top.jun15.pdf
-
Upload
dzenis-pucic -
Category
Documents
-
view
12 -
download
3
Transcript of top.jun15.pdf
![Page 1: top.jun15.pdf](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020417/563dbaf4550346aa9aa905bb/html5/thumbnails/1.jpg)
DRZAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARUdepartman za matematcke naukestudijski program:matematikacetvrta godina OAS
TOPOLOGIJA( pismeni deo ispita,jun 2015)
1. Neka je X neprebrojiv skup , p ∈ X, iB = {{x} : x ∈ X \ {p}} ∪ {X \ P : P prebrojiv, p 6∈ P} ⊆ P(X).
(a) Dokazati da je B baza jedinstvene toplogije T na skupu X.
10
(b) Dokazati da je prostor (X, T ) Hausdorfov prostor
10
(c) Ako je A ⊆ X \ {p} neprebrojiv dokazati da p ∈ A
10
(d) Ako je P0 ⊆ X, prebrojiv ,p 6∈ P0 ,proveriti da li je kolekcija skupova
{{x} : x ∈ X \ {p}} ∪ {X \ P0}otvoren pokrivac za X i ispitati kompaktnost .
10
2. Neka su X, Y, Z topoloski prostori ,f : X −→ Y, g : Y −→ Z ,preslikavanjai neka je f neprekidna sirjekcija .Dokazati:
(a) Ako je g ◦ f : X −→ Z otvoreno preslikavanje tada je i g : Y −→ Z
otvoreno .
10
(b) Ako je i g : Y −→ Z neprekidno preslikavanje i g ◦ f : X −→ Z
homeomorfizam tada su i f : X −→ Y, g : Y −→ Z homeomorfizmi.
10
3. Neka je X topoloski prostor i A ⊆ X .Dokazati da je tada
∂ClA ⊆ ∂A , ∂ intA ⊆ ∂A , ∂A = (A ∩ Cl(X \ A)) ∪ (ClA \ A)
10+10=20
4. Neka je f : [a, b] −→ R, (−∞ < a < b < +∞), f(a) < f(b) neprekidnopreslikavanje.Ako je f(a) < x < f(b) dokazati da postoji c ∈ R, a < c < btakvo da je f(c) = x.
Ako je f jos i injektivno dokazati da je tada f([a, b]) = [f(a), f(b)]
10+10=20∑= 100
broj bodova· · · = · · ·ocena/55-64=6/65-74=7/75-84=8/85-94=9/95-100=10