Tổng hợp các dạng đề thi vào 10 truonghocso.com

Gửi tặng www.VNMATH.com

Chñ ®Ò I rót gän biÓu thøc

Cã chøa c¨n thøc bËc haiCĂN BẬC HAI

A.KIẾN THỨC CƠ BẢN1.Khái niệm

x là căn bậc hai của số không âm a ⇔ x2 = a. Kí hiệu: x a= .

2.Điều kiện xác định của biểu thức A

Biểu thức A xác định ⇔ A 0≥ .3.Hằng đẳng thức căn bậc hai

2 A khi A 0A A

A khi A 0

≥= = − <

4.Các phép biến đổi căn thức

+) ( )A.B A. B A 0; B 0= ≥ ≥

+) ( )A AA 0; B 0

B B= ≥ >

+) ( )2A B A B B 0= ≥

+) ( )A 1A.B A.B 0; B 0

B B= ≥ ≠

+) ( ) ( )22

m. A BmB 0; A B

A BA B= ≥ ≠

−±

m

+) ( ) ( )n. A Bn

A 0; B 0; A BA BA B

= ≥ ≥ ≠−±

m

+) ( ) 2

A 2 B m 2 m.n n m n m n± = ± + = ± = ±

với m n A

m.n B

+ = =

BµI TËP Bµi 1: Thùc hiÖn phÐp tÝnh:

1) 2 5 125 80 605− − + ;

2) 10 2 10 8

5 2 1 5

+ ++ −

;

3) 15 216 33 12 6− + − ;

4) 2 8 12 5 27

18 48 30 162

− +−− + ;

5) 2 3 2 3

2 3 2 3

− +++ −

;

6) 16 1 42 3 6

3 27 75− − ;

LÊ HÙNG SĨ THCS KIM ĐỒNG -HỘI AN


7) 4 32 27 6 75

3 5− + ;

8) ( )3 5. 3 5

10 2

− +

+

9) 8 3 2 25 12 4 192− + ;

10) ( )2 3 5 2− + ;

11) 3 5 3 5− + + ;12)

4 10 2 5 4 10 2 5+ + + − + ;

13) ( ) ( )5 2 6 49 20 6 5 2 6+ − − ;

14) 1 1

2 2 3 2 2 3+

+ + − − ;

15) 6 4 2 6 4 2

2 6 4 2 2 6 4 2

+ −++ + − −

;

16) ( ) 2

5 2 8 5

2 5 4

+ −

−;

17) 14 8 3 24 12 3− − − ;

18) 4 1 6

3 1 3 2 3 3+ +

+ − − ;

19) ( ) ( )3 3

2 1 2 1+ − −

20) 3 3

1 3 1 1 3 1+

− + + +.

Bµi 2: Cho biÓu thøc x 1 x x x x

A =2 2 x x 1 x 1

− +− − ÷ ÷ ÷ ÷+ −

a) Rót gän biÓu thøc A;b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A > - 6.

C©u I(2,5®): HN Cho biÓu thøc A =1 1

4 2 2

x

x x x+ +

− − + , víi x ≥ 0 vµ x ≠ 4.

1/ Rót gän biÓu thøc A.2/ TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A khi x = 25.3/ T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A = -1/3.

C©u I: (1,5®) C Tho Cho biÓu thøc A = 1 1

1 1 1

x x x

x x x x x

−− −+ − − − −

1/ Rót gän biÓu thøc A.2/ T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A > 0.

C©u III: HCM Thu gän c¸c biÓu thøc sau:

A = 4 8 15

3 5 1 5 5− +

+ +

B = :11 1

x y x y x xy

xyxy xy

+ − +− ÷ ÷ ÷ −− +

Bµi 1: (2,0®) KH (Kh«ng dïng m¸y tÝnh cÇm tay)a. Cho biÕt A = 5 + 15 vµ B = 5 - 15 h·y so s¸nh tæng A + B vµ tÝch A.B.Bài 2:Cho biểu thức: Hà Tĩnh

−

++

+=

xxxx

x

x

xxP

12

1

2

với x >0

1.Rút gọn biểu thức P



2.Tìm giá trị của x để P = 0Bài 1: (1,5 điểm) BÌNH ĐỊNH

Cho 2 1 1

11 1

x x xP

xx x x x

+ + += + −−− + +

a. Rút gọn Pb. Chứng minh P <1/3 với và x#1Bài 1 (2.0 điểm ) QUẢNG NAM

1. Tìm x để mỗi biểu thức sau có nghĩa

a) x b)1

1x −

2. Trục căn thức ở mẫu

a) 3

2 b)1

3 1−

Bµi 2 (2,0 ®iÓm) nam ®Þnh

1) T×m x biÕt : 2(2 1) 1 9x − + =

2) Rót gän biÓu thøc : M = 4

123 5

++

3) T×m ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh cña biÓu thøc: A = 2 6 9x x− + −

C©u I: (3,0 ®). NghÖ An Cho biÓu thøc A = 1 1

1 1

x x x

x x

+ −−− +

1. Nªu ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh vµ rót gän biÓu thøc A.2. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc A khi x = 9/4.3. T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó A <1.

Bµi 1. (2,0 ®iÓm) QUẢNG NINHRót gän c¸c biÓu thøc sau : a) 2 3 3 27 300+ −

b) 1 1 1

:1 ( 1)x x x x x

+ ÷− − −

1. Tính HẢI PHÒNG 1 1

A2 5 2 5

= −+ −

Bài 2: (2,0 điểm) KIÊN GIANG

Cho biểu thức : 1 1 x 3 x 2

A :x 3 x x 2 x 3

+ + = − − ÷ ÷ ÷− − −

a) Với những điều kiện được xác định của x hãy rút gọn A .

b) Tìm tất cả các giá trị của x để A nhỏ hơn 1 .



Bài 1: (1,5 điểm) AN GIANG 1/.Không dùng máy tính, hãy tính giá trị biểu thức sau :

÷ ÷

14 - 7 15 - 5 1A = + :

2 -1 3 -1 7 - 5

2/.Hãy rút gọn biểu thức:

x 2x - x

B = -x -1 x - x

, điều kiện x > 0 và x ≠ 1

Bài 1 (2,5 điểm) THÁI BÌNH

Cho biểu thức 1 1

4 2 2

xA

x x x= + +

- - +, với x≥0; x ≠ 4

1) Rút gọn biểu thức A.

2) Tính giá trị của biểu thức A khi x=25.

3) Tìm giá trị của x để 1

3A=- .

Bài 1. (2,0 điểm) THÁI BÌNH

1. Rút gọn các biểu thức sau: a) 3 13 6

2 3 4 3 3+ +

+ −

b) x y y x x y

xy x y

− −+− với x > 0 ; y > 0 ; x ≠ y

Câu 6: VĨNH PHÚC

Rút gọn biểu thức: 22 48 75 (1 3)A = − − −

Bài 1. ( 3 điểm ) ĐÀ NẲNG

Cho biểu thức a 1 1 2

K :a 1a 1 a a a 1

= − + ÷ ÷−− − +

a) Rút gọn biểu thức K.b) Tính giá trị của K khi a = 3 + 2 2

c) Tìm các giá trị của a sao cho K < 0.

a) PHÚ YÊN Trục căn ở mẫu : 25 2

; B =7 2 6 4 + 2 3

A =+

Bµi 1: (1,5 ®iÓm) hƯng yªna) Rót gän biÓu thøc: A = 27 12−

Bài 1 (1,5 điểm) QUẢNG TRỊ

Cho biểu thức A = 1242

13279 −−−+− xxx với x > 3



a/ Rút gọn biểu thức A.b/ Tìm x sao cho A có giá trị bằng 7.

Bài 3 (1,5 điểm). QUẢNG TRỊ

Rút gọn biểu thức: P =

−+−

−+

−− 1

2

2

1:

1

1

1

a

a

a

a

aa với a > 0, a 4,1 ≠≠ a .

Câu 1 (2,0 điểm) QUẢNG TRỊ1. Rút gọn (không dùng máy tính cầm tay) các biểu thức:a) 342712 +− .b) ( )2

5251 −+−

1) Rót gän biÓu thøc: H¶i d Ư¬ng

1 1 x 1

A :x x x 1 x 2 x 1

− = − ÷+ + + + víi x > 0 vµ x ≠ 1

Câu 2:(2.0 điểm ) H¶i D¬ng chÝnh thøc

a) Rút gọn biểu thức: A = 2( x 2) x

x 4 x 2

− +− +

với x ≥ 0 và x ≠ 4.

Bµi 2(2,0 ®iÓm): Hµ Giang Cho biÓu thøc : M = 1 1 1

11 1a a a

− − ÷ ÷− +

a, Rót gän biÓu thøc M.

b, TÝnh gi¸ trÞ cña M khi a = 1

9

Bài 3: (2điểm) BÌNH THUẬN

Rút gọn các biểu thức:

1/ 154

154

154

154

+−+

−+=A

2/

+++

−−+=

a

aa

a

aaB

2

21

11

Câu 1: (2đ)Rút gọn biểu thức Long An

a/1

2 8 3 27 128 3002

A = − − +

Câu2: (2đ) Long An

Cho biểu thức 2 2

11

a a a aP

a a a

+ += − +− + (với a>0)

a/Rút gọn P.

b/Tìm giá trị nhỏ nhất của P.C©u 3: (2 ®iÓm) B¾c Ninh



Cho biÓu thøc: A = 2

2 1 3 11

3 3 9

x x x

x x x

+ −− −+ − −

a/ Rót gän biÓu thøc A.b/ T×m x ®Ó A < 2.c/ T×m x nguyªn ®Ó A nguyªn.

B C©u III: (1,0 ®iÓm) B¾c giang

Rót gän:

−

−−

+

++= 1

11

1 x

xx

x

xxA Víi 1;0 ≠≥ xx

Bài 2: (2,0 điểm) ĐĂK LĂK

1/ Rút gọn biểu thức 2 2A ( 3 2) ( 3 2)= + + −

2/ Cho biểu thức x 2 x 1 3 x 1 1

B : 1x 1 x 3 ( x 1)( x 3) x 1

+ + − = − + − ÷ ÷ ÷− − − − −

A. Rút gọn biểu thức B.B. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức B nhận giá trị nguyên .

Bµi 1 (2,0 ®iÓm): Qu¶ng B×nh Cho biÓu thøc:

N= 1

1

1

1

−++

+−

n

n

n

n ; víi n ≥ 0, n ≠ 1.

a. Rót gän biÓu thøc N.b. T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña n ®Ó biÓu thøc N nhËn gi¸ trÞ

nguyªn.

Bài 3: (1,0 di m) ÐẠI HỌC TÂY NGUYÊN

Rút g n bi u th c y x x x y y

P (x 0; y 0)1

+ + += > >

+xy.

µi 3: Cho biÓu thøc x 2 1 10 x

B = : x 2x 4 2 x x 2 x 2

− + + − + ÷ ÷ ÷− − + +

a) Rót gän biÓu thøc B;b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A > 0.

Bµi 4: Cho biÓu thøc 1 3 1

C =x 1 x x 1 x x 1

− +− + − +

a) Rót gän biÓu thøc C;b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó C < 1.

Bµi 5: Rót gän biÓu thøc :

a) 2 2

2 2

x 2 x 4 x 2 x 4D =

x 2 x 4 x 2 x 4

+ + − + − −++ − − + + −

; b) x x x x

P = 1 1x 1 x 1

+ −+ − ÷ ÷ ÷ ÷+ − ;



c) 2

1 x 1Q = :

x x x x x x

+− + +

; d) x 1 2 x 2H =

x 2 1

− − −− −

Bµi 6: Cho biÓu thøc 1 1 a 1

M = :a a a 1 a 2 a 1

+ + ÷− − − +

a) Rót gän biÓu thøc M;b) So s¸nh M víi 1.

Bµi 7: Cho c¸c biÓu thøc 2x 3 x 2

P =x 2

− −−

vµ 3x x 2x 2

Q =x 2

− + −+

a) Rót gän biÓu thøc P vµ Q;b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó P = Q.

Bµi 8: Cho biÓu thøc 2x 2 x x 1 x x 1

P =x x x x x

+ − ++ −− +

a) Rót gän biÓu thøc Pb) So s¸nh P víi 5.

c) Víi mäi gi¸ trÞ cña x lµm P cã nghÜa, chøng minh biÓu thøc 8

P chØ nhËn

®óng mét gi¸ trÞ nguyªn.

Bµi 9: Cho biÓu thøc 3x 9x 3 1 1 1

P = :x 1x x 2 x 1 x 2

+ − + + ÷ ÷ −+ − − +

a) T×m ®iÒu kiÖn ®Ó P cã nghÜa, rót gän biÓu thøc P;

b) T×m c¸c sè tù nhiªn x ®Ó 1

P lµ sè tù nhiªn;

c) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi x = 4 – 2 3 .

Bµi 10: Cho biÓu thøc : x 2 x 3 x 2 x

P = : 2x 5 x 6 2 x x 3 x 1

+ + +− − − ÷ ÷ ÷ ÷− + − − +

a) Rót gän biÓu thøc P;

b) T×m x ®Ó 1 5

P 2≤ − .

Chñ ®Ò II HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

I..Tính chất của hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠0)-Đồng biến khi a > 0; nghịch biến khi a < 0.-Đồ thị là đường thẳng nên khi vẽ chỉ cần xác định hai điểm thuộc đồ thị.+Trong trường hợp b = 0, đồ thị hàm số luôn đi qua gốc tọa độ.



+Trong trường hợp b ≠ 0, đồ thị hàm số luôn cắt trục tung tại điểm b.-Đồ thị hàm số luôn tạo với trục hoành một góc α , mà tg aα= .-Đồ thị hàm số đi qua điểm A(xA; yA) khi và chỉ khi yA = axA + b.

II.Điểm thuộc đường – đường đi qua điểm.

Điểm A(xA; yA) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) yA = f(xA).

Ví dụ 1: Tìm hệ số a của hàm số: y = ax2 biết đồ thị hàm số của nó đi qua điểm A(2;4).

Giải:

Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(2;4) nên: 4= a.22 a = 1

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho A(-2;2) và đường thẳng (d) có phương trình: y = -2(x + 1). Đường thẳng (d) có đi qua A không?

Giải:Ta thấy -2.(-2 + 1) = 2 nên điểm A thuộc v ào đường thẳng (d)

III.Quan hệ giữa hai đường thẳng.Xét hai đường thẳng: (d1): y = a1x + b1 ; (d2): y = a2x + b2 với a1 ≠ 0; a2 ≠ 0.

-Hai đường thẳng song song khi a1 = a2 và b1 ≠ b2.-Hai đường thẳng trùng nhau khi a1 = a2 và b1 = b2.-Hai đường thẳng cắt nhau khi a1 ≠ a2.

+Nếu b1 = b2 thì chúng cắt nhau tại b1 trên trục tung.+Nếu a1.a2 = -1 thì chúng vuông góc với nhau.

IV.Cách tìm giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x).Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (II)Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = f(x) hoặc y = g(x) để tìm

tung độ giao điểm.Chú ý: Số nghiệm của phương trình (II) là số giao điểm của hai đường trên.

V.Tìm điều kiện để 3 đường thẳng đồng qui.Bước 1: Giải hệ phương trình gồm hai đường thẳng không chứa tham số để tìm

(x;y).Bước 2: Thay (x;y) vừa tìm được vào phương trình còn lại để tìm ra tham số .

VI.Tính chất của hàm số bậc hai y = ax2 (a ≠ 0)-Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0.Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0.-Đồ thị hàm số là một Parabol luôn đi qua gốc tọa độ:

+) Nếu a > 0 thì parabol có điểm thấp nhất là gốc tọa độ.+) Nếu a < 0 thì Parabol có điểm cao nhất là gốc tọa độ.

-Đồ thị hàm số đi qua điểm A(xA; yA) khi và chỉ khi yA = axA2.

VII.Vị trí của đường thẳng và parabol-Xét đường thẳng x = m và parabol y = ax2:

+) luôn có giao điểm có tọa độ là (m; am2).



-Xét đường thẳng y = m và parabol y = ax2:+) Nếu m = 0 thì có 1 giao điểm là gốc tọa độ.

+) Nếu am > 0 thì có hai giao điểm có hoành độ là x = m

a±

+) Nếu am < 0 thì không có giao điểm. VIII.Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).

Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình: cx2= ax + b (V)

Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = ax +b hoặc y = cx2 để tìm tung độ giao điểm.

Chú ý: Số nghiệm của phương trình (V) là số giao điểm của (d) và (P). IV.Tìm điều kiện để (d) và (P).

a) (d) và (P) cắt nhau phương trình (V) có hai nghiệm phân biệt.

b) (d) và (P) tiếp xúc với nhau phương trình (V) có nghiệm kép.

c) (d) và (P) không giao nhau phương trình (V) vô nghiệm .

X.Viết phương trình đường thẳng y = ax + b biết. 1.Quan hệ về hệ số góc và đi qua điểm A(x0;y0)

Bước 1: Dựa vào quan hệ song song hay vuông góc tìm hệ số a.Bước 2: Thay a vừa tìm được và x0;y0 vào công thức y = ax + b để tìm b.

2.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x1;y1) và B(x2;y2).Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(x1;y1) và B(x2;y2) nên ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình tìm a,b.

3.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x0;y0) và tiếp xúc với (P): y = cx2 (c 0).

+) Do đường thẳng đi qua điểm A(x0;y0) nên có phương trình :y0 = ax0 + b (3.1)

+) Do đồ thị hàm số y = ax + b tiếp xúc với (P): y = cx 2 (c 0) nên:

Pt: cx2 = ax + b có nghiệm kép

(3.2)

+) Giải hệ gồm hai phương trình trên để tìm a,b.

XI.Chứng minh đường thẳng luôn đi qua 1 điểm cố định ( giả sử tham số là m).+) Giả sử A(x0;y0) là điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua với mọi m, thay x0;y0

vào phương trình đường thẳng chuyển về phương trình ẩn m hệ số x0;y0 nghiệm đúng với mọi m.

+) Đồng nhất hệ số của phương trình trên với 0 giải hệ tìm ra x0;y0.XII.Một số ứng dụng của đồ thị hàm số.



1.Ứng dụng vào phương trình.2.Ứng dụng vào bài toán cực trị.

bµi tËp vÒ hµm sè.C©u IV: (1,5®) C tho Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy cho hµm sè y = ax2 cã ®å thÞ (P).

1. T×m a, biÕt r»ng (P) c¾t ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh y = -x - 3

2 t¹i

®iÓm A cã hoµnh ®é b»ng 3. VÏ ®å thÞ (P) øng víi a võa t×m ®îc.2. T×m to¹ ®é giao ®iÓm thø hai B (B kh¸c A) cña (P) vµ (d).

Bµi 2: (2,25®) hue

a) Cho hµm sè y = ax + b. T×m a, b biÕt r»ng ®å thÞ cña hµm sè ®· cho

song song víi ®êng th¼ng y = -3x + 5 vµ ®i qua ®iÓm A thuéc Parabol (P): y = 1

2

x2 cã hoµng ®é b»ng -2.b) Kh«ng cÇn gi¶i, chøng tá r»ng ph¬ng tr×nh ( 3 1+ )x2 - 2x - 3 = 0 cã hai

nghiÖm ph©n biÖt vµ tÝnh tæng c¸c b×nh ph¬ng hai nghiÖm ®ã.C©u II : HCM

a) VÏ ®å thÞ (P) cña hµm sè y = 2

2

x vµ ®uêng th¼ng (d): y = x + 4 trªn cïng

mét hÖ trôc to¹ ®é.b) T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (d) b»ng phÐp tÝnh.

Baøi 2: (2,50 ñieåm) KH

Cho Parabol (P) : y = x2 vaø ñöôøng thaúng (d): y = mx – 2 (m laø tham soá, m ≠

0 )

a. Veõ ñoà thò (P) treân maët phaúng Oxy.

b. Khi m = 3, tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa (p) vaø (d).

c. Goïi A(xA; yA), B(xB; yB) laø hai giao ñieåm phaân bieät cuûa (P) vaø (d). tìm

caùc giaù trò cuûa m sao cho yA + yB = 2(xA + xB) – 1

Bàì 1: Hà Tĩnh



1. Trong hệ trục toạ độ Oxy, biết đường thẳng y = ax + 3 đi qua điểm M(-2;2). Tìm hệ số a

Baøi 2 : (2,0 ñieåm) BÌNH ÑÒNH Ñeà chính thöùc

1. Cho haøm soá y = ax + b. tìm a, b bieát ñoà thò haøm soá ñaã cho ñi qua

hai ñieåm A(-2; 5) vaø B(1; -4).

2. Cho haøm soá y = (2m – 1)x + m + 2

a. tìm ñieàu kieän cuûa m ñeå haøm soá luoân nghòch bieán.

b. Tìm giaù trò m ñeå ñoà thò haøm soá caét truïc hoaønh taïi ñieåm

coù hoaønh ñoä baèng 2

3−

Bài 2 (3.0 điểm ) QUẢNG NAMCho hàm số y = x2 và y = x + 2a) Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxyb) Tìm tọa độ các giao điểm A,B của đồ thị hai hàm số trên bằng phép tínhc) Tính diện tích tam giác OAB

Bµi 3. (1,5 ®iÓm) QUẢNG NINH

Cho hµm sè : y = (2m – 1)x + m + 1 víi m lµ tham sè vµ m # 1

2 . H·y x¸c ®Þnh m trong

mçi trêng h¬p sau :a) §å thÞ hµm sè ®i qua ®iÓm M ( -1;1 )b) §å thÞ hµm sè c¾t trôc tung, trôc hoµnh lÇn lît t¹i A , B sao cho tam gi¸c OAB c©n.

HẢI PHÒNG Tìm m để đường thẳng y = 3x – 6 và đường thẳng 3

y x m2

= + cắt nhau tại một

điểm trên trục hoànhBài 3: (3,0 điểm) KIÊN GIANG

a) Cho hàm số y = -x2 và hàm số y = x – 2. Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng hệ trục tọa

độ. Tìm tọa độ giao điểm của hai đô thị trên bằng phương pháp đại số .

b) Cho parabol (P) : 2x

y4

= và đường thẳng (D) : y = mx - 32 m – 1. Tìm m để (D)

tiếp xúc với (P) . Chứng minh rằng hai đường thẳng (D1) và (D2) tiếp xúc với (P) và

hai đường thẳng ấy vuông góc với nhau .

Bài 2: (1,5 điểm) AN GIANG 1/. Cho hai đường thẳng 1d : y = (m+1) x + 5 ; 2d : y = 2x + n. Với giá trị nào của m,

n thì 1d trùng với 2d ?



2/.Trên cùng mặt phẳng tọa độ , cho hai đồ thị (P): y =2x

3 ; d: y = 6 − x . Tìm tọa độ

giao điểm của (P) và d bằng phép toán .

Bài 2 (2 điểm) THÁI BÌNH Cho Parabol (P) : y= x2 và đường thẳng (d): y = mx-2 (m là

tham số m ≠ 0)

a/ Vẽ đồ thị (P) trên mặt phẳng toạ độ xOy.

b/ Khi m = 3, hãy tìm toạ độ giao điểm (P) và (d) .

c/ Gọi A(xA; yA), B(xA; yB) là hai giao điểm phân biệt của (P) và ( d). Tìm các giá trị

của m sao cho : yA + yB = 2(xA + xB ) -1 .


Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): ( )y k 1 x 4= − + (k là tham số) và parabol (P): 2y x= .1. Khi k 2=− , hãy tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P);2. Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P)

tại hai điểm phân biệt;3. Gọi y1; y2 là tung độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P). Tìm k sao

cho: 1 2 1 2y y y y+ = .Bài 2 (1,5 điểm) QUẢNG TRỊ Cho hàm số y = ax + b.

Tìm a, b biết đồ thị của hàm số đi qua điểm (2, -1) và cắt trục hoành tại điểm có

hoành độ bằng 2

3 .

Bài 3 (2,5 điểm) THANH HÓATrong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x2 và điểm B(0;1)1. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm B(0;1) và có hệ số k.2. Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt E và F với mọi k.3. Gọi hoành độ của E và F lần lượt là x1 và x2. Chứng minh rằng x1

.x2 = - 1, từ đó suy ra tam giác EOF là tam giác vuông.

