Trabalho Calculo 3
27
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL CAPÍTULO 5 Alunas: Jéssica Augusta Pereira da Silva Laynara Xavier Barroso Luisa de Franco Fidalgo Vanessa de Moura Santana 1
-
Upload
murilo-piovesan -
Category
Documents
-
view
109 -
download
2
Transcript of Trabalho Calculo 3
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
CAPÍTULO 5
Alunas: Jéssica Augusta Pereira da Silva
Laynara Xavier Barroso
Luisa de Franco Fidalgo
Vanessa de Moura Santana
1
Exercícios 5.4
1. Calcule:
a) ∭B
❑
xyz dxdydz onde B é o paralelepípedo 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1 e 1 ≤ z ≤ 2.
∭B
❑
xyz dxdydz=∫1
2
∫0
1
∫0
2
xyz dx dy dz = ∫1
2
∫0
1
yz (2−0)2
2dy dz = ∫
1
2
2 z (1−0 ) ²2
dz
¿∫1
2
z dz = 2²2
−1 ²2 =
32
∴∭B
❑
xyzdxdydz=32
b) ∭B
❑
xdxdydz onde B é o conjunto 0≤ x≤1e x+ y ≤ z≤ x+ y+1
∭B
❑
xdxdydz=∬k
❑ ( ∫x+ y
x+ y+1
xdz)dxdy=∬k
❑
¿¿¿¿
¿∫0
1
(∫0
1
xdx )dy=∫0
1 12
dy=12
∴∭B
❑
xdxdydz=12
d ¿∭B
❑
√1−z2dxdydz onde B é o conjunto 0≤x≤1,0≤y≤1 e 0≤z≤1.
2
∭B
❑
√1−z2dxdydz = ∫0
1
¿¿ =∫0
1
(∫0
1
√1−z2[x ]¿dy )dz ¿
=¿ = ∫0
1
√1−z2dz
Fazendo substituição trigonométrica :
∫0
1
√1−z2dz Sendo z=sen𝛝;
dz=cos𝛝 ∫0
1
√1−sen2ϑ cosϑ d𝛝
Sabendo que cos2ϑ=1−sen2ϑ
∫0
1
√cos2ϑ cos ϑd𝛝 =∫0
1
cos2ϑd𝛝= sen𝛝cos𝛝/2 +𝛝/2
Voltando a equação original √1−z2,e aplicando em um triangulo retângulo .Temos que:
Sen𝛝=z/1=z e e cos𝛝= √1−z2/1=√1−z2
A plicando na integral encontrada com 0≤z≤1
Temos:∫0
1
√1−z2dz=¿ [ sen𝛝cos𝛝/2 +𝛝/2]10 =[ z √1−z2 /2 +arcsenz/2]
10
=[ 1 √1−1 z2 /2 +arcsen1/2]- [ 0 √1−02 /2 +arcsen0/2]
= arcsen1/2=(π/2)/2=π/4
∴∭B
❑
√1−z2dxdydz=π4
e)∭B
❑
dxdydz onde B é o conjunto x2+y2≤z≤2x
3
∭B
❑
dxdydz=∬K
❑
¿¿=∬K
❑
(¿2−x2− y2)dxdy ¿
Intersecção
x2+y2=2x ...Fazendo completamento de quadrado ,temos que :
x2+2x +y2 =0
x2+2x +1+y2 =1... (x-1)2+y2=1
Mudança de variável
{x−1=⍴cosϑ …x=1+⍴cosϑy=⍴senϑ
∂(x , y ,)∂(⍴ ,ϑ )
= ⍴
Mudança de parâmetros
0≤⍴≤1
0≤𝛝≤2π
Calculando
4
∭B
❑
dxdydz=∫0
2π
¿¿=∫0
2π
¿¿=
¿∫0
2π
(⍴22 )∨10−¿(⍴4
4∨10
)d𝛝= ∫0
2π
dϑ =14 (𝛝|
2π0 =14 (2π-0)=
π2
∴∭B
❑
dxdydz=π2
