9 .  DIMENZIONIRANJE  ZA  NAPREZANJE  TORZIJOM  

Prof.dr.ing. Muhamed Zlatar             

GRAĐEVINSKI FAKULTET U SARAJEVU Betonske konstrukcije II         2011/2012 

1 

DIM

ENZIO

NIRANJE ZA

 TORZIJU

 

UVOD

Pored uvrtanja štapa oko tzv. centra smicanja presjeka naprezanje torzijom izaziva i vitoperenje ravni poprečnih presjeka tako da one imaju prostornu zakrivljenost. Ako je spriječena vitoperna torzija tada nastaju podužni i smičući naponi koji su dio naprezanja torzijom (tzv. sekundarna torzija). Za izvođenje pravila dimenzioniranja torzijom općenito se pretpostavlja da vitoperna torzija nije spriječena, dakle radi se o čistoj torziji (tzv. primarna torzija), poznata kao Seint- Venant’ova torzija

2 

DIM

ENZIO

NIRANJE ZA

 TORZIJU

 PONAŠANJE NOSAČA KOD ČISTE TORZIJE 

Štap od idealno elastičnog homogenog materijala napregnut sa momentom torzije TE, izaziva konstantno zaokretanje podužne izvodnice ϑ = dφ/dx. Općenito se ponašanje elastičnog štapa opisuje kroz torzioni momenat inercije IT i torzioni momenat otpora WT.

T

E

G IT

; T,max

T

E

WT

Sant- Venant’ova torzija:

3 

DIM

ENZIO

NIRANJE ZA

 TORZIJU

 

Kod prstenastog presjeka kod kojeg je debljina prstena u odnosu na radius mala može se predpostaviti da je sičući napon τT konstantan po debljini prstena tako da se dobija konstantan tok sile smicanja νT = τT t. Tok sile smicanja kod zatvorenih tankostjenih presjeka dobija se na osnovu Bredt’ovih jednadžbi:

2k

T Tk

4 AT; I

ds2 At

4 

DIM

ENZIO

NIRANJE ZA

 TORZIJU

 

5 

DIM

ENZIO

NIRANJE ZA

 TORZIJU

 

Prandtl’ova analogija sa membranom:

Na osnovu Prandtl’ove analogije sa membranom slijedi:

6 

DIM

ENZIO

NIRANJE ZA

 TORZIJU

 Kod armiranobetonskih presjeka naponi od vitoperenja poprečnih presjeka se kroz naprsline u znatnoj mjeri reduciraju. Kod štapova sa velikom torzionom krutošču (npr. puni ili sandučasti presjeci) naprezanja od vitoperne torzije su zanemarljiva u odnosu na napone od Saint-Venat'ove torzije. Suprotno kod torziono "mekih" presjeka (npr. otvoreni T-presjeka ili dvostruki T-presjek) nastupaju značajna naprezanja od vitoperne torzije, koja se mogu obuhvatiti kroz savijanje rebra i flanši. Dimenzioniranje na vitopernu torziju vodi ka dimenzioniranju na savijanje i poprečne sile.

7 

DIM

ENZIO

NIRANJE ZA

 TORZIJU

 

Torzija u stadiju II:

U nepopucalom stanju (stadij I) ponašanje armirano-betonskog elementa može se opisati na osnovama teorije elastičnosti. Uticaj armature na torzionu krutost GcIT, kao i na momenat torzije Tcr pri nastanku prvih pukotina je zanemarljiv. Formiranje naprslina počinje kada glavni naponi zatezanja dostignu efektivnu čvrstoču betona na zatezanje fct,eff. Naprsline se protežu spiralno okomito na pravac glavnih napona zatezanja pod nagibom 45° u odnosu na osu štapa.

