Transformada de Fourier Discreta
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7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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Procesamiento Digital de Señales
Yahir Hernández Mier
Universidad Politécnica de Victoria
Transformada de Forier Discreta
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● !stdiar la definici"n de la Transformada de Forier Discreta
● !stdiar las #ro#iedades de la Transformada de Forier Discreta
● $#render a inter#retar los resltados es#ectrales de la DFT
● $#licar ventanas #ara redcir las fgas de la DFT
● $#licar la DFT a sinsoides reales % com#le&as
'(&etivos
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Transformada de Forier contina
X ( f )=∫−∞
∞
x(t )e− j 2 π f t
dt
Im
Re1
j
0
)dentidad de !ler
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Transformada de Forier contina
X ( f )=∫−∞
∞
x(t )e− j 2 π f t
dt
Im
Re1
j
cos
sen
0
e
jω
=cos(ω)+ j sen(ω)
)dentidad de !ler
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Transformada de Forier discreta
X (m)=∑n=0
N −1
x(n)e
− j 2 π n m
N
*a DFT es n #rocedimiento matemático tilizado #ara determinar el
contenido armónico o frecuencial de na señal discreta
*a DFT es +til #ara analizar secencias discretas sin im#ortar lo ,e
esta secencia re#resente
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Transformada de Forier discreta
X (m)=∑n=0
N −1
x (n)e
− j 2 πm n
N
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Transformada de Forier discreta
X (m)=∑n=0
N −1
x (n)e
− j 2 πm n
N
=∑n=0
N −1
x (n)e− jω n
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Series geométricas
s=1+2
3+
4
9+
8
27+ … -.ál es la sma total/
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Series geométricas
s=1+2
3+
4
9+
8
27+ … -.ál es la sma total/
-Por ,é valor se de(e mlti#licar el término anterior #ara o(tener el término sigiente/
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Series geométricas
s=1+2
3+
4
9+
8
27+ … -.ál es la sma total/
-Por ,é valor se de(e mlti#licar el término anterior #ara o(tener el término sigiente/
r =2
30az"n com+n
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Series geométricas
s=1+2
3+
4
9+
8
27+ … -.ál es la sma total/
-Por ,é valor se de(e mlti#licar el término anterior #ara o(tener el término sigiente/
r =2
30az"n com+n
r s=2
3 s=
2
3+
4
9+
8
27+
16
81+ …
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Series geométricas
s=1+2
3+
4
9+
8
27+ … -.ál es la sma total/
-Por ,é valor se de(e mlti#licar el término anterior #ara o(tener el término sigiente/
r =2
30az"n com+n
r s=2
3 s=
2
3+
4
9+
8
27+
16
81+ …
s−r s= s−2
3 s=1+
2
3+
4
9+
8
27+ …−(2
3+
4
9+
8
27+
16
81+ …)
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Series geométricas
s=1+2
3+
4
9+
8
27+ … -.ál es la sma total/
-Por ,é valor se de(e mlti#licar el término anterior #ara o(tener el término sigiente/
r =2
30az"n com+n
r s=2
3 s=
2
3+
4
9+
8
27+
16
81+ …
s−r s= s−2
3 s=1+
2
3+
4
9+
8
27+ …−(2
3+
4
9+
8
27+
16
81+ …)
s− 23 s=1
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Series geométricas
s=1+2
3+
4
9+
8
27+ … -.ál es la sma total/
-Por ,é valor se de(e mlti#licar el término anterior #ara o(tener el término sigiente/
r =2
30az"n com+n
r s=2
3 s=
2
3+
4
9+
8
27+
16
81+ …
s−r s= s−2
3 s=1+
2
3+
4
9+
8
27+ …−(2
3+
4
9+
8
27+
16
81+ …)
s− 23 s=1
s=3
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Series geométricas
s=1+2
3+
4
9+
8
27+ … -.ál es la sma total/
-Por ,é valor se de(e mlti#licar el término anterior #ara o(tener el término sigiente/
r =2
30az"n com+n
r s=2
3 s=
2
3+
4
9+
8
27+
16
81+ …
s−r s= s−2
3 s=1+
2
3+
4
9+
8
27+ …−(2
3+
4
9+
8
27+
16
81+ …)
s− 23 s=1
s=3 1ote ,e2 s=1+2
3+
4
9+
8
27+ …=( 2
3 )0
+ ( 2
3 )1
+ (2
3 )2
+ ( 2
3 )3
…
s=1⋅r 0+ 1⋅r
1+ 1⋅r 2+ 1⋅r
3+ …
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Series geométricas
De manera general #ara 2r ≠1
s=a+ a⋅r 1+ a⋅r
2+ a⋅r 3+ …+ a⋅r
n−1
Transformada de Forier discreta
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Series geométricas
De manera general #ara 2r ≠1
s=a+ a⋅r 1+ a⋅r
2+ a⋅r 3+ …+ a⋅r
n−1a2 !s el #rimer término de la serie
r 2 !s la raz"n com+n
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Series geométricas
De manera general #ara 2r ≠1
s=a+ a⋅r 1+ a⋅r
2+ a⋅r 3+ …+ a⋅r
n−1
s=∑k =0
n−1
a r k
a2 !s el #rimer término de la serie
r 2 !s la raz"n com+n
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Series geométricas
De manera general #ara 2r ≠1
s=a+ a⋅r 1+ a⋅r
2+ a⋅r 3+ …+ a⋅r
n−1
s=∑k =0
n−1
a r k
s=a⋅r + a⋅r 2+ a⋅r
3+ a⋅r 4+ …+ a⋅r
n−1+ a⋅r n
r n−1
r 1=r
n−1+ 1=r n
a2 !s el #rimer término de la serie
r 2 !s la raz"n com+n
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Series geométricas
De manera general #ara 2r ≠1
s=a+ a⋅r 1+ a⋅r
2+ a⋅r 3+ …+ a⋅r
n−1
s=∑k =0
n−1
a r k
s=a⋅r + a⋅r 2+ a⋅r
3+ a⋅r 4+ …+ a⋅r
n−1+ a⋅r n
r n−1
r 1=r
n−1+ 1=r n
s−r s=a+ a⋅r 1+ a⋅r
2+ a⋅r 3+ …+ a⋅r
n−1−a⋅r 1−a⋅r
2−a⋅r 3−a⋅r
4−…−a⋅r n
a2 !s el #rimer término de la serie
r 2 !s la raz"n com+n
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Series geométricas
De manera general #ara 2r ≠1
s=a+ a⋅r 1+ a⋅r
2+ a⋅r 3+ …+ a⋅r
n−1
s=∑k =0
n−1
a r k
s=a⋅r + a⋅r 2+ a⋅r
3+ a⋅r 4+ …+ a⋅r
n−1+ a⋅r n
r n−1
r 1=r
n−1+ 1=r n
s−r s=a+ a⋅r 1+ a⋅r
2+ a⋅r 3+ …+ a⋅r
n−1−a⋅r 1−a⋅r
2−a⋅r 3−a⋅r
4−…−a⋅r n
s(1−r )=a−a⋅r n
a2 !s el #rimer término de la serie
r 2 !s la raz"n com+n
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Series geométricas
De manera general #ara 2r ≠1
s=a+ a⋅r 1+ a⋅r
2+ a⋅r 3+ …+ a⋅r
n−1
s=∑k =0
n−1
a r k
s=a⋅r + a⋅r 2+ a⋅r
3+ a⋅r 4+ …+ a⋅r
n−1+ a⋅r n
r n−1
r 1=r
n−1+ 1=r n
s−r s=a+ a⋅r 1+ a⋅r
2+ a⋅r 3+ …+ a⋅r
n−1−a⋅r 1−a⋅r
2−a⋅r 3−a⋅r
4−…−a⋅r n
s(1−r )=a−a⋅r n
s=a1−r
n
1−r
a2 !s el #rimer término de la serie
r 2 !s la raz"n com+n
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Series geométricas
De manera general #ara 2r ≠1
s=a+ a⋅r 1+ a⋅r
2+ a⋅r 3+ …+ a⋅r
n−1
s=∑k =0
n−1
a r k
s=a⋅r + a⋅r 2+ a⋅r
3+ a⋅r 4+ …+ a⋅r
n−1+ a⋅r n
r n−1
r 1=r
n−1+ 1=r n
s−r s=a+ a⋅r 1+ a⋅r
2+ a⋅r 3+ …+ a⋅r
n−1−a⋅r 1−a⋅r
2−a⋅r 3−a⋅r
4−…−a⋅r n
s(1−r )=a−a⋅r n
s=a1−r
n
1−r Si % 2∣r ∣< 1 n →∞ s=
a
1−r
a2 !s el #rimer término de la serie
r 2 !s la raz"n com+n
Transformada de Forier discreta
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Transformada de Forier discreta
X (m)=∑n=0
N −1
x (n)e
− j 2 πm n
N
=∑n=0
N −1
x (n)e
− jω n
Si % 2∣r ∣< 1 N →∞ s=∑n=0
N −1
a r n=
a
1−r s= ∑
n=0
N −1
a r n=a
1−r N
1−r
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Transformada de Forier discreta
X (m)=∑n=0
N −1
x (n)e
− j 2 πm n
N
=∑n=0
N −1
x (n)e
− jω n
=∑n=0
N −1
x (n) (e− j ω
)
n
s= ∑n=0
N −1
a r n=a
1−r N
1−r Si % 2∣r ∣< 1 N →∞ s=∑
n=0
N −1
a r n=
a
1−r
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Transformada de Forier discreta
X (m)=∑n=0
N −1
x (n)e
− j 2 πm n
N
=∑n=0
N −1
x (n)e
− jω n
=∑n=0
N −1
x (n) (e− j ω
)
n
s= ∑n=0
N −1
a r n=a
1−r N
1−r Si % 2∣r ∣< 1 N →∞ s=∑
n=0
N −1
a r n=
a
1−r
Transformada de Forier discreta de fnciones elementales
Fnci"n im#lso nitario
x (nt s)={1, n=0
0 , n≠0
δ(n)
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s= ∑n=0
N −1
a r n=a
1−r N
1−r Si % 2∣r ∣< 1 N →∞ s=∑
n=0
N −1
a r n=
a
1−r
Transformada de Forier discreta de fnciones elementales
Fnci"n escal"n nitario x (nt s)={1 , n=0,1,2,…0 , n<0
1(nt s)
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s= ∑n=0
N −1
a r n=a
1−r N
1−r Si % 2∣r ∣< 1 N →∞ s=∑
n=0
N −1
a r n=
a
1−r
Transformada de Forier discreta de fnciones elementales
ant s
x (n)={an, n=0,1,2,…
0 , n<0Fnci"n #olinomial
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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s= ∑n=0
N −1
a r n=a
1−r N
1−r Si % 2∣r ∣< 1 N →∞ s=∑
n=0
N −1
a r n=
a
1−r
Transformada de Forier discreta de fnciones elementales
e−a nt sFnci"n e3#onencial x (n)={e
−ant s , n=0,1,2,…
0 , n<0
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s= ∑n=0
N −1
a r n=a
1−r N
1−r Si % 2∣r ∣< 1 N →∞ s=∑
n=0
N −1
a r n=
a
1−r
Transformada de Forier discreta de fnciones elementales
Fnci"n senoidal
x(t )={sen(ωt ), t ≥0
0 , t < 0
e jωt =cos(ω t )+ j sen(ωt )e
− jω t =cos(ωt )− j sen(ω t )
sen(ω t )=e jω t −e
− jωt
2 jcos(ω t )=
e jωt + e
− jω t
2
)dentidad de !ler
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Transformada de Forier discreta
X (m)=∑n=0
N −1
x(n)e
− j 2 π n m
N
Forma e3#onencial
T f d d F i di t
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Transformada de Forier discreta
X (
m)=∑n=0
N −1
x(n
)e
− j 2 π n m
N
De la identidad de !ler2
e− j ω=cos(ω)− j sen(ω)
Forma e3#onencial
T f d d F i di t
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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Transformada de Forier discreta
X (m)=
∑n=0
N −1
x(n)e
− j 2 π n m
N
De la identidad de !ler2
e− j ω=cos(ω)− j sen(ω)
Forma e3#onencial
X (m)=∑n=0
N −1
x(n)[cos( 2 π n m
N )− j sen(2 π n m
N )] Forma rectanglar
T f d d F i di t
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Transformada de Forier discreta
X (m)=
∑n=0
N −1
x(n)e
− j 2 π n m
N
De la identidad de !ler2
e− j ω=cos(ω)− j sen(ω)
Forma e3#onencial
X (m)=∑n=0
N −1
x(n)[cos( 2 π n m
N )− j sen(2 π n m
N )] Forma rectanglar
Donde2 X(m) es el m4ésimo com#onente de frecencia5 es decir5 X(0), X(1), X(2), ...m es el índice de la salida de la DFT en el dominio de la frecuencia
m= 0, 1, 2, 3, ..., N-1 x(n) es la secencia de mestras de entrada, x(0), x(1), x(2), x(3), ...n es el 6ndice en el dominio del tiem#o de las mestras de entrada , n=0, 1, 2, ..., N-1 j = N es el n+mero de mestras de la secencia de entrada % el n+mero de #ntos de
frecencia en la salida DFT
√ −1
Significado de la Transformada de Fo rier discreta
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Significado de la Transformada de Forier discreta
!&em#lo2 X (m)=∑n=0
N −1
x(n)[cos( 2 π n m
N )− j sen(2 π n m
N )] N =4
X (m)=∑n=0
3
x (n)[cos( 2π n m
4 )− j sen( 2π n m
4 )]
m=0 X (0)= x(0)cos( 2⋅π⋅0⋅0
4 )− j x(0)sen( 2⋅π⋅0⋅0
4 )+ x (1)cos( 2⋅π⋅1⋅0
4 )− j x(1)sen ( 2⋅π⋅1⋅0
4 )+ x (2)cos( 2⋅π⋅2⋅0
4 )− j x(2)sen( 2⋅π⋅2⋅0
4 )+ x (3)cos( 2⋅π⋅3⋅0
4 )− j x(3)sen (2⋅π⋅3⋅0
4 )m=1
.ada término X(m) de la salida de la DFT es la sma del #rodcto elemento #or
elemento entre na señal de entrada % na sinsoide com#le&a cos(ϕ)− j sen(ϕ)
Significado de la Transformada de Forier discreta
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!&em#lo2 X (m)=∑n=0
N −1
x(n)[cos( 2 π n m
N )− j sen(2 π n m
N )] N =4
X (m)=∑n=0
3
x (n)[cos( 2π n m
4 )− j sen( 2π n m
4 )]
m=2
m=3
.ada término X(m) de la salida de la DFT es la sma del #rodcto elemento #or
elemento entre na señal de entrada % na sinsoide com#le&a cos(ϕ)− j sen(ϕ)
Significado de la Transformada de Forier discreta
Significado de la Transformada de Forier discreta
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 37/265
.ada término X(m) de la salida de la DFT es la sma del #rodcto elemento #or
elemento entre na señal de entrada % na sinsoide com#le&a cos(ϕ)− j sen(ϕ)
*a frecuencia e3acta de cada sinsoide de#ende de % de f s N
Significado de la Transformada de Forier discreta
Significado de la Transformada de Forier discreta
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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.ada término X(m) de la salida de la DFT es la sma del #rodcto elemento #or
elemento entre na señal de entrada % na sinsoide com#le&a cos(ϕ)− j sen(ϕ)
*a frecuencia e3acta de cada sinsoide de#ende de % de f s N
Frecencia a la cal laseñal original femestreada
1+mero de mestras,e se toman en laDFT
Significado de la Transformada de Forier discreta
Significado de la Transformada de Forier discreta
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http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 39/265
.ada término X(m) de la salida de la DFT es la sma del #rodcto elemento #or
elemento entre na señal de entrada % na sinsoide com#le&a cos(ϕ)− j sen(ϕ)
*a frecuencia e3acta de cada sinsoide de#ende de % de f s N
Frecencia a la cal laseñal original femestreada
1+mero de mestras,e se toman en laDFT
!&em#lo2
f s=500 Hz (muestras/s)
DFT de 16 untos en !os datos muestreados
Significado de la Transformada de Forier discreta
Significado de la Transformada de Forier discreta
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.ada término X(m) de la salida de la DFT es la sma del #rodcto elemento #or
elemento entre na señal de entrada % na sinsoide com#le&a cos(ϕ)− j sen(ϕ)
*a frecuencia e3acta de cada sinsoide de#ende de % de f s N
Frecencia a la cal laseñal original femestreada
1+mero de mestras,e se toman en laDFT
!&em#lo2
f s=500 Hz (muestras/s)
DFT de 16 untos en !os datos muestreados
*a frecuencia fundamental de las sinsoides es2
f s
N =
500
16 =31"25 Hz
Significado de la Transformada de Forier discreta
Significado de la Transformada de Forier discreta
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.ada término X(m) de la salida de la DFT es la sma del #rodcto elemento #or
elemento entre na señal de entrada % na sinsoide com#le&a cos(ϕ)− j sen(ϕ)
*a frecuencia e3acta de cada sinsoide de#ende de % de f s N
Frecencia a la cal laseñal original femestreada
1+mero de mestras,e se toman en laDFT
!&em#lo2
f s=500 Hz (muestras/s)
DFT de 16 untos en !os datos muestreados
*a frecuencia fundamental de las sinsoides es2
f s
N =
500
16 =31"25 Hz
*as frecuencias de análisis son m+lti#los enteros de la frecencia fndamental
X(0) 1o 0
31.25 = 0 Hz
Término DFT Término de frecencia Frecencia de análisis
X(1) 2o 1 31.25 = 31.25 Hz
X(2) 3o 2 31.25 = 62.5 Hz
X(3) 4o 3 31.25 = 3.!5 Hz 7
7
7
7
7
7
7
7
7
X(15) 16o 15 31.25 = 46".!5 Hz
Significado de la Transformada de Forier discreta
Significado de la Transformada de Forier discreta
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.ada término X(m) de la salida de la DFT es la sma del #rodcto elemento #or
elemento entre na señal de entrada % na sinsoide com#le&a cos(ϕ)− j sen(ϕ)
*a frecuencia e3acta de cada sinsoide de#ende de % de f s N
Frecencia a la cal laseñal original femestreada
1+mero de mestras,e se toman en laDFT
!&em#lo2
f s=500 Hz (muestras/s)
DFT de 16 untos en !os datos muestreados
*a frecuencia fundamental de las sinsoides es2
f s
N =
500
16 =31"25 Hz
*as frecuencias de análisis son m+lti#los enteros de la frecencia fndamental
X(0) 1o 0
31.25 = 0 Hz
Término DFT Término de frecencia Frecencia de análisis
X(1) 2o 1 31.25 = 31.25 Hz
X(2) 3o 2 31.25 = 62.5 Hz
X(3) 4o 3 31.25 = 3.!5 Hz 7
7
7
7
7
7
7
7
7
X(15) 16o 15 31.25 = 46".!5 Hz
f an#!$s$s (m)=m f s
N
Significado de la Transformada de Forier discreta
Significado de la Transformada de Forier discreta
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.ada término X(m) de la salida de la DFT es la sma del #rodcto elemento #or
elemento entre na señal de entrada % na sinsoide com#le&a cos(ϕ)− j sen(ϕ)
*a frecuencia e3acta de cada sinsoide de#ende de % de f s N
Frecencia a la cal laseñal original femestreada
1+mero de mestras,e se toman en laDFT
!&em#lo2
f s=500 Hz (muestras/s)
DFT de 16 untos en !os datos muestreados
*a frecuencia fundamental de las sinsoides es2 f s
N =
500
16 =31"25 Hz
*as frecuencias de análisis son m+lti#los enteros de la frecencia fndamental
X(0) 1o 0
31.25 = 0 Hz
Término DFT Término de frecencia Frecencia de análisis
X(1) 2o 1 31.25 = 31.25 Hz
X(2) 3o 2 31.25 = 62.5 Hz
X(3) 4o 3 31.25 = 3.!5 Hz 7
7
7
7
7
7
7
7
7
X(15) 16o 15 31.25 = 46".!5 Hz
f an#!$s$s(m)=m f s
N
Magnitdes
de las
com#onentes
de la señal
Significado de la Transformada de Forier discreta
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ϕ
0elaci"n trigonométrica de n valor com#le&o X(m) individal de salida de la DFT
Significado de la Transformada de Forier discreta
!ste #nto re#resenta el n+mero
com#le&o
%&e $ma'$nar$o j
%&e rea!
