Transferts de masse et de chaleur dans la couche limite...
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N° d'ordre 98 ISAL 0094 Année 1998
THESEprésentée
DEVANT L'INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON
pour obtenir
LE GRADE DE DOCTEUR
FORMATION DOCTORALE : Thermique et EnergétiqueECOLE DOCTORALE : Mécanique, Energétique, Génie Civil et Acoustique (MEGA)
PAR
JEROME BELLETTRE(Ingénieur INSA)
TRANSFERTS DE MASSE ET DE CHALEUR DANS LA COUCHE LIMITEPARIETALE ET A L'INTERIEUR D'UNE PAROI POREUSE PLANE
SOUMISE A DE L'EFFUSION OU DE LA TRANSPIRATION
Soutenue le 1 er décembre 1998 devant la commission d'examen :
M. PROVANSAL Professeur - Université d'Aix-Marseille III PrésidentM. DAGUENET Professeur - Université de Perpignan RapporteurM. FAVRE-MARINET Professeur - INP de Grenoble RapporteurJ.P. BERTOGLIO Directeur de Recherche au CNRS - LMFAF. DAUMAS-BATAILLE Maître de Conférences - INSA de LyonA. LALLEMAND Professeur - INSA de LyonB. YOUNIS Docteur - City University, Londres
Thèse préparée au Centre de Thermique de Lyon (CETHIL
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A Emmanuelle pour son soutien et son affectionAu petit Hugo qui vient de naître
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AVANT PROPOS
Le travail présenté dans ce mémoire a été réalisé au sein de l'Equipe Energétique etThermique du Centre de Thermique de Lyon (CETHIL / EET).
Je tiens tout d'abord à exprimer ma profonde gratitude à mon directeur de thèse,Monsieur le Professeur André Lallemand. Malgré ses très nombreuses responsabilités, il n'ajamais hésité à rester disponible, au cours des ces trois dernières années, pour orienter montravail et me conseiller très utilement. Je suis très sensible à la confiance qu'il m'a témoigné àplusieurs reprises.
Je remercie tout particulièrement également Madame Françoise Daumas-Bataille. Lesliens de confiance réciproque que nous avons noués, son savoir faire dans de nombreuxdomaines ainsi que sa grande disponibilité sont pour beaucoup dans le travail que je présenteaujourd'hui.
Que les rapporteurs de ce travail, Messieurs Michel Daguenet, Professeur àl'Université de Perpignan et Michel Favre-Marinet, Professeur à l'INP de Grenoble soientvivement remerciés pour avoir accepté d'examiner mon manuscrit. Je les remercie pourl'intérêt qu'ils ont porté à ce travail, pour l'utilité des remarques qu'ils ont faites ainsi que pourleur participation à mon Jury.
J'exprime aussi ma profonde gratitude à Messieurs Jean-Pierre Bertoglio, Directeur deRecherche au CNRS et Michel Provansal, Professeur à l'Université d'Aix-Marseille III pouravoir accepté de faire partie de ce Jury. Leurs travaux dans le domaine de la mécanique desfluides font foi et leur présence à mon Jury m'honore. Mes remerciements s'adressentégalement à Monsieur Bassam Younis, Docteur à la City University, qui s'est intéressé depuislongtemps à mon travail et qui n'a pas hésité à venir de Londres pour être membre de monJury.
Par ailleurs, je suis très reconnaissant envers tous les enseignants-chercheurs etpersonnels techniques de l'Equipe Energétique et Thermique qui m'ont régulièrement ouoccasionnellement apporté leur aide au cours des trois années passées en leur compagnie. Unepartie importante de mes recherches est de nature expérimentale et les compétencestechniques de Jean-Claude Rodet m'ont été d'un grand secours tout comme le savoir faire deJoël Girard, technicien qui a réalisé un grand nombre d'adaptations sur la soufflerie mise à madisposition. De plus, je remercie Fabrice Guignard pour sa gestion très efficace des moyensinformatiques que j'ai utilisés.
Enfin, je tiens à signaler que le prêt de trois appareillages a été fondamental pourmener à bien les expérimentations. Un anémomètre Laser-Doppler a été prêté durant uneannée universitaire par le Laboratoire de Mécanique des Fluides de l'INSA. Une camérainfrarouge et un chromatographe ont été mis à ma disposition respectivement par l'équipe TIMdu CETHIL et le LAEPSI.
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RESUME
Ce travail concerne l'étude numérique et expérimentale des écoulements et destransferts thermiques au voisinage et dans une paroi poreuse soumise à un écoulement internede fluide. Les simulations numériques de l'écoulement pariétal sont effectuées en utilisant unmodèle classique de turbulence (modèle RNG k-ε). Une modélisation discrète de l'effusion àtravers la paroi poreuse est développée afin de prédire les interactions entre l'écoulementpariétal et le fluide injecté. Les résultats numériques sont en accord avec les résultatsexpérimentaux obtenus dans une soufflerie thermique. Le couplage entre les transferts auvoisinage et à l’intérieur de la paroi poreuse est étudié en fonction du taux d'injection, de latempérature de l'écoulement potentiel et de la surface d'échange interne du milieu poreux. Unmodèle nodal des transferts thermiques internes à la paroi, couplé au modèle des coucheslimites soumises à de l'effusion, permet de calculer les températures de parois. Parcomparaison entre les résultats de la modélisation et ceux de l'expérience, les coefficientsd'échanges internes aux milieux poreux sont calculés. Enfin, en vue d'optimiser la protectionthermique des parois, la transpiration d'un liquide est étudiée. Les résultats expérimentaux,obtenus avec la transpiration d’éthanol, alors que l’écoulement pariétal est gazeux, mettent enévidence une excellente performance du système de protection. Le débit de réfrigérant évaporéest calculé à partir de mesures de concentration dans la couche limite pariétale puis est utilisépour l'étude numérique des transferts de masse en couche limites.
Mots clefs : couche limite turbulente, milieu poreux, injection, protection thermique,transpiration.
ABSTRACT
The flows and the heat transfer near and inside a porous wall subjected to an internalflow are numerically and experimentally studied. Numerical simulations of the main flow areperformed using a classical model of turbulence (RNG k-ε model). A discrete modeling ofblowing through a porous plate is developed in order to predict interactions between the mainflow and the injected fluid. Numerical results are in good agreement with experimental dataobtained with a subsonic wind tunnel. The coupling between the heat transfer near and insideporous plates is studied for different injection rates, main flow temperatures and internalexchange surfaces of porous media. Surfaces temperatures are calculated using a nodal modelof internal heat transfer, linked to the model of boundary layer submitted to injection. Bycomparing numerical and experimental temperatures of walls, the heat transfer coefficientsinside porous media are calculated. In order to improve the thermal protection of walls, thetranspiration with a liquid is studied. Experimental results, obtained with ethanol injectionwhereas the main flow is gaseous, show an important enhancement of the protection process.The coolant evaporation rate is calculated using measurement of mass fraction in the boundarylayer and is used for the numerical study of mass transfer in the boundary layer.
Key words : turbulent boundary layer, porous medium, blowing, thermal protection,transpiration cooling.
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SOMMAIRE
Nomenclature 11
Introduction générale 14
Chapitre 1 : Ecoulements pariétaux turbulents 19
1.1. Etude théorique 20
1.1.1. Equations de bilan 23
1.1.2. Couches limites 25
1.1.3. Fermeture du système d'équations de bilan 29
1.2. Etude expérimentale des couches limites turbulentes 35
1.2.1. Présentation de la soufflerie et de la veine d'essais 36
1.2.2. Instrumentation 38
1.2.3. Etude de l’écoulement 39
1.3. Simulations numériques des couches limites turbulentes 42
1.3.1. Modélisation de la couche limite turbulente 42
1.3.2. Choix du modèle de turbulence 48
Conclusion 55
Chapitre 2 : Transferts en couches limites turbulentes
avec effusion de gaz 56
2.1. Bibliographie des transferts en couche limite avec effusion 57
2.1.1. Historique 57
2.1.2. Détermination des coefficients de frottement et d'échange thermique 59
2.1.3. Lois de parois en présence d'injection pariétale 64
2.2. Modélisation des couches limites turbulentes avec effusion de gaz
et validation par l'expérience 67
2.2.1. Effusion sans gradient de température 71
2.2.2. Effusion avec gradients de température 75
2.2.3. Influence de la porosité 76
2.2.4. Influence du taux d'injection 83
Conclusion 83
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Chapitre 3 : Couplage écoulement pariétal - plaque poreuse 84
3.1. Transferts dans les milieux poreux 86
3.1.1. Transferts de masse 86
3.1.2. Transferts de chaleur 88
3.2. Mesures de températures de plaques poreuses 91
3.2.1. Présentation des matériaux poreux 92
3.2.2. Moyens expérimentaux mis en oeuvre 94
3.2.3. Résultats expérimentaux 95
3.3. Etude numérique des échanges de chaleur 102
3.3.1. Méthode de calcul des échanges internes 103
3.3.2. Conditions aux limites 105
3.3.3. Méthode numérique 106
3.3.4. Méthodologie 106
3.3.5. Résultats 106
Conclusion 115
Chapitre 4 : Protection thermique des parois poreuses par
transpiration d'un liquide 117
4.1. Etude bibliographique 118
4.1.1. Etude analytique de la transpiration 120
4.1.2. Aspects expérimentaux 124
4.2. Refroidissement par transpiration d'eau 126
4.2.1. Prédiction de la protection thermique des milieux poreux par
effusion de vapeur d'eau 126
4.2.2. Etude expérimentale de la transpiration d'eau 131
4.2.3. Mouillabilité 134
4.3. Refroidissement par transpiration d'éthanol 135
4.3.1. Etude expérimentale 135
4.3.2. Etude théorique de la transpiration d'éthanol 142
Conclusion 150
Conclusion générale 152
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Références bibliographiques 154
Annexes 162
I Rendement thermique d'une turbine à gaz 163II Anémomètre Laser Doppler 166III Caméra Infrarouge 167IV Couches limites dynamiques pour Te = 45 et 100 °C 168V Estimation de la précision de la mesure du taux d’injection 169VI Chromatographe 171VII Etalonnage du chromatographe 172
11
NOMENCLATURE
A surface d'injection (m2)B paramètre thermique d'injection (B = F / St)Bf paramètre dynamique d'injection (Bf = 2F / Cf)b coefficient de pertes de charge (modèle de superposition) (1/m)C fraction massique (valeur moyenne)Cij conductance thermique entre les noeuds i et j (W/K)Cµ constante du modèle k-εCε1 constante des modèles k-ε et RNG k-εCε2 constante des modèles k-ε et RNG k-ε
Cf coefficient de frottement (C
Uf w
e e2 12
= τρ
)
c' fluctuation de fraction massiquecp capacité thermique massique (J/kg.K)D coefficient de diffusion (m2/s)d dimension caractéristique (m)dh diamètre hydraulique (m)E constante de frottement (E = 9,0 pour une paroi lisse)e épaisseur (m)
F taux d'injection (Fv
Uw f
e e= ρ
ρ 1)
Fij facteur de forme entre les noeuds i et jf fréquence (Hz)gi accélération de la pesanteur dans la direction i (m/s2)H enthalpie massique (valeur moyenne) (J/kg)h coefficient d'échange convectif (W/m2K)h' fluctuation d'enthalpie (J/kg)I intensité de turbulenceJ radiosité (W/m2)K perméabilité (m2)k énergie cinétique turbulente (m2/s2)l longueur de mélange (m)m masse (kg)�m débit massique surfacique (kg/m2 s)
Nu nombre de Nusselt (Nuhd
=λ
)
P pression (Pa)p dimension d'un pore dans la représentation numérique (m)p' fluctuation de pression (Pa)q densité de flux incident de chaleur (W/m2)
Pe nombre de Péclet (PeU dx= ρΓΦ
)
Pr nombre de Prandtl (Pr =µ
λcp )
Re nombre de Reynolds (Re = ρµUd )
12
S abscisse de l'interface liquide-vapeur (m)
St nombre de Stanton (Sth
c Up e=
( )ρ 1)
s surface d'échange interne (m2/m3)T température (K)t temps (s)U vitesse (valeur moyenne) (m/s)
Uτ vitesse de frottement (U wτ
τρ
= ) (m/s)
U+ vitesse longitudinale adimensionnelle (UU
U+ = 1
τ)
u' fluctuation de vitesse (m/s)V vitesse (m/s)vf vitesse de filtration (moyennée sur toute la surface du milieu poreux) (m/s)x coordonnée spatiale (m)
y+ ordonnée adimensionnelle (yU x+ = ρ
µτ 2 )
Symboles grecsα0 constante du modèle RNG k-εαk inverse du nombre de Prandtl turbulent pour kαε inverse du nombre de Prandtl turbulent pour ε
∆ épaisseur d'enthalpie (∆ = ∫−−
∞ ρρ
U
U
T T
T Tdx
e e
e
w e
1
10 2 ) (m)
∆T écart de température (K)∆x distance entre deux centres de volumes de contrôle (m)δ épaisseur de couche limite dynamique (m)
δd épaisseur de déplacement (δ ρρd
e e
U
Udx= −
∞∫ 1 1
10 2 ) (m)
δΤ épaisseur de couche limite thermique (m)δij symbole de Kroneckerε taux de dissipation d'énergie cinétique turbulente (m2/s3)φ grandeur intensive génériqueΦ flux de chaleur (W)ϕ porositéΓφ coefficient isotropique de diffusion (kg/m.s)
η efficacité (η = −−
T T
T Te
w e)
κ constante de von Karman (κ = 0,40)λ conductivité thermique (W/m.K)µ viscosité dynamique (kg/m.s)ν viscosité cinématique (m2/s)
13
θ épaisseur de quantité de mouvement (θ ρρ
= ∫ −
∞ U
U
U
Udx
e e e
1
10
1
121 ) (m)
ρ masse volumique (kg/m3)σ constante de Stefan Boltzmann (σ = 5,67 10-8 W/m2K4) (W/m2K4)
σh nombre de Prandtl turbulent (σν
λhp t
t
c= )
σk nombre de Prandtl turbulent pour kσε nombre de Prandtl turbulent pour ετ contrainte de cisaillement (Pa)
Indices0 sans effusion1 direction longitudinale2 direction verticalea aircond conductiveconv convectivecrit critiquee écoulement potentieleff effectiveeq équivalenteth éthanolévap évaporationf fluidei interface liquide-vapeuri, j directions i, jinj injectéint internemol moléculairep au centre du volume de contrôle le plus proche de la paroiref de référencer réservoirs solidesat saturationt turbulenttransp transportv vapeurvis dans la sous-couche visqueusew sur la paroi
14
INTRODUCTION GENERALE
Les écoulements pariétaux avec injection de fluide (figure 1) ont fait l'objet de
nombreux travaux théoriques et expérimentaux. Les résultats de ces études ont permis
d'importantes améliorations de systèmes industriels notamment dans les domaines
aéronautiques et aérospatiaux. Le principal domaine d'application est la protection thermique
des parois soumises à de fortes contraintes thermiques. Un exemple de retombée directe
concerne les moteurs à flux continus (turbines à gaz, turboréacteurs, moteurs de lanceurs...) où
l'optimisation des performances nécessite une température des gaz en écoulement de plus en
plus élevée. Pour illustrer ce propos, l'exemple du rendement thermique d'une turbine à gaz,
en fonction de la température des gaz en sortie de chambre de combustion, est donné en
annexe I.
Fig. 1. Ecoulement pariétal avec injection de fluide.
Ces dernières années ont vu le développement de la protection thermique des aubes de
turbines des moteurs d'avions. En effet, malgré les importants progrès réalisés dans le
domaine de la métallurgie, la température admissible par les matériaux constituant les aubes
ne dépasse pas 1100 °C alors que les températures des gaz en entrée de turbine dépassent
1500 °C dans les moteurs récents (Petot 1997). Les constructeurs de moteurs ont alors
développé des systèmes de refroidissement par convection interne et refroidissement "par
film" pour garantir l'intégrité des matériaux (figure 2). Cependant, ce type de protection
nécessite une prise d'air en amont de la chambre de combustion (donc "gaspillé" d'un point de
vue énergétique) de 8 à 10 % du débit total dans un réacteur d'avion actuel (Greffoz 1997).
Une autre importante application de l'injection de masse dans un écoulement pariétal
chaud est la protection thermique par ablation c'est à dire la sublimation d'un revêtement
protecteur. Dans les propulseurs à propergol solide, tels ceux d'Ariane V, H2 (Japon), la
Navette Spatiale et Titan IV (USA), les gaz issus de la combustion sont portés à environ
Ecoulement principal
Ecoulement secondaire
3500 K (Lengellé et al. 1997). Les surfaces de la structure du propulseur, qui ne sont pas
recouvertes de propergol, sont alors exposées à ces produits de combustion et les concepteurs
ont recours à la pose de matériaux de protection qui se subliment sous l’effet de l’écoulement.
Sur les sondes spatiales, la protection thermique vis à vis des agressions extérieures peut
également être assurée par ablation. Une étude de Green et Davy (1981), sur un prototype de
sonde “Galileo”, a montré la nécessité de poser 126 kg de matériau protecteur (pour un poids
de la sonde de 3 10 kg) pour résister aux contraintes induites par l’entrée dans l’atmosphère de
Jupiter.
2200
2000
_
1800
1600
-1400
200
000
Température entnieturfrhe T(K)
forcée et films
Aube à cavités
Aube non refroidie
Moteurs en sewice
1960 1970 1980 1990 2000 2010
Fig. 2 Evolution des technologies de refroidissement (Petot 1997).
Une autre possibilité de protection thermique des parois est l’effusion. Il s’agit de
llmJection d’un fluide frais à travers une matrice poreuse. Ce procédé, s’il peut engendrer des
contraintes dues à une moindre tenue mécanique et aux risques d’encrassement des milieux
poreux, semble prometteur quant aux performances thermiques. En effet, l’injection de fluide
frais combine le refroidissement par convection interne à la paroi poreuse et la réduction du
flux thermique convectif incident du fait de l’épaississement des couches limites pariétales
(figure 3). De plus, l’emploi de matériaux poreux peut permettre de réduire la masse
embarquée par allégement des parois. Une application de ce procédé est la protection
thermique des chambres de combustion ou des tuyères de moteurs à flux continus mais peut
également être envisagée dans d’autres domaines : séchage et aérodynamique. Dans ce dernier
15
16
domaine, une part importante des efforts de recherche est employée à la réduction des traînées
autours de profils d'ailes et une injection de masse peut contribuer à réduire les forces de
frottement qui les engendrent.
Il semble, selon Grootenhuis (1959), que la première expérimentation de l'effusion
date de 1930. Elle concerne la protection d'une paroi poreuse en céramique soumise à un flux
de chaleur dégagé par la combustion d'un mélange de pétrole et d'oxygène. Le réfrigérant
utilisé est de l'oxygène et l'expérience, qui a duré 11 secondes, semble avoir prouvé la
faisabilité du refroidissement par effusion. Un premier brevet incluant ce mode de
refroidissement date de 1938. Cependant, c'est avec l'accélération des recherches en
aéronautique, après la seconde guerre mondiale, que les travaux portant sur la protection
thermique par effusion se sont développés. Ils concernent essentiellement les transferts de
chaleur au sein de matériaux poreux chauffés (Grootenhuis 1951) et les transferts en couches
limites soumises à de l'injection (Mickley et al. 1954). Cette séparation en deux aspects de
l'étude de l'effusion semble s'être longtemps prolongée avec, d'une part, des travaux sur les
matrices poreuses (Koh et al. 1973, Kar 1980, Yamamoto 1990) et, d'autre part, des études sur
les couches limites (Moffat et Kays 1968, Simpson 1970, Baker et Launder 1974a, Silva
Freire et al. 1995).
Fig. 3 Schéma de principe de l'effusion.
transferts de : masse, quantité de mouvement et chaleur
CONDUCTION + CONVECTION
ECOULEMENT TURBULENT CHAUD
CONVECTION +RAYONNEMENT
ENTREE DU FLUIDE FRAIS
SORTIE DU FLUIDE FRAIS
CONVECTION +RAYONNEMENT
PAROI
POREUSE
COUCHE LIMITE
PAROI
IMPERMEABLE
17
Au sein de l'Equipe Energétique et Thermique du Centre de Thermique de Lyon ont
débuté, au début des années 1990, des études portant sur l'expérimentation et la modélisation
de ce procédé. Andoh (1992) s'est principalement attaché à décrire les transferts de masse et
de chaleur au sein des milieux poreux. Il a ensuite couplé son modèle avec une modélisation
simplifiée des couches limites laminaires. Campolina França (1996), a étudié l'effet de
l'injection de masse sur la couche limite pariétale laminaire puis turbulente mais, dans son
étude, le fluide frais provient d'un milieu poreux considéré comme un milieu unique
équivalent donc sans transfert de chaleur interne.
Le présent travail, de nature numérique et expérimentale, traite de l'effusion dans le
cadre du régime turbulent de l'écoulement pariétal. Il a pour objectif d'aboutir à une
modélisation complète des écoulements et des transferts thermiques couplés, tant dans la
couche limite pariétale qu'à l'intérieur de parois poreuses, dans le cas d'une géométrie plane
et d'un écoulement bidimensionnel. L’utilisation d’une soufflerie subsonique à température
moyenne (300 °C) permet une approche expérimentale du problème et une confrontation des
résultats de la modélisation avec l'expérience.
Du fait de la diversité des phénomènes physiques étudiés, ce mémoire est présenté de
façon thématique.
Dans le premier chapitre, les différentes possibilités de modélisation de la turbulence
sont présentées. Les moyens expérimentaux et numériques que nous avons retenus sont
ensuite détaillés. Enfin, les résultats expérimentaux obtenus avec la soufflerie thermique, dans
le cas où il n'y a pas d'effusion, sont comparés aux résultats numériques.
Le second chapitre traite d'une nouvelle approche pour modéliser les couches limites
turbulentes dynamique et thermique soumises à l'effusion d'un gaz frais. La confrontation des
résultats numériques avec nos propres expériences et ceux issus de la bibliographie est ensuite
effectuée.
La troisième partie porte sur le couplage entre les transferts au voisinage et à l’intérieur
de matériaux poreux. Expérimentalement, des températures de la phase solide d'une plaque
poreuse sont mesurées dans diverses configurations. A l'aide, d'une part, d'un modèle des
transferts thermiques internes à la paroi et, d'autre part, du modèle de transferts en couches
limites (avec addition du rayonnement incident sur la plaque), les températures de parois sont
calculées et, par comparaisons avec les mesures, les coefficients d'échanges internes sont
quantifiés.
18
Enfin, dans le dernier chapitre, une optimisation du système de protection thermique
est proposée. Pour cela, les recherches portent sur la transpiration d'un liquide. Le phénomène
de mouillabilité est, tout d'abord, analysé. L'étude expérimentale met en évidence une
amélioration de la protection. La quantité de chaleur absorbée par évaporation est ensuite
déterminée à partir des mesures de concentrations de vapeur de réfrigérant dans la couche
limite pariétale. Ce calcul de chaleur absorbée par changement de phase est ensuite confronté
à des calculs théoriques de flux incidents et à des résultats de simulations numériques des
transferts en couches limites turbulentes.
Chapitre 1
ECOULEMENTS PARIETAUXTURBULENTS
20
Dans ce travail, le procédé de l'effusion est étudié en présence de l’écoulement pariétal
turbulent d’un fluide chaud. Il convient donc de s’intéresser aux questions relatives à la
turbulence. Les écoulements turbulents ont fait l'objet de nombreuses recherches tant au
niveau expérimental que théorique. Aussi, existe-t-il sur ce sujet une littérature abondante
permettant une bonne compréhension des phénomènes rencontrés. Par ailleurs, ce premier
chapitre, préalable à l'étude concrète du procédé de protection par effusion, sera l'occasion de
présenter de façon détaillée les moyens expérimentaux et numériques que nous avons retenus
pour l'étude complète de notre problème. Au sein de ce premier chapitre, trois thèmes sont
abordés.
La partie théorique, tout d'abord, traite de la turbulence. Afin de pouvoir simuler
l'écoulement pariétal, nous nous intéressons aux équations de bilan régissant le mouvement
moyen du fluide et aux conséquences de la turbulence sur la résolution de ces équations. La
difficulté de calculer directement les fluctuations de vitesse nécessite le recours à des
hypothèses simplificatrices entraînant une perte d'information. Les notions de fermeture du
système d'équations de bilan sont détaillées mais la non-universalité des modèles de
turbulence conduit à confronter ceux-ci à une étude expérimentale menée en parallèle.
Dans le cadre de cette étude expérimentale, la veine d'essais d'une soufflerie thermique
subsonique est présentée ainsi que l'instrumentation nécessaire à la mesure des profils de
vitesses et de température dans les couches limites turbulentes. Des résultats expérimentaux,
en amont de la zone de soufflage, permettent de connaître et de qualifier précisément
l'écoulement d'air dans la veine.
Enfin, la comparaison entre les résultats expérimentaux et ceux obtenus
numériquement avec des modèles de turbulence est présentée. Cette confrontation est utile
pour choisir le modèle et le maillage le plus adapté à notre problème concret. Ce choix servira
de base de départ pour l'introduction de l'effusion dans notre modélisation de l'écoulement.
1.1. Etude théoriqueLe nombre de Reynolds, représentant le rapport entre les forces d'inertie et les forces
de frottement qui s’exercent sur un fluide, permet de caractériser le régime d’écoulement.
Pour des nombres de Reynolds faibles un écoulement est laminaire : les lignes de courant sont
parallèles entre elles et la viscosité est une propriété prépondérante. A tout instant, les champs
de vitesse, u, et de température, T, peuvent être calculés par la résolution des équations de
bilan de masse, de quantité de mouvement et d'énergie. Ces relations de bilan sont obtenues en
21
appliquant le principe de la conservation de la masse, la relation fondamentale de la
dynamique et le premier principe de la thermodynamique à une parcelle de fluide. Pour
l'écoulement conservatif d'un fluide newtonien régi par la loi des gaz parfaits, ces équations
s'écrivent :
( )∂ρ∂
∂∂
ρt x
uj
j+ = 0 (1.1)
( ) ( )∂∂
ρ ∂∂
ρ ∂∂
∂∂
µ ∂∂
∂∂
µ ∂∂
δ ρt
ux
u uP
x x
u
x
u
x
u
xgi
ji j
i j
i
j
j
i
l
lij i+ = − + +
−
+2
3 (1.2)
( ) ( )∂∂
ρ ∂∂
ρ ∂∂
λ ∂∂
∂∂
∂∂
φt
hx
u hx
T
x
P
tu
P
xjj
j jj
j+ =
+ + + (1.3)
où φ est la fonction de dissipation visqueuse : φ∂∂
µ ∂∂
∂∂
µ ∂∂
δ= +
−
u
x
u
x
u
x
u
xj
i
i
j
j
i
l
lij
2
3 et
où l'enthalpie massique, h, est reliée à la température par la relation (1.4).
h c dTpTref
T= ∫ (1.4)
La température de référence est souvent choisie égale à 0 °C. Dans les relations (1.1) à
(1.4), apparaissent la masse volumique, ρ, la viscosité dynamique, µ, la conductivité
thermique, λ et la capacité thermique massique, cp.
Pour de plus grands nombres de Reynolds et à partir d'un certain seuil, des instabilités
apparaissent et l'écoulement semble désordonné : l'écoulement est alors qualifié de turbulent.
Les fluctuations spatiales et temporelles des différentes grandeurs sont d'autant plus
irrégulières que la vitesse est élevée. La turbulence est difficilement prévisible car une faible
variation des conditions aux limites de l'écoulement peut provoquer des modifications
importantes du champ des diverses grandeurs. Elle peut être caractérisée par quelques
propriétés : c'est un phénomène tridimensionnel, irrégulier dans l'espace et le temps,
rotationnel, diffusant fortement toute quantité transportée, et dissipant de façon importante
l'énergie cinétique en chaleur.
Les trois bilans, présentés ci-dessus, sont applicables au régime turbulent, du moins
tant que les plus petites échelles d'espace et de temps de l'écoulement sont grandes devant les
échelles d'agitation moléculaire. Cependant, la petitesse des échelles des fluctuations devant
les dimensions de l'écoulement rend illusoire leur traitement direct dans la grande majorité des
22
cas. Des études théoriques ont, toutefois, permis d'expliciter les mécanismes qui régissent la
turbulence.
Au sein d'un écoulement turbulent, coexistent plusieurs structures de tailles et de
fréquences différentes. Les grandes structures peuvent être assimilées à de gros tourbillons et
sont porteuses d'énergie cinétique. Leurs dimensions peuvent atteindre l'ordre de grandeur du
domaine occupé par l'écoulement. La viscosité moléculaire n'y joue aucun rôle. Leur énergie
cinétique est généralement produite par les gradients de vitesse de l'écoulement moyen. Ces
grandes structures, soumises au phénomène d'étirement tourbillonnaire, donnent naissance à
des structures plus petites tout en leur transférant une partie de leur énergie (Cousteix 1989).
Ce processus se répète et, au-dessous d'une certaine échelle de longueur, la viscosité
moléculaire joue un rôle important : l'énergie cinétique turbulente, transférée des grandes
structures vers les petites, est dissipée sous forme de chaleur. Ce processus de transfert est
appelé "cascade d'énergie", idée dont le développement est principalement dû à Kolmogorov
(1941).
Considérons une structure en rotation, de vitesse et de taille caractéristiques v et r. Le
temps de retournement, T = v/r, donne un ordre de grandeur du temps mis par une parcelle de
fluide piégée dans le tourbillon pour en faire un tour complet. La "cascade d'énergie" suppose
un équilibre : pendant le temps T, le tourbillon perd une partie de son énergie qui est
transférée à une structure plus petite mais en reçoit simultanément des structures plus grosses.
On peut mesurer la perte d'énergie d'une structure par un taux de dissipation d'énergie
cinétique ε proportionnel à v2/T soit v3/r. L'hypothèse de Kolmogorov stipule que ce taux est
indépendant de la taille de la structure. ε représente donc également le flux d'énergie à travers
la "cascade". Formulée dans l'espace de Fourier, où chaque dimension r d'une structure est
reliée à un nombre d'onde k = 2π / r, la loi de Kolmogorov montre que l'énergie cinétique du
signal turbulent au nombre d'onde k, est proportionnelle à k-5/3 dans la zone inertielle. Cette loi
a fait l'objet de vérifications expérimentales et s'applique dans de nombreuses situations. Par
ailleurs, la dimension caractéristique au-dessous de laquelle les tourbillons seront dissipés et
ne pourront plus produire de plus petites structures est appelée échelle de Kolmogorov. Elle
est de l'ordre du millimètre pour la couche limite de l'atmosphère terrestre et de l'ordre du
dixième de millimètre dans une turbulence de grille dans l'air (Lesieur 1994). Outre la
connaissance fondamentale de la turbulence qu'elles apportent, ces études théoriques sont un
élément essentiel pour l'amélioration des modélisations d'écoulements.
23
Devant la grande complexité de la turbulence, on a souvent recours au traitement des
problèmes par des méthodes statistiques. Ce recours au traitement statistique est justifié par la
difficulté d'accès aux nombreuses causes des instabilités. Ainsi, selon la "décomposition de
Reynolds", chaque grandeur g est décomposée en une valeur moyenne G et une fluctuation g'
autour de cette valeur moyenne (relation (1.5)). Pour un écoulement permanent en moyenne,
la valeur G est égale à la moyenne temporelle prise sur une seule expérience mais sur un
temps très long devant les échelles de temps de la turbulence.
g G g= + ' (1.5)
A l'aide de moyennes temporelles sur les équations de bilan et en appliquant les règles
dites "règles de Reynolds" où la moyenne de deux grandeurs f et g vérifie :
g f g F G ag aG Fg F Gg
x
G
x' , , , ,= + = + = = =0
∂∂
∂∂
(a étant une constante), il est possible
d'obtenir les équations régissant le mouvement moyen.
A noter qu'il existe d'autres types de décompositions comme la moyenne pondérée par
la masse (Favre et al. 1976) (relation (1.6)) particulièrement adaptée aux écoulements
compressibles.
Gg= ρ
ρ (1.6)
Cependant, la moyenne de Favre engendre des développements d'équations
relativement complexes et pour les écoulements faiblement compressibles, on pourra souvent
supposer que seule la valeur moyenne de la masse volumique varie et négliger les fluctuations
(Schiestel 1993). Pour le traitement numérique de notre problème, cette hypothèse est adoptée
ce qui revient à recourir à la décomposition de Reynolds.
1.1.1. Equations de bilan
Les équations de bilan moyennées sont obtenues après décomposition des vitesses et de
l'enthalpie. Pour la gamme de vitesse que l'on étudie, la pression peut être considérée comme non-
fluctuante dans les équations de bilan de la quantité de mouvement et de l'énergie. La présente étude
concerne un écoulement conservatif et permanent en moyenne d'un fluide newtonien régi par la loi
des gaz parfaits. Les propriétés du fluide sont strictement permanentes et varient avec la
température moyenne.
24
L'écoulement est régi par les équations de bilan de masse, de quantité de mouvement et
d'énergie (1.7), (1.8) et (1.9). La masse volumique suit la loi des gaz parfaits, la viscosité
dynamique et la conductivité thermique sont déterminées par interpolations de données
tabulées.
∂
∂
ρUj
xj=0 (1.7)
∂∂
ρ ρ ∂∂
ρ
∂∂
µ∂∂
∂
∂µ
∂∂
δ
x jUi U j ui u j
P
xigi
x j
Uix j
U j
xi
Ulxl
ij
+
= − + +
+
−
' '
2
3
(1.8)
( )∂∂
ρ ρ∂
∂λ
∂∂
∂∂x j
U j H u j hx j
T
x jU j
P
x j+ =
+' ' (1.9)
Dans le bilan (1.9), la dissipation visqueuse est négligée et la valeur moyenne de
l'enthalpie, H, est reliée à la température par la relation (1.4) où la capacité thermique
massique est également fonction de la température ; la température de référence choisie est de
0 °C.
Les équations moyennées font apparaître des termes de corrélations doubles des
fluctuations. Ils proviennent de la non-linéarité des équations de bilans. Ces termes, appelés
tensions de Reynolds, traduisent l'effet de la turbulence sur l'évolution du mouvement moyen
et rendent les systèmes d'équations ouverts (plus d'inconnues que de relations). C'est la
conséquence de la prise de moyenne des équations instantanées qui introduit une perte
d'information. Se pose alors le problème de la fermeture du système, c'est-à-dire du lien entre
les corrélations doubles et le champ moyen.
Dans les bilans (1.8) et (1.9), on peut intégrer des contributions de la turbulence dans
les termes de diffusion (équation (1.10) et (1.11)). On parle alors de diffusion turbulente. Ces
contributions de la turbulence s'ajoutent aux effets moléculaires, eux mêmes dépendants des
propriétés thermophysiques du fluide en écoulement.
τ µ∂∂
∂
∂µ
∂∂
δ ρijUix j
U jxi
Ulxl
ij ui uj
effet moléculaire effet turbulent
= +
− −2
3' '
(1.10)
25
qT
x juj h
moléculaire turbulent
= − +λ ∂∂
ρ ' ' (1.11)
Les modèles de turbulence servent à calculer ces contributions turbulentes. Selon la
région de l'écoulement, les termes turbulents peuvent être prépondérants ou négligeables
devant les termes moléculaires. Dans un écoulement de type couche limite, par exemple, ce
rapport entre la diffusion moléculaire et la diffusion turbulente varie avec la distance à la
paroi.
1.1.2. Couches limites
Considérons un écoulement fluide à vitesse U1e et à température Te sur une plaque à
température Tp (figure 1.1). Au voisinage de la paroi, les valeurs de la vitesse et de la
température sont différentes de celles de l'écoulement potentiel et varient en fonction de la
distance à la paroi, x2. Cette zone de gradients de vitesse et de température est appelée couche
limite. Elle résulte d'échanges de quantité de mouvement et de chaleur entre le fluide et la
paroi. Son épaisseur est généralement petite par rapport à l'ensemble de l'écoulement. On
distingue deux types de couche limite : la couche limite dynamique et la couche limite
thermique.
Fig. 1.1 Couches limites dynamique et thermique.
Couche limite dynamique
Une des principales caractéristiques d'un fluide est sa viscosité. Cette dernière varie
avec la température mais n'est jamais nulle. En conséquence, la vitesse du fluide à la paroi est
U1e, Te
U1
Tp
T-Tp
x2
x1
δ
δΤ
0,99 Ue1
0,99 (Te-Tp)
26
nulle et on observe des forces de frottement qui freinent l'écoulement au voisinage de celle-ci.
