1.2. Metodos integracion temporal . . . . . . . . . . . 35

3.1.3. Sistema DAE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.1.4. Sistema ODE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2. Diseno del metodo consistente . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.1. Teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.2. Regla del punto medio . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.3. Metodo consistente . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3. Resultados numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3.1. Pendulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3.2. Mecanismo biela-manivela . . . . . . . . . . . . . 57

3.3.3. Mecanismo de Bricard . . . . . . . . . . . . . . . 61

4. Contacto con Superficies Implıcitas 65

4.1. Conceptos generales del contacto . . . . . . . . . . . . . 66

4.1.1. Fuerza de contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.1.2. Contacto sin friccion . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.1.3. Contacto con friccion . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.1.4. Problema computacional . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2. Cinematica del contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.2.1. Definicion de contacto . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.2.2. Proyeccion de mınima distancia . . . . . . . . . . 71

4.2.3. Ecuacion de superficie . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.2.4. Deteccion del contacto . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.3. Modelo para la fuerza de contacto . . . . . . . . . . . . . 77

4.3.1. Restriccion de contacto . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.3.2. Componente elastica . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.3.3. Componente de amortiguamiento . . . . . . . . . 79

4.3.4. Componente de friccion . . . . . . . . . . . . . . 80

4.4. Tratamiento numerico del contacto . . . . . . . . . . . . 81

4.4.1. Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . 81

4.4.2. Penalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5. Tratamiento Consistente del Contacto 85

5.1. Restriccion de contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.1.1. Ecuacion unilateral . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.1.2. Ecuacion regularizada . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.2. Fuerza de contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.2.1. Componente elastica: penalizacion . . . . . . . . . 89

5.2.2. Componente elastica: Lagrange aumentado . . . . 89

5.2.3. Componente de amortiguamiento. . . . . . . . . . 92


5.3. Experimento numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.3.1. Contacto elastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.3.2. Contacto con amortiguamiento . . . . . . . . . . 103

5.3.3. Contacto con friccion. . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.4. Contacto de solidos rıgidos tridimensionales . . . . . . . 109

5.4.1. Cinematica del contacto . . . . . . . . . . . . . . 109

5.4.2. Componente elastica . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.4.3. Componente de amortiguamiento . . . . . . . . . 113


6. Aplicaciones 115

6.1. Barras con holgura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.1.1. Descripcion de la simulacion . . . . . . . . . . . . 116

6.1.2. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.2. Pendulo de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6.2.1. Descripcion de la simulacion. . . . . . . . . . . . 120

6.2.2. Resultados para el modelo con dos pendulos. . . . 121

6.2.3. Resultados para el modelo con tres pendulos. . . . 125

6.3. Viga flexible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128


6.3.2. Resultados sin amortiguamiento . . . . . . . . . . 130

6.3.3. Resultados con amortiguamiento. . . . . . . . . . 132

6.4. Rodadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136


6.4.2. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

6.5. Columna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141


6.5.2. Resultados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

6.6. Vehıculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146


6.6.2. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

7. Conclusiones 153

7.1. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

7.2. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

7.3. Aportaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

7.4. Lineas futuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

8. Conclusions 159

8.1. Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

8.2. Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

8.3. Original contributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

8.4. Future research . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Apendice 163

A. Matriz de Masa para Solidos Rıgidos 165

A.1. Solido rıgido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

A.2. Matriz de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

B. Uniones y Superficies 171

B.1. Union esferica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

B.2. Union cilındrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

B.3. Union rıgida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

B.4. Restricciones con superficies . . . . . . . . . . . . . . . . 174

C. Integracion Numerica 177

C.1. Ecuaciones de movimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

C.2. Integradores numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

C.3. Sistema no lineal de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . 180

C.3.1. Sistema DAE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

C.3.2. Sistema ODE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

D. Lagrange aumentado iterativo 183

D.1. Iteraciones simultaneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

D.2. Iteraciones anidadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

Bibliografıa 197

Lista de figuras 203

Lista de tablas 205

Introduccion Cap

ıtul

o

1

2 Introduccion

1.1. Motivacion

Un sistema multicuerpo flexible es un conjunto de componentes rıgi-dos y deformables conectados mediante uniones, que les permiten moverserelativos unos a otros, y capaces de someterse a grandes traslaciones yrotaciones (Wasfy & Noor, 2003). Estas uniones pueden ser simples parescinematicos (revolucion, esferico, cilındrico, prismatico, etc.) o conexionesmas complejas compuestas por muelles y amortiguadores no lineales.

La dinamica de sistemas multicuerpo se refiere al estudio del com-portamiento en el tiempo del conjunto de elementos conectados frente ala aplicacion de cargas externas, restricciones y para unas ciertas condi-ciones iniciales. En general, este comportamiento o respuesta se describea traves del registro temporal del movimiento, las deformaciones y lastensiones del sistema.

El estudio de la respuesta dinamica es importante porque puede mejo-rar el desarrollo de las etapas de analisis, diseno y control de componentesmecanicos presentes en diferentes aplicaciones, como por ejemplo en laindustria del transporte terrestre, aereo o espacial, en la fabricacion demaquinas, en la simulacion de estructuras espaciales, en la robotica oen simulaciones biomecanicas. En muchas de estas aplicaciones es nece-sario incluir ciertas caracterısticas para obtener resultados precisos delcomportamiento real del sistema, como por ejemplo la flexibilidad de loscomponentes, el desgaste, la friccion y lubricacion de piezas sometidas acontacto, la holgura en uniones, etc.

Estas particularidades, que introducen mayor calidad en el modelo,en general aumentan tambien su complejidad, alejandose de solucionesanalıticas o empıricas capaces de predecir la respuesta del sistema, sien-do necesario entonces recurrir a procedimientos numericos para resolver-lo. Por ejemplo, un modelo del mecanismo biela-manivela de un coche(ciguenal), que transforma el movimiento rectilıneo del piston en un mo-vimiento circular, puede considerar uniones reales en las que se incluyaholguras, amortiguamiento, friccion y lubricacion (Flores et al. , 2008).En este caso, medir de forma experimental la respuesta del sistema fren-te a diferentes factores resulta practicamente imposible, mientras que lasimulacion computacional podrıa predecir el comportamiento para dife-rentes estados iniciales y bajo distintas condiciones de operacion.

Por lo tanto, la simulacion numerica del comportamiento dinamico deun sistema multicuerpo flexible constituye una herramienta fundamentalpara el analisis en la etapa de diseno, puesto que permite reducir los costesde fabricacion, optimizar los materiales y las dimensiones, etc. Tambienes util en aplicaciones de control para predecir la respuesta del sistema adeterminadas acciones o para disenar las acciones necesarias que darancomo resultado una respuesta deseada (dinamica inversa). Ademas, puede

Estado del arte 3

complementar el analisis experimental para mejorar la tecnica de ensayoy el ajuste de modelos.

Esta gran variedad de aplicaciones actuales, en las que surge la ne-cesidad de resolver de forma eficiente y robusta los problemas estaticoso dinamicos, motivan el trabajo desarrollado en esta tesis. Trabajo queconsiste en estudiar una nueva herramienta computacional para la simu-lacion de uniones y contacto en sistemas multicuerpo flexibles.

1.2. Estado del arte

La mas reciente revision, que recoge gran parte de las contribucionesmas significativas en lo que respecta a la dinamica de sistemas multi-cuerpo, se encuentra en el trabajo de Wasfy & Noor (2003). Otra con-tribuciones destacadas que complementan esta revision son el aporte deShabana (1997), centrado en las formulaciones basicas para describir lasecuaciones del movimiento, y el trabajo de Bauchau & Laulusa (2008),orientado a los metodos clasicos para imponer restricciones en sistemasmulticuerpo.

Desde el punto de vista de la dinamica de sistemas multicuerpo fle-xibles que experimentan contacto/impacto, existen tres elecciones im-portantes que condicionan el modo de abordar la solucion numerica delproblema. La primera, corresponde a las coordenadas utilizadas para des-cribir el movimiento del conjunto de solidos conectados, la segunda es elmetodo de integracion numerica necesario para resolver las ecuacionesdiferenciales obtenidas como consecuencia de las coordenadas escogidas,y la tercera se refiere al modo de reproducir el fenomeno de contactoentre los solidos que forman el sistema multicuerpo.

Eleccion de coordenadas y formulacion de restricciones

La eleccion de las coordenadas que van a definir un sistema mecanicoes de gran trascendencia, ya que determina aspectos fundamentales delanalisis. Una forma de clasificar las coordenadas permite dividirlas en 2grupos: dependientes e independientes.

Las coordenadas dependientes corresponden al caso de emplear tantascoordenadas como grados de libertad posea el sistema, siendo el nume-ro mınimo de coordenadas posible. Las coordenadas dependientes sonsuperiores en numero a los grados de libertad y pretenden definir elmovimiento de cada elemento del mecanismo de forma individual. Sucaracter de dependientes se explica por estar ligadas mediante ecuacio-nes que relacionan estas coordenadas, que se denominan ecuaciones de

4 Introduccion

restriccion. Ası, cada conjunto de variables dependientes tiene asociadasciertas ecuaciones de restriccion. La ventaja de estas coordenadas fren-te a las independientes, es que dan lugar a procedimientos sistematicos,muy apropiados para su programacion e implementacion computacional.Dentro de las coordenadas dependientes son conocidos tres grupos: lascoordenadas relativas, las coordenadas de punto de referencia y las coor-denadas naturales (Garcıa de Jalon & Bayo, 1994).

En esta tesis se opta por las coordenadas cartesianas de puntos selec-cionados referidas a un sistema inercial para describir el movimiento desolidos rıgidos y flexibles. Para el caso de los solidos rıgidos estas coor-denadas son dependientes, siendo necesario imponer que determinadasecuaciones algebraicas se verifiquen durante el movimiento. En el caso delos solidos flexibles, las coordenadas cartesianas son propias de la formu-lacion empleada para describir su movimiento, caracterizado por grandesrotaciones y grandes desplazamientos, incluyendo grandes deformaciones(Bonet & Wood, 2008). Esta eleccion de coordenadas conduce a una for-mulacion dinamica no lineal que descansa sobre el marco teorico de lamecanica de medios continuos.

Producto de las coordenadas escogidas, sera necesario formular lasecuaciones de movimiento teniendo en cuenta las ecuaciones de restric-cion que garantizan, por ejemplo, la condicion de distancia constanteentre puntos para un solido rıgido. Tambien, mediante restricciones sepueden conseguir distintos tipos de uniones o particulares condiciones decontorno. Por otro lado, en esta tesis las ecuaciones de restriccion se em-plean tambien para el tratamiento del contacto con superficies analıticas.

Mediante los multiplicadores de Lagrange se obtiene el planteamientoclasico para introducir las restricciones en la ecuaciones de movimiento(Arnold, 1983), que conduce a una formulacion dinamica compuesta porun sistema de ecuaciones diferenciales y ecuaciones algebraicas (DAE deındice 3). Alternativamente puede emplearse una formulacion basada enla penalizacion de las restricciones, obteniendose un sistema de ecuacionesdiferenciales ordinarias (ODE); o una combinacion entre multiplicadoresy penalizacion, denominada formulacion de Lagrange aumentado (Bertse-kas, 1999). A diferencia de los multiplicadores, esta formulacion aumen-tada puede implementarse como un sistema compuesto unicamente porecuaciones diferenciales de segundo orden (Bayo et al. , 1988).

Cada una de las formulaciones con restricciones presenta diversas ven-tajas y dificultades, pero en general las tres se caracterizan por transferircierto grado de inestabilidad en la solucion numerica (Brenan et al. ,1996; Ascher & Petzold, 1998), ya sea por el caracter ((stiff)) de las ecua-ciones dinamicas (para altos valores de penalizacion) o por el alto ındicedel sistema DAE. Este problema de estabilidad condicionara el metodo deintegracion numerica empleado para resolver las ecuaciones diferenciales.

Estado del arte 5

Integracion temporal de las ecuaciones del movimiento

En el caso del sistema DAE, obtenido como resultado de la formu-lacion con multiplicadores de Lagrange o Lagrange aumentado, es usualreducir el ındice del sistema diferenciando analıticamente las ecuacio-nes de restriccion. A pesar de que este procedimiento evita resolver elsistema algebraico diferencial, provoca una violacion progresiva de lasecuaciones de restriccion. Este fenomeno se conoce como ((drift)) de lasecuaciones de restriccion y motiva el trabajo de diferentes investigado-res (Baumgarte, 1972; Yoon et al. , 1994; Blajer, 2002; Borri et al. ,2006; Garcıa Orden, 2009; Garcıa Orden & Ortega, 2011; Garcıa Orden& Conde Martın, 2011). Sin embargo, puede resolverse tambien directa-mente el sistema DAE en ındice 3 utilizando integradores que introducendisipacion numerica, como es el caso de los integradores ((Backward Dif-ferentiation Formulas)) (BDF). Con exito se han utilizado tambien paraeste sistema DAE integradores de la familia Newmark (Newmark, 1959),como el metodo HHT (Hilber et al. , 1977) o el metodo α-Generalizado(Chung & Hulbert, 1993). La ventaja de estos metodos es que, a dife-rencia de los integradores BDF, introducen disipacion numerica de formacontrolada para el rango de altas frecuencias. Ejemplo de estos integra-dores aplicados a la dinamica de sistemas multicuerpo son los trabajosde Negrut et al. (2007) y Arnold & Bruls (2007).

En el caso del sistema ODE, obtenido a parir de las formulacioncon penalizacion, la inestabilidad numerica es tambien un factor predo-minante en las ecuaciones diferenciales. Esta inestabilidad es productode los altos valores de penalizacion necesarios para imponer el correctocumplimiento de las restricciones. Para este sistema ODE con caracter((stiff)) es tambien recomendable introducir disipacion numerica artificial,que se consigue integrando las ecuaciones con metodos como los BDF(Hairer & Wanner, 2004), o con los metodos desarrollados para dinamicaestructural como el metodo de Newmark, el metodo HHT o el metodoα-Generalizado. Aunque la formulacion con penalizacion no se recomien-da en situaciones donde la violacion de la restricciones es un efecto nodeseado, es muy eficiente para aplicaciones en tiempo real (Bayo et al. ,1991; Avello et al. , 1993; Cuadrado et al. , 2004, 1997).

Metodos numericos conservativos o consistentes

En presencia de no linealidad, la estabilidad no se puede garantizarpara los metodos tradicionales de integracion. Sin embargo, diferentesinvestigaciones aseguran que integrando las ecuaciones diferenciales deforma que la energıa total se conserva en cada paso de tiempo, la esta-bilidad de la solucion mejora considerablemente (Simo & Wong, 1991;Stuart & Humphries, 1996; Garcıa Orden & Goicolea, 2000).

6 Introduccion

La primera idea en esta lınea conservativa se utilizo en elementos fini-tos para dinamica estructural no lineal. Haug et al. (1977) establece queun algoritmo aplicado a cualquier sistema no lineal es incondicionalmenteestable si, independiente del paso de tiempo utilizado, la suma total de laenergıa contenida en el sistema en cada paso de tiempo es menor o igualque la energıa total del paso de tiempo anterior. Ademas de establecereste criterio de estabilidad, basandose en el concepto de conservacion dela energıa, Haug propone un algoritmo de integracion que coincide con laregla trapezoidal cuando se aplica a problemas lineales. Mas tarde Hugheset al. (1978) llega a similares conclusiones, proponiendo una regla trape-zoidal modificada que asegura la conservacion de la energıa en ausenciade fuerzas externas, y por tanto garantiza la estabilidad incondicional.

Posteriormente, Simo & Wong (1991) proponen un algoritmo incon-dicionalmente estable y con precision de segundo orden, basado en laconservacion exacta de la energıa y el momento angular, que aplican ala dinamica de solidos rıgido (sin restricciones). Mas tarde extendio estealgoritmo, conocido como energıa-momento, en el contexto de sistemasHamiltonianos con simetrıa para elastodinamica no lineal, aplicado a ba-rras y laminas no lineales (Simo & Tarnow, 1992; Simo et al. , 1992; Simo& Gonzalez, 1993; Simo et al. , 1995).

Gonzalez, que continuo el trabajo iniciado con Simo (Gonzalez & Si-mo, 1996), introdujo el concepto de la derivada discreta (Gonzalez, 1996),generalizando la formulacion conservativa a sistema Hamiltonianos dis-cretos con simetrıa, y aplico tambien esta idea a sistemas mecanicos conrestricciones holonomas (Gonzalez, 1999). Extendio tambien la formula-cion a modelos generales en elasticidad no lineal (Gonzalez, 2000).

Otros investigadores han desarrollado tambien algoritmos que se ba-san en conservar la energıa total del sistema como una forma de favorecerla estabilidad numerica. Betsch & Steinmann (2000) propone algoritmosconservativos aplicados a sistemas de n-cuerpos, a elastodinamica no li-neal (Betsch & Steinmann, 2001a), a sistemas mecanicos con restriccionesholonomas (Betsch & Steinmann, 2002) y a dinamica de cuerpos rıgidoscon restricciones (Betsch & Steinmann, 2001b).

Garcıa Orden (1999) desarrollo un metodo conservativo para dinami-ca de sistemas multicuerpos flexibles basado en la formulacion con pena-lizacion, particularizando las expresiones conservativas a diferentes tiposde uniones. Las propiedades de estabilizacion para imponer restriccionesdel metodo conservativo se revisan en Garcıa Orden & Dopico (2007).Partiendo de esta tesis, se extendio el metodo conservativo a sistemas res-tringidos mediante la formulacion de Lagrange aumentado (Garcıa Orden& Ortega, 2006).

Basado tambien en la idea de asegurar la disipacion incondicional deenergıa para el rango de frecuencias altas se desarrolla el trabajo de (Ar-

Estado del arte 7

mero & Romero, 2001a,b), que muestra un comportamiento numericorobusto frente problemas ((stiff)). Mas tarde Armero & Romero (2003)extienden este enfoque disipativo de energıa (EDMC) a la dinamica nolineal de vigas Cosserat (Cosserat & Cosserat, 1909). Este esquema deintegracion (EDMC) es aplicado por Romero & Armero (2002a) y Rome-ro & Armero (2002b) a vigas y laminas geometricamente exactas. Mastarde Romero (2010a,b) propone un esquema de integracion consisten-te con las dos leyes de la termodinamica y con la conservacion de losmomentos lineal y angular para problemas termomecanicos. Esta formu-lacion esta tambien desarrollada para elementos termoelasticos discretospor Romero (2009) y para elementos discretos termoviscoelasticos porGarcıa Orden & Romero (2012). Recientemente Romero (2012) realizaun profundo estudio de las tensiones obtenidas como resultado de la apli-cacion de la derivada discreta en los metodos energıa momento.

Lens et al. (2004) describen un metodo de integracion conservativopara el analisis dinamico de sistemas multicuperpo no lineales en pre-sencia de restricciones no lineales, basado en el concepto de la derivadadiscreta (Gonzalez, 1996). Mas tarde, Lens & Cardona (2007) reformulanel esquema de integracion anterior anadiendo disipacion incondicional yusando una aproximacion dada por el metodo de Galerkin discontinuo.Este metodo resulta adecuado para problemas ((stiff)) o ((nonstiff)) de sis-temas multicuerpo no lineales.

Bauchau et al. (1995) desarrollaron tambien un metodo que conser-va la energıa total para problemas de elasticidad no lineal de sistemasmulticuerpo discretizados con elementos finitos. Mas tarde se genera-lizo este metodo a una formulacion que garantiza tambien el decrementode la energıa para asegurar la estabilidad incondicional (Bauchau, 1998;Bauchau & Bottasso, 1999). En esta lınea continuan las contribucionesde Borri et al. (2001) y Bottasso et al. (2001, 2002), que posteriormentese resumen en el trabajo de Bottasso & Trainelli (2004).

Formulacion energetica consistente del contacto

Dado el creciente interes en los metodos conservativos, o incondi-cionalmente disipativos, producto de los excelentes resultados exhibidosen problemas no lineales de caracter ((stiff)), diferentes investigadores hanquerido comprobar si las ventajas de un metodo consistente con la energıacontenida en el sistema se mantienen para un problema de contacto,que se caracteriza por introducir una fuerte componente de inestabilidadnumerica.

Armero & Petocz (1998) propone un algoritmo capaz de conservarla energıa total del sistema durante el contacto, utilizando para ello unpotencial de penalizacion que se incluye dentro de la energıa contenida

8 Introduccion

en el sistema. En el esquema propuesto es tambien posible asegurar ladisipacion positiva de energıa en el rango de altas frecuencias. Posterior-mente Armero & Petocz (1999) extiende esta formulacion al contacto confriccion, que garantiza la disipacion incondicional de energıa.

Laursen & Chawla (1997) desarrollan tambien un algoritmo conser-vativo utilizando multiplicadores de Lagrange y aseguran disipacion in-condicional de energıa mediante un potencial de penalizacion. Mas tarde,Chawla & Laursen (1998) extiende la formulacion conservativa al con-tacto con friccion, que conserva la energıa durante el contacto sin desli-zamiento y asegura la disipacion positiva en la fase de deslizamiento. Enesta linea se desarrolla tambien el trabajo de Bravo et al. (2012, 2011)que propone una modificacion del potencial de penalizacion para que laenergıa total se conserve durante el contacto sin friccion y se disipe enel caso con friccion. Esta formulacion se aplica a problemas de contactocon partıculas rıgidas.

Betsch & Hesch (2007) extiende la formulacion conservativa propuestapara sistemas mecanicos con restricciones (Betsch & Steinmann, 2002) alcontacto sin friccion en el caso plano usando el metodo NTS (((node-to-segment))). Recientemente, Hesch & Betsch (2011) formulo el contactoconservativo usando el metodo ((mortar)) (Bernardi et al. , 1993), queoriginalmente fue propuesto como un metodo de descomposicion de do-minios. Mas informacion sobre el metodo ((mortar)) aplicado a problemasde contacto se puede encontrar en el reciente trabajo de Cavalieri et al.(2012); Cavalieri & Cardona (2013). Esta formulacion utiliza una tecni-ca de Lagrange aumentado para problemas de contacto en dos y tresdimensiones.

Garcıa Orden (2005) utiliza el potencial de penalizacion para formularel contacto conservativo en uniones con holgura en el contexto de siste-mas multicuerpo flexibles. Tambien aplicado a uniones y en el contextode elasticidad no lineal de mecanismos flexibles, Bauchau & Rodriguez(2002) desarrollaron un metodo para el contacto en holguras con lubrica-cion, usando un metodo de integracion consistente con la energıa total.

Otro trabajo interesante en el contexto de uniones en mecanismosflexibles es el realizado por Munoz et al. (2003). Las uniones son for-muladas usando un enfoque ((master-slave)) (Jelenic & Crisfield, 1996)e implementadas en conjunto con vigas geometricamente exactas y unesquema numerico conservativo (Simo et al. , 1995). El mismo enfoqueutilizado por Munoz & Jelenic (2004, 2006) para las uniones deslizan-tes sin friccion en vigas geometricamente no lineales. En este trabajo lacondicion de deslizamiento se define utilizando los parametros nodalesde la discretizacion, evitando que existan fuerzas de contacto adiciona-les. Usando tambien un enfoque ((master-slave)), Munoz (2008) formulael contacto sin friccion en problemas estaticos de elasticidad no lineal.Aquı utiliza para la superficie de contacto se utiliza una interpolacion

Estado del arte 9

cubica ((B-Spline)). En contraste con los multiplicadores de Lagrange,esta formulacion tiene la ventaja de involucrar un numero reducido deincognitas.

Por otro lado, se destaca tambien el trabajo de Flores & Ambrosio(2004) desarrollado para uniones de revolucion con holgura en sistemasmulticuerpo rıgidos. Posteriormente, se incorporo al modelo la lubrica-cion para uniones de revolucion (Flores et al. , 2006) y tambien aplico auniones esfericas con holgura (Flores & Lankarani, 2009). Un modeloconstitutivo desarrollado recientemente por Flores et al. (2010), basadoen modelo de Hertz (1882) para la componente elastica, restaura o di-sipa la energıa almacenada durante el contacto mediante un modelo deamortiguamiento definido en funcion de un coeficiente de restitucion.

Un enfoque tambien basado en el coeficiente de restitucion proponeEscalona et al. (2003) aplicado en este caso al impacto entre solidos de-formables. Por otro lado, para el caso de cargas de impacto axial en vigasflexibles Escalona et al. (1999) propone un metodo numerico basado enla solucion teorica de St. Venant. Este metodo proporciona una excelenteaproximacion del la solucion analıtica.

Situacion de la tesis

El trabajo de investigacion de esta tesis se desarrolla bajo el mar-co teorico de los metodos de integracion consistentes con la energıa to-tal, utilizados para resolver las ecuaciones diferenciales que gobiernan elcomportamiento dinamico de un sistema multicuerpo con restricciones,uniones y contacto.

La coordenadas cartesianas para describir el movimiento de solidosrıgidos y deformables constituyen un ingrediente fundamental, puestoque permiten formular de manera conjunta el comportamiento dinamicode ambos solidos, haciendo tambien posible la definicion de uniones deuna manera natural. Aprovechando esta idea se propone un modelo decontacto, basado en una restriccion regularizada, con superficies definidasmediante su ecuacion implıcita en coordenadas cartesianas. La ventajade esta metodologıa es simplificar el proceso de evaluacion y detecciondel contacto.

La formulacion conservativa de restricciones, desarrollada para losmetodos de multiplicadores de Lagrange, penalizacion y Lagrange au-mentado, se basa en el teorema del valor medio, obteniendose resultadosanalogos a los conseguidos por Leyendecker et al. (2004) basados en elconcepto de la derivada discreta propuesto por Gonzalez (1996).

En lo que respecta al contacto, la formulacion desarrollada se ba-sa principalmente en los trabajos de Garcıa Orden & Goicolea (2005) y

10 Introduccion

Garcıa Orden (2005), que plantean un modelo de contacto consistente conla energıa total para uniones con holgura. Se extiende el modelo consis-tente al contacto con superficies definidas mediante ecuaciones implıcitas,usadas para definir obstaculos rıgidos y la geometrıa de solidos rıgidosen movimiento. Se estudian dos enfoques para el modelo de contacto,uno conservativo para el caso elastico (sin friccion) y otro que asegurala disipacion incondicional en el caso de contacto con amortiguamientoy friccion.

La formulacion de contacto propuesta difiere de los trabajos anterior-mente citados, tanto en la forma de definir la restriccion de contacto,como en la implementacion numerica del metodo de integracion consis-tente con la energıa. Por ejemplo, en la formacion de Armero & Petocz(1998) se establece una diferencia entre el ((gap)) real y otro denomina-do ((gap)) dinamico. El primero mide la distancia entre los solidos y elsegundo corresponde a una aproximacion de segundo orden de la evolu-cion del ((gap)) real. En este caso el potencial de contacto se escribe enfuncion del ((gap)) dinamico. Por otro lado, Laursen & Chawla (1997) de-finen una restriccion de contacto en funcion de una tasa algorıtmica del((gap)), que en terminos practicos se puede entender como una velocidadde penetracion. En la formulacion desarrollada en esta tesis se utilizauna restriccion regularizada para el contacto, definida en funcion de unaecuacion implıcita de superficie.

Otra diferencia con los metodos mencionados, es la sencillez del pro-ceso de deteccion de la penetracion, que en la formulacion propuesta serealiza mediante una evaluacion de las coordenadas cartesianas de unpunto en la ecuacion implıcita de superficie que representa la geometrıade un obstaculo o un solido rıgido. Siendo la ecuacion de superficie unafuncion continua, permite aplicar el teorema del valor medio con el objeti-vo de garantizar el comportamiento consistente de la energıa almacenadadurante el contacto.

1.3. Objetivos

El objetivo general de esta tesis es proponer y validar una formulaciondinamica energeticamente consistente, que permita simular el comporta-miento de sistemas multicuerpo considerando restricciones holonomas yescleronomas para representar uniones y contacto con superficies analıti-cas. En el contexto de esta tesis, se entiende como consistente un metodonumerico que reproduce de forma discreta el comportamiento del modelocontinuo, es decir, en un problema conservativo la energıa se mantieneconstante, y en presencia de amortiguamiento y friccion (incorporados enel modelo de contacto), se disipa energıa de forma incondicional. La ideabasica es aprovechar las propiedades de estabilidad y robustez numerica

Objetivos 11

del metodo consistente para resolver de forma eficiente las ecuaciones nolineales que gobiernan el comportamiento dinamico de un sistema multi-cuerpo.

Para conseguir el cumplimiento del objetivo general resulta conve-niente proponer una serie de objetivos parciales:

Obtener una comparacion entre las formulaciones dinamicas usadaspara simular sistemas mecanicos sujetos a restricciones (multipli-cadores de Lagrange, penalizacion y Lagrange aumentado).

Establecer cualidades y deficiencias de los metodo numericos tra-dicionales, frente a problemas caracterısticos de la simulacion desistemas multicuerpo. Como por ejemplo, la sensibilidad al paso detiempo, la capacidad de conservar la energıa total, la estabilidaden sistemas con caracter ((stiff)), etc.

Disenar un metodo numerico energeticamente consistente para re-solver las ecuaciones diferenciales de mecanismos con restricciones,para las formulaciones con multiplicadores de Lagrange, penaliza-cion y Lagrange aumentado.

Resolver problemas sencillos y representativos de mecanismos conrestricciones para representar solidos rıgidos y uniones, con el proposi-to de validar numericamente el metodo consistente, discutir resulta-dos y realizar comparaciones con metodos numericos tradicionalespara este tipo de problemas.

Identificar las dificultades numericas presentes en problemas de con-tacto, revisando los conceptos generales involucrados en la simula-cion numerica y las principales tecnicas utilizadas para introducirla restriccion de contacto.

Profundizar en las propiedades del metodo consistente, analizandosu comportamiento cuando se aplican a problemas de contacto.

Formular, desarrollar e implementar computacionalmente el con-tacto con superficies implıcitas usando un enfoque consistente parael tratamiento de la energıa asociada a este fenomeno, tanto en elcaso conservativo como disipativo (amortiguamiento y friccion).

Estudiar las propiedades del algoritmo consistente desarrollado pa-ra el contacto en problemas practicos y sencillos que reflejen susventajas y permitan analizar diferentes parametros del contacto ylas restricciones.

Aplicar los resultados teoricos y numericos conseguidos a problemasmas complejos, pensando esto como un paso previo a aplicacionesreales del area automotriz, militar o robotica.

12 Introduccion

Crear lineas de investigacion que permitan dar continuidad al tra-bajo desarrollado durante la tesis, sentando las bases para nuevoscampos de aplicacion.

1.4. Contenido

El contenido de esta tesis esta estructurada en capıtulos, en los cualesse describe el marco teorico, la implementacion numerica, los resultadosobtenidos, las aportaciones, las conclusiones y las lineas futuras de inves-tigacion.

En el Capıtulo 2 se describe la formulacion dinamica de un sistemamulticuerpo flexible, compuesto por solidos rıgidos y deformables. Se des-cribe la parametrizacion del movimiento de los solidos rıgidos mediantecoordenadas cartesianas y la discretizacion de solidos flexibles necesariapara reproducir el comportamiento elastico asociado a grandes desplaza-mientos, rotaciones y deformaciones, basado en un modelo de materialhiperelastico.

En el Capıtulo 3 se desarrolla un metodo numerico consistente con laenergıa total para resolver las ecuaciones diferenciales que gobiernan elcomportamiento dinamico de un sistema multicuerpo con restricciones.Se consideran las formulaciones de multiplicadores de Lagrange, penali-zacion y Lagrange aumentado. Para validar los esquemas numericos deintegracion propuestos se analizan algunos problemas representativos queincorporan restricciones holonomas y escleronomas.

En el Capıtulo 4 se revisan los conceptos generales del contacto, con elfin de identificar las principales problematicas presentes en la simulacionnumerica. Se propone un procedimiento para el contacto de tipo nodo-superficie basado en una restriccion regularizada expresada a partir deuna ecuacion de superficie implıcita.

En el Capıtulo 5 se propone un procedimiento de integracion numeri-ca para el contacto con superficies analıticas basado en la conservacionexacta de la energıa total en ausencia de fuerzas disipativas. Tambiense propone un modelo constitutivo de contacto, basado en penalizacion,incorporando amortiguamiento y friccion que asegura la disipacion in-condicional de energıa.

En el Capıtulo 6 se resuelven diferentes problemas que incorporan res-tricciones, uniones y contacto entre solidos rıgidos y flexibles. Se com-paran los resultados obtenidos con el metodo de integracion consistentey con otros metodos de integracion de uso frecuente en dinamica desistemas multicuerpo, prestando atencion a la estabilidad, robustez y ca-pacidades conservativas.

Contenido 13

En el Capıtulo 7 se presentan las aportaciones, conclusiones y lineasfuturas de investigacion propuestas como continuacion de trabajo desa-rrollado.

14 Introduccion

Formulacion Dinamica deSistemas Multicuerpo C

apıt

ulo

2En este capıtulo se desarrolla el formalismo teorico general que des-

cribe el comportamiento dinamico de un sistema multicuerpo, el cual sesupone constituido por multiples cuerpos rıgidos y deformables, que a suvez podrıan estar conectados por diferentes tipos de uniones y sometidosa diversas condiciones de contorno.

El punto de partida es plantear el movimiento de un solido generalbasandose en la mecanica de medios continuos, para luego particularizarla formulacion a los solidos rıgidos y deformables. Ambos solidos serandescritos en funcion de las coordenadas cartesianas de un conjunto finitode puntos, que aparece como consecuencia de la formulacion utilizada.En los solidos deformables este conjunto se utiliza para representar deforma aproximada el comportamiento del medio continuo, y en los solidosrıgidos surge como resultado de la parametrizacion exacta del movimien-to.

El capıtulo se desarrolla bajo el contexto de solidos deformables hi-perelasticos y solidos rıgidos en coordenadas dependientes, conduciendoambas formulaciones a un planteamiento dinamico no lineal. Ademas,el movimiento de estos solidos estara sujeto a una serie de ecuacionesde restriccion que seran incluidas en la formulacion dinamica mediantemetodos que derivan en sistemas de ecuaciones diferenciales y algebraicaso unicamente diferenciales.

16 Formulacion Dinamica de Sistemas Multicuerpo

2.1. Conceptos preliminares

2.1.1. Coordenadas

Para definir la configuracion de un sistema multicuerpo flexible for-mado por solidos rıgidos y deformables es conveniente optar por unascoordenadas que sean coherentes con ambos tipos de solidos.

Un solido se define como un medio continuo formado por un conjuntoinfinito de partıculas denominadas puntos materiales, que durante su mo-vimiento a lo largo del tiempo ocupan diferentes posiciones en el espaciofısico que se denominan puntos espaciales.