X (m)= X rea# (m)+ j X $ma% (m)
X (m)= X rea# (m)+ j X $ma% (m)= X ma% (m)a un #n'u!o X ϕ(m)
Significado de la Transformada de Forier discreta
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ϕ
0elaci"n trigonométrica de n valor com#le&o X(m) individal de salida de la DFT
g
!ste #nto re#resenta el n+mero
com#le&o
%&e $ma'$nar$o j
%&e rea!
X (m)= X rea# (m)+ j X $ma% (m)
X (m)= X rea# (m)+ j X $ma% (m)= X ma% (m)a un #n'u!o X ϕ(m)
Significado de la Transformada de Forier discreta
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ϕ
0elaci"n trigonométrica de n valor com#le&o X(m) individal de salida de la DFT
g
!ste #nto re#resenta el n+mero
com#le&o
%&e $ma'$nar$o j
%&e rea!
X (m)= X rea# (m)+ j X $ma% (m)
X (m)= X rea# (m)+ j X $ma% (m)= X ma% (m)a un #n'u!o X ϕ(m)
X ma% (m)=∣ X (m)∣=√ X rea# (m)2+ X $ma% (m)2 Magnitd de X (m) X ma% (m)
X ma% (m)
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ϕ
0elaci"n trigonométrica de n valor com#le&o X(m) individal de salida de la DFT
g
!ste #nto re#resenta el n+mero
com#le&o
%&e $ma'$nar$o j
%&e rea!
X (m)= X rea# (m)+ j X $ma% (m)
X (m)= X rea# (m)+ j X $ma% (m)= X ma% (m)a un #n'u!o X ϕ(m)
X ma% (m)=∣ X (m)∣=√ X rea# (m)2+ X $ma% (m)2
X ϕ(m)=tan−1(
X $ma% (m) X rea# (m) )
Magnitd de
8nglo de fase de X ϕ(m) X (m)
X (m) X ma% (m)
X ma% (m)
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ϕ
0elaci"n trigonométrica de n valor com#le&o X(m) individal de salida de la DFT
g
!ste #nto re#resenta el n+mero
com#le&o
%&e $ma'$nar$o j
%&e rea!
X (m)= X rea# (m)+ j X $ma% (m)
X (m)= X rea# (m)+ j X $ma% (m)= X ma% (m)a un #n'u!o X ϕ(m)
X ma% (m)=∣ X (m)∣=√ X rea# (m)2+ X $ma% (m)2
X ϕ(m)=tan−1
( X $ma% (m) X rea# (m) )
X &' (m)= X ma% (m)2= X rea# (m)2+ X $ma% (m)2
Magnitd de
8nglo de fase de X ϕ(m) X (m)
X (m)
!s#ectro de #otencia de X &' (m) X (m)
X ma% (m)
X ma% (m)
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!&em#lo 9
Mestree % o(tenga la DFT de : #ntos de na señal contina conteniendo
com#onentes de frecencia a 9 ;Hz % <;Hz5 e3#resada como2
x$n(t )=sen(2 π 1000 t )+ 0"5sen (2 π 2000 t +3
4π) 3
4 π=135
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!&em#lo 9
Mestree % o(tenga la DFT de : #ntos de na señal contina conteniendo
com#onentes de frecencia a 9 ;Hz % <;Hz5 e3#resada como2
x$n(t )=sen(2 π 1000 t )+ 0"5sen (2 π 2000 t +3
4π) 3
4 π=135
Mestreando a na frecencia 5 se toman mestras cada segndos2 f s1
f s=t s
x (n)=sen (2π 1000 n t s)+ 0"5sen (2 π 2000n t s+ 34 π)
Significado de la Transformada de Forier discreta
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!&em#lo 9
m f s
N 0 Hz ,1 Hz ,2 Hz ,… ,7 Hz Frecencias de análisis 2
Mestree % o(tenga la DFT de : #ntos de na señal contina conteniendo
com#onentes de frecencia a 9 ;Hz % <;Hz5 e3#resada como2
x$n(t )=sen(2 π 1000 t )+ 0"5sen (2 π 2000 t +3
4π) 3
4 π=135
Mestreando a na frecencia 5 se toman mestras cada segndos2 f s1
f s=t s
x (n)=sen (2π 1000 n t s)+ 0"5sen (2 π 2000n t s+ 34 π)
Si f s=8000 muestras/sm=0 m=1 m=2 … m=7
Significado de la Transformada de Forier discreta
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!&em#lo 9
m f s
N 0 Hz ,1 Hz ,2 Hz ,… ,7 Hz Frecencias de análisis 2
Mestree % o(tenga la DFT de : #ntos de na señal contina conteniendo
com#onentes de frecencia a 9 ;Hz % <;Hz5 e3#resada como2
x$n
(t )=sen(2 π 1000 t )+0"5sen(2 π 2000 t +3
4π) 3
4 π=135
Mestreando a na frecencia 5 se toman mestras cada segndos2 f s1
f s=t s
x (n)=sen (2π 1000 n t s)+ 0"5sen (2 π 2000n t s+ 34 π)
Si f s=8000 muestras/sm=0 m=1 m=2 … m=7
Mestras 2 x (n)=sen (2π 1000 n t s)+ 0"5sen (2 π 2000 n t s+3
4 π) x (0)=sen (2⋅π⋅1000⋅0⋅t s)+ 0"5sen(2⋅π⋅2000⋅n⋅t s+
3
4π)=0"3535534
x (1)=0"3535534
x (2)=0"6464466
x(3)=1"0606602
x (4)=0"3535534
x (5)=−1"0606602
x (6)=−1"3535534
x (7)=−0"3535534
Significado de la Transformada de Forier discreta
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!&em#lo 9
Mestras 2 x (n)=sen (2π 1000 n t s)+ 0"5sen (2 π 2000 n t s+3
4
π)
x (0)=sen (2⋅π⋅1000⋅0⋅t s)+ 0"5sen(2⋅π⋅2000⋅n⋅t s+34
π)=0"3535534
x (1)=0"3535534
x (2)=0"6464466
x(3)=1"0606602
x (4)=0"3535534
x (5)=−1"0606602
x (6)=−1"3535534
x (7)=−0"3535534
x $n(t )sen(2 π 1000 t )0"5sen (2π 2000 t +
3
4 π)
Significado de la Transformada de Forier discreta
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!&em#lo 9
X (m)=∑n=0
7
x (n)
[cos
(2π n m
8 )− j sen
(2π n m
8 )] X (1)=0− j 4"0=4∢−90
X (2)=1"4142+ j 1"4142=2∢45
X (3)=0− j 0=0∢0
X (4)=0− j 0=0∢0
X (5)=0− j 0=0∢0
X (6)=1"4142− j 1"4142=2∢−45
X (7)=0+ j 4"0=4∢90
Significado de la Transformada de Forier discreta
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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!&em#lo 9
X (1)=∑n=0
7
x(n)
[cos
(2π 1
8 n
)− j sen
(2π 1
8 n
)]m=1
f = *
f s+ * = f f s
1(t )=cos (2 π 1000 t )
f s =8000muestras/s + * =1
88000=1000 Hz
2(t )=sen (2 π 1000 t )
Significado de la Transformada de Forier discreta
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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!&em#lo 9
X (1)=∑n=0
7
x(n)
[cos
(2π 1
8 n
)− j sen
(2π 1
8 n
)]m=1
f = *
f s+ * = f f s
1(t )=cos (2 π 1000 t )
f s =8000muestras/s + * =1
88000=1000 Hz
2(t )=sen (2 π 1000 t )
X (2)=∑n=0
7
x (n)[cos(2 π1
4 n)− j sen (2 π
1
4 n)]
m=2
f = *
f s+ * = f f s
1(t )=cos (2 π 2000 t )
f s=8000 muestras/s + * =1
48000=2000 Hz
2(t )=sen (2 π 2000 t )
Significado de la Transformada de Forier discreta
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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!&em#lo 9
X (1)=∑n=0
7
x(n)
[cos
(2π 1
8 n
)− j sen
(2π 1
8 n
)]
m=1
f = *
f s+ * = f f s
1(t )=cos (2 π 1000 t )
f s =8000muestras/s + * =1
88000=1000 Hz
2(t )=sen (2 π 1000 t )
X (2)=∑n=0
7
x (n)[cos(2 π1
4 n)− j sen (2 π
1
4 n)]
m=2
f = *
f s+ * = f f s
1(t )=cos (2 π 2000 t )
f s=8000 muestras/s + * =1
48000=2000 Hz
2(t )=sen (2 π 2000 t )
Significado de la Transformada de Forier discreta
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!&em#lo 9
m=3 1(t )=cos (2π 3000 t ) 2(t )=sen (2π 3000 t )
m=7 1(t )=cos (2 π 2000 t ) 2(t )=sen (2 π 2000 t )
⋮ ⋮
!& l 9
Significado de la Transformada de Forier discreta(4) 0 0 0 0
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!&em#lo 9
X (1)=0− j 4"0=4∢−90
X (2)=1"4142+ j 1"4142=2∢45
X (3)=0− j 0=0∢0
X (4)=0− j 0=0∢0
X (5)=0− j 0=0∢0
X (6)=1"4142− j 1"4142=2∢−45
X (7)=0+ j 4"0=4∢90
!& l 9
Significado de la Transformada de Forier discretaX (4) 0 j 0 0∢0
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!&em#lo 9
X (1)=0− j 4"0=4∢−90
X (2)=1"4142+ j 1"4142=2∢45
X (3)=0− j 0=0∢0
X (4)=0− j 0=0∢0
X (5)=0− j 0=0∢0
X (6)=1"4142− j 1"4142=2∢−45
X (7)=0+ j 4"0=4∢90
!& l 9
Significado de la Transformada de Forier discretaX (4) 0 j 0 0∢0
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!&em#lo 9
X (1)=0− j 4"0=4∢−90
X (2)=1"4142+ j 1"4142=2∢45
X (3)=0− j 0=0∢0
X (4)=0− j 0=0∢0
X (5)=0− j 0=0∢0
X (6)=1"4142− j 1"4142=2∢−45
X (7)=0+ j 4"0=4∢90
Pro#iedades de la Transformada de Forier discreta
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Práctica =79797 '(&etivo2 !stdiar las gráficas de la #arte real5 imaginaria5 magnitd
% ánglo de fase de la DFT5 mediante n #rograma de cálclo nmérico7
97 Tome : mestras de la fnci"n
a na frecencia de mestreo fs = 8000 Hz 7
x (t )=sen(2 π 1000 t )+0"5 sen(2 π 2000 t + 34
π)
<7 .alcle la DFT X(m) de 8 #ntos so(re las mestras ad,iridas x(n)7
>7 !n na #rimera s(gráfica5 grafi,e la #arte real de X(m)7
=7 !n na segnda s(gráfica5 grafi,e la #arte imaginaria de X(m)7
?7 !n na tercera s(gráfica5 grafi,e la magnitd de X(m)
@7 !n na carta s(gráfica5 grafi,e el ánglo de fase de X(m)
A7 '(serve la simetr6a en las gráficas5 -,é #ede conclir/
Significado de la Transformada de Forier discreta
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x (n)=sen (2π 1000 n t s)+ 0"5sen (2 π 2000 n t s+ 34
π)
x (0)=0"3535534
x (1)=0"3535534
x (2)=0"6464466
x(3)=1"0606602
x (4)=0"3535534
x (5)=−1"0606602
x (6)=−1"3535534
x (7)=−0"3535534
f s=8000 muestras/s
N =8
Práctica =7979 0ealizar n #rograma en Scila( ,e calcle la DFT de : #ntos
#ara la señal discreta del e&em#lo 92
Significado de la Transformada de Forier discreta
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 64/265
Práctica =7979 0ealizar n #rograma en Scila( ,e calcle la DFT de : #ntos
#ara la señal discreta del e&em#lo 92
x (n)=sen (2π 1000 n t s)+ 0"5sen (2 π 2000 n t s+ 34
π)
X (1)=0− j 4"0=4∢−90 (
X (2)=1"4142+ j 1"4142=2∢45(
X (3)=0− j 0=0∢0(
X (4)=0− j 0=0∢0(
X (5)=0− j 0=0∢0 (
X (6)=1"4142− j 1"4142=2∢−45(
X (7)=0+ j 4"0=4∢90 (
x (0)=0"3535534
x (1)=0"3535534
x (2)=0"6464466
x(3)=1"0606602
x (4)=0"3535534
x (5)=−1"0606602
x (6)=−1"3535534
x (7)=−0"3535534
DFT2
f s=8000 muestras/s
N =8
X (m)=∑n=0
N −1
x(n)[cos( 2 π n m
N )− j sen(2 π n m
N )]
Significado de la Transformada de Forier discreta
P á ti = 9 9 0 li S il ( l l l DFT d : t
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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DFT2
X (m)=∑n=0
N −1
x(n)[cos( 2 π n m
N )− j sen(2 π n m
N )]
Práctica =7979 0ealizar n #rograma en Scila( ,e calcle la DFT de : #ntos
#ara la señal discreta del e&em#lo 92
Significado de la Transformada de Forier discreta
P á ti = 9 9 0 li S il ( l l l DFT d : t
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 66/265
DFT2
X (m)=∑n=0
N −1
x(n)[cos( 2 π n m
N )− j sen(2 π n m
N )]
Práctica =7979 0ealizar n #rograma en Scila( ,e calcle la DFT de : #ntos
#ara la señal discreta del e&em#lo 92
Significado de la Transformada de Forier discreta
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 67/265
Significado de la Transformada de Forier discreta
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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Significado de la Transformada de Forier discreta X (4)=0− j 0=0∢0!&em#lo 9
( )
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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X (1)=0− j 4"0=4∢−90(
X (2)=1"4142+ j 1"4142=2∢45
X (3)=0− j 0=0∢0
( ) j
X (5)=0− j 0=0∢0
X (6)=1"4142− j 1"4142=2∢−45
X (7)=0+ j 4"0=4∢90
X (0)=0
!&em#lo 9Significado de la Transformada de Forier discreta
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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∣ X (m)∣= -0
N
2 -0=
2∣ X (m)∣ N
0elaci"n entre la am#litd de la señal % la
magnitd de s DFT
x$n (t )=sen(2 π 1000 t )+0"5sen (2 π 2000 t +3
4
π)
N =8
Simetr6a
Pro#iedades de la Transformada de Forier discreta
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S e a
Simetr6a
Pro#iedades de la Transformada de Forier discreta
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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Simetr6a
Pro#iedades de la Transformada de Forier discreta
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 73/265
*a DFT ace#ta entrada com!le"a5 #ero la ma%or6a de las señales f6sicas son reales
Simetr6a
Pro#iedades de la Transformada de Forier discreta
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 74/265
*a DFT ace#ta entrada com!le"a5 #ero la ma%or6a de las señales f6sicas son reales
.ando es real las salidas com#le&as de la DFT desde hastason redndantes con valores de salida de frecencia #ara
x(n) m=1 m=
N
2 −1m
N
2
Simetr6a
Pro#iedades de la Transformada de Forier discreta
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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*a DFT ace#ta entrada com!le"a5 #ero la ma%or6a de las señales f6sicas son reales
.ando es real las salidas com#le&as de la DFT desde hastason redndantes con valores de salida de frecencia #ara
x(n) m=1 m=
N
2 −1m
N
2*a m-s$ma salida BrealC de la DFT tiene el mismo valor ,e la salida (N-m)-s$ma
Simetr6a
Pro#iedades de la Transformada de Forier discreta
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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*a DFT ace#ta entrada com!le"a5 #ero la ma%or6a de las señales f6sicas son reales
.ando es real las salidas com#le&as de la DFT desde hastason redndantes con valores de salida de frecencia #ara
x(n) m=1 m=
N
2 −1m
N
2*a m-s$ma salida BrealC de la DFT tiene el mismo valor ,e la salida (N-m)-s$ma
!l án#ulo de fase de la m-s$ma salida es el negativo del ánglo de la salida
(N-m)-s$ma
Simetr6a
Pro#iedades de la Transformada de Forier discreta
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*a DFT ace#ta entrada com!le"a5 #ero la ma%or6a de las señales f6sicas son reales
.ando es real las salidas com#le&as de la DFT desde hastason redndantes con valores de salida de frecencia #ara
x(n) m=1 m=
N
2 −1m
N
2
!l án#ulo de fase de la m-s$ma salida es el negativo del ánglo de la salida