L'épaisseur de couche limite, δ, est définie par la distance à la paroi x2 pour laquelle U1 (x2) =
0,99 U1e.
Couche limite thermique
Lorsque le fluide, à température Te, s'écoule sur la paroi à température Tp, des
échanges thermiques s'établissent. Les particules du fluide s'échauffent ou se refroidissent au
contact de la plaque. Ces particules échangent de la chaleur de proche en proche avec leurs
voisines et un gradient thermique se forme. Par convention, l'épaisseur de la couche limite
(x2 = δΤ) correspond à la frontière où Tfluide (x2) = 0, 99 (Te - Tp) + Tp.
Couches limites et turbulence - lois de paroi
Comme dans les écoulements en général, on distingue dans les couches limites un
régime laminaire et un régime turbulent. Une couche limite laminaire, se développant sur une
paroi plane, devient turbulente à partir d'une certaine longueur correspondant à un nombre de
Reynolds critique (RecritexU=
ν) de l'ordre 3 105 à 5 105 pour une surface lisse (Padet 1990).
Les observations concernant les couches limites dynamiques turbulentes permettent de
distinguer deux zones au sein de celles-ci : tout d'abord une région interne dépendant
fortement des conditions à la paroi et elle-même divisible en deux (sous-couche visqueuse et
zone logarithmique) puis une région externe. L'introduction de variables adimensionnelles
facilite la distinction entre ces différentes régions. Pour cela, on définit, à l'aide de la vitesse
de frottement (relation (1.12)), une distance à la paroi et une vitesse adimensionnelle
(relations (1.13) et (1.14)).
U wτ
τρ
= (1.12)
où τw est la contrainte de cisaillement à la paroi.
yx U+ = 2 τ
ν (1.13)
où x2 est la distance à la paroi.
27
UU
U+ = 1
τ (1.14)
où U1 est la vitesse longitudinale de l'écoulement.
La sous-couche visqueuse est une zone très proche de la paroi et très mince où les
effets des forces de viscosité sont prépondérants devant les effets des forces d'inertie. On fait
l'hypothèse que, dans cette zone, le profil de vitesse suit la relation (1.15).
U y+ += (1.15)
La zone logarithmique, séparée de la sous-couche visqueuse par une zone tampon,
constitue la partie extérieure de la couche interne. Comme son nom l'indique, la vitesse varie
proportionnellement à log y+. Dans cette zone, les effets turbulents sont devenus
prépondérants par rapport aux effets moléculaires et le profil de vitesse est bien décrit par la
loi de paroi (équation 1.16).
U Ey+ += 1
κln( ) (1.16)
où E est une constante empirique égale à 9,0 pour une paroi lisse, selon Launder et
Spalding (1974) et κ est la constante de von Karman (κ = 0,4).
A noter que l'équation implicite (1.17) couvre l’ensemble de la région interne de la
couche limite turbulente (White 1991). Mais cette relation est peu utilisée car délicate
d'emploi.
y UE
e UU UU+ + +
+ += + − − − −
+11
2 6
2 3κ κ κ κ( ) ( )
(1.17)
Enfin la région externe est décrite par d'autres lois semi-empiriques dites lois de sillage
(équation (1.18) où il n'existe pas d'universalité dans la valeur de la constante B).
U U
U
xBe1 1 21− = − +
τ κ δln (1.18)
Sur la figure 1.2, le profil semi-logarithmique de vitesse illustre les différentes zones
décrites ci-dessus. Même s'il n'existe pas de valeurs exactes de y+ pour délimiter les
différentes zones, on peut citer des ordres de grandeurs pour les frontières : la sous-couche
laminaire s’étend entre y’ = 0 et y+ = 3 à 5, la zone logarithmique débute pour y+ = 30 à 60 et
la région externe commence à y+ = 300 à 500.
U+
zone logarithmique
Fig 1.2 Subdivision de la couche limite turbulente.
D’un point de vue thermique, des lois de profils de température peuvent être établies
dans la couche limite à partir d’analogies entre transferts de chaleur et transferts de quantité de
mouvement. Par exemple, Launder et Spalding (1974) proposent la loi (1.19) pour la région
logarithmique.
h(AT/ x2) 1 oh--
4- - ln(EY+)+;(~)5’4 si;;;4)(g’2(g - 1)ICy+ Pr
(1.19)
avec AT = T - TP, A constante de Van Driest (A = 26), et oh = 0,85.
Du fait de l’existence dans une couche limite turbulente d’une zone où les effets
visqueux sont prédominants, deux types de modèles peuvent être utilisés pour la simulation
numérique. On dispose ainsi de modèles dits “à haut nombre de Reynolds” qui ne calculent
pas l’écoulement jusqu’à la paroi mais qui peuvent être couplés avec des lois semi-
logarithmiques, ou bien, de modèles dits “à bas nombre de Reynolds”, plus complexes, qui
prennent en compte les effets visqueux à proximité de la paroi.
28
29
1.1.3. Fermeture du système d'équations de bilan
Pour calculer les tensions de Reynolds, deux possibilités sont envisageables. D’une
part, les corrélations doubles peuvent être calculées à partir des valeurs moyennes de
l'écoulement en faisant appel au concept de viscosité turbulente. Cette première approche est
chronologiquement la plus ancienne. D’autre part, on peut obtenir des équations de transport
des tensions de Reynolds mais, dans ces nouvelles équations, interviennent des termes de
corrélations triples qu'il faut à nouveau modéliser.
Modèles de viscosité turbulente
Le concept de viscosité turbulente permet d'exprimer les contraintes de Reynolds en
fonction des gradients de vitesse moyenne de l'écoulement. Cela revient à conférer aux
contraintes turbulentes, grandeurs ayant une origine convective non linéaire, un caractère
diffusif de type gradient donc de nature linéaire. L'idée de viscosité turbulente lève le
problème de fermeture mais au prix d'entorses à la physique réelle car cette idée ne peut se
démontrer (Lesieur 1994). Ce concept se traduit par l'hypothèse de Boussinesq qui, pour un
fluide dont la masse volumique varie, s'écrit selon la relation suivante (Lesieur 1990) :
u i u j tUix j
U j
xit
Ulxl
ij k ij' ' = − +
+ +ν
∂∂
∂
∂ν
∂∂
δ δ2
3
2
3 (1.20)
où k désigne l'énergie cinétique turbulente : ku i= '2
2.
De même, pour l'équation de l'énergie, est introduit le concept de diffusivité
turbulente, liée à la viscosité turbulente par l'intermédiaire du nombre de Prandtl turbulent, σh.
La valeur de ce nombre sans dimension est en général donnée par l'expérience. L'équation
(1.21) traduit cette analogie entre transferts de quantité de mouvement et transferts de chaleur.
u j h t
h
cpT
x j' ' = − ν
σ
∂
∂ (1.21)
Pour mener à bien la résolution des équations de bilan, il convient d’évaluer la
viscosité turbulente. La théorie de la longueur de mélange est la plus ancienne. Elle relie
(équation (1.22)) la viscosité turbulente au gradient de vitesse moyenne par introduction d'une
échelle de longueur, l, appelée longueur de mélange.
30
ν ∂∂t lU
x= ² 1
2 (1.22)
De nombreux auteurs ont établi des relations empiriques pour le calcul de l. Dans le
cas d’un écoulement en couche limite, il a été proposé une longueur l proportionnelle à x2
dans la région interne et une longueur constante dans la région externe (Schiestel 1993). En
opérant de la sorte, on ne fait que "déplacer le problème" puisque la longueur de mélange reste
à déterminer à partir d'hypothèses phénoménologiques de l'écoulement. Cette modélisation
n'est donc recommandable que dans le cas d'écoulements simples et bien connus.
Une approche similaire consiste à admettre que la viscosité turbulente est reliée à
l'énergie cinétique turbulente comme le suggère, par exemple, l'hypothèse de Prandtl-
Kolmogorov (équation 1.23).
νt lk= 1 2/ (1.23)
Cette modélisation, appelée "modèle k-l", requiert la résolution d'une nouvelle
équation de bilan, qui porte sur l'énergie cinétique turbulente. Cette nouvelle équation
intervient également dans les modèles de type k-ε auxquels nous allons nous intéresser de
façon plus détaillée.
Modélisation k-ε
L'approche consiste à représenter les propriétés de la turbulence à l'aide d'échelles de
vitesse et de longueur caractéristiques des fluctuations. L'échelle de vitesse est obtenue par
l'intermédiaire de l'énergie cinétique turbulente k (u’ ≈ k ). L'échelle de longueur est, quant à
elle, plus délicate à définir et l'on a recours à une nouvelle équation de transport portant sur le
taux de dissipation de l'énergie cinétique turbulente ε. Ce taux de dissipation est relié, par
l'intermédiaire de l'hypothèse de l'unicité de l'échelle des temps, à l'échelle de longueur l :
ε ≈ k
l
3 2/. Dans l'hypothèse de Boussinesq (relation 1.20), on peut considérer que le terme
SU
x
U
xijj
i
i
j= +
1
2
∂∂
∂∂
représente l'inverse de l'échelle des temps (soit k
l
1 2/). D'autre part, on
admet que le terme de fluctuation double représente le carré de l'échelle de vitesse (soit k). On
31
peut alors déduire une relation liant la viscosité turbulente à l'énergie cinétique turbulente et à
son taux de dissipation :
νεµt Ck= ²
(1.24)
où Cµ est un coefficient sans dimension qui doit être évalué expérimentalement.
Cette nouvelle définition de la viscosité turbulente présente un degré de généralité plus
élevé que les modélisations présentées ci-dessus mais requiert la résolution de deux nouvelles
équations de transport (équations (1.26) et (1.27)).
L'équation régissant le transport de l'énergie cinétique turbulente, k, est obtenue en
moyennant le produit scalaire de l'équation de quantité de mouvement fluctuante par le
vecteur vitesse fluctuante (l'équation de quantité de mouvement fluctuante étant obtenue par
soustraction entre l'équation instantanée et l'équation moyennée). Dans cette nouvelle
équation, apparaît un terme de corrélations doubles u ki' que l'on peut modéliser par
généralisation de l'hypothèse de Boussinesq et introduction d'un "nombre de Prandtl
turbulent" pour k, σk, qui sera évalué empiriquement. Il apparaît également un terme que l'on
assimile au taux de dissipation de l'énergie cinétique turbulente (relation 1.25).
ε ν ∂∂
∂∂
= u
x
u
xi
j
i
j
' ' (1.25)
En traitant directement l'équation (1.25) puis en modélisant les termes de diffusion
turbulente u i' 'ε (à l'aide d'un "nombre de Prandtl turbulent" pour ε, σε) ainsi que les termes de
"destruction du taux de dissipation", on obtient l'équation de transport pour ε. Le système
d'équation de bilan est alors fermé. Ainsi, pour un écoulement permanent en moyenne, dont
les propriétés varient avec la température moyenne, le système à résoudre est :
∂
∂
ρUjxj
=0 (1.7)
( )∂∂
ρ ∂∂
ρ
∂∂
ρ ν ν∂∂
∂
∂ρ ν ν
∂∂
δ ρ δ
x jUi U j
P
xigi
x jt
Uix j
U j
xit
Ulxl
ij k ij
= − + +
+ +
− + −
( ) ( )
2
3
2
3
(1.8 bis)
32
( )∂∂
ρ ∂∂
ρ ν νσ
∂∂
∂∂x j
U j Hx j
t
h
H
x jU j
P
x j= +
+(
Pr) (1.9 bis)
( )∂ ρ
∂∂
∂ρ ν
νσ
∂∂
ρν∂∂
∂
∂∂∂
ρεU jk
x j x j
t
k
k
x jt
Uix j
U jxi
Uix j
Transport Diffusion oduction Dissipation
= +
+ +
−( )
Pr
(1.26)
( )∂ ρ ε
∂∂
∂ρ ν ν
σε
∂ε∂ ε
ε ρν ∂∂
∂∂
∂∂ ε ρ εUj
x j x j
tx j
Ck t
Uix j
Ujxi
Uix j
Ck
Transport Diffusion oduction Dissipation
= +
+ +
−( )
Pr
1 22
(1.27)
L'inconvénient de ce type de modèle est l'introduction de constantes empiriques,
déterminées en réalisant des expériences particulières. Les constantes les plus couramment
utilisées sont celles de Jones et Launder (1972), auteurs qui sont à l'origine de ce type de
modèle : σh = 0,7 ; Cµ = 0,09 ; σε = 1,3 ; σk = 1,0 ; Cε1 = 1,44 et Cε2 = 1,92. Ce modèle
permet d'étudier de façon satisfaisante un certain nombre d'écoulements mais n'est applicable
qu'assez loin des parois. C'est pourquoi, il est souvent associé à une loi de paroi qui permet de
ne pas mener la résolution des équations de bilan jusqu'à cette paroi.
Plus récemment, des fonctions d'amortissement ont été introduites dans l'équation de
transport du taux de dissipation de l'énergie cinétique turbulente et dans la relation liant la
viscosité turbulente à k et ε (équation (1.24)). Ces fonctions d'amortissement permettent le
calcul du champ de vitesse jusqu'à la paroi, on parle alors de modèle k-ε "à bas nombre de
Reynolds". Cependant, ces corrections ne sont pas universelles et sont obtenues, là encore, à
partir de configurations bien spécifiques. A titre d'exemple, citons Patel et al. (1985) qui
présentent et comparent les performances de sept modèles k-ε "à bas nombre de Reynolds"
dans quatre configurations différentes. Citons également Cho et Golstein (1994) qui
comparent leur propre modèle à trois autres.
Modèle RNG k-ε
Un nouveau modèle, fondé sur les méthodes utilisant le groupe de renormalisation est
apparu ces dernières années. Appelé modèle RNG k-ε (Yakhot et Orszag 1986), il utilise une
théorie différente des techniques statistiques classiques. La taille des échelles turbulentes est
33
prise en compte pour déterminer la part de l'énergie qui sera transportée et celle qui sera
dissipée. Les petites échelles de turbulence qui dissipent toute leur énergie sont modélisées
alors que les grandes échelles de turbulence sont étudiées précisément. Cette modélisation
aboutit à des équations de transport de k et ε (relations (1.28) et (1.29)) très proches de celles
du modèle k-ε standard. La principale différence vient des constantes qui ne sont plus
déterminées expérimentalement mais calculées théoriquement. Zhou et al. (1997) décrivent
l'évolution des modèles RNG k-ε. Les relations présentées ci-dessous sont celles d'une version
récente développée par Yakhot et Orszag.
( )∂ ρ
∂∂
∂ρα ν ∂
∂ρν
∂∂
∂
∂∂∂
ρεU jk
x j x jk eff
k
x jt
Uix j
U jxi
Uix j
=
+ +
− (1.28)
( )∂ ρ ε
∂∂
∂ραεν ∂ε
∂ εε ρν
∂∂
∂
∂∂∂ ε ρ εU j
x j x jeff x j
Ck t
Uix j
U jxi
Uix j
Ck
R=
+ +
− −1 2
2 (1.29)
avec Cµ = 0,0845 ; Cε1 = 1,42 et Cε2 = 1,68. αk et αε sont les inverses des nombres de
Prandtl turbulent pour k et ε.
De même que pour le modèle k-ε, le modèle RNG peut être soit associé à une loi de
paroi soit utiliser des corrections du type "bas nombre de Reynolds". Pour des calculs à "haut
nombre de Reynolds" αk = αε = 1,39. Dans le cas de calculs à "bas nombres de Reynolds", une
variation de αk et αε est pris en compte selon la relation implicite suivante :
αα
αα
νν
−−
× ++
=1 3929
1 3929
2 3929
2 39290
0 6321
0
0 3679,
,
,
,
, ,
eff (1.30)
où α0 vaut 1.
La viscosité effective, νeff, est donnée par la relation (1.31). Elle combine les viscosités
moléculaire et turbulente.
ν νν ε
ν νν
µeff
tC k= +
= +
1 1
2 2
(1.31)
34
Enfin, RC
k=
−
+
ρ η η
ηεµ
3
3
21 4 38
1 0 012
( , )
, avec η = S k / ε où S est la norme du tenseur Sij ,
SU
x
U
xijj
i
i
j= +
1
2
∂∂
∂∂
.
Modèle aux tensions de Reynolds (RSM)
L'une des principales limites des modèles de la famille k-ε est l'introduction d'une
viscosité turbulente isotropique. Cela implique que les fluctuations de vitesse sont
identiquement affectées par les gradients du champ moyen dans chaque direction. L'isotropie
de la viscosité turbulente peut entraîner des résultats erronés dans le cas d'écoulements
complexes. Pour ces raisons, les modélisations au second ordre se sont développées : les
tensions de Reynolds sont considérées comme des grandeurs transportées susceptibles d'avoir
une histoire individuelle.
Ainsi, il est possible d'écrire des équations de transports pour les corrélations doubles
sous la forme de la relation (1.32) pour la corrélation u ui j' ' avec k comme indice de
sommation. Cependant, apparaissent des corrélations d'ordre trois qu'il faut à nouveau
modéliser.
( ) ( ) ( )' ' ' '
' ' ' '
( ) ( ) ( )
' ' '(
' ') ' ' '
' ' '( ' ' )
1 2 3
4 5 6
2
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
ν ∂∂
∂∂ ρ
∂∂
∂∂
∂∂
ν∂
∂ ρδ δ
u u
tU
u u
xu u
U
xu u
U
x
u
x
u
x
p u
x
u
x xu u u
u u
x
pu u
i i jj k
k
i
k
i
k
i
j
j
i k
ijk i ik j
jk
j
ki k
k
i
i j kj
k
+ = − +
− + + − − + +
(1.32)
On définit, de gauche à droite dans la relation (1.32), les termes d'inertie (1), de
transport (2), de production (3), de dissipation (4), de corrélation pression-déformation (5) et
de diffusion (6). La fermeture du système d'équations nécessite l'emploi d'une modélisation de
ces différents termes. Une modélisation très usitée est celle de Launder et al. (1975). Elle
permet entre autres de calculer les corrélations triples en fonction du gradient des corrélations
doubles : − =u u u ck
u uu u
xi j k s k li j
l' ' ' ' '
' '
ε∂
∂ où cs est une constante et k
u i= '2
2. Le taux de
35
dissipation de l'énergie cinétique turbulente est calculé, par ailleurs, par une nouvelle équation
de transport.
De même que pour les modélisations de type k-ε, le modèle aux tensions de Reynolds
peut être, soit associé à une loi de paroi, soit utilisé "à bas nombre de Reynolds" (So et Yoo
1987 et Shima 1993, par exemple). Selon le type de modélisation retenu, les conditions aux
limites pour l'équation de transport des corrélations doubles devront être adaptées pour fixer,
soit des termes de production à la paroi pour un modèle "à bas nombre de Reynolds", soit une
valeur limite des tensions de Reynolds dans le cas de l'emploi d'une loi de paroi.
Ce type de modèle présente une amélioration quant à la qualité de la fermeture des
équations de bilan. Cependant, la modélisation de tous les termes de l'équation exacte du
transport des tensions de Reynolds fait encore l'objet de nombreuses recherches (Younis et al.
(1996), par exemple). De plus, sa mise en oeuvre numérique reste délicate.
De façon plus générale, les modèles statistiques sont tous confrontés au problème de
non-universalité de ce type de fermeture. C'est pourquoi un choix de modèle de turbulence ne
peut se faire a priori mais par confrontation avec des résultats théoriques ou expérimentaux.
Plus récemment, sont apparues des techniques plus précises (simulations des grandes échelles,
simulation numérique directe) traitant directement, totalement ou en partie, les équations de
bilan. Ces techniques prometteuses sont coûteuses en temps et moyens de calculs. Elles sont
de plus en plus utilisées comme "expérimentation numérique" pour valider des modèles
statistiques de turbulence. De même, des modèles statistiques plus élaborés comme les
modèles de fermeture en deux points et deux temps (Direct Interaction Approximation) ou
deux points et un temps (Eddy Damped Quasi-Normal Markovian model) sont développés
mais leur complexité en fait des modèles inadaptés à notre étude. Aussi, avons nous choisi de
recourir à des modélisations de type k-ε, en parallèle à une étude expérimentale des
écoulements pariétaux turbulents.
1.2. Etude expérimentale des couches limites turbulentesAfin de mener à bien l'étude expérimentale de la protection de matériaux poreux par
effusion, une soufflerie thermique subsonique a été conçue et construite en 1995. Il ne s'agit
pas ici de détailler très précisément ni son dimensionnement ni la qualification de
l’écoulement. Cet aspect a été développé par ailleurs (Campolina França (1996) et Rodet et al.
36
(1998)). En revanche, une présentation synthétique de la soufflerie, de sa veine d'essais ainsi
que de l'instrumentation retenue pour la mesure de vitesses et de températures semble
nécessaire à la bonne compréhension de l'ensemble des résultats expérimentaux qui seront
présentés dans le présent mémoire. De plus, les principales caractéristiques de l'écoulement
turbulent dans la veine d'essais seront présentées.
1.2.1. Présentation de la soufflerie et de la veine d'essais
La soufflerie (figure 1.3) est essentiellement constituée, d'un ventilateur hélico-centrifuge à
vitesse variable de 0 à 3000 tr/min, d'une batterie de résistances chauffantes d'une puissance électrique
totale de 120 kW, d'une chambre de tranquillisation, de la veine d'essais et d'un ensemble de trois
vannes permettant un fonctionnement soit en boucle fermée soit en boucle ouverte. Dans ce dernier
type de fonctionnement, l'air sortant de la veine peut céder une grande partie de sa chaleur à l'air
entrant (air ambiant) au niveau de deux échangeurs à plaques. Le fonctionnement en boucle fermée
est utilisé pour le préchauffage de l'installation et pour des études avec injection d'air. Celui en boucle
ouverte est choisi pour un refroidissement accéléré ou pour des études avec injection à travers le
matériau poreux d'un fluide différent de l'air de l'écoulement principal.
Fig 1.3 Schéma de la soufflerie thermique.
Le débit maximal est de 3 m3/s à la température ambiante ce qui induit une vitesse de
25 m/s dans la veine et la température maximale possible dans celle-ci est de 300 °C. La
température de l’écoulement principal est contrôlée (régulateur PID et sonde platine) et la
vitesse dans la veine est obtenue par variation de la fréquence d’alimentation du ventilateur.
ventilateur
chambre detranquillisation
injection du fluidesecondaire
réchauffeur électrique120 kW
admission d'airambiant
sortie de l'air encircuit ouvert
veine d'essais
caisson de tranquillisationet plaque poreuse filtre
échangeurs à plaquesrécupérateurs de chaleur
37
La veine d'essais, parallélépipède de 2 m de longueur, 0,5 m de largeur et 0,2 m de
hauteur, est constituée d'un plancher et d'un plafond, tous deux modulaires, en duralumin et de
deux parois latérales en verre pyrex.
L'élément poreux, de volume 600 x 300 x 3 mm3, est intégré dans le plancher à une
abscisse variable de façon discrète avec un pas de 200 mm. Les plaques poreuses, choisies
pour leur qualité de résistance thermo-mécanique, de résistance à la corrosion et
d'homogénéité de porosité, sont en acier inoxydable fritté. Leurs caractéristiques seront
détaillées au chapitre 3.2. Pour l’étude des couches limites, une plaque de porosité 30 % et
dont le diamètre moyen des pores est de 30 µm est utilisée.
L'injection d'air dans la plaque poreuse (figure 1.4) s'effectue par l'intermédiaire d'un
caisson de 150 mm de hauteur équipé de deux plaques déflectrices placées face aux arrivées
d'air dans celui-ci. Sa conception s'inspire de celle du caisson développé par Baker et Launder
(1974a). Une soupape de sécurité est mise en place pour assurer une pression inférieure à
30000 Pa dans le caisson.
Fig. 1.4 Schéma de la veine d'essais et du caisson d'injection (plan médian).
Le taux d'injection est défini par le rapport entre la vitesse massique de fluide injecté
sur celle de l’écoulement potentiel (relation (1.33)). La vitesse verticale, vf, est ici la vitesse
de filtration, c'est à dire la vitesse moyennée sur toute la surface de la paroi. La vitesse
réseau d'aircomprimé
détendeurdiaphragme
écoulement principal
plaque déflectrice
Soupape desécurité
paroi poreusethermocouple Te
tube de Pitot
plaque déflectrice
prise depression
plafond de la veine
plancher de la veine
T1
capteur de pressiondifférentiel
T5T3T4
hublots
T2
x2
x1
caissond'injection
38
massique de l’air injecté, ρwvf, est calculée à partir du débit massique de l'écoulement
secondaire mesuré à l'aide du diaphragme (figure 1.4).
Fv
Uw f
e e= ρ
ρ 1 (1.33)
1.2.2. Instrumentation.
Un tube de Pitot et un thermocouple (type K, diamètre 1 mm), mobiles dans la veine,
permettent de mesurer, dans le plan médian, les vitesses et températures moyennes dans
l'écoulement principal (jusqu'à la surface de la plaque poreuse pour le thermocouple). Cinq
thermocouples (T1 à T5 sur la figure 1.4) permettent d'estimer les températures, du fluide
secondaire à l'entrée du caisson et juste sous la plaque poreuse.
Quatre prises pour la mesure de la pression statique de l'air ont été installées le long du
plancher de la veine (entrée de la veine, début, milieu et fin de la plaque poreuse) et une
cinquième sur l'une des parois latérales du caisson. Ces prises sont reliées par des tubes en
Téflon à un commutateur manuel puis à un capteur de pression différentielle Rosemount
(précision de 0,2% de l'étendue de mesure) et ensuite à un indicateur digital de pression. Par
ailleurs, les mesures de pression totale et statique de l'air sont réalisées pour la détermination
de vitesse par le tube de Pitot.
Un anémomètre laser Doppler (voir descriptif en annexe II) a été installé en face d’une
des parois latérales en verre de la veine d’essais afin d’effectuer des mesures de vitesse dans
la couche limite. Il s’agit d’un laser à trois faisceaux permettant de mesurer deux composantes
de la vitesse suivant les axes x1 et x2. La structure est placée sur un bâti permettant un
déplacement micrométrique du laser. L’optique émettrice du laser génère des faisceaux
lumineux d’intensité égale mais de fréquence différente (correspondant au bleu et au vert)
ainsi qu’un faisceau commun (bleu + vert). Une lentille fait ensuite converger les trois
faisceaux en un point (volume de mesure) créant un réseau de franges d’interférence. Les trois
rayons se croisent en formant deux plans perpendiculaires dont les normales sont orientées à ±
45° par rapport à l'écoulement. Un système, appelé cellule de Bragg, décale la fréquence du
faisceau commun de 40 Mhz ce qui permet de faire défiler le réseau de franges d'interférence.
Des particules provenant du système d’ensemencement pénètrent dans le volume de mesure et
diffuse isotropiquement la lumière. Une partie de cette lumière est captée par le récepteur,
constitué d’un photomultiplicateur qui convertit le signal lumineux en un signal électrique. La
39
fréquence f de cette lumière, appelée fréquence Doppler, est directement liée à la vitesse
relative de la particule, V, dans le réseau de franges d'interférence selon la relation (1.34). La
comparaison entre cette fréquence f et la fréquence de décalage introduite par la cellule de
Bragg permet de déterminer le signe de la vitesse dans le repère de la veine.
( )f
V=
2 2sin θλ
(1.34)
où θ est l’angle entre les deux faisceaux incidents (bleu ou vert et le commun) et λ la longueur
d’onde de la lumière incidente.
Les signaux ainsi obtenus sont ensuite filtrés et numérisés. L'ensemencement de
l'écoulement principal a été réalisé avec des gouttes d'huile ou de la fumée d'encens selon le
niveau de température (jusqu'à 50°C avec l'huile, et pour les températures supérieures, jusqu'à
100°C, avec l'encens) à l'aide d'une canne d'injection située en amont de la chambre de
tranquillisation. La résolution verticale offerte par le dispositif de mesures est de l'ordre de 0,1
mm.
Le plafond de la veine est équipé de trois hublots de visée infrarouge situés au-dessus
du début, du milieu et de la fin de plaque poreuse. Une caméra infrarouge (voir descriptif en
annexe III), placée au-dessus du plafond et pouvant être translatée d'un hublot à un autre,
permet de visualiser et de contrôler le champ thermique sur la paroi poreuse.
1.2.3. Etude de l’écoulement.
Ce travail consiste à étudier la couche limite, sans injection, à température ambiante,
puis pour une température plus élevée.
Résultats préliminaires
Les prises de pression statique disposées le long du plancher de la veine ont permis
d'évaluer le gradient de pression longitudinal à environ 7 Pa/m quand la vitessse de
l'écoulement dans la veine vaut 10 m/s. Pour cette vitesse, l’intensité longitudinale de
turbulence dans l'écoulement potentiel au-dessus de la plaque poreuse est de 1 %.
Développement de la couche limite dynamique
Les résultats obtenus dans la couche limite dynamique à l'abscisse x1 = 0,86 m
(correspondant à la position du début de la plaque poreuse comptée à partir de l'entrée de la
40
veine), à la vitesse Ue de 10 m/s, et après introduction en début de veine et transversalement à
celle-ci, d'une rugosité (profil rectangulaire de 2 mm de hauteur, 0,5 mm d'épaisseur et 500
mm de longueur) ont permis de qualifier l’écoulement (Rodet et al. 1998). Cette hauteur de
rugosité a été déterminée expérimentalement de telle sorte que pour une gamme de vitesses
centrée sur 10 m/s, la couche limite soit turbulente en amont de la paroi poreuse.
Pour la suite de cette étude, nous avons choisi de conserver cette configuration. Une
analogie de Reynolds entre les résultats obtenus dans ces conditions et ceux théoriques que
l'on obtiendrait sur plaque plane semi-infinie (développement de la couche limite à partir du
bord d'attaque de la plaque), peut être effectuée. Pour cela, on utilise la valeur du coefficient
de frottement calculée à x1 = 0,86 m et par la corrélation (1.35) liant pour un écoulement
turbulent le coefficient de frottement avec le nombre de Reynolds.
Re,
xeq
fC=
0 0295
2
5
(1.35)
où Rexeq
eqex U= 1
ν et x1
eq est l’abscisse comptée à partir du bord d'attaque de la plaque
plane équivalente.
En prenant pour Cf , la valeur donnée par des corrélations intégrales (reliant le
coefficient de frottement à l’épaisseur de quantité de mouvement θ,
θ ρρ
= −
∞∫ U
U
U
Udx
e e e
1
101
121 ), on obtient, pour Ue égale à 10 m/s, x1
eq = 1,25 m. La différence
entre cette longueur et la distance séparant l'entrée de la veine avec le début de la plaque
poreuse où ont été effectuées les mesures, soit 0,39 m, est liée aux singularités à l'entrée de la
veine : raccord entre le convergent de la chambre de tranquillisation et la veine, rugosité
introduite.
La figure 1.5 présente, en milieu de plaque poreuse et sans effusion, les profils de la
vitesse longitudinale pour des températures de l'écoulement principal de 20, 45 et 100°C. Ces
résultats mettent en évidence une faible influence de la température dans la gamme étudiée.
L’abscisse équivalente obtenue à température ambiante sera donc conservée pour l’étude d’un
écoulement chaud. Par la suite, l’ensemble des mesures sera effectué pour une vitesse de
l’écoulement potentiel de 10 m/s et la variation du taux d’injection sera obtenue par variation
du débit de fluide frais.
41
0
2
4
6
8
10
0 10 20 30 40 50 60 70 80
X2 (mm)
U1 (m/s)
Te = 20 °C
Te = 45 °C
Te = 100 °C
Fig. 1.5 Profils de vitesse pour différentes températures d’écoulement.
Par ailleurs, la plaque poreuse utilisée présente une rugosité moyenne de 30µm. Les
premiers essais de qualification ont montré que l'écoulement au-dessus de la paroi poreuse
peut être considéré comme lisse (la hauteur moyenne des aspérités correspond à une valeur de
y+ d'environ 1, sensiblement inférieure à l'épaisseur de la sous-couche visqueuse). Le caractère
bidimensionnel de l'écoulement au-dessus de la zone de soufflage est obtenu dans une bande
d'environ 10 cm de largeur centrée sur la ligne médiane (Campolina França et al. 1998).
Les résultats expérimentaux montrent principalement : l’existence d’un profil de
vitesse longitudinale moyenne logarithmique pour 30 < y+ < 200, que la contrainte turbulente
( −ρu u1 2' ' ) s’annule à la paroi, passe par un maximum dans la zone proche de la paroi puis
s’annule sur l’axe de l’écoulement et que l’intensité turbulente longitudinale passe par un
maximum dans la zone proche du précédent maximum. Qualitativement, ces résultats
expérimentaux sont en accord, par exemple, avec ceux obtenus par Phordoy (1992) qui étudie
l’écoulement turbulent de l’eau dans une veine de 10 m de long, 5 cm de haut et 20 cm de
large.
Les différents profils obtenus par nos expériences permettent de connaître les couches
limites turbulentes qui se développent dans la veine d’essais. De plus, ces profils sont une
référence indispensable à une bonne simulation des écoulements turbulents : ils permettent, en
autre, la discrimination des différents modèles de fermeture par la confrontation entre les
résultats numériques et l’expérience.
42
1.3. Simulations numériques des couches limites turbulentesLa configuration numérique étudiée (figure 1.6), représente une partie de la veine
d'essais décrite ci-dessus. On s'intéresse au développement de la couche limite jusqu’au milieu
de la paroi poreuse, endroit où les profils expérimentaux de vitesse et de température ont été
obtenus. Cette configuration est bidimensionnelle et le régime d'écoulement est permanent en
moyenne. Le plancher est tout d'abord imperméable, sur une longueur de 1,27 m
(correspondant au xeq défini paragraphe 1.2.3. auquel s'ajoutent 2 cm du fait de la présence
d'un joint d’étanchéité) puis est constitué d'une plaque poreuse, de 30 cm de longueur, à
travers laquelle l'air frais est injecté. La vitesse longitudinale de l'écoulement potentiel est de
10 m/s avec une intensité longitudinale de turbulence de 1 %. Le nombre de Reynolds est
suffisamment élevé pour considérer que la couche limite pariétale est turbulente en amont de
la plaque poreuse. A ce stade de l'étude, nous nous intéressons à la modélisation de
l'écoulement turbulent sur le plancher imperméable (sans effusion). On note x1 l'axe
horizontal et x2 l'axe vertical avec comme origine le point bas de l'entrée de la veine.
Fig. 1.6 Configuration numérique étudiée.
1.3.1. Modélisation de la couche limite turbulente
L'écoulement est régi par les bilans de masse, de quantité de mouvement et d'énergie -
équations (1.7), (1.8 bis) et (1.9 bis). Afin de fermer ce système d'équation, le choix s'est porté
sur trois modèles de turbulence classiques. Il s'agit des modèles k-ε standard (relations (1.24),
(1.26) et (1.27)), du groupe de renormalisation k-ε (RNG k-ε, relations (1.28), (1.29) et (1.31))
et du modèle aux tensions de Reynolds (RSM relation (1.32)). Pour le modèle RSM, la
formulation précisant la modélisation des différents termes de l'équation (1.32) est donnée
dans Bellettre et al. (1997a et 1997b). Il s'agit d'une modélisation simplifiée incluant dans
l’équation de transport des différentes tensions de Reynolds une viscosité turbulente. Cette
Plaqueporeuse
Injection de gaz frais
H = 0,2 m
x2
x1(0, 0)
0,3 m
Plancher imperméable1,27 m
Ecoulement potentielU1 = 10 m/sI x1 = 1 %
h ou Tp
43
viscosité turbulente est déterminée selon la relation (1.24) et la dissipation de l'énergie
cinétique turbulente selon l'équation (1.27) :
Uu u
x x
u u
xPk
i j
k k
t
k
i j
kij ij ij
∂∂
∂∂
νσ
∂∂
ε' ' ' '
( )= + + −Φ (1.32 bis)
avec P u uU
xu u
U
xij i kj
kj k
i
k= − +( )' ' ' '
∂∂
∂∂
, Φij i j ij ij ijCk
u u k C P P= − − − −3 42
3
2
3
ε δ δ( ) ( )' ' ,
ε δ εij ij= 2
3, σk = 1,0 ; P Pii= 1
2, C3 = 1,8 et C4 = 0,60
A l'entrée de la veine, la vitesse longitudinale est imposée et la température est fixée si
l'on étudie un écoulement chaud. L'énergie cinétique turbulente est définie à partir de la
mesure expérimentale des fluctuations de vitesse dans l'écoulement potentiel (en estimant que
l'écart type des fluctuations dans la direction transversale est égale à la moyenne de ceux
mesurés dans les deux autres directions). Enfin, le taux de dissipation de l'énergie cinétique de
turbulence est donné par la relation (1.36) issue de Campolina França et al. (1995).
