Transformari unitare
-
Upload
dinica-mihai -
Category
Documents
-
view
18 -
download
0
description
Transcript of Transformari unitare
7/21/2019 Transformari unitare
http://slidepdf.com/reader/full/transformari-unitare 1/30
1
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
1
TRANSFORMARI INTEGRALE
UNITARE DISCRETE
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
2
Operatii integrale
Noua valoare a oricarui pixel din imaginea prelucrata rezulta din
combinarea valorilor tuturor ale pixelilor din imaginea initiala.
linia
l
coloana
c
imagine prelucrata g imagine initiala f
T
7/21/2019 Transformari unitare
http://slidepdf.com/reader/full/transformari-unitare 2/30
2
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
3
Transformari de imagine
- transformari integrale (obtinerea valorii
unui pixel din imaginea rezultata in urma
transformarii se face pe baza contributiei
tuturor pixelilor din imaginea initiala)
- sunt utilizate matrici unitare pentru
transformari
- matrici unitare ( )*T1
AA =
−
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
4
Cazul unidimensional
{ }10),( −≤≤= N nnuu
O transformare unitara:
Auv = Adica: ∑
−
==
1
0
),(),()(
N
n
nunk ak v 10 −≤≤ N k
( )*T1AA =−
(Matrice unitara)
vAvΑu *T1 == − Adica: ∑−
=
=1
0
* ),(),()( N
k
k vnk anu 10 −≤≤ N n
Reprezentarea ca o dezvoltare in serie a vectorului u
u(0)
u(1)
….
u(N-1)
u =
7/21/2019 Transformari unitare
http://slidepdf.com/reader/full/transformari-unitare 3/30
3
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
5
Cazul unidimensional
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
−−−−
−
−
1,12,10,1
1,1110,1
1,01,00,0
....
.............
....
...
N N N N
N
N
aaa
aaa
aaa
A
( )
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
==
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
= −
−−−−
−
−
......
....
.............
....
...
11
*
1.1
*
1.1
*
1.0
*
1.1
*
1.1
*
1.0
*
0.1
*
0.1
*
0.0
* ***
0 aaaA N
N N N N
N
N
T
aaa
aaa
aaa
⎟⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
=
−
::
1
1
0
T
N
T
T
a
a
a
A = coloana a matricii
T *
A⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
−*
1,
*
1,
*
0,
:
N k
k
k
a
a
a
*
k a
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
6
Cazul unidimensional- Transformarea directa
Auv = Adica: ∑−
=
=1
0
),(),()( N
n
nunk ak v
⎟⎟
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜⎜
⎝
⎛
:
V =
u(0)
u(1)
….
u(N-1)T
N
T
T
1
1
0
:
−a
a
a
>=< *,)( k k v au
∑−
=
>=<1
0
*q pq p, N
i
(i)(i)
Fiexare componenta a vectorului v este produsul scalar intre vectorul u si
coloana corespunzatoare din .T *A
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
−*
1,
*
1,
*
0,
:
N k
k
k
a
a
a
*
k a
7/21/2019 Transformari unitare
http://slidepdf.com/reader/full/transformari-unitare 4/30
4
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
7
Cazul unidimensional- Transformarea inversa
vAu *T= Adica: ∑
−
=
=1
0
* ),(),()( N
k
k vnk anu 10 −≤≤ N n
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
...
U =
v(0)
v(1)
….
v(N-1)
*
1
*
1
*
0 − N aaa
=v0*u +v 1* +v 2* +…….vn-1**
0a *
1a
*
2a *
1Na
−
Semnalul origial este o combinatie liniara a coloanelor cu ponderile .*
k a k v
= coloana a matricii T *
A⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
−*
1,
*
1,
*
0,
:
N k
k
k
a
a
a
*
k a
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
8
Cazul unidimensional
vAu *T= Adica: ∑−
=
=1
0
* ),(),()( N
k
k vnk anu 10 −≤≤ N n
Auv = Adica: ∑−
=
=1
0
),(),()( N
n
nunk ak v 10 −≤≤ N k
>=< *,)( k k v au
Fiexare componenta a vectorului v este produsul scalar intre vectorul u si
coloana corespunzatoare din .T *A
=v0*u +v 1* +v 2* +…….vn-1**
0a *
1a
*
2a *
1Na
−
Semnalul origial este o combinatie liniara a coloanelor cu ponderile .*
k a k v
= coloana a matricii T *
A⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
−*
1,
*
1,
*
0,
:
N k
k
k
a
a
a
*
k a
7/21/2019 Transformari unitare
http://slidepdf.com/reader/full/transformari-unitare 5/30
5
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
9
Concluzii• O transformare unitara este in cazul 1D o
schimbare de baza. O exprimare a vectorului
u intr-o alta baza.