(N-m)-s$ma
X (m)=∣ X (m)∣ a X ϕ(m) 'rados
X (m)=∣ X ( N −m)∣ a X ϕ( N −m) 'rados
*a m-s$ma salida BrealC de la DFT tiene el mismo valor ,e la salida (N-m)-s$ma
Simetr6a
Pro#iedades de la Transformada de Forier discreta
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*a DFT ace#ta entrada com!le"a5 #ero la ma%or6a de las señales f6sicas son reales
.ando es real las salidas com#le&as de la DFT desde hastason redndantes con valores de salida de frecencia #ara
x(n) m=1 m=
N
2 −1m
N
2
!l án#ulo de fase de la m-s$ma salida es el negativo del ánglo de la salida
(N-m)-s$ma
X (m)=∣ X (m)∣ a X ϕ(m) 'rados
X (m)=∣ X ( N −m)∣ a X ϕ( N −m) 'rados
.ando x(n) es real $
X (m)= X ( N −m)
x=a+ j / x=a− j / + x=e
j ϕ x
=e− j ϕ
0ecordar2
*a m-s$ma salida BrealC de la DFT tiene el mismo valor ,e la salida (N-m)-s$ma
Simetr6a
Pro#iedades de la Transformada de Forier discreta
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Demostrar la #ro#iedad de simetr6a de la DFT2
X ( N −m)=∑n=0
N −1
x (n)e
− j 2π n( N −m)
N
Simetr6a
Pro#iedades de la Transformada de Forier discreta
D l i d d d i 6 d l DFT
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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X ( N −m)=∑n=0
N −1
x (n)e
− j 2π n( N −m)
N
X ( N −m)=∑n=0
N −1
x (n)e
− j 2π n N
N e
j 2π n m
N
Demostrar la #ro#iedad de simetr6a de la DFT2
Simetr6a
Pro#iedades de la Transformada de Forier discreta
D t l i d d d i t 6 d l DFT
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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X ( N −m)=∑n=0
N −1
x (n)e
− j 2π n( N −m)
N
X ( N −m)=∑n=0
N −1
x (n)e
− j 2π n N
N e
j 2π n m
N
X ( N −m)=∑n=0
N −1
x (n)e− j 2 π n
e
j 2π n m
N
Demostrar la #ro#iedad de simetr6a de la DFT2
Simetr6a
Pro#iedades de la Transformada de Forier discreta
D t l i d d d i t 6 d l DFT
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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X ( N −m)=∑n=0
N −1
x (n)e
− j 2π n( N −m)
N
X ( N −m)=∑n=0
N −1
x (n)e
− j 2π n N
N e
j 2π n m
N
X ( N −m)=∑n=0
N −1
x (n)e− j 2 π n
e
j 2π n m
N
e− j ϕ=cos(ϕ)− j sen(ϕ)
Demostrar la #ro#iedad de simetr6a de la DFT2
Simetr6a
Pro#iedades de la Transformada de Forier discreta
Demostrar la #ro#iedad de simetr6a de la DFT2
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 83/265
X ( N −m)=∑n=0
N −1
x (n)e
− j 2π n( N −m)
N
X ( N −m)=∑n=0
N −1
x (n)e
− j 2π n N
N e
j 2π n m
N
X ( N −m)=∑n=0
N −1
x (n)e− j 2 π n
e
j 2π n m
N
e− j ϕ=cos(ϕ)− j sen(ϕ)
e− j 2 π n=cos(2π n)− j sen(2π n)
Demostrar la #ro#iedad de simetr6a de la DFT2
Simetr6a
Pro#iedades de la Transformada de Forier discreta
Demostrar la #ro#iedad de simetr6a de la DFT2
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 84/265
X ( N −m)=∑n=0
N −1
x (n)e
− j 2π n( N −m)
N
X ( N −m)=∑n=0
N −1
x (n)e
− j 2π n N
N e
j 2π n m
N
X ( N −m)=∑n=0
N −1
x (n)e− j 2 π n
e
j 2π n m
N
e− j ϕ=cos(ϕ)− j sen(ϕ)
e− j 2 π n=cos(2π n)− j sen(2π n)
e− j 2 π n=1
Demostrar la #ro#iedad de simetr6a de la DFT2
Simetr6a
Pro#iedades de la Transformada de Forier discreta
Demostrar la #ro#iedad de simetr6a de la DFT2
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 85/265
X ( N −m)=∑n=0
N −1
x (n)e
− j 2π n( N −m)
N
X ( N −m)=∑n=0
N −1
x (n)e
− j 2π n N
N e
j 2π n m
N
X ( N −m)=∑n=0
N −1
x (n)e− j 2 π n
e
j 2π n m
N
e− j ϕ=cos(ϕ)− j sen(ϕ)
e− j 2 π n=cos(2π n)− j sen(2π n)
e− j 2 π n=1
X ( N −m)=∑n=0
N −1
x(n)(1)e
j 2 π nm
N
Demostrar la #ro#iedad de simetr6a de la DFT2
Simetr6a
Pro#iedades de la Transformada de Forier discreta
Demostrar la #ro#iedad de simetr6a de la DFT2
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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X ( N −m)=∑n=0
N −1
x (n)e
− j 2π n( N −m)
N
X ( N −m)=∑n=0
N −1
x (n)e
− j 2π n N
N e
j 2π n m
N
X ( N −m)=∑n=0
N −1
x (n)e− j 2 π n
e
j 2π n m
N
e− j ϕ=cos(ϕ)− j sen(ϕ)
e− j 2 π n=cos(2π n)− j sen(2π n)
e− j 2 π n=1
X ( N −m)=∑n=0
N −1
x(n)(1)e
j 2 π nm
N
X ( N −m)=∑n=0
N −1
x(n)e
j 2 π n m
N
Demostrar la #ro#iedad de simetr6a de la DFT2
Simetr6a
Pro#iedades de la Transformada de Forier discreta
Demostrar la #ro#iedad de simetr6a de la DFT2
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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X ( N −m)=∑n=0
N −1
x (n)e
− j 2π n( N −m)
N
X ( N −m)=∑n=0
N −1
x (n)e
− j 2π n N
N e
j 2π n m
N
X ( N −m)=∑n=0
N −1
x (n)e− j 2 π n
e
j 2π n m
N
e− j ϕ=cos(ϕ)− j sen(ϕ)
e− j 2 π n=cos(2π n)− j sen(2π n)
e− j 2 π n=1
X ( N −m)=∑n=0
N −1
x(n)(1)e
j 2 π nm
N
X ( N −m)=∑n=0
N −1
x(n)e
j 2 π n m
N
Demostrar la #ro#iedad de simetr6a de la DFT2
X (m)=∑n=0
N −1
x (n)e− j 2 πn m
N
Simetr6a
Pro#iedades de la Transformada de Forier discreta
Demostrar la #ro#iedad de simetr6a de la DFT2
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 88/265
X ( N −m)=∑n=0
N −1
x (n)e
− j 2π n( N −m)
N
X ( N −m)=∑n=0
N −1
x (n)e
− j 2π n N
N e
j 2π n m
N
X ( N −m)=∑n=0
N −1
x (n)e− j 2 π n
e
j 2π n m
N
e− j ϕ=cos(ϕ)− j sen(ϕ)
e− j 2 π n=cos(2π n)− j sen(2π n)
e− j 2 π n=1
X ( N −m)=∑n=0
N −1
x(n)(1
)e
j 2 π nm
N
X ( N −m)=∑n=0
N −1
x(n)e
j 2 π n m
N
X (m)= X (( N −m)
Demostrar la #ro#iedad de simetr6a de la DFT2
X (m)=∑n=0
N −1
x (n)e− j 2 πn m
N
Simetr6a
Pro#iedades de la Transformada de Forier discreta
2Demostrar la #ro#iedad de simetr6a de la DFT2
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 89/265
X ( N −m)=∑n=0
N −1
x (n)e
− j 2π n( N −m)
N
X ( N −m)=∑n=0
N −1
x (n)e
− j 2π n N
N e
j 2π n m
N
X ( N −m)=∑n=0
N −1
x (n)e− j 2 π n
e
j 2π n m
N
e− j ϕ=cos(ϕ)− j sen(ϕ)
e− j 2 π n=cos(2π n)− j sen(2π n)
e− j 2 π n=1
X ( N
−m
)=∑n=0
N −1
x(n
)(1
)e
j 2 π nm
N
X ( N −m)=∑n=0
N −1
x(n)e
j 2 π n m
N
.om#le&o con&gado
Demostrar la #ro#iedad de simetr6a de la DFT2
X (m)= X (( N −m)
X (m)=∑n=0
N −1
x (n)e− j 2 πn m
N
*inealidad
Pro#iedades de la Transformada de Forier discreta
*a DFT de la sma de dos señales es igal a la sma de las DFT de cada señal
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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*a DFT de la sma de dos señales es igal a la sma de las DFT de cada señal
x sma (n)= x1(n)+ x 2(n)
X sma (m)= X 1(m)+ X 2(m)
X s0ma(m)=∑n=0
N −1
x s0ma(n)e− j 2 πnm
N
Demostraci"n2
*inealidad
Pro#iedades de la Transformada de Forier discreta
*a DFT de la sma de dos señales es igal a la sma de las DFT de cada señal
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 91/265
*a DFT de la sma de dos señales es igal a la sma de las DFT de cada señal
x s0ma(n)= x1(n)+ x2(n)
X s0ma(m)= X 1(m)+ X 2(m)
X s0ma (m)=∑n=0
N −1
x s0ma (n)e− j 2π n m
N
X s0ma(m)=∑n=0
N −1
[ x1(n)+ x2(n)] e− j 2πnm
N
Demostraci"n2
*inealidad
Pro#iedades de la Transformada de Forier discreta
*a DFT de la sma de dos señales es igal a la sma de las DFT de cada señal
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 92/265
*a DFT de la sma de dos señales es igal a la sma de las DFT de cada señal
x s0ma(n)= x1(n)+ x2(n)
X s0ma(m)= X 1(m)+ X 2(m)
X s0ma (m)=∑n=0
N −1
x s0ma (n)e− j 2π n m
N
X s0ma(m)=∑n=0
N −1
[ x1(n)+ x2(n)] e− j 2πnm
N
X s0ma(m)=∑n=0
N −1
x1(n)e− j 2 π nm
N + ∑n=0
N −1
x2(n)e− j 2πnm
N
Demostraci"n2
*inealidad
Pro#iedades de la Transformada de Forier discreta
*a DFT de la sma de dos señales es igal a la sma de las DFT de cada señal
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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*a DFT de la sma de dos señales es igal a la sma de las DFT de cada señal
x s0ma(n)= x1(n)+ x2(n)
X s0ma(m)= X 1(m)+ X 2(m)
X s0ma (m)=∑n=0
N −1
x s0ma (n)e− j 2π n m
N
X s0ma(m)=∑n=0
N −1
[ x1(n)+ x2(n)] e− j 2πnm
N
X s0ma(m)=∑n=0
N −1
x1(n)e− j 2 π nm
N + ∑n=0
N −1
x2(n)e− j 2πnm
N
X sma (m)= X 1(m)+ X 2(m)
Demostraci"n2
Periodicidad
Pro#iedades de la Transformada de Forier discreta
Si la DFT es evalada #ara todos los valores de n5 % no solo #ara n=0, , %&'5
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# 5 % # , , 5
entonces la secencia infinita resltante es na e3tensi"n #eri"dica5 con #eriodo% 5 de la DFT7
Periodicidad
Pro#iedades de la Transformada de Forier discreta
Si la DFT es evalada #ara todos los valores de n5 % no solo #ara n=0, , %&'5
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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X (m+ N )=∑n=0
N −1
x (n)e
− j 2π n(m+ N ) N
Demostraci"n2
# 5 % # , , 5
entonces la secencia infinita resltante es na e3tensi"n #eri"dica5 con #eriodo% 5 de la DFT7
Periodicidad
Pro#iedades de la Transformada de Forier discreta
Si la DFT es evalada #ara todos los valores de n5 % no solo #ara n=0, , %&'5
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 96/265
X (m+ N )=∑n=0
N −1
x (n)e
− j 2π n(m+ N ) N
Demostraci"n2
X (m+ N )=∑n=0
N −1
x (n)e− j 2π n m
N e− j 2 πn N
N
entonces la secencia infinita resltante es na e3tensi"n #eri"dica5 con #eriodo% 5 de la DFT7
Periodicidad
Pro#iedades de la Transformada de Forier discreta
Si la DFT es evalada #ara todos los valores de n5 % no solo #ara n=0, , %&'5
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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X (m+ N )=∑n=0
N −1
x (n)e
− j 2π n(m+ N ) N
Demostraci"n2
X (m+ N )=∑n=0
N −1
x (n)e− j 2π n m
N e− j 2 πn N
N
X (m+ N )=∑n=0
N −1
x (n)e− j 2π n m
N e− j 2π n
entonces la secencia infinita resltante es na e3tensi"n #eri"dica5 con #eriodo% 5 de la DFT7
Periodicidad
Pro#iedades de la Transformada de Forier discreta
Si la DFT es evalada #ara todos los valores de n5 % no solo #ara n=0, , %&'5
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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X (m+ N )=∑n=0
N −1
x (n)e
− j 2π n(m+ N ) N
Demostraci"n2
X (m+ N )=∑n=0
N −1
x (n)e− j 2π n m
N e− j 2 πn N
N
X (m+ N )=∑n=0
N −1
x (n)e− j 2π n m
N e− j 2π n
e− j 2π n=cos(2π n)− j sen(2π n)=1
entonces la secencia infinita resltante es na e3tensi"n #eri"dica5 con #eriodo% 5 de la DFT7
Periodicidad
Pro#iedades de la Transformada de Forier discreta
Si la DFT es evalada #ara todos los valores de n5 % no solo #ara n=0, , %&'5
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X (m+ N )=∑n=0
N −1
x (n)e
− j 2π n(m+ N ) N
Demostraci"n2
X (m+ N )=∑n=0
N −1
x (n)e− j 2π n m
N e− j 2 πn N
N
X (m+ N )=∑n=0
N −1
x (n)e− j 2π n m
N e− j 2π n
e− j 2π n=cos(2π n)− j sen(2π n)=1
X (m+ N )=∑n=0
N −1
x (n)e− j 2π n m
N
entonces la secencia infinita resltante es na e3tensi"n #eri"dica5 con #eriodo% 5 de la DFT7
Periodicidad
Pro#iedades de la Transformada de Forier discreta
Si la DFT es evalada #ara todos los valores de n5 % no solo #ara n=0, , %&'5
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X (m+ N )=∑n=0
N −1
x (n)e
− j 2π n(m+ N ) N
Demostraci"n2
X (m+ N )=∑n=0
N −1
x (n)e− j 2π n m
N e− j 2 πn N
N
X (m+ N )=∑n=0
N −1
x (n)e− j 2π n m
N e− j 2π n
e− j 2π n=cos(2π n)− j sen(2π n)=1
X (m+ N )=∑n=0
N −1
x (n)e− j 2π n m
N
X (m)=∑n=0
N −1
x (n)e− j 2 πn m
N
entonces la secencia infinita resltante es na e3tensi"n #eri"dica5 con #eriodo% 5 de la DFT7
Periodicidad
Pro#iedades de la Transformada de Forier discreta
Si la DFT es evalada #ara todos los valores de n5 % no solo #ara n=0, , %&'5
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X (m+ N )=∑n=0
N −1
x (n)e
− j 2π n(m+ N ) N
Demostraci"n2
X (m+ N )=∑n=0
N −1
x (n)e− j 2π n m
N e− j 2 πn N
N
X (m+ N )=∑n=0
N −1
x (n)e− j 2π n m
N e− j 2π n
e− j 2π n=cos(2π n)− j sen(2π n)=1
X (m+ N )=∑n=0
N −1
x (n)e− j 2π n m
N
X (m)=∑n=0
N −1
x (n)e− j 2 πn m
N
X (m+ N )= X (m)
entonces la secencia infinita resltante es na e3tensi"n #eri"dica5 con #eriodo% 5 de la DFT7
Me&ora de la resolci"n de la DFT
0ellenadoE con zeros2 * =3"0 Hz 16 muestras
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Me&ora de la resolci"n de la DFT
0ellenadoE con zeros2 * =3"0 Hz 16 muestras
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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16 ceros
Me&ora de la resolci"n de la DFT
0ellenadoE con zeros2 * =3"0 Hz 16 muestras
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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16 ceros
48 ceros
Me&ora de la resolci"n de la DFT
0ellenadoE con zeros2 * =3"0 Hz 16 muestras
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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16 ceros
48 ceros 112 ceros
Me&ora de la resolci"n de la DFT
0ellenadoE con zeros en Scila(2
443n G <5 ?5 4@5 A5 <5 9I JJ Señal a rellenar 3n G
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3n G
<7 ?7 4 @7 A7 <7 97
44vc G zerosB95 ><C JJ Vector de ceros Bmás elementos ,e 3nC vc G colmn 9 to 9: K7 K7 K7 K7 K7 K7 K7 K7 K7 K7 K7 K7 K7 K7 K7 K7 K7 K7