ε µ= Ck
dh
3 43 2
0 05 2
//
, (1.36)
où dh est le diamètre hydraulique (égal à 2 H dans le cas d'une géométrie
bidimensionnelle, H étant ici la hauteur de la veine).
Conditions aux limites pour la vitesse et la température sur la paroi imperméable.
Pour déterminer la vitesse longitudinale en tenant compte des effets de paroi,
l'approche mettant en oeuvre des lois de paroi est couplée aux modèles k-ε et RSM. La loi de
paroi (1.16) de Launder et Spalding (1974) est alors utilisée. En ce qui concerne le modèle
RNG k-ε, la loi de paroi et des effets "à bas nombre de Reynolds" (décrits au paragraphe
1.1.3.) sont testés.
L'hypothèse, généralement retenue dans les couches limites, d'équilibre entre les
termes de production et de dissipation de l'énergie cinétique turbulente implique l'égalité
(1.37) (Schiestel 1993).
U C kwpτ µ
τρ
= = 1 4 1 2/ / (1.37)
Uτ est la vitesse de frottement et l'indice p fait référence au premier point du maillage.
44
kp est déterminé par résolution de l'équation complète de l'énergie cinétique turbulente
(équation (1.26), (1.28) ou (1.32 bis) selon le modèle utilisé) en imposant, comme condition à
la limite, une valeur nulle au gradient d'énergie cinétique turbulente normal à la paroi. La loi
(1.16) peut alors être utilisée pour le calcul de la vitesse au noeud du maillage le plus proche
de la paroi, pourvu que celui-ci se situe dans la zone logarithmique de la couche limite. Pour
simplifier les calculs, la région interne de la couche limite turbulente est divisée comme suit :
la sous-couche laminaire s'étend jusqu'à y+ = 11,2, distance à laquelle débute la zone
logarithmique (cf. figure 1.2). De plus, la condition d'équilibre entre production et dissipation
de l'énergie cinétique turbulente entraîne l'égalité (1.38) comme condition à la limite pour le
taux de dissipation (Parneix 1995).
εκµ
pp
p
C k
x=
3 4 3 2
2
/ /
(1.38)
De la même façon, dans le cas d'un écoulement pariétal chaud, la valeur de la
température à proximité de la paroi est déterminée par la relation (1.39) qui est l'expression de
la loi de paroi (1.19) au premier point du maillage (Launder et Spalding 1974).
( )
ρ µ
σκ
σ σ ππ κ σ
cp T C kpq
EypAh
hh
h
∆ 1 4 1 2
1 4 4
4
1 21
/ /
lnPr
/ /
sin( / )
/ Pr
=
+ +
−
(1.39)
(avec ∆T = Tw - Tp , σh = 0,85 et q le flux convectif échangé entre le fluide et la paroi)
Par ailleurs, la température de la plaque imperméable est soit imposée, soit calculée en
tenant compte du flux de chaleur qu'elle évacue vers le milieu extérieur par convection
naturelle et rayonnement.
Notons finalement que les conditions aux limites pour les corrélations doubles de
vitesse pour le modèle aux tensions de Reynolds sont déterminées en fonction de l'énergie
cinétique turbulente calculée au noeud le plus proche de la paroi.
Méthode numérique
La procédure numérique de cette étude utilise la méthode des volumes finis avec des
volumes de contrôles quadrilatéraux et un maillage structuré. Le schéma de discrétisation
45
employé est de type polynomial et le couplage vitesse-pression est calculé selon l'algorithme
SIMPLE (Patankar 1980). Les calculs sont effectués à l'aide du code de simulations
numériques de mécanique des fluides FLUENT (1995).
L’équation de transport d'une grandeur intensive φ telle H, Ui, Uj, k et ε est d'abord
mise sous une forme générale. Cette équation générale de transport s'écrit, en coordonnées
cartésiennes, selon la relation (1.40).
( )∂∂
ρ φ ∂∂
∂φ∂φx
Ux x
Sj
jj j
=
+Γ Φ (1.40)
où Γφ est le coefficient isotropique de diffusion et Sφ le terme source de la grandeur φ
considérée.
On remarque que, dans la mise en forme des équations pour chaque variable φ, tous les
termes non convectifs ou non diffusifs, sont inclus dans le terme source Sφ. Le tableau 1.1
recense chaque terme de l'équation (1.40) pour les différentes grandeurs calculées dans le cas
de l’utilisation du modèle k-ε.
Grandeur transportée Φ ΓΦ SΦ
Masse 1 0 0
Quantité de mouvement
selon xi
Ui ρ (ν+νt) − − + +
− + +
∂∂
ρ ρ ν ν∂∂
∂∂
ρ ν ν ∂∂
δ ρ δ
P
xg
U
x
x
U
xk
ii t
j
i
jt
l
lij ij
( )
( )2
3
Energie H ρ ( ν νσPr
+ t
h) + U
P
xjj
∂∂
Energie cinétique turbulente k ρ ( ν νσ
+ t
k) G - ρ ε
Taux de dissipation de
l'énergie cinétique
turbulente
ε ρ ( ν νσε
+ t ) Ck
G Ckε ε
ε ρ ε1 2
2−
Tab. 1.1 Présentation des différents termes de l'équation de transport considérée
(le terme G est la production d'énergie cinétique turbulente -cf. équation 1.26).
46
Les équations aux dérivées partielles sont ensuite discrétisées et l'on détermine la
valeur des variables en chacune des cellules du maillage. Les équations algébriques permettant
cette résolution sont obtenues en intégrant les équations aux dérivées partielles sur une cellule
du maillage appelée "volume de contrôle". Pour illustrer cette discrétisation, nous intégrons
l'équation de convection diffusion monodimensionnelle, en régime permanent, sur le volume
de contrôle (de centre P) représenté sur la figure 1.7. Sous forme intégrée, l'équation de
transport (1.40) s'écrit selon la relation (1.41), en adoptant une valeur moyenne S pour le
terme source et une variation linéaire de φ entre E et W pour l'estimation des termes diffusifs.
( ) ( ) ( )( )
( )( )
ρ φ ρ φ φ φ φ φU U
x xS xe w
e E P
e
w P W
w
− = − − − +Γ∆
Γ∆
∆ (1.41)
W P E • • •
w e
Fig. 1.7 Volume de contrôle pour la discrétisation avec le schéma standard.
Il faut alors calculer la valeur de la grandeur φ en e et w en fonction de ce que l'on
connaît, c'est à dire φ (W), φ (P) et φ (E). Il existe plusieurs méthodes pour effectuer cette
interpolation : le schéma centré adopte l'hypothèse d'une variation linéaire de φ entre chaque
noeuds mais n'est acceptable que si la diffusion domine la convection, le schéma amont (ou
upwind) suppose que la valeur de φ à l'interface est égale à celle du noeud amont (E ou W
selon le sens de l'écoulement) mais n'est fiable que dans le cas où la convection est
prépondérante. Notre choix s'est donc porté sur le schéma polynomial (Patankar 1980)
applicable dans des configurations plus diverses.
La solution exacte de l'équation (1.40), si l'on admet que ρU et Γφ sont des constantes
sur un intervalle δx, s'écrit sous la forme adimensionnelle suivante entre P et E :
∆xe∆xw
47
( )φ φφ φ( )
exp
exp
x
Pex
x
PeP
E P
−−
=
−
−∆
1
1 (1.42)
où Pe, PeU x= ρ
φ
∆Γ
, est le "nombre de Peclet de maille" qui représente le rapport local
de la convection sur la diffusion.
La représentation graphique de cette solution, paramétrée en fonction du nombre de
Peclet, est donnée, pour φE = 0, φP = 20 et ∆x = 20, sur la figure 1.8. La valeur de φe est
obtenue par le calcul de la fonction (1.42) pour x = 0,5 ∆x. En pratique, on n'utilise pas la
solution exacte car les exponentielles sont trop pénalisantes en temps de calcul. A l'aide du
schéma que nous avons sélectionné pour nos calculs (schéma polynomial), on approxime cette
fonction exponentielle de la façon suivante : lorsque le nombre de Peclet est proche de zéro,
on a φ φ φe
P E= +( ( ))
2 et lorsque le nombre de Peclet est élevé en valeur absolue, on a
φ φe E= ( ) ou φ φe P= ( ) suivant le signe de la vitesse. Entre les deux, on utilise un schéma,
équivalent à la solution exacte, dans lequel on fait un développement limité à l'ordre 5, en
fonction du nombre de Peclet de maille, de la fonction exponentielle exacte.
0
10
20
0 10 20
Pe = 1
Pe = 10
Pe = 0
Pe = -1
Pe = -10
EP e
estimation de φe
x
φx
Fig 1.8 Evolution de la solution exacte de l'équation de convection-diffusion
intégrée en fonction du nombre de Peclet.
48
Le schéma polynomial donne de bons résultats lorsque l’écoulement est localement
unidimensionnel, c’est-à-dire lorsqu’il est globalement aligné avec la grille. C’est ce schéma
que nous avons utilisé en premier lieu pour nos calculs. Mais l’utilisation d’un schéma de
discrétisation d’ordre plus élevé (c'est à dire faisant appel à des valeurs de φ calculées dans des
volumes plus éloignés) peut améliorer la précision des calculs dans le cas d’écoulements plus
complexes. Un shéma souvent utilisé est le schéma Quadratic Upwind Interpolation, ou
schéma QUICK (Leonard 1979).
Le résultat de la discrétisation des équations différentielles de transport est un
ensemble d’équations algébriques non linéaires. Si on divise le domaine de calcul en N
mailles selon x1 et en M mailles selon x2, on aura un système de N × M équations algébriques
non linéaires pour chaque variable φ considérée. Rappelons que les variables φ, dans notre cas,
sont l'enthalpie H, les deux composantes de la vitesse U1 et U2, l’énergie cinétique k et son
taux de dissipation ε. Un problème subsiste du fait qu'il n'existe pas d'équation donnant
directement le champ de pression. Il faut donc avoir recours à une méthode itérative.
La méthode SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations) débute
par l'introduction d'un champ de pression fixé a priori dans l'équation de bilan de quantité de
mouvement permettant le calcul d’un premier champ de vitesse. Par combinaison des
équations de quantité de mouvement et de conservation de masse, on obtient une équation
discrétisée de correction de pression (faisant intervenir ce premier champ de vitesse). La
résolution de cette équation permet de corriger le champ de pression. Les vitesses sont ensuite
ajustées et les différentes équations de transport sont résolues. Cette succession d'opérations
est reprise et se poursuit jusqu'à convergence des différentes grandeurs calculées. La
convergence est quantifiée par l'intermédiaire de résidus normalisés (définis pour chaque
grandeur φ comme la somme, sur tous les volumes de contrôles, des erreurs sur le bilan de φ
rapportée à la somme des termes de l'équation discrétisée qui concernent le centre des
volumes). Ils permettent de suivre la convergence des calculs au fur et à mesure des itérations.
1.3.2. Choix du modèle de turbulence.
Les modèles de turbulence, décrits au paragraphe 1.1.3, sont testés dans le cas d'un
écoulement sur le plancher imperméable de la veine. Les résultats numériques sont alors
comparés à nos résultats expérimentaux et à des corrélations semi-empiriques issues de la
littérature permettant d'exprimer des éléments caractéristiques de notre écoulement (tels que la
49
contrainte de frottement ou le coefficient d'échange convectif entre le fluide et la paroi) en
fonction de nombres sans dimension.
Maillage
Le maillage utilisé est cartésien et plusieurs résolutions ont été testées. Dans la
direction longitudinale, le maillage est linéaire et plusieurs tests ont montré une indépendance
des résultats par rapport à la longueur des mailles (de 5 à 50 mm). Dans la direction verticale,
une grille linéaire ou avec une progression géométrique a été utilisée. Dans le cas de
l'utilisation des lois de paroi, il a été observé une indépendance des résultats en fonction du
type de grille et, pour un maillage linéaire, de la hauteur des mailles (entre 1 et 3 mm). Enfin,
les lois de paroi (1.16) et (1.19) sont utilisées uniquement pour le premier point de calcul au
dessus de la paroi, celui-ci étant toujours compris entre y+ = 20 et y+ = 40 de façon à rester
dans le domaine de validité des lois sans pénétrer dans la sous-couche laminaire.
La convergence des résultats est testée selon deux critères : pour chaque grandeur
calculée, les résidus normalisés doivent être inférieurs à 10-3 et des itérations supplémentaires
ne doivent pas modifier les résultats une fois la convergence atteinte.
Ecoulement à température ambiante
Dans un premier temps, nous nous intéressons aux profils de vitesse longitudinale et
au coefficient de frottement en amont de la plaque poreuse. Sur la figure 1.9, sont représentés
les profils de vitesse, pour un nombre de Reynolds (Rex1) de 856000 (ce qui correspond à la
fin du plancher imperméable). Ils sont obtenus avec les trois modèles de turbulence couplés à
la loi de paroi. Nous pouvons remarquer que les résultats du modèle RNG k-ε coïncident
parfaitement avec les résultats de l'expérience. Le modèle standard k-ε donne également des
résultats très proches mais sa courbe coupe celle des résultats expérimentaux. Enfin, on
observe que les écarts entre le modèle aux tension de Reynolds et l'expérience sont
importants. Ce résultat est surprenant car ce modèle a été validé dans des configurations très
diverses. La version simplifiée du modèle RSM (équation (1.32 bis)) apparaît donc comme
insatisfaisante ce qui nous a conduit à abandonner ce type de modèle pour la suite de notre
étude1.
Par ailleurs, les résultats obtenus avec une modélisation RNG k-ε "à bas nombre de Reynolds"
ne donnent pas toujours satisfaction. On observe parfois une détérioration des résultats avec un
resserrement du maillage à proximité de la paroi. Ce phénomène est
50
certainement à relier à la notion de "diffusion numérique" (Gobin, 1995). Pour remédier à ce
problème, il faudrait utiliser un shéma de discrétisation d'ordre supérieur (comme le shéma
QUICK). Nous reviendrons sur cette possibilité au chapitre suivant. Pour la suite de cette
étude préliminaire, ne sont donc conservées que des modélisations couplées à des lois de
paroi.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0 10 20 30 40 50 60 70X2(mm)
U1 (m/s)
exp.
RNG k-ε
k-ε
Tensions deReynolds
Fig. 1.9 Profils de vitesses expérimentaux et calculés à Rex1 = 856000.
Une grandeur importante dans la connaissance de l'écoulement est la contrainte de frottement
qu'exerce le fluide en mouvement sur la paroi. Cette contrainte est souvent calculée à partir de
corrélations, issues de données empiriques et de développements analytiques. Aussi est-il intéressant
de comparer les coefficients de frottement calculés (relation (1.43) où Uτ est déduit de la relation
(1.37) : U C kpτ µ= 1 4 1 2/ / ) avec ceux déterminés par la corrélation classique (1.44) pour un
écoulement sur plaque plane (Cousteix 1989).
( )C
U
U
Uf w
e
w
e e
0
12 1
2
2= =
τ
ρ
ρρ
τ (1.43)
Cfx
01
0,2
20 0295=
−, Re
(1.44)Les résultats, pour un nombre de Reynolds compris entre 4,5 105 et 8,5 105, sont représentés
sur la figure 1.10. On constate que les résultats obtenus avec le modèle RNG k-ε sont très proches de
51
la corrélation. Les écarts avec le modèle standard k-ε sont modestes (inférieurs à 5 %) et
peuvent être attribués à un calcul de kp légèrement différent de celui du modèle RNG k-ε.
Pour l'écoulement étudié, le modèle RNG k-ε, couplé à la loi de paroi, semble être le
mieux adapté. A noter qu'un cas test effectué par Bidart et al. (1997) sur un écoulement
turbulent d'air dans un canal rectangulaire muni de perturbateurs avec le même code de calcul
a abouti au même choix : modèle RNG k-ε avec loi de paroi.
0,0012
0,0014
0,0016
0,0018
0,002
0,0022
4,5 105 5,5 105 6,5 105 7,5 105 8,5 105
Rex1
Cf0 / 2
Relation (1.44)
RNG k-ε
k-ε
Fig. 1.10 Coefficients de frottements pour Rex1 compris entre 4,5 105 et 8,5 105.
Analyse des transferts thermiques
Les transferts convectifs entre un écoulement chaud et une paroi sont particulièrement
importants si l'on s'intéresse à la protection thermique. Il s'agit donc, dans cette étude
préliminaire, de valider aussi le modèle de fermeture en ce qui concerne les échanges de
chaleur entre une couche limite turbulente chaude et le plancher imperméable. Les pertes
thermiques du plancher vers le milieu extérieur sont prises en compte par l'intermédiaire d'un
coefficient d'échange intégrant les transferts convectifs et radiatifs. Pour un écoulement
potentiel porté à 200 °C, le profil expérimental de température, obtenu à l'aide d’un
thermocouple, est comparé à celui de la simulation numérique à une abscisse correspondant à
la fin du plancher imperméable. Comme on peut l'observer sur la figure 1.11, les deux profils
se superposent confirmant ainsi notre choix de modèle de turbulence.
La quantification de l'échange convectif fluide-paroi est également intéressante. Pour
cela, l'écoulement est porté à 45 °C et la température du plancher imperméable est fixée à
52
35 °C, ce qui correspond aux conditions expérimentales de Moffat et Kays (1968) dont les
résultats, en terme de flux de chaleur convectif, sont corrélés par la relation (1.45).
St x0 10,2 0,40 0295= − −, Re Pr (1.45)
avec Stq
c U T Tp e e p0
0
1=
−( ) ( )ρ
410
420
430
440
450
460
470
480
0 10 20 30 40 50 60 70
X2 (mm)
T (K)
expérience
RNG k-ε
Fig 1.11 Profils de température expérimentaux et simulés.
Sur la figure 1.12, sont comparés les résultats de cette corrélation avec les calculs faits
à l'aide du modèle RNG k-ε, où le flux est calculé selon la loi (1.39). La concordance des
résultats est très bonne. Le modèle RNG k-ε donne donc à nouveau satisfaction.
0,002
0,00225
0,0025
4,0 105 5,0 105 6,0 105 7,0 105 8,0 105
Rex1
St0
RNG k-ε
Relation (1.45)
Fig. 1.12 Nombre de Stanton pour Rex1 compris entre 4 105 et 8 105.
53
Validation du modèle par les corrélations intégrales
Une autre manière d'étudier la couche limite turbulente est de la caractériser par son
épaisseur de quantité de mouvement et son épaisseur d'enthalpie qui peuvent remplacer, dans
les nombres sans dimension intervenant dans les corrélations, la longueur caractéristique x1.
Un des intérêts de ce type de corrélations est de pouvoir déterminer le coefficient de
frottement ou le nombre de Stanton en fonction des caractéristiques locales des couches
limites turbulentes dynamiques ou thermiques.
Pour un écoulement turbulent sur plaque imperméable, le coefficient de frottement
peut-être obtenu à l'aide de corrélations faisant intervenir Reθ, le nombre de Reynolds fondé
sur l'épaisseur de quantité de mouvement. Simpson et al. (1969) proposent la relation (1.46) et
Andersen et al. (1975) la corrélation (1.47). Les coefficients dans ces deux expressions ont été
déterminés expérimentalement. Cependant, les résultats de Simpson et al. (1969) ont été
discutés et sembleraient un peu trop élevés (Squire 1970).
Caf0 0,25
2= −Reθ , avec a = 0,013 (1.46)
avec a = 0,012 (1.47)
avec Reθρ θ
µ= U e1 et θ ρ
ρ= −
∞∫ U
U
U
Udx
e e e
1
101
121 .
La comparaison entre les résultats du modèle RNG k-ε, où le coefficient de frottement
est déterminé selon la relation (1.43) et les corrélations (1.46) et (1.47) (où les épaisseurs de
quantité de mouvement sont calculées par intégration des résultats numériques dans la couche
limite), est présentée sur la figure 1.13. On observe que, dans notre configuration, les résultats
de la corrélation d'Andersen et al. (1975) et ceux du modèle RNG k-ε coïncident.
De même, il est possible calculer le nombre de Stanton (donc le flux convectif entre
l'écoulement chaud et la plaque imperméable) à l'aide de Re∆, nombre de Reynolds basé sur ∆,
l'épaisseur d'enthalpie. Whitten et al. (1970) proposent la corrélation (1.48) obtenue pour de
faibles écarts de température.
5,025,00 Pr0128,0 −−
∆= ReSt (1.48)
avec µ
ρ ∆=∆eU
Re 1 et 201
1 dxTT
TT
U
U
ew
e
ee −−=∆ ∫
∞
ρρ
.
54
En imposant un écart de température de 10 K entre l'écoulement chaud et le plancher,
on observe sur la figure 1.14 que les résultats du modèle RNG k-ε, où le flux est déterminé
selon la loi (1.39), et ceux de la relation (1.48) (l'épaisseur d'enthalpie étant calculée par
intégration des profils de vitesse et de température) sont en bon accord. Par la suite, le modèle
RNG k-ε sera conservé pour simuler l’écoulement pariétal puisqu’il a donné entière
satisfaction dans toutes les confrontations entre les résultats numériques et les résultats
expérimentaux ou issus de corrélations.
0
0,0005
0,0015
0,002
0,0025
800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600
Reθ
Cf0/2
Relation (1.46)
RNG k-ε
Relation (1.47)
0,001
Fig. 1.13 Coefficient de frottement pour Reθ compris entre 900 et 1600.
0,002
0,0025
0,003
1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800
Re∆
St0
Relation (1.48)
RNG k-ε
Fig. 1.14 Nombre de Stanton pour Re∆ compris entre 1000 et 1700.
55
Conclusion
Cette étude préliminaire sur les écoulements turbulents au voisinage d'une paroi
imperméable a permis de présenter les moyens théoriques, expérimentaux et numériques qui
seront utilisés pour l'ensemble de l'étude des couches limites turbulentes avec effusion. Du
point de vue de la modélisation, nous avons retenu, sans préjuger des modifications qui seront
nécessaires à la prise en compte de l'injection de gaz frais, le modèle RNG k-ε. Couplé à une
loi de paroi, il reproduit correctement nos propres résultats expérimentaux et prédit
précisément les coefficient de frottement et d'échange convectif en amont de la zone
d'effusion.
Il est donc envisageable d'étendre notre modélisation à la région d'injection afin de
quantifier précisément l'impact de l'effusion sur les profils de vitesse, de température et sur les
coefficients de frottement et d'échange thermique entre le fluide et la paroi poreuse.
Chapitre 2
TRANSFERTS ENCOUCHES LIMITES TURBULENTES
AVEC EFFUSION DE GAZ
57
Les transferts de masse, de quantité de mouvement et de chaleur dans une couche
limite turbulente soumise à de l'effusion de gaz sont d'une grande importance pour le contrôle
des écoulements pariétaux et la protection thermique des parois. Les possibilités de réduction
du frottement et de l'échange convectif entre le fluide et le milieu poreux en font un sujet très
étudié. Aussi dispose-t-on d'un important nombre de travaux, tant expérimentaux que
numériques, sur ce sujet.
Dans un premier temps, sont présentés les principaux résultats de la littérature
concernant les couches limites dynamique et thermique avec effusion. Après avoir effectué
une synthèse historique des recherches menées sur ce thème, nous détaillons quelques
résultats. L'évolution des coefficients de frottement et d'échange convectif en fonction du taux
d'injection retient particulièrement notre attention. Cependant, les modélisations disponibles
dans la littérature ont souvent recours à des corrections empiriques pour tenir compte de l'effet
de l'injection. De plus, toutes les configurations n'ont pas été examinées. Nous avons donc
mené notre propre expérimentation et modélisation.
Les résultats des ces études expérimentale et numérique, menées en parallèle, sont
ensuite présentées. L'étude numérique, décrite au paragraphe 1.3, est étendue aux couches
limites soumises à de l'effusion. La comparaison avec nos résultats expérimentaux, obtenus
sur le banc d'essais décrit au paragraphe 1.2, ou issus de la littérature est ensuite effectuée.
Pour différents taux d'injection, des profils de vitesses et de température au-dessus de la
plaque poreuse, mesurés ou calculés, sont fournis. L'effet de l'injection de gaz frais y est
notable tant d'un point de vue dynamique que thermique. De plus, la modélisation des couches
limites permet de prédire l'évolution des transferts de quantité de mouvement et de chaleur en
fonction notamment du débit de gaz injecté.
2.1. Bibliographie des transferts en couche limite avec effusion
2.1.1. HistoriqueL'intérêt pour les couches limites turbulentes avec effusion remonte aux années 1950.
Les études "pionnières" de Rubesin (1954) et de Dorrance et Dore (1954) ont trait aux aspects
théoriques alors que les études expérimentales ont commencé avec les travaux de Mickley et
al. (1954) et Leadon et Scott (1956). Les années 1960, ont donné lieu à des contributions
58
britanniques (Stevenson 1964, Bradshaw 1967) et soviétiques (Romanenko et Karchenko
1963, Kutateladze et Leontiev 1964).
En 1965, Kays et ses collaborateurs du département de génie mécanique de l'université
de Stanford ont débuté une étude expérimentale complète des couches limites turbulentes
incompressibles et bidimensionnelles avec effusion d'air. Les écarts de température entre
l'écoulement potentiel et le gaz injecté étant faibles, l'hypothèses de propriétés constantes a pu
être retenue. Les différents thèmes étudiés sont les suivants (dans l'ordre chronologique) :
- transferts de chaleur pour un taux d'injection constant (Moffat et Kays 1968),
- coefficient de frottement pour un taux d'injection constant ou variant faiblement (Simpson et
Whitten 1968 et Simpson et al. 1969),
- nombre de Prandtl turbulent avec effusion ou succion - aspiration de la couche limite -
(Simpson et al. 1970),
- caractérisation théorique des couches limites en présence d'effusion (Simpson 1970),
- transferts thermiques pour un écoulement fortement accéléré (Kays et al. 1970),
- transferts de chaleur pour un taux d'injection discontinu (Whitten et al. 1970),
- transferts de quantité de mouvement pour un écoulement accéléré (Julien et al. 1971),
- coefficient de frottement pour un taux d'injection discontinu (Simpson 1971),
- transferts de quantité de mouvement pour un écoulement soumis à un gradient défavorable
de pression (Andersen et al. 1975),
- transferts thermiques sur parois rugueuses (Moffat et al. 1978).
Enfin, Kays (1972) et Moffat et Kays (1984) ont synthétisé une partie de ces travaux.
Parallèlement, l'effusion de gaz chimiquement différents du fluide de l'écoulement
principal a été étudiée expérimentalement par Romanenko et Kharchenko (1963) d'une part,
Baker et Launder (1974a, 1974b) d'autre part, et numériquement par Landis et Mills (1972).
Par ailleurs, notons l'importante synthèse de Jeromin (1970) qui a répertorié un grand nombre
d'études expérimentales. Ce panorama a été complété par Campolina França (1996). On
constate que les écarts de température entre l'écoulement principal et le gaz injecté sont
relativement faibles (10 à 20 K) dans ces études expérimentales à l'exception de celle de
Romanenko et Kharchenko (1963) (écart de 100 K).
Les couches limites turbulentes pour un écoulement compressible avec effusion ont,
quant à elle, fait l'objet de nombreuses études à l'université de Cambridge. Ces études ont
porté essentiellement sur la détermination de lois de paroi (Jeromin 1968, Squire 1969) et de
coefficients de frottement (Silva Freire 1988). Plus récemment, Silva Freire et al. (1995) ont
59
approfondi l'étude théorique des lois de paroi et de sillage pour des écoulements
compressibles en utilisant une méthode de développements asymptotiques.
Outre les lois de paroi couramment utilisées (Stevenson 1968, Simpson 1970, Squire
1969, Silva Freire et al. 1995), des modélisations à l'aide de longueur de mélange ont été
mises en oeuvre (Kays 1972, Landis et Mills 1972). D'autre part, la modélisation "à bas
nombre de Reynolds" des écoulements turbulents avec transfert de masse pariétal a été
conduite par So et Yoo (1987), Shima (1993) (modèle RSM avec injection ou aspiration) et
par Campolina França et al. (1998) (modèle de Lam-Bremhorst avec correction de Yap).
Les résultats expérimentaux et numériques concernant les écoulements pariétaux avec
effusion de gaz sont donc nombreux et il n'est pas envisageable d'en dresser une liste
exhaustive dans le cadre du présent mémoire. Cependant, le calcul des coefficients de
frottement et d'échange thermique entre l'air en écoulement et la paroi poreuse revêt un intérêt
particulier pour notre étude. Les principaux résultats concernant leur détermination sont donc
examinés de façon détaillée, ainsi que ceux concernant les modifications dues à l'effusion des
profils de vitesses à proximité des parois.
2.1.2. Détermination des coefficients de frottement et d'échange thermiqueLes études expérimentales sur les écoulements turbulents avec injection ont permis
d'obtenir de nombreux résultats que l'on peut exprimer sous forme de corrélations.
L'analyse la plus simple consiste à négliger, dans la couche limite avec effusion, les
variations longitudinales de la vitesse longitudinale. En adoptant cette hypothèse et en
considérant les propriétés du fluide comme constantes, on montre que les équations de
continuité et de quantité de mouvement prennent la forme suivante dans le cas d'un
écoulement bidimensionnel :
dU
dx2
20= (2.1)
( )UdU
dx
d
dx
dU
dxt21
2 2
1
2= +
ν ν (2.2)
Résolues simultanément avec une condition de vitesse de l'écoulement secondaire
uniforme le long de la paroi, ces deux équations aboutissent à l'expression suivante du
coefficient de frottement :
60
C B
B U
dxf f
f e t2
1 1
1
2
0
1
= ++
∫
−ln( )
ν ν
δ (2.3)
où BF
Cff
= 2 et δ est l'épaisseur de la couche limite.
Mickley et al. (1954) ont estimé, en première approximation, que les évolutions de la
viscosité turbulente et de l'épaisseur de couche limite se compensent si l'injection varie de
sorte que la valeur de l'intégrale dans l'équation (2.3) est indépendante du taux d'injection.
Cette hypothèse permet l'obtention d’une corrélation simple reproduisant correctement des
résultats expérimentaux :
C
C
B
Bf
f
f
fx
01
1
Re
ln( )= + (2.4)
Les mêmes hypothèses sont applicables dans le bilan d'énergie et une expression
similaire du nombre de Stanton est obtenue (Rubesin et al. 1985) :
St
St
B
Bx
01
1
Re
ln( )= + (2.5)
B est un paramètre thermique d’injection défini par BF
St= .
Dans les relations (2.4) et (2.5) St0 et Cf0 / 2 sont, respectivement, le nombre de
Stanton et le coefficient de frottement pour l’écoulement sans injection. Ils sont donnés par les
relations (1.44) et (1.45) définie au chapitre 1 (pour mémoire : Cf
x0 0,2
20 0295
1= −, Re et
St x00,2 0,40 0295
1= − −, Re Pr ).
Dans le cas des écoulements sur plaque plane poreuse avec température de paroi et
vitesse d’injection uniformes, Moffat et Kays (1968) obtiennent des nombres de Stanton
expérimentaux à partir d’un bilan thermique effectué sur la plaque poreuse. Notons que le
banc d'essais utilisé dans cette étude présente une injection secondaire dès l'entrée de la veine
d'essais où se développe la couche limite. Moffat et Kays (1968) observent que la corrélation
(2.5) est en très bon accord avec les résultats expérimentaux obtenus dans un domaine de
variation du nombre de Reynolds de 1 O5 à 2 1 O6 et pour un taux d’injection inférieur à 1 %
(figure 2.1, où F > 0 correspond à de l’injection et F < 0 à de l’aspiration). Dans cette étude, les
auteurs montrent que pour un taux d’injection proche de 1 % et un nombre de Reynolds
d’environ 106, le décollement de la couche limite thermique se produit. Ce décollement est
caractérisé par une annulation des échanges convectifs entre la paroi poreuse et l’écoulement
pariétal (figure 2.1). Constatons d’ores et déjà l’efficacité de ce procédé de protection
thermique puisque le taux d’injection requis pour atteindre une protection optimale est très
faible.
oi4
OI2St
1 w 10-:Oi8
Oj6
oi’
_--Of0024
l5 2 4 6 loD 2 4
- - --_Req .<
Fig. 2.1 Nombre de Stanton pour un taux d’injection constant (Moffat et Kays 1984).
Simpson et al. (1969) puis Whitten et al. (1970) ont quantifié le frottement et les
transferts de chaleur en présence d’une injection non uniforme mais toujours pour de faible
écarts de température entre l’écoulement potentiel et le gaz injecté. Simpson et al. (1969)
déterminent la valeur du coefficient de frottement à l’aide de l’équation intégrale de la quantité
de mouvement qui prend la forme de la relation (2.6) pour un écoulement bidimensionnel
avec effusion.
61
62
( )d
dx
C
U
dP
dxH Ff
e e
eθ θρ
= + + +2
212
1 (2.6)
H étant le rapport de l'épaisseur de déplacement, δd, sur l'épaisseur de quantité de
mouvement, θ, respectivement définies par δ ρρd
e e
U
Udx= −
∞∫ 1 1
10 2 et
θ ρρ
= −
∞∫ U
U
U
Udx
e e e
1
101
121 .
L'équation (2.6) fait apparaître que l'injection joue un rôle similaire à celui d'un
gradient de pression positif. Injecter du fluide à la paroi a donc un effet déstabilisant sur la
couche limite. Du fait de la faible valeur des coefficients de frottement en présence d'injection,
l'utilisation directe de l'équation (2.6) peut être très imprécise. Aussi est-elle utilisée sous
forme intégrée (2.7).
Cd F df
x
x x
20
1 1
10
Re Re
Re Re (Re ) Re∫ ∫= −θ (2.7)
L'étude expérimentale de Simpson et al. (1969) montre particulièrement que le
coefficient de frottement peut être décrit par des caractéristiques locales de l'écoulement à
savoir, le taux d'injection F et l'épaisseur de quantité de mouvement θ, la connaissance de
"l'histoire" de l'écoulement n'étant requise que pour la détermination de cette épaisseur de
quantité de mouvement.
De la même façon, pour les transferts de chaleur quand la vitesse d’injection n'est pas
uniforme, Whitten et al. (1970) montrent que le nombre de Stanton peut être calculé
localement en fonction du taux d'injection et de l'épaisseur d'enthalpie. Leurs résultats
expérimentaux sont obtenus après intégration de l'équation de l'énergie qui, dans le cas d'un
écoulement sans gradient longitudinal de pression, prend la forme suivante :
d
dxSt B
∆
11= +( ) (2.8)
où ∆ est l'épaisseur d'enthalpie : ∆ = −−
∞∫ ρ
ρU
U
T T
T Tdx
e e
e
w e
1
10 2 .
Les nombres de Stanton, présentés sur la figure 2.2, illustrent ce résultat. Dès que l’on
s’éloigne d’une discontinuité d’injection, les nombres de Stanton sont identiques à ceux
obtenus avec un taux d’injection uniforme (représentés par les lignes continues) à condition de
les comparer à des nombres de Reynolds, basés sur l’épaisseur d’enthalpie, constants.
.\l
\
i.\
0~0002
: l 1,m Conrt. 0008
\
/l l
Fig. 2.2 Nombre de Stanton avec taux d’injection uniforme
ou discontinuité de l’injection (Whitten et al. 1970).
Finalement, ces différents résultats expérimentaux permettent l’obtention des
corrélations (2.9) et (2.10), qui sont applicables pour des écoulements avec un taux d’injection
variant ou non avec l’abscisse xl.
Cf -0 25 In(1 + Bf) Oy
2= aRee 9
[ 1Bf
avec a = 0,013 ou 0,012
St = 0,0128Re~oy25 Pr 11,25
(1+ B)o’25
cw
(2.10)
Pour de plus importants écarts de température entre le fluide principal et le fluide
secondaire, Landis et Mills (1972) suggèrent de normaliser les coefficients de frottement ou
nombres de Stanton et le taux d’injection. En effet, la variation des propriétés du fluide, et
63
notamment la diminution de la masse volumique avec la température, peut être importante et
avoir un impact non négligeable sur les échanges de quantité de mouvement et de chaleur.
