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Tópico 12 –Propriedades Elétricas I

Prof. Romis Attux – DCA/FEEC/UNICAMP

Primeiro Semestre / 2017

Obs.: O conteúdo dos slides se baseia fortemente no livro texto [Pierret, 1988]. As figuras são do material de apoio de [Callister 2011] exceto onde indicado.

EE410 - Turma A - Prof. Romis Attux

Prelúdio

• A eletrônica moderna é baseada essencialmente em semicondutores.Cumpre, portanto, discutir em mais detalhe as propriedades dessesmateriais.

• Vimos que semicondutores são materiais que, em termos de conduçãoelétrica, estão entre os metais (excelentes condutores) e os isolantes(maus condutores). Isso explica, inclusive, a razão de ser do nome“semicondutor”.

• A estrutura de bandas de um semicondutor pode ser vista no slide a seguir,que já havia sido estudado por nós. Há uma banda de valência e umabanda de condução, ambas separadas por uma região proibida ou “gap”.Esse “gap” é menor que o de materiais isolantes.


Estrutura de Bandas de um Semicondutor


• Semiconductors:-- narrow band gap (< 2 eV)

Energy

filled band

filled valence band

fille

d s

tate

s

GAP?

empty

bandconduction

Composição

• Existem semicondutores elementares (Si, Ge), formados por um únicoelemento químico (coluna IV da tabela periódica), semicondutorescompostos por combinações de elementos das colunas III e V (e.g. GaAs),semicondutores compostos por combinações de elementos das colunas IIe VI (CdTe) e ligas. Trataremos como material paradigmático o silício.

• O silício é tetravalente, e, em sua estrutura cristalina pura, se liga a outrosquatro átomos de silício de maneira covalente. Isso é ilustrado, numarepresentação bidimensional conveniente do ponto de vista didático, nafigura a seguir. Numa temperatura maior que 0 K, se há a quebra de umaligação, tem-se a criação de um par lacuna – elétron livre.


Representação da Estrutura do Silício


valence electron Si atom

Bandas

• Para um cristal de N átomos de silícios, forma-se uma banda de valênciacom 4N estados permitidos e uma banda de condução com 4N estadospermitidos. Para T = 0 K, a banda de valência estará totalmentepreenchida e a banda de condução totalmente vazia.

• Mostramos, na figura a seguir, uma maneira singela, mas muito útil, derepresentar essa estrutura. Temos que Ec é a menor energia possível decondução, Ev é a maior energia possível de valência e Eg (ou Ee) é avariação energética associada ao “gap”.


Representação Simples


Portadores

• Portadores são as entidades que, no semicondutor, serão capazes deproduzir corrente elétrica.

• Na situação vista nas figuras anteriores, todos os elétrons estão ligadoscovalentemente. Portanto, não há elétrons livres na banda de condução e abanda de valência está plenamente preenchida.

• No entanto, quando há a quebra de uma ligação, tem-se a excitação de umelétron da banda de valência para a banda de condução. Esse elétronpassa a ser um portador, ou seja, elétrons na banda de condução sãoportadores. A energia para quebrar a ligação e a energia que vence aseparação Eg são a mesma coisa.


Portadores

• Além disso, o processo cria uma “ligação faltante” ou um “vazio” naestrutura. Pode-se pensar, em termos do modelo de ligação, que esse vaziose move pelo reticulado cristalino, com elétrons vizinhos tomando um lugarna ligação faltante. Em termos do modelo de bandas, pode-se pensar que apromoção de um elétron à banda de condução cria um vazio na banda devalência.

• Essa ligação faltante, ou vazio na banda de valência, também é umportador – a lacuna.

• Embora isso pareça estranho à primeira vista, as lacunas são sim capazesde portar carga, e, como o tempo, passamos a vê-la como se fosse umapartícula elementar a mais...

• A figura a seguir mostra a criação de um par elétron-lacuna na estrutura dosemicondutor.


Portadores


Gaps

• Alguns valores de gaps de semicondutores são (à temperatura ambiente):

• Silício: 1,12 eV

• Arseneto de Gálio: 1,42 eV

• Germânio: 0,66 eV


Portadores - Carga

• Tanto os elétrons quanto as lacunas possuem carga elétrica. Os elétronspossuem carga negativa, as lacunas possuem carga positiva, e amagnitude dessa carga é idêntica e igual a q = 1,6 x 10-19 C.

• Portanto, a carga do elétron é –q e a de uma lacuna é +q.