Asociado al movimiento del solido es posible distinguir dos configu-raciones: una inicial o de referencia asociada a un instante t0 y otra con-figuracion actual o deformada asociada a un instante t > t0.

B0

X

B

x

E2

e2

E1 e1

E3e3

t0 t

Figura 2.1. Configuracion inicial y deformada.

Como muestra la Figura 2.1, en la configuracion inicial B0 los pun-tos del solido se identifican en el espacio por sus coordenadas materialesdenotadas por el vector X con respecto a una base cartesiana Ei, yen la configuracion actual B se identifican por sus coordenadas espacialesdenotadas por el vector x con respecto a una base cartesiana alternativaei. En la practica y por simplicidad es comun hacer coincidir las basesEi y ei.

En el caso de un solido deformable planteado bajo la teorıa general dela elasticidad finita el desplazamiento o movimiento se describe en funcionde las coordenadas cartesianas de las infinitas partıculas que componen elcontinuo (Bonet & Wood, 2008). Distinguiendose entre una formulacionLagrangiana, cuando la deformacion se expresa en funcion de las coor-denadas en la configuracion inicial, o Euleriana cuando la deformacion se

Cinematica, tension y deformacion 17

expresa en funcion de las coordenadas en la configuracion actual.

Por otro lado, el movimiento de un solido rıgido se puede describir dediferentes maneras utilizando coordenadas dependientes o independien-tes, que a su vez tambien pueden ser relativas o absolutas segun el sistemade referencia utilizado (Garcıa de Jalon & Bayo, 1994; Shabana, 2005).Un solido rıgido posee 6 grados de libertad en el caso tridimensional, 3de traslacion y 3 de orientacion, y si el movimiento se describe usando unnumero de coordenadas mayor que su numero de grados de libertad sedice que son dependientes, si ademas estan referidas a un sistema inercialse denominan absolutas.

Tomando en cuenta lo anterior se adoptan las coordenadas cartesianasabsolutas para definir la configuracion del sistema global, de forma quelos cuerpos rıgidos se acoplan consistentemente al planteamiento discretode los cuerpos deformables.

2.1.2. Restricciones

Como consecuencia del uso de coordenadas cartesianas para describirla cinematica de los solidos rıgidos surgen una serie de ecuaciones derestriccion que relacionan sus coordenadas.

En general, las restricciones se pueden clasificar como holonomas cuan-do es posible expresarlas en funcion de las coordenadas y el tiempo como

Φ(x1,x2, . . . ,xj, t) = 0. (2.1)

A su vez las restricciones holonomas se denominan reonomas si dependendel tiempo y escleronomas en caso contrario. Todas aquellas que no seajustan a la descripcion anterior son no holonomas.

En el contexto de los sistemas multicuerpo, gran parte de las res-tricciones que vinculan las coordenadas de los solidos que lo componenson de tipo holonomo sin dependencia explıcita del tiempo, es decir, seexpresan como

Φ(x1,x2, . . . ,xj) = 0. (2.2)

Ejemplo de este tipo de restriccion es la de distancia constante, utilizadaen la formulacion de solidos rıgidos. Las uniones esfericas, cilındricas,prismaticas, etc., se pueden tambien definir por medio de este tipo deecuaciones (Geradin & Cardona, 2001).

2.2. Cinematica, tension y deformacion

En funcion de los conceptos previos se define el movimiento de lossolidos, que en el caso de los cuerpos deformables vendra acompanado de


una deformacion.

2.2.1. Funcion de movimiento

El movimiento entre la configuracion inicial y actual puede ser des-crito matematicamente por un operador diferenciable ϕ : (X, t) 7→ x,

x = ϕ(X, t), (2.3)

que relaciona la posicion inicial X ∈ Rdim de las partıculas con su posicionactual x ∈ Rdim (Fig. 2.1).

Para caracterizar tambien el movimiento se define la velocidad v decada partıcula como la derivada temporal de la funcion de movimiento(Ecu. 2.3), tal que

v(X, t) =∂ϕ(X, t)

∂t. (2.4)

Observese que v es un vector espacial expresado en terminos de las coor-denadas materiales X (Bonet & Wood, 2008).

A partir de la velocidad se puede obtener la energıa cinetica para uninstante t como

T =1

2

∫

B0v · vρ0 dV0, (2.5)

siendo B0 la configuracion de referencia, ρ0 la densidad y V0 el volumen,ambos referidos al estado inicial.

2.2.2. Gradiente de deformacion

Derivando la funcion de movimiento (Ecu. 2.3) con respecto a lascoordenadas materiales X se obtiene el tensor gradiente de deformacion

F =∂ϕ(X, t)

∂X≡ ∂x

∂X, (2.6)

que ademas se puede descomponer como el producto de dos tensores dela siguiente forma

F = R U = V R. (2.7)

Estas expresiones corresponden a la descomposicion polar por la derechay por la izquierda, donde V y U son los tensores de elongacion quemodifican angulos y distancias, y R es el tensor de rotacion ortogonalque no conlleva deformaciones.

El tensor F contiene la informacion necesaria para conocer el estadode deformacion de un solido que experimenta un desplazamiento desdela configuracion inicial sin deformar hasta la configuracion actual defor-mada.

Cinematica, tension y deformacion 19

2.2.3. Medidas de deformacion y tension

A partir del tensor gradiente de deformacion se pueden definir dife-rentes tensores que miden la deformacion, entre los que cabe destacar eltensor de Cauchy-Green por la derecha dado por

C = FT F = U2 (2.8)

y el tensor Cauchy-Green por la izquierda dado por

b = F FT = V2. (2.9)

Por otro lado, se define el tensor de tensiones de Cauchy σ para unpunto x como el tensor que verifica el postulado de Cauchy expresadomediante la relacion

t(x,n) = σ(x) n, (2.10)

donde t es el vector tension que depende unicamente de la normal n en elpunto x. Ası, la fuerza total fA ejercida sobre una superficie A se expresaa partir del vector tension t como

fA =

∫

At dS. (2.11)

A partir del tensor σ se pueden definir otros tensores de tension, comoel Primer tensor de Piola-Kirchhoff dado por

P = J σ F−T, (2.12)

o el Segundo tensor de Piola-Kirchhoff dado por

S = J F−1 σ F−T, (2.13)

siendo J = det F.

2.2.4. Ley constitutiva: Hiperelasticidad

Para relacionar el estado de deformacion con el estado de tensioneshace falta una ley constitutiva, que para el caso de un material hiper-elastico esta puede expresarse por medio de la funcion de densidad deenergıa de deformacion W (C), por unidad de volumen en la configuracionde referencia (Holzapfel, 2000).

A partir de W (C) se obtiene el tensor de tensiones como

S = 2∂W

∂C, (2.14)


siendo S el segundo tensor de Piola-Kirchhoff y C el tensor de deforma-cion de Cauchy-Green por la derecha.

De esta forma la energıa de deformacion para un instante t esta dadapor

V =

∫

B0W (C) dV0, (2.15)

donde B0 denota la configuracion de referencia.

El material hiperelastico de Saint Venant-Kirchhoff es un modeloisotropo y homogeneo utilizado con frecuencia en dinamica de mecanis-mos flexibles. Otros ejemplos de materiales hiperelasticos son: MaterialNeohookeano, Material Neohookeano modificado, Material de Yeoh, Ma-terial de Mooney-Rivlin, etc.

2.3. Formulacion discreta de solidos

2.3.1. Solido deformable: Discretizacion

La solucion del movimiento de un solido deformable, gobernado porecuaciones diferenciales en derivadas parciales, es usualmente obtenidade forma aproximada por metodos computacionales. En general, estosprocedimientos numericos requieren de un modelo discreto que representeel comportamiento del continuo.

Esta discretizacion del cuerpo continuo se traduce en un conjuntofinito de coordenadas en funcion de los cuales se formulan las leyes demovimiento y deformacion.

En la Figura 2.2 se muestra esquematicamente un solido deformablediscretizado mediante n elementos finitos, tal que

B =n⋃

e=1

Ωe, (2.16)

siendo Ωe un elemento de la malla.

Basandose en la discretizacion adoptada se puede obtener la posi-cion espacial al interior de cualquier elemento que compone la malla enfuncion de las coordenadas materiales mediante la interpolacion de lascoordenadas nodales como

x(X, t) = N(X)qe, (2.17)

donde N es una matriz que contiene las funciones de forma del elemento

Formulacion discreta de solidos 21

X

Ωe0

x

j

k

i

ϕ(X, t)

B0

B

Ωe

Figura 2.2. Movimiento de un solido deformable discretizado.

debidamente ordenadas y

qe =

xe0xe1...

xep

, (2.18)

contiene las posiciones espaciales xei de los p puntos o nodos que compo-nen el elemento.

1

2 3

4ξ

η

Ni(ξ, η) =14(1 + ξiξ)(1 + ηiη)

1

2 3

4

5

6 7

8 ξ

η

ζ

Ni(ξ, η, ζ) =18(1 + ξiξ)(1 + ηiη)(1 + ηiζ)

Figura 2.3. Funciones de forma.

La Figura 2.3 muestra las funciones de forma para un cuadrilatero yun cubo “unitarios” definidos en el espacio isoparametrico.

De esta forma se puede aproximar el movimiento del continuo enfuncion de la discretizacion. Reemplazando la Ecuacion 2.17 en la energıa


cinetica (Ecu. 2.5) para cada elemento se obtiene

T e =1

2qe ·Meqe, (2.19)

donde Me es la matriz de masa de cada elemento expresada como

Me =

∫

Ωe0

NTNρ0 dVe

0 , (2.20)

siendo Ωe0 el elemento en la configuracion de referencia.

Por medio de la discretizacion es posible tambien expresar el gradientede deformacion para cada elemento como

Fe =

p∑

i=1

xei ⊗∂Ni

∂Xe, (2.21)

a partir del cual se obtiene tambien de forma aproximada el estado dedeformacion y las fuerzas internas asociadas (Bonet & Wood, 2008).

Por ultimo, tanto las fuerzas de inercia como las fuerzas internas yexternas obtenidas para cada elemento se “ensamblan” en un unico vectorde fuerzas global dado por

f =

n

Ae=1

[f eine + f eint − f eext

]. (2.22)

2.3.2. Solido rıgido: Parametrizacion

El movimiento de un solido rıgido continuo tridimensional puede pa-rametrizarse utilizando 4 puntos materiales no coplanarios y no alineadosde 3 en 3 (Garcıa Orden, 1999), obteniendose ademas una matriz de ma-sa constante. Si se hace coincidir uno de esos puntos con el centro degravedad y los otros tres se situan sobre los ejes principales de inerciaformando una base ortonormal, la matriz de masa que se obtiene es tam-bien diagonal.

Considerese un solido rıgido que se mueve desde una configuracioninicial B0 hasta una configuracion B, como muestra la Figura 2.4.

La posicion espacial x ∈ R3 de cualquier punto material X ∈ R3 sepuede expresar como

x(X, t) = xG(t) +3∑

i=1

(X i −X iG) ei(t), (2.23)

donde G es el centro de masas, xG es la posicion de G en el tiempo, XG

es el vector de coordenadas materiales de G y ei son vectores unitariosen las direcciones principales de inercia.

Formulacion discreta de solidos 23

P

G E1

E2

E3

X

P

G

e1

e2

e3

x

j

k

i

ϕ(X, t)

B0 B

Figura 2.4. Movimiento de un solido rıgido.

Los vectores ei permanecen fijos al solido durante el movimiento, perovarıan en el tiempo (ejes moviles) segun el sistema de referencia inercial.En consecuencia, estos vectores se pueden definir utilizando la posicionespacial de G y tres puntos materiales situados sobre los ejes principalesde inercia denotados por 1, 2 y 3, tal que

e1(t) =x1 − xG‖x1 − xG‖

, (2.24)

e2(t) =x2 − xG‖x2 − xG‖

, (2.25)

e3(t) =x3 − xG‖x3 − xG‖

. (2.26)

Reemplazando estas expresiones en la Ecuacion 2.23 se obtiene

x = xG +3∑

i=1

(X i −X iG)

xi − xG‖xi − xG‖

. (2.27)

Observacion 1 Puesto que los vectores ei forman una base ortonormal, laexpresion anterior (Ecu. 2.27) se puede escribir de la forma

x− xG = R (X−XG) ,

donde R : R3 7→ R3 es el tensor de rotacion (de orden 2) que cumple conlas propiedades

RRT = 1 y det R = 1,

siendo 1 el tensor unidad de segundo orden.

Escogiendo los puntos tal que ‖xi−xG‖ = 1, la Ecuacion 2.27 se puedeescribir de forma simplificada como

x(X, t) = C(X)q(t), (2.28)


donde C es una matriz dada por

C(X) =

A 0 0 B 0 0 C 0 0 D 0 00 A 0 0 B 0 0 C 0 0 D 00 0 A 0 0 B 0 0 C 0 0 D

, (2.29)

con

A = 1− (X1 −X1G)− (X2 −X2

G)− (X3 −X2G),

B = X1 −X1G,

C = X2 −X2G,

D = X3 −X3G.

El vector q(t) ∈ R12 contiene las coordenadas de los 4 puntos escogi-dos ordenadas de la siguiente forma

q =

xGx1

x2

x3

. (2.30)

Introduciendo la parametrizacion dada por la Ecuacion 2.28 en la ex-presion de la energıa cinetica (Ecu. 2.5) se tiene que

T =1

2q ·Mq, (2.31)

donde M es la matriz de masa del solido rıgido continuo dada por

M =

∫

B0CTCρ0 dV0. (2.32)

Dado que xG es la posicion del centro de masas y los vectores eicoinciden con las direcciones principales de inercia, la matriz de masapara el solido rıgido (Apendice A) tiene la forma

M =

M00I3 M01I3 M02I3 M03I3M10I3 M11I3 03 03

M20I3 03 M22I3 03

M30I3 03 03 M33I3

(2.33)

Ecuaciones del movimiento 25

con

M00 = m+J11 + J22 + J33

2(2.34)

M11 =J22 + J33 − J11

2(2.35)

M22 =J11 + J33 − J22

2(2.36)

M33 =J11 + J22 − J33

2(2.37)

M01 = M10 = −J22 + J33 − J11

2(2.38)

M02 = M20 = −J11 + J33 − J22

2(2.39)

M03 = M30 = −J11 + J22 − J33

2(2.40)

siendo m la masa total del solido, I3 la matriz identidad de orden 3 y Jiilos momentos principales de inercia en G.

Por ultimo, para asegurar que la distancia entre los puntos escogidospermanece constante, el movimiento del solido esta sujeto a 6 restriccio-nes agrupadas en el vector

Φ(q) =

‖x1 − xG‖ − ‖X1 −XG‖‖x2 − xG‖ − ‖X2 −XG‖‖x3 − xG‖ − ‖X3 −XG‖‖x1 − x2‖ − ‖X1 −X2‖‖x2 − x3‖ − ‖X2 −X3‖‖x3 − x1‖ − ‖X3 −X1‖

∈ R6. (2.41)

donde ‖Xi −Xj‖ es la distancia entre los puntos en la configuracion dereferencia, resultando de esta forma los 6 = 12−6 grados de libertad queposee el solido rıgido tridimensional.

2.4. Ecuaciones del movimiento

Una vez que las coordenadas estan determinadas y la cinematica delos solidos formulada en funcion de estas, el siguiente paso es establecerlas ecuaciones que rigen el comportamiento dinamico.

2.4.1. Principio de Hamilton

Supongase un sistema formado por un conjunto finito de puntos, cuyaconfiguracion espacial queda completamente definida para el instante t


mediante el vector

q(t) =

q1...qi...qn

∈ Rn. (2.42)

El principio de Hamilton establece que de todas las posibles trayecto-rias entre dos configuraciones q(t1) y q(t2), el sistema evolucionara segunaquella que haga estacionario el funcional S definido por las siguientesintegrales de accion

S[q] =

∫ t2

t1

L(q, q, t) dt+

∫ t2

t1

W dt, (2.43)

donde L es la funcion Lagrangiana definida como

L(q, q, t) = T (q, q, t)− V (q), (2.44)

y W corresponde al trabajo debido a las fuerzas generalizadas que noprovienen de un potencial estacionario (no conservativas).

Puesto que el funcional S es estacionario cuando su variacion es nula,la evolucion del sistema debe satisfacer la siguiente condicion

δS =

∫ t2

t1

δL dt+

∫ t2

t1

δW dt = 0, (2.45)

para todas las variaciones δq compatibles con las ligaduras y nulas ent1 y t2. Reemplazando la variacion del trabajo debido a las fuerzas noconservativas por δW = δqTQ, se llega a

δS =

∫ t2

t1

(∂L

∂qδq +

∂L

∂qδq

)dt+

∫ t2

t1

δqTQ dt = 0, (2.46)

∀δq compatibles y nulas en los extremos.

Integrando por partes1 el segundo termino de la expresion entre parente-sis se obtiene

∫ t2

t1

∂L

∂qδq dt =

[∂L

∂qδq

]t2

t1

−∫ t2

t1

d

dt

(∂L

∂q

)δq dt, (2.47)

= −∫ t2

t1

d

dt

(∂L

∂q

)δq dt, (2.48)

donde el primer termino del lado derecho de la ecuacion desaparece debi-do a que las variaciones en los extremos t1 y t2 son nulas. Reemplazandoeste resultado en δS = 0 se llega a

∫ t2

t1

δqT

(∂L

∂q− d

dt

(∂L

∂q

)+ Q

)dt = 0, (2.49)

1∫u v′ dx = u v −

∫u′ v dx

Ecuaciones del movimiento 27

que conduce a las ecuaciones de D’Alembert-Lagrange dadas por

δqT

(d

dt

(∂L

∂q

)− ∂L

∂q−Q

)= 0, (2.50)

y que es condicion suficiente para garantizar que el funcional S sea esta-cionario, ∀δq compatibles con las ligaduras.

2.4.2. Coordenadas independientes

Si las coordenadas qi son independientes sus variaciones δqi son ar-bitrarias. Por tanto, para que se anule la Ecuacion 2.50 se debe cumplir que

d

dt

(∂L

∂q

)− ∂L

∂q= Q, (2.51)

que corresponden a las ecuaciones de Lagrange para un sistema de coor-denadas libres o independientes.

2.4.3. Coordenadas dependientes

Si las coordenadas qi son dependientes las variaciones δqi no seranarbitrarias y no se anula necesariamente la expresion entre parentesisde la Ecuacion 2.50. Existiran por tanto unas ecuaciones de restriccionΦj(q1, . . . , qn) = 0 agrupadas en el vector

Φ(q) =

Φ1...

Φj...

Φm

∈ Rm, (2.52)

que relacionen estas coordenadas.

El punto de partida para introducir el efecto de las ecuaciones derestriccion es incluir un termino adicional en el funcional S (Ecu. 2.43)tal que

S[q,λ] =

∫ t2

t1

L(q, q, t) dt+

∫ t2

t1

W dt−∫ t2

t1

Φ(q) · λ dt, (2.53)

siendo S el funcional modificado y

λ =

λ1...λj...λm

∈ Rm (2.54)


un vector con valores arbitrarios, que al ser nulas las ecuaciones de res-triccion no alteran el resultado del funcional.

Aplicando el principio de Hamilton en su forma δS = 0 se obtieneque

∫ t2

t1

δqT

(∂L

∂q− d

dt

(∂L

∂q

)+ Q

)dt−

∫ t2

t1

(∂Φ

∂qδq · λ + Φ · δλ

)dt = 0

(2.55)

es la condicion para que S sea estacionario para todas las variaciones δqy δλ compatibles.

Agrupando los terminos de forma conveniente se obtiene2

∫ t2

t1

δqT

(∂L

∂q− d

dt

(∂L

∂q

)− ∂Φ

∂q

T

λ + Q

)dt−

∫ t2

t1

δλTΦ dt = 0.

(2.56)

De esto ultimo se deduce que para satisfacer δS = 0 se debe cumplir

δqT

(d

dt

(∂L

∂q

)− ∂L

∂q+∂Φ

∂q

T

λ−Q

)= 0, (2.57)

δλTΦ = 0. (2.58)

En la primera ecuacion, los multiplicadores λj sı pueden escogerse deforma que la expresion entre parentesis se anule. Teniendo en cuenta loanterior se llega a

d

dt

(∂L

∂q

)− ∂L

∂q+∂Φ

∂q

T

λ = Q, (2.59a)

Φ(q) = 0, (2.59b)

que corresponden a las ecuaciones de Lagrange para un sistema de coor-denadas independientes sujeto a ecuaciones de restriccion holonomas yescleronomas, donde el vector λ contiene los multiplicadores de Lagrange.

2.5. Planteamiento global

Como se ha visto en los apartados anteriores, por un lado los solidodeformables requieren de un modelo discreto para aproximar el comporta-miento del continuo, y por otro la parametrizacion del movimiento de lossolidos rıgidos conduce tambien a la representacion exacta del continuopor medio de puntos discretos. Por este motivo, es conveniente abordar elsistema multicuerpo como un conjunto finito de puntos, los cuales tienenasociado una parte de la masa del continuo y estan sometidos a fuerzas

2Usando las equivalencias a · Bc = c · BTa y a · b = aTb = bTa

Planteamiento global 29

que proviene de acciones internas y externas. Este planteamiento ha sidoempleado tambien por otros autores de la literatura, por ejemplo Betsch& Steinmann (2000, 2001a).

2.5.1. Sistema multicuerpo

Supongase un sistema multicuerpo M formado por un solido rıgidoBR y otro deformable BD, sujeto a unas restricciones Φj que asumire-mos holonomas y escleronomas. Estas ecuaciones podran relacionar lascoordenadas de los solido rıgidos y tambien de los solidos deformables.

El movimiento del sistema esta determinado por la posicion xi(t) ∈Rdim de un conjunto finito de puntos tal que

qR(t) =

x1R...

xiR...

xpR

∈ RnR y qD(t) =

x1D...

xiD...

xpD

∈ RnD , (2.60)

siendo p el numero de puntos considerados y n la dimension de los vec-tores.

Agrupando los vectores qR y qD en un unico vector global

q(t) =

qR

qD

∈ Rn, con n = nR + nD, (2.61)

es posible expresar el vector posicion espacial x de cualquier punto enfuncion de q como

x(X, t) = A(X)q(t), (2.62)

donde A es una matriz que depende unicamente de las coordenadas ma-teriales X y se define como

A(X) =

(AR 00 AD

). (2.63)

Observacion 2 En el caso de un solido deformable discretizado por mediode elementos finitos la matriz AD contiene las funciones de forma, y enel caso de un solido rıgido la matriz AR es el resultado de la parame-trizacion del movimiento a partir de las coordenadas de ciertos puntosseleccionados del solido.

Con ayuda de la Ecuacion 2.62 se obtiene la energıa cinetica

T =1

2q · Mq, (2.64)


donde M es la matriz de masa del sistema M dada por

M =

(MR 00 MD

). (2.65)

El sistema M queda entonces caracterizado por

L =1

2q ·Mq− V (q), (2.66a)

Φ = Φ(q), (2.66b)

donde L es la funcion lagrangiana, Φ es el vector que reune las restric-ciones y V (q) es la energıa potencial expresada unicamente en funcionde la posicion q del sistema.

Las restricciones Φ son necesarias en el caso del solido rıgido pa-ra mantener la distancia constante entre sus puntos. Aunque tambienlas posibles uniones entre ambos solidos o las condiciones de contornoimpuestas durante el movimiento, como apoyos o ligaduras, pueden serrepresentadas por medio de una ecuacion de restriccion.

Dentro del potencial V se incluye la energıa de deformacion asociadaal solido deformable que se expresa en funcion de q. Tambien se puedeexpresar como un potencial la energıa gravitacional, la energıa de defor-macion de muelles, etc.

A continuacion se revisan tres formulaciones que conducen a las ecua-ciones que gobiernan el movimiento del sistema multicuerpoM. En pri-mer lugar la formulacion clasica de multiplicadores de Lagrange, y se-guido otras dos alternativas, penalizacion y Lagrange aumentado. Estastecnicas son tambien ampliamente utilizadas en problemas de minimiza-cion en el campo de la programacion no lineal (Bertsekas, 1999).

2.5.2. Multiplicadores de Lagrange

A partir de la Ecuacion 2.59 y de la funcion lagrangiana (Ecu. 2.66) seobtienen las ecuaciones que gobiernan el movimiento del sistema multi-cuerpo M dadas por

Mq +∂V

∂q+∂Φ

∂q

T

λ = Q, (2.67a)

Φ = 0, (2.67b)

donde ∂V /∂q son las fuerzas que derivan de un potencial y Q el resto defuerzas aplicadas. Estas expresiones constituyen un sistema de n ecua-ciones diferenciales y m ecuaciones algebraicas (DAE de ındice 3).

Planteamiento global 31

2.5.3. Penalizacion

Consiste en considerar el sistema M como un problema libre de res-tricciones e introducir el potencial

P (q) =1

2Φ ·αΦ, (2.68)

donde α ∈ Rm×m es una matriz diagonal que contiene los valores αjj,denominados penalizadores.

Redefiniendo entonces la funcion lagrangiana del sistema M se tieneque

L =1

2q · Mq− V (q)− P (q), (2.69)

siendo P (q) es el potencial de penalizacion asociado a las restricciones.

La fuerza asociada a este potencial se obtiene a partir de la variacion

δP =1

2

∂Φ

∂qδq ·αΦ +

1

2Φ ·α∂Φ

∂qδq, (2.70)

y teniendo en cuenta que α = αT conduce a

δP =1

2

∂Φ

∂qδq ·αΦ +

1

2

∂Φ

∂qδq ·αTΦ = δq · ∂Φ

∂q

T

αΦ. (2.71)

De esto ultimo se deduce que

∂P

∂q=∂Φ

∂q

T

αΦ. (2.72)

Reemplazando la nueva expresion para la lagrangiana en la Ecuacion2.51 para sistemas con coordenadas libres se llega a

Mq +∂V

∂q+∂Φ

∂q

T

αΦ = Q. (2.73)

Este sistema de ecuaciones, a diferencia del obtenido con el metodo delos multiplicadores (Ecu. 2.67), es exclusivamente diferencial (ODE).

Este metodo se puede interpretar como una aproximacion a los mul-tiplicadores, tal que αΦ ≈ λ. Se puede comprobar ademas que cuantomas elevados son los valores que penalizan las restricciones mas exactaes la aproximacion.

2.5.4. Lagrange aumentado

En terminos simples, este metodo puede entenderse como una combi-nacion del metodo de penalizacion con los multiplicadores de Lagrange.


Considerese el sistemaM sujeto a restricciones y caracterizado por laEcuacion 2.66. Sin introducir alteraciones, es posible anadir el potencialde penalizacion P (q) puesto que las restricciones son nulas, obteniendose

L =1

2q ·Mq− V (q)− 1

2Φ ·αΦ, (2.74)

Φ = Φ(q). (2.75)

Aplicando las ecuaciones de Lagrange para el caso restringido se ob-tiene el conjunto de ecuaciones que gobierna el movimiento del sistemaM dado por

Mq +∂V

∂q+∂Φ

∂q

T

λ +∂Φ

∂q

T

αΦ = Q, (2.76a)

Φ = 0, (2.76b)

que constituye un sistema diferencial y algebraico (DAE) de ındice 3.

Formulacion Consistentede las Restricciones C

apıt

ulo

3La descripcion del movimiento de un sistema multicuerpo bajo la

accion de cargas externas e internas se obtiene al resolver un conjunto deecuaciones que pueden ser diferenciales o diferenciales-algebraicas, segunla formulacion utilizada para imponer las restricciones.

Puesto que la solucion analıtica de estas ecuaciones es posible soloen algunos problemas muy sencillos, es necesario disponer de un metodonumerico que garantice una solucion aproximada con un error aceptable.Diversos algoritmos han sido disenado con este proposito, pero no to-dos resultan adecuados para integrar numericamente las ecuaciones quegobiernan el problema dinamico de un sistema multicuerpo.

En este capıtulo se analizan las principales dificultades que presentanlos metodos numericos tradicionales durante la resolucion de las ecuacio-nes que gobierna el comportamiento dinamico de un sistema multicuerpo.Tambien se describe el metodo de integracion consistente, basado en laconservacion discreta de la energıa total del sistema mecanico. Este al-goritmo de integracion resulta robusto y eficiente frente a los metodostradicionales en problemas conservativos.

34 Formulacion Consistente de las Restricciones

3.1. Descretizacion temporal

La solucion del conjunto de ecuaciones diferenciales que rige el movi-miento de un sistema multicuerpo permitira conocer su evolucion en eltiempo frente a determinadas solicitaciones y condiciones iniciales.

Cuando los sistemas son particularmente sencillos es factible obteneruna solucion analıtica que describa el movimiento. Sin embargo, si lacomplejidad aumenta, producto del incremento considerable de los gradosde libertad o debido a la geometrıa, no es factible resolver las ecuacionesde forma analıtica y se hace indispensable un procedimiento numericoque resuelva de forma sistematica el problema diferencial.

Para tal proposito es necesario fraccionar la variable temporal pre-sente en las ecuaciones diferenciales, obteniendose ası una solucion apro-ximada del problema para determinados instantes discretos de tiempo.

3.1.1. Ecuaciones de movimiento

Segun lo visto en el Capıtulo 2, el comportamiento dinamico de unsistema multicuerpo descrito en coordenadas cartesianas esta gobernadopor ecuaciones diferenciales caracterizadas por la formulacion para im-poner las restricciones que acompanan el movimiento. Estas ecuacionesse pueden clasificar en dos tipos, ecuaciones diferenciales y algebraicasDAE y ecuaciones diferenciales ordinarias ODE.

La formulacion con multiplicadores de Lagrange conduce a un siste-ma DAE, al igual que para Lagrange aumentado, y con penalizacion seobtiene un sistema ODE. En cualquiera de los casos, las ecuaciones querepresentan la dinamica del sistema estan dadas por

Mq +∂V

∂q+ FR = Q sujeto a Φ(q) = 0, (3.1)

donde el producto Mq representan las fuerzas de inercia, ∂V /∂q sonlas fuerzas que derivan de un potencial, FR las fuerzas asociadas a lasrestricciones agrupadas en el vector Φ y Q el resto de fuerzas aplicadas.

Conviene destacar algunos supuestos basicos que se utilizaran para eldesarrollo de los apartados siguientes:

a) La matriz de masa M, que incluye la matriz de masa de los solidosrıgidos y deformables, es constante. Esto se debe a que dichos soli-dos se han formulado de manera conveniente para obtener matricesconstantes.

b) El vector q agrupa las coordenadas de todos los solidos del sistemamulticuerpo sean estos rıgidos o deformables.

Descretizacion temporal 35

c) Las restricciones contenidas en el vector Φ son holonomas y esclerono-mas. Es decir, no dependen explıcitamente del tiempo y se expresanexclusivamente en funcion de las coordenadas q. Esto tiene como con-secuencia que en ausencia de fuerzas no conservativas el sistema esconservativo (la energıa total es constante).

3.1.2. Metodos integracion temporal

Existen diversos metodos para integrar las ecuaciones que gobiernanel movimiento de un sistema multicuerpo, y para determinar cual de estoscorresponde al mas apropiado se deben tomar en cuenta diversos factores.Entre los factores a considerar, uno de los mas influyentes tiene su origenen la formulacion empleada para imponer las restricciones, que conduce ados clases de sistemas de ecuaciones: DAE u ODE. Esta caracterıstica delsistema conllevan una serie de dificultades que obligan a tomar medidasespeciales en cada caso.

En el contexto de esta tesis se clasifican como metodos estandar aque-llos algoritmos de integracion de proposito general y particular que ha-bitualmente se aplican a problemas dinamicos de sistemas multicuerpocon restricciones. Al mismo tiempo, se establece otra clase de metodo de-nominado consistente, que reune el grupo de algoritmos que tienen comoobjetivo conservar ciertas leyes fundamentales de la mecanica, como elprincipio de conservacion de la energıa o la cantidad de movimiento.

Dentro de los integradores estandar se encuentran los algoritmos de-nominados estructurales, llamados ası porque han sido disenados especıfi-camente para sistemas de segundo orden procedentes de aplicacionespropias de ingenierıa estructural. Ejemplos de integradores estructura-les clasicos son el metodo de Newmark o β-Newmark (Newmark, 1959),el metodo de Hilber, Hughes y Taylor o HHT (Hilber et al. , 1977), elmetodo α-Generalizado (Chung & Hulbert, 1993), etc. Un resumen bas-tante completo de los integradores estructurales mas utilizados se puedeencontrar en el trabajo de Modak & Sotelino (2002).

Otros integradores de proposito general de uso frecuente son la reglatrapezoidal, la regla del punto medio, los metodos Runge-Kutta explıci-tos e implıcitos , los metodos Backward Differential Formula, los metodosexplıcitos de Adams Bashforth, los metodos implıcitos de Adams Moul-ton, etc. Pueden obtenerse mas detalles de estos y otros metodos enHairer et al. (2008) y Hairer & Wanner (2004).

En lo que sigue se discuten las ventajas e inconvenientes de algunosmetodos estandar aplicados a las ecuaciones DAE y ODE, que resultande utilizar diferentes formulaciones para imponer las restricciones en unsistema multicuerpo.


3.1.3. Sistema DAE

Multiplicadores de Lagrange

Esta formulacion conduce a un sistema de ecuaciones diferenciales desegundo orden y ecuaciones algebraicas dado por

Mq +∂V

∂q+∂Φ

∂q

T

λ = Q sujeto a Φ = 0. (3.2)

Recibe tambien el nombre de DAE de ındice 3, puesto que es necesarioderivar dos veces con respecto al tiempo las ecuaciones algebraicas pa-ra transformarlas en diferenciales y conseguir un sistema exclusivamentediferencial de segundo orden.

El sistema DAE de ındice 3 puede ser resuelto de diversas maneras,aunque existen dos alternativas que se pueden considerar como las demayor relevancia segun recientes contribuciones (Bauchau & Laulusa,2008; Laulusa & Bauchau, 2008). La primera opcion consiste en resolverde forma simultanea las ecuaciones diferenciales-algebraicas y la segundaes resolver el sistema DAE con un ındice reducido.

La solucion directa de sistemas DAE de ındice alto no es recomen-dable por problemas de estabilidad en la mayorıa de los casos (Ascher& Petzold, 1998). Sin embargo, el uso de integradores especıficos paraeste tipo de ecuaciones, denominados integradores ((stiff)), es un recursoaconsejable en el caso de optar por la forma directa.

