Trabajo Monográfico I _ 2015_II
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7/26/2019 Trabajo Monogrfico I _ 2015_II
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Curso:FLUJO NO PERMANENTE
Profesor:Jorge Otiniano Rodrguez
Universidad Naciona Ma!or de "an Marcos
TRA#AJO MONO$R%F&CO &:O"C&LAC&'N ENTRE (O" (EPO"&TO" (E "ECC&ONTRAN")ER"AL )AR&A#LE COMUN&CA(O" ME(&ANTEUNA TU#ER&A
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INTRODUCCIN
El presente trabajo se estudiara la oscilacin de un lquido en dos depsitos dediferentes geoetras que se encuentran conectados por una tubera! donde elan"lisis detallado de los depsitos de oscilacin iplica de una integracin
nu#rica de la ecuacin de o$iiento del lquido de la tubera! que se puedenrepresentar por las isas ecuaciones que rige el caso de las oscilaciones de untubo en U %con e&cepcin de los t#rinos constantes'(El estudio de las diferentes foras geoetras de los depsitos se reali)ara con elinter#s! de obser$ar el coportaiento de las oscilacin del lquido que se *a deseleccionar para una situacin! coo para eliinar r"pidaente las cantidades deo$iiento de un sistea largo de tubera con la colocacin de un deposito
%tanque de oscilacin' con el objeti$o de soportar golpe de ariete! dependiendo delos estudios que se *agan de los aspectos econicas del sistea de tubera(+nali)areos un ,ujo no peranente debido a que aparece una nue$a $ariable! eltiepo - las ecuaciones son ecuaciones diferenciales parciales en $e) deecuaciones diferenciales ordinarias( .a solucin de estos probleas eplea laecuacin de o$iiento o la ecuacin de cantidad de o$iiento lineal ar#gien no peranente - la ecuacin de continuidad a r#gien no peranente(Con t#rinos de resistencia no lineal para el ro)aiento - otros efectos! las
i dif i l l f t t #t d # i
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O"C&LAC&'N ENTRE (O" (EPO"&TO" (E "ECC&ON
TRAN")ER"AL )AR&A#LE COMUN&CA(O" ME(&ANTE UNATU#ER+A
2( O34ETI5O6a'+nali)ar- $isuali)ar la $ariacin de la posicin - la $elocidad con
respecto al tiepo de un sistea copuesto de dos depsitos deseccin $ariable counicados ediante una tubera(
b' 6olucionar las ecuaciones diferenciales ordinarias que gobiernan elfeneno ediante #todos nu#ricos usando! en este caso el#todo RUN7E /UTT+ de 08 orden(
9( :UND+;ENTO TERICO9(2( ECU+CIN DE CONTINUID+D
.a ecuacin de continuidad no es "s que un caso particular delprincipio de conser$acin de la asa( 6e basa en que el caudal %
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.a resolucin de dic*os casos tiene sus propias ecuacionesdiferenciales con sus respecti$as consideraciones(
Recordando del estudio de la ;ec"nica de :luidos en foradiferencial! la ecuacin de Euler para o$iiento no peranentetiene la siguiente fora>
01
=
+
+
+
t
V
s
V
s
zg
s
P
9(A(2(Oscilacin no $iscosaEs una ideali)acin del o$iiento de un ,uido debido a quese desprecia la accin $iscosa! es de poca utilidad eningeniera por lo que solo encionare sus ecuaciones que lagobiernan(
( )wthZ cos=
( )wtsenhV =
9(A(9( Oscilacin con resistencia lainar6e introduce el concepto de resistencia a la ecuacin de Euler!este tipo de ,ujo es pocas $eces $isto en la realidad - su usoes u- restringido( .as ecuaciones que lo gobiernan son>
( )ntsenheVo
Z mt
=
-
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Di$idiendo por la asa del eleento de ,uido>
0 0 0
2
4. 4.D ds D ds
A ds D ds D
= =
.uego! la ecuacin %2' toa la fora>
04.1 0dP dZ dV dV
g Vds dS dS dt D
+ + + + =
En la realidad! la a-ora de los probleas en que *a-oscilacin en tuberas e&iste una resistencia turbulenta( .atensin de corte en las paredes de la tubera est" dada por>
2
0
8
f V =
6i se reepla)a esta e&presin en la ecuacin %9'! se obtiene>
210
2
dP dZ dV dV f V g V
ds dS dS dt D+ + + + =
-
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Donde! el signo de $alor absoluto es necesario para que laresistencia se oponga a la $elocidad( Esta ecuacin diferencial
no es del tipo lineal! si se conocen las condiciones iniciales delproblea! entonces esta ecuacin se puede resol$er por el#todo de Runge/utta(
9(A(0( Oscilacin en dos depsitos.a oscilacin en dos depsitos que se encuentran conectadospor una tubera puede ser representada por las isas
ecuaciones que rige el caso de las oscilaciones de un tubo enU %con e&cepcin de los t#rinos constantes'! si 1Z - 2Z
representan los despla)aientos de las super1cies de los
depsitos! desde su posicin de equilibrio %:ig( 2'! - si 1Z
representa el despla)aiento de una partcula de agua dentrode la tubera conectada !desde su posicin de equilibrio(
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Igualando los $oluen de los depsitos
1 2tuberia Dep DepVo Vo Vo = =
1 1 2 2ZA Z A Z A = =
DespejandoZ1-Z2
11
( )
A
Z z ZA= 2 2( ) A
Z z ZA=
De la ecuacin de Euler para resistencia turbulenta
21 .. . . 0
2.