Portadores – Massa Efetiva

• Massa efetiva é um conceito importante e um tanto abstrato. Paraentendê-lo, imaginemos primeiramente um elétron que está sujeito à açãode um campo elétrico E no vácuo. Podemos escrever, usando a segunda leide Newton:

𝐹 = −𝑞𝐸 = 𝑚0

𝑑𝑣

𝑑𝑡

onde m0 é a massa do elétron e v é sua velocidade.

• Agora imaginemos que um campo elétrico E seja experimentado por umelétron (na banda de condução) num semicondutor. Podemos nosperguntar se poderíamos fazer uso da mesma equação. A resposta, nessecaso, é não.



• No cristal, os elétrons colidirão com átomos do semicondutor e, ademais,estarão sujeitos a campos cristalinos de caráter complexo.

• Isso mostra diferenças fundamentais, e mostra que o estudo deveria adentraras profundezas da mecânica quântica. No entanto, felizmente, essa formulaçãopode ser simplificada de modo que se use a lei de Newton com umaadaptação:

𝐹 = −𝑞𝐸 = 𝑚𝑛∗𝑑𝑣

𝑑𝑡

onde 𝑚𝑛∗ é a massa efetiva do elétron. Pode-se escrever uma equação análoga

para as lacunas, trocando –q por +q e 𝑚𝑛∗ por 𝑚𝑝

∗ .

• O resumo de tudo isso é que em campos cristalinos internos, podem-se tratarelétrons e lacunas como partículas clássicas desde que se utilize a massaefetiva em vez da massa “convencional”.



• A seguinte tabela apresenta as massas efetivas para três semicondutores.


Material 𝒎𝒏∗ /𝒎𝟎 𝒎𝒑

∗/𝒎𝟎

Silício 1,18 0,81

Germânio 0,55 0,36

Arseneto de Gálio 0,066 0,52

Número de Portadores – Material Intrínseco

• Um semicondutor intrínseco é uma amostra de semicondutor contendopouquíssimos átomos de impurezas. Em outras palavras, trata-se de umsemicondutor com as propriedades nativas do material (não modificadaspela adição de materiais externos).

• O número de portadores num semicondutor intrínseco é uma propriedadedo material. Definamos, para portadores internos ao semicondutor:

n – número de elétrons/cm3

p – número de lacunas/cm3

• Teremos, para um semicondutor intrínseco, em condições de equilíbrio,n = p = ni.



• A tabela a seguir traz o valor de ni para três semicondutores à temperatura ambiente.


Material ni

Silício 1 x 1010/cm3

Germânio 2 x 1013/cm3

Arseneto de Gálio 2 x 106/cm3


• Tem-se que n = p no caso intrínseco pois a criação de portadores semprese dá em pares. Quando se quebra uma ligação, geram-sesimultaneamente um elétron na banda de condução e uma lacuna nabanda de valência.

• Note que a concentração de portadores intrínsecos, embora alta emvalores absolutos, não é tão alta assim do ponto de vista relativo. No silício,por exemplo, há 2 x 1023 ligações (ou elétrons de valência) por cm3. Assim,menos de uma ligação em 1013 é quebrada à temperatura ambiente.


Dopagem

• Dopagem é a adição controlada de átomos de impurezas a umsemicondutor com o propósito expresso de aumentar a concentração deelétrons ou de lacunas. A adição de dopantes em quantidades controladasé rotina na fabricação de dispositivos semicondutores.

• Dopantes rotineiros do silício para aumentar o número de elétrons(doadores) são o fósforo (o mais usual), o arsênio e o antimônio. Paraaumentar o número de lacunas (receptores), utilizam-se o boro (o maisusual), o gálio, o índio e o alumínio. Os primeiros são elementos da colunaV da tabela periódica, ou seja, possuem um elétron de valência a mais queo silício, e os últimos são da coluna III, ou seja, possuem um elétron devalência a menos.


Dopagem

• Quando um dos doadores ocupa o lugar de um átomo de silício no cristal,quatro de seus cinco elétrons de valência se ajustam adequadamente aoarcabouço de 4 ligações covalentes. No entanto, o quinto elétron ficafracamente ligado ao sítio em que se localiza o doador. À temperaturaambiente, a tendência é que esse elétron possa se tornar um portador decarga. Perceba que a criação de um elétron livre dessa forma não gerauma lacuna associada.