Cependant, cet effet peut être pris en compte dans le calcul du frottement et du nombre de
Stanton sans injection (à condition de les calculer pour un écart de température entre la paroi
et l’écoulement potentiel identique à celui existant en présence d’injection). Landis et Mills
(1972) montrent, par une étude numérique, que l’effet d’un important écart de température sur
les valeurs normalisées est faible dans le cas de l’effùsion d’un gaz léger (hélium ou air) dans
un écoulement potentiel d’air (figure 2.3). Par ailleurs, leurs résultats numériques sont
semblables aux résultats expérimentaux de Romanenko et Kharchenko (1963) qui montrent
une réduction des coefficients de frottement et nombres de Stanton d’autant plus importante
que le gaz injecté est léger.
‘1’
‘fO
J9
l8
1’St/ St(-) .6
c
IS
T4
l3
j2
- 0 HeOJ2 =T,/T,
c----- OI9 (295K/324K)
OI9 (132SK/1472K)
0 1 ? 3
F / St0
Fig. 2.3 Effet de l’écart de température sur le nombre de Stanton normalisé
(Landis et Mills 1972).
2.1.3. Lois de parois en présence d’injection pariétale
La détermination des coefficient de frottement permet d’adimensionner les vitesses
longitudinales en les rapportant à la vitesse de frottement U,, UT=
Ainsi, des travaux théoriques s’appuyant sur des résultats expérimentaux ont conduit à
64
l’élaboration de lois de paroi modifiées caractérisant l’évolution des couches
turbulentes avec effusion.
limites
Les résultats expérimentaux de Moffat et Kays (1984), présentés sur la figure 2.4,
montre que l’injection, même pour de faible taux, modifie considérablement l’allure du profil
des vitesses adimensionnelles.
101
91
fM
7c
60
"'
50
40
30
20
10
0
-_--- -.-. _.a_-
-. .-
es _
.__- -
--_ _.
--
-w .-
-_
---
.-
-.-.- -em --
-..--- _.
_- -- .._.
_- .-.
--. -.
-- ..-
.-_ .--
b
-_
-1
--< --
-,-
10 100 1 0 0 0
Y+-
Fig. 2.4 Profils des vitesses adimensionnelles pour les écoulements
sur plaque plane avec injection (F > 0) ou aspiration (F < 0);
A et Sse réfèrent à des expérimentateurs différents (Moffat et Kays 1984).
Stevenson a analysé des résultats expérimentaux, compris dans le domaine 1000 < Ree
< 6000, de cinq auteurs et a aboutit à la corrélation (2.11) pour la loi de paroi avec injection
(White 199 1).
)” -I] = $n(y+)+A (2.11)
V
où les constantes K et A sont respectivement égales à 0,4 et 5,5, y+ = -X2Ur et v+ - fV
w-u l
z
65
Constatant des écarts entre la loi de Stevenson et ses propres resultats expérimentaux,
Simpson (1970) a corrigé cette première loi et a proposé l’équation (2.12) valable pour
30 < y+ < 100. Il insiste sur la difficulté à obtenir des mesures précises de coefficients de
frottement, ce qui rend délicate l’obtention des lois de parois.
2-[(l+vGU+)+-(I+lIv$]=+i[$Jv;
(2.12)
Par ailleurs, Simpson et al. (1970) étudient l’évolution du nombre de Prandtl turbulent
dans la couche limite en fonction du taux d’injection. Leurs résultats sont obtenus à l’aide de la
mesure des champs moyens de vitesse et température, puis en comparant localement le
gradient de température moyenne au flux thermique diffusif obtenu grâce aux équations de
bilan moyennées. Simpson et al. (1970) montrent que le nombre de Prandtl turbulent n’est pas
modifié par l’injection de gaz frais dans la majeure partie de la couche limite (figure 2.5).
ah A8
x 0 00
*+ = 0*= 0 Oj? 3
* \ e 973
A Mton value * %3rB Jenkins mode1 , 8 ~0 ‘tt
d : f : ::- i : ;LtHt: : : :f:--:- - - Uncefiainty envelope d y
- : 3+-J10° 10’ 102 103 104
Y+
Re@2 2 3 83177 . .4 1 4 14 2 8 65 4 0 0 I’
Fig. 2.5 Nombre de Prandtl turbulent pour différents taux d’injection,
Br = 2 F/Cf (Simpson et al. 1970)
Ainsi, le comportement des écoulements turbulents avec injection pariétale a fait
l’objet de nombreux travaux. On peut particulièrement retenir les résultats suivants :
- le frottement fluide - paroi ainsi que les échanges convectifs diminuent fortement avec le
taux d’injection,
66
67
- le coefficient de frottement et le nombre de Stanton peuvent s'exprimer en fonction de
caractéristiques locales de l'écoulement (taux d'injection, épaisseurs de quantité de
mouvement et d'enthalpie),
- le profil des vitesses adimensionnelles est considérablement modifié par l'effusion et peut
être décrit par des lois de parois corrigées.
Les différentes caractéristiques décrites dans la littérature sur les écoulements
pariétaux avec injection pourront être utilisées, par la suite, comme éléments de comparaison
et de validation de nos travaux.
2.2. Modélisation des couches limites turbulentes avec effusion de gaz etvalidation par l'expérience
Dans la littérature sur les couches limites turbulentes avec effusion, la description de
l'interaction entre les écoulements principal et secondaire n'a pas été faite dans toutes les
situations. Par exemple, Moffat et Kays (1968) ont montré que le décollement de la couche
limite thermique se produit pour un taux d'injection de 1 % pour un nombre de Reynolds (basé
sur x1) de 106 dans le cas d'une effusion sur toute la longueur du plancher où se développe la
couche limite. Mais qu'en est-il dans une configuration différente ? Nous nous sommes donc
fixés comme objectif de décrire de façon plus générale les interactions couche limite -
effusion. Pour cela l'étude numérique présentée au paragraphe 1.3 est étendue aux cas des
écoulements sur parois poreuses avec injection. Par ailleurs, les résultats expérimentaux,
obtenus sur le banc d'essais décrit au paragraphe 1.2, seront utiles pour confronter notre
modélisation à l'expérience.
Afin de prendre en compte l'effet de l'effusion, des auteurs modifient les équations
gouvernant l'écoulement pariétal. On peut citer, par exemple, les lois de paroi modifiées par
Stevenson (1968) ou Simpson (1970), l'introduction de constantes empiriques dans des
modèles de turbulence à bas nombre de Reynolds (Campolina França et al. 1998) ou bien des
longueurs de mélange modifiées (Kays 1972 ou Landis et Mills 1972). Dans le cadre de cette
étude, nous avons choisi de porter particulièrement notre attention sur la modélisation des
phénomènes physiques qui régissent les interactions entre l'écoulement et la paroi poreuse en présence
d’effusion. Cette méthode a pour avantage de ne pas nécessiter de relations supplémentaires, issues
de l'expérience, pour prendre en compte l'injection et donc de limiter l'empirisme.
68
La plaque poreuse est représentée, dans notre modélisation, comme une succession
bidimensionnelle de deux types d'éléments (figure 2.6). Le premier est un élément solide sur
lequel se produit le frottement solide - fluide. Le second est une source par laquelle arrive une
quantité de fluide. Ce second élément représente un pore. Ainsi, la couche limite soumise à
l'effusion est le résultat du mélange de deux écoulements (écoulement pariétal et injection).
L'injection modifie l'écoulement principal en apportant une masse et une quantité d'énergie.
Simultanément, ce mélange est soumis au frottement sur les éléments solides.
Fig. 2.6 Modélisation discrète de la surface de la plaque poreuse.
Les conditions aux limites correspondantes aux éléments solides et aux pores sont de
deux types. Au-dessus d'un élément solide (première cellule du maillage), l'écoulement est
régi par la loi de paroi classique (relation 1.16) et les échanges convectifs entre l'écoulement
pariétal et les éléments solides sont déterminés par loi (1.39). A la sortie d'un pore, la
température est fixée, la vitesse longitudinale, l'énergie cinétique turbulente et le taux de
dissipation de k sont nuls. Dans un pore, la vitesse verticale, U2w, est imposée de façon à ce
que le débit injecté corresponde au taux d'injection désiré qui peut être, par exemple, le taux
d'injection de l'étude expérimentale. Ainsi, la vitesse verticale est donnée par la relation
(2.13).
UF U
we
w2
1= ( )ρρ ϕ
(2.13)
ϕ étant la porosité de la paroi.
Différentes proportions entre les pores et éléments solides seront testées, mais la
première configuration est une succession de deux éléments solides pour un pore (figure 2.6).
2 p p
Ecoulement potentiel
Soufflagepore
frottement surélément solide
69
Cette proportion a été retenue pour s'approcher au mieux de la porosité de la paroi utilisée
pour les expériences (environ 30 % de porosité). Dans cette configuration, la vitesse moyenne
de l'air dans un pore est le triple de la vitesse de filtration, définie comme le débit volumique
de l'écoulement secondaire rapporté à la surface totale de la paroi poreuse. On discutera
ultérieurement de l'influence de la porosité sur les couches limites soumises à de l'effusion.
Afin d'illustrer les effets du frottement sur les éléments solides et de l'injection à
travers les pores, sont comparés, sur la figure 2.7, trois profils de vitesses longitudinales. Le
profil expérimental est une mesure effectuée au milieu de la plaque poreuse pour un taux
d'injection de 1 % et un écoulement principal à 10 m/s. Les deux profils numériques sont
obtenus avec le modèle de turbulence retenu au premier chapitre (RNG k-ε) et avec, comme
condition aux limites sur la paroi, soit un soufflage uniforme (pas de frottement, porosité de
100 %), soit uniquement du frottement (pas de soufflage, porosité nulle). Il apparaît
clairement que ces deux phénomènes influencent fortement le comportement de la couche
limite dynamique et qu'il faut en tenir compte dans la modélisation.
0
2
4
6
8
10
12
14
0 10 20 30 40 50 60 70 80
X2 (mm)
U1 (m/s)
mesures
RNG k-ε (soufflage pur)
RNG k-ε (frottement pur)
Fig. 2.7 Influence du frottement et du soufflage sur le profil de vitesse longitudinale
(pour une abscisse x1 de 1,55 m correspondant à l'endroit de la mesure).
La représentation discrète de la paroi poreuse, définie sur la figure 2.6, est ajoutée dans
le prolongement du plancher imperméable (cf. figure 1.6). D'un point de vue numérique, un
pore est représenté par un volume de contrôle alors qu'un élément solide l'est par deux. La
densité des cellules du maillage est plus importante au niveau de la paroi poreuse qu'au niveau
du plancher imperméable qui se situe en amont de la zone de soufflage (figure 2.8). Au total,
le maillage utilisé est composé de 17000 volumes de contrôle.
La dimension p d’un pore, est fixée dans un premier temps à 2,5 mm sachant qu’en
réalité notre plaque a des pores d’un diamètre moyen de 30 pm. Notre modèle est donc une
représentation géométrique simplifiée de la réalité. Entre la surface de la matrice poreuse et le
premier point de maillage (situé 1,5 mm au dessus de la paroi ce qui correspond à une valeur
de y+ comprise entre 41 et 11,2 selon le taux d’injection) a lieu la jonction entre les
écoulements principal et secondaire. L’écoulement est rapidement homogénéisé lorsque la
distance à la paroi augmente. Ainsi, au premier noeud du maillage, il n’y a plus de
discontinuité entre une grandeur calculée au-dessus d’un élément solide (où interviennent les
lois de paroi) ‘et celle calculée au-dessus d’un pore (sans loi de paroi). L’effet de l’injection de
fluide sur la couche limite turbulente est donc homogène au-delà du voisinage immédiat de la
paroi. Enfin, signalons que le couplage entre le modèle discret de paroi et une modélisation à
“bas nombre de Reynolds” aurait nécessité une discrétisation beaucoup plus fine de la paroi
(une discrétisation dix fois plus fine (pas de 0,25 mm) était prohibitive en temps et moyens de
calculs).
A-
I I
IIIIIIIJlIIIIlIIIIIIIIIIIlIIIlllJ1ll_I~III
II
PLANCHER IMPERMEABLE PAROI POREUSE
Fig. 2.8 Maillage.
70
71
Par ailleurs, des profils de vitesse longitudinale sont calculés pour des dimensions de
pore p variants faiblement, la porosité de la plaque restant fixée à 33 % et le taux d'injection à
1 % (figure 2.9). On ne constate pas d'influence significative de ce paramètre dans la plage de
variation étudiée (1,5 à 5 mm). Les effets du soufflage et du frottement sont donc
indépendants de la taille d'un pore à condition de conserver une porosité et un débit de gaz
injecté constants. Par la suite, les résultats des simulations seront présentés avec une largeur
de pore de 2,5 mm, présentant le meilleur compromis entre le temps de calcul et la finesse de
la représentation de la paroi.
0
2
4
6
8
10
12
0 10 20 30 40 50 60 70 80
x2 (mm)
U1 (m/s)
p = 2,5 mm
p = 5 mm
p = 1,5 mm
Fig. 2.9 Influence de la taille des pores sur le profil de vitesse longitudinale.
2.2.1. Effusion sans gradient de températureDans cette première étude, l'écoulement pariétal et l'injection sont à température
ambiante, le taux d'injection étant égal à 1 %. Le champ de vitesse est calculé en utilisant le
modèle RNG k-ε et notre modélisation de l'injection à travers la paroi poreuse. Les résultats
de la simulation et ceux de l'expérience sont comparés avant la plaque poreuse (sans injection)
et au milieu de la zone d'injection. On peut observer, sur la figure 2.10, un très bon accord
entre les mesures obtenues par anémométrie Laser-Doppler et les résultats numériques.
L'épaississement de la couche limite est notamment très bien reproduit par notre modèle.
Notons également l'importante décroissance de la vitesse longitudinale à proximité de la paroi
72
du fait de l'injection. Cette décroissance de la vitesse se traduit par une diminution des forces
de frottements fluide-solide (quantifiables par le calcul du coefficient de frottement).
0
2
4
6
8
10
12
0 10 20 30 40 50 60 70 80
X2 (mm)
U1 (m/s)
exp. dans la region d'injectionexp. avant l'injectionsimulations numériques
Fig 2.10 Couches limites avant et dans la région d'effusion (F = 1 %).
Le profil expérimental de vitesse verticale au milieu de la plaque poreuse et pour un
taux d'injection de 1 % (figure 2.11), montre une croissance importante de celle-ci dans la
couche limite (jusqu'à environ 40 mm de la paroi), puis une décroissance faible au-delà. La
direction de l'écoulement secondaire est modifiée, par échange de quantité de mouvement
avec l'écoulement principal, en deçà d'une ordonnée, x2, de 1 mm. L'évolution du profil de
vitesse verticale est similaire à celle que l'on observe dans une couche limite sans effusion
mais, dans ce cas, le maximum est déplacé vers les ordonnées plus élevées. Comparé à la
vitesse de l'écoulement secondaire, le maximum obtenu est nettement supérieur (environ
0,35 m/s au lieu de 0,1 m/s). Même 50 mm au-dessus de la paroi, la vitesse verticale reste
relativement importante. Ce phénomène traduit une déviation verticale de l'écoulement
principal par l'écoulement secondaire. Par ailleurs, l'injection pariétale ayant pour effet de
diminuer sensiblement la vitesse longitudinale à proximité de la paroi, la déviation due à
l'injection engendre une composante de vitesse verticale faible dans les premiers millimètres
au-dessus de la paroi.
Du fait de la parfaite planéité du plancher que nous avons retenue dans notre
configuration théorique, alors que des imperfections ou obstacles existent sur le banc d'essais
73
(cf. paragraphe 1.2), les vitesses verticales mesurées et calculées ne peuvent pas être
directement comparées. Cependant, nous avons tracé, sur la figure 2.12, les vitesses verticales
adimensionnelles mesurées et calculées pour une même abscisse. On peut observer que le
déplacement du maximum en présence de l'effusion est bien reproduit par la simulation. De
même la légère augmentation de ce maximum (environ + 10 %), quand il y a injection
secondaire, est bien simulée.
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
X2 (mm)
U2 (m/s)
mesures dans la zone d'injection
mesures avant la zone d'injection
Fig. 2.11 Profils expérimentaux de vitesse verticale avant
et dans la région d'injection (F = 1 %).
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
X2 (mm)
U2 / U2max
mesures avant l'injection
mesures au milieu de la région d'injection
simulation avant l'injection
simulation au milieu de la région d'injection
Fig. 2.12 Profils adimensionnels expérimentaux et numériques de vitesse verticale.
74
Le coefficient de frottement peut être calculé avant et dans la région d'injection.
Simpson et al. (1969) ont montré que le frottement ne dépend que du taux d'injection et de
l'épaisseur de quantité de mouvement. L'épaisseur de quantité de mouvement peut être
déterminée par intégration discrète du profil de vitesse longitudinale. Le coefficient de
frottement est donc calculable par la corrélation (2.9) qui, pour mémoire, s'écrit :
C B
Bf f
f20 012
10,250,7
= +
−, Reln( )
θ . Dans le cas d'un taux d'injection de 1 %, la concordance
entre les coefficients de frottement calculés à partir des résultats expérimentaux et ceux
obtenus par intégration des résultats numériques est très bonne, tant avant l'injection qu'au
milieu de la plaque poreuse (Bellettre et al. 1998a). L'effet du taux d'injection sur le
coefficient frottement sera discuté ultérieurement. Par ailleurs, l'utilisation de corrélations
intégrales permet de mener le calcul en prenant en compte l'ensemble des valeurs des vitesses
dans la couche limite ce qui minimise l'erreur par rapport à un calcul de gradient de vitesse à
la paroi.
Cette détermination du calcul du coefficient de frottement permet de calculer une
vitesse de frottement Uτ et de présenter les profils de vitesse longitudinale sous forme
adimensionnelle. Sur la figure 2.13 sont représentés les profils adimensionnels de vitesses, en
milieu de plaque poreuse, pour un taux d'injection de 1 %.
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
10 100 1000
Y+
U+
mesures
Loi de paroi (Simpson 1970)
simulation numérique
Loi standard (1.16)
Fig. 2.13 Profils adimensionnels de vitesses en milieu de plaque poreuse (F = 1 %).
75
Les profils numériques et expérimentaux sont en bon accord avec la loi de paroi semi-
empirique de Simpson (1970) : ( ) ( )21 1 11
1
11
12
12
vv U v
y
ww w++ + +
++ − +
=
κln dans
l'ensemble de son domaine d'application (30 < y+ < 100). En comparant la loi de Simpson et
la loi standard, on constate que le profil de vitesse est d'autant plus affecté par l'effusion que
y+ est grand.
2.2.2. Effusion avec gradients de températureAprès avoir étudié expérimentalement et modélisé les couches limites dynamiques
avec effusion en situation isothermique, il convient de s'intéresser au comportement d'un
écoulement turbulent chaud en présence d'injection de gaz frais. Dans un premier temps,
l'écoulement potentiel est porté à 45 puis 100 °C, température maximale admissible par
l'ensemencement nécessaire aux mesures par anémométrie Laser-Doppler. Le débit massique
de gaz injecté à travers la plaque poreuse est identique à celui du cas ambiant. Les
températures du gaz injecté et des éléments solides de la plaque poreuse sont imposées et
identiques. Les températures de surface de paroi sont données par l'expérience : 31 °C et
43 °C pour une température d’écoulement potentiel respectivement de 45 °C et 100 °C. Les
résultats présentés sur la figure 2.14 montrent la concordance entre le modèle et l'expérience
pour les couches limites thermiques tant avant la plaque poreuse que dans la région
d'injection. Remarquons que l'épaisseur des couches limites thermiques est accrue par
l'effusion et, par conséquent, que les températures de l'écoulement pariétal à proximité de la
plaque sont diminuées. Ce phénomène se traduit par une diminution des échanges convectifs
fluide chaud-paroi qui peut être quantifiée par le calcul du nombre de Stanton.
La détermination du nombre de Stanton est similaire à celle du coefficient de frottement. Il est
possible de calculer les nombres de Stanton, avant et dans la zone d'effusion, à partir de l'intégration
des vitesses longitudinales ou des températures. La corrélation intégrale (2.10) est alors utilisée dans
la région d'injection : ( )StB
BB= +
+− −0 01281
10,25 0,51
0,25, Re Prln( ) ,25
∆ . La concordance
entre les nombres de Stanton calculés à partir de résultats numériques ou expérimentaux est, à
nouveau, très bonne (Bellettre et al. 1998a) : l'écart est de l'ordre de 5 %. La réduction du
nombre de Stanton avec le taux d'injection sera chiffrée au paragraphe 2.2.4.
76
Par ailleurs la concordance modèle-expérience des profils de vitesses dans le cas d'un
écoulement pariétal chaud est aussi satisfaisante que celle observée dans le cas d'un
écoulement à température ambiante. La déviation de l’écoulement pariétal est notamment bien
reproduite par la simulation (cf. annexe IV)
300
310
320
330
340
350
360
370
380
0 10 20 30 40 50 60 70 80
X2 (mm)
T (K)
mesures au thermocouple dans lazone d'injection
mesures au thermocoupleavant l'injection
simulations numériques
Te = 45 °C
Te = 100 °C
Fig. 2.14 Couches limites thermiques pour un écoulement à 45 °C et 100 °C.
2.2.3 Influence de la porositéDans ce paragraphe, nous étudions l'influence de la proportion entre les éléments
solides et les pores. Tous les résultats précédents ont été obtenus avec une proportion
surfacique de 1/3 de pores pour 2/3 d'éléments solides. Toutefois, il apparaît intéressant
d'étudier comment peuvent être affectés, par cette proportion, les résultats déjà obtenus.
De nouveaux rapports entre les surfaces des pores et du solide sont testés : 1/4, 1/2 et
2/3. Dans chaque cas, le débit de gaz injecté est maintenu constant (0,12 kg/m²s). Sur la figure
2.15 sont représentés les profils de vitesse longitudinale au milieu de la zone d'injection
(x1 = 1,55 m). On constate que la couche limite dynamique est très peu modifiée pour des
porosités comprises entre 1/4 et 1/2. En revanche, dans le cas d'une proportion de 2/3, le profil
de vitesse est sensiblement affecté. L’effet de la porosité est bien pris en compte par le présent
modèle mais une variation importante est nécessaire pour que son influence soit significative.
En conséquence, la proportion entre la surface des pores et celle du solide n'a pas besoin d'être
77
connue très précisément pour le présent taux d'injection puisque celle-ci n'a une influence que
si elle est très éloignée de celle de notre élément poreux. On peut en effet noter que, pour le
débit de gaz injecté qui a été retenu expérimentalement et qui a permis la validation de notre
modélisation, l'influence de la porosité est faible car le frottement fluide-solide est fortement
réduit par l'injection. Pour des taux d'injection plus faibles, ce frottement est beaucoup plus
important et les profils pourraient être plus modifiés par une variation de la porosité.
0
2
4
6
8
10
12
0 10 20 30 40 50 60 70 80
X2 (mm)
U1(m/s)
porosité = 1/4
porosité = 1/3
porosité = 1/2
porosité = 2/3
2.15 Influence de la porosité sur le profil de vitesse longitudinale.
2.2.4 Influence du taux d'injection
Mise en évidence du décollement des couches limites dynamiques et thermiques
L'influence du taux d'injection sur le profil de vitesse longitudinale est donnée sur la
figure 2.16. La vitesse passe progressivement du profil de type logarithmique caractéristique
d'une couche limite turbulente développée pour un taux d'injection de 0 %, à un profil linéaire
pour F = 2,6 %. Pour ce dernier taux d'injection, la linéarité du profil est retrouvée
expérimentalement. Par ailleurs, pour F = 2,6 %, le point de mesure par anémométrie Laser-
Doppler le plus proche de la paroi est à 2 mm de celle-ci alors qu'il est à 0,4 et 0,8 mm sans
effusion ou pour un taux d'injection plus faible. Ceci met en évidence, par l'absence
d'ensemencement dans cette zone, le fait que la couche limite dynamique soit décollée pour ce
taux d'injection.
78
0
4
8
12
0 10 20 30 40 50 60 70 80
X2 (mm)
U1 (m/s)
F = 0 %
F = 0,35 %
F = 0,95 %
F = 1,9 %
F = 2,6 %
mesures F = 2,6 %
Fig. 2.16 Profils de vitesse longitudinale (Te = 100 °C, x1 =1,55m).
Les profils de températures, présentés sur les figures 2.17, sont obtenus dans le cas
d'un écoulement potentiel porté à une température de 200 °C. On peut remarquer : un
épaississement important de la couche limite thermique avec une augmentation du taux
d'injection, une déformation des profils similaire à celle observée pour ceux de la couche
limite dynamique et une linéarité du profil pour F = 3,2 % conforme à l'expérience.
Par ailleurs, on a noté l'existence d'une zone isotherme au-dessus de la fin de la plaque
poreuse pour un taux d'injection de 3,2 %. Ce phénomène est dû, au décollement de la couche
limite thermique créant un film froid au-dessus de la plaque poreuse.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 10 20 30 40 50X2 (mm)
T - Te
F = 0%
F = 0,5 %
F = 0,8 %
F = 1,4 %
F = 3,2 %
mesures F = 3,2 %
Tw - Te
Fig. 2.17. Profils de température adimensionnelle longitudinale (Te = 200 °C).
79
Calculs des coefficients de frottement et nombres de Stanton
La validation de notre modèle est également effectuée par comparaison des résultats
numériques, obtenus en faisant varier le taux d'injection, avec des résultats issus de la
littérature. Les profils simulés de vitesse longitudinale sont intégrés pour calculer l'épaisseur
de quantité de mouvement. A l'aide de la corrélation intégrale (2.9), ces résultats permettent
de calculer, pour différents taux d'injection, des valeurs de coefficients de frottement. La
concordance avec les mesures de nombreux auteurs est satisfaisante (figure 2.18). La
comparaison entre les différents résultats est effectuée pour des nombres de Reynolds Reθ
compris entre 2000 et 3000 (Reθ augmente avec le taux d'injection). Par ailleurs, on peut
constater l'importante décroissance du frottement avec l'effusion : pour un taux d'injection de
1 %, le coefficient de frottement est réduit d'environ 80 % par rapport au cas sans effusion.
0
0,0005
0,001
0,0015
0,002
0 0,4 0,8 1,2F (%)
Cf / 2
Présente étude
Andersen et al. (1975)
McLean and Mellor (1972)
Baker et Launder (1974)
Rubesin et al. (1985)
Fig. 2.18 Coefficient de frottement en fonction du taux d'injection
(x1 = 1,55 m, Reθ = 2000 à 3000).
L'évolution du nombre de Stanton est étudiée en fonction du taux d'injection, pour un
écoulement principal à 45 °C. La température de paroi est maintenue constante à 31 °C quel que soit
le taux d'injection, ce qui correspond aux conditions expérimentales de Whitten et al. (1970) dont la
température de plaque était régulée. Sur la figure 2.19 sont présentés les résultats de cette étude
paramétrique. Les nombres de Stanton sont calculés après intégration des profils de vitesse et de
température obtenus par la simulation et à l'aide de la corrélation (2.10). On constate un bon accord
entre nos résultats et les résultats d'expérimentateurs qui ont
80
travaillé pour des nombres de Reynolds (fondés sur l'épaisseur d'enthalpie) équivalents aux
nôtres (Re∆ = 1300 pour F = 0 % à Re∆ = 2000 pour F = 1,1 %).
0
0,0005
0,001
0,0015
0,002
0,0025
0,003
0 0,4 0,8 1,2
F (%)
St
Présente étude
Whitten et al. (1970)
Rubesin et al. (1985)
Moffat et Kays (1984)
Fig. 2.19 Nombre de Stanton en fonction du taux d'injection (x1 = 1,55 m).
L'étude de l'évolution des coefficients de frottement et nombres de Stanton est
poursuivie pour un écoulement potentiel porté à 100 °C et 200 °C. Les nombres de Stanton
rapportés au nombre de Stanton sans injection sont présentés sur la figures 2.20. Ces résultats
sont obtenus en tenant compte de l'évolution des propriétés de l'air avec la température dans le
calcul des nombres de Reynolds basés sur les épaisseurs de quantité de mouvement et
d'énergie. On constate une influence sensible de la température de l'écoulement potentiel sur
les résultats. Les nombres de Stanton sont en effet plus élevés pour Te = 200 °C que pour Te =
100 °C (la température de l'écoulement secondaire étant égale à 40 ± 10 °C). Le gaz effusé est,
relativement à l'écoulement potentiel, plus lourd pour Te = 200 °C que pour Te = 100 °C. Or,
toutes les études portant sur l'injection de différentes espèces montrent que la protection
thermique par effusion est d'autant moins efficace que l'espèce est lourde (Romanenko et
Kharchenko (1963), Baker et Launder (1974a, 1974b) et Landis et Mills (1972)). La
différence obtenue entre les résultats à 100 °C et 200 °C peut donc s'expliquer par analogie
avec ces résultats concernant le soufflage de différentes espèces chimiques.
Comme le suggèrent Landis et Mills (1972), les taux d'injection sont normalisés par le
nombre de Stanton sans injection (sensiblement plus élevé pour Te = 200 °C que pour
81
Te = 100 °C) afin de compenser l'effet de la variation de densité. Pour les niveaux de
température étudiés, les courbes de la figure 2.21 se superposent correctement.
Les résultats de Landis et Mills (1972), concernant la faible influence de la
température de l'écoulement potentiel sur l'évolution du nombre de Stanton normalisé en
fonction du taux d'injection normalisé sont donc en bon accord avec les nôtres. Le même
résultat concernant le coefficient de frottement est obtenu (figure 2.22). Nous considérerons
donc que les calculs de coefficients de frottement et nombres de Stanton sont applicables pour
des écoulements pariétaux sensiblement plus chauds que ceux pour lesquels ils ont été validés.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4
F (%)
St / St0
Te = 100 °C
Te = 200 °C
Fig. 2.20 Nombre de Stanton normalisé en fonction du taux d'injection pour différentes
températures d'écoulement potentiel (x1 = 1,55 m).
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 1 2 3 4 5
F / St0
St / St0
Te = 100 °C
Te = 200 °C
Fig 2.21 Nombre de Stanton normalisé en fonction du taux d'injection normalisé pour
différentes température d'écoulement potentiel (x1 = 1,55 m).
82
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 1 2 3 4 5 6 7
2 F / Cf0
Cf / Cf0
Te = 100 °C
Te = 200°C
Fig. 2.22 Coefficient de frottement normalisé en fonction du taux d'injection normalisé pour
différentes température d'écoulement potentiel (x1 = 1,55 m).
Le coefficient d'échange convectif entre l'écoulement chaud et la paroi poreuse est
déduit du calcul du nombre de Stanton. Son évolution avec le taux d'injection est présentée sur
la figure 2.23. Ce résultat souligne l'efficacité du procédé de protection thermique par
effusion. En effet, on constate une diminution de 85 % de l'échange convectif pour un taux
d'injection de 1 % par rapport au cas sans effusion.
0
5
10
15
20
25
30
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4F (%)
h (W/m²K)
Fig 2.23 Coefficient d'échange convectif en fonction du taux d'injection
(x1 = 1,55 m, Te = 100 °C).
83
Conclusion
En utilisant un modèle classique de turbulence (modèle RNG k-ε à "haut nombre de
Reynolds") et en modélisant les phénomènes physiques liés à l'effusion à travers une paroi
poreuse, des simulations numériques de couches limites turbulentes soumises à de l'injection
de gaz ont été effectuées. Pour des écoulements potentiels à différentes températures, les
résultats obtenus ont été comparés à nos propres résultats expérimentaux ainsi qu'à ceux issus
de la littérature et un bon accord a été trouvé. L'épaississement des couches limites
dynamiques et thermiques du fait de l'injection est, notamment, très bien reproduit par notre
modélisation. Le calcul des coefficients de frottement et du nombre de Stanton, pour
différents taux d'injection, ont pu être menés à bien par l'emploi de corrélations semi-
empiriques. Il nous appartient maintenant d'utiliser les résultats de nos travaux pour l'étude du
refroidissement des parois poreuses en couplant le modèle de couche limite avec une
modélisation des transferts internes à une matrice poreuse.
Chapitre 3
COUPLAGE ECOULEMENTPARIETAL - PLAQUE POREUSE
85
L’étude des transferts de chaleur en couches limites turbulentes soumises à de
l’effusion prend tout son intérêt si l’on examine les conséquences de tels transferts sur les
plaques poreuses à protéger. Pour cela, il convient de s’intéresser, non seulement aux
transferts convectifs entre l’écoulement pariétal et la paroi, mais également aux échanges
internes au milieu poreux et aux transferts par rayonnement entre la paroi à protéger et son
environnement.
A notre connaissance, seulement quatre études ont couplé un modèle des transferts en
couche limite avec les transferts de masse et de chaleur au sein d’une matrice poreuse. Il s'agit
des travaux de Eckert et Cho (1994) et Campolina França (1996) d’une part, et de Kubota
(1977) et Ishii et Kubota (1984) d’autre part.
Eckert et Cho (1994) couplent un modèle k-ε "à bas nombre de Reynolds" avec un
bilan thermique dans la paroi poreuse, mais l'hypothèse d'équilibre thermique entre la phase
gazeuse et la phase solide de la plaque est adoptée et le rayonnement sur les éléments solides
de la plaque est négligé. Campolina França et al. (1998) étudient le couplage d'une couche
limite turbulente avec effusion d'air et un milieu poreux unique équivalent. Les deux
approximations précédentes concernant l'équilibre thermique et le rayonnement sont aussi
adoptées.
Kubota (1977) et Ishii et Kubota (1984) étudient le comportement thermique d’une
matrice poreuse de silice, refroidie par effusion de dioxyde de carbone, entrant dans
l’atmosphère de Saturne. Ils prennent en compte les échanges radiatifs du matériau avec son
environnement ainsi que le déséquilibre thermique interne entre le gaz et le solide. En
revanche, l’écoulement pariétal n’est pas étudié et le flux convectif incident est déterminé à
l’aide d’un facteur d’atténuation dû à l’effusion. Ce facteur est soit constant quel que soit le
taux d’injection, soit calculé de façon explicite en fonction du taux d’injection par le "modèle
du film" ; or Tedeschi et al. (1995) ont montré que ce modèle analytique ne peut être qu'une
première approximation notamment pour les forts taux d’injection.
Il apparaît donc intéressant de coupler notre étude des transferts en couches limites
avec celle des transferts internes aux matrices poreuses en vue de déterminer plus précisément
l’impact de l’effusion sur la température de la phase solide. Afin de faciliter la lecture de ce
chapitre, les principaux éléments bibliographiques concernant les transferts de masse et de
chaleur au sein des milieux poreux sont, tout d’abord, donnés. Par la suite, une détermination
expérimentale de l'effet de l'effusion sur les températures de plaques est présentée. Enfin, une
86
quantification numérique des différents transferts de chaleur entre la matrice poreuse et son
environnement est effectuée.
3.1. Transferts dans les milieux poreux
Une étude précise de l'effusion nécessite une connaissance approfondie des transferts
de masse et de chaleur dans la paroi poreuse. La complexité de la géométrie des milieux
poreux rend difficile une étude uniquement théorique des transferts internes à ceux-ci. Le
recours à l'expérience est donc primordial.
3.1.1. Transferts de masse
Afin de quantifier le débit de fluide traversant un milieu poreux, il est intéressant de
déterminer la relation entre ce débit et le gradient de pression dans la paroi. Darcy (1856) a
proposé un premier modèle pour un écoulement où les forces visqueuses sont prépondérantes
(écoulement à faible vitesse). L'équation de Darcy est donnée par la relation (3.1).
∂∂
µP
x K2= − v (3.1)
K étant la perméabilité du milieu et l'action de la gravité est négligée.
Cependant, pour des écoulements à plus grande vitesse, les forces inertielles ne sont
plus négligeables devant les forces visqueuses. Deux approches sont alors envisageables :
l'une, où les effets des deux forces sont mêlés (modèle d'écoulement mixte : les deux effets
sont indissociables), l'autre, où les effets sont superposés (les deux effets sont additionnés).
