Transformasi Fourier Waktu Diskrit...
Transcript of Transformasi Fourier Waktu Diskrit...
Edisi Semester 1 17/18 EYH 1
Materi :
•Konvergensi transformasi Fourier
•Sifat-sifat TFWD
•Karakteristik domain frekuensi sistem linier tidak berubah terhadap waktu
•Filter frekuensi selektif
•Pasangan TFWD
•Pemakaian TFWD
Transformasi Fourier Waktu Diskrit (TFWD)3
Edisi Semester 1 17/18 EYH 2
3.1 Konvergensi Transformasi Fourier
1Persamaan sintesis ( ) (1)
2
Persamaan analisis ( ) (2)
Deretan yang
j j nx n X e e d
j j nX e x n e
n
dapat direpresentasikan oleh persamaan (1) adalah deretan yang memenuhi konvergensi
dari penjumlahan tak hingga pada persamaan (2).
Konvergen uniform bila ( ) , d imana ( ) adalah limit Mj jX e X e
dari penjumlahan yang berhingga
( )
lim ( ) ( ) 0M
Deretan akan konvergen uniform bila absolutely summable .
Mj j nX e x n eM
n M
j jX e X eM
( )
Bila deretan absolutely summable
j j nX e x n e
n
j nx n e
n
x n
n
, yaitu , maka ( )ada jx n X e
n
Transformasi Fourier Waktu Diskrit3
Edisi Semester 1 17/18 EYH 3
1Persamaan sintesis ( ) (1)
2
Persamaan analisis ( ) (2)
Deretan yang
j j nx n X e e d
j j nX e x n e
n
dapat direpresentasikan oleh persamaan (1) adalah deretan yang memenuhi konvergensi
dari penjumlahan tak hingga pada persamaan (2).
Konvergen uniform bila ( ) , d imana ( ) adalah limit Mj jX e X e
dari penjumlahan yang berhingga
( )
lim ( ) ( ) 0M
Deretan akan konvergen uniform bila absolutely summable .
Mj j nX e x n eM
n M
j jX e X eM
( )
Bila deretan absolutely summable
j j nX e x n e
n
j nx n e
n
x n
n
, yaitu , maka ( )ada jx n X e
n
Edisi Semester 1 17/18 EYH 4
Beberapa pengecualian
Selain deretan yang absolutely summable , deretan yang mean square summable
juga dapat direpresentasikan oleh Transformasi Fourier Waktu Diskrit.
Deretan yang memenuhi mean squar
e convergence
2 ( )
dimana ( ) adalah limit M dari penjumlahan yang berhingga
( )
jX e
jX e
Mj j nX e x n eM
n M
2
lim ( ) ( ) 0M
Konvergensi deretan akan mean square convergence bila deretan tersebut
mean square summable .
2
j jX e X e dM
x n
n
2
enerji terbatasE x nx
n
Edisi Semester 1 17/18 EYH 5
Fungsi ( ) dievaluasi untuk beberapa harga M.
Harga M semakin besar, osilasi pada frekuensi ,
amplituda ripple tetap (fenomena Gibbs).
Begitu juga untuk M mplituda maksi
j
M
c
H e
semakin cepat tetapi
a
lp
mum ripple tidak
menuju nol, osilasi konvergen menuju titik . ( ) tidak konvergen
uniform menuju fungsi ( ).
Akan tetapi h n akan mean square convergence , yaitu
j
c M
j
Sehingga H e
H e
2
M lim ( ) ( ) 0 j j
lp MH e H e d
Edisi Semester 1 17/18 EYH 6
3.2 Sifat-sifat Transformasi Fourier Waktu Dsikrit
1. Periodik dengan perioda 2 : ( ) ( )
Bukti : ( ) . ( )
2. Simetris
jj
j j n j n j n j n j
n n n
X e X e
X e x n e x n e e x n e X e
2
2 2 2
x(n) X(ej)
Riil dan genap Riil dan genap
Riil dan ganjil Imajiner dan ganjil
Imajiner dan genap Imajiner dan genap
Imajiner dan ganjil Riil dan ganjil
Contoh:
a.
cos cosj j n
n
x n n n n n n
X e x n e
2
2
2 2 1 3 2 1 2
2 2 4 3
Edisi Semester 1 17/18 EYH 7
3. Linier
Bila ( ) dan ( )
Maka . . . ( ) . ( )
4. Pergeseran deretan
Bila ( ) maka . ( )
5. Pembalikan waktu
Bila
j j
j j
j nj j
x n X e x n X e
a x n b x n a X e b X e
x n X e x n n e X e
x n X
0
1 1 2 2
1 2 1 2
0
*
( ) maka ( )
Bila riil maka ( )
6. Modulasi
Bila ( ) maka ( )
cos . , . , .
cos . , ( ) , ( )
j j
j
jj nj
j n j n
j j
e x n X e
x n x n X e
x n X e e x n X e
n x n e x n e x n
n x n X e X e
00
0 0
0 0
0
0
0 5 0 5
0 5 0 5
Contoh:
b.
