TRANSFORMATION DES DISTRIBUTIONS ANGULAIRES LORS …

CEA-N-1993

- Note CEA-N-1993

Centre d'Etudes de Bruyères-le-Châtel

TRANSFORMATION DES DISTRIBUTIONS ANGULAIRES LORS DU CHANGEMENT DE REFERENTIEL

CENTRE DE MASSE - LABORATOIRE

par

Olivier BERS1LLON, Roger PERR1ER

- Septembre 1977 -

Noli- CEA-N-19<>3

DESCRIPTION-MATIERE (mots C

un français

REACTIONS NUCLEAIRES DISTRIBUTION ANGULAIRE SYSTEME DU CENTRE DE MASSE SYSTEME DU LABORATOIRE TRANSFORMATIONS MATRICES POLYNOMES DE LECENDRE TRAITEMENT DE L'INFORMATION

extraits du thesaurus SIDON/INIS)

en anglais

NUCLEAR REACTIONS ANGULAR DISTRIBUTION CENTER-OF-MASS SYSTEM LABORATORY SYSTEM TRANSFORMATIONS MATRICES LEGENDRE POLYNOMIALS DATA PROCESSING

"1

- Note CEA-N-1993

Centre d'Etudes de Bruyères-le-Châtel

Service de Physique Nucléaire

TRANSFORMATION DES DISTRIBUTIONS ANGULAIRES

LORS DU CHANGEMENT DE REFERENTIEL CENTRE DE MASSE «* LABORATOIRE

par

Olivier BERSILLON, Roger PERRIER

CEA-N-1993 - BERSILLON Olivier, PERRIER Roger

TRANSFORMATION DES DISTRIBUTIONS ANGULAIRES LORS DU CHANGEMENT DE REFERENTIEL CENTRE DE MASSE »- LABORATOIRE

Sommaire.- Le changement <ie réfèrentiel du centre de masse au labora-toire de distributions angulaires caractérisées par les coefficients de leur développement en polyn8m:« de Legendre s'effectue a l'aide d'une matrice de passage T. Plusieurs méthodes de calcul de cette matrice sont présentées et comparées. Ces méthodes permettent de constituer la matrice pour la diffusion élastique et d'autres réactions nucléaires afin d'exploiter de façon pi-s complète les fichiers ENDF.

1977 53 p.

Conaissariat â l'Energie Atomique - France

CEA-N-1993 - bERSILLON Olivier, PERRIER Roger

TRANSFORMATION OF ANGULAR DISTRIBUTIONS FROM THE CENTER OF MASS TO THE LABORATORY SYSTEM

Summary.- The Legendre polynomial expansion coefficients of a differential cross section in the laboratory system are deduced from those of the center of mass system by using a transformation matrix T. Several methods for calculating this matrix are presented and compared. These methods can be used to create the matrix for elastic scattering and ot'.teT nuclear reactions in order to process more completly ENDF files.

1977 53 p.

Commissariat a 1'Energie Atomique - France

TABLE DES MATIERES

ABSTRACT

RESUME

INTRODUCTION

RAPPELS ET DEFINITIONS

CALCUL DES COEFFICIENTS DE PASSAGE T„., II'

1 - Quelques cas particuliers 2 - Autre relation définissant u 3 - Formule de récurrence k - Calcul direct des coefficients T , 5 - Comparaison des deux méthodes de calcul de la matrice T

UTILISATION DE LA MATRICE T DANS LES FICHIERS EHDF CONCLUSION

REFERENCES

Y7NEXE 1 - Programme CDMLA3R

ANNEXE 2 - Programme CDMLABD

ANNEXE 3 - Programme CDMLAB

- 3 -

INTRODUCTION

Les dis t r ibut ions angulaires des part icules émises par une réaction

nucléaire sont évidemaent toujours mesurées dans l e r é fé rec t i e l du l abora to i

r e , nais analysées dans le ré fèrent ie l du centre de liasse, généralement par

un développement en polynômes de Legendre, pour en déduire des informations

nucléaires ( t t j , w . . ) .

Par contre ces mêmes d is t r ibut ions angulaires sont u t i l i s é e s dans l e

système du laboratoire pour l e calcul de certaines corrections expérimen

ta les (par exemple diffusions mult iples) .

L'objet de l a présente no-ce est de résoudre l e problème qui se pose

de la façon suivante r connaissant dans un système de référence une d i s t r i -

bution angulaire caractér isée par les coefficients de son développement en

polynômes de Legendre, comment obtenir les coefficients de ce développement

dans l ' a u t r e système de référence.

Le paragraphe I , après quelques rappels , montre que ce t te transforma

t ion s 'effectue à l ' a ide d'une matrice de passage T dent les éléments T. ,

sont calculés par des formules démontrées au paragraphe I I .

Dans les f ichiers de données neutroniques SKDF, l a matrice de passage

est donnée uniquement dans le cas de li. diffusion é las t ique . Le calcul et

l ' u t i l i s a t i o n de ce t te matrice sont étendus i c i au cas la plus général d'une

réaction nucléaire afin d 'exploi ter pleinement toutes les informations r e l a

t ives aux dis t r ibut ions angulaires données dans les f ichiers SÎDF, dans la

mesure où ce l les -c i sont présentées sous forme de développement en polynômes

de Legendre. Cette u t i l i s a t i on est décri te dan3 le paragraphe I I I .

Enfin plusieurs méthodes 3ont présentées et comparées dans cet te note,

méthodes qui permettent de consti tuer l a matrice de passage lors de la

création de nouveaux f i ch ie r s .

- 3APPELS ST DEFINITIONS ~l Soit une p a r t i c u l e de masse m^, d 'énerg ie E, frappant une p a r t i c u l e au

repos de masse Zq e t produisant une p a r t i c u l e de masse 213 (dont on mesure l a

d i s t r i b u t i o n angula i re) et une p a r t i c u l e de masse 04 . Soit Q l e b i l an éne r

gétique de l a r é a c t i o n .

