Transformada Z Transparenciasdsp1.materia.unsl.edu.ar/Transformada Z Transparencias.pdf · 2013. 4....
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Transformada Z
Transformada Z
{ }∞−
−∞= = ∫1 ( ) ( ) ( ) tsTL X s x t X s e ds
Transformada Antitransformada
{ }∞ −
−∞= = ∫( ) ( ) ( ) stTL x t X s x t e dt
Transformada de Laplace
Transformada Z
Transformada Antitransformada
[ ]{ } [ ]+∞
−
=−∞
= = ∑( ) n
n
TZ x n X z x n z { } [ ]π
− −= = ∫�1 11( ) ( )
2
n
CTZ X z x n X z z dz
j
( ) [ ]∞
−
=−∞
∈ ⇔ = < ∞∑ n
n
z ROC X z x n z
Región de convergencia
Transformada Z
Función polinómica
( ) ( ) ( )
10 11
0 1
1
1
0
...( )
( ) .
...
..
MMM Mk M
k MM
MM
k
k
k
MM
b z b z bH z b z b b z
H z z z c z c
z
z c
b z
z−
−
−
=
− − −
=
+ + += = + + +
− −
=
= − =
∑
∏
Transformada ZPolos y ceros
Función polinómica racional
Transformada ZPolos y ceros
( ) ( )( ) ( )
( )
( )
( ) ( )( )
10 10
1
10 1
10 1
10 0 1
0 1 0
1
1 110
10 1
0 1
0
...( )
.
...
... ..
...( )
...
1 ... 1( )
1 ..
Mk
k MMk
N NNk
k
N MM M
M NN N
M
kM
N M N M k
N
M
k
Nk
k
z b z b z b
z a z a z a
z cz c z cb b
H z z z
b zb b z b z
H
a z p z p az p
c z c zbH z
a p z
za a z a z
a z
−−
−
−
− − =
=
−=
− −
=
−
−
−
−
+ + +=
+ + +
−− −
=
+ + += =
+ +
=− −
−
− −=
−
+
∏
∏
∑
∑
( )( )
( )
1
0 1
10 1
1
1
. 11
M
k
k
NN
k
k
c zb
ap zp z
−
=−
−
=
−=
− −
∏
∏
Función polinómica racional
Transformada ZPolos y ceros
( ) ( )( ) ( )
( )
( )
( ) ( )( )
1 10 1 0 10
1 10 1 0 1
10 0 1
0 1 0
1
1 110
10 1
0
... ...( )
... ..
...( )
...
1 ... 1(
.
)1 ..
M
kM
N M N M k
NN
Mk
k M N MM M Mk
N N M NN
k
k
M
N Nkk
k
z cz c z cb
b zb b z b z z b z b z b
H za a z a z z a z
bH z z z
a z p
a z a
z p az p
c z c zbz
a p z
a
H
z
− − =
−− −
−=− −
−
=
− −
−
−
=
+ + + + + += = =
+ + + + + +
−− −
= =− −
−
− −=
−
∏
∏
∑
∑
( )( )
( )
1
0 1
10 1
1
1
. 11
M
k
k
NN
k
k
c zb
ap zp z
−
=−
−
=
−=
− −
∏
∏
Función polinómica racional
Transformada ZPolos y ceros
( ) ( )( ) ( )
( )
( )
( ) ( )( )
1 10 1 0 10
1 10 1 0 1
1 110
0
10 0 1
0 1 0
1
10 1
... ...( )
... ...
.
1 ... 1( )
..( )
.
1 .
..
.
Mk
k M N MM M Mk
N N M NN N Nk
k
k
M
kM
N M N M k
NN
k
k
M
b zb b z b z z b z b z b
H za a z a z z a z a z a
a z
z cz c z cb b
H z z za z p z p a
z
c z c zH z
a p
p
b
z
−− −
−=− −
−−
=
−
− −
−
−
=
=
+ + + + + += = =
+ + + + + +
− −=
−
−− −
= =− −
−
∑
∑
∏
∏
( )( )
( )
1
0 1
10 1
1
1
. 11
M
k
k
NN
k
k
c zb
ap zp z
−
=−
−
=
−=
− −
∏
∏
Función polinómica racional
Transformada ZPolos y ceros
( ) ( )( ) ( )
( )
( )
( ) ( )( )
1 10 1 0 10
1 10 1 0 1
0
10 0 1
0 1 0
1
1 110
10 1
... ...( )
... ...