colmn 9L to ><K7 K7 K7 K7 K7 K7 K7 K7 K7 K7 K7 K7 K7 K7
44vcB 92lengthB3nC C G 3n JJ .o#iamos 3n al inicio del vector de ceros vc G colmn 9 to 9: <7 ?7 4 @7 A7 <7 97 K7 K7 K7 K7 K7 K7 K7 K7 K7 K7 K7 K7
colmn 9L to >< K7 K7 K7 K7 K7 K7 K7 K7 K7 K7 K7 K7 K7 K7
443nrellena G vc JJ 3nrellena toma el valor de vc
1
Práctica =797<7 '(&etivo2 .om#ro(ar la #ro#iedad de simetr6a mediante la
graficaci"n de la magnitd de la DFT en n #rograma de cálclo nmérico7
Pro#iedades de la Transformada de Forier discreta
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x(n)=3sen (2 π1
10 n)97 .onsidere la sigiente fnci"n discreta n=[0,10] ! "<7 .on la mestras o(tenidas5 calcle la DFT de ' #ntos7
>7 rafi,e la magnitd de la DFT % ss #artes real e imaginaria Bcon #lot5 no con
sciNstemC7
=7 !sco&a n valor de frecencia m B#or e&em#lo m = C7 Mestre el resltado dela sigiente diferencia2 X(m) * X(%&m+)7 0ecerde ,e los 6ndices en los
#rogramas de cálclo nmérico como Scila( % Matla( comienzan en '7
?7 0e#ita los #asos anteriores #ero ahora con la fnci"n com#le&a
@7 -Oé #ede conclir so(re la #ro#iedad de simetr6a de la DFT/
x (n)=e j π
1
10 n
Práctica =797>7 '(&etivo2 .om#ro(ar la #ro#iedad de linealidad mediante la
graficaci"n de la magnitd de la DFT en n #rograma de cálclo nmérico7
Pro#iedades de la Transformada de Forier discreta
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x1(n)=3cos(2 π1
7 n)
97 .onsidere la sigientes fnciones discretas % la sma de ellas2
<7 .alcle la DFT de #ntos so(re x '(n), x (n) - x s(n)7
>7 !n na #rimera s(gráfica5 grafi,e la magnitd de X s(m) Bcon #lotC7
=7 !n na segnda s(gráfica5 grafi,e la magnitd de X s(m) = X '(m) + X (m)7
?7 Mestre la sma de la diferencia entre X s(m) % X s(m), mediante la instrcci"n
Ben Scila(C dis!( sum( a.s(Xsm * Xsm) ) )@7 .on fndamento en las gráficas % el resltado de la sma de la diferencia
entre las magnitdes de las DFT5 -,é #ede conclir so(re la #ro#iedad de
linealidad de la DFT/
x2(n)=0"8sen(2 π2
5 n )
x s(n)= x1(n)+ x2(n) n=[0,10 ] ! "
Práctica =797=7 '(&etivo2 .om#ro(ar la #ro#iedad de #eriodicidad mediante la
graficaci"n de la magnitd de la DFT en n #rograma de cálclo nmérico7
Pro#iedades de la Transformada de Forier discreta
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x(n)=(−0"9)n
97 .onsidere la sigiente fnci"n discreta n=[0,10 ] ! "<7 .on la mestras o(tenidas5 calcle la DFT de ' #ntos7
>7 .on la mestras o(tenidas5 calcle la DFT de ' #ntos en dos ciclos con la
sigiente fnci"n2
=7 rafi,e en na #rimera s(gráfica la magnitd de la DFT de n ciclo7
?7 rafi,e en na segnda s(gráfica la magnitd de la DFT de dos ciclos7
Pro#iedades de la Transformada de Forier discreta
@7 0e#ita los #asos anteriores5 #ero #ara la sigiente fnci"n2
j π3
n
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A7 !n fnci"n de los resltados de las dos #artes de la #ráctica5 -Oé #ede
conclir so(re la #ro#iedad de #eriodicidad de la DFT/
x(n)=(0"9e )
Teorema de des#lazamiento #ara la DFT
!sta(lece ,e n des#lazamiento tem#oral de na secencia #eri"dica x(n) se
manifiesta como n des#lazamiento de fase en los ánglos asociados con la DFT
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X des1 (m)=∑n=0
N −1
x (n+ k )e− j 2π n m
N
Teorema de des#lazamiento #ara la DFT
!sta(lece ,e n des#lazamiento tem#oral de na secencia #eri"dica 3BnC se
manifiesta como n des#lazamiento de fase en los ánglos asociados con la DFT
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X des1 (m)=∑n=0
N −1
x (n+ k )e− j 2π n m
N
2=n+ k
Teorema de des#lazamiento #ara la DFT
!sta(lece ,e n des#lazamiento tem#oral de na secencia #eri"dica 3BnC se
manifiesta como n des#lazamiento de fase en los ánglos asociados con la DFT
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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X des1 (m)=∑n=0
N −1
x (n+ k )e− j 2π n m
N
2=n+ k n=2−k
Teorema de des#lazamiento #ara la DFT
!sta(lece ,e n des#lazamiento tem#oral de na secencia #eri"dica 3BnC se
manifiesta como n des#lazamiento de fase en los ánglos asociados con la DFT
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X des1(m)= ∑2=k
N −1+ k
x (2)e
− j 2 π(2−k )m
N
X des1 (m)=∑n=0
N −1
x (n+ k )e− j 2π n m
N
2=n+ k n=2−k
Teorema de des#lazamiento #ara la DFT
!sta(lece ,e n des#lazamiento tem#oral de na secencia #eri"dica 3BnC se
manifiesta como n des#lazamiento de fase en los ánglos asociados con la DFT
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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X des1 (m)=∑2=0
N −1
x (2)e− j 2π 2 m
N e j 2π k m
N
X des1(m)= ∑2=k
N −1+ k
x (2)e
− j 2 π(2−k )m
N
2=n+ k n=2−k
X des1 (m)=∑n=0
N −1
x (n+ k )e− j 2π n m
N
Teorema de des#lazamiento #ara la DFT
!sta(lece ,e n des#lazamiento tem#oral de na secencia #eri"dica 3BnC se
manifiesta como n des#lazamiento de fase en los ánglos asociados con la DFT
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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X des1 (m)=e j 2π k m
N ∑2=0
N −1
x (2)e− j 2π 2 m
N
X des1 (m)=∑2=0
N −1
x (2)e− j 2π 2 m
N e j 2π k m
N
X des1 (m)= ∑2=k
N −1+ k
x (2)e
− j 2 π(2−k )m
N
2=n+ k n=2−k
X des1(m)=∑n=0
N −1
x (n+ k )e− j 2π n m N
Teorema de des#lazamiento #ara la DFT
!sta(lece ,e n des#lazamiento tem#oral de na secencia #eri"dica 3BnC se
manifiesta como n des#lazamiento de fase en los ánglos asociados con la DFT
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X des1 (m)=e j 2π k m
N ∑2=0
N −1
x (2)e− j 2π 2 m
N
X des1 (m)=e j 2π k m
N ∑2=0
N −1
x (2)e− j 2π 2 m
N
X des1 (m)=∑2=0
N −1
x (2)e− j 2π 2 m
N e j 2π k m
N
X des1 (m)= ∑2=k
N −1+ k
x (2)e
− j 2 π(2−k )m
N
2=n+ k n=2−k
X des1(m)=∑n=0
N −1 x (n+ k )e
− j 2π n m N
Teorema de des#lazamiento #ara la DFT
!sta(lece ,e n des#lazamiento tem#oral de na secencia #eri"dica 3BnC se
manifiesta como n des#lazamiento de fase en los ánglos asociados con la DFT
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X des1 (m)=e j 2π k m
N X (m)
X des1 (m)=e j 2π k m
N ∑2=0
N −1
x (2)e− j 2π 2 m
N
X des1 (m)=e j 2π k m
N ∑2=0
N −1
x (2)e− j 2π 2 m
N
X des1 (m)=∑2=0
N −1
x (2)e− j 2π 2 m
N e j 2π k m
N
X des1 (m)= ∑2=k
N −1+ k
x (2)e
− j 2 π(2−k )m
N
2=n+ k n=2−k
X des1(m)=∑n=0
N −1 x (n+ k )e
− j 2π n m N
Teorema de des#lazamiento #ara la DFT
!sta(lece ,e n des#lazamiento tem#oral de na secencia #eri"dica 3BnC se
manifiesta como n des#lazamiento de fase en los ánglos asociados con la DFT
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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2π k m
N rad$anes o
360 k m
N 'rados
Des#lazamiento2
X des1 (m)=e j 2π k m
N X (m)
X des1 (m)=e j 2π k m
N ∑2=0
N −1
x (2)e− j 2π 2 m
N
X des1 (m)=e j 2π k m
N ∑2=0
N −1
x (2)e− j 2π 2 m
N
X des1(m)=∑2=0
N −1
x (2)e− j 2π 2 m
N e j 2π k m
N
X des1 (m)= ∑2=k
N −1+ k
x (2)e
− j 2 π(2−k )m
N
2=n+ k n=2−k
X des1(m)=∑n=0
N −1 x (n+ k )e
− j 2π n m N
!&em#lo <
S#onga ,e la señal del e&em#lo 9 es mestreada con n adelanto en el
tiem#o / =2
Teorema de des#lazamiento #ara la DFT
x (t )=sen(2 π 1000 t )+ 0"5sen (2 π 2000 t +3
π)
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$n
( ) ( ) (4
)
x (n+ 3)=sen (2 π 1000(n+ 3)t s)+ 0"5sen(2 π 2000(n+ 3) t s+3
4 π)
!&em#lo <
x (t )=sen(2 π 1000 t )+ 0"5sen (2 π 2000 t +3
π)
Teorema de des#lazamiento #ara la DFT
S#onga ,e la señal del e&em#lo 9 es mestreada con n adelanto en el
tiem#o / =2
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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$n 4
Mestras en el e&em#lo 9
Mestras en el e&em#lo <
x (n+ 3)=sen (2 π 1000(n+ 3)t s)+ 0"5sen(2 π 2000(n+ 3) t s+3
4 π)
!&em#lo <
Teorema de des#lazamiento #ara la DFT
Mestras 2 x (n+ 3)=sen (2 π 1000(n+ 3)t s)+ 0"5sen(2 π 2000(n+ 3) t s+3
4 π)
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x (0)=1"0606602
x (1)=0"3535534
x (2)=−1"0606602
x(3)=−1"3535534
x (4)=−0"3535534 x (5)=0"3535534
x (6)=0"3535534
x (7)=0"6464466
!&em#lo <
Teorema de des#lazamiento #ara la DFT
Dominio de la frecencia 2
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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!&em#lo <
Teorema de des#lazamiento #ara la DFT
Dominio de la frecencia 2 X des1(m)=e j 2π k m
N X (m)
1 N 8 k 3
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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m=1 N =8 k =3
!&em#lo <
Teorema de des#lazamiento #ara la DFT
Dominio de la frecencia 2 X des1(m)=e j 2π k m
N X (m)
1 N 8 k 3
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m=1
X des1 (1)=e
j 2 π(3)(1)8 X (1)
N =8 k =3
!&em#lo <
Teorema de des#lazamiento #ara la DFT
Dominio de la frecencia 2 X des1(m)=e j 2π k m
N X (m)
1 N 8 k 3
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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m=1
X des1 (1)=e
j 2 π(3)(1)8 X (1)
X (1)=4∢−90=4 e− j
π2
N =8 k =3
!&em#lo <
Teorema de des#lazamiento #ara la DFT
Dominio de la frecencia 2 X des1(m)=e j 2π k m
N X (m)
1 N 8 k 3
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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m=1
X des1 (1)=e
j 2 π(3)(1)8 X (1)
X (1)=4∢−90=4 e− j
π2
N =8 k =3
X des1 (1)=e j 6π8 4 e
− j π2
!&em#lo <
Teorema de des#lazamiento #ara la DFT
Dominio de la frecencia 2 X des1(m)=e j 2π k m
N X (m)
m 1 N 8 k 3
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 128/265
m=1
X des1 (1)=e
j 2 π(3)(1)8 X (1)
X (1)=4∢−90=4 e− j
π2
N =8 k =3
X des1 (1)=e j 6π8 4 e
− j π2
X des1 (1)=e j 3π
4 4 e− j
π2
!&em#lo <
Teorema de des#lazamiento #ara la DFT
Dominio de la frecencia 2 X des1(m)=e j 2π k m
N X (m)
m 1 N 8 k 3
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 129/265
m=1
X des1 (1)=e
j 2 π(3)(1)8 X (1)
X (1)=4∢−90=4 e− j
π2
N =8 k =3
X des1 (1)=e j 6π
8 4 e− j
π2
X des1 (1)=e j 3π
4 4 e− j
π2
X des(1)=4 e j π(3
4−
2
4 )
!&em#lo <
Teorema de des#lazamiento #ara la DFT
Dominio de la frecencia 2 X des1(m)=e j 2π k m
N X (m)
m 1 N 8 k 3
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 130/265
m=1
X des1 (1)=e
j 2 π(3)(1)8 X (1)
X (1)=4∢−90=4 e− j
π2
N =8 k =3
X des1 (1)=e j 6π
8 4 e− j
π2
X des1 (1)=e j 3π
4 4 e− j
π2
X des(1)=4 e j π(3
4−
2
4 )
X des1 (1)=4 e j π
4
!&em#lo <
Teorema de des#lazamiento #ara la DFT
Dominio de la frecencia 2 X des1 (m)=e j 2π k m
N X (m)
m=1 N =8 k=3
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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m=1
X des1(1)=e
j 2 π(3)(1)8 X (1)
X (1)=4∢−90(=4 e− j π
2
N =8 k =3
X des1 (1)=e j 6π
8 4 e− j π2
X des1 (1)=e j 3π
4 4 e− j π
2
X des1 (1)=4 e j π( 3
4−
2
4 )
X des1(1)=4 e j π4
X des1(1)=4∢45(
!&em#lo <
Teorema de des#lazamiento #ara la DFT
Dominio de la frecencia 2 X des1 (1)=4∢45(
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!&em#lo 9Dominio de la frecencia 2
X (1)=4∢−90(
Práctica =797?7 '(&etivo2 .om#ro(ar el teorema de des#lazamiento mediante la
graficaci"n de la DFT de na señal des#lazada / mestras7
Pro#iedades de la Transformada de Forier discreta
97 .onsidere la fnci"n del e&em#lo 92 x (t )=sen(2 π1000 t )+0"5sen(2π 2000 t +3
4π)
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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>7 .alcle la DFT X(m) de 8 #ntos so(re las mestras ad,iridas en n+7
=7 !n na #rimera s(gráfica5 grafi,e la #arte real de X(m)7
?7 !n na segnda s(gráfica5 grafi,e la #arte imaginaria de X(m)7
@7 !n na tercera s(gráfica5 grafi,e la magnitd de X(m)
A7 !n na carta s(gráfica5 grafi,e el ánglo de fase de X(m)
:7 .on fndamento en las gráficas5 -,é #ede conclir so(re el teorema de
des#lazamiento de la DFT/
4<7 Mestree la señal a fs = 8000 Hz % o(tenga 8 mestras n = 10,23 5 #ero #ara n
adelantada tres mestras B n+ C7
Definici"n2
Transformada de Forier Discreta )nversa B)DFTC
x (n)=1
N ∑
m=0
N −1
X (m)e j 2πm n
N
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Definici"n2
Transformada de Forier Discreta )nversa B)DFTC
x (n)=1
N ∑
m=0
N −1
X (m)e j 2πm n
N
( )1 ∑
N −1
( )[ (2πm n
) (2πm n
)]
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x (n)=1
N ∑
m=0
X (m)[cos(2πm n
N )+ j sen(
2πm n
N )]
Definici"n2
Transformada de Forier Discreta )nversa B)DFTC
x (n)=1
N ∑
m=0
N −1
X (m)e j 2πm n
N
( )1 ∑
N −1
( )[ (2πm n
) (2πm n
)]
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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x (n)=1
N ∑
m=0
X (m)[cos(2πm n
N )+ j sen(
2πm n
N )]
Una señal en tiem#o discreto #ede ser considerada como na sma de
varias frecencias anal6ticas sinsoidales
Definici"n2Transformada de Forier Discreta )nversa B)DFTC
x (n)=1
N ∑
m=0
N −1
X (m)e j 2πm n
N
( )1 ∑
N −1
( )[ (2πm n
) (2πm n
)]
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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x (n)=1