dP dZ dV dV f V g V
dS dS dS dt D+ + + + =
Integrando a lo largo de 6
1 2P P=
0dP
dS =
1 2V V= 0
dV
dS =
( )1 2.
( ) ( ) 0e
L fdVZ Z L V V
-
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1 g
"L= (((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((%9'
.2
2. .
Le f"
dt L=
(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((%A'
6olucin por ;#todos de integracin nu#rica
9(A(F( ;ETODO DE RUN7E /UTT+ DE 0TO ORDEN=ara nuestro problea a resol$er! la ecuacin diferencial es dela fora>
Vdt
dZ=
((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((%0'
( ) ( )( )[ ]VV"zZzZ"dt
dV+= 2211
(((((((((((((((((((%F'
DondeZn! Vn- tnson las condiciones iniciales(
( )11 , ,n n n#z t$% z v t =
( )22 , ,n n n#v t$% z v t =
1 1# # t
-
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1
( 1 2. 2 2. 3 4)
6
n n
#z #z #z #z z z+
+ + += +
1
( 1 2. 2 2. 3 4)
6n n
#v #v #v #vv v+
+ + += +
A( ;ETODO.O7H+A(2( =lanteaiento del problea
-
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mdb
mb
)Deposito(n e
9
5.3
=
=
8
025.0
1000
6.0
===
=
#
f
mL
mD*
*uber+aa(n
)min25(1500
2.0
0
,st
st
sttiempodeVariaci-n
f
i
==
=
A(9( Condiciones Iniciales
m#
f
DtLLe 1192=+=
A(A( C"lculos de Z1- V1 %Depsito +'A(A(2(C"lculos geo#tricos
PhaDt
.PhaDa
figuraaDe
/#zZP
Par0boaade(cuaci-n
)2,2
()1,2
(
:3
)1.3(...:
2
0 =
-
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)(...30194805.421
4
)(...38717532.15
12
:)()(
22
22
22
0
dDtDb
haha#
cDtDb
DthaDbha
z
b.aDe
=
+
=
=
+=
)2.3(...
)1(
0
#
zZ/
De
=
A(A(9(C"lculo de Z1 f zt3=araZ14 5>
( ) [ ]1
11
0
2
00
2
2
ZZZ
A zoz#
dzzoz#
dz$ ===
( )[ ]221
2zozoZ
#A =
6e sabe que tA = ! entonces>
( )[ ] ztDtzozoZ#
ztDtA ==222
1
2
42
4
Ordenando:
22
12
zoztDt#
zoZ +++=666666666666666666666666666666666666666666666708
=araZ16 5>
( ) [ ]0
200
2
1
1
1
1
2 ZZZ
A zoz#
dzzoz#
dz$ ===
( )[ ]2122
zoZzo
#
A =
-
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6ea C> la ecuacin de la circunferencia que describe el contorno deldepsito 3
4:
222 DbZ/" =+
=araZ24 5>2
2
0
322
0
22
0
2
344
ZZZ
)
zz
Dbdzz
Db
#dz$
=
==
=
34
3
2
2
2 ZZ
Db)
6e sabe que t) = ! entonces>
ztDtZ
ZDb
ztDt) =
= 2
3
22
22
434
4
Ordenando:
0434
2
3
2
2
2
=+ ztDtZ
Z
Db
66666666666666666666666666666666666666666738Donde Z2se determina por aproximacin numrica
=araZ16 5>0
320
220
2
222344
ZZZ
)
zz
Dbdzz
Dbdz$
=
==
= 2
23
2
43Z
DbZ)
t) =
-
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A(F( ;#todo Runge /utta %08 orden'A(F(2(7eneralidades
( ) ( )( )[ ]
0248333.02
00981.0
:
:
2
1
2211
=
=
==
+=
=
LDt
fLe"
L
g
"
Donde
VV"zZzZ"dt
dV
Vdt
dZSea
A(F(9(Condiciones iniciales %to 5 s' En la tubera>
6e procede a calcular zt5
( ) [ ] ( )[ ]2
2
0
2
00
2
22 zozoh#zoz#dzzoz#dz$A
hhh
A
AAA
====
6e sabe que tA = ! entonces>
( )[ ] 0222
0
2
42
4ztDtzozoh
#ztDt AA ==
Ordenando:
( )56184486526
202
22
0
zozoh A
-
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( )0
234
2232
=#
zozohhh
Db A))
666666666666666666666666666666666666666666666666674*8+pro&iando nu#ricaente la ecuacin %29' para *3 se tiene que>
.64480973.2 mh) =As9 se tienen as siguientes condiciones iniciaes:
smV
mhZ )
/02
64480973.22
0
0
===
A(F(A(=ara t1 J(9 sDe la ecuacin %0' se tiene>
( )( ) tvtztdvt
t
ztd
dt
dZ==
=
( ) tvtvt% =1 666666666666666666666666666666666666666674,8
De la ecuacin %F' se tiene>( )
( ) ( )( )[ ]vtvt"ztZztZ"t
vtd
dt
dV +=
= 2211
( ) ( ) ( )( )[ ] tvtvt"ztZztZ"vtd += 2211( ) ( ) ( )( )[ ] tvtvt"ztZztZ"vtzt% += 22112 , 666666666674,8
Donde %=ara K2 L J - K9 MJ'>
22
12
:)6( zoztDt#
zoZDe +++=
8 ii ib iZfZD )()10( 22
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sm#v#v#v#v#v
m#z#z#z#z
#z
/0744.06
22
01.06
22
4321
4321
=+++=
=+++
=
+s>
sm#vztvt
m#zztzt
/02480756.0
55936404.526
01
01
=+==+=
GallandoZ119 V119 Z219 V21
smvtfV
De
mztfZ
De
/c03783363.0)(1
:)8(
99996217.9)(1
:)6(
11
11
==
==
smvtfV
DemztfZ
De
/c01684397.0)(2
:)8(64479289.2)(2
:)10(
11
11
==
==
De fora an"loga se calculan las de"s $ariables para tepos
a-ores a J(9 s( .os resultados se uestran en la tabla I( .os
t t t t
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0(2( Caso I> TC J TR
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9 A A 2 A 9 J
J
J!SA2A
J!J0S
J
J!S9SS
0
J!J0F
JJ
J!S9SS
9
J!J00
J
J!S99
J
J!J0S
J!S9SS
9
J!J00
2JJ!FFA
99!9AF0 2A!299
2!JF
2!F0
2
J
J!S99J
J!J0S
J
J!S90
J!J0S0
0J
J!S90
F
J!J0S0
2J
