„Topologie“ - Wiederholung der letzten Stunde
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„Topologie“ -
Wiederholung der letzten Stunde
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Punktmengentopologie
• Ausgangspunkt: Eine Menge S und die Menge aller Teilmengen von S (die Potenzmenge P(S) )
• Ein topologischer Raum besteht aus einer Menge S und einer Menge von Teilmengen von S (nicht notwendig aller), den Nachbarschaften. Dabei gilt:T1: Jeder Punkt x S liegt in einer Nachbarschaft von S.
T2: Der Durchschnitt zweier Nachbarschaften eine Punktes x S enthält eine Nachbarschaft von x.
Nachbarschaft Punkt
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Beispiele
• Die offene Kreisscheibe in der euklidischen Ebene• Menge aller Punkte, die durch
einen Kreis begrenzt werden, aber nichtauf demselben liegen
• punktierte Linie: offen
• durchgezogene Linie: geschlossen
• Beachte: T2 ist erfüllt• Der Durchschnitt zweier Nachbarschaften
eines x S enthält eine Nachbarschaft von x.
OffeneKreisscheibe
Punkt
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Weitere ( teilweise „pathologische“) Beispiele
• Die diskrete Topologie von S:• S und die Menge aller Teilmengen von S• die kleinste Nachbarschaft von x ist {x}
(„Einzimmerappartment“, daher der Name „diskret“)
• Die indiskrete Topologie• S selbst ist die einzige Nachbarschaft von S
• die offenen Intervalle (a,b) in der Menge S der reellen Zahlen als Nachbarschaften (S = R)
• die offenen Kugeln in S = R3
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Nähe, Offen + Geschlossen
Im folgenden stets: S sei ein topologischer Raum, X S, x S
x ist nahe an X, falls jede Nachbarschaft von x einen Punkt von X enthält.
X ist offen, wenn jeder Punkt y X eine Nachbarschaft hat, die ganz in X ist.
X ist geschlossen, wenn X alle nahen Punkte enthält.
C = {(x,y) | x2 + y2 < 1} sei die offene Kreisscheibe um den Ursprung mit Radius 1.
nahe
Nicht nahe
offen
geschlossen
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Der Rand oder die Grenze
Der Abschluß einer Teilmenge X S ist die Vereinigung von X mit allen nahen Punkten.Notation: X¯
Komplement: X‘
Das Innere von X ist die Menge aller Punkte von X, die nicht zugleich nahe Punkte von X‘ sind. Notation: X°
Die Grenze (oder der Rand) von X ist die Menge aller Punkte, die nahe zu X und zugleich zu X‘ sind.
Notation: X
Es gilt: X = X¯ \ X° (mengentheor. Diff.)
Der „Rand“ einer offenen Kreisscheibe ist der Kreis (wie zu erwarten)
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Beispiele
Die Menge SDas Innere von S
Abschluß von S Rand von S
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Topologische Eigenschaften
Eine topologische Transfor-mation (Homeomorphismus) oder eine elastische Verformung bildet Nachbar-schaften auf Nachbarschaften ab.
Ferner ist jede Nachbarschaft Bild eine Nachbarschaft.
Topologische Eigenschaften sind die Invarianten topologischer Abbildungen.
Euklidische Topologie
äquivalent
nicht äquivalent
Zeugen
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nicht zusammenängend
zusammenhängend
Zusammenhang (I)
Ein Punktmenge X heißt zusammenhängend, wenn für jede Partition (disjunkte Zerlegung) in nichtleere Teilmengen A und B gilt: Entweder enthält A einen Punkt nahe an B oder umgekehrt.
wichtiger Punkt für den schwierigen Fall „A oberer Kreis, B unterer Kreis“
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Zusammenhang (II)
• Ein Pfad ist homeomorphes Bild (entsteht durch elastische Verformung aus) einer geraden Kante.
• Eine Menge X eines topologischen Raumes heißt (pfad-) zusammenhängend, wenn jedes Paar von Punkten durch einen Pfad verbunden werden kann, der ganz in X liegt.
• (Für Flächen mit „vernünfti-gen“ Grenzen äquivalent zu Definition auf voriger Folie)
elastischeVerformung
Pfadzusammenhang
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Regularisierung
• X sei eine Punktmenge der Euklidischen Ebene mit der Standardtopologie (offene Kreisscheiben).Die Regularisierung von X ist der Abschluß des Inneren von Xreg(X) = X°¯
• Ergebnis ist ein rein flächenhaftes Objekt (ohne Beimengung von Punkten und Linien, die nicht zur Flächenbildung beitragen)
Inneres Abschluß
X
reg(X)
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Tesselation
• Eine Tesselation ist eine vollständige und überlappungsfreie Zerlegung der euklidischen Ebene in flächenhafte Objekte (Maschen).
