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Prof. Kleber Lima
Transformada de Clarke e Park
Centro de Tecnologia Pós-Graduação em Engenharia Elétrica Aplicações de Eletrônica de Potência em Sistemas de Potência
Departamento de Engenharia Elétrica
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2
Sumário
• Objetivos • Introdução • Transformada de Clarke • Vetor espacial • Transformada de Park
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3
Objetivo
• Compreensão da importância da mudança de coordenadas
• Transformação de coordenadas abc para αβ • Compreensão e determinação do vetor girante • Transformação de coordenadas abc para dq
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4
Introdução
• Fasores são números complexos utilizados para representar grandezas que variam senoidalmente no tempo
• Por exemplo, a fmm com distribuição aproximadamente senoidal reproduzidas por cada enrolamento do estator de uma máquina trifásica, podem ser representadas pelos vetores espaciais (fasores espaciais)
• A fmm do estator é a soma no espaço das fmms de cada fase, dada por:
2 42 3 3
cos cos coss a b cNF i t t i t t i t tπ πω ω ω
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5
Transformada de Clarke
2 cosav t V tω
Seja o sistema trifásico definido pelos três fasores da Fig. 1, com equações:
223
cosbv t V t πω
423
coscv t V t πω
Fig. 1
ai 1N
1N
1N
ci
bia
c
b
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6
Transformada de Clarke
1 2 42 2 3 3
cos coseqa b c
N Ni i t i t i tαπ π
O vetor espacial da corrente é definido a partir da projeção da fmm de cada fase nos eixos ortogonais fictícios α e β.
1 2 42 2 3 3
sin sineqb c
N Ni i t i tβπ π
Fig. 2
EixoEstacionário
α
β
ai
iβ
iα1N
1N
1N
ci
bi eqN
eqN
a
c
b
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7
Transformada de Clarke
Após algumas simplificações, resulta nas expressões do sistema bifásico equivalente, dado por:
1
eq
NkN
2 43 3
sin sinb ci k i t i tβπ π
Invariância em potência 23
k
Fig. 3
2 43 3
cos cosa b ci k i t i t i tαπ π
EixoEstacionário
α
β
ai
iβ
iα1N
1N
1N
ci
bi eqN
eqN
a
c
b
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8
Transformada de Clarke
Após algumas simplificações, resulta nas expressões do sistema bifásico equivalente, dado por:
Fig. 4
1 112 2 23 3 30
2 2
α
β
a
b
c
ii
ii
i
EixoEstacionário
α
β
ai
iβ
iα1N
1N
1N
ci
bi eqN
eqN
a
c
bSistema a três fios implica em ausência de componente homopolar
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9
Transformada de Clarke
Fig. 5
0
1 1 12 2 2
2 1 113 2 2
3 302 2
α
β
a
b
c
i ii ii i
Sistema com a presença de componente homopolar
EixoEstacionário
α
β
ai
iβ
iα1N
1N
1N
ci
bi eqN
eqN
a
c
b
Componente homopolar
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10
Transformada de Clarke
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
100 110 120 130 140 Tempo (ms)
Tens
ões
a,b,
c (p
.u.)
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
100 110 120 130 140 Tempo (ms)
Tens
õeso
α,β
(p.u
.)
abc
Clarke vα vβ
va vb vc
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11
Vetor Girante
2 cosav t V tω
223
cosbv t V t πω
423
coscv t V t πω
Seja o sistema trifásico definido a partir dos três fasores mostrado na figura, com expressões dadas a seguir:
Segundo KOVACS, o vetor espacial é definido por:
2 4
0 3 3j jj
a b cv t v t e v t e v t eπ π
Fig. 6
EixoEstacionário
α
β
ai
iβ
iα1N
1N
1N
ci
bi eqN
eqN
a
c
b
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12
Vetor Girante Desenvolvendo...
