UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO

CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE RONDONÓPOLIS

Instituto de Ciências Agrárias e Tecnológicas

Curso de Engenharia Mecânica

Disciplina de Tópicos Especiais II

ARTHUR MORAES E VIDEIRA

ÍTHALO MORAES SANTANA

MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS APLICADO À

TRANSFERÊNCIA DE CALOR

Profª Drª Kéteri

Rondonópolis - MT

03 de março de 2013

SUMÁRIO

LISTA DE FIGURAS........................................................................................................3

1. INTRODUÇÃO.............................................................................................................4

2. PROBLEMA PROPOSTO E INTERPRETAÇÕES INICIAIS....................................5

3. DHAHDIA....................................................................................................................5

3.1. DHIASHDIU..........................................................................................................5

5. CONCLUSÃO...............................................................................................................5

6. REFERÊNCIAS............................................................................................................6

LISTA DE FIGURAS

Nenhuma entrada de índice de ilustrações foi encontrada.

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1. INTRODUÇÃO

Na matemática, o método dos elementos finitos é uma técnica numérica para

encontrar soluções aproximadas para problemas de valor de contorno. Constitui-se na

utilização de métodos variacionais para minimizar uma função de erro e produzir uma

solução estável. Análoga à idéia de que a conexão de muitas linhas retas pequenas pode

aproximar um círculo maior, o método dos elementos finitos engloba todos os métodos

para conectar muitas equações simples ao longo de muitos subdomínios pequenos,

chamados elementos finitos, para aproximar à uma equação mais complexa através de

um domínio maior.

Embora seja difícil citar uma data da invenção do método dos elementos finitos,

o método originou a necessidade de resolver os complexos problemas elasticidade e de

análise estrutural civis e aeronáutica . Seu desenvolvimento pode ser rastreado até o

trabalho de A. Hrennikoff e R. Courant . Embora as abordagens utilizadas por esses

pioneiros são diferentes, eles compartilham uma característica essencial: malha de

discretização de um domínio contínuo em um conjunto de sub-domínios discretos,

normalmente chamados de elementos.

O método dos elementos finitos obteve seu verdadeiro impulso na década de

1960 e 70, desenvolvido por Argyris e colegas de trabalho na Universidade de Stuttgart,

Clough e colegas de trabalho na Universidade de Berkeley , e Zienkiewicz e colegas de

trabalho na Universidade de Swansea. Um maior impulso foi dado nestes anos pelos

softwares open source disponíveis. A NASA patrocinou a versão original

do NASTRAN , e Berkeley fez o programa de elementos finitos SAP IV. A base

matemática rigorosa para o método de elementos finitos foi fornecida em 1973, com a

publicação por Strang e Fix.

O método desde então tem sido utilizado para a modelagem numérica de

sistemas físicos em uma ampla variedade de disciplinas da engenharia como, por

exemplo, eletromagnetismo, transferência de calor e dinâmica de fluidos.

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2. PROBLEMA PROPOSTO E OBJETIVO

O problema propõe calcular a distribuição de temperaturas em uma placa plana

com as temperaturas conhecidas nas bordas utilizando uma malha de, no mínimo, 50

nós. É necessário também recorrer à um software matemático, de livre escolha, para a

resolução do problema.

Traçamos como objetivo a elaboração de uma malha quadrada de 100×100,

totalizando 10000 nós, com uma placa de lado L=1m . O software utilizado será o

Matlab.

As temperaturas nas extremidades da placa estão definidas na Tabela 1.

BORDA SUPERIOR

INFERIOR

ESQUERDA

DIREITA

TEMPERATURA

500 K 150 K 25 K 830

Tabela 1 - Temperaturas

Considerando uma placa de ferro, a condutividade térmica será k=80,3W

m. K .

Iremos adicionar ainda uma geração e=10Wm

em toda a placa .

A Tabela 2 mostra os valores conhecidos e os que devemos calcular em cada

superfície de controle dos nós.

T 1 2 3 ... 98 99 100 i

1 25 500 500 500 500 500 830

2 25 ? ? ? ? ? 830

3 25 ? ? ? ? ? 830

... 25 ? ? ? ? ? 830

98 25 ? ? ? ? ? 830

99 25 ? ? ? ? ? 830

100 25 150 150 150 150 150 830

j

Tabela 2 - Nós conhecidos

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3. EQUAÇÃO GERAL

A equação geral para a malha apresentada é:

T i , j=(T i−1 , j+T i+1 , j+T i , j+1+T i , j−1+

e∗∆ x2

k )∗1

4

Onde T i , j é a temperatura no nó (escala Kelvin), e é a geração de calor (W/m²),

∆ x é a distância (metros) entre dois pontos da malha e k é a constante de condutividade

térmica do material (W/m.K).

3.1. Exemplo para cálculo de T 2,2

Como exemplo, calcularemos o valor do nó T 2,2 e, em seguida, elaboraremos a

rotina de resolução do exercício.

A equação geral torna-se, então:

T 2,2=[T 1,2+T 1,2+T 2,1+T2,2+

10∗(1/(100−1))2

80,3 ]∗1

4

T 2,2=[T 1,2+T 1,2+T 2,1+T2,2

4+3,17653814∗10−6]

O mesmo procedimento se aplica aos outros nós.

Com as outras equações, monta-se o sistema e pode-se obter o valor da

temperatura em cada nó resolvendo-o.

4. ELABORAÇÃO DA ROTINA NO MATLAB

5. RESULTADOS OBTIDOS

Após a execução do programa, entrando com os valores indicados anteriormente

e admitindo-se um erro de 0,0001, obtemos os seguintes resultados:

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5. CONCLUSÃO

Com a resolução do problema proposto, pode-se concluir que a subdivisão de

um domínio em partes mais simples tem várias vantagens, dentre elas podemos citar o

fato de obter uma representação precisa, mesmo que seja de geometrias complexas.

Além disso, é possível a inclusão de propriedades de materiais dissimilares.

Outras características são a fácil representação da solução final e a captura de

efeitos locais distribuídos ao longo do domínio.

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6. REFERÊNCIAS

- Notas de aula da disciplina de Materiais de Construção Mecânica I (UFMT,

2010/2).

- Notas de aula da disciplina de Metrologia e Controle de Qualidade (UFMT,

2010/2).

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