1

Puerto Ordaz 29 de Noviembre de 2011

MATEMATICA IV TRANSFORMADA DE LAPLACE

DEFINICIONES BÁSICAS

Definición 1 Se dice que una función de valores reales g es continua por

tramos en un intervalo [𝑎, 𝑏] si se satisfacen las siguientes condiciones:

i.) g está definida y es continua en todos salvo un número finito de

puntos de [𝑎, 𝑏] y

Los límites

𝑔(𝑥0+) = lim

ℎ→0+𝑔(𝑥0 + ℎ

𝑔(𝑥0−) = lim

ℎ→0+𝑔(𝑥0 − ℎ)

Existen en cada punto 𝑥0 en [𝑎, 𝑏].

Observaciones:

1. La anotación ℎ → 0+ significa que ℎ tiende a cero, a través de valores

positivos.

2. Los límites en (1) se llaman respectivamente los límites por la derecha y por la

izquierda de 𝑔 en 𝑥0.

3. Si 𝑥0 es un punto de continuidad de 𝑔 , cada uno de estos límites es igual al

valor de 𝑔 en 𝑥0, entonces tenemos:

Universidad Nacional Experimental De Guayana

Vicerrectorado Académico

Proyecto de carrera: Ingeniería Industrial

Lic. en Matemática

Profesor: José R. Meneses

2

𝑔(𝑥0+) = 𝑔(𝑥0

−) = 𝑔(𝑥0)}

4. El valor de la función, en dichos puntos, experimenta saltos finitos como se

muestran en la Figura N° 1.

𝑔

𝑔(𝑥0+)

𝑔(𝑥0+) − 𝑔(𝑥0

−)

𝑔(𝑥0−)

𝑥0

Figura N° 1

5. El salto de la función 𝑔 en el punto 𝑥0, se define como

𝑔(𝑥0+) − 𝑔(𝑥0

−) Ejemplo

1. Veamos que la siguiente función es continua por tramos en intervalo [0,2]

𝑔(𝑥) = { 𝑥2 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 < 1

2 − 2𝑥 𝑠𝑖 1 < 𝑥 ≤ 2

La gráfica de la función 𝑔 es :

x

.

10,)( 2 xxxgg

..

..

..

22

11

22 11

3

Figura N° 2

Se concluye que g es una función continua por tramos en el intervalo [0,2], por

cuanto presenta una única discontinuidad, la ocurre en 𝑥0 = 1. En efecto:

𝑔(1+) = limℎ→0+

𝑔(1 + ℎ) = limℎ→0+

[2 − 2(1 + ℎ)]

= limℎ→0+

(2 − 2 − 2ℎ) = limℎ→0+

(−2ℎ) = −2.0 = 0 (1)

𝑔(1−) = limℎ→0+

𝑔(1 − ℎ) = limℎ→0+

(1 − ℎ)2 = (1 − 0)2 = 1 (2)

De (1) y (2) se tiene 𝑔(1+) − 𝑔(1−) = 0 − 1 = −1

y la función 𝑔 tiene una discontinuidad de salto de magnitud de –1 en 𝑥0 = 1 ∈

[0,2].

2. La función 𝑔(𝑥) =1

𝑥−1 no es continua por tramos en ningún intervalo que

contenga 𝑥0 = 1, debido a su comportamiento cuando 𝑥0 → 1+

𝑔(1+) = limℎ→0+

𝑔 (1 + ℎ) = limℎ→0+

[1

1 + ℎ − 1] = lim

ℎ→0+

1

ℎ= ∞

Un hecho familiar del cálculo integral es que si la función 𝑓 es continua por tramos

en intervalo [𝑎, 𝑏] , con discontinuidades 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … 𝑥𝑘 y posiblemente en

a y b, entonces la integral

21,22)( xxxg

4

∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

existe se define y evalúa como

∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = limℎ→0+

[ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 +

𝑥1−ℎ

𝑎+ℎ

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 +

𝑥2−ℎ

𝑥1+ℎ

…+ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏−ℎ

𝑥𝑘+ℎ

]

𝑏

𝑎

Este límite siempre existe, véase la Figura N° 3.

Figura N° 3

Ejemplo Hallar el valor numérico de

∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥

2

0

, 𝑐𝑜𝑛 𝑓(𝑥) = 𝑥 + [𝑥]

Donde [𝑥] denota la parte entera de 𝑥, es decir, [𝑥] = 𝑛 ⟺ 𝑛 ≤ 𝑥 < 𝑛 + 1

Solución

Por la definición de la función parte entera 𝑥, 𝑓(𝑥) 𝑒𝑛 [0,2] está dada por

g

x a 1X 2X 3X b

..

.. .. ..

5

𝑓(𝑥) = 𝑥 + [𝑥] = { 𝑥 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 < 1

𝑥 + 1 𝑠𝑖 1 ≤ 𝑥 < 2

La gráfica de la función f es dada en la Figura N° 4

Figura N ° 4

∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥

2

0

= limℎ→0+

[ ∫ 𝑥𝑑𝑥

1−ℎ

0+ℎ

+ ∫ (𝑥 + 1)

2−ℎ

1+ℎ

]

= limℎ→0+

[ 1

2{𝑥2} ⌊

1 − ℎ

0 + ℎ +

1

2 {(𝑥 + 1)2} |

2 − ℎ

1 + ℎ ]

= limℎ→0+

[1

2(1 − ℎ)2 −

1

2ℎ2 +

1

2(2 − ℎ + 1)2 −

1

2(1 + ℎ + 1)2] =

1

2+9

2− 2

= 3

Así el valor numérico de la integral es

∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 3

2

0

g

x

..

..

.. 11 22

11

22

33

6

“Definición 2 Se dice que la función 𝑓 es de orden exponencial cuando 𝑡 → ∞

si existen constantes no negativas 𝑀, 𝑐 𝑦 𝑇, tales que

|𝑓(𝑡)| ≤ 𝑒𝑐𝑡 , para 𝑡 ≥ 𝑇

Esta definición asegura que cuando 𝑡 → ∞, entonces 𝑓 crece más lentamente

que un múltiplo de alguna función exponencial con exponente lineal.

Ejemplos

1.- La función 𝑓(𝑡) = sin 𝑡, es de orden exponencial, ya que

|sin 𝑡| ≤ 1 ≤ 𝑒𝑡, para 𝑡 ≥ 0

3. La 𝑓(𝑡) = 𝑒−𝑡

2⁄ es de orden exponencial puesto que 𝑒−𝑡

2⁄ ≤ 1, cuando

𝑡 → ∞ o equivalentemente 𝑒𝑡2⁄

𝑒𝑡≤ 1 de donde se obtiene 𝑒

𝑡2⁄ ≤ 𝑒𝑡

4. Supóngase que la función 𝑓(𝑡) = 𝑒𝑡2

es de orden exponencial, entonces

|𝑒𝑡2| = 𝑒𝑡

2≤ 𝑀𝑒𝑐𝑡 , para 𝑡 ≥ 𝑇, o equivalentemente

𝑒𝑡2

𝑒 𝑐 𝑡≤ 𝑀, aplicando

límite cuando 𝑡 → ∞, obtenemos lim𝑡→∞

𝑒𝑡2

𝑒𝑐𝑡= lim𝑡→∞

𝑒𝑡2−𝑐𝑡 = ∞ ≤ 𝑀 , lo cual

contradice el hecho de que M es un número real, por lo tanto 𝑓 no es de orden

exponencial.