f ¿∭ ( x2+z2 ) dxdydz , onde B é o conjunto x ²+ y ²≤1 ,0≤ z≤1
1. Solução:
∭B
❑
( x2+z2 ) dxdydz=¿∬[∫01
( x2+z2 ) dz ]dxdy=∬(x2+ 13 )dxdy¿
-passando para coordenadas polares:
2.{x=ρcosθy=ρsenθ
- Jacobiano:∂(x , y )∂ (ρ ,θ)
=¿ |cosθ −ρ senθsenθ ρ cosθ | = ρ cos ²θ+ ρ sen ²θ = ρ
3.{0≤θ ≤2π0≤ ρ≤1
4.∫0
2π
∫0
1
( ρ2co s2θ+ 13 ) ρdρdθ=∫
0
2π
∫0
1
( ρ3co s2θ¿¿¿¿+13
ρ)dρdθ¿¿¿¿
¿∫0
2π
( ρ4
4cos ²θ¿ +1
3ρ ²2
)|10dθ=∫0
2π
( 14cos ²θ¿
+16
)dθ ¿¿
¿ 14∫02π
cos ²θdθ+ 16∫02 π
dθ
* Integração por partes: u=cosθdu=−senθ dθ
5
dv=cosθ dθ v=senθ
Temos que:
∫cos2θ dθ=senθ cosθ –∫ sen ²θ dθ
∫cos2θ dθ=senθ cosθ+∫(1−cos2θ)dθ
∫cos2θ dθ=senθ cosθ+∫1d θ−∫cos ²θ dθ
2∫ cos2θ dθ=senθcosθ+∫ 1dθ=12
senθ cosθ+ 12∫ dθ
Substituindo na integração:
¿14
π+ 162π=π
4+ π3=7 π12
∴∭B
❑
(x2+z2)dxdydz=7 π12
h¿∭B
❑
ydxdydzonde B é o conjunto x2+4y2≤1, 0≤z≤1.
∬K
❑
¿¿
Achando k
Mudança de variável
x=⍴cos𝛝
2y= sen⍴ 𝛝 ... y= sen⍴ 𝛝 /2 ∂(x , y)/∂ (⍴ ,ϑ ) =⍴/2
Mudança de parâmetros
0≤𝛝≤2π
0≤⍴≤1
6
Calculando
∭B
❑
ydxdydz=∫0
2π
¿¿)d d⍴ 𝛝= ∫0
2π
(∫0
1
(⍴2 senϑ4 )d ⍴¿)dϑ ¿=
. =1/4∫0
2π
senϑ [⍴¿¿3/3]¿ 10d𝛝= ¼∫
0
2π
senϑ [1¿¿3/3]¿
= 1/12∫0
2π
senϑ d𝛝 = 1/12[-cos𝛝]2π0 =1/12[-cos2π-(-cos0)]=(1/12)x(0)=0
∴∭B
❑
ydxdydz=0
n) ∭B
❑
x dxdydz onde B é o conjunto x ²≤ y ≤ x , 0≤ z≤ x+ y
Coordenadas cilíndricas:
01) Mudança de Variável:
{x=ρ cosθy=ρ senθ
z=z
Jacobiano:∂(x , y , z)∂ (ρ ,θ , z )
=|cosθ −ρ senθ 0senθ ρ cosθ 00 0 1|=ρ
02) Verificação de Parâmetros:ρ ² cos ²θ=ρ senθρ=tgθ secθ0≤ ρ≤ tgθ sec θ
ρ cosθ=ρ senθtgθ=1
0≤ θ ≤ π4
03) Calcular:
∫0
π4
∫0
tg θ sec θ
∫0
ρcosθ+ρ senθ
ρcosθ ρ dzd ρ dθ=¿
¿∫0
π4
∫0
tg θ secθ
ρ2cosθ ( ρ cosθ+ ρ senθ )d ρ dθ=¿ ¿∫0
π4
( senθ cosθ+cos2θ ) ( tgθ sec θ)4
4dθ=¿
tgθ4 sec 4θ= sen4θcos8θ
¿ 14∫0
π4
( sen5θcos7θ
+ sen4θcos6θ
)d θ=¿ 14∫0
π4
(tg5θ sec2θ+tg4θ sec2θ)d θ=¿
7
sec2θ=(1+tg2θ)
¿ 14∫0
π4
(tg7θ+tg5θ+tg6θ+tg4θ)d θ=¿
¿ 14 [∫
0
π4
tg7θ d θ+∫0
π4
tg6θ d θ+∫0
π4
tg5θ d θ+∫0
π4
tg4θ d θ ]=¿
∫ tg7θ=16
tg6θ−∫ tg5θ d θ
∫ tg6θ=15
tg5θ−∫ tg 4θ d θ
¿ 14 [ tg6θ
6 |π40
+ tg5θ5 |π
40 ]=14 ( 16 + 1
5 )= 11120
∴∭B
❑
xdxdydz= 11120
p¿∭ 2 zdxdydz , onde B é o conjunto 4 x ²+9 y ²+z ²≤ 4 , z≥0 .
