Trabalho Computacional - Geração de Variáveis Aleatórias
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE TELEINFORMÁTICA
CURSO DE ENGENHARIA DE TELECOMUNICAÇÕES
GERAÇÃO E OBSERVAÇÃO DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
Aluno: Jessé Robson Araújo Leite - 375149
Professor: Dr. Charles Casimiro Cavalcante
Disciplina: Estatística para Engenharia
FORTALEZA
2016
SUMÁRIO
1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS COM DISTRIBUIÇÃO UNIFORME .............................. 2
2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS COM DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL ....................... 4
3 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS COM DISTRIBUIÇÃO DE CAUCHY ............................ 6
4 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS COM DISTRIBUIÇÃO GAUSSIANA ............................ 9
REFERÊNCIAS ................................................................................................................ 12
1. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS COM DISTRIBUIÇÃO UNIFORME
Para a geração de variáveis aleatória uniformes, utilizou-se o método congruencial
misto. Que usa a seguinte equação.
x (n )=[ax (n−1 )+b ] modulo m (1)
Os parâmetros a e c e m foram escolhidos obedecendo as seguintes regras.
a<m e c<m (2)
Além disso, a constante a foi escolhida de tal forma que fosse igual a 1 em aritmética
de módulo 4, a = 1, 5, 9, 13, ...., e a constante c foi escolhida como um número ímpar.
Os valores de a e de c escolhidos para a geração de variáveis aleatórias distribuídas
uniformemente foram 13 e 7 respectivamente.
Para x(0), tentou-se tornar a sua escolha de forma aleatória. Logo, foi-se utilizado o valor
do relógio do momento que o programa rodou como sendo a semente.
Foi criada uma função no software MATLAB para gerar um histograma para esta
distribuição uniforme, assim não foram utilizadas as funções prontas que o software
disponibiliza. O gráfico obtido para a variável aleatória uniformemente distribuída no
intervalo de [3,7] que foi gerado está disposto na Figura 1.
Figura 1 – Gráfico gerado para uma distribuição uniforme.
Fonte: Elaborado pelo autor
A média e variância para a distribuição gerada foram 4,9980 e 1,3423
respectivamente. Como podemos ver, os valores experimentais são bem próximo dos valores
teóricos – média 5,0 e variância 1,33. Os valores obtidos são diferentes dos teóricos devido
que os valores teóricos são calculados para um intervalo com infinitas amostras e também por
casos ideais onde as variáveis são de fato aleatórias. Para o nosso caso, as variáveis geradas
são pseudoaleatórias.
Também foi gerado a CDF da distribuição uniforme utilizando a seguinte equação.
F ( x )= x−AB−A
(3)
Onde A e B são os limites do intervalo [A,B].
A partir da Eq. (3), foi criado um programa para gerar o gráfico da CDF para a
distribuição uniforme. O gráfico gerado está disposto na Figura 2.
Figura 2 – Gráfico de CDF uniforme.
Fonte: Elaborado pelo autor.
2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS COM DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL
Para a geração de variáveis aleatórias com distribuição exponencial, utilizou-se o
método da FDA inversa. A partir da função de densidade de probabilidade (FDP), integrou-se
a função para obter-se a função de densidade acumulada (FDA) e depois se obteve a inversa
da FDA obtida.
f ( x )= λ e−λx , x≥ 0 , λ>0 (4)
F ( x )=∫0
x
λ e−λu du(5)
Posteriormente, aplicou-se o método da FDA inversa na Eq. (5) e obteve-se a seguinte
expressão.
F x−1 ( y )=1
λ∗log (1− y ) (6)
Onde y são números aleatórios uniformemente distribuídos, gerados pelo método
congruencial misto, no intervalo de [0,1].
A partir da Eq. (6), foi criado um programa para gerar variáveis aleatórias com
distribuição exponencial, utilizando λ = 4. O gráfico gerado está disposto na Figura 3.
Figura 3 - Gráfico gerado para uma distribuição exponencial.
Fonte: Elaborado pelo autor.
A média e variância para a distribuição gerada foram 0.2486 e 0.0604
respectivamente. Como podemos ver, os valores experimentais são bem próximo dos valores
teóricos – média 0,250 e variância 0,0625. Os valores obtidos diferenciam-se dos teóricos
porque os valores teóricos são calculados para um intervalo com infinitas amostras e também
por casos ideais onde as variáveis são de fato aleatórias. Se fosse possível efetuar interações
infinitas, poderia ser possível analisar os valores teóricos.
Também foi gerado a CDF da distribuição exponencial utilizando a seguinte equação.
F ( x )=1−e−λx (7)
A partir da Eq. (7), foi criado um programa para gerar o gráfico da CDF para a
distribuição exponencial, λ = 4. O gráfico gerado está disposto na Figura 4.
Figura 4 – Gráfico de CDF exponencial.
Fonte: Elaborado pelo autor.
3. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS COM DISTRIBUIÇÃO DE CAUCHY
Para a geração de variáveis aleatórias com distribuição de Cauchy, utilizou-se o
método da FDA inversa. A partir da função de densidade de probabilidade (FDP), integrou-se
a função para obter-se a função de densidade acumulada (FDA) e depois se obteve a inversa
da FDA obtida.
f ( x )=
απ
x2+α2 , −∞<x<+∞ , α>0
(8)
F ( x )=∫−∞
xαπ
u2+α2 du
(9)
Posteriormente, aplicou-se o método da FDA inversa na Eq. (9) e obteve-se a seguinte
expressão.
F x−1 ( y )=α∗tang ( y∗π−π
2) (10)
Onde y são números aleatórios uniformemente distribuídos, gerados pelo método
congruencial misto, no intervalo de [0,1].
A partir da Eq. (10), foi criado um programa para gerar variáveis aleatórias com
distribuição exponencial, utilizando α = 3. O gráfico gerado está disposto na Figura 5.
Figura 5 – Gráfico gerado para uma distribuição de Cauchy.
Fonte: Elaborado pelo autor.
Também se utilizou o método da divisão de gaussianas independentes para simular a
distribuição de Cauchy. O gráfico gerado está disposto na Figura 6.
Os dois gráficos gerados são bem parecidos, apesar da dispersão aparentemente um pouco maior dos resultados na Figura 6, a maioria dos resultados estão concentrados próximo de 0.
A distribuição de Cauchy não possui média definida, logo também não possui variância.
Figura 6 - Gráfico gerado para uma distribuição de Cauchy por divisão de gaussianas.
Fonte: Elaborado pelo autor.
Também foi gerado a CDF da distribuição exponencial utilizando a seguinte equação.
F ( x )= 1π∗arctg ( x
α )+ 12
(11)
A partir da Eq. (11), foi criado um programa para gerar o gráfico da CDF para a
distribuição de Cauchy, α = 3. O gráfico gerado está disposto na Figura 7.
Figura 7 – Gráfico de CDF de Cauchy.
Fonte: Elaborado pelo autor.
A seguir estão dispostas ampliações da Figura 7.
Figura 8 – Ampliações da CDF de Cauchy.
Fonte: Elaborado pelo autor.
4. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS COM DISTRIBUIÇÃO GAUSSIANA
Para a geração de variáveis aleatórias com distribuição gaussiana, utilizou-se o
Teorema Central do Limite (TCL). Para gerar uma distribuição gaussiana de média μ = 0 e
σ = 1 soma-se 12 distribuições uniformes de [0,1] e subtrai-se o valor 6 dessa soma, de acordo
com a Eq. (12).
Z12=∑i=1
12
X i−6(12)
Para deslocar a distribuição gaussiana basta multiplicar a distribuição pelo desvio
padrão e somar a média, de acordo com a Eq. (13).
Z '12=μ+σ∗Z12 (13)
Posteriormente, foi gerada a distribuição gaussiana utilizando média μ = 2 e variância
σ2 = 3 aplicando a Eq. (13). O gráfico gerado está disposto na Figura 9.
Figura 9 – Gráfico gerado para uma distribuição gaussiana.
Fonte: Elaborado pelo autor.
A média e variância para a distribuição gerada foram 1.9711 e 3.0943
respectivamente. Como podemos ver, os valores experimentais são bem próximo dos valores
teóricos – média 2,0 e variância 3,0. Os valores obtidos diferenciam-se dos teóricos porque os
valores teóricos são calculados para um intervalo com infinitas amostras e também por casos
ideais onde as variáveis são de fato aleatórias. Se fosse possível efetuar interações infinitas,
poderia ser possível analisar os valores teóricos.
Foi gerado um gráfico de comparação da distribuição gaussiana gerada utilizando a
função histfit do software MATLAB. O gráfico gerado está disposto na Figura 10.
Figura 10 – Gráfico de comparação da distribuição gaussiana.
Fonte: Elaborado pelo autor.
Também foi gerado a CDF da distribuição gaussiana somando a probabilidade de cada
número. O gráfico gerado está disposto na Figura 11.
Figura 11 – Gráfico de CDF gaussiana.
Fonte: Elaborado pelo autor.
REFERÊNCIAS
Autor não explicitado. Guia de Normalização de Trabalhos Acadêmicos Da Universidade
Federal Do Ceará. 2013.
Devore, Jay L. Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências. São Paulo: Cengage
Learning. 2011. p 85 – 152.
Pratap, Rudra. Getting Started with MATLAB: A Quick Introduction for Scientists and
Engineers. New York, USA: Oxford University Press, Inc. 2010. p 5 – 129.
SITES, consultas realizadas no período de 06 de Janeiro a 24 de Janeiro de 2016 nos
endereços eletrônicos abaixo.
https://pt.wikipedia.org/
http://www.portalaction.com.br/
http://www.wolframalpha.com/