Tomografia Axial Computadorizada
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
CÂMPUS SANTA MÔNICA
CURSO DE ENGENHARIA BIOMÉDICA
CAIO TONUS RIBEIRO
DOMINGOS ALVES CONSTANTINO NETO
ISABELA BERNARDES ALVARES CAMPOS
TOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA
UBERLÂNDIA
2011
CAIO TONUS RIBEIRO
DOMINGOS ALVES CONSTANTINO NETO
ISABELA BERNARDES ALVARES CAMPOS
TOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA
Trabalho acadêmico apresentado à
disciplina de Funções de Variáveis Reais I,
do Curso de Engenharia Biomédica, da
Universidade Federal de Uberlândia.
Prof. Dr. Alonso Sepúlveda Castellanos
UBERLÂNDIA
2011
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1: Tomógrafo.............................................................................................................. 6
Figura 2: Representação da emissão de radiação no tomógrafo............................................ 8
Figura 3: Representação da distância p e do ângulo θ........................................................... 8
Figura 4: Exemplo da Transformada de Radon aplicada em uma imagem........................... 10
Figura 5: À esquerda a imagem original e à direita sua retroprojeção simples................... 11
Figura 6: Representação idealizada de um corte do corpo de uma pessoa.......................... 12
Figura 7: Exemplos de imagens reconstruídas utilizando o algoritmo de Retroprojeção
Filtrada com 15, 60 e 180 projeções respectivamente......................................................... 13
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO................................................................................................................. 4
2 A TOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA................................................................. 5
3 O CÁLCULO..................................................................................................................... 7
4 CONCLUSÃO................................................................................................................... 14
5 REFERÊNCIAS................................................................................................................ 16
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1 INTRODUÇÃO
É certo que a medicina passou por uma grande revolução junto com o aumento da
tecnologia dos equipamentos médicos. Um deles é a tomografia computadorizada (TC), que,
ao contrário de outros aparelhos de raios x que projetam imagens em duas dimensões, com ela
é possível projetar em três. Isso a torna mais eficiente nos exames clínicos e fornece melhores
imagens dos órgãos e tecidos sem ser invasivo. O exame é simples, pois a máquina passa em
diversos ângulos e partes do corpo a serem examinados, podendo fazer análises até do o
cérebro.
Muitas vezes o paciente deve tomar uma substância denominada contraste, que é
injetada na veia e pode melhorar algumas imagens tornando-as mais nítidas, ato simples que,
normalmente, não gera grandes incômodos para o paciente.
No entanto, nenhum beneficio desses aparelhos existiria se não existisse a matemática,
aliada da engenharia, que colabora muito para a eficiência e objetividade de seus
funcionamentos, como por exemplo, na aparelhagem médica. Utiliza-se na tomografia
computadorizada conhecimentos gerais de integrais, álgebra linear, equações diferencias,
matrizes e vetores.
Importante ressaltar que existem vários tipos de aparelhos de tomografia atualmente;
escolhemos apresentar em especial a axial. Além disso, para que a tecnologia das tomografias
existisse, muitos cientistas persistentes como matemáticos, engenheiros e pesquisadores de
varias áreas estudaram e desenvolveram processos e equações desde o inicio do século XX.
Afinal, grandes obras são construídas por muito trabalho, dedicação e nem sempre por apenas
uma pessoa.
6
2 A TOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA
A Tomografia Computadorizada (TC), também conhecida como Tomografia Axial
Computadorizada (TAC), é um exame de diagnóstico por imagem que utiliza raios x para
podermos visualizar as estruturas anatômicas na forma de cortes. Este exame baseia-se nos
mesmos princípios da radiografia convencional, que nos mostram que tecidos de diferentes
composições e densidades absorvem a radiação X com intensidades diferentes. Sendo assim,
tecidos com uma maior densidade, como o fígado, absorverão uma maior quantidade de
radiação do que os de menor densidade, como o pulmão. Assim que uma “foto” for tirada, o
tomógrafo irá tirar fotos desta mesma seção, mas sob outros ângulos, o que nos fornecerá
imagens ricas em detalhes.
