UNIDAD EDUCATIVA ``NICOLAS INFANTE DIAZ´´

Alumna: Mónica Valentina Gaspar Meza

Curso: 3ero BGU ``C’’

Tema: Probabilidades en la vida diaria

Lcda. Responsable: Isabel María Badillo Rivera

Año lectivo: 2015/2016

PROBABILIDAD

Índice

1) Las probabilidades2) Tipos de probabilidades.3) Aplicación de las probabilidades en la vida diaria.4) Teorema de Bayes.5) Ejercicios aplicando las probabilidades de la vida diaria.

Las probabilidades

Las Probabilidades pertenecen a la rama de la matemática que estudia ciertos experimentos llamados aleatorios, o sea regidos por el azar, en que se conocen todos los resultados posibles, pero no es posible tener certeza de cuál será en particular el resultado del experimento. Por ejemplo, experimentos aleatorios cotidianos son el lanzamiento de una moneda, el lanzamiento de un dado, extracción de una carta de un mazo de naipes. Más adelante se verá que debemos distinguir entre los conceptos de probabilidades matemáticas o clásicas de las probabilidades experimentales o estadísticas.

En la vida cotidiana el hombre se enfrenta a situaciones que no siempre tienen un dominio de certidumbre; en ocasiones las personas realizamos la pregunta qué tan probable es que suceda algún evento, ya que no existe la certeza de que puedan ocurrir ciertos fenómenos. De ahí el interés de conocer las probabilidades y es precisamente la probabilidad la que nos permite medir la incertidumbre. Por su parte, la estadística es una herramienta principal para el conocimiento de los datos, desde la forma como se recolectan, presentan y, lo más importante, se interpretan para realizar inferencias estadísticas pa ra la toma de decisiones. Aunque desde hace mucho el uso de la probabilidad ha estado presente desde hace mucho en la vida del hombre, no se había centrado la atención como entretenida. Debiese en ella, es hasta en estos últimos años donde encontramos una tendencia a renovar su enseñanza, haciéndola más experimental y de cierta manera

Tipos de probabilidades

Espacio Muestral.- Se llama espacio muestral (E) asociado a un experimento aleatorio, el conjunto de todos los resultados posibles de dicho experimento.

Al lanzar una moneda, el espacio muestral es E = {sale cara, sale sello} o E = {c, s}. 

Al lanzar un dado de seis caras, el espacio muestral es E = {sale 1, sale 2, sale 3, sale 4, sale 5, sale 6} óE={1,2,3,45,6}

Al lanzar dos monedas, el espacio muestral es E={(c,c),(c,s)(s,c),(s,s)}. 

Al lanzar tres monedas, el espacio muestral es E = {(c,c,c), (c,c,s), (c,s,c), (c,s,s), (s,c,c), (s,c,s), (s,s,c), (s,s,s)}

Evento o Suceso. Se llama evento o suceso a todo subconjunto de un espacio muestral. Por ejemplo en el espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} del lanzamiento de un dado, los siguientes son eventos:

1. Obtener un número primo A = {2, 3, 5}2. Obtener un número primo y par B = {2}3. Obtener un número mayor o igual a 5 C = {5, 6}

Eventos mutuamente excluyentes.- Dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir en forma simultánea, esto es, si y sólo si su intersección es vacía. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado los eventos B = {2} y C = {5, 6} son mutuamente excluyentes por cuanto B   C = 

Eventos Complementarios.- Si A   B =   y A   B = E, se dice que A y B son eventos complementarios: Ac = B y Bc = A

Su Medición Matemática o Clásica. Si en un experimento aleatorio todos los resultados son equiprobables (iguales probabilidades), es decir, la ocurrencia de uno es igualmente posible que la ocurrencia de cualquiera de los demás, entonces, la probabilidad de un evento A es la razón: P(A) = número de casos favorables para A/número total de casos posibles 

A partir de esta definición las probabilidades de los posibles resultados del experimento se pueden determinar a priori, es decir, sin realizar el experimento.

