TP9: Fonctions de deux variables. Rappels Gradient Matrice hessienne.
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TP9: Fonctions de deux variables
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Rappels
Gradient
Matrice hessienne
n
n
1
n
1
1
1
x
f ...
.
.
.
x
f ...
x
f
x
f
f
n
z²
f²
²²
zy
²f
y²
²f
²
zx
f²
yx
²f
²
²
)(
yz
f
xz
f
xy
f
x
f
fH
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Rappels
Calcul des minima, maxima et points de selle Annulation du gradient
Détermination des coordonnées Calcul de la matrice hessienne en ces coordonnées
maximum local si det > 0 et dérivée seconde par rapport à x < 0,
minimum local si det > 0 et dérivée seconde par rapport à x > 0.
Point de selle si dét< 0
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Exercices du syllabus
107. 1)
2)
5)
³8xyx
f
²²12 yxy
f
dyyxdxxydf ²²12³8
1 yyxx
f
xxy
f y ln
xdyxdxyxdf yy ln1
²²
2
yx
x
x
f
²²
2
yx
y
y
f
dyyx
ydx
yx
xdf
²²
2
²²
2
)(
²²
2ydyxdx
yxdf
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Exercices du syllabus
108
111 f(x,y)=xlny+ylnx1)
2)
p
ctv
²p
ct
p
v
v
c
v
ct
tt
p
)(
?p
v
?t
p
)1,1(
ln
x
yy 1
)1,( 2
ln
ey
xx 2² e
?][ )1.1( x
f
?][ )1².(
ey
f
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Exercices du syllabus
116Volume = 64m³: dimension pour aire totale
minimum?
xyzxyz
6464
xyy
xyxxyf
642
64.22 xy
xyf128128
2
0²
1282
xy
x
f 0²
1282
yx
y
f
0²64
1282
²
64
4xx
xy
44
4²4
64
z
x
y
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Exercices du syllabus
118. 1)Droite parallèle Oy, à 3cm de O et tournant
autour de Oy = cylindre
Intersection avec un plan parallèle à xOz = cercle C
Intersection avec un plan passant par Oy = deux droites parallèles M et N
x
z
y
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Exercices du syllabus
Plan parallèle à xOy, passant par p Deux droites parallèles Q et R
Plan par Ox et la première bissectrice du plan yOz
Une ellipsePlan perpendiculaire à D et passant par p
Une ellipse
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Exercices du syllabus
123Hyperboloide à 1nappe
Plan //Oxy: Cercle
Plan // xOz: hyperbole
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Exercices du syllabus
124 tore
Plan // xOy pas b(0,0,1) 2 cercles concentriques c1 etc2
Plan // xOz par a(0,3,0) Courbe en forme de 8
Si a=origine O? Réduit à 1 point
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Questions supplémentaires
1
Calculer les limites
2²²|),(),( 0
2²²,1²²|),(),()1²²ln(),(
yxyxByxsi
yxyxyxAyxsiyx
yx
yxf
),(lim1
xxfx
)1,(lim1
xfx
0)1²²ln(
lim1
xx
xxx
)11²ln(
1lim
1
x
xx ²)ln(
1lim
1 x
xx
2
1
2lim
²21
lim11
x
xx xx
H
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Questions supplémentaires
n’existe pas car différent selon la direction qu’on prend
f continue en (1,1)? Non car la limite n’existe pas
),(lim)1,1(),(
yxfyx
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Questions supplémentaires
2. Représenter dans l’espace R3 les domaines suivants
Intérieur du cercle de rayon 1centré en (1,2)
Intérieur d’un triangle
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Questions supplémentaires
intérieur du cercle de centre (0,0) et de
rayon 2, dont on ne prend que la « tranche » dont les y sont compris entre 0 et 1
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Questions supplémentaires
3. Représenter dans l’espace R3 les surfaces d’équation (cf cours) a) z² = x² + y²
cone b) x = 3
plan c) z = x² + y²
Paraboloïde elliptique d) x² + y² + z² = 1
sphère e) x² + y² = 1.
cylindre
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Questions supplémentaires
4.Calculer les dérivées partielles premières et secondes des fonctions suivantesa) xy + y²
y
y²)(xy
²)(
x
yxyf 2y x y
y²
y²)²(xy
²)²(
yx
y²)²(xy
²
²)²(
)(
xy
yxy
x
yxy
fH
2 1
1 0
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Questions supplémentaires
e) xy
y
)(
)( yx
x
xf
y
xy ln xx y1-y
y²
)²(
)²(
yx
)²(
²
)²(
)(y
y
x
xy
x
x
x
x
fHy
y
y1-y1
11-y2-y
xln²x. xlnx
ln x1)x-y(yy
y
yx
xyx
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Questions supplémentaires
5.dérivée de f au point p=(1,2) dans la direction
²2²),(:²: yxyxyxf
)2
3,
2
1(v
21 ),(),(),( vbay
fvba
x
fba
v
f
yxyx
y
f
yxyxx
f
4),(
2),(
9)2,1(
0)2,1(
y
fx
f
2
39
2
3.9
2
1.0)2,1(
v
f
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Questions supplémentaires
6.Calculer les maxima et minima locaux ainsi que les points de selle des fonctions suivantes
a) x²y + y² - 4xy - 6y + 7 6-4x-2y x²,4y -2xy f
2 4-x2
4-2xy 2)( fH
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Questions supplémentaires
Annulation du gradient
Coordonnées (2,5)
Matrice hessienne
Déterminant=20 >0et dérivées secondes positives minimum
062.424
2
y
x
0642²
042
xyx
yxy
5
2
y
x
064²
0
xx
y
102
0
x
y
2 0
0 10)( fH
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Questions supplémentaires
Matrice hessienne
Déterminant <0 point de selle
matrice hessienne
Déterminant<0 point de selle
)0,102(
)0,102(
2 4-)102(2
4)102(2 0)( fH
2 4-)102(2
4)102(2 0)( fH
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Questions supplémentaires
c) x²-y²-2xy +2
2x-2y- ,2y -2xf
2- 2-
2- 2)( fH
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Questions supplémentaires
Annulation du gradient
Coordonnées (0,0)
Matrice hessienne
Déterminant=0 pas de min, max, point de selle
04x
yx
022
022
xy
yx
0
0
y
x
2 2-
2- 2)( fH
![Page 26: TP9: Fonctions de deux variables. Rappels Gradient Matrice hessienne.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081516/551d9d90497959293b8c6229/html5/thumbnails/26.jpg)
C. Test
1.B 2. D
Toutes les parenthèses avec une soustraction donnent 2 racines
3. B 4.E 5. E
13 cartes par couleur 52-12 6.E