.sin sinj j n
n
x n n n n n
X e x n e j j
2
2
2 2 1 2 1 2
2 2 4
Edisi Semester 1 17/18 EYH 8
7. Konvolusi
Bila ( ) dan ( )
dan bila maka
( ). ( )
Bukti :
( )
j j
k
j j
j j n j n
n n k
n
x n X e h n H e
y n x k h n k x n h n
x n h n X e H e
Y e y n e x k h n k e
x k h n k
( ). ( )
8. Multiplikasi
Bila ( ) dan ( )
Maka .
Bukti :
(
j l kj n
k k l
j k j l j j
k l
j j
jj
e x k h l e
x k e h l e X e H e
x n X e w n W e
y n x n w n X e W e d
Y
1
2
) .
. . . .
. . .
Hal ini disebut teorema "wi
j j n j n
n n
j j n j n
n
j n jj j
n
e y n e x n w n e
X e e d w n e
X e d w n e X e W e d
12
12
1
2
ndowing", konvolusi dikawasan frekuensi dijital
Edisi Semester 1 17/18 EYH 9
9. Turunan dalam kawasan
( ) Bila ( ) maka .
10. Konjugasi
Bila ( ) maka ( )
11.Teorema parseval
Bila ( ) dan ( )
maka
jj
j j
j j
dX ex n X e n x n j
d
x n X e x n X e
x n X e x n X e
x n x
1 1 2 2
1
*
n=- -
n=- -
21
( ). ( )
Bila = = maka = ( )
Teorema parseval disebut juga teorema konservasi enerji.
Fungsi ( ) disebut energy density s
j j
j
j
n X e X e
x n x n x n x n X e d
X e
2 1 2
22
1 2
2
1
2
1
2
n=-
-
pectrum.
Enerji dalam kawasan n
sama dengan enerji dalam kawasan ( )j
x n
X e d
2
21
2
Edisi Semester 1 17/18 EYH 10
3.3. Karakteristik Domain Frekuensi Sistem inier Tidak Berubah Terhadap Waktu
3.3.1 Respon terhadap Sinyal Eksponensial Kompleks
Pada sistem linier tidak berubah terhadap waktu :
y(n)=.x(n)h(n)x(n)
=eigen value, secara umum tergantung sinyal masukan ( )
Bila ( ) - <n < dan =konstan, maka
( ) disebut fungsi eigen sistem linier tidak berubah terhadap waktu (LTI).
Keluaran sistem :
x n
j nx n e
j nx n e
*
( )
Bila ( ) ( ) .
y n x n h n
j n k j n j ky n h k x n k h k e e h k e
k k k
j k j j j nh k e H e y n H e e x n
k
Edisi Semester 1 17/18 EYH 11
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
disebut respon frekuensi sistem linier tidak berubah terhadap waktu.
Umumnya nilainya kompleks sebagai fungsi
Dalam term magnituda dan fasa =
jH e
j j k j jH e h k e H e jH er i
k
j jH e H e
.
( ) ( ).
22 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
1
dimana dan adalah magnituda dan fasa
Respon magnitude squared :
Group delay :
Apabila penjumlahan eksponensial
k
je
j jH e H e
j j j j jH e H e H e H e H er i
d
d
Nj n
x n ek
k
[ ]
1
kompleks maka
dimana adalah respon sistem pada = .k
k k
k
Nj j n
y n H e ek
k
jH e
Edisi Semester 1 17/18 EYH 12
3.3.2 Respon terhadap Sinyal Sinusoidal
Masukan dari sistem linier tidak berubah terhadap waktu (LTI) adalah
x(n) = A cos(ω0n +)=Aej ejω0n /2+ Ae-je-jω0n /2 .