Bµi 2: (1,5 ®iÓm) Hưng YênCho hµm số bậc nhất y = mx + 2 (1)a) VÏ đồ thị hµm sỉ khi m = 2b) T×m m ®Ó ®ơ thÞ hµm sỉ (1) c¾t trôc Ox vµ trôc Oy lÌn lît t¹i A vµ B sao

cho tam gi¸c AOB c©n.Câu 2 (1,5 điểm) QUẢNG TRỊ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hàm số y = -2x + 4 có đồ thị là đường thẳng (d).



a) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) với hai trục toạ độb) Tìm trên (d) điểm có hoành độ bằng tung độ.

C©u II : (2,0 ®iÓm) H¶i d Ư¬ng

1) Cho hµm sè y = f(x) = 21x

2− . TÝnh f(0); ( )f 2 ;

1f

2 ÷

; ( )f 2−

Bài 1: (2điểm) BÌNH THUẬN

Cho hai hàm số y = x – 1 và y = –2x + 51/ Vẽ trên cùng một mặt phẳng toạ độ đồ thị của hai hàm số đã cho.2/ Bằng phép tính hãy tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị trên. 2. B¾c giang Hµm sè y=2009x+2010 ®ßng biÕn hay nghÞch biÕn trªn R? V× sao 2. B¾c giang Cho hµm sè y = x -1. T¹i x = 4 th× y cã gi¸ trÞ lµ bao nhiªu?Bµi 2 (1,5 ®iÓm): qu¶ng b×nh

Cho ba ®êng th¼ng (d1): -x + y = 2; (d2): 3x - y = 4 vµ (d3): nx - y = n - 1;n lµ tham sè.

a) T×m täa ®é giao ®iÓm N cña hai ®êng th¼ng (d1) vµ (d2).b) T×m n ®Ó ®êng th¼ng (d3) ®i qua N.

Bài 2: (3,0 điểm) ÐẠI HỌC TÂY NGUYÊN

Cho hàm số : 2y x= − có đồ thị (P) và hàm số y = 2x + m có đồ thị (d) .1/ Khi m = 1. Vẽ đồ thị (P) và (d) trên cùng một hệ trục toạ độ.2/ Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d) toạ độ và bằng phép toán khi m = 1.3/ Tìm các giá trị của m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A AA(x ; y ) và

B BB(x ; y ) sao cho 2 2A B

1 16

x x+ =

Bµi tËp 1 . cho parabol y= 2x2. (p)

a. t×m hoµnh ®é giao ®iÓm cña (p) víi ®êng th¼ng y= 3x-1.b. t×m to¹ ®é giao ®iÓm cña (p) víi ®êng th¼ng y=6x-9/2.c. t×m gi¸ trÞ cña a,b sao cho ®êng th¼ng y=ax+b tiÕp xóc víi (p) vµ ®i qua A(0;-2).d. t×m ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng tiÕp xóc víi (p) t¹i B(1;2).e. biÖn luËn sè giao ®iÓm cña (p) víi ®êng th¼ng y=2m+1. ( b»ng hai ph-¬ng ph¸p ®å thÞ vµ ®¹i sè).f. cho ®êng th¼ng (d): y=mx-2. T×m m ®Ó

+(p) kh«ng c¾t (d).+(p)tiÕp xóc víi (d). t×m to¹ ®é ®iÓm tiÕp xóc ®ã?+ (p) c¾t (d) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt.+(p) c¾t (d).

Bµi tËp 2 . cho hµm sè (p): y=x2 vµ hai ®iÓm A(0;1) ; B(1;3).

a. viÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AB. t×m to¹ ®é giao ®iÓm AB víi (P) ®· cho.



b. viÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng d song song víi AB vµ tiÕp xóc víi (P). c. viÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng d1 vu«ng gãc víi AB vµ tiÕp xóc víi (P). d. chøng tá r»ng qua ®iÓm A chØ cã duy nhÊt mét ®êng th¼ng c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt C,D sao cho CD=2.

Bµi tËp 3 .Cho (P): y=x2 vµ hai ®êng th¼ng a,b cã ph¬ng tr×nh lÇn lît lµ

y= 2x-5y=2x+m

a. chøng tá r»ng ®êng th¼ng a kh«ng c¾t (P).b. t×m m ®Ó ®êng th¼ng b tiÕp xóc víi (P), víi m t×m ®îc h·y:

+ Chøng minh çc ®êng th¼ng a,b song song víi nhau.+ t×m to¹ ®é tiÕp ®iÓm A cña (P) víi b.

+ lËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) ®i qua A vµ cã hÖ sè gãc b»ng -1/2. t×m to¹ ®é giao ®iÓm cña (a) vµ (d).

Bµi tËp 4 .

cho hµm sè xy2

1−= (P)

a. vÏ ®å thÞ hµm sè (P).b. víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ®êng th¼ng y=2x+m (d) c¾t ®å thÞ (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A,B. khi ®ã h·y t×m to¹ ®é hai ®iÓm A vµ B.c. tÝnh tæng tung ®é cña çc hoµnh ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (d) theo m.

Bµi tËp5 . cho hµm sè y=2x2 (P) vµ y=3x+m (d)

a. khi m=1, t×m to¹ ®é çc giao ®iÓm cña (P) vµ (d).b. tÝnh tæng b×nh ph¬ng çc hoµnh ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (d) theo m.c. t×m mèi quan hÖ gi÷a çc hoµnh ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (d) ®éc lËp víi m.

Bµi tËp 6 . cho hµm sè y=-x2 (P) vµ ®êng th¼ng (d) ®I qua N(-1;-2) cã hÖ sè gãc k.

a. chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña k th× ®êng th¼ng (d) lu«n c¾t ®å thÞ (P) t¹i hai ®iÓm A,B. t×m k cho A,B n»m vÒ hai phÝa cña trôc tung.b. gäi (x1;y1); (x2;y2) lµ to¹ ®é cña çc ®iÓm A,B nãi trªn, t×m k cho tæng S=x1+y1+x2+y2 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.

Bµi tËp7 . cho hµm sè y= x

a. t×m tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè.b. t×m y biÕt:

+ x=4+ x=(1- 2 )2

+ x=m2-m+1+ x=(m-n)2

c. çc ®iÓm A(16;4) vµ B(16;-4), ®iÓm nµo thuéc ®å thÞ hµm sè, ®iÓm nµo kh«ng thuéc ®å thÞ hµm sè? t¹i sao.



d. kh«ng vÏ ®å thÞ h·y t×m hoµnh ®é giao ®iÓm cña ®å thÞ hµm sè ®· cho víi ®å thÞ hµm sè y= x-6

Bµi tËp 8. cho hµm sè y=x2 (P) vµ y=2mx-m2+4 (d)

a.t×m hoµnh ®é cña çc ®iÓm thuéc (P) biÕt tung ®é cña chóng y=(1- 2 )2. b.chøng minh r»ng (P) víi (d) lu«n c¾t nhau t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt. t×m to¹ ®é giao ®iÓm cña chóng. víi gi¸ trÞ nµo cña m th× tæng çc tung ®é cña chóng ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.

Bµi tËp 9. cho hµm sè y= mx-m+1 (d).

a. chøng tá r»ng khi m thay ®æi th× ®êng th¼ng (d) lu«n ®I qua ®iÓm cè ®Þnh. t×m ®iÓm cè ®Þnh Êy.

b. t×m m ®Ó (d) c¾t (P) y=x2 t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt A vµ B, sao cho AB= 3 .Bµi tËp 10 .trªn hÖ trôc to¹ ®é Oxy cho çc ®iÓm M(2;1); N(5;-1/2) vµ ®êng th¼ng (d) y=ax+b.

a. t×m a vµ b ®Ó ®êng th¼ng (d) ®I qua çc ®iÓm M, N.b. x¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iÓm cña ®êng th¼ng MN víi çc trôc Ox, Oy.

Bµi tËp 11 .cho hµm sè y=x2 (P) vµ y=3x+m2 (d).

a. chøng minh víi bÊt kú gi¸ trÞ nµo cña m ®êng th¼ng (d) lu«n c¾t (P) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt.

b. gäi y1, y2 kµ çc tung ®é giao ®iÓm cña ®êng th¼ng (d) vµ (P) t×m m ®Ó cã biÓu thøc y1+y2= 11y1.y2

bµi tËp 12 .cho hµm sè y=x2 (P).

a. vÏ ®å thÞ hµm sè (P).b. trªn (P) lÊy 2 ®iÓm A, B cã hoµnh ®é lÇn lît lµ 1 vµ 3. h·y viÕt ph¬ng tr×nh

®êng th¼ng AB.c. lËp ph¬ng tr×nh ®êng trung trùc (d) cña ®o¹n th¼ng AB.d. t×m to¹ ®é giao ®iÓm cña (d) vµ (P).

Bµi tËp 13 .. a. viÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng tiÕp xóc víi (P) y=2x2 t¹i ®iÓm A(-1;2).b. cho hµm sè y=x2 (P) vµ B(3;0), t×m ph¬ng tr×nh tho¶ m·n ®iÒu kiÖn tiÕp xóc víi (P) vµ ®i qua B.c. cho (P) y=x2. lËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua A(1;0) vµ tiÕp xóc víi (P).d. cho (P) y=x2 . lËp ph¬ng tr×nh d song song víi ®êng th¼ng y=2x vµ tiÕp xóc víi (P).e. viÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng song song víi ®êng th¼ng y=-x+2 vµ c¾t (P) y=x2 t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng (-1).f. viÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng vu«ng gãc víi (d) y=x+1 vµ c¾t (P) y=x2 t¹i ®iÓm cã tung ®é b»ng 9.



Chñ ®Ò III §5.PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH

(Bậc nhất)A.KIẾN THỨC CƠ BẢN1.Phương trình bậc nhất một ẩn

-Đưa về dạng ax + b = 0 (a ≠ 0)

-Nghiệm duy nhất là b

xa

−=

2.Phương trình chứa ẩn ở mẫu-Tìm ĐKXĐ của phương trình.-Quy đồng và khử mẫu.-Giải phương trình vừa tìm được.-So sánh giá trị vừa tìm được với ĐKXĐ rồi kết luận.

3.Phương trình tíchĐể giái phương trình tích ta chỉ cần giải các phương trình thành phần của nó. Chẳng

hạn: Với phương trình A(x).B(x).C(x) = 0

( )( )( )

A x 0

B x 0

C x 0

=

⇔ = =

4.Phương trình có chứa hệ số chữ (Giải và biện luận phương trình)Dạng phương trình này sau khi biến đổi cũng có dạng ax + b = 0. Song giá trị cụ thể

của a, b ta không biết nên cần đặt điều kiện để xác định số nghiệm của phương trình.

-Nếu a ≠ 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất b

xa

−= .

-Nếu a = 0 và b = 0 thì phương trình có vô số nghiệm.-Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm.

5.Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đốiCần chú ý khái niệm giá trị tuyệt đối của một biểu thức

A khi A 0A

A khi A 0

≥= − <

6.Hệ phương trình bậc nhấtCách giải chủ yếu dựa vào hai phương pháp cộng đại số và thế. Chú ý phương pháp

đặt ẩn phụ trong một số trường hợp xuất hiện các biểu thức giống nhau ở cả hai phương trình.7.Bất phương trình bậc nhất

Với bất phương trình bậc nhất thì việc biến đổi tương tự như với phương trình bậc nhất. Tuy nhiên cần chú ý khi nhân và cả hai vế với cùng một số âm thì phải đổi chiều bất phương trình.



BµI TËP HÖ ph¬ng tr×nh

Baøi 1: : Gi¶i çc HPT sau: 1.1.

a. 2 3

3 7

x y

x y

− = + =

b. 2 3 2

5 2 6

x y

x y

+ = − + =

Gi¶i:

a. Dïng PP thÕ: 2 3

3 7

x y

x y

− = + =

2 3 2 3 2 2

3 2 3 7 5 10 2.2 3 1

y x y x x x

x x x y y

= − = − = = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ + − = = = − =

Vaäy HPT ®· cho cã nghiÖm lµ: 2

1

x

y

= =

Dïng PP céng: 2 3

3 7

x y

x y

− = + =

5 10 2 2

3 7 3.2 7 1

x x x

x y y y

= = = ⇔ ⇔ ⇔ + = + = =

Vaäy HPT ®· cho cã nghiÖm lµ: 2

1

x

y

= =

- §Ó gi¶I lo¹i HPT nµy ta thêng sö dông PP céng cho thuËn lîi.

2 3 2

5 2 6

x y

x y

+ = − + =

10 15 10 11 22 2 2

10 4 12 5 2 6 5 2.( 2 6) 2

x y y y x

x y x y x y

+ =− =− =− = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ + = + = + − = =−

Vaäy HPT cã nghiÖm lµ 2

2

x

y

= = −

- §èi víi HPT ë d¹ng nµy ta cã thÓ sö dông hai çch gi¶I sau ®©y:

1.2.

2 31

1

2 51

1

x y

x y

+ = − + + = − +

+ Çch 1: Sö dông PP céng. §K: 1, 0x y≠− ≠ .

2 31

1

2 51

1

x y

x y

+ = − + + = − +

22 1 1 1 3

12 22 5 2

2 5 1 4 1 11 1 1 11

y yy x x

y yx xx y

= = = + = − = − ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ + = = − = =+ = + + +


21

x

y

= − =

+ Çch 2: Sö dông PP ®Æt Èn phô. §K: 1, 0x y≠− ≠ .



§Æt 1

1a

x=

+ ; 1

by

= . HPT ®· cho trë thµnh:

2 3 1 2 5 1 2 5.1 1 2

2 5 1 2 2 1 1

a b a b a a

a b b b b

+ =− + = + = =− ⇔ ⇔ ⇔ + = = = =

12 3

12

11 1

xx

yy

= − = −+ ⇒ ⇔ = =

(TM§K)


21

x

y

= − =

Lu ý: - NhiÒu em cßn thiÕu §K cho nh÷ng HPT ë d¹ng nµy. - Cã thÓ thö l¹i nghiÖm cña HPT võa gi¶i.

Baøi 2: Giaûi caùc heä phöông trình sau (baèng pp theá)

1.1: 3

)3 4 2

x ya

x y

− = − =

7 3 5

)4 2

x yb

x y

− = + =

1.2. 2 2 5

)2 2

x ya

x y

− =

+ =

( )( )

2 1 2)

2 1 1

x yb

x y

− − =

+ + =

Baøi 3: Giaûi caùc heä phöông trình sau (baèng pp coäng ñaïi soá)

2.1. 3 3

)2 7

x ya

x y

+ = − =

4 3 6

)2 4

x yb

x y

+ = + =

3 2 10

) 2 13

3 3

x yc

x y

− = − =

2.2. 2 3 1

)2 2 2

x ya

x y

− =

+ = −

5 3 2 2)

6 2 2

x yb

x y

+ =

− =

Baøi 4:

Giaûi heä phöông trình 2

3 1

( 1) 6 2

x y

m x y m

+ = + + = trong moãi tröôøng hôïp sau

a) m = -1 b) m = 0 c) m = 1Baøi 5:

a) Xaùc ñònh heä soá avaøb, bieát raèng heä phöông trình2 4

5

x by

bx ay

+ = − = − coù

nghieäm laø (1; -2)

b) Cuõng hoûi nhö vaäy neáu heä phöông trình coù nghieäm ( )2 1; 2−

Baøi 6: Giaûi heä phöông trình sau: 2 2

3 1

x y

x y

+ =

+ = −



a) Töø ñoù suy ra nghieäm cuûa heä phöông trình

22

1 13

11 1

m n

m nm n

m n

+ = + + + = − + +

Baøi 7: Giaûi caùc heä phöông trình sau:

2 4

3 1

x y

x y

+ = − = ;

1

3 2 3

x y

x y

− = + = ;

2 5

3 1

x y

x y

+ = − = ;

3 5 0

3 0

x y

x y

− − = + − = ;

0,2 3 2

15 10

x y

x y

− = − = ;

3 2

2 4 2007

x y

x y

= − + = ;

3 2

3 9 6

x y

y x

− =− + = ;

52

2 6

yx

x y

− = − =

; 2 3 6

5 55

3 2

x y

x y

+ = + =

; 2 5

3 3 15

2 4 2

x y

x y

+ = + =

Bµi 8: Cho hÖ ph¬ng tr×nh

=+=−

1

2

byax

bayx

a) Gi¶i hÖ khi a=3 ; b=-2 b) T×m a;b ®Ó hÖ cã nghiÖm lµ (x;y)=( )3;2

Bµi 9: Gi¶I c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau

a)

=−

−+

=−

−+

345

221

yxyx

yxyx b)

=+

−=−

22

843

yx

yx c)

=−+−

=−−−

1222

32423

yx

yx (®k x;y ≥ 2 )

3 5

1

x y

x y

+ =

− + = − ;

2 1 3

2 5

y x

x y

= − +

= − ;

6 6 5

4 31

x y xy

x y

+ = − =

; ( )( 2 ) 0

5 3

x y x y

x y

+ − = − =

; 2 3 5

2 2 3 3 5

x y − =

+ = −

3 3 3 2 3

2 3 6 2

x y

x y

− = −

+ = + ;

( 1) 2( 2) 5

3( 1) ( 2) 1

x y

x y

+ + − = + − − =

; ( 5)( 2) ( 2)( 1)

( 4)( 7) ( 3)( 4)

x y x y

x y x y

+ − = + − − + = − +

.

( 1)( 2) ( 1)( 3) 4

( 3)( 1) ( 3)( 5) 1

x y x y

x y x y

− − + + − = − + − − − =

; 3( ) 5( ) 12

5( ) 2( ) 11

x y x y

x y x y

+ + − =− + + − =

;

1 1 4

5

1 1 1

5

x y

x y

+ = − =

;

1 22

5 43

x y x y

x y x y

− = + − − = + −

;

1 5 5

2 3 3 8

3 5 3

2 3 3 8

x y x y

x y x y

+ = − + − = − − +

;

7 54,5

2 1

3 24

2 1

x y x y

x y x y

− = − + + − + = − + + −

………………………………………………………………………………

Chñ ®Ò IV



Gi¶i bµi to¸n b»ng çch lËp hÖ ph¬ng tr×nh.II, LÝ thuyÕt cÇn nhí : * Bíc 1: + LËp HPT - Chän Èn, t×m ®¬n vÞ vµ §K cho Èn. - BiÓu diÔn mèi quan hÖ cßn l¹i qua Èn vµ çc ®¹i lîng ®· biÕt. - LËp HPT. * Bíc 2: Gi¶i HPT. * Bíc 3: §èi chiÕu víi §K ®Ó tr¶ lêi.III, Bµi tËp vµ h íng dÉn: Bµi 1. Hai « t« cïng khëi hµnh mét lóc tõ hai tØnh A vµ B çch nhau 160 km, ®i ng-îc chiÒu nhau vµ gÆp nhau sau 2 giê. T×m vËn tèc cña mçi « t« biÕt r»ng nÕu « t« ®i tõ A t¨ng vËn tèc thªm 10 km/h sÏ b»ng hai lÇn vËn tèc «t« ®i tõ B. Bµi 2. Mét ngêi ®i xe m¸y ®i tõ A ®Õn B trong mét thêi gian dù ®Þnh. NÕu vËn tèc t¨ng14 km/h th× ®Õn B sím h¬n 2 giê. nÕu vËn tèc gi¶m 2 km/h th× ®Õn B muén 1 giê. TÝnh qu·ng ®êng AB, vËn tèc vµ thêi gian dù ®Þnh.Bµi 3. Hai ca n« cïng khëi hµnh tõ hai bÕn A, B çch nhau 85 km , ®i ngîc chiÒu nhau vµ gÆp nhau sau 1 giê 40 phót.TÝnh vËn tèc riªng cña mçi ca n« biÕt r»ng vËn tèc cña ca n« xu«i dßng lín h¬n vËn tèc cña ca n« ngîc dßng lµ 9 km/h (cã c¶ vËn tèc dßng níc) vµ vËn tèc dßng níc lµ 3 km/h.Bµi 4. Mét ca n« xu«i dßng 108 km vµ ngîc dßng 63 km hÕt 7 giê. Mét lÇn kh¸c ca n« xu«i dßng 81 km vµ ngîc dßng 84 km còng hÕt 7 giê. TÝnh vËn tèc cña dßng níc vµ vËn tèc thËt cña ca n«.Bµi 5. Mét « t« dù ®Þnh ®i tõ A ®Õn B dµi 120 km. §i ®îc nöa qu·ng ®êng xe nghØ 30 phót nªn ®Ó ®Õn n¬i ®óng giê xe ph¶i t¨ng vËn tèc thªm 5 km/h n÷a trªn qu·ng ®êng cßn l¹i. TÝnh thêi gian xe ch¹y.Bµi 6. Hai ngêi ®i ngîc chiÒu vÒ phÝa nhau.M ®i tõ A lóc 6 giê s¸ng vÒ phÝa B. N ®i tõ B lóc 7 giê s¸ng vÒ phÝa A. Hä gÆp nhau lóc 8 giê s¸ng. TÝnh thêi gian mçi ngêi ®i hÕt qu·ng ®êng AB. BiÕt M ®Õn B tríc N ®Õn A lµ 1 giê 20 phót.

HPT:

2 11

1

3

x y

y x

− = − =

Bµi 7. Hai « t« khëi hµnh cïng mét lóc tõ A vµ B ngîc chiÒu vÒ phÝa nhau. TÝnh qu·ng ®êng AB vµ vËn tèc cña mçi xe. BiÕt r»ng sau 2 giê hai xe gÆp nhau t¹i mét ®iÓm çch chÝnh gi÷a qu·ng ®êng AB lµ 10 km vµ xe ®i chËm t¨ng vËn tèc gÊp ®«i th× hai xe gÆp nhau sau 1 giê 24 phót.



HPT: 10

21 ( 2 ) 2( )

5

x y

x y x y

− = + = +

Bµi 8. Hai líp 9A vµ 9B cã tæng céng 70 HS. nÕu chuyÓn 5 HS tõ líp 9A sang líp 9B th× sè HS ë hai líp b»ng nhau. TÝnh sè HS mçi líp.Bµi 9. Hai trêng A, B cã 250 HS líp 9 dù thi vµo líp 10, kÕt qu¶ cã 210 HS ®· tróng tuyÓn. TÝnh riªng tØ lÖ ®ç th× trêng A ®¹t 80%, trêng B ®¹t 90%. Hái mçi trêng cã bao nhiªu HS líp 9 dù thi vµo líp 10.Bµi 10. Hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét bÓ kh«ng cã níc sau 2 giê 55 phót th× ®Çy bÓ. NÕu ch¶y riªng th× vßi thø nhÊt cÇn Ýt thêi gian h¬n vßi thø hai lµ 2 giê. TÝnh thêi gian ®Ó mçi vßi ch¶y riªng th× ®Çy bÓ.Bµi 11. Hai tæ cïng lµm chung mét c«ng viÖc hoµn thµnh sau 15 giê. nÕu tæ mét lµm trong 5 giê, tæ hai lµm trong 3 giê th× ®îc 30% c«ng viÖc. Hái nÕu lµm riªng th× mçi tæ hoµn thµnh trong bao l©u.Bµi 12. Mét thöa ruéng cã chu vi 200m . nÕu t¨ng chiÒu dµi thªm 5m, gi¶m chiÒu réng ®i 5m th× diÖn tÝch gi¶m ®i 75 2m . TÝnh diÖn tÝch thöa ruéng ®ã.Bµi 13. Mét phßng häp cã 360 ghÕ ®îc xÕp thµnh tõng hµng vµ mçi hµng cã sè ghÕ ngåi b»ng nhau. Nhng do sè ngêi ®Õn häp lµ 400 nªn ph¶i kª thªm 1 hµng vµ mçi hµng ph¶i kª thªm 1 ghÕ míi ®ñ chç. TÝnh xem lóc ®Çu phßng häp cã bao nhiªu hµng ghÕ vµ mçi hµng cã bao nhiªu ghÕ.C©u II (2,5®):HN Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph¬ng tr×nh: Hai tæ s¶n xuÊt cïng may mét lo¹i ¸o. NÕu tæ thø nhÊt may trong 3 ngµy, tæ thø hai may trong 5 ngµy th× c¶ hai tæ may ®îc 1310 chiÕc ¸o. BiÕt r»ng trong mét ngµy tæ thø nhÊt may ®îc nhiÒu h¬n tæ thø hai lµ 10 chiÕc ¸o. Hái mçi tæ trong mét ngµy may ®îc bao nhiªu chiÕc ¸o? C©u III: (1,0®) C tho T×m hai sè a, b sao cho 7a + 4b = -4 vµ ®êng th¼ng ax + by = -1 ®i qua ®iÓm A(-2;-1).Bµi 3: (1,5®) hue

Hai m¸y ñi lµm viÖc trong vßng 12 giê th× san lÊp ®îc 1

10 khu ®Êt. Nõu m¸y ñi thø

nhÊt lµm mét m×nh trong 42 giê råi nghØ vµ sau ®ã m¸y ñi thø hai lµm mét m×nh trong 22 giê th× c¶ hai m¸y ñi san lÊp ®îc 25% khu ®Êt ®ã. Hái nÕu lµm mét m×nh th× mçi m¸y ñi san lÊp xong khu ®Êt ®· cho trong bao l©u.Baøi 3: (1,50 ñieåm) KH



Moät maûnh ñaát hình chöõ nhaät coù chieàu daøi hôn chieàu roäng 6(m) vaø

bình phöông ñoä daøi ñöôøng cheùo gaáp 5 laàn chu vi. Xaùc ñònh chieàu daøi

vaø chieàu roäng maûnh ñaát ñoù.

