Ispitivanje Funkcija Racionalne Funkcije Eksponencijalne Funkcije Logaritamske Funkcije(1)
Tok funkcije
Transcript of Tok funkcije
Matematika 1Tok funkcije
Katedra za matematiku, FSB
Zagreb, 2015.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 1 / 38
Ciljevi ucenja
Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:
Primjena diferencijalnog racuna na rast-pad, ekstreme, zakretanjai pregibe
Granicno ponasanje funkcijeIspitivanje toka funkcije i crtanja grafa
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 2 / 38
Ciljevi ucenja
Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:
Primjena diferencijalnog racuna na rast-pad, ekstreme, zakretanjai pregibeGranicno ponasanje funkcije
Ispitivanje toka funkcije i crtanja grafa
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 2 / 38
Ciljevi ucenja
Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:
Primjena diferencijalnog racuna na rast-pad, ekstreme, zakretanjai pregibeGranicno ponasanje funkcijeIspitivanje toka funkcije i crtanja grafa
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 2 / 38
Sadrzaj
Sadrzaj:
1 Tok funkcijeRast i pad funkcijeKriticne tocke funkcijeEkstremi funkcijeZakretanja i pregibiAlternativno ispitivanje ekstrema∗
Granicno ponasanje funkcije
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 3 / 38
Tok funkcije Rast i pad funkcije
Rast i pad funkcije
y
xx1 x2
y ′(x1)< 0⇒ y pada u x1
y ′(x2)> 0⇒ y raste u x2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 4 / 38
Tok funkcije Rast i pad funkcije
Primjer 1.
(a) Ispitati da li funkcija y = x4−x2 +3x raste ili pada u x =−1.(b) Da li funkcija u =
√t + t2 raste ili pada u t =−2?
Rjesenje.
(a) y ′ = 4x3−2x +3⇒ y ′(−1) = 4(−1)3−2(−1)+3 = 1 > 0⇒ raste.(b) du
dt = 1+2t2√
t+t2⇒ du
dt (−2) = −32√
2< 0⇒ pada.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 5 / 38
Tok funkcije Rast i pad funkcije
Primjer 1.
(a) Ispitati da li funkcija y = x4−x2 +3x raste ili pada u x =−1.(b) Da li funkcija u =
√t + t2 raste ili pada u t =−2?
Rjesenje.
(a) y ′ = 4x3−2x +3⇒ y ′(−1) = 4(−1)3−2(−1)+3 = 1 > 0⇒ raste.(b) du
dt = 1+2t2√
t+t2⇒ du
dt (−2) = −32√
2< 0⇒ pada.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 5 / 38
Tok funkcije Rast i pad funkcije
Primjer 2.
Razina vode u jezeru ovisi o vremenu t ovako: r(t) = 1t2−2t+2 . Da li se
ono puni ili prazni u trenutku t = 2?
Rjesenje.
drdt
=−2t +2
(t2−2t +2)2 ⇒drdt
(2) =−0.5 < 0.
Dakle jezero se prazni.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 6 / 38
Tok funkcije Rast i pad funkcije
Primjer 2.
Razina vode u jezeru ovisi o vremenu t ovako: r(t) = 1t2−2t+2 . Da li se
ono puni ili prazni u trenutku t = 2?
Rjesenje.
drdt
=−2t +2
(t2−2t +2)2 ⇒drdt
(2) =−0.5 < 0.
Dakle jezero se prazni.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 6 / 38
Tok funkcije Rast i pad funkcije
Primjer 3.
Polozaj cestice na osi x dan je s x(t) = t3−2t +1. Da li se ona utrenutku t = 1
2 prilizava ishodistu ili se udaljava od njega?
Rjesenje.
x(
12
)=
18, v(t) =
dxdt
= 3t2−2⇒ v(
12
)=−5
4.
0
x(12) = 1
8
v(12) = −5
4
Priblizava se ishodistu!
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 7 / 38
Tok funkcije Rast i pad funkcije
Primjer 3.
Polozaj cestice na osi x dan je s x(t) = t3−2t +1. Da li se ona utrenutku t = 1
2 prilizava ishodistu ili se udaljava od njega?
Rjesenje.
x(
12
)=
18, v(t) =
dxdt
= 3t2−2⇒ v(
12
)=−5
4.
0
x(12) = 1
8
v(12) = −5
4
Priblizava se ishodistu!
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 7 / 38
Tok funkcije Rast i pad funkcije
Primjer 4.
U kojem podrucju funkcija y = x2−4x +3 raste, a u kojem pada ?
Rjesenje.
y
x1 2 3
y = x2 − 4x+ 3
y ′ = 2x−4RAST : 2x−4 > 0⇒ x > 2PAD : 2x−4 < 0⇒ x < 2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 8 / 38
Tok funkcije Rast i pad funkcije
Primjer 4.
U kojem podrucju funkcija y = x2−4x +3 raste, a u kojem pada ?
Rjesenje.
y
x1 2 3
y = x2 − 4x+ 3
y ′ = 2x−4RAST : 2x−4 > 0⇒ x > 2PAD : 2x−4 < 0⇒ x < 2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 8 / 38
Tok funkcije Rast i pad funkcije
Primjer 5.
