Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf ·...
Transcript of Transformacje Fouriera - Jagiellonian Universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf ·...
Transformacje Fouriera*
podstawowe własności
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015*podejście mało formalne
Transformacja Fouriera - wstęp
Funkcja w domenie czasowej Ta sama funkcja w domenie częstości
W podobny sposób funkcje zdefiniowanie w domenie położenia możemy przedstawiać w domenie częstości przestrzennych (wektora falowego)
Transformacja Fouriera polega na rozkładzie sygnału na funkcje sin i cos czylina wyznaczeniu wkładu danej składowej częstotliwościowej do sygnału
Obie domeny są równoważne, ale ….
Funkcja w domenie czasowej Ta sama funkcja w domenie częstości
Dodajemy „biały” szum
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
W tym przypadku domena częstotliwości jest dużo „wygodniejsza”
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
k0
k
r(r)
A(q)
Przykłady bezpośredniej realizacji transformacji Fouriera
Rozpraszanie Elementy optyczne
Obraz rozproszenie jest transformatą Fouriera obiektu
Obraz w tylnej płaszczyźnie ogniskowej jest TF obrazu w przedniejpłaszczyźnie ogniskowej
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Iloczyn skalarny (rzut)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Pewne całki z funkcjami sinus i kosinus
Zatem, składowe fourierowskie są niezależne [funkcje sin/cos są ortogonalne]Te własności czynią transformacje Fouriera użytecznymi/możliwymi
Transformacja Fouriera polega na rozkładzie sygnału na funkcje sin i cos czylina wyznaczeniu wkładu danej składowej częstotliwościowej do sygnału
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Prosta zagadka 1
Całka z iloczynu dwóch funkcji
I1 I2
która z poniższych całek jest większa?
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2009
Prosta zagadka 1
Całka z iloczynu dwóch funkcji
I1<I2
I1 I2
która z poniższych całek jest większa?
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2009
Prosta zagadka 2
Całka z iloczynu dwóch funkcji
I1 I2g(x)=cos(x) g(x)=cos(5x)
f(x) - gauss
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Prosta zagadka 2
Całka z iloczynu dwóch funkcji
I1 I2
I1>I2
g(x)=cos(x) g(x)=cos(5x)
f(x) - gauss
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Prosta zagadka 3
Całka z iloczynu dwóch funkcji
I1 I2
g(x)=cos(5x) g(x)=sin(5x)
f(x) - gauss
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2009
Prosta zagadka 3
Całka z iloczynu dwóch funkcji
I1 I2
I1>I2 I2=0
g(x)=cos(5x) g(x)=sin(5x)
f(x) - gauss
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Definicja transformacji Fouriera
Rozkład funkcji na funkcje harmoniczne: sinus i cosinus
2p/k
x
F(k) – jest także funkcją[w przestrzeni odwrotnej]W ogólności jest funkcją zespoloną!
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Terminologia
Transformacja Fouriera – operacja na funkcji
Transformata Fouriera – funkcja uzyskana po zastosowaniu transformacji
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Konwencja
Generalnie:
nasza
Mathematica
Wolfram MathWorld
Inne
Uwaga 1: Mathematica umożliwia liczenie w dowlolnej konwencjihttp://mathworld.wolfram.com/FourierTransform.html
Uwaga 2: Pewne transformaty i tożsamości zależą od konwencji.Tutaj warto użyć Wiki [generalnie zawsze z rozwagą!]: http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Odwrotna transformacja Fouriera
Transformacja Fouriera:
Mając do dyspozycji F(k) dla wszystkich wartości k możemy odzyskać (czyli zrekonstruować )oryginalną funkcję f(x) !
Odwrotna transformacja:
Jest to jedna z najważniejszych cech transformacji Fouriera!!!!
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Prezentacja
Transformata Fouriera jest funkcją zespoloną!
część rzeczywista część urojona amplituda faza
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
f(x) rzeczywiste to F(k)=F*(-k)
f(x) urojone to F(k)=-F*(-k)
f(x) rzeczywiste i f(x) = f(-x) to F(k) rzeczywiste i F(k)=F(-k)
f(x) rzeczywiste i f(x) =- f(-x) to F(k) urojona i F(k)=-F(-k)
Symetria i „rzeczywistość”
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Delta Diraca
„Robocza” definicja
Symboliczny „wykres”Wysokość jest miarą stałej mnożącej deltę.
Własności
Delta Diraca – definicja przez granicę
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Transformacje pewnych prostych funkcjiAby zilustrować pewne podstawowe własności transformaty Fouriera poznajmy najpierw transformaty „podstawowych” funkcji
kolory -Re, Im
k=k0
k=01
-1
1
0
Stała wartość (np. tło) występuje dla k=0
k=0
k=0
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Transformacje pewnych prostych funkcji
k=k0k=-k0
k=k0
k=-k0
kolory -Re, Im
k=0
k=0
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Transformacje pewnych prostych funkcji
Gauss
DxDk
Transformata Fouriera gaussa jest gaussem. Mała lokalizacja w przestrzeni rzeczywistej oznacza dużą lokalizację w przestrzeni odwrotej.