x ²+ y ²49
+ z ²4
≤1
{ x=ρsenφcosθ
y=23
ρsenφsenθ
z=2 ρcosφ
- Jacobiano:∂(x , y , z)∂(θ , ρ , φ)
=43
ρ² senφ
ρ ² sen ²φcos ²θ+4 ρ ² sen ²φsen ²θ+4 ρ ² cos ²φ=4 4 ρ ² sen ² φ+4 ρ ² cos ²θ=4 ρ ²=1∴0≤ ρ ≤1
{ 0≤ ρ≤10≤θ ≤2π
0≤ φ ≤ π2
∭B
❑
2 zdxdydz=¿∫0
2π
∫0
π2
∫0
1
4 ρcosφ dρdθdφ=2π∫0
π2
cosφ ¿¿¿¿
8
¿2π∫0
π2
2cosφdφ=4 πsenφ|π20=4 π
∴∭B
❑
2 zdxdydz=4 π
2. Calcule o volume do conjunto dado:
c) x2+ y2≤ z≤4. Geometricamente:
. Intersecção:x2+ y2=4
{x=ρ cosθy=ρsenθ
∂(x , y )∂ (ρ ,θ)
=ρ 0≤ ρ≤2 ;0≤θ ≤2
. Cálculo do volume:
Vol B = ∬k
❑ ( ∫x2+ y2
4
dz )dxdy=∬k
❑
(4−x2− y2 ) dxdy=∫0
2 π
∫0
2
(4−ρ2 ) ρdρdθ
= ∫0
2π
(8−244 )=8 π
∴Volume deB=8 π
9
c)x2+y2≤z≤4.
Intersecção kx2+y2=4
Integral∭
B
❑
dxdydz=∬K
❑
¿¿=∬K
❑
4−¿¿ x2-y2dxdyAchando kMudança de variável Mudança de ParâmetrosX= cos𝛝 ⍴ ∂ /∂= ⍴ 0≤𝛝≤2πY= sen𝛝 ⍴ 0≤ ≤2⍴
∭B
❑
dxdydz=¿∫0
2π
¿¿¿-( cos𝛝 )⍴ 2-( sen𝛝 )⍴ 2)d )d𝛝=⍴ ∫0
2π
¿¿-⍴2)⍴d⍴)d𝛝 = ∫
0
2π
¿¿-⍴3)d⍴)d𝛝=∫0
2π
¿¿- [⍴4/4|20)d𝛝=∫
0
2π
(8−4 ) dϑ
10
=4∫0
2π
dϑ= 4[𝛝]2π0 =4(2π-0)=8π
∴Volume deB=8 π
h¿ x ²+ y ²≤ z ≤4 x+2 y
-interseção: { z=x ²+ y ²z=4 x+2 y => x ²+ y ²=4 x+2 y
x ²−4 x+4+ y ²−2 y+1=+4+1 ( x−2 )2+( y−1 )2=5
1.vol B=∬[ ∫x ²+ y ²
4 x+2 y
dz ]dxdy=∬ (4 x+2 y−x2− y2 ) dxdy
-passando para coordenadas polares:
2.{x−2=ρcosθy−1=ρsenθ - Jacobiano:
∂(x , y )∂ (ρ ,θ)
=¿ |cosθ −ρ senθsenθ ρ cosθ | = ρ cos ²θ+ ρ sen ²θ =
ρ
3.{0≤θ ≤2π0≤ ρ≤√5
4.∭B
❑
dxdydz=∫0
2π
∫0
√5
