Tomt Word dokument - Betonelement-Foreningen (BEF) · 1 GENERELT 11 1.1 Introduktion 12 1.2 Teori...

Betonelementbyggeriers statik

Redigeret af Jesper Frøbert Jensen

Betonelement

Byggeriers statik

Betonelementbyggeriers statikRedigeret af Jesper Frøbert Jensen

1 udgave, 1 oplag 2010 Copyright © 2010, Polyteknisk Forlag, Lyngby

ISBN10 87-502-0995-7

ISBN13 978-87-502-0995-9

Ingen del af denne bog må gengives, lagres i et søgesystem eller transmitteres i nogen form eller med noget middel, grafisk, elektronisk, mekanisk, fotografisk, indspillet på plade eller bånd, overført til databanker eller på anden måde, uden forlagets skriftlige tilladelse. Enhver kopiering fra denne bog må kun ske efter reglerne i lov om ophavsret.

Omslag: PHY GrafiskOmslagsfoto: Jens Landorph, PHY Grafisk

Tryk: InPrint

Printed in Latvia 2010

Polyteknisk Forlag

Anker Engelunds Vej 1

2800 LyngbyTel.: 77 42 43 28Fax: 77 42 43 54e-post: [email protected] hjemmeside: www.polyteknisk.dk

1 GENERELT 11

1.1 Introduktion 12

1.2 Teoriogberegningeripraksis 14

1.3 Dokumentationforbærendekonstruktioner 15

2 GRUNDLÆGGENDE MATERIALEMODELLER 19

2.1 Beton 20

2.2 Armeringsstål 36

2.3 Forspændingsstål 37

3 LODRETTE LASTVIRKNINGER 39

3.1 Lodrettelaster 40

3.2 Lastkombinationer 44

3.3 Lodretlastnedføring 47

3.4 Lastspecifikationer 56

3.5 Beregningsprogrammer 68

4 HOVEDSSTABILITET 73

4.1 Generelt 74

4.2 Vandretlastfordeling 76

4.3 Opstillingafgeneraliseretmodel 96

4.4 Beregningsprogram 108

5 SKIVESTATIK 109

5.1 Dækskiver 110

5.2 Vægskiver 134


6 ARMEREDE BJÆLKER 153

6.1 Brudgrænsetilstande 154

6.2 Anvendelsesgrænsetilstande 189


indhold

7 FORSPÆNDTE ELEMENTER 209

7.1 Princippervedforspændteelementer 210

7.2 Indledendeprojekteringmedforspændteelementer 212

7.3 Tværsnitsanalyse,rektangulærttværsnit 217

7.4 Vilkårligttværsnitmedforspænding 732


8 SØJLE- OG VÆGELEMENTER 253




8.4 Skævbøjning 292

9 BRAND 297

9.1 Materialeegenskaberunderbrand 298

9.2 Bjælkeribrandtilstanden 311


9.4 Søjlerogvæggeibrandtilstanden 324


10 DETAILSTATIK 339

10.1 Detailberegningvedgitteranalogien 341

10.2 Forankringer 349

10.3 Særligeanvendelser 358

10.4 Udstøbningssamlinger 372

11 TVANGSDEFORMATIONER 379

11.1 Geometriændringer 380

11.2 Luftfugtighedensbetydning 381

11.3 Temperaturensbetydning 382

11.4 Lastensbetydning 383

11.5 Anvendelseseksempler 384

12 TOLERANCER 391

12.1 Håndteringaftolerancer 392


INDEX Detaljeretindholdsfortegnelse 405

FORORD

Danmark har førerpladsen i Europa, når der tales om anvendelse af

betonelementer til nybyggeri.

En sådan position er ikke opstået af sig selv, men er et resultat af en

samfundsmæssig bevidst satsning på industrialiseret byggeri og en stærk

brancheorganisation, Betonelement-Foreningen, der har som målsætning at

gøre det ukompliceret at designe og projektere betonelementkonstruktioner.

For at sikre at betonelementer også i fremtiden er det naturlige valg af

byggemateriale, har Betonelement-Foreningen besluttet at medvirke til, at

overgangen fra DS-normerne til EuroCodes ikke alene forløber gnidningsfrit og

uden at kompromittere sikkerheden, men også åbner mulighederne for at

indhøste og synliggøre de kapacitetsmæssige landvindinger, der ligger i

anvendelsen af EuroCodes.

Denne bog er et af Betonelement-Foreningens fællesværktøjer.

Ud over en opdatering på områder vedrørende hovedstabilitet, skivestatik,

detailstatik mv. præsenterer bogen en lang række nyskabelser.

Først og fremmest er det lykkedes at skabe praktisk anvendelige

beregningsmetoder til brug for dimensionering af bjælker, søjler og vægge på

grundlag af EuroCode 2’s generelle, ulineære model for betonens

materialeegenskaber.

Dette gælder både for den sædvanlige statik og for konstruktioner under

brandpåvirkning. Sammenligning med forsøg har vist overordentlig god

overensstemmelse mellem forsøgsresultaterne og beregning med anvendelse af

de udviklede metoder.

Samtidig er det en bærende idé gennem bogen at adskille beregning af

lastvirkninger i konstruktionerne fra beregningen af konstruktionernes

7

0 | Forord BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK

bæreevner. Dermed kan praktikeren opnå en væsentlig effektivisering under

design og dokumentation af konstruktionerne. Dels fordi relativt få beregninger

kan dække større puljer af ensartede konstruktionselementer, dels fordi løbende

revisioner af lastvirkninger og geometri under projekteringen kan håndteres

uden gentagne bæreevneeftervisninger.

I sammenhæng hermed er der udviklet en fast og præcis struktur for

bestemmelse af lastvirkninger ned gennem bygningen, så det bliver enkelt og

sikkert at specificere netop de lastvirkninger, der skal sammenholdes med

konstruktionselementernes beregnede bærevener.

For de forspændte konstruktioners vedkommende præsenteres en

sammenhængende metodik for design i praksis, og der gennemgås for første

gang en komplet teoretisk model til håndtering af forspændte tværsnit med

vilkårlig tværsnitsform på basis af de grundlæggende materialemodeller for

beton og forspændingsstål.

Endelig er bogens teori og beregningseksempler tæt knyttet til en hel buket af

digitale beregningsmoduler, der frit kan hentes fra Betonelement-Foreningens

hjemmeside til direkte anvendelse i statiske beregninger. Dermed fungerer

bogen også som baggrundsdokumentation og vejledning til brugen af alle disse

beregningsmoduler.

Samlet forventes bogen med de tilhørende beregningsmoduler at føre til

væsentlige besparelser i fremtidige betonelementprojekter. Både i form af

tidsmæssige besparelser under projekteringen og i form af materialemæssige

besparelser, fordi de projekterende hurtigt og sikkert kan finde frem til det

optimale design af elementerne.

Det er Betonelement-Foreningens håb, at resultaterne hurtigt vil vinde

udbredelse i praksis og dermed understøtte udviklingen frem mod mere og mere

bæredygtigt byggeri.

8

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 0 | Forord

Foreningen ønsker at takke de mange særligt sagkyndige både fra

medlemskredsen og udefra for deres inspirerende og udfordrende indslag.

Foreningen ønsker i særdeleshed at takke bogens redaktør og hovedforfatter,

civilingeniør, lic. techn. Jesper Frøbert Jensen uden hvis utrættelige indsats og

dybe indsigt i normer og i betonelementkonstruktioner projektet næppe ville

være blevet realiseret. Den samlede forfattergruppe er fra ALECTIA A/S og har

ud over redaktøren omfattet: Anna Hvidberg-Hansen, Lars Zenke Hansen og

Mikkel Christiansen

Betonelement-Foreningen, juni 2010

Claus Bering Poul Erik Hjorth

Formand Direktør

9

0 | Forord BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK

10

1GEnErElT

1 GENERELT

1.1 Introduktion

1.2 Teoriogberegningeripraksis

1.3 Dokumentationafbærendekonstruktioner

1.3.1 Overordnedestatiskeberegninger

1.3.2 Bygningsdelsberegninger

1 | Generelt BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK

1.1 Introduktion

De fælleseuropæiske normer, EuroCodes, er i disse år ved at blive implemente-

ret i praksis. Danmark overgik som et af de første lande i januar 2009 til det nye

normgrundlag, og Betonelement-Foreningen iværksatte allerede i 2007 en ræk-

ke initiativer for at forberede branchen til overgangen.

Et af initiativerne handlede om at etablere en række brugervenlige beregnings-

moduler til projektering af almindeligt forekommende konstruktioner i etage-

byggerier baseret på EuroCodes. Beregningsmodulerne har siden 1. januar 2009

været frit tilgængelige for alle på Betonelement-Foreningens hjemmeside,

www.bef.dk.

I denne sammenhæng har følgende EuroCodes med tilhørende danske nationale

annekser naturligt haft særligt fokus:

EC0: DS/EN 1990. EuroCode 0: Projekteringsgrundlag for bærende konstruk-

tioner.

EC1: DS/EN 1991-1-1. EuroCode 1: Last på bærende konstruktioner – Del 1-

1: Generelle laster – Densiteter, egenlast og nyttelast for bygninger.

DS/EN 1991-1-4. Eurocode 1: Last på bygværker – Del 1-4: Generelle

laster – Vindlast.

EC2: DS/EN 1992-1-1. EuroCode 2: Betonkonstruktioner – Del 1-1: Generelle

regler samt regler for bygningskonstruktioner.

DS/EN 1992-1-2. EuroCode 2: Betonkonstruktioner – Del 1-2: Generelle

regler – Brandteknisk dimensionering.

Betonnormerne, EC2, rummer et grundlag for udvikling af nye beregningsmeto-

der på basis af grundlæggende materialemodeller. Dette gælder både for den

sædvanlige statik og for statikken i brandsituationen. Normerne introducerer

hermed et godt grundlag for udvikling af IT-baserede beregningsmetoder; men

synes åbenbart ikke at finde disse metoder egnet som grundlag for metoder til

beregninger under daglig projektering. I stedet introduceres til brug for håndbe-

12

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Generelt | 1

regninger en del tilnærmede beregningsmetoder, der imidlertid rummer en del

inkonsekvenser og unøjagtigheder – dog generelt på den sikre side.

Indledende analyser viste, at man for sædvanlige konstruktionselementer af

beton rent faktisk kan komme meget langt ved anvendelse af de grundlæggende

materialemodeller. For både bjælker, søjler og vægge kan de nye normers ma-

tematiske udtryk for betonens ulineære arbejdslinjer i kold og varm tilstand

omsættes direkte til operationelle formler til anvendelse i tværsnitsanalyser.

Yderligere viser det sig, at beregningsresultaterne baseret herpå giver særdeles

god overensstemmelse med eksisterende forsøgsresultater både i kold tilstand

og under brand. Se nærmere i dokumentationsrapporten hørende til bereg-

ningsmodulerne for søjler og vægge på www.bef.dk.

Med denne lærebog har det været ønsket at demonstrere, hvorledes de grund-

læggende materialemodeller i de nye EuroCodes kan anvendes til opstilling af et

sæt konsistente beregningsmetoder, der bredt dækker behovet ved sædvanlige

betonelementbyggerier.

Bogen rummer alle væsentlige aspekter af de statiske beregninger, der alminde-

ligvis skal udføres i forbindelse med gennemførelse af et betonelementprojekt.

Se afsnit 1.3.

I hvert kapitel præsenteres de teoretiske metoder, der føres frem til direkte

anvendelige designformler, og resultaterne demonstreres anvendt på talek-

sempler. Yderligere er forbindelsen til beregningsmodulerne på www.bef.dk illu-

streret ved programudskrifter med samme inddata som anvendt i eksemplerne.

På den måde fremkommer en klar linje, lige fra de grundlæggende materiale-

modeller, gennem de teoretiske metoder og designformler, over taleksemplerne

og helt frem til beregningsmodulerne.

Når der i bogens forskellige afsnit henvises til EC0, EC1 og EC2, menes foran-

nævnte EuroCodes med tilhørende danske nationale annekser gældende pr. 1.

januar 2010. Med bogens udgangspunkt i de grundlæggende materialemodeller

13


forventes kommende revisioner af normgrundlaget ikke at få væsentlig betyd-

ning for bogens indhold.

1.2 Teori og beregninger i praksis

Designformler kan ikke ændre på, at moderne betonstatik er meget omfattende

som følge af de mange forhold, der skal undersøges. De fleste bygningsdele vil

derfor fremover hovedsagelig blive dimensioneret under anvendelse af IT-

værktøjer. Dette fratager dog ikke den projekterende ansvaret for beregninger-

nes rigtighed.

Med den foreliggende bog og de tilknyttede beregningsmoduler på www.bef.dk

har praktikeren nu flere midler til rådighed for sin kvalitetssikring:

Direkte dimensionering og beregningsmæssig eftervisning med brug af

beregningsmodulerne på www.bef.dk: Bogens eksempler rummer direk-

te anvisning på, hvorledes beregningsresultater overkommeligt kan stik-

prøvekontrolleres ved håndberegning.

Nye IT-redskaber: Bogens teoretiske resultater kan sammen med ek-

semplerne og beregningsmodulerne på www.bef.dk anvendes som

grundlag for både udvikling og kontrol af nyt programmel, eller til brug

for godkendelseskontrol af nyindkøbte programmer.

Praktisk anvendelse af integrerede design- og beregningsprogrammer:

Beregningsmodulerne kan anvendes til brug for uafhængige parallelbe-

regninger, hvilket er et væsentligt element i kvalitetssikringen af resul-

taterne fra komplekse modelberegninger.

Med henblik på ovenstående er der ved udviklingen af beregningsmodulerne på

www.bef.dk lagt særlig vægt på at resultaterne præsenteres med angivelse af

udvalgte delresultater, der netop gør det enkelt at foretage de nødvendige kon-

troller.

14


1.3 Dokumentation af bærende konstruktioner

1.3.1 Overordnede statiske beregninger

Med årene har der i Danmark udviklet sig en praksis for struktureringen af den

statiske dokumentation hørende til en byggesag, se SBI-anvisning 223: Doku-

mentation af bærende konstruktioner, der opdeler den statiske dokumentation i

følgende hovedbestanddele:

A. Konstruktionsdokumentation:

A1. Projektgrundlag

A2. Statiske beregninger

A3. Konstruktionstegninger og modeller

A4. Konstruktionsændringer

B. Projektdokumentation:

B1. Statisk projekteringsrapport

B2. Statisk kontrolrapport

B3. Statisk tilsynsrapport

Nærværende bog fokuserer heraf på indholdet af del A2. Statiske beregninger,

der i praksis opdeles i:

A2.1. Statiske beregninger – Bygværk, hvis formål er at dokumentere bygvær-

kets overordnede sikkerhed og anvendelse, fx udtrykt ved fordeling af la-

ster, snitkræfter og reaktioner.

A2.2. Statiske beregninger – Konstruktionsafsnit, hvis formål er at dokumentere

de enkelte konstruktionsafsnits sikkerhed og anvendelse, fx udtrykt ved

fordeling af snitkræfter samt eftervisning i brud- og anvendelsesgrænsetil-

stand.

De Statiske Beregninger – Bygværk varetages af den såkaldt ”bygværksprojek-

terende”. De detaljerede bygningsdelsberegninger hørende under Statiske be-

regninger – Konstruktionsafsnit udføres ofte af andre parter, dog stadig med den

15


bygværksprojekterende som ansvarlig for koordineringen, og de skal altid udfø-

res i nøje overensstemmelse med forudsætningerne fastlagt i A1. Projektgrund-

lag og A2.1 Statiske beregninger – Bygværk.

1.3.2 Bygningsdelsberegninger

Ved mange betonelementbyggerier leveres en del af bygningsdelsberegningerne

efter aftale af elementleverandøren. Det kan eksempelvis være beregninger

vedrørende dæk- eller bjælkeelementer.

Et sammenhængende sæt af bygningsdele svarer til et såkaldt Konstruktionsaf-

snit, jf afsnit 1.3.1. For hvert konstruktionsafsnit skal forudsætningerne stilles

klart op, før man går videre med beregningerne. Klart formuleret opgavebeskri-

velse, materialeforudsætninger og lastforudsætninger er nødvendig for en sikker

kommunikation, hvor flere parter samarbejder, og er helt afgørende for den

bygværksprojekterendes mulighed for at varetage koordineringen og den over-

ordnede kvalitetssikring.

Projektgrundlag - Konstruktionsafsnit

Dette indledende afsnit i de statiske beregninger vedrørende et konstruktionsaf-

snit bør indeholde en opgavebeskrivelse med entydig henvisning til byggesagen,

og en klar afgrænsning af de omfattede bygningsdele.

De anvendte materialer specificeres også i dette afsnit med angivelse af deres

mekaniske egenskaber. Desuden angives hvilke særlige standarder, bereg-

ningsmetoder, beregningsværktøjer osv., der anvendes i beregningerne.

Hovedstatik for konstruktionsafsnit

Her bestemmes belastningsforudsætningerne for beregningerne af de enkelte

konstruktionsdele. Lastforudsætningerne kan være en opstilling af de basale

laster, eventuelt suppleret med en oversigt over de grupper af elementer der

beregningsmæssigt slås sammen.

16


I mange tilfælde vil det på dette sted være bekvemt kun at oplyse de forudsatte

lasters karakteristiske værdi med samtidig angivelse af lastkategori i henhold til

EC1. Bestemmelse af de regningsmæssige belastninger knyttes ofte med fordel

til de enkelte bygningsdelsberegninger, da den farligste lastkombination normalt

varierer fra bygningsdel til bygningsdel.

Under lastforudsætninger hører også oplysninger om konsekvensklasse og krav

til brandmodstandsevne.

Hvor et konstruktionsafsnit omfatter samvirkende bygningsdele fastlægges i

dette afsnit hvorledes snitkræfter overføres mellem de enkelte bygningsdele. I

den sammenhæng bør også redegøres for størrelsen af tvangslaster fra bevæ-

gelser i lejer etc.

Eftervisning af ydeevne

Dette afsnit opdeles i underafsnit svarende til de konstruktionsdele, der er

indgår i konstruktionsafsnittet.

For hver konstruktionsdel beskrives virkemåden ved tekst og eventuelt skitser,

og det eftervises ved statiske beregninger, at alle krav til sikkerhed og funktion

er opfyldt; se SBi-anvisning 223 kap. 2.3 om udarbejdelse og opbygning af af de

statiske beregninger samt fremgangsmåde ved eftervisning af ydeevne for

konstruktionsdelene.

I en række tilfælde vil der på baggrund af resultaterne fra konstruktionsafsnittes

hovedstatik kunne foretage en gruppering af statisk set ensartede

konstruktionsdele, hvor det for en sådan gruppe er muligt at gennemføre

eftervisningen samlet. Dette er almindeligvis enkelt at gøre for simpelt

understøttede dæk og bjælker; mens der normalt kræves en særlig systematik

for lodret bærende elementer, hvor belastningsforholdene ofte er mere

komplekse. Se eksempelvis afsnit 3.4, der anviser, hvordan dette kan gøres

systematisk for søjler og vægge.

17


18

2 GrUndlÆGGEndE

MATErIAlEModEllEr

2 GRUNDLÆGGENDEMATERIALEMODELLER

2.1 Beton

2.1.1 Middelarbejdslinje

2.1.2 Brudgrænsetilstande

2.1.3 Tværsnitsanalyse–generelmetode

2.1.4 Anvendelsesgrænsetilstande

2.1.5 Krybningogsvind

2.1.6 Eksempel–Beregningafslutkrybetalogslutsvind

2.2 Armeringsstål

2.3 Forspændingsstål

2 | Grundlæggende materialemodeller BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK

2.1 Beton

Arbejdslinjen er et nyttigt redskab til at karakterisere et materiales egenskaber,

der angiver sammenhængen mellem spændinger og tøjninger. For beton er ar-

bejdslinjen imidlertid ikke en entydig størrelse. Den afhænger af betonens styr-

ke, krybning i betonen som følge af langtidsvarende lastpåvirkninger og af tem-

peraturpåvirkninger i tilfælde af brand. For temperaturpåvirkninger i tilfælde af

brand henvises til kapitel 9.

2.1.1 Middelarbejdslinje

Først ses på betonens middelarbejdslinje for korttidspåvirkninger i kold tilstand.

I det generelle tilfælde er givet et analytisk udtryk for sammenhængen mellem

betonens trykspænding, σc, og betonens tryktøjning, εc:

cm

c

c

c

c

c

c

c fk

k

⋅⋅−+

−⋅=

1

21

2

1

)2(1εε

εε

εε

σ c cuε ε≤

hvor

εc1 er den tøjning, der svarer til toppunktet på arbejdslinjen

fcm er betonens middelcylindertrykstyrke

εcu er betonens brudtøjning, og parameteren k er bestemt ved:

cm

ccm

f

Ek 105,1 ε⋅⋅

= hvor Ecm er sekantelasticitetsmodulet.

Sekantelasticitetsmodulet, Ecm, defineres i EC2 som hældningen af sekanten

mellem arbejdslinjens begyndelse og punktet ved 0,4 fcm, hvor fcm er betonens

middelcylinderstyrke

20

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Grundlæggende materialemodeller | 2

For betoner med karakteristisk trykstyrke op til og med fck = 50 MPa anfører

EC2 følgende udtryk for de indgående parametre til fuldstændig fastlæggelse af

middelarbejdslinjen som funktion af fck:

MPaff ckcm 8+=

[ 3,010/)(22000 cmcm fE ⋅= ]

m

Ecm og fcm i MPa

0,311 0,0007c cfε = ⋅

0035,0=cuε

Dermed kommer en typisk middelarbejdslinje for betonen til at se ud som vist

på figur 2-1. Det ses, at sammenhængen mellem spændinger og tøjninger ikke

er lineær.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 0,001 0,002 0,003 0,004 ε c

σ c (MPa)

ε c1

f cm

Figur 2-1: Typisk middelarbejdslinje for beton, fck = 25 MPa

21



Ved beregninger i brudgrænsetilstande anvendes formlerne til bestemmelse af

arbejdslinjen for betoner med trykstyrke op til og med karakteristisk trykstyrke

fck = 50 MPa på følgende form:

cd

c

c

c

c

c

c

c fk

k

⋅⋅−+

−⋅=

1

21

2

1

)2(1εε

εε

εε

σ c cuε ε≤

Parameteren k er i brudgrænsetilstanden bestemt ved:

cd

ccd

f

Ek 105,1 ε⋅⋅

=

hvor betonens regningsmæssige trykstyrke og sekantelasticitetsmodul i forhold

til udtrykket for middelarbejdslinjen findes ved reduktion med partialkoefficien-

ten γC:

/cd ck Cf f γ=

[ ]0,322000 ( 8 ) /10 /cd ck CE f MPa γ= ⋅ +

For arbejdslinjen vist på figur 2-2 er regnet med en partialkoefficient på γC =

1,4.

Til brug for tværsnitsdimensionering anviser EC2 forskellige forenklede udtryk

for betonens arbejdslinje. For betonelementer har valget af udtryk for arbejds-

linjen i praksis kun betydning ved beregning af momentpåvirkede elementer. I

de senere kapitler 6 - 8 er det vist, at der ikke er særlige problemer med at an-

vende de generelle udtryk for arbejdslinjen i praktisk dimensionering. Det er

derfor til brug i brudgrænsetilstande valgt at se bort fra de forenklede udtryk for

arbejdslinjen og i stedet opnå fordelene ved en samlet konsistent model, der har

vist sig at føre til resultater i fin overensstemmelse med forsøg.

22


0

5

10

15

20

25

30

0 0,001 0,002 0,003 0,004

ε c1

f cd

ε c

σ c (MPa)

Figur 2-2: Typisk regningsmæssig arbejdslinje for beton, fck = 25 MPa

Det skal understreges, at udtrykkene i dette afsnit alene gælder for korttidspå-

virkninger. Når undersøgelser i brud- og anvendelsesgrænsetilstanden omfatter

langtidspåvirkninger, skal der også tages hensyn til betonens krybning, jf. afsnit

2.1.5.

2.1.3 Tværsnitsanalyse – generel metode

For bjælker, vægge og søjler, behandlet i kapitlerne 6, 7 og 8, bestemmes ar-

meringens bidrag og ligningerne for statisk ækvivalens opstilles og løses. Som

input til disse ligninger skal placeringen og størrelsen af betonspændingernes

resultant kendes. Netop disse to størrelser bestemmes i dette afsnit som funkti-

on af tøjningen ε0 i toppen af tværsnittet samt tøjningen i bunden af tværsnittet,

der dog er givet ved andre parametre.

For brudgrænsetilstanden antages, at betonens trækstyrke er nul.

23


y

ε0

h

y’ x

Nc

εc σc

Figur 2-3: Definitioner, som anvendes ved tværsnitsanalyse

Spændingsfordelingen i betontværsnittet bestemmes ud fra arbejdslinjen i brud-

grænsetilstanden, jævnfør afsnit 2.1.2. Tværsnittets tøjning varierer lineært, og

ved den ene betonkant fås tøjningen ε0. Spændingsvariationen fås ved at indføre

tøjningen εc som betegner betonens tøjning i et givet punkt i tværsnittet. Nullin-

jens dybde betegnes x. Hermed kan σc omskrives til formen angivet nedenfor.

Ved omskrivningen benyttes substitutionen t = y/x, hvilket giver εc = tε0.

( ) ( )cd

c

c

ccd

c

c

c

c

c

c

c ftkt

k

tk

fk

k

1

0

1

0

1

0

1

21

2

1

21

1

...21

εε

εε

εε

εε

εε

εε

σ−+

−==⋅

⋅−+

−⋅=

hvor parameteren k er angivet i afsnit 2.1.2 for brudgrænsetilstanden.

For overskuelighedens skyld indføres følgende konstanter:

1

0

ckA

εε= og ( )

1

02c

kBεε−=

24


Herved reduceres udtrykket for betonspændingen til:

( )2

0 0

1 1

1

1 1c cd cdc c

At tkt f k f t A B

Bt B

ε εσε ε t

−= = − − − −

Ud fra ovenstående udtryk er det muligt at bestemme resultanten af betontryk-

spændingerne ved integration over trykzonen:

1

c cN bx d

ζ

σ= t

hvor b er betontværsnittets bredde, h er tværsnittets højde og

>−≤

= hxx

hxhx

for

for 0ζ

Indsættes udtrykket for σc i udtrykket for betonens trykresultant fås:

( )

( ) ( ) ( )

ζ

εε

ε ζ ζ ζε ζ

= − − ⇔ −

− −= − + − + − + −

1

20

1

2 2 203

1

...1

1 11 1 2 1 2ln

2 1

c cdc

c cdc

tN bxk f t A B dt

Bt

A B BN bxk f B B

B B

På dimensionsløs form kan trykresultanten skrives som:

cc

cd

NN

bxf′ =

hvilket giver:

( ) ( ) ( )2 2 203

1

1 11 1 2 1 2ln

2 1cc

A B BN k B B

B B

ε ζ ζ ζε ζ

− −′ = − + − + − + −

25


Herefter kan afstanden y’ fra resultantens placering til nullinjen bestemmes.

Dette gøres ved at bestemme resultantens moment omkring nullinjen:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

ζ

ζ

σ

εε

ε ζ ζ ζ ζε ζ

′ = ⇔

′ = − − ⇔ −

− −′ = − − − − − − − − − −

1

2

13

2 20

1

2 3 3 3 2 204

1

...1

1 11 2 1 3 1 6 1 6ln

3 2

c c

c cdc

c cdc

y N bx t dt

ty N bx k f t A B dt

Bt

A B By N bx k f B B B

B B1

Betonresultantens moment om nullinjen kan tilsvarende skrives dimensionsløst:

2

' cc

cd

y NN

bx f′′ =

hvilket giver:

( ) ( ) ( ) ( )'' 3 3 3 2 204

1

1 11 2 1 3 1 6 1 6ln

3 2 1cc

A B BN k B B B

B B

ε ζ ζ ζ ζε ζ

− −= − − − − − − − − − −

Resultantens placering målt fra nullinjen kan herved bestemmes som:

′′ ′′′′ = = =′ ′

2c cd c

c cd c c

y N bx f N Ny x

N bxf N Nc


Ved beregning af spændinger og nedbøjninger i anvendelsestilstanden kan med

god tilnærmelse anvendes en lineærelastisk model, hvor der for betonen ved

korttidspåvirkninger anvendes følgende elasticitetsmodul for danske betoner:

13510007,0, +

⋅⋅=ck

ckKc f

fE

På figur 2-4 er den lineære arbejdslinje vist i forhold til den ikke-lineære.

26


0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 0,001 0,002 0,003 0,004 ε c

σ c (MPa)

ε c1

f cm

σ c = 0,7 E cok e cσc = Ec,K⋅εc

Figur 2-4: Den lineære arbejdslinje vist i forhold til en

typisk middelarbejdslinje for beton, fck = 25 MPa

Ved beregningerne anvendes ofte transformerede tværsnit, hvor armeringens

elasticitetsmodul, Es, benyttes som reference-elasticitetsmodul. For et punkt i

betontværsnittet med en given tøjning, εc, udtrykkes den tilhørende betonspæn-

ding typisk på formen:

Kscc E αεσ /⋅=

hvor

KcsK EE ,/=α

For langtidspåvirkninger skal der tages hensyn til effekten af krybning, hvilket

kan ske ved at anvende følgende værdi af betonens elasticitetsmodul:

)),(1/( 0,, tEE KcLc ∞+= ϕ

Hvor krybetallet, ϕ(∞,t0)=ϕ0 på tidspunktet t=∞ for en konstant trykspænding,

σc, påført på et tidspunkt udtrykt ved betonens modenhedsalder, t0, findes som

27


beskrevet i afsnit 2.1.5. Ved tværsnitsanalysen medfører dette, at der svarende

til rene langtidspåvirkninger benyttes:

Lscc E αεσ /⋅=

Hvor

)),(1( 0tKL ∞+⋅= ϕαα

For betonelementer kan ofte forudsættes en mindste typisk tværsnitsdimension

af størrelsen 200 mm, at betonens alder ved påføring af den permanente last

mindst er t0=28 døgn, og at den relative luftfugtighed mindst er af størrelsen RH

= 50 %. Til praktiske beregninger af spændinger og deformationer i anvendel-

sesgrænsetilstanden kan derfor normalt tages udgangspunkt i værdierne for α

anført i nedenstående tabel.

fck 20 MPa 25 MPa 30 MPa 35 MPa 40 MPa 45 MPa 50 MPa

αK 9,2 8,5 8,0 7,7 7,4 7,2 7,1

αL 35,8 31,1 27,0 23,7 21,3 19,5 18,1

Figur 2-5: Sædvanlige værdier af α for betonelementer i anvendelsesgrænsetil-

stande

I eksemplet, afsnit 2.1.6, er vist, hvorledes slutkrybetallet bestemmes for et

vilkårligt tværsnit.

En given lastvirkning, eksempelvis et moment, M, kan regnes sammensat af en

langtidsandel, ML , og en korttidsandel, MK , på følgende form:

KL MMM +=

Ved beregningerne kan anvendes en effektiv værdi, αeff, bestemt ved vægtning:

M

MM KKLLeff

⋅+⋅= ααα

28


Alternativt kan man først finde spændinger og udbøjninger for den rene lang-

tidsandel, dernæst gentage beregningerne svarende til den rene korttidsandel

og sluttelig summere resultaterne. Dette er dog en mere omstændelig metode,

der ikke kan forventes at føre til mere præcise resultater end metoden baseret

på αeff.

2.1.5 Krybning og svind

Når beton belastes til en trykspænding af størrelsen σc , opstår der straks en

tøjning i betonen af størrelsen εc = εc(σc), som kan aflæses af betonens arbejds-

linje gældende for korttidspåvirkninger. Hvis trykspændingen opretholdes gen-

nem længere tid, vil denne tøjning langsomt øges. Dette fænomen betegnes

krybning. Med tiden vil tøjningen asymptotisk nærme sig slutværdien, der al-

mindeligvis udtrykkes på formen:

, 0(1 )cc cε ϕ ε∞ = + ⋅

hvor

0 0 0 0( , , , , )ct RH f h ctϕ ϕ=

betegnes slutkrybetallet, der ved normale driftstemperaturer er en funktion af

følgende parametre:

t0 er betonens alder på tidspunktet for påføringen af spændingen σc

RH er omgivelsernes relative fugtighed

fc er betonstyrken

h0 er et teoretisk dimensionsmål, h0 = 2 Ac / u, hvor Ac er tværsnitsarealet

og u er tværsnittes omkreds

ct er cementtypen

For betonelementer vil man med god tilnærmelse kunne regne med, at betonens

alder ved tidspunktet for påføringen af de langtidsvirkende spændinger er af

størrelsen t0 = 28 døgn. Sædvanligvis kan for danske betoner desuden normalt

regnes med, at der anvendes cementtyper af styrkeklasse N. Med dette ud-

29


gangspunkt kan slutkrybetallet for betonelementer overslagsmæssigt aflæses af

figur 2-6.

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

2,4

2,6

2,8

3,0

20 30 40 50

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

2,4

2,6

2,8

3,0

20 30 40 50

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

2,4

2,6

2,8

3,0

20 30 40 50

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

2,4

2,6

2,8

3,0

20 30 40 50

ϕ0 ϕ0

h0 = 100 mm h0 = 150 mm

RH=50% RH=50%

For betonelementer kan effekten af krybningen eksempelvis være, at bjælkers

nedbøjninger øges med tiden, eller at søjler og vægges bæreevne med tiden

reduceres, fordi udbøjningerne og dermed normalkraftens udbøjningstillæg

øges. For forspændte elementer vil krybningen desuden medføre, at elementer-

ne med tiden forkortes som følge af de tilhørende aksiale trykkræfter i elemen-

tet, hvilket kan have stor betydning for forholdene ved samlinger mellem ele-

menter.

h0 = 250 mm h0 = 500 mm

RH=50%

RH=60%

RH=70%

RH=80%

RH=50%

RH=60%

RH=70%

RH=80%

RH=60% RH=60%

RH=70% RH=70%

RH=80% RH=80%

fck fck

ϕ0 ϕ0

fck fck fck

Figur 2-6: Slutkrybetal for sædvanlige danske betoner for belastningsstart

ved t0 = 28 døgn

30


I anvendelsesgrænsetilstanden, skal der foruden krybning også tages hensyn til

betonens svind, der dels forårsages af betonens udtørring med tiden, dels af de

kemiske processer i forbindelse med betonens hærdning. Svindet har primært

betydning for betonbjælker, der er armeret med forskellig træk- og trykarme-

ring. For praktisk anvendelse er det sædvanligvis tilstrækkeligt at kende slut-

svindet udtrykt ved svindtøjningen til tiden t=∞:

, , 0( , , ,cs cs c )RH f h ctε ε∞ ∞=

Svindet er således en funktion af stort set de samme parametre, som indgår ved

bestemmelse af krybetallet. Svindtøjningen er en empirisk bestemt størrelse,

der overslagsmæssigt kan aflæses af figur 2-7 for cementklasse N.

0,00000

0,00010

0,00020

0,00030

0,00040

0,00050

0,00060

20 30 40 50

0,00000

0,00010

0,00020

0,00030

0,00040

0,00050

0,00060

20 30 40 50

0,00000

0,00010

0,00020

0,00030

0,00040

0,00050

0,00060

20 30 40 50

0,00000

0,00010

0,00020

0,00030

0,00040

0,00050

0,00060

20 30 40 50

ε cs ,∞ ε cs ,∞

ε cs ,∞ ε cs ,∞

f ckf ck

f ckf ck

h 0 = 100 mm

RH=80%

RH=70%

RH=60%RH=50%

RH=80%

RH=70%RH=60%RH=50%

RH=80%RH=70%RH=60%RH=50%

RH=80%

RH=70%RH=60%RH=50%

h 0 = 150 mm

h 0 = 250 mm h 0 = 500 mm

Figur 2-7: Slutsvind for sædvanlige danske betoner

31


2.1.6 Eksempel – Beregning af slutkrybetal og slutsvind

I dette eksempel udregnes slutkrybetal og slutsvind for et 300 mm x 420 mm

betontværsnit. Beregningen sker ved hjælp af formelsættet angivet i EC2 og

sammenlignes med kurverne figur 2-6 og figur 2-7.

Beregningsforudsætninger

Tværsnit 300mm x 420 mm

Betonstyrke fck = 35 MPa, cementklasse N

Den relative luftfugtighed sættes til 50 %

Tværsnittet belastes først efter hærdning dvs. 28 døgn

Krybning

Slutkrybning afhænger af en række faktorer som her beregnes i henhold til EC2.

Elementets teoretiske dimensionsmål:

( )0

2 2 300 420175

2 300 420cA mm mm

h mu mm mm

⋅ ⋅= = =⋅ +

m

α-faktorer:

0,7 0,7

1

0,2 0,2

2

0,5 0,5

3

35 350,866

35 8

35 350,960

35 8

35 350,902

35 8

cm

cm

cm

f

f

f

α

α

α

= = = +

= = = +

= = = +

Den relative fugtigheds indvirken på krybetallet:

1 2 330

1 /100 1 50 /1001 1 0,866 0,960 1,70

0,1 0,1 175RH

RH

hϕ α α

− −= + ⋅ = + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

da 35cmf MPa>

Hvis 35cmf MPa≤ benyttes 3

0

1 /1001

0,1RH

RH

hϕ −= +

⋅.

32


Faktor for betonstyrken:

( ) 16,8 16,82,56

35 8cm

cm

ff

β = = =+

Der tages højde for cementtypen ved at regulere betonens alder ved belastning,

t0. Dette gøres med følgende formel:

0

0 0, 1,2 1,20,

9 91 28 1 28

2 282T

T

t t døgn døgnt

α = + = ⋅ + = ++

hvor α er en potens, der afhænger af cementtypen:

α = -1 for cementklasse S

α = 0 for cementklasse N

α = 1 for cementklasse R

t0,T er den temperaturtilpassede alder i døgn ved belastning givet ved:

( )( )( )4000 / 273 13,65

0,1

in

T t

T ii

t e− + Δ −

== ⋅ tΔ

hvor

t0,T er betonens temperaturtilpassede alder

T(Δti) er temperaturen i °C i tidsrummet Δti.

Δti er antallet af døgn, hvor temperaturen T er fremherskende.

Der tages højde for betonens alder ved belastningstidspunktet:

( ) ( ) ( )0 0,20 0,200

1 10,49

0,1 280,1t

tβ = = =

++

Slutkrybetallet fås nu som:

( ) ( )0 0 1,70 2,56 0, 49 2,13RH cmf tϕ ϕ β β= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

Den endelige krybetøjning afhænger nu af slutkrybetal og betonspænding.

33


Et alternativ til beregning af slutkrybetallet er at aflæse diagrammerne i figur

2-6. Slutkrybetallet for dette eksempel fås ved at interpolere mellem graferne

for h0 = 150 mm og h0 = 250 mm.

( )0

2,04 2, 20175 150 2, 20 2,16

250 150ϕ −= ⋅ − + =

−

Forskellen på det udregnede og det aflæste krybetal er uden praktisk betydning.

Svind

Svind bestemmes som en sum af to bidrag:

- Autogent svind, εca, der hovedsagligt forekommer når betonen hærder de

første par dage efter støbning.

- Udtørringssving, εcd, der udvikler sig langsomt i takt med, at vandet for-

svinder fra den hærdende beton.

Autogent svind

Autogent svind afhænger af betonstyrken:

( ) ( ) ( )6 6 0002,5 10 10 2,5 35 10 10 0,062ca ckfε − −∞ = − ⋅ = − ⋅ =

Det autogene svinds afhængighed af tiden t i døgn fås af:

( ) 0,50,21 10 tas tβ −= −

I dette eksempel benyttes βas(∞) = 1

Det samlede autogene svind er givet ved:

( ) ( ) ( ) 0 000 001 0,062 0,062ca as catε β ε∞ = ∞ = ⋅ =

Udtørringssvind

Udtørringssvindet afhænger af tværsnittets teoretiske dimensionsmål h0, givet

ved faktoren kh, som bestemmes ved interpolering i følgende tabel:

h0 100 200 300 ≥ 500

kh 1,0 0,85 0,75 0,70

For h0 = 175 mm fås:

( )0,85 1,00175 100 1,00 0,89

200 100hk−= ⋅ − + =−

34


Tidsafhængigheden udtrykkes ved følgende faktor:

( ) ( )( ) 3

0

,0,04

sds s

s

t tt t

t t hβ

−=

− +

hvor

t er betonens alder i døgn på det betragtede tidspunkt.

ts er betonens alder i døgn ved begyndelsen af udtørringssvindet.

Dette er normalt ved slutningen af hærdningen.

I dette eksempel benyttes βds(∞, 28) = 1.

Den nominelle værdi af uhindret udtørringssvind fås af:

( )

( )

26

,0 1

35 80,12

610 000

0,85 220 110 10

0,85 220 110 4 10 1,36 0,455

cmds

cmo

f

fcd ds RHe

e

αε α β

−

−

+ − −

= + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

hvor

3 3

0

501,55 1 1,55 1 1,36

100RH

RH

RHβ

= − = − =

fcm er middelstyrken i MPa

fcmo = 10 MPa

αds1 er en koefficient, der afhænger af cementtypen

= 3 for cementklasse S

= 4 for cementklasse N

= 6 for cementklasse R

αds2 er en koefficient, der afhænger af cementtypen

= 0,13 for cementklasse S

= 0,12 for cementklasse N

= 0,11 for cementklasse R

RH er den omgivende relative fugtighed i %

RH0 = 100 %

35


Tøjning fra udtørringdssvind fås nu af:

( ) ( )( )

,0

0 000 00

,

1 0,89 0, 455 0, 405

cd ds s h cd

cd

t t t kε β εε

= ⋅ ⋅

∞ = ⋅ ⋅ =

Det samlede slutsvind εcs,∞, fås som summen af autogent svind og udtørrings-

svind:

0 0

00 00 00, 0, 405 0,062 0, 467cs cd caε ε ε∞ = + = + = 0

Som ved slutkrybetallet kan det samlede slutsvind bestemmes på alternativ vis

ved aflæsning af diagrammerne i figur 2-7. Slutsvindet for dette eksempel fås

ved at interpolere mellem graferne for h0 = 150 mm og h0 = 250 mm.

( )0 0

00 00 0 000 00,

0, 420 0, 480175 150 0, 480 0, 465

250 150cs mm mmmm mm

ε ∞−= ⋅ − + =−

Forskellen på det udregnede og det aflæste slutsvind er uden praktisk betyd-

ning, specielt da en faktor som det nominelle svind εcd,0 er et udtryk for en mid-

delværdi med en variationskoefficient på ca. 30 %.

Eksempel slut

2.2 Armeringsstål

I kold tilstand regnes i henhold til EC2 for armeringen generelt med et reg-

ningsmæssigt elasticitetsmodul på:

200000s skE E MP= = a

gældende både i brud- og anvendelsesgrænsetilfælde, hvor Esk er den karakteri-

stiske værdi af armeringens elasticitetsmodul. Armeringen regnes lineærelastisk

op til flydespænding:

/yd yk Sf f γ= i brudgrænsetilstande

yd ykf f= i anvendelsesgrænsetilstande

36


Ved praktiske beregninger ses sædvanligvis bort fra tøjningshærdningen, der

betyder at spændingen svarende til meget store tøjninger i armeringen kan blive

større end armeringens flydespænding. Armeringen regnes således at være et

idealt elastisk-plastisk materiale med typiske arbejdslinjer som vist på figur 2-8

ved dimensionering i kold tilstand.

0

100

200

300

400

500

600

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025

Brudgrænsetilstande, f yd = f yk / γ s

Anvendelsesgrænsetilstande, f yd = f yk

σ s = ε s ×E sd

ε s

σ s (MPA)σs (MPa)

Figur 2-8: Typiske arbejdslinjer for armering i kold tilstand

fyk = 550 MPa, γS = 1,2

For armering uden udpræget flydegrænse som eksempelvis kolddeformeret stål

anvendes samme arbejdslinje, idet man sætter fyk = f0,2k, hvor f0,2k er den karak-

teristiske 0,2 %-spænding, dvs. den spænding, hvor armeringen ved en første-

gangsbelastning opnår en blivende forlængelse på 0,2 %.

2.3 Forspændingsstål

I forspændte betonelementer anvendes normalt forspændingsstål i form af

spændliner. I kold tilstand regnes i henhold til EC2 for spændliner generelt med

et regningsmæssigt elasticitetsmodul på:

37


38

195000p pkE E M= = Pa

gældende både i brud- og anvendelsesgrænsetilfælde, hvor Epk er den karakteri-

stiske værdi af armeringens elasticitetsmodul. Armeringen regnes lineærelastisk

op til flydespænding:

0,1 /pd p k Sf f γ= i brudgrænsetilstande

0,1pd p kf f= i anvendelsesgrænsetilstande

Hvor fp0,1k er den karakteristiske 0,1 %-spænding, dvs. den spænding, hvor

armeringen ved en førstegangsbelastning opnår en blivende forlængelse på

0,1 %. For linerne indregnes sædvanligvis tøjningshærdningen som en lineær

tilvækst op til spændingen ved linernes brudtøjning, εud. Uden nøjagtigere mate-

rialedata sættes εud = 0,02, og den tilhørende spænding kan sættes til

fp0,1k = fpd/0,9. Dermed kommer typiske arbejdslinjer for spændlinerne til at se

ud som vist på figur 2-9.

0

500

1000

1500

2000

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025

σ s = ε s ×E pd

ε s

σ s (MPA)

Anvendelsesgrænsetilstande, f pd = f p0,1k

Brudgrænsetilstande, f pd = f p0,1k / γ s

σs (MPa)

Figur 2-9: Typiske arbejdslinjer for spændliner i kold tilstand

fp0,1k = 1600 MPa, γS = 1,2

3 lodrETTE

lASTVIrKnInGEr3 LODRETTELASTVIRKNINGER

3.1 Lodrettelaster

3.1.1 Nyttelast

3.1.2 Sne-ogvindlast

3.1.3 Brandogulykke

3.2 Lastkombinationer

3.2.1 Vedvarendeellermidlertidigedimensioneringstilfælde

3.2.2 Ulykkesdimensioneringstilfælde

3.3 Lodretlastnedføring

3.3.1 Excentriciteter

3.3.2 Lodretlastpåsøjlerogvægge

3.3.3 Vedvarendeellermidlertidigedimensioneringstilfælde


3.3.5 Eksempel–Lastnedføring

3.4 Lastspecifikationer

3.4.1 Fastlæggelseafsøjle-ogvæglaste

3.4.2 Tværlasthidrørendevindpåsøjlerogvægge

3.4.3 Normalkraftfralastnedføring

3.4.4 Lasttilfælde

3.4.5 Eksempel–Fastlæggelseafsøjlelaste

3.5 Beregningsprogrammer

3.5.1 Modultillastnedføring

3.5.2 Modulertilspecifikationafsøjle-ogvæglaste

3 | Lodrette lastvirkninger BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK

3.1 Lodrette laster

Belastningen på en almindelig bygning består af følgende lasttyper:

Egenlast

Nyttelast

Naturlast, som vind og sne

Ulykkeslast, som eksempelvis brand

Også andre laster kan være aktuelle, så som jord- og vandtryk.

De lodrette laster på dæk-

kene kan variere fra etage

til etage og fra område til

område i bygningen. Dette

kan bekvemt defineres ved

hjælp af nøgleplaner for de

forskellige etager, hvor der

for hvert område refereres

til et skema, der specifice-

rer lasterne i det pågæl-

dende område, se eksem-

plerne figur 3-1 til 3-5.

Tag over 4. sal

F2

F2

F3

F3

F3

F3

Dæk over 3. sal

Dæk over 1. og 2. sal

Dæk over kælder og

6,0

m

8,0

m

16,8 m 16,8 m

F1

F1

A

B

C

4 1 7

Figur 3-1: Eksempel på nøgleplaner for lod-

rette laster

40

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Lodrette lastvirkninger | 3

LASTSPECIFIKATION NR.: F2

Lodrette laster – karakteristiske værdier

Bunden, permanent last

Egenvægt, dækelement - kN/m2

Egenvægt, tagkonstruktion 1,20 kN/m2

1,20 kN/m2

Fri, permanent last

Gulvopbygning - kN/m2

Lette skillevægge - kN/m2

Installationer - kN/m2

Nedhængt loft 0,25 kN/m2

Tagopbygning mv. 0,40 kN/m2

0,65 kN/m2

Nyttelast, kategori N

Fladelast - kN/m2

Punktlast 1,50 kN

Naturlast

Snelast 0,72 kN/m2

Vindsug - kN/m2 Figur 3-2: Eksempel på lastspecifikation – tag




Egenvægt, dækelement 3,10 kN/m2

Egenvægt, tagkonstruktion - kN/m2

3,10 kN/m2

Fri, permanent last

Gulvopbygning 1,00 kN/m2

Lette skillevægge 1,00 kN/m2

Installationer - kN/m2

Nedhængt loft - kN/m2

Tagopbygning mv. - kN/m2

2,00 kN/m2

Nyttelast, kategori A

Fladelast 1,50 kN/m2

Punktlast 2,00 kN

Naturlast

Snelast - kN/m2

Vindsug - kN/m2 Figur 3-3:Eksempel på lastspecifikation – hul-

dæk for bolig






3,65 kN/m2

Fri, permanent last



Installationer 0,25 kN/m2



2,00 kN/m2

Nyttelast, kategori B


Punktlast 3,00 kN

Naturlast

Snelast - kN/m2

Vindsug - kN/m2 Figur 3-4: Eksempel på lastspecifikation – hul-

dæk for kontor og lettere erhverv






3,65 kN/m2

Fri, permanent last



Installationer 0,25 kN/m2



2,50 kN/m2

Nyttelast, kategori E


Punktlast 7,00 kN

Naturlast

Snelast - kN/m2

Vindsug - kN/m2 Figur 3-5: Eksempel på lastspecifikation – hul-

dæk for erhverv

41


Hvordan de forskellige laster skal kombineres og med hvilke partialkoefficienter,

fremgår af EC0 og EC1 samt de tilhørende nationale annekser. Det har dog væ-

ret nødvendigt at lave en fortolkning af EC0 og EC1 for at få en konsistent løs-

ning for lodret lastnedføring. I de følgende afsnit beskrives de fortolkninger, der

er foretaget.

3.1.1 Nyttelast

Nyttelast inddeles i forskellige kategorier afhængig af anvendelse:

Kategori A: Boliger

Kategori B: Kontorer

Kategori C: Samlingslokaler

Kategori D: Butikslokaler

Kategori E: Erhverv (tungere)

Kategori F: Parkerings- og trafikarealer (lettere)

Kategori G: Parkerings- og trafikarealer (tungere)

Kategori H: Tagarealer

Når en dominerende nyttelast virkende på flere etageadskillelser kan henføres til

samme kategori, tillader EC1, at der foretages en reduktion af den samlede last-

virkning på de lodret bærende konstruktioner, når der er tale om nyttelast inden

for én af kategorierne A – D.

I EC1 introduceres til dette formål n-metoden, hvor den resulterende lastvirk-

ning af en dominerende nyttelast inden for samme kategori (A – D) virkende på

n etager over den betragtede konstruktionsdel reduceres med faktoren:

n = (1 + (n – 1)0)/n

Denne metode kan eksempelvis ikke uden videre anvendes i situationer, hvor en

lastandel A▪q virkende på delarealet A resulterer i forskellige snitkræfter i den

betragtede konstruktionsdel afhængigt af, hvilket etagedæk lastandelen påsæt-

42


tes. Dette er generelt tilfældet for lodret bærende elementer som søjler og væg-

ge, hvor en lastandel påført etagedækket lige over elementet resulterer i helt

andre momentvirkninger end samme lastandel påført højereliggende etagedæk.

Derfor ses her på situationen, hvor en dominerende nyttelast, qEd = qk, virker

på et delareal, A, på n etagedæk over hinanden. Den resulterende lodrette

lastvirkning på den underliggende konstruktion bliver da:

NEd = n n A qk = (1 + (n – 1)0) A qk = A qk + A (n – 1)0 qk

Det ses, at denne resulterende lastvirkning netop svarer til, at nyttelasten vir-

kende på et etagedæk betragtes som dominerende; mens nyttelasterne inden

for samme kategori på de øvrige etagedæk betragtes som ledsagende.

For at tage hensyn til momentvirkningernes afhængighed af lastandelenes pla-

cering er der i denne fremstilling derfor valgt en stramning af n-metoden på

følgende form:

Når en dominerende nyttelast, qk, inden for én af kategorierne A-D virker på

flere etagedæk, påsættes belastningen qk på ét etagedæk og belastningen

0 qk på de øvrige etagedæk, idet den underliggende konstruktion altid skal

undersøges for belastningen qk påsat det etagedæk, der fører til den ugun-

stigste virkning.

Denne regel for anvendelsen af lastreduktion inden for samme kategori kan med

fordel også anvendes som en generaliseret metode til komplekse konstruktioner.

3.1.2 Sne- og vindlast

I dimensioneringstilfælde, hvor nyttelaster virker samtidig med andre variable

laster, for eksempel vind eller sne, skal den totale nyttelast i lasttilfældet be-

tragtes som en enkelt last. Dette betyder, at hvor vind eller sne er den domine-

rende last, må alle nyttelaster reduceres med 0. Omvendt må sne- og vindla-

sten reduceres, når nyttelasten er dominerende, hvilket den ofte er.

43


Vindlast vil næsten altid give en opadrettet last i form af sug på taget. Det er

derfor som oftest ikke relevant at medtage vindlasten i den lodrette lastnedfø-

ring, og det vil ikke blive gjort her.

3.1.3 Brand og ulykke

I ulykkestilfældet påføres konstruktionen en dominerende ulykkeslast, eksem-

pelvis påkørsel eller brand. Den dominerende ulykkeslast er ikke en del af last-

nedføringen, men har betydning for hvilke partialkoefficienter, der skal bruges

ved lastnedføringen. De variable nyttelaster opdeles i primær og andre. Dette

fortolkes på samme måde som dominerende og øvrige variable laster i forbin-

delse med den almindelige lastnedføring for vedvarende og midlertidige dimen-

sioneringstilstande. I overensstemmelse hermed påføres maksimal nyttelast på

én etage for hver lastkategori A-D, mens nyttelast på de øvrige etager reduce-

res. For lastkategori E-G reduceres der som udgangspunkt ikke.

I brandtilfældet benyttes faktoren ψ1 ved områder med maksimal nyttelast og ψ2

for områder, hvor nyttelasten reduceres. For ulykkestilfælde i øvrigt bruges fak-

toren ψ2 begge steder.

3.2 Lastkombinationer

3.2.1 Vedvarende eller midlertidige dimensioneringstilfælde

Lastnedføringen gennemføres for STR-grænsetilstande, som er karakteriseret

ved:

”STR: Indvendigt svigt eller meget stor deformation af konstruktionen eller kon-

struktionsdele, herunder fundamenter, pæle, kældervægge osv., hvor styrken af

konstruktionsmaterialerne er bestemmende.”

Last på de forskellige etager kombineres ved lastkombinationer i henhold til

EC0.

44


Vedvarende og

midlertidige

dimensione-

ringstilfælde

Permanente laste Dominerende

variabel last

Øvrige

variable laste

Ugunstige Gunstige

(Formel 6.10a) KFI Gj,sup Gkj,sup Gj,inf Gkj,inf

(Formel 6.10b) ξ KFI Gj,sup Gkj,sup Gj,inf Gkj,inf KFI Q,1Qk,1 KFI Q,iψ0,iQk,i

Figur 3-6: Regningsmæssige lastværdier, STR og GEO, jf. EC0 DK NA, tabel

A1.2(B)

Reduktionsfaktoren ξ sættes til 1,0 for STR-grænsetilstande.

Værdier af ψ-faktoren og partialkoefficienten, , samt karakteristiske nyttelaster,

Qk, fremgår af de nationale annekser. KFI afhænger af konsekvensklassen. Tal-

værdien for KFI findes ligeledes i det nationale anneks. Se mere om konsekvens-

klasse i afsnit 3.2.1.1.

Lastvirkningen på et konstruktionselement fra nyttelast virkende på flere etager

udregnes ved at påføre den fulde nyttelast på én etage for hver lastkategori A-

D, mens nyttelasten reduceres på de øvrige etager.

På de etager, hvor der påføres fuld nyttelast, bestemmes nyttelasten ved:

,1 ,1k FI Q kq K Q

På de etager, hvor nyttelasten reduceres, bestemmes nyttelasten ved:

, 0, ,k FI Q i i kq K Q i

Den farligste kombination på hvert etageniveau skal undersøges.

45


3.2.1.1 Konsekvensklasse

Som det fremgår af det forrige afsnit afhænger størrelsen af bidraget fra både

permanent last og variabel last af, hvilken konsekvensklasse konstruktionen kan

henføres til. Definitionen på de forskellige konsekvensklasser er angivet i EC0.

Der kan vælges mellem CC1, CC2 og CC3 og klasserne er kendetegnet ved hen-

holdsvis lille, moderat og stor konsekvens ved et eventuelt svigt. Konsekvens-

klassen har kun betydning i vedvarende eller midlertidige dimensioneringstilfæl-

de. I Danmark benyttes følgende værdier for konsekvensfaktoren, KFI:

Konsekvensklasse CC1 CC2 CC3

KFI 0,9 1,0 1,1


Lastnedføringen gennemføres for ulykkestilfælde i henhold til EC0 afsnit 6.4.3.3.

Last på de forskellige etager kombineres ved lastkombinationer i henhold til EC0

DK NA:2007 tabel A1.3. Værdier af ψ-faktoren samt karakteristisk nyttelast, Qk,

fremgår af de nationale annekser.

Ulykkesdimensionerings-

tilfælde

Permanente laste Ikke-

dominerende

Ugunstige Gunstige

Domi-

nerende

ulykkes-

last

Eventu-

el pri-

Andre

Brand (Formel 6.11a/b) Gkj,sup Gkj,inf Ad ψ1,1Qk,1 ψ2,iQk

Ulykke i øvrigt (Formel Gkj,sup Gkj,inf Ad ψ2,1Qk,1 ψ2,iQk

*) Variable laster er de laster, der er indeholdt i tabel A.1.1

Figur 3-7: Regningsmæssige lastværdier til brug ved lastkombinationer ved

ulykkesdimensioneringstilfælde, jf. EC0 DK NA, tabel A1.3

Lastvirkningen på et konstruktionselement fra nyttelast virkende på flere etager

udregnes ved at påføre den maksimale nyttelast på én etage for hver lastkate-

gori A-D, svarende til primær variabel last, mens nyttelasten reduceres på de

øvrige etager.

46


På de etager, hvor der påføres maksimal nyttelast, bestemmes nyttelasten ved:

1,1 ,1kq Qk

k

k i

for brand

2,1 ,1kq Q for ulykke i øvrigt

På de etager, hvor nyttelasten reduceres, bestemmes nyttelasten ved:

2, ,k iq Q

Den farligste kombination på hvert etageniveau skal undersøges.

3.3 Lodret lastnedføring

3.3.1 Excentriciteter

Lodrette laster vil altid være placeret med en excentricitet i forhold til søjler og

vægges centerlinjer. Excentriciteten skyldes dels forsætning af elementernes

midterplaner fra etage til etage, og dels de enkelte elementers afvigelse fra den

plane form. Excentriciteterne resulterer i en tværpåvirkning i form af et moment

på søjler og vægge.

Samtidig skal der tages højde for excentriciteter stammende fra vederlag for

dæk og bjælker. For huldæk regnes reaktionen at kunne angribe i det farligste

tredjedelspunkt i vederlaget svarende til en trekantet spændingsfordeling. Her-

udover skal der tages hensyn til tolerancen, ± ½ T, på vederlagsdybden. For

denne er det sædvanligt at regne med en tolerance på 20 mm, det vil sige ±10

mm. Ydergrænserne for reaktionens placering i forhold til teoretisk placering kan

hermed findes som vist på figuren. Det ses, at ydergrænserne for reaktionspla-

ceringen for en given teoretisk vederlagsdybde, c’, fastlægges ved at oplyse

tolerancen ± ½ T.

47


½ T

For elementer oplagt på mellemlægsplader i vederlaget er det normalt tilstræk-

keligt at oplyse tolerancen på mellemlægspladens placering. Med et passende

disponeret vederlag vil mellemlægspladen altid kunne få fuldt anlæg. Også her

regnes reaktionen angribende i farligste tredjedelspunkt, hvorved afvigelsen fra

teoretisk placering er givet ved ± ½ T som anført på figur 3-9.

Vederlagstolerancerne kan eventuelt oplyses på de nøgleplaner, der omtales i

afsnit 3.1.

½ T

Venstre yderstilling:

amin = 1/3 (c’-½T)

Teoretisk placering:

a0 = ½ c’

Højre yderstilling:

amax = 2/3 (c’+ ½ T)

amax

a0

amin

c’

½ T

Venstre yderstilling:

amin = 1/3 c’ - ½ T

amin = a0 –(1/6 c’ + ½ T)

Højre yderstilling:

amax = 2/3 c’ + ½ T

amax = a0 + (1/6 c’ + ½ T)

½ T

Teoretisk placering:

a0 = ½ c’

a0

amin

c’

amax

Figur 3-9: Vederlag ved oplægning

på mellemlægsplader

Figur 3-8: Vederlag ved direkte

oplægning

48


3.3.2 Lodret last på søjler og vægge

Den lodrette last på en søjle eller væg inddeles i tre bidrag:

1. n0 er last fra overliggende etager inklusiv søjlen/væggen i det pågæl-

dende snit. n0 angriber søjlen/væggen med en excentricitet e0.

2. nv er last fra det venstre dæk umiddelbart over søjlen/væggen, angri-

bende med en excentricitet ev.

3. nh er last fra det højre dæk umiddelbart over søjlen/væggen, angriben-

de med en excentricitet eh.

nh n0

nv

e0 eh ev

Figur 3-10:Definition af excentriciteter og normalkræfter på søjle og væg

Inddelingen er nødvendig for at kunne bestemme den samlede excentricitet af

den normalkraft, hvormed søjlen/væggen belastes. For hver etage skal de mi-

nimale, reducerede og maksimale værdier af n0, nv og nh udregnes. Dette gøres

for at bestemme den farligste lastkombination. Maksimale lastværdier svarer til,

at den pågældende last betragtes som dominerende. Ved reducerede lastværdi-

er reduceres lasten med faktoren 0. For minimale lastværdier medtages kun

den bundne last.

3.3.3 Vedvarende eller midlertidige dimensioneringstilfælde

De maksimale, reducerede og minimale lastværdier udregnes på følgende vis for

de vedvarende eller midlertidige dimensioneringstilstande:

49


Maksimalværdier, nv og nh:

, ,sup

, ,sup

( ) 0,5

( - )( )

FI k fri k g k q

FI k fri k G k Q

n K g g q L

L sK G G Q L

Reducerede værdier, nv og nh:

, ,sup 0

, ,sup 0

( ) 0,5

( )( )

FI k fri k g k q

FI k fri k G k Q

n K g g q L

L sK G G Q L

Minimalværdier, nv og nh:

,inf

,inf

0,5

( - )k g

k G

n g L

L sG L

Hvor L er dækkets spændvidde og s er afstanden fra en linjelast til bærelinjen.

Fladelaste betegnes g og q, mens G og Q betegner bidrag fra linjelast.

Maksimalværdier, n0:

For maksimalværdier bestemmes lasten fra overliggende etager ved som tidlige-

re nævnt ved at påføre fuld nyttelast på én etage, mens de øvrige etager fra

samme kategori påføres en reduceret nyttelast. Alle kombinationer af lastopstil-

linger beregnes, så den farligste kan findes.

Når den samlede maksimallast n0 bestemmes, skal to dimensioneringstilfælde

undersøges.

1. Dominerende snelast

,max ,sup ,sup , , 0, , ,o FI Gj kj FI sne k sne FI Q i i k nytte in K G K Q K Q

2. Dominerende nyttelast

,max ,sup ,sup 0, ,

,1 , ,1 , 0, , ,

o FI Gj kj FI sne sne k sne

FI Q k nytte FI Q i i k nytte i

n K G K Q

K Q K Q

50


Reducerede og minimale værdier, n0:

Last fra overliggende etager bestemmes for reducerede og minimalværdier ved

simpel summering af last fra dæk på de enkelte etager samt egenvægt i bære-

linjer.


