Trabalho - Axiomas de Ordem
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UNIVERSIDADE PAULISTA "JÚLIO DE MESQUITA
FILHO" – CAMPUS DE GUARATINGUETÁ
GEOMETRIA EUCLIDIANA – AXIOMAS DE
ORDEM
Arthur
Fernando
Iris
Guaratinguetá – SP 2013
![Page 2: Trabalho - Axiomas de Ordem](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022033100/55cf994f550346d0339cb806/html5/thumbnails/2.jpg)
Resumo
Esperamos com este trabalho expor de forma sucinta, porém significativa, nossos
estudos em relação ao tema apresentando "Axiomas de Ordem". Nosso objetivo é
selecionar e aduzir as ideias principais deste capitulo, sendo estas os axiomas,
conceitos, definições, teoremas e proposições contidos no livro "Geometria Euclidiana
Plana" do autor Almir Rogério Silva Santos.
Também apresentaremos, ao final do conteúdo, três exercícios resolvidos.
Palavras-chave: Matemática. Geometria Euclidiana. Axiomas de Ordem.
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SUMÁRIO
1. GEOMETRIA EUCLIDIANA ................................................................................................ 4
2.1 Axioma de Ordem 1 ......................................................................................................... 5
2.2 Axioma de Ordem 2 ......................................................................................................... 5
2.3 Axioma de Ordem 3 ......................................................................................................... 6
2.4 Definição 1 (Segmento de Reta) ................................................................................... 7
2.5 Definição 2 (Semirreta) ................................................................................................... 7
2.6 Proposição 1 ..................................................................................................................... 8
2.7 Definição 3 (Semiplano)................................................................................................ 10
2.8 Axioma de Ordem 4 ....................................................................................................... 10
2.9 Corolário 1 ....................................................................................................................... 11
2.10 Proposição 2 ................................................................................................................. 11
2.11 Teorema 1 (Pasch) ...................................................................................................... 12
3. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ............................................................................................ 15
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................................... 18
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1. GEOMETRIA EUCLIDIANA
De acordo com SANTOS, no livro Geometria Euclidiana Plana, pg. 19.
Sabe-se que os postulados de Euclides não são suficientes para demonstrar todos os resultados da geometria plana. De fato, é perceptível que nos Elementos de Euclides existem lacunas que não são possíveis preenchê-las somente com o conteúdo dos Elementos. O que é feito então é a axiomatização da geometria, de tal forma que serão suficientes para demonstrar todos os resultados conhecidos desde o ensino fundamental. Não podemos definir todos os termos que iremos usar. Para definir um termo devemos usar outro termo, e para definir esses termos precisamos usar outros termos, e assim por diante. Se não fosse possível deixar alguns termos indefinidos, estaríamos envolvidos em um processo infinito.
A axiomatização é extremamente necessária para a definição de certas ideias,
e a partir das mesmas, então, consegue-se realizar as demonstrações de outras ideias
(teoremas, proposições, definições, etc.).
Neste trabalho serão estudados e descritos os Axiomas de Ordem. Eles dizem
respeito à posição dos pontos sobre a reta. Deste modo a percepção de esquerda e
direita pode ser definida a partir de noções mais elementares: a de "estar entre".
Os axiomas de Euclides não colocam qualquer restrição ou orientação sobre o
uso do termo primitivo “estar entre”. Seríamos obrigados a usar nossa intuição
geométrica ou ajuda de desenhos para regulamentar o uso desta relação entre pontos,
mas sabemos que isso não se pode fazer, pois é uma atividade proibida em um
sistema axiomático fechado. Serão incluídos alguns axiomas para regulamentar
algumas das propriedades mais elementares desta relação que são visualmente
evidentes nos desenhos.
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2. AXIOMAS DE ORDEM
2.1 Axioma de Ordem 1
Se A * B * C, então A, B e C são pontos distintos de uma mesma reta e C * B *
A (ideia de colinearidade).
Em notação de Teoria dos Conjuntos, teríamos:
ABC
rCBAr
CBCABA
CBA
**
,,:
,,
**
Obs.: O termo A * B * C, em todos os momentos citados significará que o
ponto B está entre os pontos A e C.
2.2 Axioma de Ordem 2
Dados três pontos distintos de uma reta, um e somente um deles está entre os
outros dois.