[4 ( ρcosθ+2 )+2 (1+ ρsenθ )+ (2+ρcosθ ) ²−(1+ρsenθ) ² ] ρdρdθ
¿∫0
2π
∫0
√5
(8+4 ρcosθ+2+2 ρsenθ−ρ2co s2θ+4 ρcosθ−4−ρ2 se n2θ+2ρsenθ−1)ρdρdθ
¿∫0
2π
∫0
√5
(5−ρ2 ( cos2θ+se n2θ )) ρdρdθ=∫0
2π
∫0
√5
(5−ρ2)ρdρdθ
¿∫0
2π
∫0
√5
(5 ρ− ρ3 ) dρdθ=2π (5 ρ ²2
¿¿− ρ4
4)¿¿¿
¿2π (252 −254 )=2π (50−254 )=254 2π=25
2π
11
∴Volume deB=252
π
o)B={x ²≤ z≤1− y e y ≥0 }.
Intersecção:
0≤ y≤−x2+1
−1≤ x ≤1
Cálculo:
Vol B=∭B
❑
dxdydz=¿∫−1
1
∫0
−x2+1 [∫x21− y
1dz ]dy dx=∫−1
1
∫0
−x2+1
(1− y−x2 ) dy dz=¿¿
¿∫−1
1
( y− y ²2 ¿−x ² y )|−x2+1
0dx=∫
−1
1
[(−x2+1 )− (−x2+1 )2
2¿−x ²(−x2+1)]dx=¿¿¿
¿∫−1
1
(−x2+1 ) dx−12∫−1
1
(−x2+1 )2dx−1∫−1
1
(−x4¿+x ²)dx=¿¿
¿(−x3
3+ x)| 1−1−12 ( x5
5−2 x3
3+x )| 1−1−(−x5
5+ x3
3 )| 1−1=¿
¿−23+2−1
2 ( 25−43 +2)−(−25 + 23 )=30−1015
−121615
− 415
=20−8−415
= 815
∴Vol B= 815
u . v .
3. Calcule a massa do cubo 0≤ x≤1,0≤ y≤1e0≤ z ≤1, cuja densidade no ponto (x,y,z) é a soma das cordenadas.
δ=x+ y+z
12
Massa de B= ∭B
❑
δ ( x , y , z ) dxdydz=∬K
❑
∫0
1
( x+ y+z ) dzdxdy
¿∫0
1
∫0
1
( 12 +x+ y)dxdy=32
∴Massa de B=32
Exercícios 5.51. Calcule:
a) ∭B
❑
xdxdydz onde B é o conjunto: x≥0 , x2+ y2+z2≤4
{x= ρsenφcosθy=ρsenφsenθ
z=ρcosφ
∂(x , y , z)∂(ρ , θ , φ)
=ρ2 sen
13
. x≥0=¿ ρ ≥0 , senφ≥0 ,cosθ ≥0
0≤ ρ≤2 ;− π2
≤ θ ≤ π2
;0≤ φ ≤ π
∭B
❑
xdxdydz=∫0
π
∫−π2
π2
∫0
2
ρ3 senφ2cosθdρdθdφ
¿∫0
π
∫−π2
π2164
senφ2 cosθdθdφ=∫0
π
8 senφ2dφ
¿8∗π2
=4 π
∴∭B
❑
xdxdydz=4 π
b)∭B
❑
z dxdydz onde B é o conjunto 0≤x2+y2+z2≤4,z≥0.