As radiografias, por sua vez, são projeções de estruturas tridimensionais, que serão
representadas de forma bidimensional, isto é, a imagem obtida é uma sobreposição de vários
planos, o que pode acarretar em uma atenuação ou omissão de determinado detalhe,
dependendo de sua densidade. Normalmente, para saber se um osso foi fraturado, o exame
realizado é a radiografia, pois como o osso é o tecido mais denso de nosso corpo, ele sobrepõe
órgãos e outros tecidos menos densos, sendo esta a aplicação em que este exame mais é
utilizado. Outra diferença entre a TAC e a radiografia convencional é que aquela emite vários
feixes de raios x enquanto esta emite apenas um.
O tomógrafo (Figura 1) é composto por uma cama móvel sobre a qual o paciente irá se
deitar e pela área mecânica onde se encontra um anel de diâmetro aproximado de 0,7m pelo
qual a plataforma irá passar. Em volta deste anel há um eixo em que há um emissor de
radiação x e, opostamente a esse emissor, há vários receptores intensificadores de imagem,
que receberão as projeções das densidades dos órgãos e tecidos, como falaremos mais adiante,
que serão transmitidas a um computador, passando por um algoritmo, formando assim a
imagem. Esse eixo roda em torno do anel pelo qual a plataforma passa, captando assim as
imagens internas da pessoa em vários ângulos e, juntamente com a movimentação da
plataforma, formam imagens de vários planos, que, unidos, possibilitam a formação de uma
imagem tridimensional, que nos permite uma visualização volumétrica da estrutura dos
tecidos analisados. Assim que cada imagem é recebida, a cama adentra cada vez mais no anel,
para que possam ser formadas imagens de novos cortes. Para formar a imagem, as densidades
dos tecidos atravessados pelos raios x serão analisadas, comparadas e assim “traduzidas” para
7
tons de cinza, nos permitindo enxergar elementos que, devido a suas baixas densidades, com a
radiografia convencional, não seria possível enxergarmos.
Figura 1 – Tomógrafo
Fonte: http://www.chemistryexplained.com/Co-Di/CT-Scans.html
8
3 O CÁLCULO
A matemática por trás da Tomografia Computadorizada remete-nos ao ano de 1917
em que o matemático Johann Radon determinou a solução matemática para o problema de
reconstrução de imagens, mas as primeiras técnicas para que ela fosse efetivada só surgiram
no ano de 1956 com o professor Ronald N. Bracewell, utilizadas em radioastronomia para
identificar micro-ondas originadas de determinadas regiões do sol. No entanto, a primeira
aparelhagem a utilizar os raios x, obtendo assim imagens mais precisas e nítidas, foi
construída em 1972 pelo engenheiro britânico Godfrey Hounsfield.
Suponha que o raio x se move em linha reta e que a uma distância s dentro do corpo
do paciente a intensidade da radiação é de I(s). Conforme s vai aumentando, I(s) vai
diminuindo por a energia emitida estar sendo cada vez mais absorvida. Agora, caso o raio x
atravesse uma pequena distância Δs dentro da pessoa, sua intensidade irá diminuir de uma
quantidade ΔI. Essa redução depende tanto desta quantidade quanto do coeficiente de
absorção u(s) do material. Contanto que a variação da distância seja pequena o bastante, então
a redução em ΔI relaciona-se com u(s) pela seguinte fórmula:
∆I = - u(s)*I(s)*∆s (1)
Supondo que Ifinal é a intensidade da radiação após deslocar-se de uma distância Δs,
Iinicial é a intensidade antes deste deslocamento e L o comprimento do feixe, nota-se que a
atenuação desta é dada por:
Ifinal = Iinicial*e-R, onde R = ∫ u(s)ds (2)
A equação 2 nos fornece a diminuição da intensidade de um raio x e isso nos provê
importantes informações sobre o corpo atravessado por ele. Ela também nos mostra que a
intensidade da radiação que atravessa o corpo diminui exponencialmente de acordo com a
variação da distância.
Na ilustração abaixo (Figura 2) é mostrado um objeto sendo bombardeado por
radiação x, que terá sua intensidade final medida pelo receptor. Alguns desses raios (B)
atravessam totalmente o objeto, sendo assim altamente absorvidos, logo, sua intensidade final
9
captada pelo receptor será muito baixa. Outros (A) atravessam apenas uma parte dele e serão
menos absorvidos do que o primeiro, portanto terão uma intensidade final maior. Finalmente,
alguns (C) sequer tocarão o objeto, logo serão captados pelo receptor com uma intensidade
final de radiação praticamente igual a inicial, devido ao baixo coeficiente de absorção do ar.