A * B * C
B * C * A
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C * A * B
Obs.: Este axioma assegura que uma reta não é um circulo, onde não
temos a noção bem clara de um ponto estar entre outros dois.
2.3 Axioma de Ordem 3
Dados dois pontos distintos B e D, existem pontos A, C e E pertencentes á reta
contendo B e D, tais que A * B * D, B * C * D e
B * D * E.
A * B * C
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B * C * D
B * D * E
Obs.: Este axioma assegura que uma reta possui infinitos pontos. Também
garante que não há saltos, assim como distinguir segmento de reta.
2.4 Definição 1 (Segmento de Reta)
Sejam dois pontos distintos A e B, o segmento AB é o conjunto de todos os
pontos entre A e B mais os pontos extremos A e B.
2.5 Definição 2 (Semirreta)
A semirreta com origem em A e contendo B é o conjunto dos pontos C tais que A *
B * C mais os segmentos AB, sendo representando por SAB.
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2.6 Proposição 1
Para quaisquer dois pontos A e B, têm-se:
a) SAB U SBA = reta determinada por A e B
mSS BAAB e BAAB SSm
Demonstração – Seja m a reta determinada por A e B. Da definição de
semirreta, segue imediatamente que mSS BAAB .
Se um ponto C pertence á reta m, então o Axioma de Ordem 2 implica somente
em três alternativas:
A * C * B (C pertence ao segmento AB).
C * A * B (C pertence à semirreta SBA).
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A * B * C (C pertence à semirreta SAB).
Em qualquer caso, C pertence a BAAB SS . Por hipótese o ponto C pertence à
reta m, então BAAB SSm . Logo mSS BAAB .
b) ABSS BAAB .
Demonstração – Seja ABC . Pela definição de semirreta com origem no
ponto A passando por B, sabemos que ABSAB , portanto ABSC . Como AB = BA,
BAC . De maneira análoga, BASBA , fazendo BASC . Então temos que BASC
e ABSC , portanto BAAB SSABC .
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2.7 Definição 3 (Semiplano)
Seja uma reta m. Dois pontos distintos fora de m, A e B, estão em um mesmo
lado da reta m SE o segmento AB não a intercepta, caso contrario, A e B estão em
lados opostos de m. O conjunto dos pontos de m e dos pontos C tais que A e C estão
em um mesmo lado da reta m é chamado de semiplano determinado por m contendo
A, ou seja, PmA.
2.8 Axioma de Ordem 4
Para toda reta l e para quaisquer três pontos A, B e C fora de l, têm-se:
a) Se A e B estão no mesmo lado de l e B e C estão no mesmo lado de l, então A e C
estão no mesmo lado de l (Coisas iguais à mesma coisa são iguais entre si).
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b) Se A e B estão em lado opostos de l e B e C estão em lados opostos de l, então A
e C estão no mesmo lado de l.
2.9 Corolário 1
Se A e B estão no mesmo lado de l e B e C estão em lados opostos de l, então
A e C estão em lados opostos de l.
2.10 Proposição 2
Toda reta m determina exatamente dois semiplanos distintos cuja intersecção é
a reta m.
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Demonstração
Passo 1: Existe um ponto A fora da reta l.
(Proposição: Para todo ponto P existe pelo menos uma reta l que não passa por P).
Passo 2: Existe um ponto O pertencente a l.
(Axioma de Incidência 2: Em toda reta existe pelo menos dois pontos distintos).
Passo 3: Existe um ponto B tal que A * O * B.
(Axioma de Ordem 3: Retas possuem infinitos pontos).
Passo 4: Então A e B estão em lados opostos de l, e l possui pelo menos dois lados.
Passo 5: Seja C um ponto fora de l diferente de A e B. Se C e B não estão no mesmo
lado de l, então A e C estão no mesmo lado de l. (Axioma de Ordem 4). Logo, o
conjunto dos pontos fora de l é a união dos semi-planos SmA e SmB.
Passo 6: Se mBmA SSC com mC , então A e B estão do mesmo lado (Axioma de
Ordem 4); contradição com o Passo 4. Assim, se mBmA SSC então mC .
Portanto, mSS mBmA .