Keluaran dari sistem LTI dengan respon impuls h(n) :
0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
( ) ( )
2 2
2Re / 2 ( )
Re ( ) exp arg ( )0
( ) cos arg ( )0
j n j j n jj jAe e H e Ae e H ey n
j j n jy n A H e e e
j jy n A H e j n H e
j jA H e n H e
fasamagnitude berubahberubah
Edisi Semester 1 17/18 EYH 13
y(n)= e jωn H(e jω)Sistem LTI
h(n)
H(e jω)
e jωn
kj nx n ek
k
( )j j kH e h k e
k
0 0( ) cos arg ( )0j j
y n A H e n H e
fasamagnitude berubahberubah
Sistem LTI
h(n)
H(e jω)
A cos(ω0n +)
Sistem LTI
h(n)
H(e jω)
k kj j ny n H e ek
k
Edisi Semester 1 17/18 EYH 14
( )
d
h n n nd
j j kH e k n ed
k
j ne
Sistem LTI
Delay Ideal
y(n) =x(n-nd)x(n)] =e jωn
Contoh 1. Delay Ideal : y(n) =x(n-nd)
y(n)]= e jωn-nd
= e jωn . e-jωnd
y(n)= e jωn H(e jω)
H(e jω)=e -jωnd
Edisi Semester 1 17/18 EYH 15
2
( )
0.5 1 0.5 2
0.5 0.5
(0.5 1 0.5 )
(1 cos )
( 1 cos 1 cos 0.75 0.2929
arg arg
j j k
k
j k
k
j j
j j j
j
j
j
H e h k e
k k k e
e e
e e e
e
H e
H e
(1 cos )
0.75
0 0
0 0
0( ) cos arg ( )
5 ( ) cos 0.05 arg ( )
j j
fasamagnitudeberubahberubah
j j
y n A H e n H e
y n H e n H e
Sistem LTI
h(n)
H(e jω)
x(n) = 5 cos(0.75n)
ω = 0.75
h(n) =0.5(n)+ (n-1)+0.5(n-2)
x n ]
1.4645cos 0.75 0.75
1.4645 cos 0.75 1magnitude x n
inputberubah
bergeser
y n n
n
Contoh 2. Sistem LTI : y(n) =0.5x(n)+ x(n-1)+0.5x(n-2)
Edisi Semester 1 17/18 EYH 16
2
( )
0.5 1 0.5 2
0.5 0.5
(0.5 1 0.5 )
(1 cos )
( 1 cos 1 cos 0.25 1.707
arg arg(
j j k
k
j k
k
j j
j j j
j
j
j
H e h k e
k k k e
e e
e e e
e
H e
H e
1 cos )
0.25
0 0
0 0
0( ) cos arg ( )
5 ( ) cos 0.05 arg ( )
j j
fasamagnitudeberubahberubah
j j
y n A H e n H e
y n H e n H e
Sistem LTI
h(n)
H(e jω)
x(n) = 5 cos(0.25n)
ω = 0.25
h(n) =0.5(n)+ (n-1)+0.5(n-2)
[ ]
x[n]
8.5355cos 0.25 0.25
8.5355 cos 0.25 1magnitude x n
inputberubahbergeser
y n n
n
Contoh 3. Sistem LTI : y(n) =0.5x(n)+ x(n-1)+0.5x(n-2)
Edisi Semester 1 17/18 EYH 17
( ) (1 cos )
( 1 cos
arg arg(1 cos )
j j
j
j
H e e
H e
H e
Edisi Semester 1 17/18 EYH 18
3.3.3 Sifat-sifat Respon Frekuensi
1. Periodik dengan perioda 2 .
Sinyal maka periodik dengan periode 2 .
Bila masukan sistem maka keluaran ( ).
Bila masukan sistem ( ).
00
0 0 0
0 0 0
2
2 2
j nj n
j n j j n
j n j j
x n e e x n
x n e y n H e e
x n e y n H e e
( ).
maka ( ) ( ) periodik dengan perioda 2 .
2. Simetris
Bila maka ( ) simetris conjugate
Artinya :
,
0 0
00
2 2
2
n j j n
jj
j j k
k
j j
H e e
H e H e
h n riil H e h k e
H e H e
( ) ( ) fungsi genap
( ) ( ) fungsi ganjil
( ) ( ) fungsi genap, fungsi ganji
j j
r r
j j
i i
j j
H e H e
H e H e
H e H e
l
Group delay : = - fungsi ganjil
Edisi Semester 1 17/18 EYH 19
Contoh 1.
Persamaan suatu sistem linier tidak berubah terhadap waktu yang kausal :
Turunkan persamaan dan gambarkan respon magnituda dan respon fasa
, 1
0 9 1
0 9 1
0 9
j j
n
h
y n x n , y n
H e H( e )
y n x n , y n
y n C ,
,
0
1 1
0 0 0
0
0 9 1
0 0 0 9 1 0 1
0 0 9 1 1
0 9 0
10 9 0 9
1 0 9
1 1 0 9 1 0 9 11 0 9
1 0 81 0 191 0 9 1 0 9
n
kkj j k j k j
jk k k
j jj
j j
n
h n n , h n
h , h h
h C , C
h n , n
H( e ) h k e , e , .e, e
, e , eH( e ) . , cos j
, ,, e , e
2 2
0 9
1 1 1 1
1 0 9 1 0 9 0 9 1 81 1 81 0 9 0 9
0 9
1 0 9
j
j
, sin
H( e ), e , cos j , sin , , cos, cos , sin
, sintan
, cos
Edisi Semester 1 17/18 EYH 20
Contoh 2.
