Transformations discrètes et relation discret - continu Lyon, Juin 2006 Eric ANDRES Laboratoire SIC...
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Transformations discrètes et relation discret - continu
Lyon, Juin 2006
Eric ANDRESLaboratoire SIC Signal – Image - Communications
Université de Poitiers
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Applications Quasi-Affines et relation discret-continu
Les travaux présentés ce matin sont en grande partie ceux de Philippe Nehlig, Marie-Andrée DaCol (pour les AQAs) et Gaëlle Largeteau (pour les transformations discret-continues).
- Applications Quasi-Affines : transformations peu connues liées aux pavages, à des dynamiques intéressantes, à la compréhension de certains phénomènes calculatoires.
- Transformation discret-continue : définir des opérations en utilisant les deux espaces discret et continu.
- Mettre en place un cadre plus théorique pour parler des fondements de la géométrie discrète (changements d’échelles, analyse non standard, aspect effectif des algorithmes) dans l’idée d’aborder de définitions d’opérations (par ex. les rotations par aqa) et d’étudier les propriétés.
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Le discret : un monde bien étrange
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Le discret : un monde bien étrange
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Avec une intersection
vide
2 droites discrètes
orthogonales
Le discret : un monde bien étrange
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Relations Continu - Discret
Il existe une relation « paramétrable » entre les deux
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Relations Continu - Discret
Taille des voxels diminue plus vite que l’épaisseur de la droite n’augmente
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Relations Continu - Discret
A la limite on obtient une droite continue
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Relations Continu - Discret
Continu•
•
•
•
•
•
•
•
Discret
Objet A avec propriété 1,2,3, …
Objet A1
Avec prop 1,3,15, …
Objet Ak
Avec prop k1, k2, k3, …
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Relations Continu - Discret
Discrétisation et Reconstruction
Cla
sse
d’é
qu
ival
ence
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Droite analytique discrète
Equation analytique :
Représentation en compréhension
a,b entiers, a/b pente de la droite, épaisseur arithmétique, c constante de translation.
J.-P. Reveillès (1991)
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Propriétés
0 1 2 3 4 5 6 7
1
0
2
3
4
5
0 5x – 7y < 123456
< sup(|a|,|b|)
droite non connexedes 1-tunnels
7
= sup(|a|,|b|) = 7
droite 8-connexedes 0-tunnels
891011
= |a|+|b| = 12
droite 4-connexePlus de tunnels
12
0 5 10 15 20 25 30 35
-7 -2 3 8 13 18 23 28
-14 -9 -4 1 6 11 16 21
-21 -16 -11 -6 -1 4 9 14
-28 -23 -18 -13 -8 -3 2 7
-35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0
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Propriétés de la droite
Prenons a/b = 5/17 et la suite y(xi) = {axi / b}
xi0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
y(xi) 0 0 0 0 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 4 4 4
{axi / b} 0 5 10 15 3 8 13 1 6 11 16 4 9 14 2 7 12
0
0
4
16
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Propriétés de la droite
c c c d c c d c c c d c c d c c dA tout rationnel a/b Christoffel associe les lettres L1…Lb à la suite r(i)={ai/b} avec i=1,…,b où une lettre Li vaut “c” si r(i)<r(i+1) et “d” sinon.
Comme les deux dernières lettres valent tjs “dc” on appelle le mot de Christoffel le mot Ch(a/b) = L1… Lb-2
On retrouve bien sur les paliers de la droite discrète.
5 / 17
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Propriétés de la droite
Il existe un rapport entre le mot de Christoffel et le développement en fraction continue de = a/b avec 0<<1.
Soit = [s,s1, …, sn] le développement en fraction continue de a/b. Le mot de Christoffel Ch(a) est construit avec les suites de mots n, Cn, dn
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Propriétés de la droite
Avec
On a donc
s=3, s1=2, s2=2 et n=2.
Le mot de Christoffel est donc Ch(5/17)=c1 2 1
avec =c2, c1=c2d, d1=c3d
1=c1=c2d, c2=c1d1=c2dc3d, d2=c12d1=c2dc2dc3d
2=c2=c2dc3d.
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Propriétés de la droiteLe mot de Christoffel est donc Ch(5/17) = c1 2 1
avec =c2, c1=c2d, 1=c2d, 2=c2=c2dc3d.
Soit au final Ch(5/17) = c2d.c2dc3d.c2d.c2
Si on code dans c.Ch(5/17).d = cccdccdcccdccdccd le mot c3d par L et c2d par C
On retrouve un condensé du mot et surtout :
L C L C C
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Propriétés de la droite
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Propriétés de la droite
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Applications Quasi-Affines
[Reveilles 1991]
Definition :
En général
Avec la matrice et le vecteur
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Application Quasi-Affine
Di
D'j F (i,j)-1
F(x,y) =
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Dynamique
• Si pour toutes les droites Dm : ax+by [m,(m+1)[ et
D’n:cx+dy [n,(n+1)[ ont une intersection alors tous les
arbres de l’AQA ne sont pas
bornés (chaque point à un antécédent).
• Les feuilles correspondent à des couples (n,m) de droites qui ne s’intersectent pas.
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Pavages
Le pavé P0,0 est égal à l’intersection entre D0 et D’0
A(2,2) appartient à l’intersection de D0 et D’1.
L’image de A par l’AQA est par conséquent (0,1).
Def. Pavé
Pi,j = Di D’j = F-1(i,j)
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Pavages
Définition : 2 pavés sont arithmétiquement identiques si leurs premiers restes sont égaux pour chaque point des pavés.
Propriété : des pavés arithmétiquement égaux sont géométriquement égaux (la réciproque est fausse).
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Cas plus général : Nombre de pavés
Le nombre de pavés différent à l’ordre 1 est égal à :
Avec = ad-bc.
Si = ad-bc Alors tous les pavés sont identiques et contiennent points.