TRANSFORMADA DE LAPLACE

Definición 3: Sea 𝑓(𝑡) una función definida para 𝑡 ≥ 0, entonces la integral

7

∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 = lim𝑏→∞

∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡𝑏

0

∞

0

Se llama Transformada de Laplace de 𝑓, siempre que el límite exista”. La

Transformada de Laplace de 𝑓 se denota ℓ { 𝑓(𝑡)}, y puesto que el resultado

depende de 𝑠 escribimos ℓ { 𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠).

Ejemplo

1.- Use la definición (3) para encontrar ℓ{𝑒𝑡+7}

Solución

De acuerdo con la definición (3) se tiene

ℓ{𝑒𝑡+7} = ∫ 𝑒−𝑠 𝑡𝑒𝑡+7𝑑𝑡

∞

0

= lim𝑏→∞

∫𝑒−𝑠 𝑡𝑒𝑡+7𝑑𝑡

𝑏

0

= lim𝑏→∞

∫𝑒7𝑒−(𝑠−1)𝑡𝑑𝑡

𝑏

0

ℓ{𝑒𝑡+7} = 𝑒7 lim𝑏→∞

[−𝑒− (𝑠−1) 𝑡

𝑠−1] |𝑏0= −𝑒7 [ lim

𝑏→∞(−

𝑒− (𝑠−1) 𝑏

𝑠−1) +

1

𝑠−1]

Obsérvese que si 𝑠 > 1, entonces 𝑒− (𝑠−1)𝑡 → 0 cuando 𝑏 → ∞, así

obtenemos ℓ{𝑒𝑡+7} =𝑒7

𝑠−1.

Ahora nos preguntamos ¿Cualquier función de valores reales admite

Transformada de Laplace?, la respuesta es no, por ejemplo la función 𝑓(𝑡) =1

𝑡2

no tiene Transformada de Laplace. En efecto por definición se tiene.

ℓ {1

𝑡2} = ∫

1

𝑡2𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡

∞

0

= ∫1

𝑡2𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 + ∫

1

𝑡2𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡

∞

1

1

0

8

Obsérvese que en el intervalo 𝑡 ∈ [0,1] 𝑒−𝑠 𝑡 ≥ 𝑒−𝑠 para 𝑠 > 0 , por lo

tanto

∫1

𝑡2𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 ≥ ∫

1

𝑡2𝑒−𝑠𝑑𝑡 = 𝑒−𝑠 ∫

1

𝑡2𝑑𝑡

1

0

= 𝑒−𝑠 lim𝑘→0

+∫1

𝑡2𝑑𝑡

1

𝑘

1

0

1

0

Donde

∫1

𝑡2𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 ≥ 𝑒−𝑠

1

0

lim𝑘→0

+[−1𝑡]1𝑘= 𝑒−𝑠 lim

𝑘→0+[−11+1𝑘]

= 𝑒−𝑠 [−1+ lim𝑘→0

+

1𝑘]= 𝑒−𝑠[−1+∞]=∞

Entonces la integral

∫1

𝑡2𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡

1

0

Diverge y, por el criterio de comparación la integral

∫1

𝑡2𝑒− 𝑠𝑡𝑑𝑡

∞

0

Diverge y así, se tiene que la función 𝑓(𝑡) =1

𝑡2 no admite Transformada de

Laplace

Teorema 1 Existencia de la Transformada de Laplace.

“Si 𝑓(𝑡) es continua por tramos y de orden exponencial en [0,∞), de manera que

|𝑓(𝑡)| ≤ 𝑀𝑒𝑐 𝑡, entonces ℓ { 𝑓(𝑡)} existe y está definida para 𝑠 > 𝑐

(Campbell, 1998, p. 229).

9

Conclusión del teorema 1

Las hipótesis del teorema 1 son condiciones suficientes, pero no necesarias para

garantizar la existencia de la Transformada de Laplace. Es decir, si una función

no cumple las hipótesis del teorema 1, su Transformada de Laplace puede o no

existir, así, por ejemplo, la función 𝑓(𝑡) = 𝑡− 1

2, no es continua por tramos para

𝑡 ≥ 0 y su Transformada de Laplace existe. En efecto, por definición tenemos

ℓ { 𝑡− 12} = ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑡−

12𝑑𝑡

∞

0

Para resolver esta integración se introduce el cambio de variable

𝑡 =𝑤2

𝑠⟹ 𝑑𝑡 =

2𝑤𝑑𝑤

𝑠, 𝑡 → ∞⟹ 𝑤 → ∞ 𝑦 𝑡 → 0 ⟹ 𝑤 → 0

concluyendo que

ℓ { 𝑡− 12} = ∫ 𝑒− 𝑠

𝑤2

𝑠 (𝑤2

𝑠)

− 12 2𝑤𝑑𝑤

𝑠

∞

0

=2

√𝑠∫ 𝑒− 𝑤

2𝑑𝑤

∞

0

(2)

Para resolver la integral de lado derecho de (2) sea

𝐼 = ∫ 𝑒− 𝑤2𝑑𝑤

∞

0

y obsérvese que,

𝐼 = ∫ 𝑒− 𝑤2𝑑𝑤

∞

0

= ∫ 𝑒− 𝑥2𝑑𝑥

∞

0

= ∫ 𝑒− 𝑦2𝑑𝑦

∞

0

Luego

𝐼2 = (∫ 𝑒− 𝑥2𝑑𝑥

∞

0

)(∫ 𝑒− 𝑦2𝑑𝑦

∞

0

) = ∫ ∫ 𝑒− 𝑥2− 𝑦2

∞

0

𝑑𝑥𝑑𝑦

∞

0

10

Introduciendo Coordenadas Polares 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃, con

0 ≤ 𝜃 ≤𝜋

2 , 0 ≤ 𝑟 < ∞ 𝑦 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2

Luego

𝐼2 = ∫∫ 𝑒−𝑟2𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃

∞

0

=

𝜋2

0

∫ [ lim𝑏→∞

∫𝑒−𝑟2𝑟𝑑𝑟

𝑏

0

]

𝜋2

0

𝑑𝜃

𝐼2 = ∫ [ lim𝑏→∞

(−1

2𝑒− 𝑟

2)]

𝜋2

0

𝑏

0𝑑𝜃 = ∫ lim

𝑏→∞(−1

2𝑒− 𝑏

2+1

2𝑒− 0

2)

𝜋2

0

𝑑𝜃

𝐼2 = ∫ [−1

2lim𝑏→∞

𝑒− 𝑏2+1

2]

𝜋2

0

𝑑𝜃

Es claro que 𝑒− 𝑏2→ 0 cuando 𝑏 → ∞, entonces

𝐼2 = ∫1

2

𝜋2

0

𝑑𝜃 =1

2(𝜋

2− 0) =

𝜋

4 ⟹ 𝐼 = √

𝜋

4=√𝜋

2

Sustituimos este resultado en (2), y obtenemos

ℓ { 𝑡−12} =

2

√𝑆

√𝜋

2= √

𝜋

𝑆

.

