Torres de Hanoi

Marco Antonio Montebello Júniormarco.antonio@aes.edu.br

Estrutura de Dados

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Torres de Hanoi

“No século XIX, um jogo chamado Torres de Hanoi apareceu na Europa, junto com um material promocional explicando que o jogo representava uma tarefa conduzida no Templo de Brahma (montanhas de Hanoi – sacerdotes brâmanes).

Dizia, ainda, que na criação do mundo, aos sacerdotes foi dada uma plataforma de metal na qual existiam três hastes de diamante.

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Na primeira haste existiam 64 discos de ouro, cada um ligeiramente menor em relação ao que estava por cima. (A versão mais exótica vendida na época na Europa tinha 8 (oito) discos e 3 (três) hastes de madeira).

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Os sacerdotes foram incumbidos com a tarefa de mover todos os discos de ouro do primeiro disco para o terceiro, porém, com as seguintes condições:

a. Mover apenas um disco por vez;

b. E nenhum disco poderia ficar sobre um disco menor.

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Entretanto, poderiam utilizar qualquer haste de diamante como descanso para os discos.

Aos sacerdotes foi dito que quando eles terminassem de movimentar os 64 discos de ouro, significaria o fim do mundo!!!”

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Desenvolvendo uma solução para Torres de Hanoi

Concentrar nossa atenção não no primeiro passo Mas sim, no passo mais difícil: mover o último

disco Como acessar o disco número 64? Lembre-se que somente um disco pode ser

movido por vez E o último (o maior) não pode nunca estar sobre

os demais Quando movemos o disco 1, não pode existir

nenhum outro disco nas torres 1 e 3

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Resumindo os passos do algoritmo de Torres de Hanoi

Move (63, 1, 2, 3) Move 63 discos da torre 1 para 2 (torre 3 temporária)

Escreva: “Mova o disco número 64 da torre 1 para torre 3”

Move (63, 2, 3, 1) Move 63 discos da torre 2 para torre 3 (torre 1

temporária)

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Refinamento

Para escrever o algoritmo na sua forma final, nós devemos saber em cada passo, qual torre será utilizada como armazenamento temporário, e assim, nós construímos a função “move” com as seguintes especificações:

void move(int qtd, int inicio, int fim, int aux) Pré-condição: Existe no mínimo qtd discos na torre inicio. O disco

de topo (se existir) nas torres aux e fim, é maior do que qualquer outros qtd discos presentes na torre inicio.

Pós-Condições: Os qtd discos que estavam na torre inicio foram movidos para a torre fim. A torre temp (usada como armazenamento temporário) retornou para sua posição inicial.

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Refinamento

Nossa tarefa deve terminar num número finito de passos.

Uma regra óbvia é que, quando não existir mais discos para ser movido, não há mais nada para fazer...

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Analisando um programa que considera as regras anteriores#define discos = 64; //faça essa constante ser menor para testar o programa

/*Pré: NenhumPós: A simulação das torres de Hanoi terminou*/void move(int qtd, int inicio, int fim, int aux);

main(){ move (discos, 1, 3, 2);}

void move(int qtd, int inicio, int fim, int aux){

if(qtd > 0){

move(qtd – 1, inicio, aux, fim);printf(“Mova disco %i de %i para %i”, qtd, inicio, fim);move(qtd - 1, aux, fim, inicio);

}}

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Acompanhamento / Análise

Acompanhamento e análise do programa recursivo de Torres de Hanói com árvore de recursão.

Demonstração: move(3, 1, 3, 2);

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Analisando a árvore de recursão

Uma instrução é exibida para cada vértice (ou nó)

Exceto para as folhas que são chamadas com count == 0

O número de vértices tipo não-folhas é: 1 + 2 + 4 +...+ 263 = 20 + 21 + 22+ . . . + 263 = 264 –1

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Podemos concluir o seguinte

Número de movimentos para movimentar todos 64 discos é de: 264 -1

Este valor pode ser estimado por: 103 = 1000 1024 = 210

Número aproximado de movimentos é: 264 = 24 x 260 24 x 1018 = 1,6x1019

Existem aproximadamente 3,2x107 segundos num ano Suponha instruções num ritmo de um movimento por

segundo A tarefa total levará quase 5x1011 anos Estimativa de vida do universo: mínimo 20 bilhões

(2x1010) anos Duração do mundo: 25 vezes mais do que já tem!!!