[por. Heisenberg]
kolory -Re, Im
k=0
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Transformacje pewnych prostych funkcji
x=1/2x=-1/2
0
1
Bardzo ważna funkcja. Granice w całce Fouriera są nieskończone. Funkcja prostokątna często służy do opisu sygnałów zlokalizowanych w przestrzeni lub
w czasie [jako czynnik mnożący]
Funkcja prostokątna
kolory -Re, Im
k=0
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Transformacje pewnych prostych funkcji
kolory -Re, Im
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Transformacje pewnych prostych funkcji
kolory -Re, Im
x=0 k=0
-1/2
1/2
0
Grzebień Diraca
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Funkcje periodyczne i szeregi Fouriera
Funkcja periodyczna z okresem :
Zdefiniujmy:
Taką funkcję można zapisać jako szereg:
Obliczmy jej transformatę:
Otrzymujemy:
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Licznenie – np. Mathematica
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Ogólne własności - liniowość
k=0
Ogólne własności – skalowanie
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
×
Ogólne własności - przesunięcie
x=x0
kolory –Re, Im, |…|
x=x0
Cała informacja o przesunięciu zawarta jest w fazie. Nie wpływa ono na amplitudę!Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Ogólne własności – twierdzenie o mocy
Uwaga: spełnione nie dla wszystkich konwencji!
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Splot
Ważna operacja: sygnał + poszerzenie aparaturowe, rozmycie obrazów
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Ważny splot
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Twierdzenie o splocie
Transformata Fouriera splotu funkcji jest proporcjonalna do iloczynu transformat Fouriera tych funkcji !!!
Pozwala to na łatwe obliczanie splotu
Analogicznie
Transformata Fouriera iloczynu funkcji jest splotem transformacji Fouriera tych funkcji !!!
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Przykład 1
0
1
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Przykład 2
Typowy przykład: impuls o podstawowej częstość w (energii E) i skończonej długości Dt ma rozmycie energetyvze DwDE 1/Dt
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Twierdzenie o korelacji i autokorelacji(szczegółowa dyskusja póżniej)
Definicja korelacji
Autokorelacja
Twierdzenie
Łatwy sposób na liczenie
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Dyskretna transformacja Fouriera – dane eksperymentalne
W eksperymencie dyskretnie próbkujemy ciągły sygnał:
x
L
f(x)
Całka Fouriera jest wtedy aproksymowana sumą
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Próbkowanie
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Próbkowanie
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Próbkowanie
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Próbkowanie
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Próbkowanie
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Próbkowanie
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Twierdzenie Shannona o próbkowaniu
Jeżeli próbkowana funkcja jest ograniczona pasmowo tzn. jejtransformata Fouriera jest zero powyżej pewnej częstości kc
to funkcje i jej transformatę można bezstratnie odzyskać stosując próbkowanie Nyquista D=p/kc
kc
D=p/kc
-kc
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Szybka transformacja Fouriera
Dyskretna postać transformacji [uwaga inna konwencja!]
N2 operacji
N punktów
N1 x N2 punktów
N12 x N2
2 operacji
1D
2D
FFT (N całkowita liczba danych)
1D N2 Nlog2(N)2D N4 2 N2 log2(N)
Przykład N=1000 [macierz 1024x1024]
N4=1012
2 N2 log2(N)=2x107
Pozwala na niesamowite przyspieszenie obliczeń
W FFT macierz wyjściowama taki sam wymiar jak macierz wejściowa:konsekwencja twierdzenia Shannona
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Transformacja Fouriera w n-wymiarach
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Transformacja Fouriera w 2D
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Prosty przykład w 2D
(0,0)
(-k0,0) (k0,0)
(0,0)
(-k0, -k0)
(k0, k0)
kx
ky
kx
ky
x
x
y
y
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Przykład – filtracja przestrzenna
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Wizualizacja zespolonych funkcji 2D
Dowolna zespolona funkcja dwóch zmiennych rzeczywistych [np. zespolony obraz]
Zwykle do wizualizacji używamy dwóch obrazów
Sposób 1: Część rzeczywista i urojona Sposób 2: Moduł i faza
Sposób 2
0
1
0
2p
Problemy ze skokami fazy : funkcja arctan lub arctan2 zwraca kąt [–p/2,p/2] lub [-p/p]Nie widać amplitudy
Sposób 1
-1
1
-1
1
kx
ky
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Kolor nienasycony[prawie biały]szerokie widmo
HSV (hue, saturation,value) – barwa, nasycenie, jasnośćOdzwierciedla fizyczną percepcję kolorów
Alternatywny sposób opisu kolorów
Nasycenie
Długość fali [nm]
Kolor nasycony [czysty czerwony]wąskie widmo
Barwa
Długość fali [nm]
Widmo światła widzialnego
Model HSV
RGB [red,blue,green] – mieszanie kolorów podstawowych
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Prezentacja HS(V=1)
Re f
Im f
f
| f |
| f | odpowiada saturacji [zero to biały]f odpowiada barwie
0 - rzeczywiste, dodatnie
180 - rzeczywiste, ujemne [dopełnienie RGB czerwonego]
90 - urojone, dodatnie
270 - urojone, ujemne
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Przykłady
rzeczywisty gauss rzeczywisty kosinus urojony sinus
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
W tym obszarze brak koloru białegoFunkcja nie ma zer!
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
|F |
Im F
Re F
kx
ky
Superpozycja prostopadłych fal Prążki: tylko odległość.
f
F Zera (biały):sinus lub cosinus.Symetria względem tej prostej !
Brak zer w tym kierunku!Czysto zespolone wartości!Mała symetria.
Trochę bardziej skomplikowana funkcja
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Kevin Cowtan's Picture Book of Fourier Transformshttp://www.ysbl.york.ac.uk/~cowtan/fourier/fourier.html