TOPLAMA VE ÇIKARMA

KAVRAMLARININ ÖĞRETİMİ VE

ÖĞRENCİ GÜÇLÜKLERİ

Toplama ve çıkarma kavramları çocukların erken yaşlarda karşılaştıkları kavramlar olup öğretimi okul öncesi dönemden başlayıp ilköğretimin son basamağına kadar uzanmaktadır. Bu bölümde bir tarafta toplama ve çıkarma

kavramlarının erken yaşlarda başlayarak nasıl etkili bir şekilde öğretilebileceği, diğer taraftan da öğrencilerin karşılaştıkları güçlüklerin neler olduğu ve nasıl giderilebileceği soruları ele alınmıştır.

Bu uzun süreç farklı aşamalar ve öğrenciler için farklı güçlükler içermektedir. Bu amaçla öncelikle toplama ve çıkarma kavramlarının öğretiminde benimsenen çağdaş yaklaşımlara yer verilmekte, daha sonra öğrenci güçlükleri nedenleriyle birlikte incelenmektedir.

Toplama ve çıkarma kavramları konusundaki literatürde ön plana çıkan bir başka konu da bu kavramların öğretiminde farklı süreçlerin söz konusu olduğudur. Bu süreçler şu şekilde sıralanabilir.

1. Toplama ve çıkarma kavramlarının anlama ve küçük sayılar içeren toplama ve çıkarma problemlerini çözme,

2. Çok basamaklı sayılarla toplama ve çıkarmaya geçiş ve çok basamaklı sayılarda toplama ve çıkarma problemlerini çözme,

3. Sembolik toplama ve çıkarma işlemlerine geçiş ve özellikle çok basamaklı sayılarda sembolik toplama ve çıkarma,

Daha sonra matematik öğretim programlarında toplama ve çıkarma konularının nasıl ele alındığı incelenmiş,İngiltere ve Türkiye’de uygulanmakta olan ilköğretim matematik öğretim programlarının bu konular bağlamında bir karşılaştırılması verilmiştir.Son olarak toplama ve çıkarma kavramlarının çocuklar tarafından daha iyi kavranması ve farklı problem türlerini daha etkili çözebilmeleri için ne tür öğretim yöntem ve yaklaşımlarının kullanılabileceği konusu tartışılmıştır.

TOPLAMA VE ÇIKARMA İLE İLGİLİ PROBLEM TÜRLERİ

Çocukların matematiksel kavramları algılayışları ve kendilerine önerilen bir problem karşısında düşünme şekilleri yetişkinliklerinden büyük farklılıklar gösterebilmektedir.Toplama ve çıkarma kavramları bu durumun belirgin olarak yaşandığı kavramların başında gelmektedir.Pek çok toplama ve çıkarma problemi yetişkinler için aynı toplama veya çıkarma işlemini gerektirirken çocuklar bu problemleri farklı algılayabilmektedir.

Örneğin, aşağıdaki problem durumlarını göz önüne alalım(Carpenter vd., 1999)

Zeynep’in 7 tane şekeri vardı.4 tanesini yedi.Geriye kaç şekeri kaldı?

Zeynep’in 4 tane şekeri var.7 tane şekeri olması için kaç tane daha şekere sahip olması gerekir?

Zeynep’in 4 tane şekeri var.Doğukan’ın 7 tane şekeri var.Doğukan’ın Zeynep’ten kaç fazla şekeri var?

Bu problemler için çocukların farklı algılamalara sahip olmalarını her bir problemin ifadesinin içerdiği olay ve vurgu yaptığı eylem ile açıklamak mümkündür.Bu düşünceden yola çıkarak farklı araştırmacılar sözel olarak ifade edilen problemler için bazı sınıflamalar önermektedirler.Bu çalışmada yaygın olarak kullanılan Carpenter ve arkadaşlarının sınıflamasına yer verilecektir.

Carpenter ve arkadaşlarına göre problem içindeki eylem ve miktarlar arasındaki ilişkiye dayalı olarak 4 çeşit problem türünden bahsedilebilir.Bunlar

Bileşik Problemler , Ayrık Problemler , Parça-Parça-Bütün Problemleri ve Karşılaştırma Problemleridir.

Bileşik problemler iki kümenin elemanlarının toplanarak yeni bir küme oluşturulmasına karşılık gelen problemlerdir.Bu türden problemler- başlangıç miktarında bir artış söz konusu olduğundan bir eylem içermektedir.

BİLEŞİK

Bilinmeyen sonuç:Ali’nin 5 bilyesi vardı.Mehmet ona 8 bilye daha verdi.Şimdi Ali’nin hepsi beraber kaç bilyesi oldu?

Bilinmeyen değişim:Ali’nin 5 bilyesi vardı.Hepsi beraber 13 bilyeye sahip olmak için Ali’nin kaç tane daha bilyeye ihtiyacı vardır?

Bilinmeyen başlangıç:Ali’nin bir miktar bilyesi vardı.Mehmet ona 5 tane daha bilye verdi ve Ali’nin 13 bilyesi oldu.Ali’nin başlangıçta kaç bilyesi vardı?