La sec t ion e f f i cace d i f f é r e n t i e l l e , exprimée dans l e cen t re de masse,

est -rsr (u,S) dans l ' a n g l e so l ide dû = â^dû , exprimée dans l e ,* u du

l a b o r a t o i r e e l l e e s t ^ - (y ,Z) dans l ' a n g l e s o l i d e du» = 2irdy eu

y e t y sont l e s cosinus de l ' a n g l e e n t r e l e s d i r ec t i ons de a^ et 33

dans l e s systèmes du cen t re de masse e t du l a b o r a t o i r e r e s p e c t i v e s e n t . La

formule de t ransformation de l a sec t ion e f f icace e n t r e l e s deux r é f é r e n t i e l s

s ' é c r i t [ l ]

d<x , _«, ia ,- =vdû (1)

y et y sont l i é s , dans le cas non r e i a t i v i s t e , par [2j

? 1 / 2 ? -: i - û 2 ) / ( Y • û) - (1 - u 2 )

/2 / y

avec

où Z es t l ' é n e r g i e c iné t ique t o t a l e d isponible dans l e centre de masse

(2)

(3)

E s 315

a i + m?

contante (5)

Le paramètre v r ep résen te l e rapport en t re l a v i t e s s e du cen t re de

masse dans l e systSa» du l a b o r a t o i r e e t l a v i t e s s e de l a p a r t i c u l e m^ dan3

l e système du cen t r e de masse.

Pour une diffusion é l a s t i q u e Q » 0

Tous l es ca lculs u l t é r i e u r s sent f a i t 3 dans l e ca3 général de l a

r e l a t i on (3) où" y n ' e s t pas -une cons tan te , avec néanmoins l a r e s t r i c t i o n

Y < 1 -En e f f e t , dans es c a s , qui correspond à l a majorité des s i t u a

t ions physiques avec % > 0 ou S, < 0 , y et y varient tous deux

St y a -= i =2

# Toutes les quan t i t és exprimées iar.3 le centre de masse 3cnt 3urr.cnté»3

l 'une carrt ;ar exemee

- 5 -

entre -1 et +1 et sont l i é s par une relat ion biunivoque. Par contre, s i

Y > 1 , i l existe deux valeurs de n pour une seule valeur de ïï . C'est

par exemple l e cas dans une diffusion inélastique où y a oo à l ' énergie

seuil S s . La 'bande d'énergie incidente pour laquelle y > 1 avec 3, < 0 es t

limitée par

1

S- < 2 < E s (1 - 2 U £ f L

3 s m2 au

Si m. « 1113 a 1 , »2 * mi* a ^°^» 2 8 • 1 MeV, l a largeur de cet te bande est de

0,1 keV .

La dis t r ibut ion angulaire peut s ' éc r i r e sous l a forme [3J :

. dans l e centre de masse

g(û,I) = § U ) » ^ J 0 < 2 2 + 1 ) H P Z (u) (6)

dans l e laboratoire

s ^ ^ ï ^ - ^ l / 2 * ^ *t?i(») (7)

oil ? i ( u ) sont les polynômes de Legendre d'ordre l. Les coefficients &i

sont équivalents aux coefficients B$ de l a référence [3] au facteur W.t près,

La section efficace s ( E ) , intégrale de la 3ection efficace dif féren

t i e l l e dans kir, est l a même dans les deux ré fé ren t ie l s , soit

c(S) » I 5(û) dû * / a(u) du » IQ » a 0 (8)

Connaissant les coefficients â i t déduits de l ' anal / se ' de la d i s t r ibu

tion angulaire, les coefficients a, 3'écrivent ft*], en u t i l i san t l 'or thogo-

nal i té des polynômes de Legendre et la relat ion (1) ,

H '

- o -

soit

-, oo /-+1 £ > (2Z+l)â./ ?a(u)Pj/(û)dû d tf«0 * ;-l

19)

Posons, par définition

(10)

i l vient alors

(11)

qui est la relat ion de transformation cherchée. Les coefficients T ^ ,

peuvent être considérés comme les éléments d'une matrice carrée T » {'-£?/}

La relat ion inverse (passage du laboratoire au centre de aasse)

s ' éc r i t

(12)

où T l t , ~~ sont les éléments de la matrice inverse T , définis par

(10a)

I I - CALCUL DES COEFFICIENTS DE PASSAGE T ,

1 - Quelques ca3 -particuliers

Le calcul direct des coefficients T,., par leur definition 30us forme

d ' intégrale est long et délicat sauf peur des valeurs de 1 ou J 1 p e t i t e s .

a/ t • 0 T » S (13)

b/ l • 1

La relation (2) peut se mettre sous la forme

Y + M'Ai * -YU + Y J , /o /;

- 7 -

qui fait apparaître une fonction génératrice des polynômes de Legendre, d'où

oo u » (Y + û) 7 ( - Y ) ?„ (ïïî * y

a-0 a

< 1 (15)

o r , par d é f i n i t i o n

tu'^T1!-!»**™" (16)

En insé ran t (15) dans (16) i l v ien t

2tf+l I*1 » Ltf 2 n»0

>n+l (-vr ^ ?nCû)*(-Y)" û?n(ïï) ? / ( û ) i û (IT)

La r e l a t i o n de récurrence 3ur l e s poiynSmes de Legendre donne

* P * < û ) - i n f ? n + l <*> * s f c V l ( ï ï ) (13)

d ' où , en inversant l a sommation et l ' i n t é g r a l e dans (17)

+ 1 - .. „- / + 1 2 l+ l ' 1 * 2 n*u <

? 'û^° XV-à. a+VÀ' F*'

+^* è ï /_; V i ( y ) ? z ' ( y ) 4 v :i9)

La r e l a t i o n d 'o r thogona l i t e des polyn3mes de Legendre implique que

l a 3omme n ' a de terme non nul que pour n • l ' - l , A ' , A'+l s o i t

m „ 2i'+i f .i '+i 2 . , ,Z'-1 i 2 , ^ ' •l £ l 2 1 , ^ hUm

T - [ - ( Y ) i ^ * ^ 5 2tt-—i + [~{) 2^3-27nJ ( 2 0 /

* / v ï-l 'lï 22-1 7 ( - Y )