Respon Frekuensi Window Persegi
Respon impuls filter window persegi :
1
0
2 2 2
2 2 2
2
1 0 1
0
1
1
2
j NN
j j k j k
jk k
j N / j N / j N /
j / j / j /
j N /
, n N -h n
,lainnya
eH e h k e e
e
e e e
e e e
e sin N /
e
2
1 2
2
2
2
2
2
21 2
2
j /
j N /
j
j
sin /
sin N /e
sin /
sin N /H e
sin /
sin N /arg H e N / arg
sin /
Edisi Semester 1 17/18 EYH 21
Respon Frekuensi Window Persegi untuk N = 5
Edisi Semester 1 17/18 EYH 22
3.4. Sistem Linier Tidak Berubah terhadap Waktu sebagai Filter Frekuensi Selektif
Contoh penggunaan filter :
• spectral shaping ( mis; ekualisasi pada kanal komunikasi)
• noise suppression
• signal detection pada radar, sonar dan komunikasi
• analisis spektral sinyal, dsb
Pemfilteran ditentukan oleh karakteristik respons frekuensi ( ), yang tentunya
bergantung pada parameter sistem ( mis: koefisien ,dan pada persamaan
perbedaan yang mengkarakteristikkan sistem).
S
j
k k
H e
a b
istem LTI memodifikasi spektrum sinyal input ( ) menggunakan ( )
untuk mendapatkan spektrum ouput ( ) ( ). ( ).
( ) berlaku sebagai spectral shaping function terhadap berbagai
kompone
j j
j j j
j
X e H e
Y e X e H e
H e
n frekuensi pada sinyal input.
Edisi Semester 1 17/18 EYH 23
Filter Lowpass
Filter High pass
Filter Band pass
Filter Band stop / reject / notch
- -c c
H(ej)
1
- -c2 -c1 c1 c2
H(ej)
1
- -c c
H(ej)
1
- -c2 -c1 c1 c2
H(ej)
1
3.4.1 Karakteristik Filter Ideal
Edisi Semester 1 17/18 EYH 24
Filter ideal mempunyai karakteristik :
- Gain konstan ( biasanya =1) pada daerah passband
- Gain nol pada daerah stopband
- Respon fasa linier.
Sistem linier mempunyai respon fasa linier bila respon freku
ensinya :
( ) ( ). =bilangan riil
( ) fungsi , ( ) nilainya riil.
Respon fasa : ( )
( )
Group delay :
0
0
j j j
j j
j
j
H e A e e
A e A e
A e
A e
konstan
Sistem linier mempunyai sifat "generalized linier phase " atau "piecewise linier phase" bila:
( ) ( ). jj j
d
H e A e e
Edisi Semester 1 17/18 EYH 25
3.5 Pasangan Transformasi Fourier Waktu Diskrit
x(n) X(ej)
1
1
u(n)
n
0n n 0 jne
2 2 k
k
0 j ne
02 2 k
k
1na u n a1
1 jae
sin cn
n
, ,
,
c
c
1 X
0
je
cos 0n 0 02 k 2 k
k
1
2 k 1
jke
Edisi Semester 1 17/18 EYH 26
12
Persamaan perbedaan sistem LTI yang stabil sbb :
-
Dengan Transformasi Fourier Waktu Diskrit
( ) dan ( )
( )
j j
j j
y n y n x n x n
y n Y e x n X e
Y e e
1 12 4
1 1
12
( ) ( ) ( )
( ) 1- ( )
( ) ( )
( ) -
j j j j
j j j j
jjj
j j
Y e X e e X e
Y e e X e e
eY eH e
X e e
14
14
14
12
1
1
1
3.6 Pemakaian Transformasi Fourier Waktu Dsikrit
3.6.1 Menentukan Respon Frekuensi dari Persamaan Perbedaan
Edisi Semester 1 17/18 EYH 27
Persamaan perbedaan sistem LTI yang stabil sbb :
-
Persamaan respon impuls
-
Dengan Transformasi Fourier Waktu Diskrit
y n y n x n x n
h n h n n n
1 12 4
1 12 4
1 1
1 1
12
12
12
1 12 2
( ) ( )
( ) 1-
( )1-
( )1- 1-
j j j j
j j j
j
j
j
j
j
j
H e e H e e
H e e e
eH e
e
eH e
e e
14
14
14
14
1
1
1
1
12 1
2
12 1
2
1-
- 1-
-
j
n TF
j
jn TF
j
n n
u ne
eu n
e
h n u n u n
11 41
4
11 1 12 4 2
1
1
1
3.6.2 Menentukan Respon Impuls dari Persamaan Perbedaan