Se deduce de la definición lo siguiente:0   P(A)   1 La medición probabilística es un número real entre 0 y 1, inclusive, ó 0%   P(A)   100% en porcentaje. P( ) = 0 y P(E) = 1

Su Medición Experimental o Estadística.- 

La frecuencia relativa del resultado A de un experimento es la razón FR = número de veces que ocurre A/número de veces que se realiza el experimento 

Si el experimento se repite un número grande de veces, el valor de FR se aproximará a la medición probabilística P del evento A. Por ejemplo, si lanzo 100 veces una moneda, el número de veces que obtengo cara es cercano a 50, o sea FR es cercano a 50%.

Aplicación de las probabilidades en la vida diaria

A continuación unos ejemplos de cómo las personas aplicamos las probabilidades en la vida diaria:

DeportesCuando tu equipo tiene un sorteo antes del juego, tienes un 50/50 de oportunidad de ganarlo: cara o cruz. Un jugador de baloncesto da pasos hasta la línea de tiros libres y tiene una buena idea, sobre la base de los resultados anteriores, ya que va a hacer el tiro. Un equipo de fútbol intenta un gol de campo cuando piensan que la distancia a la meta está lo suficientemente cerca que lo más probable es que lo logren.

Juegos de mesaSi estás utilizando un juego de ruleta con cuatro secciones - rojo, azul, verde y amarillo, tienes una oportunidad de caer en el rojo de 25 por ciento, ya que una de las cuatro secciones es de color rojo. ¿Cuáles son las probabilidades de que vayas a tirar un dado y obtener un número par? Tienes una probabilidad del 50 por ciento, ya que tres de los seis números en un dado son pares.

Primas de seguros

Las compañías de seguros de coches ven tu edad y registro de conductor al momento de decidir tu tipo de prima. Si ven que has tenido varios accidentes, lo más probable es que puedas tener otro. En ese caso, sus tarifas serán más altas que las de un conductor seguro.

Esperanza de vidaLa esperanza de vida se basa en el número de años que grupos similares han vivido en el pasado. Estas edades son utilizadas como directrices por parte de entidades como asesores financieros para ayudar a los clientes a prepararse para sus años de jubilación.

Decisiones médicas

Si te dicen que necesitas una cirugía, querrás que conocer la tasa de éxito de la operación. Con base en las estadísticas, puedes tomar una decisión informada si es o no es una buena opción para ti. Puedes decidir si deseas o no iniciar un tratamiento de medicamentos, con base en los resultados positivos de otros pacientes o efectos secundarios.

Juegos de casinoLos dueños de los casinos no están en el negocio para perder dinero. Las probabilidades están a su favor. Los jugadores práctican los juegos, con la esperanza de desafiar las probabilidades. En el juego de blackjack, el jugador tiene 1 en 20 probabilidades de conseguir el 21, un "blackjack". La probabilidad es de 5 por ciento.

Estado del tiempoSi estás planeando un evento al aire libre, como una boda, querrás comprobar la probabilidad de lluvia. Los meteorólogos predicen el tiempo sobre la base de los patrones que se han producido en años anteriores. Las temperaturas y los desastres naturales como tornados, las inundaciones y los huracanes en los factores pronósticos.

Teorema de Bayes

El teorema de Bayes, en la teoría de la probabilidad, es una proposición planteada por el filósofo inglés Thomas Bayes ( 1702-1761)1 en 1763,2 que expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.

En términos más generales y menos matemáticos, el teorema de Bayes es de enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A. Es decir que sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podría saber (si se tiene algún dato más), la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza, muestra este sencillo ejemplo la alta relevancia del teorema en cuestión para la ciencia en todas sus ramas, puesto que tiene vinculación íntima con la comprensión de la probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados.

Formula de la teoría de Bayes

Con base en la definición de Probabilidad condicionada, obtenemos la Fórmula de Bayes, también conocida como la Regla de Bayes:

Esta fórmula nos permite calcular la probabilidad condicional   de cualquiera de los eventos  , dado  . La fórmula   "ha originado muchas especulaciones filosóficas y controversias".