Mudança de variável {x=⍴cosϑsenϕ
y=⍴senϑsenϕz=⍴cosϕ
Verificar parâmetros:0≤𝛝≤2π1≤ ≤2 Jacobiano =⍴ ⍴2 sen ϕ
0≤𝛟≤π/2
∭B
❑
z dxdydz=∫0
π2
¿¿
14
=∫0
π2
¿¿=∫0
π2
¿¿
= 15/4∫0
π2
¿¿=30π/4∫0
π /2
senϕcosϕdϕ=Fazendo u=sen𝛟 du=cos𝛟d𝛟 d𝛟 = du
cosϕ Substituindo na integral:∭
B
❑
z dxdydz=¿ 30π/4∫0
π2
udu=30π/4(u2
2∨
π20
=30π/4( senϕ2
2∨
π20
=30π/8(sen2( π
2 )−sen2(0)¿
¿15π /4
∴∭B
❑
z dxdydz=15 π /4
c)∭B
❑
x dxdydz onde B é o conjunto x ²4
+ y ²9
+z ²≤1 , x≥0
( x2 )
2
+( y3 )
2
+( z1 )2
≤1
01) Mudança de Variável:
{x2=ρ cosθ senφ
y3=ρ senθsenφ
z=ρ cosθ
{x=2 ρcosθ senφy=3 ρ senθ senφ
z=ρ cosφ
Jacobiano: ∂(x , y , z)∂(θ , ρ ,φ)
=|−2 ρ senθ senφ 2cosθsenφ 2 ρcosθ cosφ3 ρ cosθ senφ 3 senθ senφ 3 ρ senθcosφ
0 cosφ − ρsenφ |=6 ρ ² senφ
02) Verificação de Parâmetros:
( 2 ρ cosθ senφ2 )
2
+(3 ρ senθ senφ3 )
2
+ ( ρ cosφ )2=1
ρ ² cos ²θ sen ²φ+ ρ ² sen ²θ sen ²φ+ρ ² cos ²φ=1ρ ² sen ²φ+ρ ² cos ²φ=1
15
ρ ²=10≤ ρ≤1
2 ρ cosθsenφ=0−π2
≤θ ≤ π2
0≤ φ ≤ π03)Calcular:
∭B
❑
xdxdydz=∫0
π
∫π2
−π2
∫0
1
2 ρcosθ senφ6 ρ senφdρ dθ dφ
¿ 14∫0
π
∫π2
−π2
12 sen ² φ cosθdθ dφ
¿3∫0
π
se n2φ senθ|−π2π2
dφ=6∫0
π
sen2φ dφ
¿6 [12 (−senφcosφ+φ )|π0 ]=3 π
∫ sen ²φ dφ=−senφcosφ+∫ cos ²φ dφ
∴∭B
❑
xdxdydz=3 π
d ¿∭B
❑
√x+ y 3√x+2 y−zdxdydz onde B é a região 1≤x+y≤2,0≤x+2y-z≤1 e 0≤z≤1.
Mudança de variável
{ u=x+ yv=x+2 y−2
w=z {x=2u−v−w
y=−u+v+wz=w
Jacobiano∂(x , y , z)∂(u , v , w)
= 2 −1 −1
−1 1 10 0 1
=1 Portanto∂(x , y , z )=∂(u , v ,w)
Mudança de parâmetros
1≤u≤2
0≤v≤1
0≤w≤1
16
Calculando
∭B
❑
√ x+ y 3√x+2 y−z= ∭B (u, v, w )
❑
√u 3√vdudvdw=∫0
1
¿¿
= 23∫01
¿¿
= 23∫01
¿¿=2(2√2−1)
3 ∫0
1
(32¿
v2/3∨10)dw ¿
=(2√2−1)∫0
1
(123 ¿−0
23)dw ¿=(2√2−1 )∫
0
1
dw
=(2√2−1 ) w∨10=(2√2−1 )
∴∭B
❑
√ x+ y 3√ x+2 y−z=(2√2−1 )
e ¿∭ zdxdydz , onde B é o conjunto z ≤√x ²+ y ² , x ²+ y ²+ z ²≤1.