AYRIK Bilinmeyen sonuç:Ali’nin 13 bilyesi vardı.Mehmet’e bilyelerinden 5 tane verdi.Kaç tane bilyesi kaldı?

Bilinmeyen değişim:Ali’nin 13 bilyesi vardı.Mehmet’e bilyelerinden bir miktar verdi.Şimdi 5 bilyesi olduğuna göre Mehmet’e kaç bilye verdi?

Bilinmeyen başlangıç:Ali’nin bir miktar bilyesi vardı.Bilyelerinden Mehmet’e 5 tane verdi.Şimdi 8 bilyesi kaldığına göre Ali’nin başlangıçta kaç bilyesi vardı?

Ayrık problemler verilen bir kümeden belirli bir sayıda elemanın çıkarılması durumlarına karşılık gelen problemlerdir.Bu türden problemler de başlangıç miktarında belirli bir azalma söz konusu olduğundan yine bir eylem içermektedir.

Parça-parça-bütün problemler bir küme ve onun iki alt kümesi arasında bir ilişki içeren problemlerdir. Dolayısıyla bu türden problemlerden doğrudan veya dolaylı bir eylem söz konusu değildir.

PARÇA- PARÇA BÜTÜN

Bilinmeyen bütün:Ali’nin 5 kırmızı ve 8 mavi bilyesi var.Ali’nin kaç bilyesi var?

Bilinmeyen parça:Ali’nin 13 bilyesi var.Bu bilyelerden 5’i kırmızı ve geri kalanı mavidir.Ali’nin kaç tane mavi bilyesi vardır?

Karşılaştırma problemleri iki ayrık küme arasında karşılaştırma içeren problemlerdir.Yine bu tür problemlerde bir eylem söz konusu olmayıp karşılaştırmaya dayalı bir ilişki ön plana çıkmaktadır.

KARŞILAŞTIRMA

Bilinmeyen bütün:Ali’nin 13 bilyesi, Mehmet’in 5 bilyesi var.Ali’nin Mehmet’ten ne kadar fazla bilyesi var?

Bilinmeyen miktarı karşılaştırma:Mehmet’in 5 bilyesi var.Ali Mehmet’ten 8 tane daha fazla bilyeye sahip.Ali’nin kaç tane bilyesi vardır?

Bilinmeyen referans:Ali’nin 13 bilyesi var.Onun Mehmet’ten 5 tane daha fazla bilyesi olduğuna göre Mehmet’in kaç bilyesi vardır?

Yukarıdaki sözel problemlerin her biri sembolik olarak da ifade edilebilir.Örneğin, yukarıdaki tabloda birinci satırdaki sonucu bilinmeyen bileşik problem 5+8= ?, ikinci satırdaki değişim miktarı bilinmeyen ayrık problem 13- ?=5 şeklinde yazılabilir.Bununla birlikte bir sembolik problem birden fazla sözel probleme karşılık gelebilir.Örneğin, yukarıdaki 5+8= ? Bileşik problemi aynı zamanda son satırda verilen bilinmeyen miktarı karşılaştırma probleminin sembolik ifadesidir.Hemen fark edileceği üzere sembolik ifadeleri aynı olsa da, söz konusu karşılaştırma problemini modellemek bir çocuk için herhangi bir bileşik probleme göre daha zordur.

Yukarıda verilen örneklerde toplam ve fark gibi ifadeler yerine ‘’hepsi beraber’’ ve ‘’daha az ‘’ gibi ifadeler çocukların anlamasını kolaylaştırmaktadır.

TOPLAMA VE ÇIKARMA PROBLEMLERİNİ ÇÖZME STRATEJİLERİ VE GELİŞİMLERİ

Carpenter ve arkadaşlarının (1999) çalışması incelendiğinde toplama ve çıkarma problemlerini çözmek için üç tür strateji ve modelleme yönteminin ön plana çıktığı görülmektedir.Bunlar; Doğrudan Modelleme Statejileri, Sayma Stratejileri ve Sayı İlişkileri Kullanma Stratejileridir.

Doğrudan Modelleme Stratejilerinde problemde geçen miktarları temsil etmek için somut nesneler kullanılmaktadır.Bu nesneler sayma pulları, ahşap bloklar gibi sayma amacıyla tasarlanmış nesneler olabileceği gibi parmak gibi daha doğal ve alışılagelmiş nesneler de olabilir.Doğrudan modelleme stratejileri miktarları temsil eden nesne sayılarının belirlenmesi ve toplamın veya farkın sayılarak bulunması işlemine dayanmaktadır.

Örneğin ‘’Hasan’ın 4 arabası vardı.Doğum gününde kardeşi ona 7 araba verdi.Hasan’ın şimdi kaç arabası oldu? ‘’Veya ‘’top oynayan 8 tane çocuk vardı.3 çocuk evlerine gitti.Şimdi top oynayan kaç çocuk var?’’ gibi problemler çocuklar tarafından küçük yaşlarda somut nesneler kullanımıyla modellenebilen problemlerdir( Carpenter vd., 1999). Burada bir çocuğun başvuracağı doğrudan modelleme stratejileri şunlar olabilir: Birinci problemde dörder ve yedişer elemandan oluşan iki küme alma ve toplam eleman sayısını sayarak bulma.İkinci problem içinse 8 elemandan oluşan bir küme alma ve ondan 3 eleman ayırıp geriye kalan elemanları sayma.