Aplicaciones

El teorema de Bayes es válido en todas las aplicaciones de la teoría de la probabilidad. Sin embargo, hay una controversia sobre el tipo de probabilidades que emplea. En esencia, los seguidores de la estadística tradicional sólo admiten probabilidades basadas en experimentos repetibles y que tengan una confirmación empírica mientras que los llamados estadísticos bayesianos permiten probabilidades subjetivas. El teorema puede servir entonces para indicar cómo debemos modificar nuestras probabilidades subjetivas cuando recibimos información adicional de un experimento. La estadística bayesiana está demostrando su utilidad en ciertas estimaciones basadas en el conocimiento subjetivo a priori y el hecho de permitir revisar esas estimaciones en función de la evidencia empírica es lo que está abriendo nuevas formas de hacer conocimiento. Una aplicación de con el uso. Otra aplicación se encuentra en la fusión de datos, esto son los clasificadores bayesianos que son frecuentemente usados en implementaciones de filtros de correo basura o spam, que se adaptan combinando información expresada en términos de densidad de probabilidad proveniente de distintos sensores.

Como observación, se tiene   y su demostración resulta trivial.

Como aplicaciones puntuales:

1. El diagnóstico de cáncer.2. Evaluación de probabilidades durante el desarrollo de un juego de

bridge por Dan F. Waugh y Frederick V. Waugh.3. Probabilidades a priori y a posteriori.4. Un uso controvertido en La ley de sucesión de Laplace

Ejercicios aplicando las probabilidades en la vida diaria

1. Un estudiante responde al azar a dos aleatorio. Solución. El espacio muestral es el conjunto de todos los sucesos elementales. Los sucesos elementales son cada uno de los resultados posibles del experimento aleatorio, preguntas de verdadero o falso. Escriba el espacio muestral de este experimento indescomponibles en otros más simples.

Como el experimento consiste en responder al azar a dos preguntas, cada uno de los posibles patrones de respuesta constituirá un suceso elemental. Un patrón de respuesta sería contestar verdadero a la primera pregunta y verdadero a la segunda, lo representamos (V, V). Con esta representación podemos escribir el espacio muestral como: E = {(V, V) (V, F) (F, V) (F, F)}

2- Otro estudiante responde al azar a 4 preguntas del mismo tipo anterior.

a) Escriba el espacio muestral.b) Escriba el suceso responder “falso” a

una sola pregunta.c) Escriba el suceso responder “verdadero”

al menos a 3 preguntas.d) Escriba la unión de estos dos sucesos,

la intersección y la diferencia del 2º y el 1º.

e) La colección formada por estos 5 sucesos, más el suceso seguro y el suceso imposible¿Constituyen una sigma-álgebra?Solucióna) Con la misma convención del problema anterior, los sucesos elementales serían:(V, V, V, V) (V, V, V, F) (V, V, F, V) (V, F, V, V) (F, V, V, V) (V, V, F, F) (V, F, V, F) (V, F, F, V) (F, V, V, F) (F, V, F, V) (F, F, V, V) (V, F, F, F) (F, V, F, F) (F, F, V, F) (F, F, F, V) (F, F, F, F)

b) El Suceso responder falso a una sola pregunta será el subconjunto del espacio muestral formado por todos los sucesos elementales en que solo hay una respuesta falso, lo llamaremos A y será:A = {(V, V, V, F) È (V, V, F, V) È (V, F, V, V) È (F, V, V, V)}c) El suceso responder verdadero al menos a 3 preguntas, lo llamaremos B y será:B = {(V, V, V, F) È (V, V, F, V) È (V, F, V, V) È (F, V, V, V) È (V, V, V, V)}d) Observando los sucesos elementales que los componen se deducen inmediatamente los siguientes resultados:A È B = B A Ç B = A B- A = {(V, V, V, V)} 2