Sa stvaranjem naprslina torziona krutost znatno opada. Na slici su prikazani rezultati ispitivanja prizmatičnih štapova armiranih uobičajenom armaturom od podužnih štapova i vilica. Karakteristična su tri stadija T-ϑ linije. Stadij I bez naprslina, stadij II sa naprslinama i stadij tečenja armature. U stadiju II otpor naprezanju torzijom pruža rubni dio presjeka dok jezgro presjeka ostaje ne napregnuto. Puni presjek i sandučasti presjek sa istom armaturom u stadiju II imaju vrlo slično ponašanje.

8 

DIM

ENZIO

NIRANJE ZA

 TORZIJU

 

Dakle, kod naprezanja torzijom u stadiju II poprečni presjek se sastoji od aktivne armiranobetonske ljuske koja primarno preuzima naprezanje torzijom i pasivnog jezgra koje uglavnom ostaje ne napregnuto (Lampert/Thürlimann 1968, Leonhardt/Schelling 1974). Za naprezanje torzijom kompaktni presjek se idealizira sa fiktivnim sandučastim presjekom efektivne debljine stjene sanduka teff, sa približno konstantnim tokom sile smicanja. Pravokutni presjeci različitih odnosa strana b/h, približno iste površine presjeka i jezgra, kao i približno iste armature, u stadiju I imaju izrazito različitu torzionu krutost. Opiti kod naprezanja torzijom kod takvih presjeka nakon stvaranja pukotina pokazuju sličnu nosivosti i torzionu krutost. Istovremeno sa pojavom naprslina pokazuju i znatno smanjenje torzione krutosti koja u zavisnosti od forme poprečnog presjeka i jačine armature u stadiju II iznosi svega 5% do 20% od one u stadiju I.

9 

DIM

ENZIO

NIRANJE ZA

 TORZIJU

 

Model rešetke za naprezanje čistom torzijom:

Kao kod naprezanja sa poprečnim silama i kod naprezanja torzijom tok sila može se opisati sa pritisnutim i zategnutim štapovima, koji se formiraju u aktivnoj vanjskoj ljusci presjeka. Rausch 1929 je predlagao analogiju sa prostornom rešetkom koju čine zategnuti elementi okomito na naprsline koji slijede pravce glavnih napona zatezanja iz stadija I i koji su u nagibu od 45° u odnosu na osu štapa. Pritisnuti štapovi su u pravcu naprslina, suprotno smjeru uvrtanja pod uglom ≈ 45° u odnosu na os štapa. Iz ovoga slijedi i spiralno oblikovanje armature. U praksi iz praktičnih razloga primjenjuje se kombinovana armatura od vilica i podužnih šipki koja takođe omogućava formiranje modela rešetke. Važno: Uz armaturu od vertikalnih vilica neizostavno mora doći i armatura od podužnih šipki.

10 

DIM

ENZIO

NIRANJE ZA

 TORZIJU

 Vrste otkazivanja kod naprezanja torzijom:

Mogući modeli otkazivanja kod naprezanja torzijom su: • Otkazivanje zategnute armature. Otkazivanje podužne i/ili armature od vertikalnih vilica propraćeno je znatnim deformacijama i širokim pukotinama. Spada u vrste duktilnih lomova i za manje stepene naprezanja potrebno je birati minimalnu armaturu. • Otkazivanje betonskih dijagonala. Kod velikog stepena armiranja moguće je da dođe do naglog otkazivanja pritisnutog betona i prije nego su naponi u armaturi dostigli granicu tečenja. Čvrstoća betona na pritisak je i u ovom slučaju, kao kod naprezanja sa poprečnim silama, reducirana kroz djelovanje poprečnih zatežuči napona od armature. • Cjepanje betona na rubovima. Usljed prevelikog razmaka vilica ili prekrutih podužnih šipki, moguće je, da zbog promjene pravca pritisnutih dijagonala, skretne sile izazovu cjepanje betona na rubovima elementa. • Otkazivanje zbog nedovoljnog sidrenja armature. Nedovoljna dužina sidrenja armature od vilica ili podužnih šipki može dovesti do nenajavljnog otkazivanja elementa.