Es así como una función que no satisface las hipótesis del Teorema 1 , admite la

Transformada de Laplace, también por otro lado, ya hemos visto que la función

𝑓(𝑡) =1

𝑡2

tampoco satisface la hipótesis del Teorema 1, pero su Transformada

11

de Laplace no existe, el resultado garantizado es que “toda función continua por

tramos y de orden exponencial admite Transformada de Laplace.”

TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONES ELEMENTALES

Ahora se procederá al cálculo de la Transformada de Laplace de algunas

funciones elementales mediante la aplicación de la siguiente tabla

TABLA N° I

𝒇(𝒕) 𝑭(𝒔) = ℓ{𝑓(𝑡)}

1 𝑐 𝑐

𝑠, (𝑠 > 0)

2 1 1

𝑠, (𝑠 > 0)

12

3 𝑡 𝑐

𝑠2, (𝑠 > 0)

4 𝑡𝑛 𝑛1!

𝑠𝑛+1, (𝑠 > 0)

5 𝑒𝑎 𝑡 1

𝑠 − 𝑎, (𝑠 > 𝑎)

6 𝑠𝑒𝑛𝑎𝑡 𝑎

𝑠2 + 𝑎2, (𝑠 > 0)

7 𝑐𝑜𝑠𝑎𝑡 𝑠

𝑠2 + 𝑎2, (𝑠 > 0)

8 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑎𝑡 𝑎

𝑠2 − 𝑎2, (𝑠 > |𝑎|)

9 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑎𝑡 𝑠

𝑠2 − 𝑎2, (𝑠 > |𝑎|)

Ahora veremos algunas propiedades que, junto a los resultados establecidos en la

Tabla N° I, facilitan el cálculo de la Transformada de Laplace de combinaciones

de funciones elementales.

Teorema 2 Linealidad de la Transformada de Laplace.

“Si 𝑐1 y 𝑐2 y son constantes, entonces

ℓ{𝑐1𝑓1(𝑡) + 𝑐2𝑓2(𝑡)} = 𝑐1ℓ{𝑓1(𝑡)} + 𝑐2ℓ{𝑓2(𝑡)}

Para toda 𝑠 tal que, las Transformada de Laplace de las funciones 𝑓1 𝑦 𝑓2

existan ambas a la vez”.

Teorema 3 Generalización de la Linealidad de la Transformada de Laplace.

Si 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3, … . 𝑐𝑛 son constantes, entonces

13

ℓ{𝑐1𝑓1(𝑡) + 𝑐2𝑓2(𝑡) + 𝑐3𝑓3(𝑡) + ⋯+ 𝑐𝑛𝑓𝑛(𝑡)}

= 𝑐1ℓ{𝑓1(𝑡)} + 𝑐2ℓ{𝑓2(𝑡)} + 𝑐3ℓ{𝑓3(𝑡)} + ⋯

+ 𝑐𝑛ℓ{𝑓𝑛(𝑡)}

Para toda 𝑠, tal que la Transformada de Laplace de las funciones

𝑓1, 𝑓2, 𝑓3, , … , 𝑓𝑛 , existen todas a la vez.

Ejemplos Use la propiedad de linealidad de la Transformada de Laplace para

calcular:

1.− ℓ { 3𝑐𝑜𝑠ℎ (1

2𝑡) − 2𝑒−2𝑡 + 3}

Solución

ℓ { 3𝑐𝑜𝑠ℎ (1

2𝑡) − 2𝑒−2𝑡 + 3} = 3ℓ {𝑐𝑜𝑠ℎ (

1

2𝑡)} − 2ℓ{𝑒−2𝑡} + 3ℓ{1}

Reemplazamos cada término por su correspondiente Transformada expresada en

la Tabla N° I obteniéndose:

14

ℓ { 3𝑐𝑜𝑠ℎ (1

2𝑡) − 2𝑒−2𝑡 + 3} = 3

𝑠

𝑠2 − (12)2 − 2

1

𝑠 − (−2)+ 3

1

𝑠

=3𝑠

𝑠2 −14

−2

𝑠 + 2+3

𝑠=

12𝑠

4𝑠2 − 1−

2

𝑠 + 2+3

𝑠

=12𝑠(𝑠 + 2)𝑠 − 2𝑠(4𝑠2 − 1) + 3(4𝑠2 − 1)(𝑠 + 2)

(4𝑠2 − 1)(𝑠 + 2)𝑠

=12𝑠3 + 24𝑠2 − 8𝑠3 + 2𝑠 + 12𝑠3 + 24𝑠2 − 3𝑠 − 6

(4𝑠2 − 1)(𝑠 + 2)𝑠

=16𝑠3 + 48𝑠2 − 𝑠 − 6

(4𝑠2 − 1)(𝑠 + 2)𝑠

2.− ℓ{𝑠𝑒𝑛3𝑡}

Solución

ℓ{𝑠𝑒𝑛3𝑡} = ℓ{𝑠𝑒𝑛𝑡. 𝑠𝑒𝑛2𝑡} = ℓ {𝑠𝑒𝑛𝑡.1

2(1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑡)}

=1

2ℓ{𝑠𝑒𝑛𝑡} −

1

2ℓ{𝑠𝑒𝑛𝑡. 𝑐𝑜𝑠2𝑡}

Donde

𝑠𝑒𝑛𝑡. 𝑐𝑜𝑠2𝑡 =1

2[𝑠𝑒𝑛(𝑡 + 2𝑡) + 𝑠𝑒𝑛(𝑡 − 2𝑡)] =

1

2[𝑠𝑒𝑛3𝑡 − 𝑠𝑒𝑛𝑡]

Luego

15

ℓ{𝑠𝑒𝑛3𝑡} =1

2ℓ{𝑠𝑒𝑛𝑡} −

1

2ℓ {1

2[𝑠𝑒𝑛3𝑡 − 𝑠𝑒𝑛𝑡]}

=1

2ℓ{𝑠𝑒𝑛𝑡} −

1

4ℓ{𝑠𝑒𝑛3𝑡} +

1

4ℓ{𝑠𝑒𝑛𝑡}

=3

4ℓ{𝑠𝑒𝑛𝑡} −

1

4ℓ{𝑠𝑒𝑛3𝑡} =

3

4

1

𝑠2 + 12−1

4

3

𝑠2 + 32

=3

4[1

𝑠2 + 1−

1

𝑠2 + 9] =

3

4[𝑠2 + 9 − 𝑠2 − 1

(𝑠2 + 1)(𝑠2 + 9)]

=3

4[

8

(𝑠2 + 1)(𝑠2 + 9)] =

6

(𝑠2 + 1)(𝑠2 + 9)

TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

Ya hemos visto cómo se calcula la Transformada de Laplace una función 𝑓(𝑡).

Ahora estamos interesados en aprender el proceso inverso; es decir, dada la

función F(s) queremos encontrar la función )(tf , que corresponde a esta

Transformada.