• Elementele vectorului transformat v(k) sunt
coordonatele descompunerii vectorului original
u in baza formata de coloanele lui .T *A
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
10
vAu *T= Adica: ∑−
=
=1
0
* ),(),()( N
k
k vnk anu 10 −≤≤ N n
Auv = Adica: ∑−
=
=1
0
),(),()( N
n
nunk ak v
>=< *
k au ,)( k v
∑−
=
>=<1
0
*q pq p, N
i
(i)(i)
=v0*u +v 1* +v 2* +…….vn-1**
0a *
1a
*
2a *
1Na
−
7/21/2019 Transformari unitare
http://slidepdf.com/reader/full/transformari-unitare 6/30
6
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
11
Cazul bidimensional
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
−−++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
−−++
+⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
−+−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
−+−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ =
1
1
4
53
1
1
4
51
1
1
4
51
1
1
4
53
43
21
j
j j
j
j j
j
j j
j
j ju
img =V0,0* +…….VN-1,N-1*+V0,1*U= *
0,0A *
0,A 1
*
,A 11 −− N N
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
12
Cazul bidimensional
∑∑−
=
−
=
=1
0
1
0
* ),(),(),( N
k
N
l
kl l k vnmnmu A
∑∑−
=
−
=
=1
0
1
0
),(),(),( N
m
N
n
kl nmunml k v A 1,0 −≤≤ N l k
1,0 −≤≤ N nm
>=< *
klAu ,),( l k v
img =V0,0* +…….VN-1,N-1*+ V0,1*U= *
0,0A *
0,A 1
*
,A 11 −− N N
7/21/2019 Transformari unitare
http://slidepdf.com/reader/full/transformari-unitare 7/30
7
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
13
Matricile de baza satisfac proprietatile:
Conditia de ortonormalitate:
Conditia de completitudine
),(),(),( ''
1
0
1
0
*'' l l k k nmnm
N
m
N
nl k kl −−=∑∑
−
=
−
=
δ AA
),(),(),( ''
1
0
1
0
''* nnmmnmnm
N
k
N
l
kl kl −−=∑∑
−
=
−
=δ AA
(c1)
(c2)
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
14
Transformari unitare separabile
),(),()()(),( nl bmk anmnm l k kl == baA
Impunand conditiile (c1) si (c2) rezulta ca matricile A si B trebuie sa fie
unitare.
*T* VBAU =↔= ∑∑−
=
−
=
1
0
1
0
** ),(),(),(),( N
k
N
l
nl bl k vmk anmu
∑∑−
=
−
=
=↔=1
0
1
0
),(),(),(),( N
m
N
n
nl bnmumk al k v TAUBV
7/21/2019 Transformari unitare
http://slidepdf.com/reader/full/transformari-unitare 8/30
8
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
15
Pentru o transformare separabila:
TAUBV =
**TVBAU =
Pentru o imagine dreptunghiulara MxN:
TUBAV N M =
*
N M VBAU *T
=
Daca se alege B = A:
TUAAV N M =
*
N M VAAU *T
=
TAUAV =
**TVAAU =
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
16
( )TTTTTA(AU))A(AUAUAV ===
Se poate face o transformare unidimensionala pe fiacare linie (sau coloana) a lui
U si apoi aceeasi transformare pe fiecare coloana (sau linie) a rezultatului.
.Se obtine o reducere a numarului de operatii de la ordinul 4N la
3N
E suficient sa se studieze proprietatile transformarilor unitare unidimensionale.
TTT)A(AUAUAV ==
Se poate face o transformare unidimensionala pe fiecare linie (coloana a lui
U transpus) si apoi aceeasi transformare pe fiecare coloana a rezultatului.
Se poate face o transformare unidimensionala pe fiecare coloana a lui U si apoi
aceeasi transformare pe fiecare coloana a rezultatului.
