TÓPICOS DE MATEMÁTICA
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TÓPICOS DE MATEMÁTICA
PROFESSOR: LUÍS GUSTAVO
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ANÁLISE COMBINATÓRIA:
Parte da matemática que trabalha com problemas de contagem. Seu universo de cálculo são os números naturais.
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Guia São Paulo
O guia SP mostra em seu site as melhores opções para lazer em São Paulo. Sabendo que no dia 26/07/2010 o site indicou 10 filmes, 8 opções em gastronomia, 12 bares e 6 teatros, dessa forma, de quantos modos distintos uma pessoa pode realizar um programa?
Exercício: 1
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Princípios de contagem
Os princípios de contagem são métodos para a resolução de problemas.
Princípio aditivo Quando um evento esta dividido em etapas alternativas, ou seja, ocorre uma ou ocorre a outra, ou outra, e assim por diante. O número de possibilidades do evento é dado pela soma do número de possibilidades de cada etapa. Então:
Evento Etapa 1 ou Etapa 2 ou Etapa 3 ou ...
n(Evento) = n(Etapa 1) + n(Etapa 2) + n(Etapa 3) + ......
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Guia São Paulo
O guia SP mostra em seu site as melhores opções para lazer em São Paulo. Sabendo que no dia 26/07/2010 o site indicou 10 filmes, 8 opções em gastronomia, 12 bares e 6 teatros, dessa forma, de quantos modos distintos uma pessoa pode realizar um programa? n(E) = n(filme) + n(gastronomia) + n(bares) + n(teatros) n(E) = 10 + 8 + 12 + 6 = 36 possibilidades.
Resolução:
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Um hospital está reorganizando a sua farmácia, e para facilitar a visualização e agilizar a localização de medicamentos, selecionou 8 cores para identificar 6 grupos de medicamentos essenciais, sendo que cada grupo de medicamentos deverá estar associado a uma cor distinta. Sabe-se que já foi designada a cor amarela para o grupo de antibióticos. Dessa maneira, o número de diferentes composições de cores que poderão ser formadas é igual a:(A) 20 160. (B) 6 720. (C) 2 520. (D) 1 440. (E) 720.
Exercício: 2
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Princípio multiplicativo
Quando um evento esta dividido em etapas sucessivas, ou seja, ocorre uma e ocorre a outra, e outra, e assim por diante. O número de possibilidades do evento é dado pelo produto do número de possibilidades de cada etapa. Então:
Evento Etapa 1 e Etapa 2 e Etapa 3 e ...
n(Evento) = n(Etapa 1) . n(Etapa 2) . n(Etapa 3) . ......
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Um hospital está reorganizando a sua farmácia, e para facilitar a visualização e agilizar a localização de medicamentos, selecionou 8 cores para identificar 6 grupos de medicamentos essenciais, sendo que cada grupo de medicamentos deverá estar associado a uma cor distinta. Sabe-se que já foi designada a cor amarela para o grupo de antibióticos. Dessa maneira, o número de diferentes composições de cores que poderão ser formadas é igual a:(A) 20 160. (B) 6 720. (C) 2 520. (D) 1 440. (E) 720.
RESOLUÇÃO:
8 cores para identificar 6 grupos de medicamentos.
Definida a cor amarela para o grupo de antibióticos, restam 7 cores para os demais grupos. Então:
1 2 3 4 5
7 6 5 4 3n ( E) . 2520 possibilidadesG G G G G
.
ALTERNATIVA: C
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O sistema de leitura para deficientes visuais, conhecido como Braile, criado em 1825, surgiu a partir de um sistema de leitura no escuro desenvolvido para uso militar. Quando o francês Louis Braille, que era deficiente visual, conheceu o sistema, passou a utilizá-lo e logo depois o modificou, passando de um grupo de 12 pontos para um grupo de apenas 6 pontos, formado por duas colunas com três pontos cada. O agrupamento desses seis pontos, dos quais pelo menos um se destaca em relação aos outros, formam os caracteres nesse sistema de leitura. A partir dessas informações, podemos concluir que o número máximo de caracteres distintos que podem ser representados neste sistema de escrita corresponde a:a) 63. b) 89. c) 26. d) 720. e) 36.
Exercício: 3
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Raciocínio Exclusivo
Esse método consiste em contar todas as possibilidades de um evento ocorrer e excluir (subtrair) as possibilidades que não nos interessam.
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O sistema de leitura para deficientes visuais, conhecido como Braile, criado em 1825, surgiu a partir de um sistema de leitura no escuro desenvolvido para uso militar. Quando o francês Louis Braille, que era deficiente visual, conheceu o sistema, passou a utilizá-lo e logo depois o modificou, passando de um grupo de 12 pontos para um grupo de apenas 6 pontos, formado por duas colunas com três pontos cada. O agrupamento desses seis pontos, dos quais pelo menos um se destaca em relação aos outros, formam os caracteres nesse sistema de leitura. A partir dessas informações, podemos concluir que o número máximo de caracteres distintos que podem ser representados neste sistema de escrita corresponde a:a) 63. b) 89. c) 26. d) 720. e) 36.