Definición 4 Si 𝐹(𝑠) = ℓ{𝑓(𝑡)}, entonces )(tf se llama la Transformada

Inversa de Laplace de 𝐹(𝑠) y la denotaremos por 𝑓(𝑡) = ℓ−1{𝐹(𝑠)}

Ejemplos

De la Tabla I, sabemos que:

1.− ℓ{𝑠𝑒𝑛𝑎𝑡} =𝑎

𝑠2 + 𝑎2 ⟹ ℓ−1 {

𝑎

𝑠2 + 𝑎2 } = 𝑠𝑒𝑛𝑎𝑡

16

2.− ℓ{𝑡2} =2

𝑠3 ⟹ ℓ−1 {

2

𝑠3} = 𝑡2

3.− ℓ{𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑡} =𝑠

𝑠2 − 22=

𝑠

𝑠2 − 4 ⟹ ℓ−1 {

𝑠

𝑠2 − 4 } = 𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑡

4.− ℓ{𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑎𝑡)} =𝑎

𝑠2 − 𝑎2 ⟹ ℓ−1 {

𝑎

𝑠2 − 𝑎2 } = 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑎𝑡)

Al igual que la Transformada de Laplace, la Transformada Inversa también

satisface la propiedad de linealidad.

Teorema 4 Linealidad de la Transformada Inversa de Laplace.

Si 𝑐1 y 𝑐2 son constantes, entonces

ℓ −1{ 𝑐1𝐹1(𝑠) + 𝑐2𝐹1(𝑠)} = 𝑐1ℓ −1{𝐹1(𝑠)} + 𝐶2ℓ

−1{𝐹2(𝑠)}, para

toda 𝑡, tal que 𝐹1(𝑠) y 𝐹2(𝑠) son las Transformadas de ciertas funciones

𝑓1(𝑡) y 𝑓2(𝑡).

Teorema 5 Generalización de la Linealidad de la Transformada Inversa de

Laplace.

Si 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3, … , 𝑐𝑛 son constantes, entonces

ℓ −1{ 𝑐1𝐹1(𝑠) + 𝑐2𝐹1(𝑠) + 𝑐3𝐹3(𝑠)+,… , 𝑐𝑛𝐹𝑛(𝑠)}

= 𝑐1ℓ −1{𝐹1(𝑠)} + 𝑐2ℓ

−1{𝐹2(𝑠)} + 𝑐3ℓ −1{𝐹3(𝑠)} + ⋯

+ 𝑐𝑛ℓ −1{𝐹𝑛(𝑠)}

Para toda 𝑡 , tal que 𝐹1(𝑠), 𝐹2(𝑠),𝐹3(𝑠), … , 𝐹𝑛(𝑠) son las Transformadas de

ciertas funciones 𝑓1(𝑡), 𝑓2(𝑡),𝑓3(𝑡), … , 𝑓𝑛(𝑡).

17

Ejemplo

1. − ℓ −1 {1

𝑠3−2

𝑠+

1

𝑠 + 2}

Solución por la linealidad de la Transformada Inversa se tiene

ℓ −1 {1

𝑠3−2

𝑠+

1

𝑠 + 2} = ℓ −1 {

1

𝑠3} − 2 ℓ −1 {

1

𝑆} + ℓ −1 {

1

𝑠 + 2}

=1

2 ℓ −1 {

2!

𝑠2+1} − 2 ℓ −1 {

1

𝑆} + ℓ −1 {

1

𝑠 − (−2)}

=1

2𝑡2 − 2.1 + 𝑒−2𝑡 =

1

2𝑡2 − 2 + 𝑒−2𝑡

Observación

La Transformada Inversa de Laplace, de una función 𝐹(𝑠) es posible que no sea

única. Por ejemplo, las funciones:

𝑓 1(𝑡) = 𝑒−3𝑡, y 𝑓2(𝑡) = {

0 𝑠𝑖 𝑡 = 1𝑒−3𝑡 𝑠𝑖 𝑡 ≥ 0

Tienen la misma transformada de Laplace 1

𝑠+3. En efecto

𝑎) ℓ{𝑓 1(𝑡)} = ℓ{𝑒−3𝑡} =

1

𝑠 − (−3)=

1

𝑠 + 3

𝑏) ℓ{𝑓 2(𝑡)}, con 𝑓2(𝑡) = { 0 𝑠𝑖 𝑡 = 1𝑒−3𝑡 𝑠𝑖 𝑡 ≥ 0

Vea la gráfica de 𝑓2(𝑡) en la figura Nª 5

18

Figura N° 5

ℓ{𝑓 2(𝑡)} = ∫ 𝑓 2(𝑡)

∞

0

𝑑𝑡

= limℎ→0+

[ ∫ 𝑒−3𝑡𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 + ∫ 𝑜. 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡

1+ℎ

1−ℎ

1−ℎ

0+ℎ

+ ∫ 𝑒−3𝑡𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡

∞

1+ℎ

]

= limℎ→0+

[ ∫ 𝑒− (𝑠+3)𝑡𝑑𝑡 +

1−ℎ

0+ℎ

lim𝑏→∞

∫ 𝑒− (𝑠+3)𝑡𝑑𝑡

𝑏

1+ℎ

]

= limℎ→0+

[𝑒−(𝑠+3)𝑡

−(𝑠 + 3)|1 − ℎ

0 + ℎ+ lim𝑏→∞

𝑒−(𝑠+3)𝑡

−(𝑠 + 3)|𝑏

1 + ℎ]

= limℎ→0+

[𝑒− (𝑠+3)(1−ℎ)

−(𝑠 + 3)−𝑒− (𝑠+3)ℎ

−(𝑠 + 3)

+ lim𝑏→∞

(𝑒− (𝑠+3)𝑏

−(𝑠 + 3)−𝑒− (𝑠+3)(1+ℎ)

−(𝑠 + 3))]

1

t

1

19

= −𝑒− (𝑠+3)

(𝑠 + 3)+

1

(𝑠 + 3)+lim

𝑒− (𝑠+3)𝑏

−(𝑠 + 3)𝑏→∞⏟

=0,𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑠>−3

+𝑒−(𝑠+3)

(𝑠 + 3)=

1

(𝑠 + 3)

Luego se concluye que

ℓ{𝑓 2(𝑡)} =1

(𝑠 + 3)

Luego de (a) y (b) se tiene lo siguiente

ℓ{𝑓 1(𝑡)} = ℓ{𝑒−3𝑡} =

1

𝑠 + 3⟹ 𝑓1(𝑡) = ℓ

−1 {1

𝑠 + 3}

y

ℓ{𝑓 2(𝑡)} = ℓ {{ 0 𝑠𝑖 𝑡 = 0

𝑒−3𝑡 𝑠𝑖 𝑡 > 0} =

1

𝑠 + 3

⟹ 𝑓2(𝑡) = { 0 𝑠𝑖 𝑡 = 0𝑒−3𝑡 𝑠𝑖 𝑡 > 0

= ℓ −1 {1

𝑠 + 3}

Este ejemplo nos dice que la Transformada Inversa de una función no es única. El

siguiente teorema se demuestra en el Capítulo 6, de Operationational Mathematics

de Churchill (3ª ed.) (New York: Mc Graw Hill, 1972) establece las condiciones

bajo las cuales la Transformada Inversa de Laplace es única.

Teorema 5 Unicidad de la Transformada Inversa de Laplace.