Sayma stratejileri doğrudan modelleme stratejilerine oranla daha soyut ilişkiler içermektedir.Örneğin yukarıdaki birinci problemde sayma stratejisi kullanan bir çocuk 4 ile başlayıp üzerine 5,6,7,8,9,10,11 şeklinde sayarken 7 parmağını saydığı sayılara karşılık getirebilir.İkinci problemde ise, çocuk yine birinci problemde olduğu gibi3’ten 8’e kadar parmaklarıyla sayabilir(yukarı doğru sayma) veya 8’den 3’e kadar geriye sayabilir(aşağıya doğru sayma). Bu stratejide çocuk doğrudan 4 parmağının ve 7 parmağının toplam kaç ettiğini belirlemeye çalışmayarak parmaklarını sadece saymayı kolaylaştırmak için kullanmaktadır.

Sayı ilişkileri kullanma stratejileri ise daha önceden bilinen sayı ilişkilerine dayalı bir problem çözme yöntemidir. Bir çocuğun 3+7 toplamının 10 yaptığını daha önceden bildiğini farz edelim. 7+4 işleminin sonucunu bulmak için “7, 3 daha 10 yapar. Burada 7 ve 4 var. Yani 1 fazla (7+4=7+3+1)” şeklinde düşünerek problemi çözmesini sayı ilişkileri strajilerine örnek olarak verebiliriz.

Yukarıda verilen üç farklı stratejinin, içerdikleri soyutlama süreçlerine bağlı olarak, basitten karmaşığa doğru gittiğini görebiliriz.Doğrudan modelleme stratejilerinde çocuk sadece somut materyaller üzerinden problem çözerken, sayma stratejilerinde hem kümelerin eleman sayılarını soyut olarak düşünmesi hem de sayma işleminin başlangıç ve bitiş elemanlarını iyi belirlemesi ve aklında tutması gerekmektedir.Benzer şekilde, sayı ilişkileri kullanma stratejilerinde belirli sayıları farklı şekilde birleştirmesi, ayırması ve onları yeni durumlara adapte etmesi gerekmektedir.Sonuç olarak, bu stratejilerin her birinin etkin biçimde kullanımının veya bir stratejiden diğerine geçişin çocukların zihinsel ve bilişsel gelişimiyle doğrudan ilgili olduğunu söyleyebiliriz.

FARKLI PROBLEM TÜRLERİNDE KARŞILAŞILAN GÜÇLÜKLER Literatürde çocukların toplama ve çıkarma kavramlarını

algılamaya ilk geçişte ve küçük sayılarda toplama ve çıkarma yapmaya başladıkları dönemlerde karşılaştıkları sorunların kavram yanılgısı veya hatadan çok güçlük olarak ifade edildiğini görmekteyiz.Bunun en önemli sebeplerinden biri olarak çocukların bu seviyede karşılaştıkları güçlüklerden pek çoğunun ilerleyen yaşlarda hızlı bir şekilde ortadan kaybolması, dolayısıyla kavram yanılgıları gibi sürekli hataya götüren sistemli, eksik veya yanlış algılamanın söz konusu olmamasını gösterebiliriz.

Diğer taraftan, bu süreçte matematiksel ifade sistemine ve sembolik işlemlere yeni geçiliyor olmasının da eğitim- öğretim sürecinden kaynaklanan bazı kavram yanılgılarının oluşmasını engellediğini düşünebiliriz.Biz de benzer şekilde bu kısımda çocukların farklı problem türlerinde karşılaştıkları güçlüklere yer vereceğiz.

Literatürde çocukların basit bileşik ve ayrık problemler dışında kalan bazı problem durumlarını modelleyebilmeleri için daha uzun bir süreye ve yaşça daha ileri bir olgunluk seviyesine ihtiyaçları olduğu vurgulanmaktadır.Bu problemler genellikle değişim miktarı veya başlangıç miktarı bilinmeyen problemlerdir (Carpenter vd., 1999; Nunes & Bryant, 1996). Yukarıda bahsettiğimiz Hasan’ın 4 arabası vardı.Doğum gününde toplam 11 arabası olması için daha kaç arabaya ihtiyacı vardır?

Problemi ve benzerleri bu problem türlerine örnek olarak verilebilir.

Yukarıdaki problemlerin sayma stratejileri ile çözümü içinse iki farklı durum söz konusudur.Aşağı doğru sayma ve yukarı doğru sayma.Örneğin, çocuğun 5’in üzerine parmakları ile 11 oluncaya kadar sayması yukarı doğru sayma stratejisi, 11’den başlayarak 5’e kadar geri sayması da aşağı doğru sayma stratejisi olmaktadır.