TTTT)(A(AU)(AU)AAUAV ===
7/21/2019 Transformari unitare
http://slidepdf.com/reader/full/transformari-unitare 9/30
9
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
17
∑∑−
=
−
=
=1
0
1
0
* ),(),(, N
m
N
n
nm g nm f G F
devine:
cu
T *A
*a k coloanela matricii
Se definesc matricile T l k kl *** aa=A
Si produsul scalar a doua matrice F,G de dimensiune NxN
atunci
∑ ∑−
=
−
=
=1
0
1
0
* ),(),(),( N
k
N
l
kl l k vnmnmu A 1,0 −≤≤ N nm
∑∑−
=
−
=
=1
0
1
0
*),(
N
k
N
l
kl l k v AU
*,),( kl l k v AU=∑∑−
=
−
=
=1
0
1
0
),(),(),( N
m
N
n
kl nmnmul k v A 1,0 −≤≤ N l k
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
18
Proprietatile transformarilor unitare
unidimensionale
vAu *T= Adica: ∑−
=
=1
0
* ),(),()( N
k
k vnk anu 10 −≤≤ N n
Auv = Adica: ∑−
=
=1
0
),(),()( N
n
nunk ak v 10 −≤≤ N k
1) Transformarea unitara conserva energia semnalului
u
2*T*T*T*TT2
v EuuuAuAuAu(Au)vvvE ======= *
Energia este lungimea euclidiana a semnalului in spatiul de reprezentare.
Conservarea energiei e echivalenta cu conservarea lungimii vectorului, decitransformarea unitara e o rotatie a lui u in spatiul N dimensional sau echivalent o
rotatie a bazei de coordonate iar v este proiectia lui u pe noua baza.
∑ ∑∑ ∑ −
=
−
=
−
=
−
=
=1
0
1
0
21
0
1
0
2),(),(
N
k
N
l
N
m
N
n
l k vnmu Teorema lui Parceval
7/21/2019 Transformari unitare
http://slidepdf.com/reader/full/transformari-unitare 10/30
10
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
19
2) Energia medie a semnalului se conserva printr-o
transformare unitara
( ) ( )
( ) ( ) ( ) u
T T T T
T T
v
E uuu A Auu Au A
Au Auvv E
====
==***
**
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
20
3) Compactarea energiei semnalului
u A Auv == )(
( )( ) ( ) ( )( )T
u
T T T T
T T
v
A AR Auuuu A Auuuu A
uu Auu Avvvv R
*****
**
))(())(( =−−=−−
=−−=−−=
Transformarea unitara aglomereaza o mare parte din energie in putini
coeficienti. Cum energia totala se conserva, cei mai multi coeficienti ai
transformarii vor contine putina energie. Daca vectorul u are
componente puternic corelate, coeficientii transformarii tind sa fie
decorelati.
Termenii din afara diagonalei matricei de covarianta tind sa fie mici
fata de cei de pe diagonala.
7/21/2019 Transformari unitare
http://slidepdf.com/reader/full/transformari-unitare 11/30
11
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
21
3) Entropia se conservaTransformarile unitare pastreaza informatia continuta in
semnal.
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
22
1. Transformari unitare discrete
Fixe -> aceeasi coeficienti pentru transformarea
oricarui semnal
transformata Fourier
transformata cosinus
transformata sinus
Adaptive -> coeficientii depind de valorile
semnalului
7/21/2019 Transformari unitare
http://slidepdf.com/reader/full/transformari-unitare 12/30
12
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
23
Transformata Fourier discreta
• Transformata integrala unitara
• Face trecerea in spatiul de frecvente
• Transf bidimensionala este separabila A=B=F
∑−
=
=1
0
)(1
)( N
n
kn
N W nu N
k v 10 −≤≤ N k
unde
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
= N
jW N
π 2exp
Transformarea inversa:
∑−
=
−=1
0
)(1
)( N
k
kn
N W k v N
nu 10 −≤≤ N n
kn
N W N
kn N
j
N nk F
12exp
1),( =
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−= π
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
24
∑−
=
=1
0
)()( N
n
kn
N W nuk v 10 −≤≤ N k
∑−
=
−=1
0
)(1
)( N
k
kn
N W k v
N
nu 10 −≤≤ N n
Transformarea directa:
Transformarea inversa:
Extinderea la cazul bidimensional:
∑∑−
=
−
= ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+−=1
0
1
0
)(2exp),(),( M
m
N
n N
nl
M
km jnmul k v π
1,0 −≤≤ N l k
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+= ∑∑−
=
−
= N
nl
M
km jl k v
N nmu
M
k
N
l
(2exp),(1
),(1
0
1
02
π
1,0 −≤≤ N nm
unde
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
= N
jW N
π 2exp
7/21/2019 Transformari unitare