N ∑
m=0
X (m)[cos(2πm n
N )+ j sen(
2πm n
N )]
Una señal en tiem#o discreto #ede ser considerada como na sma de
varias frecencias anal6ticas sinsoidales
*as salidas X(m) de la DFT son n con&nto de N valores com#le&os ,e
indican la magnitd % la fase de cada frecencia de análisis involcrada en
la sma
Definici"n2Transformada de Forier Discreta )nversa B)DFTC
x (n)=1
N ∑
m=0
N −1
X (m)e j 2πm n
N
( )1 ∑
N −1
X ( )[ (2πm n
) j (2πm n
)]
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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x (n)=1
N ∑
m=0
X (m)[cos(2πm n
N )+ j sen(
2πm n
N )]
Una señal en tiem#o discreto #ede ser considerada como na sma de
varias frecencias anal6ticas sinsoidales
*as salidas X(m) de la DFT son n con&nto de N valores com#le&os ,e
indican la magnitd % la fase de cada frecencia de análisis involcrada en
la sma
X (1)=0− j 4"0=4∢−90
X (2)=1"4142+ j 1"4142=2∢45
X (3)=0− j 0=0∢0
X (4)=0− j 0=0∢0
X (5)=0− j 0=0∢0
X (6)=1"4142− j 1"4142=2∢−45
X (7)=0+ j 4"0=4∢90
X (0)=0− j 0=0∢0
Transformada de Forier Discreta )nversa B)DFTC
X (1)=0− j 4"0=4∢−90
X (2)=1"4142+ j 1"4142=2∢45
X (4)=0− j 0=0∢0
X (5)=0− j 0=0∢0
X (6)=1"4142− j 1"4142=2∢−45
X (0)=0− j 0=0∢0
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x (n)=1
N
∑m=0
N −1
X (m)
[cos(
2πm n
N
)+ j sen(2πm n
N
)
]
( ) X (3)=0− j 0=0∢0
( ) X (7)=0+ j 4"0=4∢90(
Transformada de Forier Discreta )nversa B)DFTC
X (1)=0− j 4"0=4∢−90
X (2)=1"4142+ j 1"4142=2∢45
X (4)=0− j 0=0∢0
X (5)=0− j 0=0∢0
X (6)=1"4142− j 1"4142=2∢−45
X (0)=0− j 0=0∢0
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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x (n)=1
N
∑m=0
N −1
X (m)
[cos(
2πm n
N
)+ j sen(2πm n
N
)
]
( ) X (3)=0− j 0=0∢0
( ) X (7)=0+ j 4"0=4∢90(
x (0)=0"3535534+ j 0"0
x (1)=0"3535534+ j 0"0
x (2)=0"6464466+ j 0"0
x(3)=1"0606602+ j 0"0
x (4)=0"3535534+ j 0"0
x (5)=−1"0606602+ j 0"0
x (6)=−1"3535534+ j 0"0
x (7)=−0"3535534+ j 0"0
Práctica =797@7 '(&etivo2 .om#render la relaci"n entre la DFT % la )DFT mediante
la #rogramaci"n de esta +ltima en n #rograma de cálclo nmérico7
Transformada de Forier discreta )nversa
97 .onsidere la fnci"n del e&em#lo 92 x (t )=sen(2 π 1000 t )+0"5sen(2π 2000 t +3
4
π)
< Mestree la señal a fs = 8000 Hz % o(tenga 8 mestras n = 10 23
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?7 .alcle la )DFT de 8 #ntos so(re X(m) con la fnci"n miN)DFT7sce7
@7 .om#are el resltado de la )DFT con las mestras x(n)7 -,é #ede conclir/
<7 Mestree la señal a fs = 8000 Hz % o(tenga 8 mestras n = 10,23 7
>7 .alcle la DFT de la señal con la fnci"n miNDFT7sce7
=7 Partiendo de la fnci"n miNDFT7sce5 #rograme la ecaci"n de la )DFT2
!&em#lo 9 x$n
(t )=sen(2 π 1000 t )+0"5sen(2 π 2000 t +3
4π)
3
4 π=135
Mestreando a na frecencia 5 se toman mestras cada segndos2 f s1
f s=t s
x (n)=sen (2π 1000 n t s)+ 0"5sen (2 π 2000n t s+3
4 π)
Fgas Blea/a#eC en la DFT
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m f s
N 0 Hz ,1 Hz ,2 Hz ,… ,7 Hz Frecencias de análisis 2
Si f s=8000 muestras/sm=0 m=1 m=2 … m=7
X (1)=0− j 4"0=4∢−90 (
X (2)=1"4142+ j 1"4142=2∢45(
X (3)=0− j 0=0∢0 (
X (4)=0− j 0=0∢0 (
X (5)=0− j 0=0∢0 ( X (6)=1"4142− j 1"4142=2∢−45(
X (7)=0+ j 4"0=4∢90 (
X (0)=0
Fgas Blea/a#eC en la DFT
*as fgas hacen ,e los resltados de la DFT sean solo na a#ro3imaci"n
al verdadero es#ectro de la señal antes del mestreo7
Se #ede redcir mas no eliminar
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Fgas Blea/a#eC en la DFT
*as fgas hacen ,e los resltados de la DFT sean solo na a#ro3imaci"n
al verdadero es#ectro de la señal antes del mestreo7
Se #ede redcir mas no eliminar
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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0ecordar ,e2
f an#$s$s(m)=m f s
N , m=1,2,… , N −1
Fgas Blea/a#eC en la DFT
*as fgas hacen ,e los resltados de la DFT sean solo na a#ro3imaci"n
al verdadero es#ectro de la señal antes del mestreo7
Se #ede redcir mas no eliminar
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0ecordar ,e2
f an#$s$s(m)=m f s
N , m=1,2,… , N −1
*a DFT #rodce resltados correctos solo cando la secencia de datos de
entrada contiene energ6a #recisamente en la frecencias de análisis
Fgas Blea/a#eC en la DFT.onsidere na señal de frecencia igal a 3 Hz 5 de la cal se e3traen 64
mestras (n=0... 63) % es mestreada a 7 .alclando la DFT2 f s=64 muestras/s
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Fgas Blea/a#eC en la DFT.onsidere na señal de frecencia igal a 3 Hz 5 de la cal se e3traen 64
mestras (n=0... 63) % es mestreada a 7 .alclando la DFT2 f s=64 muestras/s
m f s
N 0 Hz ,1 Hz ,2 Hz ,… ,63 Hz
Frecencias de análisis 2
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Fgas Blea/a#eC en la DFT.onsidere na señal de frecencia igal a 3 Hz 5 de la cal se e3traen 64
mestras (n=0... 63) % es mestreada a 7 .alclando la DFT2 f s=64 muestras/s
m f s
N 0 Hz ,1 Hz ,2 Hz ,… ,63 Hz
Frecencias de análisis 2
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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Fgas Blea/a#eC en la DFT.onsidere na señal de frecencia igal a 3 Hz 5 de la cal se e3traen 64
mestras (n=0... 63) % es mestreada a 7 .alclando la DFT2 f s=64 muestras/s
m f s
N 0 Hz ,1 Hz ,2 Hz ,… ,63 Hz
Frecencias de análisis 2 * =3"4 Hz
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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Fgas Blea/a#eC en la DFT.onsidere na señal de frecencia igal a 3 Hz 5 de la cal se e3traen 64
mestras (n=0... 63) % es mestreada a 7 .alclando la DFT2 f s=64 muestras/s
m f s
N 0 Hz ,1 Hz ,2 Hz ,… ,63 Hz
Frecencias de análisis 2 * =3"4 Hz
0 Hz ,1 Hz ,2 Hz ,… ,63 Hz
Frecencias de análisis 2
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Fgas Blea/a#eC en la DFT.onsidere na señal de frecencia igal a 3 Hz 5 de la cal se e3traen 64
mestras (n=0... 63) % es mestreada a 7 .alclando la DFT2 f s=64 muestras/s
m f s
N 0 Hz ,1 Hz ,2 Hz ,… ,63 Hz
Frecencias de análisis 2 * =3"4 Hz
0 Hz ,1 Hz ,2 Hz ,… ,63 Hz
Frecencias de análisis 2
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Fgas Blea/a#eC en la DFT
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Fgas Blea/a#eC en la DFT
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Fgas Blea/a#eC en la DFT-Oé casa ese com#ortamiento/
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mG= 't#t (in B.ontenedor de salidaC
Fgas Blea/a#eC en la DFT-Oé casa ese com#ortamiento/
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mG= 't#t (in B.ontenedor de salidaC
*as fgas hacen ,e cal,ier señal c%a frecencia no se encentre en el
centro del contenedor B(inC se fu#uen hacia los otros contenedores7
Fgas Blea/a#eC en la DFT*a res#esta en am#litd de na DFT de %&!untos so(re na fnci"n sinsoidal
en términos del 6ndice del contenedor m #ede ser a#ro3imada #or la fnci"n
sinc2
X (m)# N 2 ⋅sen(π(k −m))
π(k −m)
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( )
4*5 cos=sen( x)
sen( x
N )
, osen( x )
x , o
sen ( N x
2 )
sen ( x
2 )
Fgas Blea/a#eC en la DFT X (m)#
N
2 ⋅
sen(π(k −m))π(k −m)
Demostraci"n2
x r (n)=cos( 2π n k
N )Fnci"n real2
4*5 cos=sen( x)
sen( x
N )
, osen ( x)
x , o
sen( N x
2 )
sen( x
2)
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Fgas Blea/a#eC en la DFT X (m)#
N
2 ⋅
sen(π(k −m))π(k −m)
Demostraci"n2
x r (n)=cos( 2π n k
N )Fnci"n real2
1+mero de ciclos enterosen 1 mestras
4*5 cos=sen( x)
sen( x
N )
, osen ( x)
x , o
sen( N x
2 )
sen( x
2)
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Fgas Blea/a#eC en la DFT X (m)#
N
2 ⋅
sen(π(k −m))π(k −m)
Demostraci"n2
x r (n)=cos( 2π n k
N )Fnci"n real2
1+mero de ciclos enterosen 1 mestras
X (m)=∑ N −1
x (n)e− j
2πn m
N
4*5 cos=sen( x)
sen( x
N )
, osen ( x)
x , o
sen( N x
2 )
sen( x
2)
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X r (m) ∑n=0
x r (n)e
Fgas Blea/a#eC en la DFT X (m)#
N
2 ⋅
sen(π(k −m))π(k −m)
Demostraci"n2
x r (n)=cos( 2π n k
N )Fnci"n real2
1+mero de ciclos enterosen 1 mestras
X r (m)=∑ N −1
x r (n)e− j
2πn m
N =∑ N −1
cos( 2π n k )e− j
2π n m
N
4*5 cos=sen( x)
sen( x
N )
, osen ( x)
x , o
sen( N x
2 )
sen( x
2)
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X r (m) ∑n=0
x r (n)e ∑n=0
cos( N )e
Fgas Blea/a#eC en la DFT X (m)#
N
2 ⋅
sen(π(k −m))π(k −m)
Demostraci"n2
x r (n)=cos( 2π n k
N )Fnci"n real2
1+mero de ciclos enterosen 1 mestras
X r (m)=∑ N −1
x r (n)e− j
2πn m
N =∑ N −1
cos( 2π n k
N )e− j
2π n m
N
4*5 cos=sen( x)
sen( x
N )
, osen ( x)
x , o
sen( N x
2 )
sen( x
2)
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r ( ) ∑n=0
r ( ) ∑n=0
( N )cos(ω t )=
e jω t +e− j ω t
2)dentidad de !ler
Fgas Blea/a#eC en la DFT X (m)#
N
2 ⋅
sen(π(k −m))π(k −m)
Demostraci"n2
x r (n)=cos( 2π n k
N )Fnci"n real2
1+mero de ciclos enterosen 1 mestras
X r (m)=∑ N −1
x r (n)e− j
2πn m
N =∑ N −1
cos( 2π n k
N )e− j
2π n m
N
4*5 cos=sen( x)
sen( x
N )
, osen ( x)
x , o
sen( N x
2 )
sen( x
2)
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 162/265
r ( ) ∑n=0
r ( ) ∑n=0
( N )cos(ω t )=
e jω t +e− j ω t
2)dentidad de !ler
X r (m)=1
2∑n=0
N −1 (e j
2π n k
N +e− j
2 πn k
N )e− j
2πn m
N
Fgas Blea/a#eC en la DFT X (m)#
N
2 ⋅
sen(π(k −m))π(k −m)
Demostraci"n2
x r (n)=cos( 2π n k
N )Fnci"n real2
1+mero de ciclos enterosen 1 mestras
X r (m)=∑ N −1
x r (n)e− j
2πn m
N =∑ N −1
cos( 2π n k
N )e− j
2π n m
N
4*5 cos=sen( x)
sen( x
N )
, osen ( x)
x , o
sen( N x
2 )
sen( x
2)
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 163/265
r ( ) ∑n=0
r ( ) ∑n=0
( N )cos(ω t )=
e jω t +e− j ω t
2)dentidad de !ler
X r (m)=1
2∑n=0
N −1 (e j
2π n k
N +e− j
2 πn k
N )e− j
2πn m
N
X r (m)=1
2∑n=0
N −1
e j
2 πn k
N e− j
2π n m
N +1
2∑n=0
N −1
e− j
2π n k
N e− j
2 πn m
N
Fgas Blea/a#eC en la DFT X (m)#
N
2 ⋅
sen(π(k −m))π(k −m)
Demostraci"n2
x r (n)=cos( 2π n k
N )Fnci"n real2
1+mero de ciclos enterosen 1 mestras
X r (m)=∑ N −1
x r (n)e− j
2πn m
N =∑ N −1
cos( 2π n k
N )e− j
2π n m
N
4*5 cos=sen( x)
sen( x
N )
, osen ( x)
x , o
sen( N x
2 )
sen( x
2)
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 164/265
n=0 n=0( N )
cos(ω t )=e jω t +e− j ω t
2)dentidad de !ler
X r (m)=1
2∑n=0
N −1 (e j
2π n k
N +e− j
2 πn k
N )e− j
2πn m
N
X r (m)=1
2∑n=0
N −1
e j
2 πn k
N e− j
2π n m
N +1
2∑n=0
N −1
e− j
2π n k
N e− j
2 πn m
N
X r (m)=1
2∑n=0
N −1
e j
2 πn (k −m ) N +
1
2∑n=0
N −1
e− j
2π n(k +m ) N
Fgas Blea/a#eC en la DFT X (m)#
N
2 ⋅
sen(π(k −m))π(k −m)
Demostraci"n2
x r (n)=cos( 2π n k
N )Fnci"n real2
1+mero de ciclos enterosen 1 mestras
X r (m)=∑ N −1
x r (n)e− j
2πn m
N =∑ N −1
cos( 2π n k
N )e− j
2π n m
N
4*5 cos=sen( x)
sen( x
N )
, osen ( x)
x , o
sen( N x
2 )
sen( x
2)
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 165/265
n=0 n=0( N )
cos(ω t )=e jω t +e− j ω t
2)dentidad de !ler
X r (m)=1
2∑n=0
N −1 (e j
2π n k
N +e− j
2 πn k
N )e− j
2πn m
N
X r (m)=1
2∑n=0
N −1
e j
2 πn k
N e− j
2π n m
N +1
2∑n=0
N −1
e− j
2π n k
N e− j
2 πn m
N
X r (m)=1
2∑n=0
N −1
e j
2 πn (k −m ) N +
1
2∑n=0
N −1
e− j
2π n(k +m ) N
Fgas Blea/a#eC en la DFT X (m)#
N
2 ⋅
sen(π(k −m))π(k −m)
Demostraci"n2
x r (n)=cos( 2π n k
N )Fnci"n real2
1+mero de ciclos enterosen 1 mestras
X r (m)=∑ N −1
x r (n)e− j
2πn m
N =∑ N −1
cos( 2π n k
N )e− j
2π n m
N
2=−2 π(k −m)
N
4*5 cos=sen( x)
sen( x
N )
, osen ( x)
x , o
sen( N x
2 )
sen( x
2)
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 166/265
n=0 n=0( N )
cos(ω t )=e jω t +e− j ω t
2)dentidad de !ler
X r (m)=1
2∑n=0
N −1
(e j
2π n k
N +e− j
2 πn k
N )e− j
2πn m
N
X r (m)=1
2∑n=0
N −1
e j
2 πn k
N e− j
2π n m
N +1
2∑n=0
N −1
e− j
2π n k
N e− j
2 πn m
N
X r (m)=1
2∑n=0
N −1
e j
2 πn (k −m ) N +
1
2∑n=0
N −1
e− j
2π n(k +m ) N
Fgas Blea/a#eC en la DFT X (m)#
N
2 ⋅
sen(π(k −m))π(k −m)
Demostraci"n2
x r (n)=cos( 2π n k
N )Fnci"n real2
1+mero de ciclos enterosen 1 mestras
X r (m)=∑0
N −1
x r (n)e− j
2πn m
N =∑0
N −1
cos( 2π n k
N )e− j
2π n m
N
2=−2 π(k −m)
N
∑ N −1
e j
2 πn(k −m ) N =∑
N −1
e− j n 2
4*5 cos=sen( x)
sen( x
N )
, osen ( x)
x , o
sen( N x
2 )
sen( x
2)
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 167/265
n=0 n=0( N )
cos(ω t )=e jω t +e− j ω t
2)dentidad de !ler
X r (m)=1
2∑n=0
N −1
(e j
2π n k
N +e− j
2 πn k
N )e− j
2πn m
N
X r (m)=1
2∑n=0
N −1
e j
2 πn k
N e− j
2π n m
N +1
2∑n=0
N −1
e− j
2π n k
N e− j
2 πn m
N
X r (m)=1
2∑n=0
N −1
e j
2 πn (k −m ) N +
1
2∑n=0
N −1
e− j
2π n(k +m ) N
∑n=0
∑n=0
Fgas Blea/a#eC en la DFT X (m)#
N
2 ⋅
sen(π(k −m))π(k −m)
Demostraci"n2
x r (n)=cos( 2π n k
N )Fnci"n real2
1+mero de ciclos enterosen 1 mestras
X r (m)=∑0
N −1
x r (n)e− j
2πn m
N =∑0
N −1
cos( 2π n k
N )e− j
2π n m
N
2=−2 π(k −m)
N
∑ N −1
e j
2 πn(k −m ) N =∑
N −1