, i'+l t*2

- 3 -

c/ Z' » 0 L'intégrale de l a définition (10) des coefficients T , peut

ê t re calculée en introduisant une nouvelle variable u qui représente l e

logarithme du rapport de l 'énergie qu'aurait l a par t icule 33 émise à 0°

et de l 'énergie qu 'e l le a dans l ' angle solide dû (énergies mesurées dans

le système du laboratoi re) . Alors, d'après [9j

U (u) » 1 - i i îXÎÎ (1-e-*)

i r - & s i

•j(u) » j - | ( l + y ) « 2 - ( l - r )e 2J

avec 0 < u < Log ( ^ 3 ^

Reportant ces relations dans la définition (10), i l vient

(22)

\t"^rL X pjuuqp^uîi^dB (23) 2i+l_ f V i _ T / - r. , . M « ft-/..ït du

L'intégrale 3e réduit a lors , en u t i l i sant les expressions développées

des polynômes de Legendre, à l a somme d'intégrales de fonctions exponen

t i e l l e s , néanmoins les calculs deviennent rapidement fastidieux pour des

valeurs de l et V grandes.

Dans le cas V » 0 on trouve

m

•00 1

2 '10 - 3 Y

T - ftf 7? * 3(i-r 2) 2

L o , / l n \ 2

x 20 3 Y 2 + 32Y3 ~ 0 g 1 1 - y j

T 3 0 - °

- , 3?(3-8" 2 - 97-) . 3 5 ( l - r - ? 3

L o g / i r L ) 2 - I , 3 1*0 96-"! 123Y5 S \ 1 -Y/ 2 20 3

T_Q » 0 et de façon générale -

2 k+i 0 * ° ? o u r A > " '

2 - Autre relation définissant y

Les relat ions (15) et (21) permettent de définir une nouvelle expression

de u. En effet la relation (15) développée 3 'écr i t :

- 9 -

oo v n * l l Q - T , / - > u « 7 - ( - Y ) U x P ( Û ) + ( - Y ) H û? n (û) (2U)

En u t i l i san t la relat ion de récurrence (18)

oo

n»0 -l-Y) - ? Q U ) + l Y) ^ ^ - j - a + 1 > ' + ân^î * n - r u ' J l

so it

» - S„ - W V B H ? (-v'° ^ r W*>* 2 f l «-rî* s fe V l < " (26) n s u ns<J n*o

En effectuant les changements d ' indice m » a+1 dans la deuxième

somme et l » n-1 dans la troisième, i l vient :

oo „+i oo m " 1 _ oo fc+l , + 1

U - £ - ( -Y) Q + 1 P Q (Û) + I (-Y) S & P . t t H I (-Y) s | ^ ? Z (Ti> n*0 m»l 4*-l J

(27)

Les termes correspondants à m * 0 dans la deuxième somme et i » -1

dans la troisième sont nuls. Donc, les trois indices n, m, l pouvant partir

de zéro, les trois sommes se regroupent en une 3eule

n-0

a" 1

B-2 n + 1

2 n - r ^ ; 2n+3 [ fp^ïï) (23)

or le terme entre crochets est, d'après la relation (.21), T, d'où

oo u s

n*0 T x ln ?

n (iïî (29)

- 10 -

3 - Fcraule de récurrence

Les relat ions (13) et (21) peuvent 3ervir de base à une fortaule de

récurrence sur l [5] pour déterminer les coefficients T, , (l > 1 ) .

Partant de l a définition

i+i,ta ir/_*lW»JV«« (30)

et en u t i l i s an t l a relat ion (18), i l vient

_ 2^+1 21+1 [+1 3 ( s„ , - > , , -

• Vi f *s — • — i±

u - V u ) V w ) d p

2 l + i g, r +1 _ , ,_ , - > . -

' — • 7 * / ^ V i ( w ) V u ) d u

Le second terse est par définition - r—r T , .

Le premier terne est calculé en u t i l i san t la relat ion (.29) et en

inversant la sommation et l ' i n t ég ra l e

(31)

r + 1 oo **• 1=] uPz(u)P^(û)du = g T ^ I Pi(y)Pn(û)PJÏ(u)dv (32)

La relation de composition des harmoniques sphériques [6] permet

d'écrire

? (û)PJû) » I < nZ'00[mO >d P'û) (33)

d'où

T V ï <n*'C0lm0>2 ? (y)? (y)dû (3*0

La dernière intégrale e s t , car déf ini t ion, '• • T. d'où 2a-M l m

- 11 -

1 a 2 I T i a I <n*00[nO>* -n»0 m*fn-£[

2a+l (35)

et la relation de récurrence cherchée s'écrit

W " ( 2 ^ 1 ) S M I n

Tln I, ..«a*»!*» ' ln»0 m» n-i

m

2 *£m 2m+l 4+1 l-l,t (36)

Cette formule est calculée par l e programme CDMIABR (voir annexe l ) .

!* - Calcul direct des coefficients T

Le calcul des coefficients T. , par l a re la t ion de récurrence (36)

semble simple mais, en f a i t , se heurte rapidement à des problèmes de p réc i

sion numérique (les deux termes du second membre deviennent extrêmement

vois ins) . Une méthode de calcul direct apparaît donc nécessaire.

Cette méthode consiste, partant de la définition

'xi 21+1

2 +1

j P t(u) ?/û)du (10)

à transformer le polynôme ?, (u) en une fonction expl ic i te de p .