11 

DIM

ENZIO

NIRANJE ZA

 TORZIJU

 

TORZIONA NOSIVOST PRIZMATIČNIH ŠTAPOVA

Osnove dimenzioniranja

Za proračun sila u štapovima fiktivne rešetke polazi se od pretpostavke konstantnog toka sila smicanja vEd unutar tankostjenog sandučastog presjeka. Po visini zi zida (i) sila smicanja VEd,T, prema tzv. 2 Bredt'ovoj jednadžbi je,

vEd,T

T

Ed

2 Ak

, VEd,T

vEd,T

zi

TEdz

i

2 Ak

Iz uslova ravnoteže u presjeku između dvije vilice je, Fcd

VEd,T

sin, F

sld F

cdcos V

Ed,Tcos

Iz uslova ravnoteže u čvoru (1) je, Fswd

Fcdsin V

Ed,T

12 

DIM

ENZIO

NIRANJE ZA

 TORZIJU

 Naprezanja u betonu i armaturi dobiju se ako se sile u štapovima rešetke jednog zida podjele sa pripadajućom površinom,

Fcd

teffc

i t

effz

icos

Fsld

A

sl

uk

zi a

slz

i

Fswd

A

sw

sw

zicot a

swz

icot

Ovdje je,

Asl

uk

Asw

sw

: podužna armatura na jedinicu dužine obima jezgra presjeka Ak,

: armatura jednog kraka vilice na jedinicu dužine nosača.

Naponi betona i armature su:

cd

Fcd

teffz

icos

V

Ed,T

teffz

icos sin

T

Ed

2 Ak t

effcos sin

T

Ed

2 Ak t

eff

(cot tan)

sld

Fsld

aslz

i

V

Ed,T

aslz

i

cot T

Edcot

2 Aka

sl

swd

F

swd

aswz

icot

V

Ed,T

aswz

i

tan T

Ed tan

2 Aka

sw

13 

DIM

ENZIO

NIRANJE ZA

 TORZIJU

 

Za granično stanje nosivosti, vrijedi za presjek da je TEd = TRd. Torziona nosivost je dostignuta ako su naponi betona σcd, odnosno armarure σsld i σswd dostigli vrijednosti pripadajućih čvrstoča (αc,red fcd), odnosno fyd.

c,red cd k effRd,max c,red cd k eff

yd sl k

Rd,syyd sw k

f 2 A tT f 2 A t sin cos

cot tanf a 2 A tan (poduznaarmatura)

T minf a 2 A cot (armaturaodvilica)

Iz prethodnih jednadžbi potrebna torziona armatura od podužnih šipki i vilica za TEd = TRd,sy je,

asl

Asl

uk

T

Ed

2 Ak f

yd

cot

asw

Asw

sw

T

Ed

2 Ak f

yd

tan

Primjena spiralne armature ima povoljnije djelovanje na naprezanje betona i armature. Za nagib armature koji je α < 90° gornje jednadžbe su:

TRd,max

c,red

fcd2 A

k t

effcot cot

1 cot2

asl

TEd

2 Ak f

yd

(cot cot)

asw

TEd

2 Ak f

yd

1

sin (cot cot)

14 

DIM

ENZIO

NIRANJE ZA

 TORZIJU

 Uticaj nagiba pritisnutih dijagonala:

U prethodnim jednadžbama ostaju nepoznate veličine debljine fiktivnog sandučastog presjeka teff i nagiba pritisnutih dijagonala θ. Obje veličine su vezane za plastično ponašanje rešetke u stanju loma.

Dakle, na osnovama teorije plastičnosti slobodan je izbor, u određenim granicama, nagiba pritisnutih dijagonala. Moguće je u odnosu na 45° da nagib dijagonala bude blaži ili strmiji. Izborom nagiba θ utiće se na potrebnu količinu ukupne armature as,tot = asw + asl. Za manju potrebnu površinu armature od vilica dobija se veća potrebna armatura od podužnih šipki i obratno. Minimum armature dobija se za θ = 45° a istovremeno ostvaruje se i najveća nosivost betonskog presjeka.