Bài 3: Hà Tĩnh Một đoàn xe vận tải nhận chuyên chở 15 tấn hàng. Khi sắp khởi hành thì 1 xe phải điều đi làm công việc khác, nên mỗi xe còn lại phải chở nhiều hơn 0,5 tấn hàng so với dự định. Hỏi thực tế có bao nhiêu xe tham gia vận chuyển. (biết khối lượng hàng mỗi xe chở như nhau)Câu 3: (2,5 điểm) BÌNH ĐỊNHHai vòi nước cùng chảy vào 1 cái bể không có nước trong 6 giờ thì đầy bể. Nếu để riêng vòi thứ nhất chảy trong 2 giờ, sau đó đóng lại và mở vòi thứ hai chảy tiếp trong 3 giờ nữa thì được 2/5 bể. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu?


Moät ngöôøi ñi xe maùy khôûi haønh töø Hoaøi AÂn ñi Quy Nhôn. Sau ñoù

75 phuùt, treân cuøng tuyeán ñöôøng ñoù moät oâtoâ khôûi haønh töø Quy Nhôn

ñi Hoaøi AÂn vôùi vaän toác lôùn hôn vaän toác cuûa xe maùy laø 20 km/giôø.

Hai xe gaëp nhau taïi Phuø Caùt. Tính vaän toác cuûa moãi xe, giaû thieát raèng

Quy Nhôn caùch Hoaøi AÂn 100 km vaø Quy Nhôn caùch Phuø Caùt 30 km.C©u III: (1,5®). NghÖ AnMét thöa ruéng h×nh ch÷ nhËt cã chiÒu réng ng¾n h¬n chiÒu dµi 45m. TÝnh diÖn tÝch thöa ruéng, biÕt r»ng nÕu chiÒu dµi gi¶m ®i 2 lÇn vµ chiÒu réng t¨ng 3 lÇn th× chu vi thöa ruéng kh«ng thay ®æi.Bµi 4. QUẢNG NINH (2,0 ®iÓm): Gi¶i bµi to¸n sau b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph¬ng tr×nh: Mét ca n« chuyÓn ®éng xu«i dßng tõ bÕn A ®Õn bÕn B sau ®ã chuyÓn ®éng ngîc dßng tõ B vÒ A hÕt tæng thêi gian lµ 5 giê . BiÕt qu·ng ®êng s«ng tõ A ®Õn B dµi 60 Km vµ vËn tèc dßng níc lµ 5 Km/h . TÝnh vËn tèc thùc cña ca n« (( VËn tèc cña ca n« khi níc ®øng yªn )Câu 7 VĨNH PHÚC (1,5 điểm) Một người đi bộ từ A đến B với vận tốc 4 km/h, rồi đi ô tô từ B đến C với vận

tốc 40 km/h. Lúc về anh ta đi xe đạp trên cả quãng đường CA với vận tốc 16 km/h. Biết

rằng quãng đường AB ngắn hơn quãng đường BC là 24 km, và thời gian lúc đi bằng thời

gian lúc về. Tính quãng đường AC.



Câu 2 : PHÚ YÊN ( 2.0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương

trình

Một đội xe cần phải chuyên chở 150 tấn hàng . Hôm làm việc có 5 xe được điều đi làm

nhiệm vụ khác nên mỗi xe còn lại phải chở thêm 5 tấn . Hỏi đội xe ban đầu có bao nhiêu

chiếc ? ( biết rằng mỗi xe chở số hàng như nhau )

Bµi 3: (1,0 ®iÓm) hƯng yªnMét ®éi xe cÇn chë 480 tÊn hµng. Khi s¾p khëi hµnh ®éi ®îc ®iÒu thªm 3

xe n÷a nªn mçi xe chë Ýt h¬n dù ®Þnh 8 tÊn. Hái lóc ®Çu ®éi xe cã bao nhiªu chiÕc? BiÕt r»ng c¸c xe chë nh nhau.Câu 4 (1,5 điểm) QUẢNG TRỊ

Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích là 720m2, nếu tăng chiều dài thêm 6m và giảm chiều rộng đi 4m thì diện tích mảnh vườn không đổi. Tính kích thước (chiều dài và chiều rộng) của mảnh vườn

2) H¶i d Ư¬ng Hai « t« cïng xuÊt ph¸t tõ A ®Õn B, « t« thø nhÊt ch¹y nhanh h¬n « t« thø hai mçi giê 10 km nªn ®Õn B sím h¬n « t« thø hai 1 giê. TÝnh vËn tèc hai xe « t«, biÕt qu·ng ®êng AB lµ 300 km.

b) H¶I D¬NG CHÝNH THØC Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 2 cm và diện tích của nó là 15 cm2. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó.

Bµi 3 Hµ Giang ( 2,0 ®iÓm): Mét ngêi ®i xe ®¹p ph¶i ®i trong qu·ng ®êng dµi 150 km víi vËn tèc kh«ng ®æi trong mét thêi gian ®· ®Þnh. NÕu mçi giê ®i nhanh h¬n 5km th× ngêi Êy sÏ ®Õn sím h¬n thêi gian dù ®Þnh 2,5 giê. TÝnh thêi gian dù ®Þnh ®i cña ngêi Êy.Câu 3: (2đ) Long AnHai người đi xe đạp cùng xuất phát một lúc từ A đến B với vận tốc hơn kém nhau 3km/h. Nên đến B sớm ,mộn hơn kém nhau 30 phút. Tính vận tốc của mỗi người .Biết quàng đường AB dài 30 km.C©u 4: (1,5 ®iÓm) B¾c Ninh

Hai gi¸ s¸ch cã chøa 450 cuèn. NÕu chuyÓn 50 cuèn tõ gi¸ thø nhÊt sang gi¸

thø hai th× sè s¸ch ë gi¸ thø hai sÏ b»ng 5

4 sè s¸ch ë gi¸ thø nhÊt. TÝnh sè s¸ch

lóc ®Çu trong mçi gi¸ s¸ch.C©u IV(1,5 ®iÓm) B¾c giang Mét «t« kh¸ch vµ mét «t« t¶i cïng xuÊt ph¸t tõ ®Þa ®iÓm A ®i ®Õn ®Þa ®iÓm B ®êng dµi 180 km do vËn tèc cña «t« kh¸ch lín h¬n «t« t¶i 10 km/h nªn «t« kh¸ch ®Õn B tríc «t« t¶i 36 phót.TÝnh vËn tèc cña mçi «t«. BiÕt r»ng trong qu¸ tr×nh ®i tõ A ®Õn B vËn tèc cña mçi «t« kh«ng ®æi.Bài 3 : (1,5 điểm) ĐĂK LĂK

Một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 8m . Nếu tăng một cạnh góc vuông của tam giác lên 2 lần và giảm cạnh góc vuông còn lại xuống 3 lần thì được một



tam giác vuông mới có diện tích là 51m2 . Tính độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông ban đầu.

Bµi 2 : (2,0 ®iÓm) B×NH D¦¥NGMét h×nh ch÷ nhËt cã chu vi lµ 160m vµ diÖn tÝch lµ 1500m2. TÝnh chiÒu

dµi vµ chiÒu réng h×nh ch÷ nhËt Êy .

Chñ ®Ò V Ph¬ng tr×nh bËc hai+hÖ thøc vi-Ðt

Tãm t¾t lÝ thuyÕt:

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ax2 + bx + c = 0 (a ≠0) (1)*Trong trường hợp giải và biện luận, cần chú ý khi a = 0 phương trình trở thành bậc nhất một ẩn (§5).A.KIẾN THỨC CƠ BẢN1.Các dạng và cách giải

Dạng 1: c = 0 khi đó

( ) ( )2

x 01 ax bx 0 x ax+b 0 b

xa

=⇔ + = ⇔ = ⇔ = −

Dạng 2: b = 0 khi đó

( ) 2 2 c1 ax c 0 x

a

−⇔ + = ⇔ =

-Nếu c

0a

− ≥ thì c

xa

−= ± .

-Nếu c

0a

− < thì phương trình vô nghiệm.

Dạng 3: Tổng quát CÔNG THỨC NGHIỆM TỔNG QUÁT CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN

2b 4ac∆= − 2' b ' ac∆= −

0∆> : phương trình có 2 nghiệm phân biệt

1 2

b bx ; x

2a 2a

− + ∆ − − ∆= =

' 0∆ > : phương trình có 2 nghiệm phân biệt

1 2

b' ' b ' 'x ; x

a a

− + ∆ − − ∆= =

0∆= : phương trình có nghiệm kép

1 2

bx x

2a

−= =

' 0∆ = : phương trình có nghiệm kép

1 2

b'x x

a

−= =

0∆< : phương trình vô nghiệm ' 0∆ < : phương trình vô nghiệm

Dạng 4: Các phương trình đưa được về phương trình bậc hai



Cần chú ý dạng trùng phương, phương trình vô tỉ và dạng đặt ẩn phụ, còn dạng chứa ẩn ở mẫu và dạng tích đã nói ở §5.3.Hệ thức Viet và ứng dụng

-Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì:

1 2

1 2

bS x x

ac

P x xa

= + = − = =

-Nếu có hai số u và v sao cho u v S

uv P

+ = =

( )2S 4P≥ thì u, v là hai nghiệm của

phương trình x2 – Sx + P = 0.

-Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x1 = 1; x2 = c

a.

-Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x1 = -1; x2 = c

a− .

4.Điều kiện có nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)-(1) có 2 nghiệm 0∆≥ ; có 2 nghiệm phân biệt 0∆> .

-(1) có 2 nghiệm cùng dấu 0

P 0

∆ ≥ >

.

-(1) có 2 nghiệm dương

0

P 0

S 0

∆ ≥ > >

-(1) có 2 nghiệm âm

0

P 0

S 0

∆ ≥ > <

-(1) có 2 nghiệm trái dấu ac < 0 hoặc P < 0.5.Tìm điều kiện của tham số để 2 nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện nào đó.

2 21 2 1 2

1 2

2 2 3 31 2 1 2

1 1a) x x ; b) x x m; c) n

x x

d) x x h; e) x x t; ...

α +β = γ + = + =

+ ≥ + =

Trong những trường hợp này cần sử dụng hệ thức Viet và phương pháp giải hệ phương trình.

§12.CỰC TRỊA.KIẾN THỨC CƠ BẢN1.Định nghĩa



Tìm giá trị lớn nhất (max) hay giá trị nhỏ nhất (min) của biểu thức là xác định giá trị của biến để biểu thức đó đạt giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất.

-Giá trị lớn nhất của biểu thức A: maxA.Để tìm maxA cần chỉ ra A M≤ , trong đó M là hằng số. Khi đó maxA = M.-Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A: minA.Để tìm minA cần chỉ ra A m≥ , trong đó m là hằng số. Khi đó minA = m.

2.Các dạng toán thường gặp2.1. Biểu thức A có dạng đa thức bậc chẵn (thường là bậc hai):Nếu A = B2 + m (đa thức 1 biến), A = B2 + C2 + m (đa thức hai biến), … thì A có giá

trị nhỏ nhất minA = m.Nếu A = - B2 + M (đa thức 1 biến), A = - B2 – C2 + M (đa thức hai biến), … thì A có

giá trị lớn nhất maxA = M.2.2. Biểu thức A có dạng phân thức:

2.2.1. Phân thức m

AB

= , trong đó m là hằng số, B là đa thức.

-Nếu mB > 0 thì A lớn nhất khi B nhỏ nhất; A nhỏ nhất khi B lớn nhất.-Nếu mB < 0 (giả sử m < 0) thì A lớn nhất khi B lớn nhất; A nhỏ nhất khi B nhỏ

nhất.

2.2.2. Phân thức A = B

C, trong đó B có bậc cao hơn hoặc bằng bậc của C.

Khi đó ta dùng phương pháp tách ra giá trị nguyên để tách thành m D

A n ; A nC C

= + = + trong đó m, n là hằng số; D là đa thức có bậc nhỏ hơn bậc C.

2.2.3. Phân thức A = B

C, trong đó C có bậc cao hơn bậc của B.

Cần chú ý tính chất: nếu A có giá trị lớn nhất thì 1

A có giá trị nhỏ nhất và ngược lại.

2.3. Biểu thức A có chứa dấu giá trị tuyệt đối, chứa căn thức bậc hai:-Chia khoảng giá trị để xét.-Đặt ẩn phụ đưa về bậc hai.-Sử dụng các tính chất của giá trị tyệt đối:

a b a b+ ≥ + ; a b a b a,b− ≥ − ∀ . Dấu “=” xảy ra khi ab 0≥ .

-Sử dụng một số bất đẳng thức quen thuộc.

Bất đẳng thức Côsi: ( ) n1 2 n 1 2 n 1 2 n

1a ,a ,...,a 0 a a ... a a a ...a

n≥ ⇒ + + + ≥ dấu

“=” xảy ra khi a1 = a2 = …= an.



Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski: 1 2 n 1 2 na ,a ,...,a ;b ,b ,...,b∀ có

( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 21 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n na a ... a b b ... b a b a b ... a b+ + + + + + ≥ + + + dấu “=” xảy ra khi

1 2 n

1 2 n

a a a...

b b b= = = .

Bµi tËp 1 :Gi¶i çc ph¬ng tr×nh bËc hai sau

TT Çc ph¬ng tr×nh cÇn gi¶i theo ∆ TT Çc ph¬ng tr×nh cÇn gi¶i theo ∆ '1. 6 x2 - 25x - 25 = 0 1. x2 - 4x + 2 = 02. 6x2 - 5x + 1 = 0 2. 9x2 - 6x + 1 = 03. 7x2 - 13x + 2 = 0 3. -3x2 + 2x + 8 = 04. 3x2 + 5x + 60 = 0 4. x2 - 6x + 5 = 05. 2x2 + 5x + 1 = 0 5. 3x2 - 6x + 5 = 06. 5x2 - x + 2 = 0 6. 3x2 - 12x + 1 = 07. x2 - 3x -7 = 0 7. 5x2 - 6x - 1 = 08. x2 - 3 x - 10 = 0 8. 3x2 + 14x + 8 = 09. 4x2 - 5x - 9 = 0 9. -7x2 + 6x = - 610. 2x2 - x - 21 = 0 1

0.x2 - 12x + 32 = 0

11. 6x2 + 13x - 5 = 0 11.

x2 - 6x + 8 = 0

12. 56x2 + 9x - 2 = 0 12.

9x2 - 38x - 35 = 0

13. 10x2 + 17x + 3 = 0 13.

x2 - 2 3 x + 2 = 0

14. 7x2 + 5x - 3 = 0 14.

4 2 x2 - 6x - 2 = 0

15. x2 + 17x + 3 = 0 15.

2x2 - 2 2 x + 1 = 0

Bµi tËp 2 :BiÕn ®æi çc ph¬ng tr×nh sau thµnh ph¬ng tr×nh bËc hai råi gi¶i

a) 10x2 + 17x + 3 = 2(2x - 1) - 15b) x2 + 7x - 3 = x(x - 1) - 1c) 2x2 - 5x - 3 = (x+ 1)(x - 1) + 3



d) 5x2 - x - 3 = 2x(x - 1) - 1 + x2 e) -6x2 + x - 3 = -3x(x - 1) - 11f) - 4x2 + x(x - 1) - 3 = x(x +3) + 5g) x2 - x - 3(2x + 3) = - x(x - 2) - 1h) -x2 - 4x - 3(2x - 7) = - 2x(x + 2) - 7i) 8x2 - x - 3x(2x - 3) = - x(x - 2) k) 3(2x + 3) = - x(x - 2) - 1

C©u III (1,0®): HN Cho ph¬ng tr×nh (Èn x): x2 – 2(m+1)x + m2 +2 = 0

1/ Gi¶i ph¬ng tr×nh ®· cho khi m = 1.2/ T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm ph©n biÖt x1, x2 tho¶ m·n hÖ thøc x1

2 + x22 = 10.

Bài 3: (2,0 điểm) AN GIANG Cho phương trình x2 +2 (m+3) x +m2 +3 = 0

1/ Tìm m để phương trình có nghiệm kép ? Hãy tính nghiệm kép đó.

2/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa x1 – x2 = 2 ?

Bài 4 : (1,5 điểm) AN GIANG Giải các phương trình sau :

1/ 1 3

22 6x x

+ =− − 2/ x4 + 3x2 – 4 = 0

2. THÁI BÌNH Giải phương trình: 4

x 3x 2

+ =+ .

C©u II: (2,0®) C tho Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh vµ çc ph¬ng tr×nh sau:

1. 6 - 3x ≥ -9 2. 2

3 x +1 = x - 5

3. 36x4 - 97x2 + 36 = 0 4. 22 3 2

32 1

x x

x

− − =+

Bµi 1: (2,25®) hue Kh«ng sö dông m¸y tÝnh bá tói, h·y gi¶i çc ph¬ng tr×nh sau:

a) 5x2 + 13x - 6=0 b) 4x4 - 7x2 - 2 = 0 c) 3 4 17

5 2 11

x y

x y

− = + =

C©u I: HCM Gi¶i çc ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh sau: a) 8x2 - 2x - 1 = 0

b) 2 3 3

5 6 12

x y

x y

+ = − =

c) x4 - 2x2 - 3 = 0d) 3x2 - 2 6 x + 2 = 0



Bài 2: (2,0 điểm) BÌNH ĐỊNHCho phương trình:

(1)a. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt.b. Gọi là 2 nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

c. Tìm hệ thức giữa và không phụ thuộc vào m.Bµi 2 nam ®Þnh (1,5 ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh: x2 + (3 - m)x + 2(m - 5) = 0 (1), víi m lµ tham sè.

1) Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña m ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã nghiÖm x1 = 2.2) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm x2 = 1 + 2 2

C©uII: (2,5®). NghÖ An Cho ph¬ng tr×nh bËc hai, víi tham sè m: 2x2 – (m+3)x + m = 0 (1).

1. Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) khi m = 2.2. T×m c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm x1, x2

tho¶ m·n: x1 + x2 = 5

2 x1x2.

3. Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1). T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P = 1 2x x−

Bài 2 ( 2 điểm) HẢI PHÒNG

Cho phương trình x2 + mx + n = 0 ( 1)1.Giải phương trình (1) khi m =3 và n = 2

2.Xác định m ,n biết phương trình (1) có hai nghiệm x1.x2 thoả mãn 1 2

3 31 2

x x 3

x x 9

− =

− =

Bài 3 (1,5 điểm THÁI BÌNH)Cho phương trình: 2 22( 1) 2 0x m x m- + + + = (ẩn x)

1) Giải phương trình đã cho với m =1.

2) Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn hệ

thức: 2 21 2 10x x+ = .


Cho hệ phương trình: ( )m 1 x y 2

mx y m 1

− + =

+ = + (m là tham số)

1. Giải hệ phương trình khi m 2= ;2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x ; y ) thoả

mãn: 2 x + y ≤ 3 .Câu 5( 2,5 điểm). VĨNH PHÚC

Cho hệ phương trình 2 1

2 4 3

mx y

x y

+ = − =

( m là tham số có giá trị thực) (1)



a, Giải hệ (1) với m = 1

b, Tìm tất cả các giá trị của m để hệ (1) có nghiệm duy nhất

Bài 1 (1,5 điểm) THANH HÓACho phương trình: x2 – 4x + n = 0 (1) với n là tham số.1.Giải phương trình (1) khi n = 3.2. Tìm n để phương trình (1) có nghiệm.

Bài 2 (1,5 điểm) THANH HÓA

Giải hệ phương trình: 2 5

2 7

x y

x y

+ = + =

Bài 2. ĐÀ NẲNG ( 2 điểm ) Cho hệ phương trình: mx y 1

x y334

2 3

− = − =

a) Giải hệ phương trình khi cho m = 1.b) Tìm giá trị của m để phương trình vô nghiệm.

Câu 3 : PHÚ YÊN ( 2,5 điểm ) Cho phương trình x2 – 4x – m2 + 6m – 5 = 0 với m là tham

số

a) Giải phương trình với m = 2

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm

c) Giả sử phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 , hãy tìm giá trị bé nhất của biểu thức

3 31 2P x x= +

Bài 4 (2 điểm). QUẢNG TRỊ Cho phương trình bậc hai ẩn số x:

x2 - 2(m + 1)x + m - 4 = 0. (1) a/ Chứng minh phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. b/ Gọi x1, x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1).

Tìm m để 3( x1 + x2 ) = 5x1x2.Câu 3 (1,5 điểm). QUẢNG TRỊ Cho phương trình bậc hai: x2 - 2(m-1)x + 2m – 3 = 0. (1)

a) Chứng minh rằng phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m.b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.

2) H¶i d Ư¬ng Cho ph¬ng tr×nh (Èn x): 2 2x 2(m 1)x m 1 0− + + − = . T×m gi¸

trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm 1 2x ,x tháa m·n 2 21 2 1 2x x x x 8+ = + .

C©u IV: HCM Cho ph¬ng tr×nh x2 - (5m - 1)x + 6m2 - 2m = 0 (m lµ tham sè)a) Chøng minh ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m.b) Gäi x1, x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. T×m m ®Ó x1

2 + x22 =1.



Bài 3 (1.0 điểm ) QUẢNG NAMCho phương trình x2 – 2mx + m 2 – m + 3 có hai nghiệm x1 ; x 2 (với m là tham

số ) . Tìm m để biểu thức x12

+ x22 đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 3: (2,0 điểm) H¶i D¬ng chÝnh thøc Cho phương trình: x2- 2x + (m – 3) = 0 (ẩn x)

a) Giải phương trình với m = 3.b) Tính giá trị của m, biết phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và

thỏa mãn điều kiện: x12 – 2x2 + x1x2 = - 12

C©u 5: (1,5 ®iÓm) B¾c NinhCho ph¬ng tr×nh: (m+1)x2 -2(m - 1)x + m - 2 = 0 (1) (m lµ tham sè)

a/ Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) víi m = 3.

b/ T×m çc gi̧ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1, x2

tháa m·n 1 2

1 1 3

2x x+ =

C©u III: (1,0 ®iÓm) B¾c giang LËp ph¬ng tr×nh bËc hai nhËn hai sè 3 vµ 4 lµ nghiÖm?Bµi 3 : (1,5 ®iÓm) B×NH D¦¥NG Cho ph¬ng tr×nh x2 + 2(m+1)x + m2 + 4m + 3 = 0 (víi x lµ Èn sè, m lµ tham sè )

a) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt .b) §Æt A = x1.x2 – 2(x1 + x2) víi x1, x2 lµ hai nghiÖm ph©n biÖt cña ph¬ng

tr×nh trªn. Chøng minh : A = m2 + 8m + 7c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A vµ gi¸ trÞ cña m t¬ng øng .

Bµi 3 (1,5 ®iÓm): qu¶ng b×nhCho ph¬ng tr×nh: (n + 1)x2 - 2(n - 1)x + n - 3 = 0 (1), víi n lµ tham sè.a) T×m n ®Ó ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm x = 3.b) Chøng minh r»ng, víi mäi n ≠ - 1 th× ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm

ph©n biÖt.