Modèle d'écoulements mixtes
Andoh (1992), Andoh et al. (1994) et Lips et Lallemand (1992) proposent un modèle
général applicable à des écoulements isothermes ou non, de fluides pouvant être
compressibles ou incompressibles. Leur modèle divise la paroi (dans la direction de
l’écoulement) en plusieurs éléments. Pour l'élément i, l'équation (3.2) est appliquée.
∆ ∆P Km m
xii i
i=
1
2
2
1� �
µ ρ
α (3.2)
où �m est le débit massique surfacique de fluide.
87
K1 et α1 sont deux caractéristiques du milieu. Ces deux coefficients sont identiques
pour chaque élément et sont déterminés pour un milieu par deux points expérimentaux (∆P,
�m). A noter que les propriétés du fluide (ρ, µ) sont déterminées en tenant compte de la
température de l'élément i considéré. Ce modèle a été validé expérimentalement pour des
écoulements de gaz ou de liquide à travers différents milieux.
Modèle de superposition des effets inertiels et visqueux.
La relation entre le débit et le gradient de pression dans le milieu poreux s’écrit selon
la relation (3.3).
∆∆
P
x Kv b v
2
1= +µ ρ ² (3.3)
Cette relation peut également s'écrire : f C= +1
Re
avec f
P
xK
v=
− ∆∆ 2
2ρ (coefficient de frottement),
Re= ρµ
v K (nombre de Reynolds)
et C = K b .
De nombreux auteurs ont caractérisé de la sorte les écoulements de fluides à travers les
milieux poreux. A titre d’exemple, citons l’importante étude de Kar (1980) dont l’application
est le refroidissement des matrices poreuses soumise à un flux incident radiatif. Kar (1980)
étudie l'écoulement de l'azote à travers un milieu poreux chauffé à l'extrémité (opposée à celle
de l'entrée du gaz) par un flux radiatif uniforme. Différents milieux sont étudiés : des milieux
non-consolidés constitués de sphères (en acier, d'un diamètre compris entre 0,2 et 0,65 cm),
des matériaux frittés en acier, en nickel ou en cuivre, des échantillons de matériaux poreux
"commerciaux". Il montre que, pour les différents milieux, le coefficient de frottement suit
une loi f C= +1
Re ; mais il n'y a pas de corrélation universelle valable pour tous les modèles
ou échantillons. En comparant les mesures de débit et de pression obtenues sans flux radiatif à
l'extrémité aval du milieu et avec une puissance radiative donnée (300 à 400 W/cm²), on note
que les variations des caractéristiques mesurées sont inférieures aux incertitudes sur les
88
mesures. Ainsi, Kar confirme que la loi obtenue pour un écoulement isotherme est applicable
à un écoulement non-isotherme à condition de tenir compte de la variation des propriétés de la
phase fluide avec la température.
3.1.2. Transferts de chaleur
L'évaluation précise des champs de températures dans un milieu poreux traversé par un
fluide doit tenir compte des facteurs suivants :
- conduction dans les phases solides et liquides,
- convection et rayonnement entre les deux phases,
- transport de chaleur par le fluide réfrigérant,
- échanges de chaleur (par rayonnement ou convection) aux frontières du milieu.
La détermination de la conductivité thermique équivalente du milieu poreux et celle du
coefficient d'échange convectif interne entre le fluide et le solide ont fait l'objet de nombreux
travaux dont nous allons examiner les résultats les plus utiles pour notre étude.
Conductivité thermique équivalente.
La conductivité thermique équivalente, λeq, d'un milieu poreux permet de quantifier les
transferts conductifs au sein du milieu en l’absence d’écoulement. Elle est une fonction
complexe de la géométrie du milieu et des caractéristiques thermophysiques des différentes
phases. Elle est généralement déterminée à partir des conductivités thermiques des phases
solide, λs, et fluide, λf. Les modèles les plus simples sont les modèles série, parallèle et mixte
décrits respectivement par les équations (3.4) à (3.6).
1 1
λϕλ
ϕλeq f s
= + − (3.4)
λ ϕ λ ϕ λeq f s= + −( )1 (3.5)
λ λ λϕ ϕeq f s= + −1 (3.6)
Par ailleurs, il existe dans la littérature de nombreux modèles de conductivité
équivalente plus raffinés. Par exemple, Sarwa et Majumdar (1995) proposent un modèle très
détaillé pour déterminer la conductivité thermique équivalente de matériaux composites
poreux et humides. Ils procèdent, pour une maille élémentaire de matériau, à la détermination
89
d'un schéma électrique équivalent. La conductivité équivalente est calculée à partir de cette
analogie.
Coefficient d'échange interne
Les études expérimentales concernant les coefficients d’échange convectif entre une
matrice solide chaude et un fluide réfrigérant sont très nombreuses. Dans la plupart des
travaux, les auteurs mesurent les températures des phases solides et fluides d’un échantillon
poreux chauffé, par rayonnement, à une extrémité. A l’aide d’un bilan thermique, le
coefficient d’échange convectif est alors déterminé. A titre d’exemple, le bilan utilisé par Kar
(1980) est schématisé sur la figure 3.1. Afin de s’affranchir de l'estimation de la surface
d’échange interne, il est préconisé d’utiliser un coefficient d’échange interne volumique, hint,
défini par la relation (3.7).
h hsint = (3.7)
où s est la surface interne d’échange par unité de volume du milieu.
hc v T T
T T dx
p f sortie f entrée
s f iint
, ,( )
( )=
−
−∫ρ
(en négligeant la conduction dans la phase fluide)
Fig. 3.1 Bilan thermique sur un volume poreux (Kar 1980).
Les résultats sont ensuite présentés sous forme adimensionnelle. Les corrélations obtenues
sont de la forme Nu A a b= ×Re Pr . Du fait de la grande diversité des milieux poreux, il n’existe pas
de corrélation universelle permettant de quantifier les échanges convectifs internes. En effet, le non
respect des similitudes géométriques rend impossible l’obtention d’une telle corrélation.
milieu poreux
ρvf Tf, entréeρvf Tf,
hv
mesures de Ts
qconductif, fluideqconductif, fluide
mesures de Tf
xi
90
En ce qui concerne les matériaux frittés métalliques, qui nous intéressent
particulièrement dans le cadre de ce travail, on peut synthétiser différents résultats
expérimentaux. La longueur caractéristique, d, utilisée dans les nombres sans dimension
(Reynolds, Nusselt) est soit le diamètre moyen des pores, soit le diamètre moyen des
particules solides, soit le diamètre hydraulique du milieu (dsh = 4ϕ
) ou encore le produit
K x b (cf. relation (3.3)) qui est homogène à une longueur.
Le nombre de Nusselt peut être défini de deux façons : selon la relation (3.8) si la
surface d’échange interne, s, est connue ou bien selon l’équation (3.9) si ce n’est pas le cas.
Nuh d
s f= int
λ (3.8)
Nuh d
f= int ²
λ (3.9)
Les propriétés thermophysiques sont calculées à la température moyenne
logarithmique de la phase fluide. La précision sur la détermination expérimentale du nombre
de Nusselt est d’environ 15 à 20 % (quand elle est donnée). Cette faible précision est liée à la
difficulté de mesurer les températures de chacune des deux phases, et d'en déduire
précisément leur différence notamment quand celle-ci est faible (Polyaev et al. 1996).
Du fait des différentes possibilités pour définir les nombres sans dimension, il n’est
pas aisé de comparer les coefficients multiplicatifs des différentes corrélations issues de la
littérature. Par contre, une étude comparative sur l’exposant a (qui nous intéressera
particulièrement par la suite) est tout à fait licite. Le tableau (3.1) permet de comparer les
différents résultats recensés. Ceux-ci sont relativement variables d’un matériau à l’autre.
Cependant, en ce qui concerne l’acier inoxydable fritté, une proportionnalité entre le nombre
de Nusselt et le nombre de Reynolds semble se dégager.
En ce qui concerne notre modélisation de l’effusion, il nous paraît peu réaliste
d'utiliser, a priori, une corrélation de la littérature pour prendre en compte les transferts
convectifs internes à la paroi. En effet, les résultats de Koh et al. (1973) sont à considérer
"avec réserve" à cause des fluctuations de débit enregistrées lors de leurs essais (Andoh 1994)
et, par ailleurs, nous travaillerons pour des nombres de Reynolds sensiblement inférieurs aux
domaines de validité des corrélations obtenues par Kar (1980). Il nous appartient plutôt de
quantifier expérimentalement ces transferts convectifs internes.
91
Auteurs Longueur
caractéristique
Exposant a
de Re
Domaine de
validité pour Re
Métal étudié
Groothenhuis et
al . (1951)
dparticule solide 0,03 10 à 10000 cuivre
ϕ = 0,26 à 0,4
Koh et al. (1973) dhydraulique 1
1
1 à 100
10 à 600
acier inoxydable
ϕ = 0,21 à 0,31
acier inoxydable
‘Rigimesh’*
ϕ = 0.18 à 0.36
Kar (1980) dpore 1,06
1,60
1,40
0,97
1 à 100
0,1 à 10
0,1 à 10
10 à 200
acier inoxydable
ϕ = 0,28 à 0,65
nickel
ϕ = 0,35 à 0,51
cuivre
ϕ = 0,45 à 0,58
acier inoxydable
‘Rigimesh’
ε = 0.05
Zegarnik et
Polyaev (1996)
K x b 1 Re x Pr =
0,01 à 25
première
approximation
valable pour de
nombreux matériaux
poreux
Tab. 3.1 Synthèse des différents travaux sur les métaux frittés.
* Nom commercial
3.2. Mesures de températures de plaques poreuses
La détermination expérimentale de la température des parois poreuses refroidies par
effusion permet de quantifier les effets de ce mode de protection et d’optimiser le débit de
fluide réfrigérant. A l’aide d’un modèle de transfert de chaleur, il sera ensuite possible de
92
déterminer, en fonction du taux d’injection, outre le flux convectif incident étudié au
chapitre 2, le rayonnement incident sur la paroi et les échanges convectifs internes.
Dans un premier temps, nous présentons les milieux poreux retenus ainsi que leurs
caractéristiques. L’instrumentation nécessaire à la mesure de la température est ensuite
explicitée. Enfin, les principaux résultats expérimentaux sont présentés et interprétés.
3.2.1. Présentation des matériaux poreux
Rappelons que l’acier inoxydable fritté a été retenu pour sa résistance
thermomécanique et ses propriétés anticorrosives. Nous disposons de trois plaques qui se
différencient par la taille des grains solides qui les constituent. Le constructeur est la société
Sintertech qui a établi la classification suivante : une plaque de classe X est constituée de
grains métalliques de diamètre moyen 10 X µm.
Caractéristiques géométriques
Les trois plaques ont 3 mm d’épaisseur, 500 mm de longueur et 200 mm de largeur.
Compte tenu de la présence d’un joint d’étanchéité sur la périphérie des parois, la surface de
soufflage vaut 0,46 x 0,16 m2. Le tableau 3.2 synthétise les autres dimensions utiles.
Type Diamètre moyen des
particules métalliques (µm)
Diamètre moyen des pores
(µm)
Classe 5 50 18
Classe 10 100 30
Classe 20 200 75
Tab. 3.2 Caractéristiques géométriques des plaques.
Chaque classe de plaque est constituée sensiblement de la même masse de solide et la
porosité croît très peu avec la classe (de 30 % pour une classe 3 à 40% pour une classe 40). Le
constructeur estime donc que la porosité des trois classes choisies est d’environ 33 %. Ce
choix de plaques permet notamment d’étudier l’impact de la surface d’échange interne
puisque le refroidissement par convection interne est présent dans le processus étudié et que la
surface spécifique est une fonction décroissante de la taille des particules solides.
93
Caractéristiques thermiques
La conductivité thermique équivalente des parois, donnée par le constructeur, est
d’environ 5 W/mK (quand le fluide, au repos dans les pores, est de l’air). Elle correspond à la
valeur donnée par Koh et Fortini (1973) pour des milieux en inox fritté d’une porosité de
30 %.
L’émissivité hémisphérique des plaques, dans le domaine infrarouge, a été déterminée
expérimentalement et vaut 0,85 (Campolina França 1996).
Perméabilité
L’étude expérimentale, des transferts de masse permet de tracer les caractéristiques ∆P = f
(vf), où vf est la vitesse de filtration du fluide (c’est à dire la vitesse moyennée sur toute la surface de
la plaque) et ∆P la perte de pression aux bornes du milieu poreux. Pratiquement, sur le banc d'essai
décrit au paragraphe 1.2, les mesures du débit massique et de la température du fluide permettent la
détermination de vf ( v mAf
f= �
ρ , où A est l'aire de la surface de soufflage), vitesse pour laquelle la
différence de pression, ∆P, est mesurée.
La figure 3.2 montre une caractéristique obtenue pour la classe 10. Un modèle polynomial de
superposition des effets visqueux et inertiels (équation 3.3) permet de retrouver très correctement les
caractéristiques de notre plaque. Pour les faibles vitesses, les résultats expérimentaux sont bien
reproduits par les lois de Darcy ou la loi de superposition. A partir d'une vitesse de 0,3 m/s, les effets
inertiels ne sont plus négligeables devant les effets visqueux et seule la seconde loi concorde avec les
mesures.
0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5
vf (m/s)
∆P / ∆x2x 10-6 (Pa/m)
Mesures Loi de Darcy Loi de superposition
Fig. 3.2 Exemple de caractéristique de transferts de masse (plaque classe 10).
94
Cette bonne adéquation entre le modèle de superposition et l'expérience se retrouve
pour les différentes plaques et pour les différentes températures d'écoulement pariétal que
nous allons étudier
Le tableau 3.3 synthétise les différents résultats expérimentaux obtenus pour les
différentes plaques. On constate que la perméabilité est d’autant plus forte et le coefficient b
d’autant plus faible que les pores de la paroi sont plus grands. Les valeurs de K et b sont
obtenues par une régression polynomiale à partir des mesures expérimentales.
Type K (m²) b (m-1)
Classe 5 1,8 10-12 4,3 106
Classe 10 4,2 10-12 9,3 105
Classe 20 2,7 10-11 4,9 105
Tab 3.3 Valeurs expérimentales de la perméabilité et du coefficient b.
3.2.2. Moyens expérimentaux mis en oeuvre
Les différentes parois sont tour à tour insérées dans le plancher de la veine. Elle sont
donc soumises à un double apport de chaleur : par convection due à l’écoulement chaud et par
rayonnement provenant des parois chaudes de la veine (plafond, vitres).
Dans un premier temps, la thermométrie infrarouge, moyen non intrusif, est apparue
comme adaptée à notre étude (Campolina França 1996) et des hublots, transparents au
rayonnement infrarouge, ont été implantés dans le plafond de la veine pour mesurer la
température des matrices poreuses. Du fait de l’existence de réflexions multiples dans la
veine, le rayonnement réfléchi par la matrice poreuse (point froid de la veine) n’est pas
négligeable vis à vis de son émission propre. La caméra infrarouge interprétant le
rayonnement reçu comme étant uniquement l’émission propre de la paroi, les mesures
effectuées sont surestimées.
Le choix s’est donc porté vers une instrumentation plus adaptée à notre configuration.
Des thermocouples chromel-alumel fins (0,1 mm de diamètre) sont soudés, par décharge électrique,
sur la matrice poreuse afin de mesurer la température de la phase solide. La température de surface de
la phase solide est ainsi obtenue puisque la plaque poreuse, soumise à l'effusion, est obstruée par la
soudure sur une très faible surface ce qui protège localement la jonction de l'écoulement d'air. La
matrice solide de la plaque étant bon conducteur thermique, l'homogénéité de sa température de
surface n'est pas affectée. La précision des mesures est de
95
1 K. Les thermocouples sont implantés sur la ligne médiane des plaques avec un plus grand
nombre dans la partie amont de la paroi où le gradient longitudinal de température est le plus
fort (figure 3.3). La même instrumentation est mise en place sur la face inférieure des plaques
afin de déterminer le gradient vertical de température.
Fig. 3.3 Implantation des thermocouples (x1 = 1, 3, 7, 13, 19, 25, 38, 49 cm).
Sont relevées également, les températures des surfaces chaudes de la veine (vitres et
plafond) et celle des plaques déflectrices fraîches du caisson de tranquillisation. Ces
températures de surfaces sont mesurées à l’aide de thermocouples collés. Elles seront utiles
pour l’étude du rayonnement entre la plaque et son environnement.
3.2.3. Résultats expérimentaux
La température de la matrice solide est étudiée en fonction de trois paramètres :
l’abscisse x1 afin d’obtenir la « cartographie thermique » des plaques, la température de
l’écoulement et la classe de la paroi. Ainsi, les températures de la plaque de classe 10 sont
relevées pour une température de l’écoulement potentiel de 100, 150, 200 et 250 °C et les
différentes classes de matériau poreux sont étudiées pour un écoulement à 250 °C. La gamme
des taux d’injection s’étend de 0 à 10 % et la vitesse de l'écoulement potentiel reste fixée à
10 m/s.
Mesure du taux d’injection
La mesure du taux d’injection nécessite la connaissance du débit massique de fluide
frais. Ce débit est obtenu à l’aide de la mesure du gradient de pression aux bornes des plaques
poreuses, qui fluctue moins que la différence de pression au diaphragme, et de la caractéristique ∆P =
f (v) de chacune d'elles. En tenant compte des fluctuations de pression observées lors de
l’expérimentation, des incertitudes concernant la détermination
Paroi Poreuse
x3
sens de l’écoulement
Limite de la zone de soufflage
x1 x20
96
des masses volumiques et de la surface de soufflage, la précision obtenue pour la mesure du
taux d’injection est comprise entre environ 10 % pour les faibles taux (F < 0,5 %) et moins de
5 % pour les plus forts (F > 8 %) (l'incertitude décroît avec l'injection - cf. Annexe V).
Cartographie thermique
Sur la figure 3.4, est représentée la cartographie obtenue pour l’essai sur la plaque de
classe 10 avec un écoulement potentiel à 250 °C. Sans effusion, la température de la matrice
poreuse est uniforme et de 224 °C. A mesure que le taux d’injection augmente, la température
de paroi décroît. La zone comprise entre x1 = 19 cm et x1 = 38 cm est toujours isotherme. Pour
les plus forts taux (10 % environ), la température de la plaque atteint 34 °C. Le gradient
vertical de température dans la plaque est faible (0 à 5 K) et n'évolue pas significativement en
fonction du taux d’injection (figure 3.5).
Les profils expérimentaux de température dans la couche limite (cf. paragraphe 2.2.4)
montrent que, pour un taux d’injection de 3,2 %, le décollement de la couche limite a déjà été
obtenu. Or, la température de la matrice poreuse, soumise alors uniquement au rayonnement
des parois chaudes de la veine, continue de décroître avec le taux d’injection. La matrice
solide est alors refroidie uniquement par convection interne ce qui suppose l’existence d’un
déséquilibre thermique solide-fluide au sein du milieu poreux, déséquilibre souvent ignoré
dans la littérature sur les transferts de chaleur en couches limites soumises à l’effusion.
Les tendances observées ci-dessus se retrouvent sur l’ensemble des cartographies
thermiques obtenues (quelle que soit la température de l’écoulement potentiel et quelle que
soit la classe de matériau).
On note en observant la figure 3.4 que l’écart de température entre le thermocouple
amont (non situé dans la zone de soufflage) et un thermocouple soumis à l’effusion passe
systématiquement par un maximum en fonction du taux d'injection. On peut interpréter ce
phénomène de la façon suivante :
- pour les faibles taux, le thermocouple "central" est protégé, de l'écoulement chaud, par
l’effusion et refroidi par la convection interne à la plaque alors que le thermocouple amont
n’est refroidi que par la conduction longitudinale dans la paroi ; l’écart de température croît
donc avec le taux d’injection du fait de la forte augmentation de la protection du thermocouple
central avec l'effusion ;
- pour les forts taux, l'évolution de température au niveau du thermocouple "central" est
uniquement due à l'augmentation de la convection interne (il y a décollement de la couche
97
limite thermique et la protection due à l'effusion a déjà atteint son optimum) et le
thermocouple amont est toujours refroidi par la conduction longitudinale dans la paroi. Il doit
donc exister un changement d'allure dans la courbe de l’écart de température en fonction du
taux d’injection traduisant la disparition de l'augmentation de protection du thermocouple
central après le décollement de la couche limite. Dans notre cas, ce changement d'allure se
traduit par un maximum.
0
50
100
150
200
250
0 10 20 30 40 50
X 1 (cm )
Tsolide (°C )
00,150,30,751,11,41,852,32,653,053,754,755,88,159,6
F (% )
Fig. 3.4 Cartographie thermique pour la plaque de classe 10 et
un écoulement potentiel à 250 °C.
Le maximum par lequel passe l’écart de température peut donc être interprété comme
une estimation du taux critique : c'est à dire du taux d’injection pour lequel le décollement de
98
la couche limite thermique se produit. Les écarts de température entre le premier
thermocouple et les quatre suivants (figure 3.6) montrent que le décollement semble se
produire d’abord en aval, c'est à dire dans la zone isotherme comprise entre x1 = 19 et x1 = 38
cm. Une légère augmentation du taux d’injection (de 2,3 à 2,7 %) entraîne un décollement sur
la totalité de la surface de soufflage.
0
1
2
3
4
5
0 1 2 3 4
F (%)
∆Tsolide (K)
Fig. 3.5 Gradient vertical de température de la matrice solide en milieu de plaque.
0
10
20
30
40
50
60
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
F (%)
∆T (K)
1 / 19 cm
1 / 13cm
1 / 7 cm
1 / 3 cm
Fig. 3.6 Ecart longitudinal de température pour différentes abscisses (Te = 250 °C).
99
Influence de la température de l’écoulement potentiel
Afin de comparer les performances du procédé de protection pour des températures
d’écoulement potentiel différentes, nous avons recours à l’utilisation de l’efficacité η définie
par la relation (3.10).
η = −−
T T
T Te solide
e air injecté (3.10)
La figure 3.7 représente l’évolution de l’efficacité, en milieu de plaque, en fonction du
taux d’injection pour les différentes températures étudiées.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
F (%)
η
100°C
150°C
200°C
250°C
Fig. 3.7 Efficacité de la protection pour différentes température d’écoulement potentiel.
Les quatre courbes atteignent, pour les forts taux, le même palier d’efficacité (97 %).
Cependant, plus la température de l’écoulement potentiel est élevée, plus ce palier nécessite
un taux important pour être atteint.
Le décollement de la couche limite thermique, en milieu de plaque, se produit pour un
taux d’injection plus fort si l’écoulement potentiel est plus chaud (figure 3.8, représentant
l'écart entre le premier thermocouple et un thermocouple de la zone isotherme). Les taux
correspondant au décollement (1,8 à 2,3 %) sont inférieurs aux taux pour lesquels l’efficacité
se stabilise (3 à 5 %). Les différences observées sur la figure 3.7 ne peuvent donc seulement
s’expliquer par l’évolution du taux critique avec la température. Elles sont aussi à mettre à
l’actif du rayonnement incident sur la paroi : pour un écoulement plus chaud, le rayonnement
100
des parois chaudes est plus important ce qui nécessite un refroidissement de la plaque par
convection interne plus conséquent pour atteindre une même efficacité.
0
10
20
30
40
50
60
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
F (%)
∆T (K)1 / 19 cm
100°C
150°C
200°C
250°C
Fig. 3.8 Ecart longitudinal de température pour différentes températures
de l’écoulement potentiel.
Influence de la taille des pores
Pour une température d’écoulement potentiel de 250 °C, où les écarts de température
mesurés sont les plus significatifs, les trois classes de plaques sont étudiées. Les évolutions de
l'écart longitudinal de température entre le premier thermocouple et un thermocouple de la
zone isotherme (figure 3.9) montrent que le taux critique, en milieu de plaque, n'est pas
significativement affecté par la classe de la plaque.
Les mesures de température (figure 3.10) montrent que le refroidissement de la paroi
est d’autant meilleur que la taille des grains solides de la paroi est faible. De plus, l’écart de
température est plus important entre les classes 5 et 10 (jusqu’à 15 K) qu'entre les classes 10
et 20. Cette différence est à attribuer à l’évolution, en fonction de la classe, de la surface
d’échange interne du milieu, puisqu’une plus grande surface favorise le refroidissement par
convection interne. En première approximation, on peut supposer que la surface spécifique
interne est inversement proportionnelle au diamètre des grains solides du milieu (hypothèse
d’un milieu constitué de sphères). Dans ce cas, l’écart de surface spécifique entre les classes 5
101
et 10 est deux fois plus fort que celui entre les classes 10 et 20. Cette tendance correspond
bien aux écarts de température expérimentalement observés.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
F (%)
classe 10classe 20
classe 5
1
∆ T∆ Tmax
(1 / 19 cm)
Fig. 3.9 Ecart longitudinal adimensionnel de température pour différentes classes de paroi.
0
50
100
150
200
250
0 1 2 3 4 5 6
F (%)
Tsolide (°C)
classe 10
classe 20
classe 5
Fig 3.10 Température des plaques de classe 5, 10 et 20 en fonction du taux d’injection
(mesures en milieu de plaque).
102
Pour de plus forts taux d'injection, les températures des trois parois se rapprochent
progressivement de la température du gaz injecté sans toutefois l'atteindre. Une efficacité de
97 % (± 1 %) est alors obtenue. Un faible décalage subsiste entre les trois classes de milieu
poreux correspondant à la différence de surface d'échange interne.
Cette détermination expérimentale des températures de parois protégées par effusion
montre que, pour les différents niveaux de température et pour les différentes classe de
milieux poreux étudiées, une efficacité de refroidissement très importante (de l’ordre de 97 %)
est obtenue. Ce procédé est donc tout à fait à même d’assurer une très bonne protection.
Cependant, un taux d’injection important (d'environ 5 %) est nécessaire pour assurer un
refroidissement optimal.
De plus, l’examen des résultats expérimentaux révèle que, outre l’évolution de la
convection forcée sur la face supérieure des plaques, le rayonnement incident et la convection
interne ont un effet dans le système étudié. Il est alors important de quantifier ces différents
types d'échanges thermiques afin de pouvoir optimiser le procédé de refroidissement par
effusion. C'est pourquoi une détermination par modélisation numérique des flux de chaleur,
auxquels sont soumises les parois poreuses, a été entreprise.
3.3. Etude numérique des échanges de chaleur
Disposant d’un modèle des transferts convectifs en couches limites, il paraît, a priori,
pratique de compléter ce premier modèle en y additionnant les transferts convectifs internes à
la paroi et le rayonnement dans la veine.
Cependant deux problèmes nous ont amenés à développer un calcul des flux échangés
de façon différente. En effet, si les échanges convectifs peuvent être considérés comme
bidimensionnels, l’introduction du rayonnement provenant non seulement du plafond chaud
mais également des vitres de la veine nécessitent un calcul tridimensionnel ce qui augmente
considérablement le temps de calcul. Par ailleurs, il n'a pas été possible de coupler
correctement les différents modes de transferts thermiques (conduction dans une plaque
d’épaisseur non nulle, convection et rayonnement) avec la version utilisée du code de calcul.
103
Notre choix s’est donc porté vers le développement d'un modèle autonome pour le
calcul des flux échangés au sein de la paroi et par rayonnement entre la plaque poreuse et les
surfaces chaudes de la veine. Le couplage avec la couche limite pariétale est assuré comme
suit : pour chaque taux d'injection, le coefficient d’échange convectif calculé par le modèle de
couche limite turbulente est intégré dans le nouveau modèle, dont les résultats de température
d'air en sortie de pore sont pris en compte dans les conditions aux limites du premier modèle.
3.3.1. Méthode de calcul des échanges internes
Pour notre système, les phases solide et fluide du milieu poreux sont découplées.
Chaque phase a ses propres conditions aux limites vis à vis de l'écoulement chaud et de l'air
frais sous la plaque. Les échanges de chaleur entre les deux phases se font par convection.
La méthode nodale a été retenue pour modéliser les transferts thermiques au sein de la
paroi. Cette méthode a pour principe de diviser le système étudié en différents blocs supposés
isothermes. La masse de chaque bloc est concentrée en son centre, appelé noeud. Les flux de
chaleur entre chaque noeud sont alors calculés à l’aide de conductances thermiques. Les
conductances entre chaque noeud, Cij , sont déterminées par la combinaison (en série ou en
parallèle) de conductances élémentaires conductives, convectives, radiatives ou de transport.
Pour chaque noeud, l’équation de la chaleur, qui en régime transitoire s'écrit selon la relation
(3.11), est intégrée.
( )m cT
tC T Ti p i
ii j j i
j
∂∂
= −∑ (3.11)
L'étude est située dans la région où le gradient de température longitudinal (cf. figure
3.4) est nul au sein de la plaque, si bien que le domaine d'étude est réduit à un ensemble pore-
solide élémentaire (figure 3.11). Les expressions des conductances thermiques élémentaires
conductives, convectives et de transport sont données par les relations (3.12), (3.13) et (3.14)
où S est la surface d’échange entre deux blocs et e l’épaisseur d’un bloc.
CS
econd = λ/ 2
(3.12)
C hSconv = (3.13)
C mc Stransp p= � (3.14)
où �m est le débit massique surfacique moyen traversant un pore.
104
Fig. 3.11 Transferts thermiques au sein de la paroi poreuse.
Phase solide
Les échanges de chaleur se font par conduction au sein de la phase solide. Entre les
deux noeuds solides, est insérée une résistance de contact permettant de retrouver la
conductivité thermique équivalente du milieu poreux. La conduction des noeuds solides vers
les noeuds fluides est calculée en tenant compte du diamètre moyen des grains solides du
milieu (50, 100 ou 200 µm).
Phase fluide
Les transferts thermiques au sein de cette phase se font par conduction (dans la direction
axiale) et transport par le mouvement du fluide. Le flux conductif dans la direction axiale est calculé à
partir d'une combinaison en série des conductances conductives élémentaires. Le flux thermique de
transport est donnée par l'équation (3.15) où le gradient thermique, ∆T, aux bornes de chaque bloc est
déterminé par interpolation linéaire entre les températures des noeuds.
Φ ∆transp pmc S T= � (3.15)
Les échanges thermiques entre les phases solide et fluide se font par convection
interne. Le flux échangé est calculé par la relation (3.16) où V est le volume du milieu poreux
étudié (volume fluide et volume solide).
Φ ∆conv sfh V T= int (3.16)
convectionconductiontransport
rayonnement
pore soliderésistance de contact
écoulement chaud
caisson d'air frais
Plafond et vitres de la veine
e S
105
3.3.2 Conditions aux limites
Phase solide
Sur la surface aval de la phase, le flux thermique incident est de nature radiative et
convective. Le coefficient d'échange convectif côté chaud est déterminé par le modèle de
couche limite turbulente soumise à de l'effusion (cf. chapitre 2). Les transferts radiatifs sont
directement calculés à partir de la mesure de la température des parois chaudes (plafond et
vitres de la veine) et des facteurs de forme sous lesquels les différentes surfaces se voient.
L’expression du flux net perdu par une surface est donnée par l’équation (3.17) où les
hypothèses de rayonnement entre surfaces grises et diffusantes séparées par un milieu
transparent sont retenues. De plus, on considère que les parois en verre pyrex sont opaques
dans le domaine infrarouge.
Φ inet
i
i
ii iS
T J=−
−εε
σ1
4( ) (3.17)
Chaque radiosité Ji est donnée par : J T J Fi i i i jj
n
ij= + −=∑ε σ ε4
1
1( ) . Les émisivités des
parois rayonnantes (pyrex et aluminium) sont données par Brewster (1992). Elles sont
respectivement de 0,8 et 0,1 pour une température de surface comprise entre 300 et 500 K.
Côté amont, le solide est refroidi par convection avec l’air frais et par rayonnement,
essentiellement vers les plaques déflectrices fraîches du caisson, dont les températures ont été
déterminées expérimentalement. Le coefficient convectif est estimé à partir d'expériences sans
effusion et supposé invariant avec l’injection.
Phase fluide
La vitesse de l'air frais dans le pore est déterminée en tenant compte de son
accélération à l'entrée du milieu poreux (prise en compte la diminution de la section de
passage). Par ailleurs, la température d'air à l'entrée du pore est imposée (elle est mesurée par
un thermocouple placé à un millimètre au-dessous de la plaque et nous admettons que l'air
pénètre dans le milieu poreux à cette même température).
En sortie de pore, nous considèrons que la conduction de chaleur provenant de
l'écoulement pariétal chaud est négligeable et que, par conséquent, le flux incident est nul à
l’interface pore-couche limite. Cette hypothèse revient à imposer la totalité du flux convectif
106
incident sur la phase solide du milieu poreux (ce choix a également été fait par Kubota (1977)
et Ishii et Kubota (1984)).
Enfin, l'air effusé est considéré comme transparent et le rayonnement incident arrivant
sur un pore est absorbé par la phase solide voisine.
3.3.3. Méthode numérique
Les équations de la chaleur, pour chaque noeud, sont résolues numériquement en
régime transitoire de façon à intégrer les équations de façon explicite : les flux échangés à
l’instant t + dt sont calculés directement en fonction des températures déterminées à l’instant
t. Les conditions initiales sont une température uniforme égale à la température ambiante. A
l'instant initial, les flux incidents sont calculés, puis les équations de la chaleur sont intégrées
par la méthode d'Adams-Bashford du second ordre (TUTSIM 1992). Le calcul se poursuit
jusqu'à ce que le régime permanent soit atteint.
3.3.4. Méthodologie
Le coefficient d'échange convectif interne étant inconnu, le système d'équations n'est
pas fermé. Il est donc apparu nécessaire de caler notre modèle sur une mesure de température.
Le choix s'est porté sur la température de surface, côté chaud, de la phase solide dont on
connaît la valeur dans de nombreuses configurations (cf. paragraphe 3.2).
Les conditions aux limites étant connues, il est alors possible de déterminer le
coefficient d'échange convectif interne par comparaison entre les résultats du modèle et les
mesures de température de surface.
3.3.5. Résultats
Comme pour la phase expérimentale, l'influence de trois paramètres est étudiée. Il s'agit du
taux d'injection, de la température de l'écoulement potentiel et de la classe de la paroi poreuse. Une
fois le calage du modèle sur l’expérience effectué, sont obtenus, outre le coefficient d'échange interne,
les gradients de température dans la paroi et entre les phases du milieu poreux ainsi que les différents
flux échangés.
Dans un souci de synthèse, chaque description du comportement des parois est fournie pour
une configuration donnée, les résultats pour une autre température d’écoulement ou pour une autre
plaque étant similaires. En revanche les résultats quantitatifs (concernant coefficients
d’échange interne) sont donnés de façon exhaustive.
107
Flux échangés sur la face aval de la paroi poreuse
Le flux radiatif net reçu par la matrice poreuse est un paramètre important de notre
étude. Afin de valider sa modélisation, les températures mesurées par les thermocouples et
celles déterminées par thermographie infrarouge sont comparées. Lors d'une mesure par
thermographie infrarouge, on considère la radiosité de la plaque poreuse comme étant
uniquement l’émission propre de celle-ci. En calculant la radiosité par le modèle présenté ci-
dessus (relation 3.17), il est possible de déduire la température estimée par la thermométrie
infrarouge (équation 3.18).
J Tplaque poreuse caméra I R≡ ε σθ . .4 (3.18)
εθ est l’émissivité, dans le domaine de température étudié, de la paroi poreuse selon l’angle
sous lequel la caméra la voit. Elle a été déterminée par égalisation des mesures par la caméra
infrarouge entre une surface d’émissivité connue et un échantillon de paroi poreuse tous deux
portés à la même température. Dans notre étude, εθ vaut 0,52.
Pour un écoulement potentiel à 200 °C et pour la plaque de classe 10, sont représentées
(figure 3.12), en fonction du taux d’injection, l’évolution des températures en milieu de paroi
mesurées par thermocouples, par thermographie infrarouge et recalculées en égalant radiosité
et émission propre (relation 3.18).
0
50
100
150
200
250
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
F (%)
T (°C)
mesures thermocouples
infrarouge recalculées
mesures Caméra IR
Fig. 3.12 Evolution des températures mesurées par thermocouples, par thermographie
infrarouge et recalculées en égalant radiosité et émission propre.
108
Le décalage important entre la température réelle et la température mesurée par caméra
est correctement retrouvé par notre modélisation ce qui tend à confirmer l'importance
pressentie des réflexions multiples dans la veine d'essais. Une amélioration de notre
modélisation du rayonnement pourrait être apportée, à l'avenir, notamment en prenant en
compte l’évolution des températures des parois chaudes avec l’abscisse longitudinale x1 et en
déterminant expérimentalement les émissivités des parois chaudes.
