Câu I. (2,0 điểm) Cho hàm số 2 3 2

x y x

+ =

− .

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Tìm m để đường thẳng ( ) : 2 d y x m = + cắt (C) tại hai điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến

của (C) tại hai điểm đó song song với nhau. Câu II. (2,0 điểm)

1. Giải phương trình ( ) 2 2 3 sin cos 2 cos tan 1 2sin 0 x x x x x + − + = .

2. Giải hệ phương trình ( ) ( )

( ) 3 2 2

2 2 2

4 1 2 1 6

2 2 4 1 1

x y x x

x y y x x

+ + + =

+ + = + +

.

Câu III. (1,0 điểm) Tính tích phân ( ) 2

3

4

2sin 3 cos sin

x x x dx

x

π

π

+ − ∫ .

Câu IV. (1,0 điểm) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh bên bằng a, đáy ABC là tam giác đều, hình chiếu của A trên (A’B’C’) trùng với trọng tâm G của ∆A’B’C’. Mặt phẳng (BB’C’C) tạo với (A’B’C’) góc 0 60 . Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a. Câu V. (1,0 điểm) Cho các số thực a, b, c không âm thỏa mãn 2 2 2 1 a b c + + = .Chứng minh rằng

1 1 1 9 1 1 1 2 ab bc ca

+ + ≤ − − −

.

Câu VI. (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân tại A. Biết phương trình

cạnh BC là ( ) : 7 31 0 d x y + − = , điểm N(7; 7) thuộc đường thẳng AC, điểm M(2; ­3) thuộc AB và nằm ngoài đoạn AB. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

2. Trong không gian Oxyz cho điểm A(3; ­2; ­2) và mặt phẳng ( ) : 1 0 P x y z − − + = . Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, vuông góc với mặt phẳng (P) biết rằng mặt phẳng (Q) cắt hai trục Oy, Oz lần lượt tại điểm phân biệt M và N sao cho OM = ON.

Câu VII. (1,0 điểm) Gọi 1 z và 2 z là hai nghiệm phức của phương trình

( ) ( ) 2 2 1 4 2 5 3 0 i z i z i + − − − − = .

Tính 2 2 1 2 z z + .

­­­­­­­­­­­­­­­­ Hết ­­­­­­­­­­­­­­­­

Cảm ơn bạn có hòm thư: thienthan85@yahoo.com đã gửi tới www.laisac.page.tl

Trường THPT Chuyên Trần Phú ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG NĂM 2012­LẦN III Môn thi: TOÁN – Khối A

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ THI THỬ TOÁN LẦN III – KHỐI A – NĂM 2012

(Biểu điểm gồm 04 trang) Câu Nội dung Điểm

1. (1.0 điểm) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. * TXĐ: D = R\2.

* ( ) 2

7 ' 0 2

y x

= − < −

. Vậy hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. 0.25

* Hàm số có tiệm cận đứng x = 2, tiệm cận ngang y = 2. 0.25

* Bảng biến thiên 0.25

Giao Ox: 3 0 2

y x = ⇔ = − .

Giao Oy: 3 0 2

= ⇒ = − x y .

Đồ thị:

0.25

2. (1.0 điểm) Tìm m để đường thẳng … Phương trình hoành độ giao điểm:

( ) ( ) ( ) 2 2 6 2 3 0 * 2 3 2 2 2

x m x m x x m x x

+ − − + = + = + ⇔ − ≠

0.25

(d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt và khác 2.

( ) ( ) ( ) 2 2

0 6 8 2 3 0 4 60 0

2 0 g m m m m g

∆ > ⇔ ⇔ − + + > ⇔ + + > ≠

(luôn đúng).

0.25

I (2.0 điểm)

Với điều kiện trên giả sử đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm có hoành độ

1 2 x x ≠ . Ta có 1 2 6 2 m x x −

+ = .