Or P, (u) est une fonction implicite de y et Y par l ' intermédiaire

de u, fonction que l 'on peut développer en sér ie de Taylor au voisinage de

Y • 0, soit

[u(iï,Y)J 2 T K Y

j. >*V«: 3Y f f Y-0

(37)

Les dérivées pa r t i e l l e s a f f ?, (M) sont de l a forme [""J

,r

- 12 -

3*gl(u) ~Syit

If 1+1T

(1+2YC+Y2)"2 ir| 2 b I « V w ) (38)

avec

.T+l (p+l)(g+2-r) ..ff p(p+ir-U ._* ^ _ _ p(g-Hr-l) . l , p * (2p+3)U*l) Z.p+1 " | 2p - l ) ( i r+ l ) ° i f p - l (39)

et

Ce r é s u l t a t se dénsontre par r écu r r ence . On suppose l a r e l a t i o n (38)

v ra i e pour une c e r t a i n e va leur de T , p u i s , en l a dér ivant par rappor t à Y »

L Z i i i i i » -r(l+2Y5+Y2)'2 " (y+û)*! I b! „ P (u) 3 Y T + 1 t j»i- ir i .P P

(UO)

3 Y p-i-ir *» p 3y

Le coef f ic ien t devant l a première sommation de (1*0) peut se mettr*

sous l a forae , en u t i l i s a n t (lU)

ff+1 - i r ( l+2yî i+Y 2 )" 2 u

Ce p l u s , à l ' a i d e de l a r e l a t i o n de recurrence (13) , l e p ren ie r

terme s ' é c r i t

ir+l Jt+ff -rr( i*2Yûn2)- 2 T i l ^ ^ [ J J i p ^ u ) * ^ i V i { u î | (M)

- 13 -

Par a i l l e u r s , toujours d'après (HO

£ - (i-u2) ( i^W)" 1 ^ ( U 2 )

Le second terne de (Uc) 3 'écr i t donc

(1+2YÛ+Y2) 2 TT|£ b* (l-tz 2) - T (1*3) p=l-ir *»» 3 »

3P p(u) o r ' O » 2 ) ' (p+Dw P p(u) - (p+l)P , ( y )

3u * p+I

Développant yP ?(y) à l ' a ide de la re la t ion (13)

3PD(u) p(p+i)

3u 2p+l l P^ 1 P + 1 J La relat ion (40) s ' é c r i t alors

3Y pti-ff 4fPl2? +l P * l W 1 2pfl V l l U ; J

?-i-ir Z,p 2 p X l ? _ 1 P + 1 J

soit en regroupant les ternes

l ^ ! ^ . ( l + 2 y y + Y

2 ) " T ( ^ l ) ! l + , r f ? ( ^ 1 " f f ) ? B / . . U ^ H p * * ) „ , „ ^ T 3Y f f + 1 p«t-r l(2p*l)(ir+l5 ? " - (2p+l)(ir+l) * * J * >p

(LU)

La soanation 3e déconpose de la façon suivante :

£ t ^ 1,P (2p*2J(T-.l)*p-l1»'' 2 j l - i f - l ,p (2p*l)C^l) - ? * 1 1 - '

f— t — • 1 1 » - "1

puis , faisant l e s décalages d'indices p-l-»*p dans la preaière soanie et

p+l-»-p dans l a seconde, i l vient

Â - T - 1 - 1 * * 1 C2p*3)Cir*l3 " p ^ ^ * ^ + 1 C.p-1 ( ^ 1 )(*•!> V * '

Regroupant alors ces deux scsnaes

^t-(m) l ^ 3 ï ï ^ r r **,P+i " î?p-ii(ir*i) bz,p-i] v u )

Le terme entre crochets est exactement b , donc s i l a re lat ion (32)

est vraie pour ff, e l l e e s t vraie pour toute valeur supérieure de ir. Or ce t t e

relation est t r i v i a l e pour ir » 0 ( ?,(y) • P,(u) ) , et de ce fa i t vraie

pour tout TT.

La relat ion (37) s ' écr i t a lors

Vu) - I Y 7, (HSyff+Y*)" 2 irl 2 b? P (u) P s i -1T i f P ? Y»0

or , 3i Y * 0 , y * y d'après ( lU) , donc

?, ( . ) f Y*I bj P (û) (1*5)

i ^

En reportant ce t te re lat ion dans l a déf ini t ion (10) , i l vient

'IV 2 n - t + * .ir 2tf+l r l

9 ,., TSO D«l-ir * ' p * M. ?

P z » ( û ) dfc Û ' ^ )

or

2 / - l ?„{») ?^(û)dC- 5 ? ^

I - r

- 15 -

La sommation ?ur p se l imite au seul terme p • l' , avec l a condition

$ V < i • r soit r » \l - V\, et la relat ion (U6) s ' éc r i t

"1

Cî*T)

qui à l ' a ide de l a définition (39) permet donc de calculer directement les

coefficients T . , i -

Cette formule est calculée par l e programme CDMLA3D (voir annexe 2) .

5- Comparaison des deux méthodes de calcul de l a matrice T.

Les éléments de la matrice de passage ont été calculés, dans le cas

Y * 0,C1 et Z. _ * 19, i l ' a ide des deux formulations précédentes (récurrente

et directe) afin de comparer l a précision et la rapidité de calcul de ce l l e s -

c i . Le tableau I présente, dans sa par t ie supérieure, un extrai t de la matrice

calculée par l a méthode récurrente e t , dans sa par t ie infér ieure , l e même

extrai t calculé par l a méthode d i rec te . L'examen de ce tableau permet de

constater deux types de différences :

. l es coefficients T.- , rigoureusement nuls dans la méthode directe

(et qui le sont analytiquement) ne l e sont pas dans la méthode

récurrente (soulignés en t i r e t é s ) .

. les termes soulignés en t r a i t p le in , calculés par la méthode récur

ren te , sont approchés voire faux du fa i t de l a précision numérique

l imi tée , malgré 1 'u t i l i sa t ion de 30 chiffres s ignif icat i fs pour

effectuer l e calcul .

De plus l e calcul direct est 200 fois plus rapide que l e calcul récur

rent (0,17 secondes au l ieu de 35 secondes 3ur ordinateur CDC 7600).

Ceci montre l a supériorité de l a méthode directe qui est rapide et

qui permet de s 'affranchir des problèmes de précision numérique.

^ o e* A «> i- > <p •» *> a

I I I I

9 u £ I'

* 5

- 17 -

I I I - UTILISATION DE LA MATRICE T DAKS LES FICHIERS 2HDF

Dans les fichiers EUDF, l es dis t r ibut ions angulaires font l 'ob je t de

l a "fi le U" [3] .

Pour une réaction e l les sont données pour une série d'énergies c ro is

santes .