De maksimale, reducerede og minimale lastværdier udregnes på følgende vis i

brandtilfældet:

Maksimalværdier, nv og nh:

, 1

, 1

0,5

( - )k fri k k

k fri k k

n g g q L

L sG G Q L

Reducerede værdier, nv og nh:

, 2

, 2

0,5

( )k fri k k

k fri k k

n g g q L

L sG G Q L

Minimalværdier, nv og nh:

,inf

,inf

0,5

( - )k g

k G

n g L

L sG L

Hvor L er dækkets spændvidde og s er afstanden fra en linjelast til bærelinjen.

Fladelaste betegnes g og q, mens G og Q betegner bidrag fra linjelast.

Som udgangspunkt sættes g,inf lig 1,0, da EC0 ikke opererer med denne faktor i

ulykkestilfælde.

Last fra overliggende etager, n0, bestemmes efter samme principper som for

vedvarende eller midlertidige dimensioneringstilstande.

51


3.3.5 Eksempel – Lastnedføring

3.3.5.1 Vedvarende eller midlertidige dimensioneringsttilfælde

I nærværende eksempel foretages en gennemregning af en lastnedføring for en

5-etages bygning for vedvarende eller midlertidige dimensioneringstilfælde. Der

benyttes laster svarende til lastspecifikationer og nøgleskema i afsnit 3.1. Bære-

linjen modul B/4-5 betragtes. figur 3-11 og figur 3-12 viser en sammenfatning.

Fladelaste gk gfri,k qk q 0 Kategori

(kN/m2) (kN/m2) (kN/m2)F1 1,20 0,65 0,72 1,50 0,60 NF2 3,10 2,00 1,50 1,50 0,50 AF3 3,65 2,00 2,50 1,50 0,60 BF4 3,65 2,50 7,50 1,50 1,00 EKontor med arkiv

g,inf = 0,90 Konsekvensklasse: KFI = 1,00

BoligarealerKontorer

Egenvægt, g,sup = 1,00

Tagflade, sne

Figur 3-11: Belastninger og partialkoefficienter for beregningseksempel

På figur 3-12 vises geometri af lastopland, samt hvilke flade- og linjelaste de

forskellige etager er belastet af. Derudover vises også egenlasten i bærelinjen.

4. sal-v F1 F1 4. sal-h




Stue-v F3 F4 Stue-h

Kld.

gk = 8,0kN/m

gk = 8,0kN/m

gk = 8,0kN/m

gk = 8,0kN/m

gk = 15kN/m

8,0m 6,0m

Figur 3-12: Visuel præsentation af etager og lastopland, lodret snit

52


Da det er for omfattende at vise beregningen af den samlede lastnedføring i

dette eksempel, gennemføres blot beregningerne for bestemmelse af lastvirk-

ningerne på den bærende konstruktion i 1. sal. De øvrige lastvirkninger be-

stemmes på tilsvarende vis. Der snittes umiddelbart over dæk mellem stue og 1.

sal.

Af figur 3-12 fremgår det, at der på etagerne over 2. sal er 2 etager med nytte-

last fra kategori A og 1 etage med last fra kategori N (snelast). Nyttelasten er

dominerende i forhold til snelasten. For at bestemme den maksimale reaktion

fra overliggende etager, n0, på 2. sal, skal der derfor kun påføres fuld nyttelast

på én etage med nyttelast, kategori A. Etagen med snelast, kategori N, og den

anden etage med nyttelast, kategori A, skal påføres reduceret nyttelast.

Maksimalværdier:

0

1,0 1,0 3,10 2,00 1,0 1,50 1,50 0,5 8,00 29,4kN/m

1,0 1,0 3,10 2,00 1,0 1,50 1,50 0,5 6,00 22,1kN/m

1,0 1,0 1,20 0,65 1,0 0,72 1,50 0,6 0,5 8,00 6,00

1,0 1,0 (3,10 2,00) 1,0 1,50

v

h

n

n

n

1,50 0,5 8,00 6,00

1,0 1,0 3 8,00 1,0 92,9kN/m

Reducerede værdier:

0

1,0 1,0 3,10 2,00 1,0 1,50 0,5 0,5 8,00 24,9kN/m

1,0 1,0 3,10 2,00 1,0 1,50 0,5 0,5 6,00 18,7kN/m

1,0 1,0 1,20 0,65 1,0 0,72 1,5 0,6 0,5 8,00 6,00

1,0 1,0 (3,10 2,00) 1,0 1,50 1,

v

h

n

n

n

5 0,5 0,5 8,00 6,00

1,0 1,0 3 8,00 1,0 85,1kN/m

53


Minimalværdier:

0

3,10 0,90 0,5 8,00 11,2kN/m

3,10 0,90 0,5 6,00 8,4kN/m

1,20 0,90 0,5 8,00 6,00

3,10 0,90 0,5 8,00 6,00

3 8,0 0,90 48,7kN/m

v

h

n

n

n

Det sidste led ved summation af last fra overliggende etager, n0, består af egen-

vægt i bærelinjen. I dette eksempel regnes med et bjælke-/søjlesystem med en

egenvægt på 8 kN/m. For reaktionen fra 2. sal skal der medregnes i alt 3 bjæl-

ker fra etagerne: Tag, 3. sal og 2. sal.

3.3.5.2 Ulykkesdimensioneringstilfælde

Ovenstående eksempel beregnes nu for brandtilfældet. Bemærk at faktorerne

KFI, ξ og q alle sættes til 1, da disse faktorer ikke indgår i beregningen for ulyk-

kestilfældet. g,inf sættes som udgangspunkt ligeledes til 1.


(kN/m2) (kN/m2) (kN/m2)F1 1,20 0,65 0,72 0,20 0,00 NF2 3,10 2,00 1,50 0,30 0,20 AF3 3,65 2,00 2,50 0,40 0,20 BF4 3,65 2,50 7,50 0,80 0,70 EKontor med arkiv

g,inf = 0,90 Konsekvensklasse: KFI = 1,00

BoligarealerKontorer

Egenvægt, g,sup = 1,00

Tagflade, sne

Figur 3-13: Inddata for beregningseksempel

Som i afsnit 3.3.5.1 gennemføres beregningen for bestemmelse af reaktioner

kun for reaktionerne fra 2. sal. Der snittes umiddelbart over dæk mellem stue og

1. sal. Geometri for de forskellige etager og lastpåførsel fremgår af figur 3-12.

54


Maksimalværdier:

0

3,10 2,00 1,50 0,30 0,5 8,00 22,2kN/m

3,10 2,00 1,50 0,30 0,5 6,00 16,7kN/m

1,20 0,65 0,72 0,00 0,5 8,0 6,0

3,10 2,00 1,50 0,30 0,5 8,0 6,0

3 8,00 75,8kN/m

v

h

n

n

n

Reducerede værdier:

0

3,10 2,00 1,50 0,20 0,5 8,0 21,6kN/m

3,10 2,00 1,50 0,20 0,5 6,0 16,2kN/m

1,20 0,65 0,72 0,00 0,5 8,0 6,0

3,10 2,00 1,50 0,20 0,5 8,0 6,0

3 8,00 74,8kN/m

v

h

n

n

n

Minimalværdier:

0

3,10 1,0 0,5 8,0 12,4kN/m

3,10 1,0 0,5 6,0 9,3kN/m

1,20 1,0 0,5 8,0 6,0

3,10 1,0 0,5 8,0 6,0

8,0 1,0 3 57,1kN/m

v

h

n

n

n

Eksempel slut

55


3.4 Lastspecifikationer

3.4.1 Fastlæggelse af søjle- og væglaste

Ved dimensionering af søjler og vægge gælder det om at finde de farligste kom-

binationer af maksimal, minimal og reducerede lastværdier i sammenhæng med

eventuelle tværlaster, eksempelvis vind. Endvidere kan det for større byggerier

være hensigtsmæssigt at gruppere søjler og vægge og på denne måde undersø-

ge flere bygningsdele på samme tid.

Ved dimensionering er det i praksis kun nødvendigt at se på tilfælde, hvor tvær-

lasten påføres i samme retning som den forudsatte udbøjningsretning.

For søjler betegnes det som hovedtilfælde I, når der forudsættes udbøjning på

tværs af bjælkeaksens retning. Dette underinddeles i hovedtilfælde I-a og I-b

afhængigt af den forudsatte udbøjningsretning. Tilsvarende svarer hovedtilfælde

II-a og II-b til udbøjning på i bjælkeaksens retning. Principielt skal alle disse fire

hovedtilfælde undersøges, men alene ud fra symmetribetragtninger vil man ofte

kunne nøjes med at gennemregne de to af hovedtilfældene.

For vægge er der kun to relevante hovedtilfælde, I-a og I-b, da det forudsættes,

at en væg altid er stabil overfor udbøjning i sin egen plan.

Der skal udarbejdes en separat lastnedføring for brandtilfældet.

3.4.2 Tværlast hidrørende vind på søjler og vægge

Den maksimale og den reducerede tværlast bestemmes i henhold til EC0.

Maksimal vindlast fås eksempelvis til:

kQFId wKw 1,max,

Reduceret vindlast fås til:

kiQFIredd wKw ,01,,

56


3.4.3 Normalkraft fra lastnedføring

I beregningerne er normalkræfterne defineret således, at N1 og N0 bidrager med

moment med samme fortegn som den påsatte tværlast, mens N2 virker stabili-

serende. Det vil sige, at lastnedføringens resultater nv og nh indgår forskelligt i

beregningen af N1 og N2 afhængigt af udbøjningsretningen.

N1 N0

N2

e0 e1 e2

w

Figur 3-14:Definition af vindlast i forhold til normalkræfter på søjle og

3.4.3.1 Søjler

dækfelt 1-v dækfelt 1-h

B2 dækfelt 2-v dækfelt 2-hx

B1

y(bjælkeakse)

Figur 3-15: Lastnedføring på en søjle, (iht. www.bef.dk, Specifikation af søj-

lelaste) med udbøjningsretninger i de 4 hovedtilfælde vist

II-b

I-b II-a

I-a Udbøjningsretninger i hovedtilfælde:

57


Figur 3-15 viser lastnedføring for en søjle. Strækningen B1 kan være belastet på

en måde, og strækningen B2 på en anden. Længderne B1 og B2 er den halve

afstande mellem søjlerne i søjlerækken.

Et lastnedføringsskema, som vist i afsnit 3.5.1, kan bruges til at uddrage den

maksimale reducerede værdi af nv, nh og n0, den maksimale værdi af nv, nh og

n0 og den mindste minimale værdi af nv, nh og n0, for den pulje af vægge som

ønskes analyseret i en og samme beregning.

Dette bevirker, at beregningen udføres ud fra det værste tilfælde af værdierne

nv, nh og n0. Disse værdier behøver nødvendigvis ikke at høre sammen. Blot

beskriver de lasten inden for den pulje af vægge, som er valgt.

Afhængig af tværlastens retning bestemmes N1, N2 og N0 efter følgende formler i

de fire hovedtilfælde:

Hovedtilfælde I-a

1 , 1 , 2

0 0, 1 0, 2

2 , 1 , 2

1 2

1 2

1 2

h dækfelt h dækfelt

dækfelt dækfelt

v dækfelt v dækfelt

N n B n B

N n B n B

N n B n B

Hovedtilfælde I-b

1 , 1 , 2

0 0, 1 0, 2

2 , 1 , 2

1 2

1 2

1 2


dækfelt dækfelt


N n B n B

N n B n B

N n B n B

Hovedtilfælde II-a

1 , 1 , 1

0 0, 1 0, 2

2 , 2 , 2

1 1

1 2

2 2

h dækfelt v dækfelt

dækfelt dækfelt


N n B n B

N n B n B

N n B n

B

Hovedtilfælde II-b

1 , 2 , 2

0 0, 1 0, 2

2 , 1 , 1

2 2

1 2

1 1


dækfelt dækfelt


N n B n B

N n B n B

N n B n B

58


3.4.3.2 Vægge

dækfelt v dækfelt h

nv + n0 + nh

B1

nv + n0 + nh

Typisk endesektion i stabiliserende væg

Typisk vægsektion med vinduesåbninger etc.

B1 = b

n0

b b

b er den effektive vægbredde anvendt i vægberegningen

Figur 3-16 viser lastnedføring for en væg. Bredden b er her defineret som den

massive del af væggen. Herved er det muligt at tage hensyn til huller.

Belastningen findes fra et af lastnedføringsskemaerne vist i afsnit 3.5.1. Her

bestemmes den maksimale reducerede værdi af nv, nh og n0, den maksimale

værdi af nv, nh og n0 og den mindste minimale værdi af nv, nh og n0.

Som i søjleberegningen kan vægberegningen laves for en pulje af vægge udreg-

net på baggrund af de værste tilfælde af værdierne nv, nh og n0. Som for søjler-

ne behøver disse værdier ikke at være sammenhørende men blot repræsentere

den pulje af vægge, brugeren ønsker at slå sammen i en beregning.

Afhængig af tværlastens retning bestemmes N1, N2, N0 efter følgende formler i

de to hovedtilfælde:

Figur 3-16: Lastnedføring på en væg

I-a I-b

59


Hovedtilfælde I-a

1 ,

0 0,

2 ,

1

1

1

h dækfelt

dækfelt

v dækfelt

N n B

N n B

N n B

Hovedtilfælde I-b

1 ,

0 0,

2 ,

1

1

1

v dækfelt

dækfelt

h dækfelt

N n B

N n B

N n B

3.4.4 Lasttilfælde

Alle relevante lasttilfælde for en søjle eller en væg skal undersøges. Her vises 9

lasttilfælde, der definerer det nødvendige undersøgelsesomfang inden for hvert

hovedtilfælde. Hvert lasttilfælde er benævnt med et bogstav fra A til I og er for

en søjle og en væg bestemt ud fra samme filosofi. Filosofien er først at bestem-

me det punkt, der ligger tættest på ordinataksen. Dette gøres ved at påsætte

maksimal vindlast på søjlen/væggen samtidig med minimale værdier af normal-

kræfterne. Herefter øges normalkraften ved at påsætte reduceret værdi af N1

kombineret med minimal værdi af N0 og N2. Normalkraften øges endnu mere

ved at medtage reduceret værdi af N1 og N0. Sluttelig påsættes reduceret værdi

af N0, N1 og N2 sammen med maksimalværdi af vinden. Herved falder momen-

tet, mens normalkraften stiger. Dette giver i alt fire punkter A, B, C og D, som

angivet i figur 3-17.

D

CB

A

EF

G

H

I

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000N (kN)

M (

kNm

)

Maksimal vindlast

Reduceret vindlast

Figur 3-17: Konstruktion af lasttilfælde

60


Efterfølgende arbejdes der med reducerede værdier af vindlasten, som først

kombineres med maksimal værdi af N1 og minimale værdier af N0 og N2. Dette

beskriver det punkt, der ligger tættest ordinataksen for reduceret vindlast. Her-

efter øges normalkraften ved i kombination af maksimal N1 at have reduceret

værdi af N0 og minimal værdi af N2. Ved flere overliggende etager kan tilfældet,

hvor man har maksimal værdi af N0 kombineret med maksimal værdi af N1 og

minimal værdi af N2 give et punkt, der er mere kritisk. Den maksimale normal-

kraftpåvirkning findes i et af to lasttilfælde. Det første hvor maksimal værdi af

N1 og N2 kombineres med reduceret værdi af N0. Det andet hvor alle tre værdier

er maksimale. Ovenstående er det, der kendetegner lasttilfældene E, F, G, H og

I.

I tilfælde af bygninger med samme lastkategori på alle etager, for eksempel

boliger, bortfalder lasttilfælde H og I, da enten N1 eller N0 kan reduceres.

De enkelte lasttilfælde kan i kort form skrives som:

A. Min N1+min N0+ min N2

B. Reduc N1+min N0+ min N2 Med maksimal vindlast C. Reduc N1+reduc N0+min N2

D. Reduc N1+reduc N0+reduc N2

E. Max N1+ min N0+ min N2

F. Max N1+ reduc N0+ min N2

G. Max N1+ reduc N0+ max N2 Med reduceret vindlast

H. Max N1+ max N0+ min N2

I. Max N1+ max N0+ max N2

På figur 3-18 angiver punkterne A - I to indhyldningskurver, som altid skal ligge

inden for den tykt optegnede bæreevnekurve, her vist for en slank søjle.

61


D

CB

AE F

G

H

I

0

2

4

6

8

10

12

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450N (kN)

M (

kNm

)

Figur 3-18: Indhyldningskurverne skal ligge inden for

bæreevnekurven ikke blot punkterne

Det er vigtigt i analysen af søjler og vægge, at N1 er den normalkraft, der er

drivende i forhold til udbøjningsretningen. Det er dog ikke altid til at forudse

udbøjningsretningen, for eksempel kan de termiske udbøjninger ændre udbøj-

ningsretningen ved brand på træksiden. Her kan det være farligere at antage, at

værdien, som er angivet for N2, er den drivende normalkraft. Dette betyder, at

det er nødvendigt at undersøge alle 9 lasttilfælde for udbøjning i alle retninger

for at være sikker på, at de kritiske lasttilfælde er dækket. Dette svarer til de

føromtalte fire hovedtilfælde for søjler og to hovedtilfælde for vægge.

62


3.4.5 Eksempel – Fastlæggelse af søjlelaste

I dette afsnit gives et eksempel på, hvordan lasttilfældene opstilles for en søjle.

Som udgangspunkt benyttes søjlen i modul B/4 fra figur 3-1. Lastnedføringsre-

sultaterne i modullinje B er angivet i afsnit afsnit 3.5.1. Der ønskes en lastopstil-

ling, der gælder for søjlerne på 1. til 3. sal. Søjlen vil være belastet i dækfelt 1

på både højre og venstre side af bjælken samt i dækfelt 2 på venstre side, mens

højre side af dækfelt 2 er uden for bygningen.

3.4.5.1 Vedvarende og midlertidige dimensioneringstilstande

Fra lastnedføringstabellen i afsnit 3.3.5.1 fås værdier for dækfelt 1, 2. sal umid-

delbart. For dækfelt 2 er nv-værdierne de samme som for dækfelt 1, da belast-

ningen er ens. Højre side af dækfeltet er ubelastet og last fra højereliggende

dæk n0 fås ved at summere nv-værdierne efter reglerne beskrevet i afsnit 3.3.3

og lægge egenlast i bærelinjen til. Hele lastnedføringen for linje B er beregnet i

afsnit 3.5.1, og resultaterne fra lastnedføringen for Modul 1-5 er gengivet i figur

3-20 og figur 3-21.

B1

x

B2

Dækfelt 2-v

Dækfelt 1-h

A

B

4 1 7

C

Dækfelt 1-v

Dækfelt 2-h

5,6m 5,6m

8,0

m

6,0

m y

Figur 3-19: Belastningsområde for søjlen modul B/4

63


Etage

nv no nh nv no nh nv no nh

(kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m)

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

Tag 11,7 8,0 0,0 10,0 8,0 0,0 4,3 7,2 0,0

3. sal

2. sal

1. sal 37,6 96,3 0,0 31,6 91,8 0,0 13,1 55,4 0,0

Stue 37,6 148,9 0,0 31,6 138,4 0,0 13,1 82,1 0,0

Kld. 180,5 170,0 95,2

maksimalværdier minimalværdierreducerede værdier

29,4 27,7 0,0 24,9 26,0 0,0 11,2 18,7 0,0

29,4 63,4 0,0 24,9 58,9 0,0 11,2 37,1 0,0

Figur 3-20: Lastnedføring for Linje B, Modul 1-4 (Dækfelt 2). Reaktioner på

underliggende konstruktion.

Etage



0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

Tag 11,7 8,0 8,8 10,0 8,0 7,5 4,3 7,2 3,2

3. sal 29,4 36,5 22,1 24,9 33,5 18,7 11,2 22,0 8,4

2. sal 29,4 92,9 22,1 24,9 85,1 18,7 11,2 48,7 8,4

1. sal 37,6 144,5 52,2 31,6 136,6 52,2 13,1 75,4 9,9

Stue 37,6 249,3 52,2 31,6 235,4 52,2 13,1 111,9 9,9

Kld. 333,1 319,2 134,9


Figur 3-21: Lastnedføring for Linje B, Modul 4-5 (Dækfelt 1). Reaktion på

underliggende konstruktion

Idet der ønskes at minimere antallet af søjle beregninger puljes 2. og 3. sal ,

resultatet fremgår af figur 3-22.


(kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m)Dækfelt 1 29,4 92,9 22,1 29,4 85,1 18,7 11,2 22,0 8,4Dækfelt 2 29,4 63,4 0,0 24,9 58,9 0,0 11,2 18,7 0,0

maksimalværdier reducerede værdier minimalværdier

Figur 3-22: Opsummering af reaktionerne fra dækfelt 1 og 2. Reaktioner på

underliggende konstruktion (i 1. sal)

64


Herunder udregnes de resulterende normalkræfter N1, N0, og N2 for hovedlasttil-

fældene I og II. Tilfælde I-b dækker bøjning om modulllinje B, med et resulte-

rende moment mod modullinje C. Tilfælde II-a dækker bøjning om modullinje 4,

med et resulterende moment mod modullinje 1. Søjlen bør ligeledes dimensio-

neres for lasttilfældene I-a og II-b, men det vil ikke blive vist i dette eksempel.

Hermed kan de 9 lasttilfælde for hovedtilfælde I-b og II-a opstilles

Hovedtilfælde I-b

1 , 1 , 2

0 0, 1 0, 2

2 , 1 , 2

1 2

1 2

1 2


dækfelt dækfelt


N n B n B

N n B n B

N n B n B

Hovedtilfælde II-a

1 , 1 , 1

0 0, 1 0, 2

2 , 2 , 2

1 1

1 2

2 2


dækfelt dækfelt


N n B n B

N n B n B

N n B n B

Efter nogen regning findes resultaterne gengivet på figur 3-23.

Resulterende lasttilfælde, lodrette lastandele N1 (kN) N0 (kN) N2 (kN) Tværlast w

Hovedtilfælde I - b : A: Min N1 + min N0 + min N2 63 114 24 MaxB: Reduc N1 + min N0 + min N2 139 114 24 MaxC: Reduc N1 + reduc N0 + min N2 139 403 24 MaxD: Reduc N1 + reduc N0 + reduc N2 139 403 52 MaxE: Max N1 + min N0 + min N2 165 114 24 Reduceret F: Max N1 + reduc N0 + min N2 165 403 24 Reduceret G: Max N1 + reduc N0 + max N2 165 403 62 Reduceret H: Max N1 + max N0 + min N2 165 438 24 Reduceret I: Max N1 + max N0 + max N2 165 438 62 Reduceret

Hovedtilfælde II - a : A: Min N1 + min N0 + min N2 55 114 31 MaxB: Reduc N1 + min N0 + min N2 122 114 31 MaxC: Reduc N1 + reduc N0 + min N2 122 403 31 Max

D: Reduc N1 + reduc N0 + reduc N2 122 403 70 Max

E: Max N1 + min N0 + min N2 144 114 31 Reduceret F: Max N1 + reduc N0 + min N2 144 403 31 Reduceret G: Max N1 + reduc N0 + max N2 144 403 82 Reduceret

H: Max N1 + max N0 + min N2 144 438 31 Reduceret I: Max N1 + max N0 + max N2 144 438 82 Reduceret

y

N1N2

No

x

N2N1

No

w

w

Figur 3-23: Lasttilfælde A-I, hovedtilfælde I-b og hovedtilfælde II-a.

3.4.5.2 Ulykkesdimensioneringstilfælde

Fra lastnedføringstabellen i afsnit 3.3.5.2 fås værdier for dækfelt 1, 2. sal umid-

delbart. For dækfelt 2 er nv-værdierne de samme som for dækfelt 1, da belast-

ningen er ens. Højre side af dækfeltet er ubelastet og last fra højereliggende

dæk n0 fås ved at summere nv-værdierne efter reglerne beskrevet i afsnit 3.3.3

65


og lægge egenlast i bærelinjen til. Hele lastnedføringen for linje B er beregnet i

afsnit 3.5.1, og resultaterne fra lastnedføringen for, Modul 1-5 er gengivet i figur

3-24 og figur 3-25.

Etage



0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

Tag 8,0 8,0 0,0 7,4 8,0 0,0 4,8 8,0 0,0

3. sal 22,2 24,0 0,0 21,6 23,4 0,0 12,4 20,8 0,0

2. sal 22,2 53,6 0,0 21,6 53,0 0,0 12,4 41,2 0,0

1. sal 26,6 83,2 0,0 24,6 82,6 0,0 14,6 61,6 0,0

Stue 26,6 124,8 0,0 24,6 122,2 0,0 14,6 91,2 0,0

Kld. 149,4 146,8 105,8




Etage



0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

Tag 8,0 8,0 6,0 7,4 8,0 5,6 4,8 8,0 3,6

3. sal 22,2 30,0 16,7 21,6 29,0 16,2 12,4 24,4 9,3

2. sal 22,2 75,8 16,7 21,6 74,8 16,2 12,4 54,1 9,3

1. sal 26,6 121,6 36,5 24,6 120,6 34,2 14,6 83,8 11,0

Stue 26,6 199,7 36,5 24,6 194,4 34,2 14,6 124,4 11,0

Kld. 258,5 253,2 149,9




Idet der ønskes at minimere antallet af søjleberegninger puljes 2. og 3. sal, re-

sultatet fremgår af figur 3-26.

66



(kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m)Dækfelt 1 22,2 75,8 16,7 21,6 74,8 16,2 12,4 29,4 9,3Dækfelt 2 22,2 53,6 0,0 21,6 53,0 0,0 12,4 20,8 0,0

maksimalværdier reducerede værdier minimalværdier

Figur 3-26: Opsummering af reaktionerne fra dækfelt 1 og 2 for brandtilfældet.

Reaktioner på underliggende konstruktion (i 1. sal)

Herunder udregnes de resulterende normalkræfter N1, N0, og N2 for hovedlasttil-

fældet I-b, som svarer til bøjning om modullinje B, med et resulterende moment

mod modullinje C. Søjlen bør ligeledes dimensioneres for lasttilfældene I-a, II-a

og II-b, men det vil ikke blive vist i dette eksempel.

Hermed kan de 9 lasttilfælde for hovedtilfælde I-b opstilles, som vist i afsnit

3.4.3.1. Efter nogen regning findes resultaterne gengivet på figur 3-23.

Resulterende lasttilfælde, lodrette lastandele N1 (kN) N0 (kN) N2 (kN) Tværlast w

Hovedtilfælde I - b : A: Min N1 + min N0 + min N2 69 127 26 -

B: Reduc N1 + min N0 + min N2 121 127 26 -

C: Reduc N1 + reduc N0 + min N2 121 358 26 -

D: Reduc N1 + reduc N0 + reduc N2 121 358 45 -

E: Max N1 + min N0 + min N2 124 127 26 -

F: Max N1 + reduc N0 + min N2 124 358 26 -

G: Max N1 + reduc N0 + max N2 124 358 47 -

H: Max N1 + max N0 + min N2 124 127 26 -

I: Max N1 + max N0 + max N2 124 127 47 -

x

N2N1

No

w

Figur 3-27: Lasttilfælde A-I, hovedtilfælde I-b, brandtilfælde

Eksempel slut

67



3.5.1 Modul til lastnedføring

Nedenfor ses den samlede udskrift fra lastnedføringsprogrammet på www.bef.dk

med inddata for vedvarende og permanente lastkombinationer med inddata

svarende til linje B, modul 4-5 fra eksemplet i afsnit 3.3.5.

Lastnedføring version 2.0 / EC Udgivet af Betonelement-Foreningen mar. 2009

Sag: Nr.:Emne: Init:

Vedvarende dimensioneringstilstande (kombination 6.10b)


(kN/m2) (kN/m2) (kN/m2)

F0 0,00 0,00 0,00

F1 1,20 0,65 0,72 1,50 0,60 N

L1 og L2 betegner linielaste. F2 3,10 2,00 1,50 1,50 0,50 A

Lv og Lh er dækkenes spændvidder. F3 3,65 2,00 2,50 1,50 0,60 B

Resultanter på underliggende væg F4 3,65 2,50 7,50 1,50 1,00 E

eller bjælke: F5 1,50 1,00 E

NB: EC1 3.3.1(2)P fjerner reelt lastreduktion for kategori E-G i normale lastkombinationer

Linielaste gk gfri,k qk q 0 Kategori

(kN/m) (kN/m) (kN/m)

L0 0,00 0,00 0,00

nv og nh : Laste fra dæk i etagen L1 1,50 0,50 A

no : Last fra højereliggende dæk og L2 1,50 0,60 B

fra egenvægte i bærelinie

Etagegk gfri,k Lv Fladelast Linielast sv Lh Fladelast Linielast sh nv no nh nv no nh nv no nh

(kN/m) (kN/m) (m) (m) (m) (m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m)

0,00 F0 L0 0,00 0,00 F0 L0 0,00 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

Tag 0,00 0,00 8,00 F1 L0 0,00 6,00 F1 L0 0,00 11,7 8,0 8,8 10,0 8,0 7,5 4,3 7,2 3,2

3. sal 8,00 0,00 8,00 F2 L0 0,00 6,00 F2 L0 0,00 29,4 36,5 22,1 24,9 33,5 18,7 11,2 22,0 8,4

2. sal 8,00 0,00 8,00 F2 L0 0,00 6,00 F2 L0 0,00 29,4 92,9 22,1 24,9 85,1 18,7 11,2 48,7 8,4

1. sal 8,00 0,00 8,00 F3 L0 0,00 6,00 F4 L0 0,00 37,6 144,5 52,2 31,6 136,6 52,2 13,1 75,4 9,9

Stue 8,00 0,00 8,00 F3 L0 0,00 6,00 F4 L0 0,00 37,6 249,3 52,2 31,6 235,4 52,2 13,1 111,9 9,9

Kld. 15,00 0,00 333,1 319,2 134,9

Vejledning: PC-statik: Lodret lastnedføring efter EC0 + EC1 Udgivet på www.bef.dk december 2008 NB: Resultaterne skal altid kontrolleres af ansvarlig statiker

Laste på venstre dækfelt maksimalværdier minimalværdierEgenvægt i bærelinie Laste på højre dækfelt reducerede værdier

0,90

23 - 4545JFJ

BetonelementhusetLinie B, modul 4 - 5

g,inf =

Tagflade, sne

Boligarealer

Kontorer

Kontor med arkiv

Egenvægt, g,sup = 1,00 1,00 Konsekvensklasse: KFI =

Tag-v F1 F1 Tag-h




Stue-v F3 F4 Stue-h

Kld.

L1 L2

sv sh

Lv Lh

venstre dækfelt højre dækfelt

nhnv

no

Figur 3-28:Lastnedføring for Linje B, Modul 4-5

I eksemplet er der i linje B, modul 5-7 regnet med, at søjle/bjælke-systemet er

ændret til en 180 mm tyk betonelementvæg. Dette er indlagt i den efterfølgende

udskrift fra lastnedføringsprogrammet, idet egenvægtene i bærelinjen er øget til

gk = 15 kN/m.

Dette betyder en del for størrelsen af n0; mens nv og nh er uændrede i forhold til

det ovenfor gennemgåede.

68




Branddimensioneringstilstande

Fladelaste gk gfri,k qk 1 2 Kategori

(kN/m2) (kN/m2) (kN/m2)

F0 0,00 0,00 0,00

F1 1,20 0,65 0,72 0,20 0,00 N




eller bjælke: F5 0,00 0,00 0,00 0,80 0,70 E

Linielaste gk gfri,k qk 1 2 Kategori


L0 0,00 0,00 0,00

nv og nh : Laste fra dæk i etagen L1 0,00 0,00 0,00 0,30 0,20 A

no : Last fra højereliggende dæk og L2 0,00 0,00 0,00 0,40 0,20 B




0 0,00 F0 L0 0,00 0,00 F0 L0 0,00 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

Tag 0,00 0,00 8,00 F1 L0 0,00 6,00 F1 L0 0,00 8,0 8,0 6,0 7,4 8,0 5,6 4,8 8,0 3,6

3. sal 8,00 0,00 8,00 F2 L0 0,00 6,00 F2 L0 0,00 22,2 30,0 16,7 21,6 29,0 16,2 12,4 24,4 9,3

2. sal 8,00 0,00 8,00 F2 L0 0,00 6,00 F2 L0 0,00 22,2 75,8 16,7 21,6 74,8 16,2 12,4 54,1 9,3

1. sal 8,00 0,00 8,00 F3 L0 0,00 6,00 F4 L0 0,00 26,6 121,6 36,5 24,6 120,6 34,2 14,6 83,8 11,0

Stue 8,00 0,00 8,00 F3 L0 0,00 6,00 F4 L0 0,00 26,6 199,7 36,5 24,6 194,4 34,2 14,6 124,4 11,0

Kld. 15,00 0,00 258,5 253,2 149,9


0

Kontor med arkiv

0

0

Tagflade, sne

Boligarealer

Kontorer

Egenvægt, g,sup = 1,00 1,00 Konsekvensklasse: KFI =1,00

23 - 4545JFJ


g,inf =


Tag-v F1 F1 Tag-h




Stue-v F3 F4 Stue-h

Kld.

L1 L2

sv sh

Lv Lh


nhnv

no

Figur 3-29: Lastnedføring for Linje B, Modul 4-5 (Brand)



Vedvarende dimensioneringstilstande (kombination 6.10b)


(kN/m2) (kN/m2) (kN/m2)

F0 0,00 0,00 0,00

F1 1,20 0,65 0,72 1,50 0,60 N




eller bjælke: F5 1,50 1,00 E

NB: EC1 3.3.1(2)P fjerner reelt lastreduktion for kategori E-G i normale lastkombinationer

Linielaste gk gfri,k qk q 0 Kategori


L0 0,00 0,00 0,00

nv og nh : Laste fra dæk i etagen L1 1,50 0,50 A

no : Last fra højereliggende dæk og L2 1,50 0,60 B




0,00 F0 L0 0,00 0,00 F0 L0 0,00 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

Tag 0,00 0,00 8,00 F1 L0 0,00 6,00 F1 L0 0,00 11,7 15,0 8,8 10,0 15,0 7,5 4,3 13,5 3,2

3. sal 15,00 0,00 8,00 F2 L0 0,00 6,00 F2 L0 0,00 29,4 50,5 22,1 24,9 47,5 18,7 11,2 34,6 8,4

2. sal 15,00 0,00 8,00 F2 L0 0,00 6,00 F2 L0 0,00 29,4 113,9 22,1 24,9 106,1 18,7 11,2 67,6 8,4

1. sal 15,00 0,00 8,00 F3 L0 0,00 6,00 F4 L0 0,00 37,6 172,5 52,2 31,6 164,6 52,2 13,1 100,6 9,9

Stue 15,00 0,00 8,00 F3 L0 0,00 6,00 F4 L0 0,00 37,6 277,3 52,2 31,6 263,4 52,2 13,1 137,1 9,9

Kld. 15,00 0,00 361,1 347,2 160,1



0,90

23 - 4545JFJ


g,inf =

Tagflade, sne

Boligarealer

Kontorer

Kontor med arkiv

Egenvægt, g,sup = 1,00 1,00 Konsekvensklasse: KFI =

Tag-v F1 F1 Tag-h




Stue-v F3 F4 Stue-h

Kld.

L1 L2

sv sh

Lv Lh


nhnv

no

Figur 3-30: lastnedføring for Linie B, Modul 5-7

69


3.5.2 Moduler til specifikation af søjle- og væglaste

Nedenfor er vist en udskrift af programmet søjlelaste på www.bef.dk med data

svarende til eksemplet i afsnit 3.4.5.1.

Eksemplet puljer reaktioner på søjleelementerne i 1. til 2. sal, og værdierne for

nv, n0 og nh er afpasset hermed ved overførslen af data fra lastnedføringsske-

maet.

De resulterende 9 lasttilfælde er for hvert af de 4 hovedtilfælde opstillet, så de

er klar til direkte overførsel til søjleberegningen, se afsnit 8.3. Under søjlebereg-

ningen suppleres de resulterende lodrette laster, N1, N0 og N2, med oplysning

om deres respektive excentriciteter målt fra søjlens midterakse. Disse excentri-

citeter skal i hvert lasttilfælde ansættes til den farligste værdi inden for de muli-

ge tolerancer, jf. afsnit 3.3.1. Det vil i praksis betyde, at excentriciteterne for N1

og N0 i hvert lasttilfælde vælges størst mulige, og at excentriciteten for N2 væl-

ges mindst mulig, da det er denne kombination, der resulterer i det størst tæn-

kelige moment i søjlen for den pågældende udbøjningsretning.

SØJLELASTE, version 2.0 / EC Udgivet af Betonelement-Foreningen mar. 2009


Resulterende lasttilfælde, lodrette lastandele N1 (kN) N0 (kN) N2 (kN)

Hovedtilfælde I - a : A: Min N1 + min N0 + min N2 24 114 63B: Reduc N1 + min N0 + min N2 52 114 63C: Reduc N1 + reduc N0 + min N2 52 403 63D: Reduc N1 + reduc N0 + reduc N2 52 403 139E: Max N1 + min N0 + min N2 62 114 63

F: Max N1 + reduc N0 + min N2 62 403 63G: Max N1 + reduc N0 + max N2 62 403 165H: Max N1 + max N0 + min N2 62 438 63I : Max N1 + max N0 + max N2 62 438 165

Hovedtilfælde I - b : A: Min N1 + min N0 + min N2 63 114 24B: Reduc N1 + min N0 + min N2 139 114 24C: Reduc N1 + reduc N0 + min N2 139 403 24D: Reduc N1 + reduc N0 + reduc N2 139 403 52E: Max N1 + min N0 + min N2 165 114 24F: Max N1 + reduc N0 + min N2 165 403 24G: Max N1 + reduc N0 + max N2 165 403 62H: Max N1 + max N0 + min N2 165 438 24I : Max N1 + max N0 + max N2 165 438 62

Lastbredder Dækfelt 1: B1 = 2,80 m Dækfelt 2: B2 = 2,80 m Hovedtilfælde II - a : A: Min N1 + min N0 + min N2 55 114 31Lastnedføringsskema B: Reduc N1 + min N0 + min N2 122 114 31Lodrette laste: nv no nh nv no nh C: Reduc N1 + reduc N0 + min N2 122 403 31

(kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) D: Reduc N1 + reduc N0 + reduc N2 122 403 70

Største maksimalværdier 29,4 92,9 22,1 29,4 63,4 0,0 E: Max N1 + min N0 + min N2 144 114 31Største reduc. værdier 24,9 85,1 18,7 24,9 58,9 0,0 F: Max N1 + reduc N0 + min N2 144 403 31Mindste minimalværdier 11,2 22,0 8,4 11,2 18,7 0,0 G: Max N1 + reduc N0 + max N2 144 403 82

Tværlaste i hovedtilfælde I - a I - b II - a II - b H: Max N1 + max N0 + min N2 144 438 31- linielaste på side af søjle (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) I : Max N1 + max N0 + max N2 144 438 82

Maksimal tværlast, wmax 3,60 3,60 0,00 0,00 Hovedtilfælde II - b : A: Min N1 + min N0 + min N2 31 114 55Reduc. tværlast, wreduc 1,80 1,80 0,00 0,00 B: Reduc N1 + min N0 + min N2 70 114 55Vejledning: C: Reduc N1 + reduc N0 + min N2 70 403 55Inddata vedrørende lodrette last kan overføres fra modulet "lodret lastnedføring". D: Reduc N1 + reduc N0 + reduc N2 70 403 122Under resulterende lasttilfælde svarer hovedtilfælde I - a og I - b til udknækning på tværs E: Max N1 + min N0 + min N2 82 114 55af bjælken; medens II - a og II - b svarer til udknækning på langs med bjælken. For hvert F: Max N1 + reduc N0 + min N2 82 403 55hovedtilfælde skal lasttilfælde A, B, C og D kombineres med maksimal tværlast. Lasttilfælde G: Max N1 + reduc N0 + max N2 82 403 144

E, F, G, H og I skal kombineres med reduc. tværlast ved eftervisning af søjlens bæreevne. H: Max N1 + max N0 + min N2 82 438 55

NB: Resultaterne skal altid kontrolleres af ansvarlig statiker I : Max N1 + max N0 + max N2 82 438 144

Modul B / 4-5 Modul B / 1-4

23 - 4545JFJ

BetonelementhusetSøjle i modul B/4, 1. - 2. sal (STR 6.10b)

y

N1N2

No

y

N2N1

No

x

N1N2

No

x

N2N1

No

w

w

w

w



B1

y(bjælkeakse)

Figur 3-31: Lastspecifikationer for søjle i modul B/4, 1-2. sal (STR 6.10b)

70


SØJLELASTE, version 2.0 / EC Udgivet af Betonelement-Foreningen mar. 2009



Hovedtilfælde I - a : A: Min N1 + min N0 + min N2 26 127 69B: Reduc N1 + min N0 + min N2 45 127 69C: Reduc N1 + reduc N0 + min N2 45 358 69D: Reduc N1 + reduc N0 + reduc N2 45 358 121E: Max N1 + min N0 + min N2 47 127 69

F: Max N1 + reduc N0 + min N2 47 358 69G: Max N1 + reduc N0 + max N2 47 358 124H: Max N1 + max N0 + min N2 47 362 69I : Max N1 + max N0 + max N2 47 362 124

Hovedtilfælde I - b : A: Min N1 + min N0 + min N2 69 127 26B: Reduc N1 + min N0 + min N2 121 127 26C: Reduc N1 + reduc N0 + min N2 121 358 26D: Reduc N1 + reduc N0 + reduc N2 121 358 45E: Max N1 + min N0 + min N2 124 127 26F: Max N1 + reduc N0 + min N2 124 358 26G: Max N1 + reduc N0 + max N2 124 358 47H: Max N1 + max N0 + min N2 124 362 26I : Max N1 + max N0 + max N2 124 362 47

Lastbredder Dækfelt 1: B1 = 2,80 m Dækfelt 2: B2 = 2,80 m Hovedtilfælde II - a : A: Min N1 + min N0 + min N2 61 127 35Lastnedføringsskema B: Reduc N1 + min N0 + min N2 106 127 35Lodrette laste: nv no nh nv no nh C: Reduc N1 + reduc N0 + min N2 106 358 35

(kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) D: Reduc N1 + reduc N0 + reduc N2 106 358 60

Største maksimalværdier 22,2 75,8 16,7 22,2 53,6 0,0 E: Max N1 + min N0 + min N2 109 127 35Største reduc. værdier 21,6 74,8 16,2 21,6 53,0 0,0 F: Max N1 + reduc N0 + min N2 109 358 35Mindste minimalværdier 12,4 24,4 9,3 12,4 20,8 0,0 G: Max N1 + reduc N0 + max N2 109 358 62

Tværlaste i hovedtilfælde I - a I - b II - a II - b H: Max N1 + max N0 + min N2 109 362 35- linielaste på side af søjle (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m) I : Max N1 + max N0 + max N2 109 362 62

Maksimal tværlast, wmax 0,00 0,00 0,00 0,00 Hovedtilfælde II - b : A: Min N1 + min N0 + min N2 35 127 61Reduc. tværlast, wreduc 0,00 0,00 0,00 0,00 B: Reduc N1 + min N0 + min N2 60 127 61Vejledning: C: Reduc N1 + reduc N0 + min N2 60 358 61Inddata vedrørende lodrette last kan overføres fra modulet "lodret lastnedføring". D: Reduc N1 + reduc N0 + reduc N2 60 358 106Under resulterende lasttilfælde svarer hovedtilfælde I - a og I - b til udknækning på tværs E: Max N1 + min N0 + min N2 62 127 61af bjælken; medens II - a og II - b svarer til udknækning på langs med bjælken. For hvert F: Max N1 + reduc N0 + min N2 62 358 61hovedtilfælde skal lasttilfælde A, B, C og D kombineres med maksimal tværlast. Lasttilfælde G: Max N1 + reduc N0 + max N2 62 358 109

E, F, G, H og I skal kombineres med reduc. tværlast ved eftervisning af søjlens bæreevne. H: Max N1 + max N0 + min N2 62 362 61

NB: Resultaterne skal altid kontrolleres af ansvarlig statiker I : Max N1 + max N0 + max N2 62 362 109

Modul B / 4-5 Modul B / 1-4

23 - 4545JFJ

BetonelementhusetSøjle i modul B/4, 1. - 2. sal; BRAND

y

N1N2

No

y

N2N1

No

x

N1N2

No

x

N2N1

No

w

w

w

w



B1

y(bjælkeakse)

Figur 3-32: Lastspecifikation for søjle i modul B/4, 1-2. sal (ulykkeslast, brand)

Med excentriciteterne oplyst sammen med de lodrette lastandele kan resultater-

ne fra de 9 lasttilfælde, A-I, under et hovedtilfælde omsættes til 9 sæt sammen-

hørende værdier af normalkraft og moment, (Ned,M0Ed), der ved søjleberegnin-

gen sammenholdes med søjlens bæreevnekurve i et (N,M)-diagram svarende til

den pågældende udbøjningsretning. Dette er ofte tilstrækkeligt at gennemføre

for ét af de to hovedtilfælde I-a og I-b samt for ét af de to hovedtilfælde II-a og

II-b. Af udskriften ses eksempelvis, at det er I-b og II-a, der bliver de farligste

tilfælde, da de giver større værdier af N1 end henholdvis I-a og II-b. Ved et-

hvert niveau af den samlede normalkraft giver de dermed også de største mo-

menter om søjlens to hovedakser.

På www.bef.dk findes også et tilsvarende beregningsprogram til specifikation af

de dimensionsgivende belastninger på vægge. For vægge er kun de to udbøj-

ningsretninger vinkelret på væggens plan aktuelle, svarende til hovedtilfældene

I-a og I-b.

Til gengæld skal man være opmærksom på, om væggen indgår i bygningens

stabiliserende system, da der i væggens endesektioner så vil ske en forøgelse af

71


72

de lodrette belastninger i forhold til den rene, lodrette lastnedføring som følge

af, at væggen samtidig optager de væltende momenter på bygningen som en

skive, se afsnit 5.2. Dette kan håndteres ved i væggens endesektioner at intro-

ducere et tillæg til normalkræfterne fra den lodrette lastnedføring i særlige data-

felter hertil, som på programudskriften i dette tilfælde er nulstillede.

Det viste eksempel illustrerer et tilfælde svarende til, at der i modul B/5-7 i ek-

semplet fra afsnit 3.4.5 er indlagt en betonelementvæg med en 1,0 m bred

vægpille mellem to døre, der hver har bredden 1,0 m. For vægpillen fås dermed

B1 = 2,0 m. Eksemplet puljer samtlige reaktioner fra vægelementer fra kælder

til 3. sal, og værdierne for nv, n0 og nh er afpasset hermed ved overførslen af

data fra lastnedføringsskemaet.

VÆGLASTE, version 2.0 / EC Udgivet af Betonelement-Foreningen mar. 2009



Hovedtilfælde I - a : A: Min N1 + min N0 + min N2 6 27 9

B: Reduc N1 + min N0 + min N2 104 27 9

C: Reduc N1 + reduc N0 + min N2 104 527 9

D: Reduc N1 + reduc N0 + reduc N2 104 527 63

E: Max N1 + min N0 + min N2 104 27 9

F: Max N1 + reduc N0 + min N2 104 527 9

G: Max N1 + reduc N0 + max N2 104 527 75

H: Max N1 + max N0 + min N2 104 555 9I : Max N1 + max N0 + max N2 104 555 75

Hovedtilfælde I - b : A: Min N1 + min N0 + min N2 9 27 6

B: Reduc N1 + min N0 + min N2 63 27 6

C: Reduc N1 + reduc N0 + min N2 63 527 6

D: Reduc N1 + reduc N0 + reduc N2 63 527 104

E: Max N1 + min N0 + min N2 75 27 6

F: Max N1 + reduc N0 + min N2 75 527 6

G: Max N1 + reduc N0 + max N2 75 527 104

H: Max N1 + max N0 + min N2 75 555 6I : Max N1 + max N0 + max N2 75 555 104

Lastbredde B1 = 2,00 m Evt. tillæg til lodret last fra stabilitetsberegning

Lastnedføringsskema I hovedtilfældene er max n0 kombineret med reduc n0 reduc. max reduc. max

Lodrette laste fra lastnedføringsskema nv no nh og reduc n0 kombineret med max n0 i de tilfælde, hvor no no no no

(kN/m) (kN/m) (kN/m) n0 kommer fra vindlast - og omvendt ved masselast. (kN/m) (kN/m) (kN/m) (kN/m)

Største maksimalværdier 37,6 277,3 52,2 Normalkraft ved dimensionsgivende vandret last 0,0 0,0 0,0 0,0Største reduc. værdier 31,6 263,4 52,2 Normalkraft ved samme lodrette last, men uden vandret last 0,0 0,0 0,0 0,0Mindste minimalværdier 4,3 13,5 3,2 Resulterende tillæg til lodret last 0,0 0,0 0,0 0,0

Tværlaste i hovedtilfælde I - a I - b Vejledning:

Fladelaste på væg: (kN/m2) (kN/m2) Inddata vedrørende lodret last kan overføres fra modulet "lodret lastnedføring". Ved undersøgelse af ende-

Maksimal tværlast 0,40 0,40 sektioner i stabiliserende vægge kan tillægget til de lodrette laste hentes fra modulet "stabilitet". På den sikre

Reduc. tværlast 0,20 0,20 side kan herfra benyttes max-værdierne også i kolonnerne "reduc." Hvis det vælges at bruge værdier svarende

Resulterende tværlaste på vægside: (kN/m) (kN/m) reduc. vind på bygningen ved undersøgelse af en væg, skal forholdene ved masselast også kontrolleresMaksimal tværlast, wmax 0,80 0,80 Under resulterende lasttilfælde svarer hovedtilfælde I - a og I - b til udknækning ud af væggens plan. For hvert Reduc. tværlast, wreduc 0,40 0,40 hovedtilfælde skal lasttilfælde A, B, C og D kombineres med maksimal tværlast. Lasttilfælde E, F, G, H og I skal

NB: Resultaterne skal altid kontrolleres af ansvarlig statiker kombineres med reduc. tværlast.

fra masselast

23 - 4545JFJ

BetonelementhusetVæg B/6-7, kld.-3. sal (STR 6.10b)

Modul B / 5-12

fra vindlast

N1N2

No

N2N1

No

w

w

dækfelt v dækfelt h

nv + n0 + nh

B1

nv + n0 + nh

Typisk endesektion i stabiliserende væg

Typisk vægsektion med vinduesåbninger etc.

B1 = b

n0

b b

b er den effektive vægbredde anvendt i vægberegningen

dækfelt v

dækfelt v

dækfelt h

dækfelt h

Figur 3-33: Lastspecifikation for væg i linje B modul 5-7, kælder til 3. sal

(STR 6.10b)

4 hoVEdSTABIlITET

4 HOVEDSTABILITET

4.1 Generelt

4.2 Vandretlastfordeling

4.2.1 Eksempel-Halefterkassesystemet

4.2.2 Eksempel-Halefterskeletsystemet

4.2.3 Eksempel-Tværvægsbyggeri

4.3 Opstillingafgeneraliseretmodel

4.3.1 Eksempel-Kombinationsbygning


4 | Hovedstabilitet BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK

4.1 Generelt

Enhver bygning skal være stabil over for alle forekommende kombinationer af

lodrette og vandrette belastninger.

For hver aktuel lastkombination eftervises bygningens stabilitet ved at eftervise,

at følgende tre betingelser alle er opfyldte:

1. Hver enkelt bygningsdel er i stabil ligevægt.

2. Hver enkelt bygningsdel kan modstå de påførte kræfter.

3. Samlingerne mellem de enkelte bygningsdele kan overføre de fornødne kræf-ter fra bygningsdel til bygningsdel.

For de lodrette belastninger svarer punkt 1 blot til den sædvanlige lastnedføring

gennem bygningen. Dette fører for hver bygningsdel til et antal laster, som byg-

ningsdelen skal undersøges for i forskellige kombinationer.

Figur 4-1: Lodret snit Figur 4-2: Dækplan

74

Vindtryk

Wtryk

Wtryk

W W

Wtryk

Wsug

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Hovedstabilitet | 4

Nogle af bygningsdelene vil endvidere være aktive ved optagelse af vandrette

belastninger på bygninger, eksempelvis således:

a: Facadeelementerne optager vindlasten ved pladevirkning, idet de fører vind-

lasten videre til etagedækkene. Samtidig optager facadeelementerne lodret

last.

b: Etagedækkene fører ved skivevirkning vindlasten videre til stabiliserende

skivevægge. Samtidig optager etagedækkene lodret last.

c: De stabiliserende skivevægge fører ved skivevirkning kombinationen af vind-

lastresultanterne og samtidigt virkende lodret last ned til fundament.

Redegørelsen for optagelse af vandrette belastninger fører således til et ekstra

sæt lastkombinationer, som de pågældende bygningsdele skal undersøges for,

på linje med lastkombinationerne for lodret last alene.

Figur 4-3: Vægopstalt

Figur 4-4: Principdiagram for

statisk beregning

W1

WNRES

W2

W3

Hovedstabilitet

Bygningsdels-

statik

Detailstatik

- etagekryds

- dækskiver - fuger

- vægskiver - beslag

- dækelementer - element-

detaljer - bjælker

- søjler

- facadeelementer

- fundamenter

75


Principielt rummer hovedstabiliteten således hele den statiske beregning. En

sikker gennemførelse af den statiske beregning vil imidlertid sædvanligvis kræ-

ve, at den udarbejdes i en overskuelig struktur. Eksempelvis som illustreret i det

følgende diagram hvor pilene repræsenterer videregivelse af belastninger.

Oplysningerne kan alternativt gå modsat de viste pile i form af oplysning om

modstandsevner.

I denne sammenhæng er emnet hovedstabilitet herefter begrænset til at omfat-

te en fastlæggelse af belastningerne på de forskellige bygningsdele.

4.2 Vandret lastfordeling

De vandrette belastninger på bygningen er som regel enten vindlast eller mas-

selast og eventuelt jordtryk på kældervægge.

Foruden den farligste vindlast virkende direkte på de enkelte bygningsdele, er

det også nødvendigt at bestemme vindlastens resultanter på bygningen for at

kunne vurdere bygningens overordnede stabilitet. Ved denne beregning ses bort

fra indvendige vindtryk, da disse ikke giver nogen resulterende vandret belast-

ning på bygningen. Vindlastens resultanter angives normalt som linjelaster på

dækskiverne svarende til forskellige vindretninger, idet vandret last på tagop-

bygning føres til tagdæk og vandret last på hver etages facader fordeles ligeligt

til de omgivende dæk.

76


Den overordnede stabilitet skal også vurderes for seismisk last. Det seismiske

dimensioneringstilfælde håndteres ved at vurdere konstruktionerne for vandret

masselast. Den vandrette masselast er en ulykkeslast, der både dækker virk-

ninger af skævheder i opførelsen samt mindre jordrystelser. Lastens størrelse

beregnes normalt i Danmark som 1,5% af de regningsmæssige lodrette belast-

ninger, hvor det er tilladt at se bort fra snelast og reducere nyttelastens bidrag,

da der ikke regnes med fuld nyttelast på alle etager samtidig.

Ligesom vindlastens resultanter angives den vandrette masselasts resultanter

sædvanligvis som linjelaster på dækskiverne. Masselasten varierer meget fra

byggeri til byggeri, men normalt vil en overslagsmæssig beregning med følgen-

de regningsmæssige værdier af bidraget til den vandrette masselast pr. m2 eta-

geareal være dækkende:

– Tagdæk: Ad = 0,15 kN/m2

– Etagedæk, boliger Ad = 0,15 kN/m2

– Etagedæk, kontor Ad = 0,15 kN/m2

– Etagedæk, tungt erhverv Ad = 0,20 kN/m2

Figur 4-5: Linielaster på dækskiver

1

2

3

W1

W2

W3

77


I de fleste tilfælde vil disse værdier kunne reduceres en del ved en nøjere efter-

regning af den aktuelle bygning.

Den vandrette masselast regnes at kunne virke i enhver retning, idet resultan-

ten på de forskellige dækskiver alle virker i samme retning på samme tid.

I bygninger med kælder forekommer der vandrette laster udover vindlast og

masselast. De udvendige kældervægge påvirkes af jordtryk og eventuelt også af

vandtryk. For den overordnede stabilitet har dette specielt betydning, hvis der er

forskel i terrænniveauet mellem husets facader.

I så tilfælde vil dækket over kælderen blive påvirket af en resulterende vandret

last, svarende til forskellen i jordtryk på de to sider af bygningen.

Figur 4-6: Tværsnit i kælder med ensidigt jordtryk

Der eksisterer flere modeller til bestemmelse af reaktionernes fordeling; model-

ler, der sikrer, at reaktionerne holder dækskiven i ligevægt, og som samtidig

fordeler reaktionerne i forhold til de stabiliserende vægges forskellige stivheder.

For byggerier indtil 5-6 etagers højde med stabiliserende vægskiver er bestem-

melse af vægskivernes stivhed meget usikker, fordi bevægelse i fundament og

glidning i samlinger bidrager væsentligt til de samlede flytninger. Bestemmelse

af reaktionsfordelingen baseres derfor ofte på en skønsmæssig vurdering af de

enkelte vægskivers stivhed. Disse forhold betyder, at visse dele af konstruktio-

nen vil blive belastet til kapacitetsgrænsen før andre, når lasten vokser op. Hvis

konstruktionen disse steder var af sprød karakter, ville videre belastning her

78


føre til brud, før de sidste stabiliserende bygningsdele nåede den forudsatte

udnyttelse.

Derfor er det altid nødvendigt med gennemgående sammenhængsarmering i

dækskiverne, ligesom samlingerne i det stabiliserende system bør udformes på

en måde, så sprødbrud undgås. Dette er da også en klar forudsætning for de

følgende eksemplers enkle metoder til bestemmelse af reaktionsfordelingen.

For analyse af byggerier, der ikke dækkes af de gennemgående eksempler, kan

henvises til: Skivebygningers statik, 1985, forelæsningsnotat nr. 68 fra Institut-

tet for Husbygning, DTH.

Ved analyse af den overordnede stabilitet kan der spares en del regnearbejde,

hvis man tidligt kan vurdere om det er vindlast eller masselast, der er dimensio-

neringsgivende. Det skyldes, at man så ikke skal lave detailberegninger for både

vindlast og vandret masselast.

0,9G l

x

xl

· ·f FI kK w

Vindlast

(EQU/STR)

l

dv

Vandret masselast

(Ulykkeslast)

2(1,0· 1,0· · )G N l

Figur 4-7: Last på vægge

79


Under forudsætning af at egenlasten sikrer stabiliteten, kan der for glidning og

moment opstilles efterfølgende forsimplede udtryk, hvor man med sikkerhed kan

sige, at vindlast er dimensioneringsgivende. Udtrykket er opstillet ud fra figur 4-

7.

2

· ·· · 0,9·

0,9· 1,0· 1,0· · 1,0·f FI k d d

Q FI k d

K w v vK w v

G G N G

hvor

Q er partialkoefficienten på vindlast

FIK er en koefficient, der afhænger af konsekvensklassen

kw er den karakteristiske værdi af vindlastens resultant på dækskiven

dv er den vandrette masselast på dækskiven målt udjævnet pr. løbende meter af dækskiven

Der kan opstilles en lignende øvre grænse for, hvornår masselasten er dimensi-

oneringsgivende. Det sker ved at antage, at den karakteristiske nyttelast aldrig

overstiger 1,8 gange egenvægten.

2

· ·

0,9· 1,0· 1,0· · 1,0· 1,0·0,7·1,8·

· · 0, 4· ; 1,8·

Q FI k d d

Q FI k d

K w v v

G G N G G

K w v N G

Herved kan nedenstående udtryk benyttes som sikre grænser, der beskriver,

hvornår hhv. vindlast eller vandret masselast er dimensioneringsgivende.

· · 0, 4·Q FI k dK w v Masselast er dimensioneringsgivende

· · 0,9·Q FI k dK w v Vindlast er dimensioneringsgivende

80


Denne grænses kan beregnes mere præcist i tilfælde, hvor nyttelasten kendes

bedre. F.eks. for en kontor- eller boligblok gælder:

· · 0,5· ; 1, 2· & Nyttelast i kategori A eller BQ FI k dK w v N G

Når det er det indre arbejde i væggen, der er dimensioneringsgivende, vil græn-

sen afhænge af partialkoefficienten. Der kan indgå forskellige partialkoefficien-

ter, men for at opstille grænsen for hvornår masselast er dimensioneringsgiven-

de, skal den største partielkoefficient benyttes. Den største værdi er 1,45, idet

det antages, at væggen altid er minimumsarmeret og ikke regnes i lempet kon-

trolklasse.

· · 1· · 0,7·Q FI k

Q FI k dd c

K wK w v

v

Tilsvarende kan opstilles for vindlasten

· · 1· · 0,9·Q FI k

Q FI k dd s

K wK w v

v

Ovenstående betyder i praksis, at for kontorbygninger og boligbyggeri bliver

vindlast normalt dimensioneringsgivende for tværstabilitet, hvis bredden er min-

dre end 20m. For stabilitet i bygningens længderetning vil masselasten ofte væ-

re dimensioneringsgivende.

Når dækskivernes farligste vandrette lastresultanter er bestemt i de forskellige

retninger, er næste opgave at bestemme de tilhørende vandrette reaktioner på

dækskiven ved de stabiliserende vægge eller søjler.

81


4.2.1 Eksempel - Hal efter kassesystemet

x

y

H

B = 19,2 m

L = 33,6 m

Figur 4-8: Isometri

Bygningen forudsættes beliggende i et område med nogen bebyggelse, så ha-

stighedstrykket findes af EC1 svarende til terrænklasse II og med z = 7,5 m:

0,66 / ²wq kN m

Facader og gavle er over for vindlast simpelt understøttet ved terræn og tag-

dæk. Ses bort fra tangentiel vindlast på facaden og regnes med ct = 0,04 for

tangentiel vindlast på taget, bliver den karakteristiske vindlastresultant på

dækskiven for vind på langs ad bygningen:

2

1 2

2

0,5·( )· · ·

0,5·7,5·(0,7 0,3)·0,66 33,6·0,04·0,66

6,5

2,86 0,89 3,74 /

x w t wi

Hw c c q L c q

H

kN m

82


For vind på tværs af bygning er formfaktoren for tangentiel vindlast på taget

ct = 0,04, så den karakteristiske værdi af vindlastresultanten på tværs af byg-

ningen bliver

For vind på tværs af bygning er formfaktoren for tangentiel vindlast på taget

ct = 0,04, så den karakteristiske værdi af vindlastresultanten på tværs af byg-

ningen bliver

2

1 2

2

0,5·( )· · ·

0,5·7,5·(0,7 0,3)·0,66 19, 2·0,04·0,66

6,5

2,86 0,51 3,36 /

x w t wi

Hw c c q L c q

H

kN m

For den vandrette masselast på tagdækskiven kan regnes med en regnings-

mæssig værdi af størrelsen

0,15 / ²dA kN m

Regningsmæssig vandret lastresultant på tagdækskiven:

1. På langs ad bygning:

,

,

· · 1,5·1,0·3,74 5,61 /

· 33,6·0,15 5,04 /x d Q FI k

x d d

w K w kN m

v L A kN m


Figur 4-9: Tværsnit i hal

c1 = 0,7 c2 = 0,3

H =

7,5

m

Hi =

6,5m

Figur 4-10: Længde-

snit i tag med ovenlys

83


2. På tværs af bygning:

,

,

· · 1,5·1,0·3,36 5,04 /

· 19,2·0,15 2,88 /y d Q FI k

y d d

w K w kN m

v B A kN m


For vind på langs ad bygningen regnes tagdækskiven simpelt understøttet af de

langsgående facader.

Reaktionen på hver facade bliver

, ,0,5· · 0,5·19,2·5,61 53,9x d x dR B w kN

som fordeles videre til facadeelementerne.

Rx,d

Rx,d

Wx,d

Figur 4-11: Dækskive

84


b = 2,4 m

Hi H

Vy

Figur 4-12:

Tilsvarende fås for vind på tværs:

, ,0,5· · 0,5·33,6·5,04 84,7y d y dR B w kN

som i dette tilfælde kan fordeles jævnt over gavlelementerne i hver gavl. For det

enkelte gavlelement fås

, ,

2, 4· ·84,7 10,6 /

19,2y d y d

bV R kN element

B

Herefter skal styrken af væg- og tagskive samt samlingerne mellem skiverne og

stabilitet som væg eftervises.