Figura 2 – Representação da emissão de radiação no tomógrafo
Pela imagem é mais facilmente visto que os raios x que serão absorvidos devido ao
objeto formarão uma “sombra” na construção da imagem. Devido a esse fato, podem-se
mensurar as dimensões do objeto. Vale ressaltar que a TAC preocupa-se em fornecer além das
dimensões do objeto, sua natureza, para descobrir, por exemplo, se há um câncer ou um tumor
na tomografia realizada, analisando a atenuação da maior quantidade possível de raios x.
Notando que a distância s divide-se na componente x e na componente y, como é
possível ver na figura abaixo (Figura 3), para seguir a notação usual, considerando
u(x,y)=f(x,y), no caso de uma seção plana do corpo, temos que, da equação (2):
P(L) = - ln(Ifinal/Iinicial) = ∫ u(x,y)ds (3)
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Figura 3 – Representação da distância p e do ângulo θ
Esta equação, que denominaremos projeção integral (P(L)), é a inversa da operação
integral em 2 e é ela que mensura a atenuação dos raios x durante o processo da tomografia. O
problema central da TAC é reconstruir um objeto, dada cada uma de suas projeções P(L),
assim, para determinar as dimensões do objeto, ele deve ser irradiado de vários ângulos. Se a
atenuação da intensidade dos raios x são plotadas sobre todos os ângulos de rotação possíveis
(normalmente 180 ou 360 graus), um conjunto das projeções é obtido.
Nota-se, pela Figura 3 que o feixe passará por um conjunto de pontos (x,y) em que o
coeficiente de absorção é u(x,y). Lembrando que s é a distância percorrida pelo raio, cada um
desses pontos (x,y) pode ser escrito da seguinte forma:
(x,y) = (p*cos(θ)-s*sen(θ);p*sen(θ)+s*cos(θ)) (4)
Nesse caso, pela equação 2 temos que:
Ifinal=Iinicial*e-R(p,θ) (5)
Onde:
R(p,θ) = ∫ u(p*cos(θ)-s*sen(θ);p*sen(θ)+s*cos(θ))ds (6)
A função R(p,θ) é denominada de Transformada de Radon da função u(x,y). Ela nos
permite transformar as projeções integrais obtidas pelo escaneamento da TC em imagens
(senogramas) que se aproximam da imagem que desejamos obter (Figura 4) e evidencia a
relação existente entre as projeções e o objeto a ser analisado. Quanto maior for o valor de R,
maior será a quantidade de radiação absorvida pelo tecido analisado. Mensurando a atenuação
da intensidade dos raios x absorvidos pelo maior número possível de ângulos, é possível obter
dados com alta acurácia, mas o realmente desejado, é a função u(x,y), que nos mostra o
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coeficiente de absorção de determinado tecido. Isto é útil na descoberta de tumores,
inflamações ou até cânceres.
Figura 4 – Exemplo da Transformada de Radon aplicada em uma imagem
Fonte: http://www.lx.it.pt/~bioucas/IP/files/Radon.pdf
Dada a função R(p,θ), é possível descobrirmos a função u(x,y), o que nos fornecerá a
imagem original. Atentando-nos que θ pode variar entre 0 e π, caso haja redundância de
informação, ou entre 0 e 2π, caso não haja. Essa reconstrução da imagem é realizada pelo
computador por algoritmos matemáticos, que organizam as projeções obtidas em uma matriz
bidimensional.
Dentre os métodos que podem ser utilizados para fazer a inversão da imagem está a
própria inversa da transformada de Radon, mas ela é muito suscetível a ruídos, não sendo
muito usada. Outro é a retroprojeção simples, que seleciona todos os raios que passam pelos
pontos de coordenadas (x,y), logo, a função dos coeficientes de absorção vai aparecer como a
soma das contribuições dos raios que passam por aquele ponto, mas isso faz com que pontos
que são externos ao objeto que desejamos analisar influenciem na formação da imagem, o que
faz com que ela torne-se extremamente borrada (Figura 5), pois cada pixel integrado gerará
influências em seu redor, não sendo assim favorável à medicina, que precisa de detalhes cada
vez mais precisos sobre a área a ser estudada.