2.11 Teorema 1 (Pasch)
Se A, B e C são pontos distintos e não colineares (não pertencem à mesma
reta) e r é qualquer reta interceptando AB em um ponto entre A e B, então r também
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intercepta AC ou BC. Se C não está em r, então r não intercepta ambos AC e BC (não
intercepta ao mesmo tempo).
Obs.: Euclides utilizou este Teorema sem prová-lo.
Demonstração – C pertence à r ou não. Em caso afirmativo, segue a validade
da conclusão, isto é, C intercepta ambos os lados BC e AC. Consideraremos o caso
em que C não pertence à r. Como A e B não pertencem à r e r intercepta AB, segue
por definição que A e B estão em lados opostos á r (Definição 3). Se C não pertence á
r, ou C está do mesmo lado de A em relação à r, ou no lado oposto de A em relação á
r (Axioma de Ordem 4).
Se C e A estão do mesmo lado em relação á r, então C e B estão em lados
opostos em relação à r. Isto significa que r intercepta BC e não AC. Se C e B estão do
mesmo lado em relação á r, de modo análogo à conclusão anterior, temos que r
intercepta AC, mas não BC.
Assim, em conclusão a todas as hipóteses para r, chegamos que r intercepta
um dos outros dois lados do triângulo.
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3. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1) Prove que se A * B * C e B * C * D então C pertence ao segmento AD.
Resolução: Seja E um ponto que não pertence à reta AB. Seja F um ponto da
reta CE, tal que F * E * C. Sendo AEC um triângulo e A * B * C (por hipótese), temos
que BF intercepta o segmento AE ou a reta CE. Como F * E * C, F não pode estar em
entre C e E. Dos dois fatos anteriores, segue-se que a reta BF tem que interceptar o
segmento AE (Teorema de Pasch). Considerando agora o triângulo BFC e a reta AE,
temos novamente do Teorema de Pasch que o ponto de intersecção das retas AE e
BF está entre os pontos B e F. Chamemos de G este ponto de intersecção.
Analogamente, prova-se que CF intercepta o segmento GD em algum ponto H.
Como H deve estar no segmento GD, e E não pertence ao segmento AG,
então a reta EH terá um ponto em comum com o segmento AD (Teorema de Pasch
aplicado ao AGH). Assim, C está no segmento AD.
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2) Prove que se A * C * D e A * B * C, então A * B * D e B * C * D.
Resolução: Seja G um ponto não pertencente á reta AB e F um ponto tal que B *
G * F. A reta CF não tem ponto em comum com AB, nem com BG. Assim, CF não tem
ponto em comum com AG. Como A * C * D e AGD é um triângulo, temos do Teorema
de Pasch que CF intercepta GD em algum ponto H. Pelo mesmo modo, sendo BGD
um triângulo, segue-se que FH intercepta BD. Vemos assim que B * C * D e daí
concluímos a veracidade da segunda afirmação. Das hipóteses e da afirmação do
exercício anterior, segue-se que A * B * D.
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3) Entre dois pontos distintos existe um infinidade de pontos.
Resolução: Seja r uma reta e A e B dois pontos distintos dessa reta. Entre A e B
existe um ponto C, tal que A * C * B. Do mesmo modo, existe D tal que A * D * C.
assim, do exercício anterior, segue-se que A* D * B, e consequentemente A, B, C, D
são pontos distintos de r. De maneira análogo, pode-se afirmar que existe um ponto E
em r, tal que A * E * C e A* E * B, de forma que os pontos A, B, C, D, E são distintos e
pertencentes á r. Continuando este mesmo raciocínio, podemos obter entre A e B um
conjunto infinito de pontos C, D, E... Como queríamos demonstrar.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
SANTOS, Almir Rogério Silva; VIGLIONI, Humberto Henrique de Barros. Geometria
Euclidiana Plana: Capitulo 1.4 – Axiomas de Ordem. Págs. 19 – 25.
Axiomas de Ordem. Disponível em:
<http://pt.scribd.com/doc/54816298/50/Axiomas-de-ordem> Acesso em: 28 maio 2013.
PENEIREIRO, João Batista; SILVA, Maurício Fronza. Geometria Plana e Desenho
Geométrico: Capítulo 2.2 – Axiomas da Ordem. Págs. 15 – 18.