x ²+ y ²+x ²+ y ²=12 x ²+2 y ²=1
2.{x=ρsenφcosθy=ρsenφsenθ
z=ρcosφ - Jacobiano:∂(x , y , z)
∂(θ , ρ , φ)=ρ ² senφ
3. z=ρcosφ=√ ρ ² sen ² φ
ρcosφ=ρsenφ
tgφ=1∴ π4
≤ φ≤ π2
ρ ² sen ²φ+ρ ² cos ²φ=1 ρ ²=1∴0≤ ρ ≤1
17
{ 0≤ ρ≤10≤θ ≤2ππ4
≤ φ≤ π2
4. ∭B
❑
zdxdydz=∫0
2π
∫π4
π2 [∫0
1
ρcosφρ ² senφdρ]dφdθ=∫0
2π
∫π4
π2
¿¿¿¿¿
¿ 14∫02π
∫π4
π2
senφcosφdφdθ=π2∫π
4
π2
udu=π2
¿¿¿¿
*u=senφ ,du=cosφdφ
¿ π4 (1−12 )=π
8
∴∭B
❑
zdxdydz=π8
2)Calcule o volume do elipsóide x ²a ²
+ y ²b ²
+ z ²c ²
≤1
01) Mudança de Variável:
{x=aρ cosθ senφy=bρ senθ senφ
z=cρ cosφ
Jacobiano: |−aρ senθ senφ acosθ senφ aρ cosθcosφbρ cosθ senφ bsenθ senφ bρ senθcosφ
0 c cosφ −cρ senφ |=abcρ ² senφ
02) Verificação de Parâmetros:0≤ ρ≤1 ,0≤ θ ≤2π ,0≤φ ≤ π03) Calcular:
Vol B=∫0
2π
∫0
π
∫0
1
1abcρ sen ²φ dρ dφ dθ=abc 2π∫0
π 13
senφdφ=¿ −2π3
abc cosφ|π0=43 πabc
∴Volume deB=43
πabc
18
3) Calcule a massa do sólido x2+ y2+z2≤1e z ≥√x2+ y2 supondo que a densidade no ponto (x,y,z) é proporcional à distância deste ponto ao plano xy.
x ²+ y ²+x ²+ y ²=1
2 x ²+2 y ²=1
2.{x= ρsenφcosθy=ρsenφsenθ
z=ρcosφ - Jacobiano:
∂(x , y , z)∂(θ , ρ , φ)
=ρ ² senφ
3. z=ρcosφ=√ ρ ² sen ² φ
ρcosφ=ρsenφ
tgφ=1∴ π4
≤ φ≤ π2
ρ ² sen ²φ+ρ ² cos ²φ=1 ρ ²=1∴0≤ ρ ≤1
{ 0≤ ρ≤10≤θ ≤2ππ4
≤ φ≤ π2
4. Massa B=∭B
❑
δ ( x , y , z ) dxdydz
¿∫0
2π
∫π4
π2 [∫0
1
kρcosφρ ² senφdρ ]dφdθ=k∫0
2π
∫π4
π2
¿¿¿¿¿
¿ 14
k∫0
2π
∫π4
π2
senφcosφdφdθ=π2
k∫π4
π2
udu=π2
k ¿¿¿¿
*u=senφ ,du=cosφdφ
19
¿π4 (1−12 )k=π
8k
∴massa B = π8
k
Exercícios 5.7
3)Considere o cubo 0≤x≤1,0≤y≤1 e 0≤z≤1 e suponha que a densidade no ponto (x,y,z)seja x.