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Figura 5 – À esquerda a imagem original e à direita sua retroprojeção simples
Fonte: http://www.whitman.edu/mathematics/SeniorProjectArchive/2011/SeniorProject_KaileyBolles.pdf
Outro método, este sendo mais usado que o anterior, é a retroprojeção filtrada, que
consiste basicamente na filtragem das projeções usando um filtro rampa e, só depois de usar a
transformação inversa, filtrar esses valores e retro projetá-los na imagem. A multiplicação das
projeções com o filtro rampa gera imagens com uma resolução melhor, pois amplifica os
valores das frequências mais altas, fazendo com que a imagem fique mais nítida. Ele é o
método preferencialmente utilizado por necessitar de um período curto de tempo para efetivá-
lo e produz imagens razoáveis para análises médicas.
Este último método citado utiliza a Transformada de Fourier como instrumento para
inverter a transformada de Radon, que reduz significativamente a quantidade de ruído
presente nos dados, além de tornar a imagem reconstruída mais nítida. Considerando um
determinado ponto do feixe e, dado i = √-1, ela é dada pela fórmula:
r(ω,θ) = ∫ R(p,θ)*e-iωpdp (7.1)
A transformada de Fourier transformará as projeções captadas em “ondas”, analisando
a frequência ω delas, que se divide nas duas direções x e y sob frequências de repetição α e β
respectivamente. Substituindo a equação acima (7) na equação 6, temos que:
r(ω,θ) = ∫ ∫ u(p*cos(θ)-s*sen(θ);p*sen(θ)+s*cos(θ))*e-iωpdsdp (7.2)
Fazendo (x,y) = (p*cos(θ)-s*sen(θ);p*sen(θ)+s*cos(θ)), temos que, da equação 7.2:
r(ω,θ) = ∫ ∫ u(x,y)*e-i(ω*cos(θ)*x+ω*sen(θ)*y)dxdy (7.3)
13
Mas esta integral da equação anterior (7.3) equivale a transformada de Fourier
bidimensional, ou seja, a transformada da função u(x,y) é igual a transformada analisada em
um determinado ponto desta função. Esta igualdade é conhecida como o Teorema do Corte
Central (Central Slice Theorem) e nos permite calcular rapidamente a transformada de Radon
da função u(x,y). Apesar de ser possível obter esta transformada diretamente das projeções
obtidas, a transformada de Fourier a complemente, reduzindo o ruído, o que melhorará a
qualidade e a nitidez da imagem. Sabendo a função R(p,θ), é possível obter, por (7.3), a
função das projeções, obtendo assim a nossa imagem. Pela inversa da transformada de
Fourier, dada por:
r(t) = (1/2π) ∫ U(ω)*eiωtdω (8)
Podemos utilizá-la em (7.3) para obtermos:
u(x,y) = (1/4π2) ∫ ∫ r(ω,θ)*ei(xωcos(θ)+yωcos(θ))ωdω (9.1)
Mas, caso utilizemos a inversa da transformada de Fourier em 7.1 e a substituirmos em
9.1, temos a fórmula de inversão:
u(x,y) = (1/4π2) ∫ ∫ ∫ R(p,θ)*eiω(xcos(θ)+ysin(θ)-p)ωdpdωdθ (9.2)
Com essa equação, sabendo os valores de R, poderemos achar os valores da função u,
mas ela possui certas limitações, como todos os problemas inversos, que são problemas que
envolvem a determinação de uma causa, dados seus efeitos. Apesar de ela reduzir de forma
significativa o ruído presente nos dados, caso haja muito ruído, isso não será possível, além da
necessidade de conhecermos R o mais exatamente possível. Após esse algoritmo matemático
ser executado, encontrando assim a função das projeções, logo, da densidade, os dados
poderão finalmente ser filtrados a fim de obter a imagem.