Observacion 3 Aunque no existe una definicion unica, se suele llamar((stiff)) a un problema de valor inicial cuando para ciertos metodos implıci-tos de integracion presenta un comportamiento numerico inestable si nose utiliza un paso de tiempo extremadamente pequeno para evitar estefenomeno. Tambien se define como aquellos problemas para los cualesun metodo explıcito no es capaz de resolver (Hairer & Wanner, 2004).En general, se puede definir un problema ((stiff)) como aquel que poseemultiples escalas de tiempo, es decir, que contiene componentes de al-ta frecuencia para un fenomeno caracterizado por componentes de bajafrecuencia. A pesar de que la definicion esta asociada realmente al pro-blema de valor inicial es usual referirse a un metodo como ((stiff)) cuandoes capaz de resolver este tipo de problemas de forma estable.

Los integradores ((stiff)) mejoran considerablemente la estabilidad delproblema numerico a base de introducir amortiguamiento de forma arti-ficial, el cual puede mantenerse controlado en algunos, como por ejemplocon el metodo de Newmark o el metodo HHT, entre otros.

Distinto es el caso de los integradores ((stiff)) de la familia BDF, enlos cuales no es posible controlar el efecto disipativo. Por este motivo no


son practicos para integrar las ecuaciones en un intervalo prolongado detiempo, debido a que la disipacion numerica introducida puede ralentizar,o incluso frenar, el movimiento de un sistema multicuerpo. Solo es posiblerelacionar cierto grado de disipacion con el orden del integrador, aunqueno se garantiza un comportamiento estable de la energıa segun aumentael orden, ya que en algunos casos puede incluso aumentar.

Otra alternativa es resolver el sistema DAE en ındice 1, que se consi-gue imponiendo la segunda derivada con respecto al tiempo las ecuacionesde restriccion

Mq +∂V

∂q+∂Φ

∂q

T

λ = Q sujeto a Φ = 0. (3.3)

Este sistema de ecuaciones se puede utilizar para resolver de manera si-multanea las aceleraciones y los multiplicadores de Lagrange. Sin em-bargo, pueden eliminarse los multiplicadores mediante una manipulacionalgebraica. El punto de partida es despejar las aceleraciones de la ecua-cion de movimiento, llegando a

q = M−1

(Q− ∂V

∂q− ∂Φ

∂q

T

λ

). (3.4)

A continuacion se obtiene la expresion diferencial de las restriccionesderivando dos veces con respecto al tiempo

∂Φ

∂qq = 0 (Φ = 0), (3.5)

∂Φ

∂qq +

∂Φ

∂qq = 0 (Φ = 0). (3.6)

Reemplazando en esta ultima expresion las aceleraciones dadas por laEcuacion 3.4, se llega a una ecuacion de la cual se pueden despejar losmultiplicadores como

λ =

[∂Φ

∂qM−1∂Φ

∂q

T]−1[∂Φ

∂qM−1

(Q− ∂V

∂q

)+∂Φ

∂qq

], (3.7)

que sustituidos en la ecuacion de movimiento se obtiene el siguiente sis-tema de ecuaciones diferenciales de segundo orden

Mq+∂Φ

∂q

T [∂Φ

∂qM−1∂Φ

∂q

T]−1[∂Φ

∂qM−1

(Q− ∂V

∂q

)+∂Φ

∂qq

]= Q− ∂V

∂q.

(3.8)

Un efecto adverso de la reduccion de ındice es que no asegura elcumplimiento de las restricciones algebraicas originales, producto de lamanipulacion diferencial de las mismas. Por este motivo, mientras lasrestricciones diferenciales se verifican aceptablemente las restriccionesgeometricas son violadas progresivamente.


Una forma de controlar el comportamiento de las restricciones es apli-cando un metodo de estabilizacion. Uno de los mas conocidos es el meto-do de Baumgarte (1972), que consiste en imponer una combinacion de larestriccion algebraica y sus derivadas, conduciendo a un sistemas dadopor

Mq +∂V

∂q+∂Φ

∂q

T

λ = Q sujeto a Φ + 2ω ξ Φ + ω2Φ = 0. (3.9)

donde los parametros ω y ξ son constantes a escoger de forma adecuada.

A la vista de las implicaciones que cada una de las alternativas co-mentadas conlleva, se puede decir que la formulacion con multiplicado-res de Lagrange junto a la estabilizacion de Baumgarte constituyen unaherramienta atractiva para la solucion de la ecuaciones diferenciales su-jetas a restricciones. Por un lado permite la utilizacion de integradoresno necesariamente ((stiff)), y por otro se logra mantener las restriccionescontroladas. Como desventaja se puede mencionar que el ajuste de losparametros ω y ξ esta basado muchas veces en procedimientos heurısti-cos.

Resumiendo, es importante tener en cuenta dos aspectos relevantesasociados a la formulacion con multiplicadores. El primero de ellos es quecon esta formulacion se anaden nuevas incognitas al sistema de ecuacio-nes, y el segundo es que el sistema DAE precisa de un integrador ((stif))o un metodo de estabilizacion que garantice la evolucion exitosa de lasolucion numerica. Ambas observaciones pueden considerarse en algunoscasos como inconvenientes, si el numero de nuevas incognitas es impor-tante o si el efecto disipativo no es deseado.

Lagrange aumentado

Esta formulacion conduce a un sistema DAE de ındice 3 dado por

Mq +∂V

∂q+∂Φ

∂q

T

λ +∂Φ

∂q

T

αΦ = Q sujeto a Φ = 0. (3.10)

Los metodos numericos y tecnicas de estabilizacion apropiadas para in-tegrar el sistema DAE que se revisaron en el apartado anterior son deigual forma aplicables al caso de Lagrange aumentado.

Adicionalmente, existe otra manera de resolver el sistema DAE proce-dente de la formulacion aumentada, que consiste en utilizar un esquemaiterativo para obtener los multiplicadores. Este procedimiento se conocecon el nombre de metodo de Uzawa (Laursen, 2002; Wriggers, 2002) y


conduce a un sistema de ecuaciones modificado dado por

Mq +∂V

∂q+∂Φ

∂q

T

λ +∂Φ

∂q

T

αΦ = Q, (3.11)

donde λ es el vector de multiplicadores obtenido de forma iterativa me-diante la siguiente actualizacion

λk

= λk−1

+ αΦ con λ0

= 0. (3.12)

Notese que cuando las restricciones se cumplen exactamente λk

= λ.

La idea basica del metodo de Uzawa es resolver un sistema ODE encada iteracion, introduciendo progresivamente un multiplicador actuali-zado y evitando resolver el sistema DAE directamente. Las iteracionesse detienen cuando se consigue una determinada precision en el cumpli-miento de las restricciones.

Sin embargo, este procedimiento iterativo no reduce los problemas deestabilidad propios del sistema DAE planteado en ındice 3. Para mejo-rar el comportamiento del problema numerico es aconsejable resolver elsistema DAE con un ındice bajo y usando un metodo de estabilizacioncomo el de Baumgarte. Resultados aceptables para determinadas aplica-ciones se pueden encontrar en Bayo & Ledesma (1996) y Garcıa Orden& Dopico (2007).

Una ventaja de esta formulacion, ademas de no anadir incognitas adi-cionales, es la posibilidad de obtener los multiplicadores que garantizanel cumplimiento de las ecuaciones de restriccion con una determinada to-lerancia. Por otro lado, la diferencia fundamental con penalizacion es laposibilidad de usar valores αi no excesivamente grandes para que se cum-pla la restriccion de forma exacta o con suficiente tolerancia, mejorandoel condicionamiento numerico del problema.

3.1.4. Sistema ODE

Penalizacion

En este caso el cumplimiento de las restricciones no se impone explıci-tamente, como en la formulacion con multiplicadores, sino que se hacede forma implıcita aplicando una fuerza proporcional a la violacion de larestriccion. El sistema de ecuaciones diferenciales de la formulacion conpenalizacion vienen dado por

Mq +∂V

∂q+∂Φ

∂q

T

αΦ = Q, (3.13)

donde la matriz α contiene los valores de penalizacion en su diagonal.


Este sistema formado exclusivamente por ecuaciones diferenciales or-dinarias de segundo orden (ODE) podrıa resolverse directamente concualquier esquema de integracion estandar. Sin embargo, utilizar eleva-dos valores de penalizacion para conseguir un correcto cumplimiento delas restricciones provoca un mal condicionamiento numerico, otorgandoleun caracter ((stiff)) al problema.

La opcion inmediata para integrar el sistema ((stiff)) es usar un metodonumerico que presente buen comportamiento frente a esta caracterısti-ca, por ejemplo, los integradores aptos para sistemas DAE. Tambien losmetodos de integracion utilizados con exito en dinamica estructural sepresentan como una herramienta adecuada, puesto que permiten disiparde forma eficaz las componentes de alta frecuencia introducidas por losaltos valores de penalizacion.

Por otro lado, una de las ventajas de este metodo es que no anadeincognitas adicionales al problema. No obstante, producto del caracter((stiff)) del sistema es inevitable asociar un factor disipativo al resultadonumerico que, como ya se ha dicho antes, puede ser un efecto negativo ypoco controlado. Por ultimo, es importante senalar que con penalizacionno se consigue el cumplimiento exacto de las restricciones, puesto que espropio de la formulacion que las restricciones no se anulen.

3.2. Diseno del metodo consistente

3.2.1. Teorema del valor medio

Sea f(x) : C → R una funcion escalar, definida en C ⊂ Rp y diferen-ciable en el intervalo [a,b] tal que a,b ∈ C. Existe entonces al menos unpunto c ∈ [a,b] tal que

f(b)− f(a) = ∇f(c) · (b− a), (3.14)

donde c = a + β(b− a) con 0 6 β 6 1 y ∇f es el gradiente de f .

Si limitamos el conjunto C al espacio R, el teorema del valor mediotiene una interpretacion geometrica (Fig. 3.1). Dada la curva f : R→ Rdiferenciable en el intervalo [a, b], siendo a y b sus extremos, existe unpunto c = a + β(b − a), tal que la tangente a la curva en ese punto esparalela a la cuerda que une sus extremos.

3.2.2. Regla del punto medio

Dada una ecuacion diferencial no lineal de primer orden en el formato

y(t) = f(y(t), t), (3.15)

Diseno del metodo consistente 41

x

f(x)

f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a

a bc

Figura 3.1. Teorema del valor medio.

y un paso de integracion ∆t = tn+1−tn, se puede obtener yn+1 ≈ y(tn+1)mediante la regla del punto medio como

yn+1 = yn + ∆t fn+ 12

(3.16)

donde se ha utilizado la siguiente notacion

fn+ 12

= f(yn+ 12, tn+ 1

2), (3.17)

yn+ 12

=1

2(yn + yn+1), (3.18)

tn+ 12

=1

2(tn + tn+1). (3.19)

Esta regla tiene precision de segundo orden y en caso lineal coincide conla regla trapezoidal.

3.2.3. Metodo consistente

Un sistema mecanico se considera conservativo si todas las fuerzasactivas internas o externas se pueden escribir como procedentes de unpotencial V (q) y las ligaduras no efectuan trabajo. En el caso particularde que no existen ligaduras, el movimiento del sistema esta gobernadopor el siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales

Mq = −∂V∂q

, (3.20)

donde ∂V /∂q representa las fuerzas conservativas, Mq las fuerzas deinercia y q es el vector de coordenadas generalizadas.

El primer paso es transformar el sistema dado por Ecuacion 3.20 enuno de primer orden con el siguiente cambio de variable

y =

qq

⇒ y =

qq

. (3.21)


Reemplazando q = −M−1 ∂V /∂q se obtiene

y = f(y(t), t) =

q

−M−1∇V

, (3.22)

siendo ∇V = ∂V /∂q el gradiente del potencial V .

A continuacion se aplica la regla del punto medio que conduce a

qn+1 = qn + ∆t qn+ 12, (3.23)

qn+1 = qn −∆tM−1∇V n+ 12, (3.24)

qn+ 12

=qn+1 + qn

2. (3.25)

De estas ultimas expresiones se obtiene el siguiente esquema de integra-cion numerica

M(qn+1 − qn)

∆t= −∇Vn+ 1

2, (3.26)

qn+1 + qn2

=qn+1 − qn

∆t. (3.27)

Con el objetivo de construir un algoritmo que conserve la energıa,se multiplica escalarmente la Ecuacion 3.26 por el vector desplazamiento∆q = qn+1 − qn, obteniendose

M(qn+1 − qn)

∆t· (qn+1 − qn) +∇Vn+ 1

2· (qn+1 − qn) = 0. (3.28)

Esta expresion puede interpretarse como una aproximacion del traba-jo realizado por las fuerzas de inercia y conservativas en el intervalo[tn, tn+1].

Para el primer termino del sumando en la Ecuacion 3.28, que denota-remos por WT , se tiene que

WT = M(qn+1 − qn)

∆t· (qn+1 − qn). (3.29)

Con la ayuda de la Ecuacion 3.27 y teniendo en cuenta que la matriz Mes simetrica, se llega a

WT =1

2(qn+1 + qn) ·M (qn+1 − qn) (3.30)

=1

2qn+1 ·M qn+1 −

1

2qn ·M qn. (3.31)

Claramente se comprueba que el termino WT corresponde al cambio deenergıa cinetica dado por

WT = Tn+1 − Tn = ∆T. (3.32)


Por otro lado, para el segundo termino del sumando en la Ecuacion3.28 denotado por WV se tiene

WV = ∇Vn+ 12· (qn+1 − qn). (3.33)

Introduciendo en este punto el teorema del valor medio, puesto que V (q)es una funcion continua y diferenciable, se cumple para una configuracionqn+β lo siguiente

∇V (qn+β) · (qn+1 − qn) = Vn+1 − Vn, (3.34)

siendo qn+β = qn + β(qn+1 − qn) con 0 6 β 6 1.

Reemplazando entonces la evaluacion en el punto medio del gradiente∇V por una evaluacion intermedia en tn+β, se llega a

WV = ∇Vn+β · (qn+1 − qn) = Vn+1 − Vn = ∆V, (3.35)

que corresponden al cambio de energıa potencial del sistema.

Observacion 4 Al mismo resultado se habrıa llegado aplicando la derivadadiscreta de Gonzalez (1996). Bastarıa con reemplazar el gradiente eva-luado en el punto medio por la derivada discreta denotada por ∇V talque

WV = ∇V · (qn+1 − qn).

Puesto que la derivada discreta cumple la propiedad de direccionalidaddada por

∇V · (qn+1 − qn) = Vn+1 − Vn,se cumple que WV = Vn+1 − Vn = ∆V .

Por ultimo, reemplazando los terminos desarrollados WT y WV en laEcuacion 3.28 se obtiene

WT +WV = ∆T + ∆V = 0, (3.36)

∆E = 0, (3.37)

donde ∆E es el cambio de energıa total del sistema.

Resumiendo, si las fuerzas que derivan del potencial V (q) se evaluanen una configuracion que cumple con la Ecuacion 3.34, el siguiente esque-ma numerico dado por

M(qn+1 − qn)

∆t= −∇Vn+β, (3.38)

qn+1 + qn2

=qn+1 − qn

∆t, (3.39)


conserva de forma discreta la energıa total, siendo entonces consistentecon el principio de conservacion de la energıa del sistema.

Supongamos ahora que ademas de las fuerzas conservativas existenotras fuerzas FR que corresponden a la formulacion de las restricciones.El sistema de ecuaciones diferenciales queda entonces definido por

Mq = −∂V∂q− FR. (3.40)

Integrando estas ecuaciones con el esquema consistente se obtiene

M(qn+1 − qn)

∆t= −∇Vn+β − FRn+θ, (3.41)

qn+1 + qn2

=qn+1 − qn

∆t, (3.42)

donde la fuerzas de restriccion se evaluan en una configuracion qn+θ.

Multiplicando la Ecuacion 3.41 por ∆q se llega a

∆E +WR = 0, (3.43)

siendo

WR = FRn+θ · (qn+1 − qn) (3.44)

el trabajo realizado por las fuerzas de restriccion.

En lo que sigue se describe el procedimiento para obtener una expre-sion de la fuerza FRn+θ que garantice la conservacion de la energıa paraun sistema mecanico sujeto a una serie de restricciones. Esta version dela fuerza, consistente con el principio de conservacion de la energıa, seobtendra para las tres formulaciones estudiados en el Capıtulo 2.

Multiplicadores de Lagrange

La fuerza asociada a las restricciones para esta formulacion esta dadapor

FR =∂Φ

∂q

T

λ. (3.45)

Reemplazando esta expresion en el termino WR se tiene que

WR =

(∂Φ

∂q

T

λ

)

n+θ

·∆q = λn+θ ·∂Φ

∂q n+θ

∆q (3.46)

con ∆q = qn+1 − qn.


El teorema del valor medio garantiza que existe una configuracionqn+θ que cumple con

∂Φ

∂q n+θ

(qn+1 − qn) = Φn+1 −Φn, (3.47)

∇Φ1n+θ ·∆q

∇Φ2n+θ ·∆q

...∇Φm

n+θ ·∆q

=

Φ1n+1 − Φ1

n

Φ2n+1 − Φ2

n...

Φmn+1 − Φm

n

. (3.48)

Por tanto, el trabajo total del sistema, incluyendo las fuerzas de restric-cion evaluadas en la configuracion qn+θ, se reduce a

∆E +WR = ∆E + λn+θ · (Φn+1 −Φn) = 0. (3.49)

Partiendo de un instante tn donde las restricciones se cumplen (Φn = 0),la formulacion con multiplicadores conducira a Φn+1 = 0 en el instantetn+1 = tn+∆t. Con esto se verifica que el trabajo realizado por las fuerzasde restriccion es nulo, puesto que WR = 0, y que el cambio de energıatotal entre dos instantes es tambien nulo, dado que ∆E = 0.

Se verifica entonces que las fuerzas de restriccion FR formuladas conmultiplicadores de Lagrange y evaluadas en una configuracion qn+θ quecumpla con la Ecuacion 3.47 conservan la energıa total del sistema. Portanto, el esquema de integracion queda definido como

M(qn+1 − qn)

∆t+∇Vn+β = −∂Φ

∂q

T

n+θ

λn+θ, (3.50)

Φn+1 = 0, (3.51)

qn+1 − qn∆t

=qn+1 + qn

2. (3.52)

Penalizacion

A diferencia de la formulacion con multiplicadores, la fuerza de res-triccion proviene en este caso de un potencial P tal que

FR =∂P

∂q=∂Φ

∂q

T

αΦ. (3.53)

siendo P (q) = 12Φ ·αΦ.

Para evaluar el trabajo que realiza la fuerza de penalizacion obtene-mos el termino

WR =∂P

∂q n+θ

·∆q = ∇Pn+θ ·∆q (3.54)


con ∆q = qn+1 − qn.

Nuevamente, basandonos en el teorema del valor medio se garantizaque existe una configuracion que cumple con

∇Pn+θ · (qn+1 − qn) = Pn+1 − Pn. (3.55)

Por tanto, el trabajo total del sistema se reduce a

∆E +WR = ∆E + ∆P = 0. (3.56)

Como ya se advirtio en el Capıtulo 2, la formulacion con penalizacionno conduce al cumplimiento de las restricciones y por tanto ∆P 6= 0. Estoquiere decir que la energıa total del sistema, entendida como la suma dela energıa cinetica T y potencial V , no se conserva. Sin embargo, sı puedeasegurarse que la suma de la energıa total E y la energıa potencial P dela restricciones permanece constante, puesto que a partir de la expresiondel trabajo total dado por la Ecuacion 3.56 se deduce que

Tn+1 + Vn+1 + Pn+1 = Tn + Vn + Pn. (3.57)

Para obtener una expresion detallada de la fuerza FRn+θ reemplaza-mos su expresion en la Ecuacion 3.55, obteniendose

(∂Φ

∂q

T

αΦ

)

n+θ

· (qn+1 − qn) = Pn+1 − Pn, (3.58)

αΦn+θ ·∂Φ

∂q n+θ

(qn+1 − qn) = Pn+1 − Pn, (3.59)

αΦn+θ ·

∇Φ1n+θ ·∆q

∇Φ2n+θ ·∆q

...∇Φm

n+θ ·∆q

= Pn+1 − Pn, (3.60)

que conduce a

αΦn+θ · (Φn+1 −Φn) = Pn+1 − Pn, (3.61)

=1

2ΦTn+1αΦn+1 −

1

2ΦTnαΦn, (3.62)

=α

2(Φn+1 + Φn) · (Φn+1 −Φn). (3.63)

Comparando ambos lados de la expresion anterior se deduce que

αΦn+θ =α

2(Φn+1 + Φn). (3.64)

Reemplazando este ultimo resultado en la expresion de la fuerza de res-triccion se llega a

FRn+θ =∂Φ

∂q

T

n+θ

α

2(Φn+1 + Φn). (3.65)


Resumiendo, el esquema de integracion consistente con la conserva-cion de energıa, incluyendo en esta el potencial de penalizacion, esta dadopor

M(qn+1 − qn)

∆t+∇Vn+β = −∂Φ

∂q

T

n+θ

α

2(Φn+1 + Φn), (3.66)

qn+1 − qn∆t

=qn+1 + qn

2. (3.67)

Lagrange Aumentado

Esta formulacion combina penalizacion con los multiplicadores de La-grange para definir la fuerza de restriccion como

FR =∂Φ

∂q

T

αΦ +∂Φ

∂q

T

λ. (3.68)

De la misma forma que hemos procedido con las anteriores formula-ciones, el teorema del valor medio garantiza que existe una configuracionqn+θ que cumple con

∂Φ

∂q n+θ

(qn+1 − qn) = Φn+1 −Φn. (3.69)

Ası, el trabajo WR de la fuerza de restriccion dada por

FRn+θ =∂Φ

∂q

T

n+θ

(α2

(Φn+1 + Φn) + λn+θ

)(3.70)

con qn+θ = qn + θ(qn+1 − qn) y 0 6 θ 6 1, queda expresado como

WR = αΦn+θ ·∂Φ

∂q n+θ

∆q + λn+θ ·∂Φ

∂q n+θ

∆q, (3.71)

= ∆P + λn+θ · (Φn+1 −Φn). (3.72)

Si las restricciones se cumplen exactamente para los instantes tn y tn+1

es facil comprobar que la energıa total del sistema se conserva, puestoque

∆E +WR = ∆E = 0. (3.73)

Por tanto, si las fuerzas de restriccion se formulan mediante Lagrangeaumentado y se evaluan en una configuracion qn+θ que cumpla con Ecua-cion 3.47, se obtiene el siguiente esquema numerico de integracion


M(qn+1 − qn)

∆t+∇Vn+β = −∂Φ

∂q

T

n+θ

(α2

(Φn+1 + Φn) + λn+θ

), (3.74)

Φn+1 = 0 (3.75)

qn+1 − qn∆t

=qn+1 + qn

2, (3.76)

que conserva de forma discreta la energıa total del sistema.

El metodo de Lagrange aumentado puede implementarse numerica-mente de forma iterativa usando el algoritmo de Uzawa. En el ApendiceD se describen en detalle dos procedimientos iterativos para obtener losmultiplicadores de Lagrange. Combinando el procedimiento iterativo pa-ra los multiplicadores con el metodo de integracion consistente con laenergıa total, se obtiene el siguiente esquema numerico

M(qn+1 − qn)

∆t+∇Vn+β = −∂Φ

∂q

T

n+θ

(α2

(Φn+1 + Φn) + λk

n+θ

), (3.77)

qn+1 − qn∆t

=qn+1 + qn

2, (3.78)

λk+1

n+θ =α

2(Φn+1 + Φn) + λ

k

n+θ. (3.79)

Este metodo garantiza el cumplimiento de las restricciones cuando se al-canza la convergencia de los multiplicadores de Lagrange.

Resultados numericos 49

3.3. Resultados numericos

En este apartado se presentan tres ejemplos de sistemas mecanicosconservativos que se consideran representativos. El objetivo es aplicar losesquemas numericos disenados para conservar la energıa total y compararlos resultados con otros metodos de integracion estandar que se resumenen la Tabla 3.1 y se describen en el Apendice C.

Integrador Numerico ID

Regla Trapezoidal RTBDF de orden n = 1, 2, 3, 4 BDFnMetodo de Hilber, Hughes & Taylor HHTMetodo de Newmark NKMetodo α-Generalizado GNMetodo Consistente EM

Tabla 3.1. Integradores numericos.

Las formulaciones con multiplicadores de Lagrange, penalizacion yLagrange aumentado fueron implementadas computacionalmente para eldesarrollo de estas comparaciones.

3.3.1. Pendulo simple

El pendulo de la Figura 3.2 esta formado por una masa m unida alpunto O mediante un hilo sin masa de longitud l.

O

θ

g

l

m

x

y

Figura 3.2. Pendulo simple en el plano.

Este simple sistema posee 1 grado de libertad y su movimiento en elplano esta completamente determinado por el angulo θ medido con res-pecto a la horizontal. La ecuacion diferencial que gobierna el movimientodel pendulo bajo la accion de gravedad g esta dada por

θ l m+ g m sin θ = 0.


Sin embargo, el movimiento del pendulo puede tambien formularseusando las coordenadas cartesianas que describen la posicion de la ma-sa en el plano. De esta forma el sistema se puede parametrizar con 2coordenadas generalizadas, anadiendo una ecuacion de restriccion pararecuperar el movimiento de un grado de libertad.

Las ecuaciones diferenciales y algebraicas que rigen el movimiento delsistema formulado en coordenadas cartesianas estan dada por

Mq + FR = −∂V∂q

sujeto a Φ = 0,

donde Φ es la restriccion que obliga a la masa m a mantenerse sobre latrayectoria circular que describe el movimiento del pendulo. En particularpara este problema se obtiene

(m 00 m

)xy

+ FR =

0

−mg y

sujeto a x2 + y2 − l2 = 0.

Descripcion de la simulacion

El pendulo parte de la posicion x = 1 m, y = 0 m, con velocidadx = 0 m/s, y = −1 m/s. El movimiento transcurre bajo la accion degravedad g = 1 m/s2 y esta sujeto a describir una trayectoria circular delongitud l = 1 m.

Para el analisis se utiliza la formulacion con multiplicadores de La-grange en ındice 3, en ındice 1 y con la estabilizacion de Baumgarte. Lafuerza de restriccion para este caso esta dada por

FR =∂Φ

∂q

T

λ =

2x2 y

λ

Se evalua el comportamiento de los diferentes integradores numericosmostrados en la Tabla 3.1 para las tres formulaciones consideradas. Laecuaciones diferenciales se integran numericamente durante 10 s con unpaso de tiempo ∆t = 0,025 s.

Formulacion en ındice 3

Consiste en resolver directamente el sistema dado por

Mq +∂Φ

∂q

T

λ = −∂V∂q

sujeto a Φ = 0.

La Figura 3.3 muestra diferentes instantaneas del movimiento en elplano del pendulo simple para los primeros segundos de simulacion ob-tenidos con el integrador RT.


−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5x

−1.0

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2y

t = 0.0 s

t = 0.1 s

t = 0.2 s

t = 0.3 s

t = 0.4 st = 0.5 s

t = 0.6 s

t = 0.7 s

t = 0.8 s

t = 0.9 st = 1.0 s

Figura 3.3. Trayectoria del pendulo con el integrador RT.

La Figura 3.4 muestra la evolucion de la energıa total para los primeros5 s, donde se observa un comportamiento inestable desde el inicio de lasimulacion.

0 1 2 3 4 5

0,490

0,495

0,500

0,505

0,510 ∆t = 0,025 s

t [s]

E[J

]

Figura 3.4. Evolucion de la energıa total con el integrador RT.

Esta inestabilidad de la solucion se traduce en errores que aumentande forma progresiva hasta provocar la distorsion total de la energıa, comomuestra la Figura 3.5. Conduciendo al mismo tiempo al colapso total dela simulacion.

La Figura 3.6 muestra el comportamiento de la energıa total con elintegrado BDF1, y en la Figura 3.7 se muestran los resultados obtenidoscon los metodos BDF2, BDF3 y BDF4.

En los resultados obtenidos con los integradores BDF se observa un


comportamiento estable de la solucion, que se refleja en una evolucionsuave de la energıa total del sistema. Esta estabilidad se debe la disipacionnumerica introducida de forma artificial por los integradores BDF.

0 2 4 6 8 10

0

0,5

1

1,5

2

·105

∆t = 0,025 s

t [s]

E[J

]


Sin embargo, la disipacion puede llegar a ser excesiva como se apre-cia en la Figura 3.6 para el integrador BDF1. Aunque la disipacion deenergıa podrıa considerarse favorable en algunos casos no siempre puedeasegurarse, como ocurre para el integrador BDF3 en la Figura 3.7.

0 2 4 6 8 10

−0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

∆t = 0,025 s

t [s]

E[J

]

Figura 3.6. Evolucion de la energıa total con el integrador BDF1.

En la Figura 3.8 se muestra la evolucion de la energıa total para el inte-grador NK. Con este metodo es posible controlar la disipacion numericaintroducida en el sistema escogiendo de forma adecuada los parametrosde β y γ del integrador. Se asegura la disipacion de altas frecuencias


0 2 4 6 8 100,490

0,495

0,500

0,505

∆t = 0,025 s

t [s]

E[J

]

BDF2BDF3BDF4

Figura 3.7. Evolucion de la energıa total con los integradores BDF.

tomando

γ =1

2+ α, β =

1

4(γ +

1

2)2 y α > 0,

que corresponde al lımite de la zona de estabilidad absoluta (Hughes,2000). De acuerdo con esto se obtiene un decremento de la energıa totalcon el aumento del parametro α (Fig. 3.8).

0 2 4 6 8 10

−0,200

0,000

0,200

0,400

∆t = 0,025 s

t [s]

E[J

]

NKα=0,05

NKα=0,50

NKα=0,70

NKα=1,00

Figura 3.8. Evolucion de la energıa total con el integrador NK.

En la Figura 3.9 se muestra la energıa total calculada con los meto-dos de integracion HHT, GN y EM. Los metodos HHT y GN controlanla disipacion mediante los parametros α y ρ∞, respectivamente. Ambosvalores fueron escogidos cerca del lımite correspondiente a la disipacionnula.


0 2 4 6 8 100,46

0,47

0,48

0,49

0,5

∆t = 0,025 s

t [s]

E[J

]

EMHHTα=0,95

GNρ∞=0,95

Figura 3.9. Evolucion de la energıa total con diferentes integradores.

Comparando los resultados de energıa total (Fig. 3.9), se puede apre-ciar que los metodos HHT y GN introducen disipacion de la forma pre-vista, aunque en el caso del integrador GN el decremento conseguido esbajo. Por el contrario, el metodo consistente conserva la energıa totaldurante toda la simulacion de forma exacta, como era de esperarse.

Formulacion en ındice 1

La Tabla 3.2 muestra los valores obtenidos para la energıa total E y larestriccion Φ al final de la simulacion t = 10 s. Se comparan los resultadosde diferentes integradores utilizados para resolver el sistema dado por

Mq +∂Φ

∂q

T

λ = −∂V∂q

sujeto a Φ = 0.

ID E Φ l ∆l%

RT 0,3056519 +0,2523772 1,119097 +0,119BDF1 0,4046483 −0,4920257 0,712723 −0,287BDF2 0,5034554 −0,0100118 0,994982 −0,005NKα=0,7 0,3173810 +0,2113770 1,100626 +0,101GNρ∞=0,9 0,3056241 +0,2524141 1,119113 +0,119HHTα=0,95 0,3173829 +0,2113744 1,100625 +0,101

Tabla 3.2. Valores obtenidos para t = 10 s con diferentes integradores.

A diferencia de la formulacion en ındice 3, el integrador RT consigueresolver con exito la ecuaciones diferenciales, debido al bajo ındice delsistema DAE. Sin embargo, producto del hecho de no imponer la res-triccion original, sino que su segunda derivada, se introducen errores deforma progresiva que conducen al incumplimiento de la restriccion Φ.


Este comportamiento anomalo, conocido como ((drift)), conduce a re-sultados alejados de la solucion correcta. Lo mismo ocurre para los in-tegradores de disipacion controlada NKα=0,7, GNρ∞=0,9 y HHTα=0,95, aligual que para los integradores BDF. En general, la violacion progre-siva de la restriccion original puede ser en algunos casos inaceptable yconllevar comportamientos irregulares del sistema.

Formulacion estabilizada

Para evitar el efecto ((drift)), las restricciones pueden estabilizarse me-diante el metodo de Baumgarte que consiste en resolver el sistema dadopor

Mq +∂Φ

∂q

T

λ = −∂V∂q

sujeto a Φ + 2 ξωΦ + ω2Φ = 0.

Con el proposito de aislar el efecto disipativo anadido por algunosintegradores vistos en los apartados anteriores, se escoge el integrado RTcomo representativo de un caso en el cual la estabilizacion de Baumgarteaporta una notable mejora con respecto al caso sin estabilizacion. LaFigura 3.10 muestra la evolucion de la restriccion impuesta utilizando elintegrador RT con ξ = 1 y ω = 10 Hz, donde se aprecia que se cumplesatisfactoriamente.

0 2 4 6 8 10

0

0,5

1

·10−11

∆t = 0,025 s

t [s]

Φ+

2ξω

Φ+ω2Φ

[m/s

2]

Figura 3.10. Restriccion estabilizada con el integrador RT.

Una de las ventajas de este metodo de estabilizacion es que las res-tricciones se mantienen controladas de forma individual. La Figura 3.11muestra el comportamiento de restriccion algebraica Φ, que se cumpletambien de forma adecuada. Lo mismo ocurre con las restricciones Φ yΦ mostradas en la Figura 3.12 y Figura 3.13, respectivamente.


La formulacion estabilizada reduce considerablemente el efecto ((drift))del problema original, aunque por otro lado anade un efecto disipativo ala solucion numerica que en algunos casos puede ser importante.

Una desventaja de este metodo de estabilizacion es la necesidad deescoger adecuadamente los parametros ξ y ω, siendo muchas veces unatarea basada en prueba y error.

0 2 4 6 8 10−2

−1

0

1

2·10−4

∆t = 0,025 s

t [s]

Φ[m

]

Figura 3.11. Restriccion en posicion con el integrador RT.

0 2 4 6 8 10−6

−4

−2

0

2

4

6·10−4

∆t = 0,025 s

t [s]

Φ[m

/s]

Figura 3.12. Restriccion en velocidad con el integrador RT.


0 2 4 6 8 10−2

−1

0

1

·10−3

∆t = 0,025 s

t [s]

Φ[m

/s2]

Figura 3.13. Restriccion en aceleracion con el integrador RT.

3.3.2. Mecanismo biela-manivela

Un mecanismo biela-manivela plano esta compuesto por dos barrasrıgidas de longitud l1 y l2 unidas mediante una rotula con un extremofijo en A y otro deslizante sobre el eje horizontal en C, como muestra laFigura 3.14.

A θ

g

l1

B

l2

C

x

y

Figura 3.14. Geometrıa del mecanismo biela-manivela.