ÇOK BASAMAKLI SAYILARLA TOPLAMA VE ÇIKARMA

Çok Basamaklı Sayılarda Toplama ve Çıkarmaya Geçiş

İki ve daha çok basamaklı sayılarda toplama ve çıkarma yapmanın en kolay yolu ve bu sayıların birler, onlar ve yüzler hanesindeki değerlerini ayrı ayrı toplamak veya çıkartmaktadır.

Örneğin bir markette 5 top kek kutusu var.Her bir kutuda 10 tane top kek var.Bunların yanında ayrıca 3 tane daha top kek var.Hepsi beraber markette toplam kaç tane top kek vardır? veya Fatma 54 tane çiçek topladı.Bunlarla her biri 10 çiçekten oluşacak şekilde buketler yaptı.Fatma toplam kaç tane buket yapmıştır?

Çocukların iki ve daha çok basamaklı sayılar içeren toplama ve çıkarma problemlerini çözme stratejileri aslında küçük sayılar içeren toplama ve çıkarma problemlerini çözme stratejileri ile paralellik göstermektedir ( Carpenter vd., 1999). Çocuklar probleminin ifadesinde yer alan eylemi veya ilişkiyi modellemek için saymaya yarayan nesneler kullandıkları gibi, bu modellemelerinin bir uzantısı olan soyut stratejiler de icat edebilmektedirler( Carpenter vd., 1999)

Aşağıda sonucu bilinmeyen bir toplama ve çıkarma problemi için çocukların geliştirebildikleri farklı stratejiler tablolar halinde açıklanmaya çalışılmıştır.

PROBLEM: 27 tane erkek öğrenci ve 35 tane kız öğrenci bahçede oynuyorlar.Toplam kaç tane öğrenci bahçede oynuyor?

STRATEJİ 1

20’ye 30 eklersem 50 yapar. 7 daha eklersem 57 yapar.5 daha ekleyeceğim; 3 daha eklersem 60, 5 eklemek için 2 daha eklersem 62.Cevap: 62 öğrenci

STRATEJİ 220’ye 30 eklersem 50 yapar. 7 daha eklersem 57 yapar. 5 daha ekleyeceğim; 57, 58, 59, 60, 61, 62. cevap: 62 öğrenci

STRATEJİ320’ye 30 eklersem 50 yapar. 7 daha eklersem 57 yapar.7 ‘nin üzerine 5 sayarsam; 8,9,10,11,12.O halde 50 12 daha 62 ( veya 50, 10 daha 60, 2 daha 62). Cevap: 62 öğrenci

STRATEJİ4(sayıların onlar basamağını düşünerek 3’e 2 eklersem 5 yani 50 yapar.5, 7 daha, 5 ve 5, 10 yapar iki daha 12( veya 7 ve 7, 14 yapar.O zaman 7 ve 5, 12 yapar). O halde 50, 12 daha 62. Cevap: 62 öğrenci

PROBLEM: Gökhan’ın 73 lirası vardı.55 lirasını harcadı.Geriye kaç lirası kaldı?

STRATEJİ 1 73’ten 50 çıkarırsam 23 kalır.55 çıkarmak için 5 daha çıkartmalıyım.3 çıkartırsam 20 kalır.İki daha çıkartırsam 18 kalır. Cevap: 18 lira.

STRATEJİ 2 70’ten 50 çıkarırsam 20. 20’den 5 çıkarırsam 15. 73’den gelen fazladan bir 3 var. O halde 18. cevap: 18 lira.

STATEJİ 3 55, 10 daha 65. 5 daha 70. 3 daha 73. O halde, 10, 5 daha 15, 3 daha 18. Cevap:18 lira

Çok basamaklı sayılarda toplama ve çıkarma yaparken, onluk veya birlik sayma pulları/ blokları gibi öğrenciler boş sayı doğrusundan da yararlanabilirler.

Toplama ve çıkarma işlemlerinin kavratılmasında sayı doğrusu önemli bir modelleme aracı olarak kabul edilmektedir.

Yukarıda verilen problemlerdeki sayıların onlar ve birler basamaklarını hesaplamak için daha farklı stratejilerin de yer alabileceğini düşünerek olası stratejilerin sayısını artırmak mümkündür.

ÇOK BASAMAKLI SAYILARDA SEMBOLİK TOPLAMA VE ÇIKARMA Genel olarak, sembolik toplama ve çıkarma işlemlerini bir

problem durumunu yazılı olarak sayılarla ve toplama-çıkarma sembollerini kullanarak çözme veya doğrudan bir problem durumuna dayanmayan ve sembolik olarak verilmiş toplama ve çıkarma işlemlerini gerçekleştirme olarak tanımlayabiliriz.İki tür sembolik toplama ve çıkarma işleminden bahsetmek mümkündür.Bunlar satır (yan yana) toplama ve çıkarma işlemleri ve sütun (alt alta) toplama ve çıkarma işlemleridir.Bununla birlikte satır toplama işlemi çoğunlukla söz konusu olan problemin bir ifade şekli olarak değerlendirmekte ve sütun toplama işlemi şekline getirilerek çözülmektedir.

Sembolik işlemlerle toplama ve çıkarmanın öğretilmesinde genellikle basitten karmaşığa doğru giden bir yaklaşım kullanılmaktadır.