http://slidepdf.com/reader/full/transformari-unitare 13/30
13
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
25
Transf Fourier
Fiecare imagine =suma ponderata de exponentiale
complexe
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ += ∑∑
−
=
−
= N
nl
M
km jl k v
N nmu
N
k
N
l
π 2exp),(1
),(1
0
1
02
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
26
Primele matrice din baza de matrice corespunzatoare tr F (cos si sin)
sin
cos
7/21/2019 Transformari unitare
http://slidepdf.com/reader/full/transformari-unitare 14/30
14
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
27
Proprietatile transformatei Fourier
1)Transformata Fourier a unei (matrice) reale este
complex conjugata fata de mijlocul sau
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ − k
N vk
N v
22
*2
0 N k ≤≤
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −− l
N k
N vl
N k
N v
2,
22,
2
*2
,0 N l k ≤≤
Simetrie centrala
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
28
2) Frecventele ridicate corespund detaliilor, obiectelor
mici, contururilor
∑−
=
=1
0
)(1
)( N
n
kn
N W nu N
k v 10 −≤≤ N k
)()(1
)(1
)(1
0
1
0
)(** k vW nu N
W nu N
k N v N
n
kn
N
N
n
nk N
N ===− ∑∑ −
=
−
=
−−
1)2
exp( =−=− nN N
jW Nn N
π
uu =* Pentru u real.
)2
()]2
([)2
( ** k N
vk N
N vk N
v −=−−=+
7/21/2019 Transformari unitare
http://slidepdf.com/reader/full/transformari-unitare 15/30
15
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
29
3) Convolutia circulara intre imaginea de prelucrat si
nucleul de filtrare este echivalenta unui produs intrespectrul Fourier al imaginii si spectrul Fourier al
nucleului de filtrare (Teorema convolutiei)
∑−
=
−=1
0
)()()( N
k
c k hk num g 10 −≤≤ N m
{ } { } { } N N N
nu DFT nh DFT n g DFT )()()( =
[ ])(mod)()( N ulol nul nu c −=−Unde u(n) shiftat cu l este:
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
30
Convolutia liniara folosind convolutie circulara:
{ }1..0),( −= P nnh
{ }1..0),( −= N nnu
Se extind prin completare cu zero pana la dimensiunea N+P-1
1..0),(~
−+= P N nnh
{ }1..0),(~ −+= P N nnu
))}(~{))}(~
{()(~)( M M nu DFT nh DFT IDFT n xn x ==
P N M +=
7/21/2019 Transformari unitare
http://slidepdf.com/reader/full/transformari-unitare 16/30
16
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
31
Transformata fourier rapidaCu decimare in timp
Decimare =divizare in secvente mai scurte a secv
a.I secv sa rezulte din combinarea transformarilor.
{ }nu{ }k v
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
32
( ))()(
*)(
2
2
2
}
2
2exp{}2
2exp{
)1(}exp{}
2
2exp{
1
n N k
N
n N k
N
kn
N
kn
N
kn
N
kN
N
n N k
N
k
N
k
N
k
kN
N
kN
N
www
wwww
w N
k jk
N jw
k jkN
N
jw
w
++
−−
==
==
===
−===
=
π π
π π
Proprietati utilizare:
}2
exp{ k N
jwk
N
π =
7/21/2019 Transformari unitare
http://slidepdf.com/reader/full/transformari-unitare 17/30
17
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
33
∑∑
∑∑ ∑ ∑−
=
−−
−
=
−
−
=
+−+
−−
=
−
=
−
=
−
+=
+==−=
12
0 2
12
0 2
12
0
)12(
12
21
0
1
0
12
0
2}2exp{
N
n
kn
N n
k
N
N
n
kn
N nk
N
n
k n
N n
kn
N
N
n
N
n
N
n
n
kn
N nnk
whww g v
wuwuwu N
kn juv π
{ }
{ }12
2
}{
)12
...(0,}{
+=
−==
nn
nn
uh
N nu g
)12
...(0 −= N
k
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
34
k
k
N k
N
n
kn
N n
k
N
N
n
kn
N nk H wGwhww g v −
−
=
−−
−
=
− +=+= ∑∑1
2
0 2
12
0 2
)12
...(0 −= N
k
Secventele au perioada N/2 rezultak k H G ,
k N k k N k H H GG == ++ 2/2/ ,
2/
)2/(
2/2/ N k
N k
N N k N k H wGv ++−
++ +=
k
k
N k k
N k
N k N k H wG H wGv −+−+ −=+= )2/(
2/
7/21/2019 Transformari unitare
http://slidepdf.com/reader/full/transformari-unitare 18/30
18
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
35
k
k
N k k H wGv −+=
k
k
N k N k H wGv −+ −=2/
)12
...(0 −= N
k
k G
k H
k
k
N k k H wGv −+=
k k N k N k H wGv −+ −=2/
k
N w−
k
N w− Factor de rotatie
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
36
Filtrarea in frecventa
Filtrare in frecventa=operatie liniara in domeniul frecventelor.