α=90°

15 

DIM

ENZIO

NIRANJE ZA

 TORZIJU

 

Čvrstoća betona na pritisak betonskih dijagonala:

Kao i kod poprečnih sila, armatura koja presjeca naprsline reducira čvrstoću beton na pritisak. Takođe uvrtanjem grede prizmatičnog poprečnog presjeka, površine stranica poprimaju deformaciju približno u obliku paraboličnog hiperboloida. Dodatno, zbog ekscentriciteta, sile smicanja od torzije izazivaju i napone od savijanja u stjenama fiktivnog sanduka koji povećavaju napone pritiska od torzije u betonu. Iz tog razloga uveden je i faktor redukcije računske čvrstoče betona na pritisak αc,red fcd. Kod sandučastih presjeka kod kojih se armatura postavlja sa obje strane sanduka, dvosječne vilice, u uglovima presjeka se beton dobro obuhvata armaturom tako da se tu može ostvariti i veća čvrstoća betona na pritisak. Svi ovi efekti se različito uzimaju u pojedinim propisima različitih zemalja.

16 

DIM

ENZIO

NIRANJE ZA

 TORZIJU

 Složeni presjeci:

Polazi se od pretpostavke da se čitav presjek zaokreće za isti ugao pa se prema torzionoj krutosti momenat torzije TEd dijeli na jednostavne presjeke koji se svaki dimenzionira prema pripadajućem momentu torzije.

Definisanje fiktivnog sandučastog presjeka:

17 

DIM

ENZIO

NIRANJE ZA

 TORZIJU

 

DIMENZIONIRANJE 

DIN 1045-1:

Nosivost prizmatičnog štapa se određuje uz predpostavku tankostjenog sandučastog presjeka sa konstantnim tokom sila smicanja. Sila smicanja VEd,T stjene sandučastog presjeka dužine zi je,

VEd,T

T

Edz

i

2 Ak

Dokaz se provodi na tankostjenom zamjenjujućem sandučastom presjeku na osnovu analogije sa prostornom rešetkom koja se sastoji od podužnih štapova, okomiih vilica i pritisnutih štapova koji zalapaju ugao θ u odnosu na osu štapa. Složeni presjeci mogu se djeliti u jednostavne presjeke na koje djeluju pripadajući momenti torzije proporcionalni krutostima IT u stadiju I pojedinih dijelova presjeka.

T,jEd,j Ed

T,ii

IT T

I

Srednja linija zidova fiktivnog sandučastog presjeka definisana je na prethodnoj slici. Nagib betonskih dijagonala smije se biratu u granicama istim kao kod dimenzioniranja na poprečne sile.

cd cd

Rd,c Ed

0,581,2 1,4 / fcot

1 V / V 3,00

18 

DIM

ENZIO

NIRANJE ZA

 TORZIJU

 Za određivanje djela naprezanja VRd,c kojeg preuzima beton treba se VEd zamjeniti sa VEd,T, a istovremeno kod određivanja VRd,c umjesto širine rebra bw treba uzeti debljinu stjene teff sandučastog zanjenjujučeg presjeka. Kod kombinovanog naprezanja torzijom i poprečnim silama vrijede posebna pravila interakcije.

Računska vrijednost torzionog momenta TRd,sy kojeg može preuzeti presjek sa torzionom armaturom je,

yd sl k

Rd,syyd sw k

f a 2 A tan (poduznaarmatura)T min

f a 2 A cot (armaturaodvilica)

Računska vrijednost torzionog momenta TRd,max kojeg može preuzeti presjek s obzirom na čvrstoču betonskih dijagonala je,

TRd,max

c,red f

cd2 A

k t

eff

cot tan

c cdc,red cd

c cd

0,7 ff

f

(općenito)

kod sandučastih presjeka sa armaturom na vanjskoj i unutarnjoj strani sanduka

Ovdje je, αc=0,75 η1, gdje je η1=1,0 za normalni beton a η1=0,4+0,6 ρ / 2200 za laki beton.

Za TRd,sy i TRd,max mjerodavna je manja vrijednost.