Sembolik işlemleri öğretmede en çok kullanılan yöntem çocukların 10’dan küçük sayılarla problem çözerken kullandıkları sayı ilişkileri ve modelleme stratejilerinden yararlanma yöntemidir.

ÖĞRENCİ HATALARI VE KAVRAM YANILGILARI

Bu konudaki en kapsamlı çalışmayı Brown ve Burton 1978’de yapmıştır.

Bu çalışmada 13oo öğrenciye 19 bin 500 soru yöneltilmiştir.

Daha sonra yapılan araştırmalar ise genellikle bu çalışmada ortaya çıkan hataların engellenmesi için nelerin yapılabileceği konusu üzerine değinilmiştir.

Brown ve Burton çalışması incelendiğinde öğrenci en çok hataya götüren problem türleri

1. Elde işlemi gerektiren problemler2. Büyük basamaklı sayılar3. Sıfırın yer aldığı problemler Bu da hataların kaynağı olarak öğrencilerin sembolik

işlemlerde sayıların konumunu ve basamak değerini nasıl algıladıkları sorusunu ön plana çıkarmaktadır

Bu kısımda Brown ve Burton’un çalışmasında sıklıkla karşılaşılan öğrenci hatalarını inceleyeceğiz.

Bu hatalardan bazılarını sistematik olmalarını ve belirli durumlarda doğru sonuca götüren bir bilginin geçerli olmadığını başka kullanım alanına taşınmasından kaynaklanması yönüyle kavram yanılgısı olarak

Bazı hataları da öğrencilerin problemleri temelini oluşturan kavramlara henüz tam anlamlarını yükleyememelerinden dolayı bu tür hataları da kavram yanılgısından ayırarak sadece hata olarak ele alacağız

ÖĞRENCİ KAVRAM YANILGILARI 1.Toplamada Sütunları Birbirinden Bağımsız Düşünme: bu kavram yanılgısı eldeli toplama işlemlerinde ortaya çıkmaktadır.

Öğrenci burda aynı basamakları birbiri ile toplamakta fakat bu işlem sonucundaki eldeki bir sonraki basamağa aktarmak yerine işlem yaptığı basamağın altına sonuç olarak yazmaktadır.

3 5 4 + 7 2 3 12 6

2. Toplama işleminin özelliklerini çıkarmaya taşıma:Burda yapılan yanılgı ise toplamanın değişme özelliğinin sütun

çıkarmasında kullanılmasıdır. 5 0 3 - 2 8 3 3 8 0

3. Sıfıra basamak değeri affetmeme:Sıfırdan ödünç almanın gerektiği durumda öğrenci sıfırdan değilde

bir sonraki basamaktan ödünç alır.

1 5 3 0 0 - 9 5 2 2 5 6 8 8 Bunun sebebi olarak sıfırın toplama işleminde etkisiz elemanı

olarak bilinmesi veya bir büyük sayının içindeki sıfırların sadece yer tutan eleman olarak algılanması gösterilebilir.

ÖĞRENCİ HATALARI 1. Toplama İşlemi İle İlgili Hatalar1.1 Eldeleri işlem sonuna basamak olarak ekleme:Burada öğrenci herbir sütun toplamının sonundaki eldeyi bir sonraki

sütuna eklemek yerine hepsini bütün işlem sonundaki toplamın başına eklemektedir.

1 8 6 +2 5 4 2 3 3 01.2 Eldeleri aynı zamanda bir sonraki sütuna ve işlem sonuna basamak

olarak eklemeöğrenci her bir sütundaki toplama işleminde elde ettiği eldeyi bir

sonraki sütuna aktardığından bu eldeyi hala varsayıp tüm işlemler sırasında oluşan eldelerin toplamını en son sütuna eklemektedir.

3 2 8 +9 1 7 13 4 5

1.3 Toplamın birler basamağını yok sayma:Burda tek basamaklı sayılarda bir problem görülmezken çok

basamaklılarda ise toplamadan sonra birler basamağını yok sayıp onlar basamağının yazılması

9 2 3 +4 8 1 1 1 41.4 Sayıları rakam olarak değerlendirme:Burda ise verilen işlemdeki bütün sayıların içerdiği rakamların her

birinin toplanması şeklindedir. 1 0 9 1 + 6 0 1 7

( 1+0+9+1+6+0)= !!! 17

ÇIKARMA İŞLEMİ İLE İLGİLİ HATALAR1.Çıkarılacak Sayıyı Soldan HizalamaBurda çıkarma işlemi yapılacak sayıların soldan hizalayarak alt alta

yazmak çıkarma işlemlerinde en sık karşılaşılan hatalardan biridir.

17 5 -14 3 5 2) En Büyük Basamaktan Ödünç AlmaBurda ise öğrenci alttaki rakamın üstteki rakamdan büyük olduğunu

gördüğü anda ödünç olması gerektiğini bilir. Fakat her zaman büyük olan rakamdan alır.