Filtrarea liniara se bazeaza pe convolutia [circulara] intre imaginea de
prelucrat si un nucleu de filtrare.
1..0),( −= N nnu
∑−
=
−=1
0
}2exp{)(1
)( N
n N
kn jnu
N
k F π
1..0 −= N k ))(exp()()( k jk F k F φ =
[ ] 21
22))((Im))(()( k F k F Rk F += ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡= −
))(Re(
))(Im(tan)( 1
k F
k F nφ
{ } { } { } N N N
nu DFT nh DFT n g DFT )()()( =
∑−
=
−=1
0
)()()( N
k
c k hk nun g 10 −≤≤ N n
7/21/2019 Transformari unitare
http://slidepdf.com/reader/full/transformari-unitare 19/30
19
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
37
Pasii de baza pt filtrarea in frecventa
• Calcularea transformatei Fourier a imaginii
• Generarea functiei de filtrare H (in frecv)
• Realizarea multiplicarii in frecventa
• Transformarea inversa
F H G .*=
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
38
20 40 60 80 100 120
20
40
60
80
100
120
20 40 60 80 100 120
20
40
60
80
100
120
20 40 60 80 100 120
20
40
60
80
100
120
20 40 60 80 100 120
20
40
60
80
100
120
20 40 60 80 100 120
20
40
60
80
100
120
20 40 60 80 100 120
20
40
60
80
100
120
Orientarea si
frecventa
7/21/2019 Transformari unitare
http://slidepdf.com/reader/full/transformari-unitare 20/30
20
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
39
20 40 60 80 100 120
20
40
60
80
100
120
20 40 60 80 100 120
20
40
60
80
100
120
20 40 60 80 100 120
20
40
60
80
100
120
20 40 60 80 100 120
20
40
60
80
100
120
20 40 60 80 100 120
20
40
60
80
100
120
20 40 60 80 100 120
20
40
60
80
100
120
C=(A+B)/2; A B
Superpozitia
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
40
Imaginea si transf ei Fourier
7/21/2019 Transformari unitare
http://slidepdf.com/reader/full/transformari-unitare 21/30
21
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
41
Imaginea si transf ei Fourier
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
42
Imaginea si transf ei Fourier
spectrul imaginii cu comp cont in centru
spectrul imaginii
7/21/2019 Transformari unitare
http://slidepdf.com/reader/full/transformari-unitare 22/30
22
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
43
50 100 150 200 250
50 100 150 200 250
50
100
150
200
250
50 100 150 200 250
50
100
150
200
250
50 100 150 200 250
50
100
150
200
25050 100 150 200 250
50
100
150
200
250
Modul si faza
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
44
9/19/19/1
9/19/19/1
9/19/19/1
Nucleu de netezire
Spectrul cu componenta continua in centru
7/21/2019 Transformari unitare
http://slidepdf.com/reader/full/transformari-unitare 23/30
23
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
45
0125.00
125.05.0125.0
0125.00
Nucleu de netezire
Spectrul cu componenta continua in centru
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
46
111
181
111
−−−
−−
−−−
Laplacian
Spectrul cu componenta continua in centru
7/21/2019 Transformari unitare
http://slidepdf.com/reader/full/transformari-unitare 24/30
24
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
47
Mediere aritm pe nucleu 7x7
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
48
50 100 150 200 250
50
100
150
200
250
50 100 150 200 250
50
100
150
200
250
50 100 150 200 250
50
100
150
200
250
7/21/2019 Transformari unitare
http://slidepdf.com/reader/full/transformari-unitare 25/30
25
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
49
Filtrare cu Laplacian
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
50
Alte transformari
• Transformata cosinus
• Transformata sinus
7/21/2019 Transformari unitare