Sur la figure 3.13, sont présentés les flux incidents calculés pour une température
d’écoulement de 250 °C et une paroi de classe 20. Le flux convectif décroît avec
l'augmentation du taux d'injection (du fait de la forte décroissance du coefficient d'échange
convectif - figure 3.14 -) et est correctement représenté par une évolution linéaire. Le calcul
du coefficient d’échange convectif fait apparaître une annulation de l’échange convectif pour
un taux d’environ 2 % ce qui correspond au décollement de la couche limite thermique
déterminé expérimentalement (environ 2,3 %).
Par ailleurs, le flux radiatif net échangé entre la plaque et les surfaces chaudes de la
veine croît au fur et à mesure que la température de la paroi poreuse diminue. Initialement, la
plaque poreuse est la surface la plus chaude de la veine, puisqu’elle est isolée thermiquement
par le caisson d’air et perd donc de la chaleur vers le plafond et les vitres. En présence
d'effusion, l'écart de température entre la paroi et les surfaces chaudes s’inverse et croît avec le
taux d'injection ; le flux radiatif incident est alors croissant jusqu’à la stabilisation de la
température de plaque.
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
F (%)
Flux (W/m²)
Convection
Rayonnement
Fig. 3.13 Flux incidents sur la paroi en fonction du taux d'injection.
109
0
5
10
15
20
25
30
0 1 2 3 4 5 6
F (%)
h (W/mK)
Fig. 3.14 Coefficient d’échange convectif en fonction du taux d'injection.
Gradients de température
Sur la figure 3.15, est présentée l’évolution du gradient de température entrée-sortie de
la phase fluide. On constate que le fluide s’échauffe peu lors de la traversée du milieu poreux
ce qui préfigure un échange convectif interne faible.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
F (%)
∆Tfluide (K)
Fig. 3.15 Gradient de température entrée-sortie du fluide (Te = 250 °C, classe 10)
en fonction du taux d'injection.
110
En ce qui concerne la phase solide, le gradient vertical de température calculé (figure
3.16) est très faible (2 à 3 K) et correspond à l’ordre de grandeur mesuré expérimentalement
(0 à 5 K).
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
F (%)
∆Tsolide (K)
Fig. 3.16 Gradient vertical de température de la phase solide (Te = 250 °C, classe 10)
en fonction du taux d'injection.
Ces premiers résultats présentés sont obtenus avec une modélisation à faible nombre
de noeuds : deux dans la phase solide et deux dans la phase fluide. De faibles gradients
verticaux justifient le peu de besoin en nombre de noeuds pour modéliser correctement les
échanges thermiques au sein de milieu. En effet, l’écart de température entre les deux phases
évolue très peu dans l’épaisseur du milieu. Pour illustrer ce propos, un exemple de calcul des
températures avec un modèle à deux, quatre et six noeuds est donné dans le tableau 3.4. Le
déséquilibre thermique entre les phases solide et fluide est déterminé en milieu de plaque pour
un écoulement potentiel à 200 °C, avec la plaque de classe 10. Le taux d’injection est choisi
de façon à avoir un fort gradient thermique dans la phase fluide (15 K environ), c’est à dire
une configuration défavorable. L’écart constaté est très modeste, de l’ordre du kelvin. Compte
tenu de l’importante incertitude sur la mesure du taux d’injection (jusqu’à 10 % pour les
faibles taux), il apparaît inutile d’augmenter le nombre de noeuds puisque les principales
sources d’incertitudes ne se situent pas à ce niveau. Ceci revient à considérer qu'un bilan
thermique global au niveau des échanges internes à la paroi est tout à fait acceptable pour
cette étude.
111
Nombre de noeuds (solides et fluides) ∆Tinterne (K)
2 54,4
4 53,3
6 54,1
Tab. 3.4 Déséquilibre thermique calculé avec un modèle à deux, quatre et six noeuds.
Le déséquilibre thermique interne solide-fluide peut être quantifié en fonction du taux
d’injection. La figure 3.17 présente un exemple de déséquilibre thermique au milieu de
l'épaisseur de la plaque. On peut observer que le déséquilibre interne est très important pour
les faibles taux d’injection. Ce déséquilibre s’atténue avec l’effusion pour tendre vers
l’égalisation des températures.
0
20
40
60
80
100
120
140
0 1 2 3 4 5 6 7
F (%)
∆Tsolide-fluide (K)
Fig. 3.17 Déséquilibre thermique fluide-solide (Te = 250 °C, classe 5)
en fonction du taux d'injection.
La présentation de cette évolution de l'écart de température fluide-solide est rarement
rencontrée dans la littérature sur les transferts de chaleur dans les milieux poreux. En effet, les
milieux étudiés sont généralement épais et le gradient thermique dans la phase solide est
important dans le sens de l'écoulement si bien que le gaz pénètre dans le milieu poreux à la
même température que celle de la face amont de la matrice solide. Dans notre cas, l'air pénètre
frais dans la plaque et, pour de faibles taux d'injection, l'écart de température à l'entrée du
milieu est important car la matrice solide est encore très chaude. Cet écart de température entre
le solide et le fluide s'atténue légèrement au fur et à mesure que l'air s'échauffe dans la plaque. Par
112
ailleurs, pour un taux d'injection nul, le gradient de température dans l'air entre l'endroit de la mesure
au thermocouple (placé un millimètre sous la plaque) et l'entrée de la paroi ne peut plus être négligé.
Ceci explique que n'apparaisse pas, sur la figure 3.17, l'équilibre thermique entre les phases solide et
fluide alors qu'il est présent dans une configuration sans écoulement secondaire.
Convection interne
Les résultats du calage du modèle permettent de corréler l’ensemble des coefficients
d’échange interne sous la forme Nu = A Rea. L’air injecté s’échauffant peu en traversant la paroi
poreuse, le nombre de Prandtl n’évolue pas suffisamment significativement au cours de cette étude
pour que son évolution puisse être prise en compte. Les propriétés thermophysiques du gaz sont
déterminés à la température moyenne de l’air dans la plaque (même choix que ceux de Kar (1980) et
Koh et al. (1973)).
Le nombre de Nusselt est calculé par la relation (3.8) où la dimension caractéristique est le
diamètre moyen d’un pore. La surface d’échange spécifique, s, est déterminée par le constructeur des
plaques. Sur la figure 3.18, est représentée l’évolution de s en fonction du diamètre des particules
solides.
s = A dsolide
-0,9
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
0 50 100 150 200 250 300 350 400
dsolide (µm)
s (m2/m3)
Fig. 3.18 Surface spécifique en fonction du diamètre des particules solides.
On trouve une évolution inversement proportionnelle à dsolide0,9 qui rappelle celle d’un
milieu constitué de sphères (sdsolide
= −6 1( )ε). En revanche, l’ordre de grandeur de la surface
113
interne de nos plaques est très inférieur à celui d’un lit de sphères. Par exemple, la plaque de
classe 10 a une surface spécifique de 1250 m2/m3 alors qu’un milieu de porosité 30 %
constitué de sphères de 100 µm de diamètre a une surface d’échange de 42000 m2/m3. La
faiblesse de la surface spécifique se traduit par des coefficients d'échange volumique interne
relativement faibles : de l'ordre de 104 W/m3K alors que, dans la littérature, des coefficients de
l'ordre de 106 sont obtenus pour des coefficients d'échanges surfaciques, h, du même ordre de
grandeur que les nôtres (cf. les résultats de Kar (1980) pour Re ≈ 1). Ceci explique, très
certainement, le faible échauffement de l’air traversant le milieu poreux et l’existence d’un
fort déséquilibre thermique interne dans la paroi.
Sur la figure 3.19, est représentée l’évolution du nombre de Nusselt en fonction du
nombre de Reynolds. Les courbes des différentes configurations étudiées se superposent
correctement.
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40
Re
Nu
200 °C, Classe 10
150 °C, Classe 10
250 °C, Classe 10
250 °C, Classe 20
250 °C, Classe 5
Fig. 3.19 Nombre de Nusselt pour les différentes configurations.
Une remarque peut être faite concernant la faible influence du coefficient d’échange
volumique interne sur la température de plaque. En effet, pour un même taux d’injection, un faible
écart de température pour deux classes différentes (cf. figure 3.10) entraîne une variation importante
du coefficient obtenu après recalage (expliquant la superposition des courbes du nombre de Nusselt
en fonction du nombre de Reynolds pour les différentes classes de matériaux). Une forte diminution
du coefficient volumique est compensé par une augmentation du gradient de température solide-fluide
et par une diminution des flux convectif et radiatif incidents. Cette diminution ce traduit alors par
une faible augmentation de
114
la température de la phase solide. Pour illustrer ce propos, la figure 3.20 montre d’une part,
l’écart de température expérimental entre la classe 10 et la classe 5 et d’autre part, l’effet
d’une diminution de 45 % du coefficient d’échange intérieur (correspondant à la différence de
surface spécifique entre les deux plaques) sur la température de la plaque de classe 5. Le
modèle adopté permet de retrouver de manière satisfaisante l’effet de la diminution de ce
coefficient.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
F (%)
∆T (K)
écart expérimental entreles classes 5 et 10 en milieu de plaque
sensibilite du modèle :
diminution de 45 % de hv
Fig. 3.20 Effet de la diminution du coefficient d’échange interne
en fonction du taux d'injection.
La corrélation des échanges internes pour les plaques étudiées est présentée sur la
figure 3.21. Elle est obtenue à partir d'une régression "en puissance" sur l'ensemble les
résultats du calage du coefficient d'échange volumique. On obtient une évolution
proportionnelle du coefficient d’échange avec le débit de fluide frais. Cette proportionnalité
est souvent rencontrée dans la littérature des milieux frittés constitués d’acier inoxydable. La
précision due à la dispersion des résultats est de 10 % sur l’exposant et de 20 % sur la
constante multiplicative. Une amélioration de la mesure de l’injection notamment pour les
faibles taux, par exemple en injectant de l’air comprimé provenant d’une bouteille stable en
pression, permettrait une meilleure détermination des échanges internes (l'augmentation du
nombre de noeuds du modèle pourrait alors être utile).
115
Nu = 0,037 Re1,0
0,0001
0,001
0,01
0,1
0,01 0,1 1
Re
Nu
Fig. 3.21 Corrélation des échanges internes
(avec intervalle d'incertitude).
Conclusion
Cette étude expérimentale et numérique a montré que le processus de protection des
parois poreuses par effusion peut atteindre une efficacité de 97 %. Cependant, les effets
combinés de la convection et du rayonnement sur la paroi nécessitent un taux d’injection
important (de l’ordre de 5 %) pour obtenir un tel niveau de protection. Le refroidissement par
convection interne a été quantifié. Il intervient de façon limitée dans notre processus du fait de
la faiblesse des surfaces spécifiques des milieux utilisés. De ce fait, le déséquilibre interne
solide-fluide est très important, notamment pour les faibles taux d’injection.
Afin d’optimiser la protection thermique par effusion, c’est à dire de diminuer la
consommation de réfrigérant pour obtenir une bonne efficacité, deux actions sont
envisageables. La première consiste à améliorer sensiblement le refroidissement par
convection interne en adoptant un matériau poreux dont la surface spécifique est plus
importante. La seconde consiste en l’utilisation d’un fluide réfrigérant plus performant :
emploi d’un gaz (tel que le dioxyde de carbone) absorbant une partie du rayonnement incident
ou bien l'emploi d’un liquide se vaporisant au contact de la plaque.
116
Notre choix s’est porté vers cette dernière possibilité. En effet, l’ordre de grandeur du
flux thermique absorbé par changement de phase est généralement très important et la
compression d’un liquide est, a priori, bien moins coûteuse que celle d’un gaz. De plus, ce
type de protection a été extrêmement peu étudié dans le cas du refroidissement de matériaux
poreux soumis à un écoulement chaud.
Chapitre 4
PROTECTION THERMIQUE DESPAROIS POREUSES PAR
TRANSPIRATION D'UN LIQUIDE
118
Le refroidissement des parois poreuses par effusion de gaz frais peut être optimisé par
utilisation de la chaleur latente de changement d'état du fluide réfrigérant. Un liquide est
injecté à travers un matériau poreux, lui-même en contact avec un écoulement pariétal d'air
chaud. Au sein du matériau poreux, se produit le changement de phase liquide-vapeur du
réfrigérant. Ce procédé de protection thermique est appelé transpiration.
Les problèmes de stabilité de l’interface liquide-vapeur sont relativement délicats. Ils
font l’objet de notre premier paragraphe par l'intermédiaire d'une étude bibliographique. Par la
suite, une étude expérimentale du procédé de transpiration est menée. Il s'agit en particulier
d'en étudier la stabilité et de comparer l'efficacité de la transpiration avec celle de l'effusion
d'air frais. Enfin, les bilans de masse et d'énergie concernant les parois poreuses refroidies par
transpiration sont présentés ainsi que les résultats de simulations des transferts de masse dans
la couche limite pariétale.
4.1. Etude bibliographique
Les travaux sur la transpiration d’un fluide à travers un matériau poreux ont
particulièrement portés sur la stabilité de l'interface liquide-vapeur. En effet, toute
perturbation de pression, de température ou de débit de réfrigérant entraîne un déplacement de
l'interface jusqu'à l'extérieur du matériau poreux. Koh et al. (1970) ont qualitativement mis en
évidence la raison des instabilités rencontrées. Considérons le système décrit sur la figure 4.1.
Fig. 4.1 : Système considéré.
∆P
L -
S -
vapeur, (ρv)v
liquide, (ρv)l
Tw, Pe
interface liquide-vapeur, Psat, Tsat
Tr , Pr
x2
réserve de liquide
plaque poreuse
0 -
Flux thermique incident, q
119
Un écart de pression est imposé entre les deux côtés d'une paroi poreuse et un débit de
fluide la traverse. La face aval de la plaque poreuse est à une température Tw, supérieure à la
température de saturation (à la pression Pe) du fluide injecté. Le fluide entre sous forme
liquide par la face amont, change d'état à l'intérieur de la plaque poreuse et sort sous forme de
vapeur.
Selon la loi de Darcy, le gradient de pression est proportionnel à la vitesse et à la
viscosité dynamique du fluide traversant le milieu poreux. Or la vitesse est beaucoup plus
élevée en phase vapeur qu'en phase liquide. Puisque la viscosité dynamique varie dans des
proportions moindres que la vitesse, la perte de charge correspondant à un débit massique
donné est plus faible en phase liquide qu'en phase vapeur. Cette constatation qualitative
permet à Koh et al. (1970) d'expliquer les mécanismes qui engendrent le déplacement
irrémédiable de l'interface hors du milieu poreux. A titre d’exemple, regardons l’effet d’une
perturbation de pression, puis de flux thermique incident, sur la position de l’interface liquide-
vapeur.
Effets d’une perturbation de la pression amont
Si l'on impose à la pression amont une augmentation finie (de type échelon), le débit
massique de réfrigérant augmente et la température de la paroi diminue. L’interface liquide-
vapeur se déplace donc vers l’aval et, à l’intérieur du matériau poreux, une partie de la vapeur
est remplacée par du liquide. Ceci entraîne une augmentation du débit massique afin de
maintenir les pertes de charges constantes (l'écart de pression amont-aval étant imposé). Cette
augmentation de débit provoque une amélioration de la protection thermique de la paroi et
donc, à nouveau, le déplacement du front d’évaporation vers l’aval. Le processus se répète
jusqu’à ce qu’il n’y ait plus que du liquide dans le matériau poreux.
Effets d’une perturbation du flux thermique incident
Suite à une augmentation du flux thermique incident, l’interface liquide-vapeur se
déplace vers l'amont. Ce déplacement entraîne une augmentation des pertes de charges par
unité de masse et donc une diminution du débit massique de fluide. Cette diminution de débit
provoque à nouveau le déplacement de l’interface qui se répète jusqu'à ce que le front
d'ébullition atteigne le réservoir de liquide.
120
A noter que les différences de pertes de charge entre les phases liquide et vapeur ont
moins d'influence aux hautes températures (lorsque l'on se rapproche du point critique). En
effet, la différence entre les caractéristiques de phases vapeur et liquide diminue (notamment
le rapport ρl/ρv).
4.1.1. Etude analytique de la transpiration
Luikov et al. (1975a et 1975b), Rubin et Schweitzer (1972) et El Masri (1983) ont
résolu analytiquement les équations régissant l'écoulement du réfrigérant en vue d'étudier
principalement la stabilité du système de transpiration. Le système (figure 4.1) est considéré
monodimensionnel et l'interface liquide-vapeur plane. De plus, il y a équilibre thermique entre
le fluide et la matrice solide (le système milieu poreux + fluide est alors traité comme un
continuum, caractérisé par une conductivité thermique équivalente λeq). Enfin, les propriétés
du fluide sont considérées constantes dans chaque phase. Les équations (4.1) à (4.3) régissent
les transferts de masse, de quantité de mouvement et de chaleur dans les phases liquide et
vapeur :
∂ρ∂
v
x20= (4.1)
ρ ∂∂
µ ∂∂
v
t Kv
P
x+ = −
2 (4.2)
( ) ( )ρ ∂∂
ρ ∂∂
∂∂
λ ∂∂
cT
tc v
T
x x
T
xp eq f p f eq+ =2 2 2
(4.3)
avec (ρ cp)eff = (1- ϕ) ρs cps + ϕ ρf cpf
où ϕ est la porosité ; l'indice eq correspond au milieu unique équivalent phase solide +
phase fluide et les indices s et f aux phases solide et fluide (liquide ou vapeur). v est la vitesse
de filtration du fluide.
Les conditions aux limites à l'interface liquide-vapeur sont données par la conservation
de masse et d'énergie et l'équilibre thermodynamique liquide-vapeur :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )ρ ρ ϕ ρ ρv t v tdS
dtv l l v= − − (4.4)
dT1&Cl--
h dS
&2=q
aTv =
&2Pl CCP --v1)~v
dt(4-V
T1 = TV = f (P,,s (4.6)
S est la position de l’interface, Ah, l’enthalpie de changement de phase liquide-vapeur ;
les indices 1 et v correspondent aux phases liquide et vapeur.
Conditions aux limites sur la surface supérieure du milieu poreux
Sur la face supérieure de la plaque, sont envisagés les cas de température de paroi
imposée (Rubin et Schweitzer 1972), flux imposé (Rubin et Schweitzer 1972 et Luikov et al.
1975a et 1975b) et de température à l’infini imposée (El Masri 1983).
Le système étudié par El Masri (1983) est représenté sur la figure 4.2. Le flux de
chaleur reçu par la plaque est de nature convective. Sur la face aval de la plaque poreuse
existe un écoulement pariétal d’air à température T,, supérieure à la température de saturation
du réfrigérant à la pression P,. Cette configuration permet de coupler les phénomènes
thermiques et hydrodynamiques dans la plaque et dans la couche limite pariétale.T
Limite d’ébullition -/
nt de gaz chaud
Fig. 4.2 Profil de température dans une section de la plaque poreuse (El Masri 1983).
L’auteur fait l’hypothèse d’une relation linéaire entre le flux de chaleur auquel est
soumise la paroi (quantifié par le nombre de Stanton) et le taux d’injection. Pour cela, il prend
121
122
en compte le taux d'injection critique Fcrit, au de là duquel se produit le décollement de la
couche limite thermique :
St
St
F
Fcrit01= − (4.7)
Méthode de détermination de la stabilité
Les critères de stabilité d’un système de transpiration diffèrent d’un auteur à l’autre
sans qu’il soit possible d’en privilégier un a priori.
Luikov et al. (1975a et 1975b) s’intéressent à l’écoulement en régime permanent du
fluide réfrigérant. Le débit massique, la chute de pression aux bornes de la plaque et les
températures sont calculés en fonction de l'abscisse relative de l'interface l = S/L qui devient
alors le paramètre de l'étude. La condition de stabilité du système est dq
dl< 0 c'est à dire
qu'une augmentation du flux incident doit provoquer un recul l’interface liquide-vapeur. La
limite de stabilité est donc obtenue pour dq
dl= 0.
Dans l’étude de Rubin et Schweitzer (1972), la solution du système d'équations est tout
d'abord déterminée pour le régime permanent avec une condition de température imposée sur
la surface supérieure de la paroi poreuse. Les températures des phases liquide et vapeur sont
des fonctions explicites de l'abscisse, du débit massique et des propriétés du fluide. La
position S de l'interface est déterminée par une équation implicite qui, dans ce cas, n'a qu'une
solution pour 0 < S < L. Dans le cas du régime permanent avec condition de flux imposé, les
solutions pour la température sont obtenues analytiquement et la position S de l'interface est
également solution d'une équation implicite. Mais, dans ce cas, plusieurs solutions peuvent
être trouvées pour 0 < S < L. Afin d'analyser la stabilité du système, les auteurs reviennent à
une formulation en régime transitoire du problème (avec condition de flux imposé) et
introduisent de petites variations de température, débit ou position de l'interface, autour de
solutions établies pour le régime permanent. La réponse du système est alors calculée afin de
déterminer si celui-ci revient à une position d'équilibre ou non.
Pour El Masri (1983), la relation (4.7) permet d’éliminer le flux convectif incident sur
le milieu poreux dans l’équation de bilan d'énergie. La résolution analytique des équations
permet de déterminer, en régime permanent, une position de l’interface, une température de
paroi, côté chaud, et un débit de fluide dans la plaque. La stabilité des positions d’interface
calculées analytiquement est alors analysée. Le critère de stabilité est WV) > 0
d(&-,) l
Résultats
L’application des critères de stabilité aux solutions du système d’équations (4.1) à
(4.3) permet des discriminer les positions stables du système de transpiration des positions
instables. Des abaques donnant les régions de stabilité sont alors obtenus.
Luikov et al. (1975b) montrent qu’une solution du système d’équations correspond à
un état stable si deux conditions sont respectées : le flux imposé doit être supérieur à une
valeur limite et la conductivité thermique équivalente de l’ensemble milieu poreux-vapeur
limite doit être inférieure à une valeur maximale. Les deux valeurs limites sont exprimées en
fonction d’autres paramètres tels le débit de réfrigérant, la température du liquide dans le
réservoir, l’épaisseur et la perméabilité du milieu poreux... De la même façon, il est également
possible de déterminer un domaine de “fonctionnement sûr” c’est à dire un fonctionnement
pour lequel la température maximale du milieu (en x2 = L) est inférieure à un niveau T, max
admissible par le matériau. Le domaine hachuré sur la figure 4.3 représente la superposition
des deux conditions de stabilité et de sûreté pour T, max = 1000
écoulement d’eau à travers un milieu poreux en acier.
OC et dans le cas d’un
q (W/m2K) ”
Fig. 4.3 Région de stabilité et de sûreté (Luikov et al. 1975b).
123
124
Luikov et al. (1975b) concluent leur étude en estimant que de nombreuses
expérimentations sur le refroidissement par transpiration avec changement de phase liquide -
vapeur se sont révélées instables du fait de l'extrême minceur de la région de stabilité et de
sûreté de tels systèmes.
Rubin et Schweitzer (1972), quant à eux, montrent que si trois positions de l'interface
liquide-vapeur sont possibles en régime permanent, l'une d'entre elles représente un état
instable et les deux autres un état stable. Les situations stables correspondent à une position de
l’interface liquide-vapeur proche de la face aval ou de la face amont du milieu poreux. La
situation correspondant à une interface située au milieu de la plaque est instable. Ce sont les
conditions initiales qui déterminent la position qui sera atteinte par l'interface.
El Masri (1983) étudie la stabilité en fonction d’un « nombre de Péclet modifié », Pe’,
correspondant au produit du nombre de Péclet (Pevc Lpv
eqv=
ρλ
) par le rapport des viscosités
cinématiques de phases liquide et vapeur. Selon la valeur de Pe’, existent une deux ou trois
solutions du système d’équations. S'il n’existe qu’une solution, elle correspond à une position
instable ; s'il en existe plusieurs, une seule correspond à une situation d'équilibre stable.
L'auteur conclut son étude en estimant possible l'obtention d'un système de transpiration
stable.
4.1.2. Aspects expérimentaux
Koh et Del Casal (1967) et Koh et al. (1970) ont étudié expérimentalement le
phénomène de transpiration. Ils proposent une solution "multicouches" pour que le système de
refroidissement soit stable. Une combinaison optimale de couches de matériaux poreux
(nature, épaisseur, nombre...) est déterminée par des considérations qualitatives sur les
équations de transferts masse et de chaleur dans les milieux poreux. Le dispositif expérimental
est représenté sur la figure 4.4. Trois couches sont nécessaires. Le milieu poreux de la partie
centrale doit avoir une forte perméabilité et les plaques externes une faible. Si le front
d'évaporation se situe dans la couche centrale, une petite variation de sa position (due à une
variation de la pression ou du flux thermique incident) a peu d'effet sur les pertes de charges
totales du système car celles-ci se produisent essentiellement au niveau des deux couches à
faible perméabilité. Le débit massique de réfrigérant est donc constant et le système stable.
T,, pet
vapeur
11 faible perméabilité1
interface liquide-vapeur, P,,, T,,II-forte perméabilité
I
i 1 faible perméabilité 1
L Pr+
+*liquide
Fig. 4.4: Systèmepréconisépar Koh et al. (1970).
L’étude expérimentale du refroidissement par transpiration d’eau d’un système chauffé
par rayonnement est menée dans le cas de deux géométries différentes ; à savoir un disque
plan et un tube. Le modèle du disque plan est décrit sur la figure 4.5. Les observations
stable si le frontexpérimentales confirment les prévisions des auteurs : le système est
d’ébullition est préalablement dans le milieu à forte perméabilité, instab
deux autres milieux.
Ile s’il est dans les
probl
Lampes
1 9plaques poreuses
:n acier inoxydable
Injection de réfrigérant -7HERMOCoUPLES
Fig. 4.5 Cellule porte-échantillon pour un système multicouches Koh et al. (1970).
Comme nous venons de le voir par l’intermédiaire de cette étude bibliographique, les
èmes de stabilité de l’interface liquide-vapeur ont fait l’objet d’une attention particulière
125
126
dans les travaux portant sur le procédé de transpiration. La raison essentielle des instabilités
est la différence de pertes de charges entre le passage d'un débit donné en phase vapeur et
liquide. Dans la présente étude, les conditions expérimentales ne permettront certainement pas
d'atteindre l'ébullition du fluide réfrigérant et les instabilités ne seront alors probablement pas
observables. Cependant, il semblait nécessaire de ne pas omettre ces importants phénomènes
pouvant intervenir lors de la mise en oeuvre d'un procédé de transpiration.
4.2. Refroidissement par transpiration d'eau
Le refroidissement des milieux poreux par transpiration est tout d'abord étudié avec
l'eau comme fluide réfrigérant. Le faible coût, la grande disponibilité ainsi que l'importante
enthalpie de changement de phase liquide-vapeur de ce fluide en font un réfrigérant, a priori,
optimal. Dans un premier temps, une étude numérique préliminaire (Bellettre et al. 1997c et
1998b) est menée de façon à prédire les échanges de quantité de mouvement et de chaleur sur
la face supérieure des parois poreuses lorsque de la vapeur d'eau est injectée dans la couche
limite pariétale. L'étude expérimentale du système de refroidissement par injection de liquide
est ensuite menée. Le dispositif expérimental d’injection est donc préalablement modifié pour
pouvoir assurer l’injection de liquide à travers les milieux poreux.
4.2.1. Prédiction de la protection thermique des milieux poreux par effusion de
vapeur d'eau
Le refroidissement des parois poreuses par transpiration d'un liquide combine
l'absorption par chaleur latente et la protection vis à vis de l'écoulement pariétal chaud par
soufflage de vapeur. Aussi, l'étude numérique, présentée au chapitre 2, est étendue au cas du
soufflage de vapeur d'eau dans une couche limite turbulente d'air. L'objectif est de prédire
l'évolution des coefficients de frottement et nombre de Stanton avec le taux d'injection. Sur la
figure 4.6, est rappelée la configuration de l'étude numérique. La paroi poreuse est à nouveau
modélisée de façon discrète (cf. chapitre 2).
La température de l'écoulement principal est de 200 °C et l'écoulement secondaire est à
100 °C. Cette seconde condition aux limites correspond à une interface liquide-vapeur pour
l'eau sous une pression de une atmosphère.
127
Fig. 4.6 Configuration de l'étude numérique.
Les équations régissant les écoulements principal et secondaire sont présentées ci-
dessous. Par rapport à celles présentées au chapitre 1, une équation de bilan (4.8) portant sur
la conservation de la masse de vapeur d'eau est ajoutée et une contribution de la diffusion de
vapeur est intégrée dans le bilan d’énergie (relation (1.9 ter)). Le système d'équations est donc
le suivant :
∂
∂
ρUjxj
=0 (1.7)
( )∂∂
ρ∂∂
∂∂
µ µ∂∂
∂
∂µ µ
∂∂
ρ δ
x jUiU j
P
xi
x jt
Uix j
U jxi
tUlxl
k ij
= − +
+ +
− + −
( ) ( )
2
3
2
3
(1.8 bis)
( )( )
∂∂
ρ ∂∂
λ µσ
∂∂
∂∂
∂∂
x jU j H
x j cp
t
h
H
x jU j
P
x j
x jHv Ha J
= +
+
− −
( )
( ) (1.9 ter)
avec H = C Hv + (1 - C) Ha
Ecoulement d'airU1 = 10 m/s
Ix1 = 1 %Te = 200 °C
Plaque poreuseTw = 100 °C
Injection de vapeur d'eauT = 100 °C
0.2 m
(0,0)
1,27 m
0,3 mx1
x2
128
et ( )∂∂
ρ ∂∂xj
UjC xjJ= − ( ) (4.8)
avec J DC
xjc uj= − +ρ ∂
∂ρ ' '
U, H et P sont les valeurs moyennes de la vitesse, de l'enthalpie et de la pression. C est
la valeur moyenne de la fraction massique de vapeur et J est le flux de diffusion de la vapeur
dans l'air. Dans ces équations les propriétés thermophysiques, ρ, µ, cp et λ, sont celles du
mélange air-vapeur d'eau. Elles dépendent de la température et de la concentration en vapeur.
D est le coefficient de diffusion de la vapeur dans l'air et dépend de la température. Hv et Ha
sont respectivement les enthalpies de l'air et de la vapeur : H c dTvoua p voua
T
= ∫0
.
La corrélation double fluctuation de concentration-fluctuation de vitesse est reliée au
gradient de concentration moyen par l'intermédiaire d'un "nombre de Schmidt turbulent", σm :
c u jt
m
C
x j' ' = − ν
σ∂∂
(4.9)
avec σm = 1.
La viscosité turbulente est calculée par le modèle RNG k-ε (relation 1.31) après
résolution des équations de transport pour k et ε (équation (1.28) et (1.29)). Le maillage utilisé
ainsi que les conditions aux limites sur la plaque poreuse sont inchangés par rapport à ceux
décrits au chapitre 2.
Les profils de température, obtenus par la présente étude numérique, sont comparés
pour un même taux d’injection dans le cas d’effusion d’air et de vapeur d’eau (figure 4.7). On
constate une déviation plus importante du profil de température dans le cas d’effusion de
vapeur d’eau.
Par conséquent, il est intéressant de calculer et de comparer les nombres de Stanton
pour l'injection d'air ou de vapeur d'eau. La corrélation intégrale (2.10) est utilisée. Rappelons
qu’elle permet de calculer le nombre de Stanton après intégration des profils numériques de
vitesse et température. Les résultats sont comparés à ceux issus de la bibliographie sur les
couches limites turbulentes avec effusion. Les seuls résultats de la littérature sur l'effusion de
129
vapeur d'eau sont les résultats numériques de Landis et Mills (1972). Ils ont étudié l'effusion
de dix espèces chimiques différentes. Ces résultats numériques ont été validés par
comparaison avec des données expérimentales dans le cas d'effusion d'air, d'hélium et de R12.
350
370
390
410
430
450
470
490
0 10 20 30 40 50 60
X2 (mm)
T (K)
vapeur d'eau
air
Fig. 4.7 Profils de température avec effusion d’air ou de vapeur d’eau
(x1 = 1,55 m, F = 0,5 %).
Sur la figure 4.8, les nombres de Stanton, obtenus dans le cas d'injection de vapeur et
dans le cas d'effusion d'air, sont présentés pour différents taux d'injection.
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
F / St0
St / St0
Landis et Mills (effusion de vapeur)Landis et Mills (effusion d’air)Présente étude (effusion de vapeur)Présente étude (effusion d’air)
Fig. 4.8 Nombres de Stanton avec effusion d’air ou de vapeur d’eau (x1 =1.55 m).
130
On peut remarquer que le nombre de Stanton avec effusion de vapeur est inférieur à
celui obtenu dans le cas d'injection d'air, particulièrement quand le taux d'injection augmente.
Par ailleurs, on observe que les résultats de cette étude sont proches des résultats de Landis et
Mills (1972) notamment pour des taux d’injection élevés. Les écarts constatés peuvent
s'expliquer par le fait qu'entre 100 °C et 200 °C, la conductivité thermique deux espèces
étudiées sont proches mais non identiques (de 0,025 à 0,032 pour la vapeur d’eau contre 0,033
à 0,038 pour l’air) alors que la corrélation de Whitten et al. (1970) a été établie pour de l’air
sans tenir compte de l’évolution des propriétés thermophysiques.
L’étude de l’évolution du frottement fluide-solide est menée de façon similaire. La
corrélation intégrale (2.9) est utilisée pour calculer les coefficients de frottement. Un écart
important (Bellettre et al. 1997c et 1998b) est trouvé entre les résultats de la présente étude et
ceux de Landis et Mills (1972). Cet écart peut être attribué à la différence des viscosités
dynamiques entre l'air et la vapeur d'eau (environ deux fois plus faible que celle de l'air à
100 °C) qui n'est pas prise en compte dans la corrélation. Ceci entraîne une surestimation des
coefficients de frottement obtenus avec effusion de vapeur. L'utilisation de la corrélation de
Simpson et al. (1969) dans le cas d'injection de vapeur d'eau n'est donc pas licite.
Pour résoudre ce problème, les coefficients de frottement sont déterminés par
l'intermédiaire de la vitesse de frottement ( U C kpτ µ= 1 4 1 2/ / ), qui est calculée sur chaque
élément solide de la paroi poreuse. Les résultats sont portés sur la figure 4.9 et montrent que
nos calculs prennent correctement en compte la décroissance du frottement plus importante
dans le cas d'injection de vapeur que dans le cas d'effusion d'air.
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
2F / Cf0
Cf / Cf0
Landis et Mills (effusion d’air)Landis et Mills (effusion de vapeur)
Présente étude (effusion d’air)Présente étude (effusion de vapeur)
Fig. 4.9 Coefficients de frottement, x1 = 1,55 m (utilisation des vitesses de frottement Uτ ).
131
Cette première étude a donc permis de mettre en oeuvre une méthode pour le calcul
des échanges convectifs et des contraintes de frottement sur la surface aval des milieux poreux
refroidis par transpiration d'eau. Il convient maintenant de quantifier l'augmentation de
l'efficacité du système du fait l’absorption d’énergie par changement de phase liquide-vapeur.
Dans un premier temps, la détermination de l’efficacité est menée expérimentalement puisque
le code utilisé (FLUENT, 1995) ne permet pas la simulation du changement de phase liquide-
vapeur en présence de gaz incondensables.
4.2.2. Etude expérimentale de la transpiration d'eau
L'installation expérimentale, décrite au chapitre 1, est adaptée à l'étude de l'injection de
liquide au travers de parois poreuses. Un nouveau caisson d'injection est notamment conçu.
Installation hydraulique
Les taux d'injection nécessaires pour protéger les parois poreuses par transpiration
d'eau sont, a priori, plus faibles que ceux requis pour l'effusion d'air (El Masri 1983). Du fait
de la faiblesse des débits de réfrigérant, le choix s'est porté sur l'utilisation de la gravité
comme force motrice du liquide. Une réserve d'eau est placée à 3 mètres au-dessus de la
veine. Ceci implique une installation hydraulique de grande taille, schématisée sur la figure
4.10.
L’eau est acheminée par deux flexibles, de diamètres 9/11 et 25/32 mm. Par le plus
petit, sont acheminés de faibles débits pendant les expériences. Le second permet d'alimenter
rapidement le caisson (phase de remplissage) et de purger l’ensemble de l’installation.