• Analogamente, quando um dos receptores ocupa o lugar de um átomo desilício, apenas três elétrons se ajustam a um sítio onde quatro elétrons sãoesperados. Por tanto, ele tende a aceitar facilmente elétrons, o que implicana geração de uma lacuna livre. Note que isso não cria um elétron decondução.


Dopagem

• Na tabela a seguir, apresentamos a energia de ligação desses elétrons e lacunas adicionais, que é bem menor que o “gap” intrínseco dos semicondutores.


Doador Energia de

Ligação (|EB|)

Receptor Energia de

Ligação (|EB|)

Sb 0,039 eV B 0,045 eV

P 0,045 eV Al 0,067 eV

As 0,054 eV Ga 0,072 eV

In 0,16 eV

Dopagem

• Essas energias de ligação nos fazem inferir que os elétrons advindos dedoadores ocupam níveis de energia muito próximos à banda de condução(separação = |EB|), e que as lacunas advindas de receptores ocupam níveisde energia muito próximos à banda de valência (separação = |EB|).

• As figuras a seguir ilustram isso.


Dopagem


Dopagem

• A 0 K, todos os sítios de doadores estão preenchidos, pois não há energiatérmica para promover os elétrons para a banda de condução. À medidaque a temperatura aumenta, mais e mais elétrons fracamente ligados sãodoados à banda de condução. À temperatura ambiente, a doação évirtualmente total.

• A mesma idéia se aplica às lacunas no caso de receptores. A 0 K, os sítiosdos receptores estão vazios. No entanto, com o aumento da temperatura,mais e mais elétrons da banda de valência passam a esses sítios, criandolacunas na banda de valência. À temperatura ambiente, virtualmente todosos sítios estarão preenchidos.


Terminologia

• Dopantes – átomos específicos de impurezas que são adicionados aossemicondutores em concentrações determinadas, com o propósito deaumentar a concentração de elétrons ou lacunas.

• Semicondutor Intrínseco – semicondutor não dopado; amostra ultrapura desemicondutor, com propriedades nativas do material.

• Semicondutor Extrínseco – semicondutor dopado; semicondutor cujaspropriedades são controladas pelas impurezas adicionadas.

• Doador – átomo de impureza que aumenta a concentração de elétrons;dopante tipo n.

• Receptor – átomo de impureza que aumenta a concentração de lacunas;dopante tipo p.


Terminologia

• Material tipo n – material dopado com doadores; semicondutor contendo mais elétrons que lacunas.

• Material tipo p – material dopado com aceitadores; semicondutor contendo mais lacunas que elétrons.

• Portador majoritário – o portador mais abundante num semicondutor –elétrons num material tipo n, lacunas num material tipo p.

• Portador minoritário – o portador menos abundante num semicondutor –lacunas num material tipo n, elétrons num material tipo p.


Densidade de Estados

• Quando o modelo de bandas foi discutido, analisamos a relação entre onúmero de estados atômicos e o número de estados que compõem asbandas de energia.

• Trataremos agora, no entanto, da distribuição de energia dos estados, ouseja, da densidade de estados. Essa densidade é um componente muitoimportante para determinar as distribuições e concentrações deportadores.

• A realização dessa análise requer o uso de ferramentas da mecânicaquântica que transcendem o escopo de nosso curso. Portanto,apresentaremos os resultados sem maiores preocupações com provas.



• Para energias não muito distantes dos limites das bandas, tem-se que:

𝑔𝑐 𝐸 =𝑚𝑛∗ 2𝑚𝑛

∗ (𝐸 − 𝐸𝑐)

𝜋2 ሖℎ3𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐸 ≥ 𝐸𝑐

sendo ሖℎ =ℎ

2𝜋. Tem-se também

𝑔𝑣 𝐸 =𝑚𝑝∗ 2𝑚𝑝

∗ (𝐸𝑣 − 𝐸)

𝜋2 ሖℎ3𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐸 ≤ 𝐸𝑣

• A primeira dessas funções é a densidade de estados numa energia E na banda de condução. A segunda, por sua vez, é a densidade na banda de valência.



• Note que as densidades são nulas, respectivamente, para E = Ec e E = Ev. Ocrescimento com a energia é na forma de uma raiz quadrada. Ambas asdensidades não são simétricas porque as massas efetivas dos portadoresnão são idênticas.

• Note que gc(E)dE representa o número de estados da banda de conduçãopor cm3 entre E e E + dE (se E Ec), e gv(E) representa o número de estadosda banda de valência por cm3 entre E e E + dE (se E Ev). A unidade típicaé número / cm3 – eV.