Bemærk at der ved den overordnede stabilitetsberegning er set bort fra eventu-

elt sug/tryk på inderside af facadernes opkanter over tag.

85


Lokale vindkræfter

Det indvendige sug eller overtryk har betydning for vindbelastningen på de en-

kelte dele af facaderne og taget. Den karakteristiske fladelast på de enkelte

bygningsdele bestemmes ved

( )·k i yw c c q w

N m

N m

N m

hvor ci og cy er formfaktoren for vindlast på henholdsvis inder- og yderside af

bygningsdelen.

Største opadrettede vindlast på taget svarer til indvendigt overtryk, ci = 0,2

sammen med udvendigt sug, cy = 1,4:

(0,2 2,0)·0,66 1,06 / ²kw k

Største udadrettede vindlast på facader svarer til indvendigt overtryk, ci = 0,2

sammen med udvendigt sug, cy = 0,7:

(0,2 0,7)·0,66 0,46 / ²kw k

Største indadrettede vindlast på facader svarer til indvendigt undertryk, ci = 0,3

sammen med udvendigt tryk, cy = 0,9:

(0,3 1,2)·0,66 0,99 / ²kw k

Disse fladelaster indgår i de forskellige lastkombinationer, der skal undersøges

for hver enkelt bygningsdel.

Eksempel slut

86


4.2.2 Eksempel - Hal efter skeletsystemet

Bygningen forudsættes beliggende nær en fjord, så hastighedstrykket findes af

EC1 svarende til terrænklasse I og med z = 8,0 m:

0,81 / ²wq kN m

Facader og gavlpartier er over for vindlast understøttet ved fundament og tag.

Alle søjler regnes indspændt i fundament og i toppen forbundet til et uendeligt

stift tagdæk.

c1 = 0,7 c2 = 0,3

H =

8,0

m

Hi =

6,8

m

Der ses bort fra tangentiel vindlast på facaden og regnes med ct = 0,02 for tan-

gentiel vindlast på taget. Herved bliver den karakteristiske vindlastresultant på

dækskiven for vind på langs ad bygningen:

2

1 2

2

0,5·( )· · ·

0,5·8,0·(0,7 0,3)·0,82 48,0·0,02·0,81

6,8

3,81 0,78 4,59 /

x w t wi

Hw c c q L c q

H

kN m

Figur 4-13: Tværsnit i hal

87


og for vind på tværs:

2

1 2

2

0,5·( )· · ·

0,5·8,0·(0,7 0,3)·0,82 28,8·0,02·0,81

6,8

3,81 0,47 4,28 /

y w t wi

Hw c c q L c q

H

kN m

For den vandrette masselast på tagdækskiven kan anvendes en regningsmæssig

værdi af størrelsen

0,15 / ²dA kN m

Regningsmæssig vandret lastresultant på tagdækskiven:


,

,

· · 1,5·1,0·4,59 6,88 /

· 48·0,15 7,20 /x d Q FI k

x d d

w K w kN m

v L A kN m



,

,

· · 1,5·1,0·4,28 6,42 /

· 28,8·0,15 4,32 /y d Q FI k

y d d

w K w kN m

v B A kN m


88


Figur 4-14: Isometri af bærende system

Den vandrette lastresultant fordeles af dækskiven til søjletoppene i forhold til

søjlernes stivhed. I eksemplet regnes søjlerne i de to facadelinjer at være ens

med stivhederne og for udbøjning henholdsvis på langs og

på tværs af bygningen. Søjlerne i midterlinjen regnes at have de tilsvarende

stivheder og . For den aktuelle bygning forudsæt-

tes

2( / )LEI l

2( / )L LEI l

2( / )BEI l

2( /B EI l ) B

1,8L B

Med n = 5 søjler i hver linje på langs af bygningen fås følgende reaktion på

dækskiven ved hver søjletop for vind på langs ad bygningen:

y

x

L = 48 m

B = 28,8 m

Facadesøjle:

, 2

,,

2 2 2

·· 28,8·6,88

10, 4· 2 5 2 1,8

·

x dx dL

x dL

LL L L

EIB w

B wlR kN

nEI EI EIn

l l l

89


Midtersøjle:

, 2

,,

2 2 2

· ·· · 28,8·6,88·1,8

18,8· 2 5 2 1,8

·

x d Lx d LL

x dL

LL L L

EIB w

B wlR kN

nEI EI EIn

l l l

Tilsvarende fås for vandret last på tværs af bygningen:

Facadesøjle:

,

,

· 48,0·6,4216,2

· 2 5 2 1,8y d

y dB

L wR kN

n

Midtersøjle:

,

,

· · 48,0·6,42·1,829,2

· 2 5 2 1,8y d L

y dL

L wR kN

n

Ud over de anførte vandrette laster fra vind og masselast skal søjlerne beregnes

for vandrette bremsekræfter fra eventuelle kraner.

Eksempel slut

Figur 4-16: Opstalt af søjler

Figur 4-15: Skivelastens overføring

til søjlerække

W

Rd

Hi

90


4.2.3 Eksempel - Tværvægsbyggeri

Bygningen forudsættes beliggende i bymæssig bebyggelse, så hastighedstrykket

findes af EC1 svarende til terrænklasse III og med z = 16,0 m:

0,62 / ²wq kN m

Der regnes med tangentiel vindlast svarende til ct = 0,04 på facader og gavle.

Den karakteristiske værdi af den totale vindlastresultant på dækskive mellem

etagerne bliver derved for vind på langs ad bygning:

H = 16.0 m

L = 50,4 m

B=9,6m

Figur 4-17: Isometri

c1 = 0,8 c2 = 0,5

Figur 4-18: Tværsnit i nederste etage

91

he =

2,8

m


1 2· ·( )· 2· · · ·

9,6·2,8·(0,8 0,5)·0,62 2·50, 4·2,8·0,04·6, 2

21,67 3,50 25,17

x e w e t ww B h c c q L h c q

kN kN kN

For vind på tværs af bygning føres den tangentielle vindlast på gavlene direkte

til fundament af gavlskiverne. Den karakteristiske vindlastresultant på en

dækskive mellem etagerne er dermed for vind på tværs af bygning:

1 2·( )·

2,8·(0,7 0,3)·0,62

1,74 /

y e ww h c c q

kN m

For den vandrette masselast på hver af dækskiverne mellem etagerne regnes

svarende til bolig med en regningsmæssig værdi af størrelsen

0,15 / ²dA kN m

For hver dækskive mellem etagerne fås dermed følgende regningsmæssige

vandrette laster:


,

,

· · 1,5·1,0·25,17 37,75 /

· 9,6·50,4·0,15 72,58 /x d Q FI k

x d d

w K w kN m

v L A kN m

Idet nyttelasten er mindre end 1,4 gange egenvægten, og nyttelasten hen-

føres til lastkategori A, ses det, at masselasten er dimensioneringsgivende,

idet:

· · 0,7·Q FI k dK w v


,

,

· · 1,5·1,0·1,74 2,60 /

· 9,6·0,15 1,44 /y d Q FI k

y d d

w K w kN m

v B A kN m


92


Figur 4-19: Tagets kontur

En tilsvarende bestemmelse af lastresultaterne på dækskiven under taget af-

hænger af tagets udformning.

1. På langs ad bygningen er masselasten i det viste eksempel afgørende, så der

kan regnes med

, ,' 1,0·x d xW W d

2. På tværs af bygningen er vindlasten afgørende:

1 20,5· 0,5· ·tan ·( )·

0,5·1,74 0,5·9,6·1,0·(0,7 0,3)·0,62

3,84 /

y y ww w B c c q

kN m

idet tagets højde er 0,5 tanB

, · · 1,5·1,0·3,84 5,77 /y d f FI yw K w kN m

c'1 = 0,7 c'2 = 0,3

a = 45°

For last på langs ad bygningen fordeler dækskiven lastresultanten ligeligt til de

n = 3 stabiliserende længdevægge ved trapperummene.

93


Fordelingen kan anvendes, selv om længdevæggen ikke står i lastresultantens

angrebslinje, idet excentricitetsmomentet på dækskiven blot optages via reakti-

oner ved tværvæggene.

Reaktionen på hver dækskive mellem etagerne bliver ved hver af de stabilise-

rende længdevægge

,,

72,624, 2

3x d

x d

vR kN

n

De vandrette kræfter på en stabiliserende længdevæg kan dermed optegnes

som vist på vægopstalten, hvor faktoren kx betegner forholdet mellem den

vandrette last på tagdæk skiven og den vandrette last på de øvrige dækskiver.

Aktuelt er regnet med kx = 1,0 jævnfør det for W´xd angivne.

Figur 4-20: Plan Stabiliserende længdevæg

Wx,d

7,2 2,4 7,2 7,2 2,4

For vandret last på tværs af bygningen kan dækskiven regnes at føre lasten ind

til tværvæggene svarende til en simpel fordeling efter afstandene mellem tvær-

væggene. For en indvendig tværvæg nr i, der ligger med afstandene li-1 = 7,2 m

og li = 2,4 m til de to nabotværvægge bliver

, 1 ,0,5·( )·

0,5·(7, 2 2, 4)·2,60 12,5

iy d i i y dR l l w

kN

94


De vandrette kræfter på den enkelte tværvæg bliver som vist på opstalten, idet

,

,

5,772,21

2,60y d

yy d

wk

w

Herefter skal de enkelte vægskivers styrke og stabilitet eftervises, jfr. afsnit 5.2.

,

,

,

,

· 24

24,4

24,4

24,4

x x d

x d

x d

x d

k R , 4kN

R kN

R kN

R kN

Figur 4-21: Vægopstalt, længdevæg

Figur 4-22: Vægopstalt, tværvæg

Eksempel slut

95

,

,

,

,

· 27,7

12,5

12,5

12,5

x x d

x d

x d

x d

k R kN

R kN

R kN

R kN

he

he

he

he


4.3 Opstilling af generaliseret model

Dækskiven betragtes nu med systemet af stabiliserende vægge indtegnet:

Figur 4-23: Plan af dækskive

Dækskiven forudsættes at være uendelig stiv. Dækskivens bevægelse vil være

sammensat af en vandret translation, , og en drejning, , om systemets vrid-

ningscentrum.

De stabiliserende vægges deformation forudsættes at vokse proportionalt med

den vandrette last.

Figur 4-24: Opstalt, stabiliserende væg

96

W

Dækskive


Dækskiven med systemet af stabiliserende vægge beskrives i et sædvanligt

(x,y) koordinatsystem.

Dækskivens reaktion ved vægge parallelt med x-aksen betegnes Rxi, og den

enkelte af disse vægges stivhed betegnes i D, hvor D er en fælles reference-

værdi. Værdien i bliver således den enkelte vægs relative stivhed.

Tilsvarende for vægge parallelt med y-aksen betegnes dækskivens reaktion Ryj,

og de tilsvarende stivheder betegnes j D

De relative stivheder, i og j , kan i mange tilfælde fastlægges ved et rent

skøn, blot dette skøn afspejler størrelsesordenen af den enkelte vægs stivhed.

Det afgørende er at nå frem til en reaktionsfordeling, der er i ligevægt med de

ydre kræfter.

X

Rx,i

yi

y0

x0

xi

X

y

Ry,j

Figur 4-25: Beskrivelse i (x,y) koordinatsystem

97


For den vandrette resultant xW af kræfterne på dækskiven i x-aksens retning

angribende i systemets vridningscentrum bliver dækskivens bevægelse en ren

translation, , i x-aksens retning. De tilhørende reaktioner bliver

( ) · ·xi x iR W D

Den samlede reaktion er

1 1

1

· · · · ·n n

xx i i n

i ii

i

WW D D D

hvilket indsat i udtrykket for Rxi(Wx) giver

1

( ) ixi x n

ii

xR W W

Betingelsen for at resultanten Wx angribende i afstanden yo fra x-aksen netop

angriber i systemets vridningscentrum er, at det resulterende moment af kræf-

terne Rxi om et punkt med y-koordinaten yo er nul. Denne betingelse kan skri-

ves:

0 01 1

1

0 01 1 1

10

1

·( ) 0 ·( ) 0

·( ) 0 · 0

·

n ni

xi i ini i

ii

n n n

i i i i ii i i

n

i ii

n

ii

R y y y y

y y y y

yy

98 4.3-1


Tilsvarende fås for kræfter i y-aksens retning:

10

1 1

·

( )

m

j jj j

yi y ym n

j jj j

x

R W W x

4.3-2

En vilkårlig vandret resultant på dækskiven kan ækvivaleres med en resultant

gennem systemets vridningscentrum plus et moment, wM , om dette vridnings-

centrum. For et rent moment, wM , på systemet bliver dækskivens bevægelse

en ren drejning, , om systemets vridningscentrum. Reaktionen ved de enkelte

vægge bliver da:

0

0

( ) ( )· ·

( ) ( )· ·xi w i i

yj w i j

R M y y D

R M x x D

Disse reaktioners resulterende moment om vridningscentret kan skrives således:

0 01

0 01

2 20 0

1 1

·( )· · ·( )

·( )· · ·( )

· ( ) (

n

w i i ii

n

j j jj

n m

w i i j ji j

M y y D y y

x x D x x

M D y y x x

)

Indføres systemets relative vridningsstivhed ved

20

1 1

( ) ( )n m

w i i j ji j

20I y y x x

4.3-3

kan det resulterende vridningsmoment skrives

99


· · · ww w

w

MM D I D

I

Indføres dette i udtrykkene for reaktionerne ved de enkelte vægge bliver:

0

0

( ) ( )·

( ) ( )·

wxi w i

w

wyi w j j

w

MR M y y

I

MR M x x

I

i

Endelig summeres bidragene fra translation og vridning, så reaktionerne på de

enkelte vægge i alt bliver:

0

1

0

1

( )·

( )·

i Wxi x in

Wi

i

j Wyi y j jm

Wj

j

MR W y y

I

MR W x x

I

i

4.3-4

4.3-5

Vridningsmomentet, Mw, bestemmes for en vilkårlig vandret lastresultant W som

·wM W z

hvor z er den vandrette lastresultants momentarm om vridningscentret (xo,yo).

Figur 4-26: Vandrette lastresultanter på dækskive

100

zy

Wx

(x0, y0)

zx Wy

(x0, y0)


For bygninger indtil 5-6 etagers højde vil væggenes reelle stivhed kunne anta-

ges at være proportional med deres respektive modstandsevner. For sådanne

bygninger kan den relative stivhed for en stabiliserende væg anslås som den

mindste af værdierne 1 , 2 og 3 i henhold til det viste skema.

For 1 og 2 betragtes det mest kritiske element i væggen, idet ho regnes op

til tagdæk fra underside af det pågældende element.

0a 1 2 3

1,0

1,5

2,0

2,0

2

0 2

la

h

2 21 2

20 / 30

h h

h

2 2

1 220 / 30

l l

h

Ikke–bærende væg

Bærende væg

h0h

h1

h2

1 2

Skemaets angivelser er kun skønsmæssige, og størrelserne er valgt for at undgå helt urime-

lige reaktionsfordelinger. I visse tilfælde vil det være formålstjentligt at vælge andre parame-

terværdier

Figur 4-27: Skønnede værdier for relative stivheder

101


4.3.1 Eksempel - Kombinationsbygning

Kombinationsbyggerier er gerne kendetegnet ved forholdsvis få stabiliserende

vægge, der koncentrerer sig omkring trappetårne og andre skakte. I dette ek-

sempel præsenteres anvendelsen af den generaliserede model til bestemmelse

af lastfordelingen på de stabiliserende vægge.

Bygningen forudsættes beliggende i et kvarter med spredt erhvervsmæssig be-

byggelse, så hastighedstrykket findes af EC1 svarende til terrænklasse II og

med z = 14,6 m:

0,82 / ²wq kN m

B = 11,6 m

L = 36 m

H =

14,

6 m

x

y

Figur 4-28: Isometri

102


Der regnes med tangentiel vindlast svarende til ct = 0,02 på facader og gavle.

Den karakteristiske værdi af den totale vindlastresultant på en dækskive mellem

etagerne bliver dermed for vind på langs ad bygningen:

1 2· ·( )· 2· · · ·

11,6·3, 4·(0,8 0,5)·0,81 2·38,0·3, 4·0,02·0,81

41,5 4, 2 45,7

x e w e t wW B h c c q L h c q

kN

Tilsvarende for vind på tværs:

1 2· ·( )· 2· · · ·

38·3, 4·(0,8 0,5)·0,81 2·11,6·3, 4·0,02·0,81

136,0 1,3 137,3

x e w e t wW L h c c q B h c q

kN

Figur 4-29: Tværsnit i bygning

c1 = 0,8 c2 = 0,5

h' = 1,0 m

he = 3,4 m

he = 3,4 m

he = 3,4 m

he = 3,4 m

103


Det skal bemærkes, at bidraget fra tangentiel vindlast er relativ beskedent.

For den vandrette masselast på hver af dækskiverne mellem etagerne regnes

svarende til tungt erhverv med en regningsmæssig værdi af størrelsen

0,20 / ²dA kN m

Den regningsmæssige totale vandrette lastresultant på hver dækskive mellem

etagerne bliver da:


,

,

· · 1,5·1,0·45,7 68,57 /

· 11,6·36,0·0,20 83,52 /x d Q FI k

x d d

w K w kN m

v L A kN m

Det kan ikke umiddelbart vurderes hvilken af de to tilfælde, der er dimensi-

oneringsgivende, men for at forsimple eksemplet udføres beregningerne

kun for masselast.


,

,

· · 1,5·1,0·137,3 206,0

· 0,9·11,6·36,0·0,20 83,5y d Q FI k

y d d

w K w kN

v B A kN

· · 0,9· ·Q FI k FI dK w K v Vindlast er dimensioneringsgivende

En tilsvarende bestemmelse af lastresultanterne på dækskiven under taget af-

hænger af tagets udformning:

1. På langs ad bygning udføres en gennemregning for masselasten, og idet tag-

etagen regnes udnyttet svarende til taglast med Ad = 0,15 kN/m2 fås

, ,

0,150,75·

0,20 ,x d x dv v x dv

104


2. På tværs af bygningen er vindlasten afgørende, så her fås

dækskive under tag:

2 2,

, ,

0,5·( ) 0,5·(34 1,0)0,84·

3,4·3,4y de

y d y d x de e

wh hw w

h h

,w

næstøverste dækskive:

2 2,*

, ,

0,5·( ) 0,5·(1,0)1 1 0

3,4·3,4y d

y d y d x de e

whw w

h h

,,96·w

De her anførte lastresultanter vil for den skitserede bygning angribe i bygnin-

gens midterakser. Ved mere uregelmæssige bygninger eller ved store bygnin-

ger, der kræves undersøgt for vridning, vil de vandrette lastresultanter kunne

angribe langs andre linjer.

Med eksemplets regulære form på bygningen er det naturligt at indlægge (x,y)-

systemet med akse i facade- og gavllinje. Som vist på planen regnes væggene

parallelt med x-aksen at være bærende, medens væggene parallelt med y-aksen

ikke er bærende.

y

x3y

4,0

3x

2y

2x

1y

4,0

3,6

31,2

18,0

W y

27,2

W x

5,8

4,8

9,6

2,4

3,6

1x

Figur 4-30: Plan af dækskive

105


Først findes hver vægs relative stivhed og placering i (x,y)-systemet.

Væg nr. i yi

1x 0,140 4,8m2x 0,173 9,6m3x 0,173 2,4m

Væg nr. j xj

1y 0,187 0,0m2y 0,070 27,2m3y 0,047 31,2m

idet de stabiliserende vægges højde er 13,6 m og de alle regnes massive.

0 0

0, 486 , 0,304

2,75 , 3,36

5,65 , 11,08

64,8 ² ,

i j

i i j j

w

y m x m

y m x

I m

m

kNm

kNm

For vandret last på langs ad bygningen fås for normaletager:

, 83,52 83,5·(5,8 5,65) 12,19x d wW kN M

For vandret last på tværs af bygningen fås for normaletager:

, 206,0 206·(18 11,08) 1426y d wW kN M

Reaktionen på de stabiliserende vægge fra hvert etagedæk findes nu af formler-

ne 4.3-4 og 4.3-5.

for forWx,d Wy,d

1x 24,1 kN 2,6 kN2x 29,9 kN -15,1 kN3x 29,6 kN 12,4 kN

Væg nr.Rxi

for forWx,d Wy,d

1y 0,4 kN 81,1 kN2y -0,2 kN 72,4 kN3y -0,2 kN 52,4 kN

Væg nr.Ryi

106


Da både Wxd og Wyd kan skifte fortegn, findes farligste reaktion af skemaet som

den numerisk største reaktion for hver væg.

For masselast reduceres reaktionerne fra tagdækket med faktoren 0,75 mens

reaktionerne fra vindlast, på de øverste etager, reduceres med faktorerne 0,84

og 0,96, jævnfør den første del af eksemplet.

Herefter består opgaven i stabilitets- og styrkeeftervisning for hver vægskive for

belastninger som anført nedenfor.

Hvis det nu viser sig, at væg ikke kan modstå de beregnede reaktioner, kan

det forsøges at omregne den vandrette last fordeling med en mindre værdi af

3y

j for denne væg. Dette har dog kun mening, hvis den første gennemregning

fører til at de øvrige vægge ikke udnyttes fuldt ud. I det aktuelle eksempel spe-

cielt væg . 2y

18,0kN 67,9kN

24,1kN 77,6kN

24,1kN 81,1kN

24,1kN 81,1kN

Væg nr. 1 Væg nr. 1x y

Figur 4-31: Vægopstalter

Eksempel slut

107


108


Stabilitetsanalyser bliver ofte ret omfattende, og det er oplagt at anvende færdi-

ge beregningsprogrammer til brug herfor.

På www.bef.dk findes et beregningsmodul, der foretager vandret lastfordeling og

undersøgelse af vægskivernes stabilitet for bygninger i op til 6 etager. Neden-

stående udskrift viser beregningsmodulets brugerflade under en beregning af

samme bygning som gennemgået i foregående afsnit.

Som det ses af delresultaterne for væg 1, der svarer til det foregående eksem-

pels væg 1y, stemmer de resulterende vandrette reaktioner, V, på væggen fra

vindlasten overens med resultaterne yiR fra eksemplet.

Endvidere ses, at der med det valgte system af stabiliserende vægge er behov

for at forankre væggene til bygningens basis, og programmet gør opmærksom

på, at der for væg 1 og 3 skal ses nærmere på risikoen for glidning af det øver-

ste vægelement. Se nærmere om disse forhold i afsnit 5.2.

Væg dim. væghøjde rel. stivh. Etage Højde

x1 y1 x2 y2 t etager a0 Ankre h_etg y_Wx W_x x_Wy W_ynr. (m) (m) (m) (m) (m) (antal) til basis (m) (m) (KN) (m) (KN)1 0,00 0,00 0,00 4,80 0,24 4 1,5 1004 kN !

! Etage 4 NB: se væg ved mrk. !

6 0,00 0 0,00 02 27,20 4,00 27,20 7,60 0,24 4 1,0 734 kN 5 0,00 0 0,00 03 31,20 0,00 31,20 2,40 0,24 4 1,5 2567 kN 4 3,40 6,00 0 18,00 1724 0,00 4,80 3,60 4,80 0,24 4 2,0 3 3,40 6,00 0 18,00 1975 14,00 9,60 18,00 9,60 0,24 4 2,0 2 3,40 6,00 0 18,00 2066 31,20 2,40 35,20 2,40 0,24 4 2,0 1 3,40 6,00 0 18,00 2067

89

101112131415161718192021222324252627

Generelle parametre for vægge Væg 1 n_max = 1440 kN/m

Maks. normaltryk s_max 6,00 Mpa Etage r_1 r_2 p P1 P2 V T N n Egenvægtsfaktor _g 0,80 (m) (m) (kN/m) (kN) (kN) (kN) (kN) (kN) (kN/m)

6 0,00 0,00 0,0 0 0 0 0 0 0

5 0,00 0,00 0,0 0 0 0 0 0 0 Sag : 4 0,00 0,00 0,0 0 0 68 22 1440 Sag nr.: 20-101 3 0,00 0,00 0,0 0 0 78 166 316 1440 Init: JFJ 2 0,00 0,00 0,0 0 0 81 466 692 1440

1 0,0 0 0 81 1004 1305 1440

Betonelementhuset 97

Stabilitet af væg nr. 1

1. endepunkt 2. endepunkt Laste på dækskiver over etager

+ W_y7, Vind:

Nulstil vægge

Lasttilf:

Vis vægplan: Etage 4

Rediger væg Godkend væg

1

2

3

4

5

6

789101112131415161718192021222324252627

W

(0,0)

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

7, Vind: + W_y

Definer etagekonturer

Definer lasttilfælde

Udskriv beregningsresultater

Figur 4-32: Beregningsprogram

5 SKIVESTATIK

5 SKIVESTATIK

5.1 Dækskiver

5.1.1 Homogenhuldækskive

5.1.2 Huldækskiveberegnetvedstringermetoden

5.1.3 Eksempel–Regneeksempel

5.2 Vægskiver

5.2.1 Vægopstalter

5.2.2 Enkeltelementersskivestyrke

5.2.3 Eksempel–Vægbeståendeafflerevægelementer

5.3 Beregningsprogram

5 | Skivestatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK

5.1 Dækskiver

Eftervisning af dækelementers evne til at overføre vandrette skivekræfter adskil-

les almindeligvis fra beregningen af dækelementerne for lodret last. For over-

skuelighedens skyld betragtes dækskiven i denne sammenhæng derfor som en

selvstændig bygningsdel.

Dækskivens fugearmering fastlægges ved beregningen for vind- og masselast.

Dog vil det for bygninger, der i henhold til sikkerhedsnormen kræves at kunne

modstå ulykkeslast, normalt være nødvendigt med yderligere fugearmering.

Desuden skal der altid sikres en minimum sammenhængsstyrke i dækskiven i

form af gennemgående armeringsforbindelser. Dette kan opnås ved, at der i alle

fuger etableres gennemgående trækforbindelser, så der både i tvær- og længde-

snit i den enkelte dækskive kan overføres en gennemsnitlig trækkraft på 15 kN

pr. løbende meter af tværsnittet for normal konsekvensklasse og 30 kN pr. lø-

bende meter af tværsnittet for høj konsekvensklasse.

I randfugerne skal der altid indlægges en gennemgående randstringer rundt

langs hele dækkets periferi. Denne randstringer bør normalt bestå af to arme-

ringsjern, hvert med en diameter på mindst 12 mm.

Ved alle stød i randstringeren bør fugearmeringen omsluttes af lukkede bøjler

svarende til det sædvanlige krav om tværarmering for stød. Stødlængden bør

mindst regnes som svarende til stød i samme snit, dvs. den normale foran-

kringslængde øget med 50%. Anvendes fugearmering med fyk = 550 MPa, og

regnes fck = 20 MPa for fugebeton, fås stødlængder som anført i skemaet.

Fugearmering Stødlængde Anbefalet tværarm. i randstringer

Y12 800 mm 5 bjl R5/stød



110

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Skivestatik | 5

I længdefuger er det som regel tilstrækkeligt at anordne fugearmering ved ele-

mentender, idet elementernes hovedarmering kan fungere som trækforbindelse.

For at kunne regnes aktiv, skal fugearmeringen forankres effektivt ved elemen-

tende. Ved randfuger er det nødvendigt at støde en U-bøjle ind vinkelret på

randfugen, således at fugearmeringen i randfugen er omsluttet af U-bøjlen.

Figur 7.3.1/2 Armeringsføring ved længdefuge/randfuge

lan

Y12

la

Figur 7.3.1/1 Fugearmeringsp

U-bjl. Y10

2Y12

2Y12

Længdefuger

U-bjl. Y10

Tværfuge

2Y12

2Y12 Randfuger

10x1,2 m

Figur 5-1: Fugearmeringsplan

Figur 5-2: Armeringsføring ved længdefuge/randfuge

111


For at sikre en god forankring af fugearmeringen i dækelementernes forskyd-

ningszone under brand bør armeringen i længdefugerne mindst overholde føl-

gende krav:

a) Fugearmering skal altid mindst være Y12 i alle længdefuger, dog U-bøjler

Y10 i alle længdefuger ved dækrande

b) Fugearmeringen skal føres mindst la = 1,5 m ind i længdefugen på hver side

af tværfugen og ligge i et tilstræbt niveau omkring dækmidte.

c) De to vandrette ben i U-bøjlerne, der omslutter randstringeren, skal føres

mindst la = 1,5 m ind i længdefugen og ligge symmetrisk om et tilstræbt ni-

veau i dækmidte.

Placeringen af fugearmeringen – og dennes omstøbning – skal sikres under ud-

førelsen, eventuelt ved anvendelse af afstandsholdere.

Ved ribbedæk kan dækskivens sammenhæng opnås ved hjælp af et armeret

overbetonlag på dækelementerne, eller ved svejsesamlinger hvor svejseplader-

ne forankres med tværarmering i det enkelte element.

5.1.1 Homogen huldækskive

I grundtilfældet betragtes en dækskive med jævnt fordelt vandret last w.

Dækskiven forudsættes simpelt understøttet ved de to gavlvægge.


112

W

L

h


Dækelementerne regnes i dette tilfælde at spænde fra facade til facade.

Momentet ved skivemidte er

2

8

w LM

og regnes med en indre momentarm på z = 0,9 h skal randstringeren i facade-

fugen således kunne optage en træk kraft af størrelsen

2·

8·at c

w LN N

z

Den tilsvarende trykkraft i toppen af skiven skal kunne overføres som et jævnt

fordelt tryk vinkelret på dækelementerne, svarende til at Nc fordeles over en

trykzonehøjde y = 0,2 · h.

Figur 5-4: Snitkræfter i dækskive

Ved forskydningsundersøgelsen deles skiven op i et passende antal felter, og

hvert felt undersøges for sig.

113

0,9

h0,1

h0,

1 h

W CL

VI

Nc

Nat½ L


Figur 5-5

I det viste eksempel deles hver halvdel af dækskiven op i to felter, I og II. Da en

væsentlig del af skivelasten, w, kan virke som et træk i læsiden, dimensioneres

hvert felts forskydningsarmering for den maksimale forskydningskraft, der op-

træder i feltet. Disse kræfter er for henholdsvis felt I og II:

,max ,max

· ·

2 4I I

w L w LV V I

Forskydningsarmeringen, der udgøres af fugearmeringen mellem dækelementer,

dimensioneres efter diagonaltrykmetoden, jfr. betonnormen, idet der anvendes

cot 1 . Med den indre momentarm z skal fugearmeringen i felt I dermed

kunne optage følgende trækkraft pr. længdeenhed i et snit parallelt med faca-

den:

,max ·

·cot 2·II

t

V w Ln

z z

Med dækelementbredden b giver dette et fugearmeringsareal pr. dækfuge på

· ·

2· ·It

yd

w L bA

z f

W CL

VI

14 L

14 L

Felt I Felt II

hvor fyd er fugearmeringens regningsmæssige flydespænding.

114


Eventuelt kan fugearmeringen koncentreres som 2 At i hver anden fuge. I de

fleste tilfælde er dækelementernes hovedarmering tilstrækkelig til også at kunne

fungere som skivens forskydningsarmering. Der skal så blot sørges for U-

bøjleforankringer ved fugeender og for stødjern over tværfuger. I felt II i det

viste eksempel kræves kun halvt så meget fugearmering som i felt I.

Også forskydningsoverførslen mellem to dækelementer skal undersøges. I det

viste eksempel er det i denne forbindelse igen VI, der er dimensionsgivende.

Uafhængigt af dækelementtypen må den dimensionerende forskydningskraft i

en dækfuge eller dæk-element ikke overstige 25 kN/m. Denne værdi opnås næ-

sten uden armering, når kohæsionsbidraget tages i regning. Det anbefales dog

altid, at støbeskellet armeres for en kraft på 5 kN/m. Armeringen af støbeskellet

på 5 kN/m må godt bruges til bøjning, brand og robusthed.

2· ·5 /s ydA f

kN mh

I flerskibsbygninger, hvor to dækelementender støder op til en tværfuge, skal

stringerarmeringen dimensioneres svarende til det samlede bidrag fra de to dæ-

kelementer.

Figur 5-6: Armering i tværfuge ved ét- og ved flerskibsbygninger

115

V

V

Asfyd

Asfyd

A1sfyd +

A2sfyd2

1


Wg

Hårnålebøjlerved stød

(As + A's)fyd

(As + A's)fyd

2As f yd

h

Figur 5-7: Forhold ved gavl

Til den ovenfor beregnede værdi af As skal der ved gavle lægges et bidrag 'sA :

' ·

2·g

syd

h wA

f

hvor wg er resultanten på dækskiven for vindens sug på gavlen.

Armeringskraften (As + A´s) fyd skal være effektivt forankret ved gavlhjørner,

hvilket sædvanligvis sikres ved hjælp af en vinkelbøjle i gavlhjørnet.

Dækskiven bør normalt ikke designes med en smal breddevariant i dækket lig-

gende helt ud til en gavl eller tilsvarende. Dette skyldes, at det yderste dækele-

ment skal virke som en vandret bjælke. Bjælken skal dels optage normaltrykket

i fugen ind mod næste dækelement stammende fra forskydningsoverførslen

(Asfyd), dels eventuelt vindsug (A´sfyd). Se figur 5-7.

Uden for designet af selve dækskiven ligger en eftervisning af, at de vandrette

reaktioner kan overføres fra dækskive til vægskiver. Dette emne behandles i

afsnit 5.2.

116


5.1.2 Huldækskive beregnet ved stringermetoden

Skiver med mere kompleks geometri må opdeles i regulære felter, der hver for

sig kan designes ved hjælp af metoderne fra den homogene dækskive.

Her er stringermetoden i en udgave baseret på plasticitetsteorien et effektivt

hjælpemiddel. Ved denne metode inddeles skiven, eller en del af skiven, i en

række rektangulære felter med et net af stringere. Stringerne er idealiserede

træk-/trykstænger og de rektangulære felter mellem stringerne betragtes som

rene forskydningsmembraner.

Ofte er det kun en del af skiven, der undersøges ved hjælp af stringermetoden.

Eksempelvis, hvis den midterste del af skiven er homogen, kan skiven på mid-

terstrækningen designes for moment og forskydning på sædvanlig måde. Siden

designes så gavlsektionerne for sig, hvor der for eksempel kan være tale om

større skakthuller.

Figur 5-8: Dækskive med huller

I de sektioner, der skal undersøges ved hjælp af stringermetoden, vil det nor-

malt være en stor beregningsmæssig hjælp at regne med sektionens maksimale

forskydningskraft konstant over hele sektionen. Dette vil ikke føre til væsentligt

merforbrug af fugearmering.

117

Q Q


Tilsvarende kan det være en fordel at tegne nogle af de rektangulære felter lidt

mindre end de egentlig er, hvis der derved kan vindes symmetri i sektionens

opdeling.

Ved opdelingen nummereres alle stringerne (1, 2, 3 ..... og a, b, c .....) og alle

forskydningsmembranerne (I, II, III .....)

Figur 5-9: Stringersystem

Stringerkræfterne, S, regnes konsekvent positive som træk, og for forskyd-

ningsspændingerne i forskydningsmembranerne regnes med den sædvanlige

fortegnskonvention for forskydningsspændinger.

118

QQ

a a a

d

c

b

a

2b

b

2b

1 2 3 4

I

Sd0

Sa0

II III

IV V

VI VII VIII


Figur 5-10: Fortegnsdefinition

Mellem forskydningsmembraner og stringere sker kraftoverførslen ved ren for-

skydning.

Figur 5-11: Beregning

af kræfter i stringer

For den udskårne sektion af dækskiven opstilles den over ordnede ligevægt.

Forudsættes kraften i stringer b og c at være lig med nul ved krydset med strin-

ger 4, fås

0 0

3·

5a d a

S Sb

Q

Herefter kan ligningerne, til bestemmelse af forskydningsspændingerne i for-

skydningsmembranerne opstilles. Dette gøres ved at opstille forskydningslige-

vægt for hver af de viste snit (A, B, C og X, Y, Z).

119

S S

2b

II III

II III

S = 2b(III - II)


Figur 5-12: Indlagte snit

Disse ligevægte giver i det viste eksempel, når membrantykkelsen sættes til t =

1:

3:

53

:53

:5

: 2 2

: 2 2

: 2

I II III

IV V

VI VII VIII

I IV VI

II VII

III V VIII

aA a a a Q

ba

B a aba

C a a ab

X a a a Q

Y a a Q

Z a a a Q

Q

Q

Q

Q

2b

b

2b

I

3a

II III

IV V

VI VII VIII

X Y Z

5bQ

3a

5bQ

a a a

A

B

C

Disse ligninger er ikke lineært uafhængige. Der vil altid være én ligning for me-

get, når den ydre ligevægt er opfyldt. Dette kan indses ved at betragte en situa-

tion med kun ét membranfelt.

120


De to påførte stringerkræfter sikrer momentligevægten af feltet, Forskydningsli-

gevægt i snit A´ og X´ giver da enslydende

1

Q

b

hvilket svarer til den sædvanlige betingelse for forskydningsspændinger,

xy yx

A' Q'

X'

Q'

a'

a'

b'Q'

Q'a'

b'

b'

Figur 5-13: Situation ved ét membranfelt

Af de seks ligninger i eksemplet er der således kun fem uafhængige. Da der er

otte ubekendte forskydningsspændinger vælges de tre derfor frit. Ved regulære

skiver vil det ofte være bekvemt at vælge de ubekendte forskydningsspændin-

ger svarende til felterne beliggende langs to naborande som antydet ved skrave-

ring nedenfor.

Hermed kan de ubekendte forskydningsspændinger sædvanligvis findes uden at

kræve løsning af et egentligt ligningssystem.

121


Figur 5-14: Forslag

til valg af felter med

uafhængige ubekendte

Vælges eksemplets forskydningsspændinger i område I, II, III, IV og VI som

ubekendte skønnes først de resterende tre forskydningsspændinger:

0,30

0,25

0,20

V

VII

VIII

Q

bQ

bQ

b

Som overtallig ligning vælges nu forskydningsligevægten i snit X, der går gen-

nem flere felter med ubekendte forskydningsspændinger. Også snit A går gen-

nem flere felter med ubekendte forskydningsspændinger og løses derfor til sidst.

De resterende fire ligninger løses nu let:

: · 0,3 0,6 0,30

: · 0,25 0, 2 0,6 0,15

: 2 · 2 0,25 0, 25

: 2 · 0,30 2 0,20 0,15

IV IV

VI VI

II VI

III III

Q aB a a Q

b b

Q Q aC a a a Q

b b b

Q QY b b Q

b b

Q QZ b b b Q

b b

Q

b

Q

b

Q

b

I II III

IV V

VI VII VIII

122


Hermed løses også den sidste ligning let:

: · 0, 25 0,15 0,6 0,20I IQ Q aA a a a Q

b b b

Q

b

I ligning X kan de fundne forskydningsspændinger eventuelt indsættes som kon-

trol.

Fordelingen af forskydningsspændingerne bliver da i alt som vist på figuren:

Figur 5-15: Forskydningsspændinger, faktor Q/b

De skønnede forskydningsspændinger kan give uforholdsmæssigt store værdier

for enkelte af de ubekendte ved løsning af ligningerne. I så fald kan det vælges

at ændre på nogle af de skønnede værdier, og derefter prøve om løsning af lig-

ningerne fører til en gunstigere fordeling af forskydningsspændingerne.

Nu kan stringerkræfterne bestemmes. Dette gøres sikrest ved at opstille lige-

vægt sektion for sektion for hver stringer.

123

- 0,2 - 0,25 - 0,15

- 0,3 - 0,3

- 0,15 - 0,25 - 0,20


Figur 5-16: Kraftbestemmelse i stringer 2

Den sidste bestemmelse af S = 0 fungerer som kontrol af randbetingelsen for

stringeren.

For oversigtens skyld tegnes stringerkræfterne op som vist, idet det for stringer

4's vedkommende bemærkes, at kraften V forudsættes ophængt nederst i strin-

124

I II

VI VII

IV

- 0,2

- 0,2

- 0,25

- 0,25

- 0,3

- 0,3

- 0,15

- 0,15

- 0,25

- 0,25

S = 2b[-(-0,2)+(-0,25)] = -0,1QQb

S = -0,1Q+b[-(-0,3)] = 0,2QQb

S = 0,2Q+2b[-(-0,15)+(-0,25)] = 0Qb

S = 0


geren, svarende til at denne stringer virker som vederlag for den resterende

dækskive ind mod midten.

Figur 5-17: Optegning af stringerkræfter

Stringer 1 er forudsat kraftfri, idet forskydningskraften fra membranerne I, IV

og VI regnes ført direkte ind i vægskiven i gavlen.

I fugerne indlægges fornøden armering til at optage de beregnede stringerkræf-

ter. Hertil skal så yderligere indlægges fugearmering i hvert af felterne I-VIII

svarende til reglerne for en homogen dækskive med

V t h

hvor er den beregnede forskydningsspænding i det enkelte felt. Membrantyk-

kelsen, t, var i eksemplet sat til 1.

-0,1

-0,10,15

0,15

Faktor Qab

+0,6

-0,6

d

c

b

a

-0,1 0,2

-0,10,2

Faktor Q

1 2 3 4

1,0

125


5.1.3 Eksempel – Regneeksempel

En bygnings etageplan er som vist på figuren, hvor vind på tværs af bygningen

føres ud til gavlene via dækskiven. Dækelementerne spænder fra facade til

facade, dog ved skakt fra facade til længdeskillevæg.

Fugearmeringen skal fastlægges, idet der overalt anvendes armering med flyde-

spænding

550550 458

1,2yk ydf MPa f MPa

og idet der forudsættes normal kontrolklasse. Armeringsjern betegnes ved Yaa,

hvor Y angiver armeringskvaliteten og aa jernets diameter i mm.

Som randstringer anvendes 2Y12 hele vejen rundt om dækskiven. Denne

randstringer har armeringsarealet

Ø V

b1 = 6,0 m

b2 = 4,8 m

Wd = 3,0 kN/m

L = 43,2 m

2,4 m


2226sA mm

126


og dermed en regningsmæssig trækstyrke på

· 104ud s ydS A f k N

Robusthed

I et snit på tværs af dækskiven kan der således optages en gennemsnitlig træk-

kraft af størrelsen

1 2

2·19,2 /ud

ud

Sn kN m

b b

OK

Moment

Moment ved skivemidte kræver optagelse af en trækkraft i randstringeren:

2

1 2

·72

8·0,9·( )d

d ud

w LS kN S

b b

OK

Forskydning

Ved gavl Ø kræver forskydningsoverførslen i dækskiven, at der etableres tvær-

gående forskydningsarmering pr. dækelement svarende til

1 2

0,5· · ·17,4 ² / dækfuge

0,9·( )·d

tyd

w L bA mm

b b f

hvor der regnes med dækelementbredden b = 1,2 m.

Der indskydes U-bøjler, Y10 i hver fuge mellem dækelementerne, så randstrin-

geren omsluttes af U-bøjlerne. Disse har armeringsarealet

157 ² / tA mm dækfuge A

127


U-bøjlerne overfører trækkraften til dækelementerne. Med så beskedent behov

for tværarmering som i det aktuelle tilfælde, kan der regnes med at dækelemen-

ternes hovedarmering sikrer den nødvendige tværforbindelse mellem facaderne.

Støbeskel

Den maksimale forskydningsoverførsel er størst ude ved gavlen. Hvis forskyd-

ningskraften her er mindre end 25 kN/m, kan støbeskellet overføre lasten, så-

fremt støbeskellet armeres for 5 kN/m.

1 2 1 2

2 ·0,5· ·6 / 25 / 5 /s ydd

A fw LkN m kN m kN m

b b b b

hvilket giver:

· 27,0s ydA f k N

Forankring af gavl

På gavlen forudsættes samtidig et vindsug svarende til et udadrettet træk i

dækskiven af størrelsen

3,25 /gw kN m

Dette giver et bidrag til randstringerens mindste trækkapacitet på

1 2· 0,5· ·( ) 17,6s yd gA f w b b kN

Kombineret støbeskel og forankring af gavl

Nær bygningshjørnet skal randstringeren dermed i alt kunne optage en træk-

kraft af størrelsen

( )· 44,6s S ydA A f kN

128


Der indlægges 2Y12 hjørnejern i hvert bygningshjørne for at sikre randstringe-

rens forankring.

Gavl V

Ved gavl V undersøges dækskiven ved hjælp af stringermetoden.

1 2 3

c

b

a

Sc0

Sa0

Qd

Qd

a1 = 4,8 a2 = 3,6

b1 = 6,0

b2 = 4,8

I II

III


Der regnes med konstant værdi af forskydningskraften over hele området:

0,5· · 64,8d dQ w L kN

Momentligevægt giver da:

1 20

1 2

0

( )50,4

50,4

a d

a

Q a aS k

b b

S kN

N

129


Lodret forskydningsligevægt i snit gennem område II:

1

10,8 /II dQkN m

b

Vandret forskydningsligevægt i snit gennem område III:

1

10,5 /a

III sSkN m

a

Lodret forskydningsligevægt i snit gennem område I og III:

2

1

·2, 4 /

IIII dQ b

kN mb

Som overtallig ligning er således valgt vandret forskydningsligevægt i snit gen-

nem område I og III.

Forskydning (Gavl V)

Største forskydningsspænding optræder i område II. Der kræves her tværgåen-

de forskydningsarmering pr. dækelement svarende til

·28 ² / dækfuge

II

tyd

bA mm

f

U-bøjlerne Y10 udgør således også her sammen med dækelementernes hoved-

armering tilstrækkelig tværforbindelse i bygningen.

130


Stringer 1

I modellen fordres stringer 1 at kunne optage hele forskydningskraften. Dette

kræver armeringsarealet

21 141d

yd

QA m

f m

Der indlægges 1Y16~201 mm² i den pågældende fuge.

Stringer 2

Stringer 2 skal ved krydset med stringer b kunne optage en trækkraft af størrel-

sen

2 2 · 50,4b IIIS b kN

hvilket også kunne findes som

2 1·( ) 50,4b II IS b kN

Dette kræver et armeringsareal på

2 110 ²b

tyd

SA m

f m

Der indlægges Y16~201 mm2 i den pågældende dækfuge. Bemærk at stringer 2

netop er flyttet en dækelementbredde ind fra skakten for at sikre denne strin-

gers forankring i en sædvanlig dækfuge.

131


Stringer b

Stringer b skal i krydset med stringer 2 optage en trækkraft på

22· 38,9II

bS a kN

svarende til armeringsarealet:

85 ²s

b bs

yd

SA m

f m

Fugearmering ved stringer 2

Hertil skal lægges fornøden armering til også at sikre optagelse af de tværgåen-

de forskydningskræfter langs stringer 2. Uanset størrelsen af forskydningskræf-

ter, skal støbeskellet armeres for 5 kN/m

2

2· ·10,5 / 25 / 5,0 / 26 ²

IIIS yd III

III S

A fkN m kN m kN m A mm

b

svarende til bidraget fra den nederste del af dækskiven og

1

2· ·2, 4 / 25 / 5,0 / 33 ²

IS yd III

III S

A fkN m kN m kN m A mm

b

fra den øverste del af dækskiven.

I fugen ved stringer 2 skal således mindst ligge en fugearmeringsmængde af

størrelsen

144 ²b I IIIb s s sA A A A mm

Der indlægges 2Y12 ~ 226 mm2.

132


Også forskydningskraftoverførslen i etagekrydsene ved gavlene skal sikres. Se

nærmere i afsnit 10.2.

Vedrørende fastholdelse af gavlen for vindsug i denne ende af bygningen be-

mærkes at kræfterne, der skal overføres til fugearmeringen, på grund af læng-

devæggen bliver væsentlig mindre end i modsatte bygningsende.


Eksempel slut

Stødjern

U-bjl

Hjørnejern

Y8

1500

Y12

3000

1000

1000

2Y12

Stød

2Y12

800

2Y12

2Y12

2Y12 2Y

12

Y16

Y16

5 bjl R510

133


5.2 Vægskiver

Beregning af vægskiver omfatter i denne sammenhæng undersøgelse af kraft-

forløbene i skivens plan. For beregning af de enkelte vægelementers søjlestyrke

henvises til kapitel 8.

Skiveundersøgelserne kan dels dreje sig om hele vægopstalter, dels om enkelt-

elementer med komplekse understøtnings-, belastnings- eller udsparingsforhold.

5.2.1 Vægopstalter

Der betragtes en vægopstalt med vandrette og lodrette laster som vist. De

vandrette laster H er reaktionerne på væggen fundet ved den vandrette lastfor-

deling.

Figur 5-21: Skivekræfter på væg

H1

H2

H3

H4

V1

e1

V'1

q

G

134


De lodrette laster G er de enkelte vægges egenvægt, og de fordelte laster q er

belastningen fra de enkelte etagedæk. I mange tilfælde vil den farligste last-

kombination svare til maksimal vandret last samtidig med minimal lodret last.

Andre lastkombinationer kan være farligere. Eksempelvis hvis væggen er hårdt

udnyttet som søjle, eller hvis der er dørhuller i den ene side. Da vil det også

være relevant at undersøge forholdene for vandret last sammen med maksimal

lodret last på en del af, eller eventuelt hele konstruktionen. Sådanne vægges

sikkerhed mod væltning kan være forskellig i de to retninger.

På opstalten er vist nogle lodrette laster V. Disse svarer til eventuel kraftover-

førsel mellem den betragtede væg og nabovægge.

G

min q max q

Figur 5-22: Vægelement med destabiliserende lodret last over dørhul

q1

H1

V1 G1

V

element 1

q2

G2

H2

V2

T

N2' x

A

element 2

V

Figur 5-23: Stabilitetsundersøgelse

135

1'

2'


Stabilitetsundersøgelsen omfatter principielt følgende punkter, a-e, for hvert

enkelt element i opstalten, hvor og betegner den resulterende vandrette

forskydningskraft og den resulterende ydre normalkrat på elementet:

*iH iN

a: Forskydningsundersøgelse i støbeskellet mellem vægelementet og ovenlig-

gende dæk.

Dette støbeskel regnes normalt glat, så for element 1 vist på figur 5-23 fås:

*1 1 1 1·( · ) , ·t ydH N A f F N G q 1 L

Her er friktionskoefficienten i støbeskellet µ = 0,5, N1 er den samlede ydre

normalkraft, der kan regnes til gunst i støbeskellet, At · fyd er et normalkraft-

bidrag fra opragende bøjler eller anden effektivt forankret armering gennem

støbeskellet, og ΔF er et eventuelt bidrag til forskydningskapaciteten fra dor-

ne etc. i elementets overside. Se nærmere i afsnit 10.2.

b: Forskydningsundersøgelse i støbeskellet mellem vægelement et og underlig-

gende dæk svarende til det i pkt. a gennemgåede. Hvis der i pkt. a ikke er

medregnet bidragene µ · At · fyd eller ΔF, kan pkt. b normalt springes over.

Eller skal det normalt eftervises at:

*1 1 1 1· ,H N N q ·L

c: Væltningsundersøgelse i snittet mellem vægelementet og underliggende dæk

Dette foretages eksempelvis som vist for element 2 ved at opstille momentli-

gevægtsligning omkring punkt A, idet x er afstanden fra punktet A til resul-

tanten af den samlede normalkraft i snittet svarende til den undersøgte last-

kombination.

Normalkraften 2N kan som regel regnes jævnt fordelt over længden 2x målt

fra punktet A svarende til linjelasten:

22 2

Nn

x

Denne linjelast må hverken overstige elementets søjlestyrke eller trykstyrken

af etagekrydset.

136


I visse tilfælde kan væltningssikkerheden øges ved hjælp af en lodret arme-

ring, der kan overføre en trækkraft T til den underliggende konstruktion. Det

skal da sikres, at den underliggende konstruktion kan optage trækkraften T.

Den lodrette armering i væggene kan etableres ved hjælp af stigbøjlesamlin-

ger eller ved hjælp af armering indstøbt i korrugerede rør indstøbt i elemen-

terne.

I indledende beregninger er det en fordel at regne forankringskraften placeret

i væggens midterlinje. Herved har man efterfølgende mulighed for en central

forspænding af væggen, samtidig med at en slap trækforankring ved elemen-

tets kant er på den sikre side, da det giver mindre normalkraft.

Hvis trækforankring er nødvendig kan for trykzonen i væggens underside

regnes med en fuld udnyttelse af væggens eller etagekrydsets bæreevne ni

over bredden 2x. Lodret ligevægt medfører, at reaktionen i trykzonen øges i

forhold til den lodrette normalkraft i væggen:

* *2· ·i i i i i i iN N T n x T N Ni

Hvorefter moment om punkt A giver

2* 2

2 4iH

i ii

ML LN n

n

Hvor MiH er det væltende moment

d: Styrkekontrol af samlingerne ved eventuel kraftoverførsel mellem vægele-

menter.Herunder også kontrol af at kræfterne V kan føres videre i nabovæg-

gene.

e: Kontrol af elementets egen skivestyrke.

Se nærmere i det følgende.

Det kan fra tilfælde til tilfælde variere meget, hvor mange af de beskrevne un-

dersøgelser det er nødvendigt at gennemføre for hvert enkelt element.

137


5.2.2 Enkeltelementers skivestyrke

For massive vægelementer, der indgår i de stabiliserende vægge, er der to ho-

vedtilfælde.

I første hovedtilfælde overføres al lodret last i etagekrydsene, hvor også de

vandrette laster overføres til elementet. Under forudsætning af at sikkerheden

mod væltning er tilfredsstillende alene ved udnyttelse af konstruktionens egen-

vægte (G og q), kan kræfterne altid føres ned som rent tryk gennem elementet

uden at fremkalde brud.

I det andet hovedtilfælde overføres der lodrette kræfter langs elementets side-

kanter. I så fald er det nødvendigt at indlægge særlig skivearmering i elementet,

da der ellers kan optræde væltning i forbindelse med trækbrud i betonen.

Skivearmeringens udformning afhænger af, hvorledes de lodrette kræfter V fø-

res ind i elementet. Overføres kræfterne via udragende hårnålebøjler med låse-

jern i de lodrette vægfuger kan skivearmeringen bestå af simple armeringsnet,

der kan overføre trækkræfterne i hårnålebøjlerne, som skal føres mindst en

forankringslængde ind i elementet.

Hvis kræfterne V føres ind i elementet via stigbøjlesamlinger eller lodret stødar-

mering indstøbt i korrugerede rør, indlægges der normalt særlig lodret armering,

hvortil kræfterne regnes overført. Endvidere indlægges U-bøjler omkring denne

lodrette armering for at sikre, at kræfterne kan drejes ned mod elementets fod-

punkt.

Endelig indlægges simple armeringsnet for at føre kraften T = V · cotθ på tværs

over til den modsatte side af skiven, hvor forankringen af kraften T modsvares

af en drejning af trykkraften ned gennem elementet.

138


Figur 5-24:

Første hovedtilfælde

Figur 5-25:

Brudrisiko ved andet

hovedtilfælde

Figur 5-26:

Indre kræfter i

andet hovedtilfælde

139

V

V'

x x

V

T T

T

V V


Ved mere komplekse elementgeometrier kan stringermetoden anvendes til at

analysere elementet. Dette kan både være aktuelt for elementer, der indgår i

stabiliserende vægge, og for selvbærende vægskiver der virker som høje bjæl-

ker.

Forskydningsspændinger og stringerkræfter findes som beskrevet i afsnit 5.1.

Stringermetodens styrke består i at være en rationel måde at angribe opgaven

på. Ofte vil arbejdet med stringermodellen føre frem til, at man kan gennem-

skue en simpel statisk virkemåde for elementet.

For vægelementerne knytter der sig nogle særlige forhold til anvendelsen af

stringermetoden. Først og fremmest må stringerne indlægges i passende af-

stande fra elementrande og udsparinger. En afstand mellem stringer og fri kant

på ca. 10 % af forskydningsfelternes størrelse vil ofte være passende.

Hvis afstanden mellem to parallelle stringere bliver forholdsvis lille, kan det væ-

re rimeligst at slå de to stringere sammen til én. Dette kan eksempelvis være

tilfældet ved vinduesoverliggere med klemt geometri.

De ydre kræfter på elementet ækvivaleres med enkeltkræfter, der angriber

langs stringerakserne. Dette betyder, at vinduesoverliggere mv. skal undersøges

særskilt, når det overordnede kraftforløb i elementet er bestemt via stringer

metoden.

I det viste tilfælde er stringerne indlagt, så der dannes 8 forskydningsfelter. Der

kan opstilles i alt 7 ligninger svarende til forskydningsligevægt i snittene A, B, X,

Y, Z, Æ, Ø. Da der altid er én overtallig ligning, må der arbejdes med 6 ube-

kendte forskydningsspændinger.

140


X Y Z Æ Ø

P1 P2 P3 P4 P5 P6

For eksempel kan det vælges at skønne forskydningsspændingerne i felterne II

og III. Er der nogenlunde symmetri i den lodrette belastning, vil det i et tilfælde

som det viste normalt give rimelige løsninger hvis man sætter

3

II H

a

hvilket giver en god udnyttelse af felt II.

For felt III vil en positiv værdi af III modsvare opbygning af en trykkraft i den

øverste, vandrette stringer. Vælges III = 0, vil situationen svare til at kun

vægdelen mellem de to nederste stringere medvirker ved overføring af lodret

last ud til understøtningerne.

Figur 5-27: Vægskive med stringersystem

H

B

A

1 2 3 4 5 6

a

b

c

a3

b1I II III

IV V VI VII VIII

141


Figur 5-28:

Forhold i øverste hjørne

For III kan vælges størrelsen

5

1

III P T

b

hvor T er trækkapaciteten af stringer 5. Dette valg vil netop svare til fuld udnyt-

telse af stringer 5 ved det nederste vindueshjørne.

Figur 5-29:

Udnyttelse af stringer 5

De resterende forskydningsspændinger findes nu af ligevægtsligningerne. Det vil

være bekvemt at vælge ligningen svarende til forskydningsligevægt i snit A som

142

IIIIII

a

P5

III b1

TIII

5


overtallig og at løse ligningen svarende til snit X sidst. De øvrige snit går hver

især netop gennem et felt med ubekendt forskydningsspænding.

Figur 5-30:

Udnyttelse af trykstringer

Der indlægges trækarmering til optagelse af positive stringerkræfter. For negati-

ve stringerkræfter kontrolleres det, at et symmetrisk betontværsnit indlagt om-

kring den teoretiske stringerakse kan optage de tilsvarende trykspændinger.

Til optagelse af forskydningsspændingerne i felterne kan indlægges jævnt fordelt

armering, der dimensioneres efter diagonaltrykmetoden med cot 1 .

Figur 5-31: Forskydningsarmering i felt

Med afstanden a mellem armeringsjernene kræver vandret ligevægt at

·cost bN N

143

tTryktværsnit

Fri rand

Stringerakse

Nt

Nt

Nb

Nb

s

s


medens lodret ligevægt kræver

·sin ·bN a

Af disse to ligninger fås

· ·cot

· cott

t

N a

N a for 1

Med cot 1 skal forskydningsarmeringen kunne optage samme kræfter i lod-

ret og vandret retning. kan fordeles på ét eller to armeringsnet efter ønske. tN

Det er yderst vigtigt, at forskydningsarmeringen forankres effektivt. Det kan

enten gøres ved at udforme forskydningsarmeringen som bøjler, der omslutter

stringerne, ved at støde forskydningsarmeringsjernene med U-bøjler der omslut-

ter stringerne, eller ved at føre forskydningsjernene en forankringslængde la ud

over de felter hvor den er aktiv. Eksempelvis som vist på figuren,

Figur 5-32: Eksempel på armering af felt

hvor forskydningsarmeringen i et felt under et vindue udgøres af lukkede bøjler i

lodret retning og af U-bøjler i vandret retning.

144

U-bøjle

Lukket bøjle


5.2.3 Eksempel – Væg bestående af flere vægelementer

Eksemplet benytter beregningsmetoden i afsnit 5.2.1 og behandler en stabilise-

rende væg, der som vist på figur 5-33 er belastet af nedenstående regnings-

mæssige laste:

i [-] 1 2 3 4hi [m] 3,6 3,6 3,6 4,0

qi [kNm] 15 15 15 15

Qi [kN] 93,3 93,3 93,3 103,6

Hi [kN] 70 50 50 50

Figur 5-33: Stabilitetsundersøgelse eksempel

145

H4

G4

q4

Element 4

L = 4,8m

h 4 =

4,0

m

Element 3

Element 2

Element 1

H3

H2

H1

q3

q2

q1

h 3 =

3,6

mh 2

= 3

,6m

h 1 =

3,6

m

G3

G2

G1


a: Forskydningsundersøgelse i støbeskellet mellem vægelement og overliggende

dæk

Støbeskellet mellem vægelement og overliggende dæk skal undersøges for for-

skydning. Det ses nedenfor, at støbeskellet for element 3 og 4 kan holde uarme-

ret, og at element 1 og 2 skal armeres. For beregning af etagekryds henvises til

afsnit 10.2.

*1 1

1 1

*1 1

70

· 15·4,8 72

· 0,5·72 36 Støbeskellet skal armeres

H H

N q L kN

H N kN

* *2 1 2

2 1 1 2

*2 2

70 50 120

· 72 93,3 15·4,8 237

· 0,5·237 119 Støbeskellet skal armeres

H H H kN

N N G q L kN

H N kN

* *3 2 3

3 2 2 3

*3 3

120 50 170

· 237 93,3 15·4,8 403

· 0,5·403 201 Bæreevne OK

H H H kN

N N G q L kN

H N kN

* *4 3 4

4 3 3 4

*4 4

170 50 220

· 403 93,3 15·4,8 568


H H H kN

N N G q L kN

H N kN

b: Forskydningsundersøgelse i støbeskellet mellem vægelement og underliggen-

de dæk

Støbeskellet mellem vægelement og underlæggende dæk skal ligeledes under-

søges for forskydning. Det ses nedenfor, at alle støbeskel kan holde uarmeret.

1 1 1

*1 1

· 93,3 15·4,8 165


N G q L kN

H N kN

2 1 2 2

*2 2

· 165 93,3 15·4,8 331


N N G q L kN

H N kN

146


3 2 3 3

*3 3

· 331 93,3 15·4,8 495


N N G q L kN

H N kN

4 3 4 4

*4 4

· 237 103,6 15·4,8 672


N N G q L kN

H N kN

c: Væltningsundersøgelse.

Hver enkelt væg skal undersøges for væltning. For væg element 1 og 2 ses, at

det ikke er nødvendigt at forankre væggene. For element 3 og 4 skal elementer-

ne forankres, derfor indledes beregningerne for element 3 og 4 direkte med at

bestemme forankringskraften, der regnes at virke i midten af elementet.

1 1

1 1 1

1 1 1

1 1

½ ½·165·4,8 397 (Stabiliserende moment)

(Væltende moment)70·3,6 252

/ 397 252 /165 0,875

/ 2 165/ 2·0,875 94 /

10 ·250 2500 / OK

N

H

N H

M N L kNm

M V h kNm

x M M N m

n N x kN m

MPa mm kN m

2 2

2 1 1 1

2 2 2

2 2

½ ½·331·4,8 793

252 120·3,6 684

/ 793 684 / 331 0,331

/ 2 331/ 2·0,331 499 /

10 ·250 2500 / OK

N

H H

N H

M N L kNm

M M V h kNm

x M M N m

n N x kN m

MPa mm kN m

3

3 2 3 3

2 2* 33 3

3

*3 3 3

*3

33

10·250 2500 /

684 170·3,6 1296

4,8 (4,8) 12962 2500 2 567

2 4 2 4 2500

567 496 71

1 1 5670,113

2 2 2500

H H

H

n kN m

M M V h kNm

ML LN n

n

T N N

Nx

n

147


4

4 3 4 4

2 2* 44 4

4

*4 4 4

*4 4 4 4

10·250 2500 /

1296 220·4,0 2176

4,8 (4,8) 21762 2500 2 988

2 4 2 4 2500

988 672 316

/ 2371 2176 / 988 0,198

H H

H

N H

n kN m

M M V h kNm

L L MN n kN

n

T N N kN

x M M N m

Sikres trækforankringen ved forspænding vil resultanten ofte være placeret midt

i væggen, da væggene skal kunne optage last i begge retninger. Benyttes der-

imod slap armering vil man ofte kun regne armeringsstangen i den ene side

aktiv. Sikres det her at momentkapaciteten for denne forankring er den samme

som momentkapaciteten for den centralt placerede forankring, er løsningen på

den sikre side, da normalkraften bliver mindre end beregnet ovenfor.