Figura 6 – Representação idealizada de um corte do corpo de uma pessoa
Fonte: http://www.aapm.org/meetings/99AM/pdf/2806-57576.pdf
14
A figura 6 nos mostra um corte do corpo de uma pessoa de uma forma idealizada, ou
seja, como a imagem deveria ser formada. Pela figura abaixo (7), vemos as reconstruções
desta imagem utilizando 15, 60 e 180 projeções respectivamente, entre 0 e 2π.
Figura 7 – Exemplos de imagens reconstruídas utilizando o algoritmo de Retroprojeção Filtrada com 15, 60 e 180 projeções respectivamente
Fonte: http://osx-server.optics.arizona.edu/~kupinski/Matthew_Kupinski/OPTI_512L_files/radon.pdf
É notável a diferença da qualidade entre as três imagens e, baseado no número de
projeções utilizadas para se reconstruir as imagens, chegamos à conclusão que quanto maior o
número de projeções utilizadas, melhor será a qualidade e a nitidez da imagem desejada.
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4 CONCLUSÃO
Como visto, a tomografia computadorizada trouxe vários avanços para a medicina,
proporcionando uma melhor visualização das áreas desejadas que antes desta tecnologia seria
impossível obtermos, além de possibilitar a formação de uma imagem tridimensional por
meio da emissão de vários raios x pelo eixo, sua rotação e a movimentação da cama. Doenças
que antigamente matavam em grande quantidade, como o câncer ou tumores, hoje, aliada ao
processo da quimioterapia e de outros tratamentos ou processos cirúrgicos, a tomografia
colaborou para que houvesse uma grande redução deste número, pois com o auxilio de
imagens cada vez mais detalhadas do interior da pessoa enferma, é possível um diagnóstico
mais rápido e preciso, que pode ser essencial para a manutenção da vida dela, além de, com
este exame, vários exames invasivos que poderiam levar a infecções se tornarem
desnecessários.
É impossível negar que o advento da tomografia nos trouxe vantagens capazes até de
salvar vidas, mas prejuízos também estão inclusos com a chegada desta tecnologia. A TC
submete o paciente a doses maiores de raios x se comparado com a radiografia convencional,
como por exemplo, uma tomografia do peito dispara contra a pessoa uma dose de radiação
equivalente a cem radiografias, e isso pode, ao longo do tempo, gerar complicações à saúde
da pessoa, como normalmente, o câncer, e a cada exame tomográfico que fazemos, esse risco
aumenta, pois os efeitos da radiação no corpo da pessoa podem não desaparecer após os
exames, acumulando com o do exame anterior, prejudicando ainda mais a saúde do paciente.
Projeções feitas pelo Instituto Nacional do Câncer (National Cancer Institute) dos Estados
Unidos nos mostram que ocorrem aproximadamente 29 mil mortes por ano devido à radiação
emitida por tomógrafos. Uma das causas do aumento deste número é o aumento do uso deste
tipo de exame no decorrer das últimas décadas. Em uma pesquisa feita pelo mesmo instituto,
comparado aos 3 milhões de tomografias realizadas no ano de 1980 nos Estados Unidos, no
ano de 2010, 62 milhões foram efetuadas. Apesar de possuir índices de ocorrências não tão
altos, pode ocorrer também uma reação alérgica ao material de contraste (normalmente iodo),
que pode gerar de manchas ou inchaços na pele a uma redução da frequência respiratória ou
até no fechamento da garganta.
16
É necessária uma conscientização por parte dos médicos, que normalmente indicam
pacientes para a tomografia, mesmo quando não há necessidade de um exame tão detalhado,
para pelo menos amenizar o crescimento do número de casos de câncer que surgem em
números cada vez mais alarmantes. Seja explicando aos pacientes os riscos que o exame pode
oferecer a eles, seja utilizando-o apenas quando necessário isso auxiliaria no combate ao
câncer. Há também a necessidade de uma conscientização por parte dos pacientes, que
deveriam buscar informações ou com o médico, ou por conta própria para ficarem mais
informados acerca do tipo de exame a que serão submetidos, pois dependendo do caso, ele
torna-se desnecessário, trazendo, junto com o benefício que um exame menos prejudicial
poderia trazer, riscos à sua vida. Este precisa também ter cuidado, visto que ao passo em que a
tomografia pode salvar sua vida, pode tornar-se sua sina.
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REFERÊNCIAS
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