...( )
...
1 ... 1( )
1 ..
Mk
k M N MM M Mk
N N M NN N Nk
k
k
M
kM
N M N M k
NN
k
k
M
b zb b z b z z b z b z b
H za a z a z z a z a z a
a z
z cz c z cb b
H z z za z p z p a
z p
c z c zbH z
a p z
−− −
−=− −
−−
=
− − =
=
− −
−
+ + + + + += = =
+ + + + + +
−− −
= =− −
−
− −=
−
∑
∑
∏
∏
( )( )
( )
1
0 1
10 1
1
1
. 11
M
k
k
NN
k
k
c zb
ap zp z
−
=−
−
=
−=
− −
∏
∏
( )
( )→
→
= ∞
=
lim
lim 0
k
k
z p
z z
H z
H z
Transformada ZPolos y ceros
Función racional
Número de polos = número de ceros
Polos y ceros triviales: Ubicados en z=0 ó z=∞
Número de ceros no triviales: M
Número de polos no triviales: N
Transformada ZPolos y ceros
[ ]δ n
[ ]u n−− 1
1
1 z
>1z
[ ]na u n −− 1
1
1 az
>z a
[ ] [ ]ωcos n u nω
ω
−
− −
−− +
1
1 2
1 cos
1 2 cos
z
z z
>1z
[ ] [ ]ωsen n u nωω
−
− −− +
1
1 2
sen
1 2 cos
z
z z
>1z
[ ] [ ]ωcosna n u n
ωω
−
− −
−− +
1
1 2 2
1 cos
1 2 cos
az
az a z
>z a
[ ] [ ]ωna sen n u n
ωω
−
− −− +
1
1 2 2
sen
1 2 cos
az
az a z
>z a
Antitransformada Transformada ROC
1 Z
Transformada ZTabla de pares de funciones y transformadas
Propiedades
[ ] [ ]+ ↔ + = ∩1 1 2 2 1 1 2 2 1 2( ) ( ) ;TZ
c x n c x n c X z c X z ROC ROC ROC
Linealidad
Convolución
[ ] [ ]∗ ↔ = ∩1 2 1 2 1 2( ) ( ) ;TZ
x n x n X z X z ROC ROC ROC
Transformada Z
Desplazamiento Temporal
[ ] −− ↔ = ∨ ⊄ ∨ ⊄ ∞( ) ; 0TZ
kx n k z X z ROC ROC ROC
[ ] ( )−− ↔ < <1
sup inf
1 1; : ;
TZ
x n X z ROC zr r
Reflexión Temporal
Propiedades
Transformada Z
Escalado en el Dominio Z
Diferenciación en el Dominio Z
[ ] ↔ < <
inf sup; :
TZn z
a x n X ROC a r z a ra
[ ] ∂↔− = ∨ ⊄ ∨ ⊄ ∞
∂( )
; 0TZ X z
nx n z ROC ROC ROCz
Propiedades
Transformada Z
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
− ∞ ∞
= = =
= = + + + <−
= + + = − = <− −
= <−
<=
−
<−= − =
−
∑
∑
∑
∑
∑ ∑ ∑
⋮
⋮
2
0
2
1
2
2
1
0 0
11 ... 1
1
1... 1 1
1 1
11
1
1
11
1
n
n
n
n
n
n
Nn
n N
NNn n n
n n n N
a a a si aa
aa a a si a
a a
aa si a
a
si aaa
a
si aaa a a
a
Transformada ZSerie Geométrica
Antitransformada Z
Cálculo directo
Integración en contorno C en sentido antihorario
ROC ⊂ C y z=0
ROC ⊂ zi simples
C
Im {Z}
Re {Z}
Transformada Z
Antitransformada Z
Expansión en Serie de Potencias
División de polinomios en orden creciente o decreciente
Por inspección se determina la antitransformada
1 10 1 1 00
1 10 1 1 0
0
... ...( )
... ...