El sistema posee 1 grado de libertad y su movimiento puede descri-birse usando las coordenadas cartesianas de los puntos A, B y C. Debidoa esta parametrizacion son ademas necesarias 5 ecuaciones de restricciondadas por

Φ1 = (xB − xA)2 + (yB − yA)2 − l21,Φ2 = (xC − xB)2 + (yC − yB)2 − l22,Φ3 = xA,Φ4 = yA,Φ5 = yC ,

siendo las dos primeras de distancia constante entre los extremos de lasbarras y las tres ultimas de movimiento restringido para el punto A enla direccion x e y, y para el punto C en la direccion y.



El movimiento plano del mecanismo, que transcurre bajo la accion degravedad g, se inicia aplicando una velocidad θ0 partiendo de una posicioninicial dada por θ0. Las dimensiones de las barras y demas parametrosconsiderados en la simulacion numerica se resumen la Tabla 3.3.

Parametro valor

l1 1 ml2 2 mm1 1 kgm2 2 kg

Parametro valor

θ0 π/4 rad

θ0 −5 rad/sg 10 m/s2

α 106

Tabla 3.3. Parametros del sistema biela-manivela.

Para el analisis del movimiento se imponen las restricciones usando laformulacion de penalizacion dada por el siguiente sistema de ecuacionesdiferenciales

Mq +∂P

∂q= −∂V

∂q,

siendo P = 12Φ ·αΦ el potencial asociado a las restricciones.

Las ecuaciones del movimiento se integran numericamente durante 5 scon un paso de tiempo ∆t = 0,01 s y se comparan los resultados entrediferentes integradores.

Resultados

La Figura 3.15 muestra diferentes instantaneas en el movimiento delmecanismo biela-manivela obtenidas para los primeros segundos de si-mulacion con el integrador EM.

La Figura 3.16 muestra la posicion en el tiempo para el punto A ob-tenida con el integrador BDF de orden 2. Se observa que la posicion delpunto A permanece practicamente fija en el origen producto del correctocumplimiento de las restricciones. Lo mismo ocurre para la posicion deC, que se desliza sobre el eje y manteniendose fija sobre el eje x, comomuestra la Figura 3.17.

La Figura 3.18 reune los resultados de energıa total E del sistema ob-tenidos con diferentes integradores. Se observa la disipacion introducidapor los integradores BDF2, NK y HHT reflejada en el decremento de laenergıa total. Por otro lado, se observa que el integrador GN presenta unaevolucion suave y controlada de la energıa. Por ultimo, el metodo con-sistente EM muestra un comportamiento que destaca por su estabilidadfrente al resto de integradores.


−1 0 1 2 3x

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

y

t = 0.0 s

t = 0.1 s

t = 0.2 s

t = 0.3 st = 0.4 s

t = 0.5 s

t = 0.6 s

t = 0.7 s

t = 0.8 s t = 0.9 st = 1.0 s

Figura 3.15. Trayectoria del mecanismo con el integrador EM.

−1 0 1 2

·10−5

−1

−0,5

0

0,5

·10−5

∆t = 0,01 s

xA [m]

y A[m

]

Figura 3.16. Trayectoria de A con el integrador BDF2.


1 1,5 2 2,5 3

−2

0

2

·10−6

∆t = 0,01 s

xc [m]

y c[m

]

Figura 3.17. Trayectoria de C con el integrador BDF2.

La estabilidad y robustez proporcionada por el integrador EM se de-be a la formulacion consistente de la fuerza de penalizacion, tal que laenergıa total almacenada en el sistema se conserva de forma discretacumpliendose que

∆T + ∆V + ∆P = 0.

Es decir, la suma de la energıa cinetica, la energıa potencial y la energıapotencial de penalizacion, se mantiene constante durante la simulacion.

0 1 2 3 4 510

15

20

25

30

35

∆t = 0,01 s

t [s]

E[J

]

BDF2NKα=0,05

GNρ∞=0,8

HHTα=0,85

EM

Figura 3.18. Evolucion de la energıa total con diferentes integradores.

El termino ∆P desaparece cuando las restricciones se cumplen exacta-mente y se verifica ∆E = ∆T +∆V = 0, como ocurre con la formulacionde Lagrange aumentado.


3.3.3. Mecanismo de Bricard

Este mecanismo esta compuesto por 5 barras rıgidas identicas unidaspor rotulas cilındricas, como muestra la Figura 3.19. Es un sistema parti-cular que posee un grado de libertad en una determinada orientacion delas rotulas cilındricas.

Las barras rıgidas se representan por solidos tridimensionales usandocoordenadas cartesianas y las rotulas se consiguen imponiendo ecuacionesde restriccion en los extremos de las barras.

A

B

C

D

E

Fx

y

z

Figura 3.19. Geometrıa del mecanismo de Bricard.


El movimiento del sistema parte del reposo y transcurre bajo la accionde gravedad g. Las restricciones se formulan mediante penalizacion yLagrange aumentado.

Punto posicion inicial

A (1, 0, 1) mB (0, 0, 1) mC (0, 0, 0) mD (0, 1, 0) mE (1, 1, 0) mF (1, 1, 1) m

Parametro valor

l 1 mm 1 kgg 10 m/s2

α 107

Tabla 3.4. Parametros para el mecanismo de Bricard.

La posicion inicial de las barras y uniones, junto a otros parametrosde la simulacion, se resumen en la Tabla 3.4.


En el analisis a continuacion se compara unicamente el integradorconsistente EM con el integrador GN, el cual se considera representativode los metodos de disipacion controlada. Se descartan de esta comparati-va los integradores BDF debido a su efecto disipativo y el integrador RTya que no es capaz de resolver las ecuaciones con exito. La ecuacionesdel movimiento se resuelven considerando 10 s de simulacion numerica enpasos de tiempo ∆t = 0,1 s.

Resultados

La Figura 3.20 muestra diferentes instantaneas en el movimiento delmecanismo de Bricard obtenidas para los primeros segundos de simula-cion con el integrador EM.

t = 0,0 s t = 1,5 s

t = 3,0 s t = 4,5 s

Figura 3.20. Posicion del mecanismo de Bricard para el integrador EM yun paso de tiempo ∆t = 0,1 s.


La Figura 3.21 muestra la velocidad del centro de masas de la barra ABen la direccion z para el integrador GN. Se observa que con la formulacionde Lagrange aumentado dicha velocidad es practicamente nula y conpenalizacion la velocidad obtenida oscila continuamente.

0 2 4 6 8 10−6

−4

−2

0

2

4

6·10−2

∆t = 0,1 s

t [s]

z[m

/s]

PenalizacionL. aumentado

Figura 3.21. Velocidad del centro de masas de la barra AB en ladireccion z con el integrador GN(ρ∞ = 0,8).

Un resultado similar al anterior se obtiene con el integrador consis-tente EM, puesto que la velocidad experimentada por el centro de masasde la barra AB es practicamente nula para la formulacion de Lagrangeaumentado si se compara con penalizacion, como muestra la Figura 3.22.

0 2 4 6 8 10−6

−4

−2

0

2

4

6·10−2

∆t = 0,1 s

t [s]

z[m

/s]


Figura 3.22. Velocidad del centro de masas de la barra AB en ladireccion z con el integrador EM.

La diferencia principal entre los integradores GN y EM se observa enterminos energeticos, como muestra la Figura 3.23.


0 2 4 6 8 1019,85

19,90

19,95

20,00

20,05∆t = 0,1 s

t [s]

E[J

]

GNρ∞=0,8

EM

Figura 3.23. Evolucion de la energıa total con Lagrange aumentado.

Mientras el integrador EM mantiene constante la energıa durante todala simulacion con la formulacion de Lagrange aumentado, con el integra-dor GN se obtienen valores que oscilan alrededor del valor correcto.

Contacto con SuperficiesImplıcitas C

apıt

ulo

4Para obtener un modelo de contacto general es necesario incorpo-

rar diversos parametros que intervienen en el comportamiento mecanico,como por ejemplo, la rigidez (respuesta elastica de los solidos), el amorti-guamiento, el coeficiente de friccion, la temperatura, la velocidad tangen-cial relativa, etc. Sin embargo, cada uno de estos parametros precisa deuna especial atencion que conduce a formulaciones para situaciones par-ticulares de contacto, debido a la complejidad de los diferentes fenomenosinvolucrados.

Por otro lado, desde el punto de vista numerico el contacto anadeuna componente no lineal que puede otorgar un caracter ((stiff)) a lasecuaciones diferenciales del movimiento. Ambas caracterısticas, inducena una eleccion adecuada del metodo de solucion numerica apara evitar oreducir los problemas de estabilidad que acompanan al contacto.

Otro factor importante a tener en cuenta en la simulacion computacio-nal del contacto, es la geometrıa utilizada para representar los solidos encontacto. En una formulacion tradicional de solidos flexibles medianteel metodo de elementos finitos son utilizadas con bastante frecuencia lastecnicas conocidas como nodo-segmento y nodo-superficie, para el caso bi-dimensional y tridimensional respectivamente. Estas tecnicas aprovechanla malla de nodos y elementos para establecer los metodos de busqueday evaluacion de la penetracion durante el contacto.

En este capıtulo se desarrolla una formulacion para el contacto entresolidos que pueden representarse por una ecuacion analıtica de superficie,bien totalmente (como es el caso de paredes rıgidas representadas me-diante la ecuacion del plano o partıculas rıgidas representadas por esferaso elipsoides) o mediante trozos. Se revisan tambien algunos conceptos ge-nerales del contacto y las principales tecnicas numericas de solucion delas ecuaciones diferenciales, repasando los problemas mas frecuentes.

66 Contacto con Superficies Implıcitas

4.1. Conceptos generales del contacto

4.1.1. Fuerza de contacto

En el contexto de la mecanica de solidos, el contacto se entiendecomo un proceso de interaccion, entre dos o mas solidos, durante el cualse generan fuerzas que impiden la penetracion.

La fuerza de contacto que se genera en la superficie de los solidosse puede representar como la suma de dos fuerzas, una en la direccionnormal y otra en la direccion tangente, como muestra la Figura 4.1.

Fn

Ft

FC

Figura 4.1. Fuerzas en la superficie de contacto.

Es posible distinguir dos planteamientos para incorporar el fenomenode contacto en un problema mecanico. Uno basado unicamente en lacondicion geometrica de no penetracion y otro definido mediante una leyconstitutiva para describir el comportamiento mecanico en la superficiede contacto.

Antes de introducir la fuerza de contacto en las ecuaciones que go-biernan el movimiento de un sistema multicuerpo es conveniente analizarpor separado el contacto sin friccion y con friccion.

4.1.2. Contacto sin friccion

Considerese un problema simple de contacto compuesto por una masapuntual m sometida unicamente a la accion de gravedad y una superficierıgida de contacto, como muestra la Figura 4.2.

El movimiento de la masa esta restringido a cumplir la siguiente con-dicion

d(x) > 0, (4.1)

siendo d la distancia con respecto al suelo de la masa para una posicionx. Si la masa se encuentra sobre el suelo la distancia d es positiva, ceropara el instante de contacto y negativa cuando esta por debajo del suelo.

Conceptos generales del contacto 67

n d

m

g

Figura 4.2. Masa puntual y superficie rıgida.

Cuando la masa esta en contacto con la superficie rıgida aparece unafuerza Fn = F nn en la direccion normal a la superficie que impide lapenetracion, como se esquematiza en la Figura 4.3.

n m

d = 0

F nn

g

Figura 4.3. Contacto sin friccion de una masa puntual.

A partir de las condiciones del contacto es posible distinguir dos si-tuaciones dadas por

d > 0 =⇒ F n = 0, (4.2)

d = 0 =⇒ F n > 0, (4.3)

de las cuales se concluye lo siguiente

d > 0, F n > 0 y dF n = 0. (4.4)

Estas afirmaciones se conocen como las condiciones de Hertz, Signoriniy Moreau, o condiciones de Kuhn-Tucker (Kuhn & Tucker, 1951) enproblemas de optimizacion. Estas condiciones se pueden resumir en laFigura 4.4.

4.1.3. Contacto con friccion

Partiendo del problema sin friccion, supongamos que en el instantede contacto aparece, ademas de la fuerza normal, una fuerza tangente ala superficie, como muestra la Figura 4.5.


d

F n

Figura 4.4. Condiciones de Kuhn-Tucker para el contacto sin friccion.

n

t

m

d = 0

F nn

F tt

g

Figura 4.5. Contacto con friccion de una masa puntual.

La fuerza en la direccion tangente surge producto de la friccion exis-tente entre la masa y la superficie, cuyo comportamiento puede descri-birse mediante la Ley de Coulomb. Esta ley relaciona ambas componentesde la fuerza de contacto mediante la desigualdad

− |F t|+ µF n > 0, (4.5)

donde µ es el coeficiente de friccion entre la superficie y la masa.

El modelo de Coulomb distingue dos situaciones conocidas como

((Stick)) |u| = 0, |F t| < µF n, (4.6)

((Slip)) |u| > 0, |F t| = µF n, (4.7)

donde u es el desplazamiento relativo en la direccion tangente. En otraspalabras, la condicion ((stick)) se refiere al contacto sin deslizamiento re-lativo entre la superficies de contacto y la condicion ((slip)) a la situacioncontraria.

La condiciones ((stick)) y ((slip)) se pueden escribir mediante las con-diciones de Kuhn-Tucker como

|u| ≥ 0, F > 0 y |u|F = 0 (4.8)

donde F = −|F t|+ µF n.

La Figura 4.6 muestra la relacion entre la fuerza tangente y el des-plazamiento relativo u. Como se puede observar, la curva presenta dos

Conceptos generales del contacto 69

u

F t

F t= −µF n

F t= µF n

Figura 4.6. Condiciones de Kuhn-Tucker para el contacto con friccion.

puntos caracterısticos donde su derivada no existe, y lo mismo ocurrepara el contacto sin friccion. Este particular comportamiento induce aemplear modelos matematicos que aproximen de forma suave las leyesconstitutivas, evitando ası los puntos no diferenciables.

4.1.4. Problema computacional

La simulacion computacional del contacto comprende el estudio dedos aspectos fundamentales, deteccion geometrica de la penetracion yformulacion de la fuerza de contacto.

La deteccion es un procedimiento puramente geometrico que sirvepara determinar y cuantificar la penetracion ocurrida durante el contacto,ası como tambien la existencia de desplazamientos relativos. En algunoscasos es tambien util detectar el instante de tiempo en cual se produceel contacto, siendo esta variable un argumento de entrada en el modelomatematico de la fuerza de contacto. Puede ser un proceso altamentecomplejo en simulaciones donde intervienen muchos cuerpos, y sobre todoen el caso tridimensional.

Desde el punto de vista computacional, la deteccion del contacto esde gran interes puesto que representa un importante porcentaje de tiem-po dentro de la simulacion. Por este motivo existen diversos metodos yalgoritmos centrados unicamente en reducir el coste computacional delproceso de deteccion.

Por otro lado, la formulacion del contacto comprende el desarrollode modelos capaces de reproducir la fuerza que se genera en la superficiedonde el contacto se produce, relacionando proporcionalmente la penetra-cion con la magnitud de la fuerza. Los modelos mas sofisticados recurrena la micromecanica del contacto para confeccionar una ley constitutiva.

Otro aspecto importante en la simulacion del contacto es la geometrıautilizada para representar los cuerpos, puesto que el proceso de deteccion


se hace mas laborioso cuando la geometrıa es mas compleja. En el casomas general, la geometrıa de un solido se representa por un volumendelimitado por una o mas superficies, pudiendo estar estas definidas yasea de forma analıtica, o bien a traves de una malla de elementos desuperficiales o volumetricos, como se muestra en la Figura 4.7.

y

z

x

Figura 4.7. Solido definido mediante una malla de elementos.

La Figura 4.8 muestra un ejemplo de una superficie definida de formaanalıtica, donde la geometrıa de una esfera de radio r esta definida poruna ecuacion implıcita dada por x2 + y2 + z2 − r2 = 0.

x y

z

Figura 4.8. Esfera definida por una ecuacion de superficie.

El trabajo desarrollado en esta tesis se enfoca fundamentalmente enla formulacion de la fuerza de contacto, sin profundizar en los procedi-mientos para realizar la deteccion. En particular, se estudia el caso en quelos solidos se representan con una superficie definida de forma implıcita.

4.2. Cinematica del contacto

Como se ha planteado en la seccion anterior, la geometrıa de los cuer-pos es un aspecto importante en la simulacion computacional del contac-to, debido a su influencia en la evaluacion de la penetracion. Se propone

Cinematica del contacto 71

aquı una forma sencilla de evaluar la proximidad de dos solidos, teniendoen cuenta que el volumen (o el area en el caso bidimesional) de uno deellos esta representado por una ecuacion implıcita.

4.2.1. Definicion de contacto

Considerense dos cuerpos tridimensionales en movimiento denotadospor B1 y B2, tal que el volumen de cada uno esta encerrado por lasfronteras ∂B1 y ∂B2, respectivamente, como muestra la Figura 4.9.

Para cualquier instante t, existira un punto P sobre la frontera ∂B1

que cumpla con la condicion de mınima distancia entre ambos cuerpos,es decir, que pueda considerarse como el mas proximo a la frontera ∂B2

en terminos geometricos.

B1

∂B1

P

B2

∂B2

Figura 4.9. Cinematica del contacto.

A partir de la suposicion anterior, se puede afirmar que el contactoentre B1 y B2 se producira cuando la distancia mınima medida entreambos solidos sea nula. En mecanica de contacto, la distancia mınimaque separa dos cuerpos se denomina ((gap)), que en espanol se traducecomo brecha o espacio. Tradicionalmente, el ((gap)) se define como ladistancia euclıdea entre el punto P y la frontera ∂B2, aunque es comunencontrar otras definiciones menos convencionales del ((gap)) y que decierta forma miden tambien la distancia entre los cuerpos.

4.2.2. Proyeccion de mınima distancia

Dado un punto P , se denomina como proyeccion de mınima distan-cia al punto P ′ sobre ∂B2 que se encuentra a la menor distancia de P ,como muestra la Figura 4.10. A partir de esta definicion el ((gap)) quedaexpresado matematicamente como

g = g · n, (4.9)


B1

∂B1

P

P ′g

n

B2

∂B2

Figura 4.10. Proyeccion de mınima distancia y ((gap)).

donde g = xP − xP ′ .

El signo de g determina la posicion relativa de P con respecto a lafrontera, tal que

si

g > 0, P esta en el exterior de ∂B2

g < 0, P esta en el interior de ∂B2, (4.10)

siendo g = 0 cuando ∂B1 ∩ ∂B2 = P .

El ((gap)) ası definido implica la busqueda de la pareja (P, P ′) en todoel conjunto infinito de puntos sobre ∂B1 y ∂B2. Sin embargo, la formula-cion computacional del movimiento conlleva tambien una discretizacionde la geometrıa, limitando la busqueda a un conjunto finito de puntos.

En el caso de una discretizacion con elementos finitos, los puntosde la frontera seran los nodos de los elementos. En la Figura 4.11 semuestra un ejemplo simple de elementos cuadrilateros, donde P ′ podrıadeterminarse a partir del segmento que une dos nodos de la frontera(((node-to-segment))). Modelos de este tipo son utilizados con frecuenciaen problemas de contacto (Zavarise & De Lorenzis, 2009).

P

n

P ′

ξ

Figura 4.11. Elementos cuadrilateros en contacto.

4.2.3. Ecuacion de superficie

Un caso particular del contacto entre solidos es cuando la superficie deuno de ellos esta representada por un conjunto finito de puntos, y la delotro por una ecuacion implıcita (esferas, planos, elipses, etc). Geometrıas


mas complejas pueden tambien definirse mediante superficies cuadricas,supercuadricas o NURBS (((Non-uniform rational basis spline))).

Los cuerpos rıgidos presentan una caracterıstica adicional, y es queno precisan de una discretizacion del continuo, sino que basta con se-leccionar determinados puntos del solido para describir su movimiento.Estos puntos forman un sistema de ejes ortonormales fijos al cuerpo, quepermiten definir una ecuacion de superficie apoyandose en este sistemade referencia local, como muestra la Figura 4.12.

De forma general podrıa entonces definirse la frontera de un cuerpocomo

∂B2 = (X, Y, Z) : f(X, Y, Z) = 0, (4.11)

donde (X, Y, Z) son las coordenadas de un punto de la frontera referidasal sistema local G; e1, e2, e3 y f es una funcion escalar f : R3 → R.

B1

P

B2

∂B2

f(X, Y, Z) = 0

G

e1

e2

e3

Figura 4.12. Solido rıgido definido mediante una ecuacion implıcita.

A partir de la ecuacion de superficie es posible determinar la posicionrelativa de P ∈ ∂B1 (representada por puntos) con una simple evaluacionde S = f(XP , YP , ZP ), tal que

si

S > 0, P esta al exterior de ∂B2

S < 0, P esta al interior de ∂B2, (4.12)

siendo S = 0 cuando P esta justo sobre la superficie ∂B2.

Es importante destacar que evaluando la funcion de superficie no seobtiene la distancia real que existe entre P y la frontera de contacto. Laprincipal ventaja de esta formulacion es que la deteccion del contacto sepuede realizar con una simple evaluacion de una funcion escalar.

4.2.4. Deteccion del contacto

Para establecer el proceso de deteccion en el contacto con solidos rıgi-dos representados mediante una ecuacion implıcita de superficie sera ne-cesario diferenciar dos situaciones: una para el contacto entre dos solidos


rıgidos, y otra para el contacto entre un solido rıgido y un solido defor-mable.

En ambas situaciones se distinguira entre un conjunto de puntos se-leccionados para el contacto pertenecientes al solido ((slave)) o esclavo yuna superficie definida en el solido ((master)) o maestro. Tambien es usualllamar a esta tecnica como contacto ((node-to-surface)) (NTS).

Rıgido-Rıgido

En este caso, si ambos solidos rıgidos se representan por medio deuna ecuacion implıcita de superficie, puede escogerse entre ambos paraocupar la condicion de esclavo o maestro.

La Figura 4.13 muestra un esquema sencillo de contacto entre dossolidos rıgidos para un caso plano. El solido BB se representa medianteuna ecuacion de superficie y sobre el contorno del solido BA se define unconjunto discreto de puntos que seran usados para la comprobacion delcontacto.

eA1eA2

P

BA

eB1

eB2f(X, Y, Z)

b

BB

Figura 4.13. Contacto entre dos solidos rıgidos.

Es importante destacar que los puntos definidos sobre el contorno delsolido esclavo no son necesarios para describir el movimiento, sino quesimplemente seran usados para la deteccion del contacto. Por otro lado,en muchas ocasiones no es necesario que los puntos seleccionados parael contacto se definan sobre todo el contorno del solido esclavo sino quebasta con definir puntos sobre la zona de contacto. No obstante, cuando lazona de contacto no se puede estimar con antelacion lo usual es disponerdel maximo de puntos posibles sobre la superficie del solido esclavo.

Rıgido-Deformable

En este caso el rol de esclavo y maestro esta determinado por la natu-raleza de cada solido. Los puntos seleccionados para el contacto se escogende la malla de elementos utilizada para describir el comportamiento delsolido deformable.


P

BA

eB1

eB2f(X, Y, Z)

b

BB

Figura 4.14. Contacto entre un solido rıgido y un solido reformable.

La Figura 4.13 muestra un esquema sencillo de contacto entre un solidoflexible y un solido rıgido para un caso plano. El solido BB se representamediante una ecuacion de superficie y el solido BA mediante una mallade elementos finitos.

Si ambos solidos son deformables puede escogerse uno de ellos co-mo maestro y sobre este definir una superficie implıcita, que para unrango pequeno de deformaciones no necesita ser actualizada asumiendocierto porcentaje de error. Si las deformaciones son grandes la superficiedebe actualizarse en cada paso de tiempo o de acuerdo algun criterioque asegure que la superficie utilizada representa la geometrıa del solidodeformado.

Multiples solidos

Para un problema de contacto en que intervienen multiples solidosrıgidos y deformables, la tarea de seleccion de puntos de contacto y su-perficies puede resultar complicada y elevar enormemente el coste compu-tacional del proceso de deteccion.

En la Figura 4.15 se muestra un esquema sencillo de contacto entre unmultiples solidos rıgidos y deformables para un caso plano. Los solidos B1

y B2 son rıgidos en condicion de esclavo, los solidos B3 y B4 son flexiblestambien en condicion de esclavo y los solidos B5 y B6 son rıgidos encondicion de maestro.

Suponiendo que los solidos se mueven en la direccion que se indica enla Figura 4.15, se abarcarıan todas las posibilidades de contacto definiendo6 parejas esclavo-maestro resumidas en la Tabla 4.1.

Sin embargo, en la mayorıa de las situaciones donde intervienen multi-ples solidos en contacto no es posible conocer previamente la pareja desolidos, siendo necesario entonces establecer el maximo de posibilidades.


B1

B2

B3

B4B5

B6

Figura 4.15. Contacto entre multiples solidos rıgidos y deformables.

ID Esclavo Maestro

1 B3 B5

2 B3 B6

3 B1 B5

4 B1 B6

5 B2 B5

6 B4 B5

Tabla 4.1. Parejas de contacto entre diferentes solidos.

Modelo para la fuerza de contacto 77

4.3. Modelo para la fuerza de contacto

Basandonos en la deteccion del contacto mediante la evaluacion deuna ecuacion implıcita de superficie, se propone un modelo para la fuerzade contacto formada por tres componentes

FC = FeC + Fd

C + FfC. (4.13)

Una componente FeC en la direccion normal disenada basicamente para

reproducir el choque elastico, otra componente FdC tambien en la direc-

cion normal que introduce amortiguamiento, y una tercera componenteFf

C que incorpora la friccion en la direccion tangente.

Para simplificar la explicacion del modelo se supondra que la superfi-cie de contacto esta definida con respecto a un sistema de referencia fijo.Extenderemos la formulacion al caso de solido rıgidos tridimensionalesen movimiento en el Capıtulo 5.

4.3.1. Restriccion de contacto

Asumiendo que la funcion de superficie f(X, Y, Z) es capaz de pro-porcionar una medida relativa de la penetracion, se puede formular lacondicion geometrica del contacto mediante la desigualdad

S = f(X, Y, Z) > 0, (4.14)

donde S es el valor que se obtiene al evaluar la funcion f para un deter-minado punto P de coordenadas (X, Y, Z).

Esta condicion unilateral puede transformarse en una restriccion bi-lateral de la siguiente forma

Φ =

0, si S > 0,S, si S 6 0.

(4.15)

Para mayor claridad, expliquemos con un sencillo ejemplo el proce-dimiento para obtener la restriccion bilateral de contacto. Considereseun solido B1 representado por un elemento plano triangular de 3 nodosy una frontera plana ∂B2 definida en un sistema de coordenadas x e y,como muestra la Figura 4.16.

Se puede describir ∂B2 mediante la ecuacion implıcita del plano dadapor

S = AX +B Y + C Z +D con A = 2, B = 3, C = 0 y D = −6,

donde A, B y C son las componentes del vector normal al plano (conte-nido en el semiespacio donde S > 0) y D es una constante. La superficie


x,X

y, Y

∂B2

2X+3Y −

6 =0

n

∂B1

12

3

B1

Figura 4.16. Ejemplo plano de contacto.

S = 0 podrıa representar una pared plana o el contorno recto de unsolido.

Para garantizar que la condicion de contacto se cumpla para todoel dominio ∂B1 se definen tres ecuaciones de restriccion, una para cadanodo, que se agrupan en el vector

Φ(q) =

Φ1(x1)Φ2(x2)Φ3(x3)

con Φi(xi) =

0, S(xi) > 0S(xi), S(xi) 6 0

(4.16)

siendo

q =

x1

x2

x3

, xi =

xiyi

y S(xi) = 2 xi + 3 yi − 6. (4.17)

A partir de este punto, la formulacion del contacto consiste simplementeen imponer

Φ(q) = 0. (4.18)

A pesar de que el tratamiento de la restriccion de contacto ası definidapresenta ventajas, desde el punto de vista conceptual conlleva una seriede dificultades, mayormente numericas, debidas a su condicion unilateraloriginal.

4.3.2. Componente elastica

Segun se estudio en el Capıtulo 3, la fuerza asociada a una restricciontiene la forma

FR =∂Φ

∂xΨ, (4.19)

Modelo para la fuerza de contacto 79

donde el vector ∂Φ/∂x representa la direccion de la fuerza y Ψ es unescalar.

Considerando ahora la restriccion dada por la Ecuacion 4.15 se obtieneel vector direccion como

∂Φ

∂x=∂S

∂xpara S(x) 6 0, (4.20)

siendo ∂S/∂x ≡ ∇S el gradiente de la funcion S = f(x).

Cuando la restriccion de contacto se cumple exactamente se verificaque S = 0. Por tanto, el gradiente calculado para x es tambien el vectornormal a la superficie en ese punto

∂S

∂x

∣∣∣∣P∈∂B2

=

∂S

∂x

∂S

∂y

∂S

∂z

T

≡ n. (4.21)

Teniendo en cuenta este resultado se obtiene la fuerza elastica de contactocomo

FeC = ∇S F n

e para S(x) 6 0. (4.22)

En cualquier otro caso la fuerza es nula y en el lımite

lımS→0

FeC = F n

e n, (4.23)

siendo F ne = λ en el caso de los multiplicadores, F n

e = αΦ con penaliza-cion y F n

e = αΦ + λ para la formulacion de Lagrange aumentado.

Observacion 5 Es importante destacar que en general el gradiente de lasuperficie, dado por ∇S, no es un vector unitario, por tanto ‖Fe

C‖ 6= F ne .

En la mayorıa de los casos F ne es un escalar que guarda cierta relacion

con la magnitud de la fuerza y n es el vector normal a la superficie queposee la direccion en el cual se aplica la fuerza de contacto.

4.3.3. Componente de amortiguamiento

La componente de amortiguamiento se obtiene suponiendo un modeloviscoso, en funcion de la velocidad de penetracion, que conduce a

FdC =

∂Φ

∂xη Φ, (4.24)

donde η es el coeficiente de amortiguamiento.

La velocidad de penetracion se obtiene a partir de la restriccion decontacto como

Φ =∂Φ

∂xx. (4.25)


Reemplazando estos resultados se obtiene la fuerza de amortigua-miento como

FdC = ∇S η∇S x para S(x) 6 0. (4.26)


lımS→0

FdC = F n

d n (4.27)

siendo F nd = η(n · x) la componente de la velocidad en la direccion del

vector normal a la superficie.

4.3.4. Componente de friccion

La componente de friccion se construye a partir del modelo de Coulomb,regularizando el comportamiento ((stick-slip)) de la siguiente forma

FfC = µF n γ t, (4.28)

donde µ es el coeficiente de friccion, F n es el modulo de la fuerza decontacto en la direccion normal, γ una funcion de regularizacion y t unvector unitario en direccion de la fuerza.

La funcion γ tiene por objetivo suavizar la transicion entre los esta-dos ((stick)) y ((slip)) del modelo de Coulomb, en funcion de la velocidadde deslizamiento segun el plano tangente. La Figura 4.17 muestra dosejemplos de funciones de regularizacion dados por las ecuaciones

γa(vt) =vt√v2

t + ε, y γb(vt) = tanh

vt

ε, (4.29)

donde ε es el factor de regularizacion y vt = ‖vt‖ el modulo de la veloci-dad de deslizamiento.

vt

γ

γb(vt)

γa(vt)

Figura 4.17. Funciones de regularizacion para ((stick-slip)).

El vector direccion de la fuerza puede obtenerse a partir del vectorvelocidad de deslizamiento como

t = −vt

vt

, (4.30)

Tratamiento numerico del contacto 81

siendo vt = n× (x× n).

Finalmente se obtiene la fuerza de friccion como

FfC = −µF n γ(vt)

vt

vt

para S(x) 6 0. (4.31)


lımS→0

FfC = F t

f t (4.32)

donde F tf = µF n γ es la magnitud de la fuerza de friccion y t es el vector

unitario tangente a la superficie.

4.4. Tratamiento numerico del contacto

Como ya se comento, la fuerza de contacto puede obtenerse a partir deuna restriccion regularizada usando las formulaciones vistas en el Capıtu-lo 2. En este apartado se repasan algunos detalles importantes de lasformulaciones basicas y mas utilizadas, multiplicadores y penalizacion.Reservamos el Capıtulo 5 para analizar las dificultades y ventajas de laformulacion de Lagrange aumentado cuando se combina con el integradorconsistente presentado en el Capıtulo 3.

4.4.1. Multiplicadores de Lagrange

Esta formulacion posee dos caracterısticas importantes que introdu-cen inestabilidad numerica. La primera es que el sistema de ecuacionesresultante es diferencial y algebraico (DAE), y la segunda es la condicionunilateral del contacto.

En el Capıtulo 2 hemos visto que los sistemas DAE pueden resolver-se con ciertos integradores que, a base de introducir amortiguamientonumerico, pueden conseguir una solucion estable del problema. Sin em-bargo, la condicion unilateral del contacto introduce nuevas dificulta-des para resolver las ecuaciones diferenciales mediante un procedimientonumerico tradicional.

En general, la solucion numerica de las ecuaciones implica una linea-lizacion de las mismas, como sucede con el metodo iterativo de Newton-Raphson (Gekeler, 2008), que conduce a un sistema lineal de ecuacionesde la forma Ax = b dado por

K∂Φ

∂q

T

∂Φ

∂q0

∆q

∆λ

= −

F

Φ

, (4.33)


siendo

K =∂F

∂qy F = M q +

∂Φ

∂q

T

λ− FG. (4.34)

Es facil ver que la matriz A es singular en ausencia de contacto, puestoque la derivada de la restriccion esta definida a trozos como

∂Φ

∂q=

0, si S > 0,∂S

∂q, si S 6 0.

(4.35)

Una manera de evitar que filas y columnas de la matriz A se anulen,es eliminar las restricciones de la matriz cada vez que no exista contactoe introducirlas exclusivamente cuando sean violadas. Esta solucion puederesultar eficaz para un numero pequeno de restricciones e incognitas, peroen caso contrario la manipulacion de la matriz A no es aconsejable.

Otra solucion al problema de singularidad es redefinir la ecuacionde restriccion anadiendo una nueva incognita, conocida como variable((slack)). Esta tecnica proviene del campo de la programacion lineal, don-de se define como una variable no negativa que sirve para transformaruna ecuacion de restriccion de desigualdad Φ > 0, en una restriccion deigualdad Φ−s2 = 0, donde s es la variable ((slack)) (Boyd & Vandenberg-he, 2010). La incorporacion de esta variable conduce a un nuevo sistemade ecuaciones lineales dado por

K ∂Φ

∂q

T0

∂Φ∂q

0 −2 s

0 −2 s −2λ

∆q

∆λ

∆s

= −

F

Φ− s2

−2λ s

. (4.36)

Concretando, consideremos un caso simple en el cual existe solo unarestriccion de contacto y que conduce a la ecuacion −2 s λ = 0. La so-lucion de esta ecuacion tiene dos posibilidades. La primera es λ = 0 ys 6= 0, que corresponde al estado sin contacto; y la segunda es s = 0y λ 6= 0 cuando la restriccion de contacto se impone. De esta forma lavariable ((slack)) impide que las filas y columnas de la matriz A se anulenque en ausencia de contacto.