For element 3 og 4 kan der således alternativt vælges at benytte slap armering,

som placeres 0,5 m fra elementets rand. Herved findes den nødvendige trækar-

mering som

333

3 3

44 34

4 4

½ ½·4,8 0,11· 39 1 1271 ·4,8 0,5 0,11

½·4,8 0,19½(316 71) ·( )· 131 1 25

4,8 0,5 0,19

aa

aa

L xTT kkN

L a x

L xkNT TT k

L a x

N Y

N Y

d: Styrkekontrol af samlingerne ved eventuel kraftoverførsel mellem vægele-

menter

Den nederste vægs højde på 4,0 m vil medføre, at væggen ofte skal leveres i to

dele, såfremt det er en elementvæg. Det lodrette støbeskel i væggen skal derfor

eftervises.

148


Elementet er påvirket af følgende lodrette laste.

4

4 4 4

131

½( · ) ½(103,6 15·4,8) 88a

b

V kN

N G q L k

N

Figur 5-34: Lodret støbeskel i stabiliserende væg

L/2

Element 4b

H4a H4b

V4a V4b

L4b

L4a

L/2

h 4

a4a

a4b

Element 4a

Støbeskel

B

A

T N’

149


Den vandrette last fordeles således, at den skrå trykresultat rammer den lodret-

te trykresultant i bunden af væggen se figur 5-34.

4 44 4

4

4 44 4

4

4,8 0,5 0,19131· 135

4,0

4,8 1,2 0,1988· 75

4,0

aa a

bb b

L a xH T k

h

L a xH N kN

h

N

De to tryklinjer rammer støbeskellet i punkterne A og B, der målt fra toppen af

elementet har afstanden L4a og L4b.

4

4

1311,9 1,84

13588

1,2 1,4175

a

b

L m

L m

Den fælles trykresultant er placeret i afstanden eres fra toppen.

135·1,84 75·1,411,69

135 75rese m

Den effektive højde, som støbeskellet kan regnes at virke over, er:

2·min 3,39

2( )res

effres

el m

h e

Det fortandede areal vurderes at være ca. 0,5 x 50mm x 3,39m svarende til

84.740mm². Herved er støbeskellet belastet af følgende laster:

(135 75) / 84740 2,58

(131 88) / 84740 2,47n

Ed

MPa

v MPa

Herved findes forskydningsbæreevnen af det fortandede støbeskel uden arme-

ring til

150


20,5 ,

1,1 2 200,5· 0,9·2,58 0 0,5

1,45 1,45200,38 2,32 2,70 3,08

Rd cdt n yd cd

ck

Rd

Rd

v cf f ff

v

v MPa MPa

Herved kan det ses, at bæreevnen af støbeskellet er tilstrækkelig uden armering

idet

2,47 2,70Ed Rdv v

MPa MPa

e: Kontrol af elementets egen skivestyrke

Skivestyrke af element 1, 2 og 4b er i orden, da der er rent tryk i elementet. For

element 3 og 4a, der trækforankres, skal der, jævnfør figur 5-25 indlægges en

armeringsstang i toppen eller et net, der sikrer, at element ikke bryder. Dette

sikres ved at indlægge følgende armering.

,3 3 3

,4 4 4 4

Element 3

4,8 0,5 0,11·cot 39· 45 2 10

3,6

Element 4

·cot 135 2 16

v a a

v a a a a

T T kN Y

T T H kN Y

Da element 4 er delt af en lodret fuge, skal der i etagekrydset over element 4

mindst indlægges en tilsvarende fugearmering, 2Y16, som fører kraften T4a

vandret hen over den lodrette fuge.

Eksempel slut

151


152


Nedenfor ses et udsnit fra den del af udskriften fra stabilitetsprogrammet på

www.bef.dk, der vedrører vægskivernes stabilitet. Det er samme program, som

er introduceret i afsnit 4.3, der således i tilknytning til den vandrette lastforde-

ling automatisk foretager en beregning af vægskivernes stabilitetsforhold, og

herunder bestemmer eventuelt nødvendige lodrette forankringskræfter.

Sammenlignes med eksemplet i afsnit 5.2.2 ses umiddelbart at være overens-

stemmelse i beregningen af forankringskræfterne, T, og at trykzonebredderne,

b_2 = 2 x også stemmer overens.

H_i-1 Lastvirkningerne H_i regnes positive i retningen fra væggens endepunkt(x1, y1) mod endepunkt (x2, y2)

V1 V2 For hver etage skal defineres følgendeH_i p: stabiliserende linielast på væg excl væggens egenlast

V1: lodret, last ved endepunkt (x1, y1)V2: lodret, last ved endepunkt (x2, y2)

(x1,y1) (x2,y2) Ved H_i > 0 virker V1 stabiliserende og V2 destabiliserendeVed H_i < 0 virker V2 stabiliserende og V1 destabiliserendeVed H_i > 0 overføres trykresultanten N (normalt) over længden b_2

T N Ved H_i < 0 overføres trykresultanten N (normalt) over længden b_1

b_1 b_2 T er den samlede, nødvendige lodrette trækforbindelse - symmetrisk i kontaktfladened mod underliggende væg. Længden af kontaktfladen betegnes L_eff.

Væg Etage h t r_1 r_2 L_eff H_i H_i* G q V1 V2 T N b_1 b_2 n n_maxnr. 1 (m) (m) (m) (m) (m) (kN) (kN) (kN) (kN/m) (kN) (kN) (kN) (kN) (m) (m) (kN/m) (kN/m)

6 0,00 0,00 4,80 0 0 0,00 0,0 0 0 0 0 4,80 0,00 0 25005 0,00 0,00 4,80 0 0 0,00 0,0 0 0 0 0 4,80 0,00 0 25004 3,60 0,25 4,80 70 70 93,31 15,0 0 0 0 165 0,00 1,75 94 25003 3,60 0,25 4,80 50 120 93,31 15,0 0 0 0 331 0,00 0,66 499 25002 3,60 0,25 4,80 50 170 93,31 15,0 0 0 71 567 0,00 0,23 2500 25001 4,00 0,25 4,80 50 220 103,68 15,0 0 0 316 988 0,00 0,40 2500 2500


Det bør bemærkes, at beregningsprogrammet af tekniske grunde anvendes en

anden notation for etagerne end benyttet i gennemregningen i afsnit 5.2.

6ArMErEdE BJÆlKEr

6 ARMEREDEBJÆLKER

6.1 Brudgrænsetilstande

6.1.1 Bøjning

6.1.2 Forskydning

6.1.3 Vridning

6.1.4 Kombineretvridningogforskydning

6.1.5 Beregningafforankringskraft

6.1.6 Eksempel–Bjælkeberegningibrudgrænsetilstanden

6.2 Anvendelsesgrænsetilstande

6.2.1 Udbøjning

6.2.2 Revnevidder

6.2.3 Eksempel–Bjælkeberegningianvendelsesgrænsetilstanden


6 | Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK


I dette afsnit beskrives beregning af slapt armerede bjælker i det regningsmæs-

sige brudstadie. Afsnittet omhandler dimensionering af bjælker udsat for bøj-

ning, forskydning og vridning. Desuden angives en beregningsmetode til be-

stemmelse af den forankringskraft, som skal anvendes ved eftervisning af arme-

ringens forankring ved vederlaget.

6.1.1 Bøjning

I forbindelse med styrkeeftervisning af slapt armerede betonbjælker anvendes

den generelle metode for tværsnitsanalyse i EC2. Den generelle metode baserer

sig på en ikke-lineær arbejdskurve af betonen og en lineær-elastisk ideal-

plastisk arbejdskurve af armeringen.

6.1.1.1 Tværsnitsanalyse – generel metode

Ved tværsnitsanalyse af en bjælke i brudgrænsetilstanden anvendes resultater-

ne fra afsnit 2.1.3. Her blev resultanten af betonspændingerne, Nc, i tværsnittets

trykzone for en given betonkantspænding, 0, bestemt. For en bjælke uden nor-

malkraft gælder det altid at 0 . Dette kan reducere ligningerne fra afsnit

2.1.3 til:

203

1

11 2 2 ln(1

2cc

A BN k B B B

B

)

cc

cd

NN

bxf

og med denne resultants moment om nullinien givet ved:

'' 3 204

1

11 2 3 6 6ln(1

3 2cc

A BN k B B B B

B

)

2

' cc

cd

y NN

bx f

154

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker | 6

så resultantens placering målt fra nullinien kan bestemmes som:

2c cd c

c cd c c

y N bx f N Ny x

N bxf N Nc

I det følgende findes bidraget fra spændingerne til snitkræfterne i tværsnittet,

og ligevægtsligningerne for en bjælke og løses.

Nc

Nac

Nat1

x

cc

c1

0 c

MRd

b

h

y’

c2 Nat2


Tværsnittet, der benyttes, er armeret med et lag trykstænger med et areal Asc

og to lag trækstænger med arealerne Ast1 og Ast2 og med den geometriske pla-

cering givet ved cc, c1 og c2.

For en given værdi af den variable trykzonehøjde x og betonens tryktøjning i

tværsnitskanten 0, kan de geometriske betingelser for armeringstøjningerne i

tryklaget sc og i træklagene st1 og st2 skrives som:

0

11 0

22 0

csc

st

st

x c

xh x c

xh x c

x

Tryk/trækkræfterne i armeringen er hermed givet ved:

155


Trykarmeringen

0minc

sc sac

sc yd

x cA E

N xA f

Trækarmeringen

10 1

1

1

min st sat

st yd

h x cA E

N xA f

20 2

2

2

min st sat

st yd

h x cA E

N xA f

Hvor fyd er armeringens regningsmæssige flydespænding. Det er nu muligt at

opstille ligevægtsligningerne, som vil bestemme tværsnittets bæreevne.

Projektionsligningen:

catatac NNNN 210

Momentligningen om tværsnittets nullinje:

1 1 2' 2Rd c c ac at atM y N x c N h x c N h x c N

Hvor y’ er afstanden fra nullinjen til betontrykspændingens resultant, som

nævnt ovenfor. MRd er tværsnittets momentkapacitet.

Her gives en kort opsummering af iterationsprocessen, som anvendes i det ge-

nerelle tilfælde:

1. Først vælges en værdi for kanttøjningen 0.

2. Herefter bestemmes x ud fra projektionsligningen.

3. Tværsnittets samlede momentkapacitet MRd fås af momentligningen om

tværsnittets nullinje.

4. En ny værdi af kanttøjningen vælges og det undersøges om resultatet

for MRd er gunstigere.

156


6.1.1.2 Kanttøjning

I stedet for at udføre iterationen som beskrevet i foregående afsnit, har det vist

sig rimeligt at antage, at kanttøjningen er lig med betonens brudtøjning, dvs. 0

= cu. figur 6-2 viser kurver for ”arealet under spændingsblokken”, Nc’, og ”pla-

cering af trykresultanten”, Nc’’. De fuldt optrukne kurver er bestemt ud fra anta-

gelsen om, at kanttøjningen er lig brudtøjningen. For de stiplede kurver er kant-

tøjningen blevet optimeret, så tværsnittets momentkapacitet bliver så stort som

muligt.

Forskellen på kurverne med kanttøjning sat lig brudtøjningen og kurverne med

optimeret kanttøjning ses at være meget lille, hvorfor det ved praktisk dimensi-

onering er rimeligt at antage 0 = cu. Hermed kan iterationen af kanttøjningen

springes over, og nullinjens beliggenhed, x, bestemmes direkte af projektions-

ligningen og momentkapaciteten, MRd, af momentligningen.

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

'cN

''cN

f ck [MPa]

0,74

Figur 6-2: N'c og N''c optegnet for 0 = cu og for optimeret 0

157


6.1.1.3 Bøjning uden trykarmering

Trykarmering i en bjælke har normalt meget lille betydning for brudmomentet,

og det er derfor ofte rimeligt at se bort fra den i brudgrænsetilstanden. Derimod

har trykarmeringen langt større betydning ved beregninger i anvendelsesgræn-

setilstanden.

For en bjælke uden trykarmering kan der opstilles en simpel formel for moment-

kapaciteten på baggrund af tværsnittets armeringsgrad, . Armeringsgraden er

givet ved:

s yd

cd

A f

bdf

Hvor d er afstanden fra trækarmeringen til betonkanten.

Nc

Nac

Nat1

x

cc

c1

0 c

MRd

b

h

y’

c2 Nat2

Figur 6-3: Definitioner, som anvendes i tværsnitsanalyse

Betonens trykresultant Nc, ”arealet under spændingsblokken”, Nc’, og ”placering

af trykresultanten”, Nc’’ er beskrevet i afsnit 6.1.1.1. Herved kan projektionslig-

ningen stilles op, og trykzonens udbredelse bestemmes som:

0 0 ''at c cd cd c

c

dN N bdf bxf N x

N

158


Resultantens placering målt fra nullinien fås til:

''

''

c

c

Ny x

N

Den indre momentarm er givet ved følgende, idet sammenhængen 'c

dx

N

udnyttes:

55,0111'

2'

'''

'

''

dN

NNd

N

Nxdyxchz

c

cc

c

c

Værdien er valgt som en konservativ betragtning på

baggrund af en antagelse om, at den kanttøjning, der giver den største mo-

mentbæreevne, er brudtøjningen cu. Værdien ses at være rimelig ud fra figur 6-

4, hvor er optegnet for et bredt spektrum af betonstyrker.

Den kraftigt optrukne linje er udregnet for en kanttøjning lig brudtøjningen. Den

stiplede linje angiver de tilsvarende værdier for et tværsnit, hvor kanttøjningen

er optimeret.

' '' ' 2( ) /( ) 0,c c cN N N

' '' ' 2( ) /( )c c cN N N

55

Momentligevægten opskrives for moment om betonens trykresultant. Hermed

fås kun et bidrag fra trækarmeringen, og momentkapaciteten kan bestemmes

direkte:

21 0,55Rd at cdM z N bd f for st sy

Ovenstående udtryk gælder kun, når der er flydning i armeringen. Dette kontrol-

leres ved at undersøge, om tværsnittets armeringsgrad er mindre eller lig den

balancerede armeringsgrad. Den balancerede armeringsgrad, bal, er et udtryk

for den armeringsgrad, der netop giver flydning i armeringen.

bal

159


Sammenhængen mellem tøjning og armeringsgrad kan skrives:

' '

1 1c cst cu cu cu cu

dN Nd x d

x x d

1

0,51

0,52

0,53

0,54

0,55

0,56

0,57

0,58

0,59

0,60

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

f ck [MPa]

2'

'''

c

cc

N

NN

2

' ''

'

c

c

N N

N

Herved fås den balancerede armeringsgrad ved at erstatte armeringstøjningen,

st, med armeringens flydetøjning, sy:

'

1

cbal

sy

cu

N

Figur 6-4: c optegnet for 0 = cu og for optimeret 0

160


På den sikre side kan der regnes med følgende værdier; se også figur 6-2:

74,0' cN for MPa 50ckf

0,003sy for MPa 600ykf

En armeringsgrad på den sikre side fås således til:

40,0

0035,0

003,01

74,0

6.1.1.4 Minimum- og maksimumarmering

En armeret betonbjælke skal ifølge EC2 minimum have et armeringsareal, As,min,

for den langsgående trækarmering givet ved:

,min

0, 26max

0,0013

ctmt

yks

t

fb d

fA

b d

bt er trækzonens middelbredde, for rektangulære tværsnit fås bt = b.

fctm er middelværdien for betonens enaksede trækstyrke.

2 30,30ctm ckf f for betoner med fck 50 MPa

Armeringen begrænses i EC2 også med et maksimum for træk- eller trykarme-

ringens tværsnitsareal, As,maks:

, 0,04s maks cA A

Udtrykket gælder uden for områder med stød.

161


6.1.2 Forskydning

En bjælkes forskydningsbæreevne verificeres i et kritisk snit ved at sammenhol-

de forskydningskraften VEd med forskydningskapaciteten VRd. Når en bjælkes

reaktioner er fastlagt, findes forskydningskraften i et snit ved at kræve ligevægt

for en af de to bjælkedele, som det pågældende snit deler bjælken i. Ved be-

stemmelse af forskydningskraftkurven er det vigtigt at tage hensyn til, om la-

sten er bunden eller fri, da forskydningskraften i visse snit øges ved at fjerne

last fra dele af bjælken. Dette gælder især ved store enkeltkræfter. Den farligste

lastopstilling kan findes på følgende måde:

- Al last opfattes på den sikre side som fri last.

- Forskydningskraften i et givent snit bestemmes henholdsvis umiddelbart

til venstre og til højre for snittet, idet lasten opfattes som fri for den be-

tragtede bjælkedel. Den maksimale værdi af forskydningskraften for de to

beregninger benyttes.

For bjælken figur 6-5 bestemmes den kritiske forskydningskraft i snit A.

Venstre bjælkedel betragtes ved at opfatte lasten på stykket x som fri:

2

,

1

2Ed venstre A Ed

L xV R p

L

A

A

pEd

L

x RA RB

Figur 6-5: Bestemmelse af forskydningskraften for en bjælke

162


Højre bjælkedel betragtes og nu opfattes lasten på stykket l-x som fri:

2

,

1

2Ed højre B Ed

xV R p

L

Forskydningskraften i snit A fås nu som den største værdi af forskydningskraften

henholdsvis til venstre og til højre for snittet.

,

,

maxEd venstre

EdEd højre

VV

V

Bestemmes forskydningskraftkurven på almindelig vis for udelukkende bunden

last, vil kurven for bjælken i figur 6-5 danne en ret linje med et nulpunkt på

midten. Ved at benytte ovenstående metode til bestemmelse af forskydnings-

kraftkurven, fås en forskydningskraftkurve på den sikre side uden nulpunkter,

som vist på figur 6-6.

0

20

40

60

80

100

120

140

Forskydningskræfter i kN : :

[ ]EdV kN

Figur 6-6: Forskydningskraftkurve for en bjælke

163


6.1.2.1 Diagonaltrykmetoden

For armerede betonbjælker bestemmes forskydningskapaciteten ved diagonal-

trykmetoden. Det forudsættes i det følgende, at bjælken er forsynet med lodret

forskydningsarmering, i form af lukkede bøjler.

Figur 6-7: Forskydningsarmering udført som lukkede bøjler og opbøjede stænger

Ved bestemmelse af bjælkens forskydningskapacitet i snit A betragtes det viste

rombeformede udsnit af bjælken. Udsnittet overfører de lodrette kræfter som

vist på figur 6-8, mens vandret ligevægt og momentligevægt sikres via kræfter i

bjælkens trykzone Nc og i tyngdepunktet af hovedarmeringen Nat. Trykzone og

trækzonen regnes her koncentreret i deres respektive tyngdepunkter.

bw

A

A

Nc

Nat

V z

Figur 6-8: Placering af udsnit i bjælkekrop

164


A

Nat*

A

Nat

Nc Nc*

N’t = Nt - apEd

N’t

N’t

Nt

Nt

Nt

Selve bjælkekroppen tænkes nu opdelt i en række diagonale tryklameller, der

som vist på figur 6-9 forbinder et knudepunkt mellem en bøjle og hovedarme-

ringen på den ene side af snit A med et tilsvarende knudepunkt mellem bøjle og

trykzone på den anden side af A. Forskydningskraften VEd skal nu optages af de

n bøjler over trækningen z·cotfor at passere snit A, hvor z er den indre mo-

mentarm. Som en tilnærmelse kan z = 0,9d normalt benyttes. d er afstanden

fra trækarmeringen til den trykkede betonkant.

tEd NnV

Bemærk at n ikke nødvendigvis er et heltal. Med bøjleafstanden s bliver n:

cotzn

s

z

PEd

s

z cot

Figur 6-9: Udsnit med diagonale tryklameller

165


Den lodrette trækkraft i den enkelte bøjle findes til:

cot cotw

t Ed t

s bsN V N

z

Hvor forskydningsspændingen i tværsnittet er indført ved følgende udtryk:

Ed

w

V

b z

Hvor bw betegner betonkroppens tykkelse. For et rektangulært tværsnit fås bw =

b.

Det ses, at jo større cot vælges, jo mindre bliver trækket i bøjlerne. Imidlertid

kan cot ikke vælges vilkårlig stor, hvilket kan indses ved at betragte en enkelt

tryklamel.

s

T T + Nb’cos

Nb’

b’

Nt

Figur 6-10: Forhold i knudepunkt mellem bøjle og hovedarmering

166


Den skrå kraft i tryklamellen fås ved at kræve lodret ligevægt af knudepunktet

mellem bøjle og hovedarmering:

' 'sin 0sin

tt b b

NN N N

Kraften Nb’ optages som enaksede betontrykspændinger i den skrå tryklamel:

'2' ' sin sin

b t tc

w w w

N N N

b b b b s b

Idet tryklamellens bredde er b’ =s·sin. Herefter indsættes det tidligere fundne

udtryk for Nt:

2

2

1 cotcot1 cot

1 cot

w

c

w

s b

s b

Hvor det ved indsætningen er benyttet, at

2

2

cot1

1sin

.

I henhold til EC2 skal trykspændingen i de skrå tryklameller overholde følgende:

c v cdf

Effektivitetsfaktoren v bestemmes for forskydning i henhold til det nationale

anneks:

0,7200

ckv

f

Derfor må cotikke vælges større ende at følgende ulighed er opfyldt:

21 cot

cot v cdf

167


Er dette overholdt findes den nødvendige forskydningsarmering over stræknin-

gen z·cot ud mod vederlaget fra det betragtede snit A ved at kræve

t sw ywN A f d

Asw er forskydningsarmeringens tværsnitsareal i snittet, det vil sige for

bøjlearmering snittes gennem begge bøjlens ben

fywd er forskydningsarmeringens regningsmæssige flydespænding.

Med det fundne udtryk for Nt må bøjleafstanden ikke vælges større end

cotsw ywd

w

A fs

b

For slapt armerede bjælker med lodrette bøjler skal cot desuden holdes inden

for følgende intervaller:

1 cot 2,5

1 cot 2,0 for afkortet hovedarmering (normalt ikke interessant

for elementer)

Forskydningsbæreevnen kan kort opsummeres med følgende formler, hvor den

første gælder flydning i forskydningsarmeringen, og den anden svarer til det

skrå betontrykbrud:

· ·cot

min

1cot

cot

swywd

Rd w v cd

Az f

sV b z f

168


6.1.2.2 Minimumsarmering

I det nationale anneks til EC2 stilles nogle minimumskrav til forskydningsarme-

ringsforholdet og afstanden mellem forskydningsarmeringen.

Forskydningsarmeringsforholdet er givet ved:

sww

w

A

sb hvor ,min

0,063 ckw w

ywk

f

f

fck er betonens karakteristiske trykstyrke

fywk er forskydningsarmeringens karakteristiske flydespænding

Den maksimale afstand mellem forskydningsarmering målt langs bjælkeaksen

må ikke overstige smax.

Bøjlearmering: ,max 0,75ls d

Opbøjede stænger: ,max 0,6bs d

Desuden må tværafstanden mellem benene i en række af bøjler ikke overstige

st,max:

,max 0,75 600ts d mm

169


6.1.2.3 Dimensioneringsforløb

Ved dimensionering efter diagonaltrykmetoden findes først den maksimale for-

skydningskraft i bjælken, hvilket normalt i bjælkeelementer vil være ude ved et

vederlag. Bøjleafstanden kan vælges konstant langs hele bjælkeaksen, svarende

til den maksimale forskydningskraft. Dette er naturligvis på den sikre side. For

større bjælker kan det imidlertid være hensigtsmæssigt at optimere bøjleafstan-

den lidt mere. Her vælges en bøjleafstand over strækningen l1, bestemt på bag-

grund af forskydningen V1 i snit 1, og en anden bøjleafstand over l2 bestemt på

baggrund af forskydningen i snit 2.

Dimensioneringen forløber på følgende vis. Diagonaltrykkets vinkel ved vederla-

get, cotvælges så begge nedenstående udtryk opfyldes:

21 cot

cot v cdf

og 1 cot 2,5

zcot0 zcot1

l1 l2

z

V = 0

0 1 2

0 1

Figur 6-11: bjælke med forskellige trykhældninger

170


Afstanden mellem bøjlearmeringen over strækningen l1 bestemmes af

01

1

cotsw ywdA f zs

V

, 1 ms as x

hvor Asw er en bøjles tværsnitsareal, fywd er bøjlens regningsmæssige flyde-

spænding, og V1 er forskydningskraften i afstanden z·cotfra vederlaget. På

tilsvarende vis findes bøjleafstanden s2 over strækningen l2.

Som vist er det tilladt at regne med forskellig værdi af cot hen langs bjælkeak-

sen. I så fald bestemmes cot0 ved V0, cot1 ved V1, osv.

Større koncentrerede laster, P, kræver ekstra forskydningsarmering. Dette kan

der tages hensyn til ved eksempelvis at bestemme bøjleafstanden over stræk-

ningen l2’ svarende til, at der i snit 2 regnes med en formel forskydningskraft af

l’2 l2 – l’2

l1 l2

z

V = 0

0 1 2 P

1 0

Figur 6-12: bjælke med større enkeltkræfter

171


størrelsen V2 + P, hvor V2 er den reelle forskydningskraft i snit 2. Over stræk-

ningen l2’ findes således bøjleafstanden:

12

2

cot' sw ywdA f z

sV P

, 2 ms as x

På strækningen l2-l2’ bestemmes bøjleafstanden svarende til den reelle forskyd-

ningskraft V2 i snit 2.

6.1.3 Vridning

En bjælkes vridningsbæreevne verificeres i et kritisk snit ved at sammenholde

vridningsmomentet, TEd, med vridningskapaciteten, TRd. Vridning i en bjælke

opstår eksempelvis, hvis forskydningskraften eller reaktionen er placeret excen-

trisk i forhold til bjælkeaksen.

Bestemmelse af vridningsbæreevnen er baseret på diagonaltrykmetoden og

minder i høj grad om bestemmelse af forskydningsbæreevnen. Vridningsmo-

mentet forudsættes optaget som et lodret og et vandret kraftpar, Vl og Vv, som

vist på figur 6-13. Snitkræfterne antages at fordele sig svarende til en jævn

fordelt forskydningsspænding t over et tyndfliget tværsnit rundt langs bjælkens

periferi.

Vv

l vT b V h V h’ Vl Vl

Vv

b’

Figur 6-13: Indre kraftpar

172


tef

h’ = h – tef

b’ = b – tef

Figur 6-14: Tyndfliget tværsnit

Den effektive vægtykkelse af det tyndfligede tværsnit sættes til:

ef

At

u

hvor A er tværsnittets totale areal, inklusive hulrum, og u er den udvendige

omkreds:

2

A bh

u b

h

tef bør ikke regnes mindre end to gange afstanden mellem betonens yderkant og

længdearmeringens midtpunkt.

For vridningsmomentet T fås forskydningsspændingen i en væg i tværsnittet

til:

2tk ef

T

A t

173


hvor k ef efA b t h t er arealet omsluttet af midterlinjerne i det tyndfli-

gede tværsnit, inklusive hulrum. Forskydningsspændingen t omskrives til for-

skydningskræfter i tværsnitsvæggene:

,l t ef ef v t ef efV t h t V t b t

Eftervisningen af vridningsmomentets optagelse er nu reduceret til en opgave

bestående i at eftervise forskydningsoptagelsen i det tyndfligede tværsnits væg-

ge. Løsningen af denne opgave er helt analog til eftervisningen af bjælkens for-

skydningsbæreevne ved hjælp af diagonaltrykmetoden.

, ,

cotmin

cot 1/ cot

swywd

l Rd v Rd

w v cdef ef

Af

V V sb z fh t b t

Herefter kan vridningsbæreevnen findes:

, ,

cotmin

2

cot 1/ cot

swk ywd

Rd l Rd ef v Rd efef k t cd

AA f

sT V b t V h t

t A f

Armeringsarealet Asw det samme som ved forskydningsberegningen, det vil sige

for en bøjle snittes gennem begge bøjlens ben.

Effektivitetsfaktoren for vridningspåvirkning er i det nationale anneks til EC2

givet ved:

0,7 0,7200

ckt

f

174


6.1.4 Kombineret vridning og forskydning

Når bjælken påvirkes af kombineret forskydning og vridning, skal det eftervises,

at nedenstående udtryk er opfyldt.

1Ed Ed

Rd Rd

T V

T V

Vridningsmomentet udtrykkes ved forskydningskraften TEd = VEde. Ved indsæt-

telse i ovenstående og isolering af VEd fås:

·1,0 ...

·Ed Ed Rd Rd

EdRd Rd Rd R

T V T VV

T V V e T

d

Hermed fås en reduktion af tværsnittets forskydningskapacitet, som kan sam-

menlignes direkte med forskydningskraftkurven. Excentriciteten e varierer gen-

nem bjælken. På den sikre side kan den maksimalt forekommende excentricitet,

emax, anvendes i alle bjælkesnit. Alternativt laves en beregning for hvert kritisk

snit, med anvendelse af den nøjagtige excentricitet i snittet.

6.1.5 Beregning af forankringskraft

Forskydnings- og vridningspåvirkning af en bjælke giver anledning til trækkræf-

ter i længdearmeringen, se eksempelvis figur 6-15. Ved dimensionering af

længdearmeringen er det tilstrækkeligt at vælge en armeringsmængde svarende

til det maksimale moment. Ved vederlaget, hvor forskydningen ofte er størst, er

det imidlertid vigtigt at sikre, at længdearmeringen er forankret for den træk-

kraft, som forskydning og vridning er årsag til. I dette afsnit bestemmes foran-

kringskraften for henholdsvis forskydning og vridning, hvorefter de kombineres.

6.1.5.1 Forankring ved ren forskydning

Forankringskraften for forskydningspåvirkning bestemmes ved simpel momentli-

gevægt. Der tages moment om trykresultanten i afstanden zcot fra vederlaget.

Under forudsætning af at der er tilstrækkeligt med bøjler, og at de er jævnt

175


fordelt, kan forskydningsresultanten antages at angribe ½zcot fra vederlaget.

Det ses, at den lodrette kraft, der skal beregnes for, er forskydningskraften ved

vederlaget, V0.

Momentligevægt: 0 0 0

1 1cot cot cot

2 2td tdV z V z F z F V

1/2·z·cot()

V0

z

V0

Ftd

Fc

z·cot()

Figur 6-15 Forankringskraft ved ren forskydning

6.1.5.2 Forankring ved ren vridning

Ved vridningsoptagelse kan tværsnittet opfattes som et tyndfliget tværsnit med

forskydningsspændinger i de tynde vægge som vist på figur 6-16. Forankrings-

kraften for længdearmering ved vridning kan herefter findes for de enkelte tyn-

de vægge som forankring ved forskydning, afsnit 6.1.5.1. Dette giver en træk-

forankringskraft i hvert af tværsnittets hjørner. Den længdearmering, der tilføres

tværsnittet af hensyn til vridning bør fordeles over sidelængden, men for mindre

tværsnit kan den koncentreres i hjørnerne.

176


h

b

tef

Ftd,V Ftd,L

Ftd,L Ftd,V

Figur 6-16: Tværsnit påvirket til vridning

Forskydningsspændingerne i en enkelt tynd væg, , kan bestemmes jævnfør

afsnit 6.1.3 som:

2 2Ed Ed

tk ef ef ef ef

T T

A t h t b t t

Forskydningskraften i hver af de fire vægskiver kan nu bestemmes af

,Ed i t ef iV t z , hvilket giver følgende forskydningskræfter i henholdsvis de lod-

rette og vandrette vægge:

· ·( )2 ( )( ) 2( )

· ·( )2 ( )( ) 2( )

Ed EdL ef

ef ef ef ef

Ed EdV ef ef

ef ef ef ef

T TV t h t

t h t b t b t

T TV t b t

t h t b t h t

177


Forankringskraften i de fire hjørner fås af 1

cot2tdF V :

,

,

·cot( )4( )

·cot( )4( )

Edtd L

ef

Edtd V

ef

TF

b t

TF

h t

Forankringskraften i det ene hjørne kan være forskellig fra forankringskraften i

det andet hjørne, afhængigt af tværsnittets dimensioner.

6.1.5.3 Forankring ved kombineret forskydning og vridning

Som udgangspunkt bestemmes den samlede forankringskraft for vridning og

forskydning som summen af de to bidrag. Forankringskraften i bunden af bjæl-

ken fås således principielt til:

, ,td bund td td L td VF F F F ,

,

Tilsvarende fås forankringskraften i toppen af bjælken principielt til:

, ,td top td L td VF F F

Da forankringskraften ikke nødvendigvis er ens i hjørnerne, bør kræfterne på

den sikre side bestemmes som vist nedenfor, således at forankringskraften kan

fordeles ligeligt mellem de to hjørner.

, ,

, , ,

2·max ;

2·max ;

td bund td td L td V

td top td L td V

F F F F

F F F

,

178


6.1.6 Eksempel – Bjælkeberegning i brudgrænsetilstanden

I dette eksempel betragtes en simpelt understøttet betonbjælke i brudgrænsetil-

standen. Bjælkens bæreevne bestemmes med hensyn til bøjning, forskydning,

vridning og forankring.

6.1.6.1 Beregningsforudsætninger

Tværsnit 420 mm x 300 mm

Karakteristisk betontrykstyrke fck = 35 MPa

Regningsmæssig betontrykstyrke fcd = 35/1,4 = 25 MPa

Armering 4 stk. Y16, én i hvert hjørne.

Asc = 402 mm2

Ast = 402 mm2

c = 40 mm

Karakteristisk flydespænding for længdearmeringen fyk = 500 MPa

Regningsmæssig flydespænding for længdearmeringen fyd = 500/1,2 = 417 MPa

Forskydningsarmering bøjler Y6.

Asw = 228 mm2

Karakteristisk flydespænding for bøjlearmeringen fyk = 410 MPa

Regningsmæssig flydespænding for bøjlearmeringen fyd = 410/1,2 = 342 MPa

Bjælkelængde L = 5000 mm

420 m

m

300 mm

2 stk. Y16

2 stk. Y16

Bjl. Y6 pr.

a=0,7 m L=5,0 m

pd = 14,0 kN/m

Qd = 35 kN

Figur 6-17: Bjælketværsnit og statisk system

179


6.1.6.2 Bøjning

Det maksimale regningsmæssige moment bestemmes ud fra lastopstillingen

figur 6-17. Momentkurven er givet ved:

21 1 1

2 2 2d

d d d d

Q aL xdM x p x L x Q a p x p L x Q

L L

a

Punktet for momentmaksimum findes:

1' 0 0

21 35 0,71 14 5,02 5,02 2,15

14

dd d

dd

d

Q aM x p x p L

L

Q ap L

Lx mp

Det maksimale moment findes ved indsættelse af x i udtrykket for momentkur-

ven:

5,0 2,15114 2,15 5,0 2,15 35 0,7 56,9

2 5,Ed 0M kNm

Der ses bort fra trykarmeringen. Hermed kan de simple formler fra afsnit 6.1.1.3

benyttes.

Armeringsgrad:

402 4170,0588

300 380 25s yd

cd

A f

bdf

0,4 ; det vil sige, at armeringsgraden er mindre end den balancerede ar-

meringsgrad. Der er således flydning i armeringen, og nedenstående udtryk for

momentkapaciteten kan anvendes.

180


Momentkapacitet:

2

2

1 0,55

0,0588 1 0,55 0,0588 300 380 25 61,6

Rd cd

Rd

M bd f

M kNm

Momentbæreevnen ses at være tilstrækkelig:

56,9 61,6Ed RdM kNm M kNm

Den indre momentarm bestemmes til brug for forskydningsberegningen:

1 0,55 380 1 0,55 0,0588 367,7z d mm

6.1.6.3 Forskydning

Tværsnittet forsynes med bøjlearmering bestemt efter diagonaltrykmetoden.

Diagonaltrykkets vinkel ved vederlaget vælges til cot = 1,5, hvilket er inden for

intervallet 1 cot 2,5 . Vinklen holdes konstant i hele bjælkens længde.

Bjælken inddeles i længder af . 3cot 367,7 10 1,5 0,55z m

Minimumsarmeringsgrad og den maksimale bøjleafstand findes:

,min

0,063 2 28 410205

3000,063 0,063 35ywkck sw

w wywk w ck

ff As m

f b f

,max 0,75 0,75 380 285ls d mm

m

Det vil sige, at bøjlerne placeres pr. maksimum 200 mm.

Herudover tjekkes, om tværsnittet er så bredt, at der behøves mere end én

bøjle pr. snit:

,max 0,75 0,75 380 285 600ts d mm mm

181


Afstanden mellem bøjlebenene fås til: ,

hvilket er ok. Der behøves kun én bøjle pr. snit. ,max300 2 40 2 6 208 285tmm s mm

Forskydningskraften bestemmes for hvert område. Princippet fra afsnit 6.1.2

benyttes.

l’2

a=0,7 m

L=5,0 m

pd = 14,0 kN/m

Qd = 35 kN

l1 l2 – l’2

V1 V2 V3

Figur 6-18: Bestemmelse af forskydningskræfter

V1 (x=0,55m)

2

1,

2

22

1,

1

2

5,0 0,55 35 5,0 0,7114 27,7 30,1 57,8

2 5,0 5,0

0,551 114 0,4

2 2 5,0

dvenstre d

højre d

L x Q L aV p

L L

kN

xV p kN

L

1,1

1,

57,8max max 57,8

0, 4venstre

højre

V kNV k

V kN

N

182


Afstand mellem armeringsbøjler:

01 3

1

cot 2 28 342 367,7 1,5183

57,8 10sw ywdA f z

s mV

m

,

1 max 200s s mm

Bøjleafstanden vælges til 150 mm.

V2 (x=1,10m)

2 2

2,

22

2,

5,0 1,101 114 21,3

2 2 5,0

1,11 1 35 0,714 1,7 4,9 6,6

2 2 5,0 5,0

venstre d

dhøjre d

L xV p kN

L

Q axV p

L L

kN

N

2,2

2,

21,3max max 21,3

6,6venstre

højre

V kNV k

V kN

Punktlasten Qd er beliggende på strækningen l2. Derfor skal forskydningsarme-

ringen øges på strækningen l’2. Her regnes med forskydningskraften V2 + Qd.

Afstand mellem armeringsbøjler på strækningen l2:

12 3

2

cot 2 28 342 367,7 1,5496

21,3 10sw ywdA f z

s mV

m

,

2 max 200s s mm

Bøjleafstanden er givet ved smax og sættes til 200 mm.

Afstand mellem armeringsbøjler på strækningen l’2:

12 3 3

2

cot 2 28 342 367,7 1,5' 188

21,3 10 35 10sw ywd

d

A f zs m

V Qm

,

2 max' 200s s m m

Bøjleafstanden vælges til 150 mm.

183


V3 (x=4,45m)

I den modsatte ende af bjælken bestemmes forskydningskraften V3 beliggende

0,55 m fra understøtningen. Snit 3 er det snit, der giver den største forskyd-

ningskraft for den resterende del af bjælken.

2 2

3,

22

3,

5,0 4,451 114 0,4

2 2 5,0

4,451 1 35 0,714 27,7 4,9 32,6

2 2 5,0 5,0

venstre d

dhøjre d

L xV p kN

L

Q axV p

L L

kN

N

3,3

3,

0, 4max max 32,6

32,6venstre

højre

V kNV k

V kN

Afstand mellem armeringsbøjler:

23 3

3

cot 2 28 342 367,7 1,5324

32,6 10sw ywdA f z

s mV

m

,

3 max 200s s mm

Bøjleafstanden er givet ved smax og sættes til 200 mm, og den resterende del af

bjælken forskydningsarmeres ligeledes med minimumsarmering.

Til slut undersøges om trykstyrken i betonen overskrides for den valgte vinkel :

Største forskydningsspænding: 357,8 10

0,5300 367,7

Ed

w

VMPa

b z

Effektivitetsfaktor for forskydning: 35

0,7 0,7 0,525200 200

ckv

f

Følgende udtryk ligning skal opfyldes:

2 21 cot 1 1,50,5 1,1 0,525 25 13,1

cot 1,5v cdf MPa MPa MPa

Der er således ikke problemer med betontrykket i forhold til diagonaltrykkets

vinkel.

184


Forskydningskapaciteten udregnes for henholdsvis bøjler pr. 150 mm, bøjler pr.

200 mm og for trykbrud i beton. Disse kapaciteter er praktiske i forhold til den

følgende undersøgelse af kombineret vridning og forskydning.

Bøjler pr. 150 mm:

2 28· ·cot 367,7 342 1,5 70,4

150sw

Rd ywd

AV z f

s kN

Bøjler pr. 200 mm:

2 28· ·cot 367,7 342 1,5 52,8

200sw

Rd ywd

AV z f

s kN

Trykbrud i beton:

300 367,7 0,525 25668,2

cot 1/ cot 1,5 1/1,5w v cd

Rd

b z fV kN

6.1.6.4 Vridning

De påsatte laster antages nu at angribe bjælken med en excentricitet, hvilket

giver en vridningspåvirkning. Excentriciteten for den jævnt fordelte last pd sæt-

tes til 20 mm, mens den for enkeltkraften Qd sættes lig 50 mm. Vridningsmo-

mentet bestemmes i de samme tre snit, som vist i eksemplet afsnit 6.1.6.3.

Vridningsmomentet er givet ved Ed EdT V e , hvilket giver følgende værdier for

vridningsmoment og samlet excentricitet i de tre snit vist på figur 6-18:

1 1, 1, 1

2,127,7 20 30,1 50 2,1 36

27,7 30,1p p Q QT V e V e kNm e mm

2 2, 2, 221,3 20 0, 4 20p p Q QT V e V e kNm e mm

3 3, 3, 3

0,827,7 20 4,9 50 0,8 25

27,7 4,9p p Q QT V e V e kNm e mm

Det kritiske snit ses at være snit 1, både med hensyn til vridningsmoment og

excentricitet. I den videre beregning benyttes det maksimale vridningsmoment

på og den maksimale excentricitet på 2,1EdT k Nm mmax 36e m .

185


De geometriske parametre bestemmes.

Tværsnitsareal: 2300 420 126000A bh mm

Udvendig omkreds: 2 2 300 420 1440u b h m m

Effektiv tykkelse: 126000

87,51440ef

At m

u m

mm

Hvilket er større end 2 2 40 80c mm

Tværsnitsareal:

2300 87,5 420 87,5 70656k ef efA b t h t mm

Effektivitetsfaktoren for vridning er

350,7 0,7 0,7 0,7 0,368

200 200ck

t

f

Vridningskapaciteten for henholdsvis bøjler pr. 150 mm, bøjler pr. 200 mm og

for trykbrud i beton fås nu af:

Bøjler pr. 150 mm:

2 28· ·cot 70656 342 1,5 13,5

150sw

Rd k ywd

AT A f k

s Nm

Bøjler pr. 200 mm:

2 28· ·cot 70656 342 1,5 10,1

200sw

Rd k ywd

AT A f k

s Nm

Trykbrud i beton:

2 2 87,5 70656 0,368 2552,5

cot 1/ cot 1,5 1/1,5ef k t cd

Rd

t A fT kNm

Det ses at vridningskapaciteten set isoleret er fuldt tilstrækkelig, da TEd = 2,1

kNm TRd for begge bøjleameringsgrader.

186


6.1.6.5 Kombineret vridning og forskydning

Vridning og forskydningskapaciteterne skal kombineres, hvilket giver en reduce-

ret forskydningskapacitet, der kan sammenlignes direkte med VEd i det pågæl-

dende snit. På den sikre side benyttes e = 36 mm for alle snit.

Bøjler pr. 150: · 13,5 70,4

59,3· 70,4 0,036 13,5

Rd RdEd

Rd Rd

T VV k

V e TN

På strækningen l1 fås V1 = 57,8 kN 59,3 kN OK!

På strækningen l’2 fås V2 + Qd = 21,3 kN + 35 kN = 56,3 kN

59,3 kN OK!

Bøjler pr. 200: · 10,1 52,8

44,4· 52,8 0,036 10,1

Rd RdEd

Rd Rd

T VV k

V e TN



Den nødvendige forskydningsarmering for en kombineret påvirkning med for-

skydning og vridning er vist på figur 6-19.

l1 l’2 l2 – l’

0,7 m 4,3 m

pd = 14,0 kN/m / e = 20 mm

Qd = 35 kN / e= 50 mm

2

V1 V2 V3

Bjl. Y6 pr.

150 mm

Bjl. Y6 pr. 200 mm

Figur 6-19: Nødvendig bøjlearmering for kombineret forskydning og vridning

187


6.1.6.6 Forankringskraft

Længdearmeringen skal forankres for vridning og forskydning. Forankringen skal

ske for den maksimale forskydningskraft, hvilket i dette tilfælde er V0 ved veder-

laget nærmest enkeltkraften. V0 bestemmes og derefter det tilhørende vrid-

ningsmoment:

0

35 5,0 0,71 114 5,0 35 30,1 65,1

2 2 5,0

35 ·0,020 30,1 ·0,050 2,2

dd

Ed

Q L aV p L k

L

T kN m kN m kNm

N

Forankring ved ren forskydning:

0

1 1cot 65,1 1,5 48,8

2 2tdF V kN kN

Forankring ved ren vridning:

,

,

2, 2·cot( ) 1,5 3,9

4( ) 4 300 87,5

2,2·cot( ) 1,5 2,5

4( ) 4 420 87,5

Edtd L

ef

Edtd V

ef

TF k

b t

TF k

h t

N

N

Forankring ved kombination af forskydning og vridning:

, , ,

, , ,

2·max ; 48,8 2 3,9 56,6

2·max ; 2 3,9 7,8

td bund td td L td V

td top td L td V

F F F F kN kN kN

F F F kN kN

Eksempel slut

188



I anvendelsesgrænsetilstanden er der principielt to væsentlige emner, nemlig

udbøjning og revnevidder. Der stilles normalt krav til udbøjningernes maksimale

størrelse, dels af æstetiske årsager, men også rent funktionelt, hvor konstrukti-

onen bygges sammen med andre og mere følsomme bygningsdele, eksempelvis

en glasfacade. Revnevidder har betydning for betonens holdbarhed og mod-

standsevne mod vandindtrængning.

6.2.1 Udbøjning

Der er mange faktorer, der spiller ind, når der laves en tværsnitsanalyse i an-

vendelsesgrænsetilstanden. Størrelsen på udbøjninger er betinget af belastnin-

gens størrelse samt krybning og svind. Krybning afhænger af lastens varighed,

mens svind relaterer sig til betonens alder. Begge dele er detaljeret beskrevet i

afsnit 2.1.5 samt i afsnit 6.2.1.1 og 6.2.1.2.

Beregningerne vanskeliggøres yderligere, fordi betonens stivhed varierer afhæn-

gig af, hvorvidt tværsnittet er revnet eller urevnet. I anvendelsesgrænsetilstan-

den regnes med en lineærelastisk arbejdslinje for betonen, hvor trækstyrken

tages med i regning. Det urevnede tværsnit besidder således en trækkapacitet,

mens der ikke kan overføres træk gennem et fuldt revnet tværsnit. I praksis

befinder mange tværsnit sig i grænsetilstanden mellem urevnet og fuldt revnet

tværsnit, hvor trækkapaciteten er begrænset, men dog til stede. Tension stiffe-

ning er et udtryk for denne effekt i grænsetilstanden. Ved analyse af udbøjnin-

ger er det oftest nødvendigt at lave en beregning både for det urevnede og det

revnede tværsnit, hvorefter effekten fra tension stiffening kan vurderes og den

endelige udbøjning bestemmes. Dette vises i afsnit 6.2.1.3.

6.2.1.1 Krybning

Ved langvarig belastning kryber betonen, det vil sige, at betonens tøjning øges,

mens spændingen forbliver konstant. Dette har betydning for betonens stivhed

og dermed størrelsen af udbøjninger. Den letteste måde at tage højde for kryb-

189


ning i anvendelsesstadiet er ved at benytte faktoren , som angiver forholdet

mellem armeringens og betonens elasticitetsmodul. Grunden til at dette er den

mest rationelle måde, er at belastninger ofte består af en kombination af kort-

tids- og langtidslaste, hvor kun langtidslasten giver anledning til krybning. Før-

ste skridt i en udbøjningsanalyse er således at skønne hvor stor en andel af be-

lastningen, der er henholdsvis langtids- og korttidslast og dermed bestemme .

Dette er nærmere beskrevet i afsnit 2.1.4.

6.2.1.2 Svind

Svindets bidrag til udbøjningen kan beregnes med følgende formel:

21

10a

s csT

Su L

I

us er udbøjningstillægget fra svind

cs er svindtøjningen, der bestemmes iht. afsnit 2.1.5

Sa er armeringens statiske moment om tværsnittets tyngdepunktsakse

IT er tværsnittets transformerede inertimoment

er forholdet mellem armeringens elasticitetsmodul og betonens elastici-

tetsmodul, som beskrevet i afsnit 6.2.1.1

L er bjælkens spændvidde

For symmetriske urevnede tværsnit ses svindbidraget at falde bort, da det stati-

ske moment af armeringen om tyngdepunktet er nul.

6.2.1.3 Tension stiffening

Konstruktionselementers udbøjning afhænger af, om tværsnittet er revnet eller

urevnet. I overgangstilstanden mellem det urevnede og det fuldt revnede tvær-

snit er der en reduceret trækkapacitet omkring de begyndende revner. Effekten

af dette kaldes tension stiffening.

Grafen figur 6-20 viser en udbøjningsberegning dels for et urevnet og et revnet

tværsnit samt overgangen mellem de to kurver givet ved en beregning, hvor

tension stiffening medregnes.

190


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Beregnet udbøjning

Urevnet stivhed

Revnet stivhed u tension stiffening

M0Ed [kNm]

u [mm]

Flydning i armering begynder

Figur 6-20: Udbøjning for revnet og urevnet tværsnit, samt tension stiffening

Udbøjningen under hensyntagen til tension stiffening bestemmes ud fra følgende

formel:

1revnet urevnetu u u

er fordelingskoefficient, der tager hensyn til tension stiffening og den

bestemmes ved

2

1

s

sr

For urevnet tværsnit er =0. På den sikre side kan ses bort fra tension

stiffening (i.e. =1), og uurevnet er i så fald ikke nødvendig at beregne.

er en koefficient, der tager hensyn til lastvarigheden. For vægge og

søjler, hvor en stor andel af lasten som regel er egenvægt, skal sæt-

tes til 0,5. For en enkelt forekommende korttidslast sættes .

191


s er spændingen i trækarmeringen beregnet ud fra en antagelse om, at

tværsnittet er fuldt revnet.

sr er spændingen i trækarmeringen beregnet ud fra en antagelse af rev-

net tværsnit, men påvirket af den last, der netop forårsager den første

revne. sr bestemmes ud fra det moment, der fremkalder spændingen

fctm i den nederste betonfiber, når tværsnittet er påvirket af den nor-

malkraft, der er antaget i anvendelsesstadiet.

urevnet er udbøjningen bestemt ud fra en antagelse om, at tværsnittet er fuldt

revnet, dvs. trækstyrken af betonen ikke længere har nogen betyd-

ning.

uurevnet er udbøjningen bestemt ud fra en antagelse om, at tværsnittet er

urevnet.

For urevnet tværsnit sættes =0, hvilket betyder at der ikke er en kontinuert

overgang mellem revnet og urevnet tværsnit for = 0,5.

Det er vigtigt at gøre sig klart, at bidraget til udbøjningen fra tension stiffening

gør, at de beregnede udbøjninger og tværsnitsspændinger ikke giver en statisk

ækvivalent løsning.

Endvidere skal der som nævnt i afsnit 6.2.1.2 tillægges et udbøjningsbidrag fra

svind. Også for dette udbøjningsbidrag anvendes formlen for tension stiffening,

nu på formen:

, , 2

, ,

11

10a revnet a urevnet

s scT revnet T urevnet

S Su L

I I

Med fortegnet på su tages hensyn til, at tværsnitskonstanterne i denne fremstil-

ling beskrives i et koordinatsystem med y-aksen opad.

192


Bestemmelse af sr

Det moment, der netop revner tværsnittet, Mr, fås ved at sætte betonspændin-

gen i den trækpåvirkede betonkant lig trækstyrken fctm. Momentet bestemmes

ved hjælp af Navier, på baggrund af antagelse om urevnet tværsnit:

,

, 22

T urevnetrctm T r ctm

T urevnetT

IM hf y M f

hIy



IT,urevnet er det transformerede inertimoment for urevnet tværsnit, som be-

stemmes i afsnit 6.2.1.5.

yT er afstanden fra tværsnittets centerlinje til tyngdepunktsaksen, ligele-

des bestemt i afsnit 6.2.1.5. Bemærk fortegnsregningen.

sr er spændingen i trækarmeringen bestemt på baggrund af antagelse om rev-

net tværsnit. Momentet Mr påføres tværsnittet, og der udføres en tværsnitsana-

lyse som beskrevet i afsnit 6.2.1.4. Hvis tværsnittet har mere end et trækarme-

ringslag, kan spændingen sr bestemmes som en vægtet værdi af trækarme-

ringsspændingerne.

6.2.1.4 Udbøjninger for fuldt revnet tværsnit

Nedenfor opstilles den statiske ækvivalens for et betontværsnit med trykarme-

ring samt to lag trækarmering påvirket af moment. I anvendelsesgrænsetilstan-

den benyttes en lineær-elastisk arbejdslinje, hvor forholdet mellem spændinger-

ne i beton og armering er givet ud fra tværsnittets geometri samt størrelsen .

193


sc/

st2/

x

cc

c1

0(1+ef) c

MEd

b

h

c2

st1/


Betonens kantspænding benævnes c. De geometriske betingelser giver hermed

armeringsspændingerne:

11

22

csc c

st c

st c

x c

xh x c

xh x c

x

Ligevægtsligningerne kan nu opstilles.


1 1 2 2

10

2 c sc sc st st st stbx A A A

Momentligningen om tværsnittets centerlinje:

1 1 1 2 2 2

1

2 2 3 2 2 2Ed c sc sc c st st st st

h x h h hM bx A c A c A c

194


Nullinjens beliggenhed findes ved at indsætte de geometriske betingelser i pro-

jektionsligningen. Dette giver en 2.grads-ligning, der kan løses for x.

Tværsnitsspændingerne kan bestemmes på følgende måde: Betonkantspændin-

genc findes ved indsættelse af x i momentligningen, og armeringsspændinger-

ne fås til slut af de geometriske betingelser ved at indsætte c.

Bjælkens udbøjningskurve antages at være parabelformet. Udbøjningen kan

tilnærmelsesvis skrives:

21

10u L

hvor er bjælkens krumning ved moment maksimum. Udtrykkes krumningen

ved hjælp af betonkantspændingen fås:

21

10c

revnets

u LE

x

For revnet tværsnit findes tværsnitkonstanterne ved at se bort fra betonarealet i

trækzonen, og det revnede tværsnits angrebspunkt vil altid ligge i nullinjen sva-

rende til afstanden x fra oversiden bestemt ovenfor. Til brug for beregninger af

svindbidraget til udbøjningen i revnet tilstand fås da

, e 1 1 2 2

3 2 21, e 1 1 2 23

( ) ( ) ( )

( ) ( ) (

a r vnet sc c st st

t r vnet sc c st st

S A x c A h x c A h x c2)I bx A x c A h x c A h x c

Og tillægget fra svind bliver

, 2,

,

1

10a revnet

s revnet sct revnet

Su L

I

195


6.2.1.5 Udbøjning for urevnet tværsnit

Når betontværsnittet er urevnet er spændings og udbøjningsbestemmelsen end

del lettere end for revnet tværsnit. Beregningerne for urevnet tværsnit baseres

på transformeret tværsnit, hvor areal, statisk moment og inertimoment be-

stemmes. Armerings- og betonspændinger kan herefter findes ved hjælp af Na-

vier’s formel. I denne fremstilling påvirkes tværsnittet af både et bøjende mo-

ment og en normalkraft. Den anvendte metodik gælder derfor både for bjælker

og søjler.

y

For et rektangulært tværsnit med et lag trykarmering og to lag trækarmering

kan tværsnitskonstanterne opstilles på følgende vis.

Transformeret areal: 1 2( )T C S C sc st stA A A A A A A

Transformeret statisk moment om centerlinjen:

1 1 2 202 2 2T C S sc c st st

h h hS S S A c A c A c


MEd

0(1+ ef)

½ h yT

c

x

st1/

tyngdepunktsakse cc

c1

c2

sc/

st2/

NEd

196


yT angiver placering af tværsnittets tyngdepunktsakse i forhold til tværsnittets

centerlinje:

TT

T

Sy

A

Bemærk at yT her regnes positiv, når den ligger over centerlinjen. Dette betyder,

at yT ofte vil være negativ.

Transformeret inertimoment om tyngdepunktsaksen:

2 223

1 1 2

1

12 2 2 2T C S T sc T c st T st T

h h hI I I bh bhy A y c A y c A y c

2

2

Udbøjningen for en given momentpåvirkning MEd er nu tilnærmelsesvis:

21

10Ed

urevnetS

T

Mu L

EI

hvor bjælkens krumning er udtrykt ved det påførte moment og det transforme-

rede inertimoment:

Ed

sT

ME

I

For det rektangulære tværsnit med bestemt som ovenfor fås til brug for

beregningerne at svindbidraget til nedbøjningen:

TS

, e 1 2

, e

/ (a ur vnet T t sc st st

t ur vnet T

S S y A A A

I I

)

og tillægget bliver

197


, 2,

,

1

10a urevnet

s urevnet sct urevnet

Su L

I

Armeringsspændinger og betonkantspændingen for urevnet tværsnit findes af

Navier’s formel:

1 1

2 2

2

2

2

2

Ed Edc T

T T

Ed Edsc T c

T T

Ed Edst T

T T

Ed Edst T

T T

N M hy

A I

N M hy c

A I

N M hy c

A I

N M hy c

A I

NEd er lig nul for bjælker uden normalkraft, men er som nævnt medtaget her af

hensyn til senere søjle/væg beregninger.

6.2.2 Revnevidder

Revnevidder bestemmes i henhold til EC2. Revnevidderne bestemmes for lang-

tidslast ud fra en antagelse om, at tværsnittet er fuldt revnet. Dette betyder, at

de beregnede udbøjninger og revnevidder ikke svarer til den samme spændings-

tilstand.

Den maksimale revnevidde er givet ved:

cmsmmaksrk sw ,

sr,maks er den maksimale revneafstand.

sm er middeltøjningen i armeringen under den relevante lastkombination,

inklusiv virkningen af tvangsdeformationer og under hensyntagen til

virkningen fra tension stiffening.

cm er middeltøjningen i betonen mellem revnerne.

198


Forskellen mellem sm og cm kan beregnes som:

,,

,

1

0,6

ct effs t e p eff

p eff ssm cm

s s

fk

E E

s er spændingen i trækarmeringen under antagelse af revnet tværsnit.

fct,eff er middelværdien af betonens effektive trækstyrke på det tidspunkt,

hvor revnerne tidligst kan forventes at opstå. For betonelementer og

andre betonkonstruktioner hvor revnedannelsen først forventes efter

28 døgn fås: fct,eff = fctm.

e er forholdet Es/Ecm

p,eff er armeringsforholdet bestemt som

,

,

3 2max ; ;

2,5st st st

p effc eff

A A A

A b c b h x stA

bh

kt er en faktor, der afhænger af belastningens varighed. kt = 0,4 for lang-

tidslast.

sr,maks er den maksimale revneafstand som beregnes af:

1/3

, 3 1 2 4, ,

29,1 0,17 1,32 2r maks

p eff p eff

s k c k k k c h x

Her er koefficienterne sat til:

k1 = 0,8 for armering med stor vedhæftning

k2 = 0,5 for bøjning

k3 = 2/33, 4(25 /( / 2))c

k4 = 0,425 anbefalet værdi

er armeringsdiameteren for trækarmeringen

199


6.2.3 Eksempel – Bjælkeberegning i anvendelsesgrænsetilstanden

Bjælken fra afsnit 6.1.6 betragtes i anvendelsesgrænsetilstanden. Lastopstillin-

gen er den samme som ved brudgrænsetilstanden, dog regnes med følgende

karakteristiske laster:

12,0

35k

k

p kN m

Q kN

Det maksimale moment fås af momentkurven:

21 1 1

2 2 2k

k k k k

Q aL xkM x p x L x Q a p x p L x Q

L L

a

Punktet for momentmaksimum findes:

1' 0 0

21 35 0,71 12 5,02 5,02 2,09

12

kk k

kk

k

Q aM x p x p L

L

Q ap L

Lx mp

Det maksimale moment fås ved indsættelse af x i udtrykket for momentkurven:

5,0 2,09112 2,09 5,0 2,09 35 0,7 50,8

2 5EdM

,0

For beton med en karakteristisk trykstyrke på 35 MPa foreslås i afsnit 2.1.2 føl-

gende -værdier:

Langtidslast: 24,2

Korttidslast : 7,7L

K

200


I dette eksempel vurderes ca. 75% af lastvirkning at skyldes langtidslast, mens

de resterende 25% skyldes korttidslast. Den effektive -værdi bestemmes ved

vægtning:

24, 2 0,75 7,7 0, 25 20eff

6.2.3.1 Udbøjning for fuldt revnet tværsnit

De geometriske betingelser fås til:

4020

420 40 38020 20

sc c c

st c c c

x c x mm

x xh x c mm x mm mm x

x x

x

Dette indsættes i projektionsligningen og x bestemmes:

2 2

2

1 10 300

2 240 380

20 402 20 402

0 150 16080 3376800 105,7

c sc sc st st c

c c

bx A A x

x x

x x

x x x mm

For en forenklet tilnærmelse anvendes denne værdi af x i nærværende eksempel

både for langtids og korttidslast.

Betonkantspændingen findes ved at tage moment om tværsnittets centerlinje:

2

2

6 3

1

2 2 3 2 2

1 420 105,7 105,7 40 42050,8 300 105,7 20 402 40

2 2 3 105,7

380 105,7 42020 402 40

105,7 2

50,87,1

7,167 10

Ed c sc sc st st

c c

c

c

h x h hM bx A c A c

kNm

kNmMP

mm

a

2

201


Der er ikke brud i betonen da 25c cdf MPa

Armeringsspændingerne fås af de geometriske betingelser:

40 105,7 4020 20 7,1 88

105,7

380 380 105,720 20 7,1 369

105,7

sc c

st c

xMPa

x

xMPa

x

Der er ikke flydning i armeringen da 417s ydf MPa . Hvis der havde væ-

ret flydning i armeringen, må nullinje og tværsnitsspændinger bestemmes for-

fra, hvor armeringsspændingen sættes lig flydespændingen.

Udbøjningen for revnet tværsnit bestemmes:

225

1 1 7,15000 16,8

2,0 1010 10105,7

20

crevnet

s

au L

E axmm

For svindbidragets vedkommende anvendes svindtøjningen fra eksemplet i afsnit

2.1.6

000, 0, 465sc sc

Tværsnitskonstanterne bliver i denne sammenhæng

, 1

3 2

3 2 21, 13

2 2 213

( ) ( )

402(105,7 40) 402(420 105,7 40) 83,9·10

( ) ( )

·300·105,7 20·402(105,7 40) 20·402(420 105,7 40) 758·10

a revnet sc c st

t revnet sc c st

S A x c A h x c

mm

I bx A x c A h x c

mm

6 4

202


Udbøjningsbidraget for svind bliver dermed

, 2, ,

,

33 2

6

1

10

1 83,9·100,465·10 ·20 5000 2,6

10 758·10

a revnets revnet s c

t revnet

Su L

S

mm

6.2.3.2 Udbøjning for urevnet tværsnit

For urevnet tværsnit findes udbøjningen ved hjælp af transformeret inertimo-

ment.

Transformeret areal:

2300 420 20 2 402 142080T C SA A A mm

Tværsnittet er symmetrisk, hvorfor tyngdepunktsaksen er sammenfaldende med

tværsnittets centerlinje.