Les distr ibutions angulaires sont présentées sous deux formes, e t pour

chacune de ces formes, e l les sont données dans le système du laboratoire ou

du centre de masse:

Cas 1 . soit directement sous forme de distr ibutions de probabil i tés

normalisées ?(u,2) t e l l e s que

J p(u,2) du - 1 (U3) ' -1

p(y,2) est l a probabili té qu'un neutron d'énergie incidente 2

soit diffusé dans un in terval le du autour d'un angle dont

l e cosinus est u .

La distr ibution angulaire s ' é c r i t alors

g ( M ) . 2i|l p ( M ) m

Dans ce cas le changement de référent iel peut s 'effectuer à

l ' a ide des transformations cinématiques classiques 3ur les

angles et les sections efficaces [l] . Ce problème n 'a pa3 été

abordé i c i .

?as 2 . soit i pa r t i r des coefficients du développement en polynSmes

de Legendre, tabulés a pa r t i r de i » 1 ( i l est sous-entendu

que 3LQ * 1 ).

Dan3 ce cas la dis tr ibut ion angulaire s ' éc r i t

^sax

- 13 -

et l e passage du système du centre de masse à celui du laboratoire

est effectué par l e programme CDMIA3 (voir annexe 3) .

Pour la diffusion é las t ique , i l u t i l i s e la matrice T donnée dans

les fichiers 2NDF.

Pour la diffusion inélastique et les réactions du type (n ,p) ,

( n , o ) . . . , le programme calcule la matrice T, qui pour ces réactions

ne figure pas dans les fichiers £HDF, et effectue le changement

de ré féren t ie i .

17 - CONCLUSION

Le passage du centre de masse au laboratoire d'une distr ibution angu

la i re définie par les coefficients de 3on développement en polynômes de

Legendre nécessite l ' u t i l i s a t i o n d'une matrice de passage T qui est donnée

dans l es fichiers ENDF uniquement dans le cas de la diffusion élast ique.

Les deux méthodes qui viennent d ' ê t re décrites permettent d'étendre l e calcul

de la matrice T au cas général où l e paramètre y n 'es t pas une constante. La

comparaison de ces méthodes montre la grande importance des problèmes de

précision numérique lors du calcul e t , de ce f a i t , l a supériori té de la

méthode directe .

Cette extension permet donc d'exploiter de façon plus complète les

données contenues dans les f ichiers HTOF.

Les auteurs tiennent à remercier Monsieur C. PKILIS pour l ' i n t é r ê t

constant qu ' i l a porté à ce t r a v a i l .

- 19 -

REFERENCES

[ l ] MICHALOWICZ A . , Cinématique des réactions nuc léa i re s , Dunod, 196^.

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[9] MARSHAK, BROOKS, HURWITZ, Nucleonics 5_ (19W) 53.

Manuscrit rtçu I* 4 août 1977

. — I

ANNEXE 1 - Programme CDHLABR

Le programme CDMLABR calcule les coefficients T^' i l 'aide de la

relation de récurrence (36}. Du fait que les deux termes du second membre de

cette relation sont extrêmement voisins les problèmes de précision numérique

sont très importants, ce qui a conduit 2 implanter ce programme en double

précision sur l'ordinateur CDC 7600.

Une fois l a matrice T calculée, e l l e est transformée en un vecteur V

présenté sous format ENDF grâce au ÎOUS programme CXFP.

Données

Les seules données sont Y «* &max :

GAM, LMAX lues dans l e format (SlU.7,13).

Cas test

Le cas test présenté correspond à Y * Qf01 et Z w w x • 19. Les coefficient .s

soulignés sont douteux du fait de la précision limitée ('v 10 ) .

De plus, les coefficients qui doivent Stre nuls analytiquement sont remis

a zéro par programme pour éviter la propagation des erreurs par la formule

récurrente. Ceci n'apparaît pas au paragraphe II.5 lors de la comparaison des

deux méthodes de calcul.

Le temps du calcul est de 35 secondes (CDC 7600).

Listing

6 A MIA a ,1VVWVWUfc'-91 UO0N£ * 20

10 11

1 1. 2 6, 3 2. * 0. 5-1. A 0. 7 2.

a o. 9-4. 10 0, 11 7 . 12 0. 13-U 14 0, 13 1.60651-20-16 0, 1/-1.*Ol1fc-20 1» 0, 1» 1.4VA3k-20-20 0. 0.

0OV0fc*09 66671-03 OOOOl-OS

: > a / 4 t - i o

i i 12 fc -1> -

1141k -20

V 4 i V k - 2 5 -

9/7»fc-2<l

V. 9;99V4k" 1.20001' 6.8571E-1.90401-0. 1.3987k-0. 1.9/4IU-0. 3.40201-0. 6.4645E-0. 1.8616k-

u. 01-e. o? v. OS 1. 0? 1.

0. 12 1.

u. •17-1.

0. 22 1.

u. 0,

30 4

ooolk' V9041-71421 4?8«-92*41' 74*31'

151V1-

>3l2E-

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94441-0. 1.*234fc-0. 1.5332k-

^O-^lViât-0.

;30 £.9*221-9.

0. OJ S. oi-i. 02 9. 0* 2. 0' 2. 0* 1.

6. I* 1,

0. 1V-9.

0. 2* 1.

0. 2S-1.

o. ** it

0.

o.

9v94k-1990E-99691-2219E-4240É-*3i*e-961V1-6126k-

52/Ok-

1»47k-

8//Vk-

9Q10k-

0 3 - 5 . M 3 7 E 02 1 .37126 0 1 - 1 . 7 1 3 8 1 02 9 , 9 9 4 9 1 04 06

ov 11

2 3 3 1 6

•17 1

./me ,67o8C ,13241 ,«140« ,V«3S6 ,30041

2 1 - 7 , V 9 6 5 * * 0 .

•26 9 . 2 9 4 7 1 -0 .

• 30 -7 ,16228

o . •0 * 5 . • 0 4 - 1 . •02 2 . ' 0 1 - 2 . •02 V . •04 3 . •06 5 .

- 0 8 5 . - 1 1 3 . •13 1 .

6. '19 1,

».