19 

DIM

ENZIO

NIRANJE ZA

 TORZIJU

 

EN 1992-1-1:

Dokaz nosivosti za naprezanje torzijom prema EN 1992-1-1 je općenito identičan sa pravilima u DIN 1045-1. Razlike su u slijedećem, Efektivna debljina fiktivnog sanduka je slobodnog izbora (prema prethodnoj slici). Kao smjernica daje se, teff,i = A / u, gdje je A - ukupna površina presjeka a u - vanjski obim presjeka. Pri tome treba teff,i biti najmanje dvostrukom rastojanju linije koja povezuje podužnu armaturu od ruba presjeka. Kod sandučastih presjeka za teff,i treba uzeti stvarnu debljinu sanduka. Nagib betonskih dijagonala θ može se birati u istim granicama kao kod dokaza za naprezanje sa poprečnim silama:

o o1 cot 2,5 (21,8 45 )

Kod kombinovanog naprezanja vrijede posebna ograničenja.

Ograničenje nosivosti s obzirom na čvrstoču betona u pritisnutim dijagonalama je,

T

Rd,max

cw f

cd2 A

k t

eff,isin cos

Ovdje je ν i αcw kao kod dimenzioniranja za naprezanje poprečnim silama.

20 

DIM

ENZIO

NIRANJE ZA

 TORZIJU

 Kombinovano naprezanje

U praksi najčešći slučaj je da torzija nastipa zajedno sa savijanjem i poprečnom silom. Ovako kombinovano naprezanje ima izuzetno kompleksno naponsko stanje. Općenito, kombinovanje napona od torzije sa podužnim naponima pritiska ili zatezanja vodi različitom nagibu pritisnutih dijagonala na pojedinim površinama sandučastog presjeka. Iz praktičnih razloga dokaz nosivosti se provodi odvojeno za M+N, V i T. Zbog nelinearnog ponašanja prosta superpozicija i nije moguća. Umjesto tačnog rješenja danas se primjenjuje pojednostavljena interakcija.

Interakcija (M+N) i T

Uz istovremeno djelovanje momenta torzije i savijanja sa normalnom silom fiktivni sanduk usljed torzije napregnut je dodatno naponima pritiska i zatezanja od savijanja. Kod odvojenog posmatranja T i M, na osnovama teorije plastičnosti, u zategnutoj zoni od savijanja podužna armatura od torzije se dodaje podužnoj armaturi od savijanja. Istovremeno u pritisnutoj zoni od savijanja naponi zatezanja od torzije se moraju isključiti. Kod dominantnog naprezanja na savijanje u pritisnutoj zoni se mogu izostaviti podužne šipke od torzije. Za povečanje napona u pritisnutim dijagonalama od torzije usljed pritiska od savijanja potreban je dokaz. Pošto u jače napregnutoj pritisnutoj zoni nema zatezanja u podužnoj armaturi, prema Zilch/Schnaider (2001) iz NT = MEd / z slijedi nagib sila pritiska u pritisnutoj zoni:

cot 2 M

Ed

TEd

sa čime je od ranije (vidi jednadžbe izvedene za prostornu rešetku),

Ed Ed Edcd

k eff Ed Ed

T 2 M T

2 A t T 2 M

rješavanjem je,

Ed Ed Ed

k eff cd eff cd eff cd

T M M2 1

A t z b t z b t

21 

DIM

ENZIO

NIRANJE ZA

 TORZIJU

 

Ograničavanjem napona σcd na čvrstoču betona na pritisak dobiva se granični uslov dokaza nosivosti pritisnutih dijagonala. Inkonzistentno je da su efektivne čvrstoće αc,red fcd za torziju i fcd za savijanje različite, pa se u odnosu na presječne sile može odlučiti o mjerodavnoj čvrstoći:

Ed Ed Ed

Ed0 rd0 rd0

T M M2 1

T M M

gdje je,

TRd0

Ak t

eff

c,red f

cd

MRd0

z b teff f

cd

Interakcija T i V

Kombinovano naprezanja od torzije i poprečnih sila razlaže se u zidovima fiktivnog presjeka preko sila smicanja kako od V tako i od T. Odvojeno određivanje potrebne armature od vilica i superponiranje je moguće ali uz pretpostavku istog nagiba pritisnutih dijagonala θ.