Bµi tËp 3: Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2(3m + 2)x + 2m2 - 3m + 5 = 0a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m lÇn lît b»ng çc gi¸ trÞ:

m = 2; m = - 2; m = 5; m = -5; m = 3; m = 7; m = - 4b) T×m çc gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x lÇn lît

b»ngx = 3; x = -3; x = 2; x = 5; x = 6; x = -1

c) T×m çc gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm kÐp.

Bµi tËp 4: Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2(m - 2)x + m2 - 3m + 5 = 0a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m lÇn lît b»ng çc gi¸ trÞ:



m = -2; m = 3; m = 7; m = - 4; m = 2; m = -7; m = - 8b) T×m çc gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x lÇn lît

b»ngx = 1; x = - 4; x = -2; x = 6; x = -7; x = -3

c) T×m çc gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm kÐp.Bµi tËp 5 :

Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2(m - 2)x + 2m2 + 3m = 0a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m lÇn lît b»ng çc gi¸ trÞ:

m = -2; m = 3; m = 7; m = - 4; m = 2; m = -7; m = - 8b) T×m çc gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x lÇn lît

b»ngx = 1; x = - 4; x = -2; x = 6; x = -7; x = -3

c) T×m çc gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm kÐp.

Bµi tËp 6 : Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2(m + 3)x + m2 + 3 = 0a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = -1vµ m = 3b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = 4c) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt d) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tho· m·n ®iÒu kiÖn x1

= x2

Bµi tËp 7 : Cho ph¬ng tr×nh : ( m + 1) x2 + 4mx + 4m - 1 = 0a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = -2 b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖtc) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖmd) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tho· m·n ®iÒu kiÖn x1 = 2x2

Bµi tËp 8 : Cho ph¬ng tr×nh : 2x2 - 6x + (m +7) = 0a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = -3 b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = - 4c) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖtd) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖme) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tho· m·n ®iÒu kiÖn x1 = - 2x2

Bµi tËp 9 : Cho ph¬ng tr×nh : x2 - 2(m - 1 ) x + m + 1 = 0a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = 4 b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖtc) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖmd) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tho· m·n ®iÒu kiÖn x1 = 3x2



Bµi tËp 10 :BiÕt r»ng ph¬ng tr×nh : x2 - 2(m + 1 )x + m2 + 5m - 2 = 0 ( Víi m lµ tham

sè ) cã mét nghiÖm x = 1. T×m nghiÖm cßn l¹i

Bµi tËp 11 :BiÕt r»ng ph¬ng tr×nh : x2 - 2(3m + 1 )x + 2m2 - 2m - 5 = 0 ( Víi m lµ tham

sè ) cã mét nghiÖm x = -1 . T×m nghiÖm cßn l¹i

Bµi tËp 12 :BiÕt r»ng ph¬ng tr×nh : x2 - (6m + 1 )x - 3m2 + 7 m - 2 = 0 ( Víi m lµ tham

sè ) cã mét nghiÖm x = 1. T×m nghiÖm cßn l¹i

Bµi tËp 13 :BiÕt r»ng ph¬ng tr×nh : x2 - 2(m + 1 )x + m2 - 3m + 3 = 0 ( Víi m lµ tham

sè ) cã mét nghiÖm x = -1. T×m nghiÖm cßn l¹i.

Bµi tËp 14 : Cho ph¬ng tr×nh: x2 - mx + 2m - 3 = 0 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = - 5b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐpc) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊud)T×m hÖ thøc gi÷a hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh kh«ng phô thuéc vµo m e) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt

Bµi tËp 15 : Cho ph¬ng tr×nh bËc hai(m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0

a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = 3b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = - 2c) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐpd) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo me) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖtf) Khi ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = -1 t×m gi¸ trÞ cña m vµ t×m nghiÖm

cßn l¹i

Bµi tËp 16 :Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2(m- 1)x + m2 - 3m = 0 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = - 2



b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = - 2. T×m nghiÖm cßn l¹ic) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖtd) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 vµ x2 th¶o m·n: x1

2 + x22 = 8

e) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = x12 + x2

2

Bµi tËp 17 : Cho ph¬ng tr×nh: mx2 - (m + 3)x + 2m + 1 = 0 a) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐpb) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖtc) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hiÖu hai nghiÖm b»ng 2d) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1vµ x2 kh«ng phô thuéc m

Bµi tËp 18 : Cho ph¬ng tr×nh: x2 - (2a- 1)x - 4a - 3 = 0 a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña ab) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo ac) T×m gi¸ trÞ nhá nhËt cña biÓu thøc A = x1

2 + x22

Bµi tËp 19 : Cho ph¬ng tr×nh: x2 - (2m- 6)x + m -13 = 0a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖtb) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = x1. x2 - x1

2 - x22

GI ẢI − + =16x + 16 9x + 9 4x + 4 16 - x + 1

Bµi tËp 20 : Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2(m+4)x + m2 - 8 = 0a) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖtb) T×m m ®Ó A = x1

2 + x22 - x1 - x2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt

c) T×m m ®Ó B = x1 + x2 - 3x1x2 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊtd) T×m m ®Ó C = x1

2 + x22 - x1x2

Bµi tËp 21 : Cho ph¬ng tr×nh: ( m - 1) x2 + 2mx + m + 1 = 0a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = 4b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊuc) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 vµ x2 tho¶ m·n: A = x1

2 x2 + x22x1

d) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo m

Bµi tËp 22 : T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó c¸c nghiÖm x1, x2 cña ph¬ng tr×nh

mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = 0 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 122

21 =+ xx

Bµi tËp 23 :



Cho ph¬ng tr×nh x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = 0. T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh

cã 2 nghiÖm x1, x2 ph©n biÖt tho¶ m·n 5

11 21

21

xx

xx

+=+

Bµi tËp 24 :

Cho ph¬ng tr×nh: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m lµ tham sè).

a) X¸c ®Þnh m ®Ó çc nghiÖm x1; x2 cña ph¬ng tr×nh tho¶ m·n

x1 + 4x2 = 3

b) T×m mét hÖ thøc gi÷a x1; x2 mµ kh«ng phô thuéc vµo m

Bµi tËp 25 : Cho ph¬ng tr×nh x2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = 0 (1)

T×m gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ph¬ng tr×nh cã (1) cã nghiÖm x1 = 2x2.

Bµi tËp 26 : Cho ph¬ng tr×nh mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0

a) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm.

b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu. Khi ®ã trong hai nghiÖm,

nghiÖm nµo cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi lín h¬n?

c) X¸c ®Þnh m ®Ó çc nghiÖm x1; x2 cña ph¬ng tr×nh tho¶ m·n: x1 + 4x2 = 3.

d) T×m mét hÖ thøc gi÷a x1, x2 mµ kh«ng phô thuéc vµo m.

Bµi tËp 27 :

a) Víi gi¸ trÞ nµo m th× hai ph¬ng tr×nh sau cã Ýt nhËt mét nghiÖm chung.

T×m nghiÖm chung ®ã?

x2 - (m + 4)x + m + 5 = 0 (1)

x2 - (m + 2)x + m + 1 = 0 (2)

b) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) lµ nghiÖm cña ph-

¬ng tr×nh (2) vµ ngîc l¹i.

Bµi tËp 28 :Gäi x1, x2 lµ çc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh:

x2 - (2m - 1)x + m – 2 = 0



T×m m ®Ó 22

21 xx + cã gi¸ trÞ nhá nhÊt

Bµi tËp 29 : Gäi x1; x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh:

2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: A =x1x2 - 2x1 - 2x2

Bµi tËp 30: Gäi x1, x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh.

x2 + 2(m - 2)x - 2m + 7 = 0

T×m m ®Ó 22

21 xx + cã gi¸ trÞ nhá nhÊt.

Bµi tËp 31: Cho ph¬ng tr×nh: x2 - m + (m - 2)2 = 0

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc

A = x1x2 + 2x1 + 2x2

Bµi tËp 32: Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m lµ tham sè). T×m m

sao cho 2 nghiÖm x1; x2 cña ph¬ng tr×nh tho¶ m·n 10x1x2 +22

21 xx + ®¹t gi¸ trÞ nhá

nhÊt. T×m gi¸ trÞ ®ã.



Chñ ®Ò VI HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN

A.KIẾN THỨC CƠ BẢN1.Định lý Pitago

ABC∆ vuông tại A 2 2 2AB AC BC⇔ + =

2.Hệ thức lượng trong tam giác vuông

BH

C

A

1) AB2 = BH.BC; AC2 = CH.BC2) AB.AC = AH.BC3) AH2 = BH.HC

4) 2 2 2

1 1 1

AH AB AC= +

Kết quả:

-Với tam giác đều cạnh là a, ta có: 2a 3 a 3

h ; S2 4

= =

3.Tỉ số lượng giác của góc nhọnĐặt ACB ; ABC∠ =α∠ =β khi đó:

AB AH AC HC AB AH AC HCsin ; cos ; tg ; cot g

BC AC BC AC AC HC AB AHα= = α= = α= = α= =

b asin B acosC ctgB ccot gC

c acosB asinC bctgB btgC

= = = == = = =

Kết quả suy ra:1) sin cos ; cos sin ; tg cotg ; cotg tgα= β α= β α= β α= β

sin cos2) 0 sin 1; 0 cos <1; tg ; cot g

cos sin

α α< α< < α α= α=α α



2 22 2

1 13) sin cos 1; tg .cot g 1; 1 cot g ; 1 tg

sin cosα+ α= α α= = + α = + α

α α

4) Cho ABC∆ nhọn, BC = a; AC = b; AB = c khi đó:2 2 2

ABC

1a b c 2bc.cosA; S bcsin A

2∆= + − =

B.MỘT SỐ VÍ DỤVD1.Cho tam giác ABC có AB>AC, kẻ trung tuyến AM và đường cao AH. Chứng minh:

22 2 2

2 2

BCa) AB AC 2AM

2

b) AB AC 2BC.MH

+ = +

− =

VD2.Cho hình thang ABCD (AB//CD có AB = 3cm; CD = 14cm; AC = 15cm; BD = 8cm.

a) Chứng minh AC vuông góc với BD.b) Tính diện tích hình thang.

VD3.Tính diện tích hình bình hành ABCD biết AD = 12; DC = 15; ∠ ADC=700.C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN1.Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến BD. Gọi I là hình chiếu của C trên BD, H là hình chiếu của I trên AC.

Chứng minh: AH = 3HI.2.Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh bằng a, vẽ một đường thẳng cắt BC ở E và cắt đường thẳng DC ở F.

Chứng minh: 2 2 2

1 1 1

AE AF a+ =

3.Cho tam giác cân ABC có đáy BC = a; ∠ BAC = 2 α ; 045α< . Kẻ các đường cao AE, BF.

a) Tính các cạnh của tam giác BFC theo a và tỉ số lượng giác của góc α .b) Tính theo a, theo các tỉ số lượng giác của góc α và 2α , các cạnh của tam giác

ABF, BFC.c) Từ các kết quả trên, chứng minh các đẳng thức sau:

2 22

2tg1) sin 2 2sin cos ; 2) cos2 =cos sin ; 3) tg2

1 tg

αα= α α α α− α α=− α

------------------------------------------------------------------

Chñ ®Ò VII §6.CHỨNG MINH

BẰNG NHAU – SONG SONG, VUÔNG GÓC - ĐỒNG QUY, THẲNG HÀNG

A.KIẾN THỨC CƠ BẢN1.Tam giác bằng nhau



a) Khái niệm: A A'; B B'; C C'

ABC A'B'C' khiAB A'B'; BC B'C'; AC A'C'

∠ =∠ ∠ =∠ ∠ =∠∆ =∆ = = =

b) Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác: c.c.c; c.g.c; g.c.g.c) Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông: hai cạnh góc vuông; cạnh

huyền và một cạnh góc vuông; cạnh huyền và một góc nhọn.d) Hệ quả: Hai tam giác bằng nhau thì các đường cao; các đường phân giác; các

đường trung tuyến tương ứng bằng nhau.2.Chứng minh hai góc bằng nhau

-Dùng hai tam giác bằng nhau hoặc hai tam giác đồng dạng, hai góc của tam giác cân, đều; hai góc của hình thang cân, hình bình hành, …

-Dùng quan hệ giữa các góc trung gian với các góc cần chứng minh.-Dùng quan hệ các góc tạo bởi các đường thẳng song song, đối đỉnh.-Dùng mối quan hệ của các góc với đường tròn.(Chứng minh 2 góc nội tiếp cùng

chắn một cung hoặc hai cung bằng nhau của một đường tròn, …)3.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

-Dùng đoạn thẳng trung gian.-Dùng hai tam giác bằng nhau.-Ứng dụng tính chất đặc biệt của tam giác cân, tam giác đều, trung tuyến ứng với

cạnh huyền của tam giác vuông, hình thang cân, hình chữ nhật, …-Sử dụng các yếu tố của đường tròn: hai dây cung của hai cung bằng nhau, hai

đường kính của một đường tròn, …-Dùng tính chất đường trung bình của tam giác, hình thang, …

4.Chứng minh hai đường thẳng, hai đoạn thẳng song song-Dùng mối quan hệ giữa các góc: So le bằng nhau, đồng vị bằng nhau, trong cùng

phía bù nhau, …-Dùng mối quan hệ cùng song song, vuông góc với đường thẳng thứ ba.-Áp dụng định lý đảo của định lý Talet.-Áp dụng tính chất của các tứ giác đặc biệt, đường trung bình của tam giác.-Dùng tính chất hai dây chắn giữa hai cung bằng nhau của một đường tròn.

5.Chứng minh hai đường thẳng vuông góc-Chứng minh chúng song song với hai đường vuông góc khác.-Dùng tính chất: đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song

thì vuông góc với đường thẳng còn lại.-Dùng tính chất của đường cao và cạnh đối diện trong một tam giác.-Đường kính đi qua trung điểm của dây.-Phân giác của hai góc kề bù nhau.

6.Chứng minh ba điểm thẳng hàng-Dùng tiên đề Ơclit: Nếu AB//d; BC//d thì A, B, C thẳng hàng.-Áp dụng tính chất các điểm đặc biệt trong tam giác: trọng tâm, trực tâm, tâm đường

tròn ngoại tiếp, …



-Chứng minh 2 tia tạo bởi ba điểm tạo thành góc bẹt: Nếu góc ABC bằng 1800 thì A, B, C thẳng hàng.

-Áp dụng tính chất: Hai góc bằng nhau có hai cạnh nằm trên một đường thẳng và hai cạnh kia nằm trên hai nửa mặt phẳng với bờ là đường thẳng trên.

-Chứng minh AC là đường kính của đường tròn tâm B.7.Chứng minh các đường thẳng đồng quy

-Áp dụng tính chất các đường đồng quy trong tam giác.-Chứng minh các đường thẳng cùng đi qua một điểm: Ta chỉ ra hai đường thẳng cắt

nhau tại một điểm và chứng minh đường thẳng còn lại đi qua điểm đó.-Dùng định lý đảo của định lý Talet

***********************************************Chñ ®Ò VII

§8.CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNGHỆ THỨC HÌNH HỌC

A.KIẾN THỨC CƠ BẢN1.Tam giác đồng dạng

-Khái niệm: A A'; B B'; C C'

ABC A'B'C' khi AB AC BC

A'B' A 'C' B'C'

∠ =∠ ∠ =∠ ∠ =∠∆ ∆ = =

:

-Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác: c – c – c; c – g – c; g – g.-Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông: góc nhọn; hai cạnh góc vuông;

cạnh huyền - cạnh góc vuông…*Tính chất: Hai tam giác đồng dạng thì tỉ số hai đường cao, hai đường phân giác, hai

đường trung tuyến tương ứng, hai chu vi bằng tỉ số đồng dạng; tỉ số hai diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng.2.Phương pháp chứng minh hệ thức hình học

-Dùng định lí Talet, tính chất đường phân giác, tam giác đồng dạng, các hệ thức lượng trong tam giác vuông, …

Giả sử cần chứng minh MA.MB = MC.MD-Chứng minh hai tam giác MAC và MDB đồng dạng hoặc hai tam giác MAD và

MCB.-Trong trường hợp 5 điểm đó cùng nằm trên một đường thẳng thì cần chứng minh

các tích trên cùng bằng tích thứ ba.Nếu cần chứng minh MT2 = MA.MB thì chứng minh hai tam giác MTA và MBT

đồng dạng hoặc so sánh với tích thứ ba.Ngoài ra cần chú ý đến việc sử dụng các hệ thức trong tam giác vuông; phương tích

của một điểm với đường tròn.***************************************************

Chñ ®Ò §10.CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾPA.KIẾN THỨC CƠ BẢNPhương pháp chứng minh



-Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng cách đều một điểm.-Chứng minh tứ giác có hai góc đối diện bù nhau.-Chứng minh hai đỉnh cùng nhìn đoạn thẳng tạo bởi hai điểm còn lại hai góc bằng

nhau.-Chứng minh tổng của góc ngoài tại một đỉnh với góc trong đối diện bù nhau.-Nếu MA.MB = MC.MD hoặc NA.ND = NC.NB thì tứ giác ABCD nột tiếp. (Trong

đó M AB CD; N AD BC= ∩ = ∩ )-Nếu PA.PC = PB.PD thì tứ giác ABCD nội tiếp. (Trong đó P AC BD= ∩ )-Chứng minh tứ giác đó là hình thang cân; hình chữ nhật; hình vuông; …

Nếu cần chứng minh cho nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn ta có thể chứng minh lần lượt 4 điểm một lúc. Song cần chú ý tính chất “Qua 3 điểm không thẳng hàng xác định duy nhất một đường tròn”

D¹ng V Bµi tËp H×nh tæng hîp

C©u IV(3,5®): HN Cho ®êng trßn (O;R) vµ ®iÓm A n»m bªn ngoµi ®êng trßn. KÎ tiÕp tuyÕn

AB, AC víi ®êng trßn (B, C lµ çc tiÕp ®iÓm). 1/ Chøng minh ABOC lµ tø gi¸c néi tiÕp.2/ Gäi E lµ giao ®iÓm cña BC vµ OA. Chøng minh BE vu«ng gãc víi OA vµ OE.OA = R2.3/ Trªn cung nhá BC cña ®êng trßn (O;R) lÊy ®iÓm K bÊt kú (K kh¸c B vµ C). TiÕp tuyÕn t¹i K cña ®êng trßn (O;R) c¾t AB, AC theo thø tù t¹i P, Q. Chøng minh tam gi¸c APQ cã chu vi kh«ng ®æi khi K chuyÓn ®éng trªn cung nhá BC.4/ §êng th¼ng qua O vµ vu«ng gãc víi OA c¾t çc ®êng th¼ng AB, AC theo thø tù t¹i çc ®iÓm M, N. Chøng minh PM + QN ≥ MN.C©u V: (4,0®) C tho Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, cã AB = 14, BC = 50. §êng ph©n gi¸c cña gãc ABC vµ ®êng trung trùc cña c¹nh AC c¾t nhau t¹i E.

1. Chøng minh tø gi¸c ABCE néi tiÕp ®îc trong mét ®êng trßn. X¸c ®Þnh t©m O cña ®êng trßn nµy.

2. TÝnh BE.3. VÏ ®êng kÝnh EF cña ®êng trßn t©m (O). AE vµ BF c¾t nhau t¹i P.

Chøng minh çc ®êng th¼ng BE, PO, AF ®ång quy.4. TÝnh diÖn tÝch phÇn h×nh trßn t©m (O) n»m ngoµi ngò gi¸c ABFCE.

Bµi 4: (2,75®) hue Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB = 2R. VÏ tiÕp tuyÕn d víi ®êng trßn (O) t¹i B. Gäi C vµ D lµ hai ®iÓm tuú ý trªn tiÕp tuyÕn d sao cho B n»m gi÷a C vµ D. Çc tia AC vµ AD c¾t (O) lÇn lît t¹i E vµ F (E, F kh¸c A). 1. Chøng minh: CB2 = CA.CE2. Chøng minh: tø gi¸c CEFD néi tiÕp trong ®êng trßn t©m (O’).



3. Chøng minh: c¸c tÝch AC.AE vµ AD.AF cïng b»ng mét sè kh«ng ®æi. TiÕp tuyÕn cña (O’) kÎ tõ A tiÕp xóc víi (O’) t¹i T. Khi C hoÆc D di ®éng trªn d th× ®iÓm T ch¹y trªn ®êng th¼ng cè ®Þnh nµo?C©u V: HCM Cho tam gi¸c ABC (AB<AC) cã ba gãc nhän néi tiÕp ®êng trßn (O) cã t©m O, b¸n kÝnh R. Gäi H lµ giao ®iÓm cña ba ®êng cao AD, BE, CF cña tam gi¸c ABC. Gäi S lµ diÖn tÝch tam gi¸c ABC.

a) Chóng minh r»ng AEHF vµ AEDB lµ c¸c tø gi¸c néi tiÕp ®êng trßn.b) VÏ ®êng kÝnh AK cña ®êng trßn (O). Chøng minh tam gi¸c ABD vµ tam

gi¸c AKC ®ång d¹ng víi nhau. Suy ra AB.AC = 2R.AD vµ S = . .

4

AB BC CA

R .

c) Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC. Chøng minh EFDM lµ tø gi¸c néi tiÕp ®êng trßn.

d) Chøngminh r»ng OC vu«ng gãc víi DE vµ (DE + EF + FD).R = 2 S.

Baøi 4: (4,00 ñieåm) KH

Cho ñöôøng troøn (O; R). Töø moät ñieåm M naèm ngoaøi (O; R) veõ hai tieáp

tuyeán MA vaø MB (A, B laø hai tieáp ñieåm). Laáy ñieåm C baát kì treân cung

nhoû AB (Ckhaùc vôùi A vaø B). Goïi D, E, F laàn löôït laø hình chieáu vuoâng

goùc cuûa C treân AB, AM, BM.

a. Chöùng minh AECD laø moät töù giaùc noäi tieáp.

b. Chöùng minh: · ·CDE CBA=

c. Goïi I laø giao ñieåm cuûa AC vaø ED, K laø giao ñieåm cuûa CB vaø DF.

Chöùng minh IK//AB.

d. Xaùc ñònh vò trí ñieåm C treân cung nhoû AB ñeå (AC2 + CB2) nhoû nhaát.

Tính giaù trò nhoû nhaát ñoù khi OM = 2R.

Bài 4: Cho đường tròn tâm O có các đường kính CD, IK (IK không trùng CD)1. Chứng minh tứ giác CIDK là hình chữ nhật2. Các tia DI, DK cắt tiếp tuyến tại C của đường tròn tâm O thứ tự ở G; H



c. Chứng minh 4 điểm G, H, I, K cùng thuộc một đường tròn.d. Khi CD cố định, IK thay đổỉ, tìm vị trí của G và H khi diện tích tam giác DỊJ đạt giá

trị nhỏ nhất.Bài 4: (3 điểm) BÌNH ĐỊNHCho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O), I là trung điểm của BC, M là 1 điểm trên đoạn CI (M khác C và I). Đường thẳng AM cắt (O) tại D, tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AIM tại M cắt BD tại P và cắt DC tại Q.a. Chứng minh DM . AI = MP . IB

b. Tính tỉ số


Cho tam giaùc vuoâng ABC noäi tieáp trong ñöôøng troøn taâm O ñöôøng

kính AB. Keùo daøi AC (veà phía C) ñoaïn CD sao cho CD = AC.

1. Chöùng minh tam giaùc ABD caân.

2. Ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi AC taïi A caét ñöôøng troøn (O) taïi E.

Keùo daøi AE (veà phía E) ñoaïn EF sao cho EF = AE. Chöùng minh

raèng ba ñieåm D, B, F cuøng naèm treân moät ñöôøng thaúng.