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2
J!J0S
J!S90
J!J0S0
9SS!2J 9A!FFJJJ
2A!J90
!JF
2!0S02
!F
J
J!S90
2
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J
J!S99S
0
J!JFJ9
J
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A
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F
J
J!S922
F
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F
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A
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S!A2A 90!09SA 2A!J99
0!JF
2!09A
J S
J
J!S922F
J!JFJ
FJ
J!S2SA
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9J
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F
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SJ
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F
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0
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F
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JS!2 9F!AS99S
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J
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J
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9
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0J
J!S2A
S
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9
J!JF2
FS!SJAJ 9!AJJ2
29!S2S9
!JF
2!9
2J
J
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F
J!JF99
FJ
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0
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9J
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J
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J
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F
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ASF!SS2J2 9!99JJF
29!FS
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J
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2!29SA
22
J
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SJ
J!SJ9
J
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J
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S
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2
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2
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2
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2
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JSA!99 9S!SAA 29!JJ !JF 2!S9 29
J
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J
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J
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J
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2
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J!A
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!JS9 A!2A2
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!JF
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43
-
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J
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J!S
F
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J
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0
J!2S
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J!JFF0
J J!FJ9
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J J!FJ9
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9
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F
J
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J!JF9
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J
J!A2
J!JF9
J
J!A2
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7/26/2019 Trabajo Monogrfico I _ 2015_II
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7/26/2019 Trabajo Monogrfico I _ 2015_II
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7/26/2019 Trabajo Monogrfico I _ 2015_II
26/62
Tabla 2(2
*1
-
7/26/2019 Trabajo Monogrfico I _ 2015_II
27/62
J 2FJ AJJ 0FJ JJ FJ SJJ29J
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7/26/2019 Trabajo Monogrfico I _ 2015_II
28/62
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7/26/2019 Trabajo Monogrfico I _ 2015_II
29/62
J 2FJ AJJ 0FJ JJ FJ SJJ 2JFJ 29JJ 2AFJ 2FJJ 2FJ 2JJ
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7/26/2019 Trabajo Monogrfico I _ 2015_II
30/62
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7/26/2019 Trabajo Monogrfico I _ 2015_II
31/62
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-
7/26/2019 Trabajo Monogrfico I _ 2015_II
32/62