http://slidepdf.com/reader/full/transformari-unitare 26/30
26
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
51
Transformata cosinus
• Matricea transformatei cosinus NxN C={c(k,n)}, numita si
“tranformata cosinus discreta” (DCT) e definita astfel
• C(k,n)=
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
+
N
k n
N
N
2
)12(cos
2
,1
π
0=k
1..1 −= N k
1..0 −= N n
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
52
• Transformata DCT unidimensionala a unei
secvente se obtine ca:
∑−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +=
1
0 2
)12(cos)()()(
N
n N
k nnuk k v
π α
⎩⎨⎧
−=
==
1..12
011)(
N k
k
N k α
1..0 −= N k
∑−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +=
1
0 2
)12(cos)()()(
N
k N
k nnvk nu
π α 1..0 −= N n
7/21/2019 Transformari unitare
http://slidepdf.com/reader/full/transformari-unitare 27/30
27
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
53
Proprietatile transf cosEste reala si ortogonala
Nu este partea reala a DFT-ului unitar
T C C C C =⇒= −1*
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
54
Se poate obtine prin transt Fourier dintr-o secventa
rearanjata sau
dintr-o secventa dublata si simetrizata
⎩⎨⎧
≤≤−
=−−
nn N N nu
N nn N uu
2)(
..0)1(~2
)12
..(0),12()1(~
)2(~
1
1
−=+=−−
=
N nnun N u
nuu
)]~()2
exp()([Re)( 1uu Fourier
N
k jk al COS π α −=
1...0),2
exp()~()( 2 −=−= N k N
k Fourier COS π uu
)1(),....,3(),1()2(),...,4(),2(),0(:~1 u N u N u N uuuuu −−−
)1()2(),...,1(),0()1(),....,2(),1(:~2 −−−− N u N uuuu N u N uu
7/21/2019 Transformari unitare
http://slidepdf.com/reader/full/transformari-unitare 28/30
28
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
55
Este o transformare rapida-folosind transformata
Fourier.Compacteaza foarte bine energia pt date foarte
corelate(decoreleaza); vectorii bazei cosinus
sunt vectori proprii pentru orice matrice
simetrica tridiagonala.
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−−
−−
=
ρ ρ
ρ ρ ρ
ρ ρ
100
01
001
Q k k k cQc λ =
k c
este coloana k a matricii transformarii cosinus.
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
56
Transformata sinus
• Matricea transformatei sinus NxN S={S(k,n)}, numita si
“tranformata sinus discreta” (DST) e definita astfel
• S(k,n)=
1
)1)(1(sin
1
2
+
++
+ N
nk
N
π 1..0, −= N nk
7/21/2019 Transformari unitare
http://slidepdf.com/reader/full/transformari-unitare 29/30
29
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
57
• Perechea de transformate sinus pt o secventa unidimensionala este
definita ca:
• V(k)=
• U(n)=
1
)1)(1(sin)(
1
2 1
0 +
++
+ ∑
−
= N
nk nu
N
N
n
π
1
)1)(1(sin)(1
2 1
0 +
++
+ ∑
−
= N
nk nv N
N
k
π
10 −≤≤ N k
10 −≤≤ N n
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
58
Proprietatile transf sinNu este partea imaginara a DFT-ului unitar
Se poate obtine prin transt Fourier dintr-o extensie
antisimetrica a secventei initiale
7/21/2019 Transformari unitare
http://slidepdf.com/reader/full/transformari-unitare 30/30
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
59
)()2(~..1),()(~
0)1(~)0(~
nun N u
N nn N unu
N uu
=++
=−−=
=+=
0,-u(N-1),-u (N-2)….-u (1),-u (0),0, u(0), u(1),…. u(N-1)
)]~()1(Im[)( uu Fourier jSIN k −−=
Marta ZAMFIR
Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
60
Este o transformare rapida-folosind transformata
Fourier.
Vectorii bazei sinus sunt vect proprii pentru orice
matrice simetrica tridiagonala.
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−
=
100
01
001
ρ
ρ ρ
ρ
Qk k k sQs
=
k s
este col k a matricii transformarii cosinus.