Supóngase que las funciones 𝑓(𝑡) y 𝑔(𝑡) satisfacen la hipótesis del teorema 1,

de modo que sus Transformadas 𝐹(𝑠) y 𝐺(𝑠), existan. Si 𝐹(𝑠) = 𝐺(𝑠) para

toda 𝑠 > 𝑐 (para alguna c), entonces 𝑓(𝑡) = 𝑔(𝑡) siempre que 𝑓(𝑡) y 𝑔(𝑡)

sean continuas. (Edwards, 1993, p. 300).

20

Es importante destacar que si una función 𝐹(𝑠) es la Transformada de una

función 𝑓(𝑡) , entonces es necesario que la primera satisfaga ciertas condiciones.

El siguiente Corolario establece cuando una función 𝐹(𝑠) es la transformada de

Laplace de una función 𝑓(𝑡) .

Corolario 1 F(s) para s relativamente grande

“Si 𝑓(𝑡) satisface la hipótesis del teorema 1, entonces

lim𝑠→∞

𝐹(𝑠) = 0

(Edwards, 1993, p. 299).

Conclusión del Corolario 1

El Corolario 1 limita a las funciones 𝐹(𝑠) que puedan ser la Transformada de

Laplace de alguna función 𝑓(𝑡). Así por ejemplo, la función

𝐹(𝑠) =𝑠2

2𝑠2 + 4

No puede ser la Transformada de Laplace de ninguna función 𝑓(𝑡) puesto que

lim𝑠→∞

𝑠2

2𝑠2 + 4=1

2≠ 0

lim

.

Un método de gran importancia en la búsqueda de Transformadas Inversas de

Laplace es el de las fracciones parciales, es decir, si se quiere hallar la

Transformada Inversa, de cualquier función racional 𝐹(𝑠)

𝐺(𝑠) donde 𝐹(𝑠) y 𝐺(𝑠)

son polinomios tal que el grado de 𝐹(𝑠) es estrictamente menor que el grado de

21

𝐺(𝑠), entonces 𝐹(𝑠)

𝐺(𝑠) puede escribirse como una suma de fracciones parciales y

así la suma de las Transformadas Inversas de cada fracción parcial representa el

valor de ℓ −1 {𝐹(𝑠)

𝐺(𝑠) }

Ejemplo Halle

ℓ −1 {𝑠

(𝑠2 + 4)(𝑠 + 2)}

Solución aplicando fracciones parciales tenemos

𝑠

(𝑠2 + 4)(𝑠 + 2)=(𝐴𝑠 + 𝐵)

𝑠2 + 4+

𝐶

𝑠 + 2=(𝐴𝑠 + 𝐵)(𝑠 + 2) + 𝐶(𝑠2 + 4)

(𝑠2 + 4)(𝑠 + 2)

s = (𝐴𝑠 + 𝐵)(𝑠 + 2) + 𝐶(𝑠2 + 4), dándole valores a 𝑠, es decir,

𝑠 = −2 ⟹ −2 = 𝐶((−2)2 + 4) = 8𝐶 ⟹ 𝐶 = −1

4

𝑠 = 0 ⟹ 0 = (𝐴. 0 + 𝐵)(0 + 2) + 𝐶(02 + 4) ⟹ 0 = 2𝐵 + 4𝐶

0 = 2𝐵 + 4 (−1

4) = 2𝐵 − 1 ⟹ 𝐵 =

1

2

𝑠 = 1 ⟹ 1 = (𝐴. 1 + 𝐵)(1 + 2) + 𝐶(12 + 4)

⟹ 1 = 3𝐴 + 3𝐵 + 5𝐶 ⟹ 1 = 3𝐴 + 3.1

2+ 5 (−

1

4)

⟹ 1 = 3𝐴 +3

2−5

4⟹ 1 = 3𝐴 +

1

4⟹ 3𝐴 = 1 −

1

4=3

4⟹ 𝐴 =

1

4

𝑠

(𝑠2 + 4)(𝑠 + 2)=

14𝑠 +

12

𝑠2 + 4−

14

𝑠 + 2

22

ℓ −1 {𝑠

(𝑠2 + 4)(𝑠 + 2)} = ℓ−1 {

14𝑠 +

12

𝑠2 + 4−

14

𝑠 + 2}

=1

4 ℓ −1 {

𝑠 + 2

𝑠2 + 4} −

1

4 ℓ −1 {

1

𝑠 + 2}

=1

4[ ℓ −1 {

𝑠

𝑠2 + 4} + 2 ℓ−1 {

1

𝑠2 + 4} − ℓ −1 {

1

𝑠 − (−2)}]

=1

4[ ℓ −1 {

𝑠

𝑠2 + 22} + ℓ −1 {

2

𝑠2 + 22}

− ℓ −1 {1

𝑠 − (−2)}] =

1

4[𝑐𝑜𝑠2𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2𝑡 − 𝑒−2𝑡]

TEOREMAS DE TRASLACIÓN Y DERIVADAS DE UNA TRANSFORMADA

Aparte del método de las fracciones parciales hay otros métodos que nos permiten

calcular la Transformada Inversa de funciones 𝐹(𝑠) tales como 𝐿𝑛 [𝑠+1

𝑠+2] , para

ello se requiere los teoremas de traslación y derivada, los cuales además facilitan

el cálculo de la Transformada Laplace del producto de dos o más funciones, tales

como 𝑡3𝑒𝑎𝑡𝑐𝑜𝑠𝑎𝑡 ya que la integral involucrada en su cálculo es

extremadamente tediosa.

Teorema 6 Traslación del eje s.

𝑆𝑖 𝐹(𝑠) = ℓ{𝑓(𝑡)} 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑠 > 𝑐 ⟹ ℓ{𝑒𝑎𝑡𝑓(𝑡)}, existe para

𝑠 > 𝑎 + 𝑐 y

ℓ { 𝑒𝑎𝑡𝑓(𝑡) } = 𝐹(𝑠 − 𝑎) ⟹ ℓ −1{ 𝐹(𝑠 − 𝑎) } = 𝑒𝑎𝑡ℓ −1{𝐹(𝑠)}

= 𝑒𝑎𝑡𝑓(𝑡)

23

Así pues, la traslación ass , de la Transformada, corresponde a la

multiplicación de la función original de 𝑡 por 𝑒𝑎𝑡 .

(Edwards, 1993, p. 313)

Ejemplos

𝐻𝑎𝑙𝑙𝑒 ℓ { 𝑒− 12 𝑡 𝑡2}

Solución

Primero calculamos ℓ { 𝑡2} y luego aplicamos el teorema de traslación del eje

𝑠, de la Tabla I, se tiene

ℓ{𝑡2} =2!