Resolução:Cada caractere é formado por seis pontos , destacados ou não, então:
n(E) = ___ . ___ . ___ . ___ . ___ . ___ – ____ . ____ . ____ .____ . ___ . ____
n(E) = 64 – 1 = 63 caracteres.
2 2 2 2 22 1 1 1 1 1 1Todas as possibilidades Nenhum ponto destacado
Alternativa: A
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Ao analisar as chances de um paciente que sofrerá uma cirurgia de transplante de coração, um médico levantou as probabilidades de óbito em duas etapas: a cirurgia é o pós-operatório. Concluiu que há 12% de chance de o paciente não resistir à cirurgia, e que durante o pós-operatório as chances de óbito se dividem em dois eventos: 1) probabilidade em 16% para óbito devido à rejeição do órgão transplantado e 2) probabilidade em 9% para óbito devido à infecção hospitalar. A probabilidade de sucesso no transplante é, portanto,
a) 37% b) 63% c) 66% d) 81,5% e) 88%
Exercício: 4
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Árvore de possibilidades ou diagrama de possibilidades Dispositivo que permite visualizar os efeitos dos princípios de contagem.
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Ao analisar as chances de um paciente que sofrerá uma cirurgia de transplante de coração, um médico levantou as probabilidades de óbito em duas etapas: a cirurgia é o pós-operatório. Concluiu que há 12% de chance de o paciente não resistir à cirurgia, e que durante o pós-operatório as chances de óbito se dividem em dois eventos: 1) probabilidade em 16% para óbito devido à rejeição do órgão transplantado e 2) probabilidade em 9% para óbito devido à infecção hospitalar. A probabilidade de sucesso no transplante é, portanto,
a) 37% b) 63% c) 66% d) 81,5% e) 88%
Para que haja sucesso o caminho a ser percorrido é: 88%
Cirurgia12
% Óbito
Pós 75%
Rejeição
Infecção
Sucesso
16%
9%P(E) = 0,880,75 = 0,66 ou 66%
Alternativa: C
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De quantas maneiras 7 pessoas podem sentar-se num banco de 7 lugares ?
Exercício: 5
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Fatorial ( ! )
Fatorial é uma multiplicação de números naturais em ordem decrescente, de um em um, até um. Então:
n! = n.(n – 1).(n – 2).(n – 3)........3. 2 .1
Formalmente temos:0! = 1n! = n.(n – 1)!
Exemplos:a) 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24b) 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720
c) 10 10 9 8 7 7207 7
! . . . !! !
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De quantas maneiras 7 pessoas podem sentar-se num banco de 7 lugares ?
Resolução:
n(E) =
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De quantas maneiras distintas podemos organizar as modelos Ana, Carla, Maria, Paula e Silvia para a produção de um álbum de fotografias promocionais?
Exercício: 6
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Permutação simples “Problema de ordenação” Quando temos n elementos distintos e queremos ordená-los, devemos ter n posições de escolha. Dessa forma, temos: n posições de escolha para o primeiro elemento; n – 1 posições de escolha para o segundo elemento; n – 2 posições de escolha para o terceiro elemento; n – 3 posições de escolha para o quarto elemento; 2 posições de escolha para o penúltimo elemento; 1 posição de escolha para o último elemento. Assim, a ordenação (permutação) de n elementos distintos é dada por:
Pn = n.(n – 1).(n – 2).(n – 3)........3. 2 .1 Pn = n!
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De quantas maneiras distintas podemos organizar as modelos Ana, Carla, Maria, Paula e Silvia para a produção de um álbum de fotografias promocionais?
Resolução:Note que o princípio a ser utilizado na organização das modelos será o da permutação simples, pois formaremos agrupamentos que se diferenciarão somente pela ordem dos elementos.
Pn = n! Pn = 5! Pn = 5 . 4 . 3 .2 .1 Pn = 120
Portanto, o número de posições possíveis é 120.
Exercício: 6
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Exercício: 7
Quantos são os anagramas da palavra MATEMÁTICA?
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Permutação de elementos repetidos deve seguir uma forma diferente da permutação, pois elementos repetidos permutam entre si. Para compreender como isso acontece veja o exemplo a seguir:
A permutação da palavra MATEMÁTICA ficaria da seguinte forma:Sem levar em consideração as letras repetidas, a permutação ficaria assim: P10 = 10! = 3.628.800
Agora, como a palavra MATEMÁTICA possui elementos que repetem, como a letra A que repete 3 vezes, a letra T repete 2 vezes e a letra M repete 2 vezes, assim a permutação entre si dessas repetições seria 3! . 2! . 2!. Portanto, a permutação da palavra MATEMÁTICA será:
Permutação com elementos repetidos
Portanto, com a palavra MATEMÁTICA podemos montar 151200 anagramas.