2 23

23 2 9

1

12 2 2

1 420420 300 20 2 402 40 2,317 10

12 2

T C S sc c st st

h hI I I bh A c A c

mm

4

Udbøjningen for en given momentpåvirkning MEd er nu for urevnet tværsnit til-

nærmelsesvis givet ved:

225

9

1 1 50,85000 5,9

2,0 1010 102,317 10

20

Edurevnet

ST

Mu L

EI

mm

203


Da tværsnittet er symmetrisk bliver , 0a urevnetS , og nedbøjningen fra svind er

derfor

, 0s urevnetu m m

6.2.3.3 Udbøjning for tværsnit mellem fuldt revnet og urevnet

Tværsnittet befinder sig et sted mellem fuldt revnet og urevnet. Den faktiske

udbøjning i denne tilstand findes ved at tage hensyn til tension stiffening.

Det moment, der netop revner tværsnittet og armeringsspændingen sr svaren-

de hertil, bestemmes jævnfør afsnit 6.2.1.3.

Trækstyrken fås til: 2 3 2 30,30 0,30 35 3,2ctm ckf f M Pa

Revnemoment udregnes på baggrund af urevnet tværsnit:

9, 2,317 10

3, 2 35,3420

' 02 2

T urevnetr ctm

IM f k

hy

Nm

Betonkantspændingen bestemmes på baggrund af revnet tværsnit, hvor nullin-

jedybden er givet ved x = 105,7 mm. Der sættes ind i momentligningen:

2

6

1

2 2 3 2 2

1 420 105,7 105,7 40 42035,3 300 105,7 20 402 40

2 2 3 105,7 2

380 105,7 42020 402 40

105,7 2

35,34,9

7,177 10

r c sc sc st st

c c

c

c

h x h hM bx A c A c

MPa

204


Armeringsspændingen findes ved de geometriske betingelser:

380 380 105,720 20 4,9 254

105,7sr c

xMPa

x

Fordelingskoefficienten, der tager hensyn til tension stiffening bestemmes af:

2 2254

1 1 0,625 0,704369

sr

s

MPa

MPa

hvor 0,5 0,5 1 0,75 0,625 svarer til, at belastning vurderes at be-

stå af 75 % langtidslast og 25 % korttidslast. Den samlede, resulterende udbøj-

ning af bjælken bliver derved

, ,( ) 1 ( )

0,704 (16,8 2,6) 1 0,704 (5,9 0) 15, 4

revnet s revnet revnet s revnetu u u u u

mm

6.2.3.4 Revnevidder

Revnevidden for langtidslast bestemmes jævnfør afsnit 6.2.2. Først findes for-

holdet sm - cm, idet der for langtidstilstanden anslås en armeringsspænding af

størrelsen:

, 0, 75·369 277s L MPa

,,

,

5

3, 21 277 0, 4 1 7,7 0,01340,0134 0,00086

2,0 10

ct effs t e p eff

p effsm cm

s

fk

E

Kontrol: 5

2770,6 0,6 0,00083

2,0 10s

sm cmsE

205


Følgende hjælpestørrelser er benyttet i beregningen:

, 3, 2ct eff ctmf f M Pa udregnet i afsnit 6.2.3.3.

7,7se k

cm

E

E

,,

3 2max ; ;

2,5

402 3 402 2 402max ; ;

300 2,5 40 300 420 105,7 300 420

max 0,0134;0,0128;0,0064 0,0134

st st st stp eff

c eff

A A A A

A b c b h x bh

Den maksimale revneafstand udregnes:

1/ 3

, 3 1 2 4, ,

1/ 3

29,1 0,172 2

16 1629,1 40 0,17 295,3

2 0,0134

r maksp eff p eff

s k c k k k c

Kontrol: , 1,3 1,3 420 105,7 408,6r makss h x mm

Den maksimale revnevidde for langtidstilstanden alene bliver således:

, 295,3 0,00086 0, 26k r maks sm cmw s mm

Eksempel slut

206



På www.bef.dk kan frit hentes et beregningsprogram, der håndterer samtlige

beregninger svarende til ovenstående afsnit 6.1 og 6.2. Nedenfor ses dette pro-

grams brugerflade/udskrift med bjælken fra regneeksemplet indlagt. Der ses at

være god overensstemmelse i resultaterne, og små forskelle som eksempelvis

resulterende nedbøjning (15,4mm og 15,8mm) skyldes mere præcises bereg-

ningsmodeller anvendt i programmet.

Sagsnavn: Sag nr.:Bygningsdel: Dato:Emne: Init:

Spændvidde Tværsnit h 420 mm

L 5,00 m b 300 mmLængdearmering c' = 40 mm beff 300 mm

d (mm) c (mm) antalTryklag t 16 40 2

Træklag 1 14 100 0

Træklag 2 16 40 2Bøjler d (mm) a (mm) cot

Type 1 6 150 1,50

Type 2 6 200 1,50

Partialkoefficienter Længdearmeringc 1,40 fyk 500 MPa

56,9 kNm < s 1,20 fyd 417 MPaBeton Bøjlearmering

fck 35 MPa fyk 410 MPa

p1 p2 p3 P1 P2 P3 fcd 25,0 MPa fyd 342 MPaLangtidsværdi (kN/m) 9,0 0,0 0,0 (kN) 28 0 0 Nedbøjninger Krybetal

Kar. værdi (kN/m) 12,0 0,0 0,0 (kN) 35 0 0 uL 13,1 mm RH 55%

Regnm. værdi (kN/m) 14,0 0,0 0,0 (kN) 35 0 0 ukar 15,8 mm to 28 døgn

Excentricitet, exc. (mm) 20 0 0 (mm) 50 0 0 Revnevidder o 2,04

x1 (m) 0,00 0,00 0,00 (m) 0,70 0,00 0,00 wk,L 0,26 mm Svindtøjning

x2 (m) 5,00 0,00 0,00 wk,kar 0,33 mm cs 0,45 o/oo

Kontrolparametre Langtid Brudstadie Momentkapacitet Forskydningskapacitet

M (kNm) 38,8 62,1 MRd 62,1 kNm v/ trykbrud i krop: VRd,0 457 kN

x (mm) 111,2 35,2 EIL,revnet 7397 v/ type 1 bøjler: VRd,1 60 kN

(o/oo) 0,19 3,15 EIkort,revnet 8678 v/ type 2 bøjler: VRd,2 45 kN

st (MPa) 282 417 Forskydningskraftens største excentricitet, exc.: 36 mm

z (mm) - 366 Forankringskrav til hovedarmering over lejer, Na : 57 kN

Vejledning PC-statik: Bjælkeberegning efter EC2 Udgivet på www.bef.dk december 2008 NB: Resultaterne skal altid kontrolleres af ansvarlig statiker

BJÆLKE, version 3.0 / EC Betonelement-Foreningen mar. 2010

Jævnt fordelte laste Punktlaste

23 - 45452010-03-01

JFJ

Betonelementhuset

Normale lastkombinationerBjælke i modul D-E/12, stueetage

Forskydningskræfter i kN

0

10

20

30

40

50

60

70

80

: : : :

Momenter i kNm

0

10

20

30

40

50

60

:

:

:

ML

Mkar

MEd

VEdVRd,1

VRd,2

z cotMEd,max MRd

kNm2

kNm2

c

c

c

tryklag t

træklag 1

c måles til midte jern

træklag 2

Pp

x2

x1

x1

L

c'

: L / 10


Det bemærkes, at forskydningskapaciteten i udskriften er beregnet under hen-

syntagen forskydningskraftens excentricitet, altså inkl. effekten af vridning.

207

http://www.bef.dk/


208

7ForSPÆndTE

ElEMEnTEr

7 FORSPÆNDTEELEMENTER

7.1 Princippervedforspændteelementer

7.1.1 Udførelse

7.2 Indledendeprojekteringmedforspændteelementer

7.3 Tværsnitsanalyse–rektangulærttværsnit



7.3.3 Eksempel–RB-bjælke

7.4 Vilkårligttværsnitmedforspænding

7.4.1 Anvendelsesgrænsetilstand,tværsnitsanalyse

7.4.2 Brudgrænsetilstand,tværsnitsanalyse


7 | Forspændte elementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK

7.1 Principper ved forspændte elementer

Der findes både før- og efterspændte betonkonstruktioner, og for begge typer

kan der benyttes retlinede eller kantede/krumme armeringstræk. Denne gen-

nemgang beskriver alene førspændte konstruktioner.

7.1.1 Udførelse

For at forklare hvordan førspændte bjælker virker, tages der udgangspunkt i

produktionen af bjælker med rette liner. Undervejs beskrives de tab i armering,

som der skal tages højde for ved bestemmelse af den regningsmæssige for-

spændingskraft.

1. Først spændes linerne op i formen.

2. Betonen udstøbes i formen, hvor de opspændte liner befinder sig.

3. Når betonen er hærdet til det foreskrevne niveau, kappes linerne.

4. Idet linerne kappes, trækker linerne sig ind i betonen, til der er ligevægt

mellem forskydningsspændingerne, der kan overføres mellem liner og

beton. Hermed er det først et stykke inde i betonen, at den fulde foran-

kringskraft er opnået.

5. Når linerne er forankret, vil der i forankringszonen overføres en kraft til

betonen, som medfører et tryk i betonbjælken. Dette vil medføre, at be-

tonen trykkes sammen, til den modsvarer kraften i linerne. Samtidig

med at betonen trykkes sammen, vil linerne blive forkortet, og kraften i

linerne minimeres.

6. Er linerne placeret excentrisk, vil bjælken samtidig begynde at krumme

til en tilstand, hvor der er momentligevægt. Ved beregning af denne

momentligevægt skal egenvægten medtages.

210

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Forspændte elementer | 7

1)

2)

3)

På grund af materialedeformationerne bliver den effektive forspændingskraft i

det færdige element mindre end opspændingskraften benyttet under element-

fremstillingen. For gængse linetyper kan regnes med en effektiv forspæn-

dingskraft pr. line som anført nedenfor.

Linedimension 9,3 mm 12,3 mm 15 mm

Areal 63 mm2 93 mm2 150 mm2

Effektiv forspænding 65 kN 100 kN 160 kN

4)

5)

6)

P

Figur 7-1: Principper for førspændte elementer

211


7.2 Indledende projektering med forspændte elementer

Langt de fleste forspændte elementer i byggeriet er baseret på standardtvær-

snit, der kan findes i leverandørernes kataloger. Almindeligvis vil de forskellige

leverandører kunne tilbyde gængse elementer med samme hovedmål på tvær-

snittene.

For den projekterende vil det især være elementernes maksimale ydeevner, der

indledningsvist har interesse for hver af de mulige tværsnitsstørrelser. Alminde-

ligvis vil det samlet set føre til den billigste løsning, hvis man for den aktuelle

elementtype vælger det mindste tværsnit, der kan opfylde funktionskravene. I

den sammenhæng fokuserer den projekterende på oplysninger om:

g: Elementets egenvægt (kN/m)

VRd: Elementets regningsmæssige forskydningsstyrke i brudgrænsetilstan-

den (kN)

MRd: Elementets regningsmæssige momentkapacitet i brudgrænsetilstanden

(kNm)

Mbal: Balancemomentet, der er det moment fra ydre laster på elementet,

som netop udligner forspændingens momentvirkning, MP. Størrelsen

Mbal = - MP anvendes ved nedbøjningsvurderingerne, se senere. (kNm)

MOO: Dekompressionsmomentet, der er det moment fra ydre laster på ele-

mentet, som netop svarer til, at spændingen i den mindst trykkede fi-

ber i betonen antager værdien 0. (kNm)

Mcr: Revnemomentet, der er det moment fra ydre laster på elementet, som

netop svarer til at spændingen ét sted i betontværsnittet antager en

værdi svarende til betonens karakteristiske trækstyrke. (kNm)

212


EIk: Elementets stivhed overfor korttidslast, som med en korrektion også

kan anvendes til vurdering af nedbøjningerne over for langtidslast.

(kNm²)

f: Elementets typiske pilhøjde ved levering.

De funktionskrav, som den projekterende på baggrund af ovennævnte informa-

tioner vil sikre sig opfyldt er normalt, som anført nedenfor, idet førspændte ele-

menter vil være simpelt understøttede i konstruktionen.

Tværsnitskontroller:

Sikring af tilstrækkelig forskydningsbæreevne:

VEd VRd

hvor VEd er det størst forekommende forskydningskraft fra ydre laster i

brudgrænsetilstanden.

Sikring af tilstrækkelig momentbæreevne:

MEd MRd

hvor Med er det størst forekommende moment fra ydre laster i brud-

grænsetilstanden.

Sikre mod vedvarende dekompression:

MEq M00

hvor MEq er det størst forekommende moment fra ydre, quasipermanente

laster i anvendelsesgrænsetilstanden.

Sikre mod revnedannelse i tværsnittet:

MEk Mcr

hvor MEk er det størst forekommende moment fra ydre karakteristiske la-

ster i anvendelsesgrænsetilstanden.

Indledende kontrol af deformationsegenskaberne:

MEq 1,6 Mbal

213


For så vidt angår deformationsegenskaberne tilrådes at udføre nogle lidt mere

detaljerede vurderinger af deformationsegenskaberne før det endelige valg af

tværsnit.

Ved disse vurderinger tages hensyn til, at elementers stivhed over for langtids-

last er mindre end stivheden over for korttidslast pga. betonens krybning. Da

krybningseffekten yderligere afhænger af tidspunktet for belastningens påførsel

benyttes efterfølgende tre værdier af elementets stivhed:

Over for elementets egenvægt og forspænding:

/(1 )k pEI (overslagsmæssigt kan anvendes / 3,0kEI )

Over for øvrige quasipermanente laster:

/(1 )k qEI (overslagsmæssigt kan anvendes / 2,3kEI )

Over for korttidslaster:

kEI

I ovenstående er p og q slutkrybetallene for betonen svarende til henholdsvis

belastning påført ved tidspunktet for aktivering af forspændingen og belastnin-

gen påført som permanent last efter elementets indbygning.

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

0 50 100 150 200 250 300 350 4

0( , )t

00

Figur 7-2: Slutkrybetal

Forspænding aktiveres

0( , ) 2,0P pt

Langtidslast påsættes

0( , ) 1,3q qt

t0 (dage)

214


Ved deformationsvurderingen kan der med god tilnærmelse regnes med, at et

moment, M, fra den ydre belastning på et simpelt understøttet element med

spændvidde, L, og stivhed, EI, vil modsvares af en nedbøjning af størrelsen:

21

10E

Mu l

EI

medens udbøjningen fra forspændingsmomentet, der er konstant over elemen-

tets længde, vil være omkring:

21

8P

P

Mu l

EI

Hermed kan de forskellige belastningers bidrag til den resulterende nedbøjning

opgøres således:

Bidrag fra forspænding:

2(1 )·1

8p bal

PK

Mu l

EI

Bidrag fra elementets egenvægt.

2(1 )·1

10p g

gK

Mu l

EI

hvor Mg er momentet fra egenvægten.

Bidrag fra øvrig langtidslast:

2(1 )·1

10q q

qK

Mu l

EI

hvor Mq er momentet fra den quasipermanente belastning ekskl. elemen-

tets egenvægt.

Bidrag fra korttidslast:

21

10k q g

kK

M M Mu l

EI

hvor Mk er momentet på den samlede karakteristiske last.

215


Ved deformationsvurderingen sammenholdes disse resultater typisk med følgen-

de funktionskrav:

Virkningen af de samlede langtidsbelastninger bør ikke føre til synlige

nedbøjninger, dvs.:

0 q p g qu u u u

Virkningen fra korttidsbelastning bør overholde:

400k

Lu

Pilhøjden ved levering på byggepladsen skal ligge inden for en rimelig

grænse svarene til, hvad der kan udlignes i den påtænkte gulvopbyg-

ning. Pilhøjden er i denne forbindelse synonym med den negative værdi

af nedbøjningen på leveringstidspunktet og er for et maksimalt for-

spændt tværsnit, erfaringsmæssigt af størrelsesordenen:

20 3 ( ) 50%p gf u u

I praksis vil elementleverandøren arbejde på at optimere forspændingen sva-

rende til de præcise forhold i det aktuelle projekt. I forhold til det maksimalt

forspændte tværsnit vil en reduktion af forspændingen umiddelbart resultere i

mindre værdier af Mbal og dermed mindre pilhøjde. Dette skal til gengæld afve-

jes med, at MRd, M00 og Mcr samtidig reduceres. Disse sammenhænge kan analy-

seres i detaljer via de metoder, der præsenteres i afsnit 7.3 og 7.4.

I tilknytning til udbøjningsforhold skal sluttelig nævnes, at elementernes stiv-

hed, spændvidde og egenvægt har betydning for byggeriets vibrationskomfort.

Sædvanligvis undgås problemer med svingninger fra almindelig gangtrafik på

etagedækkene, når der vælges dæk, der overholder:

L 35 á 40 gange dæktykkelsen

216


Se nærmere om vibrationskomfort i ”EN1990 DK NA:2007”. På grund af beton-

elementernes store egenvægt, vil det ofte kunne eftervises, at resonansfrekven-

ser omkring 6Hz er tilfredsstillende ved brug af den almene teori for bygnings-

dynamik.

7.3 Tværsnitsanalyse – rektangulært tværsnit

som det fremgår af afsnit 7.2 er det for forspændte elementer i høj grad anven-

delsesgrænsetilstande, der fordrer beregningsmæssig opmærksomhed. I denne

fremstilling tages i afsnit 7.3 og 7.4 derfor afsæt i anvendelsesgrænsetilstanden,

før forholdene i brudgrænsetilstanden præsenteres. Dels fordi det ofte vil være

forholdene i anvendelsesgrænsetilstanden, der vil være dimensionsgivende, dels

fordi forfatterne har vurderet, denne rækkefølge af begreberne vedrørende for-

spændte elementer er hensigtsmæssig.


I anvendelsesgrænsetilstanden antages forspændte betonelementer at være

urevnede. Da beregningsmodellen baseres herpå, skal denne antagelse verifice-

res i forbindelse med beregninger ved at kontrollere, at den største trækspæn-

ding i betonen ikke overstiger betonens trækstyrke.

Til analyse af urevnede tværsnit anvendes den tekniske elasticitetsteori for

transformeret tværsnit.

Konventionelt arbejdes for betonelementer med, at betontrykspændinger regnes

positive, og at et tværsnit beskrives i et retvendt koordinatsystem for beskue-

ren. Yderligere regnes momenter positive, når de giver tryk i elementets over-

side. For at imødekomme denne tradition er der til denne fremstilling valgt at

benytte orientering af koordinatsystemet og en fortegnsregning som angivet på

følgende figur.

217


Figuren viser et tværsnit i en forspændt bjælke med hovedmålene b h . Endvi-

dere ses én af forspændingslinerne, den j’te med tværsnitsarealet Aj og koordi-

naterne (xj , yj) i det valgte (x , y)-system.

N

x

y

Ajyj

xj

yo

uy

My

t

Mx ux sh

b

xo

Figur 7-3: Principper for førspændte elementer

Den enkelte line regnes i det færdige element at have en effektiv forspæn-

dingskraft af størrelsen ,eff jp . Når der ikke optræder ydre normalkræfter i ele-

mentet, vil normalkraften, N, være i projektionsligevægt med den resulterende

forspænding i linerne:

,1

m

eff j Pj

N p N

218


Spændingen i den j´te line hidrørende fra forspændingen er:

,, (positiv som træk)eff j

p jj

p

A

Dermed bliver den resulterende trækspænding i linen ved de aktuelle snitkræf-

ter:

, ,1 2

yxs j p j j j

T T T

MMNt s

A I I

idet akserne i (s, t)-systemet er tværsnittets 1. og 2. hovedakse.

Til brug for tværsnitsanalysen er nu opgaven at bestemme de transformerede

tværsnitskonstanterne TA , 1,TI og 2,TI og at finde hovedaksernes placering

bestemt ved tværsnittets tyngdepunkt 0 0( , )x y . I første omgang bestemmes

tværsnitskonstanterne i (x, y)-systemet, idet betonens elasticitetsmodul anven-

des som referencemodul. I det transformerede tværsnit indgår forspændingsstå-

let derfor med vægten /s cEE .

2 213

1 1

2 31 12 3

1 1

212

1

m m

T j xj j

m m2

j j

x j j y j jj j

m

y j jj

A bh A I bh y A

S bh y A I b h x

S b h x A

A

Tværsnittets tyngdepunkt er da:

0 0y x

t t

S Sx y

A A

219


og inertimomentet om akserne gennem tyngdepunkter bliver:

2 20 0 0x x t y y 0 tI I y A I I x A

Ved beregningen af disse tværsnitskonstanter anvendes almindeligvis for

førspændte elementer en fast værdi af , eksempelvis:

12

Den resulterende tryknormalkraft, NP, i projektionsligevægt med forspændingen

virker i:

, ,1 1( , ) ,

m m

j eff j j eff jj j

p pp p

x p y p

x yN N

Dette er statisk ækvivalent med normalkraften NP virkende i tværsnittets tyng-

depunkt sammen med momenterne:

0

0

( )

( )xp p

yp p p

pM y y N

M x x N

I en bjælke med rektangulært tværsnit primært beregnet for optagelse af lodret-

te belastninger vil forspændingeslinerne almindeligvis være placeret symmetrisk

om tværsnittets lodrette midterakse. Dermed bliver xP = xo og M2P = 0. Yderlige-

re er standardelementer altid simpelt understøttede, så for den projekterende vil

det være forholdene knyttet til optagelse af de positive momenter ved bjælke-

midte, der har interesse. Svarende til det i afsnit 7.2 gennemgåede vil det for en

sådan bjælke blive følgende ydeevner, der beregnes til brug for undersøgelser i

anvendelsesgrænsetilstanden:

220


0 1

1,0000 0 00

1, 0

1,0

1, 0

1,

( )

: ( 0) ( ) 0

: ( 0) ( )

·

bal p p P

p pTbalc bal

T T T

p pTcr balcr c ct cr bal ct

T T T

K ck T

M y y N M

N NIM MM y y M M

A I y A

N NIM MM y y f M M

A I y A

EI E I

f

I tillæg hertil vil leverandøren i sine detaljerede beregninger foretage en række

yderligere kontroller af spændingsniveauer i både beton og i forspændingsliner-

ne ved forskellige snit langs bjælkens længdeakse og ved forskellige belast-

ningssituationer. Eksempelvis vil en kraftig forspænding i en situation, hvor

bjælken kun er belastet af sin egenvægt, kunne udløse store trækspændinger i

bjælkens overside. Nær understøtningen vil det ydre moment være negligibelt,

så betonspændingen bliver:

01,

( ) (p balc

T T

N My h h y

A I )

For at undgå overskridelse af betonens trækstyrke i denne situation, vil leveran-

døren ofte være nødt til at indlægge ekstra forspændingsliner øverst i elementet

eller opbøje en del af forspændingslinerne ud mod elementenderne, så det re-

sulterende negative moment i tværsnittet reduceres. For standardelementer vil

disse forhold være indarbejdet, når leverandøren oplyser ydeevnerne.


I dette afsnit beskrives beregning af forspændte armerede bjælker i det reg-

ningsmæssige brudstadie. De forhold, der skal bestemmes i brudstadiet, er

brudmomentet MRd, forskydningskapaciteten VRd, hvor der tages højde for en

eventuel excentrisk placering af lasten samt den nødvendige forankringskraft,

for at kunne optage forskydning og vridning. Først beskrives rektangulære bjæl-

ker med vandret nullinje, og efterfølgende for mere komplicerede former med

skrå nullinje er beskrevet under afsnittet vilkårlige tværsnit.

221


For beregning af forskydning og vridning samt nødvendig forankringskraft, kan

for rektangulære bjælker henvises til afsnit 6.1.2 Forskydning, 6.1.3 Vridning,

6.1.4 Kombineret vridning og forskydning og 6.1.5 Forankring, da beregningerne

er identiske med dem for slapt armerede bjælker.

Beregningen af momentkapaciteten foregår helt analogt til beregningen for slapt

armerede bjælker, med den væsentlige undtagelse, at der skal tages højde for

forspændingstøjningerne i spændarmeringen.

7.3.2.1 Bøjning

I forbindelse med styrkeeftervisning af forspændte betonbjælker anvendes den

generelle metode for tværsnitsanalyse i EC2. Den generelle metode baserer sig

på en ikke-lineær arbejdskurve af betonen og en lineær-elastisk ideal-plastisk

arbejdskurve af armeringen.

7.3.2.2 Tværsnitsanalyse – generel metode

Ved tværsnitsanalyse af en bjælke i brudgrænsetilstanden anvendes resultater-

ne fra afsnit 2.1.3. Her blev resultanten af betonspændingerne, Nc, i tværsnittets

trykzone for en given betonkantspænding, 0, bestemt ved:

2 2 203

1

1 11 1 2 1 2ln

2 1cc

cc

cd

A B BN k B B

B B

NN

bxf

og med denne resultants moment om nullinien givet ved:

'' 3 3 3 2 204

1

1 11 2 1 3 1 6 1 6ln

3 2 1cc

A B BN k B B B

B B

Fejl! Objekter kan ikke oprettes ved at redigere feltkoder.

så resultantens placering målt fra nullinjen kan bestemmes som:

222


2c cd c

c cd c c

y N bx f N Ny x

N bxf N Nc


og ligevægtsligningerne for en bjælke løses.

Nc

Nac

Nat1

x

cc

c1

0 c

MRd

b

h

y’

c2 Nat2


Tværsnittet, der benyttes, er armeret med et lag liner i trykzonen med et areal

Asc og to lag liner i trækzonen med arealerne Ast1 og Ast2 og med den geometri-

ske placering givet ved cc, c1 og c2.



tryklaget sc og i træklagene st1 og st2 skrives som følgende, idet der tages hen-

syn til forspændingen af armeringen:

0

111 0

1

222 0

2

c scsc

c s

stst

c s

stst

t s

x c P

x A E

Ph x c

x A E

Ph x c

x A E


223


Trykarmeringen

000

0

min1/ 9

1 ·0,02 /

pdac sc s ac

s

acpd pd

sc pd ac acpd s s s

fA E for

EN

f fA f for

f E E E

20

Trækarmeringen

1 1 1

1

0001 1

0

min1/ 9

1 ·0,02 /

pdat st s at

s

atpd pd

st pd at atpd s s s

fA E for

EN

f fA f for

f E E E

1 20

2 2 2

2

0002 2

0

min1/ 9

1 ·0,02 /

pdat st s at

s

atpd pd

st pd at atpd s s s

fA E for

EN

f fA f for

f E E E

2 20

Hvor fyd er armeringens regningsmæssige flydespænding. Bemærk at det i oven-

stående er valgt at regne kræfterne i ”trykarmeringen” i bjælkeoversiden positi-

ve som tryk. Dette er alene gjort af hensyn til analogien med forholdene i slapt

armerede bjælker, der i kapitel 6 blev gennemgået efter sædvanlige konventio-

ner for jernbetonbjælker med trykarmering. Det er nu muligt at opstille lige-

vægtsligningerne, som vil bestemme tværsnittets bæreevne.


catatac NNNN 210


1 1 2'Rd c c ac at at 2M y N x c N h x c N h x c N

224


hvor y’ er afstanden fra nullinjen til betontrykspændingens resultant, som be-

stemmes i afsnit 2.1.1. MRd er tværsnittets momentkapacitet.

Her gives en kort opsummering af iterationsprocessen:

1. Det antages, at kanttøjningen i toppen af bjælken er lig brudtøjningen.

2. Herefter gættes på tøjningsfordelingen ved at gætte på placeringen af

nullinjen.

3. Det undersøges, om der er vandret ligevægt, hvis ikke gættes en ny nul-

linje dybde


tværsnittets nullinje.

7.3.2.3 Minimum- og maksimumarmering

Der skal sikres, at der ikke kan forekommer et skørt brud i bjælken. Det skal

sikres ved at armere bjælken med minimumsarmering. Minimumsarmering As,min

for en den langsgående trækarmering er ifølge EC2 givet ved:

0,1,min

0, 26max

0,0013

ctmt

p ks

t

fb d

fA

b d

bt er trækzonens middelbredde, for rektangulære tværsnit fås bt = b.



Armeringen begrænses i EC2 også med et maksimum for træk- eller trykarme-

ringens tværsnitsareal, As,maks:

, 0,04s maks cA A

Udtrykket gælder uden for områder med stød.

225


7.3.3 Eksempel – RB-bjælke

I dette eksempel betragtes en simpelt understøttet betonbjælke i brudgrænsetil-

standen. Bjælkens bæreevne bestemmes med hensyn til bøjning. For forskyd-

ning, vridning og forankring henvises til fremgangsmåden for slapt armerede

bjælker.




Regningsmæssig betontrykstyrke fcd = 40 MPa/1,4 = 28,6 MPa

Armering 10 stk. liner der hver har et tværsnitsareal på 93mm².

Asc = 186 mm2 Cc = 50 mm

Ast,2 = 372 mm2 C2 = 90 mm

Ast,1 = 372 mm2 C1 = 50 mm

Karakteristisk flydespænding for længdearmeringen

fyk = 1600 MPa

Regningsmæssig flydespænding for længdearmeringen

fyd = 1600 MPa/1,2 = 1333 MPa

Effektiv forspænding: 100 kN/line

420 m

m

300 mm

2 liner

2x4 liner

Bjl. Y6 pr. 150/200


226


Bjælken regnes belastet af følgende jævnt fordelte linjelaster

3,0 / 24,0 /

18,0 / 30,0 /g k

L R

p pkN m kN m

p pkN m kN m

Derudover forudsættes, at linerne kappes efter 2 døgn, og at bjælken ind til da

er opbevaret ved en relativ luftfugtighed på 80%. Herved bestemmes krybetallet

til 2,35. Derudover forudsættes det, at lasten påføres efter 28 døgn, og at bjæl-

ken opbevares ved en gennemsnitlig luftfugtighed på 50%. Herved bestemmes

krybetallet til 1,83. Ved levering, som antages at være efter to dage, findes

krybetallet til 0,90.

0,90 , 2,35 , 1,86Levering Lager Langtid

7.3.3.2 Brudgrænse, bøjning

Momentkapaciteten bestemmes ud fra en antagelse af, at tøjningen i toppen af

bjælken er lig brudtøjningen. Det er i afsnit 6.1.1.2 vist, at dette er en fornuftig

antagelse, når der benyttes massive rektangulære tværsnit.

Derudover gættes der på at nullinjen er placeret x = 171,6mm fra toppen af

bjælken. Dette giver anledning til følgende tøjninger i linerne jævnfør afsnit

7.3.2.2.

3

0000000

311 0

001 01

311 0

002 01

171,6 50 100·103,03 (p3,5

171,6 93·195.000

420 171,6 90 100·103,5

171,6 93·195.000

420 171,6 50 100·103,5

171,6 93·195.000

c scsc

c s

stst

c s

stst

c s

x c P

x A E

Ph x c

x A E

Ph x c

x A E

000

000

os. som træk)

8,75 (pos. som træk)

9,56 (pos. som træk)

227


Ud fra tøjningerne linierne kan kræfterne i stålet bestemmes

0 000 00

000

1600 /1, 23,03 6,8

195.000

3,03 ·93·2·195.000 110,1 (pos. som træk)

pdac

s

ac ac sc s

f

E

N A E kN

0 0 000 00 00

0001

13336,8 8,75 20

195.000

1/ 9 133393·4·1333 1 · 8,75 (pos. som træk)

0,02 1333/195.000 195.000

504,0

pd

s

at

f

E

N

kN

0 0 000 00 00

0001

13336,8 9,56 20

195.000

1/ 9 133393·4·1333 1 · 9,56 (pos. som træk)

0,02 1333/195.000 195.000

507, 4

pd

s

at

f

E

N

kN

Betonbidraget bestemmes jf. afsnit 6.1.1.2 til:

40 0,763 · 0,763·300·179,3·28,6 1175c c c c cdN f MPa N N bxf kN

Som kontrol af den gættede placering af nullinjen undersøges, om der er

vandret ligevægt:

1 20

0 110,1 504,0 507, 4 1121,5ac at at cN N N N

kN

Det ses at den gættede placering af nullinjen var korrekt, så omregning er ikke

nødvendig, og brudmomentet kan nu bestemmes ved at tage moment om nul-

linjen

1 1 2 2

3 3

3

'

0,582·171,6·1121,5·10 (171,6 50)·110,1·10 420 171,6 90 ·504,0·10

420 171,6 50 ·507,4·10

111,9 13,4 79,9 100,7 279,0

Rd c c ac at atM y N x c N h x c N h x c N

kNm

3

228


7.3.3.3 Anvendelsesgrænse, tværsnitskonstanter

Transformeret areal:

31 2( ) 300·420 12(186 372 372) 137·10T C sc st stA A A A A

Transformeret statisk moment om centerlinjen:

1 1 2 2

3 3

2 2 2

420 420 42012 186 50 372 90 372 50 893·10

2 2 2

T sc c st st

h h hS A c A c A c

mm

yT angiver placering af tværsnittets tyngdepunktsakse i forhold til tværsnittets

centerlinje:

3

3

893·106,5

137·10T

TT

Sy mm

A

Bemærk at yT her regnes positiv, når tyngdepunktsaksen ligger over centerlin-

jen. Dette betyder, at yT ofte vil være negativ.


2 223

1, 1 1 2 2

3

2 2 2

6

1

12 2 2 2

1300·420 300·420·( 6,5)²

12

420 420 42012 186 6,5 50 372 6,5 90 372 6,5 50

2 2 2

2082·10

T T sc T c st T st T

h h hI bh bhy A y c A y c A y c

mm

4

2

229


7.3.3.4 Laster på tværsnittet

Snitkræfter for forspændingen er givet ved.

10·100 1000PN k N

3 420 420 420100·10 · 2· -50+6,5 -4· -90-6,5 -4· -50-6,5

2 2 2

73,5

PM

kNm

Snitkræfter for ydre laster er:

218

218

218

·3,0·(7,2) 19

·18,0·(7,2) 117

·24,0·(7,2) 156

g

L

k

M kNm

M kNm

M kNm

7.3.3.5 Anvendelsesgrænse, spændingsbestemmelse

Ved levering er bjælken belastet af forspændingen og sin egenvægt, hvilket

giver betonspændingerne:

3 6 6

, 3 61,

3 6 6

, 3 61,

1000·10 19,6·10 73,5·10 4206,5 12,6

2 137·10 2082·10 2

1000·10 19,6·10 73,5·10 4206,5 1,69

2 137·10 2082·10 2

g pPc bund T

T T

g pPc top T

T T

M MN hy M

A I

M MN hy M

A I

Pa

Pa

I langtidstilstanden vil bjælken være belastet af forspændingskraften og lang-

tidslasten. Her vil spændingerne være som følger:

3 6 6

, 3 61,

3 6 6

, 3 61,

1000·10 117·10 73,5·10 4206,5 3,07

2 137·10 2082·10 2

1000·10 117·10 73,5·10 4206,5 11,8

2 137·10 2082·10 2

L pPc bund T

T T

L pPc top T

T T

M MN hy M

A I

M MN hy M

A I

Pa

Pa

230


Når de karakteristiske spændinger beregnes skal bjælken regnes belastet af

forspændingskræften og den karakteristiske last.

3 6 6

, 3 6

3 6 6

, 3 6

1000·10 156·10 73,5·10 4206,5 0,73

2 137·10 2082·10 2

1000·10 156·10 73,5·10 42015,86,5

2 137·10 2082·10 2

k pPc bund T

T T

k pPc top T

T T

M MN hy MPa

A I

M MN hMPay

A I

7.3.3.6 Anvendelsesgrænse, udbøjningsbestemmelse

Udbøjninger uden hensyn til krybning er givet nedenfor, for henholdsvis, for-

spænding, egenlast, langtidslast og karakteristisk last:

2 26

2 26

2 26

2 26

1 1 73,5(7,2) 8, 49

8 8 26934·2082·10

1 1 19, 4(7,2) 1,81

10 10 26934·2082·10

1 1 116,6(7,2) 10,78

10 10 26934·2082·10

1 1 155,5(7,2) 14,37

10 10 26934·2082·10

pp

k

gg

k

LL

k

kk

k

Mu L

EI

Mu L

EI

Mu L

EI

Mu L

EI

mm

mm

mm

mm

Ud for ovenstående udbøjninger for de forskellige laster kan udbøjningerne for

levering, langtidslast og karakteristisk last bestemmes.

( )·(1 )

(1,81 8, 49)·(1 0,90)

12,7

( )·(1 ) ( )·(1 )

(1,81 8, 49)·(1 2,35) (10,78 1,81)·(1 1,83)

3,0

( )·(1

Levering g p Levering

Langtid g p Lager L g Langtid

Karakteristisk g p Lager

u u u

mm

u u u u u

mm

u u u

) ( )·(1 ) ( )·(1 0)

(1,81 8, 49)·(1 2,35) (10,78 1,81)·(1 1,83) (14,37 10,78)·(1 0)

6,6

L g Langtid K Lu u u u

mm

Eksempel slut

231


7.4 Vilkårligt tværsnit med forspænding

Beregning af denne type tværsnit kræver mange delberegninger, der bedst eg-

ner sig for IT. I dette afsnit præsenteres de principper og matematiske modeller,

som IT-programmer til ingeniørmæssig anvendelse ofte baseres på. Se også

afsnit 7.5.

7.4.1 Anvendelsesgrænsetilstand, tværsnitsanalyse

For et tværsnit med det transformerede tværsnitsareal AT og med hovedinerti-

momenterne I1,t og I2,t om hovedakserne s og t kan betonspændingen i ethvert

punkt findes af formlen:

1 2

0 1, 2,

cc

T T T

E N M Mt s

E A I I

idet normalkræfter og spændinger i beton konventionelt regnes positive som

tryk. E0 er det transformerede tværsnits referencemodul, der med fordel kan

vælges som betonens E-modul. Nedenstående er kun gældende, så længe tvær-

snittet er urevnet, dvs. at den mindste betonspænding er større end betonens

trækstyrke.

Som vist på figuren er M1 og M2 de resulterende momenter om tværsnittets ho-

vedakser med normalkraften henført til tværsnittes tyngdepunkt.

I tværsnittet ligger desuden spændarmering i form af et antal forspændte stålli-

ner. Den enkelte line med arealet Aj regnes i det færdige element at have en

effektiv forspændingskraft af størrelsen ,eff j . Når der ikke optræder ydre nor-

malkræfter i elementet vil normalkraften N være i projektionsligevægt med den

resulterende forspænding i linerne.

,1

m

eff j pj

N p N

232


x

y

yj

xj

yo

b

x o

N

Aj

My

M2

M1

t

sv.

Mx sj

tj

Figur 7-6: Principper for førspændte elementer med vilkår-

Spændingen i den enkelte line hidrørende fra forspændingen er:

,, (positiv som træk)eff j

p jj

p

A

Dermed bliver den resulterende trækspænding i linen ved de aktuelle snitkræf-

ter:

,, ,

1, 2,

y exs j p j j j

T T T j

M pMNt s

A I I A

ff j

233


Til brug for tværsnitsanalysen er det nu opgaven at bestemme tværsnitskon-

stanterne AT, I1,T og I2,T og at finde hovedakserne (s, t) bestemt ved tværsnit-

tets tyngdepunkt (xo, yo) og drejningsvinklen, v1 i forhold til det (x, y)-

koordinatsystem, der vælges til at beskrive tværsnittet i.

I første omgang bestemmes tværsnitskonstanterne i forhold til dette (x, y)-

koordinatsystem. Med betonens elasticitetsmodul, Ec0, som referencemodul for

det transformerede tværsnit bliver det transformerede tværsnitsareal:

1c

m

t jjA

A dA

A

hvor Ac er betonarealet i tværsnittet. Fladeintegraler af typen ( , )A

f x y dA kan

med brug af Stokes sætning, omsættes til et kurveintegral langs tværsnittets

rand på følgende form:

( , ) ( , ) hvor ( , ) ( , )x

A K

f x y dA F x y dy F x y f x y

Endvidere regnes med, at tværsnittets omkreds består af n lineære stykker.

Dermed kan udtrykket for betonens andel af det transformerede tværsnitsareal

omskrives således:

1c i

n

iA K k

dA xdy xdy

Det i’te kurvestykke, Ki, er et linjestykke, der løber mellem punkterne (x1i, y1i)

og (x2i, y2i). Det kan dermed beskrives ved en parameter, r, der løber mellem

værdierne 0 og 1, på følgende form:

1 2 1

1 2 1 2 1

( )

( ) ( )i i i

i i i i i

x x r x x

y y r y y dy y y d

r

234


Denne parameterfremstilling indsættes i kurveintegralet:

1

1 2 1 2 10

12 1 2 12

[ ( )]( )

( )( )i

i i i i i

k

i i i i

xdy x r x x y y dr

x x y y

Dermed kan det transformerede tværsnitsareal alt i alt udtrykkes som simple

summationer direkte ved koordinaterne til hjørnepunkterne i tværsnittes om-

kreds og lineplaceringerne i det valgte (x, y)-system.

12 1 2 12

1 1

( )( )n m

T i i i ii i

jA x x y y A

Samme metodik anvendes for de øvrige tværsnitskonstanter i (x, y)-systemet.

Først de statiske momenter:

1

212

1 1

121

1 2 1 2 121 10

2 2 211 2 2 1 2 16

1 1

( ( )) ( )

( ) ( )

c

i

m

yT j jjA

n m

j ji jK

n m

i i i i i ji j

n m

i i i i i i j ji j

S xdA x A

x dy x A

jx r x x y y dr x A

x x x x y y x A

1

1 1

1

1 2 1 1 2 1 2 11 10

12 2 2 1 1 2 1 1 2 16

1 1

( ( ))( ( ))( )

(2 2 )( )

c

i

m

xT j jjA

n m

j ji jK

n m

i i i i i i i i ji j

n m

i i i i i i i i i i j ji j

S ydA y A

xydy y A

jx r x x y r y y y y dr y A

x y x y x y x y y y y A

235


Derefter inertimomenterne:

2 2

1

3 213

1 1

13 21

1 2 1 2 131 10

3 2 2 3 2 212 2 1 2 1 1 2 112

1 1

( ( )) ( )

( ) ( )

c

i

m

yT j jjA

n m

ji jK

n m

i i i i i ji j

n m


I x dA x A

x dy x A

x r x x y y dr x A

x x x x x x y y x A

2 2

1

2 2

1 1

13 2

1 2 1 1 2 1 2 11 10

2 2 2 2 212 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 112

1

2

1

( ( ))( ( )) ( )

( 3 2 2 3 ) ( )

c

i

m

xT j jjA

n m

ji jK

n m


n

i i i i i i i i i i i i i i i ii

m

jj

I y dA y A

xy dy y A

x r x x y r y y y y dr y A

x x x y x y y x y y x y x y y y

y A

Endvidere centrifugalmomentet:

1

212

1 1

121

1 2 1 1 2 1 2 121 10

2 2 2 2 212 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 124

1

( ( )) ( ( ))( )

( 3 2 2 3 ) ( )

c

i

m

xyT j j jjA

n m

j j ji jK

n m

i i i i i i i i j j ji j

n

i i i i i i i i i i i i i i i ii

Z xydA x y A

x ydy x y A

x r x x y r y y y y dr x y A

x y x y x x y x x y x y x y y y

1

m

j j jj

x y A

236


Når tværsnitskonstanterne i (x, y)-systemet er fundet, bestemmes tværsnittes

tyngdepunkt af:

0 0( , ) ,yT xT

T T

S Sx y

A A

Herefter henføres tværsnitskonstanterne til et koordinatsystem med akser paral-

lelle med x- og y-aksen og med origo i tværsnittets tyngdepunkt, idet størrelsen

af AT ikke påvirkes heraf:

20 0

20 0

0 0

y T yT T

x T xT T

0xy T xyT T

I I x A

I I y A

Z Z x y A

I dette koordinatsystem er de statiske momenter 0xT yTS S .

Endelig bestemmes tværsnittes hovedinertimomenter:

2

0 0 0 0 21 0

2

0 0 0 0 22 0

2 2

2 2

x T y T x T y TT x

x T y T x T y TT x

I I I II Z

I I I II Z

y T

y T

og drejningen af tværsnittes hovedakser i forhold til (x, y)-systemet bliver:

012

0 0

2arctan xy T

x T y T

Zv

I I

237


Drejningsvinklen benyttes til at transformere snitmomenter kendt i (x, y)-

koordinatsystemet til momenter efter tværsnittes hovedakser:

1

2

cos( ) sin( )

sin( ) cos( )

x y

x y

M M v M v

M M v M

v

Dette gælder både momenter hidrørende fra ydre kræfter og fra forspændingen.

Den resulterende tryknormalkraft, Np, i projektionsligevægt med forspændingen

virker i:

, ,1 1

, ,1 1

( , ) ,

m m

j eff j j eff jj j

p p m m

eff j eff jj j

x p y p

x yp p

Dette er statisk ækvivalent med normalkraften Np virkende i tværsnittets tyng-

depunkt sammen med momenterne:

0

0

( )

( )

xp p

yp p P

PM y y N

M x x N

svarende til følgende forspændingsmomenter virkende i hovedakserne:

1 0 0

2 0 0

{ ( ) cos ( )sin }

{ ( )sin ( )cos }

p p p

p p p

P

P

M y y v x x v N

M y y v x x v N

238


Ved analyse af forspændte elementer undersøges forholdene almindeligvis ved

følgende lastniveauer i anvendelsesgrænsetilstanden:

A. Forspænding plus elementets egenvægt, svarende til momentvirknin-

gerne

M1p + M1g og M2p + M2g.

B. Forspænding plus samlet, quasipermanent last, svarende til moment-

virkningerne

M1p + M1q og M2p + M2q.

C. Forspænding plus samlet, karakteristisk last, svarende til momentvirk-

ningerne

M1p + M1k og M2p + M2k.

For et af hjørnepunkterne i tværsnittes omkreds med koordinaterne (xi, yi) i (x,

y)-systemet bliver koordinaterne i forhold til hovedakserne:

0 0

0 0

( ) cos ( )sin

( )sin ( ) cosi i i

i i i

s y y v x x vN

t y y v x x vN

P

P

Betonspændingen i hjørnepunktet bliver dermed i de tre nævnte lastniveauer:

A: 1 1 2 2

,1 2

p g p gc A i i

t t t

M M M MNt s

A I I

B: 1 1 2 2

,1 2

p q p qc B i i

t t t

M M M MNt s

A I I

C: 1 1 2 2

,1 2

p k p kc C i i

t t t

M M M MNt s

A I I

239


Tilfælde A svarer til situationen, når forspændingslinerne kappes under element-

produktionen. Derfor kontrolleres normalt at:

, , 0,7ct k c A ckf f

hvor ckf og ,ct kf er betonens karakteristiske tryk- og trækstyrke på afformning-

tidspunktet.

I tilfælde B ønskes normalt hverken trykspændinger på mere end omkring 70 %

af betonens trykstyrke eller trækspændinger i betonen. Derfor sikres, at

,0 0,c B ck7 f

hvor ckf er betonens karakteristiske trykstyrke efter 28 modenhedsdøgn

I tilfælde C accepteres normalt, at betonspændingerne holder sig inden for føl-

gende interval:

, , 0,7ct k c C ckf f

hvor ckf og ,ct kf er betonens karakteristiske tryk- og trækstyrke efter 28 mo-

denhedsdøgn.

Ovennævnte grænser skal overholdes i alle omkredsens hjørnepunkter.

For forspændingsarmeringen vil man i alle tilfælde stræbe efter, at armerings-

spændingen ikke overstiger proportionalitetsgrænsen i nogen af linerne. Dette

volder ved sædvanlig elementproduktion normalt ingen vanskeligheder.

240


7.4.2 Brudgrænsetilstand, tværsnitsanalyse

I brudgrænsetilstanden er det nødvendigt at udføre tværsnitsanalysen som en

iterationsproces. Ved denne iterationsproces skønnes placeringen af snitlinjen,

eksempelvis givet ved nullinjens skæring, yo med y-aksen og drejningsvinklen,

v, i forhold til x-aksen.

x

y

ya

xa

yc N

NaM1

Mx

sv.

xc

c

tmax

Figur 7-7: Principper for førspændte elementer med vilkårlige tværsnit i

brudgrænsetilstanden

Til brug for analysen indlægges for hvert skridt i iterationsprocessen et (s, t)-

koordinatsystem som vist i figur 7-7 med s-aksen liggende i den skønnede nul-

linje. Da der i brudgrænsetilstanden ikke regnes med trækspændinger i betonen,

optræder i betontværsnittet kun trykspændingerne i trykzonen, hvis areal be-

nævnes A’c, der på figuren er vist skraveret.

241


I den hårdest trykkede fiber i tværsnittet svarende til ordinaten tmax vælges be-

tontryktøjningen, 0 , hvorefter tøjningerne overalt i tværsnittet kan bestemmes

ved:

0

max

tt

Ved praktiske anvendelser kan på den sikre side og uden væsentlig fejl benyttes

0 cu

Hermed kan også spændingerne i ethvert punkt i tværsnittet bestemmes ved

hjælp af arbejdskurverne for beton og forspændingsstål. Disse spændinger vil

være ækvalente med en trykkraft i betonen, Nc, angribende i (xc, yc) samt en

trækkraft i armeringen, Na, angribende i (xa, ya).

Det forudsættes nu, at den ydre normalkraft er NEd = 0, og at momentet om y-

aksen er givet som MEdy. Iterationsprocessen til bestemmelse af brudmomentet

om x-aksen kan så gennemføres efter følgende skema i figur 7-8:

Processen forenkles en del, hvis elementet fastholdes mod udbøjninger i x-

aksens retning, da man så kan sætte v = 0. I så fald er MEdy ikke givet, men

bestemmes af MEdy = Nc (xc – xa). Dette kan anvendes til at bestemme hvor

store reaktioner i x-aksens retning, der skal til for at fastholde elementet mod

udbøjning i denne retning.

I det generelle tilfælde bliver beregningerne ganske omfattende, men de kan

uden større vanskelighed automatiseres, når det grundlæggende formelsæt til

beregninger inden for et iterationstrin er på plads. Opstilling af dette formelsæt

gennemgås i det følgende som en dokumentation af den teoretiske baggrund for

de praktiske beregningsværktøjer.

242


y0 og v skønnes

Kontroller at Nc-Na=0

Ja Nej

For en given placering af (sj, tj)-systemet svarer til et sæt (xj, yj)-koordinater til:

0

0

cos ( )sin

sin ( )cos

j j j

j j j

s x v y y v

t x v y y

v

Denne transformation foretages for hver enkelt forspændingslines koordinater,

hvor den j’te forspændingslines koordinater i (s, t)-systemet betegnes (sj, tj).

Endvidere foretages transformationen for hvert enkelt hjørnepunkt i den trykke-

Ny værdi af y0 skønnes

Kontroller at Nc(xc-xa)=My

Ja Nej

Ny værdi af v skønnes

Brudmomentet om x-aksen bestemmes

Mud=Mx=Nc(yc-ya)

Figur 7-8: Procesdiagram

243


de zones stykkevist lineær omkreds. For det i’te lineære kurvestykke rundt langs

omkredsen betegnes begyndelsespunkt og slutpunkt henholdsvis (s1i, t1i) og

(s2i, t2i). Det gælder således, at (s1i+1, t1i+1) = (s2i, t2i).

For den enkelte forspændingsline kan tøjningen nu bestemmes af:

,, 0

max

eff j ja j

j s

p t

A E t

Ved tøjninger over flydegrænsen regnes med tøjningshærdningen som anført i

afsnit 2.3. Dermed bliver trækkraften i linen:

0

min0,1

10,9 / 0,9

pdj s aj aj

s

ajaj S pd pd

j ud aj udud c pd s

fA E for

EN

E f fA f for

E f E

j

Den resulterende trækkraft i forspændingslinerne bliver så:

1

m

a aj

N N

og denne resultant angriber i punktet (sa, ta):

1 1

m m

j aj j ajj j

a aa a

s N t N

s tN N

244


Næste skridt er at finde resultanten Nc, af betonspændingerne svarende til den

skønnede placering af nullinjen. Jævnfør afsnit 2.1 kan betonspændingen skrives

således som funktion af betontryktøjningen, c som følger:

21

1 1( 2)c c c

cc c

k

k

c

Med 0

maxc t

t

og hjælpekonstanterne:

0

1 max

0

1 max

0

1 max

(2 )

c

c

cdc

Ak t

B kt

D k ft

kan udtrykket for betonspændingen skrives:

2

( ) ,1

0 ,c

tD t A B t

Bt

t

0

0

Betontrykkets resultant findes nu som fladeintegralet over den trykkede del af

tværsnittet, Ac’:

2

( ( )1

c c

c c

A A

tN dA D t A B dA

Bt

245


I dette tilfælde anvendes Stokes sætning, så fladeintegralet omskrives til et

kurveintegral:

( , ) ( , ) hvor ( , ) ( , )x

A K

f x y dA F x y dy F x y f x y

Dermed omskrives fladeintegralet for Nc til:

2

2

1

( )1

( )1

c

K

m

i K

tN D s t A B dt

Bt

tD s t A B

Bt

dt

for det i’te kurvestykke, der løber lineært fra (s1i, t1i) til (s2i, t2i) på den trykkede

zones rand anvendes nu med fordel t som parameter, så parameterfremstillin-

gen ved t1i t2i bliver for linjestykket:

11 2 1

2 1

( ) ii i i

i i

t ts s s s

t t

t t

Med de lokale konstanter

1 2 2 1 2 1

2 1 2 1

i i i i i ii i

i i i i

s t s t s ss s

t t t t

kan udtrykket for s i parameterfremstillingen omskrives til:

i is s s t

246


Dermed bliver linjestykkets bidrag til Nc:

2

1

2

,

2, 3 4

1

2 12 3

2 22 12

3 32 1 1 2

,

( ) ( )1

1· ln

1

· ( )

· ( )2 2

· ( ) ,3

i

i

t

c i i it

ic i i i

i

i i i

i i i

i i i i

c

tN D s s t t A B dt

Bt

BtA B A BN D s s

B B Bt

A B A Bs s t t

B B

A A Bs s t t

B B

As t t t

B

N

it

1 20i i ifor t t

Betontrykresultanten er hermed bestemt:

,1

n

c ci

N N

i

Denne resultant ligger i afstanden tc fra s-aksen:

32

32

1

( )1

( )1

c c

i

c c c

A A

n

i K

tt N t dA t A B dt

Bt

tD s t A B dt

Bt

247


Med samme parameterfremstilling som anvendt ovenfor, bliver det i’te linjestyk-

kes bidrag:

2

1

32

24 5

1

2 13 4

2 22 12 3

2

( ) ( ) ( )1

1( ) · ln

1

· ( )

· ( )2

3 3

i

i

t

c c i i it

ic c i i i

i

i i i i

i i i i

i i

tt N D s s t t A B dt

Bt

BtA B A Bt N D s s

B B Bt

A B A Bs s t t

B B

A B A Bs s t t

B B

A A Bs s

B B

3 32 1

4 42 1 1 2

1 2

· ( ) ,

· ( ) ,4

( ) 0

i i

i i i i

c c i i i

t t

Ais t t t t

B

t N for t t

Dermed bliver:

1

( )n

c c ii

cc

t Nt

N

Endelig bestemmes udtrykket for betontrykresultantens afstand fra t-aksen:

2 221

21

( ) ( )1 1

c c i

n

c c ciA A K

t ts N s dA s t A B dt D s t A B dt

Bt Bt

248


Der anvendes atter samme parameterfremstilling, så bidraget fra det i’te kurve-

integral bliver:

2

1

22

2 23 4 5

1

22 12 3 4

2 3

( ) ( ) ( )1

1( ) · ln

2 2 1

· ( )2

4 2 4

i

i

t

c c i i it

ic c i i i i i

i

i i i i i i

i i i

ts N D s s t t A B dt

Bt

BtA B A B A Bs N D s s s s

B B B Bt

A B A B A Bs s s s t t

B B B

A A B A Bs s s

B B B

2 2 22 1

2 3 32 13 2

2 4 42 1 1 2

1 2

· ( )

· ( )3 6

· ( ) ,8

( ) 0

i i i

i i i i i

i i i i

c c i i i

s t t

A A Bs s s t t

B B

Ais t t t t

B

s N for t t

Dermed bliver:

1

( )n

c c ii

cc

s Ns

N

Koordinaterne til resultanterne af kræfterne i armering (sa, ta) og i betonen (sc,

tc) regnes nu tilbage til (x, y)-systemet:

0

0

cos( ) sin( )

sin( ) cos( )

cos( ) sin( )

sin( ) cos( )

a a

a a a

c a

c a a

a

a

x s v t v

y y s v t v

x s v t v

y y s v t

v

Hermed er alle størrelser til brug i et iterationstrin i proceduren beskrevet i over-

sigtsskemaet fastlagt på en form, der er egnet til programmering. Det er denne

metodik, der er anvendt i beregningsprogrammet, vist i følgende afsnit.

249



På www.bef.dk kan frit hentes et beregningsprogram, der håndterer samtlige

beregninger svarende til ovenstående afsnit 7.2,7.3 og 7.4. Nedenfor ses dette

programs brugerflade/udskrift med bjælken fra regneeksemplet fra afsnit 7.3.3

indlagt. Der ses at være god overensstemmelse i resultaterne.


Forspændte betonelementbjælker udføres ofte med asymmetriske tværsnit. Et

eksempel herpå er vist i figur 7-10, hvor den første udskrift svarer til en situati-

on, hvor en bjælke med det viste tværsnit påvirkes af rent lodrette linjelaste.

Som det fremgår af udskriften, medfører tværsnittets form, at der for lodret last

opstår både lodrette og vandrette udbøjninger, og at nullinjen i brudstadiet lig-

ger skråt ned gennem tværsnittet.

På figur 7-11 er de lodrette linjelaste suppleret med fornødne vandrette kræfter

til fastholdelse af bjælken i vandret retning både for langtidslast, for karakteri-

stisk last og for brudlast. I anvendelsestilstanden ses, at den vandrette fasthol-

250

http://www.bef.dk/


delse både aflaster spændingerne i tværsnittet og reducerer de lodrette udbøj-

ninger.

Sagsnavn: Sag nr.:Bygningsdel: Dato:Emne: Normale lastkombinationer, spændingsanalyse ved s = 4,80 m Init:

Element med hovedakser ved fagmidte Styrker fk fd Lager LangtidBeton 40 MPa 1,40 28,6 MPa 80% 55%

Liner 1600 MPa 1,20 1333 MPa 2 døgn 28 døgn

Bøjler 500 MPa 1,20 417 MPa 2,27 1,73

Forspændingsarmering Neutralisering ved s = 1,90 m

Mx y (mm) x- (mm) x+ (mm) max. min. A (mm2) Nf (kN)

Lag øv. 650 275 85 6 6 93 100Lag ml. 250 85 250 2 2 93 100Lag 4 0 0 0 0 0 0 0Lag 3 130 85 105 5 3 93 100Lag 2 90 85 105 5 3 93 100Lag 1 50 85 200 7 5 93 100Bøjler d (mm) a (mm) cot Samlet forspændingskraft

LODRETTE Tværsnitsgeometri - alle mål i mm Type 1 10 100 2,00 2500 kN

LASTE p1 p2 p3 P1 P2 P3 Krop: h0 = 700 b0 = 250 Type 2 10 125 2,00 234 mm

Langtidslast (kN/m) 43,0 0,0 0,0 (kN) 0 0 0 Hjørneblokke: Forskydningskapacitet Momentkapacitet

Kar. Last (kN/m) 48,0 0,0 0,0 (kN) 0 0 0 b1 b2 h2 h3 v/ trykbrud i krop: VRd,0 292 kN 901 kNm

Regnm. Last (kN/m) 55,0 0,0 0,0 (kN) 0 0 0 Blok A 200 200 150 150 v/ type 1 bøjler: VRd,1 270 kN Regningsmæssigt max. moment

Excentricitet (mm) 230 0 0 (mm) 0 0 0 Blok B v/ type 2 bøjler: VRd,2 216 kN 634 kNm

s1 (m) 0,00 0,00 0,00 (m) 0,00 0,00 0,00 Blok C Tværsnitskonstanter kort = Es / 0,7*Ecok = 7,2

s2 (m) 9,60 0,00 0,00 g = 6,00 kN/m, skal med i p1 Blok D 125 175 300 300 At 2,78E+05 mm2spændingsanalyse 12,0

TVÆRLAST v / langtidslast 0,0 kN/m Yderste liner i hvert lag mål- I1,t 1,49E+10 mm4Drejning af akser fra (x,y)-system:

v / kar. last 0,0 kN/m sættes fra kropmidte: x- og x+ I2,t 3,29E+09 mm4v = 0,369 rad

v / brudmoment 0,0 kN/m Lodret målsættes hvert lag liner Snitanalyse i s = 4,80 m Forsp. Langtidslast Kar. lastfra bjælkebund: y Mx (kNm) -258 495 553

SPÆNDVIDDE L = 9,60 m My (kNm) 12 0 0M1 (kNm) -236 462 516M2 (kNm) 104 -178 -199

Max. betonspændinger (MPa) 21,0 18,9 21,5- optræder ved: Blok C Blok B Blok B

Min. betonspændinger (MPa) -3,2 -0,6 -3,1- optræder ved: Blok B Blok C Blok C

Nedbøjninger Langtid Kar. last Lodret, uy (mm) 12,6 14,5 Vandret, ux (mm) 6,4 8,0

Bemærk: Beregningsmodulet er en beta-version. Der foreligger dermed ingen dokumenteret kvalitetsikring. NB: Resultaterne skal altid kontrolleres af ansvarlig statiker

Blok BLevering

-14,5

-13,9

-2518,0

Blok C-0,2

Egenvægt69

064

yf =

MRd

MEd

RH

too

Lineantal

Betonelement-Foreningen maj 2009

BetonelementhusetBjælke i modul D-E/12, stueetage

Krybedata

23 - 45452008-03-01

JFJ

FORSP. BJÆLKE, ver. beta-1


Linedata (pr. line)

Nf =

b1

b2

h2

h3

b1

b1 b1

b2b2

b2

h3

h3

h3

h2h2

h2

Blok DBlok C

Blok A Blok B

Krop

h0

b0

c

x- x+

½ ½

yPp

s2

s1

s1

L


0

50

100

150

200

250

300

350:

:

:

:

VEd

VRd,1

VRd,2

z cot

Retning for ux

og tværlast

: L / 10


I brudtilstanden ses, hvorledes nullinjen drejes til vandret for den påførte tvær-

last samtidig med, at momentkapaciteten over for lodret last stiger fra 901 kNm

til 1087 kNm. Til gengæld ses, at der fordres ganske store tværkræfter for at

fastholde en bjælke med denne tværsnitsform mod vandret udbøjning i et ni-

veau omkring 35 % af den lodrette linjelast. Dette skal man være opmærksom

på, fordi kræfter af denne størrelse kan være vanskelige at overføre gennem

dækskiven. I det aktuelle eksempel overføres en trækforankringskraft til dæk-

ket, som hviler på bjælkekonsollen i højre side, af størrelsen 20 kN/m, hvilket

betyder, at der til hver bjælkeende skal overføres en vandret trykkraft af stør-

relsen:

12 9,6 20 / 96xF m kN m kN

251


252

samtidig med at dækket langs bjælken skal fungere som en vandret bjælke.

Snitkræfter af denne type kan ofte være vanskelige at overføre.

En praktisk løsning vil ofte være, at der sikres mulighed for at overføre de for-

nødne vandrette kræfter til fastholdelse af bjælken mod vandret udbøjning i

anvendelsestilstanden; medens man lader bjælken bøje vandret ud i brudtil-

standen.