Tại hai giao điểm kẻ hai tiếp tuyến song song khi và chỉ khi ( ) ( ) 1 2 1 2 ' ' 4 y x y x x x = ⇔ + = 2 m ⇔ = − .

0.5

1. (1.0 điểm) Giải phương trình…

Điều kiện cos 0 x ≠ 0.25

II. (2.0 điểm)

( ) 2 2 3 sin cos 2 cos tan 1 2sin 0 x x x x x + − + =

⇔ ( ) 2 2 3 sin 1 2sin 2sin 1 2sin 0 x x x x − + − + =

0. 25

2

2 2 sin 1

2sin sin 1 0 2 1 6 sin 2 5 2

6

x k x

x x x k x

x k

π π

π π

π π

= − + = −

⇔ + − = ⇔ ⇔ = + = = +

. 0. 25

Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm 5 2 ; 2 6 6

S k k π π π π = + +

0.25

2. (1.0 điểm) Giải hệ phương trình… ĐK: 0 x ≥ . Nhận thấy (0; y) không là nghiệm của hệ phương trình. Xét 0 x > .

Từ phương trình thứ 2 ta có 2 2

1 1 1 2 2 4 1 1 y y y x x x

+ + = + + (1) 0.25

Xét hàm số ( ) 2 1 f t t t t = + + có ( ) 2

2

2 ' 1 1 0

1 t f t t t

= + + + > +

nên hàm số đồng

biến. Vậy ( ) ( ) 1 1 1 2 2 f y f y x x

⇔ = ⇔ =

. 0.25

Thay vào phương trình (1): ( ) 3 2 2 1 6 x x x x + + + = 0.25

Vế trái của phương trình là hàm đồng biến trên ( ) 0;+∞ nên có nghiệm duy nhất

1 x = và hệ phương trình có nghiệm 1 1; 2

. 0.25

Tính tích phân…

( ) ( ) 2 2 2

3 3 3

4 4 4

2sin 3 cos 2sin 3 cos cos sin sin sin

x x x x x x x I dx dx dx x x x

π π π

π π π

+ − − = = + ∫ ∫ ∫

0.25

2 2 2 2

1 3 2 2 2

4 4 4 4

2

4

cos 1 1 1 1 1 sin 2 sin 2 sin 2 sin

1 1 1 cot 2 2 2 2 2

x x x I dx xd dx x x x x

x

π π π π

π π π π

π

π π π

= = − = − +

= − − − =

∫ ∫ ∫ 0.25

( ) ( ) 2 2

2 3 3

4 4

2sin 3 cos 2sin 3 7 sin 2 2 sin sin 2 x x x I dx d x

x x

π π

π π

− − = = = − ∫ ∫ . 0.25

III. (1.0 điểm)

Vậy 1 2 2 2 3 = + = − I I I . 0.25 IV.

(1.0 điểm) Tính thể tích…

Gọi M,M’ lần lượt là trung điểm BC, B’C’⇒A’, G, M’ thẳng hàng và AA’M’M là hình bình hành . A’M’⊥ B’C’, AG⊥B’C’ ⇒B’C’⊥ (AA’M’M). Suy ra góc giữa (BCC’B’) và (A’B’C’) là góc giữa A’M’ và MM’ bằng · 0 ' 60 M MA = .

0.25

a

A' C'

B'

C

B

A

M H

M ' G

Đặt x = AB. Ta có∆ABC đều cạnh x có AM là

đường cao. ⇒ 3 3 ' ', ' 2 3 x x AM A M A G = = = .

Trong∆AA’G vuông có AG = AA’sin60 0 = 3 2 a ;

0 3 3 ' ' os60 2 3 2 a x a A G AA c x = = = ⇔ = .

0.25

2 2 0 2 1 3 3 3 3 3 . .sin 60 ( )

2 4 4 2 16 ABC x a a S AB AC ∆ = = = = .

0.25

2 3

. ' ' ' 3 3 3 9 .