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Seguindo esse raciocínio podemos concluir que, de uma maneira geral, a permutação com elementos repetidos é calculada utilizando a seguinte fórmula:
Dada a permutação de um conjunto com n elementos, alguns elementos repetem vezes, vezes e vezes. Então, a permutação é calculada por:
Permutação com elementos repetidos
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Uma família é composta por quatro pessoas (pai, mãe e dois filhos) que nasceram em meses diferentes do ano. Calcule o número de sequências possíveis dos meses de nascimento dos membros dessa família.
Exercício: 8
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Considerando n a quantidade de elementos distintos de um conjunto qualquer e p um número natural menor ou igual a n. Os agrupamentos com p elementos que podem ser formados é denominado arranjo simples . Indicamos um arranjo simples da seguinte forma: A n , p
A fórmula geral utilizada no cálculo da quantidade de arranjos simples é:
Arranjo Simples “Problema de escolha e ordenação”
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Uma família é composta por quatro pessoas (pai, mãe e dois filhos) que nasceram em meses diferentes do ano. Calcule o número de sequências possíveis dos meses de nascimento dos membros dessa família.
Resolução:
Exercício: 8
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Júlia deseja viajar e levar 5 pares de sapatos, sabendo que ela possui em seu guarda-roupa 12 pares, de quantas maneiras diferentes Júlia poderá escolher 5 pares de sapatos para a sua viagem?
Exercício: 9
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Na combinação simples, a ordem dos elementos no agrupamento não interfere. São arranjos que se diferenciam somente pela natureza de seus elementos. Portanto, se temos um conjunto A formado por n elementos distintos tomados p a p, qualquer subconjunto de A formado por p elementos será uma combinação, dada pela seguinte expressão:
Combinação Simples “Problema de escolha”
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Júlia deseja viajar e levar 5 pares de sapatos, sabendo que ela possui em seu guarda-roupa 12 pares, de quantas maneiras diferentes Júlia poderá escolher 5 pares de sapatos para a sua viagem?
Resolução:
Exercício: 9
![Page 30: TÓPICOS DE MATEMÁTICA](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022033102/568166e9550346895ddb2f04/html5/thumbnails/30.jpg)
10) Em uma empresa, quinze funcionários se candidataram para as vagas de diretor e vice-diretor financeiro. Eles serão escolhidos através do voto individual dos membros do conselho da empresa. A partir dessas informações, determine de quantas maneiras distintas essa escolha pode ser feita. (Resposta: 210)
11) Newton possui 9 livros distintos, sendo 4 de Geometria, 2 de Álgebra e 3 de Análise. O número de maneiras pelas quais Newton pode arrumar esses livros em uma estante, de forma que os livros de mesmo assunto permaneçam juntos, é:a) 288 b) 296 c) 864 d) 1728 e) 2130 Alternativa: D
12) Um casal e seus quatro filhos vão ser colocados lado a lado para tirar uma foto. Se todos os filhos devem ficar entre os pais, de quantos modos distintos os seis podem posar para tirar a foto?a) 24 b) 48 c) 96 d) 120 e) 720 Alternativa: B
![Page 31: TÓPICOS DE MATEMÁTICA](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022033102/568166e9550346895ddb2f04/html5/thumbnails/31.jpg)
13) Um jornalista foi designado para cobrir uma reunião de ministros de Estado. Ao chegar ao local da reunião, descobriu que havia terminado. Perguntou ao porteiro o número de ministros presentes e ele disse: “Ao saírem, todos os ministros se cumprimentaram mutuamente, num total de 15 apertos de mão”.Com base nessa informação, qual foi o número de ministros que estiveram presentes na reunião? Resposta: 6.
14) Em época de eleição para o grêmio estudantil do colégio, tiveram 12 candidatos aos cargos de presidente, vice-presidente e secretário. De quantos modos diferentes estes candidatos poderão ocupar as vagas deste grêmio?
Resposta: 1320
![Page 32: TÓPICOS DE MATEMÁTICA](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022033102/568166e9550346895ddb2f04/html5/thumbnails/32.jpg)
Com base nas informações acima, o número de maneiras possíveis de Eddie se deslocar de A até B, sem passar pelo ponto C, é igual aa) 192 b) 60 c) 15 d) 252
Resposta: A
15)
![Page 33: TÓPICOS DE MATEMÁTICA](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022033102/568166e9550346895ddb2f04/html5/thumbnails/33.jpg)
16) Para montar um sanduíche, os clientes de uma lanchonete podem escolher:• Um entre os tipos de pão: calabresa, orégano e queijo;• Um entre os tamanhos: pequeno e grande;• De um até cinco entre os tipos de recheio: sardinha, atum, queijo, presunto e salame; sem possibilidade de repetição de recheio num mesmo sanduíche.Calcule:a) Quantos sanduíches distintos podem ser montados; (Resposta: 186)b) O número de sanduíches distintos que um cliente pode montar, se ele não gosta
de orégano, só come sanduíches pequenos e deseja dois recheios em cada sanduíche. (Resposta: 20)
17)
(Resposta: 120)