3. Chöùng minh raèng ñöôøng troøn ñi qua ba ñieåm A, D, F tieáp xuùc

vôùi ñöôøng troøn (O).Bài 4 (4.0 điểm ) QUẢNG NAM

Cho đường tròn tâm (O) ,đường kính AC .Vẽ dây BD vuông góc với AC tại K ( K nằm giữa A và O).Lấy điểm E trên cung nhỏ CD ( E không trùng C và D), AE cắt BD tại H.

c) Chứng minh rằng tam giác CBD cân và tứ giác CEHK nội tiếp.d) Chứng minh rằng AD2 = AH . AE.e) Cho BD = 24 cm , BC =20cm .Tính chu vi của hình tròn (O).f) Cho góc BCD bằng α . Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A , vẽ tam

giác MBC cân tại M .Tính góc MBC theo α để M thuộc đường tròn (O).Bµi 3. nam ®Þnh ( 3,0 ®iÓm) Cho ®êng trßn (O; R) Vµ ®iÓmA n»m ngoµi (O; R) .§-êng trßn ®êng kÝnh AO c¾t ®êng trßn (O; R) T¹i M vµ N. §êng th¼ng d qua A c¾t (O; R) t¹i B vµ C ( d kh«ng ®i qua O; ®iÓm B n»m gi÷a A vµ C). Gäi H nlµ trung ®iÓm cña BC.

1) Chøng minh: AM lµ tiÕp tuyÕn cña (O; R) vµ H thuéc ®êng trßn ®êng kÝnh AO.

2) §êng th¼ng qua B vu«ng gãc víi OM c¾t MN ë D. Chøng minh r»ng: a) Gãc AHN = gãc BDNb) §êng th¼ng DH song song víi ®êng th¼ng MC.



c) HB + HD > CDC©u IV: (3,0®). NghÖ An Cho ®êng trßn (O;R), ®êng kÝnh AB cè ®Þnh vµ CD lµ mét ®êng kÝnh thay ®æi kh«ng trïng víi AB. TiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O;R) t¹i B c¾t c¸c ®êng th¼ng AC vµ AD lÇn lît t¹i E vµ F.

1. Chøng minh r»ng BE.BF = 4R2.2. Chøng minh tø gi¸c CEFD néi tiÕp ®êng trßn.3. Gäi I lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c CEFD. Chøng minh r»ng t©m I

lu«n n»m trªn mét ®êng th¼ng cè ®Þnh.Bµi 5. (3,0 ®iÓm) QUẢNG NINH

Cho ®iÓm M n»m ngoµi ®êng trßn (O;R). Tõ M kÎ hai tiÕp tuyÕn MA , MB ®Õn ®-êng trßn (O;R) ( A; B lµ hai tiÕp ®iÓm).

a) Chøng minh MAOB lµ tø gi¸c néi tiÕp.b) TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c AMB nÕu cho OM = 5cm vµ R = 3 cm.c) KÎ tia Mx n»m trong gãc AMO c¾t ®êng trßn (O;R) t¹i hai ®iÓm C vµ D ( C n»m

gi÷a M vµ D ). Gäi E lµ giao ®iÓm cña AB vµ OM. Chøng minh r»ng EA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CED.

Bài 3 : (3 điểm) HẢI PHÒNG

Cho tam giác ABC vuông tại A .Một đường tròn (O) đi qua B và C cắt các cạnh AB , AC của tam giác ABC lần lượt tại D và E ( BC không là đường kính của đường tròn tâm O).Đường cao AH của tam giác ABC cắt DE tại K .1.Chứng minh · ·ADE ACB= .2.Chứng minh K là trung điểm của DE.3.Trường hợp K là trung điểm của AH .Chứng minh rằng đường thẳng DE là tiếp tuyến chung ngoài của đường tròn đường kính BH và đường tròn đường kính CH.

Bài 4: (3,5 điểm) KIÊN GIANG

Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R. Trên tia đối của AB lấy điểm C sao cho

BC = R, trên đường tròn lấy điểm D sao cho BD = R, đường thẳng vuông góc với BC

tại C cắt tia AD ở M.

a) Chứng minh tứ giác BCMD là tứ giác nội tiếp .

b) Chứng minh tam giác ABM là tam giác cân .

c) Tính tích AM.AD theo R .

d) Cung BD của (O) chia tam giác ABM thành hai hần. Tính diện tích phần của tam

giác ABM nằm ngoài (O) .

Bài 5 : (3,5 điểm) AN GIANG



Cho đường tròn (O ; R) đường kính AB và dây CD vuông góc với nhau (CA <

CB). Hai tia BC và DA cắt nhau tại E. Từ E kẻ EH vuông góc với AB tại H ; EH cắt CA ở

F. Chứng minh rằng :

1/ Tứ giác CDFE nội tiếp được trong một đường tròn.

2/ Ba điểm B , D , F thẳng hàng.

3/ HC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Bài 4 (3,5 điểm) THÁI BÌNH Cho đường tròn (O; R) và A là một điểm nằm bên ngoài

đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).

1)Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp.

2) Gọi E là giao điểm của BC và OA. Chứng minh BE vuông góc với OA

và OE.OA=R2.

3)Trên cung nhỏ BC của đường tròn (O; R) lấy điểm K bất kì (K khác B và C). Tiếp

tuyến tại K của đường tròn (O; R) cắt AB, AC theo thứ tự tại các điểm P và Q.

Chứng minh tam giác APQ có chu vi không đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC.

4)Đường thẳng qua O, vuông góc với OA cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại

các điểm M, N. Chứng minh PM + QN ≥ MN.

Bài 4. (3,5 điểm) THÁI BÌNHCho hình vuông ABCD, điểm M thuộc cạnh BC (M khác B, C). Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DM, đường thẳng này cắt các đường thẳng DM và DC theo thứ tự tại H và K.1. Chứng minh: Các tứ giác ABHD, BHCD nội tiếp đường tròn;

2. Tính ·CHK ;

3. Chứng minh KH.KB = KC.KD;

4. Đường thẳng AM cắt đường thẳng DC tại N. Chứng minh 2 2 2

1 1 1

AD AM AN= + .

Câu 8:( 3,0 điểm). VĨNH PHÚC

Trên đoạn thẳng AB cho điểm C nằm giữa A và B. Trên cùng một nửa mặt phẳng có

bờ là AB kẻ hai tia Ax và By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm I, tia vuông

góc với CI tại C cắt tia By tại K. Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P ( P khác I)

a, Chứng minh tứ giác CPKB nội tiếp một đường tròn, chỉ rõ đường tròn này.



b, Chứng minh · ·CIP PBK= .

c, Giả sử A, B, I cố định. Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho diện tích tứ giác ABKI

lớn nhất.

Bài 4 (3,5 điểm) THANH HÓACho nửa đương tròn tâm O đường kính AB = 2R. Trên tia đối của tia BA lấy điểm G (khác với điểm B) . Từ các điểm G; A; B kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O) . Tiếp tuyến kẻ từ G cắt hai tiếp tuyến kẻ từ A avf B lần lượt tại C và D.1. Gọi N là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ G tới nửa đường tròn (O). Chứng minh tứ giác BDNO nội tiếp được.

2. Chứng minh tam giác BGD đồng dạng với tam giác AGC, từ đó suy ra CN DN

CG DG= .

3. Đặt ·BOD α= Tính độ dài các đoạn thẳng AC và BD theo R và α. Chứng tỏ rằng tích AC.BD chỉ phụ thuộc R, không phụ thuộc α.

Bài 3. ( 3,5 điểm ) ĐÀ NẲNG Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I

nằm giữa A và O sao cho AI = 2

3AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm

tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E.a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp được trong một đường tròn.b) Chứng minh ∆AME ∆ACM và AM2 = AE.AC.c) Chứng minh AE.AC - AI.IB = AI2.d) Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất.

Câu 4 : PHÚ YÊN ( 2,5 điểm ) Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đường tròn

đường kính AB = 2R . Hạ BN và DM cùng vuông góc với đường chéo AC

a) Chứng minh tứ giác : CBMD nội tiếp được

b) Chứng minh rằng : DB.DC = DN.AC

c) Xác định vị trí của điểm D để diện tích hình bình hành ABCD có diện tích lớn

nhất và tính diện tích trong trường hợp này

Bµi 4: (3,0 ®iÓm) hƯng yªnCho A lµ mét ®iÓm trªn ®êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R. Gäi B lµ ®iÓm ®èi

xøng víi O qua A. KÎ ®êng th¼ng d ®i qua B c¾t ®êng trßn (O) t¹i C vµ D (d kh«ng ®i qua O, BC < BD). C¸c tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O) t¹i C vµ D c¾t nhau t¹i E. Gäi M lµ giao ®iÓm cña OE vµ CD. KÎ EH vu«ng gãc víi OB (H thuéc OB). Chøng minh r»ng:

a) Bèn ®iÓm B, H,M, E cïng thuéc mét ®êng trßn.b) OM.OE = R2



c) H lµ trung ®iÓm cña OA.Bài 5 (3,5 điểm). QUẢNG TRỊ Cho tam giác ABC có góc A bằng 600, các góc B, C nhọn. vẽ các đường cao BD và CE của tam giác ABC. Gọi H là giao điểm của BD và CE.

a/ Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp.b/ Chứng minh tam giác AED đồng dạng với tam giác ACB.

c/ Tính tỉ số BC

DE.

d/ Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh OA vuông góc với DE.

Câu 5 (3,5 điểm) QUẢNG TRỊCho điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R. Từ A kẻ đường thẳng (d) không đi qua tâm O, cắt đường tròn (O) tại B và C ( B nằm giữa A và C). Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại D. Từ D kẻ DH vuông góc với AO (H nằm trên AO), DH cắt cung nhỏ BC tại M. Gọi I là giao điểm của DO và BC.1. Chứng minh OHDC là tứ giác nội tiếp được.2. Chứng minh OH.OA = OI.OD.3. Chứng minh AM là tiếp tuyến của đường tròn (O).4. Cho OA = 2R. Tính theo R diện tích của phần tam giác OAM nằm ngoài đường tròn (O).

C©u IV : (3,0 ®iÓm) H¶i d Ư¬ng Cho ®êng trßn (O), d©y AB kh«ng ®i qua t©m. Trªn cung nhá AB lÊy ®iÓm M (M kh«ng trïng víi A, B). KÎ d©y MN vu«ng gãc víi AB t¹i H. KÎ MK

vu«ng gãc víi AN ( )K AN∈ .

1) Chøng minh: Bèn ®iÓm A, M, H, K thuéc mét ®êng trßn.2) Chøng minh: MN lµ ph©n gi¸c cña gãc BMK.3) Khi M di chuyÓn trªn cung nhá AB. Gäi E lµ giao ®iÓm cña HK vµ BN.

X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm M ®Ó (MK.AN + ME.NB) cã gi¸ trÞ lín nhÊt. Câu 4:(3 điểm) H¶i D¬ng chÝnh thøc

Cho tam giác MNP cân tại M có cậnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp đường tròn ( O;R). Tiếp tuyến tại N và P của đường tròn lần lượt cắt tia MP và tia MN tại E và D.

a) Chứng minh: NE2 = EP.EMb) Chứng minh tứ giác DEPN kà tứ giác nội tiếp.c) Qua P kẻ đường thẳng vuông góc với MN cắt đường tròn (O) tại

K ( K không trùng với P). Chứng minh rằng: MN2 + NK2 = 4R2.

Bµi 4: Hµ Giang (3,0 ®iÓm ) Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp trong ®-êng trßn t©m O, ba ®êng cao AD, BE, CF cña tam gi¸c ABC c¾t nhau ë H. KÐo dµi AO c¾t ®êng trßn t¹i M, AD c¾t ®êng trßn O ë K ( K kh¸c A, M kh¸c A). Chøng minh r»ng : a, MK song song BC. b, DH = DK. c, HM ®i qua trung ®iÓm I cña BC.

Bài 4: (3 điểm) BÌNH THUẬN



Cho tam giác ABC vuông tại A có các cạnh AB = 4,5 cm; AC = 6 cm.

1/ Tính độ dài đường cao AH và diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

2/ Trên cạnh AC lấy điểm M và vẽ đường tròn (O) đường kính MC, BM cắt (O) tại

D; DA cắt (O) tại S; (O) cắt BC tại N. Chứng minh:

a/ Các tứ giác ABCD, ABNM nội tiếp.

b/ CA là phân giác góc SCB.Câu 4: (3đ) Long AnCho đường tròn (O) đường kính AB, C là một điểm nằm giữa O và A Đường thẳng qua C vuông góc với AB cắt (O) tại P,Q.Tiếp tuyến tại D trên cung nhỏ BP, cắt PQ ở E; AD cắt PQ tại F .Chứng minh: a/ Tứ giác BCFD là tứ giác nội tiếp.b/ED=EFc/ED2=EP.EQC©u 6: (3,0 ®iÓm) B¾c Ninh

Cho nöa ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB. Tõ ®iÓm M trªn tiÕp tuyÕn Ax

cña nöa ®êng trßn vÏ tuyÕp tuyÕn thø hai MC(C lµ tiÕp ®iÓm). H¹ CH vu«ng gãc

víi AB, ®êng th¼ng MB c¾t ®êng trßn (O) t¹i Q vµ c¾t CH t¹i N. Gäi giao ®iÓm

cña MO vµ AC lµ I. Chøng minh r»ng:

a/ Tø gi¸c AMQI néi tiÕp.

b/ · ·AQI ACO=

c/ CN = NH.

C©u V:(3,0 ®iÓm) B¾c giang 1/ Cho tam gi¸c ABC nhän néi tiÕp ®êng trßn t©m O. Çc ®êng cao BH vµ CK tam gi¸c ABC c¾t nhau t¹i ®iÓm I. KÎ ®êng kÝnh AD cña ®êng trßn t©m O, çc ®o¹n th¼ng DI vµ BC c¾t nhau t¹i M.Chøng minh r»ng.

a/Tø gi¸c AHIK néi tiÕp ®îc trong mét ®êng trßn.b/OM ⊥ BC.

2/Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A,çc ®êng ph©n gi¸c trong cña go¸c B vµ gãc C c¾t çc c¹nh AC vµ AB lÇn lît t¹i D vµ E. Gäi H lµ giao ®iÓm cña BD vµ CE, biÕt AD=2cm, DC= 4 cm tÝnh ®é dµi ®o¹n th¼ng HB.C©u V:(3,0 ®iÓm) B¾c giang Cho ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB cè ®Þnh. H thuéc ®o¹n th¼ng OA( H kh¸c A;O vµ trung ®iÓm cña OA). KÎ d©y MN vu«ng gãc víi AB t¹i H. MN c¾t AK t¹i E.1. Chøng minh tø gi¸c HEKB néi tiÕp.2. Chøng minh tam gi¸c AME ®ång d¹ng víi tam gi¸c AKM.



3. Cho ®iÓm H cè ®Þnh, x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña K ®Ó kho¶ng c¸ch tõ N ®Õn t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MKE nhá nhÊt.Bài 4: (3,5 điểm) ĐĂK LĂK Cho tam giác vuông cân ADB ( DA = DB) nội tiếp trong đường tròn tâm O. Dựng hình bình hành ABCD ; Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AC ; K là giao điểm của AC với đường tròn (O). Chứng minh rằng:

1/ HBCD là một tứ giác nội tiếp.2/ · ·DOK 2.BDH=

3/ 2CK CA 2.BD=.

Bµi 4 ( 3,5®iÓm) B×NH D¦¥NGCho ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB cã b¸n kÝnh R, tiÕp tuyÕn Ax. Trªn tiÕp tuyÕn Ax lÊy ®iÓm F sao cho BF c¾t ®êng trßn t¹i C, tia ph©n gi¸c cña gãc ABF c¾t Ax t¹i E vµ c¾t ®êng trßn t¹i D .

a) Chøng minh OD // BC .b) Chøng minh hÖ thøc : BD.BE = BC.BF .c) Chøng minh tø gi¸c CDEF néi tiÕp.d) X¸c ®Þnh sè ®o cña gãc ABC ®Ó tø gi¸c AOCD lµ h×nh thoi. TÝnh diÖn

tÝch h×nh thoi AOCD theo R .Bµi 4 (3,0 ®iÓm): qu¶ng b×nh Cho tam gi¸c PQR vu«ng c©n t¹i P. Trong gãc PQR kÎ tia Qx bÊt kú c¾t PR t¹i D (D kh«ng trïng víi P vµ D kh«ng trïng víi R). Qua R kÎ ®-êng th¼ng vu«ng gãc víi Qx t¹i E. Gäi F lµ giao ®iÓm cña PQ vµ RE.

d) Chøng minh tø gi¸c QPER néi tiÕp ®îc trong mét ®êng trßn.e) Chøng minh tia EP lµ tia ph©n gi¸c cña gãc DEFf) TÝnh sè ®o gãc QFD.g) Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng QE. Chøng minh r»ng ®iÓm M lu«n

n»m trªn cung trßn cè ®Þnh khi tia Qx thay ®æi vÞ trÝ n»m gi÷a hai tia QP vµ QR

Bài 4: (4,0 điểm) ÐẠI HỌC TÂY NGUYÊN Cho tam giác ABC ( AB < AC) có 3 góc nhọn. Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự tại E và D .

1/ Chứng minh AD.AC = AE.AB.2/ Gọi H là giao điểm của DB và CE .Gọi K là giao điểm của AH và BC. Chứng minh AH BC⊥ .3/ Từ A kẻ các tiếp tuyến AM , AN với đường tròn (O) (M,N là các tiếp điểm).Chứng

minh · ·ANM AKN= .4/ Chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng.

Bµi 1 . Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp ®êng trßn (O). C¸c ®êng cao AD, BE, CF c¾t nhau t¹i H vµ c¾t ®êng trßn (O) lÇn lît t¹i M,N,P.Chøng minh r»ng:

1. Tø gi¸c CEHD, néi tiÕp .

2. Bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®êng trßn.



3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.4. H vµ M ®èi xøng nhau qua BC.5. X¸c ®Þnh t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c DEF.

Lêi gi¶i: XÐt tø gi¸c CEHD ta cã:

∠ CEH = 900 ( V× BE lµ ®êng cao)∠ CDH = 900 ( V× AD lµ ®êng cao)=> ∠ CEH + ∠ CDH = 1800

H

( (

2

-

- 2 1

1 1 P

N

F E

M

D C B

A

O

Mµ ∠ CEH vµ ∠ CDH lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c CEHD , Do ®ã CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp Theo gi¶ thiÕt: BE lµ ®êng cao => BE ⊥ AC => ∠BEC = 900.

CF lµ ®êng cao => CF ⊥ AB => ∠BFC = 900.Nh vËy E vµ F cïng nh×n BC díi mét gãc 900 => E vµ F cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh

BC.VËy bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®êng trßn.

XÐt hai tam gi¸c AEH vµ ADC ta cã: ∠ AEH = ∠ ADC = 900 ; ¢ lµ gãc chung

=> ∆ AEH ∼ ∆ADC => AC

AH

AD

AE = => AE.AC = AH.AD.

* XÐt hai tam gi¸c BEC vµ ADC ta cã: ∠ BEC = ∠ ADC = 900 ; ∠C lµ gãc chung

=> ∆ BEC ∼ ∆ADC => AC

BC

AD

BE = => AD.BC = BE.AC.

4. Ta cã ∠C1 = ∠A1 ( v× cïng phô víi gãc ABC)∠C2 = ∠A1 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BM)=> ∠C1 = ∠ C2 => CB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc HCM; l¹i cã CB ⊥ HM => ∆ CHM c©n t¹i C => CB còng lµ ®¬ng trung trùc cña HM vËy H vµ M ®èi xøng nhau qua BC.5. Theo chøng minh trªn bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®êng trßn => ∠C1 = ∠E1 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BF)Còng theo chøng minh trªn CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp ∠C1 = ∠E2 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HD)∠E1 = ∠E2 => EB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc FED.

Chøng minh t¬ng tù ta còng cã FC lµ tia ph©n gi¸c cña gãc DFE mµ BE vµ CF c¾t nhau t¹i H do ®ã H lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c DEF.Bµi 2 . Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), c¸c ®êng cao AD, BE, c¾t nhau t¹i H. Gäi O lµ t©m ®-êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE.

1. Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp .2. Bèn ®iÓm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®êng

trßn.

3. Chøng minh ED = 2

1BC.

4. Chøng minh DE lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O).

5. TÝnh ®é dµi DE biÕt DH = 2 Cm, AH = 6 Cm.Lêi gi¶i:

XÐt tø gi¸c CEHD ta cã:∠ CEH = 900 ( V× BE lµ ®êng cao)



H

1

3 2 1

1

O

E

D C B

A

∠ CDH = 900 ( V× AD lµ ®êng cao)=> ∠ CEH + ∠ CDH = 1800

Mµ ∠ CEH vµ ∠ CDH lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c CEHD , Do ®ã CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp 2. Theo gi¶ thiÕt: BE lµ ®êng cao => BE ⊥ AC => ∠BEA = 900.

AD lµ ®êng cao => AD ⊥ BC => ∠BDA = 900.Nh vËy E vµ D cïng nh×n AB díi mét gãc 900 => E vµ D cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh

AB.VËy bèn ®iÓm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®êng trßn.

3. Theo gi¶ thiÕt tam gi¸c ABC c©n t¹i A cã AD lµ ®êng cao nªn còng lµ ®êng trung tuyÕn => D lµ trung ®iÓm cña BC. Theo trªn ta cã ∠BEC = 900 .

VËy tam gi¸c BEC vu«ng t¹i E cã ED lµ trung tuyÕn => DE = 2

1BC.

V× O lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE nªn O lµ trung ®iÓm cña AH => OA = OE => tam gi¸c AOE c©n t¹i O => ∠E1 = ∠A1 (1).

Theo trªn DE = 2

1BC => tam gi¸c DBE c©n t¹i D => ∠E3 = ∠B1 (2)

Mµ ∠B1 = ∠A1 ( v× cïng phô víi gãc ACB) => ∠E1 = ∠E3 => ∠E1 + ∠E2 = ∠E2 + ∠E3 Mµ ∠E1 + ∠E2 = ∠BEA = 900 => ∠E2 + ∠E3 = 900 = ∠OED => DE ⊥ OE t¹i E.VËy DE lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O) t¹i E.5. Theo gi¶ thiÕt AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. ¸p dông ®Þnh lÝ Pitago cho tam gi¸c OED vu«ng t¹i E ta cã ED2 = OD2 – OE2 ED2 = 52 – 32 ED = 4cm

Bµi 3 Cho nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB = 2R. Tõ A vµ B kÎ hai tiÕp tuyÕn Ax, By. Qua ®iÓm M thuéc nöa ®êng trßn kÎ tiÕp tuyÕn thø ba c¾t c¸c tiÕp tuyÕn Ax , By lÇn lît ë C vµ D. C¸c ®-êng th¼ng AD vµ BC c¾t nhau t¹i N.1. Chøng minh AC + BD = CD.2. Chøng minh ∠COD = 900.

3. Chøng minh AC. BD = 4

2AB.

4. Chøng minh OC // BM5. Chøng minh AB lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ®êng kÝnh

CD.6. Chøng minh MN ⊥ AB.7. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó chu vi tø gi¸c ACDB ®¹t gi¸ trÞ

nhá nhÊt.

Lêi gi¶i:

/

/

y x

N C

D I

M

B O A



Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM.

Mµ CM + DM = CD => AC + BD = CDTheo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: OC lµ tia ph©n gi¸c cña gãc AOM; OD lµ tia

ph©n gi¸c cña gãc BOM, mµ ∠AOM vµ ∠BOM lµ hai gãc kÒ bï => ∠COD = 900.Theo trªn ∠COD = 900 nªn tam gi¸c COD vu«ng t¹i O cã OM ⊥ CD ( OM lµ tiÕp tuyÕn ).

¸p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®êng cao trong tam gi¸c vu«ng ta cã OM2 = CM. DM,

Mµ OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R2 => AC. BD = 4

2AB .

Theo trªn ∠COD = 900 nªn OC ⊥ OD .(1)Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: DB = DM; l¹i cã OM = OB =R => OD lµ trung trùc cña BM => BM ⊥ OD .(2). Tõ (1) Vµ (2) => OC // BM ( V× cïng vu«ng gãc víi OD).

Gäi I lµ trung ®iÓm cña CD ta cã I lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c COD ®êng kÝnh CD cã IO lµ b¸n kÝnh.

Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã AC ⊥ AB; BD ⊥ AB => AC // BD => tø gi¸c ACDB lµ h×nh thang. L¹i cã I lµ trung ®iÓm cña CD; O lµ trung ®iÓm cña AB => IO lµ ®êng trung b×nh cña h×nh thang ACDB => IO // AC , mµ AC ⊥ AB => IO ⊥ AB t¹i O => AB lµ tiÕp tuyÕn t¹i O cña ®êng trßn ®êng kÝnh CD

6. Theo trªn AC // BD => BD

AC

BN

CN = , mµ CA = CM; DB = DM nªn suy ra DM

CM

BN

CN =

=> MN // BD mµ BD ⊥ AB => MN ⊥ AB.7. ( HD): Ta cã chu vi tø gi¸c ACDB = AB + AC + CD + BD mµ AC + BD = CD nªn suy ra

chu vi tø gi¸c ACDB = AB + 2CD mµ AB kh«ng ®æi nªn chu vi tø gi¸c ACDB nhá nhÊt khi CD nhá nhÊt , mµ CD nhá nhÊt khi CD lµ kho¶ng c¸ch gi÷ Ax vµ By tøc lµ CD vu«ng gãc víi Ax vµ By. Khi ®ã CD // AB => M ph¶i lµ trung ®iÓm cña cung AB.Bµi 4 Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), I lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp, K lµ t©m ®êng trßn bµng tiÕp gãc A , O lµ trung ®iÓm cña IK.

1. Chøng minh B, C, I, K cïng n»m trªn mét ®êng trßn.2. Chøng minh AC lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O).3. TÝnh b¸n kÝnh ®êng trßn (O) BiÕt AB = AC = 20 Cm, BC =

24 Cm.Lêi gi¶i: (HD)

1. V× I lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp, K lµ t©m ®êng trßn bµng tiÕp gãc A nªn BI vµ BK lµ hai tia ph©n gi¸c cña hai gãc kÒ bï ®Ønh B Do ®ã BI ⊥ BK hay∠IBK = 900 .

T¬ng tù ta còng cã ∠ICK = 900 nh vËy B vµ C cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh IK do ®ã B, C, I, K cïng n»m trªn mét ®êng trßn.

Ta cã ∠C1 = ∠C2 (1) ( v× CI lµ ph©n gi¸c cña gãc ACH.

∠C2 + ∠I1 = 900 (2) ( v× ∠IHC = 900 ).

o 1

2 1

H

I

C

A

B

K

∠I1 = ∠ ICO (3) ( v× tam gi¸c OIC c©n t¹i O) Tõ (1), (2) , (3) => ∠C1 + ∠ICO = 900 hay AC ⊥ OC. VËy AC lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O).

Tõ gi¶ thiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm.AH2 = AC2 – HC2 => AH = 22 1220 − = 16 ( cm)



CH2 = AH.OH => OH = 16

1222

=AH

CH = 9 (cm)

OC = 225129 2222 =+=+HCOH = 15 (cm)

Bµi 5 Cho ®êng trßn (O; R), tõ mét ®iÓm A trªn (O) kÎ tiÕp tuyÕn d víi (O). Trªn ®êng th¼ng d lÊy ®iÓm M bÊt k× ( M kh¸c A) kÎ c¸t tuyÕn MNP vµ gäi K lµ trung ®iÓm cña NP, kÎ tiÕp tuyÕn MB (B lµ tiÕp ®iÓm). KÎ AC ⊥ MB, BD ⊥ MA, gäi H lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD, I lµ giao ®iÓm cña OM vµ AB.

1. Chøng minh tø gi¸c AMBO néi tiÕp.2. Chøng minh n¨m ®iÓm O, K, A, M, B cïng n»m trªn mét

®êng trßn .3. Chøng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2.4. Chøng minh OAHB lµ h×nh thoi.5. Chøng minh ba ®iÓm O, H, M th¼ng hµng.6. T×m quü tÝch cña ®iÓm H khi M di chuyÓn trªn ®êng

th¼ng dLêi gi¶i: (HS tù lµm).V× K lµ trung ®iÓm NP nªn OK ⊥ NP ( quan hÖ ®êng

kÝnh

d

H I

K N

P

M

D

C B

A

O

Vµ d©y cung) => ∠OKM = 900. Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã ∠OAM = 900; ∠OBM = 900. nh vËy K, A, B cïng nh×n OM díi mét gãc 900 nªn cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh OM.

VËy n¨m ®iÓm O, K, A, M, B cïng n»m trªn mét ®êng trßn. 3. Ta cã MA = MB ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau); OA = OB = R => OM lµ trung trùc cña AB => OM ⊥ AB t¹i I .Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã ∠OAM = 900 nªn tam gi¸c OAM vu«ng t¹i A cã AI lµ ®êng

cao.¸p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®êng cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; vµ OI. IM = IA2.4. Ta cã OB ⊥ MB (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; AC ⊥ MB (gt) => OB // AC hay OB // AH.

OA ⊥ MA (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; BD ⊥ MA (gt) => OA // BD hay OA // BH.=> Tø gi¸c OAHB lµ h×nh b×nh hµnh; l¹i cã OA = OB (=R) => OAHB lµ h×nh thoi.5. Theo trªn OAHB lµ h×nh thoi. => OH ⊥ AB; còng theo trªn OM ⊥ AB => O, H, M th¼ng

hµng( V× qua O chØ cã mét ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AB).6. (HD) Theo trªn OAHB lµ h×nh thoi. => AH = AO = R. VËy khi M di ®éng trªn d th× H còng

di ®éng nhng lu«n c¸ch A cè ®Þnh mét kho¶ng b»ng R. Do ®ã quü tÝch cña ®iÓm H khi M di chuyÓn trªn ®êng th¼ng d lµ nöa ®êng trßn t©m A b¸n kÝnh AH = R

Bµi 6 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, ®êng cao AH. VÏ ®êng trßn t©m A b¸n kÝnh AH. Gäi HD lµ ®êng kÝnh cña ®êng trßn (A; AH). TiÕp tuyÕn cña ®êng trßn t¹i D c¾t CA ë E.

1. Chøng minh tam gi¸c BEC c©n.2. Gäi I lµ h×nh chiÕu cña A trªn BE, Chøng minh r»ng AI =

AH.3. Chøng minh r»ng BE lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (A; AH).4. Chøng minh BE = BH + DE.Lêi gi¶i: (HD)

∆ AHC = ∆ADE (g.c.g) => ED = HC (1) vµ AE = AC (2).

V× AB ⊥CE (gt), do ®ã AB võa lµ ®êng cao võa lµ ®êng trung tuyÕn cña ∆BEC => BEC lµ tam gi¸c c©n. => ∠B1 = ∠B2



2 1 I

E

H

D

C

A

B

2. Hai tam gi¸c vu«ng ABI vµ ABH cã c¹nh huyÒn AB chung, ∠B1 = ∠B2 => ∆ AHB = ∆AIB => AI = AH.3. AI = AH vµ BE ⊥ AI t¹i I => BE lµ tiÕp tuyÕn cña (A; AH) t¹i I.4. DE = IE vµ BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED

Bµi 7 Cho ®êng trßn (O; R) ®êng kÝnh AB. KÎ tiÕp tuyÕn Ax vµ lÊy trªn tiÕp tuyÕn ®ã mét ®iÓm P sao cho AP > R, tõ P kÎ tiÕp tuyÕn tiÕp xóc víi (O) t¹i M.

1. Chøng minh r»ng tø gi¸c APMO néi tiÕp ®îc mét ®êng trßn.

2. Chøng minh BM // OP.3. §êng th¼ng vu«ng gãc víi AB ë O c¾t tia BM t¹i N.

Chøng minh tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh.4. BiÕt AN c¾t OP t¹i K, PM c¾t ON t¹i I; PN vµ OM kÐo

dµi c¾t nhau t¹i J. Chøng minh I, J, K th¼ng hµng.Lêi gi¶i:

(HS tù lµm).Ta cã ∠ ABM néi tiÕp ch¾n cung AM; ∠ AOM lµ gãc ë

t©m

ch¾n cung AM => ∠ ABM = 2

AOM∠(1) OP lµ tia ph©n gi¸c ∠

AOM ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ) => ∠ AOP = 2

AOM∠ (2)

Tõ (1) vµ (2) => ∠ ABM = ∠ AOP (3)

X

( ( 2

1

1 1

K

I

J

M

N P

A B O

Mµ ∠ ABM vµ ∠ AOP lµ hai gãc ®ång vÞ nªn suy ra BM // OP. (4)XÐt hai tam gi¸c AOP vµ OBN ta cã : ∠PAO=900 (v× PA lµ tiÕp tuyÕn ); ∠NOB = 900 (gt

NO⊥AB).=> ∠PAO = ∠NOB = 900; OA = OB = R; ∠AOP = ∠OBN (theo (3)) => ∆AOP = ∆OBN => OP = BN (5)Tõ (4) vµ (5) => OBNP lµ h×nh b×nh hµnh ( v× cã hai c¹nh ®èi song song vµ b»ng nhau).

Tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh => PN // OB hay PJ // AB, mµ ON ⊥ AB => ON ⊥ PJ Ta còng cã PM ⊥ OJ ( PM lµ tiÕp tuyÕn ), mµ ON vµ PM c¾t nhau t¹i I nªn I lµ trùc t©m tam gi¸c POJ. (6)

DÔ thÊy tø gi¸c AONP lµ h×nh ch÷ nhËt v× cã ∠PAO = ∠AON = ∠ONP = 900 => K lµ trung ®iÓm cña PO ( t/c ®êng chÐo h×nh ch÷ nhËt). (6)

AONP lµ h×nh ch÷ nhËt => ∠APO = ∠ NOP ( so le) (7)Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau Ta cã PO lµ tia ph©n gi¸c ∠APM => ∠APO = ∠MPO

(8).Tõ (7) vµ (8) => ∆IPO c©n t¹i I cã IK lµ trung tuyÕn ®«ng thêi lµ ®êng cao => IK ⊥ PO.

(9)



Tõ (6) vµ (9) => I, J, K th¼ng hµng.Bµi 8 Cho nöa ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB vµ ®iÓm M bÊt k× trªn nöa ®êng trßn ( M kh¸c A,B). Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB chøa nöa ®êng trßn kÎ tiÕp tuyÕn Ax. Tia BM c¾t Ax t¹i I; tia ph©n gi¸c cña gãc IAM c¾t nöa ®êng trßn t¹i E; c¾t tia BM t¹i F tia BE c¾t Ax t¹i H, c¾t AM t¹i K.

1) Chøng minh r»ng: EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp.2) Chøng minh r»ng: AI2 = IM . IB.3) Chøng minh BAF lµ tam gi¸c c©n.4) Chøng minh r»ng : Tø gi¸c AKFH lµ h×nh thoi.5) X¸c ®Þnh vÞ trÝ M ®Ó tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®îc mét ®êng

trßn.Lêi gi¶i: 1. Ta cã : ∠AMB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn )

=> ∠KMF = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï).∠AEB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) => ∠KEF = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï).=> ∠KMF + ∠KEF = 1800 . Mµ ∠KMF vµ ∠KEF lµ hai gãc

®èi cña tø gi¸c EFMK do ®ã EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp.

X

2 1 2 1

E K

I

H

F

M

B O A

Ta cã ∠IAB = 900 ( v× AI lµ tiÕp tuyÕn ) => ∆AIB vu«ng t¹i A cã AM ⊥ IB ( theo trªn). ¸p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®êng cao => AI2 = IM . IB.

Theo gi¶ thiÕt AE lµ tia ph©n gi¸c gãc IAM => ∠IAE = ∠MAE => AE = ME (lÝ do ……)=> ∠ABE =∠MBE ( hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) => BE lµ tia ph©n gi¸c gãc ABF. (1)Theo trªn ta cã ∠AEB = 900 => BE ⊥ AF hay BE lµ ®êng cao cña tam gi¸c ABF (2).Tõ (1) vµ (2) => BAF lµ tam gi¸c c©n. t¹i B .

BAF lµ tam gi¸c c©n. t¹i B cã BE lµ ®êng cao nªn ®ång thêi lµ ®¬ng trung tuyÕn => E lµ trung ®iÓm cña AF. (3)

Tõ BE ⊥ AF => AF ⊥ HK (4), theo trªn AE lµ tia ph©n gi¸c gãc IAM hay AE lµ tia ph©n gi¸c ∠HAK (5) Tõ (4) vµ (5) => HAK lµ tam gi¸c c©n. t¹i A cã AE lµ ®êng cao nªn ®ång thêi lµ ®¬ng trung tuyÕn => E lµ trung ®iÓm cña HK. (6).Tõ (3) , (4) vµ (6) => AKFH lµ h×nh thoi ( v× cã hai ®êng chÐo vu«ng gãc víi nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®êng).

(HD). Theo trªn AKFH lµ h×nh thoi => HA // FH hay IA // FK => tø gi¸c AKFI lµ h×nh thang. §Ó tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®îc mét ®êng trßn th× AKFI ph¶i lµ h×nh thang c©n. AKFI lµ h×nh thang c©n khi M lµ trung ®iÓm cña cung AB. ThËt vËy: M lµ trung ®iÓm cña cung AB => ∠ABM = ∠MAI = 450 (t/c gãc néi tiÕp ). (7)Tam gi¸c ABI vu«ng t¹i A cã ∠ABI = 450 => ∠AIB = 450 .(8)Tõ (7) vµ (8) => ∠IAK = ∠AIF = 450 => AKFI lµ h×nh thang c©n (h×nh thang cã hai gãc ®¸y b»ng nhau).VËy khi M lµ trung ®iÓm cña cung AB th× tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®îc mét ®êng trßn.

Bµi 9 Cho nöa ®êng trßn (O; R) ®êng kÝnh AB. KÎ tiÕp tuyÕn Bx vµ lÊy hai ®iÓm C vµ D thuéc nöa ®êng trßn. C¸c tia AC vµ AD c¾t Bx lÇn lît ë E, F (F ë gi÷a B vµ E).

1. Chøng minh AC. AE kh«ng ®æi.2. Chøng minh ∠ ABD = ∠ DFB.



3. Chøng minh r»ng CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp.Lêi gi¶i:

C thuéc nöa ®êng trßn nªn ∠ACB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®-êng trßn ) => BC ⊥ AE.

∠ABE = 900 ( Bx lµ tiÕp tuyÕn ) => tam gi¸c ABE vu«ng t¹i B cã BC lµ ®êng cao => AC. AE = AB2 (hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®êng cao ), mµ AB lµ ®êng kÝnh nªn AB = 2R kh«ng ®æi do ®ã AC. AE kh«ng ®æi.

∆ ADB cã ∠ADB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ).=> ∠ABD + ∠BAD = 900 (v× tæng ba gãc cña mét tam gi¸c b»ng 1800)(1)∆ ABF cã ∠ABF = 900 ( BF lµ tiÕp tuyÕn ).=> ∠AFB + ∠BAF = 900 (v× tæng ba gãc cña mét tam gi¸c b»ng 1800) (2)

Tõ (1) vµ (2) => ∠ABD = ∠DFB ( cïng phô víi ∠BAD)

D C

A O B

F

E X

Tø gi¸c ACDB néi tiÕp (O) => ∠ABD + ∠ACD = 1800 .∠ECD + ∠ACD = 1800 ( V× lµ hai gãc kÒ bï) => ∠ECD = ∠ABD ( cïng bï víi ∠ACD).Theo trªn ∠ABD = ∠DFB => ∠ECD = ∠DFB. Mµ ∠EFD + ∠DFB = 1800 ( V× lµ hai gãc kÒ bï) nªn suy ra ∠ECD + ∠EFD = 1800, mÆt kh¸c ∠ECD vµ ∠EFD lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c CDFE do ®ã tø gi¸c CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp.

Bµi 10 Cho ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB vµ ®iÓm M bÊt k× trªn nöa ®êng trßn sao cho AM < MB. Gäi M’ lµ ®iÓm ®èi xøng cña M qua AB vµ S lµ giao ®iÓm cña hai tia BM, M’A. Gäi P lµ ch©n ®¬ng vu«ng gãc tõ S ®Õn AB.

1. Chøng minh bèn ®iÓm A, M, S, P cïng n»m trªn mét ®êng trßn

2. Gäi S’ lµ giao ®iÓm cña MA vµ SP. Chøng minh r»ng tam gi¸c PS’M c©n.

3. Chøng minh PM lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn .Lêi gi¶i: 1. Ta cã SP ⊥ AB (gt) => ∠SPA = 900 ; ∠AMB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) => ∠AMS = 900 . Nh vËy P vµ M cïng nh×n AS díi mét gãc b»ng 900 nªn cïng n»m trªn ®êng trßn ®-êng kÝnh AS.

VËy bèn ®iÓm A, M, S, P cïng n»m trªn mét ®êng trßn. 2. V× M’®èi xøng M qua AB mµ M n»m trªn ®êng trßn nªn M’ còng n»m trªn ®êng trßn => hai cung AM vµ AM’ cã sè ®o b»ng nhau

3

( ) 4

3 1

1

) (

1 2

2

1

1 H O

S' M'

M

A B

S

P

=> ∠AMM’ = ∠AM’M ( Hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) (1)Còng v× M’®èi xøng M qua AB nªn MM’ ⊥ AB t¹i H => MM’// SS’ ( cïng vu«ng gãc víi AB)

=> ∠AMM’ = ∠AS’S; ∠AM’M = ∠ASS’ (v× so le trong) (2).=> Tõ (1) vµ (2) => ∠AS’S = ∠ASS’. Theo trªn bèn ®iÓm A, M, S, P cïng n»m trªn mét ®êng trßn => ∠ASP=∠AMP (néi tiÕp cïng ch¾n AP )=> ∠AS’P = ∠AMP => tam gi¸c PMS’ c©n t¹i P.



3. Tam gi¸c SPB vu«ng t¹i P; tam gi¸c SMS’ vu«ng t¹i M => ∠B1 = ∠S’1 (cïng phô víi ∠S). (3)Tam gi¸c PMS’ c©n t¹i P => ∠S’1 = ∠M1 (4)Tam gi¸c OBM c©n t¹i O ( v× cã OM = OB =R) => ∠B1 = ∠M3 (5).Tõ (3), (4) vµ (5) => ∠M1 = ∠M3 => ∠M1 + ∠M2 = ∠M3 + ∠M2 mµ ∠M3 + ∠M2 = ∠AMB = 900 nªn suy ra ∠M1 + ∠M2 = ∠PMO = 900 => PM ⊥ OM t¹i M => PM lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn t¹i MBµi 11. Cho tam gi¸c ABC (AB = AC). C¹nh AB, BC, CA tiÕp xóc víi ®êng trßn (O) t¹i c¸c ®iÓm D, E, F . BF c¾t (O) t¹i I , DI c¾t BC t¹i M. Chøng minh :

1. Tam gi¸c DEF cã ba gãc nhän.

2. DF // BC. 3. Tø gi¸c BDFC néi tiÕp. 4. CF

BM

CB

BD =

Lêi gi¶i: 1. (HD) Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã AD = AF => tam gi¸c ADF c©n t¹i A => ∠ADF = ∠AFD < 900 => s® cung DF < 1800 => ∠DEF < 900 ( v× gãc DEF néi tiÕp ch¾n cung DE). Chøng minh t¬ng tù ta cã ∠DFE < 900; ∠EDF < 900. Nh vËy tam gi¸c DEF cã ba gãc nhän.

2. Ta cã AB = AC (gt); AD = AF (theo trªn) => AD AF

AB AC= => DF //

BC. 3. DF // BC => BDFC lµ h×nh thang l¹i cã ∠ B = ∠C (v× tam gi¸c ABC c©n) => BDFC lµ h×nh thang c©n do ®ã BDFC néi tiÕp ®îc mét ®êng trßn .

M I

O F

E

D

C B

A

4. XÐt hai tam gi¸c BDM vµ CBF Ta cã ∠ DBM = ∠BCF ( hai gãc ®¸y cña tam gi¸c c©n).∠BDM = ∠BFD (néi tiÕp cïng ch¾n cung DI); ∠ CBF = ∠BFD (v× so le) => ∠BDM = ∠CBF .

=> ∆BDM ∼∆CBF => CF

BM

CB

BD =

Bµi 12 Cho ®êng trßn (O) b¸n kÝnh R cã hai ®êng kÝnh AB vµ CD vu«ng gãc víi nhau. Trªn ®o¹n th¼ng AB lÊy ®iÓm M (M kh¸c O). CM c¾t (O) t¹i N. §êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i M c¾t tiÕp tuyÕn t¹i N cña ®êng trßn ë P. Chøng minh :

1. Tø gi¸c OMNP néi tiÕp.2. Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh.3. CM. CN kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm M.4. Khi M di chuyÓn trªn ®o¹n th¼ng AB th× P ch¹y trªn ®o¹n

th¼ng cè ®Þnh nµo.Lêi gi¶i: 1. Ta cã ∠OMP = 900 ( v× PM ⊥ AB ); ∠ONP = 900 (v× NP lµ tiÕp tuyÕn ).Nh vËy M vµ N cïng nh×n OP díi mét gãc b»ng 900 => M vµ N cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh OP => Tø gi¸c OMNP néi tiÕp.2. Tø gi¸c OMNP néi tiÕp => ∠OPM = ∠ ONM (néi tiÕp ch¾n cung OM)

Tam gi¸c ONC c©n t¹i O v× cã ON = OC = R => ∠ONC = ∠OCN

B' A'

O

P

N

M

D

B A

C

=> ∠OPM = ∠OCM.



XÐt hai tam gi¸c OMC vµ MOP ta cã ∠MOC = ∠OMP = 900; ∠OPM = ∠OCM => ∠CMO = ∠POM l¹i cã MO lµ c¹nh chung => ∆OMC = ∆MOP => OC = MP. (1)Theo gi¶ thiÕt Ta cã CD ⊥ AB; PM ⊥ AB => CO//PM (2).Tõ (1) vµ (2) => Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh.3. XÐt hai tam gi¸c OMC vµ NDC ta cã ∠MOC = 900 ( gt CD ⊥ AB); ∠DNC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) => ∠MOC =∠DNC = 900 l¹i cã ∠C lµ gãc chung => ∆OMC ∼∆NDC

=> CM CO

CD CN= => CM. CN = CO.CD mµ CO = R; CD = 2R nªn CO.CD = 2R2 kh«ng ®æi =>

CM.CN =2R2 kh«ng ®æi hay tÝch CM. CN kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm M.4. ( HD) DÔ thÊy ∆OMC = ∆DPO (c.g.c) => ∠ODP = 900 => P ch¹y trªn ®êng th¼ng cè ®Þnh vu«ng gãc víi CD t¹i D. V× M chØ ch¹y trªn ®o¹n th¼ng AB nªn P chØ ch¹y trªn do¹n th¼ng A’ B’ song song vµ b»ng AB.

Bµi 13 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A (AB > AC), ®êng cao AH. Trªn nöa mÆt ph¼ng bê BC chøa ®iÓn A , VÏ nöa ®êng trßn ®êng kÝnh BH c¾t AB t¹i E, Nöa ®êng trßn ®êng kÝnh HC c¾t AC t¹i F.

1. Chøng minh AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt.2. BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp.3. AE. AB = AF. AC.4. Chøng minh EF lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®êng trßn .

Lêi gi¶i: 1. Ta cã : ∠BEH = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®êng trßn ) => ∠AEH = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). (1)∠CFH = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®êng trßn ) => ∠AFH = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï).(2)∠EAF = 900 ( V× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A) (3)

(

) 1 2

2 1 1 I F

E

O 2 O 1 H C B

A

1

Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt ( v× cã ba gãc vu«ng).2. Tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt nªn néi tiÕp ®îc mét ®êng trßn =>∠F1=∠H1 (néi tiÕp

ch¾n cung AE) . Theo gi¶ thiÕt AH ⊥BC nªn AH lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®êng trßn (O1) vµ (O2) => ∠B1 = ∠H1 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HE) => ∠B1= ∠F1 => ∠EBC+∠EFC = ∠AFE + ∠EFC mµ ∠AFE + ∠EFC = 1800 (v× lµ hai gãc kÒ bï) => ∠EBC+∠EFC = 1800 mÆt kh¸c ∠EBC vµ ∠EFC lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c BEFC do ®ã BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp.

3. XÐt hai tam gi¸c AEF vµ ACB ta cã ∠A = 900 lµ gãc chung; ∠AFE = ∠ABC ( theo

Chøng minh trªn) => ∆AEF ∼∆ACB => AE AF

AC AB= => AE. AB = AF. AC.

