Transmiss~ao Digital em Banda...
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Transmissao Digital em Banda Base
Luis Henrique Assumpcao Lolis
27 de maio de 2014
Luis Henrique Assumpcao Lolis Transmissao Digital em Banda Base 1
Conteudo
1 Introducao
2 Analise de erro de bits
3 Interferencia Intersimbolica - ISICriterio de Nyquist - Transmissao Sem DistorcaoCanal Ideal de Nyquist
4 Diagramas de Olho
5 Receptor Linear Ideal
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Sumario
1 Introducao
2 Analise de erro de bits
3 Interferencia Intersimbolica - ISICriterio de Nyquist - Transmissao Sem DistorcaoCanal Ideal de Nyquist
4 Diagramas de Olho
5 Receptor Linear Ideal
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Introducao
Conceitos a serem abordados
Filtro casadoCalculo de taxa de erro em presenca de ruıdoInterferencia intersimbolicaCriterio de Nyquist
Filtragem do sinal em banda base.
O canal tem uma resposta em frequencia nao uniforme.
ISI - Inter Symbol Interference / Interferencia Intersimbolica.
Os filtros de forma limitam a banda mas podem causar ISI.
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Deteccao na presenca de ruıdo e filtro casado
O receptor linear recebe o sinal com um ruıdo e filtra por h(t),linear e invariante no tempo.
x(t) = g(t) + w(t), g(t) o sinal enviado.
h(t) e definido para otimizar a deteccao de g(t) do ponto devista estatıstico.
y(t) = g0(t) + n(t)
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Definindo a relacao sinal sobre ruıdo de pico
Relacao sinal ruıdo: η =|g0(T )|2
E[n2(t)]
Vamos definir go(t) como a transformada inversa de G0(f)
g0(t) =
∫ ∞−∞
H(f)G(f) exp(j2πft)df
Agora calculando o quadrado do modulo para t = T
|g0(T )|2 =∣∣∣∣∫ ∞−∞
H(f)G(f) exp(j2πfT )df
∣∣∣∣2Considerando um ruıdo branco de Densidade Espectral ePotencia PSD (Power Spectral Density) N0/2, o ruıdo na
saıda do filtro fica. E[n2(t)] =N0
2
∫ ∞−∞|H(f)|2df
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Definindo a relacao sinal sobre ruıdo de pico
η =
∣∣∣∣∫ ∞−∞
H(f)G(f) exp(j2πfT )df
∣∣∣∣2N0
2
∫ ∞−∞|H(f)|2df
O problema e achar G(f) que maxima η.
Usando a desigualdade de Schwartz (prova omitida) o maximodo η fica:
ηmax =2
N0
∫ ∞−∞|G(f)|2df
E para esse maximo H(f) deve ser o complexo conjugado deG(f) multiplicado por um fator exponencial e uma constantek:
Hopt(f) = kG∗(f) exp(−j2πfT )Da propriedade G∗(f) = G(−f), h(t) fica:
hopt(t) = kg(T − t)
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Aplicando o filtro casado na relacao sinal sobre ruıdo depico
Primeiro se define a energia do sinal E =
∫ ∞−∞|G(f)|2df
Depois se aplica Hopt(f) para a equacao de ηmax
ηmax =2E
N0
A relacao sinal ruıdo de pico de pulso de um filtro casado dependeapenas da razao entre a energia do sinal e a densidade espectral depotencia do ruıdo branco na entrada do filtro.
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Exemplo - filtro casado retangular
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Sumario
1 Introducao
2 Analise de erro de bits
3 Interferencia Intersimbolica - ISICriterio de Nyquist - Transmissao Sem DistorcaoCanal Ideal de Nyquist
4 Diagramas de Olho
5 Receptor Linear Ideal
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Analise de Taxa de Erro de Bits
Vamos aplicar o sinal NRZ polar de amplitude A e duracao Tb
w(t) e considerado ruıdo branco gaussiano de media 0 ePSD = N0/2 W/Hz
Aplica-se o filtro casado e faz-se a escolha em t = T com umlimiar λ
O sinal de chegada:
x(t) =
{+A+ w(t), sımbolo 1 foi enviado−A+ w(t), sımbolo 0 foi enviado
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Analise de Taxa de Erro de Bits
Dois tipos de erro
Decidir “1” quando y > λ mas um “0” foi transmitido.Decidir “0” quando y < λ mas um “1” foi transmitido.