0
23
43
2
223
423
cos
cos
cos
j
j
j
V t e
V t ev t
V t e
π
π
ω
πω
πω
0
2 223 33
4 443 33
22
22
22
j t j tj
j t j tj
j t j tj
e eV e
e eV ev t
e eV e
ω ω
π πω ω π
π πω ω π
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13
Vetor Girante Desenvolvendo...
43
23
22
22
22
j t j t
j tj t
j tj t
e eV
e eVv t
e eV
ω ω
πωω
πωω
43
23
22
22
22
j t j t
jj t j t
jj t j t
e eV
e e eVv t
e e eV
ω ω
πω ω
πω ω
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14
Vetor Girante Desenvolvendo...
22
4 43 32
2
2 23 32
2
cos sin
cos sin
j t j t
j t j t
j t j t
e eV
e e jV
v t
e e jV
ω ω
ω ω
ω ω
π π
π π
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15
Vetor Girante Desenvolvendo...
22
1 32 2
22
1 32 2
22
j t j t
j t j t
j t j t
e eV
e e jV
v t
e e jV
ω ω
ω ω
ω ω
3 2
2j tv t Ve ω
Vetor Girante
v t
α
β
θ
ddtθω
ω
Fig. 7
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16
Vetor Girante
3 22
j tv t Ve ω
Vetor Girante
v t
α
β
θ
ddtθω
ω
v t
θ
ω
aV
bV
cV
Fig. 9
Fig. 8
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17
Transformada de Park
2 cosav t V tω
Seja o sistema trifásico definido pelos três fasores da Fig. 8, com equações:
223
cosbv t V t πω
423
coscv t V t πω
1 2 42 2 3 3
cos cos coseqd a b c
N Ni i t i t i tπ πθ θ θ
1 2 42 2 3 3
sin sin sineqq a b c
N Ni i t i t i tπ πθ θ θ
Fig. 10
EixoGirante
d
ai
qi
di
1N
1N
1N
ci
bi
eqN
eqN
a
c
b q
θ
ω
θω ddt
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18
Transformada de Park
Eixo
da
Fase
A
Eixo da Fase c
Eixo da Fase b
Eixo em quadratura
θ
1
eq
NkN
2 43 3
cos cos cosd a b ci k i t i t i tπ πθ θ θ
Invariância em potência 23
k
2 43 3
sin sin sinq a b ci k i t i t i tπ πθ θ θ
Fig. 11
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19
Transformada de Park
Após algumas simplificações, o sistema bifásico em coordenadas dq, é dado por:
2 43 32
3 2 43 3
π πθ θ θ
π πθ θ θ
cos cos cos
sin sin sin
ad
bq
c
i ti
i ti
i t
Fig. 12
Eixo
da
Fase
A
Eixo da Fase B
Eixo da Fase C
Eixo em quadratura
θ
Sistema a três fios implica em ausência de componente homopolar
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20
Transformada de Park
Fig. 13
Fig. 14
ai 1N
1N
1N
ci
bia
c
b
EixoGirante
d
qi
dieqN
eqN
q
θ
ω
EixoEstacionário
α
β
iβ
iαeqN
eqN
θω ddt
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21
Transformada de Clarke
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
100 110 120 130 140 Tempo (ms)
Tens
ões
a,b,
c (p
.u.)
abc
Park
Tempo (ms)
Tens
ões
d,q
(p.u
.)
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
100 110 120 130 140
vd
vq
va vb vc
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22
Bibliografia
1. I. Boldea; S. A. Nasar, 2005, Electric Drives. 2nd. edition, CRC Press, New York, 544p.
2. W. Leonhard, 2001, Control of Electric Drives, 3rd. edition, Springer, New York, 470p.
3. P. C. Krause, 2002, Analysis of Electric Machinery and Drive Systems, 2nd. edition, Wiley-IEEE Press, New York, 600p.
4. P. K. Kovacs, 1984, Transiente Phenomena in Electrical Machines, Elsevier, Amsterdam, 392p.
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23
Perguntas?