𝑠2+1=2

𝑠3⟹ ℓ { 𝑒−

12 𝑡 𝑡2} = ℓ{𝑡2} =

2

𝑠3|𝑠→𝑠 −(−

12)

=2

(𝑠 +12)3

2.−𝐻𝑎𝑙𝑙𝑒 ℓ−1 {𝑠 + 1

𝑠2 + 2𝑠 + 2}

Solución

Completando cuadrado obtenemos 𝑠2 + 2𝑠 + 2 = (𝑠 + 1)2 + 1, entonces

ℓ−1 {𝑠 + 1

𝑠2 + 2𝑠 + 2} = ℓ−1 {

𝑠 + 1

(𝑠 + 1)2 + 1} = ℓ−1 {

𝑠 − (−1)

(𝑠 − (−1))2 + 1} (1)

24

Por el teorema de traslación del eje 𝑠 (1) es equivalente a

ℓ−1 {𝑠 + 1

𝑠2 + 2𝑠 + 2} = 𝑒 − 𝑡ℓ−1 {

𝑠

𝑠2 + 1} = 𝑒 − 𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡

El teorema de traslación del eje 𝑠 y la Tabla I, facilitan el cálculo de la

Transformada de Laplace y de la Transformada Inversa de las siguientes

funciones:

1. ℓ{𝑡𝑒𝑎𝑡} =1

(𝑠 − 𝑎)2 ⟹ ℓ−1 {

1

(𝑠 − 𝑎)2} = 𝑡𝑒𝑎𝑡

2. ℓ{𝑡𝑛𝑒𝑎𝑡} =𝑛!

(𝑠 − 𝑎)𝑛+1 ⟹ ℓ−1 {

𝑛!

(𝑠 − 𝑎)𝑛+1} = 𝑡𝑛𝑒𝑎𝑡

3. ℓ{𝑒𝑎𝑡𝑠𝑒𝑛𝑏𝑡} =𝑏

(𝑠 − 𝑎)2 + 𝑏2 ⟹ ℓ−1 {

𝑏

(𝑠 − 𝑎)2 + 𝑏2} = 𝑒𝑎𝑡𝑠𝑒𝑛𝑏𝑡

4. ℓ{𝑒𝑎𝑡𝑐𝑜𝑠𝑏𝑡} =𝑠 − 𝑏

(𝑠 − 𝑎)2 + 𝑏2 ⟹ ℓ−1 {

𝑠 − 𝑏

(𝑠 − 𝑎)2 + 𝑏2} = 𝑒𝑎𝑡𝑐𝑜𝑠𝑏𝑡

5. ℓ{𝑒𝑎𝑡𝑠𝑒𝑛ℎ𝑏𝑡} =𝑏

(𝑠 − 𝑎)2 − 𝑏2 ⟹ ℓ−1 {

𝑏

(𝑠 − 𝑎)2 + 𝑏2} = 𝑒𝑎𝑡𝑠𝑒𝑛ℎ𝑏𝑡

6. ℓ{𝑒𝑎𝑡𝑐𝑜𝑠ℎ𝑏𝑡} =𝑠 − 𝑏

(𝑠 − 𝑎)2 − 𝑏2 ⟹ ℓ−1 {

𝑠 − 𝑏

(𝑠 − 𝑎)2 − 𝑏2} = 𝑒𝑎𝑡𝑐𝑜𝑠ℎ𝑏𝑡

Antes de referirnos al teorema de traslación del eje 𝑡, definiremos a una función

especial llamada función escalón unitario, ya que la misma describe en problemas

de aplicación la súbita aparición o desaparición de fuerzas y voltajes en problemas

de física e ingeniería.

Definición 4 La función 𝑢(𝑡 − 𝑎) se define como

25

𝑢(𝑡 − 𝑎) = { 0 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑡 < 𝑎1 𝑠𝑖 𝑡 ≥ 𝑎

Ver la gráfica de la función 𝑢(𝑡 − 𝑎) en la figura 6

𝑢(𝑡 − 𝑎)

𝒂

FIGURA N° 6

Esta función es continua por tramos para 0t y obviamente de orden exponencial

y, por lo tanto, su Transformada de Laplace está bien definida, en efecto

ℓ{𝑢(𝑡 − 𝑎)} = ∫0. 𝑒−𝑠𝑡𝑎

0

𝑑𝑡 + ∫ 1. 𝑒−𝑠𝑡∞

𝑎

𝑑𝑡 = lim𝑏→∞

∫𝑒−𝑠𝑡𝑏

𝑎

𝑑𝑡

= lim𝑏→∞

[−𝑒−𝑠𝑡

𝑠]𝑏

𝑎

ℓ{𝑢(𝑡 − 𝑎)} = lim𝑏→∞

[−𝑒−𝑠𝑏

𝑠+𝑒−𝑠𝑎

𝑠]= −

1

𝑠lim𝑏→∞

𝑒−𝑠𝑏⏟ =0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑠>0

+𝑒−𝑠𝑎

𝑠=𝑒−𝑠𝑎

𝑠

ℓ{𝑢(𝑡 − 𝑎)} =𝑒−𝑠𝑎

𝑠

1

𝑡

26

Una vez conocida la definición de la función de escalón unitario, procedemos a

enunciar el teorema de traslación del eje 𝑡.

Teorema 7 Traslación del eje 𝒕.

Si ℓ{𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠) existe para 𝑠 > 𝑐, entonces

ℓ{𝑢(𝑡 − 𝑎)𝑓(𝑡 − 𝑎)} = 𝑒− 𝑎𝑠 ℓ{𝑓(𝑡)} = 𝑒− 𝑎𝑠𝐹(𝑠)

⟹ ℓ−1{𝑒− 𝑎𝑠𝐹(𝑠)} = 𝑢(𝑡 − 𝑎)𝑓(𝑡 − 𝑎)

cuando 𝑠 > 𝑐 + 𝑎. (Edwards, 1993, p. 329)

Ejemplo

1.− 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑒 ℓ{𝑐𝑜𝑠2𝑡𝑢(𝑡 − 𝜋}

Solución

𝑓(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠2𝑡, usando identidades trigonométricas veamos que pasa

1 0

cos(2𝑡 − 2𝜋) = 𝑐𝑜𝑠2𝑡. 𝑐𝑜𝑠2𝜋 + 𝑠𝑒𝑛2𝑡. 𝑠𝑒𝑛2𝜋 = 𝑐𝑜𝑠2𝑡.

Así se obtiene

ℓ{𝑐𝑜𝑠2𝑡𝑢(𝑡 − 𝜋} = ℓ{𝑐𝑜𝑠2(𝑡 − 𝜋)𝑢(𝑡 − 𝜋}

= 𝑒− 𝜋𝑠ℓ{𝑐𝑜𝑠2𝑡}

ℓ{𝑐𝑜𝑠2𝑡𝑢(𝑡 − 𝜋} = 𝑒− 𝜋𝑠𝑠

𝑠2 + 22=𝑠 𝑒− 𝜋𝑠

𝑠2 + 4

El teorema 7 también es de gran utilidad a la hora de calcular Transformada

Inversa.