e− j n 2 =∑
N −1
(e− j 2 )n
4*5 cos=sen( x)
sen( x
N )
, osen ( x)
x , o
sen( N x2 )
sen( x
2)
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 168/265
n=0 n=0( N )
cos(ω t )=e jω t +e− j ω t
2)dentidad de !ler
X r (m)=1
2∑n=0
N −1
(e j
2π n k
N +e− j
2 πn k
N )e− j
2πn m
N
X r (m)=1
2∑n=0
N −1
e j
2 πn k
N e− j
2π n m
N +1
2∑n=0
N −1
e− j
2π n k
N e− j
2 πn m
N
X r (m)=1
2∑n=0
N −1
e j
2 πn (k −m ) N +
1
2∑n=0
N −1
e− j
2π n(k +m ) N
∑n=0
∑n=0
∑n=0
( )
Fgas Blea/a#eC en la DFT X (m)#
N
2 ⋅
sen(π(k −m))π(k −m)
Demostraci"n2
x r (n)=cos( 2π n k
N )Fnci"n real2
1+mero de ciclos enterosen 1 mestras
X r (m)=∑n=0
N −1
x r (n)e− j
2πn m
N =∑n=0
N −1
cos( 2π n k
N )e− j
2π n m
N
2=−2 π(k −m)
N
∑ N −1
e j
2 πn(k −m ) N =∑
N −1
e− j n 2 =∑
N −1
(e− j 2 )n
4*5 cos=sen( x)
sen( x
N )
, osen ( x)
x , o
sen( N x2 )
sen( x
2)
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 169/265
s= ∑n=0
N −1
a r n=a
1−r N
1−r
n=0 n=0( N )
cos(ω t )=e jω t +e− j ω t
2)dentidad de !ler
X r (m)=1
2∑n=0
N −1
(e j
2π n k
N +e− j
2 πn k
N )e− j
2πn m
N
X r (m)=1
2∑n=0
N −1
e j
2 πn k
N e− j
2π n m
N +1
2∑n=0
N −1
e− j
2π n k
N e− j
2 πn m
N
X r (m)=1
2∑n=0
N −1
e j
2 πn (k −m ) N +
1
2∑n=0
N −1
e− j
2π n(k +m ) N
∑n=0
∑n=0
∑n=0
Fgas Blea/a#eC en la DFT X (m)#
N
2 ⋅
sen(π(k −m))π(k −m)
Demostraci"n2
x r (n)=cos( 2π n k
N )Fnci"n real2
1+mero de ciclos enterosen 1 mestras
X r (m)=∑n=0
N −1
x r (n)e− j
2πn m
N =∑n=0
N −1
cos( 2π n k
N )e− j
2π n m
N
2=−2 π(k −m)
N
∑ N −1
e j
2 πn(k −m ) N =∑
N −1
e− j n 2 =∑
N −1
(e− j 2 )n
4*5 cos=sen( x)
sen( x
N )
, osen ( x)
x , o
sen( N x2 )
sen( x
2)
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 170/265
s= ∑n=0
N −1
a r n=a
1−r N
1−r
n=0 n=0( )
cos(ω t )=e jω t +e− j ω t
2)dentidad de !ler
X r (m)=1
2∑n=0
N −1
(e j
2π n k
N +e− j
2 πn k
N )e− j
2πn m
N
X r (m)=1
2∑n=0
N −1
e j
2 πn k
N e− j
2π n m
N +1
2∑n=0
N −1
e− j
2π n k
N e− j
2 πn m
N
X r (m)=1
2∑n=0
N −1
e j
2 πn (k −m ) N +
1
2∑n=0
N −1
e− j
2π n(k +m ) N
n=0 n=0 n=0
∑n=0
N −1
( e− j 2 )n
=1−e
− j 2 N
1−e− j 2
Fgas Blea/a#eC en la DFT X (m)#
N
2 ⋅
sen(π(k −m))π(k −m)
Demostraci"n2
x r (n)=cos( 2π n k
N )Fnci"n real2
1+mero de ciclos enterosen 1 mestras
X r (m)=∑n=0
N −1
x r (n)e− j
2πn m
N =∑n=0
N −1
cos( 2π n k
N )e− j
2π n m
N
2=−2 π(k −m)
N
∑ N −1
e j
2 πn(k −m ) N =∑
N −1
e− j n 2 =∑
N −1
(e− j 2 )n
4*5 cos=sen( x)
sen( x
N )
, osen ( x)
x , o
sen( N x2 )
sen( x
2)
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 171/265
s= ∑n=0
N −1
a r n=a
1−r N
1−r
n 0 n 0( )
cos(ω t )=e jω t +e− j ω t
2)dentidad de !ler
X r (m)=1
2∑n=0
N −1
(e j
2π n k
N +e− j
2 πn k
N )e− j
2πn m
N
X r (m)=1
2∑n=0
N −1
e j
2 πn k
N e− j
2π n m
N +1
2∑n=0
N −1
e− j
2π n k
N e− j
2 πn m
N
X r (m)=1
2∑n=0
N −1
e j
2 πn (k −m ) N +
1
2∑n=0
N −1
e− j
2π n(k +m ) N
n=0 n=0 n=0
∑n=0
N −1
( e− j 2 )n
=1−e
− j 2 N
1−e− j 2 (
e j 2
N
2
e j 2 N
2
e j
2
2
e j
2
2
)
Fgas Blea/a#eC en la DFT X (m)#
N
2 ⋅
sen(π(k −m))π(k −m)
Demostraci"n2
x r (n)=cos( 2π n k
N )Fnci"n real2
1+mero de ciclos enterosen 1 mestras
X r (m)=∑n=0
N −1
x r (n)e− j
2πn m
N =∑n=0
N −1
cos( 2π n k
N )e− j
2π n m
N
2=−2 π(k −m)
N
∑0
N −1
e j
2 πn(k −m ) N =∑
0
N −1
e− j n 2 =∑
0
N −1
(e− j 2 )n
4*5 cos=sen( x)
sen( x
N )
, osen ( x)
x , o
sen( N x2 )
sen( x
2)
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 172/265
s= ∑n=0
N −1
a r n=a
1−r N
1−r
n 0 n 0( )
cos(ω t )=e jω t +e− j ω t
2)dentidad de !ler
X r (m)=1
2∑n=0
N −1
(e j
2π n k
N +e− j
2 πn k
N )e− j
2πn m
N
X r (m)=1
2∑n=0
N −1
e j
2 πn k
N e− j
2π n m
N +1
2∑n=0
N −1
e− j
2π n k
N e− j
2 πn m
N
X r (m)=1
2∑n=0
N −1
e j
2 πn (k −m ) N +
1
2∑n=0
N −1
e− j
2π n(k +m ) N
n=0 n=0 n=0
∑n=0
N −1
( e− j 2 )n
=1−e
− j 2 N
1−e− j 2 (
e j 2
N
2
e j 2 N
2
e j
2
2
e j
2
2
)=
e j 2
N
2
e j 2
N
2
−e− j 2 N e
j 2 N
2
e j 2
N
2
e j
2
2
e j
2
2
−e− j 2 e
j 2
2
e j
2
2
Fgas Blea/a#eC en la DFT X (m)#
N
2 ⋅
sen(π(k −m))π(k −m)
4*5 cos=sen( x)
sen( x
N )
, osen ( x)
x , o
sen( N x2 )
sen( x
2)
Demostraci"n2
∑n=0
N −1
( e− j 2 )n
=
e j 2
N
2
e j 2
N
2
−e− j 2 N e
j 2 N
2
e j 2
N
2
e j
2
2− j 2 e
j 2
2
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 173/265
e
e j
2
2
−e− j 2 e
e j
2
2
Fgas Blea/a#eC en la DFT X (m)#
N
2 ⋅
sen(π(k −m))π(k −m)
4*5 cos=sen( x)
sen( x
N )
, osen ( x)
x , o
sen( N x2 )
sen( x
2)
Demostraci"n2
∑n=0
N −1
( e− j 2 )n
=
e j 2
N
2
e j 2
N
2
−e− j 2 N e
j 2 N
2
e j 2
N
2
e j
2
2− j 2 e
j 2
2
=
e j 2
N
2 −e− j 2 N
e j 2
N
2
e j 2
N
2
e j
2
2−e− j 2
e j
2
2
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 174/265
e
e j
2
2
−e j 2 e
e j
2
2
e e e
e j
2
2
Fgas Blea/a#eC en la DFT X (m)#
N
2 ⋅
sen(π(k −m))π(k −m)
4*5 cos=sen( x)
sen( x
N )
, osen ( x)
x , o
sen( N x2 )
sen( x
2)
Demostraci"n2
∑n=0
N −1
( e− j 2 )n
=
e j 2
N
2
e j 2
N
2
−e− j 2 N e
j 2 N
2
e j 2
N
2
e j
2
2− j 2 e
j 2
2
=
e j 2
N
2 −e− j 2 N
e j 2
N
2
e j 2
N
2
e j
2
2−e− j 2
e j
2
2
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 175/265
e j
2
2
−e j 2
e j
2
2 e j
2
2
=e
j 2
2
(e j 2
N
2 −e− j 2
N
2
)e
j 2 N
2 (e j
2
2−e− j
2
2 )
Fgas Blea/a#eC en la DFT X (m)#
N
2 ⋅
sen(π(k −m))π(k −m)
4*5 cos=sen( x)
sen( x
N )
, osen ( x)
x , o
sen( N x2 )
sen( x
2)
Demostraci"n2
∑n=0
N −1
( e− j 2 )n
=
e j 2
N
2
e j 2
N
2
−e− j 2 N e
j 2 N
2
e j 2
N
2
e j
2
2
e− j 2 e
j 2
2
=
e j 2
N
2 −e− j 2 N
e j 2
N
2
e j 2
N
2
e j
2
2−e− j 2
e j
2
2
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 176/265
e j
2
2
−ej 2
e j
2
2 e j
2
2
=e
j 2
2
(e j 2
N
2 −e− j 2
N
2
)e
j 2 N
2 (e j
2
2−e− j
2
2 ) =
e j
2
2 e− j 2
N
2
(e j 2
N
2 −e− j 2
N
2
)(e
j 2
2−e− j
2
2 )
Fgas Blea/a#eC en la DFT X (m)#
N
2 ⋅
sen(π(k −m))π(k −m)
4*5 cos=sen( x)
sen( x
N )
, osen ( x)
x , o
sen( N x2 )
sen( x
2)
Demostraci"n2
∑n=0
N −1
( e− j 2 )n
=
e j 2
N
2
e j 2
N
2
−e− j 2 N e
j 2 N
2
e j 2
N
2
e j
2
2
e− j 2 e
j 2
2
=
e j 2
N
2 −e− j 2 N
e j 2
N
2
e j 2
N
2
e j
2
2−e− j 2
e j
2
2
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 177/265
e j
2
2
−ej 2
e j
2
2 e j
2
2
=e
j 2
2
(e j 2
N
2 −e− j 2
N
2
)e
j 2 N
2 (e j
2
2−e− j
2
2 ) =
e j
2
2 e− j 2
N
2
(e j 2
N
2 −e− j 2
N
2
)(e
j 2
2−e− j
2
2 )
Fgas Blea/a#eC en la DFT X (m)#
N
2 ⋅
sen(π(k −m))π(k −m)
4*5 cos=sen( x)
sen( x
N )
, osen ( x)
x , o
sen( N x2 )
sen( x
2)
Demostraci"n2
∑n=0
N −1
( e− j 2 )n
=
e j 2
N
2
e j 2
N
2
−e− j 2 N e
j 2 N
2
e j 2
N
2
e j
2
2
−e− j 2 e
j 2
2
=
e j 2
N
2 −e− j 2 N
e j 2
N
2
e j 2
N
2
e j
2
2−e− j 2
e j
2
2
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 178/265
e j
2
2
−e
e j
2
2 e j
2
2
=e
j 2
2
(e j 2
N
2 −e− j 2
N
2
)e
j 2 N
2 (e j
2
2−e− j
2
2 ) =
e j
2
2 e− j 2
N
2
(e j 2
N
2 −e− j 2
N
2
)(e
j 2
2−e− j
2
2 )
e
j 2
2 −
j 2
2 N
Fgas Blea/a#eC en la DFT X (m)#
N
2 ⋅
sen(π(k −m))π(k −m)
4*5 cos=sen( x)
sen( x
N )
, osen ( x)
x , o
sen( N x2 )
sen( x
2)
Demostraci"n2
∑n=0
N −1
( e− j 2 )n
=
e j 2
N
2
e j 2
N
2
−e− j 2 N e
j 2 N
2
e j 2
N
2
e j
2
2
−e− j 2 e
j 2
2
=
e j 2
N
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e j 2
N
2
e j 2
N
2
e j
2
2−e− j 2
e j
2
2
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 179/265
e j
2
2
e
e j
2
2 e j
2
2
=e
j 2
2
(e j 2
N
2 −e− j 2
N
2
)e
j 2 N
2 (e j
2
2−e− j
2
2 ) =
e j
2
2 e− j 2
N
2
(e j 2
N
2 −e− j 2
N
2
)(e
j 2
2−e− j
2
2 )
e
j 2
2 −
j 2
2 N
=e
j2
2 (1− N )
Fgas Blea/a#eC en la DFT X (m)#
N
2 ⋅
sen(π(k −m))π(k −m)
4*5 cos=sen( x)
sen( x
N )
, osen ( x)
x , o
sen( N x2 )
sen( x
2)
Demostraci"n2
∑n=0
N −1
( e− j 2 )n
=
e j 2
N
2
e j 2
N
2
−e− j 2 N e
j 2 N
2
e j 2
N
2
e j
2
2
−e− j 2 e
j 2
2
=
e j 2
N
2 −e− j 2 N
e j 2
N
2
e j 2
N
2
e j
2
2−e− j 2
e j
2
2
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 180/265
e j
2
2
e
e j
2
2 e j
2
2
=e
j 2
2
(e j 2
N
2 −e− j 2
N
2
)e
j 2 N
2 (e j
2
2−e− j
2
2 ) =
e j
2
2 e− j 2
N
2
(e j 2
N
2 −e− j 2
N
2
)(e
j 2
2−e− j
2
2 )
e
j 2
2 −
j 2
2 N
=e
j2
2 (1− N )
=e
j2
2 [−( N −1)]
Fgas Blea/a#eC en la DFT X (m)#
N
2 ⋅
sen(π(k −m))π(k −m)
4*5 cos=sen( x)
sen( x
N )
, osen ( x)
x , o
sen( N x2 )
sen( x
2)
Demostraci"n2
∑n=0
N −1
( e− j 2 )n
=
e j 2
N
2
e j 2
N
2
−e− j 2 N e
j 2 N
2
e j 2
N
2
e j
2
2
−e− j 2 e
j 2
2
=
e j 2
N
2 −e− j 2 N
e j 2
N
2
e j 2
N
2
e j
2
2−e− j 2
e j
2
2
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 181/265
e j
2
2
e
e j
2
2 e j
2
2
=e
j 2
2
(e j 2
N
2 −e− j 2
N
2
)e
j 2 N
2 (e j
2
2−e− j
2
2 ) = e
j 2
2 e− j 2
N
2
(e j 2
N
2 −e− j 2
N
2
)(e
j 2
2−e− j
2
2 )
e
j 2
2 −
j 2
2 N
=e
j2
2 (1− N )
=e
j2
2 [−( N −1)]
=e
− j 2 ( N −1)2
Fgas Blea/a#eC en la DFT X (m)#
N
2 ⋅
sen(π(k −m))π(k −m)
4*5 cos=sen( x)
sen( x
N )
, osen ( x)
x , o
sen( N x2 )
sen( x
2)
Demostraci"n2
∑n=0
N −1
( e− j 2 )n
=
e j 2
N
2
e j 2
N
2
−e− j 2 N e
j 2 N
2
e j 2
N
2
e j
2
2
−e− j 2 e
j 2
2
=
e j 2
N
2 −e− j 2 N
e j 2
N
2
e j 2
N
2
e j
2
2−e− j 2
e j
2
2
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 182/265
e j
2
2 e j
2
2 e j
2
2
=e
j 2
2
(e j 2
N
2 −e− j 2
N
2
)e
j 2 N
2 (e j
2
2−e− j
2
2 ) = e
j 2
2 e− j 2
N
2
(e j 2
N
2 −e− j 2
N
2
)(e
j 2
2−e− j
2
2 )
e
j 2
2 −
j 2
2 N
=e
j2
2 (1− N )
=e
j2
2 [−( N −1)]
=e
− j 2 ( N −1)2
=e
− j 2 ( N −1)2
(e j 2
N
2 −e− j 2
N
2 )(e
j 2
2−e− j
2
2 )
Fgas Blea/a#eC en la DFT X (m)#
N
2 ⋅
sen(π(k −m))π(k −m)
4*5 cos=sen( x)
sen( x
N )
, osen ( x)
x , o
sen( N x2 )
sen( x
2)
Demostraci"n2
∑n=0
N −1
( e− j 2 )n
=
e j 2
N
2
e j 2
N
2
−e− j 2 N e
j 2 N
2
e j 2
N
2
e j
2
2
2−e
− j 2 e j
2
2
2
=
e j 2
N
2 −e− j 2 N
e j 2
N
2
e j 2
N
2
e j
2
2−e− j 2
e j
2
2
2
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 183/265
e j
2
2 e j
2
2 e j
2
2
= e j
2
2
(e j 2
N
2 −e− j 2
N
2
)e
j 2 N
2 (e j
2
2−e− j
2
2 ) = e
j 2
2 e− j 2
N
2
(e j 2
N
2 −e− j 2
N
2
)(e
j 2
2−e− j
2
2 )
e
j 2
2 −
j 2
2 N
=e
j2
2 (1− N )
=e
j2
2 [−( N −1)]
=e
− j 2 ( N −1)2
sen(ω t )=e jω t −e
− jω t
2 j
)dentidad de !ler
=e
− j 2 ( N −1)2
(e j 2
N
2 −e− j 2
N
2 )(e
j 2
2−e− j
2
2 )
Fgas Blea/a#eC en la DFT X (m)#
N
2 ⋅
sen(π(k −m))π(k −m)
4*5 cos=sen( x)
sen( x
N )
, osen ( x)
x , o
sen( N x2 )
sen( x
2)
Demostraci"n2
∑n=0
N −1
( e− j 2 )n
=
e j 2
N
2
e j 2
N
2
−e− j 2 N e
j 2 N
2
e j 2
N
2
e j
2
2
2−e
− j 2 e j
2
2
2
=
e j 2
N
2 −e− j 2 N
e j 2
N
2
e j 2
N
2
e j
2
2−e− j 2
e j
2
2
2
=e
− j 2 ( N −1)
2
2 j sen
(2
N
2
)2 j sen ( 2
2 )
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 184/265
e j
2
2 e j
2
2 e j
2
2
= e j
2
2
(e j 2
N
2 −e− j 2
N
2
)e
j 2 N
2 (e j
2
2−e− j
2
2 ) = e
j 2
2 e− j 2
N
2
(e j 2
N
2 −e− j 2
N
2
)(e
j 2
2−e− j
2
2 )
e
j 2
2 −
j 2
2 N
=e
j2
2 (1− N )
=e
j2
2 [−( N −1)]
=e
− j 2 ( N −1)2
sen(ω t )=e jω t −e
− jω t
2 j
)dentidad de !ler
=e
− j 2 ( N −1)2
(e j 2
N
2 −e− j 2
N
2 )(e
j 2
2−e− j
2
2 )
Fgas Blea/a#eC en la DFT X (m)#
N
2 ⋅
sen(π(k −m))π(k −m)
4*5 cos=sen( x)
sen( x
N )
, osen ( x)
x , o
sen( N x2 )
sen( x
2)
Demostraci"n2
∑n=0
N −1
( e− j 2 )n
=
e j 2
N
2
e j 2
N
2
−e− j 2 N e
j 2 N
2
e j 2
N
2
e j
2
2
2−e
− j 2 e j
2
2
2
=
e j 2
N
2 −e− j 2 N
e j 2
N
2
e j 2
N
2
e j
2
2−e− j 2
e j
2
2
2
=e
− j 2 ( N −1)
2
2 j sen
(2
N
2
)2 j sen ( 2
2 )2=
2 π (k −m)
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 185/265
e j
2
2 e j
2
2 e j
2
2
= e j
2
2
(e j 2
N
2 −e− j 2
N
2
)e
j 2 N
2 (e j
2
2−e− j
2
2 ) = e
j 2
2 e− j 2
N
2
(e j 2
N
2 −e− j 2
N
2
)(e
j 2
2−e− j
2
2 )
e
j 2
2 −
j 2
2 N
=e
j2
2 (1− N )
=e
j2
2 [−( N −1)]
=e
− j 2 ( N −1)2
sen(ω t )=e jω t −e
− jω t
2 j
)dentidad de !ler
=e
− j 2 ( N −1)2
(e j 2
N
2 −e− j 2
N
2 )(e
j 2
2−e− j
2
2 )
2=−( ) N
Fgas Blea/a#eC en la DFT X (m)#
N
2 ⋅
sen(π(k −m))π(k −m)
4*5 cos=sen( x)
sen( x
N )
, osen ( x)
x , o
sen( N x2 )
sen( x
2)
Demostraci"n2
∑n=0
N −1
( e− j 2 )n
=
e j 2
N
2
e j 2
N
2
−e− j 2 N e
j 2 N
2
e j 2
N
2
e j
2
2
j2−e
− j 2 e j
2
2
j2
=
e j 2
N
2 −e− j 2 N
e j 2
N
2
e j 2
N
2
e j
2
2−e− j 2
e j
2
2
j2
=e
− j 2 ( N −1)
2
2 j sen
(2
N
2
)2 j sen ( 2
2 )2=−
2 π (k −m)
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 186/265
e j
2
2 e j
2
2 e j
2
2
= e j
2
2
(e j 2
N
2 −e− j 2
N
2
)e
j 2 N
2 (e j
2
2−e− j
2
2 ) = e
j 2
2 e− j 2
N
2
(e j 2
N
2 −e− j 2
N
2
)(e
j 2
2−e− j
2
2 )
e
j 2
2 −
j 2
2 N
=e
j2
2 (1− N )
=e
j2
2 [−( N −1)]
=e
− j 2 ( N −1)2
sen(ω t )=e jω t −e
− jω t
2 j
)dentidad de !ler
=e
− j 2 ( N −1)2
(e j 2
N
2 −e− j 2
N
2 )(e
j 2
2−e− j
2
2 )
2=− N
=e
− j
(−
2π (k −m ) N
)( N −1)
2
sen
(−
2π(k −m)
N
N
2
)sen(−2π(k −m)
N
1
2 )
Fgas Blea/a#eC en la DFT X (m)#
N
2 ⋅
sen(π(k −m))π(k −m)
4*5 cos=sen( x)
sen( x
N )
, osen ( x)
x , o
sen( N x2 )
sen( x
2)
Demostraci"n2
∑n=0
N −1
( e− j 2 )n
=
e j 2
N
2
e j 2
N
2
−e− j 2 N e
j 2 N
2
e j 2
N
2
e j
2
2
j 2−e
− j 2 e j
2
2
j 2
=
e j 2
N
2 −e− j 2 N
e j 2
N
2
e j 2
N
2
e j
2
2−e− j 2
e j
2
2
j 2
=e
− j 2 ( N −1)
2
2 j sen
(2
N
2
)2 j sen ( 2
2 )2=−
2 π (k −m)
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 187/265
e j
2
2 e j
2
2 e j
2
2
= e j
2
2
(e j 2
N
2 −e− j 2
N