En la practica es importante seleccionar cuidadosamente los valoresde partida para el multiplicador y la variable ((slack)), puesto que si laeleccion no es adecuada podrıa conducir a una solucion incorrecta delproblema.

La principal ventaja del metodo de multiplicadores es que garantizael cumplimiento exacto de la restriccion de contacto, consiguiendo portanto que la penetracion sea nula.

Tratamiento numerico del contacto 83

4.4.2. Penalizacion

Es la formulacion de contacto mas extendida debido su sencillez y, enterminos simples, se puede ver como un muelle de rigidez α que impidela penetracion.

Si comparamos la formulacion de penalizacion con los multiplicadoresde Lagrange, se puede afirmar que cuanto mas elevado es el valor de larigidez mejor es la aproximacion, como se esquematiza en la Figura 4.18para un caso lineal.

Φ

F ne

F ne = λ

F ne = αΦ

Figura 4.18. Fuerza de penalizacion y multiplicadores de Lagrange.

Sin embargo, aunque el valor de rigidez sea lo suficientemente elevadono se cumple exactamente la restriccion de contacto, puesto que es propiode la formulacion la existencia de una penetracion.

Tambien se puede enfocar la formulacion de penalizacion como unaley constitutiva en funcion en la penetracion δ y la rigidez k, como

F ne = k δa, (4.37)

donde k y a son parametros a determinar de forma experimental. Unejemplo de este tipo, para el caso particular del contacto entre dos esferas,es la ley de Hertz (1882), dada por

F ne = kH δ

32 , kH =

4

3

E

R, (4.38)

E =

(1− ν2

1

E1

+1− ν2

2

E2

)−1

, R =

(1

R1

+1

R2

), (4.39)

donde E es el modulo de Young equivalente y R el radio equivalente.

El modelo de Hertz es utilizado con bastante frecuencia en aplicacio-nes de sistemas multicuerpo, como por ejemplo en Lankarani & Nikra-vesh (1990) para el impacto con amortiguamiento, en Flores & Lankara-ni (2009) para la simulacion de uniones esfericas con holgura, en Ravn


(1998) para sistemas planos con uniones con holgura, y en Khemili &Romdhane (2008) para mecanismos flexibles con uniones rıgidas.

La formulacion con penalizacion es adecuada para situaciones en lascuales se admite penetracion, y sobre todo en casos donde es posible esta-blecer una relacion entre resultados experimentales y numericos. En estesentido, se puede decir que el contacto con penalizacion es mas apropiadopara simular condiciones realistas, puesto que todos los materiales sufrendeformaciones.

Otra caracterıstica positiva de esta formulacion es que no introduceincognitas adicionales, como en el caso de los multiplicadores, aunquesuele otorgar un caracter ((stiff)) al sistema de ecuaciones producto delos elevados valores de rigidez necesarios para imponer correctamente larestriccion de contacto.

Tratamiento Consistentedel Contacto C

apıt

ulo

5En general, la formulacion del contacto reune una serie de caracterısti-

cas (DAE, ((stiff)), restriccion unilateral y no linealidad) que normalmentetienen asociadas dificultades numericas. En este contexto, diversos tra-bajos proponen procedimientos que consiguen superar algunas de estasproblematicas.

Como se ha visto en el Capıtulo 3, la formulacion consistente de restric-ciones conduce a un algoritmo con un excelente comportamiento frente asistemas DAE y de caracter ((stiff)). Basandonos en estos antecedentes, seaplica el modelo consistente a la restriccion de contacto, estudiandose almismo tiempo las ventajas y desventajas que dicha formulacion conlleva.

Se considera una fuerza de contacto basada en una restriccion re-gularizada que impide la penetracion usando para ello la evaluacion deuna superficie definida de forma implıcita. De forma consistente con laenergıa se define un modelo constitutivo para el contacto incorporandoamortiguamiento y friccion, que garantiza la disipacion incondicional oasegura que la energıa contenida en el sistema se conserve en ausencia delas componentes disipativas.

86 Tratamiento Consistente del Contacto

5.1. Restriccion de contacto

5.1.1. Ecuacion unilateral

Considerense dos ecuaciones de restriccion definidas como

Φ1(x) = x− xc, y Φ2(x) =

0, x < xcx− xc, x > xc

, (5.1)

siendo xc es una constante.

La ecuacion Φ1 representa una restriccion bilateral y Φ2 una restric-cion unilateral definida a trozos, ambas mostradas en la Figura 5.1 paraun intervalo [xa, xb] tal que xa < xc < xb.

x

Φ(x) Φ1

xa xc xbx

Φ(x) Φ2

xa xc xb

Figura 5.1. Restriccion bilateral (izq.) y unilateral (dcha.).

Segun hemos visto en el Capıtulo 3, es requisito fundamental para laformulacion consistente con la energıa total que la ecuacion de restriccionsea continua y diferenciable en el intervalo [xa, xb], garantizando ası laexistencia de una configuracion xc que cumple con el teorema del valormedio expresado como

Φ′c(xb − xa) = Φb − Φa, con xc ∈ [xa, xb], (5.2)

siendo Φ′ = dΦ/dx. En el caso de la ecuacion Φ1, la existencia de xcesta garantizada puesto que es una funcion de clase C1. Sin embargo, laecuacion Φ2 tiene tan solo continuidad C0, no siendo aplicable en estecaso el teorema del valor medio.

La restriccion de contacto es tambien una funcion definida a trozosdada por

Φ(S) =

0, S > 0S, S 6 0

, (5.3)

que no cumple las condiciones para que sea aplicable la formulacion con-sistente. Siendo necesario una regularizacion de la restriccion de contactopara satisfacer las condiciones del teorema del valor medio.

Fuerza de contacto 87

5.1.2. Ecuacion regularizada

Una opcion sencilla para cumplir las condiciones de continuidad C1

es utilizar una funcion potencia para la ecuacion de restriccion definidacomo

Φ(S) =

0, S > 0b Sa, S ≤ 0

, (5.4)

donde a > 1 y b > 1, que corresponde a un caso particular de la so-lucion propuesta por Garcıa Orden & Goicolea (2005) para el contactoconservativo en uniones con holgura.

La Figura 5.2 muestra la ecuacion de restriccion definida a trozos yregularizada, para los parametros a = 2 y b = 1.

S

Φ(S)

Φ(S)

Figura 5.2. Restriccion unilateral regularizada (a = 2 y b = 1).

Dado que la ecuacion de restriccion tiene ahora continuidad Ca−1,satisface entonces las condiciones del teorema del valor medio. Por tanto,considerando un intervalo dado por [Sa, Sb] se puede decir que existe unvalor Sc que cumple con la siguiente ecuacion

Φ′c (Sb − Sa) = Φb − Φa (5.5)

con Sc ∈ [Sa, Sb].

5.2. Fuerza de contacto

En este apartado se propone una formulacion del contacto basadoen el metodo de Lagrange aumentado y el teorema del valor medio, paragarantizar que la energıa total del sistema se conserve y que la restriccionde contacto se cumpla exactamente. El punto de partida es la formulacioncon penalizacion, en la cual la energıa del contacto se se almacena en unpotencial durante el impacto y se restaura al sistema una vez finalizado.

Para simplificar la explicacion recurrimos a un problema de contactodado por una partıcula de masa m, cuyo movimiento se describe conlas coordenadas cartesianas (x, y, z) con respecto a un sistema fijo dereferencia. La superficie de contacto, que representa un solido rıgido, se


define centrada en el origen de coordenadas y con respecto al sistemafijo, como muestra la Figura 5.3.

f(X, Y, Z) = 0

x,X

y, Y

z, Z

x

m

Figura 5.3. Contacto con solido rıgido.

La funcion de superficie f(X, Y, Z) proporciona una medida de lapenetracion, de forma que el movimiento de la partıcula esta sujeto a

S = f(X, Y, Z) > 0, (5.6)

siendo S el valor que se obtiene al evaluar la funcion f para una posi-cion x = (x, y, z) de la partıcula. Observese que en este caso particularlas coordenadas (x, y, z) de la partıcula coinciden con las coordenadas(X, Y, Z) referidas al sistema del solido, puesto que ambos sistema coin-ciden.

Por otro lado, las unicas fuerzas aplicadas sobre la partıcula derivande un potencial y no existen restricciones ademas del contacto. Por tanto,el metodo de integracion consistente con la energıa total para el conjun-to de ecuaciones diferenciales que gobierna el movimiento de la partıculaesta dado por

M(xn+1 − xn)

∆t= −∂V

∂x n+β− Fe

Cn+θ, (5.7)

xn+1 + xn2

=xn+1 − xn

∆t, (5.8)

donde FeCn+θ es la fuerza asociada a la restriccion de contacto y n+ θ es

la configuracion que satisface la ecuacion

∂Φ

∂x n+θ· (xn+1 − xn) = Φn+1 − Φn, (5.9)

para xn+θ = xn + θ(xn+1 − xn) con 0 6 θ 6 1.


5.2.1. Componente elastica: penalizacion

La componente elastica consistente con la conservacion de la energıatotal formulada con penalizacion esta dada por

FeCn+θ =

∂Φ

∂x n+θ

α

2(Φn+1 + Φn). (5.10)

Procediendo de igual forma que en el Capıtulo 3, se puede obtener elbalance de energıa para el sistema dado por la Ecuacion 5.7 como

M(xn+1 − xn)

∆t·∆x +

∂V

∂x n+β·∆x + Fe

Cn+θ ·∆x = 0 (5.11)

∆E + ∆P eC = 0, (5.12)

siendo P eC = 1

2αΦ2 el potencial asociado a la restriccion de contacto o

energıa potencial de contacto.

Se comprueba que en ausencia de contacto la energıa discreta totalse conserva de forma exacta, y cuando el contacto se produce la suma dela energıa total y la energıa de contacto se mantiene constante.

5.2.2. Componente elastica: Lagrange aumentado

En este caso la componente elastica consistente con la energıa totalesta dada por

FeCn+θ =

∂Φ

∂x n+θ

(α2

(Φn+1 + Φn) + λn+θ

). (5.13)

Aplicando el teorema del valor medio se tiene que

(dΦ

dS

∂S

∂x

)

n+θ

· (xn+1 − xn) = Φn+1 − Φn, (5.14)

Φ′n+θ(Sn+1 − Sn) = Φn+1 − Φn, (5.15)

Φ′n+θ =Φn+1 − Φn

Sn+1 − Sn, (5.16)

Reemplazando este resultado en la fuerza se obtiene

FeC =

(Φn+1 − Φn

Sn+1 − Sn

)∂S

∂x n+θ

(λn+θ +

α

2(Φn+1 + Φn)

), (5.17)

Consideremos dos posibles situaciones A y B durante el contactorepresentadas en la Figura 5.4, donde la situacion A es el caso generalSAn > 0 y la situacion B un caso particular tal que SBn = 0.


S

Φ

SAnSB

n

Sn+1

Figura 5.4. Funcion de contacto de regularizada.

Asumiendo que en ambos casos la restriccion Φn (Ecu. 5.4) se cumpleexactamente para el instante tn, tendremos dos terminos Φ′n+θ dados por

Φ′n+θA

=Φn+1

Sn+1 − SAny Φ′n+θ

B=

Φn+1

Sn+1 − SBn. (5.18)

Si la formulacion de la fuerza con Lagrange aumentado conduce alcumplimiento exacto de Φn+1 para el instante tn+1, se obtendra tambienque Sn+1 = 0, por tanto la unica solucion posible para la situacion A esque Φ′n+θ

A = 0, puesto que SAn 6= 0.

En cambio, para el caso B el termino Φ′n+θB esta indeterminado (0/0),

siendo necesario recurrir al lımite cuando Sn+1 → 0 y la regla de l’Hopital,obteniendose

lım Φ′n+θB

= lımSn+1→0

Φn+1

Sn+1 − SBn(5.19)

= lımSn+1→0

Φ′n+1, (5.20)

= Φ′n+1. (5.21)

En otras palabras, podemos afirmar entonces que la formulacion con-sistente de Lagrange aumentado aplicada al contacto solo es posiblesı partimos de una situacion B donde se verifica que Sn = 0 y ademas siΦ′n+1 6= 0.

Se propone a continuacion una estrategia que permite aplicar el meto-do consistente basado en la formulacion de Lagrange aumentado.

Lagrange Aumentado Conservativo

Basandonos en la exigencia de que Φ′n+1 6= 0, reemplazamos la ecua-cion regularizada (Ecu. 5.4) por una ecuacion de restriccion bilateral que


diferencia dos estados

Φ(S) =

0, χ = 0κ (S − S0)a, χ = 1

(5.22)

donde κ y a son constantes, χ es la variable de activacion del contacto yS0 una constante que se fija adecuadamente en presencia de contacto. LaFigura 5.5 muestra dos posibles ecuaciones de restriccion regularizadas,para a = 1 y a = 2.

S

ΦΦ(S) = κ(S − S0) Φ(S) = κ(S − S0)2

S0

Figura 5.5. Funcion de regularizacion (a = 1 y a = 2).

La idea de esta estrategia es imponer la restriccion bilateral unica-mente cuando existe contacto (χ = 1), obteniendose ası la componenteelastica. En cualquier otro caso la restriccion se cumple exactamente yno existe por tanto una fuerza asociada. En la practica esto se tradu-ce en una modificacion de la superficie de contacto ajustada en el pasode tiempo tn, distinguiendose entre una superficie “geometrica” y otra“numerica”.

La activacion del contacto puede definirse entonces de la siguienteforma

χ =

0, Sn−1 > 0 y Sn < 0 entra1, Sn < 0 y Sn+1 < 0 contacto0, Sn+1 < 0 y Sn+2 > 0 sale

(5.23)

siendo S0 = Sn para κ = 1. Esto quiere decir que para un instante detiempo tn en el que se produce penetracion en la superficie geometrica(definida por una ecuacion implıcita), se activa la restriccion de contac-to dada por la Ecuacion 5.23, de tal forma que para el instante tn+1 seobtiene el cumplimiento exacto, garantizando que la posicion del puntode contacto satisface la restriccion definida en funcion de la superficienumerica creada sobre el instante tn.

La Figura 5.6 describe esquematicamente el proceso de contacto parala implementacion de Lagrange aumentado usando un esquema iterativo.El instante tk=0

n+1 denota el inicio de las iteraciones, que convergen paratk=mn+1 cuando la restriccion de contacto se cumple exactamente.


S = 0

S = S0tn−1

tk=0n+1

tn+2tn

tk=mn+1

Figura 5.6. Superficie geometrica y numerica.

Esta formulacion conservativa conduce entonces al siguiente balancede energıa

M(xn+1 − xn)

∆t·∆x +

∂V

∂x n+θ·∆x + Fe

Cn+θ ·∆x = 0, (5.24)

∆E + ∆P eC + λn+θ∆Φ = 0, (5.25)

siendo ∆Φ = Φn+1 − Φn. Si la restriccion de contacto se cumple exacta-mente es facil comprobar que la energıa total se conserva.

5.2.3. Componente de amortiguamiento.

De acuerdo con el modelo propuesto en el Capıtulo 4, la componentede amortiguamiento viscoso consistente con la energıa total esta dada por

FdCn+θ = η

(∂Φ

∂x n+θ· xn+ 1

2

)∂Φ

∂x n+θ. (5.26)

Aunque el coeficiente de amortiguamiento η se considera constante, pue-de formularse teniendo en cuenta la penetracion, la velocidad de impactoo la perdida de energıa involucrada en el contacto, como propone Lanka-rani & Nikravesh (1990) para el contacto de esferas solidas.

Esta fuerza energeticamente consistente proporciona una aproxima-cion de orden 2 del trabajo realizado por la fuerza de amortiguamientodado por

W dC = Fd

Cn+θ ·∆x (5.27)

siendo ∆x = xn+1 − xn.

Teniendo en cuenta que para una configuracion n+ θ se cumple que

∂Φ

∂x n+θ· (xn+1 − xn) = Φn+1 − Φn (5.28)

y que la velocidad en el punto medio esta dada por

xn+ 12

=1

∆t(xn+1 − xn) , (5.29)


el trabajo realizado por la fuerza de amortiguamiento consistente se ob-tiene como

W dC = η

(∂Φ

∂x n+θ· xn+ 1

2

)(∂Φ

∂x n+θ·∆x

)(5.30)

= η

(∂Φ

∂x n+θ· ∆x

∆t

)(∂Φ

∂x n+θ·∆x

)=

η

∆t∆Φ2, (5.31)

siendo ∆Φ = Φn+1 − Φn.

Anadiendo este termino al balance de energıa se tiene que

∆E + ∆P eC +

η

∆t∆Φ2 = 0. (5.32)

Este balance energetico resulta coherente con un modelo de contactoen el cual se considera penetracion, como ocurre para la formulacionde la componente elastica con penalizacion, ya que si la restricciones secumplen exactamente el termino disipativo desaparece.

Se puede entonces establecer una ley constitutiva para el contactoelastico teniendo en cuenta la penetracion y el amortiguamiento viscoso,tal que la fuerza en la direccion normal esta dada por

FCn+θ =∂Φ

∂x n+θ

α

2(Φn+1 + Φn)

︸︷︷︸FeCn+θ

+∂Φ

∂x n+θη

(∂Φ

∂x n+θ· xn+ 1

2

)

︸︷︷︸FdCn+θ

, (5.33)

que ademas asegura la disipacion incondicional de energıa ya que se cum-ple

∆E + ∆P eC = − η

∆t∆Φ2, (5.34)

y en el caso en que η = 0 la suma de las energıas involucradas se mantieneconstante.

Observacion 6 Aunque no todos los terminos de la fuerza de contacto sonevaluados en la configuracion n+ θ, por simplicidad y coherencia con elresto de fuerzas formuladas con el metodo consistente, se empleara estanotacion de subındice para distinguirlas de las fuerzas continuas.


La componente tangente para el contacto basada una regularizacionsuave del modelo de Coulomb (Cap. 4) y consistente con la energıa totalesta dada por,

FfCn+θ = µF n

Cn+θ γn+θ tn+θ (5.35)


donde µ es el coeficiente de friccion, γn+θ = γ(vtn+θ) la funcion de regu-larizacion y tn+θ es el vector tangente dado por

tn+θ = −vtn+θ

vtn+θ

= −Tn+θxn+ 1

2

‖Tn+θxn+ 12‖ , (5.36)

siendo Tn+θ = 1 − nn+θ ⊗ nn+θ un tensor de proyeccion y 1 el tensorunidad, ambos de segundo orden.

Procediendo de la misma manera que en el apartado anterior, estafuerza de friccion energeticamente consistente proporciona una aproxi-macion de orden 2 del trabajo realizado por la componente de fricciondado por

W fC = Ff

Cn+θ ·∆x. (5.37)

Denotando por νn+θ = −µF nCn+θ γn+θ se puede escribir el trabajo de

forma compacta como

W fC = νn+θ tn+θ ·∆x. (5.38)

Teniendo en cuenta que la velocidad tangente se puede expresar tambiencomo

vtn+θ = Tn+θxn+ 12

= xn+ 12− nn+θ (nn+θ · xn+ 1

2) (5.39)

y que el vector normal se puede obtener a partir del gradiente de laecuacion de superficie como

nn+θ =∇Sn+θ

‖∇Sn+θ‖=

1

‖∇Sn+θ‖∂S

∂x n+θ, (5.40)

se obtiene la expresion para el trabajo realizado por la fuerza de friccionconsistente con la energıa total como

W fC = − νn+θ

vt n+θ

[xn+ 1

2·∆x− 1

‖∇Sn+θ‖2

∂S

∂x n+θ· xn+ 1

2

∂S

∂x n+θ·∆x

],

(5.41)

Haciendo uso del teorema del valor medio expresado como

∂S

∂x n+θ·∆x = ∆S, (5.42)

y de la velocidad en el punto medio dada por xn+ 12

= ∆x/∆t, se llegafinalmente a la siguiente expresion del trabajo

W fC = − νn+θ

∆t vt n+θ

[∆x ·∆x− ∆S2

‖∇Sn+θ‖2

]. (5.43)

Suponiendo que la unica fuerza aplicada se debe a la friccion, el ba-lance de energıa dado por

∆E −W fC = 0, (5.44)


garantiza la disipacion incondicional de energıa cuando

∆S2

‖∇Sn+θ‖26 ∆x2. (5.45)

Puede demostrarse que esta relacion siempre se cumple con la ayuda dela siguiente propiedad del producto escalar

|a · b| 6 ‖a‖‖b‖,

conocida como desigualdad de Cauchy–Schwarz. Haciendo a = ∇Sn+θ yb = ∆x se llega a

|∆S| = |∇Sn+θ ·∆x| 6 ‖∇Sn+θ‖ ‖∆x‖, (5.46)

|∆S|2‖∇Sn+θ‖2

6 ‖∆x‖2. (5.47)

Por lo tanto, siempre se cumple que ∆E 6 0.

Observacion 7 Al igual que para el caso de la fuerza de amortiguamiento,por coherencia con el resto de fuerzas formuladas con el metodo consis-tente, se utiliza la notacion de subındice n + θ para diferentes terminosde la fuerza de friccion con el fin de distinguirlas de sus0 expresionescontinuas.


5.3. Experimento numerico

Consideremos un problema de contacto en el que una partıcula demasa m esta obligada a satisfacer la siguiente condicion de contacto

S(X) = X · n +D > 0, con n =

010

y D = 0,

donde S(X) es la ecuacion implıcita de un plano y n el vector unitarionormal al plano, como muestra la Figura 5.7.

x,X

y, Y

z, Z

nx

m

Figura 5.7. Contacto partıcula-plano.

El movimiento de la partıcula esta gobernado por el siguiente conjuntode ecuaciones diferenciales y condiciones iniciales

m x + FC = 0,

x(t = 0) = x0,

x(t = 0) = x0,

Φ(x) = 0,

siendo el FC la fuerza de contacto y Φ(x) la restriccion dada por

Φ(S) =

0, S > 0S, S 6 0

. (5.48)

El metodo de integracion numerica consistente con la energıa del sis-tema esta dado por

m1

∆t(xn+1 − xn) + FCn+θ = 0,

xn+1 − xn∆t

=xn+1 − xn

2,

Φ(xn+1) = 0,

donde FCn+θ es la fuerza de contacto evaluada de forma consistente,garantizando la conservacion de la energıa para la componente elasticao asegurando la disipacion incondicional en el caso de las componentesdisipativas de amortiguamiento y friccion.

Experimento numerico 97

5.3.1. Contacto elastico

Comparamos a continuacion los resultados obtenidos para la formu-lacion de la fuerza elastica de contacto con penalizacion y Lagrange au-mentado, utilizando una ecuacion de restriccion regularizada en cadapaso para que la energıa total se conserve.

Para la simulacion numerica del problema se considero una masa devalor unidad y las siguientes condiciones iniciales

x0 =

0,090,090,00

y x0 =

−2,0−2,00,0

.

Se integraron numericamente 0,15 s en pasos de tiempo ∆t = 0,005 s.

Penalizacion conservativa

En este caso la fuerza esta dada por

FeCn+θ =

∂Φ

∂x n+θ

α

2(Φn+1 + Φn),

tal que la configuracion en tn+θ satisface la siguiente ecuacion

∂Φ

∂x n+θ· (xn+1 − xn) = Φn+1 − Φn,

y la restriccion de contacto se regulariza de la siguiente manera

Φ(S) =

0, S > 0Sa, S 6 0

.

siendo a > 1.

La Figura 5.8 muestra la trayectoria de la partıcula considerando dosvalores de penalizacion para a = 2. La Figura 5.9 muestra de forma es-quematica la evolucion de la fuerza de contacto en funcion de la posicionvertical de la partıcula para α = 106.

En la Figura 5.10 se puede ver que en ambos casos considerados laenergıa total se conserva en ausencia de contacto y cuando el contactose produce el cambio de energıa total se almacena en el potencial P e

C, detal forma que la suma E + P e

C se mantiene constante, como muestra laTabla 5.1 para α = 106.

La Figura 5.11 muestra la evolucion del parametro θ calculado duran-te el contacto para que la fuerza de contacto conserve la energıa total.Los resultados se obtuvieron para α = 1010 y dos valores distintos del


exponente a. Observese que para la regularizacion cuadratica el valor deθ es 0,5 al interior de la superficie de contacto y otro valor distinto (entre0 y 1) cuando la partıcula sale y entra del plano, en cambio, para a = 3el valor calculado para θ es distinto en todos los instantes de contacto.

Los resultados mostrados en la Figura 5.11 corresponden unicamenteal intervalo de contacto, siendo el mas prolongado para a = 3. Esto sedebe a que para un mismo valor de penetracion y rigidez, la fuerza decontacto resultante es menor cuanto mas grande es el exponente a.

−0,3 −0,2 −0,1 0 0,1

0,00

0,10

0,20

t = 0,00t = 0,15

t = 0,15

∆t = 0,005 s

n

x [m]

y[m

]

α = 106

α = 1010

Figura 5.8. Trayectoria de la partıcula.

0 5 · 10−2 0,1 0,15

0,00

0,10

0,20

t = 0,00 t = 0,15

∆t = 0,005 s

t [s]

y[m

]

y||FC

en+θ||

Figura 5.9. Fuerza y posicion vertical de la partıcula, α = 106.

El calculo del parametro θ conlleva un proceso iterativo para encon-trar la raız (o cero) de la siguiente funcion escalar en cada paso de tiempo

f(θ) = ∇Φn+θ · (xn+1 − xn)− Φn+1 + Φn,


0,05 0,1 0,15

2,00

3,00

4,00

5,00

∆t = 0,005 s

t [s]

E[J

]α = 106

α = 1010

Figura 5.10. Energıa total E = T .

t P eC E E + P e

C

0,045 0,000000 4,000000 4,0000000,050 0,004988 3,995012 4,0000000,055 0,078235 3,921765 4,0000000,060 0,368781 3,631219 4,0000000,065 0,977809 3,022191 4,0000000,070 1,696427 2,303573 4,0000000,075 1,998062 2,001938 4,0000000,080 1,606316 2,393684 4,0000000,085 0,874637 3,125363 4,0000000,090 0,308130 3,691870 4,0000000,095 0, 058481 3,941519 4,0000000,100 0, 002697 3,997303 4,0000000,105 0,000000 4,000000 4,000000

Tabla 5.1. Resultados numericos para E y P eC, α = 106.


0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,50

0,70

0,90

1,10 ∆t = 0,005 sin

outout

t [s]

θ

a = 2a = 3

Figura 5.11. Evolucion en el tiempo de θ, α = 1010.

donde

∇Φn+θ =∂Φ

∂x

∣∣∣∣x=xn+θ

es el vector gradiente evaluado en una configuracion n+ θ.

Una vez que θ esta determinado, la fuerza de contacto queda entoncesexpresada unicamente en funcion de xn+1 como

FeCn+θ = Fe

Cn+θ(xn+1).

Para la linealizacion de dicha fuerza, necesaria para resolver el sistemade ecuaciones no lineales (ver Apendice C), es importante tener en cuentala relacion que existe entre xn+θ y xn+1 a traves de

xn+θ = xn + θ(xn+1 − xn) y f(θ) = 0.

En la practica, para los terminos que involucran la dependencia delparametro θ se puede usar la siguiente aproximacion

∂xn+θ

∂xn+1

≈ θ

Asumiendo que θ es constante en cada paso de tiempo y para cada ite-racion de Newton-Raphson. Esta aproximacion de la matriz tangenteaporta buenos resultados y no conduce a problemas de convergencia enlos ejemplos numericos estudiados en esta tesis.


Lagrange aumentado conservativo

En este caso la fuerza esta dada por

FeCn+θ =

∂Φ

∂x n+θ

(α2

(Φn+1 + Φn) + λn+θ

)

y la restriccion regularizada por

Φ(S) =

0, χ = 0κ (S − S0)a, χ = 1

con κ > 1 y a > 1.

La Figura 5.12 muestra la trayectoria de la partıcula para α = 106,κ = 1, a = 1 y ∆t = 0,025. Se aprecia que el contacto se impone trasproducirse la primera penetracion, que como se comento anteriormente,esto se traduce en que el contacto se produce en una superficie distinta lasuperficie original y que se ajusta convenientemente para que se cumplade forma exacta la restriccion.

Para obtener una simulacion mas aproximada del contacto con lasuperficie original se puede disminuir el paso de tiempo, garantizandoque la penetracion al interior de la superficie sera menor en el primerimpacto, como se refleja en la Figura 5.13.

−0,1 −0,05 0 0,05 0,1

−0,05

0

0,05

0,1

S0 = −0,01 m

∆t = 0,025 s

n

x [m]

y[m

]

Figura 5.12. Trayectoria de la partıcula, α = 106.

Es importante tener en cuenta que con esta formulacion conservativade Lagrange aumentado no se impone la restriccion original (asociada ala superficie original de contacto), sino que una restriccion adaptativa.Sin embargo, tiene la ventaja de conservar exactamente la energıa totaly como consecuencia conseguir un algoritmo estable y robusto.

La Figura 5.14 muestra una comparacion de la energıa total obtenidacon penalizacion y Lagrange aumentado, usando en ambos casos un paso


−0,1 −0,05 0 0,05 0,1

−0,05

0

0,05

0,1

0,15

n

x [m]

y[m

]

∆t = 0,025 s∆t = 0,005 s∆t = 0,001 s

Figura 5.13. Trayectoria con diferentes pasos de tiempo, α = 106.

0,05 0,1 0,151

2

3

4

5

∆t = 0,005 s

t [s]

E[J

]

L. aumentadoPenalizacion

Figura 5.14. Evolucion de la energıa total, α = 106.


de tiempo ∆t = 0,005 s y un valor de penalizacion α = 106. Se observa quela energıa total se conserva exactamente con la formulacion de Lagrangeaumentado.

En el caso de la trayectoria obtenida para la partıcula, la diferencia esaun mas destacable, puesto que a pesar de que la superficie de contactono es la original en la formulacion de Lagrange aumentado, el resultadofinal obtenido se traduce en una menor penetracion durante el contacto,como muestra la Figura 5.15.

−0,2 −0,1 0 0,1

0

0,1

0,2∆t = 0,005 s

n

x [m]

y[m

]

L. aumentadoPenalizacion

Figura 5.15. Trayectoria de la partıcula, α = 106.

5.3.2. Contacto con amortiguamiento

Consideremos ahora para el contacto la fuerza dada por

FCn+θ =∂Φ

∂x n+θ

(α

2(Φn+1 + Φn) + η

∂Φ

∂x n+θ· xn+ 1

2

), (5.49)

que corresponde a un modelo constitutivo de la forma

FC = n(K δn +Dδ), (5.50)

donde δ ≡ Φ es la penetracion, K ≡ α es la rigidez del contacto y D ≡ ηel coeficiente de amortiguamiento.

La restriccion de contacto regulariza esta dada por

Φ(S) =

0, S > 0Sa, S 6 0

.

siendo a > 1.


Para la simulacion numerica del problema se considero el impactovertical de la masa m = 1 kg a una velocidad de 9 m/s con el planorıgido, que corresponde a las siguientes condiciones iniciales

x0 =

0,000,000,00

y x0 =

0,0−9,00,0

.

Para mostrar la respuesta del modelo frente a diferentes valores deamortiguamiento, se integraron numericamente las ecuaciones durante0,01 s en pasos de tiempo ∆t = 0,0001 s. Para la componente elastica seuso un valor de rigidez α = 108, para la componente viscosa se usarondiferentes valores de amortiguamiento η y para la restriccion regularizadaun exponente a = 2.

La Figura 5.16 muestra la energıa total calculada para diferentes va-lores de amortiguamiento, donde se incluye tambien el caso conservativosin amortiguamiento. Se observa que a medida que aumenta el valor deamortiguamiento la energıa total obtenida al final del contacto es menoren cada caso.

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

·10−2

0

10

20

30

40

50

∆t = 0,0001 s

t [s]

E[J

]

η = 0

η = 1 × 104

η = 2 × 104

η = 3 × 104

η = 4 × 104

Figura 5.16. Energıa total.

Si a la energıa total, calculada como la suma de la energıa cinetica ypotencial, se le suma la energıa almacenada en el potencial de contacto elresultado obtenido es siempre decreciente, como muestra la Figura 5.17.

La Figura 5.18 muestra el comportamiento de fuerza de contacto enfuncion de la penetracion δ, donde el area encerrada por la curva corres-ponde a la energıa disipada durante el contacto. Se aprecia que el area esmayor cuanto mas grande es el valor del coeficiente de amortiguamientoy en el caso conservativo el area encerrada es nula.


0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

·10−2

0

10

20

30

40

50

∆t = 0,0001 s

t [s]

E+P

e C[J

]η = 0

η = 1 × 104

η = 2 × 104

η = 3 × 104

η = 4 × 104

Figura 5.17. Energıa total mas energıa de contacto.

−3 −2,5 −2 −1,5 −1 −0,5 0

·10−2

−5

−4

−3

−2

−1

0

·103

∆t = 0,0001 s

δ [m]

||FCn+θ||

[N]

η = 0

η = 2× 104

η = 4× 104

Figura 5.18. Energıa total y energıa de contacto.


5.3.3. Contacto con friccion.

Para terminar con la comparacion de resultados, consideremos el con-tacto con friccion sin amortiguamiento para el modelo constitutivo conpenalizacion dado por

FCn+θ =∂Φ

∂x n+θ

α

2(Φn+1 + Φn) + Ff

Cn+θ

donde la componente de friccion esta dada por

FfCn+θ = µ‖Fe

Cn+θ‖ γn+θ tn+θ,

donde

tn+θ = −Tn+θ xn+ 1

2

‖Tn+θ xn+ 12‖ con Tn+θ = 1− nn+θ ⊗ nn+θ

Se considera un coeficiente de friccion constante y γ esta dada por lasiguiente funcion

γ(vt) =vt√v2

t + εcon ε = 0,01.

Los parametros de la componente elastica se fijaron en α = 109 y a = 2.

Las ecuaciones se integraron numericamente durante 0,02 s con unpaso de tiempo ∆t = 0,0005 s para las siguiente condiciones iniciales

x0 =

0,000,000,00

y x0 =

−2,0−2,00,0

.

La Figura 5.19 muestra la trayectoria de la partıcula para diferentesvalores del coeficiente de friccion incluyendo tambien el caso sin friccion.Para el mayor valor del coeficiente de friccion se observa que la partıculaalcanza practicamente una trayectoria vertical, producto de la fuerzatangente opuesta al movimiento.