55301 S236E 38046 22141 9924E 22*51 16001 32031 84061 90041 99791 40731

0 , • 0 9 - S . 4 5 4 0 1 --00 1 .44211 -• 0 4 - 3 . 0 2 9 6 1 -•02 3 . 6 3 3 1 1 -• 0 1 - 2 . 7 2 5 8 1 -•02 9 . 9 8 9 4 1 -•04 3 .73141 -•06 4 . 9 1 5 3 1 -•08 ft.12011 •10 13

•13

0 . 4224fc-30 5 . * 3 8 U '

0 .

2 4 - 4 . « 1 3 3 1 - 2 1 0 .

2» / . 4 1 3 3 1 -0 .

2 8 - 9 . 4 9 4 0 1 -0 .

15008 54021 13421' 00831 3*891-

2 6 - 5 . 8 8 9 3 8 -

o .

0 . 11 5 . 3 8 4 1 1 - 1 0 8 - 1 . 7 8 9 * 8 - 1 06 3 . 6 7 0 3 8 - 0 0 4 - 3 . 2 1 9 8 8 - 0 02 5 . 1 3 7 5 8 - 0 0 1 - 3 . 2 ? 8 5 8 - o 02 9 . 9 8 5 9 8 - 0 04 4 . 2 3 2 3 8 - 0

8 . 0 1 2 4 8 - 0 1 . 2 7 5 6 1 - 0 1 . 2 1 8 1 8 - 0 0 . 1 4 5 7 8 - 1 5 . 2 3 3 7 8 - 1 2 . 2 7 7 9 1 - 1 7 . 0 1 * 1 8 - 1

23 1 . 2 * 1 9 8 - 1 0 .

1 Ï - 5 . 1 5 0 7 8 - 2 5 0 .

06 08 10 12 •13 17

o: • 5 : 3 3 2 8 t . 1190938"

-4t3067E. * ' . 9 5 9 8 8 .

- 8 !2204 l< 4 . 8 8 8 3 8 .

• 3 ! 7 3 0 0 i -9*.98198-4!7326E> 1 Ï 1 1 S 9 8 . 1 : 7 2 3 3 1 -1!94328« i : * 7 5 i e . 1 Ï 1 2 9 3 8 . 5 : 9 * 3 1 6 . 2 ' .41328. 7 ! 0 2 2 2 8 . 1 :20398 . o:

! f 2 9 0,

15 ! f 2 9 $ 6 8 - 1 7 - 5 , 2 * 2 * 1 - 1 9 1 2 - lof 16E-14 2, . 12808 -16 10 lof 9 1 1 - 1 2 - 3 , 5 7 1 * 1 - 1 4 n 8 -

lof Ï U - 1 0 1 , 0 8 * 0 1 - 1 1

06 3 0 1 - 0 7 - 1 , , 63781 -09 0 4 - 1 j 21 566-05 1 , 9 1 9 5 1 - 0 7 02

» J 0 7

l1 il

7AE-04-1 , 71531 -05 0 1 -

» J 0 7

l1 il 038-62 1 .113SC-01

02 » J 0 7

l1 il 7 4 1 - 0 1 - 4 , 7 3 0 3 1 - 0 2

A3 » J 0 7

l1 il 221-02 9 , 9 7 2 5 1 - 0 1 05 551-03 5 , 7 3 1 2 1 - 0 2 07 S41-0S 1 . , * 3 9 9 l - 0 J 09 64E-07 3 ,09291 -05 11 961-09 4, 29001 -07 14 4 • 1 A

1 . i * 288 -11 4. , 62511 -09

1 * 4 • 1 A

1 . i * • 4 1 - 1 3 3, 9 9 3 1 1 - 1 1 19 I'sl 946-14 2 ,80138 -13 21 I'sl 138-18 1 . 60091-15

7t02 708 -21 7, , 37771 -18

12

1 0 , 2 S.< /6fc 3-2,22931 4 6,20171 3-1.30031 * 2.14471 7-2.01541 8 2.92021 9-2,3i3«E 10 1.3632E 11-5,22941 12 9 .9670E 13 6 .2297E 14 1 ,9392k 15 3 , 9 * 5 5 1 16 6 . 0 4 2 0 1 17 7 . 1 5 5 2 1 10 6.8323E-19 5 . 3 5 5 0 1 20 3 , 4 7 0 5 1

0 . 2 1 - 5 .

U » 2 . • 1 6 - 6 . •13 1 . • 1 1 - 2 . • 0 * 3 . • 0 7 - 4 . •05 4 . • 0 3 - 3 , •02 1 . • 0 1 - $ . •02 9 . 03 6 ,

•05 2 . 07 5 , 09 0 . 11 1 . 13 1 .

- I S 9 ,

13

2169k 3 2 * 2 1 83091 5 2 * 4 1 7i7«C 91711 S7«9e 26131 0024E 4370E 7279E 9610E 72761 26341 03401 27941 0 *731 11541 6308E

M. •2i 5 . • 2 0 - 2 . •18 / . • 1 5 - 1 . •13 i . • 1 1 - 5 . •09 6 . - 0 7 - 7 . -OS 6 . • 0 3 - i . •02 1 . - 0 1 - 6 .

- 0 2 V . - 0 3 / . - 0 5 2 , - 0 7 6 . - 0 8 1 . •10 1 . •13 1 ,

14

19V>fc 41931 45931 7 * 3 0 1 3 5 * 2 1 2 3 / 0 1 7 3 4 / 1 09111 0113C 97471 9 3 * 9 1 2 2 * 8 1 95451 22491 61231 2 5 0 * 1 -

10818-54411-75136-

13

0 . - 2> -5 .1«Wfc --22 2 .5089k-- 2 U - » . 0 8 7 2 1 -- 1 / 2 . 0 1 2 1 1 -- 1 > - 4 , o * 0 * k ' -13 * . 7 0 9 8 1 -- 1 1 - 9 . 4 / 8 6 * --09 1 . 1 0 3 1 1 -- 0 7 - 1 , 0 5 9 0 1 --03 8 . 2 4 4 0 1 -- 0 3 - 5 , 0 2 2 8 k --04 2 .2610k-- 0 1 - 6 . 7 2 3 0 k --02 9 . 9 4 7 3 1 -•03 7 . 7 2 1 * 1 ' -03 2 , 9 8 * 0 k -•00 7 . 4 4 7 7 1 -•0« 1 ,4534k-•10 2 . 1 7 4 1 1 -