2
)e
j 2 N
2 (e j
2
2−e− j
2
2 ) = e
j 2
2 e− j 2
N
2
(e j 2
N
2 −e− j 2
N
2
)(e j
2
2−e− j
2
2 )
e
j 2
2 −
j 2
2 N
=e
j2
2 (1− N )
=e
j2
2 [−( N −1)]
=e
− j 2 ( N −1)2
sen(ω t )=e jω t −e
− jω t
2 j
)dentidad de !ler
=e
− j 2 ( N −1)2
(e j 2
N
2 −e− j 2
N
2 )(e
j 2
2−e− j
2
2 )
2= N
=e
− j
(−
2π (k −m ) N
)( N −1)
2
sen
(−
2π(k −m)
N
N
2
)sen(−2π(k −m)
N
1
2 )=e
j [ π(k −m ) N ]( N −1)sen (π(k −m))
sen
(π(k −m)
N
)
Fgas Blea/a#eC en la DFT X (m)#
N
2 ⋅
sen(π(k −m))π(k −m)
4*5 cos=sen( x)
sen( x
N )
, osen ( x)
x , o
sen( N x2 )
sen( x
2)
Demostraci"n2
∑n=0
N −1
( e− j 2 )n
=
e j 2
N
2
e j 2
N
2
−e− j 2 N e
j 2 N
2
e j 2
N
2
e j
2
2
j 2−e
− j 2 e j
2
2
j 2
=
e j 2
N
2 −e− j 2 N
e j 2
N
2
e j 2
N
2
e j
2
2−e− j 2
e j
2
2
j 2
=e
− j 2 ( N −1)
2
2 j sen
(2
N
2
)2 j sen ( 2
2 )2=−
2 π (k −m)
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 188/265
e j
2
2 e j
2
2 e j
2
2
= e j
2
2
(e j 2
N
2 −e− j 2
N
2
)e
j 2 N
2 (e j
2
2−e− j
2
2 ) = e
j 2
2 e− j 2
N
2
(e j 2
N
2 −e− j 2
N
2
)(e j
2
2−e− j
2
2 )
e
j 2
2 −
j 2
2 N
=e
j2
2 (1− N )
=e
j2
2 [−( N −1)]
=e
− j 2 ( N −1)2
sen(ω t )=e jω t −e
− jω t
2 j
)dentidad de !ler
=e
− j 2 ( N −1)2
(e j 2
N
2 −e− j 2
N
2 )(e
j 2
2−e− j
2
2 )
2 N
=e
− j
(−
2π (k −m ) N
)( N −1)
2
sen
(−
2π(k −m)
N
N
2
)sen(−2π(k −m)
N
1
2 )=e
j [ π(k −m ) N ]( N −1)sen (π(k −m))
sen
(π(k −m)
N
)=e j [π( k −m)−
π( k −m) N ]sen (π(k −m))
sen (π(k −m) N )
Fgas Blea/a#eC en la DFT X (m)#
N
2 ⋅
sen(π(k −m))π(k −m)
4*5 cos=sen( x)
sen( x
N )
, osen ( x)
x , o
sen( N x2 )
sen( x
2)
Demostraci"n2
1 N −1
j2 πn (k −m )
1 N −1
j2π n(k +m )
∑n=0
N −1
( e− j 2 )n
=e j [π(k −m)−
π (k −m ) N ]sen(π (k −m))
sen
(π(k −m)
N ) 2=−
2 π (k −m) N
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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X r (m)=1
2∑n=0
e j
( ) N +
1
2∑n=0
e− j
( ) N
X r (m)=e j [π( k −m)−
π( k −m ) N ] 1
2
sen (π(k −m))
sen (π(k −m) N )
+e− j [π(k −m)−
π (k −m ) N ] 1
2
sen (π(k −m))
sen ( π(k −m) N )
Fgas Blea/a#eC en la DFTS#onga ,e na sinsoide de frecencia 8 4Hz se mestrea a 4Hz % se
o(tienen mestras
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 190/265
Fgas Blea/a#eC en la DFTS#onga ,e na sinsoide de frecencia 8 4Hz se mestrea a 4Hz % se
o(tienen mestras
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 191/265
Fgas Blea/a#eC en la DFTS#onga ,e na sinsoide de frecencia 8 4Hz se mestrea a 4Hz % se
o(tienen mestras
S#onga ,e la señal
mestreada es de
8 4Hz
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 192/265
Fgas Blea/a#eC en la DFTS#onga ,e na sinsoide de frecencia 8 4Hz se mestrea a 4Hz % se
o(tienen mestras
S#onga ,e la señal
mestreada es de
8 4Hz
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 193/265
Fgas Blea/a#eC en la DFTS#onga ,e na sinsoide de frecencia 8 4Hz se mestrea a 4Hz % se
o(tienen mestras
S#onga ,e la señal
mestreada es de
8 4Hz
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 194/265
S#onga ahora ,ela señal mestreada
es de 82 4Hz
Fgas Blea/a#eC en la DFTS#onga ,e na sinsoide de frecencia 8 4Hz se mestrea a 4Hz % se
o(tienen mestras
S#onga ,e la señal
mestreada es de
8 4Hz
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 195/265
S#onga ahora ,ela señal mestreada
es de 82 4Hz
Fgas Blea/a#eC en la DFT!l es#ectro de frecencia de na señal contina es #eri"dico2
* =3"4 Hz
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 196/265
Fgas Blea/a#eC en la DFT!l es#ectro de frecencia de na señal contina es #eri"dico2
* =3"4 Hz
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 197/265
Fgas Blea/a#eC en la DFT!l es#ectro de frecencia de na señal contina es #eri"dico2
* =3"4 Hz
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 198/265
Fgas Blea/a#eC en la DFT!l es#ectro de frecencia de na señal contina es #eri"dico2
* =3"4 Hz * =−3"4 Hz * =28"6 Hz * =16"4 Hz
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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Ventanas*as ventanas redcen las fgas en la DFT al minimizar la magnitd de los
l"(los laterales de la fnci"n sinc
X (m)# N
2 ⋅
sen(π(k −m))π(k −m)
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 200/265
!sto se logra al forzar a ,e la am#litd al inicio % al final de la señal de entrada
alcance savemente n mismo valor de am#litd
!sto es lo ,e se (sca redcir
Ventanas*as ventanas redcen las fgas en la DFT al minimizar la magnitd de los
l"(los laterales de la fnci"n sinc
X (m)# N
2 ⋅
sen(π(k −m))π(k −m)
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 201/265
!sto se logra al forzar a ,e la am#litd al inicio % al final de la señal de entrada
alcance savemente n mismo valor de am#litd
!sto es lo ,e se (sca redcir
Ventanas
Rectangular
Triangular
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 202/265
Hanning
Hamming
Ventanas
Rectangular
Triangular
(n)=1 + n=0,1,2,… , N −1
(n)={ n
N $2 + n=0,1,2,… , N $2
2− n
N $2 + n= N $2,… , N
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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Hanning
Hamming
{ N $2
(n)=0"5−0"5cos(2 π n
N ) + n=0,1,2,… , N −1
(n)=0"54−0"46cos(2 π n
N )+ n=0,1,2,… , N −1
Ventanas
Rectangular
Triangular
(n)=1 + n=0,1,2,… , N −1
n=0,1,2,… , N −1
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 204/265
Hanning
Hamming
(n)=0"5−0"5cos(2 π n
N ) + n=0,1,2,… , N −1
(n)=0"54−0"46cos(2 π n
N )+ n=0,1,2,… , N −1
Ventanas2 res#esta en frecencia
7 (m)=∑n=0
N −1
(n)e
− j 2 π nm
N
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 205/265
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 206/265
7 ma% (m)=∣7 (m)∣
7 (m)=∑n=0
N −1
(n)e
− j 2 π nm
N
7 d8(m)=20⋅!o'10(∣7 (m)∣∣7 (0)∣ )
Magnitud de la respuesta en frecuencia enescala lineal
Magnitud de la respuesta en frecuencia enescala logarítmica
Rectangular Rectangular
H i
Ventanas2 res#esta en frecencia
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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Hamming
Triangular
Hanning
Hamming
Triangular
Hanning
f s N
0 2 f s
N
3 f s
N
4 f s
N
5 f s
N
f s N
0 2 f s
N
3 f s
N
4 f s
N
5 f s
N
Práctica =797A7 '(&etivo2 '(servar la res#esta en frecencia de distintas
fnciones ventana
Ventanas2 res#esta en frecencia
97 .alcle las fnciones ventana 5ectan#ular 5 Trian#ular 5 Hannin# % Hammin# 7
rafi,e s am#litd en s(gráficas7<7 .alcle la DFT de ' #ntos de las fnciones ventana7
>7 rafi,e la magnitd de las DFT de las fnciones ventana
=7 rafi,e la magnitd de las DFT de las fnciones ventana en escala logar6tmica
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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, g g
Ben deci(elesC7
Ventanas2 minimizaci"n de fgas en la DFT
X (m)=∑n=0
N −1
(n)⋅ x (n)e
− j 2π nm
N
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 209/265
Ventanas2 minimizaci"n de fgas en la DFT
X (m)=∑n=0
N −1
(n)⋅ x (n)e
− j 2π nm
N
Sinsoide de >7=Fnci"n ventana
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 210/265
x (n)=[0"5−0"5cos(
2 π n
64 )]⋅[sen (
2 π3"4 n
64 )]
Ventanas2 minimizaci"n de fgas en la DFT
X (m)=∑n=0
N −1
(n)⋅ x (n)e
− j 2π nm
N
Ventana Hanning
Sinsoide de >7=Fnci"n ventana
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 211/265
x (n)=[0"5−0"5cos(
2 π n
64 )]⋅[sen (
2 π3"4 n
64 )]
Ventanas2 minimizaci"n de fgas en la DFT
X (m)=∑n=0
N −1
(n)⋅ x (n)e
− j 2π nm
N
Ventana Hanning
Sinsoide de >7=Fnci"n ventana
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 212/265
x(n
)=[0"5
−0"5cos
(
2 π n
64 )]⋅[sen
(
2 π3"4 n
64 )]
Ventanas2 minimizaci"n de fgas en la DFT
X (m)=∑n=0
N −1
(n)⋅ x (n)e
− j 2π nm
N
Ventana Hanning
x (n)=[0"5−0"5cos (2 π n
64)]⋅[sen (
2 π3"4 n
64)+ 0"1sen(
2π 7 n
64)]
Sinsoide de >7= % A ciclosFnci"n ventana
Sinsoide de >7=Fnci"n ventana
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 213/265
x (n)=[0"5−0"5cos(2 π n
64)]⋅[sen (
2 π3"4 n
64)]
64 64 64
Ventanas2 minimizaci"n de fgas en la DFT
X (m)=∑n=0
N −1
(n)⋅ x (n)e
− j 2π nm
N
Ventana Hanning
x (n)=[0"5−0"5cos (2 π n
64)]⋅[sen (
2 π3"4 n
64)+ 0"1sen(
2π 7 n
64)]
Sinsoide de >7= % A ciclosFnci"n ventana
Sinsoide de >7=Fnci"n ventana
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 214/265
x (n)=[0"5−0"5cos(2 π n
64)]⋅[sen (
2 π3"4 n
64)]
Ventanas2 minimizaci"n de fgas en la DFT
X (m)=∑n=0
N −1
(n)⋅ x (n)e
− j 2π nm
N
Ventana Hanning
x (n)=[0"5−0"5cos (2 π n
64)]⋅[sen (
2 π3"4 n
64)+ 0"1sen(
2π 7 n
64)]
Sinsoide de >7= % A ciclosFnci"n ventana
Sinsoide de >7=Fnci"n ventana
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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x (n)=[0"5−0"5cos(2 π n
64)]⋅[sen (
2 π3"4 n
64)]
DFT de na fnci"n rectanglar general
* ret =sen( x)
sen( x
N ) , o
sen( x) x
, o
sen ( N x
2 )
sen ( x
2)
X (m)= ∑n=− N
2 + 1
N
2
x (n)e− j 2π nm
N x (n)
1 N $2− N $2+ 1
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 216/265
0
DFT de na fnci"n rectanglar general
* ret =sen( x)
sen( x
N ) , o
sen( x) x
, o
sen ( N x
2 )
sen ( x
2)
X (m)= ∑n=− N
2 + 1
N
2
x (n)e− j 2π nm
N x (n)
1 N $2− N $2+ 1
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 217/265
0
n=−n0+ ( −1)n=−n0 n=n0
DFT de na fnci"n rectanglar general
* ret =sen( x)
sen( x
N ) , o
sen( x) x
, o
sen ( N x
2 )
sen ( x
2)
X (m)= ∑n=− N
2 + 1
N
2
x (n)e− j 2π nm
N
( ) ∑−n0+ ( −1) − j 2π n m
N
x (n)
1 N $2− N $2+ 1
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 218/265
X (m)= ∑n=−n0
1⋅e N
0
n=−n0+ ( −1)n=−n0 n=n0
DFT de na fnci"n rectanglar general
4*5 ret =sen ( x )
sen ( x
N )
, osen ( x)
x , o
sen ( N x
2 )
sen ( x
2)
X (m)= ∑n=− N
2 + 1
N
2
x (n)e− j 2π nm
N
X ( ) ∑−n0+ ( −1)
1
− j 2π n m
N
x (n)
1 N $2− N $2+ 1
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 219/265
X (m)= ∑n=−n0
1⋅e N
0
n=−n0+ ( −1)n=−n0
X ()= ∑n=−n0
−n0+ ( −1)
1⋅e− j n
=2π m
N
DFT de na fnci"n rectanglar general
X ()= ∑n=−n0
−n0+ ( −1)
1⋅e− j n
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 220/265
DFT de na fnci"n rectanglar general
X ()= ∑n=−n0
−n0+ ( −1)
1⋅e− j n
X ()=
∑n=−n0
−n0+ ( −1)
e− j n
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 221/265
DFT de na fnci"n rectanglar general
X ()= ∑n=−n0
−n0+ ( −1)
1⋅e− j n
X ()=
∑n=−n0
−n0+ ( −1)
e− j n
=e− j (−n0)+ e
− j (−n0+ 1)+ e− j (−n0+ 2)+ …+ e
− j (−n0+ ( −1))
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 222/265
DFT de na fnci"n rectanglar general
X ()= ∑n=−n0
−n0+ ( −1)
1⋅e− j n
X ()=
∑n=−n0
−n0+ ( −1)
e− j n
=e− j (−n0)+ e
− j (−n0+ 1)+ e− j (−n0+ 2)+ …+ e
− j (−n0+ ( −1))
=e− j (−n0)+ e
− j (−n0)⋅e− j 1+ e
− j (−n0)⋅e− j 2 + …+ e
− j (−n0)⋅e− j ( −1)
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 223/265
DFT de na fnci"n rectanglar general
X ()= ∑n=−n0
−n0+ ( −1)
1⋅e− j n
X ()=
∑n=−n0
−n0+ ( −1)
e− j n
=e− j (−n0)+ e
− j (−n0+ 1)+ e− j (−n0+ 2)+ …+ e
− j (−n0+ ( −1))
=e− j (−n0)+ e
− j (−n0)⋅e− j 1+ e
− j (−n0)⋅e− j 2 + …+ e
− j (−n0)⋅e− j ( −1)
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 224/265
=e− j (−n0)⋅e
− j 0+ e− j (−n0)⋅e
− j 1+ e− j (−n0)⋅e
− j 2 + …+ e− j (−n0)⋅e
− j( −1)
DFT de na fnci"n rectanglar general
X ()= ∑n=−n0
−n0+ ( −1)
1⋅e− j n
X ()=
∑n=−n0
−n0+ ( −1)
e− j n
=e− j (−n0)+ e
− j (−n0+ 1)+ e− j (−n0+ 2)+ …+ e
− j (−n0+ ( −1))
=e− j (−n0)+ e
− j (−n0)⋅e− j 1+ e
− j (−n0)⋅e− j 2 + …+ e
− j (−n0)⋅e− j ( −1)
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 225/265
=e− j (−n0)⋅e
− j 0+ e− j (−n0)⋅e
− j 1+ e− j (−n0)⋅e
− j 2 + …+ e− j (−n0)⋅e
− j( −1)
=e j n0⋅[e− j 0 + e
− j 1+ e− j 2 + …+ e
− j( −1) ]
DFT de na fnci"n rectanglar general
X ()= ∑n=−n0
−n0+ ( −1)
1⋅e− j n
X ()=
∑n=−n0
−n0+ ( −1)
e− j n
=e− j (−n0)+ e
− j (−n0+ 1)+ e− j (−n0+ 2)+ …+ e
− j (−n0+ ( −1))
=e− j (−n0)+ e
− j (−n0)⋅e− j 1+ e
− j (−n0)⋅e− j 2 + …+ e
− j (−n0)⋅e− j ( −1)
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 226/265
=e− j (−n0)⋅e
− j 0+ e− j (−n0)⋅e
− j 1+ e− j (−n0)⋅e
− j 2 + …+ e− j (−n0)⋅e
− j( −1)
=e j n0⋅[e− j 0 + e
− j 1+ e− j 2 + …+ e
− j( −1) ]
X ()=e j n0
∑ =0
−1
e− j
DFT de na fnci"n rectanglar general
X ()= ∑n=−n0
−n0+ ( −1)
1⋅e− j n
X ()=
∑n=−n0
−n0+ ( −1)
e− j n
=e− j (−n0)+ e
− j (−n0+ 1)+ e− j (−n0+ 2)+ …+ e
− j (−n0+ ( −1))
=e− j (−n0)+ e
− j (−n0)⋅e− j 1+ e
− j (−n0)⋅e− j 2 + …+ e
− j (−n0)⋅e− j ( −1)
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 227/265
=e− j (−n0)⋅e
− j 0+ e− j (−n0)⋅e
− j 1+ e− j (−n0)⋅e
− j 2 + …+ e− j (−n0)⋅e
− j( −1)
=e j n0⋅[e− j 0 + e
− j 1+ e− j 2 + …+ e
− j( −1) ]
X ()=e j n0
∑ =0
−1
e− j
∑ =0
−1
e− j =∑ =0
−1
(e− j )
DFT de na fnci"n rectanglar general
X ()= ∑n=−n0
−n0+ ( −1)
1⋅e− j n
X ()=
∑n=−n0
−n0+ ( −1)
e− j n
=e− j (−n0)+ e
− j (−n0+ 1)+ e− j (−n0+ 2)+ …+ e
− j (−n0+ ( −1))
=e− j (−n0)+ e
− j (−n0)⋅e− j 1+ e
− j (−n0)⋅e− j 2 + …+ e
− j (−n0)⋅e− j ( −1)