2.−Halle ℓ−1 {e−2s

s2(s + 1)}

27

Solución por el teorema de traslación del eje 𝑡 tenemos

ℓ−𝟏 {𝒆−𝟐𝒔

𝒔𝟐(𝒔 + 𝟏)} = ℓ−1 {

1

s2(s + 1)}t → t −2

u(t − 2)

𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑚𝑜𝑠 ℓ−1{

1

s2(s+ 1)}

Para ello aplicamos fracciones parciales

1

s2(s + 1)=A

s+B

s2+

C

s + 1=As(s + 1) + B(s + 1) + Cs2

s2(s + 1)

⟹ 1 = As(s + 1) + B(s + 1) + Cs2

s = 0 ⟹ 1 = 𝐵(0 + 1) = 𝐵 ⟹ 𝐵 = 1

𝑠 = −1 ⟹ 1 = 𝐶(−1)2 = 𝐶 ⟹ 𝐶 = 1

𝑠 = 1 ⟹ 1 = 𝐴(1 + 1) + 𝐵(1 + 1) + 𝐶(1)2

⟹ 1 = 2𝐴 + 2𝐵 + 𝐶 ⟹ 1 = 2𝐴 + 2 + 1 ⟹ 2𝐴 = 1 − 3 = −2

⟹ 𝐴 = −1

1

s2(s + 1)= −

1

s+1

s2+

1

s + 1

ℓ−𝟏 {𝒆−𝟐𝒔

𝒔𝟐(𝒔 + 𝟏)} = ℓ−1 {−

1

s+1

s2+

1

s + 1}t → t −2

u(t − 2)

= [−ℓ−1 {1

s} + ℓ−1 {

1

s2} + ℓ−1 {

1

s + 1}]t → t − 2

u(t − 2)

= [−1 + t + e− t]t → t − 2 u(t − 2)

28

ℓ−𝟏 {𝒆−𝟐𝒔

𝒔𝟐(𝒔 + 𝟏)} = [−1 + t − 2 + et−2]u(t − 2)

Teorema 8 Derivada de una transformada

Si 𝑓(𝑡) es continua por tramo para 𝑡 ≥ 0 y | 𝑓(𝑡)| ≤ 𝑀𝑒𝑐𝑡 cuando 𝑡 → ∞,

entonces ℓ{−𝑡𝑓(𝑡)} = 𝐹´(𝑠) =𝑑𝐹(𝑠)

𝑑𝑠, para 𝑠 > 𝑐 (1)

En forma equivalente, 𝑓(𝑡) = ℓ−1{𝐹(𝑠)} = −1

𝑡ℓ−1{𝐹´(𝑠)}

Repetidas aplicaciones de la formula (1) producen

ℓ{𝑡𝑛𝑓(𝑡)} = (−1)𝑛𝐹(𝑛)(𝑠), para 𝑛 = 1,2,3, ….

Ejemplo

1. 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 ℓ − 1 {Ln (s2 + 1

s2 + 4)}

Solución por el teorema 8 tenemos que

ℓ−1 {Ln (s2 + 1

s2 + 4)} = −

1

t ℓ−1 {

d

dsLn(

s2 + 1

s2 + 4)}

= −1

t ℓ−1 {

1

s2 + 1s2 + 4

d

ds(s2 + 1

s2 + 4)}

= −1

t ℓ−1 {

s2 + 4

s2 + 1. (2s(s2 + 4) − (s2 + 1)2s

(s2 + 4)2)}

29

= −1

t ℓ−1 {

s2 + 4

s2 + 1. (2s3 + 8s − 2s3 − 2s

(s2 + 4)2)}

= −1

t ℓ−1 {

s2 + 4

s2 + 1. (

6s

(s2 + 4)2)} = −

1

t ℓ−1 {

6s

(s2 + 1)(s2 + 4)}

Aplicando fracciones parciales a

6s

(s2 + 1)(s2 + 4)=As + B

S2 + 1+𝐶𝑠 + 𝐷

s2 + 4

=(As + B)(s2 + 4) + (𝐶𝑠 + 𝐷)(S2 + 1)

(s2 + 1)(s2 + 4)

⟹ 6𝑠 = (As + B)(s2 + 4) + (𝐶𝑠 + 𝐷)(S2 + 1)

6𝑠 = 𝐴𝑠3 + 4𝐴𝑠 + 𝐵𝑠2 + 4𝐵 + 𝐶𝑠3 + 𝐶𝑠 + 𝐷𝑠2 + 𝐷

= (𝐴 + 𝐶)𝑠3 + (𝐵 + 𝐷)𝑠2 + (4𝐴 + 𝐶)𝑠 + 4𝐵 + 𝐷

{

𝐴 + 𝐶 = 0𝐵 + 𝐷 = 04𝐴 + 𝐶 = 64𝐵 + 𝐷 = 0

⟹ 𝐴 = −𝐶, 𝐵 = −𝐷 ⟹ −4𝐶 + 𝐶 = 6 ⟹ −3𝐶 = 6 ⟹ 𝐶 = −2

⟹ 𝐴 = 2 y −4𝐷 + 𝐷 = 0 ⟹ −3𝐷 = 0 ⟹ 𝐷 = 0⟹ 𝐵 = 0

6s

(s2 + 1)(s2 + 4)=2s + 0

S2 + 1+−2𝑠 + 0

s2 + 4= 2(

s

S2 + 1−

𝑠

s2 + 4)

ℓ−1 {Ln (s2 + 1

s2 + 4)} = −

1

t ℓ−1 {2 (

s

S2 + 1−

𝑠

s2 + 4)}

= −2

t[ ℓ−1 {

s

S2 + 12} − ℓ−1 {

𝑠

s2 + 22}]

30

ℓ−1 {Ln (s2 + 1

s2 + 4)} = −

2

t[cost − cos2t]

Pero el teorema 8 no sólo nos facilita cálculos de transformada de funciones

multiplicadas por potencia de 𝑡, también nos facilita el cálculo de integrales

impropias de la forma

∫𝑓(𝑡)

𝑡𝑑𝑡

∞

0

,

que en muchos casos son integrales difíciles de calcular por las técnicas de

integración convencionales.

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 ∫𝑠𝑒𝑛𝑡

𝑡

∞

0

𝑑𝑡

Solución

𝑆𝑒𝑎 ℎ(𝑡) =𝑠𝑒𝑛𝑡

𝑡⟹ 𝑡ℎ(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛𝑡

Tomando transformada ha ambos lados

ℓ{𝑡ℎ(𝑡)} = ℓ{𝑠𝑒𝑛𝑡} ⟹ −𝑑

𝑑𝑥ℓ{ℎ(𝑡)} = −

𝑑

𝑑𝑠𝐻(𝑠) =

1

𝑠2+1

Integramos ha ambos lado desde ∞ hasta 𝑠

−∫𝑑

𝑑𝑢𝐻(𝑢)

∞

𝑠

𝑑𝑢 = ∫1

𝑢2 + 1

∞

𝑠

𝑑𝑢 ⟹ − lim𝑏→∞

∫𝑑𝐻(𝑢)𝑑𝑢

𝑏

𝑠

= lim𝑏→∞

∫1

𝑢2 + 1

𝑏

𝑠

𝑑𝑢

− lim𝑏→∞

[𝐻(𝑏) − 𝐻(𝑠)] = lim𝑏→∞

[𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔(𝑏) − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔(𝑠)]

⟹𝐻(𝑠) = lim𝑏→∞

𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔(𝑏)⏟

=𝜋2

− 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔(𝑠) ⟹ 𝐻(𝑠) =𝜋

2− arctan (𝑠)

31

ℓ{ℎ(𝑡)} =𝜋

2− arctan(𝑠)⟹ ∫ ℎ(𝑡)𝑒− 𝑠𝑡

∞

0

𝑑𝑡 =𝜋

2− arctan(𝑠)