• O slide a seguir traz um esboço (rudimentar) das funções.


Função de Fermi

• A função de Fermi, f(E), traz uma informação adicional: qual é a proporçãode estados com energia E que estarão ocupados por um elétron a umatemperatura T. Em outras palavras, a função especifica, em condições deequilíbrio, a probabilidade de que um estado disponível com energia Eesteja ocupado por um elétron.

• Matematicamente, temos:

𝑓 𝐸 =1

1 + 𝑒𝐸−𝐸

𝐹𝑘𝑇

onde EF é a energia de Fermi ou nível de Fermi, k é a constante de Boltzmann (8,62 x 10-5 eV/K) e T é a temperatura em kelvin.


Função de Fermi (Wikipedia)


Função de Fermi

• Se T → 0 K, há duas situações: se E > EF, f(E) = 0; se E < EF, f(E) = 1.

• Se T > 0 K, tem-se que, quando E EF + 3kT, exp[(E – EF)/kT] >> 1, e f(E) exp[-(E – EF)/kT]. Há, portanto, uma situação em que a maioria dos estados estarão vazios.

• Se T > 0 K, tem-se que, quando E EF - 3kT, exp[(E – EF)/kT] << 1, e f(E) 1 - exp[(E – EF)/kT]. Há, portanto, uma situação em que a maioria dos estados estarão ocupados.

• A temperatura ambiente, T = 300 K, kT = 0,026 eV e 3kT = 0,078 eV, energias muito menores que o “gap” do silício.


Distribuição de Equilíbrio dos Portadores

• Estando de posse da densidade de estados disponíveis e da probabilidadede ocupação dos mesmos em equilíbrio, podemos deduzir a distribuiçãodos portadores nas suas respectivas bandas.

• Para tanto, basta multiplicar a densidade de estados adequada àprobabilidade adequada.

• Para a banda de condução, o produto é gc(E)f(E).

• Por outro lado, gv(E)[1 – f(E)] corresponde à distribuição das lacunas nabanda de valência.


Distribuição de Equilíbrio dos Portadores

• As distribuições de portadores são nulas nos limites das bandas, atingemum pico perto de Ec ou Ev, e decaem rapidamente para zero à medida quese avança na respectiva banda. Em outras palavras, a maioria dosportadores está agrupada na vizinhança dos limites das bandas.

• A posição do nível de Fermi também é importante. Quando ele está nametade de cima do gap, há uma tendência de que os elétrons tenhammais peso probabilístico que as lacunas. Quando ele está na metade debaixo do gap, por outro lado, há uma predominância de lacunas. Quandoele está no meio do gap, há uma certa equanimidade na distribuição(supondo que gc e gv sejam equilibrados).


Distribuição e Níveis

• Para um material intrínseco, tem-se o nível de Fermi posicionadoaproximadamente no meio do “gap”. Daremos a esse nível o nome de Ei.Isso está de acordo com o comentário de que as probabilidades de elétronse lacunas são praticamente iguais quando se tem o nível de Fermi dessamaneira.

• Quando o nível de Fermi está acima de Ei, pode-se dizer, com imediataintuição, que se trata de um material tipo n. Caso o nível esteja abaixo deEi, tender-se-á a um material tipo p.

• A figura a seguir ilustra isso.


Distribuição e Níveis – Caso Intrínseco


Distribuição e Níveis – Tipo n


Distribuição e Níveis – Tipo p


Concentrações de Equilíbrio

• Atacaremos agora o problema de uma perspectiva matemática, o que não será fácil.

• O número total de elétrons na banda de condução é dada por:

𝑛 = 𝐸𝑐

𝐸𝑡𝑜𝑝𝑔𝑐 𝐸 𝑓 𝐸 𝑑𝐸

• O número total de lacunas na banda de valência é dada por:

𝑝 = න𝐸𝑏𝑜𝑡𝑡𝑜𝑚

𝐸𝑣

𝑔𝑣(𝐸) 1 − 𝑓(𝐸) 𝑑𝐸


Concentrações de Equilíbrio

• Tem-se

𝑛 =𝑚𝑛∗ 2𝑚𝑛

∗

𝜋2 ሖℎ3න𝐸𝑐

𝐸𝑡𝑜𝑝 𝐸 − 𝐸𝑐 𝑑𝐸

1 + 𝑒𝐸−𝐸

𝐹𝑘𝑇

Considerando

=𝐸 − 𝐸𝑐𝑘𝑇

𝑐 =𝐸𝐹 − 𝐸𝑐𝑘𝑇

Etop →


Concentração de Equilíbrio

• Chega-se a:

𝑛 =𝑚𝑛∗ 2𝑚𝑛

∗ 𝑘𝑇 3/2

𝜋2 ሖℎ3න0

∞ 1/2 𝑑

1 + 𝑒−𝐶

• A integral acima é tabelada, e é definida como integral de Fermi-Dirac de ordem ½:

𝐹12

𝑐 = න0

∞ 1/2 𝑑

1 + 𝑒−𝐶



• Definindo a densidade “efetiva” de estados da banda de condução e da banda de valência,

𝑁𝐶 = 22𝜋𝑚𝑛

∗𝑘𝑇

ℎ2

3/2

𝑁𝑉 = 22𝜋𝑚𝑝

∗𝑘𝑇

ℎ2

3/2

• Chega-se a

𝑛 = 𝑁𝐶

2

𝜋𝐹12(𝑐)

𝑝 = 𝑁𝑉

2

𝜋𝐹12(𝑣)



• Na expressão anterior, tem-se que:

𝑣 =𝐸𝑣 − 𝐸𝐹𝑘𝑇

• Para Ev + 3kT EF Ec – 3kT, podem-se utilizar as seguintes aproximações:

𝑛 = 𝑁𝐶𝑒𝐸𝐹−𝐸𝑐𝑘𝑇

𝑝 = 𝑁𝑉𝑒𝐸𝑉−𝐸

𝐹𝑘𝑇



• Quando Ev + 3kT EF Ec – 3kT, o semicondutor é dito não-degenerado. Quando isso não ocorre, o semicondutor é dito degenerado.

• No caso não-degenerado, para um semicondutor intrínseco com EF = Ei, n = p = ni, pode-se escrever:

𝑛𝑖 = 𝑁𝐶𝑒𝐸𝑖−𝐸

𝑐𝑘𝑇 = 𝑁𝑉𝑒

𝐸𝑣−𝐸

𝑖𝑘𝑇

• Assim,

𝑛 = 𝑛𝑖𝑒𝐸𝐹−𝐸𝑖𝑘𝑇

𝑝 = 𝑛𝑖𝑒𝐸𝑖−𝐸

𝐹𝑘𝑇



• Uma primeira relação é:

np = ni2

• E também

𝑛𝑖 = 𝑁𝐶𝑁𝑉𝑒−𝐸

𝐺2𝑘𝑇


Neutralidade de Carga

• A relação de neutralidade de carga permite que se coloquem asconcentrações dos dopantes “em cena”.

• Consideremos um semicondutor dopado uniformemente, no qual o númerode átomos dopantes por centímetro cúbico seja o mesmo em qualquerlugar. Analisando pequenas seções do material e assumindo condições deequilíbrio, deve-se ter neutralidade de carga.

• A neutralidade requer que qp – qn + qND+ – qNA

- = 0. Isso significa quep – n + ND

+ – NA- = 0. Supondo que, à temperatura ambiente, haja

ionização completa dos dopantes, tem-se que

p – n + ND – NA = 0


Cálculo de Concentrações

• Para um semicondutor intrínseco, tem-se n = p = ni.

• Para um semicondutor dopado com ND – NA ND >> ni ou NA – ND NA >> ni, tem-se as duas situações abaixo (caso não-degenerado e ionização total):

n ND e p = ni2/ND, ND >> NA e ND >> ni

p NA e n = ni2/NA, NA >> ND e NA >> ni


Determinação de Ei

• Num material intrínseco, temos n = p. Considerando EF = Ei,

𝑁𝐶𝑒𝐸𝑖−𝐸

𝑐𝑘𝑇 = 𝑁𝑉𝑒

𝐸𝑣−𝐸

𝑖𝑘𝑇

• Daí vem

𝐸𝑖 =𝐸𝑐 + 𝐸𝑣

2+3

4𝑘𝑇 𝑙𝑛

𝑚𝑝∗

𝑚𝑛∗


Determinação do Nível de Fermi – Caso Não-Degenerado, Ionização Plena

• Com ND >> NA e ND >> ni,

𝐸𝐹 − 𝐸𝑖 = 𝑘𝑇 𝑙𝑛𝑁𝐷

𝑛𝑖

• E com NA >> ND e NA >> ni,

𝐸𝑖 − 𝐸𝐹 = 𝑘𝑇 𝑙𝑛𝑁𝐴

𝑛𝑖


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