La Figura 5.20 muestra la velocidad de deslizamiento de la partıculacon respecto al plano rıgido, que en este problema sencillo coincide con lavelocidad de la partıcula en la direccion x, puesto que el plano permanecefijo durante el contacto. Se aprecia que la velocidad disminuye a medidaque aumenta el coeficiente de friccion y en el caso sin friccion la velocidadpermanece inalterable.

La Figura 5.21 muestra los valores de la funcion γ obtenidos durante elcontacto para distintos coeficientes de friccion. Para el caso con µ = 0,1 lavelocidad tangente no disminuye lo suficiente y el contacto se produce en


−0,04 −0,03 −0,02 −0,01 0

−0,01

0

0,01

0,02 ∆t = 0,0005 s

n

x [m]

y[m

]µ = 0µ = 0,1µ = 0,5

Figura 5.19. Trayectoria para diferentes coeficiente de friccion.

0 0,5 1 1,5 2

·10−2

−2

−1,5

−1

−0,5

0∆t = 0,0005 s

t [s]

v t[m/s

]

µ = 0µ = 0,1µ = 0,5

Figura 5.20. Velocidad vt para diferentes coeficiente de friccion.


la zona con deslizamiento. En cambio, en el caso con µ = 0,5 la velocidadtangente se reduce hasta casi anularse, llegando a la zona que podrıa con-siderarse sin deslizamiento. El caso ideal de friccion sin deslizamiento nose puede reproducir con esta funcion analıtica de regularizacion, puestoque para una velocidad tangente igual a cero se obtiene γ(vt = 0) = 0.

−3 −2 −1 0 1 2 3

−1

−0,5

0

0,5

1

γ(vt) =vt√v2t + ε

∆t = 0,0005 s

vt [m/s]

γ

µ = 0,1µ = 0,5

Figura 5.21. Factor de regularizacion para diferentes µ.

La Figura 5.22 muestra la evolucion de la energıa total para los dife-rentes valores del coeficiente de friccion. Se observa que la componentedisipativa formulada de forma consistente con la energıa total actua deacuerdo a lo esperado, y la suma de la energıa total con la energıa decontacto tiene un comportamiento decreciente, como muestra la Figura5.23.

0 0,5 1 1,5 2

·10−2

0

1

2

3

4

5

∆t = 0,0005 s

t [s]

E[J

]

µ = 0µ = 0,1µ = 0,5

Figura 5.22. Energıa total para diferentes µ.

Contacto de solidos rıgidos tridimensionales 109

0 0,5 1 1,5 2

·10−2

0

1

2

3

4

5

∆t = 0,0005 s

t [s]

E+P

e C[J

]

µ = 0µ = 0,1µ = 0,5

Figura 5.23. Energıa total mas energıa de contacto para diferentes µ.

5.4. Contacto de solidos rıgidos tridimensionales

5.4.1. Cinematica del contacto

Consideremos 2 solidos rıgidos A y B en movimiento, como muestrala Figura 5.24. Para evaluar el contacto entre ambos solidos, se seleccionaun punto P en el contorno del solido A y la geometrıa del solido B serepresenta mediante una ecuacion implıcita de superficie.

BA

aGA

eA1eA2

eA3

BB

b

f(XB, Y B, ZB) = 0

GB

eB1eB2

eB3xP

P

Oj

k

i

Figura 5.24. Cinematica del contacto.

Como se estudio en el Capıtulo 2, el movimiento de cada solido se des-cribe por la posicion de 4 puntos con respecto a un sistema de referenciafijo en el espacio que denotaremos por G : O, i, j,k. Las coordenadas


de estos puntos respecto del sistema G se agrupan en los vectores

qA =

xAGxA1xA2xA3

∈ R12 y qB =

xBGxB1xB2xB3

∈ R12, (5.51)

siendo xG ∈ R3 el vector posicion del centro de masas y xi ∈ R3 laposicion de cada punto sobre los ejes principales de inercia (Cap. 2).

Estos puntos seleccionados forman un sistema ortonormal de referen-cia fijo a cada solido denotado por

SA : GA; eA1 , eA2 , e

A3 y SB : GB; eB1 , e

B2 , e

B3 , (5.52)

con

G = (xG, yG, zG)e1 = x1 − xG,e2 = x2 − xG,e3 = x3 − xG.

(5.53)

La posicion del punto P respecto del sistema G para un instante t sepuede obtener en funcion de qA como

xP (XAP , t) = xAG +XA

P eA1 + Y AP eA2 + ZA

P eA3 , (5.54)

= C(XAP )qA(t) (5.55)

y tambien en funcion de qB como

xP (XBP , t) = xBG +XB

P eB1 + Y BP eB2 + ZB

P eB3 , (5.56)

= C(XBP )qB(t) (5.57)

donde C es una matriz que transforma las coordenadas del vector X enel sistema movil a las coordenadas en el sistema fijo G (Cap. 2).

Por otro lado, en el solido B se define la superficie como

∂BB =XB : f(XB, Y B, Y B) = 0

, (5.58)

donde f : R3 → R es una funcion escalar diferenciable y XB es el vectorde coordenadas en el sistema SB.

Evaluando la funcion de superficie para el punto P , cuyas coordenadasen el sistema SB estan dadas por el vector XB

P , es posible determinar suposicion relativa a la superficie, tal que

S = f(XBP , Y

BP , Y

BP ) ⇒

S > 0 : fuera de la superficie,S = 0 : sobre la superficie,S < 0 : dentro de la superficie.

(5.59)


5.4.2. Componente elastica

Para obtener la fuerza elastica definimos previamente la restriccionregularizada de contacto como

Φ(S) =

0 S > 0Sa S < 0

, (5.60)

siendo a > 1 el exponente de regularizacion.

Basandonos en el metodo de penalizacion, la fuerza elastica se obtienea partir del potencial de contacto como

FeC =

∂P eC

∂q, (5.61)

donde P eC = 1

2αΦ2.

La derivada del potencial P eC con respecto al vector de coordenadas

se obtiene mediante la regla de la cadena como

∂P eC

∂q=∂P e

C

∂S

∂S

∂q. (5.62)

Para que la fuerza elastica garantice la conservacion de la energıa setiene que cumplir el teorema del valor medio expresado como

FeCn+θ ·∆q = ∆P e

C, (5.63)(∂P e

C

∂S

∂S

∂q

)

n+θ

·∆q = ∆P eC. (5.64)

Si para el primer termino evaluado en n+ θ se cumple que

∂P eC

∂S n+θ(Sn+1 − Sn) = P e

Cn+1 − P eCn, (5.65)

∂P eC

∂S n+θ=P e

Cn+1 − P eCn

Sn+1 − Sn. (5.66)

Para el segundo termino se debe satisfacer por tanto, para que la energıade contacto se conserve, la siguiente ecuacion

∂S

∂q n+θ

· (qn+1 − qn) = Sn+1 − Sn. (5.67)

Continuando con el desarrollo, la derivada de S con respecto al vectorde coordenadas q se obtiene a partir de

∂S

∂q=

∂S

∂XB

∂XB

∂q, (5.68)


donde el primer termino del lado derecho es el vector gradiente de lasuperficie y el segundo termino es una matriz que transforma el vectorgradiente a las componentes del vector q.

Para obtener la derivada del vector XB con respecto al vector decoordenadas generalizadas q definimos primero el siguiente vector

b = xP − xB0 , (5.69)

que une el centro de masas del solido BB con la posicion del punto P enel solido BA, como muestra la Figura 5.24.

El vector b se puede expresar de la siguiente forma

b = XBP eB1 + Y B

P eB2 + ZBP eB3 , (5.70)

de donde se obtienen las coordenadas en el sistema SB como

XBP = b · eB1 , (5.71)

Y BP = b · eB2 , (5.72)

ZBP = b · eB3 . (5.73)

Aplicamos ahora una variacion del vector XBP

δXBP =

δXB

P

δY BP

δZBP

=

∂XB

∂qδq. (5.74)

Para δXBP se tiene

δXBP = δb · eB1 + b · δeB1 , (5.75)

donde

δb = δxP − δxBG, (5.76)

δb = CAP δqA − CBG δq

B, (5.77)

y

δeB1 = δxB1 − δxBG (5.78)

δeB1 = CB1 δqB − CBG δq

B (5.79)

Reemplazando estos resultados en δXBP se obtiene

δXBP = (CAP δq

A − CBG δqB) · eB1 + b · (CB1 δqB − CBG δq

B). (5.80)

Aplicando la propiedad conmutativa del producto escalar y sustituyendoconvenientemente a · b = aTb se llega a

δXBP = eB1

TCAP δq

A − eB1TCBG δq

B + bT(CB1 − CBG)δqB, (5.81)

δXBP =

(eB1

TCAP | bTCB1 − (eB1 + b)TCBG

)δqAδqB

. (5.82)


Aplicando el mismo procedimiento para δY BP y δZB

P se obtiene

δY BP =

(eB2


)δqAδqB

, (5.83)

δZBP =

(eB3


)δqAδqB

. (5.84)

Entonces, la variacion del vector XBP se puede escribir de como

δXBP = J δq, (5.85)

siendo

J =∂XB

P

∂q=

J11 J12

J21 J22

J31 J32

(5.86)

con

Ji 1 = eBiTCAP , (5.87)

Ji 2 = bTCBi − (eBi + b)TCBG (5.88)

para i = 1, 2, 3.

Resumiendo, la fuerza elastica de contacto con penalizacion y consis-tente con la energıa esta dada por

FeCn+θ =

(P e

Cn+1 − P eCn

Sn+1 − Sn

)∂S

∂q

T

n+θ

(5.89)

con∂S

∂q= ∇S J, (5.90)

tal que para n + θ se verifica el teorema del valor medio dado por laEcuacion 5.67.

5.4.3. Componente de amortiguamiento

La componente de amortiguamiento viscoso esta dada por

FdCn+θ = η

(∂Φ

∂q n+θ

· qn+ 12

)∂Φ

∂q n+θ

(5.91)

donde η es el coeficiente de amortiguamiento y n+ 12

indica la evaluacionen el punto medio.

La derivada de la restriccion Φ con respecto al vector de coordenadasq se obtiene como

∂Φ

∂q=dΦ

dS

∂S

∂XB

∂XB

∂q= Φ′ (∇S J)T. (5.92)


Reemplazando esto ultimo en la fuerza de amortiguamiento se llega a

FeCn+θ = η (Φ′n+θ)

2 Dqn+ 12

(5.93)

conD = (∇S J)T

n+θ ⊗ (∇S J)Tn+θ. (5.94)


Segun se estudio anteriormente, la componente de friccion basada enla ley de Coulomb y consistente con la energıa esta dada por

FfC = −µF n

Cn+θ tn+θ, (5.95)

siendo la magnitud de la fuerza normal regularizada

Fn

Cn+θ = F nCn+θ γn+θ (5.96)

y el vector direccion tangente

tn+θ =Tn+θxn+ 1

2

‖Tn+θxn+ 12‖ , (5.97)

con

γn+θ = γ(‖Tn+θxn+ 12‖) y Tn+θ = 1− nn+θ ⊗ nn+θ. (5.98)

BA

a

GA

eA1

eA2

eA3

BB

bGB

eB1

eB2

eB3

xP

P

FfC

y

z

x

Figura 5.25. Fuerza de friccion.

La fuerza de friccion FfC, calculada en el punto de contacto como

muestra la Figura 5.25, se aplicada a cada solido con la siguiente trans-formacion (Garcıa de Jalon & Bayo, 1994)

FfCBA = CAP

TFf

C, (5.99)

FfCBB = CBP

TFf

C. (5.100)

Aplicaciones Cap

ıtul

o

6En este capıtulo se presentan los resultados de algunos problemas

elaborados para mostrar las capacidades del integrador consistente conla energıa total desarrollado en esta tesis. Se compara tambien en algunoscasos los resultados obtenidos con otros integradores numericos de usoextendido en dinamica de sistemas multicuerpo.

Como parte del trabajo elaborado en esta tesis, los algoritmos pro-puestos para el contacto fueron implementados un programa de codigoabierto escrito en el lenguaje C++ para la dinamica de sistemas multi-cuerpo flexibles denominado Eppi. Este programa se encuentra en fasede desarrollo a cargo del Grupo de Mecanica Computacional (GMC) yse aloja en el entorno de colaboracion Google Code.

http://code.google.com/p/eppi/

http://w3.mecanica.upm.es

http://w3.mecanica.upm.es

116 Aplicaciones

6.1. Barras con holgura

El objetivo de este ejemplo es comparar las formulaciones de Lagrangeaumentado y penalizacion utilizando el metodo de integracion consistenteen un problema de impacto conservativo.

Se estudia un sistema compuesto por dos barras identicas de longitudl y masa m que se mueve libremente con respecto a un punto fijo, comomuestra la Figura 6.1. Las barras estan unidas por uno de sus extremosmediante una rotula esferica que posee una holgura de radio r.

O

x

y

θ

l

l

r

Figura 6.1. Geometrıa de las barras.

6.1.1. Descripcion de la simulacion

El movimiento del sistema se inicia aplicando una velocidad angularinstantanea θ0 = 1 rad/s y transcurre bajo la accion de gravedad g =9,81 m/s2, considerando los valores numericos l = 1 m, r = 0,1 m y m =1 kg.

La union en el punto fijo se modela utilizando una restriccion de posi-cion constante y la union con holgura se modela mediante una restriccionunilateral de contacto.

Las ecuaciones del movimiento se integran durante 3 s con el meto-do consistente y un paso de tiempo ∆t = 0,001 s. Se utiliza un valorde penalizacion α = 108 para todas las restricciones y se comparan lasformulaciones conservativas de penalizacion y Lagrange aumentado.

6.1.2. Resultados

La Figura 6.2 muestra instantaneas del movimiento de las barras ob-tenidas con el integrador consistente EM.

Barras con holgura 117

−2 −1 0 1 2x

−2.0

−1.5

−1.0

−0.5

0.0

0.5

y

t = 0,0 s

−2 −1 0 1 2x

−2.0

−1.5

−1.0

−0.5

0.0

0.5

y

t = 0,3 s

−2 −1 0 1 2x

−2.0

−1.5

−1.0

−0.5

0.0

0.5

y

t = 0,6 s

−2 −1 0 1 2x

−2.0

−1.5

−1.0

−0.5

0.0

0.5

y

t = 0,9 s

−2 −1 0 1 2x

−2.0

−1.5

−1.0

−0.5

0.0

0.5

y

t = 1,2 s

−2 −1 0 1 2x

−2.0

−1.5

−1.0

−0.5

0.0

0.5

y

t = 1,5 s

−2 −1 0 1 2x

−2.0

−1.5

−1.0

−0.5

0.0

0.5

y

t = 1,8 s

−2 −1 0 1 2x

−2.0

−1.5

−1.0

−0.5

0.0

0.5

y

t = 2,1 s

−2 −1 0 1 2x

−2.0

−1.5

−1.0

−0.5

0.0

0.5

y

t = 2,4 s

−2 −1 0 1 2x

−2.0

−1.5

−1.0

−0.5

0.0

0.5

y

t = 2,7 s

Figura 6.2. Posicion de los barras en el tiempo con el integrador EM yun paso de tiempo ∆t = 0,001 s.

118 Aplicaciones

La Figura 6.3 muestra el comportamiento de la energıa total obtenidacon el integrador consistente EM. Se observa que en el caso de Lagrangeaumentado la energıa se mantiene constante durante toda la simulacion,en cambio, con penalizacion la energıa fluctua continuamente debido ala energıa almacenada en el contacto. Se obtendrıa una suma constantesi se anade a la energıa total la energıa de contacto.

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

−7

−6

−5∆t = 0,001 s

t [s]

E[J

]


Figura 6.3. Evolucion de la energıa total.

La principal ventaja de la formulacion con Lagrange aumentado esque las restricciones se cumplen exactamente, o con una determinadatolerancia en el contexto numerico. En el caso del contacto, la restriccionunilateral que determina la penetracion en la superficie esta disenadapara que sea compatible con la formulacion de Lagrange aumentado y secumpla correctamente como se muestra en la Figura 6.4.

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

0

0,5

1

1,5

2

·10−4

∆t = 0,001 s

t [s]

Φ[m

]


Figura 6.4. Evolucion de la restriccion de contacto.

Barras con holgura 119

Aunque la superficie de contacto que se impone en ambas formulacio-nes no es exactamente la misma, la diferencia observada en la trayectoriadel extremo de la barra al interior de la holgura es practicamente inapre-ciable, como se puede comprobar en la Figura 6.5. En el caso de Lagrangeaumentado, la superficie de contacto se adapta en cada instante de con-tacto para que la restriccion se cumpla exactamente.

−0,1 −0,05 0 0,05 0,1

−0,1

−0,05

0

0,05

0,1 ∆t = 0,001 s

x [m]

y[m

]


Figura 6.5. Trayectoria al interior de la holgura.

La Figura 6.6 muestra el valor calculado para el multiplicador de La-grange asociado a la restriccion de contacto. Representa la magnitud delimpacto al interior de la union con holgura.

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

0

1,000

2,000

3,000

4,000 ∆t = 0,001 s

t [s]

λ[N

]

0

1,000

2,000

3,000

Figura 6.6. Evolucion del multiplicador asociado al contacto.

120 Aplicaciones

6.2. Pendulo de Newton

El objetivo de este ejemplo es mostrar las propiedades conservativasdel integrador consistente con la energıa total. Se resuelve un proble-ma de contacto elastico sin amortiguamiento, comparando los resultadosobtenidos con diferentes integradores.

El pendulo de Newton, compuesto por 2 o mas bolas suspendidaspor un hilo de masa despreciable, describe un movimiento pendular quesatisface las leyes de conservacion de energıa total y momento cinetico.Para estudiar este sistema se consideran dos modelos, uno formado por 2bolas (A y B) y otro por 3 bolas (A, B y C), cuya geometrıa se muestraen la Figura 6.7.

y

z

Lθ

A

m

B

m

Lθ

C

m

A

m

B

m

Figura 6.7. Geometrıa del pendulo de Newton con 2 y 3 bolas.

6.2.1. Descripcion de la simulacion.

El modelo computacional de cada pendulo se compone por una barrade longitud L = 4 m y una esfera de radio R = 1 m. La barra, de seccion0,1×0,1 m2 y masa 0,01 kg, esta fija por el extremo superior mediante unarotula esferica. En el extremo inferior la barra esta unida rıgidamente ala esfera de masa 1 kg, impidiendose las rotaciones relativas entre ambossolidos.

Ambos modelos parten del reposo, con uno de sus pendulos en posi-cion horizontal (θ = 90o) mientras el resto permanece en posicion vertical.El movimiento transcurre bajo la accion de gravedad con un valor ficticiode g = 1 m/s2, considerando 20 s de integracion numerica en intervalosde 0,01 s.

Para imponer las restricciones de solido rıgido y uniones se utiliza elmetodo de Lagrange aumentado con penalizador α = 108. El contacto seformula con penalizacion usando un valor de rigidez k = 107.

Se muestran a continuacion los resultados para tres integradores numeri-

Pendulo de Newton 121

cos, la regla trapezoidal (RT), el metodo α-generalizado (GN) con ρ∞ =0,5 y el metodo consistente (EM).

6.2.2. Resultados para el modelo con dos pendulos.

La Figura 6.8 muestra la evolucion de la energıa cinetica para cadapendulo obtenida con el integrador RT.

t = 3.0 s

t = 3.0 st = 5.0 s

t = 5.0 s

Figura 6.8. Evolucion de la energıa cinetica con el integrador RT.

La Figura 6.9 muestra la evolucion de la energıa cinetica para cadapendulo obtenida con el integrador RT. En la curva de ambos pendulosse aprecia un comportamiento caracterizado por oscilaciones irregularesque aumenta progresivamente de amplitud hacia el final de la simulacion.

0 5 10 15 20

0

2

4

6∆t = 0,01 s

t [s]

T[J

]

Pendulo APendulo B

Figura 6.9. Evolucion de la energıa cinetica con el integrador RT.

Se observa tambien que la energıa total aumenta tras cada impacto,como muestra la Figura 6.10, y que las oscilaciones reflejan una tendenciaclara de inestabilidad numerica.

122 Aplicaciones

0 5 10 15 20

0

2

4

6∆t = 0,01 s

t [s]

E[J

]

Pendulo APendulo B


En el caso del integrador GN la energıa total tiene un comportamientoestable, como se observa en la Figura 6.11, a diferencia de lo que ocurrecon el integrador RT. Producto del efecto disipativo introducido por elintegrador GN para el rango de frecuencias altas, se observa tambien undecremento de la energıa total tras cada impacto.

0 5 10 15 20

0

2

4

6∆t = 0,01 s

t [s]

E[J

]

Pendulo APendulo B

Figura 6.11. Evolucion de la energıa total con el integrador GN.

En cambio, para el integrador EM la energıa cinetica se transfierecompletamente del pendulo B al pendulo A, permaneciendo el penduloB practicamente en reposo tras el primer impacto, como se aprecia en laFigura 6.12. Aunque en teorıa el choque es instantaneo, debido a que lasbolas se suponen perfectamente rıgidas, la simulacion numerica del im-pacto tiene una duracion finita asociada al modelo constitutivo empleadopara la fuerza de contacto.

La energıa total del sistema mostrada en la Figura 6.13, calculada como


0 5 10 15 20

0

2

4

6∆t = 0,01 s

t [s]

T[J

]

Pendulo APendulo B

Figura 6.12. Evolucion de la energıa cinetica con el integrador EM.

la suma de la energıa de ambos pedulos, se mantiene constante durantetoda la simulacion debido a la formulacion conservativa empleada parael contacto y las restricciones.

0 5 10 15 20

0

2

4

6∆t = 0,01 s

t [s]

E[J

]

Pendulo APendulo B

Figura 6.13. Evolucion de la energıa total con el integrador EM.

La transferencia consistente de la energıa entre ambos pendulos serefleja tambien en la evolucion de la posicion vertical del centro de ca-da bola. La Figura 6.14 muestra que el pendulo A permanece en reposohasta el primer impacto y tras ocurrir se pone en movimiento dejando alpendulo B en reposo.

La posicion de los pendulos obtenida con el integrador EM para dife-rentes instantes de tiempo se muestra en la Figura 6.15.

124 Aplicaciones

0 5 10 15 20

0

2

4

6∆t = 0,01 s

t [s]

z[m

]

Pendulo APendulo B

Figura 6.14. Evolucion de la posicion vertical z con el integrador EM.

−6 −4 −2 0 2 4 6y

−1

0

1

2

3

4

5

6

z

t = 2 s

−6 −4 −2 0 2 4 6y

−1

0

1

2

3

4

5

6

z

t = 4 s

−6 −4 −2 0 2 4 6y

−1

0

1

2

3

4

5

6

z

t = 10 s

−6 −4 −2 0 2 4 6y

−1

0

1

2

3

4

5

6

z

t = 12 s

−6 −4 −2 0 2 4 6y

−1

0

1

2

3

4

5

6

z

t = 18 s

−6 −4 −2 0 2 4 6y

−1

0

1

2

3

4

5

6

z

t = 20 s

Figura 6.15. Posicion de los pendulos en el tiempo con el integrador EMy un paso de tiempo ∆t = 0,01 s.


6.2.3. Resultados para el modelo con tres pendulos.

En este caso se resuelve numericamente el movimiento para el modelode tres pendulos usando unicamente el integrador EM. Se consideran 20s de integracion en intervalos de tiempo ∆t = 0,01 s y ∆t = 0,001 s.

La Figura 6.16 muestra la evolucion de la energıa total de cada pendu-lo, donde se observa la transferencia de energıa que se produce tras cadaimpacto entre los diferentes pendulos. Al igual que en el modelo de dospendulos, la suma total del sistema permanece constante.

0 5 10 15 20

0

2

4

6∆t = 0,01 s

t [s]

E[J

]

Pendulo APendulo BPendulo C

Figura 6.16. Evolucion de la energıa total con el integrador EM.

Por otro lado, la posicion vertical del pendulo central obtenida deforma numerica resulta consistente con el comportamiento esperado delmodelo teorico, manteniendose practicamente en su valor original despuesde cada impacto, como se aprecia en la Figura 6.17. En cambio, para laposicion horizontal de cada pendulo se detecta una leve oscilacion durantela fase de reposo, como se observa en la Figura 6.18. Esta oscilacion, noapreciable en el movimiento vertical de los pendulos, es producto de laformulacion empleada para representar el contacto, ya que la penetracionnunca es estrictamente nula.

Si se reduce el paso de tiempo para la integracion numerica, se re-duce tambien la penetracion durante el impacto, experimentandose unaoscilacion menor durante la fase de reposo, como se aprecia en la Figura6.19 obtenida para un paso de tiempo ∆t = 0,001 s.

La Figura 6.20 muestra la posicion de los pendulos en diferentes ins-tantes de tiempo obtenidos para un paso de tiempo ∆t = 0,001 s con elintegrador EM.

126 Aplicaciones

5 10 15 20

0

2

4

6∆t = 0,01 s

t [s]

z[m

]

Pendulo A

5 10 15 20

0

2

4

6∆t = 0,01 s

t [s]

Pendulo B

5 10 15 20

0

2

4

6∆t = 0,01 s

t [s]

Pendulo C

Figura 6.17. Posicion vertical del centro de cada bola, integrador EM.

5 10 15 20

−5

0

5

∆t = 0,01 s

t [s]

y[m

]

Pendulo A

5 10 15 20

−5

0

5

∆t = 0,01 s

t [s]

Pendulo B

5 10 15 20

−5

0

5

∆t = 0,01 s

t [s]

Pendulo C

Figura 6.18. Posicion horizontal del centro de cada bola, integrador EM.

5 10 15 20

−5

0

5

∆t = 0,001 s

t [s]

y[m

]

Pendulo A

5 10 15 20

−5

0

5

∆t = 0,001 s

t [s]

Pendulo B

5 10 15 20

−5

0

5

∆t = 0,001 s

t [s]

Pendulo C

Figura 6.19. Posicion horizontal del centro de cada bola, integrador EM.


−8 −6 −4 −2 0 2 4 6y

−10123456

z

t = 0 s

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6y

−10123456

z

t = 2 s

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6y

−10123456

z

t = 4 s

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6y

−10123456

z

t = 6 s

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6y

−10123456

zt = 8 s

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6y

−10123456

z

t = 10 s

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6y

−10123456

z

t = 12 s

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6y

−10123456

z

t = 14 s

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6y

−10123456

z

t = 16 s

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6y

−10123456

z

t = 18 s

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6y

−10123456

z

t = 20 s

Figura 6.20. Posicion de los pendulos en el tiempo con el integrador EMy un paso de tiempo ∆t = 0,001 s.

128 Aplicaciones

6.3. Viga flexible

El siguiente ejemplo tiene por objetivo comparar los resultados obte-nidos con diferentes integradores para el impacto de una viga flexible conun plano rıgido horizontal utilizando el modelo de contacto con amorti-guamiento. Comprobaremos ademas que la respuesta numerica obtenidacon la formulacion consistente es incondicionalmente disipativa, al con-trario de lo que ocurre cuando se emplea una formulacion tradicional.

La geometrıa de la viga y su posicion inicial se muestran en la Figura6.21, donde L = 5 m, a = 0,5 m y b = 0,5 m. El plano rıgido es paraleloal plano medio de la viga y se encuentra a una distancia d = 2 m pordebajo de la cara inferior de la viga.

L

a

b

x

y

z

Figura 6.21. Geometrıa de la viga.

El modelo de material es hiperelastico Neo-Hookeano compresible,dado por la siguiente funcion de densidad de energıa

W (IC, J) =1

2µ (IC − 3)− µ ln J +

λ

2(ln J)2,

siendo las constantes (λ, µ) los coeficientes del material, J =√IIIC y

IC el primer invariante del tensor C.

El movimiento comienza con la viga en posicion horizontal y trans-curre debido unicamente a la fuerza de gravedad, mientras uno de losextremos de la viga permanece empotrado.


Para la simulacion numerica se considera una malla de 80 hexaedrosde 8 nodos y dimensiones 0,25 m×0,25 m×0,25 m, como muestra la Figura6.22.

El material se define a traves del modulo de Young E = 70×105 Pa yel coeficiente de Possion ν = 0,3. A partir de estas constantes se obtienen

Viga flexible 129

L

a

b

Figura 6.22. Malla con 80 hexaedros de 8 nodos.

los coeficientes de Lame como

λ =ν E

(1 + ν)(1− 2ν)y µ =

E

2(1 + ν).

La densidad del material es ρ = 270 kg/m3 y la aceleracion de gravedades g = 9,81 m/s2.

Para el modelo de contacto se utiliza un coeficiente de rigidez k = 109,un coeficiente de amortiguamiento constante c = 105 y una superficiedefinida mediante la ecuacion implıcita del plano dada por

AX +B Y + C Z +D = 0,

donde A,B,C,D constantes.

Para comparar distintos resultados las ecuaciones del movimiento seresuelven utilizando cuatro integradores, mostrados en la Tabla 6.1, du-rante 10 s con los pasos de tiempo 0,1 s, 0,05 s y 0,025 s.

Integrador Numerico ID

Regla trapezoidal RTMetodo α-generalizado GNBDF de orden 1 BDF1Metodo Consistente EM

Tabla 6.1. Integradores numericos.

Se muestran primero los resultados obtenidos para el impacto sinconsiderar amortiguamiento y a continuacion los resultados para el casocon amortiguamiento constante.

130 Aplicaciones

6.3.2. Resultados sin amortiguamiento

La Figura 6.23 muestra el instante del primer contacto de la viga conel suelo rıgido obtenido con el integrador BDF1 y un paso de tiempo∆t = 0,1 s.

t = 0,8 s

Figura 6.23. Instantanea del impacto obtenida con el integrador BDF1.

Para el caso sin amortiguamiento se observa que los integradores RTy GN (con ρ∞ = 0,5) presentan dificultades para resolver las ecuaciones,como se observa en la Figura 6.24 que muestra la evolucion de la energıatotal para el paso de tiempo ∆t = 0,1 s.

0 2 4 6 8 10

−500

0

500

∆t = 0,1 s

t [s]

E[J

]

BDF1RTGNEM

Figura 6.24. Energıa total con diferentes integradores.

Para el integrador BDF se observa un comportamiento estable debidoal alto grado de disipacion numerica introducida. Al contrario del resto,el integrador EM permanece estable sin sufrir alteraciones en la evolucionde la energıa total.

En general, si se reduce el paso de tiempo la estabilidad de los in-tegradores RT y GN (con ρ∞ = 0,5) mejora. Sin embargo, la evolucionde la energıa sigue presentando incrementos tras algunos impactos aun-que en menor grado, como se puede apreciar en la Figura 6.25 para un

Viga flexible 131

0 2 4 6 8 10

−500

0

500

1,000

∆t = 0,05 s

t [s]

E[J

]

BDF1RTGNEM


paso de tiempo ∆t = 0,05 s y en la Figura 6.26 para un paso de tiempo∆t = 0,025 s. El integrador consistente EM presenta excelentes resulta-dos para los diferentes pasos de tiempo sin afectar el calculo de la energıatotal y manteniendose estable durante toda la simulacion.

0 2 4 6 8 10

−500

0

500

∆t = 0,025 s

t [s]

E[J

]

BDF1RTGNEM


La posicion en el tiempo del nodo inferior en el extremo libre de la vigapara este caso sin amortiguamiento y para el paso de tiempo ∆t = 0,025 sse muestra en la Figura 6.27. La disipacion artificial introducida por elintegrador BDF1 se traduce en un movimiento amortiguado del extremolibre de la viga a partir del primer contacto.

132 Aplicaciones

0 2 4 6 8 10

−2

−1,5

−1

−0,5

0

∆t = 0,025 s

t [s]

z[m

]

BDFRTGNEM

Figura 6.27. Posicion vertical del extremo libre sin amortiguamiento.

6.3.3. Resultados con amortiguamiento.

La Figura 6.28 muestra la evolucion de la energıa total con los inte-gradores EM, GN (con ρ∞ = 0,5) y BDF1 para el contacto con amor-tiguamiento (c = 105) y un paso de tiempo ∆t = 0,025 s. Se puede verque los incrementos de energıa observados anteriormente para el integra-dores GN se reducen producto de la componente viscosa introducida enel modelo de contacto. Para el integrador EM se aprecia una disminu-cion gradual de la energıa tras cada impacto, como era de esperar. Conel integrador BDF1 no se observan cambios importantes con respecto alcaso sin amortiguamiento debido al alto grado de disipacion introducida,aunque la energıa total residual es menor en el caso con amortiguamiento.

0 2 4 6 8 10

−600

−300

0

300

∆t = 0,025 s

t [s]

E[J

]

BDFGNEM

Figura 6.28. Energıa total con amortiguamiento c = 105.

El desplazamiento del nodo inferior en el extremo libre de la viga ob-

Viga flexible 133

tenido para ∆t = 0,025 s se muestra en la Figura 6.29. Se puede ver que lapenetracion es practicamente nula para todos integradores consideradosy que el movimiento es amortiguado.

0 2 4 6 8 10

−2

−1,5

−1

−0,5

0

∆t = 0,025 s

t [s]

z[m

]BDFGNEM

Figura 6.29. Posicion vertical del extremo libre con amortiguamiento.

En general, se observa que la cantidad de energıa disipada es menora medida que el paso de tiempo disminuye, como muestra la Figura 6.30para el integrador EM. Esto se debe principalmente a que la componentede amortiguamiento es proporcional a la velocidad de penetracion y almodelo de viscosidad constante considerado.

0 2 4 6 8 10

−400

−300

−200

−100

0

100

t [s]

E[J

]

EM ∆t = 0,1 sEM ∆t = 0,05 sEM ∆t = 0,025 s

Figura 6.30. Energıa total con diferentes pasos de tiempo para EM.

En el caso particular del integrador RT no se consigue el efecto disi-pativo esperado para el paso de tiempo mas pequeno, como muestra la

134 Aplicaciones

Figura 6.31. Esto se debe posiblemente al aporte insuficiente de la compo-nente disipativa combinado con el alto grado de inestabilidad observadadurante el impacto para este integrador.

0 2 4 6 8 10

0

500

1,000

1,500

t [s]

E[J

]

RT ∆t = 0,1 sRT ∆t = 0,05 sRT ∆t = 0,025 s

Figura 6.31. Energıa total con diferentes pasos de tiempo para RT.

La Figura 6.32 se muestra algunas instantaneas de los primeros segun-dos de simulacion obtenidos con el integrador EM, considerando amorti-guamiento y un paso de tiempo ∆t = 0,025 s. Las instantaneas recogen elprimer impacto del extremo libre de la viga con el suelo rıgido y muestrantambien los contornos de tension de Von Mises.