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 228/265
=e− j (−n0)⋅e
− j 0+ e− j (−n0)⋅e
− j 1+ e− j (−n0)⋅e
− j 2 + …+ e− j (−n0)⋅e
− j( −1)
=e j n0⋅[e− j 0 + e
− j 1+ e− j 2 + …+ e
− j( −1) ]
X ()=e j n0
∑ =0
−1
e− j
∑ =0
−1
e− j =∑ =0
−1
(e− j )
Serie geométrica
DFT de na fnci"n rectanglar general
Series geométricas
De manera general #ara 2r ≠1
s=a+ a⋅r 1+ a⋅r
2+ a⋅r 3+ …+ a⋅r
n−1
s=∑k =0
n−1
a r k
s=a⋅r + a⋅r 2+ a⋅r
3+ a⋅r 4+ …+ a⋅r
n−1+ a⋅r n
r n−1
r 1=r
n−1+ 1=r n
a2 !s el #rimer término de la serie
r 2 !s la raz"n com+n
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 229/265
s−r s=a+ a⋅r 1
+ a⋅r 2
+ a⋅r 3
+ …+ a⋅r n−1
−a⋅r 1
−a⋅r 2
−a⋅r 3
−a⋅r 4
−…−a⋅r n
s(1−r )=a−a⋅r n
s=a1−r
n
1−r
Si % 2∣r ∣< 1 n →∞ s= a
1−r
DFT de na fnci"n rectanglar general
∑ =0
−1
(e− j )
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 230/265
DFT de na fnci"n rectanglar general
∑ =0
−1
(e− j ) s=∑k =0
n−1
a r k =a
1−r n
1−r
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 231/265
DFT de na fnci"n rectanglar general
∑ =0
−1
(e− j ) s=∑k =0
n−1
a r k =a
1−r n
1−r
∑ =0
−1
(e− j ) =1−e
− j
1−e
− j
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 232/265
DFT de na fnci"n rectanglar general
∑ =0
−1
(e− j ) s=∑k =0
n−1
a r k =a
1−r n
1−r
∑ =0
−1
(e− j ) =1−e
− j
1−e
− j
Mlti#licando #or 9E2
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 233/265
DFT de na fnci"n rectanglar general
∑ =0
−1
(e− j ) s=∑k =0
n−1
a r k =a
1−r n
1−r
∑ =0
−1
(e− j ) =1−e
− j
1−e
− j
Mlti#licando #or 9E2
=1−e
− j
⋅
e
j
2
e
j
2
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 234/265
=1−e− j
⋅
e j 2
e
j
2
DFT de na fnci"n rectanglar general
∑ =0
−1
(e− j ) s=∑k =0
n−1
a r k =a
1−r n
1−r
∑ =0
−1
(e− j ) =1−e
− j
1−e
− j
Mlti#licando #or 9E2
=1−e
− j
⋅
e
j
2
e
j
2
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 235/265
=1−e− j
e j 2
e
j
2
=
e
j
2 −e− j
e
j
2
e
j
2
e
j
2 −e− j
e
j
2
e
j
2
DFT de na fnci"n rectanglar general
∑ =0
−1
(e− j ) s=∑k =0
n−1
a r k =a
1−r n
1−r
∑ =0
−1
(e− j ) =1−e
− j
1−e
− j
Mlti#licando #or 9E2
=1−e
− j
⋅
e
j
2
e
j
2
=
e
j
2 (e j
2 −e
− j
2 )e
j 2 (e
j 2 −e
− j 2 )
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 236/265
1−e− j
e j 2
e
j
2
=
e
j
2 −e− j
e
j
2
e
j
2
e
j
2 −e− j
e
j
2
e
j
2
DFT de na fnci"n rectanglar general
∑ =0
−1
(e− j ) s=∑k =0
n−1
a r k =a
1−r n
1−r
∑ =0
−1
(e− j ) =1−e
− j
1−e
− j
Mlti#licando #or 9E2
=1−e
− j
⋅
e
j
2
e
j
2
=
e
j
2 (e j
2 −e
− j
2 )e
j 2 (e
j 2 −e
− j 2 )
=e
− j
2 (e j
2 −e
− j
2 )− j j − j
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 237/265
1−e− j
e j 2
e
j
2
=
e
j
2 −e− j
e
j
2
e
j
2
e
j
2 −e− j
e
j
2
e
j
2
e 2
(e2 −e 2
)
DFT de na fnci"n rectanglar general
∑ =0
−1
(e− j ) s=∑k =0
n−1
a r k =a
1−r n
1−r
∑ =0
−1
(e− j ) =1−e
− j
1−e
− j
Mlti#licando #or 9E2
=1−e
− j
⋅
e
j
2
e
j
2
=
e
j
2 (e j
2 −e
− j
2 )e
j 2 (e
j 2 −e
− j 2 )
=e
− j
2 (e j
2 −e
− j
2 )− j j − j
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 238/265
1−e− je
j 2
e
j
2
=
e
j
2 −e− j
e
j
2
e
j
2
e
j
2 −e− j
e
j
2
e
j
2
e 2
(e2 −e 2
)
∑ =0
−1
e− j =e
− j ( −1)2 ⋅
(e j
2 −e
− j
2 )(e
j
2 −e
− j
2 )
DFT de na fnci"n rectanglar general
∑ =0
−1
e− j =e
− j ( −1)2 ⋅
(e j
2 −e
− j
2 )(e
j
2 −e
− j
2 )
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 239/265
DFT de na fnci"n rectanglar general
∑ 1=0
) −1
e− j 2 1=e
− j2 ( ) −1)2 ⋅
(e j 2 )
2 −e
− j 2 ) 2 )
(e j2
2 −e
− j 22 )
sen(%)=e j%−e
− j%
2 j
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 240/265
DFT de na fnci"n rectanglar general
∑ =0
−1
e− j =e
− j ( −1)2 ⋅
(e j
2 −e
− j
2 )(e
j
2 −e
− j
2 )
∑ =0
−1
e− j =e
− j ( −1)2 ⋅
(e j
2 −e
− j
2 )(e
j
2 −e
− j
2 )
sen(%)=e j%−e
− j%
2 j
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 241/265
DFT de na fnci"n rectanglar general
∑ =0
−1
e− j =e
− j ( −1)2 ⋅
(e j
2 −e
− j
2 )(e
j
2 −e
− j
2 )
∑ =0
−1
e− j =e
− j ( −1)2 ⋅
(e j
2 −e
− j
2 )(e
j
2 −e
− j
2 )
sen(%)=e j%−e
− j%
2 j
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 242/265
=e
− j ( −1)2 ⋅
2 j sen (
2 )2 j sen (
2 )
DFT de na fnci"n rectanglar general
∑ =0
−1
e− j =e
− j ( −1)2 ⋅
(e j
2 −e
− j
2 )(e
j
2 −e
− j
2 )
∑ =0
−1
e− j =e
− j ( −1)2 ⋅
(e j
2 −e
− j
2 )(e
j
2 −e
− j
2 )
sen(%)=e j%−e
− j%
2 j
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 243/265
=e
− j ( −1)2 ⋅
2 j sen (
2 )2 j sen (
2 )
∑ =0
−1
e− j =e
− j ( −1)2 ⋅
sen
(
2 )sen (
2 )
DFT de na fnci"n rectanglar general
∑ =0
−1
e− j =e
− j ( −1)2 ⋅
(e j
2 −e
− j
2 )(e
j
2 −e
− j
2 )
∑ =0
−1
e− j =e
− j ( −1)2 ⋅
(e j
2 −e
− j
2 )(e
j
2 −e
− j
2 )
( )
X ()=e j n0 ∑
=0
−1
e− j
sen(%)=e j%−e
− j%
2 j
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 244/265
=e
− j ( −1)2 ⋅
2 j sen (
2 )2 j sen (
2 )
∑ =0
−1
e− j =e
− j ( −1)2 ⋅
sen
(
2 )sen (
2 )
DFT de na fnci"n rectanglar general
∑ =0
−1
e− j =e
− j ( −1)2 ⋅
(e j
2 −e
− j
2 )(e
j
2 −e
− j
2 )
∑ =0
−1
e− j =e
− j ( −1)2 ⋅
(e j
2 −e
− j
2 )(e
j
2 −e
− j
2 )
( )
X ()=e j n0 ∑
=0
−1
e− j
sen(%)=e j%−e
− j%
2 j
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 245/265
=e
− j ( −1)2 ⋅
2 j sen (
2 )2 j sen (
2 )
∑ =0
−1
e− j =e
− j ( −1)2 ⋅
sen
(
2 )sen (
2 )
DFT de na fnci"n rectanglar general
∑ =0
−1
e− j =e
− j ( −1)2 ⋅
(e j
2 −e
− j
2 )(e
j
2 −e
− j
2 )
∑ =0
−1
e− j =e
− j ( −1)2 ⋅
(e j
2 −e
− j
2 )(e
j
2 −e
− j
2 )
( )
X ()=e j n0 ∑
=0
−1
e− j
X ()=e j n0⋅e
− j ( −1)2 ⋅
sen (
2 )sen
(2 )
sen(%)=e j%−e
− j%
2 j
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 246/265
=e
− j ( −1)2 ⋅
2 j sen (
2 )2 j sen (
2 )
∑ =0
−1
e− j =e
− j ( −1)2 ⋅
sen
(
2 )sen (
2 )
DFT de na fnci"n rectanglar general
∑ =0
−1
e− j =e
− j ( −1)2 ⋅
(e j
2 −e
− j
2 )(e
j
2 −e
− j
2 )
∑ =0
−1
e− j =e
− j ( −1)2 ⋅
(e j
2 −e
− j
2 )(e
j
2 −e
− j
2 )
( )
X ()=e j n0 ∑
=0
−1
e− j
X ()=e j n0⋅e
− j ( −1)2 ⋅
sen (
2 )sen
(2 )
X ()=e j (n0−
−1
2 )⋅
sen (
2 )sen
(
2
)
sen(%)=e j%−e
− j%
2 j
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 247/265
=e
− j ( −1)2 ⋅
2 j sen (
2 )2 j sen (
2 )
∑ =0
−1
e− j =e
− j ( −1)2 ⋅
sen
(
2 )sen (
2 )
(2
)
DFT de na fnci"n rectanglar general
∑ =0
−1
e− j =e
− j ( −1)2 ⋅
(e j
2 −e
− j
2 )(e
j
2 −e
− j
2 )
∑ =0
−1
e− j =e
− j ( −1)2 ⋅
(e j
2 −e
− j
2 )(e
j
2 −e
− j
2 )
( )
X ()=e j n0 ∑
=0
−1
e− j
X ()=e j n0⋅e
− j ( −1)2 ⋅
sen (
2 )sen
(2 )
X ()=e j (n0−
−1
2 )⋅
sen (
2 )sen
(
2
)2 m
sen(%)=e j%−e
− j%
2 j
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 248/265
=e
− j ( −1)2 ⋅
2 j sen (
2 )2 j sen (
2 )
∑ =0
−1
e− j =e
− j ( −1)2 ⋅
sen
(
2
)sen (
2 )
( )= 2π m N
DFT de na fnci"n rectanglar general
∑ =0
−1
e− j =e
− j ( −1)2 ⋅
(e j
2 −e
− j
2 )(e
j
2 −e
− j
2 )
∑ =0
−1
e− j =e
− j ( −1)2 ⋅
(e j
2 −e
− j
2 )(e
j
2 −e
− j
2 )
(
)
X ()=e j n0 ∑
=0
−1
e− j
X ()=e j n0⋅e
− j ( −1)2 ⋅
sen (
2 )sen
(2 )
X ()=e j (n0−
−1
2 )⋅
sen (
2 )sen
(
2
)2 m
sen(%)=e j%−e
− j%
2 j
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 249/265
=e
− j ( −1)2 ⋅
2 j sen (
2 )2 j sen (
2 )
∑ =0
−1
e− j =e
− j ( −1)2 ⋅
sen
(
2
)sen (
2 )
( )= 2π m N
X (m)=e j( 2 π m
N )(n0− −1
2 )⋅
sen (2 π m
2 N )sen (2 π m
2 N )
DFT de na fnci"n rectanglar general
∑ =0
−1
e− j =e
− j ( −1)2 ⋅
(e j
2 −e
− j
2 )(e
j
2 −e
− j
2 )
∑ =0
−1
e− j =e
− j ( −1)2 ⋅
(e j
2 −e
− j
2 )(e
j
2 −e
− j
2 )
(
)
X ()=e j n0 ∑
=0
−1
e− j
X ()=e j n0⋅e
− j ( −1)2 ⋅
sen (
2 )sen
(2 )
X ()=e j (n0−
−1
2 )⋅
sen (
2 )sen
(
2
)2 m
sen(%)=e j%−e
− j%
2 j
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 250/265
=e
− j ( −1)2 ⋅
2 j sen (
2 )2 j sen (
2 )
∑ =0
−1
e− j =e
− j ( −1)2 ⋅
sen
(
2
)sen (
2 )
( )= 2π m N
X (m)=e j( 2 π m
N )(n0− −1
2 )⋅
sen (2 π m
2 N )sen (2 π m
2 N )
X (m)=e j( 2 π m
N )(n0− −1
2 )⋅sen
( π m N )
sen ( π m
N )
DFT de na fnci"n rectanglar general
∑ =0
−1
e− j =e
− j ( −1)2 ⋅
(e j
2 −e
− j
2 )(e
j
2 −e
− j
2 )
∑ =0
−1
e− j =e
− j ( −1)2 ⋅
(e j
2 −e
− j
2 )(e
j
2 −e
− j
2 )
(
)
X ()=e j n0 ∑
=0
−1
e− j
X ()=e j n0⋅e
− j ( −1)2 ⋅
sen (
2 )sen
(2 )
X ()=e j (n0−
−1
2 )⋅
sen (
2 )sen
(
2
)= 2π m
sen(%)=e j%−e
− j%
2 j
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 251/265
=e
− j ( −1)2 ⋅
2 j sen (
2 )2 j sen (
2 )
∑ =0
−1
e− j =e
− j ( −1)2 ⋅
sen
(
2
)sen (
2 )
( )= 2π m N
X (m)=e j( 2 π m
N )(n0− −1
2 )⋅
sen (2 π m
2 N )sen (2 π m
2 N )
X (m)=e j( 2 π m
N )(n0− −1
2 )⋅sen
( π m N )
sen ( π m
N )
Forma General del
Kernel de Dirichlet
Tarea =797 '(&etivo2 '(tener la DFT de na fnci"n rectanglar simétrica % de
na fnci"n rectanglar donde todos ss elementos son 97
Tarea
97 asándose en la secci"n >79>7< % >79>7> del li(ro Understanding Digital Signal
Processing de 07 *%ons5 o(tenga la DFT de na fnci"n rectanglar simétrica % de
na fnci"n rectanglar donde todos ss mestras tienen am#litd 97
<7 0ealice el desarrollo en s caderno7 !scanee o fotograf6e el resltado5
fa(ri,e n archivo en formato PDF % s(a al sitio del crso7
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 252/265
DFT )nversa de na fnci"n rectanglar general
X (m) → x (n) X (m)
1
0
m=−m0+ ( −1)m=−m0
N $2− N $2+ 1
m
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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DFT )nversa de na fnci"n rectanglar general
x (n)=1
N ∑m=− N
2 + 1
N
2
X (m)e j 2π mn
N
X (m) → x (n) X (m)
1
0
m=−m0+ ( −1)m=−m0
N $2− N $2+ 1
m
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 254/265
DFT )nversa de na fnci"n rectanglar general
x (n)=1
N ∑m=− N
2 + 1
N
2
X (m)e j 2π mn
N
X (m) → x (n) X (m)
1
0
m=−m0+ ( −1)m=−m0
N $2− N $2+ 1
m
( 2 )( 1)sen( π n
)
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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x (n)=e− j( 2π n
N )(m0− −1
2 )⋅
1
N ⋅
sen( π n N )
sen( π n
N )
DFT )nversa de na fnci"n rectanglar simétrica H (m)
1
0m=( −1)$ 2m=−m0=−( −1)$ 2
N $2− N $2+ 1
m
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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DFT )nversa de na fnci"n rectanglar simétrica
H (m)
1
0m=( −1)$ 2m=−m0=−( −1)$ 2
N $2
m
x (n)=e− j( 2 π n
N )(m0− −1
2 )⋅
1
N ⋅
sen( π n
N )sen( π n
N ))DFT de na fnci"n rectanglar general
− N $2+ 1
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
http://slidepdf.com/reader/full/transformada-de-fourier-discreta-56d98b8565165 257/265
DFT )nversa de na fnci"n rectanglar simétrica
H (m)
1
0m=( −1)$ 2m=−m0=−( −1)$ 2
N $2
m
x (n)=e− j( 2 π n
N )(m0− −1
2 )⋅
1
N ⋅
sen( π n
N )sen( π n
N ))DFT de na fnci"n rectanglar general
Sstit%endo el valor de m0= −1
2
− N $2+ 1
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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DFT )nversa de na fnci"n rectanglar simétrica
H (m)
1
0m=( −1)$ 2m=−m0=−( −1)$ 2
N $2
m
x (n)=e− j( 2 π n
N )(m0− −1
2 )⋅
1
N ⋅
sen( π n
N )sen( π n
N ))DFT de na fnci"n rectanglar general
Sstit%endo el valor de m0= −1
2
9(n)=e
− j (2π n
N )( ) −1
2− ) −1
2 )⋅
1
N⋅
sen (πn )
N )(πn )
− N $2+ 1
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( ) N sen (πn
N )
DFT )nversa de na fnci"n rectanglar simétrica
H (m)
1
0m=( −1)$ 2m=−m0=−( −1)$ 2
N $2
m
x (n)=e− j( 2 π n
N )(m0− −1
2 )⋅
1
N ⋅
sen( π n
N )sen( π n
N ))DFT de na fnci"n rectanglar general
Sstit%endo el valor de m0= −1
2
9(n)=e
− j (2π n
N )( ) −1
2− ) −1
2 )⋅
1
N ⋅
sen (πn )
N )(πn )
− N $2+ 1
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( )sen (πn
N )
9(n)=1
N ⋅
sen ( π n
N )sen
(π n
N
)
Tarea =7<7 '(&etivo2 .om#render el algoritmo de la transformada rá#ida de
Forier BFFTC7
Tarea
97 Haga n resmen del ca#6tlo = del li(ro Understanding Digital Signal
Processing de 07 *%ons7 Ponga es#ecial cidado en inclir los diagramas % las
ecaciones más im#ortantes7
<7 0ealice el resmen en s caderno7 !scanee o fotograf6e el resltado5
fa(ri,e n archivo en formato PDF % s(a al sitio del crso7
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Práctica =7 '(&etivo2 .om#render la tilidad de la DFT en el análisis de señales
mediante la o(tenci"n del contenido frecencial de na señal contina en el
tiem#o formada #or dos sinsoides de diferente frecencia
Práctica integradora de la nidad
97 Tome 0' #ntos de na señal ,e está formada #or la sma de dos sinsoides
de frecencias 0 % 00 Hz 5 la cal es mestreada a 000 Hz
<7 .alcle la DFT de 607 #ntos de la señal discreta7
=7 rafi,e la señal contina en na #rimera s(gráfica7 rafi,e la magnitd de
>7 .alcle el vector de frecencias de análisis corres#ondiente a la mitad de las
frecencias de la DFT7
7/21/2019 Transformada de Fourier Discreta
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, # g , gla mitad de las frecencias de la DFT de la señal en otra s(gráfica7
?7 $#li,e na fnci"n ventana so(re la señal % velva a calclar la DFT7
@7 rafi,e de neva centa la DFT de la señal7 -Oé #ede conclir/
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