UNIVERSIDAD AUTONOMA DE OCCIDENTE FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS Profesor Jess Vargas Zapata 1. Un termmetro se saca de un recinto donde la temperatura del aire es 70 0 F y se lleva al exterior, donde la temperatura es 10 0 F . Despus de 0.5 minutos el termmetro indica 50 0 F .Cul es la lectura cuando t = 1 minuto? Cunto tiempo se necesita para que el termmetro llegue a 15 0 F ? 2. Una barra metlica al salir de un horno tiene una temperatura inicial de 110 0 C , dado que la temperatura ambiente es de 25 0 C y despus de 5 minutos de haber salido del horno la temperatura de la barra se disminuye a 80 0 C , (a) Determine la temperatura de la barra en trmino del tiempo. (b) cunto tiempo tardar en enfriarse a 50 0 C ? 1. Un paracaidista pesa 124 libras, y su paracadas y equipo combinado pesan otras 36 libras. Despus de lanzarse desde un avin a 15000 pies de altura, espera 60 segundos y abre su paracadas. Suponga que la constante de proporcionalidad en el modelo tiene un valor de b = 1 durante la cada libre y de b = 8 despus de abierto el paracadas. Considere que la velocidad inicial al salir del avin es cero. Cul es su velocidad y cunto ha cado despus de 70 segundos saltar? Calcule el tiempo de vuelo. 2. Se aplica una fuerza electromotriz de 30 voltios a un circuito en serie LR con 0.1 henry de inductancia y 50 ohms de resistencia. Determine la corriente i(t), si i(0) = 0. Halle la corriente cuando t . 3. Se aplica una fuerza electromotriz 120, 0 t 20 E (t ) = t>0 0, a un circuito en serie LR, en donde la inductancia es de 20 henries y la resistencia de 2 ohms. Determine la corriente, i(t), si i(0) = 0.

4. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones, luego explique. (a) La siguiente ecuacin diferencial es exacta:

(b) La funcin y = sen(x) es una solucin de la ecuacin diferencial

d2 y dx 2

+ y = 0.

(c) La siguiente ecuacin diferencial es homognea (x2y + y3)dx + (xy2 2x2)dy = 0.

(d) L1 (

5s + 4 1 s ) = L1 ( ) + L1 ( ) 2 s s+2 s + 2s

3 0 < t < 2 3 2e 2 s (e) Dado que g(t) = , entonces L( g (t )) = t2 s s 1

(f) La solucin particular de la ecuacin

d 2 y dy + = te t es de la forma 2 dt dt

y p = At 2 e t , donde A es constante

5. Use el mtodo que le parezca ms adecuado para hallar la solucin general de las siguientes ecuaciones diferenciales.

(a)

(b)

6. Al resolver la siguiente ecuacin diferencial con valores iniciales

d 2y + y = sent , y (0) = 0, y (0) = 1 , dt 2por transformada de Laplace resulta s+2 s2 + 2 ( A) Y (s ) = 2 (B) Y (s ) = 2 s +1 (s + 1) 2

(C) Y (s ) =

2s s +12

( D) Y (s ) =

1 (s + 1) 22

7. Un objeto de masa 5 kg recibe una velocidad inicial hacia abajo de 50 m/s y luego se le permite caer bajo la influencia de la gravedad. Suponga que la fuerza en newton debida a la resistencia del aire es -10v, donde v es la velocidad del objeto en m/s. Determine la ecuacin del movimiento del objeto. Si el objeto est inicialmente a 500m sobre el suelo, determine el momento en que el objeto golpear el suelo. 8. Un objeto con una masa de 50 Kg parte del reposo en la parte superior de un plano inclinado a 60o. Suponga que el coeficiente de friccin es 0.02 . Si la fuerza debida a la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del objeto, digamos 2v . Determine la ecuacin del movimiento del objeto, dado que la rampa es de 20m cunto tiempo tardar en bajar? 9. Resuelve el siguiente problema de valor inicial

d2y + y = csc t , dt 2

y (0) = 1,

y (0) = 2

10. En el diagrama adjunto tenemos un circuito RLC en serie, dado que la corriente inicial es igual a cero y la carga inicial es igual a cero. (a) escriba el problema de valor inicial que representa los cambios de la carga , (b) resuelva el problema de valor inicial: (i) Coeficientes indeterminados, (ii) Laplace

11. Un peso de 64 libras se suspende de un resorte ocasionando un estiramiento de 1.28 pies. El peso est bajo la influencia de una fuerza resistente numricamente en libras igual a 12 veces la velocidad instantnea en pies por segundos. En el instante t = 0, la masa se desplaza 6 pulgadas sobre su posicin de equilibrio y se suelta. (a) escriba el problema de valor inicial que representa el movimiento de la masa, (b) resuelva el problema de valor inicial: (i) Coeficientes indeterminados, (ii) Laplace 12. Dos resortes y dos masas estn unidos como se muestra en el diagrama. El sistema se pone en movimiento desde su posicin de equilibrio con velocidades unitarias opuestas. m1 = 1 kg, m2 = 1 kg, k1 = 3 n/m , k2 = 2 n/m . Determine las ecuaciones de movimiento para las dos masas. 13. Adjunto tenemos un diagrama esquemtico de una red RLC. (a) Suponiendo que todas las corrientes inciales se anulan, determine un sistema de ecuaciones diferenciales y condiciones inciales para las corrientes de la red, (b) determine la corriente I 2 . 14. Dos grandes tanques, cada uno de los cuales contiene 24 litros de una solucin salina, estn conectados entre si mediante unos tubos, el tanque A recibe agua pura a razn de 6 litros por minutos y el liquido sale del tanque B con la misma razn; adems se bombean 8 litros por minutos de liquido del tanque A al tanque B y 2 litros por minutos del tanque B al tanque A. Los lquidos dentro de cada tanque se mantienen bien revueltos, de modo que cada mezcla es homognea. Si en un principio la solucin salina en el tanque A contiene 2 kg de sal y en el tanque B contiene inicialmente 4 kg de sal, sigue los siguientes pasos para determinar la cantidad de sal en cada tanque en el instante t > 0. (a) plantea el problema de valor inicial, (b) resuelve el problema de valor inicial: (i) Reduccin, (ii) Laplace

15. Encuentre todos los puntos crticosdel sistema y determine su estabilidad o inestabilidad.

16. Encuentre todos los puntos crticos del sistema y resuelva la ecuacin del plano de fase para determinar y

dx = 1 xy , dt dy = x y3 dt

analizar la curvas integrales. dx = x 2 1, dt dy = xy dt