Viga flexible 135

t = 0,125 s t = 0,250 s

t = 0,375 s t = 0,500 s

t = 0,625 s t = 0,750 s

t = 0,875 s t = 1,000 s

t = 1,125 s t = 1,250 s

Figura 6.32. Instantaneas del contacto viga-plano con el integrador EM yun paso de tiempo ∆t = 0,025 s.

136 Aplicaciones

6.4. Rodadura

El siguiente ejemplo se basa en un problema descrito en Wriggers(2002), donde se compara la solucion analıtica con diferentes resultadosnumericos obtenidos para un disco que rueda sin deslizar sobre un planohorizontal. Se extiende aquı el problema de rodadura al caso tridimen-sional, reemplazando el disco por una esfera que rueda sin deslizar sobreuna superficie fija.

La esfera rıgida de radio r y densidad ρ rueda sobre un plano fijohorizontal bajo la accion de gravedad g. Para iniciar el movimiento seaplica una velocidad inicial v0 en la direccion horizontal, como muestrala Figura 6.33. La esfera desliza en el instante inicial y transcurrido untiempo rueda sin deslizar, producto de la friccion existente entre la esferay el plano dada por el coeficiente µ.

t0 tR

v0

vC

2vC

µ

I, m

vP = v0 vP = 0

Figura 6.33. Descripcion del problema de rodadura.

A medida que transcurre el movimiento la velocidad en el punto decontacto disminuye hasta anularse, siendo esta la condicion de rodadurapura. El tiempo transcurrido hasta conseguir rodadura pura y la veloci-dad del centro de la esfera a partir de ese instante estan dados por

tR =2

7

v0

µ gy vC =

5

7v0.

Para una velocidad inicial v0 = 1 m/s, coeficiente de friccion µ = 0,3,aceleracion de gravedad 9,81 m/s2 se obtiene tR = 0,097083 s y vC =0,71429 m/s.

Rodadura 137


Para la simulacion numerica se considera una esfera rıgida de radior = 0,04 m y densidad ρ = 7850 kg/m3 sobre un plano rıgido.

Con el objetivo de investigar la influencia de la discretizacion utilizadaen el contacto, el plano se define mediante una superficie analıtica y seconsideran 3 mallas diferentes para la esfera, mostradas en la Figura 6.34.

Malla A: 182 puntos Malla B: 1742 puntos Malla C: 7082 puntos

Figura 6.34. Diferentes mallas utilizadas para el contacto.

Para el modelo de contacto se utiliza un coeficiente de rigidez k = 108,un coeficiente de friccion µ = 0,3 y la siguiente expresion para regularizarla ley de Coulomb

γ(vt) =vt√v2t + ε

donde vt es la velocidad relativa tangente en el punto de contacto y ε esel factor de regularizacion.

La esfera parte con velocidad horizontal v0 = 1 m/s y el movimientotranscurre bajo la accion de la gravedad g = 9,81 m/s2. Las ecuacionesdiferenciales del movimiento se resuelven numericamente utilizando elintegrador consistente (EM) con un paso de tiempo ∆t = 0,001 s.

6.4.2. Resultados

La Figura 6.35 muestra instantaneas de la simulacion numerica endiferentes instantes de tiempo para la malla C obtenidas con el integradorEM, utilizando un paso de tiempo ∆t = 0,001 s.

La Figura 6.36 muestra la evolucion en el tiempo de la velocidad delcentro de masa de la esfera para las diferentes mallas y un factor deregularizacion ε = 0,0025. Los resultados obtenidos se aproximan mejora la solucion analıtica cuando la cantidad de puntos considerados para elcontacto es mayor.

De acuerdo con el modelo teorico para este problema, el instante detiempo a partir del cual se obtiene rodadura pura es tambien el instante

138 Aplicaciones

t = 0,000 s

t = 0,125 s

t = 0,250 s

t = 0,375 s

t = 0,500 s

x

y

Figura 6.35. Instantaneas en el movimiento de la esfera con el integradorEM y un paso de tiempo ∆t = 0,001 s.

0 0,05 0,1 0,15 0,2

0,7

0,8

0,9

1 ∆t = 0,001 s

t [s]

v C[m

/s]

Malla AMalla BMalla C

Figura 6.36. Velocidad del centro de masas para diferentes mallas.

Rodadura 139

0 0,05 0,1 0,15 0,2

1,60

1,70

1,80

1,90 ∆t = 0,001 s

t [s]

E[J

]

Malla AMalla BMalla C

Figura 6.37. Energıa total con el integrador EM.

a partir del cual la energıa total se conserva. Comparando ambos resul-tados, analıtico y numerico, se puede ver que la simulacion del contactocon friccion reproduce de forma bastante aproximada el comportamien-to teorico, como se aprecia en la Figura 6.37. Se observa tambien queel instante de tiempo para el cual la energıa se mantiene constante esaproximadamente el mismo para las tres mallas.

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

0,70

0,80

0,90

1,00 ∆t = 0,001 s

t [s]

v C[m/s

]

ε = 0,0025ε = 0,025ε = 0,25

Figura 6.38. Velocidad del centro de masas para diferentes valores de ε.

Ademas de la discretizacion, es importante tener en cuenta el valorutilizado para regularizar la ley de Coulomb. En la Figura 6.38 se muestrala evolucion en el tiempo de la velocidad del centro de masa para la esferausando 3 valores diferentes del factor de regularizacion ε. A media queeste valor disminuye acercandose a cero, la regularizacion es mas exactay el resultado obtenido se aproxima mejor al modelo teorico.

La Figura 6.39 muestra la evolucion en el tiempo de las iteraciones de

140 Aplicaciones

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

5

10

15

20

25 ∆t = 0,001 s

t [s]

Iter

acio

nes

ε = 0,0025ε = 0,025ε = 0,25

Figura 6.39. Iteraciones (Newton-Raphson) para diferentes valores de ε.

Newton-Raphson durante la simulacion del contacto, donde se observaque las iteraciones se incrementan considerablemente en la zona sin desli-zamiento para los valores pequenos del factor de regularizacion, productodel mayor grado de aproximacion a la ley de Coulomb.

Columna 141

6.5. Columna

En este ejemplo el objetivo es resolver con el metodo consistente unproblema que involucre multiples impactos de solidos rıgidos representa-dos con superficies implıcitas. Para ello se simula el desplome de 24 bolasrıgidas dispuestas en forma de columna vertical sobre un plano rıgidohorizontal.

La Figura 6.40 muestra la geometrıa de la columna compuesta porbolas en su posicion inicial. Las bolas estan dispuestas en 6 filas verticalesy en grupos de 4 bolas alineadas horizontalmente sin separacion. Paraprovocar el desplome cada grupo de 4 se desplaza ±2,5 cm en la direccionx e y con respecto a su grupo inmediatamente inferior.

Cada bola se representa por una superficie implıcita y el volumen en-cerrado determina la masa segun las propiedades mecanicas del materialque la compone.

y

z

240 cm

80 cm

x

y

80 cm

80 cm

Figura 6.40. Geometrıa de la columna formada por bolas rıgidas.

Ademas del plano horizontal, se fijan 3 paredes rıgidas con una in-clinacion de 60o con respecto al plano horizontal, como se muestra en laFigura 6.41.

Los solidos se mueven bajo el efecto de la aceleracion de gravedad ytras el impacto con el suelo rıgido se dispersan por el plano horizontal,contenidos a su vez por la paredes laterales.

142 Aplicaciones

y

x

z

1

23

4

5

6 7

8N x y z1 -5 -1.5 0.8662 -5 -1 03 -5 1 04 -5 1.5 0.8665 1.5 1.5 0.8666 1 1 07 1 -1 08 1.5 -1.5 0.866

Figura 6.41. Planos de contacto (unidades en metros).


Las bolas son solidos rıgidos representados mediante la ecuacion implıci-ta de un superelipsoide dada por

((X

r1

)2/a

+

(Y

r2

)2/a)a/b

+

(Z

r3

)2/b

− 1 = 0,

siendo r1 = 20 cm, r2 = 20 cm, r3 = 20 cm, a = 0,75 y b = 0,75. Cadabola tiene un volumen de 0, 042414 m3 y esta compuesta de un materialcon densidad ρ = 1000 kg/m3.

En la Figura 6.42 se muestra la malla utilizada para la visualizacionde las bolas (izq.) y la malla utilizada para el contacto (dcha.).

X Y

Z

X Y

Z

762 nodos y 1520 elementos 26 nodos y 48 elements

Figura 6.42. Malla de elementos utilizada para los solidos.

El plano horizontal y las paredes se definen mediante la ecuacionimplıcita del plano dada por

AX +B Y + C Z +D = 0,

donde A,B,C,D son constantes.

La Figura 6.43 muestra la malla utilizada para representar los planosdurante la simulacion.

Columna 143

Figura 6.43. Malla de elementos utilizadas para los planos.

Los planos permanecen fijos durante toda la simulacion y por tanto noes necesario asociar a ellos propiedades mecanicas, ya que no intervienenen la dinamica del problema.

Para simular el impacto de las bolas se definen dos tipos contactonodo-superficie: uno entre las bolas rıgidas y otro entre las bolas y losplanos. Ambos contactos son de tipo rıgido-rıgido y los puntos usadospara la deteccion se seleccionan del superelipsoide. Los parametros usadosen todos los contactos son k = 106, c = 103 y f = 0, 1.

La simulacion del movimiento se obtiene con el metodo de integracionconsistente (EM), resolviendo las ecuaciones de forma numerica durante5 s con un paso de tiempo ∆t = 0, 001 s. Las bolas parten del reposoy se mueven unicamente bajo el efecto de la aceleracion de gravedadg = 9, 81 m/s2.

6.5.2. Resultados.

La Figura 6.44 muestra instantaneas de la simulacion obtenidas conel integrador consistente EM y el paso de tiempo ∆t = 0,001 s, paradiferentes instantes de tiempo.

La Figura 6.45 muestra la evolucion de la energıa total del sistemaconsiderando la energıa del contacto. Se aprecia que la energıa disminuyegradualmente debido a los efectos disipativos que se introducen a travesdel amortiguamiento y la friccion.

La Figura 6.46 muestra la evolucion de la energıa de contacto, dondese observa el caracter intermitente de los impactos producidos durantela la simulacion. Se aprecia tambien que a medida que transcurre lasimulacion, los impactos incurren en un menor intercambio de energıadebido a los efectos disipativos incorporados en el modelo.

144 Aplicaciones

t = 0,0 s

t = 1,0 s

t = 2,0 s

t = 3,0 s

t = 4,0 s

t = 5,0 s

Figura 6.44. Instantaneas en el movimiento de las bolas rıgidas.

Columna 145

0 1 2 3 4 5

20

40

60

80

100

120

140·102

∆t = 0,001 s

t [s]

E[J

]

T + V + P eC

Figura 6.45. Energıa total del sistema con el integrador EM.

0 1 2 3 4 50

2

4

6

·102

∆t = 0,001 s

t [s]

Pe C

[J]

Figura 6.46. Energıa de contacto obtenida con el integrador EM.

146 Aplicaciones

6.6. Vehıculo

El siguiente ejemplo tiene por objetivo mostrar la capacidad del meto-do consistente EM simulando el desplazamiento de un vehıculo sencillosobre un circuito con obstaculos. Este ejemplo combina materiales rıgidosy flexibles, ademas de impacto y contacto usando friccion y amortigua-miento,

La Figura 6.47 muestra la geometrıa del vehıculo, donde b = 1 m,e = 0,2 m y r = 0,3 m.

b

b

e

e

2 r

+ +

+

x

y

b

e

e

++ +x

z

Figura 6.47. Geometrıa del vehıculo.

El vehıculo se desplaza por un circuito formado por uno plano hori-zontal y otro con inclinacion de 45o, como se muestra en la Figura 6.48.

100 100 75

125

45

45 40

20

2

+

+

+

x

y

Figura 6.48. Geometrıa del circuito y los obstaculos.

Vehıculo 147

Los obstaculos estan distribuidos sobre el plano horizontal de formaque impactan con las 3 ruedas del vehıculo mientras se desplaza por elcircuito.


El chasis del vehıculo se discretiza en una malla de 72 hexaedrosde 8 nodos, como muestra la Figura 6.49. Se asume un material hiper-elastico Saint Venant-Kirchhoff, con las propiedades del aluminio: modu-lo de Young E = 70× 109 Pa, coeficiente de Possion ν = 0,3 y densidadρ = 2700 kg/m3.

x

z

y

Figura 6.49. Malla de hexahedros para el chasis del vehıculo.

Las ruedas se consideran rıgidas, con densidad ρ = 7500 kg/m3 y serepresentan geometricamente mediante un superelipsoide de dimensionesr1 = 30 cm, r2 = 30 cm y r3 = 10 cm; y parametros a = 1 y b = 0,5.Se utiliza para su presentacion una malla de 336 triangulos de 3 nodos,como muestra la Figura 6.50.

X

ZY

Figura 6.50. Malla de triangulos para las ruedas del vehıculo.

La union entre el chasis y las ruedas del vehıculo se consigue medianteuna rotula esferica en el centro de la rueda y restricciones de distanciaconstante entre nodos estrategicos de la malla del chasis y los puntos quedefinen las ruedas, como muestra la Figura 6.51, asegurando que la ruedasgiren alrededor de su eje.

148 Aplicaciones

e

Y

X

Y

Xyx

z

Figura 6.51. Detalle de uniones en el vehıculo.

Los obstaculos rıgidos se definen mediante la ecuacion implıcita dela esfera, y los planos rıgidos, horizontal e inclinado, con la ecuacionimplıcita del plano.

Se definen dos contactos nodo-superficie, uno entre las ruedas y elplano, y otro entre las ruedas y los obstaculos. Ambos contactos son detipo rıgido-rıgido y los puntos usados para la deteccion se seleccionan delsuperelipsoide. Los parametros usados en todos los contactos son k = 108,c = 105 y f = 0,1.

La ecuaciones diferenciales se integran con el integrador consistenteEM durante 10 s usando un paso de tiempo ∆t = 0,01 s. La aceleracionde gravedad se fija en g = 9,81 m/s2 y el vehıculo parte con una velocidadinicial de 2,5 m/s en la direccion y segun los ejes globales del sistema. Lavelocidad se impone en todos los puntos de la malla del chasis y en cadauna de las ruedas en sus centros de gravedad.

6.6.2. Resultados

La Figura 6.52 muestra instantaneas del movimiento del vehıculo sobreel circuito obtenidas con el integrador consistente EM y el paso de tiempo∆t = 0,01 s, para diferentes instantes de tiempo.

La Figura 6.53 muestra la evolucion de la energıa total del sistema parael integrador consistente EM y para el integrador GN (con ρ∞ = 0,5). Elcomportamiento de la energıa esta caracterizado, en el caso del integradorGN, por incrementos de energıa de diferente magnitud. En cambio, en elcaso del integrador consistente EM se observa un decremento gradual yestable de la energıa.

Si se suma la energıa cinetica T , la energıa potencial V y la energıadel contacto P e

C, se puede ver que el total siempre desciende durante losprimeros 6 segundos y a continuacion se mantiene constante hasta el finalde la simulacion, como muestra la Figura 6.54 para el integrador EM. Elinicio de la fase de reposo (cuando la energıa es constante) correspondeal instante en el cual el vehıculo se detiene por completo producto de la

Vehıculo 149

t = 0,0 s t = 0,5 s

t = 2,0 s t = 3,0 s

t = 4,0 s t = 5,0 s

t = 6,0 s t = 7,0 s

t = 8,0 s t = 9,0 s

Figura 6.52. Instantaneas en el movimiento del vehıculo con el integradorEM y un paso de tiempo ∆t = 0,01 s.

150 Aplicaciones

0 2 4 6 8 10

1

2

3

4

5

6·103

∆t = 0,01 s

t [s]

E[J

]

EMGN

Figura 6.53. Energıa total del sistema con diferentes integradores.

friccion incorporada en el modelo de contacto.

0 2 4 6 8 10

1

2

3

4

5

6·103

∆t = 0,01 s

t [s]

E+P

e C[J

]

T + V + P eC

Figura 6.54. Energıa total mas energıa de contacto con el integrador EM.

La posicion del centro de las ruedas del vehıculo se muestra en laFigura 6.55 para el integrador EM, donde se observa que los obstaculosdel circuito producen saltos en el movimiento de las ruedas. Se apreciatambien que los desplazamientos verticales se amortiguan en el tiempodebido a las componentes disipativas del modelo.

Vehıculo 151

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,2

0,4

0,6

0,8∆t = 0,01 s

z[m

]

Rueda frontal

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,1

0,12

0,14∆t = 0,01 s

z[m

]

Rueda derecha

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,1

0,12

0,14∆t = 0,01 s

t [s]

z[m

]

Rueda izquierda

Figura 6.55. Posicion vertical del centro de cada rueda del vehıculo.

152 Aplicaciones

Conclusiones Cap

ıtul

o

7Se presentan en este capıtulo los principales resultados obtenidos y

las conclusiones del trabajo desarrollado y sus aportaciones, ası comotambien la futuras lineas de investigacion previstas.

154 Conclusiones

7.1. Resultados

El trabajo desarrollado en esta tesis se puede resumir en una serie deresultados, de los cuales cabe destacar los siguientes:

1. Se ha llevado a cabo un estudio teorico de las principales formu-laciones que permiten describir el comportamiento dinamico de unsistema multicuerpo sujeto a restricciones, las cuales se plantean deforma conservativa obteniendose excelentes resultados de estabili-dad en sistemas DAE y sistemas ODE de caracter ((stiff)). Al mismotiempo se han comparado los resultados numericos de diferentes in-tegradores estandar con el metodo energeticamente consistente.

2. Se ha estudiado la simulacion numerica de sistemas multicuerpocompuestos por solidos rıgidos y deformables utilizando coordena-das cartesianas, conectados mediante uniones y sujetos a restric-ciones holonomas y escleronomas. Para ello se ha empleado unaformulacion energeticamente consistente, obteniendose un esquemanumerico extraordinariamente estable y preciso.

3. Se ha desarrollado la formulacion teorica e implementacion numeri-ca del contacto entre solidos rıgidos y deformables para el caso tri-dimensional enmarcado dentro de la formulacion energeticamenteconsistente, usando superficies definidas de forma implıcita pararepresentar la geometrıa de los solidos y para definir condiciones decontorno y contacto.

4. Se ha incorporado en la formulacion de contacto las componen-tes disipativas de amortiguamiento y friccion, asegurando que ladisipacion sea incondicional y mejorando considerablemente la ro-bustez del modelo. Ademas, se ha mostrado mediante un sencilloexperimento numerico las propiedades del metodo energeticamenteconsistente.

5. Resolucion de casos representativos del problema de contacto quepermiten validar la formulacion desarrollada y su implementacionnumerica, comparando al mismo tiempo los resultados con diferen-tes integradores para evaluar las ventajas y desventajas de cadametodo.

Conclusiones 155

7.2. Conclusiones

Las principales conclusiones de la investigacion realizada se puedenresumir de la siguiente forma:

1. El uso de coordenadas cartesianas para describir el movimiento desolidos rıgidos y el comportamiento elastico de solidos deformables,permite formular un sistema multicuerpo flexible, compuesto porambos tipos de solidos, bajo un modelo no lineal caracterizado porgrandes desplazamientos, rotaciones y deformaciones.

2. El metodo de integracion energeticamente consistente, resulta es-table frente a diferentes situaciones en las cuales otros integrado-res no tienen exito, debido a su capacidad de conservar o disiparla energıa almacenada en el sistema mecanico. Permite simular deforma eficiente problemas que incluyen restricciones, uniones y con-tacto, conservando la energıa total de forma discreta en ausenciade fuerzas no conservativas o asegurando la disipacion incondicionalen problemas de contacto con amortiguamiento y friccion.

3. El contacto de solidos impuesto mediante penalizacion otorga uncaracter ((stiff)) a las ecuaciones diferenciales, introduciendo nue-vas dificultades a los metodos de integracion numerica tradiciona-les. En este contexto el metodo energeticamente consistente aportaestabilidad y robustez, pudiendo reproducir de forma correcta elcomportamiento del modelo continuo en situaciones de contacto.

4. El modelo de contacto propuesto para superficies definidas de for-ma implıcita, basado en una restriccion regularizada, constituyeuna herramienta sencilla para evaluar la penetracion, y que puedeutilizarse para simular el contacto con solidos de geometrıa basicao compleja.

5. Producto de la condicion unilateral de la restriccion de contactono resulta posible plantear de forma conservativa la formulacioncon restricciones usando multiplicadores de Lagrange o Lagrangeaumentado para la definicion estricta de la restriccion regularizada.No obstante, mediante una modificacion de la ecuacion de restric-cion, que reemplaza la superficie original por una superficie consis-tente con la formulacion, se obtiene una version conservativa delcontacto que garantiza el cumplimiento exacto de las restriccionmodificada.

156 Conclusiones

7.3. Aportaciones

Se resumen a continuacion las principales aportaciones originales ob-tenidas en esta tesis:

1. Se ha descrito una metodologıa teorica y numerica para abordarproblemas de contacto en los cuales intervienen solidos rıgidos re-presentados por una ecuacion implıcita de superficie. Mediante unasimple evaluacion de una funcion escalar se puede evaluar la pene-tracion de dos solidos, de los cuales uno de ellos posee una mallade puntos en la superficie de contacto y el otro se representa poruna superficie analıtica.

2. La implementacion numerica de una formulacion conservativa conLagrange aumentado para el contacto con superficies definidas me-diante ecuaciones implıcitas, basado en una restriccion regularizadasobre una superficie que se adaptada adecuadamente para el cum-plimiento exacto de la restriccion de contacto y la conservacion dela energıa total. Esta implementacion distingue entre dos superfi-cies, una geometrica necesaria para evaluar y detectar el contacto,y otra numerica para imponer la restriccion de contacto. Este pro-cedimiento permite la simulacion de problemas de contacto en loscuales la conservacion de la energıa total es un requisito fundamen-tal. Combinando un esquema iterativo para obtener los multipli-cadores de Lagrange con valores de penalizacion no excesivamenteelevados, se pueden obtener excelentes resultados en cuanto a pre-cision y estabilidad.

3. Desarrollo de un modelo constitutivo para el contacto con pene-tracion, amortiguamiento y friccion, que asegura la disipacion in-condicional de energıa en presencia de componentes disipativas yconserva la energıa total para un contacto elastico puro. Este mo-delo se ha desarrollado usando un potencial de penalizacion, que enausencia de las componentes disipativas restaura la energıa involu-crada en el contacto. La componente disipativa de amortiguamientose obtiene a partir de un modelo viscoso, en el cual interviene uncoeficiente constante de amortiguamiento y la velocidad de pene-tracion. La componente disipativa de friccion se obtiene medianteuna regularizacion de la Ley de Coulomb, que reproduce los estados((slip)) y ((stick)) del contacto en la direccion tangente.

4. En comparacion con los trabajos de Armero & Petocz (1998, 1999),Laursen & Chawla (1997); Chawla & Laursen (1998) y Bravo et al.(2012, 2011), la formulacion energeticamente consistente del con-

tacto desarrollada en esta tesis difiere tanto en la forma de evaluarla penetracion o ((gap)) como en la implementacion numerica. Laidea basica es utilizar una funcion de superficie, que ademas de

Lineas futuras 157

proporcionar una medida relativa de la distancia entre solidos per-mite detectar el contacto de una forma simple y eficiente. Estaformulacion puede aplicarse tanto al contacto de solidos o partıcu-las rıgidas, como a problemas de contacto entre solidos deformablesy rıgidos.

7.4. Lineas futuras

Algunas lineas de trabajo para investigaciones futuras sobre los temasabordados en esta tesis incluyen:

1. Mejorar las tecnicas de busqueda de contacto mediante algoritmosoptimizados, como las busqueda en estructuras de datos tipo arbol(((octree)) y ((cuaqtree))), para simular de forma eficiente problemascon grandes cantidades de solidos y multiples contactos.

2. Extender la formulacion de contacto con superficies implıcitas alcaso de superficies NURBS, que ampliarıa notablemente las posi-bilidades de representar solidos con geometrıas complejas.

3. Estudiar la posibilidad de formular el contacto energeticamenteconsistente usando los multiplicadores de Lagrange mediante el usode las variables ((slack)) (Boyd & Vandenberghe, 2010).

4. Introducir parametros en el modelo constitutivo de contacto tan-gente que reproduzcan de mejor forma el comportamiento real delfenomeno fısico, como por ejemplo, definir una regularizacion masexacta de la Ley de Coulomb que reproduzca fielmente situacionescon deslizamiento y velocidad nula.

5. Desarrollar un modelo constitutivo viscoso en direccion normal con-sistente con la energıa basado en un comportamiento mas realistade los materiales, como por ejemplo en funcion de la deformacionproducida en la superficie de contacto de acuerdos a los modelospropuestos por Lankarani & Nikravesh (1994); Lankarani (2001);Lankarani & Nikravesh (1990).

158 Conclusiones

Conclusions Cap

ıtul

o

8In this chapter we present the main results and conclusions as well as

the future research topics.

160 Conclusions

8.1. Results

The following results summarize the work undertaken in this thesis:

1. A theoretical study to describe the dynamic behavior of a multi-body system subject to constraints has been presented. The mainformulations associated to this literature revision are described. Inthis thesis, a conservative approach to this equations is introduced.This leads to excellent results in terms of stability in DAE systemsand ODE stiff systems. The energy-consistent method developed inthis research work is compared against different standard integra-tors using numerical examples.

2. Multibody systems composed by rigid and deformable solids whichare connected by joints and subject to constraints (holonomous andno-time dependent) are numerically simulated. Cartesian coordina-tes have been used to describe the system. An energy-consistentformulation has been carried out which allows to obtain an extra-ordinarily stable and precise numerical scheme.

3. A theoretical formulation of contact for three-dimensional rigid anddeformable solids using an energy-consistent formulation has beendeveloped and numerically implemented into a software. Geometryof rigid bodies, boundary conditions and contact are modeled usingimplicit surfaces.

4. Dissipative components of damping and friction are included inthe energy-consistent formulation of contact. This approach ensu-res unconditional dissipation of energy and significantly improvesthe robustness of the model. A simple but meaningful numericalexample is provided to demonstrate these properties of the energy-consistent method.

5. Finally, some illustrative cases of contact problems are presentedto validate the presented formulation and its numerical implemen-tation. Results obtained with different integration schemes are alsocompared. The advantages and disadvantages of each one are dis-cussed.

Conclusions 161

8.2. Conclusions

The main conclusions of this thesis are summarized as follow:

1. The description of the displacement of rigid and deformable solidsby means of cartesian coordinates allows to formulate a flexiblemultibody system. This approach is non-linear and is characterizedby large displacements, rotations and deformations.

2. The energy-consistent integration method is stable under situationsin which other integrators have no success due to its capacity forpreserving or dissipating the energy stored in the mechanical sys-tem. This method also allows to simulate efficiently problems withconstraints, joints and contact. In the absence of non conservativeforces the energy-consistent method maintains the total energy foreach time step, and besides, it ensures unconditional dissipation incontact problems where damping and friction forces are considered.

3. The imposition of contact constraint by means of penalization leadsto stiff differential equations and it adds new difficulties to nu-merical integration using traditional methods. In this context, theenergy-consistent method provides stability and robustness, andcan reproduce correctly the behavior of the continuous contact mo-del.

4. The contact model proposed for implicitly defined surfaces, basedon a regularized constraint, is a simple tool for the evaluation ofpenetration. It can be used to simulate the contact of solids with asimple or complex geometry.

5. Strict definition of contact constraint does not allow to develop anenergy-consistent formulation using Lagrange multipliers or aug-mented Lagrange. This limitation is due to the unilateral conditionof the contact constraint. However, a conservative version of thecontact force that guarantees the exact fulfillment of the modifiedconstraint is obtained. For this purpose the original surface is re-placed by a surface consistent with the formulation.

162 Conclusions

8.3. Original contributions

The original contributions achieved in the thesis are following sum-marize:

1. A theoretical and numerical methodology to address contact pro-blems in which the rigid solid are represented by implicit surfaceequations is described. A simple evaluation of a scalar functionallows to obtain the penetration between solids, assuming that oneof solid is defined by a mesh of contact points and the other one isdefined by means of a surface equation.

2. A numerical implementation of the energy-consistent method forcontact case with solids defined by means a surface implicit equa-tion is developed using an augmented Lagrange strategy. This stra-tegy is based on regularized constraint defined with a new surface(ad-hoc) so that the contact constraint are fully satisfied and thetotal energy is preserved. This implementation use two conceptualsurfaces: geometric and numerical surface. The first one is used toevaluate and detect the contact penetration, and the second oneis used to impose the contact constraint. This procedure allows tosimulate contact problems in which the conservation of the totalenergy plays an important role. The use of an iterative scheme forthe Lagrange multipliers along with the use of moderate values ofthe penalization parameters lead to excellent results in precisionand stability.

3. A constitutive model for the contact including penetration, dam-ping and friction has been developed. This ensures the unconditio-nal dissipation of the energy, except for the purely elastic case, whe-re the energy is fully preserved. This model is based on a constraintpotential which, in absence of dissipative effects, fully recovers theenergy involved in the contact. The damping force is modeled by aviscoelastic law defined in terms of a constant damping coefficientand the velocity of the penetration. Moreover, a regularization ofthe Coulomb Law which reproduces the slip and stick state of thecontact in the tangent direction is used to define the friction force.

4. Compared with the works of Armero & Petocz (1998, 1999), Laur-sen & Chawla (1997); Chawla & Laursen (1998) and Bravo et al.(2012, 2011), the energy-consistent formulation of contact (deve-

loped in this thesis) makes use of a completely different evaluationof the penetration or gap. The proposed method relies on the useof the implicit surface to measure the distant between two solidsenabling the detection of the contact in a simple and efficient way.Finally, this formulation can be applied to the contact between ri-

Future research 163

gid solids or rigid particles, as well as the contact problem betweenrigid and deformable solids.

8.4. Future research

The following topics may be addressed for future research after thisthesis:

1. The improvement of contact detection techniques by optimized al-gorithms, such as those based on tree-structured data (((octree)) and((quadtree))), to efficiently simulate problems which involve a largenumber of solids where multiples contacts might appear.

2. The extension of the proposed formulation (contact formulation ap-plied to implicit surfaces) to the case of surfaces defined by NURBS.This will widen the possibility of representing complex geometrics.

3. The investigation of a possible energy-consistent formulation forthe contact defined in terms of Lagrange multipliers by using slackvariables (Boyd & Vandenberghe, 2010).

4. The tangent contact constitutive model may be enriched by usingparameters which will be able to better approximate the real beha-vior according to the physics; for instance, by defining a exact re-gularization of the Coulomb law that can exactly model the caseof null velocity with slip.

5. The development of a new energy-consistent viscoelastic constitu-tive model for the normal direction based on real observation, forinstance, by including the deformation of the surface produced bythe contact. For this purpose is suggested the work of Lankarani &Nikravesh (1994); Lankarani (2001); Lankarani & Nikravesh (1990)as a starting point.

164 Conclusions

Matriz de Masa paraSolidos Rıgidos A

pend

ice

ASe detalla a continuacion la matriz de masa para un solido rıgido

representado por puntos discretos adecuadamente seleccionados.

A.1. Solido rıgido

El movimiento de un solido rıgido tridimensional se formula utilizando4 puntos seleccionados, como muestra la Figura A.1. Si se escoge el centrode gravedad y tres puntos situados sobre los ejes principales de inercia,se obtiene una matriz de masa constante.

Ba

0

G

e1

e2

e3

1

2

3

x1

x3

xP

P

y

z

x

Figura A.1. Solido rıgido tridimensional.

La posicion en el tiempo del solido se describe entonces con las coor-denadas cartesianas de los 4 puntos respecto a un sistema fijo. Paragarantizar la condicion de solido rıgido de los puntos seleccionados se im-ponen restricciones de distancia constante entre ellos. Estas restricciones

166 Matriz de Masa para Solidos Rıgidos

estan agrupadas en el vector

Φ(q) =

‖x1 − x0‖ − L01

‖x2 − x0‖ − L02

‖x3 − x0‖ − L03

‖x1 − x2‖ − L12

‖x2 − x3‖ − L23

‖x3 − x1‖ − L31

∈ R6 con q =

x0

x1

x2

x3

∈ R12, (A.1)

siendo ‖xj − xi‖ la distancia entre los puntos i,j calculada para un ins-tante t, Lij la distancian inicial y q el vector que reune las coordenadasespaciales de los puntos que definen el solido.

Los puntos del solido se escogen tal que uno coincide con el centro degravedad y los otros tres se situan sobre los ejes principales de inercia.En conjunto estos puntos forman un sistema ortonormal dado por G ylos vectores ei denotado como

S : G; e1, e2, e3 con ei =xi − x0

‖xi − x0‖. (A.2)

Se puede obtener la posicion de cualquier punto P del solido en fun-cion del sistema movil S con la siguiente relacion

xP = x0 + a. (A.3)

Tambien se puede escribir la posicion de P en funcion de los vectores eicomo

xP = x0 +XP e1 + YP e2 + ZP e3, (A.4)

siendo XP , YP , ZP las coordenadas del vector a expresadas en el sistemamovil.

Escogiendo los puntos tal que ‖xi − x0‖ = 1, se puede escribir laposicion de P de forma matricial como

xP = CP q, (A.5)

donde CP es una matriz de 3× 12 dada por

CP =

AP 0 0 XP 0 0 YP 0 0 ZP 0 00 AP 0 0 XP 0 0 YP 0 0 ZP 00 0 AP 0 0 XP 0 0 YP 0 0 YP

(A.6)

=(AP I3 XP I3 YP I3 ZP I3

)(A.7)

con AP = 1−XP − YP − ZP .

Matriz de masa 167

A.2. Matriz de masa

La matriz de masa para un solido rıgido parametrizado con coorde-nadas cartesianas esta dada por

M =

∫

BCTCρ dV. (A.8)

donde ρ es la densidad del solido y C es la matriz que relaciona las coor-denadas espaciales de un punto cualquiera del solido con las coordenadasespaciales de los puntos seleccionados como

x(X, t) = C(X)q(t). (A.9)

Si se reemplaza la matriz C (dada en el apartado anterior) en laexpresion de la matriz de masa se se obtiene

M =

M00I3 M01I3 M02I3 M03I3M10I3 M11I3 M12I3 M13I3M20I3 M12I3 M22I3 M23I3M30I3 M13I3 M32I3 M33I3

(A.10)

=

∫

B

A2I3 AXI3 AY I3 AZI3AXI3 X2I3 X Y I3 X ZI3AY I3 Y XI3 Y 2I3 Y ZI3AZI3 Z XI3 Z Y I3 Z2I3

ρ dV, (A.11)

con A = 1−X − Y − Z.