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Decisao no Canal Gaussiano
Pe = P (y < λ|A)P (A) + P (y > λ| −A)P (−A)P (A) = P1 e P (−A) = P0
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A funcao erfc esta ligada a integral da gaussiana de maneiraque:
P (y < λ|A) = py0|x1 = FY (λ) = Q
(−(λ−A)√N0/2Tb
)=
1
2erfc
(A− λ√N0/Tb
)
P (y > λ| −A) = py1|x0 = Q
(λ+A√N0/2Tb
)=
1
2erfc
(A+ λ√N0/Tb
)Logo a probabilidade de erro fica:
Pe = p(x0)p(y1|x0) + p(x1)p(y0|x1)
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Um limiar otimo λopt minimiza pe, derivando a equacao de pepara λ e definindo o resultado igual a zero (prova omitida):
λopt =N0
4ATblog
(p0p1
)Para p1 = p0 = 1/2, λopt = 0.
Pe =1
2Q
(+A√N0/2Tb
)+
1
2Q
(+A√N0/2Tb
)
Pe = Q
(A√
N0/2Tb
)=
1
2erfc
(A√N0/Tb
)
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Com Eb = A2T - Energia por bit:
Pe = Q(√
2EbN0
)=
1
2erfc
(√EbN0
)
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BER da Sinalizacao Binaria no Canal Gaussiano
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Exercıcios
Em um sistema de comunicacao binaria digital, a saıda doreceptor de correlacao e ai(T ) = +1 ou −1 com igualprobabilidade. Se o ruıdo na saıda do receptor tem varianciaunitaria, qual a probabilidade de erro binaria?
Um sinal binario bipolar si(t) e um pulso +1 ou −1 comduracao T . Um ruıdo aditivo branco branco gaussiano temuma densidade espectral de potencia bilateral de 10−3 W/Hze adicionado ao sinal. Se aplicado um filtro casado perfeito,qual a maxima taxa de bits pode ser transmitida para que aprobabilidade de erro seja de PB ≤ 10−3
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BER da Sinalizacao Binaria no Canal Gaussiano
Ex 1 da lista 7. (8.1 Haykin 5a. edicao).
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Sumario
1 Introducao
2 Analise de erro de bits
3 Interferencia Intersimbolica - ISICriterio de Nyquist - Transmissao Sem DistorcaoCanal Ideal de Nyquist
4 Diagramas de Olho
5 Receptor Linear Ideal
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Receptor Otimo com ISI
No pulso retangular a energia de um bit jamais entra notempo do bit seguinte.
s(t) =∑
k akg(t− kTb)ak ={
+1 se o sımbolo bk e 1+1 se o sımbolo bk e 0
g(t− kTb) e um pulso que inicialmente e retangular deduracao Tb.
O canal h(t) pode mudar a situacao pois pode ser um filtroque se espalha para alem de Tb e c(t) e o filtro do receptor.
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Saıda do filtro c(t): y(t) =∑k
akp(t− kTb) + n(t)
Amostrandoy(t) para instantes ti = iTb:
y(ti) = µ
∞∑k=−∞
akp[(i− k)Tb] + n(ti)
= µai + µ
∞∑k=−∞k 6=i
akp[(i− k)Tb] + n(ti)
g(t) e a resposta ao impulso do filtro de transmissao. p(t) e oresultado de passar g(t) pelo canal h(t) por um filtro derecepcao c(t) mas um fator multiplicativo µ:
µP (f) = G(f)H(f)C(f)
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Ex: Canal Telefonico
SNR alto mas limitado em banda, gerando ISI.
Nao passa componente DC e corta rapidamente depois de3,5KHz.
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Ex: Canal Telefonico
R=1600bps. Manchester nao tem componente DC e NRZtem. Manchester ocupa mais banda.