Mk
k M MM Mk
N N NN Nk
k
k
b zb b z b z b z b z b
H za a z a z a z a z a
a z
−− − − −
=− − − −
−
=
+ + + + + += = =
+ + + + + +
∑
∑
Transformada Z
Expansión en Series de z-k
División de polinomios en orden decreciente
<: ksi ROC p z
− − − − −
− − − −
− − −
− − −
+ + + + + + +−
+ + + + + + +
+ + + +−
+ + + + +
⋮
1 1 20 0 1 21
1 10 1 0 1
1
1
1
1
... ...
... ... ...
... ...
... ... .....
M NM N
M NM N
M NM N
M NM N
b b z b z a a z a z a z
b d z d z d z c c z
e z e z e z
e z f z f z
Antitransformada Z
Transformada Z
Expansión en Series de z-k
Por inspección se determina la antitransformada
{ }
10 1 1 2
0 1 210 1
1
0 1 0 1 2
...( ) ...
...
( ) ... ; ; ;...; ;...
MM
NN
Z
k
b b z b zH z c c z c z
a a z a z
H z c c z c c c c h n
− −− −
− −
−
↑
+ + += = + + +
+ + +
= + + ↔ =
Antitransformada Z
Transformada Z
Expansión en Series de z+k
División de polinomios en orden creciente
− − − −
− − + − − +− + − + −
− +− +
− +− +
+ + + + + +−
+ + + + + +
+ + + +−
+ + + + +
⋮
2 10 2 1 0
10
1
0
0
... ...
... ... ...
... ...
... ... .....
M NM N
M M N N M N MM M N M N M N
M N
M N
M N
M N
b z b a z a z a z a
b z d d z c z c z
e e z
f f z
<: ksi ROC z p
Antitransformada Z
Transformada Z
Expansión en Series de z+k
Por inspección se determina la antitransformada
{ }
− −− − +
− + − + −− −
− − + − + − + − − ↑
+ + += = + + + +
+ + +
= + + ↔ =
11 0 1
1 111 0
1
1 1
...( ) ... ...
...
( ) ... ...; ; ;...;0
MM N M N M
M N M N M NNN
ZN M N M
M N M N M N M N
b z b z bH z c z c z c
a z a z a
H z c z c z c c h n
Antitransformada Z
Transformada Z
Expansión en Serie de Potencias
Una función H(v) puede expresarse como serie de potencias
∞
=
=−
∑( )
0 0
0
( )( )( )
!
n n
n
H v v
n
vH v
Antitransformada Z
Transformada Z
Expansión en Serie de Potencias
Una función H(v) puede expresarse como serie de potencias
∞
=
−
− −+ − +
=
+ += +
∑( )
0 0
0
0 0 0 00 0 0
'' 2 ( )'
( )
( )(
( )( )
) ( )( )( ) ( )( ) ... ...
2 !
!
n n
n
k k
H v vH v
n
v v v vv v v
v
H v H vH H v
k
Antitransformada Z
Transformada Z
Expansión en Serie de Potencias
Una función H(v) puede expresarse como serie de potencias
Para eso se calculan las derivadas y se evaluan en v=v0
⇒
⇒
⇒
⋮
0
' '
'' '
0
'
0
( )
( ) ( )
( )
)
)
(
(
H
H H
H H
H v v
v v
v v
∞
=
−
− −+ − +
=
+ += +
∑( )
0 0
0
0 0 0 00 0 0
'' 2 ( )'
( )
( )(
( )( )
) ( )( )( ) ( )( ) ... ...
2 !
!
n n
n
k k
H v vH v
n
v v v vv v v
v
H v H vH H v
k
Antitransformada Z
Transformada Z
Serie de Potencias
Si v0=0
Si v=z-1
∞
=
+ + + += = +∑( '' 2 ))
0
('(0) 0 0
( ) 0 0( ) ( ) ( )
( ) ( ) .. ...2 !!
.kn kn
n
v H v H vH H
k
HH v v
n
( )( ) '' 2' 1
0
( ) '' ( )'
0
(0) (0) (0)( ) (0) (0) ... ...
! 2 !
(0) (0) (0)( ) (0); (0); ;...; ;...
! 2 !
kn n k
n
n n kZ
n
H z H z H zH z H H z
n n
H z H HH z H H h n
n k
− − −∞−
=
−∞
↑=
= = + + + + +
= ↔ =
∑
∑
Antitransformada Z
Transformada Z
Expansión en fracciones simples
Grados de los polinomios: °N(z)=M y °D(z)=N
Si M≥N → división previa para reducir el grado
Si M<N y no ∃ zi de orden s≠1 → cálculo directo
Si M<N y ∃ zi de orden s≠1 → cálculo separado
−− −
=− −
−
=
+ + += =
+ + +
∑
∑
10 10
10 1
0
...( )
...