1 1 7 9 3 5 -4 7 8 3 6 7

3) Sıfırdan Ödünç Alma: Öğrenci 0’ın sağındaki sütunda eldeye ihtiyaç duyduğunda 0’dan

ödünç almakta ,0’ın olduğu basamağa gelince 0 yerine 9 olarak işleme devam

etmektedir.Fakat 0’ın solundaki basamaktan ödünç almamaktadır.

1 0 3 9 - 4 4 1 9 9 5

Yukarıda bahsettiğimiz kavram yanılgılarının ve hatalarının ardında çoğunlukla

Sayıların konumlarının ve basamak değerlerinin öğrenciler tarafından iyi algılanmaması yatmaktadır.

Büyük bir sayının nasıl okunduğu ve yazıldığıyla da doğrudan ilişki vardır denebilir

Bu yönüyle bazı hatalardan ve kavram yanılgılarından

sakınmak için büyük sayı kavramı üzerinde de yeterince üzerinde durulması gerektiğini düşünüyoruz.

ÖĞRETİM PROGRAMLARINDA TOPLAMA VE ÇIKARMA

Belirli bir kavrama yönelik olarak farklı ülkelerin programlarının karşılaştırılması farklı sistem ve kültürlerde o kavram ile ilgili amaç ve kazanımların ne şekilde planlandığı, hangi yöntem ve tekniklerin ön plana çıktığı gibi konularda bilgi verir.

Bu bilgiler söz konusu kavramın öğretimi konusunda başka bir ülkeye göre ülkemizin nerede olduğunu gösterip yapılacak iyileştirme çalışmaları için yol gösterici olabilir.

Bu kısımda İngiltere ile Türkiye’de uygulanmakta olan matematik öğretim programlarında toplama ve çıkarma kavramlarından bahsedilecektir.

İngiltere’de öğretim programına ek olarak öğretmenlere toplama ve çıkarma konuları ile ilgili bir ek doküman sunulmaktadır.

Programın amaçlarına ve konularına paralel olarak hazırlanan bu doküman, öğrenci güçlükleri ve kavram yanılgılarıyla öğretmenlerin bunları saptamak ve giderebilmek için izleyecekleri yöntemler üzerine odaklanmıştır.

İngiliz eğitim sisteminde ilköğretim kısmı 4 yaş grubunun hazırlık sınıfı ile başlamakta ve iki ana kısımdan oluşmaktadır.

Bunlar 5 ve 6 yaş gruplarını kapsayan iki yıl (Y1-Y2) ve takip eden 4 yıldır (Y3-Y4).

Öğrencilerde Öngörülen Kavram Yanılgısı:

Öğrencilerin kavram yanılgıları ve zorluklarını belirlemeye yönelik sorular ve öneriler

Sadece 1’den başlayarak sayabilir, nesneler tekrar yerleştirildiğinde hatalı sayar

Çocuklardan bir başlangıç sayısı seçmelerini isteyin.Sonraki iki sayı nedir? Başlangıç sayınızdan önce gelen sayı nedir?

1 fazlası ve 1 eksiği ifadelerinin neyi işaret ettiğini yanlış anlama

Burada 4 tane kart var. Eğer sana bir tane daha verirsem kaç tane kartın olacak? Burada 6 tane oyuncak var. Varsayalım ki bir tanesi kayboldu. Kaç tane oyuncak kaldı?

Nesne gruplarının birleşimini toplama işlemi ile bağdaştıramama.

Mavi kart üzerinde kaç tane nesne var? Kırmızı kart üzerinde kaç nesne var? Hepsi birlikte kaç tane nesne eder?

Hazırlık-4 yaşAmaç:toplama işlemine iki grup nesnenin birleşimi ve çıkarma işlemine de gruptan ayırma olarak yaklaşma

1Y2.10’lu sayıları kullanarak sayımda ve sınırları aşarken hata yapmak

- Onlu bir sayı seçin ve sizin seçtiğiniz tek basamaklı bir sayı kadar geri saydırın.Bir sonraki sayı ve bir önceki sayı nedir?

2Y2.Emin olmaksızın sayma, en küçük sayıdan en büyüğünü elde etmek için bir ekleyerek saymaya devam etmek

- 3’ten 8’e gitmek için kaç eklemeliyim?- 3 tane şekerim var.Ve 8 tane olmasını istiyorum.Kaç tane daha almam gerekli?

3Y2.Toplama ve çıkarma işlemleri arasında bağ kurmada ve birbirinin tersi olduğunu tanımada emin olamama

- 30’a 20 eklemenin sonucu nedir? Eğer 30’a 20 eklendiğinde 50 elde ediyorsan, 50’den 20 çıkardığında ne elde edersin?

Y2-6 yaşAmaç:çıkarma işleminin toplamanın tersi olduğunu anlama, verilen bir toplamaya karşılık gelen çıkarmayı bulma/ verilen bir çıkarmaya karşılık gelen toplamayı bulma

Öğrencilerde öngörülen kavram yanılgısı

Öğrencilerin kavram yanılgılarını ve zorluklarını belirlemeye yönelik sorular ve öneriler

Y4-8 yaşAmaç: 1000’den küçük iki tamsayının toplama ve çıkarma işlemini sütun olarak gerçekleştirme bu sayıların ikiden fazlasının toplamını sütun olarak yapma1Y4. Sayı sisteminin yapısını tam anlayamama, hatalı toplama ve çıkarma ile sonuçlandırma ve tahminde bulunmada zorluk

43, 34’den büyük mü küçük mü?343 ve 334 için ne dersin? nasıl karar verdin?En küçük/ en büyük sayı hangisi 216 612 162? Nasıl buldun?437’yi 477 yapmak için kaç eklemeliyim? Nasıl karar verdin?