§(x,y,z)=x dm=§dxdydz r=√ x2+ y2
a)
I=∭B
❑
r2dm=∫0
1
¿¿=∫0
1
¿¿=
=∫0
1
¿¿=∫0
1
¿¿=∫0
1
(14 z∨
1
0+ y3
3∨10)dw=
20
¿∫0
1
(5 /12)dz=(15/2)z|10
I=5/12
b)∭B
❑
dm=∫0
1
¿¿ 1/2∫0
1
¿¿=1/2
∭B
❑
xdm=∫0
1
¿¿¿=∫0
1
(¿∫0
1
x3 /3∨10)dydz¿=1/3∫
0
1
¿¿=1/3
XC=∭
B
❑
xdm
∭B
❑
dm=1/31/2=
23
∭B
❑
ydm=∫0
1
¿¿ =∫0
1
(¿∫0
1
x y2/2∨10)dx ¿dz=1/2∫
0
1
(x¿¿2/2∨10¿)dz¿¿=
1/4∫0
1
dz=1/4
YC=∭
B
❑
ydm
∭B
❑
dm=1/41/2 =
12
∭B
❑
zdm=∫0
1
¿¿ =∫0
1
(¿∫0
1
x z2/2∨10)dx¿dy=1/2∫
0
1
(x¿¿2/2∨10¿)dy¿¿=
21
1/4∫0
1
dy=1/4
ZC=∭
B
❑
zdm
∭B
❑
dm=1/41/2 =
12
Centro de massa=(XC,YC,ZC)=(23
, 12
, 12 )
08) Calcule o momento de inércia de uma esfera homogênea de raio R, em relação a um eixo cuja distância ao centro seja h.I=I cm+ I 'onde :I cm é o momento de inercia em relaçãoaumeixo que passa pelocentro de massaI ' é o momentode inerciaem relaçãoaum eixo paralelo
r=h ,δ ( x , y , z )=k , B={x2+ y2+z2≤ R2}
I '=∭B
❑
h ² k dxdydz
01) Mudança de Variável
{x=ρ cosθ senφy=ρ senθsenφ
z=ρ cosφ
Jacobiano: ∂(x , y , z)∂(θ , ρ , φ)
=|−ρ senθ senφ cosθ senφ ρ cosθ cosφρ cosθ senφ senθ senφ ρ senθ cosφ
0 cosφ −ρ senφ |=ρ ² senφ
02) Verificação de Parâmetros:0≤ ρ≤ R0≤ θ ≤2π0≤ φ ≤ π03)Calcular:
∫0
2π
∫0
π
∫0
R
h ² k ρ ² senφ dρ dφ dθ=2 πh ² k∫0
π R ³3
senφ dφ=2πR ³ kh ²3
cosφ|π0=43 πR ³ k h ²
r=√x ²+ y ² , δ ( x , y , z )=k , B={x2+ y2+z2≤ R2 }
I cm=∭B
❑
( x2+ y2 ) k dxdydz
01) Mudança de Variável
22
{x=ρ cosθ senφy=ρ senθsenφ
z=ρ cosφ
Jacobiano: ∂(x , y , z)∂(θ , ρ , φ)
=ρ ² senφ
02) Verificação de Parâmetros:0≤ ρ≤ R0≤ θ ≤2π0≤ φ ≤ π03)Calcular:
∫0
2π
∫0
π
∫0
R
(ρ ² cos ²θ sen ² φ+ρ ² sen ²θ sen ²φ)k ρ ² senφ dρdφ dθ=2 πk∫0
π
sen ³ φ R5
5dφ=¿
¿ 2π R5k5 (−se n2φcosφ|π0+ 23∫0
π
senφ dφ)=2 π R5
5k ( 23−cosφ|π0 )=25 R ² 4
3πR ³ k
∫ sen ³ φ=(−sen2φcosφ+ 23∫ senφdφ)
Por tanto podemos concluir que :I=I '+ I cm
I=h ² 43
πR ³ k+25
R ² 43
πR ³ k
I=h ²M + 25
R ²M
onde M é a massa , sendo M=43
πR ³ k
M=∫0
2π
∫0
π
∫0
1
kρ ² senφdρ dφ dθ=2πk∫0
π R ³3
senφdφ=43
πR ³ k
23