• vollständig: jeder Punkt ist Element mindestens einer Masche
• überlappungsfrei: kein Punkt liegt im Inneren zweier Maschen
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Landkarten
• Landkarten sind Tesselationen mit folgenden Eigenschaften:a) jede Masche ist der geschlossenen
Kreisscheibe topologisch äquivalent
b) die Aggregation aller inneren Maschen ist der geschlossenen Kreisscheibe topologisch äquivalent
• Beachte: zu jeder Landkarte gehört eine unbeschränkte Masche „Außen“ - die einzige Masche, die nicht der geschlossenen Kreis-scheibe äquivalent ist
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Einschränkungen
• Um die Mathematik zu vereinfachen, sind in Landkarten folgende Fälle zunächst nicht vorgesehen:
• Inseln (z.B. Berlin in Brandenburg)
• Auseinander liegende „Kontinente“: die Aggregation Grün ist nicht zusammenhängend
• Mehrere Kontinente, die sich in genau einem Punkt berühren
• Isthmen: linienhafte Verbindungen zwischen auseinander liegenden Maschen Kontinenten, z.B. Hindenburgdamm/Sylt
• Hinweis: Blau ist Außen, Grün ist Innen
• Übung: Zeigen Sie die Verstöße gegen a) und b) unter Verwendung der Definition der topologischen Äquivalenz.
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Topologische Beziehungen in Landkarten
• Adjazenz von Knoten und Kanten
• Adjazenz von Kanten und Maschen
• Adjazenz von Kanten und Kanten
• Adjazenz von Maschen und Maschen
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Geometreisch-Topologische Datenstrukturen für Landkarten
• Problem: Die Topologie kann im Prinzip aus der Geometrie hergeleitet werden
• Option: „Wieviel“ Topologie wird explizit repräsentiert?
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Repräsentationen von Landkarten
1. Spaghetti-Struktur
- nur Geometrie
- keine Topologie
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Flächen:
A: 2.0 0.0 5.0 1.0 7.0 3.0 5.0 4.0 1.0 1.0
B: 5.0 4.0 7.0 3.0 7.0 6.0 5.0 6.0
C: 5.0 4.05.0 6.0 5.0 7.00.0 3.0 1.0 1.0
Spaghetti
(5.0 4.0)
(5.0 1.0)
(2.0 0.0)
(7.0 3.0)
(1.0 1.0)
(7.0 6.0)
(5.0 6.0)
(5.0 7.0)
(0.0 3.0)
A
BC
x y
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UML-Diagramm für die Spaghetti-Struktur
M asche
Koordinate
2n
1..1
{geordnet}
Paare von Koordinaten
geordnete Folgevon Koordinaten
[0,0,1,0,1,1,0,1] [0,0,1,1,0,1,1,0]
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P2
P1
P3bP4a
P5a
P6
P7b
P8
P9
A
BC
Flächen:
A: P1 P2 P3aP4a P5a
B: P4b P3b P6 P7b
C: P4c P7b P8 P9 P5c
P5c
P4b
P7c
P3a
P4cPunkte:
P1 2.0 0.0P2 5.0 1.0P3a 7.0 3.0P3b 7.0 3.0P4a 5.0 4.0P4b 5.0 4.0P4c 5.0 4.0...........
Spaghetti (Komposition von Punktobjekten)
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UML-Diagramm für Spaghetti-Struktur mit Punkt-Objekten
Masche
Punkt
n
1..1
{geordnet}
Komposition
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2.0, 5.0
3.0, 6.0
7.0, 2.0
Vor- und Nachteile
• Vorteile:• bequem für
Flächenberechnung
• gut für Graphikprogramme• Zeichnen von Polygonen
• Nachteile:• Topologie nur implizit
• fehleranfällig
• wenig änderungsfreundlich
• Beispiel: Korrektur von Punktkoordinaten
P1
P1P2
P3P5
P4
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Typischer Fehlerfall für Spaghetti: Änderung der Koordinaten eines
gemeinsamen Punktes
vorher
nachher
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P2
P1
P3
P6
P7
P8
P9
A
BC
Flächen:
A: P1 P2 P3 P4 P5
B: P4 P3 P6 P7
C: P4 P7 P8 P9 P5
P5
P4 Punkte:P1 2.0 0.0P2 5.0 1.0P3 7.0 3.0P4 5.0 4.0P5 1.0 1.0P6 7.0 6.0.............................
Punktobjekte ohne Redundanz
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UML-Diagramm für Spaghetti-Struktur mit Punkt-Objekten ohne Redundanz
Masche
Punkt
n
1..n
{geordnet}
AggregationBeachte: Redundanzfreiheitkann durch dies UML-Diagrammnicht erzwungen werden.
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P1
E6
E11
P2
P3
P6P7
P8
P9
A
BC
P5
P4
E1
E2
E3E4
E5
E7
E8
E9
E10
Außen
Knoten:P1 2.0 0.0P2 5.0 1.0..............................................
Kante
Anfangs-knoten
End-knoten
linkeMasche
rechteMasche
E1 P1 P2 A Außen
E2 P2 P3 A Außen
E3 P3 P4 A B
E4 P4 P5 A C
E5 P5 P1 A Außen
E6 P3 P6 B Außen
..............................................
Kanten:
Knoten-Maschen-Struktur
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UML-Diagramm für die Knoten- und Kantenstruktur
Masche
Kante
Knoten
Punkt
2
3..*
begrenzt
2
2..*
begrenzt
1
1Geometrie
neu
Topologie explizit
Redundanzfreiheit wirderzwungen
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Vor- und Nachteile der Knoten- und Kanten-Struktur
• Vorteile:• Geometrie ist
redundanzfrei
• Topologie ist explizit
• bei Änderungen können Fehler leichter vermieden werden
• Nachteil• der Kantenumring ist nicht
direkt gegeben, sondern muß berechnet werden
• Lösung: Kanten mit Flügeln