Trabajo Álgebra Lineal
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1. Utilice el método de eliminación de Gauss – Jordán, para encontrar todas las soluciones (si existen) de los siguientes lineales:
3x -4y – 7z = -41.1 5x – 7y – z = -7
-X + y + 6z = 1
[ 3 −4 −75 −7 −1
−1 1 6
−4−71 ]1/3 f 1
[1 −4 /3 −7 /30 −1 −114 /1230 0 291/3
−4 /3−10 ]
3291
f 3
73f 3+f 1[
1 −4 /3 00 −1 −114 /1230 0 1
−4/310 ] 114123 f 3+ f 2−4 /3 f 2+ f 1
[1 0 00 −1 00 0 1
0−10 ]−1 f 2[1 0 0
0 1 00 0 1
010]
De la última matriz que se encuentra en su forma escalonada reducida, se tiene
X=0
y=1
z=0
5x – 4y – 3z = 111.2
-7x – 4y – z = -18
[ 5 −4 −3−7 −4 −1
11−18]1/5 f 1[ 5 −4 −3
−7 −4 −111
−18 ]7 f 1+¿ f 2
[1 −45
−35
0−285
−265
115135
]−5/28 f 2[1 −45
−35
0 131140
11565420
] 45 f 2+¿ f 1
[1 0 620 /21000 1 31/ 40
1300 /2310065 /420 ]
La matriz A, ya se encuentra en su forma escalonada reducida, por lo que el método finaliza allí.
X + 620/2100 Z = 1300/23100
Y + 31/40 Z = 65/420
Dejando x, y
X = 1300/23100 – 620/2100 Z
Y =65/420 + 31/40 Z
EJERCICIO 3.0
3. Resuelva el sistema empleando la inversa.
Primero hallamos la inversa:|10 −1 −75 −5 −2
−1 −6 6 |1 0 00 1 00 0 1|
1/10 F1 | 1 −1/10 −7 /105 −5 −2
−1 −6 6 |1/10 0 00 1 00 0 1|
F2-5F1 F3 + F1 |1 −1/10 −7/100 −9 /2 3/20 −61/10 53/10|
1/10 0 0−1/2 1 01/10 0 1|
-2/9 F2 |1 −1/10 −7/100 1 −1/30 −61/10 53/10|
1/10 0 01/9 −2/9 01/10 0 1|
F1+1/10F2 F3 + 61/10F2 |1 0 −11/50 1 −1 /30 0 49/15|
1/9 −1/ 45 01/9 −2 /9 07 /9 −61/ 45 1|
15/49F3 |1 0 −11/50 1 −1 /30 0 1 | 1/9 −1 /45 0
1/9 −2/9 05/21 −61/147 15 /49|
F2+1/3F3 F1 + 11/15F3|1 0 00 1 00 0 1|
2/7 −16 /49 11/494 /21 −53 /147 5 /495 /21 −61 /147 15 /49|
Por lo cual la matriz inversa seria:
[ 2/7 −16/ 49 11 /494 /21 −53 /147 5/ 495/21 −61 /147 15/ 49]
Y para poder conocer la solucion del sistema realizamos:
¿ * [335]La solución es entonces:
x1=1x2=0x3=1
7. Determine si el conjunto
Es o no, un Espacio Vectorial. Si lo es, realice la demostración (Muestre que cada uno de los axiomas se satisface), y de no serlo de un contraejemplo.
SEA con a, b y V= con d, e y sea c, n escalares
Para que esto sea un espacio vectorial hay que cumplir con lo siguiente:
• U+0=U Y V+0=V LO CUAL CUMPLE
• U+(-U)=0 Y V+(-V)=0 CUMPLE
• U + V = V + U CUMPLE
• C(U + V) = CU + CV CUMPLE LO MISMO QUE PARA V
• (c+n)U = CU + un CUMPLE LO MISMO QUE PARA V
• (cnU) =n(cU) CUMPLE LO MISMO QUE PARA V
• 1xU=U CUMPLE LO MISMO QUE PARA V
AsÍ que se concluye que V es un espacio vectorial por lo que cumple con todas las propiedades.