Sagsnavn: Sag nr.:Bygningsdel: Dato:Emne: Normale lastkombinationer, spændingsanalyse ved s = 4,80 m Init:

Element med hovedakser ved fagmidte Styrker fk fd Lager LangtidBeton 40 MPa 1,40 28,6 MPa 80% 55%

Liner 1600 MPa 1,20 1333 MPa 2 døgn 28 døgn

Bøjler 500 MPa 1,20 417 MPa 2,27 1,73

Forspændingsarmering Neutralisering ved s = 1,90 m

Mx y (mm) x- (mm) x+ (mm) max. min. A (mm2) Nf (kN)

Lag øv. 650 275 85 6 6 93 100Lag ml. 250 85 250 2 2 93 100Lag 4 0 0 0 0 0 0 0Lag 3 130 85 105 5 3 93 100Lag 2 90 85 105 5 3 93 100Lag 1 50 85 200 7 5 93 100Bøjler d (mm) a (mm) cot Samlet forspændingskraft

LODRETTE Tværsnitsgeometri - alle mål i mm Type 1 10 100 2,00 2500 kN

LASTE p1 p2 p3 P1 P2 P3 Krop: h0 = 700 b0 = 250 Type 2 10 125 2,00 234 mm

Langtidslast (kN/m) 43,0 0,0 0,0 (kN) 0 0 0 Hjørneblokke: Forskydningskapacitet Momentkapacitet

Kar. Last (kN/m) 48,0 0,0 0,0 (kN) 0 0 0 b1 b2 h2 h3 v/ trykbrud i krop: VRd,0 302 kN 1087 kNm

Regnm. Last (kN/m) 55,0 0,0 0,0 (kN) 0 0 0 Blok A 200 200 150 150 v/ type 1 bøjler: VRd,1 284 kN Regningsmæssigt max. moment

Excentricitet (mm) 230 0 0 (mm) 0 0 0 Blok B v/ type 2 bøjler: VRd,2 227 kN 634 kNm

s1 (m) 0,00 0,00 0,00 (m) 0,00 0,00 0,00 Blok C Tværsnitskonstanter kort = Es / 0,7*Ecok = 7,2

s2 (m) 9,60 0,00 0,00 g = 6,00 kN/m, skal med i p1 Blok D 125 175 300 300 At 2,78E+05 mm2spændingsanalyse 12,0

TVÆRLAST v / langtidslast -2,2 kN/m Yderste liner i hvert lag mål- I1,t 1,49E+10 mm4Drejning af akser fra (x,y)-system:

v / kar. last -3,6 kN/m sættes fra kropmidte: x- og x+ I2,t 3,29E+09 mm4v = 0,369 rad

v / brudmoment -20,0 kN/m Lodret målsættes hvert lag liner Snitanalyse i s = 4,80 m Forsp. Langtidslast Kar. lastfra bjælkebund: y Mx (kNm) -258 495 553

SPÆNDVIDDE L = 9,60 m My (kNm) 12 25 41M1 (kNm) -236 471 531M2 (kNm) 104 -155 -161

Max. betonspændinger (MPa) 21,0 17,4 19,0- optræder ved: Blok C Blok B Blok B

Min. betonspændinger (MPa) -3,2 1,0 -0,5- optræder ved: Blok B Blok C Blok C

Nedbøjninger Langtid Kar. last Lodret, uy (mm) 10,8 12,2 Vandret, ux (mm) 0,0 0,0

Bemærk: Beregningsmodulet er en beta-version. Der foreligger dermed ingen dokumenteret kvalitetsikring. NB: Resultaterne skal altid kontrolleres af ansvarlig statiker

Blok BLevering

-14,5

-13,9

-2518,0

Blok C-0,2

Egenvægt69

064

yf =

MRd

MEd

RH

too

Lineantal

Betonelement-Foreningen maj 2009

BetonelementhusetBjælke i modul D-E/12, stueetage

Krybedata

23 - 45452008-03-01

JFJ

FORSP. BJÆLKE, ver. beta-1


Linedata (pr. line)

Nf =

b1

b2

h2

h3

b1

b1 b1

b2b2

b2

h3

h3

h3

h2h2

h2

Blok DBlok C

Blok A Blok B

Krop

h0

b0

c

x- x+

½ ½

yPp

s2

s1

s1

L


0

50

100

150

200

250

300

350 :

:

:

:

VEd

VRd,1

VRd,2

z cot

Retning for ux

og tværlast

: L / 10


8SØJlEr oG

VÆGElEMEnTEr

8 SØJLEROGVÆGELEMENTER


8.1.1 Tværsnitsanalyse–generelmetode

8.1.2 Dannelseafbæreevnekurvervedbrugafdesigndiagrammer

8.1.3 Minimumogmaksimumarmering

8.1.4 Eksempel–Søjleberegningibrudgrænsetilstanden


8.2.1 Eksempel–urevnettværsnit

8.2.2 Udbøjningforrevnettværsnit


8.4 Skævbøjning

8.4.1 Eksempel,skævbøjning

8 | Søjler og vægelementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK


I dette afsnit beskrives beregning af søjler og vægge i brudgrænsetilstanden.

Den generelle metode for tværsnitsanalyse gennemgås, og det demonstreres,

hvorledes der kan opstilles en rationel interationsprocedure til brug for nøjagtig

bestemmelse af søjler og vægges kapacitet over for kombinationer af excentrisk

virkende normalkraft og tværbelastning.

Det vises, hvordan en bæreevnekurve kan dannes ved hjælp af designdiagram-

mer, og der præsenteres en række dimensionsløse designdiagrammer, der di-

rekte kan anvendes i praktisk projektering.

Endvidere behandles tilfældet for skæv udbøjning, hvor udbøjningen sker i en

anden retning end tværsnittets hovedakser. Dette er primært relevant for søjler.

8.1.1 Tværsnitsanalyse – generel metode

Ved tværsnitsanalyse af en søjle eller en væg i brudgrænsetilstanden anvendes

resultaterne fra afsnit 2.1.1. Her blev resultanten af betonspændingerne, Nc, i

tværsnittets trykzone for en given betonkantspænding, 0, bestemt ved:

2 2 203

1

1 11 1 2 1 2ln

2 1cc

A B BN k B B

B B

cc

cd

NN

bxf

og med denne resultants moment om nullinjen givet ved:

'' 3 3 3 2 204

1

1 11 2 1 3 1 6 1 6ln

3 2 1cc

A B BN k B B B

B B

2

' cc

cd

y NN

bx f

254

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Søjler og vægelementer | 8

kan resultantens placering målt fra nullinjen bestemmes som:

2c cd c

c cd c c

y N bx f N Ny x

N bxf N Nc


og ligevægtsligningerne for en søjle/væg opstilles og løses.

Ved beregning af armeringsbidraget, skal der tages hensyn til krybningen. Det

gøres ved at øge betonens tøjning med faktoren (1 + ef), hvor ef er det effek-

tive krybetal givet ved:

0

moment fra langtidslast

moment fra samlet lastef

På denne måde medtages kun krybning fra den del af lastpåvirkningen, der er

langvarig. Bidraget fra krybning får ikke indflydelse på betonens spændingsblok,

men på de samhørende armeringstøjninger og udbøjninger.

Nc Nac

Nat

x

c

c

ef0 c

MRd

b

h

y’

NRd


255


Det viste tværsnit er armeret med et lag tryk/træk-stænger i hver side, med

armeringsarealerne Asc og Ast. Armeringen er placeret i afstanden c fra beton-

kanten.

De geometriske betingelser for armeringstøjningerne er:

0

0

1

1

sc ef

st ef

x c

xh x c

x

Dermed kan tryk/trækkræfterne i armeringen udtrykkes ved:

Trykarmeringen:

ydsc

sscefac

fA

EAx

cxN 01

min

Trækarmeringen:

ydst

sstefat

fA

EAx

cxhN 01

min

Det er nu muligt at opstille ligningerne for den statiske ækvivalens, som fører

frem til bestemmelse af tværsnittets bæreevne, der for en given ydre normal-

kraft, NEd, udtrykkes ved det maksimale lastfremkaldte 1. ordens moment, som

søjlen samtidig kan optage. For en given kanttøjning, 0, og given ydre normal-

kraft, NEd, repræsenterer projektionsligningen,

Ed c ac atN N N N

for x < h en andengradsligning til bestemmelse af nullinjedybden x, eftersom

det fundne udtryk for Nc’ er uafhængigt af x, når = 0. Ved store normalkraftni-

veauer bliver x > h, og udtrykket for Nc’ bestemmes da først med skønnet værdi

af = (h – x)/x, hvorefter en ny værdi af x findes ved løsning af andengradslig-

256


ningen. Hertil hører en ny værdi af , der indsættes i udtrykket for Nc’, og an-

dengradsligningen løses på ny. Denne iterationsproces konvergerer i løbet af ret

skridt.

det totale tværsnitsmoment

mkring søjlens centerlinje af momentligningen

få

Når x er bestemt ved projektionsligningen, findes

o :

ataccRd NchNchNyxhM

21

21

'21

hvor y’ er afstanden fra nullinjen til betontrykspændingens resultant. Ved at

opstille momentligningen omkring tværsnittets centerlinje frem for omkring nul-

njen opnås et momentudtryk, der er velegnet til lineær programmering

fra momentforøgelsen når

øjlen deformeres ud fra sit lodrette plan, NEdu.

jlen/væggen kan belastes med, findes ud

a søjlens ligevægtsligning:

li

Momentbelastningen på en søjle/væg udgøres af to bidrag. Dels det lastfrem-

kaldte 1. ordens moment M0Rd fra en tværlast og / eller en excentrisk placeret

normalkraft. Dels 2. ordens momentet hidrørende

s

For en given kanttøjning, 0, og given ydre normalkraft, NEd, kan det maksimale

lastfremkaldte moment, M0Rd, som sø

fr

0

0 20

11

10

Rd Rd Ed

ef

Rd Rd Ed s

M M N u

M M N Lx

Her udnyttes at søjlen/væggens krumning er tilnærmelsesvis parabelformet,

med en formfaktor for krumningsforløbet på ca. 10. Det vil sige, at udbøjningen

r givet ved:

e

2max

1

10 su L

257


Hvor Ls er søjlelængden og krumningen, max, udgør forholdet mellem kanttøj-

ningen og dennes afstand til nullinjen:

0

max

1 ef

x

Hermed er alle de nødvendige udtryk til en iterativ bestemmelse af søjlens bæ-

reevne klar. Iterationsprocessen kan med given ydre normalkraft, NEd, resume-

res således:

1. Først vælges en værdi for kanttøjningen 0.

2. Herefter bestemmes x ud fra projektionsligningen.


tværsnittets centerlinje.

4. Momentkapaciteten med hensyn til det lastfremkaldte 1.-ordens moment

M0Rd fås ved at trække udbøjningstillægget fra den samlede momentka-

pacitet.

5. En ny værdi af kanttøjningen vælges, og det undersøges om resultatet

for M0Rd er gunstigere.

Ved at gennemføre denne proces for et antal forskellige værdier af NEd, findes en

række sammenhørende punkter (NEd, M0Rd), der tilsammen definerer søjlens

eller væggens bæreevnekurve i et (NEd,M0rd)-diagram.

Det er den her beskrevne metode, der ligger til grund for beregningsmodulerne

præsenteret i afsnit 8.3.

8.1.2 Dannelse af bæreevnekurver ved brug af designdiagrammer

Det er især som følge af de ulineære effekter, at det i praksis er hensigtsmæs-

sigt at danne en bæreevnekurve for den søjle eller væg som betragtes. Når bæ-

reevnekurven fremstilles i et (Nd,M0rd)-diagram kan man enkelt kontrollere man-

ge lasttilfælde blot ved at sikre, at punkterne svarende til de værdier af NEd og

M0Ed, som søjlen eller væggen belastes af, ligger inden for bæreevnekurven.

258


Som nævnt kan bæreevnekurven dannes ved at gennemregne et antal punkter

ud fra den generelle metode, som er angivet i afsnit 8.1.1. Denne iterative be-

regningsprocedure er omstændelig at anvende som en håndregningsmetode.

Derfor præsenteres i det efterfølgende en række designdiagrammer i form af

dimensionsløse (NEd,M0rd)-diagrammer, som i mange tilfælde vil være tilstræk-

kelige til brug for en bæreevneeftervisning.

Diagrammerne med armeringens centerafstand c < 0,1 h vil normalt være vel-

egnede til vægge og søjler med tværsnitsdimensioner på mindst 300 mm; mens

diagrammerne med c < 0,2 h primært er tænkt til anvendelse ved vægge og

vægsøjler med mindre tværsnitsdimension.

På figur 8-2 er vist, hvorledes bæreevnekurven kan se ud, og hvorledes en sim-

plificeret beregning danner en bæreevnekurve på den sikre side. Af figuren ses,

at det ofte vil være tilstrækkeligt at omsætte designdiagrammerne til en bære-

venekurve ud fra ganske få repræsentative punkter. Ved at trække rette linjer

mellem disse punkter dannes en konservativ bæreevnekurve.

Designdiagrammerne i figur 8-3 til figur 8-13 giver en simpel måde at bestem-

me bæreevnen af en søjle eller væg for en given lastkombination. Ved at be-

tragte 3-4 repræsentative lastkombinationer kan en konservativ bæreevnekurve

optegnes. Designdiagrammerne angiver en enhedsløs sammenhæng mellem

normalkraften på en søjle eller væg og den dertil hørende momentkapacitet.

Kurverne afhænger af tværsnittets armeringsgrad, som for trækarmeringen

defineres:

' st ydt

cd

A f

bhf

Trykarmeringens armeringsgrad fås på tilsvarende vis.

259


DCBAEFGHI0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500N (kN)

M (

kNm

)

Figur 8-2: Nøjagtig bæreevnekurve (stiplet) i forhold til simplificeret

bæreevnekurve dannet ved hjælp af designdiagrammer (sort). Øverst

er vist bæreevnekurven for en kort søjle og nederst er vist bæreevne-

kurven for en slank søjle.

DCBAEFGHI0

10

20

30

40

50

60

70

0 100 200 300 400 500 600 700N (kN)

M (

kNm

)

260


8.1.2.1 Søjler

Diagrammerne er ikke gældende for vilkårlige tværsnit. Forudsætninger for brug

af diagrammerne er følgende:

Tværsnitsform: Gælder for rektangulære tværsnit

Betonstyrke: 20 MPa fck 50 MPa

Armeringsstyrke: 400 MPa fck 600 MPa

Afstand fra betonkant til center af hovedarmering, c h/10

Effektivt krybetal: ef = 1,6 svarende til tørt indeklima. Lavere

værdier af det effektive krybetal giver bæreevner

på den sikre side.

Herunder ses designdiagrammer for armeringsgraderne ’ = 0,05, ’ = 0,075,

’ = 0,10 og ’ = 0,125.

Ls/h = 10

Ls/h = 15

Ls/h = 20Ls/h = 25

Ls/h = 30

Ls/h = 5

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

0,16

0,18

0,20

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

M0Rd/bh2fcd

N/bhfcd

c = t = 0,05

Figur 8-3: Designdiagram til bestemmelse af bæreevne for søjler

261


Ls/h = 10

Ls/h = 15

Ls/h = 20

Ls/h = 25

Ls/h = 30Ls/h = 35

Ls/h = 5

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

0,16

0,18

0,20

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

M0Rd/bh2fcd

N/bhfcd

c = t = 0,075


Ls/h = 10

Ls/h = 15

Ls/h = 20

Ls/h = 25

Ls/h = 30Ls/h = 35

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

0,16

0,18

0,20

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

Ls/h = 5

M0Rd/bh2fcd

N/bhfcd

c = t = 0,10


262


Ls/h = 10

Ls/h = 15

Ls/h = 20

Ls/h = 25

Ls/h = 30Ls/h = 35

Ls/h = 5

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

0,16

0,18

0,20

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

M0Rd/bh2fcd

N/bhfcd

c = t = 0,125


8.1.2.2 Tyndere vægge og vægsøjler

Mange vægge udføres med en tykkelse på 120, 150 eller 180 mm. I så fald kan

diagrammerne i afsnit 8.1.2.1 ikke umiddelbart anvendes, fordi den lodrette

armerings centerafstand til vægoverfladen bliver større end h/10. I de efterføl-

gende diagrammer er vist designdiagrammer til brug for den type vægge og

søjler med følgende forudsætninger:

Betonstyrke: 20 MPa fck 50 MPa

Armeringsstyrke: fyk = 500 MPa

Afstand fra betonoverside til center armering: c 0,2 h

Diagrammerne er afstemt med forholdene svarende til tørt indeklima (RH =

50%) og med et forhold mellem momenter svarende til henholdsvis quasiper-

manent last og brudlast (M0Ed / MEq) af størrelsen 75%.

263


Da betonelementvægge ofte udføres med armering kun svarende til den nød-

vendige transportarmering, er i diagrammerne medtaget bæreevnekurver helt

ned til mekaniske armeringsgrader på c = t = 0,015.

Ls /h = 16L

s /h = 18

Ls /h = 20

Ls /h = 22

Ls /h = 24

Ls/h = 260,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,10

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

M/bh2fcd

N/bhfcd

c = t = 0,015

Figur 8-7: Designdiagram til bestemmelse af bæreevne for vægge og

vægsøjler

264


Ls /h = 16

Ls /h = 18

Ls /h = 20

Ls /h = 22

Ls /h = 24

Ls/h = 260,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,10

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

M/bh2fcd

N/bhfcd

c = t = 0,025

Figur 8-8: Designdiagram til bestemmelse af bæreevne for vægge og

vægsøjler

Ls /h = 16

Ls /h = 18

Ls /h = 20

Ls /h = 22

Ls /h = 24

Ls/h = 260,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,10

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

M/bh2fcd

N/bhfcd

c = t = 0,050

Figur 8-9: Designdiagram til bestemmelse af bæreevne for vægge

og vægsøjler

265


Ls /h = 16

Ls /h = 18

Ls /h = 20

Ls /h = 22

Ls /h = 24

Ls/h = 260,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,10

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

M/bh2fcd

N/bhfcd

c = t = 0,075


og vægsøjler

Ls /h = 16

Ls /h = 18

Ls /h = 20

Ls /h = 22L

s /h = 24

Ls/h = 26

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,10

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

M/bh2fcd

N/bhfcd

c = t = 0,100


og vægsøjler

266


8.1.3 Minimum og maksimum armering

I dette afsnit refereres nogle af de regler, der er anført i EC2, for minimum og

maksimum armering af betonsøjler og vægge.

8.1.3.1 Søjler

Længdearmering

Længdearmeringen skal placeres, så der er mindst én armeringsstang i hvert af

søjletværsnittets hjørner. For cirkulære søjler benyttes mindst fire længdearme-

ringsstænger.

Længdearmeringen i en søjle bør ikke være under 8 mm i diameter.

Den totale mængde længdearmering skal være større end As,min:

,min

0,10

max

0,002

Ed

yds

c

N

fA

A

NEd er den regningsmæssige normalkraft

fyd er den regningsmæssige flydespænding for armeringen

Ac er tværsnitsarealet af betontværsnittet

Samtidig bør arealet af længdearmeringen ikke overstige As,maks:

, 0,04s maks cA A

Udtrykket gælder uden for områder med stød. Ved stød kan As,maks = 0,08Ac

benyttes.

267


Tværarmering

Diameteren for tværarmeringen bør være mindst 6 mm eller en fjerdedel af

længdearmeringsstængernes største diameter.

Afstanden mellem tværarmeringen bør ikke overstige scl,maks givet ved:

,

20 gange diameteren af længdearmeringen

min Den mindste søjledimension

400 mmcl makss

8.1.3.2 Vægge

Lodret armering

Arealet af den lodrette armering bør være mellem As,vmin og As,vmaks givet ved:

, min 0,002s v cA A

, 0,04s vmaks cA A

Hvis minimumsarealet er dimensionsgivende, bør halvdelen af dette areal place-

res ved hver overflade.

Afstanden mellem to tilstødende lodrette stænger må hverken overstige 3 gange

vægtykkelsen eller 400 mm.

Vandret armering

Arealet af den vandrette armering bør være mindst As,hmin givet ved:

, minc

25% af den lodrette armeringmax

0,001As hA

Afstanden mellem to vandrette de vandrette armeringsstænger bør ikke være

større end 400 mm.

268


8.1.4 Eksempel – Søjleberegning i brudgrænsetilstanden

I dette eksempel ses på hjørnesøjlen i modul B/4 fra lastnedføringseksemplet

afsnit 3.5.5. Søjlen dimensioneres for udbøjning om begge akser samt en kom-

bination heraf.




Regningsmæssig betontrykstyrke fcd = 35 MPa/1,4 = 25 MPa

Armering 4 stk. Y16, én i hvert hjørne: Asc = 402 mm2

Ast = 402 mm2

c = 40 mm

Karakteristisk flydespænding fyk = 500 MPa

Regningsmæssig flydespænding fyd = 500 MPa/1,2 = 417 MPa

Søjlelængde Ls = 3500 mm om begge akser.

Figur 8-12: Søjleplacering og tværsnit

Bjl. Y6 pr. 200 mm

420 m

m

300 mm

2 stk. Y16

2 stk. Y16

A

B

C

41 7

269


8.1.4.2 Udbøjning om den stærke akse

Designdiagrammerne afsnit 8.1.2 benyttes til at danne en bæreevnekurve for

tværsnittet.

Armeringsgrad og forholdet mellem søjlelængde og tværsnitshøjde udregnes:

402 417' ' 0,053

300 420 25

yd

t ccd

Af

bhf

35008,3

420 sL

h

Der vælges nogle repræsentative værdier af den dimensionsløse størrelse

Nd/(bhfcd)

0,000 0,000 300 420 25 0kN

0, 440 0, 440 300 420 25 1386kN

0,760 0,760 300 420 25 2394kN

EdEd

cd

EdEd

cd

EdEd

cd

NN

bhf

NN

bhf

NN

bhf

Herefter aflæses kurverne for armeringsgraderne ' 0,05 og ' 0,075 , og

der interpoleres mellem de aflæste værdier:

0,000Ed

cd

N

bhf

02

' 0,05 0,040Rd

cd

M

bh f

02

' 0,075 0,060Rd

cd

M

bh f

02

0,053 0,050' 0,053 0,040 0,060 0,040 0,042

0,075 0,050Rd

cd

M

bh f

270


0,440Ed

cd

N

bhf

02

' 0,05 0,122Rd

cd

M

bh f

02

' 0,075 0,140Rd

cd

M

bh f

02

0,053 0,050' 0,053 0,122 0,140 0,122 0,124

0,075 0,050Rd

cd

M

bh f

0,760Ed

cd

N

bhf

02

' 0,05 0,062Rd

cd

M

bh f

02

' 0,075 0,073Rd

cd

M

bh f

02

0,053 0,050' 0,053 0,062 0,073 0,062 0,063

0,075 0,050Rd

cd

M

bh f

Søjlens momentkapacitet svarende til normalkraftpåvirkningerne bliver nu:

2

0 0kN 0,042 300 420 25 56kNm Rd EdM N

2

0 1386kN 0,124 300 420 25 164kNm Rd EdM N

2

0 2394kN 0,063 300 420 25 83kNm Rd EdM N

I Figur 8-13 er søjlens bæreevnekurve vist sammen med den tilnærmede defi-

neret ved punkterne A, B og C.

271


C

B

A

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500N Rd (kN)

M 0Rd (kNm)

Figur 8-13: Bæreevnekurve (iht. www.bef.dk, Søjleelementer) og tilnærmet

bæreevnekurve, bøjning om stærk akse (punkteret)

Søjlen undersøges for lasttilfælde A - I fra hovedtilfælde I-a som beskrevet i

kapitlet om lodrette lastvirkninger afsnit 3.5.5. Søjlen regnes tværbelastet af

vindlast på facaden med en lastbredde på 2,8 m.

Vindlasten udregnes i henhold til EC1.

Maksimal vind:

kN1,0 1,5 0,7 0,8 0,2 2,8 2,94

m

e FI p e pew K q z c lastbredde

Reduceret vind:

0

kN1,0 1,5 0,3 0,7 0,8 0,2 2,8 0,88

m

e FI p e pew K q z c lastbredde

272


Derudover skal der tages højde for det moment, der fremkommer ved, at nor-

malkræfterne er placeret excentrisk i forhold til søjlens centerlinje. N0 er reakti-

onen fra overliggende etager. N1 og N2 stammer fra bjælken i modullinje B, se

lastnedføringseksemplet afsnit 3.5.5.

e0

N0

e2 e1

N2 N1

w

420 mm

Figur 8-14: Belastning og geometri for bøjning om stærk akse

Følgende excentriciteter fås ved anvendelse af retningslinjerne fra afsnit 3.3.1,

idet den generelle udførelsestolerance T sættes til 20 mm. Endvidere skal det

bemærkes, at lastandelene N1 og N2 fra dækket over den betragtede søjle påvir-

ker søjlen indirekte via bjælkerne i bærelinjen, og at excentriciteterne e1 og e2

273


derfor svarer til afstanden fra søjle-/bjælkesystemets centerplan ud til placerin-

gen af dækkenes lodrette reaktion på bjælken:

0

1

2

20

233

200

e m

e m

e m

m

m

m

Nedenstående skema giver en opsummering af søjlens brudlasttilfælde under

hovedtilfælde I-b svarende til den farligste udbøjningsretning omkring den stær-

ke akse.

N1 N0 N2 w NEd M0Ed

A 63 114 24 2,94 200 16,7

B 139 114 24 2,94 277 34,6

C 139 403 24 2,94 566 40,4

D 139 403 52 2,94 595 34,6

E 165 114 24 0,88 302 37,3

F 165 403 24 0,88 591 43,1

G 165 403 62 0,88 630 35,4

H 165 438 24 0,88 626 43,8

I 165 438 62 0,88 664 36,1

Figur 8-15: Opsummering af søjlens lasttilfælde, stærk akse

NEd er søjlens samlede regningsmæssige lodrette belastning og fås som:

1 0 EdN N N N2

Søjlens regningsmæssige 1.-ordens-moment M0Ed fås som en sum af momentbi-

draget fra de excentrisk placerede normalkræfter og momentbidraget fra tvær-

lasten.

20 1 1 0 0 2 2

1

8 EdM N e N e N e wl

274


På Figur 8-16 er de 9 lasttilfælde vist i et M-N-diagram sammen med søjlens

bæreevnekurve.

A

EB

CDFGHI

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500N Rd (kN)

M 0Rd (kNm)

Figur 8-16: Søjlens lasttilfælde vist i et M-N diagram

8.1.4.3 Udbøjning om den svage akse

Bæreevnekurven for udbøjning om den svage akse dannes ligeledes ved brug af

designdiagrammerne afsnit 8.1.2.

Armeringsgrad og forholdet mellem søjlelængde og tværsnitshøjde udregnes:

402 417' ' 0,053

420 300 25

yd

t ccd

Af

bhf

350011,7

300 sL

h

275


Der vælges nogle repræsentative værdier af den dimensionsløse størrelse

Nd/(bhfcd)

0,000 0,000 420 300 25 0kN

0,400 0,400 420 300 25 1260kN

0,740 0,740 420 300 25 2331kN

EdEd

cd

EdEd

cd

EdEd

cd

NN

bhf

NN

bhf

NN

bhf

Herefter aflæses kurverne for armeringsgraderne ' 0,05 og ' 0,075 , og

der interpoleres mellem de aflæste værdier:

0,000Ed

cd

N

bhf

02

' 0,05 0,040Rd

cd

M

bh f

02

' 0,075 0,060Rd

cd

M

bh f

02

0,053 0,050' 0,053 0,040 0,060 0,040 0,042

0,075 0,050Rd

cd

M

bh f

0,400Ed

cd

N

bhf

02

' 0,05 0,096Rd

cd

M

bh f

02

' 0,075 0,117Rd

cd

M

bh f

02

0,053 0,050' 0,053 0,096 0,117 0,096 0,099

0,075 0,050Rd

cd

M

bh f

276


0,740Ed

cd

N

bhf

02

' 0,05 0,034Rd

cd

M

bh f

02

' 0,075 0,048Rd

cd

M

bh f

02

0,053 0,050' 0,053 0,034 0,048 0,034 0,036

0,075 0,050Rd

cd

M

bh f

Søjlens momentkapacitet svarende til normalkraftpåvirkningerne bliver nu:

2

0 0kN 0,042 420 300 25 40kNm Rd EdM N

2

0 1260kN 0,099 420 300 25 94kNm Rd EdM N

2

0 2331kN 0,034 420 300 25 32kNm Rd EdM N

I Figur 8-17 er bæreevnekurven vist sammen med den tilnærmede defineret ved

punkterne A, B og C.

277


C

B

A

0

20

40

60

80

100

120

0 500 1000 1500 2000 2500 3000N Rd (kN)

M 0Rd (kNm)

Figur 8-17: Bæreevnekurve (iht. www.bef.dk, Søjleelementer) og

tilnærmet bæreevnekurve, bøjning om svag akse

Søjlen undersøges for lasttilfældene A - I fra hovedtilfælde II-a som beskrevet i

kapitlet om lodrette lastvirkninger afsnit 3.4.5. Der regnes ikke med tværlast på

søjlen. Derimod tages højde for det moment, der fremkommer ved, at normal-

kræfterne er placeret excentrisk i forhold til søjlens centerlinje. N0 er reaktionen

fra overliggende etager. N1 og N2 stammer fra bjælken i modullinje B, se last-

nedføringseksemplet afsnit 3.4.5, hovedtilfælde II-a. Bjælkerne understøttes på

hver deres konsol på søjlen. Geometrien er vist på figur 8-18.

278


e0

N1 N2

Følgende excentriciteter fås ved anvendelse af retningslinjerne fra afsnit 3.3.1, i

det den generelle udførelsestolerance T sættes til 20 mm:

0 20mm e T

1

2 1 300 2 125 ' 25 150 20 282mm

2 3 2 2 3 2

he c T

2

1 1 300 1 125 ' 25 150 20 222mm

2 3 2 2 3 2

he c T

Hvor c’ er vederlagspladen, som har en bredde på 150 mm og placeres midt på

konsollen.

Figur 8-18: Belastning og geometri for bøjning om svag akse

e1 e2

300 mm 200 mm 200 mm

N0 25 mm 25 mm

150 mm 150 mm

279


Nedenstående skema giver en opsummering af søjlens lasttilfælde.

N1

(kN)

N0

(kN)

N2

(kN)

w

(kN/m)

NEd

(kN)

M0Ed

(kNm)

A 55 114 31 0 200 10,8

B 122 114 31 0 267 29,7

C 122 403 31 0 557 35,5

D 122 403 70 0 595 27,0

E 144 114 31 0 290 36,0

F 144 403 31 0 579 41,8

G 144 403 82 0 630 30,5

H 144 438 31 0 613 42,5

I 144 438 82 0 664 31,1

Figur 8-19: Opsummering af søjlens lasttilfælde, svag akse


1 0 EdN N N N2

2 2


draget fra de excentrisk placerede normalkræfter.

0 1 1 0 0 EdM N e N e N e

På Figur 8-20 er de 9 lasttilfælde vist i et M-N-diagram sammen med søjlens

bæreevnekurve.

280


A

E

BC

D

F

G

H

I

0

20

40

60

80

100

120

0 500 1000 1500 2000 2500 3000N Rd (kN)

M 0Rd (kNm)

Figur 8-20: Søjlens lasttilfælde vist i et M-N diagram

Eksempel slut


I dette afsnit fokuseres udelukkende på udbøjningsbestemmelse for søjler og

vægge i anvendelsesgrænsetilstanden. Revneviddeberegning er tit ikke relevant

for søjler og vægge, da normalkraftpåvirkning gør, at tværsnittet ofte forbliver

urevnet.

Det kan eftervises, at et tværsnit er urevnet ved at vise, at normalkraftens re-

sultant befinder sig indenfor kernen af tværsnittet. Dette gøres i eksemplet,

afsnit 8.2.1.

Udbøjningsanalyse af søjler og vægge i anvendelsesgrænsetilstanden er princi-

pielt det samme som for bjælker. Betragtningerne omkring krybning, svind og

tension stiffening fra afsnit 6.2.1.1, 6.2.1.2 og 6.2.1.3 er derfor gældende. Ved

tværsnitsanalyserne for revnet og urevnet tværsnit skal søjlen/væggens nor-

malkraft medtages i ligevægtsligningerne. For det revnede tværsnit betyder

281


dette, at normalkraften giver anledning til 3. gradsligning, hvis løsning vises i

afsnit 8.2.2. For det urevnede tilfælde regnes med transformeret tværsnit som

vist i afsnit 6.2.1.5, og spændingerne bestemmes ved hjælp af Navier’s formel,

som vist i eksemplet afsnit 8.2.1.

8.2.1 Eksempel – urevnet tværsnit

Der benyttes samme tværsnit og lastopstilling som fra eksemplet afsnit 8.1.4.

Størrelsen af udbøjningen om den stærke akse ønskes fundet.

e0

N0

e2 e1

N2 N1

w

420 mm

Figur 8-21: Lastopstilling for karakteristisk last

282


De karakteristiske laster kan bestemmes ved en lastnedføring som vist i kapitel

3. I dette eksempel skønnes en værdi for de lodrette laster, ligesom forholdet

mellem langtids- og korttidslast beror på et skøn.

De karakteristiske lodrette laster N0, N1 og N2 sættes til i alt 470 kN. Lastens

excentricitet er den samme som i det tidligere eksempel, det vil sige 20 mm.

Karakteristisk vind udregnes i henhold til EC1:

0

kN0,3 0,7 0,8 0, 2 2,8 0,59

m

e p e pew q z c lastbredde


1 2 0 110 320 40 470 EdN N N N kN


draget fra de excentrisk placerede normalkræfter og momentbidraget fra tvær-

lasten.

20 1 1 2 2 0 0

2

1

81

111 0,233 320 0,20 40 0,20 0,59 3,5 24,9kNm8

EdM N e N e N e wl

Søjletværsnit er ofte urevnede på grund af de store normalkræfter. Hvis den

resulterende normalkraft er placeret inden for tværsnittets kerne, er tværsnittet

urevnet. Kernens udstrækning fra tværsnitscenteret er 1/6 af tværsnitsdimensi-

onen.

283


1/6

H =

70 m

m

Ned

H =

420 m

m

e

1/6 B = 50 mm

B = 300 mm

Figur 8-23: Placering af den påførte normalkraft i forhold til kernen

Normalkraftens excentricitet om den stærke akse svarende til det samlede 1.

ordensmoment udregnes:

30 24,910 52,9mm

470 Ed

Ed

Me

N

Normalkraften ses umiddelbart at ligge inden for kernen. Denne excentricitet er

ikke normalkraftens reelle excentricitet, da bidraget fra søjleudbøjning og even-

tuelt svind mangler. Dog giver det en god indikation af normalkraftens placering.

Dette tværsnit formodes derfor at være urevnet.

284


Udbøjningsbidrag fra krybning medtages ved at benytte faktoren , der indirekte

giver betonens elasticitetsmodul. For beton med en karakteristisk trykstyrke på

35 MPa foreslås i afsnit 2.1.2 følgende -værdier:

0

Korttidslast : 7,7

Langtidslast: 1 1 2,13 7,7 24, 2

K

L K

I dette eksempel vurderes ca. 75% af lastvirkning at skyldes langtidslast, mens

de resterende 25% skyldes korttidslast. Den effektive -værdi bestemmes ved

vægtning:

24,2 0,75 7,7 0,25 20 eff

Tværsnitsanalysen for et urevnet tværsnit sker ved at udregne det transforme-

rede areal og inertimoment. Det betragtede tværsnit er symmetrisk, hvorfor

tyngdepunktsaksen ligger i tværsnittets centerlinje. Dette betyder samtidig, at

der ikke vil komme bidrag til udbøjningen fra svind.

420 m

m

300 mm

2 stk. Y16

2 stk. Y16

Bjl. Y6 pr. 200 mm

40 m

m

Figur 8-24: Søjletværsnit

2 2420 300 20 4 16 142085mm4

T C SA A A

285


3 2 21420 300 20 4 16 170 2,317 10 mm

12 49 4 T C SI I I

Udbøjningen midt på søjlen fås af:

20 0

2

5 9

2

11010

24,91, 4mm

10 2,0 10 2,317 10470

20 3500

Ed Ed urevnet Edurevnet S urevnet

S ST E

S

urevnet

M N u Mu L u

E E Td

II N

L

u

Det undersøges, om antagelsen om urevnet tværsnittet er korrekt ved at addere

udbøjningen midt på søjlen og normalkraftens excentricitet og kontrollere, at

den resulterende normalkraft stadig befinder sig inden for kernen.

1 152,9 1,4 54,3mm 420 70mm

6 6 urevnete u h

Hvis tværsnittet havde haft udbøjning fra svind, skal dette udbøjningstillæg

lægges til uurevnet, når udbøjning og tværsnitsspændinger bestemmes.

Udbøjninger om tværsnittets svage akse findes på tilsvarende vis.

Ønskes armeringsspændinger og betonkantspænding bestemt, kan de for urev-

nede tværsnit findes af Navier’s formel for bøjning om to akser, hvor udbøjnin-

gens tillæg til momenterne medregnes.

8.2.2 Udbøjning for revnet tværsnit

I dette afsnit betragtes en søjle/væg i anvendelsesgrænsetilstanden ved revnet

tværsnittet. Tværsnittet er armeret med et lag trykarmering og et lag trækar-

mering. I anvendelsesgrænsetilstanden benyttes en lineær-elastisk arbejdslinje,

286


hvor forholdet mellem spændingerne i beton og armering er givet ud fra tvær-

snittets geometri samt størrelsen .

Betonens kantspænding benævnes c. De geometriske betingelser fører til:

sc c

st c

x c

xh x c

x

Ligevægtsligningerne kan nu opstilles, idet den samlede normalkraft virkende på

tværsnittet betegnes NEd, og den samlede 1. ordens momentvirkning betegnes

M0Ed.


1

2

12

Ed c sc sc st st

Edc

sc s

N bx A A

Nx c h x c

bx A A tx x

Omskrivningen fås ved indsættelse af de geometriske betingelser i projektions-

ligningen.


0

1

2 2 3 2 2

Ed Ed Ed i

Ed c sc sc st st

M M N u

h x h hM bx A c A c

hvor ui er et gæt på udbøjningen.

Udtrykkene for c, sc og st indsættes i momentligningen og leddene samles:

287


3 21 10 6

4 2

62 2

62

Ed

Ed

sc st sc st Ed

Ed

sc st sc st

Ed

Mx h x

hN

A A A A Mh hh c c x

bh bh bh bh N

A A A A Mhh c h c c c h c

bh bh bh bh N

Ed

Dette er en 3. gradsligning i x på formen 3 21 2 3 0x a x a x a . Ligningen har

én reel løsning:

2 3 2 33 31 1 1 1 1 1

2 4 27 2 4 27x q q p q q p

Hvor p og q er givet ved:

22 1

31 1 2

1

32 1

27 3

p a a

q a a a

3a

Hermed kan trykzonehøjden x findes, og betonkantspændingen, c, kan umid-

delbart bestemmes ved indsættelse i momentligningen, hvilket giver:

2Ed

c

M

bh

288


Hvor

11 1 1 1 1

2 2 3 2 2sc st

c cA Ac ch hbh h bh h

,

x

h

Armeringen skal undersøges for flydning. Armeringsspændingerne findes af de

geometriske betingelser. Hvis armeringen flyder benyttes armeringens flyde-

spænding i ligevægtsligningerne i stedet for sc / st, og nullinjedybde og spæn-

dinger må bestemmes på ny.

Udbøjningen kontrolleres nu:

21

1

10c

i ss

u LE

x

Hvis ui+1 afviger væsentligt fra ui gentages beregningerne med ui+1 som næste

gæt på udbøjningen. Denne iteration fortsættes til tilfredsstillende overens-

stemmelse er opnået. Det bør bemærkes, at ovenstående ligningssystem kræver

stor præcision i de indgående talværdier for at give en fornuftig løsning.

Revnevidden findes på baggrund af spændingen i trækarmeringen på samme

måde som for en bjælke, se afsnit 6.2.2.

Eksempel slut

289



Nedenfor ses en udskrift fra søjleprogrammet på www.bef.dk med inddata sva-

rende til det gennemgåede eksempel i afsnit 8.1.5.3 med udbøjning om den

svage akse. Data for belastningerne er direkte overført fra programmet beskre-

vet i afsnit 3.4.6, hovedtilfælde II-a.

Som vist i eksemplet stemmer denne bæreevnekurve overens med bæreevnerne

i de beregnede punkter på den tilnærmede bæreevnekurve baseret på designdi-

agrammerne.

Som en vigtig facilitet for kvalitetssikringen giver programmet mulighed for at

trække delresultater frem fra de forskellige brudlasttilfælde, på den aktuelle ud-

skrift er valgt tilfælde E, F og H. Delresultaterne betegnes kontrolparametre og

omfatter blandt andet oplysning om den optimerede værdi af kanttøjningen, 0 ,

med tilhørende nullinjedybde, x, svarende til momentbæreevnen, M0Rd, ved den

givne normalkraft. Med disse oplysninger kan en bruger relativ nemt kontrollere

programmets resultater uden selv at skulle gennemføre en iterationsproces.


Materialer fck 35 MPa Regningsmæssige parametrefyk 500 MPa fcd 25,0 MPa

c 1,40 fyd 417 MPas 1,20 Ecd 24341 MPa

Søjlelængde Ls 3500 mm Krybetal

Tværsnit h 300 mm RH 50%b 420 mm to 28 døgn

c 40 mm o 2,13

Trykarm. da 16 mm M0Eqp/M0Ed 0,75

Antal 2 stk ef 1,60 Trækarm. da 16 mm Bøjler Generelt: ø 6 / 300 mm

Antal 2 stk Top og bund: ø 6 / 180 mm

Anvendelsestilstand Kritisk last (central)I anvendelsestilstand skønnes crd 21,37 MPa

til en passende værdi afhængig af c 0,32%

forholdet mellem lang- og kort- t 0,32%

tidslast: anv. = 15 Ncr 2834 kN

Kontrolparametre Anv. - Brudlasttilfælde N1 (kN) N0 (kN) N2 (kN) w (kN/m)

E F H tilfælde A 55 114 31 0,00NEd (kN) 290 579 613 470 B 122 114 31 0,00M0Ed (kNm) 36 42 42 36,0 C 122 403 31 0,00M0Rd (kNm) 63 82 84 - D 122 403 70 0,00

u (mm) 19,8 24,5 25,0 3,2 E 144 114 31 0,00wk (mm) - - - urevnet F 144 403 31 0,00

0 / (1+) (o/oo) 0,70 1,04 1,07 - G 144 403 82 0,00c0 (Mpa) 14,1 18,6 19,0 8,6 H 144 438 31 0,00st (Mpa) 417 417 417 6 I 144 438 82 0,00sc (Mpa) 234 378 395 108 120 330 20

x (mm) 113 134 137 urevnet 282 20 222Vejledning: PC-statik: Søjle- og vægberegning efter EC2 Udgivet på www.bef.dk december 2008 NB: Resultaterne skal altid kontrolleres af ansvarlig statiker

Anvendelsestilfælde:

Betonelement-Foreningen mar. 2008SØJLE, version 2.0 / EC2

Excentriciteter (mm) :

Betonelementhuset

Normale lastkombinationerSøjle i modul B/4, 1.-2. sal, hovedtilfælde II-a

23 - 45452010-03-01

JFJ

Brudlasttilfælde

DC

B

A

EF

G

H

I

0

20

40

60

80

100

120

0 500 1000 1500 2000 2500 3000N (kN)

M (

kNm

)

N1

N0

N2

w

c

c

h

b

NM

TværsnitLodret snit

e0

e2 e1


290


For søjlen i det aktuelle eksempel svarer hovedtilfælde II-a til udbøjning om den

svage akse. I eksemplet har søjlen samtidig momentvirkning om den stærke

akse, svarende til hovedtilfælde I-b. Dette kræver en særskilt undersøgelse af

den kombinerede virkning af bøjning om de to akser, kaldet skæv bøjning. Se

nærmere i afsnit 8.4. Til anvendelse ved denne analyse i eksempel 8.4.1 er ne-

denfor vist resultaterne fra beregningen af søjlen svarende til hovedtilfælde I-b.

Det vil af dette eksempel fremgå, at søjlens bæreevneoverskud er væsentlig

mindre, end hvad der umiddelbart kunne forventes ud fra resultaterne i de til-

fælde, hvor der kun ses på udbøjning i én retning ad gangen.



c 1,40 fyd 417 MPas 1,20 Ecd 24341 MPa



c 40 mm o 2,13


Antal 2 stk ef 1,60 Trækarm. da 16 mm Bøjler Generelt: ø 6 / 300 mm

Antal 2 stk Top og bund: ø 6 / 180 mm






E F H tilfælde A 63 114 24 2,94NEd (kN) 302 591 626 470 B 139 114 24 2,94M0Ed (kNm) 37 43 44 24,9 C 139 403 24 2,94M0Rd (kNm) 100 132 135 - D 139 403 52 2,94


0 / (1+) (o/oo) 0,78 1,15 1,20 - G 165 403 62 0,88c0 (Mpa) 15,3 19,8 20,3 5,6 H 165 438 24 0,88st (Mpa) 417 417 417 -29 I 165 438 62 0,88sc (Mpa) 289 417 417 104 110 320 40 0,59


Betonelement-Foreningen mar. 2008SØJLE, version 2.0 / EC2


Betonelementhuset

Normale lastkombinationerSøjle i modul B/4, 1.-2. sal, hovedtilfælde I-b

23 - 45452010-03-01

JFJ

Brudlasttilfælde


DC

B

A

EFGHI

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500N (kN)

M (

kNm

)

N1

N0

N2

w

c

c

h

b

NM


e0

e2 e1


Efterfølgende er endvidere vist et eksempel på en udskrift fra det tilsvarende

program til brug for beregning af betonelementvægge på www.bef.dk. Dette

program fungerer helt analog til søjleprogrammet. I eksemplet er indlagt en

armering svarende til transportarmeringen: et net ø5/150 mm i begge sider af

elementet.

291




c 1,40 fyd 417 MPas 1,20 Ecd 22483 MPa



c 30 mm o 2,77


Antal 6,67 ef 2,07 Trækarm. da 5 mm Hvis væggen kun forsynes med ét lag

Antal 6,67 armering, skal det være træklaget.






B C I tilfælde A 6 27 9 0,80NEd (kN) 140 670 764 70 B 104 27 9 0,80M0Ed (kNm) 9 20 17 4,1 C 104 557 9 0,80M0Rd (kNm) 14 23 23 - D 104 557 63 0,80


0 / (1+) (o/oo) 0,35 0,62 0,66 - G 104 557 75 0,40c0 (Mpa) 6,8 10,6 11,1 1,1 H 104 585 9 0,40st (Mpa) 417 137 106 2 I 104 585 75 0,40sc (Mpa) 86 276 302 18 49 9 12 0,60



Betonelementhuset

Normale lastkombinationerVæg modul B/6-7, kld.-4. sal (STR 6.10b)

23 - 45452010-03-01

JFJ

Brudlasttilfælde


Betonelement-Foreningen mar. 2009VÆG, version 2.0 / EC2

D

C

B

A

E

F

G

H

I

0

5

10

15

20

25

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800N (kN)

M (

kNm

)

N1

N0

N2

w

c

c

h

b

NM


e0

e2 e1


Med den valgte bredde i eksemplet på 1000 mm, giver udskriften således en

umiddelbar fornemmelse af, hvor store belastninger en helt almindelig betone-

lementvæg (h = 180 mm) kan optage selv med ganske beskeden armering.

Eksemplet svarer med en armeringsgrad på c = t = 0,017 stort set til bære-

evnekurven for Ls/h = 20 i det første diagram i afsnit 8.1.2.

Belastningerne i de 9 brudlasttilfælde er overført fra eksemplet på en lastspecifi-

kation for vægge fra afsnit 3.4.6.

8.4 Skæv bøjning

Ovenstående designdiagrammer kan bruges til beregning af udbøjning om hen-

holdsvis den stærke og den svage akse. Det er også nødvendigt at undersøge

tilfældet med skævbøjning, hvor udbøjningen sker i et andet plan end søjlens to

symmetriplaner.

292


Det er muligt, om end besværligt, at lave en nøjagtig teoretisk løsning af tvær-

snitsligningerne for tilfældet med skævbøjning. I praksis kan på den sikre side

anvendes følgende bæreevnekriterium for den kombinerede påvirkning

00

0 0

1aa

EdyEdz

Rdz Rdy

MMM M

M0Ed,I og M0Ed,II er den lastfremkaldte momentbelastning om tværsnittets to

hovedakser.

M0Rd,I og M0Rd,II er tværsnittets momentkapacitet om de to akser over for det

lastfremkaldte moment. Det vil sige den samlede momentka-

pacitet fratrukket momenttillægget fra søjlens udbøjning

a er en eksponent, der afhænger af normalkraftniveauet NEd/NRd

NEd/NRd < 0,1 0,7 1,0 a = 1,0 1,5 2,0

med lineær interpolation for mellemliggende værdier.

NEd er den regningsmæssige værdi af normalkraften

NRd = Ac fcd + As fyd, hvor Ac og As er henholdsvis betontværsnit-

tets bruttoareal og armeringens tværsnitsareal.

I et momentdiagram kan dette bæreevnekriterium afbildes som vist nedenfor.

Det ses, at den relative udnyttelsesgrad af søjlens momentkapacitet ved kombi-

neret påvirkning øges med stigende normalkraftniveau.

Når en gruppe af lasttilfælde svarer til omtrent samme normalkraftniveau tages

inden for gruppen den største udnyttelsesgrad for momenterne for hver af de to

udbøjningsretninger (M0Ed,I / M0Rd,I henholdsvis M0Ed,II / M0Rd,II). Eksponenten, a,

vælges svarende til det laveste normalkraftniveau inden for gruppen.

293


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Ned/NRd :

= 0,7= 0,6= 0,5= 0,4= 0,3= 0,2< 0,1

M 0Ed,II / M 0Rd,II

M 0Ed,I / M 0Rd,I

Figur 8-28: Interaktionsdiagram for skæv bøjning ved forskellige niveauer

af normalkraft

8.4.1 Eksempel, skæv bøjning

Af programudskrifterne i afsnit 8.3 ses, at brudlasttilfældene E, F og H bliver de

farligste, både i hovedtilfælde I-b og II-a. Til brug for bestemmelsen af ekspo-

nenten a i bæreevnekriteriet findes først:

NRd = Ac fcd + As fyd = (300 420 25,0 + 4 201 417)/1000 = 3485 kN

Herefter kontrolleres den samlede udnyttelsesgrad for skæv bøjning:

Lasttilfælde NEd MEd,I M0Rd,I Lasttilfælde NEd MEd,II M0Rd,II Min(NEd/NRd) a (Med,I/MRd,I)a + (MEd,II/MRd,II)

a

(kN) (kNm) (kNm) (kN) (kNm) (kNm)

E 302 37 100 E 290 36 63 0,083 1,000 0,94F 591 43 132 F 579 42 82 0,166 1,055 0,80H 626 44 135 H 613 42 84 0,176 1,063 0,78

Kontrol af samlet udnyttelsesgradHovedtilfælde I-b Hovedtilfælde II-a

Figur 8-29: Resultat af skæv bøjning

294


Den største udnyttelsesgrad for skæv bøjning ses at være 0,94 < 1,0. Selv om

udnyttelsesgraderne for hovedtilfælde I og II hver for sig er beherskede, så er

søjlen stort set fuldt udnyttet for den kombinerede bøjningspåvirkning.

Eksempel slut

295


296

9BrAnd

9 BRAND

9.1 Materialeegenskaberunderbrand

9.1.1 Beton

9.1.2 Zonemetoden

9.1.3 Armering

9.1.4 Forspændingsstål

9.1.5 Eksempel–Temperaturbestemmelseogstyrkereduktion

9.2 Bjælkeribrandtilstanden

9.2.1 Bøjning

9.2.2 Forskydning

9.2.3 Eksempel–Bjælkeibrandtilstanden


9.4 Søjlerogvæggeibrandtilstanden

9.4.1 Udbøjningfrakrybning

9.4.2 Termiskeudbøjninger

9.4.3 Søjle/vægreaktionensforsætningunderbrand

9.4.4 Eksempel–Søjleibrandtilstanden


9 | Brand BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK

9.1 Materialeegenskaber under brand

9.1.1 Beton

Når betonkonstruktioner udsættes for brand, ændrer materialeegenskaberne sig

både for beton og armering. Dette giver andre arbejdslinjer end i kold tilstand.

Følgende udtryk bruges for arbejdslinjen for betonkonstruktioner udsat for

brand:

,

31,

1,

3

(2 ( ) )

c cc

cc

c

f

fc, er betonens énaksede trykstyrke ved betontemperaturen

c1, er tøjningen svarende til toppunktet på betonens arbejdslinje ved be-

tontemperaturen . Se efterfølgende tabel i figur 9-3.

Arbejdslinjerne ser typisk ud som vist på figur 9-1.

0

5

10

15

20

25

30

0 0,005 0,01 0,015 0,02 c

c (MPa)

c1,

f c,

M= 400 o C

M =200 o C

M = 20 o C

Figur 9-1: Typiske arbejdslinjer for beton ved forhøjede temperaturer

under brand

298

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Brand | 9

Det skal bemærkes, at arbejdslinjen gældende ved branddimensionering for

M=20oC ikke er den samme, som den der benyttes i kold tilstand.

I helt generel form vil tværsnitsanalyse af betonkonstruktioner være meget

komplekse, fordi temperaturen varierer hen over tværsnittet. Dermed kommer

udtrykket for arbejdslinjen også til at variere hen over tværsnittet. Til brug for

praktisk dimensionering ved brandpåvirkninger svarende til standardbrandkur-

ven er derfor udviklet den såkaldte zonemetode, der også er beskrevet som en

mulig beregningsmodel i EC2.

9.1.2 Zonemetoden

Ved zonemetoden opdeles et rektangulært tværsnit i et antal (2n x 2n) lige store

rektangulære felter, hvor . Til tidspunktet, t, efter standardbrandens be-

gyndelse bestemmes temperaturen ij midt i hvert af disse felter.

3n

9.1.2.1 Temperaturbestemmelse

Temperaturen i centerpunktet for hvert felt bestemmes jævnfør EC2 ud fra ne-

denstående formler. Et tværsnit angribes ofte af brand fra flere sider. Formlerne

angiver, hvordan temperaturbidraget fra brand på flere overflader beregnes.

Temperaturen i tværsnittet må ikke regnes mindre end 20C og temperaturtil-

væksten skal altid være positiv.

Ensidigt påvirket tværsnit

-1,9 ( )1 10( , ) 312 log (8 1) sin( - ( ) )2

k t xx t t e k t x

x er afstanden fra overfladen i m og t er tiden i minutter.

Temperaturen 1 kan ikke regnes mindre end 20 C.

Faktoren k(t) er givet ved:

( )

750pc

k tt

299


hvor

= 2300 kg/m3 er betonens densitet

cp = 1000 J/kg C er den specifikke varmekapacitet

= 0,75 W/m C er varmeledningsevnen

t er tiden i minutter

Sinusfunktionen regnes i radianer

Tosidigt påvirket tværsnit

12 1 1

1 1

(0, )( , ) ( , ) (2 - , )

(0, ) (2 , )t

x t x t w x tt w t

2 må ikke regnes mindre end 20 C. For 1 anvendes udtrykket for ensidigt på-

virket tværsnit, idet 1 = 0 dog anvendes for alle x-værdier større end den

mindste x-værdi, der giver 1 = 0.

Tresidigt påvirket tværsnit

2 1

3 2 11

( , ) ( , )( , , ) ( , ) ( , )

(0, )x t y t

x y t x t y tt

Hvor t er tiden i minutter, x og y er afstanden fra overfladen i m og 2w er tvær-

snitstykkelsen.

3 må ikke regnes mindre end 20 C. Principperne fra tosidigt påvirket tværsnit

for bestemmelse af 1 er gældende både for 1 og 2.

Et firesidet påvirket tværsnit kan for betonelementer i praksis behandles som

sammensat af to tresidigt påvirkede tværsnit. Se også afsnit 9.1.5.

Armeringens temperatur bestemmes på tilsvarende vis. For længdearmering

benyttes koordinaterne for centeret af hver enkelt armeringsstang. Temperatu-

ren for bøjlearmering findes ved at tage middelværdien af temperaturen i ek-

sempelvis ti punkter jævnt fordelt på den nederste halvdel af bøjlen.

300


9.1.2.2 Tværsnits- og styrkereduktion

I brandtilstanden regnes betontværsnittet svækket dels i form af en skadet

randzone, der ikke tages med i regning, og dels ved at reducere styrken af be-

ton og armering.

I hvert felt bestemmes herefter betonens styrkereduktionskoeffient, kc svarende

til den fundne temperatur:

, /c ck f ckf

For sædvanlige danske betoner med tilslag af sø- eller bakkematerialer eller af

granit kan styrkereduktionskoefficienterne findes af tabellen, figur 9-3. Der kan

interpoleres retlinet mellem tabellens værdier. Styrkereduktionsfaktorerne i ta-

bellen for danske betoner er beskrevet i artiklen ”Concrete strength for fire safe-

ty design” af Kristian Hertz i Magazine of Concrete Research, vol. 57, no. 8,

2005.

w w

1 2 . . . i . . . 2n

1

j

.

.

.

2n

ij

M

k c c1 cu

(oC)

20 1,000 0,0025 0,0200

100 0,991 0,0040 0,0225

200 0,965 0,0055 0,0250

300 0,925 0,0070 0,0275

400 0,867 0,0100 0,0300

500 0,772 0,1500 0,0325

600 0,609 0,2500 0,0350

700 0,392 0,2500 0,0375

800 0,207 0,2500 0,0400

900 0,099 0,2500 0,0425

1000 0,045 0,2500 0,0450

1100 0,002 0,2500 0,0475

1200 0,000 - -

Figur 9-3 Styrkereduktionskoeffi-

cienter,typiske danske betoner.

Figur 9-2: Tværsnitsopdeling, n = 3

301


For et tværsnit med brand på alle 4 sider er middelreduktionskoefficienten givet

ved:

2 2

, 21 1

1 0,2 /( )

(2 )

n n

c m c iji j

nk k

n

Herefter beregnes tykkelsen, az, af en nominel skadet randzone, der ved bereg-

ning af tværsnittet i brandtilfældet regnes inaktiv langs de sider af tværsnittet,

der er eksponeret for brand. For bjælker, plader og andre elementer, hvor der

ikke skal tages hensyn til 2. ordens effekter bruges udtrykket:

,1( )c m

zc M

ka w

k

hvor M er temperaturen i tværsnittes midtpunkt, og w er det halve af tværsnit-

tets mindste dimension.

For søjler, vægge og andre elementer, hvor 2. ordens effekter er af væsentlig

betydning for bæreevnen, anvendes følgende udtryk for den skadede randzone:

1,3

,1( )c m

zc M

ka w

k

Hvis tværsnittet kun er brandpåvirket på nogle af overfladerne ændres bereg-

ningen af kc,m som vist på figur 9-4; medens formlerne for az er uændrede. I

disse tilfælde skal temperaturer og styrkereduktioner kun beregnes for de mar-

kerede felter.

Ved den videre tværsnitsanalyse ses bort fra betonen i de skadede randzoner og

for det resterende tværsnit anvendes betonstyrke og arbejdslinje svarende til

temperaturen, M, i tværsnittets midtpunkt, M:

, ( )c c M ckf k f

302


n

jijc

n

imc k

n

nk

1

2

12, )(

2

/2,01

n

iicmc k

n

nk

2

1, )(

2

/2,01

n

iicmc k

n

nk

1, )(

/2,01

Tresidig brand Tosidig brand Énsidig brand

Skadede randzoner Skadede randzoner Skadet randzone

M M M

az

Figur 9-4: Middelreduktionsfaktor og skadede randzoner ved tre-, to- og

énsidig brand (n=3)

hvor kc(M) fortsat aflæses af tabellen i figur 9-3. Fra denne tabel aflæses nu

også c1(M), hvorefter betonens arbejdsline er fastlagt.

9.1.3 Armering

Ved dimensionering af betonelementer udsat for brand skal der tages hensyn til

armeringens ændrede styrkeparametre ved forhøjede temperaturer. Tempera-

turkurverne for en standardbrand fra afsnit 9.1.2.1 benyttes til at bestemme

temperaturen, , i tværsnittets enkelte armeringsjern. Når armeringens tempe-

ratur er bestemt, findes den tilhørende regningsmæssige værdi af armeringens

flydespænding, fsy, og elasticitetsmodul, Es, af tabellen i figur 9-5. Tabellen

viser styrkeværdier for tre forskellige typer armeringsstål. Den mest brugte ar-

meringstype i danske betonelementer er bratkølet stål. I tabellen interpoleres

ved mellemliggende værdier af temperaturen.

303


-stål

(oC) f sy, /f yk E s, /E sk f sy, /f yk E s, /E sk f sy, /f yk E s, /E sk

20 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00100 0,96 1,00 0,98 1,00 0,99 1,00200 0,88 0,90 0,94 1,00 0,95 0,87300 0,77 0,80 0,89 0,99 0,89 0,72400 0,65 0,70 0,78 0,96 0,78 0,56500 0,47 0,60 0,55 0,79 0,57 0,40600 0,27 0,31 0,27 0,48 0,30 0,24700 0,13 0,13 0,10 0,21 0,12 0,08800 0,05 0,09 0,00 0,08 0,05 0,06900 0,02 0,07 0,00 0,03 0,02 0,05

1000 0,01 0,04 0,00 0,00 0,01 0,031100 0,01 0,02 0,00 0,00 0,00 0,021200 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

Varmtvalset stål Bratkølet stål Kolddeformeret stål

Figur 9-5: Reduktionskoefficienter for armering ved forhøjede tempe-

raturer under brand

I tabellen betegner fyk og Esk henholdsvis armeringens karakteristiske flyde-

spænding og elasticitetsmodul i kold tilstand. Desuden er benyttet, at partial-

koefficienten for armeringens mekaniske egenskaber under brandpåvirkning,

s,fi, sættes til 1,0.

9.1.4 Forspændingsstål

For spændliner kan de regningsmæssige styrker og elasticitetsmoduler ved for-

højede temperaturer findes af figur 9-6.

-stål f p2,0, /f yp2,0k E s, /E sk

kolddeformerede bratkølede(oC) liner liner

20 1,00 1,00 1,00 1,00100 0,89 0,92 0,99 0,98200 0,71 0,84 0,87 0,95300 0,53 0,75 0,72 0,88400 0,33 0,52 0,46 0,81500 0,15 0,21 0,22 0,54600 0,05 0,06 0,10 0,41700 0,02 0,02 0,08 0,10800 0,01 0,01 0,05 0,07900 0,00 0,00 0,03 0,03

1000 0,00 0,00 0,00 0,00

f p0,1, /f p0,1k

Figur 9-6: Reduktionskoefficienter for spændliner ved forhøjede tempera-

turer under brand

304


9.1.5 Eksempel – Temperaturbestemmelse og styrkereduktion

I dette eksempel bestemmes temperatur, styrkereduktionsfaktor og skadet

randzone for et betontværsnit og armering ved en standardbrand af 60 minut-

ters varighed. Der regnes med samme tværsnitsdimensioner og armering som

benyttet ved søjle- og bjælkeeksemplerne afsnit 6.1.6 og 8.1.4. Temperaturfor-

delingen bestemmes dels for et tresidigt brandpåvirket tværsnit, dels for et fire-

sidigt brandpåvirket tværsnit. Førstnævnte svarer til en bjælke, der ved oversi-

den afskærmes af et betondæk. Sidstnævnte svarer til en fritstående søjle.


Tværsnit: 420 mm x 300 mm


Armering 4 stk. Y16, én i hvert hjørne: c = 40 mm


Forskydningsarmering bøjler Y6.


9.1.5.2 Beton

Det betragtede tværsnit er 300 mm bredt og 420 mm højt. Med n = 3 fås en

tværsnitsinddeling som vist på figur 9-7.

Temperaturen i centerpunktet for hvert felt bestemmes:

Faktoren k(t) er givet ved:

2300 1000(60min) 14,63

750 750 0,75 60pc

kt

Kanttemperaturen beregnes

Kanttemperaturer ved brandpåvirket kant:

-1,9 14,63 0,01 10(0,60) 312 log (8 60 1) sin( -14,63 0,0) 836,82e C

Kanttemperatur ved modstående kant:

-1,9 14,63 0,3001 10(2 150,60) 312 log (8 60 1) sin( -14,63 0,300) 0,02e C

305


35 mm

70 mm

70 mm

70 mm

70 mm

70 mm

35 mm

50 m

m

25 m

m

25 m

m

50 m

m

50 m

m

50 m

m

50 m

m

Figur 9-7: Tværsnitsinddeling

Det ses, at en brand på den ene side af tværsnittet ikke giver anledning til tem-

peraturforøgelse på den modstående kant.

