Trabajo Colaborativo 1 Procesamiento Analogico

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Escuela de Ciencias Bsicas, Tecnologa e Ingeniera

Procesamiento analgico de seales Trabajo Colaborativo No. 1 Grupo 299007-14 2012

PROCESAMIENTO ANALGICO DE SEALES

TRABAJO COLABORATIVO No. 1

Autores:

NATALIA ANDREA BARBOSA PABN EDWIN LEONARDO CALDERN HCTOR NANDAR CASTELLANOS

Tutor: Ing. MARCOS GONZALES PIMENTEL

Grupo: 299007-14

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BSICA, TECNOLOGA E INGENIERA - ECBTI JULIO DE 2012



INTRODUCCIN El tema del procesamiento de seales se compone de una gran cantidad de temticas relacionadas y su estudio conjunto conlleva al conocimiento y puesta en prctica de esta importante rea de la electrnica y las telecomunicaciones. En el presente trabajo colaborativo se realiza la graficacin de una funcin a la que se le realizaron varias transformaciones como desplazamiento en el tiempo, escalamiento en el tiempo y escalamiento en tiempo y amplitud. Sabemos que la respuesta de muchos sistemas fsicos se puede describir mediante ecuaciones diferenciales como por ejemplo las redes elctricas con resistencias, condensadores y bobinas ideales, y los sistemas mecnicos con pequeos muelles y amortiguadores. En este trabajo realizamos el clculo de la salida de un sistema que esta descrito por una Ecuacin Diferencial y considerando como entradas a la funcin impulso y la funcin escaln.



TRABAJO COLABORATIVO No. 1

Para la funcin = . (. ) (.), expresar las siguientes funciones y luego graficarlas.

1. 2. 1. / 3. 1. . .

Haciendo uso de Matlab, graficamos inicialmente la ecuacin original =2. sin(. ) (.), para conocer su grfica y comparar su comportamiento cuando se realicen las siguientes, aplicando los desplazamientos y escalamientos en el tiempo.

= . (. ) (.)



1. Funcin desplazada 2 unidades en el tiempo:

= . (. ( )) (().())



2. / Funcin escalada 1/2 unidad en el tiempo:

/ = . (. (/)) ((/).(/))



3. . . Funcin escalada 2 unidades en amplitud y 2 unidades en el tiempo:

. . = . . . . . .



En la siguiente figura podemos apreciar la grfica original junto con las diferentes modificaciones realizadas, para poder comparar el comportamiento de cada modificacin con la original.

Un sistema esta descrito por la siguiente Ecuacin Diferencial: + + = + (). Cual es la salida para las siguientes entradas, El procedimiento debe ser claro y completo. 4) = (); La entrada es la funcin Impulso. Empleando la Transformada de Laplace: Tenemos la ecuacin

+ = + 2 +

= Sabemos que la Transformada de Laplace del es 1, entonces:

= 1



Aplicamos Transformada de Laplace a toda la ecuacin, quedando:

+ = + 2 + Despejamos:

+ = () + 2 + 1 Tenemos que:

H(s) = Y(s)/x(s) Entonces despejamos Y(s) pues queremos la respuesta del sistema, dado que la entrada es

Y(s) = H(s)*X(s) Y dado que la transformada de la funcin impulso es 1, entonces Y(s) = H(s)

= +

+ 2 + 1

= +

( + 1)

Ahora aplicamos fracciones parciales:

=

+ 1+

( + 1)

+ = + 1 +

( + 1)

+ 1 + = +

Igualamos ecuaciones, tenemos:

= 1 = 1 Entonces:

= 1

+ 1+

1

+ 1

Aplicamos transformada inversa de la place y tenemos que la salida ser:



=

Empleando el mtodo de ecuaciones diferenciales:

+ + = + () = (); La entrada es la funcin Impulso. La ecuacin caracterstica asociada es la siguiente:

+ 2 + 1 = 0 Factorizando tenemos ( + 1)( + 1) = 0 Las races son entonces = 1 y = 1 La respuesta al impulso es:

= + Considerando la funcin impulso, tenemos como condiciones iniciales 0 = 0 y 0 = 1. Entonces, derivando la ecuacin anterior tenemos:

= +

Aplicando las condiciones iniciales:

0 = + 0 = 0

(0) = + 0 = 1

De lo anterior tenemos que = 0 y = 1, por lo tanto:

= () La respuesta al impulso requerida es entonces:

= + ()

= ()



= + + ()

= 2 + ()+ () Entonces:

= 2 + ()+ ()+ ()

= ()+ ()

5) = (); La entrada es la funcin Escaln. Empleando la Transformada de Laplace: Tenemos la ecuacin

+ = + 2 +

= Sabemos que la Transformada de Laplace del es 1, entonces:

= 1

Aplicamos Transformada de Laplace a toda la ecuacin, quedando:

+ = + 2 + Despejamos:

+ = () + 2 + 1 Tenemos que: H(s) = Y(s)/X(s) Y(s) = H(s)*X(s) y como se dijo lneas arriba

= 1

entonces:



= +

+ 2 + 1

1

= +

+ 1 ()

= +

+ 1 ()

Ahora aplicamos fracciones parciales:

=

+ 1+

( + 1)+

+ = + 1 + + ( + 1)

+ 1 ()

+ 1 + + ( + 1) = +

+ + + + 2 + = +

Organizamos e igualamos ecuaciones: + = 1 = 1 + + 2 = 1 = 0 = 0 Entonces:

= 1

+ 1

Aplicamos transformada inversa de la place y tenemos que la salida ser:

=



CONCLUSIONES Una manera de comprender mejor la transformacin de una funcin mediante desplazamiento y escalado en tiempo y/o amplitud es realizando las correspondientes grficas y revisando detenidamente su comportamiento. En este caso, pudimos observar como la funcin en estudio se desplaz dos unidades a la derecha en el tiempo, se escal a la mitad y al doble en el tiempo y al doble en amplitud. Se comprob que la constante que acompae a una funcin sumando o restando, corresponde al desplazamiento que tendr esta en funcin del tiempo, si esta se resta ser un desplazamiento a unidades hacia la derecha y si suma, ser un desplazamiento a unidades hacia la izquierda. Pero cuando la constante este multiplicando, se creara un escalamiento haciendo que la funcin se contraiga en el tiempo con respecto a la constante que la opera. Finalmente cuando la constante influye dividiendo, lo que har ser un estiramiento en funcin del tiempo. Siendo que la funcin de transferencia nos permite dar una relacin entre la salida y la entrada de un sistema descrito mediante ecuaciones diferenciales, hace posible que a partir de procesos matemticos como el de la Transformada de Laplace, podamos hallar la respuesta de salida de algn sistema, teniendo de nuestra parte solo la entrada y la ecuacin que identifica dicho sistema. Lo mismo aplica teniendo solo la salida y la ecuacin que identifica el sistema.



BIBLIOGRAFA ASHOK, Ambardar. (2003). Procesamiento de seales analgicas y digitales (2da ed.). Mxico D. F.: GALE CENEGAGE Learning. ISBN: 970-686-038-X. BLAKE, Roy. (2004). Sistemas electrnicos de comunicaciones (2da ed.). Mxico D. F.: GALE CENEGAGE Learning. ISBN: 970-686-365-6. GIL RODRGUEZ, Manuel 2006. Introduccin rpida a matlab y simulink para ciencia e ingeniera ISBN: 84-7978-596-9. LLINARE LLOPIS, Ral y Otros. Anlisis de secuencias y sistemas discretos con Matlab ISBN: 84-9705-491-1. SOLIMAN, Samir S. Seales y Sistemas Continuos y Discretos (2da ed.). Espaa: PRENTICE HAL IBERIA, S.R.L.. ISBN: 84-8322-154-3.

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