As,tot

sw

A

swV

sw

2 A

swT

sw

22 

Za dokaz nosivosti pritisnutih dijagonala treba voditi računa da naponi od poprečne sile djeluju kroz cijeli presjek dok naprezanja od torzije primarno se odnose na zid tankostjenog fiktivnog šupljeg presjeka. Smatra se da je linearno slaganje napona konzervativno pa se primjenjuje kvadratna interakcija. U slučaju realnog sandučastog presjeka opravdana je linearna interakcija.

DIM

ENZIO

NIRANJE ZA

 TORZIJU

 

23 

DIN 1045-1:

Prema DIN 1045-1 kod punog poprečnog presjeka napregnutog sa T i V nije potrebno proračunavati armaturu, usvaja se minimalna armatura, ako su zadovoljene slijedeće jednadžbe:

Ed wEd

EdEd Rd,ct

Ed w

V bT

4,5

4,5 TV 1 V

V b

Kombinovano naprezanje T+V:

Daju se dvije mogućnosti, kombinovano dimenzioniranje i pojednostavljeno dimenzioniranje, gdje se oba postupka baziraju na odvojenom dokazu za T i V. Kod kombinovanog dimenzioniranja mora nagib pritisnutih dijagonala θ biti isti za T i V. Vrijede ranije navedene granice za nagib pritisnuti dijagonala (kod dimenzioniranja na poprečne sile). Kod određivanja donje granične vrijednosti ugla θ za VEd treba uzeti VEd,T+V od torzije i dio poprečne sile koji otpada na zamjenjujuću sandučasti presjek,

VEd,TV

VEd,T

VEdt

eff

bw

Dio poprečne sile kojeg preuzima beton VRd,c treba odrediti za teff umjesto bw. Dobivena armatura usljed T i V se jednostavno zbrajaju (za isti θ). Pojednostavljeni postupak dimenzioniranja dozvoljava da se potrebna torziona armatura odredi ne ovisno od armature za poprečne sile koja se određuje za nagib dijagonala θ=45°. Tako određene armature se zbrajaju.

DIM

ENZIO

NIRANJE ZA

 TORZIJU

 

Dokaz nosivosti pritisnutih dijagonala provodi se u zavisnosti od tipa poprečnog presjeka,

2 2

Ed Ed

Rd,max Rd,max

Ed Ed

Rd,max Rd,max

T V1

T V

T V1

T V

za pune poprečne presjeke za sandučaste poprečne presjeke

Kombinovano naprezanje T+M:

Dopušteno je podužnu torzionu armaturu reducirati u pritisnutoj zoni od savijanja prema stvarnim vrijednostima sila pritiska. U zategnutom pojasu armature se zbrajaju.

EN 1992-1-1:

Za kombinovano naprezanje postupak je u osnovi isti kao i u DIN 1045-1. Razlike su u slijedećem,

Kod punih presjeka nije potrebno proračunavati armaturu, usvaja se minimalna armatura, ako je zadovoljena slijedeća jednadžba,

Ed Ed

Rd,c Rd,c

T V1

T V

gdje je, T

Rd,c f

ctdW

T

DIM

ENZIO

NIRANJE ZA

 TORZIJU

 Kombinovano naprezanje T+V:

Prema EN 1992-1-1 dimenzioniranje za T i V smije se provoditi odvojeno za isti ugao θ u granicama koje su date kod dimenzioniranja na poprečne sile. Dobivena armatura se zbraja. Za dokaz nosivosti pritisnutih dijagonala daje se linearna interakcija:

Ed Ed

Rd,max Rd,max

T V1

T V

gdje je VRd.max dato ranije kod dimenzioniranja na poprečne sile. VRd,max

b

wz

1 f

cd

cot tan

25