Temperaturen i nederste venstre felt beregnes

Felttemperatur ved brand fra venstre:

-1,9 14,63 0,0251 10(25,60) 312 log (8 60 1) sin( -14,63 0,025) 390,02e C

Felttemperatur ved brand fra højre:

-1,9 14,63 0,2751 10(2 150 25,60) 312 log (8 60 1) sin( -14,63 0,275) 0,3 0,02e C C

Summering af de to første bidrag:

12 1 1

1 1

(0,60)(25,60) (25,60) (2 150 - 25,60)

(0,60) (2 150,60)

836,8 390,0 0,0 390,0

836,8 0,0C

C C CC C

306


Felttemperatur ved brand nedefra:

-1,9 14,63 0,0351 10(35,60) 312 log (8 60 1) sin( -14,63 0,035) 275,72e C

Totaltemperatur fås ved summering af alle tre bidrag:

2 13 2 1

1

(25,60) (35,60)(25,35,60) (25,60) (35,60)

(0,60)

390,0 C 275,7 C 390,0 C 275,7 C =537,2 C

836,8 C

På samme måde findes temperaturen i de øvrige felter for et tresidigt brandpå-

virket tværsnit, angivet i skemaet herunder, figur 9-8, idet de resterende tem-

peraturkurver aldrig kan blive mindre end 20ºC.

y.x 25 mm 75 mm 125 mm 175 mm 225 mm 275 mm

385 mm 390,0 C 47,5 C 20,0 C 20,0 C 47,5 C 390,0 C

315 mm 390,0 C 47,5 C 20,0 C 20,0 C 47,5 C 390,0 C

245 mm 390,0 C 47,5 C 20,0 C 20,0 C 47,5 C 390,0 C

175 mm 390,0 C 47,5 C 20,0 C 20,0 C 47,5 C 390,0 C

105 mm 390,9 C 49,0 C 20,0 C 20,0 C 49,0 C 390,9 C

35 mm 537,2 C 307,6 C 275,7 C 275,7 C 307,6 C 537,2 C

Figur 9-8: Skema over felttemperaturer, brandpåvirkning fra tre sider

Det undersøges nu, om tværsnittet er så højt, at en temperaturforøgelse fra

brand nedefra når tværsnittets centerfelter.


-1,9 14,63 0,1751 10(175,60) 312 log (8 60 1) sin( -14,63 0,175) 5,4 0,02e C C

Tværsnittets center ses ikke at være påvirket af branden. Temperaturfordelin-

gen ved et firesidet brandpåvirket tværsnit kan derfor uden problemer findes

ved at spejle nederste halvdels felttemperaturer ved tresidet brandpåvirket

tværsnit om midteraksen, se figur 9-9.

307


y.x 25 mm 75 mm 125 mm 175 mm 225 mm 275 mm

385 mm 537,2 C 307,6 C 275,7 C 275,7 C 307,6 C 537,2 C

315 mm 390,9 C 49,0 C 20,0 C 20,0 C 49,0 C 390,9 C

245 mm 390,0 C 47,5 C 20,0 C 20,0 C 47,5 C 390,0 C

175 mm 390,0 C 47,5 C 20,0 C 20,0 C 47,5 C 390,0 C

105 mm 390,9 C 49,0 C 20,0 C 20,0 C 49,0 C 390,9 C

35 mm 537,2 C 307,6 C 275,7 C 275,7 C 307,6 C 537,2 C

Figur 9-9: Skema over felttemperaturer, brandpåvirkning fra fire sider

For en 3-sidet brandpåvirket bjælke vil det være på den sikre side at betragte

nederste halvdel af bjælken. Det er her, at størrelsen på den skadede randzone

har størst betydning for bæreevnen. Middelreduktionsfaktoren bestemmes derfor

ud fra tværsnittets nederste halvdel, betragtet som 3-sidet brandpåvirket.

Reduktionsfaktoren kc() for betonens trykstyrke kan nu findes ud fra tempera-

turerne ved interpolation mellem værdierne i figur 9-2. For nederste venstre felt

fås således:

0,609 0,772537, 2 537, 2 500 0,772 0,711

600 500ck C

For de øvrige felter på nederste tværsnitshalvdel fås følgende reduktionsfaktorer

angivet i Figur 9-10:

y.x 25 mm 75 mm 125 mm 175 mm 225 mm 275 mm

385 mm

315 mm

245 mm

175 mm 0,873 0,997 1,000 1,000 0,997 0,873

105 mm 0,872 0,997 1,000 1,000 0,997 0,872

35 mm 0,711 0,921 0,935 0,935 0,921 0,711

Figur 9-10: Skema over reduktionsfaktorer for bjælke brandpåvirket fra tre sider

For firesidet brandpåvirkning fås reduktionsfaktorerne vist i figur 9-11.

308


y.x 25 mm 75 mm 125 mm 175 mm 225 mm 275 mm

385 mm 0,711 0,921 0,935 0,935 0,921 0,711

315 mm 0,872 0,997 1,000 1,000 0,997 0,872

245 mm 0,873 0,997 1,000 1,000 0,997 0,873

175 mm 0,873 0,997 1,000 1,000 0,997 0,873

105 mm 0,872 0,997 1,000 1,000 0,997 0,872

35 mm 0,711 0,921 0,935 0,935 0,921 0,711

Figur 9-11: Skema over reduktionsfaktorer, brandpåvirkning fra fire sider

Middelreduktionsfaktoren for begge tilfælde fås til:

2 2

, 21 1

2

1 0,2 /( )

(2 )

1 0,2 / 3 0,711 4 0,921 4 0,935 4 0,872 4 0,873 4 0,997 8 1,000 8

2 3

0,861

n n

c m c iji j

nk k

n

Den skadede randzone kan nu bestemmes.

For bjælker og plader:

, 0,8611 150 1 20,9

( ) 1

c mz

c M

ka w mm

k

For søjler og vægge:

1,3 1,3, 0,861

1 150 1 26,5( ) 1

c mz

c M

ka w mm

k

Tværsnittet dimensioneres for brand ved at benytte reduceret tværsnit samt

reduceret styrke og elasticitetsmodul for armeringen.

Betontemperaturen midt i tværsnittet ses at være 20,0 C, hvilket betyder, at

betonstyrken ikke skal reduceres.

309


9.1.5.3 Armering

Temperatur og styrkereduktion for længdearmering

Temperatur og styrkereduktion for længdearmeringen bestemmes. Der benyttes

samme temperaturkurver som for betontværsnittet. Længdearmeringens center

befinder sig 40 mm fra betonkanten.

Felttemperatur ved brand fra venstre:

-1,9 14,63 0,0401 10(40,60) 312 log (8 60 1) sin( -14,63 0,040) 229,52e C

Felttemperatur ved brand fra højre:

-1,9 14,63 0,2601 10(2 150 40,60) 312 log (8 60 1) sin( -14,63 0,260) 0,5 0,02e C C

Summering af de to første bidrag:

12 1 1

1 1

(0,60)(40,60) (40,60) (2 150 - 40,60)

(0,60) (2 150,60)

836,8 229,5 0,0 229,5

836,8 0,0C

C C CC C


-1,9 14,63 0,0401 10(40,60) 312 log (8 60 1) sin( -14,63 0,040) 229,52e C

Totaltemperatur ved summering af alle tre bidrag:

2 13 2 1

1

(40,60) (40,60)(40,40,60) (40,60) (40,60)

(0,60)

229,5 C 229,5 C 229,5 C 229,5 C =396,1 C

836,8 C

Længdearmeringens reduktionsfaktorer findes ved at interpolere mellem værdi-

erne i tabellen, Figur 9-5. Der bruges varmvalset armeringsstål:

,

5 5,

0,65 0,77396,1 300,0 0,77 0,65 500 327

400 300

0,70 0,80396,1 300,0 0,80 0,70 2,0 10 1,41 10

400 300

sy yk

s s

f f MP

E E

a MPa

MPa MPa

310


Temperatur og styrkereduktion for bøjlearmering

Temperaturen af bøjlearmeringen findes som en middelværdi af 10 punkter på

den nederste halvdel af bøjlen. Armeringsbøjlens center befinder sig 29 mm fra

betonkanten. Der regnes med et tværsnit, der er påvirket af brand fra tre sider.

Felttemperaturerne rundt på armeringsbøjlen findes præcis som felttemperatu-

rerne for betonen afsnit 9.1.5.2. De fundne værdier er vist i skemaet, Figur

9-12.

y.x 29 mm 75 mm 125 mm 175 mm 225 mm 271 mm

175 mm 340,6 C 340,6 C

105 mm 341,5 C 341,5 C

29 mm 542,6C 368,8 C 340,6 C 340,6 C 368,8 C 542,6 C

Figur 9-12: Skema over felttemperaturer for bøjlearmering, brandpåvirkning fra

tre sider

Armeringsbøjlens middeltemperatur fås til:

12 542,6 2 368,8 2 341,5 4 340,6 386,8

10middel C C C C C

Bøjlearmeringens reduktionsfaktorer findes ved at interpolere mellem værdierne

i tabellen, Figur 9-5. Der bruges varmvalset armeringsstål:

,

5 5,

0,65 0,77386,8 300,0 0,77 0,67 410 275

400 300

0,70 0,80386,8 300,0 0,80 0,71 2,0 10 1,42 10

400 300

sy yk

s s

f f M

E E

Pa MPa

MPa MPa

Eksempel slut

9.2 Bjælker i brandtilstanden

Analysen af betontværsnit ved brand forløber i princippet som for kolde tværsnit

jævnfør afsnit 2.1.1.1. Dog er der den afgørende forskel, at betonens arbejdslin-

je under brand er anderledes end arbejdslinjen for kold beton.

311


9.2.1 Bøjning

9.2.1.1 Tværsnitsanalyse – Generel metode, betonbidrag

I det følgende gennemgås, hvordan betonens trykbidrag til tværsnittets lige-

vægtsligninger bestemmes. Betonens trykbidrag er det samme for både bjælker,

søjler og vægge. Dette afsnit kan derfor også anvendes ved søjleanalyse. I det

følgende afsnit findes armeringens bidrag ved bjælkeanalyse og ligningerne for

den statiske ækvivalens opstilles og løses.

Det antages, at betonens trækstyrke er nul.

y

0

h’

y’

Nc

c c

x


Spændingsfordelingen i det reducerede betontværsnit bestemmes ud fra ar-

bejdslinjen under brandpåvirkning, jævnfør afsnit 9.1.1. Tværsnittets tøjning

varierer lineært. Ved den ene betonkant fås tøjningen 0, som benyttes som

iterationsparameter. Spændingsvariationen fås ved at indføre tøjningen c, som

betegner betonens tøjning i et givet punkt i tværsnittet. Trykzonens højde er

variabel og angivet som x. Hermed kan c omskrives til den dimensionsløse form

angivet nedenfor. Ved omskrivningen benyttes substitutionen t = y/x, hvilket

giver c = t0.

312


Trykspændingen i betonen kan med samme notation som anvendt ved den kolde

beregning, skrives som:

02

, 1, 1,, ,3 33

0 1, 3301,

01,1,

3... 3 3

222

c c c cc c

ccc

cc

tf t

cf f

tt

Følgende konstanter indføres:

0

,13 2 cA ,

2

0

,13

cB

Hermed kan udtrykket for betonspændingen skrives som:

,3 3c c

tB f

A t

Resultanten af betonens trykspændinger bestemmes ved integration over tryk-

zonen:

1

'c cN b x d

t

Hvor b’ er betontværsnittets reducerede bredde og

0 for '

' for '

x h

x hx h

x

Indsættes udtrykket for c fås:

313


1

, 3 3

2 2 2

, 2 2

' ...

1 1 1 2 2' ln ln arctan arctan

6 3 31

c c

c c

tN b xBf dt

A t

B A A A A AN b x f

A A AA A

3

A

Trykresultanten udtrykkes dimensionsløst:

2 2 2

2 2,


' 6 3 31c

cc

N B A A A A AN

b xf A A AA A

3

A

Herefter kan afstanden y’ fra resultantens placering til nullinjen bestemmes.

Dette gøres ved at bestemme resultantens moment omkring nullinjen.

12

1 22

, 3 3

32

, 3 3

' '

' ' ...

1 1' ' ln

3

c c

c c

c c

y N b x t dt

ty N b x Bf dt

A t

Ay N b x Bf

A

Betonresultantens moment om nullinjen skrives ligeledes dimensionsløst:

3

2 3,

' 1 1'' ln

' 3c

cc

y N AN B

b x f A3

Resultantens placering målt fra nullinjen kan herved bestemmes som:

2,

,

' ''' ''

' 'c cc c

c c c

b x f Ny N Ny x

N b xf N N

'

'c

9.2.1.2 Tværsnitsanalyse – Generel metode, armeringsbidrag

Armeringsbidraget bestemmes på samme måde som ved den kolde beregning.

314


Nc Nac

Nat1

x

cc’

c1’

0 c

MRd

b’

h’

y’

c2’ Nat2


Tværsnittet, der benyttes, er armeret med et lag trykstænger med et areal Asc

og to lag trækstænger med arealerne Ast1 og Ast2 og med den geometriske pla-

cering givet ved cc’, c1’ og c2’:

1 1

2 2

'

'

'

c c

z

z

c c a

c c a

c c a

z

Bemærk, at den skadede randzone kun trækkes fra, hvis der er brandpåvirkning

på den pågældende side.



tryklaget sc og i træklagene st1 og st2 skrives som:

0

11 0

22 0

'

' '

' '

csc

st

st

x c

xh x c

xh x c

x

315



Trykarmeringen

0 ,

,

'

minc

sc sac

sc sy

x cA E

N xA f

Trækarmeringen

10 1 ,

1

1 ,

' '

min st sat

st sy

h x cA E

N xA f

20 2 ,

2

2 ,

' '

min st sat

st sy

h x cA E

N xA f

Hvor fsy, er armeringens flydespænding ved temperaturen . Det er nu muligt at

opstille ligevægtsligningerne, som vil bestemme tværsnittets bæreevne.


catatac NNNN 210


1 1 2' ' ' ' ' 'Rd c c ac at at 2M y N x c N h x c N h x c N

hvor y’ er afstanden fra nullinjen til betontrykspændingens resultant. MRd er

tværsnittets momentkapacitet.

316


9.2.1.3 Bøjning uden trykarmering

I brandtilstanden gælder samme simple formel for en bjælkes momentkapacitet,

for bjælker uden trykarmering, som er gældende i kold tilstand. Armeringsgra-

den er givet ved:

,

,' 's sy

c

A f

b d f

hvor d’ er afstanden fra trækarmeringen til trykkanten af det reducerede beton-

tværsnit.

d’

c

Nat

Nc

0

x

c’

MRd

b’

h’

y’

d’

Figur 9-15: Definitioner, som anvendes i tværsnitsanalyse

Betonens trykresultant Nc, ”arealet under spændingsblokken”, Nc’, og ”placering

af trykresultanten”, Nc’’ findes som beskrevet i afsnit 9.2.1.1, med nullinjens

placering beliggende inden for tværsnittet, dvs. x h’.

Projektionsligningen stilles op, og trykzonens udbredelse bestemmes:

, ,

'0 0 ' ' ' '

'at c c cc

dN N b d f b xf N x

N

Resultantens placering målt fra nullinjen fås jævnfør afsnit 9.2.1.1:

''

''

c

c

Ny x

N

317


Den indre momentarm er givet ved følgende, idet sammenhængen / cx d N

udnyttes:

'' ' ''

2' '' ' ' ' 1 ' 1 ' 1 0,55c c c

c c

N N Nz h c x y d x d d

N N

Brøken ' '' ' 2) ( )c c cN N N( er optegnet på figur 9-16 i forhold til kanttøjningen.

Kanttøjningen for betontværsnittet vælges ved tværsnitsanalysen til den værdi,

hvor momentkapaciteten er størst. Dette svarer til minimum af størrelsen ' '' '( ) (c c cN N N 2) . Dette minimum viser sig at ligge på ' '' ' 2( ) ( ) 0,c c cN N N 55 for samtlige temperaturer, præcis som i det kolde

tilfælde. Ved minimum af ' '' ' 2) ( )c c cN N N( er værdierne af N’c og N’’c samtidig

kontante hver for sig:

' 0,714

'' 0, 434c

c

N

N

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035 0,040

2'

'''

c

cc

N

NN

T = 500oC

T = 300oC

T = 400oC

T = 200oC

T = 100oCT = 20oC

Figur 9-16: 2' '' '/c c cN N N optegnet for forskellige temperaturer i forhold

til kanttøjningen 0

318


Momentligevægten opskrives for moment om betonens trykresultant. Hermed

fås kun et bidrag fra trækarmeringen og momentkapaciteten kan bestemmes

direkte:

2,1 0,55Rd at cM z N b d f for ,st sy

Ovenstående gælder kun ved flydning i armeringen. Dette kontrolleres ved at

undersøge hvorvidt tværsnittets armeringsgrad er mindre eller lig den balance-

rede armeringsgrad. Den balancerede armeringsgrad er et udtryk for den arme-

ringsgrad, der netop giver flydning i armeringen. Den balancerede armerings-

grad bestemmes ved:

,

0

'

1

cbal

sy

N

hvor N’c = 0,714

0 aflæses af Figur 9-16 ved minimum af grafen ' '' '( ) (c c cN N N 2) ved den på-

gældende betontemperatur. For = 20 C fås 0 = 0,0035.

For varmvalset og bratkølet stål ses af tabellen, figur 9-5, at reduktionskoeffici-

enterne altid er mindre for stålstyrken end for elasticitetsmodulet. Med en mak-

simal stålstyrke, fyk = 600 MPa i kold tilstand vil sy, 0,003 dermed altid gæl-

de, så på den sikre side fås i brandtilfældet:

0,7140,38

0,0031

0,0035

bal

Dette er normalt opfyldt i brandtilfældet, hvis grænsen for normalarmeret tvær-

snit ( 0,40) er overholdt i kold tilstand, på grund af de forskellige partialkoef-

ficienter for beton og armering.

319


9.2.2 Forskydning

EC2 håndterer bæreevnen af armerede betonbjælker udsat for brand på to må-

der: dels via brug af tabeller, dels ved anvendelse af zonemetoden, der dog i

Danmark for bjælker kun er gældende for beregning af bøjningsbæreevnen.

Anvendes tabelværdierne ved design af armerede betonbjælker, er der ingen

krav til yderligere undersøgelser vedrørende bøjning, forskydning, vridning eller

forankring.

Den projekterende kan desuden selv justere tabelværdierne ved at se på de

aktuelle temperaturforhold i bjælken under brand og vælge et arrangement af

længdearmeringen, så der sikres en tilstrækkelig bøjningsbæreevne. I grænsen

svarer dette i det alt væsentlige til det resultat, man opnår ved anvendelse af

zonemetoden til bøjningsberegningen.

Uden en undersøgelse af forskydningsbæreevnen kan der efter forfatterens op-

fattelse opstå risiko for, at bjælker udformes, så der stort set ingen forskyd-

ningsbæreevne er tilbage i brandtilfældet, fordi temperaturen i bøjlerne hurtigt

kan blive meget høj på grund af dæklagsforholdene. I mangel af bedre, doku-

menteret beregningsmodel foreslås derfor, at bøjningsundersøgelsen i brandtil-

fældet suppleres med en forskydningsundersøgelse baseret på diagonaltrykme-

toden som i kold tilstand, idet der anvendes en reduceret flydespænding for

bøjlearmeringen pga. temperaturen og et reduceret betontværsnit som ved bøj-

ningsundersøgelsen. Minimumskravene til kropbredden bør fortsat opfyldes, så

det her foreslåede fungerer som et supplement til normens krav.

9.2.3 Eksempel – Bjælke i brandtilstanden

Bjælken fra eksemplet afsnit 6.1.6 betragtes i brandtilstanden. Bjælkens bære-

evne bestemmes med hensyn til bøjning og forskydning. Tværsnittet påvirkes af

60 minutters brand fra tre sider. Temperatur i beton og armering er bestemt i

eksemplet afsnit 9.1.5.

320




Skadet randzone az = 20,9 mm

b’ = 300 mm – 220,9 mm = 258,2 mm

h’ = 420 mm – 20,9 mm = 399,1 mm

d’ = 420 mm – 40 mm = 380 mm

Da bjælken ikke er brandpåvirket oppefra


Betontemperatur midt i tværsnittet = 20,0 C

Regningsmæssig betontrykstyrke fc, = 35 MPa

Armering 4 stk. Y16, én i hvert hjørne. Asc = 402 mm2

Ast = 402 mm2

c = 40 mm


Længdearmeringens temperatur = 396,1 C

Regningsmæssig flydespænding for længdearmeringen fsy, = 327 MPa

Regningsmæssigt elasticitetsmodul Es, = 1,41105 MPa

Forskydningsarmering bøjler Y6 Asw = 228 mm2


Bøjlearmeringens temperatur = 386,8 C

Regningsmæssig flydespænding for bøjlearmeringen fsy, = 275 MPa


Bjælkelængde L = 5000 mm

321


420 m

m

300 mm

2 stk. Y16

2 stk. Y16

Bjl. Y6 pr. 150/200

L=5,0 m

pd = 10,0 kN/m


9.2.3.2 Bøjning

Det maksimale regningsmæssige moment bestemmes ud fra lastopstillingen

Figur 9-17. Momentmaksimum er givet ved:

221 110 5,0 31,3kNm

8 8 Ed dM p L

Der ses bort fra trykarmeringen. Hermed kan de simple formler fra afsnit 9.2.1.3

benyttes.

Armeringsgrad:

,

,

402 3270,038

' ' 258, 2 380 35s sy

c

A f

b d f

Ovenstående udtryk gælder kun ved flydning i trækarmeringen. Fra den kolde

bæreevneberegning, afsnit 6.1.4.2 haves bal , hvilket vil sige, at der også

er flydning i armeringen i brandttilstanden, og nedenstående udtryk for mo-

mentkapaciteten kan anvendes.

Momentkapacitet:

2,

2

1 0,55

0,038 1 0,55 0,038 258,2 380 35 48,6kNm

Rd cM b d f

Momentbæreevnen ses at være tilstrækkelig:

31,3kNm 48,6kNm Ed RdM M

322


Den indre momentarm bestemmes:

' 1 0,55 380 1 0,55 0,038 372,1mm z d

9.2.3.3 Forskydning

Det undersøges, om den fundne bøjlearmering fra eksemplet i afsnit 6.1.6.3 er

tilstrækkelig i brandtilfældet. Diagonaltrykkets vinkel ved vederlaget vælges til

cot 2,0 , hvilket er inden for intervallet 1 cot 2,5 . Vinklen holdes kon-

stant i hele bjælkens længde. Forskydningskraften, V1, for

cot 372,1 2,0 0,74x z mm m bestemmes.

V1 (x=0,74m)

2 2

1,

22

1,

5,0 0,741 110 18,1kN

2 2 5,0

0,741 110 0,5kN

2 2 5,0

venstre d

højre d

L xV p

L

xV p

L

1,1

1,

18,1kNmax max 18,1kN

0,5kN

venstre

højre

VV

V

Forskydningsbæreevnen bestemmes for en bøjleafstand på 200 mm.

Bøjler pr. 200 mm:

,

2 28· ·cot 372,1 275 2,0 57,3kN

200 sw

Rd yw

AV z f

s

Trykbrud i beton:

', 258, 2 372,1 0,525 35

706kNcot 1/ cot 2,0 1/ 2,0

v cRd

b z fV

Hvor effektivitetsfaktoren for forskydning er givet ved:

350,7 0,7 0,525

200 200ck

v

f

Det ses, at en bøjlearmering Y6 pr. 200 mm er tilstrækkelig i brandtilfældet.

Eksempel slut

323



Bjælkeprogrammet på www.bef.dk rummer også en modul til beregning af bjæl-

ker i bandsituationen. Nedenstående udskrift viser resultaterne af en beregning

svarende til eksemplet i afsnit 9.4.3.

I beregningseksemplet blev ved momentdimensioneringen set bort fra trykarme-

ringen, som derfor er nulstillet i programmet. En sammenligning af resultaterne

viser overensstemmelse med gennemregningen i afsnit 9.2.3.


Spændvidde Tværsnit h 420 mm

L 5,00 m b 300 mmLængdearmering c' = 40 mm beff 300 mm

d (mm) c (mm) antalTryklag t 16 40 0

Træklag 1 14 100 0

Træklag 2 16 40 2Bøjler d (mm) a (mm) cot

Type 1 6 200 2,00

Type 2 6 200 2,00

Partialkoefficienter Længdearmeringc 1,00 fyk 500 MPa

31,3 kNm < s 1,00 fyd 500 MPaBeton Bøjlearmering

fck 35 MPa fyk 410 MPap1 p2 p3 P1 P2 P3 fcd 35,0 MPa fyd 410 MPa

Brand, tid: 60 min Stålreduktioner

Kar. værdi (kN/m) 12,0 0,0 0,0 (kN) 0 0 0 Bund: JA fsy, / fyk Es, / Es

Regnm. værdi (kN/m) 10,0 0,0 0,0 (kN) 0 0 0 Sider: JA Tryklag t: 1,00 1,00

Excentricitet, exc. (mm) 0 0 0 (mm) 0 0 0 Betonreduktioner Træklag 1: 1,00 1,00x1 (m) 0,00 0,00 0,00 (m) 0,70 0,00 0,00 Randzone: 21 mm Træklag 2: 0,65 0,70

x2 (m) 5,00 0,00 0,00 kc,M 1,00 Bøjlearmering: 0,67Kontrolparametre Momentkapacitet Forskydningskapacitet

M (kNm) 49,0 MRd 49,0 kNm v/ trykbrud i krop: VRd,0 707 kN

x (mm) 20,4 Tilslag: Søsand / granit v/ type 1 bøjler: VRd,1 58 kN

(o/oo) 3,25 Stål: Varmvalset v/ type 2 bøjler: VRd,2 58 kN

st (MPa) 327 Forskydningskraftens største excentricitet, exc.: 0 mm

z (mm) 372 Forankringskrav til hovedarmering over lejer, Na : 25 kN

Vejledning PC-statik: Bjælkeberegning efter EC2 Udgivet på www.bef.dk december 2008 NB: Resultaterne skal altid kontrolleres af ansvarlig statiker


23 - 45452008-03-01

JFJ

Betonelementhuset

BrandlastkombinationerBjælke i modul D-E/12, stueetage

BJÆLKE, version 2.0 / EC Betonelement-Foreningen mar. 2009


0

10

20

30

40

50

60

70

: : : :

Momenter i kNm

0

5

10

15

20

25

30

35

40

:

:

Mkar

MEd

VEdVRd,1

VRd,2

z cotMEd,max = MRd

c

c

c

tryklag t

træklag 1

c måles til midte jern

træklag 2

Pp

x2

x1

x1

L

c'

: L / 10


9.4 Søjler og vægge i brandtilstanden

Bæreevnen af søjler og vægge i brandtilstanden findes ved opstilling af lige-

vægtsligningerne for tværsnittet. Bæreevneeftervisningen er kompliceret, og

betonens kanttøjning og trykzonens udstrækning skal itereres frem. Metoden er

derfor ikke egnet til håndberegning. Det anbefales at anvende et computerpro-

gram eksempelvis Betonelementforeningens (www.bef.dk - Søjleelementer).

324


Tværsnitsanalysen forløber i princippet som tværsnitsanalysen for bjælker, af-

snit 9.2.1.1 og 9.2.1.2. Søjle- og vægberegningen vanskeliggøres af udbøjnin-

gens betydning for bæreevnen. Ud over den almindelige udbøjning skal der ta-

ges hensyn til udbøjning fra krybning i perioden op til branden, termisk udbøj-

ning og eventuelt forsætning af søjlereaktionen under brand.

I de følgende afsnit 9.4.1 og 9.4.2 gennemgås udbøjningsbidragene. I afsnit

9.4.4 gives et eksempel på en søjleberegning udført på computer. I eksemplet

afsnit 9.4.3 vises, hvordan computerberegningen kan kontrolleres.

9.4.1 Udbøjning fra krybning

En brandsituation er så kortvarig, at der ikke forekommer krybning undervejs.

Til gengæld skal der ved bæreevneberegninger for søjler og vægge tages højde

for den krybning, som har været op til brandtidspunktet. Den krybningsrelatere-

de udbøjning er generelt set meget lille, men har en mindre betydning for søjler

og vægges bæreevne. Krybning i brandtilfældet kan medtages ved at beregne

søjlen/væggens udbøjning for langtidslast. Beregningen foretages dels med og

uden krybning. Herefter bestemmes den krybningsrelaterede udbøjning som:

0ef efkrybningu u u

Beregningen af udbøjningerne foretages ud fra en lineærelastisk betragtning

under antagelse af, at tværsnittet er fuldt revnet. Beregningen foretages på

baggrund af det oprindelige betontværsnit. Krybningsbidraget bestemmes på

baggrund af den effektive krybefaktor, ef, der udgør en vægtet værdi af slut-

krybetallet:

0

moment fra langtidslast

moment fra samlet lastef

Krybningsudbøjningen bør bestemmes ud fra en passende referencebelastning.

Denne last kan eksempelvis sættes svarende til et lasttilfælde, hvor normalkraf-

ten Nd = 0 og momentet M0Ed som minimum sættes lig det maksimalt forekom-

mende moment i samtlige lasttilfælde. Ved at benytte et lasttilfælde hvor Nd = 0

325


som referencelast opnås den store fordel, at tværsnitsligningerne kan løses di-

rekte, så iteration undgås.

sc

sc/

st/

c 0(ef eller 0

st

sc

c

h

tværsnittets bredde er b

Nd M0Ed

x


Geometriske betingelser tilfældet med krybning:

0 01 , 1sc ef st ef

x c d xx x

Armeringsspændingerne findes ved at substituere /s s Es og 0 /c cE m ,

hvilket giver:

1 , 1s ssc c ef st c

cm cm

E Ex c h x c

x E x E ef

Ligevægtsligningerne kan nu opstilles.


1

21

0 12

Ed c sc sc st st

s sc c ef sc c

cm cm

N bx A A

E Ex c h x cbx A A

x E x E1 ef st

326


Nullinjens beliggenhed findes ved at indsætte de geometriske betingelser i pro-

jektionsligningen. For NEd =0 giver dette en 2.grads-ligning, der kan løses for x.


0

0

1

2 2 3 2

11

2 2 3 2

Ed c sc sc st st

Ed sef sc st

c cm

h x hM bx c A A

M Eh x h x c h x cbx c A A

E x x

Tværsnitsspændingerne kan bestemmes på følgende måde: Betonkantspændin-

genc findes ved indsættelse af x i momentligningen, og armeringsspændinger-

ne fås til slut af de geometriske betingelser ved at indsætte c.

Udbøjningen inklusiv krybning kan nu findes af:

211

10ef

c ef

scm

u LE x

For tilfældet uden krybning gælder samme formler, hvor det effektive krybetal

sættes lig nul, ef = 0.

Herefter findes udbøjningstillægget fra krybning som differencen mellem de to

beregnede udbøjninger.

9.4.2 Termiske udbøjninger

Ved brand på den ene side af en søjle/væg vil den varme side udvide sig, hvilket

giver en udbøjning af søjlen/væggen. De termiske tøjninger regnes generelt ikke

til gunst. For hvert hovedtilfælde med en given udbøjningsretning betyder dette,

at der altid ses bort fra de termiske tøjninger i tryksiden.

I brandtilfældet er det til gengæld væsentligt altid at kontrollere samtlige mulige

udbøjningsretninger for at tage hensyn til muligheden for, at termiske tøjninger

327


kan medføre en udbøjning, hvor søjlen bøjer ud i modsat retning af, hvad der

ville være forventeligt ved en isoleret vurdering af belastningstilfældene. Disse

forhold optræder især, når der er tale om en hidsig brandpåvirkning

Den termiske udbøjning i det enkelte hovedtilfælde bestemmes af:

521,1 101

8 's

termisk sed

L for revnede tværsnit

5, 2 , 2 21,1 101

8 'r kant r kant

termisk s

ke L

h

for urevnede tværsnit

hvor:

kr,kant2 = (1-2,35r,kant2 / fck), dog mindst 0

s er temperaturen i armeringen. Her benyttes armeringens temperatur-

tilvækst, det vil sige den aktuelle temperatur minus 20 C.

r,kant2 er temperaturen i den mindst trykkede kant af det reducerede tværsnit

r,kant2 er trykspændingen i den mindst trykkede kant før en eventuel instabili-

tetsberegning

LS er søjlelængden

h’ er højden af det reducerede tværsnit

d’ er den effektive højde fra armeringen til den mest trykkede kant af det

reducerede tværsnit

I beregningsudtrykkene er det sidste led (r,kant1kr,kant1) et udtryk for den resulte-

rende termisk betingede tøjning i søjlens trykside. I beregningerne ses der bort

fra bidraget fra disse tøjninger, hvilket for bestemmelse af bæreevnen ikke har

nogen væsentlig betydning, idet spændingen i tryksiden normalt er større end

0,425 fck, så man alligevel får kr,kant1 = 0.

9.4.3 Søjle/vægreaktionens forsætning under brand

Når en søjle/væg bøjer ud ved brand, kompenseres for denne udbøjning ved, at

søjlereaktionen flytter sig fra tværsnitscenteret. Denne effekt reducerer virknin-

gen af udbøjning. Ved at medregne reaktionens forsætning fås en øget bæreev-

ne, men virkningen bør kun medregnes, hvis det samtidig sikres, at eventuelle

328


underliggende konstruktioner i brandtilstanden dimensioneres for den excentrici-

tet reaktionen afleveres med.

Reaktionens forsætning indgår i ligevægtsligningen på følgende vis:

0 00, 4 0, 4 Rd Rd Ed R Rd Rd Ed RM M N u e M M N u e

Søjlen/væggens udbøjning betragtes i det øverste 2/5-dels punkt. Reaktionens

afvigelse fra tværsnittets centerlinje er på dette sted 2/5eR = 0,4eR.

Reaktionens forsætning bør ikke vælges større end følgende værdier:

1min 2

2

zR

termisk

h ae

e

På denne måde sikres, at reaktionen er inden for det intakte tværsnit, og at den

maksimale reduktion svarer til, at højst 80 % af den termiske udbøjning neutra-

liseres.

eR

0,4eR

2/5 L

2/5 L

1/5 L

Figur 9-20: Reaktionens forsætning under

329


9.4.4 Eksempel – Søjle i brandtilstanden

Bæreevneeftervisning af søjler i brandtilstanden er ikke egnet til håndberegning.

Det anbefales at anvende et computerprogram, eksempelvis Betonelementfor-

eningens (www.bef.dk - Søjleelementer). Se nærmere i afsnit 9.5. I dette ek-

sempel vises, hvordan computerberegningen kan kontrolleres.

Søjlen fra eksemplet afsnit 8.1.4 undersøges under en firesidet brandpåvirkning

af 60 minutters varighed for bøjning om den stærke akse. Til eksemplet er ud-

valgt lasttilfælde F, jævnfør programudskriften i afsnit 9.5.


Tværsnittets temperaturfordeling, skadet randzone og reduktion af materialepa-

rametre er bestemt i afsnit 9.1.5.


Skadet randzone az = 26,5 mm

b’ = 300 mm – 226,5 mm = 247,0 mm

h’ = 420 mm – 226,5 mm = 367,0 mm


Betontemperatur midt i tværsnittet = 20,0 C

Regningsmæssig betontrykstyrke fc, = 35 MPa

Armering 4 stk. Y16, én i hvert hjørne.

Asc = 402 mm2

Ast = 402 mm2

c = 40 mm


Længdearmeringens temperatur = 396,1 C

Regningsmæssig flydespænding for længdearmeringen fsy, = 327 MPa


Søjlelængde Ls = 3500 mm

330


Regningsmæssig normalkraft jævnfør afsnit 9.5

NEd=124,3 + 357,8 + 26,0 = 508,1kN

Regningsmæssigt 1. ordensmoment

M0Ed = N1e1 + N0E0 - N2e2 = 124,3·0,233 + 357,8·0,020 – 26,0·0,200

= 30,9kNm

9.4.4.2 Kontrol ved opstilling af tværsnittets ligevægtsligninger

Her kontrolleres beregningen ved at se, om tværsnittet er i ligevægt ved opstil-

ling af projektionsligningen for en given belastning. Det vanskelige ved søjlebe-

regning i brandtilstanden er de omfattende ligningssystemer, hvor ligevægten

skal itereres frem ved at gætte på betonens kanttøjning. Her udnyttes, at pro-

grammet oplyser værdierne for betonens kanttøjning, 0, og trykzonens ud-

strækning x. Hermed kan ligevægten opstilles og kontrolleres direkte uden itera-

tion.

For lasttilfælde F fås:

0 = 0,00196

x = 117 mm

Betonens bidrag til ligevægtsligningerne findes jævnfør afsnit 9.2.1.1. Først

udregnes hjælpestørrelserne A og B:

1,3 3

0

0,002502 2 1,

0,00196cA 607

2 2

1,

0

0,002503 3 4,881

0,00196cB

Her udnyttes, at betonens centertemperatur er 20,0 C, hvorefter c1 bestemmes

af tabellen figur 9-3.

331


Betonens trykresultant fås af:

2 2 2

, 2 2

2

2


6 3 31

4,881247,0 117 35

1,607

1 1 1,607 1,607 1 2 1,607 1,607ln arctan arctan

6 3 1,607 3 1,607 31 1,607

3

c c

B A A A A AN b x f

A A AA A

541,9kN

A

hvor det udnyttes at = 0, da x h.

De geometriske betingelser for tværsnittet kan umiddelbart opstilles, idet der

ikke regnes med krybning under brandforløbet:

0

0

'

zsc

zst

x c a

xh x c a

x

Tryk/trækspændingerne i armering og betonkant er hermed givet ved:

c az

az

h’

0

x c’

y’

Nc

Figur 9-21: Geometriske sammenhænge

332


Betonkant spænding

,

3 3

1,1,

3 3 0,00196 3533,2MPa

0,001960,00250 22

0,00250

c cc

cc

c

f

1,c c

Trykarmeringen

0 ,

,

5

min

117 40 26,50,00189 1, 41 10 244MPa

min 117327MPa

zs

sc

sy

x c aE

xf

Trækarmeringen

0 ,

,

5

'

min

367,0 117 40 26,50,00196 1,41 10 559MPa

min 117327MPa

zs

st

sy

h x c aE

xf

Der ses at være flydning i trækarmeringen.

244 402 97,9kN

327 402 131,7kN

ac

at

N

N

Projektionsligningen opstilles:

508,1kN 541,9 97,9 131,7 508,1kN 508,1kN

Ed c ac atN N N N

Ligevægten ses at være i orden

333


Afstanden fra centerlinjen til betonens trykresultant findes:

22 3 3,

3 3

246,0 117 4,881 35'1 1 1 1,667 1' ln ln 76

3 3 541,9 1,667c

c

b x Bf Ay

N A

, 4mm

Momentligningen opstilles for moment om tværsnittets centerlinje:

1 1' ' ' '

2 2

1 1367,0 117 76, 4 541,9 367,0 40 26,5 97,9 131,7 116,5kNm

2 2

Rd c ac atM h x y N h c N N

9.4.4.3 Kontrol af udbøjning

Den samlede udbøjning består af bidrag fra søjleudbøjning, krybning og termisk

udbøjning Dette giver følgende udtryk for den totale udbøjning, u:

201

10 s krybning termisku L u ex

I det følgende bestemmes hvert af de tre bidrag.

Søjleudbøjning

Søjlen/væggens krumning er tilnærmelsesvis parabelformet, med en formfaktor

for krumningsforløbet på ca. 10. Det vil sige, at udbøjningen er givet ved:

2 201 1 0,001963500 20,5mm

10 10 117

su L

x

Hvor kanttøjning og trykzonehøjden umiddelbart fås af afsnit 9.4.4.2.

Udbøjning fra krybning

Belastningen op til brandtidspunktet vurderes at bestå af 75 % langtidslast og

25 % korttidslast. Det effektive krybetal udregnes på baggrund af slutkrybetal-

let, der blev bestemt i afsnit 2.1.3.1:

00,75 0,75 2,13 1,60ef

334


Udbøjningen inklusiv krybning bestemmes nu for perioden op til brandtidspunk-

tet. Der vælges en referencelast på:

0

0

30,9kNm

Ed

Ed

N

M

Med krybning

10 1

2s s

c c ef sc ccm cm

E Ex c h x cbx A A

x E x E 1 ef st

Talværdierne indsættes og 2. gradsligningen løses for x:

5

5

1 40 2,0 100 300 1 1,6 402

2 34077

420 40 2,0 101 1,6 402 96, 4mm

34077

xx

x

xx

x

Her benyttes

0,3 0,335 8

22000 22000 34077MPa10 10

cm

cm

fE

Betonkantspændingen findes ved indsættelse af x i momentligningen:

0

5

6

6

11

2 2 3 2

31 1 420 96, 4 420 2,0 10300 96, 4 40

2 2 3 2 34077

96, 4 40 420 96, 4 401 1,6 402 402

96, 4 96, 4

31 104,9

6, 250 10

Ed sef sc st

c cm

c

c

M Eh x h x c h x cbx c A A

E x x

6MPa

335


Udbøjningen inklusiv krybning fås til:

2 21 4,96 1 1,61 1

3500 4,8110 10 34077 96, 4

ef

c ef

scm

u LE x

mm

Uden krybning

For tilfældet uden krybning sættes ef = 0. Trykzonehøjden fås da til:

5

5

1 40 2,0 100 300 402

2 34077

420 40 2,0 10402 67,1mm

34077

xx

x

xx

x

Betonkantspændingen fås tilsvarende til:

5

6

6

31 1 420 67,1 420 2,0 10300 67,1 40

2 2 3 2 34077

67,1 40 420 67,1 40402 402

67,1 67,1

31 107,9MPa

3,921 10

c

c

Udbøjningen uden krybning fås til:

2 20

1 1 7,93500 4,25mm

10 10 34077 67,1

ef

cs

cm

u LE x

Udbøjningstillægget fra krybning giver:

0 4,81 4,25 0,56mm 0,6mm ef efkrybningu u u

Termisk udbøjning

Den termiske udbøjning bestemmes af nedenstående udtryk, idet tværsnittet er

revnet:

5 52 21,1 101 1 1,1 10 376,1

3500 17,98 ' 8 353,5

s

termisk se Ld

mm

336


Hvor følgende mellemregninger er blevet benyttet:

Temperatur i længdearmeringen findes af afsnit 0:

396,1 20s C C

Den reducerede afstand fra længdearmering til trykket betonkant:

' 420 40 26,5 353,5mm zd h c a

Samlet udbøjning

Den samlede udbøjning fås ved at summere bidragene fra søjleudbøjning, kryb-

ning og termisk udbøjning:

20,1 0,6 17,9 38,6mm 39mm

søjle krybning termisku u u e

9.4.4.4 Bestemmelse af momentkapacitet MoRd

Det er muligt at bestemme det maksimale lastfremkaldte moment, M0Rd, som

søjlen/væggen kan belastes med ud fra søjlens ligevægtsligning:

0 00, 4 0, 4 Rd Rd Ed R Rd Rd Ed RM M N u e M M N u e

I dette eksempel regnes reaktionens forsætning eR = 0. Momentkapaciteten fås

til:

30 116,5 501,8 39 10 96,92kNm 97kNmRdM

Eksempel slut

337


338


Den samlede udskrift af brandmodulet i søjleprogrammet på www.bef.dk er vist

nedenfor med inddata svarende til det gennemgåede eksempel i afsnit 9.5.4.

I programmet er i stedet for brandlasttilfælde A indlagt en belastning svarende

til den referencelast, der i eksemplet blev anvendt til bestemmelse af krybebi-

draget til udbøjningen.



c 1,00 fyd,tryk 327 MPas 1,00 fyd,træk 327 MPa

Søjlelængde Ls 3500 mm Krybning Tværsnit h 420 mm o 2,13

b 300 mm M0Eqp/M0Ed 0,75

c 40 mm ef 1,60

Trykarm. da 16 mm Udbøjningstillæg fra krybning:

Antal 2 stk ukrybning 0,6 mm

Trækarm. da 16 mm ReduktionsparametreAntal 2 stk Randzone: a 26 mm

Brandpåvirkning, tid : 60 min Beton: kc,M 1,00Brand, trykside JA Trykarm: fsy, / fyk 0,65

Brand, trækside JA Es, / Es 0,70

Brand, sider JA Trækarm: fsy, / fyk 0,65

Es, / Es0,70

Kontrolparametre Ref-last Brandlasttilfælde N1 (kN) N0 (kN) N2 (kN) w (kN/m)

E F H A A 0 0 0 20,00NEd (kN) 277 508 513 0 B

M0Ed (kNm) 26 31 31 31 CM0Rd (kNm) 75 97 97 44 D

u (mm) 34,5 39,0 39,1 28,5 E 124 127 26 0,00wk (mm) - - - - F 124 358 26 0,00

0 (o/oo) 1,34 1,96 1,97 0,58 G 124 358 47 0,00c0 (Mpa) 26,1 33,1 33,2 12,1 H 124 362 26 0,00st (Mpa) 327 327 327 327 I 124 362 47 0,00sc (Mpa) 163 244 245 66 max exc( R )brand

x (mm) 102 117 117 70 233 20 200 0 mm

Vejledning: PC-statik: Søjle- og vægberegning efter EC2 Udgivet på www.bef.dk december 2008 NB: Resultaterne skal altid kontrolleres af ansvarlig statiker

SØJLE, version 2.0 / EC2 Betonelement-Foreningen mar. 2008


Brandlasttilfælde

Betonelementhuset

BrandlastkombinationerSøjle i modul B/4, 1.-2. sal, hovedtilfælde I-b

23 - 45452010-03-01

JFJ

Tilslag: Søsand / granit Stål: Varmvalset

IHGFEA

BCD0

20

40

60

80

100

120

140

0 500 1000 1500 2000 2500 3000N (kN)

M (

kN

m)

N1

N0

N2

w

c

c

h

b

NM


e0

e2 e1


10dETAIlSTATIK

10 DETAILSTATIK

10.1 Detailberegningvedgitteranalogien

10.1.1 Gitterløsningermedlukkedebøjler

10.2 Forankringafhovedarmering

10.2.1 Forankringmedsimpelretlinetarmering

10.2.2Forankringmedu-bøjle

10.2.3Forankringmedpåsvejsttværarmering

10.2.4Andreforankringstyper

10.3 Anvendelseseksempler

10.3.1 Eksempel-Vederlagsforankring

10.3.2Eksempel-Bjælkehalvering

10.3.3Eksempel-Pladehjørne

10.4 Udstøbningssamlinger

10.4.1 Støbeskel

10.4.2Etagekryds

10 | Detailstatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK

Søjlekonsol Bjælkehalvering Skivevederlag

Figur 10-1: Eksempler på gitterløsninger

Detailstatikken omfatter lokale forhold i betonelementerne og ved sammenbyg-

ningsdetaljer. I betonelementsammenhæng kan detailstatikken i det væsentlig-

ste opdeles i følgende områder:

• Detailberegning ved gitteranalogien

• Beregning af udstøbningssamlinger

• Beregning af beslagsamlinger

I det følgende tænkes ved beregningen af udstøbningssamlinger og beslagsam-

linger kun på de dele, der ligger uden for betonelementerne. Den videre kraft-

indføring ind i betonelementerne omkring en samling behandles ved hjælp af

gitteranalogien. Gitteranalogien benyttes desuden til analyse af de lokale forhold

i betonelementer omkring udsparinger etc.

340

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Detailstatik | 10

b

Figur 10-2: Trykstænger i gittermodeller

10.1 Detailberegning ved gitteranalogien

De sædvanlige dimensioneringsmetoder for moment og forskydningskraft er ikke

tilstrækkelige til detaljering af armeringsføring mv. For eksempel kan nævnes

detaljering af søjlekonsoller, bjælkehalveringer og skivevederlag.

I sådanne tilfælde er det en fremkommelig metode at indlægge et tænkt gitter i

konstruktionen, hvor armeringen optager trækkræfterne, og hvor tænkte gitter-

stænger af beton optager trykkræfterne.

I figur 10-1 er der kun vist de armeringsjern, der direkte indgår i gittermodeller-

ne. Yderligere randarmering og minimums bøjlearmering vil almindeligvis kom-

me på tale.

De antydede forankringsplader skal i første omgang opfattes som symbolske. De

skal blot ses som en understregning af, at armeringen skal være effektivt for-

ankret i gitterets knudepunkter. Dette vil normalt kunne opnås uden anvendelse

af egentlige ankerplader via en af følgende tre forankringsformer:

• bøjlers forankring ved hjørnejern

• forankring med u-bøjle

• forankring af retlinet, ribbestål-armering

Disse forhold behandles nøjere senere i dette kapitel.

341


I gittermodellerne er tryklamellerne af beton markeret med en skravering inden

for lamellens begrænsningslinjer. Midt i lamellerne er der desuden indtegnet en

punkteret linje, der markerer trykresultantens angrebslinje.

Fig. a Fig. b

A A

Fig. c

Snit A

c f cd

II

c

1 c

c

Figur 10-3: Betonprisme med plan spændingstilstand

Mellem gitterets knudepunkter tegnes tryklamellens begrænsningslinjer parallel-

le med hinanden. Herved udgøres spændingstilstanden i lamellen af et enakset

betontryk, σc, i lamellens retning:

1c cdf k

hvor b er lamellens bredde i planen, og hvor t er konstruktionstykkelsen. Indtil

videre forudsættes konstruktionen at være plan.

I en plan konstruktion må betontrykket i en tryklamel aldrig overstige betonens

regningsmæssige trykstyrke, fcd. Som antydet på Figur 10-3 c foregår brud i

beton ved, at betondelene omkring en brudlinje bevæger sig i forhold til hinan-

den. Denne bevægelse er sammensat af en glidning parallelt med brudlinjen,

342


, og en samtidig tværbevægelse vinkelret på brudlinjen, . Bruddet kan kun

opstå, hvis der er fri mulighed for en tværbevægelse, så følgende opfyldes:

||

tan

hvor φ er den såkaldte friktionsvinkel, der for beton kan regnes til 37°

Fig. a

Fig. b

c

1 c

1 c

c

1

Figur 10-4: Betonprisme med treakset spændingstilstand

I enhver plan konstruktion med spændingsforhold som vist på Figur 10-3 a og b,

er der altid mulighed for tværbevægelse vinkelret på planen.

Ved lokale, koncentrerede påvirkninger inde i en konstruktion kan forholdene

imidlertid stille sig helt anderledes. Her vil den omgivende beton hindre den frie

tværudvidelse, så betonen lokalt kommer under treakset tryk.

343


Af snittet på Figur 10-4 b fremgår at tværtrykket σ1 yder modstand mod brud-

bevægelsen. Det kan vises, at brud i denne situation først opstår når

1c cdf k

hvor k, der afhænger af friktionsvinklen, for beton kan regnes til ca. 4,0.

Størrelsen af det tværtryk der kan regnes til gunst, kan sædvanligvis ikke be-

regnes direkte. Men der er vid erfaring for at tage effekten i regning. I EC2 ind-

regnes effekten især i to tilfælde, nemlig ved overførsel af kræfter til almindelige

bøjler og ved koncentreret last.

10.1.1 Gitterløsninger med lukkede bøjler

Betragtes en sædvanlig bøjlearmeret bjælke, giver figur 10-5 b tydeligt indtryk

af, at der må ske en overordentlig stor spændingskoncentration i betonen nede i

bøjlens ombukning. Til almindelig brug for opstilling af gittermodeller kan beton-

normens regler for forskydningsarmerede bjælker benyttes til en vurdering af,

hvor store gitterkræfter der kan accepteres. I henhold til betonnormen kræves

ved sædvanlig forskydningsdimensionering af bjælker, at bøjleafstanden s er

mindre end 0,75 · d · cotθ, dog højst 0,75 d, hvor d er afstanden fra overside-

Figur 10-5: Forhold i overgang mellem bøjle og længdearmering

Fig. aFig.b

Nc

0

344


bjælke til trækarmering. Med den størst tilladte værdi af s fås da kraften i en

bøjle:

12

·0,75· ·, 1 cot

cot·0,75· ·cot ·

, cot 1cot

t

t d

Nt d

2

hvor er den jævnt fordelte forskydningsspænding over tværsnittet svarende til

forskydningskraften i bjælken. Forskydningsspændingen har følgende relation til

trykspændingen σc i tryklamellerne:

2

cot

1 cot c

Da σc højst må antage værdien · fcd ses ved at indsætte udtrykket for t i ud-

trykket for Nt, at der altid vil kunne optages en bøjlekraft af størrelsen:

2

122

0,75· ·· , 1 cot

1 cot0,75· · ·cot

· , cot1 cot

cd

t

cd

t df

Nt d

f

2

1

Den tilsvarende trykkraft i den skrå gitterstang bliver

21 cotsin

tc t

NN N

Dette giver med den maximale værdi af Nt indsat at

2

122

0,75· ·· , 1 cot

1 cot0,75· · ·cot

· , cot1 cot

cd

t

cd

t df

Nt d

f

2

1

345


Figur 10-6: Analogi til bjælkekrop

Figur 10-7: Kræfter i bøjle og tryklamel

Figur 10-8: Enkelt tryklamel i gitterfelt

346


Ved optegning af en gittermodel kan tryklamellerne således forudsættes at over-

føre et enakset betontryk af størrelsen fcd hvis den enkelte tryklamels bredde

ikke regnes større end:

2

122

0,8· · 1 cot 21 cot

·cot0,8· · cot 1

1 cot

z

bz

hvor den indre momentarm er sat til z = 0,9375 d. Denne substitution er foreta-

get, fordi bjælkens indre momentarm kan sidestilles med en tilsvarende system-

linjeafstand i en gittermodel.

Betragtes nu et gitterfelt med systemlinjeafstandene k og l, må den skrå tryk-

lamels bredde således ikke regnes større end

2

2 2

2 2

0,8· ·

·0,8· ·

kk l

k lbk l

k lk l

10.1-1

I henhold til det nationale anneks til EC2 regnes ved gitteranalogi med 0,8

2

2 2

2 2

0,64·

·0,64·

kk l

k lbk l

k lk l

Af hensyn til tolerancer på udførelsen bør der altid regnes med et »dæklag« på

mindst 20 mm langs tryklameller, der føres forbi huller, indadgående hjørner

etc. Afhængig af konstruktionsudformningen kan større »dæklag« være nødven-

dige for at sikre, at små skævheder ikke medfører et alvorligt bæreevnetab.

347


Figur 10-9: Dæklag på tryklamel ved udsparing

I gittermodeller optegnes knudepunkter med lukkede bøjler som vist nedenfor,

hvor skæringspunktet mellem gitterstængernes systemlinjer er markeret med

en stjerne.

Ved knudepunktet med den vandrette tryklamel bør skæringspunktet mindst

holdes i afstanden y under bøjlens vandrette gren, hvor

·cos

2· ·c

cd

Ny

t f

Ifald den vandrette tryklamel skal optage vandrette kræfter hobet op fra flere

knudepunkter, for eksempel i en bjælkeoverside, gælder reglen kun fikseringen

af den enkelte skrå tryklamel. Optagelsen af den resulterende vandrette tryk-

kraft i bjælkeoversiden sikres da ved den sædvanlige momentundersøgelse.

Figur 10-10: Knudepunkt mellem

bøjle og vandret tryklamel

Figur 10-11: Knudepunkt mel-

lem bøjle og længdearmering

348


Ved knudepunkter mellem bøjler og hovedarmering henføres skæringspunktet til

krydset mellem bøjlens og hovedarmeringens centerakser. Det er her vigtigt

altid at sikre effektiv forankring af hovedarmeringen bag bøjlen.

10.2 Forankring af hovedarmering

For et armeringsjern kan vedhæftningen mellem beton og armering antage at

sikre en forankringskapacitet af størrelsen.

1 2 3 4 5

·4,bd bd

sd s

l fd ydf

hvor der er anvendt betegnelserne:

sd spændingen i armeringen på det sted hvorfra forankringen måles

armeringsjernets diameter

bdl den aktuelle forankringslængde

bdf vedhæftningsbrudspændingen

samt korrektionsfaktorerne vedrørende

– stangens form 10,7 1

– betondæklag 20,7 1

– tværarmering, ikke svejst 30,7 1

– tværarmering, svejst 40,7 1

– tværtryk 50,7 1

Det gælder endvidere at 2 3 5 ikke må regnes mindre en 0,7. Hvad angår

den aktuelle tværforankringslængde skal man normalt overholde.

(10 ;100 )bdl maks mm

349


Hvis geometrien hindrer overholdelse af 10bdl , kan beregningen af foran-

kringskapaciteten eventuelt baseres på en korrigeret armeringsdiameter på

1

10 bdl

Hvor armeringen indesluttes med svejst tværjern over en direkte understøtning,

skal mindstekravet til forankringslængden ikke opfyldes, hvis det svejste tvær-

jern er placeret mindst 15 mm inde bag understøtningens kant.

Det generelle udtryk for korrektionsfaktorerne 1 til 5 er angivet i EC2’s afsnit

8.4. I de efterfølgende eksempler er det valgt at forudsætte, at de konstruktive

krav til tværarmering samt til dæklag for den aktuelle stangtype netop er op-

fyldt. Dermed bliver

1

2

3

4

0,1 for forankring af lige jern

0,7 for forankring af u-bøjler

1,0 for dæklag mindst 10· for lige jern og

dæklag vinkelret på u-bøjlens plan på mindst 3,0·

1,0

1,0 uden svejst tværarmer

0,7

5

ing

med svejst tværarmering

1,0 0,04 , 7,5

hvor 0 er tværtrykket i cm cm

cm

for MPa

MPa

350


10.2.1 Forankring med simpel retlinet armering

For den viste situation bliver:

11 2 3 4 5

1

·4

10 ·2,254 90, 7,5

(1 0,04 ) (1 0,04 )

10 ·2,254128,6 , 7,5

0,7

bd bdsd

ctdctd cm

cm cmsd yd

ctdctd cm

l f

ff MPa

ff

f M

Pa

Hvor sd er armeringsspændingen ved vederlagets kant.

Med partielkoefficienten 1,4c bliver de regningsmæssige betonstyrker:

10ø

≥ø

≥ø ≥ø

Vederlagszone

Figur 10-12: Forankring af lige jern ≥2ø

[ ] [ ]

20 14,3 1,11

25 17,9 1,28

30 21,4 1,45

35 25,0 1,60

40 28,6 1,75

45 32,1 1,90

50 35,7 2,04

ck cd ctdf MPa f MPa f MPa[ ]

Figur 10-13: Materiale parameter beton

351


Endvidere indsættes

500500 417

1,2yk ydf MPa f MPa

hvorefter forankringskapaciteten målt ved sd er uafhængig af armeringsdia-

meteren for det forudsatte armeringsarrangement og kan aflæses af nedenstå-

ende diagram med tværtrykket, cm , over vederlaget ud af den vandrette akse.

0

50

100

150

200

250

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00cm [Mpa]

sd [Mpa]

fck = 40

fck = 35

fck = 30

fck = 25

fck = 20

Figur 10-14: Forankring af simpel retlinet armering

352


10.2.2 Forankring med u-bøjle

5ø 5ø

I dette tilfælde bliver 1 0,7 , så forankringsbidraget fra vedhæftningen kan

skrives:

11 2 3 4 5

1

·4

10 ·2, 254 1 128,6, 7,5

0,7 (1 0,04 ) (1 0,04 )

10 ·2, 254 1183,7 , 7,5

0,7 0,7

bd bdsd

ctdctd cm

cm cmsd

ctdctd cm

l f

ff MPa

ff MPa

Endvidere vil der i U-bøjlens runding blive opbygget i ringtryk i betonen, der

også giver et bidrag til forankringen. Når u-bøjlens bukkecenter er placeret

mindst 5ø fra vederlagets kant, vil effekten være analog til forholdene ved på-

svejst tværjern, hvor der kan antages en trykspænding i betonen af størrelsen:

( ) / 3 3td ctd cm cd cm cd ctdf y f f y f

Med dæklaget 3ø under armeringsjernene bliver

0,18(2·(3 / ) 1)0,015 0,14 0,055ø øy e

Ringtrykket svarer til, at der i u-bøjlens to ben tilsammen opnås en trækkraft af

størrelsen

3ø

8ø

Vederlagszone

Figur 10-15: Forankring af u-bøjle

353


2· 8 · ·btd tdF ø ø

Bidraget til forankringsstyrken fra ringtrykket bliver da:

2

2

4 18( ) / 0,055 93,1( ) , 0,164

24 1

8 3 15,3 , 0,1642

sd cdt cm cdt cm cm cd ctd

sd cd cd cm cd ctd

f f f f

f f f

f

Dermed kan den samlede forankringsstyrke udtrykkes som:

128,693,1( ) 0,164

1 0,04

128,615,3 7,5

1 0,04

183,7 15,3 7,5

ctd ctd cm cm cd ctdcm

sd ctd cd cm ydcm

ctd cd cm

f f f f

f f MPa

f f MPa

f

Det skal desuden opfyldes at sd ydf .

0

100

200

300

400

500

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00cm [Mpa]

sd [Mpa]

fck = 40

fck = 35

fck = 30

fck = 25

fck = 20

Figur 10-16: Forankring af U-bøjle

354


10.2.3 Forankring med påsvejst tværarmering

En løsning med påsvejst tværjern i samme dimension som to langsgående an-

kerjern, der indlægges som en samlet enhed (svarende til en u-bøjle), kan udfø-

res således:

De to armeringsjern med påsvejst tværjern giver et bidrag til vedhæftningen

svarende til 4 0,7 , hvilket giver:

11 2 3 4 5

1

·4

7 ·2,254 1 90, 7,5

0,7 (1 0,04 ) (1 0,04 )

7 ·2,254 1128,6 , 7,5

0,7 0,7

bd bdsd

ctdctd cm

cm cmsd

ctdctd cm

l f

ff MPa

ff MPa

Foran tværjernet opbygges et betontryk, der kan antages at blive:

( ) / 3 3td ctd cm cd cm cd ctdf y f f y f

Med dæklaget ø under armeringsjernene bliver

0,18(2·( / ) 1)0,015 0,14 ø øy e =0,0965

1½ø 5½ø

3½ø

3½ø ø

Figur 10-17: Forankring med påsvejst tværjern

Vederlagszone

7ø

355


Over hvert armeringsjern kan tværjernet antages at have en effektiv bredde til

optagelse af dette tryk på:

0,51,16 ( / ) 7 36td yd td t yd tdl ø f l ø f

Dette vil med armeringsstyrker på 500ykf MPa og betonstyrker

20ckf MPa altid være opfyldt. Betontrykket på tværjernet svarer derfor til,

at der i hvert ankerjern opnås et bidrag til forankringskraften på:

0,5 21,16 ( / ) 1,16btd yd td td yd tdF ø f ø ø f

Bidraget til forankringskraften kan da skrives:

2 24

2

4,64

4,64( ) / 4,75 ( ) , 0,290

4,64·3· 2,56 , 0,290

stdsd yd td

yd ctd cm yd ctd cm cm cd ctd

sd

yd cd yd cd cm cd ctd

Ff

ø

f f y f f f f

f f f f f

f

For det påsvejste tværjern forudsættes forskydningskapaciteten af hver svejse-

samling til ankerjernene at opfylde:

20,5 ·4wd ydF ø f

Dette skal dokumenteres ved anvendelse af løsningen, hvilket kræver særlige

aftaler herom i det konkrete projekt.

356


Dette giver en begrænsning på 2sd på 0,5· ydf . Den samlede resulterende

forankringsstyrke for den forestående løsning kan dermed uafhængig af arme-

ringsdimensionen skrives:

1

2

1 2

90, 7,5

(1 0,04 )

128,6 , 7,5

4,75 ( ) , 0,2900,5

2,56 , 0,290

ctd cmcmsd

ctd cm

yd ctd cm cm cd ctd

sd yd

yd cd cm cd ctd

sd sd sd yd

f MPa

f MPa

f f f ff

f f f f

f

Forankringsstyrken for to armeringsjern med påsvejst tværjern i samme dimen-

sion bliver som vist på nedenstående diagram.

0

100

200

300

400

500

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00cm [Mpa]

sd [Mpa]

fck = 40

fck = 35

fck = 30

fck = 25

fck = 20


357


10.2.4 Andre forankringstyper

Der findes andre forankringsmuligheder end de foran gennemgåede. For eksem-

pel kan der svejses tværplade for enden af armeringsjernene, eller der kan svej-

ses armeringsjern til en indstøbt lejeplade. I det sidste tilfælde er det vigtigt at

lejepladen forsynes med modhold, så forankringsbrud i form af glidning mellem

beton og lejeplade ikke kan opstå.

Ankerplade

Modhold

Figur 10-19: Forankring med ankerplader eller modhold

Som regel kræver specielle forankringer, at der udføres prøvning. På elementfa-

brikker udføres denne prøvning stikprøvevis som led i den løbende kvalitetskon-

trol.