2Y4. Örneğin 208 için 190 ve 18, 31 için 20 ve 11 gibi sayıları parçalamada zorluk

20+10+1 hangi sayıyı gösterir? 20+11 aynı mıdır? 190’ı 208 yapmak için ne eklemeliyim?

3Y4. Sütun toplama ve çıkarma işlemini ne zaman yapacağı konusunda doğru karar alamama

700-1? 700-10? 700-9? 30+20? 30+21? 296-57? Nasıl yaptınız?

4Y4. Sütün şeklinde 3 sayıyı aynı anda toplamada zorluk

3 sayının toplandığı toplandığı bir sütun hesabına referans yapın, hesap adımları hakkında öğrencilerle konuşun.

Y6-10 yaşAmaç: ondalık sayılarda çıkarma ve toplama işlemlerini sütun olarak yapma1Y6. Etkisiz sayma yöntemleri ve / veya sistemlerini tam anlamama

- 1 ve 2 liralık paraları içeren bir para kutusu olduğunu hayal edelim. Burada ne kadar para olduğunu hızlıca hesaplamak için en iyi şekilde nasıl saymayı düşünürsün? - 40+40? 400+400? Hangisi büyüktür? 40+400+4000 bu hesabın diğerlerinden farkı nedir?

2Y6. Özellikle ondalık sayıların bulunduğu durumlarda hatalı yuvarlama, söz konusu olan sayıların büyüklüklerinin az anlamlı olması

26, 20’ye mi 30’a mı daha yakın? 271, 270’e mi 280’e mi daha yakın? Cevabınızı gösteren bir taslak çizin ve nasıl bulduğunuzu açıklayın.

3Y6. 0’ın yer aldığı sayıların ve/veya 1’den küçük olanların parçalanmasında zorluklar.

3010, 201 ve 6.1 sayılarında 1’in basamak değeri nedir? 4.2, 0.2 ve 0.25 sayılarındaki 2’nin basamak değeri için ne denebilir?Aşağıdaki önermeleri yazın: 507 eşittir 50+7; 7403 eşittir 7000+40+3, 0.75 eşittir 0.7+0.05 hangisi doğru? Nasıl biliyorsunuz?

4aY6 4bY6. 10 ve 100 gibi sayıların katlarından yararlanarak toplama ve çıkarma yapmada zorluk

10’un en yakın katına ulaşmak için 37’e ne eklemeliyim? 100’ün en yakın katına ulaşmak için 240’a ne eklemeli/ çıkarmalıyım?Boş sayı doğrusu üzerinde 300-237’i nasıl hesapladığını açıklar mısınız?Boş sayı doğrusu kullanarak 5016+3700’i hesaplayın.Tablo 2.4. İngiliz matematik öğretimi programı toplama-çıkarma ek

dokümanı

5-6 yaş grubunda ise öğrencilerin çıkarma işleminin toplama işleminin tersi olduğunu anlamaları amaçlanmaktadır.

Öğretmenin bu konuda yapabileceği yönlendirmelere, önerebileceği problemlerden örneklere ve kullanabileceği materyallere yine bu dokümanda yer verilmektedir.

7-8 yaş grubundaki amaç ise artık 1000’den küçük iki tam sayının toplama ve çıkarma işleminin sütun olarak gerçekleştirilmesidir.

Bu aşamada öğrencilerin yapabilecekleri hataların öncelikle sayı sisteminin yapısını tam olarak anlamamış olmalarından kaynaklanacağına dikkat etmekle ve farklı problemlerle öğretmenin bu hataların giderilmesi için neler yapılabileceği gösterilmektedir.

o Türk eğitim programına bakıldığında (meb, 2009) toplama ve çıkarma işlemine 6 yaş grubunda yani ana sınıfında ilk defa giriş yapıldığı görülmektedir.

4 ve 5 yaş grupları programında sadece ritmik sayma ve rakam-nesne ilişkilerinin kurulması hedeflenmektedir.

İngiliz Sisteminde 9-10 yaş gruplarında ondalık sayılara geçilmektedir.Öğretmenlerin bu sınıfta dahi bazı öğrencilerinin sayı sistemlerini tanımamaları sorunları ile karşılaşabilecekleri hatırlatılmaktadır.

Bu duruma çözüm olarak da gruplamaya ve sayı ilişkilerine yönelik önerilebilecek farklı problemlere yer verilmektedir

İlköğretim birinci sınıfta; Toplama ve çıkarmaya öncelikle toplamanın bir araya getirme,

ekleme ve çoğaltma, Çıkarmanın da ayırma, azaltma ve eksiltme anlamları vurgulanarak başlanmaktadır.