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Consideração de tempo (execução) e espaço (memória) do algoritmo recursivo de Torres de Hanoi

Não existiria um computador que rodaria o programa de Torres de Hanoi

Ele falharia por falta de tempo Mas certamente não por falta de espaço O espaço necessário é somente para fazer o

controle das 64 chamadas recursivas Mas o tempo necessário requerido, é aquele

para fazer 264 cálculos

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Desenvolvendo algoritmos recursivos

Ache o passo chave Como este problema pode ser dividido? Como posso desenvolver o passo chave da solução?

Ache uma regra de parada Uma regra de parada indica que o problema ou uma parte

razoável do mesmo foi feito Ela é geralmente pequena e dá a solução trivial, sem a

necessidade da recursão

Monte seu algoritmo Combine a regra de parada e o “passo chave” usando uma

instrução if

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Desenvolvendo algoritmos recursivos

Verifique o término Certificar que a recursão sempre terminará Comece com uma situação geral Verifique se num número finito de passos, a regra de

parada será satisfeita e a recursão termina Desenhe uma árvore de recursão

É a ferramenta chave para analisar algoritmos recursivos

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Tipos de recursividadeRecursão de Cauda

Essa situação na qual a chamada recursiva é o último comando da função, é denominada recursão de cauda

Isso forma um “looping” que será repetido até que uma condição de parada seja satisfeita

A recursão de cauda pode sofrer transformações até ser obtida uma estrutura de interação, quando observaremos ganhos em tempo e espaço

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ExemploFatorial/*Fatorial : versão recursivaPós : n é um inteiro não negativoPré : retorna o valor do fatorial de n*/int fatorial(int n){

if (n == 0)return 1;

elsereturn n*fatorial(n-1);

}

/*fatorial : versão interativaPós : n é um inteiro não negativoPré : retorna o valor do fatorial de n*/int fatorial(int n){

int count, product = 1;for(count = 1; count < = n; count ++)

product*= count;return product;

}

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Considerando os exemplos anteriores Qual dos programas usa menos espaço de memória? Acompanhe a execução recursiva para n = 5

fatorial(5) = 5*fatorial(4)= 5*(4*fatorial(3))= 5*(4*(3*fatoriall(2)))= 5*(4*(3*(2*fatorial(1))))= 5*(4*(3*(2*(1*(fatorial(0))))))= 5*(4*(3*(2*(1*))))= 5*(4*(3*(2*1)))= 5*(4*(3*2))= 5*(4*6)= 5*24= 120

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Diretrizes e conclusões gerais

A árvore de recursão é uma boa possibilidade para ajudar a decisão entre utilizar um algoritmo recursivo e não recursivo

Se ela tiver uma forma simples, a versão interativa pode ser melhor

Se ela envolver tarefas de duplicação, outras estruturas que não sejam pilhas poderão ser mais apropriadas, então a necessidade de recursão pode desaparecer

Se a árvore de recursão parece ser consistente, com poucas tarefas de duplicação, então a recursão pode ser o método mais natural

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Ainda mais...

A recursão é considerada uma abordagem top-down para resolver um problema

A interação está mais para um abordagem bottom-up

É sempre verdadeiro que a recursão pode ser substituída pela interação e pilhas

É verdade também, por outro lado, que qualquer programa interativo que manipula uma pilha pode ser substituído por um programa recursivo sem nenhuma pilha

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Mensagem sobre a utilização da recursão

“Um programador cuidadoso deve não somente perguntar, se a recursão deve ser removida, mas também perguntar, quando um programa usa pilhas, se a introdução da recursão poderia produzir um programa mais natural e de melhor entendimento, agregando melhorias na abordagem e nos resultados do problema”