Desarrollando el termino M00 de la matriz de masa se tiene que

M00 =

∫

BA2ρ dV =

∫

B(1−X − Y − Z)2 ρ dV (A.12)

=

∫

Bρ dV − 2

∫

B(X + Y + Z)ρ dV +

∫

B(X + Y + Z)2ρ dV. (A.13)

Utilizando la definicion de la masa total dada por

m =

∫

Bρ dV, (A.14)

las coordenadas del centro de gravedad dadas por

XG =1

m

∫

BX ρdV YG =

1

m

∫

BY ρ dV ZG =

1

m

∫

BZ ρ dV, (A.15)


los terminos del tensor de inercia dados por

J11 =

∫

B(Y 2 + Z2)ρ dV (A.16)

J22 =

∫

B(X2 + Z2)ρ dV (A.17)

J33 =

∫

B(X2 + Y 2)ρ dV (A.18)

J12 = J21 =

∫

BX Y ρ dV (A.19)

J23 = J32 =

∫

BY Zρ dV (A.20)

J31 = J13 =

∫

BZ XρdV (A.21)

y el momento polar de inercia con respecto al origen dado por

JO =

∫

B(X2 + Y 2 + Z2)ρ dV =

J11 + J22 + J33

2, (A.22)

se llega a

M00 = m− 2m(XG + YG + ZG) + JO + 2(J12 + J23 + J31). (A.23)

Para los terminos M11,M22,M33 se tiene que

M11 =

∫

BX2ρ dV (A.24)

=

∫

B(X2 + Y 2 + Z2)ρ dV −

∫

B(Y 2 + Z2)ρ dV (A.25)

=J11 + J22 + J33

2− J11 =

J22 + J33 − J11

2(A.26)

M22 =

∫

BY 2ρ dV =

J11 + J33 − J22

2(A.27)

M33 =

∫

BZ2ρ dV =

J11 + J22 − J33

2(A.28)


M12 =M21 =

∫

BX Y ρ dV = J12 = J21 (A.29)

M13 =M31 =

∫

BX ZρdV = J13 = J31 (A.30)

M23 =M32 =

∫

BX Y ρ dV = J23 = J32 (A.31)

(A.32)

Matriz de masa 169


M01 = M10 =

∫

BX (1−X − Y − Z) ρ dV (A.33)

= mXG −(J22 + J33 − J11

2+ J12 + J13

)(A.34)

M02 = M20 =

∫

BY (1−X − Y − Z) ρ dV (A.35)

= mYG −(J11 + J33 − J22

2+ J21 + J23

)(A.36)

M03 = M30 =

∫

BZ (1−X − Y − Z) ρ dV (A.37)

= mZG −(J11 + J22 − J33

2+ J31 + J32

)(A.38)

Teniendo en cuenta que el origen del sistema S coincide con el centrode gravedad (XG = YG = ZG = 0) y que las direcciones de los vectoresque componen el sistema S coincide con las direcciones principales deinercia (J12 = J13 = J23 = 0), los terminos de la matriz de masa sesimplifican obteniendose

M =

M00I3 M01I3 M02I3 M03I3M10I3 M11I3 03 03

M20I3 03 M22I3 03

M30I3 03 03 M33I3

(A.39)

con

M00 = m+J11 + J22 + J33

2(A.40)

M11 =J22 + J33 − J11

2(A.41)

M22 =J11 + J33 − J22

2(A.42)

M33 =J11 + J22 − J33

2(A.43)

M01 = M10 = −J22 + J33 − J11

2(A.44)

M02 = M20 = −J11 + J33 − J22

2(A.45)

M03 = M30 = −J11 + J22 − J33

2(A.46)

Uniones y Superficies Ape

ndic

e

BUna union, tambien conocidas como par cinematico, hace posible co-

nectar diversos componentes de un sistema mecanico. Su finalidad espermitir o restringir ciertos movimientos relativos entres los solidos queconectan. Las uniones puede ser de diversas caracterısticas y en la ma-yorıa de los casos pueden ser representadas por una serie de restriccionesholonomas y escleronomas.

En los apartados siguientes se describiran con detalle algunas de lasuniones utilizadas en este trabajo. Se incluye tambien dentro de esteapartado las restricciones con superficies, que permiten representar lageometrıa de algunos solidos y condiciones de contorno especiales comoes el caso del contacto.

B.1. Union esferica

Esta union permite la rotacion relativa de los elementos conectadoscon respecto a un punto comun y alrededor de 3 ejes. Se consigue impo-niendo que la posicion del punto de union, expresada en funcion de lossistemas de cada solido, sea equivalente en todo momento.

Consideremos un punto P comun a los solidos BA y BB, como muestrala Figura B.1. La posicion de este punto respecto de cada solido esta dadapor los vectores

a = XAP eA1 + Y A

P eA2 +XAP eA3 , (B.1)

b = XBP eB1 + Y B

P eB2 +XBP eB3 . (B.2)

Se puede obtener entonces la posicion del punto P respecto del sistemaglobal, para cualquier instante de tiempo, en funcion de los vectores a o

172 Uniones y Superficies

BA

a

GA

eA1

eA2

eA3

BB

bGB

eB1

eB2

eB3

xP

y

z

x

Figura B.1. Union esferica.

b como

xAP = xA0 + a, (B.3)

xBP = xB0 + b. (B.4)

Para expresar que la posicion P obtenida segun cada sistema coincidaen todo instante, se define la siguiente restriccion

Φ(q) =xAP − xBP

∈ R3, (B.5)

que expresada en forma matricial esta dada por

Φ(q) =CAP qA − CBP qB

, (B.6)

Φ(q) =(CAP | −CBP

)qA

qB

. (B.7)

B.2. Union cilındrica

Esta union permite la rotacion relativa de los solidos conectados conrespecto a un eje e impide el deslizamiento en la direccion definida porel eje. Se puede conseguir igualando la posicion de 2 puntos, tal que elvector que une ambos puntos define el eje de rotacion.

Consideremos el punto P comun a los solidos y el punto Q para definirel eje de rotacion, como muestra la Figura B.2.

El movimiento relativo entre ambos solidos se reduce mediante dosecuaciones de restriccion que expresen la coincidencia de los vectoresposicion de los puntos P y Q, obtenidos en funcion de los sistemas de

Union rıgida 173

BA

aP

GA

eA1

eA2eA3

BB

bP

GB

eB1eB2

eB3

xP

aQ

bQ

Q

y

z

x

Figura B.2. Union cilındrica.

referencia de cada solido. En otras palabras, el movimiento al rededor deleje se logra imponiendo una union esferica en cada punto.

Razonando de la misma forma que para la union esferica, el vectorque agrupa las restricciones esta dado por

Φ(q) =

xAP − xBPxAQ − xBQ

∈ R6, (B.8)


Φ(q) =

CAP qA − CBP qB

CAQ qA − CBQ qB

, (B.9)

Φ(q) =

(CAP −CBPCAQ −CBQ

)qA

qB

. (B.10)

El mismo resultado se habrıa obtenido imponiendo una union esferica enel punto P y dos restricciones de distancia constante, una entre GA y Qy otra GB y Q.

B.3. Union rıgida

Esta union impide todos los movimientos relativos entre dos solidosy se puede consiguir uniendo los solidos mediante tres uniones esfericas.

Considerando los puntos de union P , Q y N , el vector que agrupa lasrestricciones esta dado por

Φ(q) =

xAP − xBPxAQ − xBQxAN − xBN

∈ R9, (B.11)



Φ(q) =

CAP qA − CBP qB

CAQ qA − CBQ qB

CAN qA − CBN qB

, (B.12)

Φ(q) =

CAP −CBPCAQ −CBQCAN −CBN

qA

qB

. (B.13)

B.4. Restricciones con superficies

El uso de superficies es bastante frecuente en sistemas multicuerpo,ya que permiten representar diferentes condiciones de contorno, definir lageometrıa de los solidos o formular el contacto mediante una restriccionregularizada, como se ha propuesto en esta tesis.

Un ejemplo de este tipo de situaciones es el caso de obligar a undeterminado punto de un solido a moverse sobre una superficie fija. Seutiliza para ello la forma implıcita de la ecuacion de superficie expresadacomo

f(x, y, z) = 0. (B.14)

La ecuacion de restriccion se formula expresando la funcion de super-ficie para un determinado punto P como

Φ(q) = f(xP , yP , zP ) ∈ R con q =xP. (B.15)

En el caso del contacto la ecuacion de restriccion esta definida portrozos con el objetivo de identificar la penetracion. La condicion de con-tacto para que un punto P no penetre al interior de una superficie sedefine como

Φ(S) =

0 S > 0Sa S < 0

, (B.16)

siendo S = f(xP , yP , zP ) y a un exponente de regularizacion.

Las superficies utilizadas en esta tesis se muestran en la Tabla B.1. Uncaso particular son las superficies definidas mediante superelipsoides, quepermiten obtener diferentes formas variando los parametros a y b de laecuacion implıcita. En la Figura B.3 se muestran algunas supeelipsoidespara diferentes valores de a y b.

Restricciones con superficies 175

Plano a x+ b y + c z + d

Esfera x2 + y2 + z2 − r2

Elipsoide(xr1

)2

+(yr2

)2

+(zr3

)2

− 1

Superelipsoide

((xr1

) 2a

+(yr2

) 2a

)ab

+(zr3

) 2b − 1

Tabla B.1. Superficies implıcitas.

a = 0,1 b = 0,1 a = 0,1 b = 0,5 a = 0,1 b = 1,0

a = 0,5 b = 0,1 a = 0,5 b = 0,5 a = 0,5 b = 1,0

a = 1,0 b = 0,1 a = 1,0 b = 0,5 a = 1,0 b = 1,0

Figura B.3. Superelipsoides para r1 = r2 = r3.

Integracion Numerica Ape

ndic

e

CEn el desarrollo de este trabajo se han utilizado diferentes algoritmos

de integracion numerica que han servido de apoyo a las comparacionesrealizadas con el metodo de integracion consistente energıa-momento.

En los apartados a continuacion se describen los principales proce-dimientos numericos utilizados en esta tesis para resolver las ecuacionesdiferenciales de segundo orden que gobiernan el movimiento de un siste-ma compuesto por solidos rıgidos y flexibles.

C.1. Ecuaciones de movimiento.

El comportamiento dinamico de un sistema multicuerpo se rige porun conjunto de ecuaciones diferenciales de segundo orden y ecuacionesalgebraicas dadas por

Mq + FR − FG = 0 (C.1)

Φ(q) = 0. (C.2)

siendo Mq las fuerzas de inercia, FR las fuerzas asociadas a las restriccio-nes y FG el resto de fuerzas generalizadas aplicadas internas y externas.

La expresion de las fuerzas de restriccion dependera del metodo em-pleado para imponer las restricciones, siendo posible tres alternativas

Multiplicadores de Lagrange: FR =∂Φ

∂q

T

λ (C.3)

Penalizacion: FR =∂Φ

∂q

T

αΦ (C.4)

Lagrange aumentado: FR =∂Φ

∂q

T

(λ + αΦ) (C.5)

178 Integracion Numerica

Estas formulaciones conducen a un sistema de ecuaciones que puede serDAE u ODE.

El sistema DAE se puede resolver en ındice 3, 2 o 1, dependiendo desi las ecuaciones de restriccion que acompanas las ecuaciones de movi-miento son algebraicas, diferenciales de primer orden o de segundo orden,respectivamente. Estas dos ultimas se obtienen derivando sucesivamentelas ecuaciones de restriccion algebraicas con respecto al tiempo. Si lasrestricciones dependen unicamente del vector q se tiene que

Φ =∂Φ

∂qq, (C.6)

Φ =∂Φ

∂qq +

d

dt

(∂Φ

∂q

)q. (C.7)

C.2. Integradores numericos

La ecuaciones diferenciales se resuelven mediante un algoritmo numeri-co aplicado sobre el espacio de tiempo discretizado en intervalos de longi-tud ∆t. En general, los algoritmos de integracion numerica proporcionanuna solucion aproximada, dadas unas condiciones iniciales en tn, para laecuacion diferencial dada por

Mqn+1 = F(qn+1, qn+1, tn+1) (C.8)

donde tn+1 = tn+ ∆t. Un integrador es explıcito si usa unicamente infor-macion en el instante tn e implıcito cuando ademas precisa de informacionen tn+1.

Es posible distinguir dos tipos de integradores, unos de proposito ge-neral disenados para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de cual-quier orden, y otros disenados para resolver sistemas de segundo ordenprovenientes de la dinamica estructural.

Para los integradores de proposito general, como los mostrados en laTabla C.1, resulta conveniente construir un sistema de primer orden de laforma

y =

qq

con y =

qq

, (C.9)

donde q = q(t) es el vector posicion de las coordenadas generalizadas,q = q(t) el vector velocidad y q = q(t) el vector aceleracion. Ası, parala regla trapezoidal se puede obtener una expresion de la velocidad y laaceleracion en funcion del vector posicion como

qn+1 =2

∆t(qn+1 − qn)− qn (C.10)

qn+1 =4

∆t2(qn+1 − qn)− 4

∆tqn − qn. (C.11)

Integradores numericos 179

O para el integrador BDF de orden 2 como

qn+1 =2

3∆t(qn+1 −

4

3qn +

1

3qn−1), (C.12)

qn+1 =2

3∆t(qn+1 −

4

3qn +

1

3qn−1). (C.13)

Regla trapezoidal yn+1 = yn + ∆t2

(yn+1 + yn)

Regla del punto medio yn+1 = yn + ∆t yn+ 12

BDF orden 1 yn+1 = yn + ∆t yn+1

BDF orden 2 yn+1 = 43yn − 1

3yn−1 + 2

3∆t yn+1

BDF orden 3 yn+1 = 1811

yn − 911

yn−1 + 211

yn−2 + 611

∆t yn+1

BDF orden 4 yn+1 = 4825

yn − 3625

yn−1 + 1625

yn−2 − 325

yn−3 + 1225

∆t yn+1

Tabla C.1. Integradores generales.

Los integradores estructurales, como los que se muestra en la TablaC.2, proporcionan expresiones para la posicion y la velocidad en el ins-tante tn+1.

Newmarkqn+1 = qn + ∆t qn + ∆t2

[(1

2− β)qn + β qn)

]

qn+1 = qn + ∆t [(1− γ)qn + γ qn)]

α-Generalizado

(1− αm) an+1 + αm an = (1− αf ) qn+1 + αf an

qn+1 = qn + ∆t qn + ∆t2[(1

2− β)an + β an)

]

qn+1 = qn + ∆t [(1− γ)an + γ an)]

Tabla C.2. Integradores estructurales.

Los parametros αm, αf , αm, β y γ determinan las caracterısticas deestabilidad de los integradores estructurales. Por ejemplo, en el caso delintegrador Newmark los metodos en el lımite de la zona de estabilidadincondicional estan dados por

γ =1

2+ α y β =

1

4(γ +

1

2)2, (C.14)

con α > 0. Para el integrador α-Generealizado, el amortiguamientonumerico para el rango de altas frecuencias esta representado por el radio


espectral ρ∞ ∈ [0, 1], tal que

αm =2 ρ∞ − 1

ρ∞ + 1, αf =

ρ∞ρ∞ + 1

, (C.15)

γ =1

2+ αf − αm, β =

1

4(γ +

1

2)2. (C.16)

La maxima disipacion se obtiene para ρ∞ = 0.

Un caso particular es el integrator HHT, en que la posicion y velocidadse introducen en para un instante tn+α en las ecuaciones del movimientomodificadas como

Mqn+1 = F(qn+α, qn+α, tn+α) (C.17)

donde F representa todas las fuerzas externas o internas expresadas enfuncion de la posicion, la velocidad y el tiempo.

HHT

qn+1 = qn + ∆t qn + ∆t2[(1

2− β)qn + β qn)

]

qn+1 = qn + ∆t [(1− γ)qn + γ qn)]

qn+α = (1− α) qn + αqn+1

qn+α = (1− α) qn + α qn+1

tn+α = (1− α) tn + α tn+1

Tabla C.3. Integrador HHT.

Los parametros del integrador HHT se pueden obtener a partir de lassiguientes relaciones

β =(2− α)2

4y γ =

3

2− α, (C.18)

con α ∈ [0, 1]. Para α = 1 se obtiene la regla trapezoidal.

C.3. Sistema no lineal de ecuaciones

Para un instante tn+1 se puede expresar el equilibrio de fuerzas como

R(qn+1, qn+1,qn+1, tn+1) = 0. (C.19)

Si se introducen las expresiones para la velocidad y la aceleracion propor-cionadas por un integrador numerico en la funcion residuo R se obtieneun sistema de ecuaciones no lineales dado por

R(qn+1, tn+1) = 0. (C.20)

Sistema no lineal de ecuaciones 181

donde qn+1 son las incognitas a determinar.

Uno de los algoritmos numericos utilizados con mayor frecuencia pararesolver ecuaciones no lineales es el metodo de Newton Raphson. Estemetodo posee convergencia cuadratica.

El metodo de Newton es un procedimiento iterativo que consiste enresolver en cada iteracion k el siguiente sistema lineal de ecuaciones

∂R

∂q

k

n+1

∆qkn+1 = −Rkn+1, (C.21)

qk+1n+1 = qkn+1 + ∆qkn+1. (C.22)

Este sistema se obtiene mediante una linealizacion de la funcion residuo.El metodo alcanza la convergencia cuando la funcion Rk

n+1 evaluada paraqkn+1 se anula o se aproxima a cero con una determined tolerancia de error.

C.3.1. Sistema DAE

Este sistema de ecuaciones diferenciales y algebraicas se obtiene conlas formulaciones de multiplicadores de Lagrange y Lagrange aumentado.El vector de incognitas esta formado por las coordenadas q y los mul-tiplicadores de Lagrange λ. El sistema de ecuaciones lineales obtenidopara el metodo de Newton esta dado por

K∂Φ

∂q

T

∂Φ

∂q0

n+1

∆q

∆λ

n+1

= −

F

C

n+1

, (C.23)

donde

Kn+1 =∂F

∂q n+1

(C.24)

Fn+1 = M qn+1 + FRn+1 − FGn+1. (C.25)

Si el sistema se resuelve en ındice 3 el vector C = Φ; C = Φ para ındice2 y C = Φ para ındice 1.

C.3.2. Sistema ODE

Este sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias se obtiene con laformulacion de penalizacion. Para el metodo de Newton se utiliza el si-guiente sistema de ecuaciones lineales

Kn+1 ∆qn+1 = −Fn+1 (C.26)


donde

Kn+1 =∂F

∂q n+1

(C.27)

Fn+1 = M qn+1 + FRn+1 − FGn+1. (C.28)

Tambien se obtiene un sistema de ecuaciones ODE al plantear elmetodo de Lagrange aumentado junto con el metodo de Uzawa, queconsiste en obtener de forma iterativa los multiplicadores de Lagrange.

Para un vector λi constante se resuelve el siguiente sistema de ecua-ciones lineales

Kin+1 ∆qn+1 = −Fi

n+1 (C.29)

donde

Kin+1 =

∂F

∂q

i

n+1

(C.30)

Fin+1 = M qn+1 + FR(λi)n+1 − FGn+1. (C.31)

Una vez alcanzada la convergencia para un vector λi fijo, se actualizamediante la expresion

λi+1n+1 = λin+1 + αΦn+1. (C.32)

La convergencia para el instante tn+1 se alcanza cuando se anula ‖λi+1n+1−

λin+1‖, que al mismo tiempo garantiza que las restricciones Φn+1 se anu-len.

Lagrange aumentadoiterativo A

pend

ice

DLa formulacion de Lagrange aumentado se puede entender como una

combinacion entre penalizacion y multiplicadores de Lagrange, que con-duce a un sistema de ecuaciones diferenciales y algebraicas (DAE) deındice 3 dado por

Mq +∂Φ

∂q

T

(αΦ + λ) = FG, (D.1)

Φ(q) = 0. (D.2)

donde Mq son las fuerzas de inercia, Φ el vector restricciones, λ el vec-tor de multiplicadores, α la matriz de penalizadores y FG las fuerzasgeneralizadas aplicadas internas y externas.

Este sistema de ecuaciones se puede resolver tambien de forma ite-rativa, tal que en cada iteracion se resuelve un sistema de ecuacionesdiferenciales ordinarias (ODE). Esta tecnica de implementacion se cono-ce con el nombre de algoritmo de Uzawa y los multiplicadores se obtienenmediante la siguiente actualizacion

λk+1

= αΦ + λk. (D.3)

Las iteraciones del algoritmo de Uzawa pueden adaptarse al meto-do numerico de solucion de las ecuaciones diferenciales de dos formasdiferentes: simultaneas o anidadas.

D.1. Iteraciones simultaneas

En este caso se aprovecha el proceso iterativo necesario para resol-ver las ecuaciones no lineales que resultan del metodo de integracionnumerica (vease el Apendice B), obteniendose un esquema de iteraciones

184 Lagrange aumentado iterativo

simultaneas. Es decir, las incognitas del problema no lineal se actualizanal mismo tiempo que los multiplicadores.

La Tabla D.1 muestra un esquema general para integrar numericamen-te las ecuaciones dinamicas de un sistema multicuerpo formuladas conLagrange aumentado empleando iteraciones simultaneas.

Valores iniciales: t0,q0, q0, q0,λ0

n = 0

1) tn+1 = ∆t+ tn

Iniciar las iteraciones con: q0n+1 = qn,λ

0

n+1 = λnMediante un integrador calcular: q0

n+1, q0n+1

i = 0

2) Newton-Raphson

R = residuo(qin+1, qin+1, q

in+1,λ

i

n+1)

T = tangente(qin+1, qin+1, q

in+1,λ

i

n+1)

∆q = −T−1R

qi+1n+1 = qin+1 + ∆q

Mediante un integrador calcular: qi+1n+1, q

i+1n+1

Actualizar los multiplicadores:

λi+1

n+1 = αΦ(qi+1n+1) + λ

i

n+1

Criterio de convergencia para Newton-Raphson

Si ‖R‖ > ε volver a 2) (i = i+ 1)

Si ‖R‖ < ε continuar con 3)

3) Paso de tiempo convergido:

qn+1 = qi+1n+1, qn+1 = qi+1

n+1, qn+1 = qi+1n+1,λn+1 = λ

i+1

n+1

Volver a 1) (n = n+ 1)

Tabla D.1. Esquema de iteraciones simultaneas.

D.2. Iteraciones anidadas

Otra forma de implementar el algoritmo de Uzawa es usar un procesoiterativo independiente al metodo de Newton-Raphson. La ventaja deeste planteamiento es que los multiplicadores son constantes en el procesoiterativo de Newton-Raphson, aunque por otro lado, conlleva un costecomputacional mayor puesto que las iteraciones de Newton-Raphson seincrementan considerablemente en cada paso de tiempo.

La Tabla D.2 muestra un esquema general para integrar numericamen-te las ecuaciones dinamicas de un sistema multicuerpo formuladas conLagrange aumentado empleando iteraciones anidadas.

Iteraciones anidadas 185

Valores iniciales: t0,q0, q0, q0,λ0

n = 0

1) tn+1 = ∆t+ tn

Iniciar las iteraciones con: λ0

n+1 = λnk = 0

2) Bucle de multiplicadores

Iniciar las iteraciones con: q0n+1 = qn

Mediante un integrador calcular: q0n+1, q

0n+1

i = 0

3) Newton-Raphson

R = residuo(qin+1, qin+1, q

in+1,λ

k

n+1)

T = tangente(qin+1, qin+1, q

in+1,λ

k

n+1)

∆q = −T−1R

qi+1n+1 = qin+1 + ∆q

Mediante un integrador calcular: qi+1n+1, q

i+1n+1

Criterio de convergencia para Newton-Raphson

Si ‖R‖ > ε volver a 3) (i = i+ 1)

Si ‖R‖ < ε continuar con 4)

4) Actualizar los multiplicadores:

∆λ = αΦ(qi+1n+1)

λk+1

n+1 = ∆λ + λk

n+1

Criterio de convergencia para los multiplicadores

Si ‖∆λ‖ > ε volver a 2) (k = k + 1)

Si ‖∆λ‖ < ε continuar con 5)

5) Paso de tiempo convergido:

qn+1 = qi+1n+1, qn+1 = qi+1

n+1, qn+1 = qi+1n+1,λn+1 = λ

k+1

n+1

Volver a 1) (n = n+ 1)

Tabla D.2. Esquema de iteraciones anidadas.

186 Lagrange aumentado iterativo

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Lista de figuras

2.1. Configuracion inicial y deformada. . . . . . . . . . . . . . 16

2.2. Movimiento de un solido deformable discretizado. . . . . 21

2.3. Funciones de forma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4. Movimiento de un solido rıgido. . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1. Teorema del valor medio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2. Pendulo simple en el plano. . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3. Trayectoria del pendulo con el integrador RT. . . . . . . 51

3.4. Evolucion de la energıa total con el integrador RT. . . . 51


3.6. Evolucion de la energıa total con el integrador BDF1. . . 52

3.7. Evolucion de la energıa total con los integradores BDF. . 53

3.8. Evolucion de la energıa total con el integrador NK. . . . 53

3.9. Evolucion de la energıa total con diferentes integradores. 54

3.10. Restriccion estabilizada con el integrador RT. . . . . . . 55

3.11. Restriccion en posicion con el integrador RT. . . . . . . . 56

3.12. Restriccion en velocidad con el integrador RT. . . . . . . 56

3.13. Restriccion en aceleracion con el integrador RT. . . . . . 57

3.14. Geometrıa del mecanismo biela-manivela. . . . . . . . . . 57

3.15. Trayectoria del mecanismo con el integrador EM. . . . . 59

3.16. Trayectoria de A con el integrador BDF2. . . . . . . . . 59

3.17. Trayectoria de C con el integrador BDF2. . . . . . . . . 60

3.18. Evolucion de la energıa total con diferentes integradores. 60

200 Lista de figuras

3.19. Geometrıa del mecanismo de Bricard. . . . . . . . . . . . 61

3.20. Posicion del mecanismo de Bricard para el integrador EMy un paso de tiempo ∆t = 0,1 s. . . . . . . . . . . . . . . 62

3.21. Velocidad del centro de masas de la barra AB en la direc-cion z con el integrador GN(ρ∞ = 0,8). . . . . . . . . . . 63

3.22. Velocidad del centro de masas de la barra AB en la direc-cion z con el integrador EM. . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.23. Evolucion de la energıa total con Lagrange aumentado. . 64

4.1. Fuerzas en la superficie de contacto. . . . . . . . . . . . . 66

4.2. Masa puntual y superficie rıgida. . . . . . . . . . . . . . 67

4.3. Contacto sin friccion de una masa puntual. . . . . . . . . 67

4.4. Condiciones de Kuhn-Tucker para el contacto sin friccion. 68

4.5. Contacto con friccion de una masa puntual. . . . . . . . 68

4.6. Condiciones de Kuhn-Tucker para el contacto con friccion. 69

4.7. Solido definido mediante una malla de elementos. . . . . 70

4.8. Esfera definida por una ecuacion de superficie. . . . . . . 70

4.9. Cinematica del contacto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.10. Proyeccion de mınima distancia y ((gap)). . . . . . . . . . 72

4.11. Elementos cuadrilateros en contacto. . . . . . . . . . . . 72

4.12. Solido rıgido definido mediante una ecuacion implıcita. . 73

4.13. Contacto entre dos solidos rıgidos. . . . . . . . . . . . . . 74

4.14. Contacto entre un solido rıgido y un solido reformable. . 75

4.15. Contacto entre multiples solidos rıgidos y deformables. . 76

4.16. Ejemplo plano de contacto. . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.17. Funciones de regularizacion para ((stick-slip)). . . . . . . . 80

4.18. Fuerza de penalizacion y multiplicadores de Lagrange. . . 83

5.1. Restriccion bilateral (izq.) y unilateral (dcha.). . . . . . . 86

5.2. Restriccion unilateral regularizada (a = 2 y b = 1). . . . 87

5.3. Contacto con solido rıgido. . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.4. Funcion de contacto de regularizada. . . . . . . . . . . . 90


5.5. Funcion de regularizacion (a = 1 y a = 2). . . . . . . . . 91

5.6. Superficie geometrica y numerica. . . . . . . . . . . . . . 92

5.7. Contacto partıcula-plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.8. Trayectoria de la partıcula. . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.9. Fuerza y posicion vertical de la partıcula, α = 106. . . . . 98

5.10. Energıa total E = T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.11. Evolucion en el tiempo de θ, α = 1010. . . . . . . . . . . 100

5.12. Trayectoria de la partıcula, α = 106. . . . . . . . . . . . . 101

5.13. Trayectoria con diferentes pasos de tiempo, α = 106. . . . 102

5.14. Evolucion de la energıa total, α = 106. . . . . . . . . . . 102

5.15. Trayectoria de la partıcula, α = 106. . . . . . . . . . . . . 103

5.16. Energıa total. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.17. Energıa total mas energıa de contacto. . . . . . . . . . . 105

5.18. Energıa total y energıa de contacto. . . . . . . . . . . . . 105

5.19. Trayectoria para diferentes coeficiente de friccion. . . . . 107

5.20. Velocidad vt para diferentes coeficiente de friccion. . . . . 107

5.21. Factor de regularizacion para diferentes µ. . . . . . . . . 108

5.22. Energıa total para diferentes µ. . . . . . . . . . . . . . . 108

5.23. Energıa total mas energıa de contacto para diferentes µ. 109

5.24. Cinematica del contacto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.25. Fuerza de friccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6.1. Geometrıa de las barras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.2. Posicion de los barras en el tiempo con el integrador EMy un paso de tiempo ∆t = 0,001 s. . . . . . . . . . . . . . 117

6.3. Evolucion de la energıa total. . . . . . . . . . . . . . . . 118

6.4. Evolucion de la restriccion de contacto. . . . . . . . . . . 118

6.5. Trayectoria al interior de la holgura. . . . . . . . . . . . 119

6.6. Evolucion del multiplicador asociado al contacto. . . . . 119

6.7. Geometrıa del pendulo de Newton con 2 y 3 bolas. . . . . 120

6.8. Evolucion de la energıa cinetica con el integrador RT. . . 121


6.9. Evolucion de la energıa cinetica con el integrador RT. . . 121


6.11. Evolucion de la energıa total con el integrador GN. . . . 122

6.12. Evolucion de la energıa cinetica con el integrador EM. . . 123

6.13. Evolucion de la energıa total con el integrador EM. . . . 123

6.14. Evolucion de la posicion vertical z con el integrador EM. 124

6.15. Posicion de los pendulos en el tiempo con el integradorEM y un paso de tiempo ∆t = 0,01 s. . . . . . . . . . . . 124

6.16. Evolucion de la energıa total con el integrador EM. . . . 125

6.17. Posicion vertical del centro de cada bola, integrador EM. 126

6.18. Posicion horizontal del centro de cada bola, integrador EM.126

6.19. Posicion horizontal del centro de cada bola, integrador EM.126

6.20. Posicion de los pendulos en el tiempo con el integradorEM y un paso de tiempo ∆t = 0,001 s. . . . . . . . . . . 127

6.21. Geometrıa de la viga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

6.22. Malla con 80 hexaedros de 8 nodos. . . . . . . . . . . . . 129

6.23. Instantanea del impacto obtenida con el integrador BDF1. 130

6.24. Energıa total con diferentes integradores. . . . . . . . . . 130



6.27. Posicion vertical del extremo libre sin amortiguamiento. . 132

6.28. Energıa total con amortiguamiento c = 105. . . . . . . . 132

6.29. Posicion vertical del extremo libre con amortiguamiento. 133

6.30. Energıa total con diferentes pasos de tiempo para EM. . 133

6.31. Energıa total con diferentes pasos de tiempo para RT. . . 134

6.32. Instantaneas del contacto viga-plano con el integrador EMy un paso de tiempo ∆t = 0,025 s. . . . . . . . . . . . . . 135

6.33. Descripcion del problema de rodadura. . . . . . . . . . . 136

6.34. Diferentes mallas utilizadas para el contacto. . . . . . . . 137

6.35. Instantaneas en el movimiento de la esfera con el integra-dor EM y un paso de tiempo ∆t = 0,001 s. . . . . . . . . 138


6.36. Velocidad del centro de masas para diferentes mallas. . . 138

6.37. Energıa total con el integrador EM. . . . . . . . . . . . . 139

6.38. Velocidad del centro de masas para diferentes valores de ε. 139

6.39. Iteraciones (Newton-Raphson) para diferentes valores de ε. 140

6.40. Geometrıa de la columna formada por bolas rıgidas. . . . 141

6.41. Planos de contacto (unidades en metros). . . . . . . . . . 142

6.42. Malla de elementos utilizada para los solidos. . . . . . . . 142

6.43. Malla de elementos utilizadas para los planos. . . . . . . 143

6.44. Instantaneas en el movimiento de las bolas rıgidas. . . . 144

6.45. Energıa total del sistema con el integrador EM. . . . . . 145

6.46. Energıa de contacto obtenida con el integrador EM. . . . 145

6.47. Geometrıa del vehıculo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

6.48. Geometrıa del circuito y los obstaculos. . . . . . . . . . . 146

6.49. Malla de hexahedros para el chasis del vehıculo. . . . . . 147

6.50. Malla de triangulos para las ruedas del vehıculo. . . . . . 147

6.51. Detalle de uniones en el vehıculo. . . . . . . . . . . . . . 148

6.52. Instantaneas en el movimiento del vehıculo con el integra-dor EM y un paso de tiempo ∆t = 0,01 s. . . . . . . . . . 149

6.53. Energıa total del sistema con diferentes integradores. . . 150

6.54. Energıa total mas energıa de contacto con el integrador EM.150

6.55. Posicion vertical del centro de cada rueda del vehıculo. . 151

A.1. Solido rıgido tridimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . 165

B.1. Union esferica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

B.2. Union cilındrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

B.3. Superelipsoides para r1 = r2 = r3. . . . . . . . . . . . . . 175

Lista de tablas

3.1. Integradores numericos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2. Valores obtenidos para t = 10 s con diferentes integradores. 54

3.3. Parametros del sistema biela-manivela. . . . . . . . . . . 58

3.4. Parametros para el mecanismo de Bricard. . . . . . . . . 61

4.1. Parejas de contacto entre diferentes solidos. . . . . . . . 76

5.1. Resultados numericos para E y P eC, α = 106. . . . . . . . 99

6.1. Integradores numericos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

B.1. Superficies implıcitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

C.1. Integradores generales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

C.2. Integradores estructurales. . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

C.3. Integrador HHT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

D.1. Esquema de iteraciones simultaneas. . . . . . . . . . . . 184

D.2. Esquema de iteraciones anidadas. . . . . . . . . . . . . . 185

Tratamiento Consistente de Restricciones e Impacto en Dinámica ...

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