Tomamos límite cuando 𝑠 → 0

lim𝑠→0

∫ ℎ(𝑡)𝑒− 𝑠𝑡∞

0

𝑑𝑡 = lim𝑠→0

(𝜋

2− arctan(𝑠)) ⟹ ∫ lim

𝑠→0ℎ(𝑡)𝑒− 𝑠𝑡

∞

0

𝑑𝑡

=𝜋

2− lim𝑠→0(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔(𝑠))

⏟ =0

=𝜋

2

⟹∫ ℎ(𝑡)

∞

0

𝑑𝑡 =𝜋

2− lim𝑠→0(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔(𝑠))

⏟ =0

=𝜋

2⟹ ∫

𝑠𝑒𝑛𝑡

𝑡

∞

0

𝑑𝑡 =𝜋

2

TRANSFORMADA DE DERIVADAS E INTEGRALES

Nuestro objetivo principal es aplicar la transformada de Laplace, para

resolver ecuaciones diferenciales con condiciones iníciales, por tal motivo se

requiere calcular expresiones como

ℓ{𝑓´(𝑡)}, ℓ{𝑓´´(𝑡)}, ℓ{𝑓´´´(𝑡)}, … , ℓ{𝑓(𝑛)(𝑡)}

Teorema 9 Transformada de Laplace de derivadas.

Suponga que

𝑓(𝑡), 𝑓´(𝑡), 𝑓´´ (𝑡), 𝑓´´´(𝑡), … , 𝑓(𝑛−1)(𝑡)

Son continuas por y de orden exponencial para 𝑡 ≥ 0 y que 𝑓(𝑛)(𝑡) es continua

por tramo para 𝑡 ≥ 0. Entonces

ℓ{𝑓(𝑛)(𝑡)} = 𝑠𝑛ℓ{𝑓(𝑡)} − 𝑠𝑛−1𝑓(0) − 𝑠𝑛−2𝑓´(0) − ⋯− 𝑓(𝑛−1)(0) . (Campbell, 1998, p. 254).

32

Una de las aplicaciones que tiene este teorema es la resolución de ecuaciones

diferenciales con condiciones iníciales.

Ejemplo

Resolver la ecuación diferencial de valor inicial

𝑡𝑦´´ + (1 − 2𝑡)𝑦´ − 2𝑦 = 0, 𝑦(0) = 1, 𝑦´(0) = 2.

Solución

𝑡𝑦´´ + (1 − 2𝑡)𝑦´ − 2𝑦 = 0, 𝑦(0) = 1, 𝑦´(0) = 2.

Tomando transformada a ambos lados tenemos

ℓ{𝑡𝑦´´ + (1 − 2𝑡)𝑦´ − 2𝑦} = ℓ{0}

⟹ ℓ{𝑡𝑦´´} + ℓ{𝑦´} − 2ℓ{𝑡𝑦´} − 2ℓ{𝑦} = −𝑑

𝑑𝑠ℓ{𝑦´´}

= −𝑑

𝑑𝑠[𝑠2ℓ{𝑦} − 𝑠𝑦(0) − 𝑦´(0)] + 𝑠ℓ{𝑦} − 𝑦(0)

+ 2𝑑

𝑑𝑠[𝑠ℓ{𝑦} − 𝑦(0)] − 2ℓ{𝑦} = 0

−2𝑠𝑌(𝑠) − 𝑠2𝑌´(𝑠) + 𝑦(0) + 𝑠𝑌(𝑠) − 𝑦(0) + 2𝑌(𝑠) + 2𝑠𝑌´(𝑠)

− 2𝑌(𝑠) = 0 ⟹ (−𝑠2 + 2𝑠)𝑌´ − 𝑠𝑌 = 0

⟹ (−𝑠2 + 2𝑠)𝑑𝑌

𝑑𝑠= 𝑠𝑌 ⟹

𝑑𝑌

𝑌=

𝑠𝑑𝑠

−𝑠2 + 2𝑠

⟹𝑑𝑌

𝑌=

𝑠𝑑𝑠

𝑠(−𝑠 + 2)= −

𝑑𝑠

𝑠 − 2⟹ ∫

𝑑𝑌

𝑌= −∫

𝑑𝑠

𝑠 − 2

𝐿𝑛𝑌 = −𝐿𝑛(𝑠 − 2) + 𝐿𝑛𝑐 = 𝐿𝑛 (𝑐

𝑠 − 2) ⟹ 𝑌 =

𝑐

𝑠 − 2

⟹ ℓ{𝑦(𝑡)} =𝑐

𝑠 − 2⟹ 𝑦(𝑡) = ℓ−1 {

𝑐

𝑠 − 2} = 𝑐𝑒2𝑡 ⟹ 𝑦 = 𝑐𝑒2𝑡

𝑦(0) = 1 ⟹ 1 = 𝑐 ⟹ 𝑦 = 𝑒2𝑡

33

I) Encuentre la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales

1.) 𝑦´´ − 5𝑦´ + 4𝑦 = 0, 𝑦´(0) = 0, 𝑦(0) = 1

2.) 𝑦´´ − 4𝑦´ + 4𝑦 = 0, 𝑦´(0) = 1, 𝑦(0) = 0

3.) 𝑦´´ + 𝑦 = 𝑥𝑒𝑥 , 𝑦(0) = 𝑦´(0) = 0

4.) 𝑦´´ + 2𝑦´ + 5𝑦 = 3𝑒−𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑦(0) = 0, 𝑦´(0) = 1

5.) 𝑦´´ − 3𝑦´ + 2𝑦 = 2𝑒3𝑡 , 𝑦´(0) = 1, 𝑦(0) = 0

6.) 𝑡𝑦´´ + 4𝑦´ + 9𝑡𝑦 = 𝑐𝑜𝑠3𝑡, 𝑡 > 0, 𝑦´(0) =1

4, 𝑦(0) = 0

II) Calcule:

1. ) ℒ{𝑡(3𝑠𝑒𝑛2𝑡 − 2𝑐𝑜𝑠2𝑡)}, 2. ) ℒ{𝑒−𝑡𝑠𝑒𝑛2𝑡}

3. ) ℒ{𝑡2𝑠𝑒𝑛𝑡}, 4. ) ℒ{(1 + 𝑡𝑒− 𝑡)3} , 5. ) ℒ{𝑡3𝑐𝑜𝑠𝑡}

6. ) ℒ{(𝑡 + 2)2𝑒𝑡}, 7. ) ℒ{𝑡3𝑒−2𝑡}, 8. ) ℒ−1 {3𝑠 + 1

(𝑠 + 1)(𝑠2 + 1)} ,

9. ) ∫𝑒−𝑡 − 𝑒−3𝑡

𝑡

∞

0

𝑑𝑡, 10. ) ℒ−1 {2𝑠 + 1

𝑠2 − 4𝑠 + 13}

11. ) ℒ−1 {2𝑠2 − 4

𝑠3 − 4𝑠2 + 𝑠 + 6} , 12. ) ℒ−1 {

1

(𝑠 − 1)3}

34

13. ) ℒ−1 {𝑠 − 2

𝑠(𝑠 + 1)3} , 13. )ℒ{𝑐𝑜𝑠32𝑡}, 14. ) ℒ−1 {𝐿𝑛 (

𝑠

𝑠 + 1)}