Toplama ve çıkarma işlemlerinde öğrencilerin farklı problem durumlarını modellemeleri ve çözmeleri beklenmekte fakat bu konuda herhangi bir güçlükten bahsedilmemektedir.

Türk eğitim sistemindeki ikinci sınıf düzeyinde öncelikle modellerle 1’lik, 10’luk, 100’lük gruplandırmalara ve karşılaştırmalara yer verilmektedir.

Toplama ve çıkarma işlemleri için iki basamaklı sayılarda toplama ve çıkarma işlemi yapılmaktadır.

Öncelikle eldesiz ve daha sonra da eldeli toplama, çıkarmada da öncelikle onluk bozmadan daha sonra da onluk bozarak yapılacak işlemlere yer verilmektedir.

Diğer sınıflarda da doğal sayılardaki işlemlere her yıl bir basamak daha artırarak devam edilmektedir.

Örneğin üçüncü sınıfta artık öğrencilerin üç basamaklı sayılarda eldeli ve eldesiz toplama ve çıkarma işlemlerini yapabilmeleri ve bu sayıları zihinden toplayıp çıkarabilmeleri hedeflenmektedir.

Hem İngiliz hem de Türk programlarının her ikisinde deToplama ve çıkarma işlemlerine;

-Basitten karmaşığa doğru giden bir sırada yer verildiği, -Her yaş seviyesinin programı belirlenirken önce somut nesne ve

modellerden yararlanılmasının daha sonra zihinsel hesaplamalara ve sembolik işlemlere geçişin sağlanmasının planlandığı görülmektedir.

Aradaki fark ise; İlk olarak, İngiltere’de programa paralel olarak hazırlanan

ek dokümanlar öğretmenlere destek sağlanırken, İkinci olarak, İngiliz programında toplama ve çıkarma

işlemlerinin bir birinin tersi olması gibi bazı kavramlara erken yaşlarda başlandığı, bizim programımızda ise temel kazanımların dahi ilkokul seviyesine taşındığı görülmektedir.

DEĞERLENDİRME VE SONUÇ

Toplama ve çıkarma kavramlarının gelişim süreçlerini anlamak ve öğretiminde karşılaşılan güçlüklere çözümler geliştirmek için ilk olarak çocuklara kendi algılamaları ve kavramlarını inşa etme fırsatı ve gerekli zaman verilmelidir.

Yukarıdaki bilgilerden yola çıkarak çocuklarda çok basamaklı sayıların ve çıkarma kavramlarını iyi algılamaları önem taşımaktadır.

Toplama ve çıkartma problemlerinin farklı stratejilerle ve yöntemlerle modellemelerle esneklik ortaya konulması sağlanabilir.

Bu stratejilerin gelişmesi için ise çalışma ortamlarında farklı modellemeler için kullanabilecekleri materyaller olmalıdır.

Carpenter ve moser’in okul öncesi çocuklarla yaptığı çalışma bu yaşta somut nesnelerden yararlanmanın toplama ve çıkarma kavramlarının algılanmasında ne kadar etkili olduğunu göstermektedir.

Aynı şekilde somut ve güncel nesneler içermesi de çocukların algılamalarını olumlu yönde etkileyen faktörler arasındadır.

Diğer taraftan materyale ve somut problem durumlarına dayalı problemler sembolik işlemlere geçişi sağlamak ve bu geçişte karşılaşılan önemli güçlükleri giderilebilmesi için vazgeçilmez bir yaklaşım olarak karşımıza çıkmaktadır.

Toplama ve çıkarma işlemlerinde karşılaşılan bazı hatalardan ve kavram yanılgılarından sakınmak için problem seçimlerine önem verilmesi gerektiğini de belirtmeliyiz..

Öğretmenin öğrencilere farklı stratejilerde olduğunu hissettirmekte ve bu stratejilere yönlendirmek için kullanabileceği en iyi yöntem öğrencilerine problem hakkında nasıl düşündükleri ve hangi stratejiyi uyguladıkları konusunda konuşmaktır.

Ayrıca karşılaşılacak bütün güçlüklere rağmen öğrencilerin söz konusu kavramları algılama süreçlerine farklılıklar olabileceğini unutmamak ve bu süreçleri dışarıdan hızlandırmaya çalışmamak toplama ve çıkarma işlemlerinin etkili öğretimi için büyük önem arz etmektedir.

KAYNAKÇAAltun, M.(2002). Sayı doğrusunun öğretiminde yeni yaklaşım,

ilköğretim-online, 1(2), 33-39Arsenault, C., ve Lemoyne, G. (2000), Une introduction non

classique aux algorithmes d’additon et de soustraction. Educational studies in mathematics, 42, 269-296.

Baroody, A.J.(1999).Childrens’ rekational knowledge of addition and subtraction.

Ginsburg, H. P. (1977). Children’s aritmetic: the learrning Process. New York: Van Nostrand.

Hudson, T. (1983). Correspondences and numerical differences between disjoint sets. Child development, 54(1), 84-90.

AysuN BARUT

Bircan GÜR Özlem SİZER Sibel BULUT Zübeyde KOŞUM