2 16 32 ABC A B C ABC a a a V AG S ∆ = = = .

0.25

Chứng minh bất đẳng thức... 1 1 1 9 3

1 1 1 2 1 1 1 2 ab bc ca

ab bc ca ab bc ca + + ≤ ⇔ + + ≤

− − − − − − 0.25

Ta có 2 2 2 2 2 2

2 2 1 2 2 2 2 2 ab ab ab ab a b c ab a b c

= ≤ − + + − + +

.

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ( ) 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 2 2

a b a b ab a c b c a b c a b c

+ + ≥ ≥

+ + + + + + .

0.25

Vậy 2 2

2 2 2 2

1 1 2 ab a b ab a c b c

≤ + − + +

.

Tương tự 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 , 1 2 1 2 bc b c ac a c bc b a c a ac a b c b

≤ + ≤ + − + + − + +

. 0.25

V. (1.0 điểm)

Cộng lại ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng khi 3 3

a b c = = = . 0.25

1. (1.0 điểm) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC VI. (2.0 điểm)

Đường thẳng AB đi qua M nên có phương trình ( ) ( ) 2 3 0 a x b y − + + = ( ) 2 2 0 a b + ≠

( ) · 0 ; 45 AB BC = nên 0

2 2

3 4 7 cos45

4 3 50

a b a b a b a b

= + = ⇔ = − +

. 0.25

Nếu 3a = 4b, chọn a = 4, b = 3 ta được ( ) : 4 3 1 0 AB x y + + = . ( ) : 3 4 7 0 AC x y − + = .

Từ đó A(­1; 1) và B(­4; 5). Kiểm tra 2 MB MA = uuur uuur

nên M nằm ngoài đoạn AB (TM) Từ đó tìm được C(3; 4)

0.50

Nếu 4a = ­3b, chọn a = 3, b = ­4 được ( ) : 3 4 18 0 AB x y − − = , ( ) : 4 3 49 0 AC x y + − =

Từ đó A(10; 3) và B(10;3) (loại) 0.25

Nếu không kiểm tra M nằm ngoài AB trừ 0.25 điểm.

2. (1.0 điểm) Viết phương trình mặt phẳng….

Giả sử Q n r

là một vecto pháp tuyến của (Q). Khi đó ( ) 1; 1; 1 Q P n n ⊥ − − uur uur

Mặt phẳng (Q) cắt hai trục Oy và Oz tại ( ) ( ) 0; ;0 , 0;0; M a N b phân biệt sao cho

OM = ON nên 0 0

a b a b

a b = ≠

= ⇔ = − ≠

0.25

Nếu a = b thì ( ) ( ) 0; ; // 0; 1;1 MN a a u = − − uuuur r

và Q n u ⊥ uur r

nên ( ) , 2;1;1 Q P n u n = = uur r uur

.

Khi đó mặt phẳng (Q): 2 2 0 x y z + + − = và ( ) Q cắt Oy, Oz tại ( ) 0;2;0 M và ( ) 0;0;2 N (thỏa mãn)

0.25

Nếu a = ­ b thì ( ) ( ) 0; ; // 0;1;1 MN a a u = − − uuuur r

và Q n u ⊥ uur r

nên ( ) , 0;1; 1 Q P n u n = = − uur r uur

.

Khi đó mặt phẳng (Q): 0 y z − =

0.25

( ) Q cắt Oy, Oz tại ( ) 0;0;0 M và ( ) 0;0;0 N (loại). Vậy ( ) : 2 2 0 Q x y z + + − = . 0.25

Tính 2 2 1 2 z z + ....

Có ( ) ( )( ) 2 ' 4 2 2 1 5 3 16 i i i ∆ = − + + + = . Vậy phương trình có hai nghiệm phức 0.25

1 2 3 5 1 1 , 2 2 2 2

z i z i = − = − − 0. 5

VII. (1.0 điểm)

Do đó 2 2 1 2 9 z z + = .

0.25