Réglage et mesure du débit de liquide
Le débit d'eau est mesuré à l’aide d’un rotamètre (ROSEMOUNT R-2-15-C). Une
courbe d’étalonnage a été préalablement obtenue dans une gamme de 0 à 14 l/h. Le réglage du
débit est effectué par l’intermédiaire d’une vanne pointeau. Elle permet un réglage fin ainsi
qu’une grande stabilité de ce débit. Cette partie de l’installation hydraulique est isolée du reste
de l’installation par une vanne quart de tour.
Caisson d'injection
Une vue en coupe du caisson est présentée sur la figure 4.11. Il est construit en
duralumin et s'insère dans le plancher de la veine d’essais de la soufflerie. Afin de diminuer le
132
poids du caisson, sa hauteur est minimisée. D'une hauteur de 80 mm, il pèse environ 12 kg
quand il est rempli d'eau. Les plaques poreuses sont fixées sur un plancher intermédiaire pour
rendre possible le "montage multicouches" proposé par Koh et al. (1970). Les milieux poreux
utilisés sont identiques à ceux décrits dans le chapitre 3 (mêmes caractéristiques et mêmes
dimensions 200 x 500 x 3 mm) afin de pouvoir comparer directement l'efficacité de la
transpiration d'eau avec celle de l'effusion d'air.
Fig. 4.10 Installation hydraulique.
Le caisson est muni de deux arrivées d'eau. La plus importante (purge) est munie d'une
vanne quart de tour. Une plaque déflectrice est placée au-dessus de l'autre entrée de manière à
homogénéiser la distribution d'eau dans le caisson. Afin de visualiser l'intérieur du caisson,
deux hublots en verre (PYREX 6 mm) sont placés sur les parois latérales. L'étanchéité du
Cuve
Caisson d'injection
Vanne de purge
Egoût
Ecoulement d'air chaud
Veine d'essais dela soufflerie
Rotamètre
VanneVanne quart
de tour
eaupermutée
3 m
≈
133
système est réalisée à l'aide de joints en silicone. Le silicone a été choisi pour sa résistance aux
hautes températures (jusqu'à 250 °C).
Fig. 4.11 Schéma du caisson d'injection.
Instrumentation
Les mesures de températures sont effectuées à l'aide de thermocouples (type K,
diamètre 0,1 mm) soudés sur chaque face des parois poreuses (dans le cas d'un montage
multicouches, les deux plaques comportent des thermocouples au-dessus et au-dessous de
chacune d'elles). Le positionnement optimal des thermocouples sera obtenu après les premiers
essais. Dans le caisson, 1 mm en dessous de la plaque poreuse, une mesure de la température
du liquide est effectuée (thermocouple gainé de type K, diamètre 2 mm).
Une prise de pression dans le caisson est située sur une paroi latérale sans hublot. La
vitesse et la température de l’écoulement principal sont mesurées respectivement par un tube
de Pitot et par un thermocouple.
Expérimentation
Des expérimentations ont été effectuées avec un montage de une ou deux plaques
poreuses et diverses combinaisons, entre les trois différentes classes de matériaux poreux, ont
été testées. Cependant, les résultats expérimentaux se sont révélés inexploitables car il n'a pas
été possible d'obtenir une transpiration uniforme de l'eau. Dans toutes les configurations
testées, l'eau traverse les parois en plusieurs endroits spécifiques alors que les autres régions
de la plaque restent sèches, même pour un fort débit d'injection (figure 4.12). L'efficacité et la
stabilité du système n'ont donc pas pu être étudiées.
veine d'essais
parois poreuses
thermocouple
x2
x1
plaque déflectrice
arrivée de liquide(faibles débits)
purge
plancherintermédiaire
prise depression
zone mouilléew
Fig 4.12 Vue de dessus de lu paroi poreuse mouillée de façon héterogene.
Le problème d’hétérogénéité résulte d’une absence d’étalement de la phase liquide sur
knsemble de la plaque poreuse. C’est un problème de mouillabilité, et plus généralement un
lroblème de surface. Il convient donc de s’y intéresser plus particulièrement.
4.2.3. ~~uillubilité
Différents liquides s’étalent plus ou moins bien sur une surface plane donnée. Ils
“mouillent“ plus ou moins cette surface. L’angle de contact, 8, caractérise le mouillage d’un
liquide sur une paroi (figure 4.13). Il est considéré qu’il y a un bon mouillage lorsque l’angle
de contact est aigu. Si 8 = 0, le liquide mouille parfaitement le solide et une goutte de liquide
s’étale suivant un film fin sur la surface.
1 ,mq............................. * ........ * , . ......... ..s......~.~ ..og............................................: : : : : : : :J : i~~~~:~~::.:,:~.:.:.~ ......................._.f ...... ,_ ..................................
....................................,.., . 5, ...._,A** .&.&_. : .....:.#+y .. <+y
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I e>90° 8 < 9o"
Fig. 4.13 Angle de contact et mouillage (Le Neindre 1993)
La tension superficielle du liquide, 0, est une caractéristique prépondérante dans
l’étude des phénomènes de surface. Elle est définie comme la force de traction, existant à la
surface d’un liquide et qui s’oppose à la dilatation de celle-ci.
Zisman (1963) introduit la notion de tension superficielle critique oc pour prédire le
,mouillage des surfaces par les liquides. Tout liquide dont la tension superficielle est inférieure0
134
135
à la tension superficielle critique d'une surface mouille celle-ci. Un liquide dont la tension
superficielle est plus basse que celle de l'eau pourra donc mouiller l'acier inoxydable.
Cependant, l’étanchéité du caisson d'injection est réalisée à l'aide de divers joints en silicone.
Or les vapeurs de silicones (polysiloxanes) s'adsorbent très facilement sur les surfaces et sont
très difficiles à désorber. A ce phénomène s'ajoute celui d'une volatilité importante, qui
entraîne une migration aisée et rapide du silicone vers une surface. Au mouillage de l'eau sur
l'acier inoxydable se substitue alors le problème du mouillage de l'eau sur le silicone. Les
angles de mouillage donnés dans la littérature varient de 101 à 104°, c'est à dire que l'eau ne
mouille pas le silicone. Un traitement de surface pour améliorer la mouillabilité de l'eau sur
l'acier inoxydable perdra toute efficacité très rapidement en présence de silicone.
Du fait du non-mouillage de la plaque poreuse par l'eau dû, au moins en partie, à une
"pollution du silicone", et à cause de l'impossibilité de l'élimination du silicone du montage
expérimental, il est apparu nécessaire de remplacer l'eau par un autre liquide. Le choix s'est
porté sur l'éthanol dont la tension superficielle est sensiblement plus faible que celle de l'eau
(23 10-3 N/m contre 73 10-3 N/m à la température ambiante). Ce liquide est retenu pour
l'ensemble de la poursuite de l'étude de la transpiration.
4.3. Refroidissement par transpiration d'éthanol
Dans un premier temps, une étude expérimentale du refroidissement par transpiration
permet de caractériser le système de refroidissement et d'en mesurer l'efficacité. Par la suite,
les calculs de transferts de masse et de chaleur entre le milieu poreux et son environnement
font l'objet d'une étude théorique et numérique.
4.3.1 Etude expérimentale
Le réfrigérant utilisé est un mélange azéotropique d'eau et d'éthanol d'une
concentration volumique en alcool de 95 %. Les limites d'autoinflamation (490 °C sous une
atmosphère) et d'inflammabilité (3,3 % en volume à 20 °C, De Soete 1976) de l'éthanol sont
suffisamment élevées pour ne pas être atteinte lors de l’étude expérimentale du
refroidissement par transpiration. Les caractéristiques thermophysiques de l'éthanol peuvent
être trouvées dans les références suivantes : Dunn et Reay (1978), Eckert et Drake (1972) et
Liley (1985).
136
Efficacité du procédé de refroidissement par transpiration
L'étude expérimentale est menée sur le banc d'essais initialement prévu pour la
transpiration d'eau. Expérimentalement, on observe que le réfrigérant mouille uniformément
les parois. Les températures de la plaque sont alors mesurées pour différents taux d'injection et
différentes températures d'écoulement pariétal. Dans toutes les configurations étudiées,
l’éthanol n'est pas porté à sa température d'ébullition (78 °C sous une atmosphère). Le présent
système de transpiration s'est révélé stable contrairement aux cas, décrits dans la littérature, où
le réfrigérant est porté à ébullition (paragraphe 4.1). La mise en place d'un "système
multicouches" n'a donc pas été nécessaire. Les premières mesures de température de paroi
mettent en évidence d'une part, une uniformité de la température dans la direction
longitudinale et, d'autre part, un gradient vertical de température inférieur à 1 K. Les parois
poreuses ont donc été instrumentées uniquement sur leurs faces inférieures puisque la
précision des mesures par thermocouples est également de 1 K. Par ailleurs, la différence de
température entre l'éthanol injecté (sous la paroi) et la température de paroi est très faible (2 à
3 K). L'hypothèse d'équilibre thermique entre les phases solide et fluide est donc admise et
l'influence de la surface d'échange interne aux parois poreuses est négligée. Les mesures sont
réalisées pour une seule classe de matériaux poreux (la classe 5).
Sur les figures 4.14 à 4.16 sont portées les températures de paroi mesurées pour des
écoulements potentiels à 10 m/s et de températures comprises entre 100 et 200 °C. Le
comportement du système de refroidissement par transpiration est très différent de celui du
système de protection par effusion d'air. On observe deux régions distinctes (numérotées I et
II) . Pour les très faibles taux d'injection (inférieurs à 0,05 %), la paroi est sèche et chaude,
l'évaporation du réfrigérant se produit dans le caisson d'injection sous la plaque poreuse. Pour
des taux d'injection un peu plus élevés, la paroi est humide et refroidie par le réfrigérant.
L'évaporation se produit alors sur la face supérieure de la paroi. Entre ces deux régions, se
produit une forte chute de la température avec le taux d'injection. L'existence d'une zone de
transition entre les deux régions est due à l'imparfaite horizontalité du plancher de la veine
d'essais. Le réfrigérant pénètre dans le milieu poreux par le "point bas" et une augmentation
du taux d'injection est nécessaire pour que toute la surface de la paroi soit protégée. Une fois
la paroi uniformément protégée, une augmentation du débit de réfrigérant n'apporte aucune
amélioration de la protection de la paroi. Expérimentalement, on observe que la quantité
supplémentaire injectée ne s'évapore pas et s'écoule "en film" sur la paroi. L'épaisseur du film
137
d'éthanol, mesurée à l'aide d'un système de déplacement micrométrique, n'excède pas 0,4 mm
pour les plus forts taux d'injection présentés sur les figures 4.14 à 4.16.
0
20
40
60
80
100
0 0,03 0,06 0,09 0,12 0,15 0,18 0,21
F (%)
Tw (°C)
I
II
Fig. 4.14 Température de paroi refroidie par transpiration d'éthanol (Te = 100 °C).
0
20
40
60
80
100
120
140
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3
F (%)
Tw (°C)
I
II
Fig. 4.15 Température de paroi refroidie par transpiration d'éthanol (Te = 150 °C).
138
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4
F (%)
Tw (°C)
I
II
Fig. 4.16 Température de paroi refroidie par transpiration d'éthanol (Te = 200 °C).
L'efficacité, η, du système de protection par transpiration peut être quantifié de la
même façon que dans le cas de la protection par effusion d'air :
η = −−
T T
T Tw e
inj e (3.10)
où Tw est la température de paroi et Tinj la température de l'éthanol sous la paroi
poreuse.
L'efficacité en fonction du taux d'injection est représentée sur la figure 4.17 pour les
différentes températures d'écoulement potentiel. Une efficacité proche de celle obtenue par
effusion d'air (environ 97 %) est obtenue pour toutes les températures. Cependant, les taux
d'injection requis pour l'atteindre sont beaucoup plus faibles (de l'ordre de 0,1 % alors que 3 à
5 % sont nécessaires dans le cas d'effusion d'air).
Par ailleurs, plus la température de l'écoulement potentiel est élevée, plus un taux
d'injection important est nécessaire pour atteindre l'efficacité optimale du système. Le débit
d'éthanol évaporé augmente donc avec la température de l'écoulement. Afin d'étudier de façon
plus détaillée ce phénomène d’évaporation, il convient de s’intéresser aux transferts dans la
couche limite pariétale.
139
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,1 0,2 0,3 0,4
F (%)
η
Te = 100°C
Te = 150 °C
Te = 200 °C
Fig. 4.17 Efficacité du système de transpiration.
Couche limite turbulente avec effusion de vapeur éthanol
Il s’agit d'étudier expérimentalement le comportement des couches limites turbulentes
en présence d'effusion de vapeur d'éthanol, c'est à dire lorsque la paroi est uniformément
protégée par transpiration. On mesure notamment la concentration massique en vapeur
d'éthanol en fonction de la distance à la paroi. La technique de mesure utilisée est la
chromatographie en phase gazeuse. Son principe repose sur des équilibres d’adsorption-
désorption entre une phase stationnaire emprisonnée dans une colonne et une phase mobile,
constituée d'un gaz vecteur (ici l'hélium) et de l'échantillon à analyser. Les différents
composants de l'échantillon se déplacent plus ou moins vite selon leur adsorption sur la phase
stationnaire. Cette différence d’entraînement des composés permet leur séparation. En fin de
colonne, un détecteur permet mesurer le temps de rétention (temps entre l'instant d'injection
dans la colonne et l'arrivée sur le détecteur) qui caractérise chaque espèce chimique. Le signal
délivré par le détecteur est enregistré en fonction du temps et l’on obtient un
chromatogramme. Ce chromatogramme est une succession de "pics" correspondant à chaque
espèce présente dans l'échantillon injecté. La mesure de l'aire des différents pics permet de
déterminer la concentration de chaque composé.
Le chromatographe utilisé est un appareil de la société MTI (cf. descriptif en annexe VI). Il
s'agit d'un chromatographe portable caractérisé par des temps d'analyse très courts (quelques
dizaines de seconde pour l'analyse d'une substance). Cet appareil est spécialisé dans la mesure
140
des échantillons gazeux. Il est relié à un tube de prise d'échantillon, d'un diamètre extérieur de
1/16 de pouce, lui-même introduit dans la veine d'essais. L'étalonnage du chromatographe est
présenté en annexe VII. La principale incertitude sur les mesures est liée à la distance à la
paroi x2. Elle est de l'ordre du dixième de millimètre. La distance minimale à la paroi pour
effectuer les mesures est de 1 mm. La taille du tube de prise d'échantillon (rayon extérieur 0,8
mm) ainsi que ses vibrations induites par la turbulence de l'écoulement pariétal rendent
impossible une mesure plus proche de la paroi.
Les profils de fraction massique de vapeur d'éthanol, C, sont obtenus pour différents
taux d'injection et températures d'écoulement potentiel. Un exemple de résultat expérimental
est présenté sur la figure 4.18. Pour chaque température d'écoulement, les taux d'injection
étudiés sont au moins égaux au taux pour lesquels la paroi est uniformément protégée. Tous
les résultats expérimentaux montrent qu'il n'y a pas d'influence du taux d'injection sur le profil
de concentration attestant que la quantité d'éthanol évaporée reste constante même si le débit
de réfrigérant augmente.
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0 5 10 15 20 25 30
X2 (mm)
C
F = 0,14 %
F = 0,21 %
F = 0,28 %
Fig. 4.18 Profil de concentration d'éthanol (Te = 150 °C, x1 = 1,55 m).
Le profil de concentration (exprimée sous forme de fraction massique) varie de façon
exponentielle avec la distance à la paroi (figure 4.19). On remarque une augmentation encore
plus forte du gradient de concentration à proximité de la paroi. Le tracé de la dérivée de la
concentration, sur la figure 4.20, souligne particulièrement ce phénomène.
141
Cette augmentation très importante du gradient de concentration met en évidence une
modification des transferts de masse au voisinage immédiat de la paroi. Aussi, peut-on faire
l'hypothèse de l'existence d’une sous-couche limite visqueuse analogue à celle qui existe dans
une couche limite dynamique y compris en présence d’injection (Simpson et al. 1969).
Cependant, du fait du peu de mesures disponibles dans cette sous-couche, il n'est pas
envisageable d'extrapoler le gradient de concentration pour déterminer sa valeur à l'interface
liquide-vapeur.
0,001
0,01
0,1
0 5 10 15X2 (mm)
C
F = 0,16 %
F = 0,31 %
Fig 4.19 Profil de concentration d'éthanol (Te = 200 °C, x1 = 1,55 m).
-0,018
-0,015
-0,012
-0,009
-0,006
-0,003
00 5 10 15 20 25
X2 (mm)
F = 0,14 %
F = 0,21 %
F = 0,28 %
exponentielle
dC
dx2(mm-1)
Fig. 4.20 Dérivée de la concentration (Te = 150 °C, x1 = 1,55 m).
142
Par ailleurs, d'autres expériences montrent que le taux d'injection n'influence pas les
profils de vitesse et de température (figure 4.21). Ces résultats confirment que la quantité
d'éthanol évaporée, que nous allons quantifier, n'est déterminée que par la température de
l'écoulement potentiel.
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
X2 (mm)
T (°C)
F = 0,14 %
F = 0,21 %
F = 0,28 %
Fig. 4.21 Profils expérimentaux de température (Te = 150 °C, x1 = 1,55 m).
4.3.2. Etude théorique de la transpiration d'éthanol
L'efficacité du refroidissement par transpiration d'éthanol dépend de l'équilibre entre
les transferts de masse et de chaleur entre la paroi poreuse et son environnement. Une certaine
quantité d'éthanol s'évapore et absorbe de l'énergie reçue par la paroi par convection ou
rayonnement. Il est donc intéressant de calculer le débit de réfrigérant évaporé pour différentes
températures de l'écoulement potentiel.
Détermination des transferts de masse
Considérons un mélange de deux espèces se déplaçant à la vitesse V. Le débit
surfacique d'une espèce, �m, traversant un plan perpendiculaire à V est donné par la relation
(4.10).
�m J CV= + ρ (4.10)
J est le flux diffusif de l'espèce (J DC
xi= −ρ ∂
∂), C est sa concentration et ρ est la masse
volumique du mélange.
143
En présence d’un gaz incondensable, un bilan de masse à l'interface liquide-vapeur
permet de calculer le débit surfacique de réfrigérant évaporé (Shembharkar et Pai 1986) :
�mC
JC
DC
xii
ii i
=−
= −−
1
1
1
1 2ρ ∂
∂ (4.11)
où l'indice i correspond l'interface liquide-vapeur et D est le coefficient de diffusion de
la vapeur d'éthanol dans l'air.
Il convient alors de déterminer le gradient de concentration à l'interface. L'analyse des
mesures de concentration a permis d'admettre l'existence d'une sous-couche limite visqueuse
proche de la paroi. L'équation (4.12) exprime la conservation de masse de la vapeur d'éthanol
en régime laminaire. Elle est obtenue en négligeant les variations longitudinales de vitesse et
de concentration et en considérant les propriétés thermophysiques du mélange air-vapeur
constantes (ce qui entraîne un gradient de vitesse verticale nul).
ρ ∂∂
ρ ∂∂
UC
xD
C
x22 2
= ²
² (4.12)
Dans cette équation, la vitesse verticale U2 est induite par la diffusion de la vapeur et
s'exprime en fonction du gradient de concentration :
UD
C
C
x221
=−
∂∂
(4.13)
En substituant la vitesse U2 dans la relation (4.12), on obtient une équation différentielle de C
en fonction de x2. Prenons pour conditions aux limites, d'une part, l'interface liquide-vapeur et, d'autre
part, un point de la sous-couche visqueuse défini par son ordonnée x2vis. Si les concentrations en x2
= 0 et x2 = x2vis sont respectivement Ci et Cvis, la résolution de l'équation (4.12) conduit à la relation
suivante (Brouwers et Chesters 1992) :
C x Cx
x
C
Civis
vis
i( ) ( )exp ln2
2
21 1
1
1= − − −
−
(4.14)
La loi de variation de la concentration (4.14) peut donc être appliquée entre l'interface liquide
- vapeur et notre premier point de mesure situé dans la sous-couche visqueuse. Ainsi, le gradient de
concentration à l'interface liquide-vapeur est donné par la dérivée de l'équation (4.14) pour x2
= 0. Le débit d'éthanol évaporé s'exprime alors par :
144
� lnmD
x
C
Civis
vis
i= − −
−ρ
2
1
1 (4.15)
Notons que la méthodologie de calcul, mise en oeuvre ici, pourrait s’appliquer à la
détermination de gradients de température ou de vitesse. Simpson et al. (1969) ont d’ailleurs
appliqué une technique analogue, appelée "viscous sublayer model method", pour confirmer
les coefficients de frottement mesurés par la méthode de l’équation intégrale de quantité de
mouvement (cf. paragraphe 2.1).
La connaissance de la concentration de vapeur d'éthanol à l'interface liquide-vapeur est
nécessaire pour l'application de la relation (4.15) à nos résultats expérimentaux. Cette
concentration est calculée par application de la loi de Dalton :
CM
P
P
MP
PM
P
P
i
ethsat
ethsat
airsat
=+ −
1
(4.16)
où Psat est la pression de vapeur saturante d'éthanol, P la pression totale, Meth et Mair
les masses molaires de l'éthanol et de l'air.
La pression de saturation est déterminée en estimant qu'il y a équilibre thermique entre
la matrice solide de la paroi et l'éthanol qui s'écoule en film très fin (épaisseur maximale de
0,4 mm) sur sa face supérieure. La relation (4.16) suppose que la vapeur d'éthanol se comporte
comme un gaz parfait. En observant les propriétés données par Dunn et Reay (1978), il
semble que ce ne soit pas le cas lorsque les phases liquide et vapeur sont en équilibre sans
présence de gaz incondensable. Cependant, notons que la relation (4.16) a été employée
comme condition à la limite pour l'étude numérique du refroidissement d'un film d'éthanol par
évaporation (Yan et Lin, 1991), étude qui a donné des résultats conformes l'expérience (Yan et
al. 1991).
La détermination du gradient de concentration à l'interface liquide-vapeur puis du débit
d'éthanol évaporé est alors conduite. Les résultats, traduits en taux d'évaporation
( Fm
Uévapi
e=
�
( )ρ 1), sont reportés dans le tableau 4.1. Pour chaque température d'écoulement
potentiel, une moyenne est effectuée à partir des résultats obtenus pour les différents profils
expérimentaux de concentration. La dispersion des résultats est de ± 8 %.
145
Te (°C) Févap (%)
100 0,026
150 0,033
200 0,051
Tab. 4.1 Taux d'éthanol évaporé.
Comparés aux taux d'injection mesurés au rotamètre, les taux d'éthanol évaporés sont
situés dans la zone de transition (séparant les régions où l'évaporation se produit au-dessous
ou au-dessus de la paroi). Un exemple de comparaison entre les taux d'injection mesurés et le
taux d'évaporation calculé est donné sur la figure 4.22. Cette constatation permet de confirmer
le fonctionnement du procédé présent : si le taux d'injection est inférieur au taux
d'évaporation, le débit d'éthanol injecté est insuffisant pour assurer la protection de la paroi et
le front d'évaporation se déplace vers le caisson d'injection ; en revanche, si F > Févap, une
partie du réfrigérant s'évapore et l'excédent s'écoule en film au-dessus de la paroi. Les
résultats, portés dans le tableau 4.1, sont donc les taux d'injection optimaux dans le cas d'une
transpiration à travers une paroi parfaitement horizontale.
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0.4
F (%)
Tw (°C)
Taux d'évaporationcalculé
Fig 4.22 Comparaison entre les taux d'injection et le taux d'évaporation d'éthanol
(Te = 200 °C).
146
Transferts thermiques
Le calcul du débit de fluide réfrigérant évaporé permet de connaître la quantité de
chaleur absorbée par évaporation. Il est donc intéressant de la comparer aux quantités de
chaleur échangées entre le système et son environnement (figure 4.23).
convection
Plaque poreuse
rayonnement
évaporation
conduction
Fig. 4.23 Echanges thermiques entre le système étudié et son environnement.
Outre l’absorption d'énergie par changement de phase, existe également une protection
de la paroi vis à vis de l'écoulement pariétal par "effusion de vapeur". Le modèle du film
(Brouwers et Chesters 1992) permet de comparer les échanges convectifs en présence de
diffusion de vapeur par rapport au cas sans diffusion. Le "modèle du film" considère une
idéalisation des transferts au voisinage de la paroi, comme s'ils se déroulaient entièrement
dans un film de mélange air-vapeur mince près de la paroi poreuse imbibée de liquide
(figure 4.24).
Fig. 4.24 Schéma de principe du modèle du film.
L'écoulement y est bidimensionnel, stationnaire, incompressible. La vitesse verticale est
considérée constante dans tout le film et les variations longitudinales de tous les paramètres sont
négligées. Il en résulte que le modèle n'est valable qu'à proximité de la paroi et peut servir par
exemple à l'évaluation de la variation du nombre de Stanton avec la vitesse de diffusion. En utilisant
les développements analytiques de Brouwers et Chesters (1992), le résultat suivant est obtenu
Vitesse de diffusion
film
Paroi poreuse humide
écoulement pariétal
147
:
St
St =
FSt
expF
St - 10
évap
0
évap
0
(4.17)
St est le nombre de Stanton en présence de diffusion et St0 sans diffusion.
On se place dans le cas d’un taux d’injection égal au taux d’évaporation de l’éthanol.
Le nombre de Stanton sans diffusion est calculé par une corrélation en considérant une paroi
sèche (Nux1 = 0,0288 Rex1
0,8 Pr1/3). Le rapport du nombre de Stanton avec diffusion de vapeur
sur le nombre de Stanton sans diffusion est présenté dans le tableau 4.2 (colonne 3). On
constate que la réduction des échanges convectifs entre le système et l’écoulement pariétal est
faible : 8 % au maximum. Par conséquent, l’ordre de grandeur de la réduction des échanges
convectifs est le même que la précision des mesures de taux d’évaporation de l’éthanol. Il
n’est donc pas envisageable de mener un calcul plus précis des échanges convectifs entre le
système et l’écoulement pariétal puisque d’éventuelles améliorations apportées à ce calcul ne
seraient pas significatives.
Par ailleurs, une adaptation de la modélisation du rayonnement mise en oeuvre au
chapitre 3 (relation 3.15) serait intéressante : prise en compte de l’absorption d’une partie du
rayonnement incident par l’éthanol, modification des caractéristiques radiatives du matériau
poreux lorsqu’il est humide... Toutefois les ordres de grandeur du flux radiatif incident sont de
5 à 10 fois plus faibles que les quantités de chaleur absorbées par l’évaporation du réfrigérant.
Les améliorations apportées ne seraient donc pas validables.
Te (°C) Févap (%) St / St0 Φconvectif
(kW/m²)
Φabsorbé
(kW/m²)
100 0,026 0,95 1,8 2,1
150 0,033 0,94 2,4 2,4
200 0,051 0,92 3,3 3,4
Tab. 4.2 Calcul des échanges convectifs entre la paroi et son environnement.
Il est intéressant de souligner, dans cette étude sur la transpiration, la faiblesse de la
concentration en vapeur d’éthanol mesurée à proximité de l’interface liquide-vapeur comparée à celle
calculée théoriquement (relation (4.16)) sur l’interface (tableau 4.3). L’ampleur de ce saut de
148
concentration constitue une caractéristique significative des profils de concentration relevés
expérimentalement. En outre, la détermination du débit d'éthanol évaporé permet une étude
numérique des transferts de masse dans la couche limite pariétale. Une vérification numérique
de la très forte décroissance de la concentration au voisinage immédiat de la paroi est donc
effectuée.
Te (°C) Ci C x2 ≈ 1 mm
100 0,18 0,022
150 0,26 0,048
200 0,30 0,079
Tab. 4.3 Concentration en vapeur d’éthanol au voisinage de l’interface liquide-vapeur.
Etude numérique des transferts de masse au voisinage de la paroi poreuse.
Cette étude des transferts de masse dans la couche limite pariétale soumise à la
diffusion de vapeur d’éthanol reprend la configuration numérique habituelle (figure 4.6). On
se place dans le cas d'une paroi parfaitement plane et d'un taux d'injection égal au taux
d'évaporation. Il n'y a donc pas de film liquide au-dessus de la paroi et le front d'évaporation
correspond à la surface supérieure de la plaque poreuse. Dans cette configuration, les
conditions aux limites sur la paroi poreuse sont les suivantes :
- équilibre thermique entre la phase vapeur et les éléments solides de la paroi,
- température de paroi correspondant aux mesures,
- lois de paroi pour la vitesse et la température au-dessus des éléments solides de la paroi,
- concentration en éthanol à la sortie d’un pore calculée par la relation (4.16),
- vitesse de la phase gazeuse calculée de façon à ce que le débit de vapeur d’éthanol injectée
corresponde au taux d’évaporation déterminé à partir des mesures de concentration :
UF U
wévap
sat
e2
1=ρ
ρϕ
( ) (4.18)
ϕ est la porosité de la plaque (ϕ = 33 %) et ρsat la masse volumique de la vapeur
d’éthanol en équilibre thermodynamique avec la phase liquide.
Le maillage et le modèle de turbulence restent inchangés par rapport aux études numériques
précédentes. Sur la figure 4.25, sont portés les profils numériques et expérimentaux de
149
concentration en vapeur d'éthanol. La très forte décroissance de la concentration au voisinage
de la paroi poreuse est bien reproduite par les simulations. Ces résultats numériques
confirment donc la validité d'une part, du calcul de la concentration à l'interface liquide-
vapeur et d'autre part, la méthodologie employée pour déterminer le débit d'éthanol évaporé.
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0 5 10 15 20 25 30 35X2 (mm)
C
simulations
mesures Te = 100 °C
mesures Te = 200 °C
Fig 4.25 Profils expérimentaux et numériques de concentration.
En revanche, les profils de vitesses et de température (figure 4.26) ne sont pas
correctement simulés. Cet écart peut s’expliquer par la différence de configuration entre
l’étude expérimentale et l’étude numérique. En effet, les mesures de vitesse et température
sont effectuées en présence d’un film liquide s’écoulant au-dessus de la paroi poreuse. D’un
point de vue numérique, le recours à des lois de parois sur les éléments solides du milieu
poreux ne permet pas donc pas de reproduire correctement les profils de vitesse et de
température. Toutefois, constatons que les épaisseurs des couches limites dynamiques et
thermiques simulées et mesurées concordent (tableau 4.4) : les écarts sont de 6,5 % au
maximum.
Te (°C) δ (mm) δT (mm)
expérience simulation expérience simulation
100 27 26 25 24
150 28 29 29 29
200 30 29 33 31
Tab. 4.4 Epaisseurs de couches limites (± 2 mm).
150
300
320
340
360
380
400
420
440
460
480
0 10 20 30 40 50 60
X2 (mm)
T (K)
simulations
mesures Te = 100°C
mesures Te = 200 °C
Fig. 4.26 Profils numériques et expérimentaux de température
(x1 = 1,55 m).
Conclusion
L’étude du refroidissement d'une paroi poreuse par transpiration de liquide a mis en
évidence la nécessité d’un bon mouillage du fluide réfrigérant. L’éthanol a été préféré à l’eau
car sa faible tension superficielle permet un bon mouillage de l’acier inoxydable. L’efficacité
de ce procédé de refroidissement a fait l’objet d’une détermination expérimentale. Une
efficacité de 97 % a été mesurée. Elle est égale à celle obtenue par la protection par effusion
d’air dans une configuration identique. Toutefois, les taux d’injection nécessaires pour
l’atteindre sont environ 50 fois moindre que dans le cas de l’effusion d’air.
La mesure des profils de concentration en vapeur d’éthanol dans la couche limite
pariétale a révélé l’existence d’un très fort gradient à proximité du milieu poreux. En utilisant
les équations de transport dans la sous-couche visqueuse, le gradient sur l’interface liquide-
vapeur a pu être estimé et le débit d’éthanol évaporé a été calculé. Pour différentes
températures d’écoulement potentiel, les débits calculés sont conformes aux taux d’injection
nécessaires à l’obtention d’une protection uniforme de la paroi. De plus, les résultats de
simulations numériques des transferts de masse dans la couche limite pariétale confirment nos
151
calculs de débit d’éthanol évaporé. Par ailleurs, des considérations théoriques ont montré que
la réduction des échanges convectifs entre le milieu poreux et l’écoulement pariétal, du fait de
la diffusion de vapeur, est négligeable devant la quantité d’énergie absorbée par l’évaporation.
Si l'étude du refroidissement par transpiration d'éthanol a permis de comprendre et de
chiffrer d'importants phénomènes, à l’avenir une mise au point d’un système de
refroidissement par transpiration d’eau (avec ajout de tensio-actif pour améliorer la
mouillabilité) pourrait être envisagée et serait intéressante pour des applications industrielles.
De même, un couplage entre une modélisation du changement de phase liquide-vapeur et le
modèle des transferts en couches limites avec injection permettrait une étude numérique plus
précise du système de protection thermique par transpiration de liquide.
152
CONCLUSION GENERALE
Le travail, présenté dans le cadre du présent mémoire, est relatif aux transferts de
masse et de chaleur au voisinage de la surface et à l'intérieur d'un milieu poreux soumis à un
écoulement pariétal d'un gaz chaud et à un écoulement interne d'un fluide froid. Les résultats
de cette étude peuvent trouver des applications, par exemple, dans le domaine du
refroidissement des parois de moteurs, notamment des moteurs à flux continus, ou dans celui
de la réduction des traînées aérodynamiques.
Afin de quantifier l'effet de l'injection de fluide frais sur les transferts entre
l'écoulement potentiel et le milieux poreux, un traitement numérique du problème a été mis en
oeuvre parallèlement à une étude expérimentale.
Dans un premier temps, une nouvelle approche pour modéliser les couches limites
turbulentes dynamique et thermique soumises à l'effusion d'un gaz frais a été développée. Les
simulations numériques ont été effectuées en utilisant, pour l'écoulement pariétal, un modèle
classique de turbulence (modèle RNG k-ε à "haut nombre de Reynolds"). Les phénomènes
physiques liés à l'effusion à travers une paroi poreuse sont pris en compte par une
modélisation discrète de la paroi poreuse. Dans cette modélisation, la surface des parois
poreuses est représentée comme une succession de pores, par lesquels arrive le fluide frais, et
de grains solides, sur lesquels ont lieu les transferts de quantité de mouvement et de chaleur.
Les résultats obtenus ont été validés par comparaison avec nos propres résultats
expérimentaux ainsi qu'avec ceux issus de la littérature. Les coefficients de frottement et
nombres de Stanton pour différents taux d'injection ont pu être quantifiés par l'emploi de
corrélations faisant intervenir les grandeurs intégrales calculées par les simulations
numériques. Par ailleurs, nous avons initié une collaboration avec le département de Génie
Civil de l'Université de Londres. Cette collaboration a pour objet d'implanter notre
représentation simplifiée de la matrice poreuse dans un code de mécanique des fluides
spécialisé dans la simulation des couches limites turbulentes et offrant des possibilités
d'évolutions très importantes. Enfin, signalons que cette représentation discrète de la paroi
poreuse est actuellement utilisée dans le cas d'une géométrie cylindrique (Bataille et
153
Lallemand 1998) et permet de simuler la modification du sillage d'un cylindre poreux soumis
à de l'effusion.
Le travail a ensuite porté sur le couplage entre les transferts thermiques au voisinage et
à l’intérieur de matériaux poreux. Cette étude présente une nouveauté importante par rapport
aux travaux antérieurs qui ne traitaient que de l'un des ces deux aspects. Des températures de
la phase solide d'une plaque poreuse ont été mesurées en fonction de trois paramètres (taux
d'injection, température de l'écoulement potentiel et surface d'échange interne du milieu
poreux). L'étude expérimentale a montré que le processus de protection des parois poreuses
par effusion peut atteindre une efficacité de 97 %. Cependant, un taux d’injection important
(de l’ordre de 5 %) est nécessaire pour atteindre une telle efficacité. Parallèlement, les
températures de parois ont été calculées à l'aide d'un modèle nodal des transferts thermiques
internes à la paroi couplé au modèle de transferts en couches limites (avec addition du
rayonnement incident sur la plaque). Les coefficients d'échanges internes ont pu être
déterminés, par confrontation entre les résultats numériques et expérimentaux.
