Instituto Federal Sul-Rio-Grandense Curso Superior de Engenharia Eltrica

Disciplina de Sistemas de Controle

TRABALHO

Realimentao de estados

Aluno:Wilian Peres Chaves

Professor:Carlos Mendes Richter

Pelotas

Maio de 2015.

Do exemplo 12.2 (Ogata, 3ed), projete um observador de estados para o sistema

= +

=

Onde

= 0 1

20 ,6 0 , =

01

, = [1 0 ]

Considerando que se pretende realimentar o sistema com os estados observados e obter um sistema realimentado com dinmicas duas vezes mais rpidas que o sistema original.

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1 Sistema no realimentado

Comeamos verificando se o sistema proposto tem as caractersticas de

controlabilidade-observabilidade. Para tanto, confirmamos que o posto da matriz

= [ ] = 0 11 20 ,6

2. Temos portanto, um sistema plenamente controlvel.

Em seguida, obtemos a matriz

| | = 1

20 ,6

De onde extramos a equao caracterstica do sistema no realimentado:

20 ,6 = 0

Da qual se obtm, primeiro, os polos do sistema no realimentado, que so

= 4,54 = +4,54

Conclumos que o sistema original apresenta um polo no semipleno direito, sendo

portanto instvel. Dele, obtemos a seguinte resposta aplicao de um degrau unitrio:

Da mesma equao caracterstica acima, obtemos os termos

= 0 = 20 ,6

Com os quais partiremos a fim de encontrar a matriz K do sistema realimentado.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

2

4

6

8

10

12

14

16

18x 10

7 Step Response

Time (seconds)

Ampl

itude

2 Sistema realimentado

Consideraremos como polos do sistema fechado desejado os valores fornecidos

por OGATA em seu exemplo 12.3:

= 1 ,8 + 2 ,4 = 1 ,8 2 ,4

Com os quais obtemos a equao caracterstica do sistema desejado:

+ 3,6 + 9 = 0

Desta equao, temos os termos

= 3,6 = 9

Donde, finalmente, obtemos a matriz k

= [ ] = [29 ,6 3,6 ]

Com a qual formataremos um sistema realimentado tal qual este:

Na figura a seguir conferimos os detalhes da resposta dinmica:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5Step Response

Time (seconds)

Ampl

itude

Step Response

Time (seconds)

Ampl

itude

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

System: G

Peak amplitude: 3.41

Overshoot (%): 10.6

At time (seconds): 1.25

System: G

Rise Time (seconds): 0.584

3 Sistema com realimentao baseada nos estados observados

Para obtermos um sistema com o dobro da velocidade, em termos de resposta

dinmica, primeiro faremos o projeto de um sistema com realimentao de estados

observados, da seguinte forma:

Escolhendo os polos do observador um tanto mais afastados do eixo j

a fim de obter um sistema com o dobro da velocidade, arbitramos os polos em

= 8 = 8

ou seja, aproximadamente quatro vezes o valor real dos polos do sistema

realimentado. Com tais polos, obtemos a equao caracterstica

+ 16 + 64 = 0

E os valores de

= 16 = 64

Com os quais obteremos Ke

= ()

Com

= 11 0

= 0 11 0

E

=

=

1 00 1

Donde

= 0 11 0

= 16

84,6

Com os quais obtemos a funo de transferncia do observador controlador:

778,2 + 3690 ,7

+ 19 ,6 + 151 ,2

A funo de transferncia do sistema, como um todo, seria:

=778,2 + 3690 ,7

( + 19 ,6 + 151 ,2 )( 20 ,6 ) + 778.2 + 3690 ,7

() =778,2 + 3690 ,7

+ 19 ,6 + 130 ,65 + 374,44 + 575,98

Esta funo de transferncia nos d a seguinte resposta ao degrau unitrio:

Conforme podemos verificar, a resposta dinmica muito prxima daquela

apresentada pelo sistema sem o observador:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

1

2

3

4

5

6

7

8Step Response

Time (seconds)

Ampl

itude

Step Response

Time (seconds)

Ampl

itude

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

1

2

3

4

5

6

7

8System: H

Peak amplitude: 7.08

Overshoot (%): 10.5

At time (seconds): 1.33

System: H

Settling Time (seconds): 2.02

System: H

Rise Time (seconds): 0.597

Concluses

A fim de aumentar a velocidade do sistema, a soluo afastar os polos do sistema realimentado do eixo j, notando que as demais caractersticas da resposta dinmica, que tambm dependem da localizao de tais polos, podem sofrer alteraes.

A resposta do sistema com um observador foi mantida bem prxima daquela correspondente ao sistema realimentado sem este observador, o que corresponde s formulaes tericas.

Referncias

OGATA, Katsuhiko. Engenharia de controle moderno. 3e. RJ: LTC, 1998.