10.3.1 Eksempel - Vederlagsforankring

Nærværende eksempel er en fortsættelse af bjælken fra eksempel i afsnit 6.1.5,

hvor den maksimale forskydningskraft var 65,1kN, og den krævede forankrings-

kraft blev 56,6kN. Der gennemregnes de tre forskellige forankringsdetaljer, som

er behandlet ovenfor, og det ses herved, hvordan den krævede vederlag kan

minimeres.

Der regnes med armering med styrken:

500500 417

1,2yk ydf MPa f MPa

358


10.3.1.1 Forankring med simpel retlinet armering

Det ses, at afstandskravene er overholdt, og at spændingen over vederlaget er:

65,1/(200·300) 1,09cm MPa

så der kan opbygges følgende spænding i armeringsjernene

128 901,60 150

(1 0,04 ) (1 0,04·1,09)sd ctdcm

ydf MPa f

Herved er forankringskapaciteten

22 (16) 150 60,34

F kN OK

2ø16

26mm

26mm 26mm 204mm

160mm 40mm

300mm

Vederlagszone

Figur 10-20: Bjælkeende med lige jern

359


10.3.1.2 Forankring med u-bøjle

40 50 50

U-bjl Y10 300

3ø

Figur 10-21: Forankring af u-bøjle

Det ses, at afstandskravene er overholdt, og at spændingen over vederlaget er:

65,1/(140·300) 1,55cm MPa

Denne spænding er mindre end

0,164 0,164·25 1,6 2,5cm cd ctdf f MPa


12892( )

1 0,04

1281,60 92(1,60 1,55) 508

1 0,04·1,55

sd ctd ctd cmcm

yd

f f

MPa f

Der kan således opnås fuld forankring, og herved er forankringskraften

22 10 417 65,44

F MPa kN OK

Den væsentligste fordel ved denne løsning er, at vederlagsdybden kan reduceres

til 140 mm, hvor der med løsningen i eksempel 10.3.1.1 kræves 200 mm.

360


10.3.1.3 Forankring med påsvejst tværarmering

25 15 55

300

Det ses at afstandskravene er overholdt, og at spændingen over vederlaget er:

65,1/(95·300) 2,28cm MPa

Denne spænding er mindre end

0,164 0, 29·25 1,6 5,65cm cd ctdf f MPa


904,8 ( )

1 0,04

90 5501,6 4,8 (1,60 2, 28) 360,9

1 0,04·2,28 1,2

sd ctd yd ctd cmcm

yd

f f f

MPa f

Herved er forankringskraften

22 (10 ) 360,9 56,74

F mm MPa kN OK

Denne løsning er således kun at foretrække frem for forankring med U-bøjlen

som i afsnit 10.3.1.2, hvis der kun kan opnås meget små vederlagsdybder.

Eksempel slut

Ø10

3ø


361


10.3.2 Eksempel - Bjælkehalvering

Figur 10-23: Bjælkeende

Oph

æng

ning

½ z·cot ½a

½ z·cot

zV

Fc

Ftd

R

a

b

r

F

Det forudsættes, at bjælken er forskydningsdimensioneret efter diagonaltrykme-

toden. Denne dimensionering føres ud til en passende afstand, a, fra søjle kon-

sollen. Denne afstand vælges så der bliver rimelig plads til at arrangere bøjler til

ophængning af lasten V samt til at forankre hovedarmeringen. Eksempelvis kan

der prøves med 1/2 · z · cotθ,

For den aktuelle bjælke forudsættes:

25 0,5 cot 1,0

1,28 390

342 0,525

135 240 ( )

cd

td

yd

d

f MPa

f MPa z mm

f MPa

V kN t mm Bjælkebredde

m

Den anførte friktionskoefficient µ, der i en del tilfælde kan være mindre end 0,5,

medfører, at tvangsdeformationer af bjælken pga. svind, krybning og tempera-

turbevægelser giver en vandret kraft µ · R på bjælkeenden. Denne vandrette

kraft kan i den aktuelle bjælke med god tilnærmelse regnes at virke i afstanden

d = 160 mm fra trykzonen. Se også figur 10-15. Endvidere regnes med:

200 180a mm b m

362


Ligevægtsligningerne giver da for den udskårne sektion af bjælken:

1 12 2

1 12 21 1

2 2

,

135

· ( cot )· · ·

·200 180 160cot ·1,0 0,5 135 192

390 390

192 0,5·135 125

d

t

t t

C C d

R V R kN

F z z a b R d R

a b dF R F

z z

F T R F kN

kN

Gittermodellen der anvendes er tegnet op på figur 10-24.

Figur 10-24:Gittermodel

c3

C

N1

Fc

295 180 90

3

1

1

N2C2

2R

R

V

Ft

N

d

Afstanden mellem trykzone og vandret ankerjern fastlægges i det aktuelle til-

fælde til z = 160 mm. Trykstangen mrk. C1 skal da optage kraften

2 2 2 2

11

180 160135 203

sin 160

R b zC R

d

kN

Af 10.1-1 findes lamelbredden:

2

1 2 2

1600,64 68,0

180 160c m

m

363


Dette giver en trykspænding i lamellen på

31

1

203·1012,4

· 68,0·240c c

CdMPa f OK

c t

Det vandrette ankerjern, der er svejset til lejepladen, skal optage kraften

1 1

180· cot 0,5·135 135 219

160N R r k N

OK

Som ankerjern anvendes 4 S16:

314·201·342·10 245udN kN N

Kraften N1 - µR skal forankres til betonen. Elementleverandørerne råder over

forskellige standardløsninger, der sikrer denne forankring i normale tilfælde.

I specialtilfælde kan det være aktuelt at udforme lejepladen med modhold, der

kan overføre den vandrette kraft N1 - µR til betonen, se figur 10-25.

y

c

Figur 10-25: Eventuelt modhold på indstøbt lejeplade

Modholdets højde afgøres af

1

·c c

N Rdf

t y

364


hvor α ≥ 1 fastlægges ud fra reglerne for koncentreret last på betonen. Modhol-

det skal dimensioneres så kræfterne vist på Figur 10-25 kan optages. Afstivning

af modholdet kan være nødvendigt.

Ophængningsbøjlerne foran vederlaget skal optage kraften

2 135dN R kN

Der indlægges ophængningsbøjler, 3 bjl S10, som kan optage

323·2·78,5·342·10 161udN kN N OK

Nu fastlægges længden x ved at kræve vandret ligevægt i punktet, hvor trykdi-

agonalerne mrk. C2 og C3 møder det vandrette ankerjern:

1 2 2 3cot cot

295219 135 135 327

390 160 160

N N V

x xx mm

Kraften i tryklamellen, mrk. C2, bliver

2 22

22

327 (390 160)135 235

sin 390 160

NC k

N

Af 10.1-1, findes lamelbredden

2

2 2

(390 160)2 0,64 84,7

(390 160) 327c m

m

Dette giver en trykspænding i lamellen på:

32

2

235·1011,6

· 84,7·240c c

CdMPa f OK

c t

365


Hovedarmeringen skal bag 1. ophængningsbøjle forankres for en kraft af stør-

relsen

2 2

327cot 135 192

390 160tF N kN

hvilket svarer til den tidligere bestemte trækkraft fundet ved momentligevægt

for bjælkesektionen.

Der anordnes 2 stk. U-bøjler, S16:

128,61,28 93,1(1,28 0) 284

1 0,04·0sd MPa

Herved kan 2 U-bøjler bære

24 16 284 2284ud tF kN F OK

Endelig sikres de vandrette ankerjerns forankring inde i bjælkekroppen, idet

ankerjernene føres en forankringslængde forbi knudepunktet med trykdiagona-

lerne mrk. C2 og C3:

1 2 3 4 51 1

1 2 3 4 5

·4 1· 7

4 4 2, 25bd bd

sd bd sdbd

l fl m

f

6 500 /1, 241 m

idet der indsættes σs = fyd. Ankerjernene skal således i alt have en længde på:

745 295 180 90 1130totl m m

Da bjælken i øvrigt er dimensioneret efter diagonaltrykmetoden, er yderligere

undersøgelser ikke nødvendige. Kraften i tryklamellen, mrk. C3, føres uden vide-

re ind i den sædvanlige bøjlearmering.

Eksempel slut

366


10.3.3 Eksempel - Pladehjørne

Gitteranalogien kan også anvendes til analyse af tredimensionale problemer,

eksempelvis et pladehjørnes bæreevne.

Som det fremgår af gittermodellen, forudsættes armeringen i pladehjørnet at

bestå af et sæt krydsende, lodretstillede U-bøjler samt en randarmering. Det er

forudsat, at bøjleafstanden er den samme som bøjlernes indvendige højde, z.

C1 er et sæt skråtstillede tryklameller i pladens randzoner:

1

2

2C P

N0 er en randarmering, der sikrer vandret ligevægt i hjørneknuden:

10 1 2

2

2N C P

C

N N

C

NCNN

N

C

N

CC

N

Z

Z

N N

Z

3

N3 C3

3 33

1

1

2

2

3

3

221

1

00

P

Z

Z

Figur 10-26: Pladehjørne Figur 10-27: Gittermodel

367


N1 er den lodrette forskydningsarmering i pladens randzoner:

11 1 2

2

2N C P

C2 er et sæt skråtliggende tryklameller i pladens underside. Disse tryklameller

sikrer vandret ligevægt parallelt med pladeranden i de nederste knudepunkter

mellem C1 og N1, uden at der hobes kræfter op i randarmeringen ud over kraften

N0.

2 1

2 22

2 2C C P

I samme knudepunkt sikrer N2 herefter ligevægt vinkelret på pladeranden:

12 2 2

2

2N C P

De skråtliggende tryklameller, C3, i pladens overside sikrer vandret ligevægt

parallelt med pladeranden i de øverste knudepunkter mellem C1 og N1, uden at

der hobes trykkræfter op i randzonens overside.

3 1

2 22

2 2C C P

Endelig findes N3 svarende til N2.

13 3 2

2

2N C P

368


Z

Q

Z

Indlægges nu et lodret snit inde i pladen parallelt med en pladerand, ses resul-

tanten af C3 og N3 over snitlængden z at være ækvivalent med en forskydnings-

kraft

13 2

2

2Q C P

idet normalkraftresultanten af C3 og N3 bliver

1 13 3 2 2

20

2C N P P

Tilsvarende er C2 og N2 i pladeundersiden i snittet ækvivalent med en tilsvarende

forskydningskraft Q, men modsat rettet den i oversiden. Inde i pladen er gitter-

kræfterne der med alt i alt ækvivalente med et vridende plademoment af stør-

relsen:

12

·v v

Q zm Q m

z P

I vridning tillader betonnormen at der formelt regnes med forskydningsspæn-

dinger i et tyndfliget tværsnit med en tykkelse på 2c.

Figur 10-28: Snit i plade

QC3

N3

Z

Vandret snit Lodret snit

369


h

2ct

t

t 2c

2cFigur 10-29: Tyndfliget tværsnit

Med en trykhældning på 45°, dvs. cotθ = 1, tillader EC2 i det tyndfligede tvær-

snit højst en forskydningsspænding af størrelsen

10,7 0,35· ·

cot 1/ cot cd cdf f

Dermed kræves at

1

2( 2 )·2 ·0,35· ·

20,7·( 2 ) · ·

cd

cd

C h c c f

P h c c f

Med dette opfyldt kan pladehjørnet altså optage hjørnekraften P, hvis hver af de

viste armeringsstænger kan optage en trækkraft af størrelsen 1/2 P. Bøjleaf-

standen, z, må dog ikke overstige 0,7 h.

Desuden bør afstanden mellem bøjlerne ikke være større end bøjlernes middel-

højde svarende til det aktuelle dæklag:

2· 2z h c ø

hvor c er det foreskrevne dæklag, og d er armeringsdiameteren.

370


Af hensyn til bøjlernes forankring skal der også indlægges randarmering i over-

siden.

10.3.3.1 Taleksempel

Betragtes et hjørne i en plade med flg. specifikationer:

21,4 342 15

0,385 160cd ydf MPa f MPa c mm

h mm

N

kan der maximalt optages en hjørnelast af størrelsen

0,7·(160 2·15)·15·0,385·21, 4 11, 2udP k

Armeringsjern S8 kan optage en trækkraft på

3 1250,1·342·10 17,2ud udT kN P OK

Bøjlerne anbringes med en afstand på højst

0,75·(160 15) 109

160 2·15 2·8 114

mmz

mm

371


10.4 Udstøbningssamlinger

Væg- og dækfuger udstøbes sædvanligvis med en særlig fugebeton, hvor den

maximale stenstørrelse vælges ud fra hensynet til de trange støbeforhold. Alli-

gevel må der ved vurderingen af disse samlingers styrke tages hensyn til risiko-

en for støbefejl ved indstøbning af armeringsjern med diametre, der gør, at jer-

net kun delvist omstøbes.

10.4.1 Støbeskel

Støbeskels forskydningsstyrke har ofte afgørende betydning for bygningens

overordnede stabilitet. Bæreevnen iht. EC2 er illustreret på figur 10-30 svarende

til armeringen liggende vinkelret på støbeskellet. Ved glatte støbeskel bør der

normalt ikke medregnes hele bidraget fra As · fyd på grund af deformationsfor-

holdene. Eksempelvis kan man begrænse armeringsbidraget, så det aldrig over-

stiger bidraget fra normalkraften.

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Fortandet

Ru

Glat

Meget glat

[MPa]Rdi

i

V

A

[MPa]s yd

i

N A f

A

Figur 10-30: Støbeskels forskydningsstyrke

for beton med fck = 20MPa

372


På figuren er anvendt følgende betegnelser:

dV : Forskydningskraften i støbeskellet.

N : Den samtidigt virkende tryknormalkraft vinkelret på støbeskellet.

sA : Tværsnitsarealet af den armering gennem støbeskellet, som deltager i for-

skydningsoptagelsen.

iA : Støbeskellets effektive areal. For fortandede støbeskel beregnes dette areal

som tandarealet.

Ved fastlæggelsen af Ai skal der tages hensyn til, hvorledes kræfterne forløber

hen over støbeskellet. Betragtes eksempelvis figur 5-23 kan udstrækningen af

de vandrette støbeskels effektive areal ved elementets underside ikke regnes

større end 2x.

Ved udnyttelse af bidraget fra armeringen As · fyd skal der tages hensyn til styr-

ken af konstruktionen omkring støbeskellet, se Figur 10-31 hvor et støbeskel

skal overføre en ren forskydningskraft Vd, idet der indlægges tværarmering for

hver ende af støbeskellet.

Spændingerne i støbeskellet bliver med skivetykkelsen t og for et meget glat,

glat eller ru støbeskel, hvor Ai = l · t og der ikke regnes med nogen ydre kraft

·

· ·s ydd

N

A fV

b t b t

Figur 10-31: Kræfter i fuge

dV

dV

I II

dV

c

lII

t

½A fyd

½A fyd

N

A' fyds

s

s

l

373


Indlægges nu et vandret snit midt gennem element II ses, at element II her skal

kunne optage et moment af størrelsen

21 18 8· · · · ·N s ydM t l A f l

Optagelse heraf kræver lodret armering modsat støbeskellet, som for rimelige

forhold mellem c og l kan udformes som sædvanlig randarmering:

18·s yd s yd

M lA f A

c c f

For meget hårdt påvirkede støbeskel kan det være nødvendigt at forskydnings-

armere skiverne.

Denne analyse viser, at der ved dimensioneringen af de enkelte elementer om-

kring en fuge skal tages samme hensyn til spændingerne i støbeskellet som til

enhver anden ydre last på elementerne.

Hvis forholdet mellem c og bliver meget lille, kan konstruktionen omkring

støbeskellet ikke sikre fuld udnyttelse af støbeskellets forskydningsstyrke mel-

lem to tværforbindelser. Dette kan for eksempel være tilfældet hvor der etable-

res punktforbindelser mellem dækelementers langside og stringerarmeringen i

etagekryds, eller ved boltsamlinger i væghjørner. Her kan forholdene omkring

støbeskellet illustreres som på figur 10-33.

l

374


Der er i denne situation ingen normgivne regler for, hvor stor en længde l der

kan regnes med ved bestemmelse af støbeskellets effektive areal. Støbeskels-

formlerne er imidlertid baseret på forsøg med ren forskydning i støbeskellet,

hvilket svarer til forholdene i et vandret snit i en bjælke midt mellem træk- og

trykzone. Man vil her acceptere en afstand på 0,75 d mellem bøjlerne ved en

sædvanlig forskydningsdimensionering.

På den baggrund skønnes, at hver tværforbindelse kan aktivere støbeskellet

over en strækning på højst

0,75 1,50,50

cl c

hvor c er afstanden mellem støbeskellet og punktforbindelsens forankring.

Forskydningsstyrken af et støbeskel ved en punktforbindelse kan dermed bereg-

nes til det på figur 10-34, viste for henholdsvis ru og fortandede støbeskel.

På figurerne betegner Ac således det effektive areal af støbeskellet målt over

strækningen l = 1,5 c. Størrelsen Nt er tværforbindelsens trækkapacitet med

fradrag af eventuelle ydre trækkræfter, der samtidig skal optages af tværforbin-

delsen.

0,75

0,50

l d

c d

l

c

Nt

V

ll

c

c

l

d

Figur 10-33: Punktforbindelse

over støbeskel

Figur 10-32: Bjælkeanalogi

l l

375


0

10

20

30

40

50

0 20 40 60 80

0

10

20

30

40

50

0 20 40 60 80

[kN]RdiV [kN]RdiV=200kNi cdA f =200kNi cdA f

=150kNi cdA f =150kNi cdA f



[kN]s ydN A f [kN]s ydN A f

Figur 10-34: Ru støbeskels

styrke ved punktforbindelser

(fck = 20MPa)

Figur 10-35: Fortandet

støbeskels styrke ved punkt-

forbindelse (fck = 20MPa)

c

t' = c

1:2Figur 10-36: Trykspredning på tværs af skiveplan ved punktforbindelse

Hvor tværforbindelsen udgøres af en bolt eller en smal hårnålebøjle, bør støbe-

skellets effektive areal ikke regnes at have en udstrækning på mere end t' = c

på tværs af skivens plan, se figur 10-36.

10.4.2 Etagekryds

I etagekryds kræves lasten fra overliggende væg normalt ført ned gennem fu-

gebetonen. For extruderede dæk, der er skåret lodret af i enderne, kan dæke-

lementenden dog også regnes at overføre en del af lasten, hvis vederlaget un-

derløbes svarende til tilfælde 2 på Figur 10-37.

376


Lodret bæreevne for sædvanlige etagekryds kan beregnes ved

·ud ef cdN b a f

hvor fcd er den mindste af væggenes og fugebetonens regningsmæssige tryk-

styrker, og hvor b er længden af det aktuelle etagekryds. Størrelsen aef betegner

den effektive bredde af fugebetonen i etagekrydset, jævnfør figur 10-37.

a

a

a

Nd

Tilfælde 1

Extruderede huldæk

oplagt direkte på væg

aef = a

Tilfælde 2

Extruderede huldæk

oplagt med underløbning

aef = a + 100mm

Tilfælde 3

Dæk ned knastvederlag

oplagt direkte på væg

aef = a + 73mm

Figur 10-37: Etagekryds, standardudformninger

377


378

T

0

400

800

1200

1600

2000

0 10 20 30 40 50 60

Tilfælde 2

Tilfælde 3

Tilfælde 1

[kN/m]dN

[mm]a

Betonstyrke, fuge =20MPa

Figur 10-38: Bæreevner for sædvanlige etagekryds jf. figur 10-37

Med en fugebeton med karakteristisk betonstyrke på fck = 20 MPa vil der nor-

malt kunne regnes med bæreevne som vist på figur 10-38, hvor fugen i etage-

krydset er opfattet som en uarmeret konstruktion.

Hvis der lokalt under f.eks. dørsøjler er behov for større styrke af etagekrydset,

kan det vælges at udføre dækelementerne med udsparinger. Dermed kan den

effektive bredde af etagekrydset lokalt øges op til

efa t

hvor t er væggens tykkelse og T er tolerancen på placeringen af væggens mid-

terplan. Løsningen kræver, at dækelementernes dimension er valgt, så der kan

tolereres en bæreevnereduktion svarende til udsparingerne.

11TVAnGS

dEForMATIonEr

11 TVANGSDEFORMATIONER

11.1 Geometriændringer

11.2 Luftfugtighedensbetydning

11.3 Temperaturensbetydning

11.4 Lastensbetydning


11.5.1 Eksempel–Fugeiindervæg

11.5.2 Eksempel–Fugemellemforpladerisandwichfacade

11.5.3 Eksempel–Altanbrystning

11.5.4 Eksempel–Ribbepladeiflerskibsbygning

11 | Tvangsdeformationer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK

11.1 Geometriændringer

Især ved udformningen af samlingsdetaljer skal der tages hensyn til, at beton-

elementerne med tiden undergår deformationer, der er en følge af de fysiske

påvirkninger, som elementerne udsættes for.

De fysiske påvirkninger kan udløse betydelige længdebevægelser eller gensidige

vinkeldrejninger i samlingerne, og der kan være risiko for alvorlige skader, hvis

der ikke tages hensyn til disse forhold under projekteringen. De vigtigste på-

virkninger er i denne sammenhæng luftfugtighed, temperatur og last.

Disse påvirkninger kan alle medføre en relativ længdeændring, ε, af betonen. Er

påvirkningen ensartet på hele elementet, bliver elementets længdeændring:

· hvor L er elementets længde.L L

Påvirkningerne kan også medføre en krumning af elementet, hvis de medfører

forskelle i den relative længdeændring mellem to af elementtværsnittets over-

flader. Af den tilsvarende udbøjning, u, kan den hertil hørende vinkeldrejning af

elementenderne for et element, der er simpelt understøttet i hver ende, be-

stemmes ved

4u

L

hvor L fortsat er elementlængden.

Ovennævnte længdeændringer og vinkeldrejninger betegnes ofte som tvangsde-

formationer, fordi de i praksis ikke kan forhindres. Forsøg herpå vil i de fleste

tilfælde medføre problemer med afskalninger eller revnedannelser omkring ele-

mentsamlingerne.

De fysiske påvirkningers indflydelse på betonen er nøjere gennemgået i CTO's

publikation: »Betonbogen«. Den følgende summariske gennemgang sigter alene

på de praktiske forhold omkring betonelementer.

380

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Tvangsdeformationer | 11

11.2 Luftfugtighedens betydning

Niveauet for omgivelsernes relative fugtighed betinger størrelsen af betonens

svind, idet betonen med tiden afgiver vand til den omgivende luft, hvilket med-

fører en formindskelse af betonvolumenet. Jo lavere relativ luftfugtighed, des

større vandafgivelse og dermed større svind.

Betonelementerne har normalt været lagret en vis periode før montagen. Herved

er det forholdsvis store begyndelsessvind overstået før elementets indbygning.

Det er derfor normalt kun restsvindet efter indbygning, der har interesse for den

projekterende.

For indendørs konstruktioner kan der i middel sædvanligvis forudsættes en rela-

tiv luftfugtighed på 50 %. Det tilsvarende restsvind efter indbygning kan med

normale betontyper til ikke-forspændte betonelementer anslås at svare til en

relativ længdeændring af størrelsen

3ca. 0,25·10 (indendørs)s

Med de betontyper der normalt anvendes til forspændte betonelementer, kan

der regnes med ca. halvt så store relative længdeændringer. Fortegnet på εs

indikerer, at der er tale om en forkortelse.

Betonens svind er i nogen grad reversibelt, idet betonen kan optage vand fra

omgivelserne, når den relative fugtighed stiger. Dette har betydning for uden-

dørs beton, hvor svindbevægelserne vil følge årstidsvariationerne i den relative

luftfugtighed. I sommerhalvåret kan i middel regnes med en relativ luftfugtighed

på ca. 60 %, medens middelværdien i vinterhalvåret kan komme op omkring 90

%. Med normale betontyper til ikke-forspændte betonelementer, kan der for

udendørselementer regnes med følgende relative længdeændringer svarende til

restsvindet efter indbygning:

3

3

ca. 0, 2·10 (udendørs, sommer)

ca. 0,1·10 (udendørs, vinter)

s

s

381


For den udendørs beton regnes således med en årstidsvariation på

Δεs = ± 0,05 · 10-3 omkring et årsgennemsnit på εs = ca. -0,05 · 10-3.

11.3 Temperaturens betydning

For en temperaturændring ΔT kan den tilsvarende relative længdeændring af

betonen findes af

510T T , hvor ΔT indsættes i °C.

For indendørs konstruktioner kan temperaturen normalt antages at være kon-

stant året rundt. For udendørs konstruktioner er det sædvanligt at bedømme

temperaturbevægelserne for følgende yderpunkter:

20º (vinter) , 50º (sommer)MIN MAXT C T C

Den meget høje temperatur i sommerperioden gælder for elementer, der kan

blive udsat for direkte sollys. Den maximale temperaturforskel fra vinter til som-

mer bliver således 70 °C, svarende til en relativ længdeændring af størrelsen

30,7·10T

Der regnes således med en årstidsvariation på ΔεT = ± 0,35 · 10-3 omkring en

neutral stilling ved temperaturen T = + 15 °C. Bemærk at disse temperaturbe-

vægelser virker modsat af de reversible svindbevægelser. Den samlede årstids-

variation i temperaturbevægelser og svindbevægelser kan dermed regnes at

blive af størrelsen:

30,3·10T S

omkring en neutral stilling mellem sommer og vinter.

For udendørs elementer der kan blive udsat for direkte sollys, regnes normalt

med, at der kan opstå en temperaturdifferens på 20 °C mellem sol- og skygge-

382


side. Elementet vil svarende hertil få en udbøjning mod den varme side af stør-

relsen

3 20,025·10 /u L h

hvor L er elementets længde, og h er tykkelsen målt mellem den kolde og var-

me side.

Der kan i visse tilfælde opstå en ca. halvt så stor modsat rettet udbøjning på

grund af overfladeafkøling ved afgivelse af strålevarme en frostklar vinternat.

11.4 Lastens betydning

Når en betonkonstruktion påføres en belastning, deformeres betonen straks.

Denne deformation kaldes elastisk, idet den forsvinder, når lasten fjernes igen.

Hvis belastningen opretholdes gennem længere tid, vil deformationerne lang-

somt øges.

Dette fænomen kaldes for krybning. Krybningen kan med årene betyde, at slut-

deformationerne bliver 2 à 3 gange større end de elastiske deformationer. Hvis

lasten atter fjernes, vil det kun være de elastiske deformationer, der forsvinder.

I forspændte elementer er betonen udsat for en konstant aksial trykkraft hidrø-

rende fra forspændingen, hvilket medfører, at elementet forkortes. Den elastiske

del af denne deformation er udløst ved forspændingens etablering på fabrikken.

Efter indbygning af elementet vil krybningseffekten betyde, at elementet yderli-

gere forkortes med tiden. Denne mekanisme virker sammen med betonens

svind, og der må for forspændte elementer efter montagetidspunktet forventes

en forkortelse af størrelsen 0,3% fra svind og krybning.

Endvidere er det i kapitel 7 for de sædvanlige huldæk, plader og bjælker anført,

hvorledes udbøjningen kan bestemmes i form af en pilhøjdeændring svarende til

de aktuelle kort- eller langtidslaster. Jævnfør det tidligere anførte kan de tilsva-

rende vinkeldrejninger over vederlagene herefter bestemmes.

383



11.5.1 Eksempel – Fuge i indervæg

7,2 m 4,8 m

Figur 11-1: Opstalt af indervæg

Fugen i modullinje B forudsættes udstøbt ved montagen. Hvis elementernes

svindbevægelser kunne foregå frit, måtte der med tiden ventes en revne i fugen

af størrelsen

3 1 12 20, 25·10 ( ·7,2 ·4,8) 0,0015w m

I praksis viser revnerne sig dog at være en del mindre.

Hvis der stilles betydende krav til væggens lydisolering, bør det overvejes at

forsegle samlingen med en elastisk fuge der dækkes med væv, før væggen

overfladebehandles eller tapetseres. Herved kan det også undgås, at tapetet

revner ud for samlingen.

Alternativt kan det vælges at placere samlingen, hvor der støder en let væg op

til betonvæggen.

Eksempel slut

384


11.5.2 Eksempel – Fuge mellem forplader i sandwichfacade

L L

x

Figur 11-2: Vandret snit i facade

Den samlede bevægelse i fugen fra vinter til sommer kan forventes at blive:

31 12 22 | | ( ) 0,6·10s Tx L L L

En elastisk fuge kan normalt optage en deformation af størrelsen

0,25 MINx x

hvor xMIN er den mindste værdi af fugebredden i løbet af året. Hvis elementerne

monteres med fugebredden x i den neutrale stilling ved omkring 15 °C bliver:

12

120, 25( )

1

4,5

MINx x x

x x x

x x

Ved montagen bør fugebredden derfor ikke være mindre end svarende til at

3 310,6·10 2,7·10

4,5L x x L

385


Jævnfør eksemplet i afsnit 12.2.1 kan man specificere en tolerance på Tx = 16

mm svarende til en afvigelse på ± 8 mm på fugebredden. Med en teoretisk fu-

gebredde på x0 = 16 mm vil man således forvente, at der kun i ganske få tilfæl-

de realiseres en fugebredde mindre end

0,008x m

ved montagen. Denne fugebredde er således tilstrækkelig for

30,008 2,7·10 3,0L L m

For større elementlængder må der selvfølgelig sikres en større mindstebredde af

fugen. Med eksempelvis L = 4,8 m bør fugen mindst være

32,7·10 ·4,8 0,013 ( 4,8 )x L m

En tilsvarende teoretisk fugebredde på x + 1/2Tx mm vil normalt blive betragtet

som uhensigtsmæssig stor. Derfor vælges det ofte at fastholde en teoretisk fu-

gebredde på 16 mm, idet det så kræves at fuger, der falder under minimums-

værdien, skæres op til denne minimumsværdi, dvs. eksempelvis x = 13 mm for

L = 4,8 m.

Når denne løsning benyttes skal man ved udformningen af forpladens kantud-

formning være opmærksom på, at der kan blive skåret nogle millimeter af beto-

nen, bl.a. bør armeringens dæklag ud mod kanten øges tilsvarende.

Specifikationen af den omtalte tolerance på fugebredden ved montagen begræn-

ser størrelsen af eventuelt nødvendige opskæringer. Kravet om opskæring af for

små fuger giver desuden montageentreprenøren et incitament til øget præcision

i montagen, men et beskedent antal opskæringer må dog forventes ved ele-

mentbredder over L = 3,0 m. Problemet kan normalt ikke undgås ved blot at

skærpe tolerancekravene over for montageentreprenøren.

Eksempel slut

386


11.5.3 Eksempel – Altanbrystning

L = 4,8 m

h =

0,1

m

Figur 11-3: Vandret snit

Brystningselementets deformationer fra svind og temperatur vil i hver af samlin-

gerne ved modullinje A og B give længdebevægelser af størrelsen:

12

3 12

( )·

0,3·10 · ·4,8

0,007

s Tx L

x

x m

idet elementet ved modullinje A og B forudsættes fastgjort til den stabile rå-

huskonstruktion.

Samtidig kan brystningselementet ved direkte sollys forventes at få en krumning

svarende til en udadrettet udbøjning ved midte på

23 4,8

0,025·10 0,0060,1

u m

Dette svarer til en vinkeldrejning af elementenderne af størrelsen

4·0,0060,005

4,8

For at undgå skader skal fastgørelsen af brystningselementet udformes således,

at de fundne længdebevægelser og vinkeldrejninger frit kan foregå.

Eksempel slut

387


11.5.4 Eksempel – Ribbeplade i flerskibsbygning

Figur 11-4: Længdesnit

14,4 m

Fuge Fuge

ribbeplade0,50

0,06

Ribbepladens belastning forudsættes sammensat således:

• egenvægt, element + overbeton: 4,09 kN/m2

• afretningslag mv.: 1,00 kN/m2

• nyttelast, ψ = 1,0: 5,00 kN/m2

De anførte belastninger er de karakteristiske værdier. Der regnes med, at 1/3 af

nyttelasten har permanent karakter. Momenter og stivheder som skal anvendes

til bestemmelse af pilhøjder og udbøjninger iht. afsnit 7.2 bestemmes til:

218

21 18 3

218

2

(4,09 1,0 5,0)·14,4 262 /

(4,09 1,0 ·5,0)·14,4 175 /

·4,09·14, 4 106 /

227 / (leverandør oplysning)

106000 / (leverandør oplysning)

k

L

g

bal P

k

M k

M k

M k

M M kNm m

EI kNm m

Nm m

Nm m

Nm m

388


Dette giver således følgende udbøjninger for henholdsvis karakteristisk last,

langtidslast, egenvægt og forspænding:

2 2

2 2

2 2

2 2

1 1 262(14,4) 0,051

10 10 106000

1 1 175(14,4) 0,034

10 10 106000

1 1 106(14,4) 0,021

10 10 106000

1 1 227(14,4) 0,056

8 8 106000

kk

k

LL

k

gg

k

Pp

k

Mu L

EI

Mu L

EI

Mu L

EI

Mu L

EI

m

m

m

m

m

Leveringspilhøjden kan forventes at være

( )·(1 ) (0,021 0,056)·1,9 0,064Levering g p Leveringu u u

når (1 ) 1,9Levering . Egenvægt og anden permanent last vil sammen med

forspændingen med tiden ændre pilhøjden til ca.

( )·(1 ) ( )·(1 )

(0,021 0,056)·3,0 (0,034 0,021)·2,3 0,075

Langtid g p Lager L g Langtidu u u u u

m

Virkningen af forspænding og permanent last udbalancerer således hinanden i

det aktuelle tilfælde. Den egentlige korttidslast kan give anledning til følgende

ændring af pilhøjden:

( ) 0,051 0,034 0,017karakteristisk Langtid K Lu u u u m m m

Denne pilhøjdeændring svarer til en vinkeldrejning over vederlaget på:

4·0,0170,005

14,4

389


390

I en fuge i oversiden af overbetonen vil dette svare til en bevægelse på

(0,500 0,060)·0,005 0,003x m

Denne fuge vil med tiden yderligere åbne sig på grund af ribbepladens svind og

krybning, der vil give elementet en længdeændring på

30,3·10 ·14,4 0,004L m

Denne længdeændring kan udløses ved den ene elementende alene, med min-

dre ribberne oplægges på neoprenelejer.

Ovennævnte tvangsdeformationer, og ΔL, kan sædvanligvis accepteres for den

normale vederlagsudformning med stål mod stål, hvis vederlagstrykket holdes

under 10 MPa. For vederlagstryk i størrelsen 10-15 MPa kan det anbefales at

anvende mellemlæg med 2 mm tykke glidelag af bly.

Anderledes stiller det sig, hvis der kan blive tale om gentagne bevægelser fra for

eksempel ændringer i temperatur og luftfugtighed. Hvis ribbepladerne eksem-

pelvis også udsættes for temperaturvariationer på 20 °C, bliver de tilsvarende

længdebevægelser

520·10 ·14,4 0,003TL m

Vederlaget bør i så fald udformes med neoprenelejer eller glidelag af teflon. I

alle tilfælde gælder det, at man ikke må hindre tvangsdeformationerne ved at

føre den armerede overbeton ubrudt hen over vederlagene i flerskibsbygninger

med mere end to fag ribbeplader i forlængelse af hinanden. Noget sådant giver

alvorlig risiko for grove revnedannelser i overbetonen eller revneskader i rib-

beenderne.

Eksempel slut

12TolErAnCEr

12 TOLERANCER

12.1 Håndteringaftolerancer

12.1.1 Betonelementersmål

12.1.2 Byggepladsmål

12.1.3 Grundlæggendetolerancebegreber

12.1.4 Vejledendeberegningtilvalgaftoleranceangivelser


12.2.1 Eksempel–Fugeisandwichfacade

12.2.2 Eksempel–Opstillingafvægelementerogmontageafhuldæk

12 | Tolerancer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK

12.1 Håndtering af tolerancer

Kvalitetskrav med hensyn til målfasthed af betonelementer og deres placering i

det færdige bygværk udtrykkes ved specifikation af tolerancer. En tolerance på

et længdemål eller et målpunkt er en specificeret intervallængde med en specifi-

ceret placering af intervallet, relativt til det tilstræbte længdemål eller målpunkt.

I teknisk-juridisk forstand betyder en tolerancespecifikation, at det uden indven-

dinger accepteres, at målfasthed er en tilstedeværende egenskab, hvis det reali-

serede længdemål eller målpunkt falder inden for toleranceintervallet. Toleran-

cebegrebet er behandlet detaljeret i DS 1050 »Tolerancer i byggeriet. Anvendel-

se af måltolerancer«, Dansk Standard, 1982, samt i Dansk Byggeri’s: »Hvor går

grænsen? - Beton – in situ, elementer og montage«, marts 2007.

12.1.1 Betonelementers mål

Kontrol af betonelementers hovedmål udføres som stikprøvekontrol, idet hvert

hovedmål kontrolleres for sig. Et parti af betonelementer godtages da normalt,

hvis kontrollen viser, at det med en passende sikkerhed (såkaldt konfidens) kan

hævdes, at højst 10 % af målene falder uden for toleranceintervallerne. De

nærmere betingelser for hvorledes kontrollen udføres (eksempelvis hvilke stik-

prøvestørrelser der vil blive anvendt) aftales mellem parterne. Som omtalt i det

følgende vil produktionen normalt blive indrettet på en betydelig lavere fejlpro-

cent end 10 %, for at stikprøvekontrollen kan få den fornødne konfidens.

Der anvendes principper som angivet i DS 1050. Det deri angivne såkaldte ind-

hyllingsprincip anvendes dog ikke ved sædvanlig produktion af betonelementer.

Betonelementers hovedmål omfatter længde, højde og bredde. Afhængig af

elementtype kaldes et af disse mål eventuelt elementtykkelse. Som nævnt i

eksemplerne er de normale tolerancer på hovedmålene oplyst i ”Hvor går græn-

sen?”, for hver af de der beskrevne elementtyper.

Foruden afvigelser på hovedmålene kan også elementets afvigelse fra den ideale

form være af interesse. Det kan dreje sig om krumninger, vindskævheder og

vinkelafvigelser.

392

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Tolerancer | 12

Endelig bør den projekterende være opmærksom på målafvigelser vedrørende

indstøbningsdeles placering, samt udsparingers placering og størrelse.

12.1.2 Byggepladsmål

Afvigelse på elementernes placeringsmål fremkommer som en sum af unøjag-

tighed i afsætning og unøjagtighed i montagen.

Søjler, vægge og facader kan normalt placeres i overensstemmelse med følgen-

de toleranceangivelser:

– Vandrette placeringsmål: T = 16 mm (± 8 mm)

– Lodrette placeringsmål: T = 8 mm (± 4 mm)

– Lodstilling, vinkelafvigelse: T = 4 mm/m (± 2 mm/m)

Disse toleranceangivelser indeholder ikke bidrag fra unøjagtigheder i hovedaf-

sætningen, svarende til en samlet translation eller rotation af bygningen.

For placeringsmålene gælder toleranceangivelserne placeringen af elementets

bundflade. Ved vurdering af unøjagtighederne på oversidens placering skal der

også tages hensyn til betydningen af unøjagtighed med hensyn til lodstilling.

Der henvises i øvrigt til de følgende eksempler.

12.1.3 Grundlæggende tolerancebegreber

Det er standardnotation at betegne tolerancen med T, og at angive intervallets

placering ved B - pT, B + qT, hvor p og q er angivne positive tal med sum 1, og

B er det tilstræbte mål, der betegnes basismålet. Som regel sættes p = q = 1/2,

og intervallet angives ved

2

TB

Særlige forhold kan undertiden gøre det hensigtsmæssigt at fastlægge toleran-

ceintervallet usymmetrisk om B, altså at vælge p og q forskellige fra 1/2.

393


Som nævnt har toleranceangivelsen en klar teknisk-juridisk betydning. Nok så

vigtigt i praksis er imidlertid toleranceangivelsernes rolle som etiketter for med

hvilken nøjagtighed, der skal styres i fremstillingsprocessen for de forskellige

betonelementtyper og i den efterfølgende monteringsmetode. At styre efter ab-

solut overholdelse af alle toleranceangivelser er ikke blot unødvendigt, men også

urimeligt fordyrende. Af samme grund bør man ved projekteringen undlade at

stille ubegrundet snævre tolerancekrav. Ofte vil overskridelse af tolerancegræn-

serne for en mindre brøkdel af de elementer, der indgår i en sammenbygning,

ikke føre til vanskeligheder, og overskridelsen vil derfor aldrig blive opdaget.

Dette skyldes, at de enkelte elementers mål samspiller på statistisk vis, således

at store og små indbyrdes uafhængige målafvigelser med vekslende fortegn kan

tendere til at summere sig op langt mindre drastisk end den tilsvarende simple

addition af tolerancetallene angiver. Aktiv justering under montageprocessen

kan også ofte forhindre kassation af mindre nøjagtige elementer.

Erfaringen viser, at de observerede mål meget ofte med god tilnærmelse forde-

ler sig omkring basismålet i overensstemmelse med den normale sandsynlig-

hedsfordeling. Hvis dette findes ikke at være tilfældet, kan det være en indikati-

on af manglende kontrol over produktionsprocessen.

Den normale fordelings tæthedsfunktion er vist i figur 12-1. Den har en middel-

værdi µ, der svarer til punktet med størst tæthed. I produktions- og montage-

processerne tilstræbes dette punkt at være tæt ved basismålet, og naturligvis

meget tættere end T/2 for at der kan være plads til, at de fleste målafvigelser

fra B falder inden for B - T/2, B + T/2. Hvis det forudsættes, at µ = B, bestem-

mer bredden af tæthedsfunktionen entydigt hvor stor en brøkdel af en stor stik-

prøve af mål, der kan forventes at falde i toleranceintervallet. Bredden af tæt-

hedsfunktionen angives sædvanligvis ved afstanden σ langs mål-aksen fra punk-

tet µ med størst tæthed til det ene eller det andet af tæthedskurvens to vende-

punkter. Denne afstand er identisk med den såkaldte standardafvigelse.

394


Basismål B

T/2 T/2

Fejlemner Fejlemner

mål

Det skraverede areal repræsenterer fejlprocenten

Figur 12-1: Målenes fordeling i overensstemmelse med normalfordelingens

tæthedsfunktion (middelværdi µ og standardafvigelsen σ), samt illustration

af basismål B og toleranceintervallet B-T/2, B+T/2

Hvis man måler afstanden fra punktet µ til det ene eller det andet af tolerancein-

tervallets endepunkter i enheden σ, da er brøkdelen af de observationer der

falder under, henholdsvis over, toleranceintervallet entydigt bestemt ved hen-

holdsvis den nedre og den øvre af disse dimensionsløse afstande. I forbindelse

med kontrol af tolerancers overholdelse stilles sædvanligvis det krav, at højst 10

% af observationerne i en teoretisk uendelig stor stikprøve må falde uden for

toleranceintervallet. Hvis dette netop er tilfældet, og µ = B, da vil ca. 60 % af

observationerne falde i den centrale halvdel af toleranceintervallet.

12.1.4 Vejledende beregning til valg af toleranceangivelser

Det følger af det foregående, at hvis man gør den forudsætning, at produktions-

og montageprocesserne styres således, at en stort set konstant procentdel af

målene i det lange løb falder i det specificerede toleranceinterval, og at middel-

værdien µ er sammenfaldende med basismålet B, da er standard afvigelsen σ en

395


fast brøkdel af tolerancen T. Det betyder, at den såkaldte fejlophobningslov, der

bestemmer standardafvigelsen for et sammensat mål ved standardafvigelserne

for de enkelte delmål, kan formuleres direkte i tolerancerne for de enkelte del-

mål.

Helt generelt kan man skrive et tilstræbt længdemål B, der er sammensat af n

delmål, som

1 1 2 2 ... n nB k B k B k B

hvor B1, B2,...,Bn er basismålene for de enkelte delmål, og hvor faktorerne k1,

k2,..., kn er bestemt ved den aktuelle geometri. Et eksempel er vist i figur 12-2,

hvor B er fugebredden f mellem to elementer med længderne B1 = c, B2 = d og

med placeringsmålene B3 = a, B4 = b. Konstanterne k1,k2,k3 og k4 bliver da hen-

holdsvis -1/2, -1/2, 1 og 1.

Forudsætter man, at toleranceangivelserne af alle parter i byggeprocessen an-

vendes med samme betydning med hensyn til hyppighed af svigtende opfyldelse

af tolerancekravet, fås for det sammensatte længdemålstolerance

2 2 21 1 2 2( ) ( ) ... ( )n nT k T k T k T 2

Venstre side udtrykker den ønskede nøjagtighed af det sammensatte mål. Tole-

rancerne T1,...,Tn på højre side må derfor vælges så denne ulighed er opfyldt. På

den anden side bør værdierne af økonomiske grunde vælges så store som ulig-

heden tillader.

Hvis uligheder af ovenstående type ikke tages i betragtning ved projekteringen,

kan man komme til at anføre tolerancekrav, der rummer indre modstrid. Ek-

sempelvis bør tolerancen T i ovenstående ulighed ikke anføres i byggebeskrivel-

sen, hvis T1,...,Tn alle er givne i denne. Tolerancen T er kun et hjælpemiddel for

den projekterende. Hvis der sørges for, at uligheden er tilfredsstillet ved valget

af T1,...,Tn, vil nøjagtighedskravet til sammenbygningsmålet under de givne

forudsætninger automatisk blive opfyldt.

396


Det fremgår, at det er vigtigt, at der kun stilles tolerancekrav for mål, der har

afgørende betydning for sammenbyggelighed, og i øvrigt at disse tolerancekrav i

alle tilfælde knyttes til klart definerede basismål. Fugeeksemplet i figur 12-2

viser, at man med specificerede tolerancer på elementbredder og placeringsmål

ikke samtidigt frit kan specificere en tolerance på bredden af fugen mellem de to

elementer. Ovenstående ulighed skal opfyldes. Den projekterende må derfor

beslutte sig for, hvilke mål der skal være styrende med hensyn til nøjagtighed.

Er der tale om bagvægselementer til en skalmuret facade, vil det normalt være

placeringsmålene a, der er vigtige med tanke på indbygning af døre og vinduer,

medens fugebredden f mellem bagvægselementerne er af mindre betydning. For

sandwichfacader vil det derimod normalt være fugebredden, der har betydning,

medens den nøjagtige placering af vindueshuller er mindre afgørende.


12.2.1 Eksempel – Fuge i sandwichfacade

Figur 12-2: Sandwichfacade, hvor fugemålet er kritisk med hensyn til nøj-

agtighed

For elementopstillingen i figur 12-2 er fugebredden det kritiske sammensatte

mål, når det forudsættes at elementerne indgår i en facade. Som det ses af figu-

ren gælder

1 12 2 ,f c d a b

397


eller skrevet på den formelle form

1 11 2 3 42 2 ,B B B B B

således at toleranceuligheden bliver

2 2 2 21 11 2 34 4T T T T T 2

4

gældende under de ovenfor anførte forudsætninger.

”Hvor går grænsen?” beskriver en række elementtyper med tilhørende angivel-

ser af de normalt brugte tolerancer på hovedmålene.

Hvis elementbredden er mellem 2,4 og 7,2 m, er den sædvanligt anvendte tole-

rance 16 mm. Antages at elementbredderne B1 og B2 ligger i dette interval haves

altså normalt, at T1 = 16 mm og T2 = 16 mm.

For placeringsmålene B3 og B4 gælder, at de under normal montagepraksis kan

opfyldes med tolerancerne T3 = T4 = 16 mm. Uligheden giver da

2 2 2 2 21 14 4·16 ·16 16 16 24T 2

Det ses altså, at hvis elementmålene og placeringsmålene realiseres statistisk

uafhængigt af hinanden med de givne nøjagtigheder, da må det accepteres, at

fugebreddens nøjagtighed ikke kan opnås bedre end svarende til en tolerance på

24 mm.

Bedre nøjagtighed kan opnås ved en ændret opstillingsprocedure. For eksempel

kan alle modullinjer afsættes først, hvorefter de enkelte elementer centreres

bedst muligt inden for deres modulområder.

Tolerancen på afsætningen af målene k, l og m kan forudsættes at være af stør-

relsen 12 mm.

398


Figur 12-3

Bemærk at dette ikke er identisk med tolerancen på modullinjernes placering,

idet der også må regnes med en tilsvarende unøjagtighed i placeringen af må-

lafsætningslinjen. Denne afvigelse er på figuren er betegnet e.

Centrering af element I inden for modulområdet svarer til at tilstræbe x = 0,

hvor

1 2x x x

Dette kan normalt realiseres inden for en tolerance på 10 mm. Af figuren ses nu

at

12 1 1 2 ( )x c x l k x l k c x

Tilsvarende for element II

11 2 ( )y m l d y

Fugebredden bliver således

1 11 1 2 2

1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2

( ) ( )f x y l k c x m l d y

f m k c d x y

Alle målene m, k, c, d, x og y på højre side kan forudsættes realiseret statistisk

uafhængigt af hinanden.

399


Med de tidligere anførte værdier for tolerancerne findes dermed:

2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 14 4 4 4 4 412 12 16 16 10 10 15,8 16T 2

Placeringsmålet for element I i forhold til den ideelt placerede målafsætningslin-

je er

11 2

1 12 2

1 1 12 2 2

( )

a e l x c

a e l l k c x c

a e l k x

Den tilsvarende toleranceulighed bliver

2 1 2 2 21 1 11 2 3 44 4 4

2 2 2 2 2 21 1 14 4 412 12 12 10 15,3 16

T T T T T

T

2

idet tolerancen på placeringen af målafsætningslinjen, der idealt svarer til e = 0,

sættes til T1 = 12 mm.

Med den beskrevne opstillingsprocedure opnås altså en nøjagtighed både på

fugebredden og placeringsmålet svarende til en tolerance på 16 mm.

Eksempel slut

12.2.2 Eksempel – Opstilling af vægelementer og montage af huldæk

Figur 12-4 viser en sammenbygning med en geometri, der medfører følgende

sammenhænge mellem de viste mål:

0

0

1 10 02 2

n

n

v h

a a H

b b H

L l a c b d l

400


Antag at vederlagsdybderne lv og ln er de kritiske mål med hensyn til nøjagtig-

hed. Antag desuden at montageprocessen styres ved målene an og bn, vinklerne

α og ß, samt ved forskellen

v hr l l

mellem venstre og højre vederlagsdybde, der tilstræbes at være 0. Der skal da

udover elementmålenes tolerancer specificeres tolerancer for disse monte-

ringsmål, således at begge vederlagsdybder med en ønsket nøjagtighed bliver

det tilstræbte mål

1 12 2( )n nl L a b c d 1

2 ,

der fås af ovenstående ligninger ved at sætte α = ß = 0 og l = lv = lh.

Figur 12-4

401


Af ligningerne fås højre vederlagsdybde:

1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 4 4 2 ,h n nl L a b H H c d r

eller skrevet på den generelle form:

1 1 1 1 1 1 1 11 2 3 4 5 6 72 2 2 2 2 4 4 2 8B B B B B B B B B

for et sammensat mål. Her er B4 = αH og B6 = ßH. For elementmålene kan man

som angivet i ”Hvor går grænsen?” i overensstemmelse med sædvanlig praksis

foreskrive følgende tolerance værdier:

1

1

1

6 7

24 7, 2

: 40 7, 2 14, 4

60 14, 4

, : 10

T mm for L

L T mm for m L m

T mm for L

c d T T mm

m

m

For monteringsmålene an og bn kan man som i forrige eksempel sætte T2 = T3 =

16 mm. Desuden tillader normal monteringspraksis en lodstillingstolerance (vin-

kelafvigelsestolerance) på 4 mm/m. Med en væghøjde på H = 3 m fås da T4 = T5

= 12 mm.

I det følgende vises et eksempel på valg af en rimelig tolerance T8 på målet r,

når alle delmål, der bidrager til det sammen satte mål lh realiseres statistisk

uafhængigt af hinanden. Toleranceuligheden bliver:

2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 11 2 3 4 5 6 7 84 16 4

28

2 2 21 11 8 84 4

28

( ) ( )

356,5 7,2

212,5 612,5 7,2 14,4

1112,5 14,4

T T T T T T T T T

T for L

T T T for m L

T for L

m

m

m

402


Ved projektering af en sammenbygning hvor L ≤ 7,2 m er basismålene valgt

således at T = 20 mm kan anses for at være en tilfredsstillende nøjagtighed for

vederlagsdybden. Det følger da af uligheden at T5 skal angives således at

2 28 4(400 356,5) 13,2 ( 7,2 )T L m

For dækelementer af denne korte længde er det muligt at styre oplægningen

med en så lille tolerance T8, at den i regnestykket ovenfor kan sættes til nul. Det

ses da, at den højst opnåelige nøjagtighed med værdien for de øvrige tolerancer

som angivet er

356,5 18,9 .T m m

Der opnås altså kun en ubetydelig nøjagtighedsforbedring ved at presse toleran-

cen ned fra en værdi på for eksempel 10 mm (der giver uligheden T ≥ 19,5 mm)

til en værdi nær nul. Selv for så stor en tolerance som T8 = 16 mm fås kun en

meget lille forøgelse af ulighedens højre side. Uligheden bliver i det tilfælde T ≥

20,5 mm. Denne ufølsomhed hænger naturligvis sammen med, at usikkerheden

på vederlagsdybden er stærkt domineret af usikkerheden på de mange øvrige

indgående statistisk uafhængigt realiserede delmål.

Eksempel slut

403


404

405

FORORD 7

1 GENERELT 11

1.1 Introduktion 12

1.2 Teoriogberegningeripraksis 14

1.3 Dokumentationafbærendekonstruktioner 15

1.3.1 Overordnedestatiskeberegninger 15

1.3.2 Bygningsdelsberegninger 16

2 GRUNDLÆGGENDEMATERIALEMODELLER 19

2.1 Beton 20

2.1.1 Middelarbejdslinje 20

2.1.2 Brudgrænsetilstande 22

2.1.3 Tværsnitsanalyse–generelmetode 23

2.1.4 Anvendelsesgrænsetilstande 26

2.1.5 Krybningogsvind 29

2.1.6 Eksempel–Beregningafslutkrybetalogslutsvind 32

2.2 Armeringsstål 36

2.3 Forspændingsstål 37

3 LODRETTELASTVIRKNINGER 39

3.1 Lodrettelaster 41

3.1.1 Nyttelast 43

3.1.2 Sne–ogvindlast 44

3.1.3 Brandogulykke 45

3.2 Lastkombinationer 45

3.2.1 Vedvarendeellermidlertidigedimensioneringstilfælde 45

3.2.1.1 Konsekvensklasse 47

3.2.2 Ulykkesdimensioneringstilfælde 47

Index

406

Index betonelementbyggerIersstatIk

3.3 Lodretlastnedføring 48

3.3.1 Excentriciteter 48

3.3.2 Lodretlastpåsøjlerogvægge 50

3.3.3 Vedvarendeellermidlertidigedimensioneringstilfælde 50

3.3.4 Ulykkesdimensioneringstilfælde 52

3.3.5 Eksempel–Lastnedføring 53

3.3.5.1 Vedvarendeellermidlertidigedimensioneringsttilfælde 53

3.3.5.2 Ulykkesdimensioneringstilfælde 55

3.4 Lastspecifikationer 57

3.4.1 Fastlæggelseafsøjle–ogvæglaste 57

3.4.2 Tværlasthidrørendevindpåsøjlerogvægge 57

3.4.3 Normalkraftfralastnedføring 58

3.4.3.1 Søjler 58

3.4.3.2 Vægge 60

3.4.4 Lasttilfælde 61

3.4.5 Eksempel–Fastlæggelseafsøjlelaste 64

3.4.5.1 Vedvarendeogmidlertidigedimensioneringstilstande 64

3.4.5.2 Ulykkesdimensioneringstilfælde 66


3.5.1 Modultillastnedføring 69

3.5.2 Modulertilspecifikationafsøjle–ogvæglaste 71

4 HOVEDSTABILITET 73

4.1 Generelt 74

4.2 Vandretlastfordeling 76

4.2.1 Eksempel–Halefterkassesystemet 82

4.2.2 Eksempel–Halefterskeletsystemet 87

4.2.3 Eksempel–Tværvægsbyggeri 91

4.3 Opstillingafgeneraliseretmodel 96

4.3.1 Eksempel–Kombinationsbygning 102


5 SKIVESTATIK 109

5.1 Dækskiver 111

5.1.1 Homogenhuldækskive 113

5.1.2 Huldækskiveberegnetvedstringermetoden 118

5.1.3 Eksempel–Regneeksempel 127

407

betonelementbyggerIersstatIk Index

5.2 Vægskiver 135

5.2.1 Vægopstalter 135

5.2.2 Enkeltelementersskivestyrke 139

5.2.3 Eksempel–Vægbeståendeafflerevægelementer 146


6 ARMEREDEBJÆLKER 153


6.1.1 Bøjning 155

6.1.1.1 Tværsnitsanalyse–generelmetode 155

6.1.1.2 Kanttøjning 158

6.1.1.3 Bøjningudentrykarmering 159

6.1.1.4 Minimum–ogmaksimumarmering 162

6.1.2 Forskydning 163

6.1.2.1 Diagonaltrykmetoden 165

6.1.2.2 Minimumsarmering 170

6.1.2.3 Dimensioneringsforløb 171

6.1.3 Vridning 173

6.1.4 Kombineretvridningogforskydning 176

6.1.5 Beregningafforankringskraft 176

6.1.5.1 Forankringvedrenforskydning 176

6.1.5.2 Forankringvedrenvridning 177

6.1.5.3 Forankringvedkombineretforskydningogvridning 179

6.1.6 Eksempel–Bjælkeberegningibrudgrænsetilstanden 180

6.1.6.1 Beregningsforudsætninger 180

6.1.6.2 Bøjning 181

6.1.6.3 Forskydning 182

6.1.6.4 Vridning 186

6.1.6.5 Kombineretvridningogforskydning 188

6.1.6.6 Forankringskraft 189


6.2.1 Udbøjning 190

6.2.1.1 Krybning 190

6.2.1.2 Svind 191

6.2.1.3 Tensionstiffening 191

6.2.1.4 Udbøjningerforfuldtrevnettværsnit 194

6.2.1.5 Udbøjningforurevnettværsnit 197

6.2.2 Revnevidder 199

6.2.3 Eksempel–Bjælkeberegningianvendelsesgrænsetilstanden 201

6.2.3.1 Udbøjningforfuldtrevnettværsnit 202

6.2.3.2 Udbøjningforurevnettværsnit 204

6.2.3.3 Udbøjningfortværsnitmellemfuldtrevnetogurevnet 205

6.2.3.4 Revnevidder 206


408


7 FORSPÆNDTEELEMENTER 209

7.1 Princippervedforspændteelementer 210

7.1.1 Udførelse 210

7.2 Indledendeprojekteringmedforspændteelementer 212

7.3 Tværsnitsanalyse–rektangulærttværsnit 217

7.3.1 Anvendelsesgrænsetilstande 217

7.3.2 Brudgrænsetilstande 221

7.3.2.1 Bøjning 222

7.3.2.2 Tværsnitsanalyse–generelmetode 222

7.3.2.3 Minimum–ogmaksimumarmering 225

7.3.3 Eksempel–RB–bjælke 226


7.3.3.2 Brudgrænse,bøjning 227

7.3.3.3 Anvendelsesgrænse,tværsnits–konstanter 229

7.3.3.4 Lasterpåtværsnittet 230

7.3.3.5 Anvendelsesgrænse,spændingsbestemmelse 230

7.3.3.6 Anvendelsesgrænse,udbøjningsbestemmelse 231

7.4 Vilkårligttværsnitmedforspænding 232

7.4.1 Anvendelsesgrænsetilstand,tværsnitsanalyse 232

7.4.2 Brudgrænsetilstand,tværsnitsanalyse 241


8 SØJLEROGVÆGELEMENTER 253


8.1.1 Tværsnitsanalyse–generelmetode 254

8.1.2 Dannelseafbæreevnekurvervedbrugafdesigndiagrammer 258

8.1.2.1 Søjler 261

8.1.2.2 Tynderevæggeogvægsøjler 263

8.1.3 Minimumogmaksimumarmering 267

8.1.3.1 Søjler 267

8.1.3.2 Vægge 268

8.1.4 Eksempel–Søjleberegningibrudgrænsetilstanden 269


8.1.4.2 Udbøjningomdenstærkeakse 270

8.1.4.3 Udbøjningomdensvageakse 275


8.2.1 Eksempel–urevnettværsnit 282

8.2.2 Udbøjningforrevnettværsnit 286


8.4 Skævbøjning 292

8.4.1 Eksempel,skævbøjning 294

409


9 BRAND 297

9.1 Materialeegenskaberunderbrand 299

9.1.1 Beton 299

9.1.2 Zonemetoden 300

9.1.2.1 Temperaturbestemmelse 300

9.1.2.2 Tværsnits–ogstyrkereduktion 302

9.1.3 Armering 304

9.1.4 Forspændingsstål 305

9.1.5 Eksempel–Temperaturbestemmelseogstyrkereduktion 306


9.1.5.2 Beton 306

9.1.5.3 Armering 311

9.2 Bjælkeribrandtilstanden 312

9.2.1 Bøjning 313

9.2.1.1 Tværsnitsanalyse–Generelmetode,betonbidrag 313

9.2.1.2 Tværsnitsanalyse–Generelmetode,armeringsbidrag 315

9.2.1.3 Bøjningudentrykarmering 318

9.2.2 Forskydning 321

9.2.3 Eksempel–Bjælkeibrandtilstanden 321


9.2.3.2 Bøjning 323

9.2.3.3 Forskydning 324


9.4 Søjlerogvæggeibrandtilstanden 325

9.4.1 Udbøjningfrakrybning 326

9.4.2 Termiskeudbøjninger 328

9.4.3 Søjle/vægreaktionensforsætningunderbrand 329

9.4.4 Eksempel–Søjleibrandtilstanden 331


9.4.4.2 Kontrolvedopstillingaftværsnittetsligevægtsligninger 332

9.4.4.3 Kontrolafudbøjning 335

9.4.4.4 BestemmelseafmomentkapacitetMoRd 338


410


10 DETAILSTATIK 339

10.1 Detailberegningvedgitteranalogien 341

10.1.1 Gitterløsningermedlukkedebøjler 344

10.2Forankringafhovedarmering 349

10.2.1 Forankringmedsimpelretlinetarmering 351

10.2.2 Forankringmedu–bøjle 353

10.2.3 Forankringmedpåsvejsttværarmering 355

10.2.4 Andreforankringstyper 358

10.3Anvendelseseksempler 359

10.3.1 Eksempel–Vederlagsforankring 359

10.3.1.1 Forankringmedsimpelretlinetarmering 359

10.3.1.2 Forankringmedu–bøjle 360

10.3.1.3 Forankringmedpåsvejsttværarmering 361

10.3.2 Eksempel–Bjælkehalvering 362

10.3.3 Eksempel–Pladehjørne 367

10.3.3.1 Taleksempel 371

10.4Udstøbningssamlinger 373

10.4.1 Støbeskel 373

10.4.2 Etagekryds 377

11 TVANGSDEFORMATIONER 379

11.1 Geometriændringer 380

11.2 Luftfugtighedensbetydning 381

11.3 Temperaturensbetydning 382

11.4 Lastensbetydning 383


11.5.1 Eksempel–Fugeiindervæg 384

11.5.2 Eksempel–Fugemellemforpladerisandwichfacade 385

11.5.3 Eksempel–Altanbrystning 387

11.5.4 Eksempel–Ribbepladeiflerskibsbygning 388

411


12 TOLERANCER 391

12.1 Håndteringaftolerancer 392

12.1.1 Betonelementersmål 392

12.1.2 Byggepladsmål 393

12.1.3 Grundlæggendetolerancebegreber 393

12.1.4 Vejledendeberegningtilvalgaftoleranceangivelser 395

12.2Anvendelseseksempler 397

12.2.1 Eksempel–Fugeisandwichfacade 397

12.2.2 Eksempel–Opstillingafvægelementerogmontageafhuldæk 400

Tomt Word dokument - Betonelement-Foreningen (BEF) · 1 GENERELT 11 1.1 Introduktion 12 1.2 Teori...

Documents

Transcript of Tomt Word dokument - Betonelement-Foreningen (BEF) · 1 GENERELT 11 1.1 Introduktion 12 1.2 Teori...