Mk
k MMk
N NNk
k
k
b zb b z b z
H za a z a z
a z
Antitransformada Z
Transformada Z
Expansión en fracciones simples
Si M≥N → división previa para reducir el grado
donde °R(z)<°D(z)
10 1 1
0 110 1
... ( ) ( )( ) ...
... ( ) ( )
MM M N
M NNN
b b z b z N z R zH z c c z c z
a a z a z D z D z
− −− − −
−− −
+ + += = = + + + +
+ + +
Antitransformada Z
Transformada Z
Expansión en fracciones simples
Si M<N y no ∃ zi de orden s≠1 → cálculo directo
[ ][ ]
11
1
( )1
:
1 1 :
Mk
kk
nTZ k k kk
nk k k k
AH z
p z
A p u n si ROC p zA
p z A p u n si ROC z p
−=
−
=−
<↔
− − − − <
∑
Antitransformada Z
Transformada Z
Expansión en fracciones simples
Polos complejos conjugados ↔ residuos complejos conjugados
10 1
1 1 1 20 1 21 1
k k
k k
A A b b z
p z p z a a z a z
∗
∗
−
− − − −
++ =
− − + +
Antitransformada Z
Transformada Z
Transformada Z unilateral
Transformada
[ ]{ } [ ]0
( ) n
n
TZ x n X z x n z+∞
+ + −
=
= =∑
<:ROC a z
Región de convergencia
Transformada Z
Teorema del Valor Final
Propiedades
Retardo temporal
Avance Temporal
[ ] [ ]+
− +
=
− ↔ + − >
∑
1
( ) ; 0kTZ
k n
n
x n k z X z x n z k
[ ] [ ]+ −
+ −
=
+ ↔ − >
∑
1
0
( ) ; 0kTZ
k n
n
x n k z X z x n z k
( ) + →∞ →
= −1
1 ( )n zlím x n lím z X z
Transformada Z
Transferencia H(z)
Transformada ZConvolución
h[n]
n
entrada salidaℵ{.}
x[n]
n
y[n]
n
X(z)
Im{z}
Re{z}
Y(z)
Im{z}
Re{z}
H(z)
Re{z}
Im{z}
( )
*
( ) ( ) ( )
( )
( )
TZ TZ
y n h n x n
Y z H z X z
Y zH z
X z
=
=
⇓
=
վ վ
Convolución
Transformada Z
0 0
N M
k k
k k
a y n k b x n k
= =
− = −∑ ∑
Ecuación en diferencias
Transformada Z
0 0
0 0
( ) ( )
N M
k k
k k
TZ TZ
N Mk k
k k
k k
a y n k b x n k
a Y z z b X z z
= =
− −
= =
− = −
=
∑ ∑
∑ ∑
վ վ
Ecuación en diferencias
Transformada Z
0 0
0 0
0 0
( ) ( )
( ) ( )
N M
k k
k k
TZ TZ
N Mk k
k k
k k
N Mk k
k k
k k
a y n k b x n k
a Y z z b X z z
Y z a z X z b z
= =
− −
= =
− −
= =
− = −
=
=
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
վ վ
Ecuación en diferencias
Transformada Z
( )
0 0
0 0
0 0
0
0
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
N M
k k
k k
TZ TZ
N Mk k
k k
k k
N Mk k
k k
k k
Mk
k
k
Nk
k
k
a y n k b x n k
a Y z z b X z z
Y z a z X z b z
b zY z
H zX z
a z
= =
− −
= =
− −
= =
−
=
−
=
− = −
=
=
⇓
= =
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑
∑
վ վ
Ecuación en diferencias
Transformada Z
Ecuación en diferencias
Transformada Z
Transformada ZAnálisis de sistemas
y n x n h n = ∗
0 0
N M
k k
k k
a y n k b x n k
= =
− = −∑ ∑
( ) 0
0
( )
( )
Mk
k
k
Nk
k
k
b zY z
H zX z
a z
−
=
−
=
= =∑
∑
FIR IIR
M ceros y 1 polo de orden M
N polos y 1 cero de orden N
M ceros y N polos no triviales
∑∑=
−
=
− ==M
k
kMk
M
M
k
kk zb
zzbzH
00
1)(