16

0 . 2 / 5 . 1 / 1 9 6 " 2 4 - 2 , 3 9 5 4 1 ' •22 8 . / 1 4 7 C •19-2 .2707E-17 4.03o8E-1 5 - 8 . 3 0 4 8 1 -

•13 1.2870E' • 1 0 - 1 , 6 3 0 2 1 ' •00 1.7360E-•07 -1 .3354E ' •03 1 ,10431 -0 3 - 6 . 2 3 0 0 E -02 2 , 6 0 9 8 1 -0 1 - 7 . 2 1 9 7 1 " 02 9.V400E* 03 0 , 2 1 7 7 1 ' 05 3 . 3 0 4 4 1 -06 9 .2377E-0« 1 . 0 7 3 2 8 '

17 10 19

0 2V-5 2 * 2 2 4 - 9 21 2

•19-3 17 1

•14 -1 •12 2 •10-2 08 2

•06-2 •05 1 •03-7 02 2 0 1 - 7 02 V 03 0 OS 3 04 1

14001-31 1 5 , 1 5 1 0 1 - 3 3 47911-21 » - 2 . 7 6 0 3 8 - 3 0 34101-2* i 9 . 9 6 8 4 8 - 2 8 5 3 9 3 8 - 2 : 1 - 2 . 8 1 7 5 1 - 2 3 66441-21 1 4 . 3 4 8 H - 2 3 0434E-1< 1 - 1 . 2 9 4 9 1 - 2 0 4 9 7 S I - K k 2 . 1 8 4 3 8 - 1 8 3139 I -1< t - 3 . 1 7 8 8 8 - 1 4 4 8 8 1 8 - 1 I 3 . 9 8 1 3 1 - U 64161-11 » - 4 . 2 7 7 1 1 - 1 2 16601-01 » 3 . 9 0 5 7 1 - 1 0 44931-04 > - 2 . 9 0 4 7 1 - 0 8 4353E-0 ! » 1 . 8 4 8 7 1 - 0 4 9 0 3 3 1 - 0 ] 1 -9 .22458 -03 71561-OJ ! 3 .38148 -03 -9 3 i l f - 0 l - 8 . 2 1 0 9 1 - 0 2 71311-03 » V . 9 2 3 4 8 - 0 1 -0 0 7 6 1 - 0 ] I 9 . 2 0 7 9 8 - 0 2 10331-04 > 4 .2SS3E-03

•3.U238 2.83928 '1.05951 3.10508 •7.51531 1.55388 •2.75988

,25038 ,48778 ,39918 ,40018 ,43248 .03498 ,37258 ,10198 ,80438 ,7o53B-

9.91461-9.70208

4, - 3 , 4,

•4 . 5,

•4, 2 .

• 1 , 3 ,

•0,

20

o: •3$ S: i344fc-3 • 3 2 - 2 : 9 1 5 9 1 - 3 •29 1 a . 1 2 2 2 f - 3 • 2 7 - 3 : 4 0 1 5 1 - ? •25 8'.SA828-? • 2 2 - r . 8 4 l 3 1 - > •20 3 : 4 ? 4 9 l - 2 • 1 8 - 5 : 5 5 4 0 8 - ? •14 7 : 8 8 4 0 8 - 1 • 1 4 - 9 : 7 8 9 9 8 - 1 •12 1 !0$92E-1 • 1 0 - 9 : 9 1 7 1 8 - 1 •08 7 : 9 4 7 2 1 - 1 • 0 4 - 5 : 3 4 1 5 1 - 0 •04 2 : 9 7 1 3 6 - 0 • 0 3 - r . 3 0 3 0 6 - 0 02 * : 2 5 1 7 1 - 0

'01 -9* .19941-0 •02 9 : 9 0 3 2 1 - 0 i

_l

Ai-3 *

MRUGKAM CDHLAB(XNPuTtOUTPUT»TAPES*XNPUT»TAPE6*0UTPUT) C PROGRAMME : COBLAIft C •#*•#•* C D*C 1V^6

c C CALCUL DE LA MATRICE DE PASSAGE CENTRE OE «ASSE ~ > L*»° * C POUR LES COEFFICIENT* DU DEVELOPPEMENT EN POLYNOMES DE LEGEMORE • C DES DISTRIBUTIONS ANGULAIRES • C . METHODE DE RECURRENCE • C«**«**»w*»*»**»..************.••••••••••«•••*•••*••*••••*•••••*••••**

ILLICIT DOUILE PRECISXONCA-H«0-Z) LOGICAL KH DIMENSION FFC6J.S»(6>*NH16) CONMON/MAT/TC21.10O) COMMON/VEC/VCU1)

C lt«5 XS*6

C KcAOUE,>J 6AM.LMAX LMAX*LMAX*1 WRÎTEUS,©) WRITECIS.7) 6AH.LMAX

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X F ( ( A L P / 0 k U - P L 0 A T l ( J - i ; / < ; ) , G 1 f U , V 0 1 ) SIGN'UN T(2,J>«<ALP«S)/<DEU#ALP-UN)-CCALP*0EUJ*S1)/<DEU»ALP*TR0> T(2,j;«Sr6«#T(2,JJ S«S»ÛAM X1«S1#SAM

110 CONTINUE C

*P*,ML$g, DU 800 KsJflMAX KP*,NOT,KP LL»K-1 L«K-2 AkMLUATUJ

00 70V lpRs1, !DX"1 I P » I P * - 1 A L P « F L 0 A T U P > CONST*(DEU*ALP*Ul*J*(DI>U*Al*UNJ/tAI.*UID S2«0 .00*00 DO 600 NN«1.XQXM1 N«NN-1 AN«FLOAT(N) 5 1 * 0 , 0 0 * 0 0 MMIN«XAISCN-tP;*1 MMAX«N*LP*1 MMIN«MINO(MMIN.IOIH) NNAX"HZN0(MNAX.X0IM) DO 500 MM-MMIN.MMAX N«MH-1 AH«F10AT<«> Z*C60(ANfA(.P»A!1i SS1»Z#Z*mL,MH>/tDEU»AH*UN) S1«S1*$$1 XF<DAB$(S*1>.ST.O,Q.AND.UA0SOS1>.lT.EPS> SO TO 501