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7/26/2019 Trabajo Monogrfico I _ 2015_II
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7/26/2019 Trabajo Monogrfico I _ 2015_II
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7/26/2019 Trabajo Monogrfico I _ 2015_II
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7/26/2019 Trabajo Monogrfico I _ 2015_II
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J 2FJ AJJ 0FJ JJ FJ SJJ 2JFJ 29JJ 2AFJ 2FJJ 2FJ 2JJJ
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7/26/2019 Trabajo Monogrfico I _ 2015_II
43/62
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7/26/2019 Trabajo Monogrfico I _ 2015_II
44/62
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7/26/2019 Trabajo Monogrfico I _ 2015_II
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7/26/2019 Trabajo Monogrfico I _ 2015_II
47/62
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7/26/2019 Trabajo Monogrfico I _ 2015_II
48/62
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J!JF J
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J!JF
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J
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J
J!00
J!JF J
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J!JF
J
J!90
J!JF J
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J!JF
J!90
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2!A9J
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J
J!J0
J!JF J
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J!JF
J
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J!JF J
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J!JF J
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J
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J!JF J
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J!0A
J!JF J
J!0A
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J
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J!JF J
J!00A
J!JF
J!0A
J!JF
0A!S9
S!99A
S!2JS !JF
2!9
F FS!F
J J J J 0A!A0J S!J S!JF92 !JF 2!9J J
/*
-
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52/62
J!00A J!JF J!09A J!JF J!09A J!JF J!0JA J!JF J!09A J!JF 0 9 2
Tabla III
/,
-
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53/62
J 2FJ AJJ 0FJ JJ FJ SJJ
9
2
J
2
9
A
0
F
/.
-
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54/62
J 2FJ AJJ 0FJ JJ FJ SJJ 2JFJ 29JJ 2AFJ 2FJJ 2FJ 2JJ
9J
J
9J
0J
J
J
2JJ
29J
20J
K %*f' $s t
K $s t
N+T
t %s'
K %'
7r"1co A(2(
//
-
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J 2FJ AJJ 0FJ JJ FJ SJJ29J
292
299
29A
290
29F
/0
-
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J 2FJ AJJ 0FJ JJ FJ SJJ 2JFJ 29JJ 2AFJ 2FJJ 2FJ 2JJJ
9J
0J
J
J
2JJ
29J
20J
* $s t
* $s t
N+T
t %s'
* %'
$r;fico ,6*6
/1
-
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/2
-
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J 2FJ AJJ 0FJ JJ FJ SJJ 2JFJ 29JJ 2AFJ 2FJJ 2FJ 2JJ
9
J
9
0
2J
29
20
2
< $s t
< $s t
t %s'
< %AQs'
$r;fico ,6,6
/3
-
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J 2FJ AJJ 0FJ JJ FJ SJJ
J(2J
J(J
J(JF
J(JA
J(JJ
J(JA
J(JF
J(J
J(2J
05
-
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J 2FJ AJJ 0FJ JJ FJ SJJ 2JFJ 29JJ 2AFJ 2FJJ 2FJ 2JJ
J(F
J
J(F
2
2(F
9
9(F
5 $s t
5 $s t
t %s'
5 %Qs'
$r;fico ,6.6
F( CONC.U6IONE6
04
-
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a' El #todo Runge utta es u- e1ca) a la *ora de calcular el caudal! carga - $elocidad en el
disipador siepre - cuando el $alor de Pt sea pequeVo(b' .a carga %*' auenta abruptaente durante los prieros 0 F in( %seg@n sea el $alor de TC' para
luego oscilar cada $e) con enor aplitud *asta alcan)ar el $alor del N+T en los siguientes inutos(
%5er gr"1cos'(
c' Tanto la $elocidad %5' - el caudal %es6?i@i=edia6org>?i@i>$o=edeariete >fuidos6eia6edu6co>articuoses>fuBoentuerias>go=edeariete>go=edeariete6???6!outue6co>?atc???6!outue6co>?atc???6!outue6co>?atc
-
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62/62
http://fluidos.eia.edu.co/hidraulica/articuloses/flujoentuberias/golpedeariete/golpedeariete.htmlhttp://www.youtube.com/watch?v=cmaBA1PhylIhttp://www.youtube.com/watch?v=5WTVQtvavmYhttp://www.youtube.com/watch?v=V0FXdQ_NLVEhttp://www.youtube.com/watch?v=cqmdaye0i6g&feature=c4-overview&list=UUbPkpriwQBojdmEmZY8_arwhttp://es.wikipedia.org/wiki/Golpe_de_ariete