∑∑=
−
=
−
==N
k
kNk
N
N
k
kk za
zb
za
bzH
0
0
0
0)(
∑
∑
=
−
=
−
=N
k
kk
M
k
kk
za
zb
zH
0
0)(
MA (Promediador Móvil)
AR (Autoregresivo)
ARMA (Promediador Móvil Autoregresivo)
Análisis de sistemas LIT
Transformada Z
Lateralidad Longitud infinita Longitud finita
Derecha
Bilateral
Izquierda
…
…
…
Transformada ZROC
…
estable
causal
-1 1-1 1-1 1
inestable
anticausal no causal
-1 1-1 1-1 1 -1 1
Análisis de sistemas LIT
Transformada Z
< ⇒:1 ( )ROC z H z es SE
< ⇒: ( )ROC a z H z es SC
( )
( )ω
ω ==
=
−⊂ = ⇒ = =
−
∏
∏1
1
1 ( ) ( ) j
M
s
j s
Nz e
k
k
z c
ROC z H e H z
z p
Estabilidad
Causalidad
Respuesta espectral
Análisis de sistemas LIT
Transformada Z
Salida
Análisis de sistemas LIT
Transferencia
Entrada
( ) ( )( )
0;1;...;k
B zH z con polos p k N
A z= =
( )( ) 0;1;...;
( )k k
Q zX z con polos q p k L
N z= ≠ =
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
Q z B zY z X z H z
N z A z= =
Transformada Z
Análisis de sistemas LIT
Salida
[ ] [ ] [ ]
1 11 1
1 1
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) 1 1
N Lk k
k kk k
N Ln n
k k k k
k k
A QB z Q zY z X z H z
A z N z p z q z
y n A p u n Q q u n
− −= =
= =
= = = +− −
= +
∑ ∑
∑ ∑
Transformada Z
Respuesta Respuesta
Natural forzada
Salida
[ ]
[ ]
0 1
0 1
0
1
1
11 0
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( )( )
( ) ( )( ) ( )
1
kn
M Nk k
k k
k k
M Nk k
k k
k k
M Nk k
k k
k k
Nk
k
n
k
n
kn
Y z b X z z a Y z z
Y z b X z z a Y z
b X z z a zN zB z
Y z
z y n z
X zA z A z
a
y n z
z
− −
= =
+ + − −
= =
− −
+ = =
−
+
=
=
=
= −
= −
−=
+
=+
−
−
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑∑
∑
∑
Transformada ZAnálisis de sistemas LIT
Salida
[ ] ( ) [ ] [ ]
1 11 1
1 1
( )1 1
N Lk k k
k kk k
N Ln n
k k k k k
k k
A D QY z
p z q z
y n A D p u n Q q u n
+− −
= =
= =
+= +
− −
= + +
∑ ∑
∑ ∑
Transformada Z
Respuesta Respuesta
natural forzada
(ZS + ZI)
Análisis de sistemas LIT
( )
( )=
=
−=
−
∏
∏1
1
( )
M
s
s
N
k
k
z c
H z
z p
ω
ω
ω
=
=
−=
−
∏
∏1
1
( )
Mj
s
j s
Nj
k
k
e c
H e
e p
( ) ( )ω ω ω
= =
∠ = ∠ − − ∠ −∑ ∑1 1
( )M N
j j js k
s k
H e e c e p
MóduloEs la relación entre los productos
de las distancias del círculo unitario ejω
a cada cero y a cada polo
FaseEs la resultante de las fases de los
vectores que van de los ceros y polos
al número complejo ejω
Análisis de sistemas LIT
Transformada Z
zt
Computa y grafica la Transformada Z en dB de una transferencia
Sintaxis
[Hz,Hw,z,w,c,p]=zt(b,a,f,graficar)
Transformada Z
zplane
Grafica el mapa de polos y ceros en el plano Z
Sintaxis
zplane[z,p]
Transformada Z
impz
Computa la respuesta al impulso de un sistema discreto
Sintaxis
[h,t] = impz(b,a,n,fs)
impz(b,a,n,fs)
Transformada Z