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Ex: Canal Telefonico
R=3200bps. Maior velocidade nao impacta na distorcao doNRZ em alta frequencia. Ja o Manchester passa a serrejeitado para frequencias > 3, 5KHz
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A forma do pulso final passando pelos filtros de transmissao,canal e recepcao definido por p(t). Para evitar ISI:
p(iTb − kTb) ={
1, i = k0, i 6= k
Dessa maneira a saıda do receptor fica y(ti) = µai para todoi.
Se a condicao for respeitada, os instantes ideais deamostragem contem unicamente a informacao de ak noinstante i:
y(ti) = µai
Recepcao perfeita na ausencia de ruıdo.
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Criterio de Nyquist para transmissao - Analise frquencial
O espectro do pulso amostrado e uma versao periodica doespectro de origem:
Pδ(f) = Rb
∞∑m=−∞
P (f − nRb)
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Criterio de Nyquist para transmissao - Analise frquencial
Identificando o espectro da funcao amostrada de p(t),p(mTb) = p((i− k)Tb), entao m = i− k
Pδ(f) =
∫ ∞−∞
∞∑m=−∞
[p(mTb)δ(t−mTb)] exp(−j2πft)dt
Da condicao anterior, se i 6= k, ou seja m 6= 0, p(mTb) = 0,entao o unico que sobra m = 0, p(0) = 1:
Pδ(f) =
∫ ∞−∞
∞∑m=−∞
p(0)δ(t) exp(−j2πft)dt = p(0)
E que p(0) = 1 Para normalizar a recepcao:∞∑
m=−∞P (f − nRb) = Tb
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Ex:
Sequencia 001101001. E filtro de forma p(t) = sinc
(t
T b
)
−10 −5 0 5 10−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
tempo(s)
s(t)
Os bits individualmente na saıda do modulador.
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Ex:
−10 −5 0 5 10−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
tempo(s)
s(t)
Na saıda do modulador.
−15 −10 −5 0 5 10 15−600
−400
−200
0
200
400
600
tempo(s)
y(t)
Na saıda do filtro casado.
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Canal Ideal de Nyquist
P (f) = 12W rect
(f
2W
),
onde W = Rb2 = 1
2Tb
p(t) = sin(2πWt)2πWt = sinc(2Wt)
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Sinalizacao 4-PAM
1/T em sımbolos por segundo
T = Tb log2M
Para mesmo desempenho em BER, a potencia deve seraumentada de M2/ log2M
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Exercıcio - 8.11 do Haykin
Um sinal analogico e amostrado, quantizado e codificado emuma onda PCM binaria. As especificacoes do sistema PCMinclem: fs=8KHz. Nb=6 bits. Determine a mınima largura debanda se for permitido que cada pulso assume o seguintenumero de nıveis de amplitude: 2, 4 e 8.
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Pulso Cosseno Levantado
A janela no tempo do Sinc tem de ir de menos infinito ainfinito (impraticavel)
Vamos procurar outro P (f) que respeito o criterio de Nyquistde transmissao sem ISI e que e mais facil de implementar(resposta ao impulso de decaimento rapido)
O resultado e um filtro um pouco menos seletivo nafrequencia, porem realizavel
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Pulso Cosseno Levantado
p(t) =
[sinc(2Wt)]
[cos(2παWt)
1− 16α2W 2t2
]α = 1−
f1
W
P (f) =1
2W, 0 ≤ |f | < f1,
14W
{1− sin
[π(|f |−W )2W−2f1
]}, f1 ≤ |f | < 2W − f1,
0, |f | > 2W − f1.
BT = 2W − f1 =W (1 + α), W =1
0Tb=Rb
2
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Ex: Pulso Cosseno Levantado
Reconsiderando o sistema T1 com PCM de 8 bits e fs=8KHz,e TDMA com 24 canais mais um bit de sincronismo. Qual alargura de banda mınima para transmitir considerando doisnıveis de pulso? Qual a banda ocupada pelo sistema T1 se ospulsos forem na forma de cosseno elevado com α = 0.5?