* HD c¸ch 2: Tam gi¸c AHB vu«ng t¹i H cã HE ⊥ AB => AH2 = AE.AB (*)Tam gi¸c AHC vu«ng t¹i H cã HF ⊥ AC => AH2 = AF.AC (**) Tõ (*) vµ (**) => AE. AB = AF. AC

4. Tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt => IE = EH => ∆IEH c©n t¹i I => ∠E1 = ∠H1 .∆O1EH c©n t¹i O1 (v× cã O1E vµO1H cïng lµ b¸n kÝnh) => ∠E2 = ∠H2.=> ∠E1 + ∠E2 = ∠H1 + ∠H2 mµ ∠H1 + ∠H2 = ∠AHB = 900 => ∠E1 + ∠E2 = ∠O1EF = 900 => O1E ⊥EF . Chøng minh t¬ng tù ta còng cã O2F ⊥ EF. VËy EF lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®êng trßn .



Bµi 14 Cho ®iÓm C thuéc ®o¹n th¼ng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. VÏ vÒ mét phÝa cña AB çc nöa ®êng trßn cã ®êng kÝnh theo thø tù lµ AB, AC, CB vµ cã t©m theo thø tù lµ O, I, K.§êng vu«ng gãc víi AB t¹i C c¾t nöa ®êng trßn (O) t¹i E. Gäi M. N theo thø tù lµ giao ®iÓm cña EA, EB víi çc nöa ®êng trßn (I), (K).

1. Chøng minh EC = MN.2. Chøng minh MN lµ tiÕp tuyÕn chung cña çc nöa

®êng trßn (I), (K).3. TÝnh MN.4. TÝnh diÖn tÝch h×nh ®îc giíi h¹n bëi ba nöa ®êng

trßnLêi gi¶i:

1. Ta cã: ∠BNC= 900( néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn t©m K)

1 H

1

N

M

C I O K B

E

A

3

2

2 1

1

=> ∠ENC = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). (1) ∠AMC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®êng trßn t©m I) => ∠EMC = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï).(2) ∠AEB = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn t©m O) hay ∠MEN = 900 (3)Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c CMEN lµ h×nh ch÷ nhËt => EC = MN (tÝnh chÊt ®êng chÐo h×nh ch÷ nhËt ) 2. Theo gi¶ thiÕt EC ⊥AB t¹i C nªn EC lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®êng trßn (I) vµ (K) => ∠B1 = ∠C1 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung CN). Tø gi¸c CMEN lµ h×nh ch÷ nhËt nªn => ∠C1= ∠N3 => ∠B1 = ∠N3.(4) L¹i cã KB = KN (cïng lµ b¸n kÝnh) => tam gi¸c KBN c©n t¹i K => ∠B1 = ∠N1 (5)

Tõ (4) vµ (5) => ∠N1 = ∠N3 mµ ∠N1 + ∠N2 = ∠CNB = 900 => ∠N3 + ∠N2 = ∠MNK = 900

hay MN ⊥ KN t¹i N => MN lµ tiÕp tuyÕn cña (K) t¹i N.Chøng minh t¬ng tù ta còng cã MN lµ tiÕp tuyÕn cña (I) t¹i M, VËy MN lµ tiÕp tuyÕn chung cña çc nöa ®êng trßn (I), (K).3. Ta cã ∠AEB = 900 (néi tiÕp ch¾n nöc ®êng trßn t©m O) => ∆AEB vu«ng t¹i A cã EC ⊥

AB (gt) => EC2 = AC. BC EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm. Theo trªn EC = MN => MN = 20 cm.

4. Theo gi¶ thiÕt AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cmTa cã S(o) = π .OA2 = π 252 = 625 π ; S(I) = π . IA2 = π .52 = 25 π ; S(k) = π .KB2 = π

. 202 = 400 π .

Ta cã diÖn tÝch phÇn h×nh ®îc giíi h¹n bëi ba nöa ®êng trßn lµ S = 1

2 ( S(o) - S(I) - S(k))

S = 1

2( 625 π - 25 π - 400 π ) =

1

2.200 π = 100 π ≈ 314 (cm2)

Bµi 15 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A. Trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm M, dùng ®êng trßn (O) cã ®êng kÝnh MC. ®êng th¼ng BM c¾t ®êng trßn (O) t¹i D. ®êng th¼ng AD c¾t ®êng trßn (O) t¹i S.

1. Chøng minh ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp .2. Chøng minh CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB.



3. Gäi E lµ giao ®iÓm cña BC víi ®êng trßn (O). Chøng minh r»ng çc ®êng th¼ng BA, EM, CD ®ång quy.

4. Chøng minh DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ADE.5. Chøng minh ®iÓm M lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ADE.

Lêi gi¶i:

3 2

3

3

2 2

2

1

1

1

1 F

O

M S

D E

B A

C

H×nh a

F

1 2

C

A B

E

D

S M

O

1

1

1 1

2

2 2 3

2

H×nh b

1. Ta cã ∠CAB = 900 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); ∠MDC = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®-êng trßn ) => ∠CDB = 900 nh vËy D vµ A cïng nh×n BC díi mét gãc b»ng 900 nªn A vµ D cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh BC => ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp.

2. ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => ∠D1= ∠C3( néi tiÕp cïng ch¾n cung AB).

∠D1= ∠C3 => ¼ ¼SM EM= => ∠C2 = ∠C3 (hai gãc néi tiÕp ®êng trßn (O) ch¾n hai cung b»ng

nhau) => CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB.

3. XÐt ∆CMB Ta cã BA⊥CM; CD ⊥ BM; ME ⊥ BC nh vËy BA, EM, CD lµ ba ®êng cao cña tam gi¸c CMB nªn BA, EM, CD ®ång quy.

4. Theo trªn Ta cã ¼ ¼SM EM= => ∠D1= ∠D2 => DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ADE.(1)

5. Ta cã ∠MEC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn (O)) => ∠MEB = 900. Tø gi¸c AMEB cã ∠MAB = 900 ; ∠MEB = 900 => ∠MAB + ∠MEB = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi nªn tø gi¸c AMEB néi tiÕp mét ®êng trßn => ∠A2 = ∠B2 .Tø gi¸c ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => ∠A1= ∠B2( néi tiÕp cïng ch¾n cung CD) => ∠A1= ∠A2 => AM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc DAE (2)Tõ (1) vµ (2) Ta cã M lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ADE

TH2 (H×nh b) C©u 2 : ∠ABC = ∠CME (cïng phô ∠ACB); ∠ABC = ∠CDS (cïng bï ∠ADC) => ∠CME = ∠CDS

=> » » ¼ ¼CE CS SM EM= => = => ∠SCM = ∠ECM => CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB.

Bµi 16 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A.vµ mét ®iÓm D n»m gi÷a A vµ B. §êng trßn ®êng kÝnh BD c¾t BC t¹i E. Çc ®êng thẳng CD, AE lÇn lît c¾t ®êng trßn t¹i F, G.

Chøng minh :1. Tam gi¸c ABC ®ång d¹ng víi tam gi¸c EBD.2. Tø gi¸c ADEC vµ AFBC néi tiÕp .3. AC // FG.4. Çc ®êng th¼ng AC, DE, FB ®ång quy.

Lêi gi¶i:

1. XÐt hai tam gi¸c ABC vµ EDB Ta cã ∠BAC = 900

( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); ∠DEB = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn )



=> ∠DEB = ∠BAC = 900 ; l¹i cã ∠ABC lµ gãc chung => ∆DEB ∼ ∆ CAB .2. Theo trªn ∠DEB = 900 => ∠DEC = 900 (v× hai gãc kÒ bï); ∠BAC = 900 ( v× ∆ABC vu«ng t¹i A) hay ∠DAC = 900 => ∠DEC + ∠DAC = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi nªn ADEC lµ tø gi¸c néi tiÕp .

G 1

1

O

S

D

E

B

A C

1 F

* ∠BAC = 900 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); ∠DFB = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) hay ∠BFC = 900 nh vËy F vµ A cïng nh×n BC díi mét gãc b»ng 900 nªn A vµ F cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh BC => AFBC lµ tø gi¸c néi tiÕp.3. Theo trªn ADEC lµ tø gi¸c néi tiÕp => ∠E1 = ∠C1 l¹i cã ∠E1 = ∠F1 => ∠F1 = ∠C1 mµ ®©y lµ hai gãc so le trong nªn suy ra AC // FG.4. (HD) DÔ thÊy CA, DE, BF lµ ba ®êng cao cña tam gi¸c DBC nªn CA, DE, BF ®ång quy t¹i S.

Bµi 17. Cho tam gi¸c ®Òu ABC cã ®êng cao lµ AH. Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm M bÊt k× ( M kh«ng trïng B. C, H ) ; tõ M kÎ MP, MQ vu«ng gãc víi c¸c c¹nh AB. AC.

1. Chøng minh APMQ lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ h·y x¸c ®Þnh t©m O cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c ®ã.

2. Chøng minh r»ng MP + MQ = AH.3. Chøng minh OH ⊥ PQ.

Lêi gi¶i: 1. Ta cã MP ⊥ AB (gt) => ∠APM = 900; MQ ⊥ AC (gt) => ∠AQM = 900 nh vËy P vµ Q cïng nh×n BC díi mét gãc b»ng 900 nªn P vµ Q cïng n»m trªn ®êng trßn ®-êng kÝnh AM => APMQ lµ tø gi¸c néi tiÕp.* V× AM lµ ®êng kÝnh cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c APMQ t©m O cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c APMQ lµ trung ®iÓm cña AM.

2. Tam gi¸c ABC cã AH lµ ®êng cao => SABC = 1

2

BC.AH.

Tam gi¸c ABM cã MP lµ ®êng cao => SABM = 1

2AB.MP

Tam gi¸c ACM cã MQ lµ ®êng cao => SACM = 1

2

AC.MQ

O

M

Q

P

H C B

A

2 1

Ta cã SABM + SACM = SABC => 1

2AB.MP +

1

2AC.MQ =

1

2BC.AH => AB.MP + AC.MQ = BC.AH

Mµ AB = BC = CA (v× tam gi¸c ABC ®Òu) => MP + MQ = AH.



3. Tam gi¸c ABC cã AH lµ ®êng cao nªn còng lµ ®êng ph©n gi¸c => ∠HAP = ∠HAQ => » ¼HP HQ= ( tÝnh chÊt gãc néi tiÕp ) => ∠HOP = ∠HOQ (t/c gãc ë t©m) => OH lµ tia ph©n gi¸c

gãc POQ. Mµ tam gi¸c POQ c©n t¹i O ( v× OP vµ OQ cïng lµ b¸n kÝnh) nªn suy ra OH còng lµ ®êng cao => OH ⊥ PQBµi 18 Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB. Trªn ®o¹n th¼ng OB lÊy ®iÓm H bÊt k× ( H kh«ng trïng O, B) ; trªn ®êng th¼ng vu«ng gãc víi OB t¹i H, lÊy mét ®iÓm M ë ngoµi ®êng trßn ; MA vµ MB thø tù c¾t ®êng trßn (O) t¹i C vµ D. Gäi I lµ giao ®iÓm cña AD vµ BC.

1. Chøng minh MCID lµ tø gi¸c néi tiÕp .2. Chøng minh c¸c ®êng th¼ng AD, BC, MH ®ång quy t¹i I.3. Gäi K lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c MCID, Chøng minh KCOH lµ tø gi¸c néi tiÕp .

Lêi gi¶i: 1. Ta cã : ∠ACB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®êng trßn )

=> ∠MCI = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). ∠ADB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®êng trßn ) => ∠MDI = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï).=> ∠MCI + ∠MDI = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c MCID nªn MCID lµ tø gi¸c néi tiÕp.

2. Theo trªn Ta cã BC ⊥ MA; AD ⊥ MB nªn BC vµ AD lµ hai ®êng cao cña tam gi¸c MAB mµ BC vµ AD c¾t nhau t¹i I nªn I lµ trùc t©m cña tam gi¸c MAB. Theo gi¶ thiÕt th× MH ⊥ AB nªn MH còng lµ ®êng cao cña tam gi¸c MAB => AD, BC, MH ®ång quy t¹i I.

3. ∆OAC c©n t¹i O ( v× OA vµ OC lµ b¸n kÝnh) => ∠A1 = ∠C4 ∆KCM c©n t¹i K ( v× KC vµ KM lµ b¸n kÝnh) => ∠M1 = ∠C1 .

_

_

4 3 2 1

I

O H

K

D C

M

A B 1

1

Mµ ∠A1 + ∠M1 = 900 ( do tam gi¸c AHM vu«ng t¹i H) => ∠C1 + ∠C4 = 900 => ∠C3 + ∠C2 = 900 ( v× gãc ACM lµ gãc bÑt) hay ∠OCK = 900 .XÐt tø gi¸c KCOH Ta cã ∠OHK = 900; ∠OCK = 900 => ∠OHK + ∠OCK = 1800 mµ ∠OHK vµ ∠OCK lµ hai gãc ®èi nªn KCOH lµ tø gi¸c néi tiÕp.

Bµi 19. Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AC. Trªn b¸n kÝnh OC lÊy ®iÓm B tuú ý (B kh¸c O, C ). Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n AB. Qua M kÎ d©y cung DE vu«ng gãc víi AB. Nèi CD, KÎ BI vu«ng gãc víi CD.

1. Chøng minh tø gi¸c BMDI néi tiÕp .2. Chøng minh tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi.3. Chøng minh BI // AD.4. Chøng minh I, B, E th¼ng hµng.5. Chøng minh MI lµ tiÕp tuyÕn cña (O’).

Lêi gi¶i: 1. ∠BIC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) => ∠BID = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï); DE ⊥ AB t¹i M => ∠BMD = 900 => ∠BID + ∠BMD = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c MBID nªn MBID lµ tø gi¸c néi tiÕp.

2. Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iÓm cña AB; DE ⊥ AB t¹i M nªn M còng lµ trung ®iÓm cña DE (quan hÖ ®êng kÝnh vµ d©y cung)



2 1 1 / /

1

O'

E

3 2 1 I

O

D

C M A B

=> Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi v× cã hai ®êng chÐo vu«ng gãc víi nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®êng . 3. ∠ADC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) => AD ⊥ DC; theo trªn BI ⊥ DC => BI // AD. (1) 4. Theo gi¶ thiÕt ADBE lµ h×nh thoi => EB // AD (2).Tõ (1) vµ (2) => I, B, E th¼ng hµng (v× qua B chØ cã mét ®êng th¼ng song song víi AD mµ th«i.) 5. I, B, E th¼ng hµng nªn tam gi¸c IDE vu«ng t¹i I => IM lµ trung tuyÕn ( v× M lµ trung ®iÓm cña DE) =>MI = ME => ∆MIE c©n t¹i M => ∠I1 = ∠E1 ; ∆O’IC c©n t¹i O’ ( v× O’C vµ O’I cïng lµ b¸n kÝnh ) => ∠I3 = ∠C1 mµ ∠C1 = ∠E1 ( Cïng phô víi gãc EDC ) => ∠I1 = ∠I3 => ∠I1 + ∠I2 = ∠I3 + ∠I2 . Mµ ∠I3 + ∠I2 = ∠BIC = 900 => ∠I1 + ∠I2 = 900 = ∠MIO’ hay MI ⊥ O’I t¹i I => MI lµ tiÕp tuyÕn cña (O’).Bµi 20. Cho ®êng trßn (O; R) vµ (O’; R’) cã R > R’ tiÕp xóc ngoµi nhau t¹i C. Gäi AC vµ BC lµ hai ®êng kÝnh ®i qua ®iÓm C cña (O) vµ (O’). DE lµ d©y cung cña (O) vu«ng gãc víi AB t¹i trung ®iÓm M cña AB. Gäi giao ®iÓm thø hai cña DC víi (O’) lµ F, BD c¾t (O’) t¹i G. Chøng minh r»ng:

1. Tø gi¸c MDGC néi tiÕp .2. Bèn ®iÓm M, D, B, F cïng n»m trªn mét ®êng trßn 3. Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi.4. B, E, F th¼ng hµng5. DF, EG, AB ®ång quy.6. MF = 1/2 DE.7. MF lµ tiÕp tuyÕn cña (O’).

Lêi gi¶i: 1. ∠BGC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn )

=> ∠CGD = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï)

1 1 3 2

1

1

O' O M

G

F E

D

C B A

Theo gi¶ thiÕt DE ⊥ AB t¹i M => ∠CMD = 900 => ∠CGD + ∠CMD = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi cña tø gi¸c MCGD nªn MCGD lµ tø gi¸c néi tiÕp

2. ∠BFC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) => ∠BFD = 900; ∠BMD = 900 (v× DE ⊥ AB t¹i M) nh vËy F vµ M cïng nh×n BD díi mét gãc b»ng 900 nªn F vµ M cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh BD => M, D, B, F cïng n»m trªn mét ®êng trßn .

3. Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iÓm cña AB; DE ⊥ AB t¹i M nªn M còng lµ trung ®iÓm cña DE (quan hÖ ®êng kÝnh vµ d©y cung)



=> Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi v× cã hai ®êng chÐo vu«ng gãc víi nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®êng .

4. ∠ADC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) => AD ⊥ DF ; theo trªn tø gi¸c ADBE lµ h×nh tho => BE // AD mµ AD ⊥ DF nªn suy ra BE ⊥ DF .Theo trªn ∠BFC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) => BF ⊥ DF mµ qua B chØ cã mét ®êng th¼ng vu«ng gãc víi DF do ®o B, E, F th¼ng hµng.

5. Theo trªn DF ⊥ BE; BM ⊥ DE mµ DF vµ BM c¾t nhau t¹i C nªn C lµ trùc t©m cña tam gi¸c BDE => EC còng lµ ®êng cao => EC⊥BD; theo trªn CG⊥BD => E,C,G th¼ng hµng. VËy DF, EG, AB ®ång quy

6. Theo trªn DF ⊥ BE => ∆DEF vu«ng t¹i F cã FM lµ trung tuyÕn (v× M lµ trung ®iÓm cña DE) suy ra MF = 1/2 DE ( v× trong tam gi¸c vu«ng trung tuyÕn thuéc c¹nh huyÒn b»ng nöa c¹nh huyÒn).

7. (HD) theo trªn MF = 1/2 DE => MD = MF => ∆MDF c©n t¹i M => ∠D1 = ∠F1 ∆O’BF c©n t¹i O’ ( v× O’B vµ O’F cïng lµ b¸n kÝnh ) => ∠F3 = ∠B1 mµ ∠B1 = ∠D1 (Cïng phô víi ∠DEB ) => ∠F1 = ∠F3 => ∠F1 + ∠F2 = ∠F3 + ∠F2 . Mµ ∠F3 + ∠F2 = ∠BFC = 900 => ∠F1 + ∠F2 = 900 = ∠MFO’ hay MF ⊥ O’F t¹i F => MF lµ tiÕp tuyÕn cña (O’).Bµi 21. Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB. Gäi I lµ trung ®iÓm cña OA . VÏ ®êng tron t©m I ®i qua A, trªn (I) lÊy P bÊt k×, AP c¾t (O) t¹i Q.

1. Chøng minh r»ng çc ®êng trßn (I) vµ (O) tiÕp xóc nhau t¹i A.

2. Chøng minh IP // OQ.3. Chøng minh r»ng AP = PQ.4. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña P ®Ó tam gi¸c AQB cã diÖn tÝch lín

nhÊt.Lêi gi¶i: 1. Ta cã OI = OA – IA mµ OA vµ IA lÇn lît lµ çc b¸n kÝnh cña ®-êng trßn (O) vµ ®êng trßn (I) . VËy ®êng trßn (O) vµ ®êng trßn (I) tiÕp xóc nhau t¹i A .2. ∆OAQ c©n t¹i O ( v× OA vµ OQ cïng lµ b¸n kÝnh ) => ∠A1 = ∠Q1 ∆IAP c©n t¹i I ( v× IA vµ IP cïng lµ b¸n kÝnh ) => ∠A1 = ∠P1

=> ∠P1 = ∠Q1 mµ ®©y lµ hai gãc ®ång vÞ nªn suy ra IP // OQ.

H I O

Q

P

B A

1

1 1

3. ∠APO = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) => OP ⊥ AQ => OP lµ ®êng cao cña ∆OAQ mµ ∆OAQ c©n t¹i O nªn OP lµ ®êng trung tuyÕn => AP = PQ.

4. (HD) KÎ QH ⊥ AB ta cã SAQB = 1

2AB.QH. mµ AB lµ ®êng kÝnh kh«ng ®æi nªn SAQB lín nhÊt

khi QH lín nhÊt. QH lín nhÊt khi Q trïng víi trung ®iÓm cña cung AB. §Ó Q trïng víi trung ®iÓm cña cung AB th× P ph¶i lµ trung ®iÓm cña cung AO.ThËt vËy P lµ trung ®iÓm cña cung AO => PI ⊥ AO mµ theo trªn PI // QO => QO ⊥ AB t¹i O => Q lµ trung ®iÓm cña cung AB vµ khi ®ã H trung víi O; OQ lín nhÊt nªn QH lín nhÊt.

Bµi 22. Cho h×nh vu«ng ABCD, ®iÓm E thuéc c¹nh BC. Qua B kÎ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi DE, ®êng th¼ng nµy c¾t çc ®êng th¼ng DE vµ DC theo thø tù ë H vµ K.

1. Chøng minh BHCD lµ tø gi¸c néi tiÕp .2. TÝnh gãc CHK.3. Chøng minh KC. KD = KH.KB

4. Khi E di chuyÓn trªn c¹nh BC th× H di chuyÓn trªn ®-êng nµo?



Lêi gi¶i: 1. Theo gi¶ thiÕt ABCD lµ h×nh vu«ng nªn ∠BCD = 900; BH ⊥ DE t¹i H nªn ∠BHD = 900 => nh vËy H vµ C cïng nh×n BD díi mét gãc b»ng 900 nªn H vµ C cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh BD => BHCD lµ tø gi¸c néi tiÕp.2. BHCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => ∠BDC + ∠BHC = 1800. (1)∠BHK lµ gãc bÑt nªn ∠KHC + ∠BHC = 1800 (2).

O

)

1

1

1

K

H E

D C

B A

2

Tõ (1) vµ (2) => ∠CHK = ∠BDC mµ ∠BDC = 450 (v× ABCD lµ h×nh vu«ng) => ∠CHK = 450 .3. XÐt ∆KHC vµ ∆KDB ta cã ∠CHK = ∠BDC = 450 ; ∠K lµ gãc chung

=> ∆KHC ∼ ∆KDB => KC KH

KB KD= => KC. KD = KH.KB.

4. (HD) Ta lu«n cã ∠BHD = 900 vµ BD cè ®Þnh nªn khi E chuyÓn ®éng trªn c¹nh BC cè ®Þnh th× H chuyÓn ®éng trªn cung BC (E ≡ B th× H ≡ B; E ≡ C th× H ≡ C).

Bµi 23. Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A. Dùng ë miÒn ngoµi tam gi¸c ABC c¸c h×nh vu«ng ABHK, ACDE.

1. Chøng minh ba ®iÓm H, A, D th¼ng hµng.2. §êng th¼ng HD c¾t ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c

ABC t¹i F, chøng minh FBC lµ tam gi¸c vu«ng c©n.3. Cho biÕt ∠ABC > 450 ; gäi M lµ giao ®iÓm cña BF

vµ ED, Chøng minh 5 ®iÓm b, k, e, m, c cïng n»m trªn mét ®êng trßn.

4. Chøng minh MC lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC.

Lêi gi¶i: 1. Theo gi¶ thiÕt ABHK lµ h×nh vu«ng => ∠BAH =

450

H

K

M

F

E

D

C B

A

O

Tø gi¸c AEDC lµ h×nh vu«ng => ∠CAD = 450; tam gi¸c ABC vu«ng ë A => ∠BAC = 900 => ∠BAH + ∠BAC + ∠CAD = 450 + 900 + 450 = 1800 => ba ®iÓm H, A, D th¼ng hµng.

2. Ta cã ∠BFC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) nªn tam gi¸c BFC vu«ng t¹i F. (1).∠FBC = ∠FAC ( néi tiÕp cïng ch¾n cung FC) mµ theo trªn ∠CAD = 450 hay ∠FAC = 450 (2).Tõ (1) vµ (2) suy ra ∆FBC lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i F.