500 CONTINUE 501 CONTINUE

SS2*T(2 ,NN)*$1 S2«S2*SS2 XFCDA8SCS*2>.6T,O.O.ANO.WAi$OS2J,LT,EP$> SO TO 601


TU,LPR)» tON5T»S2-AL*TU#LPR) / (AL*UN) I F U P ) 60 TO 602 I F < l P * . U E . U / 2 - 1 ) ' T U , L>»R)»0.00*00

602 CONTINUE NNLPR«NN*tPR IF(NNLPR,âT,I0IMJ W R I T E U « , 5 W X, LPK,NNLPR# I0IM


C C tCMITURE WE LA MATRICE C

tM«MIN0in#LMAX> WRITEU$,»90> ( I»X»1 #W«> WRITEUS,391) 00 900 LPKs1,LMAX

yOO WRXTEClS.yOD L p R , (TUPR* J) , J«1 »LM> IF< lMAX.LF,11) 60 TO 905 WRITEUS.VO*) WRIT i ( IS ,890> U#I«12,LMAX> WRITE( IS ,»91) 00 902 IPK^IflMAA

VOZ WRXTEtIS,V01) LP*»<TUPRrJ)#J"1*#LMAX> 905 CONTINUE

C C I S A - U K O H M A T I O N Ok LA MATKICE *N VfeCTEUR C

00 950 J«1,LMAX 00 950 I«1,LMAX L«4J-1 ' *LMAX*I

Al

950 VtL)»T(I.j) LMAX2*IMAX*LMAX NL*LMAX2/6 XF((LMAX2-6*NLi.ST.0i Nl*Nl*1 00 9^0 IB1,NL M»<I-1)*0*1 KF«I*6 KF3MIN0(KI>.LMAX^)

VoQ WRITE<IS,V61) <VU),l«KI.KF) C C feCKXTURE OU VECTEUR SOUS FORMAT tHQf (£11,5) C

WRITERS,O) DO 970 U 1 . N L K X « ( X - 1 ) * © * 1 KF«I»6 XF«MINQ*K»',LHAX2J 00 971 KsKX.KF JSK-KI *1 CALL C X F P * V U ) , F , S , N J FFCJJ«F SS<J)*S NM(J)*N

V/1 CONTINUÉ JFaj WRZTtlIS,y72J (lFfUJ,SSlJ) tNMU)J,J*1,JFJ

V70 CONTINUE C C KQKKA1S C

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C »rup END

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IMPLICIT DOUBLE PRECISION*A-H.0-2) C

CGUSU.O t»«A*l*C IG*I0IMT(**8*C*«.«01i XlspL0AT(IG/2) IF(CG/2.O0*OO-X1J.GT.O.OU1) GU TO 1U0

C b*tt/2.OO*U0 IG«IG/2 IGA»lDIim6-A*0.UU1) IGB»IDINTCG-B*Q.001> l G C » I 0 I i m S - C * 0 . 0 Q 1 > S»1 ,00*00 DO 200 U 1 . 2 0 Q A I » I i F l I - i G A ) * T l , 2 1 1 * * 0 1

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ASHSXE 2 - Programme CDMLABD

Le prograa&e CDMLABD effectue le calcul direct des coefficients r l £

r

i l'aide des formules (39) et (1*7).

Dans ce calcul les questions de précision numériques sont sinises car, à"

chaque itération sur ir, les coefficients T^,, sont Modifiés d'une quantité

de l'ordre de r f f < Y***.

Ceci a donc pensis d'implanter ce program» sur l'ordinateur Cil 10020.

Une fois la matrice T calculée, elle est transformée en un recteur V pré seat? sous le foraat EHDF grâce au sous* program» CXFP.

Données

Les seules données sont y et 1^^ :

GAM.LMAX lues dans le format (21**.7,13).

Cas test

Le cas test présenté correspond 1 y • 0,01 et 4^^ « 19.

Le temps de calcul est de l'ordre de 3 minutes (Cil 1C020).

Listing

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A3

ANNEXE 3 - Prograame CDMLA3

Le programme CDMLAB calcule, à partir d'us fichier ENDF existant, les distributions angulaires, dans le système du laboratoire, de la particule émise dans une réaction donnée pour certaines énergies données.

Pour ces énergies, l e programme recherche dans l a "file 3" les sections efficaces de réaction correspondantes avec les interpolations nécessaires.

Puis, après avoir soit lu la matrice de passage dans le cas de la diffusion élastique, soit calculé cette matrice pour les autres types de réaction, i l recherche les coefficients des développesent3 en polynSses de Legeadre des distributions angulaires, donnés dans le centre de masse, arec une interpolation linéaire s i nécessaire.

Une fois la transformation (50) effectués, i l calcule les distributions

angulaires dans l e laboratoire par pas de 2°.

Ce programme est implanté sur l'ordinateur CIX 10020.

Données

Les données du programme sont :

1. MAT, MT, NP, NOUT, NE lues dans le format (5I1*) MAT » numéro ENDF du matériau à traiter.

MT • numéro ENDF de la réaction à traiter. NF • numéro logique de l'unité sur laquelle se trouve le fichier

ENDF. NOUT * numéro logique de l'unité de sortis. NE * nombre d'énergies pour lesquelles sont calculées les distri

butions angulaires (NE 4 50).

2. (TE(I), I « 1, NE) lues dans le format (6E12.5) TE * tableau des énergies (en eV).

Pour traiter un nouvel élément i l suffit de placer I la 3uite de nouvelles cartes 1 et 2.

Cas test

Le cas test présenté correspond a MA'J • 1139 ( Nb), MT • 2 (diffusion

élastique) et E * 12,5 MeV. Le teaps de calcul et de recherche est <. 'environ

5 minutes (Cil 10020).

Listing

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