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Pulsos de Nyquist e Square-root Nyquist
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Sequencias Formatadas com Pulsos de Nyquist eSquare-root Nyquist
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Sumario
1 Introducao
2 Analise de erro de bits
3 Interferencia Intersimbolica - ISICriterio de Nyquist - Transmissao Sem DistorcaoCanal Ideal de Nyquist
4 Diagramas de Olho
5 Receptor Linear Ideal
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O Diagrama de Olho
Indica varias amostras do sinal em banda base com duracaode um perıodo de sımbolo, todas elas sobrepostas.
Em um osciloscopio com a opcao “persistent” e com umajanela de Ts de observacao.
DA - Distorcao dodiagrama de olho no pontootimo de amostragem (ISI).
JT - Distorcao no tempodos cruzamentos por zero,“jitter”.
MN - Margem de ruıdo(espaco que resta antes deatravessar o limiar).
ST - Sensibilidade notempo.
Olho fechado - alto ISI
Olho aberto - baixo ISI
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Sistema com Limitacao de Potencia
(a) Diagrama de Olho – SistemaQuaternario sem Ruıdo.
(b) Diagrama de Olho – SistemaQuaternario com SNR = 20dB.
(c) Diagrama de Olho – SistemaQuaternario com SNR = 10dB.
Sistema Limitado em Banda
(a) Diagrama de Olho – SistemaQuaternario Limitado emBanda sem Ruıdo: frequenciade corte f0 = 0, 975 Hz.
(b) Diagrama de Olho – SistemaQuaternario Limitado emBanda sem Ruıdo: frequenciade corte f0 = 0, 5 Hz.
Sumario
1 Introducao
2 Analise de erro de bits
3 Interferencia Intersimbolica - ISICriterio de Nyquist - Transmissao Sem DistorcaoCanal Ideal de Nyquist
4 Diagramas de Olho
5 Receptor Linear Ideal
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O ruıdo e a ISI foram tratados separadamente ate agora.
Equalizador Forcador a Zero - Forcando a ISI a zero para todot = kT , exceto para k = 0 onde o sımbolo de interesse eenviado. Mas ha perda de desempenho com o aumento doruıdo que se amplifica.
O erro medio quadratico e um compromisso entre ISI e ruıdo.
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Sistemas Limitados por Ruıdo e por ISI
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Saıda do filtro Rx - y(t) =∫∞−∞ c(τ)x(t− τ)dτ
Saıda do canal x(t) =∑k
akq(t− kTb) + w(t)
q(t) - e a convolucao de g(t) (filtro de forma Tx) e h(t) (filtrodo canal).O sinal recebido e separado em ruıdo e sinal comcomponentes de ISI:
y(iTb) = ξi + ni
ξi =∑k
ak
∫ ∞−∞
c(τ)q(iTb − kTb − τ)dτ
ni =
∫ ∞−∞
c(τ)w(iTb − τ)dτLuis Henrique Assumpcao Lolis Transmissao Digital em Banda Base 48
Forcar ξi maximo para i = k e zero para i 6= k faria aumentarni
Tudo isso esta em definir o melhor c(t) para isso.
O sımbolo transmitido e ai e o erro fica:
ei = ξi + ni − aiO erro quadratico medio e definido como J = 1/2E[e2i ]
Aplicando a definicao do erro acima e usando a definicao daintegral para o valor esperado (considerando o sinal e o ruıdogaussianos e estacionario), derivando e igualando a zero.(demonstracao omitida Haykin pgs. 284 - 286)
C(f) =Q∗(f)
Sq(f) +N0
2Sq(f):
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Sq(f) =1
Tb
∑k
∣∣∣∣Q(f +k
Tb
)∣∣∣∣2
C(f) e periodica em 1/Tb. c(t) e a cascata dos seguintescomponentes:
Filtro casado q(−t) onde q(t) = q(t) ∗ h(t)Um equalizador transversal (com derivacoes apos os retardos)cuja resposta em frequencia e o inverso da funcao periodicaSq(f) + (N0/2)
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