3. Theo trªn ∠BFC = 900 => ∠CFM = 900 ( v× lµ hai gãc kÒ bï); ∠CDM = 900 (t/c h×nh vu«ng).=> ∠CFM + ∠CDM = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi nªn tø gi¸c CDMF néi tiÕp mét ®êng trßn suy ra ∠CDF = ∠CMF , mµ ∠CDF = 450 (v× AEDC lµ h×nh vu«ng) => ∠CMF = 450 hay ∠CMB = 450. Ta còng cã ∠CEB = 450 (v× AEDC lµ h×nh vu«ng); ∠BKC = 450 (v× ABHK lµ h×nh vu«ng). Nh vËy K, E, M cïng nh×n BC díi mét gãc b»ng 450 nªn cïng n»m trªn cung chøa gãc 450 dùng trªn BC => 5 ®iÓm b, k, e, m, c cïng n»m trªn mét ®êng trßn.



4. ∆CBM cã ∠B = 450 ; ∠M = 450 => ∠BCM =450 hay MC ⊥ BC t¹i C => MC lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC.Bµi 24. Cho tam gi¸c nhän ABC cã ∠B = 450 . VÏ ®êng trßn ®êng kÝnh AC cã t©m O, ®êng trßn nµy c¾t BA vµ BC t¹i D vµ E.

1. Chøng minh AE = EB.2. Gäi H lµ giao ®iÓm cña CD vµ AE, Chøng minh r»ng ®-

êng trung trùc cña ®o¹n HE ®i qua trung ®iÓm I cña BH.3. Chøng minh OD lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp

tam gi¸c BDE.Lêi gi¶i:

1. ∠AEC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) => ∠AEB = 900 ( v× lµ hai gãc kÒ bï); Theo gi¶ thiÕt ∠ABE = 450 => ∆AEB lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i E => EA = EB.

F

1

1

1

2

/

/ _

_

K

H

I

E

D

O

CB

A

2. Gäi K lµ trung ®iÓm cña HE (1) ; I lµ trung ®iÓm cña HB => IK lµ ®êng trung b×nh cña tam gi¸c HBE => IK // BE mµ ∠AEC = 900 nªn BE ⊥ HE t¹i E => IK ⊥ HE t¹i K (2).Tõ (1) vµ (2) => IK lµ trung trùc cña HE . VËy trung trùc cña ®o¹n HE ®i qua trung ®iÓm I cña BH.

3. theo trªn I thuéc trung trùc cña HE => IE = IH mµ I lµ trung ®iÓm cña BH => IE = IB. ∠ ADC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) => ∠BDH = 900 (kÒ bï ∠ADC) => tam gi¸c BDH vu«ng t¹i D cã DI lµ trung tuyÕn (do I lµ trung ®iÓm cña BH) => ID = 1/2 BH hay ID = IB => IE = IB = ID => I lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BDE b¸n kÝnh ID.Ta cã ∆ODC c©n t¹i O (v× OD vµ OC lµ b¸n kÝnh ) => ∠D1 = ∠C1. (3) ∆IBD c©n t¹i I (v× ID vµ IB lµ b¸n kÝnh ) => ∠D2 = ∠B1 . (4)Theo trªn ta cã CD vµ AE lµ hai ®êng cao cña tam gi¸c ABC => H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC => BH còng lµ ®êng cao cña tam gi¸c ABC => BH ⊥ AC t¹i F => ∆AEB cã ∠AFB = 900 .Theo trªn ∆ADC cã ∠ADC = 900 => ∠B1 = ∠C1 ( cïng phô ∠BAC) (5).Tõ (3), (4), (5) =>∠D1 = ∠D2 mµ ∠D2 +∠IDH =∠BDC = 900=> ∠D1 +∠IDH = 900 = ∠IDO => OD ⊥ ID t¹i D => OD lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BDE.Bµi 25. Cho ®êng trßn (O), BC lµ d©y bÊt k× (BC< 2R). KÎ çc tiÕp tuyÕn víi ®êng trßn (O) t¹i B vµ C chóng c¾t nhau t¹i A. Trªn cung nhá BC lÊy mét ®iÓm M råi kÎ çc ®êng vu«ng gãc MI, MH, MK xuèng çc c¹nh t¬ng øng BC, AC, AB. Gäi giao ®iÓm cña BM, IK lµ P; giao ®iÓm cña CM, IH lµ Q.1. Chøng minh tam gi¸c ABC c©n. 2. Çc tø gi¸c BIMK, CIMH néi tiÕp .3. Chøng minh MI2 = MH.MK. 4. Chøng minh PQ ⊥ MI.Lêi gi¶i: 1. Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã AB = AC => ∆ABC c©n t¹i A.2. Theo gi¶ thiÕt MI ⊥ BC => ∠MIB = 900; MK ⊥ AB => ∠MKB = 900.=> ∠MIB + ∠MKB = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c BIMK néi tiÕp * ( Chøng minh tø gi¸c CIMH néi tiÕp t¬ng tù tø gi¸c BIMK )3. Theo trªn tø gi¸c BIMK néi tiÕp => ∠KMI + ∠KBI = 1800; tø gi¸c CHMI néi tiÕp => ∠HMI + ∠HCI = 1800. mµ ∠KBI = ∠HCI ( v× tam gi¸c ABC c©n t¹i A) => ∠KMI = ∠HMI (1).

Theo trªn tø gi¸c BIMK néi tiÕp => ∠B1 = ∠I1 ( néi tiÕp cïng ch¾n cung KM); tø gi¸c CHMI néi tiÕp => ∠H1 = ∠C1 ( néi tiÕp cïng ch¾n cung IM). Mµ ∠B1 = ∠C1 ( = 1/2 s®

¼BM ) => ∠I1 = ∠H1 (2).Tõ (1) vµ (2) => ∆MKI

∆MIH => MI MK

MH MI= =>

MI2 = MH.MK



1 1 1

1

1 P Q

K H

I

M

A

C B

O

2 2

4. Theo trªn ta cã ∠I1 = ∠C1; còng chøng minh t¬ng tù ta cã ∠I2 = ∠B2 mµ ∠C1 + ∠B2 + ∠BMC = 1800 => ∠I1 + ∠I2 + ∠BMC = 1800 hay ∠PIQ + ∠PMQ = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c PMQI néi tiÕp => ∠Q1 = ∠I1 mµ ∠I1 = ∠C1 => ∠Q1 = ∠C1 => PQ // BC ( v× cã hai gãc ®ång vÞ b»ng nhau) . Theo gi¶ thiÕt MI ⊥BC nªn suy ra IM ⊥ PQ. Bµi 26. Cho ®êng trßn (O), ®êng kÝnh AB = 2R. VÏ d©y cung CD ⊥ AB ë H. Gäi M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung CB, I lµ giao ®iÓm cña CB vµ OM. K lµ giao ®iÓm cña AM vµ CB. Chøng minh :

1. AB

AC

KB

KC = 2. AM lµ tia ph©n gi¸c cña ∠CMD. 3. Tø gi¸c OHCI

néi tiÕp 4. Chøng minh ®êng vu«ng gãc kÎ tõ M ®Õn AC còng lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn t¹i M.

Lêi gi¶i: 1. Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iÓm cña »BC => » ¼MB MC=

=> ∠CAM = ∠BAM (hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) => AK lµ

tia ph©n gi¸c cña gãc CAB => AB

AC

KB

KC = ( t/c tia ph©n gi¸c cña tam gi¸c

)

J

H

I K

O

M C

D

B A _

/

2. (HD) Theo gi¶ thiÕt CD ⊥ AB => A lµ trung ®iÓm cña »CD => ∠CMA = ∠DMA => MA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CMD.3. (HD) Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iÓm cña »BC => OM ⊥ BC t¹i I => ∠OIC = 900 ; CD ⊥ AB t¹i

H => ∠OHC = 900 => ∠OIC + ∠OHC = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c OHCI néi tiÕp4. KÎ MJ ⊥ AC ta cã MJ // BC ( v× cïng vu«ng gãc víi AC). Theo trªn OM ⊥ BC => OM ⊥ MJ t¹i J suy ra MJ lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn t¹i M.Bµi 27 Cho ®êng trßn (O) vµ mét ®iÓm A ë ngoµi ®êng trßn . C¸c tiÕp tuyÕn víi ®êng trßn (O) kÎ tõ A tiÕp xóc víi ®êng trßn (O) t¹i B vµ C. Gäi M lµ ®iÓm tuú ý trªn ®êng trßn ( M kh¸c B, C), tõ M kÎ MH ⊥ BC, MK ⊥ CA, MI ⊥ AB. Chøng minh :

Tø gi¸c ABOC néi tiÕp. 2. ∠BAO = ∠ BCO. 3. ∆MIH ∼ ∆MHK. 4. MI.MK = MH2.Lêi gi¶i:



I

K

H M

C

B

A O

H

B

C K

I

M

O A

(HS tù gi¶i)Tø gi¸c ABOC néi tiÕp => ∠BAO = ∠ BCO (néi tiÕp cïng ch¾n cung BO).Theo gi¶ thiÕt MH ⊥ BC => ∠MHC = 900; MK ⊥ CA => ∠MKC = 900

=> ∠MHC + ∠MKC = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c MHCK néi tiÕp => ∠HCM = ∠HKM (néi tiÕp cïng ch¾n cung HM). Chøng minh t¬ng tù ta cã tø gi¸c MHBI néi tiÕp => ∠MHI = ∠MBI (néi tiÕp cïng ch¾n cung IM). Mµ ∠HCM = ∠MBI ( = 1/2 s® ¼BM ) => ∠HKM = ∠MHI (1). Chøng minh t¬ng tù ta còng cã ∠KHM = ∠HIM (2). Tõ (1) vµ (2) => ∆ HIM ∼ ∆ KHM.

Theo trªn ∆ HIM ∼ ∆ KHM => MI MH

MH MK= => MI.MK = MH2

Bµi 28 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O). Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC; E lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua BC; F lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua trung ®iÓm I cña BC.

1. Chøng minh tø gi¸c BHCF lµ h×nh b×nh hµnh.2. E, F n»m trªn ®êng trßn (O).3. Chøng minh tø gi¸c BCFE lµ h×nh thang c©n.4. Gäi G lµ giao ®iÓm cña AI vµ OH. Chøng minh G lµ träng

t©m cña tam gi¸c ABC.Lêi gi¶i:

1. Theo gi¶ thiÕt F lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua trung ®iÓm I cña BC => I lµ trung ®iÓm BC vµ HE => BHCF lµ h×nh b×nh hµnh v× cã hai ®êng chÐo c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®êng .

2. (HD) Tø gi¸c AB’HC’ néi tiÕp => ∠BAC + ∠B’HC’ = 1800

mµ ∠BHC = ∠B’HC’ (®èi ®Ønh) => ∠BAC + ∠BHC = 1800. Theo trªn BHCF lµ h×nh b×nh hµnh => ∠BHC = ∠BFC => ∠BFC + ∠BAC = 1800

= /

=

/ /

/ A'

C'

B'

G O

H

I

F E

C B

A

=> Tø gi¸c ABFC néi tiÕp => F thuéc (O).* H vµ E ®èi xøng nhau qua BC => ∆BHC = ∆BEC (c.c.c) => ∠BHC = ∠BEC => ∠ BEC + ∠BAC = 1800 => ABEC néi tiÕp => E thuéc (O) .

3. Ta cã H vµ E ®èi xøng nhau qua BC => BC ⊥ HE (1) vµ IH = IE mµ I lµ trung ®iÓm cña cña HF => EI = 1/2 HE => tam gi¸c HEF vu«ng t¹i E hay FE ⊥ HE (2)Tõ (1) vµ (2) => EF // BC => BEFC lµ h×nh thang. (3)Theo trªn E ∈(O) => ∠CBE = ∠CAE ( néi tiÕp cïng ch¾n cung CE) (4).Theo trªn F ∈(O) vµ ∠FEA =900 => AF lµ ®êng kÝnh cña (O) => ∠ACF = 900 => ∠BCF = ∠CAE ( v× cïng phô ∠ACB) (5).



Tõ (4) vµ (5) => ∠BCF = ∠CBE (6).Tõ (3) vµ (6) => tø gi¸c BEFC lµ h×nh thang c©n.

4. Theo trªn AF lµ ®êng kÝnh cña (O) => O lµ trung ®iÓm cña AF; BHCF lµ h×nh b×nh hµnh => I lµ trung ®iÓm cña HF => OI lµ ®êng trung b×nh cña tam gi¸c AHF => OI = 1/ 2 AH.Theo gi¶ thiÕt I lµ trung ®iÓm cña BC => OI ⊥ BC ( Quan hÖ ®êng kÝnh vµ d©y cung) => ∠OIG = ∠HAG (v× so le trong); l¹i cã ∠OGI = ∠ HGA (®èi ®Ønh) => ∆OGI ∼ ∆HGA =>

GI OI

GA HA= mµ OI =

1

2 AH =>

1

2

GI

GA= mµ AI lµ trung tuyÕn cña tam gi¸c ABC (do I lµ trung

®iÓm cña BC) => G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC.Bµi 29 BC lµ mét d©y cung cña ®êng trßn (O; R) (BC ≠ 2R). §iÓm A di ®éng trªn cung lín BC sao cho O lu«n n»m trong tam gi¸c ABC. Çc ®êng cao AD, BE, CF cña tam gi¸c ABC ®ång quy t¹i H.

1. Chøng minh tam gi¸c AEF ®ång d¹ng víi tam gi¸c ABC.2. Gäi A’ lµ trung ®iÓm cña BC, Chøng minh AH = 2OA’.3. Gäi A1 lµ trung ®iÓm cña EF, Chøng minh R.AA1 = AA’.

OA’.4. Chøng minh R(EF + FD + DE) = 2SABC suy ra vÞ trÝ cña

A ®Ó tæng EF + FD + DE ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.Lêi gi¶i: (HD)1. Tø gi¸c BFEC néi tiÕp => ∠AEF = ∠ACB (cïng bï ∠BFE) ∠AEF = ∠ABC (cïng bï ∠CEF) => ∆ AEF ∼ ∆ ABC.2. VÏ ®êng kÝnh AK => KB // CH ( cïng vu«ng gãc AB); KC // BH (cïng vu«ng gãc AC) => BHKC lµ h×nh b×nh hµnh => A’ lµ

trung ®iÓm cña HK => OK lµ ®êng trung b×nh cña ∆AHK => AH = 2OA’

A 1

K

A

B C

H O

E

F

D /

/ /

=

/ =

A'

3. ¸p dông tÝnh chÊt : nÕu hai tam gi¸c ®ång d¹ng th× tØ sè gi÷a hia trung tuyÕn, tØ sè gi÷a hai b¸n kÝnh çc ®êng trßn ngo¹i tiÕp b»ng tØ sè ®ång d¹ng. ta cã :

∆ AEF ∼ ∆ ABC => 1

'

'

R AA

R AA= (1) trong ®ã R lµ b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ABC; R’ lµ b¸n

kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ AEF; AA’ lµ trung tuyÕn cña ∆ABC; AA1 lµ trung tuyÕn cña ∆AEF.Tø gi¸c AEHF néi tiÕp ®êng trßn ®êng kÝnh AH nªn ®©y còng lµ ®êng trßn ngo¹i tiÕp ∆AEF

Tõ (1) => R.AA1 = AA’. R’ = AA’ 2

AH = AA’ .

2 '

2

A O

VËy R . AA1 = AA’ . A’O (2) 4. Gäi B’, C’lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AC, AB, ta cã OB’⊥AC ; OC’⊥AB (b¸n kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y kh«ng qua t©m) => OA’, OB’, OC’ lÇn lît lµ çc ®êng cao cña çc tam gi¸c OBC, OCA, OAB.

SABC = SOBC+ SOCA + SOAB =1

2( OA’ . BC’ + OB’ . AC + OC’ . AB )

2SABC = OA’ . BC + OB’ . AC’ + OC’ . AB (3)

Theo (2) => OA’ = R . 1

'

AA

AA mµ 1

'

AA

AAlµ tØ sè gi÷a 2 trung tuyÕn cña hai tam gi¸c ®ång d¹ng AEF

vµ ABC nªn 1

'

AA

AA =

EF

BC. T¬ng tù ta cã : OB’ = R .

FD

AC; OC’ = R .

ED

AB Thay vµo (3) ta ®îc



2SABC = R ( . . .EF FD ED

BC AC ABBC AC AB

+ + ) 2SABC = R(EF + FD + DE)

* R(EF + FD + DE) = 2SABC mµ R kh«ng ®æi nªn (EF + FD + DE) ®¹t gÝ trÞ lín nhÊt khi SABC.

Ta cã SABC = 1

2AD.BC do BC kh«ng ®æi nªn SABC lín nhÊt khi AD lín nhÊt, mµ AD lín nhÊt khi

A lµ ®iÓm chÝnh giìa cña cung lín BC.

Bµi 30 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O; R), tia ph©n gi¸c cña gãc BAC c¾t (O) t¹i M. VÏ ®êng cao AH vµ b¸n kÝnh OA.

1. Chøng minh AM lµ ph©n gi¸c cña gãc OAH.2. Gi¶ sö ∠B > ∠C. Chøng minh ∠OAH = ∠B - ∠C.3. Cho ∠BAC = 600 vµ ∠OAH = 200. TÝnh:

a) ∠B vµ ∠C cña tam gi¸c ABC.b) DiÖn tÝch h×nh viªn ph©n giíi h¹n bëi d©y BC vµ cung nhá BC theo R

Lêi gi¶i: (HD)1. AM lµ ph©n gi¸c cña ∠BAC => ∠BAM = ∠CAM => ¼ ¼BM CM= =>

M lµ trung ®iÓm cña cung BC => OM ⊥ BC; Theo gi¶ thiÕt AH ⊥ BC => OM // AH => ∠HAM = ∠OMA ( so le). Mµ ∠OMA = ∠OAM ( v× tam gi¸c OAM c©n t¹i O do cã OM = OA = R) => ∠HAM = OAM => AM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc OAH.

M

D

O

H C B

A

2. VÏ d©y BD ⊥ OA => » »AB AD= => ∠ABD = ∠ACB.

Ta cã ∠OAH = ∠ DBC ( gãc cã c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc cïng nhän) => ∠OAH = ∠ABC - ∠ABD => ∠OAH = ∠ABC - ∠ACB hay ∠OAH = ∠B - ∠C.3. a) Theo gi¶ thiÕt ∠BAC = 600 => ∠B + ∠C = 1200 ; theo trªn ∠B ∠C = ∠OAH => ∠B - ∠C = 200 .

=> 0 0

0 0

120 70

20 50

B C B

B C C

∠ +∠ = ∠ = ⇔ ∠ −∠ = ∠ =

b) Svp = SqBOC - S V

BOC = 2 2

0

. .120 1. 3.

360 2 2

R RR

π − = 2 2 2. . 3 .(4 3 3)

3 4 12

R R Rπ π −− =

C¸C BµI TO¸N N¢NG CAO C©u V(0,5®): HN

Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2 2 3 21 1 1(2 2 1)

4 4 2x x x x x x− + + + = + + +

Bµi 5: (1,25®) hue

Mét c¸i phÔu cã h×nh trªn d¹ng h×nh nãn ®Ønh S, b¸n kÝnh ®¸y R = 15cm, chiÒu cao h = 30cm. Mét h×nh trô ®Æc b»ng kim lo¹i cã b¸n kÝnh ®¸y r = 10cm ®Æt võa khÝt trong h×nh



nãn cã ®Çy níc (xem h×nh bªn). Ngêi ta nhÊc nhÑ h×nh trô ra khái phÔu. H·y tÝnh thÓ tÝch vµ chiÒu cao cña khèi níc cßn l¹i trong phÔu.

Bài 5: Hà Tĩnh Các số [ ]4;1,, −∈cba thoả mãn điều kiện 432 ≤++ cba

chứng minh bất đẳng thức: 3632 222 ≤++ cba

Đẳng thức xảy ra khi nào?Câu 5: (1,0 điểm) BÌNH ĐỊNHCho 3 số dương a, b, c thoả mãn điều kiện a+b+c=3. Chứng minh rằng:


Vôùi moãi soá k nguyeân döông, ñaët Sk = ( 2 + 1)k + ( 2 - 1)k

Chöùng minh raèng: Sm+n + Sm- n = Sm .Sn vôùi moïi m, n laø soá

nguyeân döông vaø m > n.Bµi 5 (1,5 ®iÓm) nam ®Þnh

1) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 2 2 2

2 0

( 1) 1

x y xy

x y x y xy

+ − =

+ − = − +

2) Chøng minh r»ng víi mäi x ta lu«n cã: 2 2(2 1) 1 (2 1) 1x x x x x x+ − + > − + +

Bài 4 :(1điểm) HẢI PHÒNG

Cho 361 số tự nhiên 1 2 3 361a ,a ,a ,.............., a thoả mãn điều kiện

1 2 3 361

1 1 1 1.................. 37

a a a a+ + + + =

Chứng minh rằng trong 361 số tự nhiên đó, tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau.Bài 5 (0,5 điểm) THÁI BÌNH

Giải phương trình: ( )2 2 3 21 1 12 2 1

4 4 2x x x x x x- + + + = + + +


Giải phương trình: 1 1 1 1

3x 2x 3 4x 3 5x 6

+ = + ÷− − − .

Bài 5 (1,0 điểm) THANH HÓA

Cho số thực m, n, p thỏa mãn : 2

2 2 31

2

mn np p+ + = − .

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : B = m + n + p.



Bài 4. ( 1,5 điểm ) ĐÀ NẲNGNgười ta rót đầy nước vào một chiếc ly hình nón thì được 8 cm3. Sau đó người ta rót nước từ ly ra để chiều cao mực nước chỉ còn lại một nửa. Hãy tính thể tích lượng nước còn lại trong ly.

Câu 5 : PHÚ YÊN ( 1.0 điểm ) Cho D là điểm bất kỳ trên cạnh BC của tam giác ABC

nội tiếp trong đường tròn tâm O Ta vẽ hai đường tròn tâm O1 , O2 tiếp xúc AB , AC

lần lượt tại B , C và đi qua D . Gọi E là giao điểm thứ hai của hai đường tròn này .

Chứng minh rằng điểm E nằm trên đường tròn (O)

C©u V : (1 ®iÓm) H¶i d Ư¬ng Cho x, y tháa m·n: 3 3x 2 y y 2 x+ − = + − .

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: = + − + +2 2B x 2xy 2y 2y 10 . Câu 5:(1,0 điểm) H¶i D¬ng chÝnh thøc

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A = 2

6 4x

x 1

−+

Bµi 5: Hµ Giang (1,0 ®iÓm) TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: P = 2 0 2 0 2 0 2 0sin 15 sin 25 sin 65 sin 75+ + +

Bài 5: (1 điểm) BÌNH THUẬN

Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón có chiều cao h = 12 cm và

bán kính đường tròn đáy r = 9 cm.Câu 5: (1đ) Long An

Cho b,c là hai số thoả mãn hệ thức: 1 1 1

2b c+ =

Chứng minh rằng ít nhất 1 trong hai phương trình sau phải có nghiệm:x2+bx+c=0 (1) ; x2+cx+b=0 (2) C©u 7: (0,5 ®iÓm) B¾c Ninh Cho h×nh thoi ABCD. Gäi R, r lÇn lît lµ b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABD, ABC, a lµ ®é dµi c¹nh cña h×nh

thoi. Chøng minh r»ng: 2 2 2

1 1 4

R r a+ =

C©u VI:(0,5 ®iÓm) B¾c giang

Cho c¸c sè d¬ng x, y, z tháa m·n xyz - 16

0x y z

=+ +

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P = (x+y)(x+z)C©u VI:(0,5 ®iÓm) B¾c giangT×m sè nguyªn x; y tho¶ m·n ®¼ng thøc: x2+ xy +y2 - x2y2 = 0Bài 5: (1,0 điểm) ĐĂK LĂK

Gọi 1 2x , x là hai nghiệm của phương trình: 2 2x 2(m 1)x 2m 9m 7 0+ + + + + =

(m là tham số).



Chứng minh rằng : 1 21 2

7(x x )x x 18

2

+− ≤

Bài 5: (1,0 điểm) ÐẠI HỌC TÂY NGUYÊN

Cho x, y >0 và x y 1+ ≤ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2

1 1A

x y xy= +

+

Bµi 5: (1, 0 ®iÓm) hƯng yªn

Cho hai sè a,b kh¸c 0 tho¶ m·n 2a2 + 2

2

1

4+b

a = 4

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc S = ab + 2009.


Tổng hợp các dạng đề thi vào 10 truonghocso.com

Education

Transcript of Tổng hợp các dạng đề thi vào 10 truonghocso.com