Enfin, en vue d'optimiser ce mode de refroidissement, les recherches se sont portées
sur la transpiration d'un liquide. L’étude expérimentale a montré la nécessité d’un bon
mouillage du milieu poreux par le fluide réfrigérant. Les résultats expérimentaux, obtenus
avec la transpiration d’éthanol, alors que l’écoulement pariétal est gazeux (air), ont mis en
évidence une excellente performance du système proposé. Une efficacité égale à celle obtenue
par la protection par effusion d’air été mesurée mais les taux d’injection requis pour
l’atteindre sont environ 50 fois moindre. La mesure des profils de concentration en vapeur
d’éthanol dans la couche limite pariétale et l’utilisation des équations de transport à proximité
de l’interface liquide-vapeur ont permis de calculer le débit d’éthanol évaporé. Par ailleurs,
l'étude numérique des transferts de masse dans la couche limite pariétale confirme les valeurs,
précédemment obtenues, de débit d’éthanol évaporé.
A l’avenir, il serait opportun de calculer les transferts de masse, de quantité de
mouvement et de chaleur à l’aide d’un seul outil numérique. En effet, l’utilisation de
techniques numériques différentes dans la couche limite et dans le milieu poreux s’avère peu
pratique d'emploi. D’un point de vue expérimental, l’étude du refroidissement par
transpiration d’eau peut être intéressante pour des applications industrielles. L’ajout de tensio
actif pourrait permettre une baisse significative de la tension superficielle du réfrigérant et, par
conséquent, un meilleur mouillage des matériaux à refroidir.
154
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES
ANDERSEN, P.S., KAYS, W.M. et MOFFAT, R.J. Experimental results for the transpiredturbulent boundary layer in an adverse pressure gradient. J. Fluid Mech., 1975, vol. 69, part 2,p. 353-375.
ANDOH, H.Y. Refroidissement de paroi par effusion. Etude expérimentale - modélisation.Thèse de doctorat : I.N.S.A. Lyon, 1992. 186 p.
ANDOH, H.Y., LIPS, B. et LALLEMAND, A. Couplage des transferts de masse et dechaleur dans une paroi poreuse. Application à la détermination des coefficients d'échangeinterne. Entropie,1994, n° 182, p. 21-33.
BAKER, R.J. et LAUNDER, B.E. (a) The turbulent boundary layer with foreign gasinjection-I. Measurements in zero pressure gradient. Int J Heat Mass Transfer, 1974, vol 17,n° 2, p. 275-291
BAKER, R.J. et LAUNDER, B.E. (b) The turbulent boundary layer with foreign gasinjection. II-Prediction and measurements in severe streamwise pressure gradients. Int. J. HeatMass Transfer, 1974, vol. 17, n° 2, p 293-306.
BATAILLE, F. et LALLEMAND, A. Modification du sillage d'un cylindre soumis à del'effusion. Congres SFT, Marseille, 5-7 mai 1998. Paris : Elsevier, 1998. p. 63-79.
BELLETTRE, J., BATAILLE, F. et LALLEMAND, A. (a) Study of a turbulent boundarylayer with injection. 1997 ASME fluids engineering division summer meeting, Symposium onseparated and complex flows, Vancouver, Canada, 22-26 juin 1997 [CD ROM]. 8 p.
BELLETTRE, J., BATAILLE, F. et LALLEMAND, A. (b) Modélisation de l'effusion enprésence d'un écoulement pariétal turbulent. Application à la protection thermique des parois.Journée d'études SFT, section "convection", Paris, 19 mars 1997. 16 p.
BELLETTRE, J., BATAILLE, F. et LALLEMAND, A. (c) Blowing with gas or water, 11th
symposium on Turbulent Shear Flows. Grenoble, 8-11 Septembre 1997. vol. 3, p. P3.1-P3.5.
BELLETTRE, J., BATAILLE, F. et LALLEMAND, A. (a) A new approach for the studyof the turbulent boundary layers with blowing. Int. J. Heat Mass Transfer (accepté en avril 98pour publication).
BELLETTRE, J., BATAILLE, F. et LALLEMAND, A. (b) Thermal protection of walls byblowing with different fluids. Rev. Gen. Therm. (accepté en juin 98 pour publication).
BIDART, A., CALTAGIRONE, J.P. et PARNEIX, S. Modélisation des écoulements turbulentsdans des canaux de refroidissement de turbomachines. Journée d'études SFT, section "convection",Paris, 19 mars 1997. 10 p.
BRADSHAW, P. Mixing-lengh velocity profile in boundary layers with transpiration. AIAAJournal, 1967, vol. 5, n°9 p.1674-1675.
155
BROUWERS, H.J.H. et CHESTERS, A.K. Film models for transport phenomena with fogformation : the classical film model. Int. J. Heat Mass Transfer, 1992, vol. 35, n°1, p. 1-11.
CAMPOLINA FRANÇA, G.A., TEDESCHI, G. et LALLEMAND, A., Turbulentincompressible flow within a channel with transpiration : solution of the coupled problemporous wall - main flow, 13th Brasilian Congress and 2nd Iberian American Congress ofMechanical Engineering, Belo Horizonte, Brasil, 12-15 décembre 1995. 4 p.
CAMPOLINA FRANCA, G.A. Contribution à l'étude des écoulements parietaux aveceffusion. Application au refroidissement de parois. Thèse de doctorat : INSA de Lyon, 1996.197 p.
CAMPOLINA FRANCA, G.A., PAGNIER, P. et LALLEMAND, A. Simulation destransferts de masse et de chaleur par modélisation à bas nombres de Reynolds dans unécoulement avec effusion locale en canalisation. Rev. Gén. Therm., 1998, vol. 37, n°3, p. 205-222.
CHO, H.H. et GOLDSTEIN, R.J. An improved low-Reynolds-number k-ε turbulence modelfor recirculating flows. Int. J. Heat Mass Transfer, 1994, vol. 37, n°10, p. 1495-1508.
COUSTEIX, J. Turbulence et couche limite. Toulouse : Cepadues-Editions, 1989. 627 p.
DARCY, H. Les fontaines publiques de la ville de Dijon. Exposition et applications à suivredes formules à employer dans les questions de distribution d'eau. Paris : Victor Dalamont,1856. 150 p.
DE SOETE, G. Aspects fondamentaux de la combustion en phase gazeuse. Paris : Ed.Technip, 1976. 268 p.
DORRANCE, W.H. et DORE, F.J. The effect of mass transfer on the compressibleturbulent boundary layer skin friction and heat transfer. J. Aeronaut. Sci., 1954, vol. 21, n°6,p. 404-414.
DUNN, P. D. et REAY, D.A. Heat Pipes. 2nd édition. Exeler (G.B.) : Pergamon Press, 1978.334 p.
ECKERT, E.R.G. et DRAKE, R.M.Jr. Analysis of heat and mass transfer. New-York :McGraw-Hill, 1972. 806 p.
ECKERT, E.R.G. et CHO, H.H. Transition from transpiration to film cooling. Int. J. HeatMass Transfer, 1994, vol. 37, n°1, p. 3-8.
EL MASRI, M.A. Two phase transpiration cooling. Transactions of the ASME, Journal ofEngineering for Power, 1983, vol. 105, n° 1, p. 106-113.
FAVRE, A., KOVASZNAY, L.S.G., DUMAS, R., GAVIGLIO, J., COANTIC, M. Laturbulence en mécanique des fluides. Bases théoriques et expérimentales. Paris : Gauthier-Villard, 1976. 411 p.
156
FLUENT User's Guide Version 4.3. Lebanon : Fluents Inc, 1995. 1731 p.GIRAUD, M. et SILET, J. Turbines à gaz aéronautiques et terrestres. In Techniques del’ingénieur, vol B4. Paris : Techniques de l’ingénieur, 1996. article B 4410 / B 4411. 30 p.
GOBIN, D. Introduction à la méthode des volumes finis. Orsay : FAST-URA 871, 1995. 43 p.
GREEN, M.J. et DAVY, W.C. Galileo probe forebody thermal protection. AIAA paper 81-1073, 1981. 15 p.
GREFFOZ, V. Tempête dans un réacteur. Isotopes, 1997, n°18, p. 28-31.
GROOTENHUIS, P., MACKWORTH, R.C.A. et SANDERS, O.A. Heat transfer to airpassing through heated porous metals. Proceeding of the general discussion on heat transfer,Institution of mechanical Eng., London, 1951. p. 363-366.
GROOTENHUIS, P. The mechanism and application of effusion cooling. The Journal of theRoyal Aeronautical Society, 1959, vol. 63, n° 578, p. 73-89.
ISHII, I. et KUBOTA, H. Two-dimensional response of a transpiration-cooled system in aradiative/convective environnement. AIAA Journal, 1984, vol. 22, n°6, p. 831-836.
JEROMIN, L.O.F. A transformation for compressible turbulent boundary layers with airinjection. J. Fluid Mech., 1968, vol. 31, part 1, p. 65-94.
JEROMIN, L.O.F. The status of research in turbulent boundary layers with fluid injection.Progress in Aeronautical Sciences, 1970, vol. 10, p. 65-189.
JONES, W.P. et LAUNDER, B.E. The prediction of laminarization with a two-equationmodel of turbulence. Int. J. Heat Mass Transfer, 1972, vol. 15, n°2, p. 301-314.
JULIEN, H.L., KAYS, W.M. et MOFFAT, R.J. Experimental hydrodynamics of theaccelerated turbulent boundary layer with and without mass injection. Transactions of theASME, J. Heat Transfer, 1971, vol. 93, n°4, p. 373-379.
KAR, K. K. Heat and mass transfer caracteristics of the transpiration cooling. Ph D. Thesis :Case Western Reserve University, 1980. 337 p.
KAYS, W.M., MOFFAT, R.J.et THIELBAHR, W.H. Heat transfer to the high acceleratedturbulent boundary layer with and witout mass addition. Transactions of the ASME, J. HeatTransfer, 1970, vol. 92, n°3, p. 499-505.
KAYS, W.M. Heat transfer to the transpirated turbulent boundary layer. Int. J. Heat MassTransfer, 1972, vol. 15, n°5, p. 1023-1044.
KOH, J.C.Y. et DEL CASAL, E.P. Two-phase flows in porous matrices for transpirationcooling. 10th Midwestern Mechanics Conf., 1967. p. 1527-1541.
157
KOH, J.C.Y., JAECK, C., BENSON, B. et COUSINEAU, B. A stable two phase flowsystem for transpiration cooling. AIAA 8th Aerospace Sciences Meeting, New-York, 19-21janvier 1970. AIAA Paper 70-151. p 1-7.KOH, J.C.Y, DUTTON, J.L., et BENSON, B.A. Fundamental study of transpirationcooling, final report. Cleveland : NASA, 1973. 176 p. Rapport CR-134523.
KOH, J.C.Y. et FORTINI A. Prédiction of thermal conductivity and electrical resistivity ofporous metallic materials. Int. J. Heat Mass Transfer, 1993, vol. 16, n° 11, p. 2013-2022.
KOLMOGOROV, A. The local structure of turbulence in incompressible viscous fluid forvery large Reynolds numbers. Comptes Rendus Acad. Sci URSS, 1941, vol. 30, p. 301-305.
KUBOTA, H. Thermal response of a transpiration-cooled system in a radiative andconvective environment. Transactions of the ASME, J. Heat Transfer, 1977, vol. 99, n°4,p. 628-633.
KUTATELADZE, S.S. et LEONTIEV, A.I. Turbulent Boundary layers in compressiblegases. New York : Academic Press, 1964. p. 67-86.
LANDIS R.B. et MILLS F. The calculation of turbulent boundary layers with foreign gasinjection. Int. J. Heat Mass Transfer, 1972, vol. 15, n°10, p. 1905-1932.
LAUNDER, B.E et SPALDING, D.B. The numerical computation of turbulent flows.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1974, vol. 3, n° 2, p. 269-289.
LAUNDER B.E., REECE G.J. et RODI W. Progress in the developement of a Reynolds-stress turbulence closure. J Fluid Mech., 1975, vol 68, part 3, p. 537-566.
LEADON B.M. et SCOTT, C.J. Measurement of recovery factors and heat transfercoefficients with transpiration cooling in a turbulent boundary layer at M = 3.0 using air andhelium as coolant. Minneapolis : University of Mennesota - Depart. of aeronauticalengineering, 1956. 34 p. Report n°126.
LE NEINDRE, B. Tensions superficielles et interfaciales. In Techniques de l’ingénieur,vol K2. Paris : Techniques de l’ingénieur, 1993. article K 475. 12 p.
LENGELLE, G., CHARPENEL, M., BIZOT, A., CAUTY, F. et GODON, J.C.Phénomènes thermiques dans les propulseurs à propergol solide. Congres SFT, Toulouse, 20-22 mai 1997. Paris : Elsevier, 1998. p. 63-79.
LEONARD, B.P. A Stable and Accurate Convective Modelling Procedure Based onQuadratic Upstream Interpolation. Computer Methods Appl. Mech. Eng., 1979, vol 19, n°1,p. 59-98.
LESIEUR, M. Turbulence in Fluids. Dordrecht : Kluwer Academic Publishers, 1990. 412 p.
LESIEUR, M. La turbulence. Grenoble : Presse Universitaires de Grenoble, 1994. 262 p.
158
LILEY, P.E. Thermophysical properties. In Handbook of heat transfer, Fundamental. 2nd
édition. Edité par W.M. Rohsenow, J.P. Harnet et N.G. Ejup. New York : McGraw-Hill,1985. p. 3.1-3.135.
LIPS, B. et LALLEMAND, A. Modélisation du transfert thermique à l'intérieur d'un milieuporeux traversé par un fluide. Application au refroidissement d'une paroi. Congrés SFT,Sophia-Antipolis, 1992. p. 245-252.
LUIKOV, A.V., VASILIEV, L.L. et MAYROROV, V.A. (a) Static characteristics ofequilibrium two phase transpiration cooling system. Int. J. Heat Mass Transfer, 1975, vol. 18,p. 863-874.
LUIKOV, A.V., VASILIEV, L. L. et MAYOROV, V.A. (b) Determination of the region ofstable and reliable operation of equilibrium two phase transpiration cooling system. Int. J.Heat Mass Transfer, 1975, vol. 18, p. 885-892.
Mc LEAN J.D. et MELLOR, G.L. The transpired turbulent boundary layer in an adversepressure gradient. Int. J. Heat Mass Transfer, 1972, vol. 15, n°12, 2353-2369.
MICKLEY, H.S., ROSS, R.C., SQUYERS, L.C. et STEWARD, W.E. Heat, mass andmomentum transfer for flow over a flat plate with blowing or suction. Washington : NACA,1954. 149 p. Raport TN 3208.
MOFFAT, R. J. et KAYS, W. M. The turbulent boundary layer on a porous plate :experimental heat transfer with uniform blowing and suction. Int. J. Heat Mass Transfer,1968, vol. 11, n° 10, p. 1547-1566.
MOFFAT R.J., HEALZER J.M. et KAYS W.M. Experimental heat transfer behavior of aturbulent boundary layer on a rough surface with blowing. Transactions of the ASME, J. HeatTransfer, 1978, vol. 100, n°1, p. 134-142.
MOFFAT, R. J. et KAYS, W. M. A Review of Turbulent-Boundary-Layer Heat TransferResearch at Stanford, 1958-1983. Advances in heat transfer, 1984, vol. 16, p. 241-365.
PADET, J. Fluides en écoulement. Méthodes et modèles. Paris : Masson, 1990. 359 p.
PARNEIX, S. Simulation des écoulements turbulents et des transferts thermiques en vue del’optimisation du refroidissement des pales de turbines. Thèse de Doctorat : Université deBordeaux 1, 1995. 118p.
PATANKAR, S.V. Numerical Heat Transfer and Fluid Flow. Washington : HemispherePublishing Corp., 1980. 196 p.
PATEL, V.C., RODI, W. et SCHEUERER, G. Turbulence models for near-wall and lowReynolds number flows : a review. AIAA Journal, 1985, vol. 23, n° 9, p. 1308-1319.
PETOT, B. Refroidissement des aubes de turbines de turboréacteur. Congres SFT, Toulouse,20-22 mai 1997. Paris : Elsevier, 1998. p. 53-60.
159
PHORDOY, J. Influence d’une transpiration sur un écoulement en canal, mesure des flux dechaleur. Thèse de Doctorat : I.N.P. Toulouse, 1992. 144 p.
POLYAEV, V.M., MOZHAEV, A.P., GALITSEYSKY, B.M. et LOZHKIN, A.L. AStudy of internal heat transfer in nonuniform porous structures. Experimental thermal andfluid sciences, 1996, vol. 12, n° 4, p. 426-432.
RODET, J.C., CAMPOLINA FRANCA, G.A., PAGNIER, P., MOREL, R. etLALLEMAND, A. Etude en soufflerie thermique du refroidissement de parois poreuses pareffusion de gaz. Rev. Gén. Therm., 1998, vol. 37, n°2, p. 123-136.
ROMANENKO P.N. et KHARCHENKO, V.N. The effect of transverse mass flow on heattranfer and friction drag in a turbulent flow of compressible gas along an arbitrarily shapedsurface. Int. J. Heat Mass Transfer, 1963, vol.6, n°8, p. 727-738.
RUBESIN, M.W. An analytical estimation of the effect of transpiration cooling on the heattransfer and skin friction characteristics of a compressible turbulent boundary layer.Washington : NACA, 1954. 56 p. Raport TN 3341.
RUBESIN, M.W., INOUYE, M., PARIKH, P.G. Forced convection, External flows. In
Handbook of heat transfer, Fundamentals, 2nd édition. Edité par W.M. Rohsenow, J.P. Harnetet N.G. Ejup. New York : McGraw-Hill, 1985. p. 8.1-8.197.
RUBIN, A. et SCHWEITZER, S. Heat transfer in porous media with phase change. Int. J.Heat Mass Transfer, 1972, vol. 15, n°1, p. 43-60.
SARWA, M. K. et MAJUMDAR, P. Thermal conductivity of wet composite porous media.Heat Recovery System & CHP, 1995, vol. 15, n°4, p. 369-381.
SCHIESTEL, R. Modélisation et simulation des écoulement turbulents. Paris : Hermès,1993. 442 p.
SHEMBHARKAR, T.R. et PAI, B.R. Prediction of film cooling with a liquid coolant. Int. J.Heat Mass Transfer, 1986, vol. 29, n°6, p. 899-908.
SHIMA, N. Prediction of turbulent boundary layers with a second-moment closure : part I -Effects of periodic pressure gradient, wall transpiration, and free-stream turbulence.Transactions of the ASME, J. Fluids Engineering, 1993, vol. 115, n°1, p. 56-63.
SILVA FREIRE, A.P. An extension of the transpired skin-friction equation to compressibleturbulent boundary layer. Int. J. Heat Mass Transfer, 1988, vol. 31, n°11, p. 2395-2398.
SILVA FREIRE, A.P., CRUZ, D.O.A. et PELLEGINI, C.C. Velocity and temperaturedistributions in compressible turbulent boundary layers with heat and mass transfer. Int. J. Heat MassTransfer, 1995, vol. 38, n°13, p. 2507-2515.
SIMPSON, R.L. et WHITTEN, D.G. Preston tubes in the transpired turbulent boundarylayer. AIAA Journal, 1968, vol. 6, n°9, p. 1776-1777.
160
SIMPSON, R.L., MOFFAT, R.J. et KAYS, W.M. The turbulent boundary layer on a porousplate : experimental skin friction with variable blowing and suction. Int. J. Heat MassTransfer,1969, vol. 12, n°7, p. 771-789.
SIMPSON, R.L., WHITTEN, D.G. et MOFFAT, R.J. An experimental study of theturbulent Prandtl number of air with injection and suction. Int. J. Heat Mass Transfer, 1970,vol. 13, n°1, p. 125-143.
SIMPSON, R.L. Characteristics of turbulent boundary layers at low Reynolds numbers withand without transpiration. J. Fluid Mech., 1970, vol. 42, part 4, p. 769-802.
SIMPSON, R.L. The effect of a discontinuity in wall blowing on the turbulentincompressible boundary layer. Int. J. Heat Mass Transfer, 1971, vol. 14, n°12, p. 2083-2097.
SO, R.M.C. et YOO, G.J. Low Reynolds number modeling of turbulent flows with andwithout wall transpiration. AIAA Journal, 1987, vol. 25, n°12, p. 1556-1564.
SQUIRE, L.C. A law of the wall for compressible turbulent boundary layers with airinjection. J. Fluid Mech., 1969, vol. 37, part 3, p. 449-456.
SQUIRE, L.C. The constant property turbulent boundary layer with injection ; a reanalysis ofsome experimental results. Int. J. Heat Mass Transfer, 1970, vol. 13, n°5, p. 939-942.
STEVENSON, T.N. Turbulent Boundary Layers with transpiration. AIAA Journal, 1964,vol. 2, n°8, p. 1500-1502.
STEVENSON, T.N. Inner Region of Transpired Turbulent Boundary Layers. AIAA Journal,1968, vol. 6, n°3, p. 553-554.
TEDESCHI, G., CAMPOLINA FRANCA, G.A. et LALLEMAND, A. Refroidissement deparois planes par transpiration : comparaison de différents modèles pour le calcul deséchanges de chaleur. Congres SFT, Poitiers, 17-19 mai 1995. Paris : Elsevier, 1996. p. 206-211.
TUTSIM Continuous dynamic systems simulation for microcomputers, Version 7. Neede(Pays Bas) : Meerman Automation, 1992. 257 p.
WHITE, F.M. Viscous fluid flow. 2nd édition. Singapore : McGraw-Hill, 1991. 614 p.
WHITTEN, D.G., MOFFAT, R.J. et KAYS, W.M. Heat transfer to a turbulent boundarylayer with non-uniform blowing and surface temperature. 4th Inter. heat transfer conf,Versailles, 1970. 12 p.
YAMAMOTO, S. Effect of porosity in transpiration cooling system. 17th Int. Symposium onSpace Technology and Sciences, Tokyo, Japon, 20-25 mai 1990. vol. 2, p. 2355-2360.
YAKHOT, V. et ORSZAG, S.A. Renormalization Group Analysis of Turbulence, I. BasicTheory. J. of Sci. Comput., 1986, vol 1, n°1, p. 1-51.
161
YAN, W.M., LIN, T.F. et TSAY, Y.L. Evaporative cooling of liquid film through interfacialheat and mass transfer in a vertical channel- I. Experimental study. Int. J. Heat Mass Transfer,1991, vol. 34, n°4/5, p. 1105-1111.
YAN, W.M. et LIN, T.F. Evaporative cooling of liquid film through interfacial heat andmass transfer in a vertical channel- II. Numerical study. Int. J. Heat Mass Transfer, 1991,vol. 34, n°4/5, p. 1113-1124.
YOUNIS, B., SPEZIALE, C.G. et CLARK, T.T. A non linear algebric model for theturbulent scalar fluxes. International conference on the turbulent heat transfer, San DiegoU.S.A., March 1996. 11 p.
ZEIGARNIK, Y.A., et POLYAEV, V.M. Heat transfer in porous structures : state of the artand main lines of study. Thermal Engineering, 1996, vol.43, n°1, p. 70-79.
ZHOU, Y., McCOMB, W.D. et VAHALA, G. Renormalization Group (RG) in turbulence :historical and comparative perspective. Langley : NASA, 1997. 56 p. ICASE Report n° 97-36.
ZISMAN, W.A. Influence of constitution on adhesion. Ind. Eng. Chem., 1963, vol. 55, n°10,p. 18-38.
ANNEXES
ANNEXE 1
Rendement thermique d’une turbine à gaz
Dans le but d’illustrer les propos tenus en introduction générale, l’exemple concret d’unturbomoteur est traité. On s’intéresse particulièrement à l’évolution du rendement thermique enfonction de la température des gaz et à l’effet d’un prélèvement de fluide destiné à laprotection thermique de parois.
nomenclature
% capacité thermique massique à pression constante (J/kg.K)
CV capacité thermique massique à volume constante (J/kg.K)P pression (Pa)4 apport de chaleur (J)T température (K)V volume massique (m3/kg)
Wt travail échangé entre le fluide et les éléments mobiles des machines (J)
rl rendement
Y C,’ Cv
indicesC compresseurt turbine0 sans prélèvement
Une turbine à gaz (ou turbomoteur) est essentiellement constituée d’un compresseur,d’une chambre de combustion et d’une turbine (figure A.l).
Entrée d’àirC h a m b r ede combusrion
hydre
Fig A. 1 Turbomoteur Malika 3G (Turboméca) (Giraud et Silet 1996).
Sur la figure A.2 est représenté le cycle thermodynamique pour un fluide standardéquivalent (air) subissant les transformations dans la turbine à gaz. Le fluide caloporteur estcomprimé (évolution l-2), puis s’échauffe lors d’une combustion (2-3) et se détend en cédantde l’énergie à une turbine (4-l).
163
164
Fig. A.2 Diagramme (P,v) correspondant au cycle d'une turbine à gaz.
Le fluide subissant les transformations est supposé être un gaz parfait idéal. Le travailrecueilli sur l'arbre moteur de la turbine correspond à la différence entre les travaux récupéréslors de la détente et fournis par la compression : w w wt t t= +12 34.
La compression et la détente sont adiabatiques donc : ( )w c T T T Tt p= − + −2 1 4 3 . Si,
de plus, on prend en compte les rendements isentropiques du compresseur (ηc) et de la turbine
(ηt), la relation suivante est obtenue :
w c Tt pc
t= − −11α
ααη
τ η( )
avec α
γγ=
−P
P
2
1
1
et τ = T
T3
1
Par ailleurs, l'énergie reçue par le fluide lors de la combustion est donnée par la
relation suivante : ( )q c T T c Tp pc
= − = − − −
3 2 1 1
11τ
ηα( ) . Le rendement thermique de la
turbine s'exprime donc par :
η αα
τη αη
τ αη
= − = − −
− − −w
qt
tc
c
1
11
L'évolution du rendement thermique en fonction de la température en amont de laturbine, T3, est présentée sur la figure A.3. Le calcul est mené à partir des conditions defonctionnement du turbomoteur Malika 3G (Giraud et Silet 1996). Les résultats montrent quele rendement thermique de la turbine à gaz est d'autant plus élevé que la température (T3) des
gaz en écoulements en amont de la turbine est importante.
P
v
1
2 3
4
compressiondétente
combustion
165
0
0,1
0,2
0,3
0,4
1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700
T3 (K)
η
Fig.A.3 Evolution du rendement thermique en fonction de T3
P2/P1 = 10, T1 = 293 K, ηc = 0,785, ηt = 0,90.
Dans le cas où l'on prélève une fraction massique x de fluide en sortie de compresseurpour refroidir les aubages de la turbine, et que l'on suppose que cette fraction de fluide neproduit aucun travail lors de la détente (ce qui est une hypothèse très "pessimiste"), lerendement s'exprime par la relation suivante :
η αα
τη αη
τ αη
= − − −
− − − −
1 1
1 11
( )
( )
x
x
tc
c
Le rapport du rendement avec prélèvement sur le rendement sans prélèvement (η0) est
représenté sur la figure A.4. Un prélèvement de fluide en sortie de compresseur, même faible, dégradesensiblement le rendement. Il est donc économiquement intéressant d'optimiser les procédés derefroidissement.
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 0,05 0,1 0,15 0,2x
η / η0
Fig. A.4. Rendement du turbomoteur en fonction du taux de prélèvementP2/P1 = 10, τ = 4,44 K, ηc = 0,785, ηt = 0,90.
ANNEXE II
Anémomètre Laser Doppler(Spectra-Physics, puissance 5 W)
Le volume de mesure de l’anémomètre LASER-Doppler est délimité par l’intersection
de deux réseaux de franges d’interférence créés, d’une part, par les faisceaux vert et commun
et, d’autre part, par les faisceaux bleu et commun. Les caractéristiques de ces deux réseaux
sont données dans le tableau A.l.
Raie Longueur d’onde Distance minimale Nombre de
(nm) entre des franges @m) franges
I VerteI
488,3 3,357I 4I
Bleue 514,5 3,540 45/
Tab A. 1 Caractéristiques principales des deux réseaux d’interfranges.
Par ailleurs, les dimensions du volume de mesures sont les suivantes :- longueur : 1,l mm- diamètre : 80 prn.
La figure A.5 illustre le positionnement de l’anémomètre Laser-Doppler par rapport à la veined’essais.
Fig. A5 Mesure par anémométrie Laser-Doppler
166
ANNEXE III
Caméra Infrarouge
yCARACTERIS~lQUES.GENERALES DE LA TVS 2000. MB. Y.--. . . . . _ . _a._ _.. . \
Plage de température
PrécisionSensibiliti thermique
2 plages: 40°C a +95OTou : -aoc à 2ooo”c
+/- 0,3%0.1’ sur Corps Noir à 30°C
Etalonnage interneEmissivitiDistance de l’objet
.1 corps noir interne
Correction totale ou partielIePar logiciel de traitement
Humidité Par logiciel de traitement
Angle d’ouvertureDistance de focalisationRésolution spatiale
15* H x lo” vDe 2Ocm à I’infini
1.9 mrad à 50% de modulationSurface minimum observable 90mm H x 60mm V
CapceurBaiayageFréquence imageType de refroidissementAutonomie (ditente Joule - Thomson )
10 éléments InSbRotacion d’un polygone à 10 faces téfléchissances
30 images/sec (15 images pour Ie modèie LW)Décence Joute -Tnomson (gaz ARGON) / Cycle Stirling
Szfon conditionnemeac du gaz (voir annexe)
%ombte de curseursFonction zoom ’Scociiage interne numérique
Synchronisation externe (pour acquisition, lecture,
Grossissement 2x2Disquette 3 1/2 (autonomie 20 images)
Temps titi t sauvegarde MOD (autonomie 204 images)Signal TTL
PC ( disque dur, disquette...... >
Enregistreur vidéoImprimante couleur
Par liaison SCSI à 4 images/sec .Capacité suivant disque dur (50 Ko /image)
Marérief grand public (Standard PAL ou RGB)Matériel grand public
Température utilisationTempiracure stockageDimensions
Caméra : - 10 /+U”C processeur : 0/40°Co/+40°c
Caméra : 175*184*80 mmProcesseur : 300*400* 170 mm
PoidsConsommationDocumentationFormation
Caméra = 2.3 kg processeur : 9 kg100 h 200 VA (suivant modtfe)
En FrancaisOUI’
*. *a
Contrat de maintenanceDéhi de livraison moyencoût
Possible‘6 à 8 semaines
Entre 230 KF et 450 KF (seion options)
167
171
ANNEXE IV
Couches limites dynamiques pour Te = 45 et 100 °C
Les profils de vitesses longitudinales, pour un écoulement potentiel à 45 et 100 °C,sont présentés respectivement sur les figures A.6 et A.7.
0
2
4
6
8
10
12
0 10 20 30 40 50 60 70 80
X2 (mm)
U1e (m/s)
mesures avant l'injection
mesures à x1 = 1,55 m
simulations numériques
Fig. A.6 Couches limites dynamiques pour Te = 45 °C et F = 1,1 %.
0
2
4
6
8
10
12
0 10 20 30 40 50 60 70 80
X2 (mm)
U1e (m/s)
mesures F = 1,3 %
simulations numériques
mesures F = 0 %
Fig. A.7 Couches limites dynamiques pour Te = 100 °C et x1 = 1,55 m.
173
ANNEXE V
Estimation de la précision de la mesure du taux d’injection
Le taux d’injection, F, est calculé à partir des caractéristiques (∆P, v) des paroisporeuses (un exemple est donné sur la figure A.8). Cette méthode indirecte de calcul du tauxd’injection a été retenue car la mesure au diaphragme de F s’avère peu précise pour les trèsfaibles débits injectés. Une régression linéaire, dans la région où la loi de Darcy est valide,permet d’estimer la valeur de la perméabilité ainsi que l’écart type lié à la précision desmesures de gradient de pression et de vitesse de l’air injecté.
0
300000
600000
900000
1200000
1500000
1800000
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3
v (m/s)
∆P/∆x2 (Pa/mm)
mesures régression linéaire
∆P / ∆x2 = µ/K v
Fig. A.8 Gradient de pression au bornes du milieu poreux en fonction de la vitesse del’écoulement secondaire.
La précision relative sur le taux d’injection est donnée par la relation suivante :∆ ∆ ∆F
F
U
U
U
Ue
e
w
w= +( )
( )
( )
( )
ρρ
ρρ
1
1
2
21
Compte tenu de la précision des mesures de pression dynamique et de température del’écoulement potentiel, respectivement de 1 Pa et 1 K, la vitesse massique de l’écoulementpotentiel est connue à 1,5 % près.
La précision sur la vitesse massique de l’écoulement secondaire est obtenue par :
∆ ∆ρ ∆ ∆ ∆∆
( )
( )
( )ρρ ρ
µ
µU
UK
K
P
Pw
w
w
w
2
2= + +
le rapport µ / K étant donné par la pente de la caractéristique de la paroi considérée (cf.figure A.8).
174
Le terme prépondérant dans le calcul d’erreur est l’incertitude relative du gradient depression aux bornes du milieu poreux. Les précisions obtenues sont calculées en tenantcompte des fluctuations de pression observées (de l’ordre de ± 20 Pa) et des écarts typesobtenus sur le rapport µ / K. Pour les trois classes de matériaux poreux étudiées, on obtient lesrésultats portés sur le tableau A.2.
matériau intervalle deconfiance sur µ/K
précision pourF < 0,5 %
classe 5 0,5 % 9 %classe 10 0,5 % 9 %classe 20 1 % 13 %Tab. A.2 Précision obtenues sur le taux d’injection.
En revanche, pour les forts taux d’injection, la mesure directe du taux d’injection àl’aide du diaphragme est tout à fait précise. Le débit massique de l’écoulement secondaire, qm,est déduit de la mesure de la perte de charges aux bornes du diaphragme, ∆Pdiaphragme :
q a Pm amont diaphragme= ρ ∆
a est une constante numérique et ρamont la masse volumique de l’air en amont dudiaphragme.
L’incertitude sur la vitesse massique de l’écoulement secondaire est alors :
∆ ∆ ∆ρ ∆ ∆
∆( )
( )
( )ρρ ρ
U
U
A
A
P
Pw
w
amont
amont diaphragme
diaphragme2
2
1
2
1
2= + +
où A est l’air de la surface d’injection.
L’ordre de grandeur des fluctuations de ∆Pdiaphragme est de ± 50 Pa, les mesures delongueur et de température sont prises à respectivement 1 mm et 1 K près. Il en résulte pourF > 8 %, une incertitude sur la mesure du taux d’injection de 4 %.
ANNEXE VI
Chromatographe MT1 P200H
Cartouche de gaz vecteur (hélium)_ __(autonomie 40 h)
batmit: LILL a *‘1_(autonomie 4 h)
Pompe interne a aspUObAV__ _.
second module permettantl’analyse de composés diffi
sans changer de colonne
14 k
~omatographie
Pinjecteur, colonne, detecteur à catha
(10 x 163 x 8,5 cm)
177
ANNEXE VII
Etalonnage du chromatographe
L’étalonnage du chromatographe est décrit dans cet annexe. Les résultats del’étalonnage permettent de relier la concentration d’une espèce à l’aire d’un "pic" obtenu surle chromatogramme.
MéthodologieUne quantité connue d’éthanol liquide est injecté, à l’aide d’une micro-seringue, dans
un ballon de volume connu (2 litres). L’éthanol se volatilise dans le ballon et un mélange air-vapeur d’éthanol homogène est obtenu. Un tube de prise d’échantillon relie le ballon auchromatographe et, pour chaque concentration, plusieurs chromatogrammes sont enregistrés.On compare alors le rapport de la masse d’éthanol sur la masse d’air au rapport des aires des‘pics’ correspondants à ces deux espèces.
RésultatsUne droite d’étalonnage est obtenue (figure A.9). La pente de la droite est de 75,2 ±
0,1.
0
1
2
3
4
5
6
7
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
méthanol / mair
Séthanol / Sair (%)
Fig. A.9 Courbe étalonnage du chromatographe(S est l’aire d’un ‘pic’ du chromatogramme).
L’obtention d’un étalonnage reliant des grandeurs relatives s’avère d’une grande commoditépour les mesures de concentration in situ. Les rapports de surfaces entre les "pics" d’éthanol et ceuxde l’air sont relevés et la droite d’étalonnage permet l’obtention directe des fractions massiques, C, devapeur d’éthanol :
C
m
mm
m
éthanol
air
éthanol
air
=+1