Odrediti na kojim intervalima funkcija y = x3−6x2 +9x raste, a nakojima pada.
Rjesenje.
y ′ = 3x2−12x +9 = 3(x2−4x +3) = 3(x−1)(x−3)
x (0) 1 (2) 3 (10)y ↗ 4 ↘ 0 ↗y ′ + 0 − 0 +
Funkcija raste na (−∞,1)∪ (3,∞) i pada na (1,3).
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 9 / 38
Tok funkcije Rast i pad funkcije
Primjer 5.
Odrediti na kojim intervalima funkcija y = x3−6x2 +9x raste, a nakojima pada.
Rjesenje.
y ′ = 3x2−12x +9 = 3(x2−4x +3) = 3(x−1)(x−3)
x (0) 1 (2) 3 (10)y ↗ 4 ↘ 0 ↗y ′ + 0 − 0 +
Funkcija raste na (−∞,1)∪ (3,∞) i pada na (1,3).
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 9 / 38
Tok funkcije Rast i pad funkcije
Rjesenje.y
x0 1 3
4
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 10 / 38
Tok funkcije Kriticne tocke funkcije
KRITICNE TOCKE FUNKCIJE
x0 je kriticna tocka za funkciju f ako je f ′(x0) = 0 ili ako f ′ nijedefinirana u x0. Na slici dolje je dano nekoliko primjera kriticnih tocaka.
y
xx1 x2 x3
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 11 / 38
Tok funkcije Ekstremi funkcije
EKSTREMI FUNKCIJE
y
xx1 x2 x3
x x1 x2 x3
y ↗ lok .max ↘ lok .
min ↗ nijeekstr . ↗
y ′ + 0 − 0 + 0 +
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 12 / 38
Tok funkcije Ekstremi funkcije
Primjer 1.
Nadimo kriticne tocke funkcije y = x4−4x3 +4x2−1. Odredimo ukojima od njih funkcija postize lokalne ekstreme te koliki su ti ekstremi.
Rjesenje.
y ′ = 4x3−12x2 +8x = 4x(x2−3x +2) = 4x(x−1)(x−2)y ′ = 0⇒ x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2 su jedine kriticne tocke.y(0) =−1, y(1) = 0, y(2) =−1.Tablica rasta i pada:
x (−100) 0 (0.5) 1 (1.5) 2 (100)y ↘ lok .
min ↗ lok .max ↘ lok .
min. ↗y ′ − 0 + 0 − 0 +
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 13 / 38
Tok funkcije Ekstremi funkcije
Primjer 1.
Nadimo kriticne tocke funkcije y = x4−4x3 +4x2−1. Odredimo ukojima od njih funkcija postize lokalne ekstreme te koliki su ti ekstremi.
Rjesenje.
y ′ = 4x3−12x2 +8x = 4x(x2−3x +2) = 4x(x−1)(x−2)y ′ = 0⇒ x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2 su jedine kriticne tocke.y(0) =−1, y(1) = 0, y(2) =−1.Tablica rasta i pada:
x (−100) 0 (0.5) 1 (1.5) 2 (100)y ↘ lok .
min ↗ lok .max ↘ lok .
min. ↗y ′ − 0 + 0 − 0 +
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 13 / 38
Tok funkcije Ekstremi funkcije
Rjesenje.y
x
−1
0 1 2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 14 / 38
Tok funkcije Ekstremi funkcije
Primjer 2.
Ispitati rast, pad i ekstreme funkcije y = x23 .
Rjesenje.
y ′ = 23x−
13 = 2
3 3√x⇒ y ′ nema nul-tocaka i y ′(0) nije definirano, tj. u 0 je
kriticna tocka.Tablica rasta i pada:
x −∞ 0 ∞
y ↘ 0lok .min ↗
y ′ − nijedef . +
Iz tablice slijedi da funkcija u 0 ima lokalni minimum!Napomena: Uocite da funkcija u 0 nije derivabilna (na grafu se to vidikao spic)!
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 15 / 38
Tok funkcije Ekstremi funkcije
Primjer 2.
Ispitati rast, pad i ekstreme funkcije y = x23 .
Rjesenje.
y ′ = 23x−
13 = 2
3 3√x⇒ y ′ nema nul-tocaka i y ′(0) nije definirano, tj. u 0 je
kriticna tocka.Tablica rasta i pada:
x −∞ 0 ∞
y ↘ 0lok .min ↗
y ′ − nijedef . +
Iz tablice slijedi da funkcija u 0 ima lokalni minimum!Napomena: Uocite da funkcija u 0 nije derivabilna (na grafu se to vidikao spic)!
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 15 / 38
Tok funkcije Ekstremi funkcije
Rjesenje(nastavak).y
x
y = x23
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 16 / 38
Tok funkcije Ekstremi funkcije
Zadatak 1.Nadite intervale rasta, pada te ekstreme i na osnovi tih podatakaskicirajte kvalitativan graf slijedecih funkcija:
1 y = 13x3−3x2 +5x
2 y = x4−2x2
3 y = x3−3x2−6x4 y = x3−3x2 +4
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 17 / 38
Tok funkcije Zakretanja i pregibi
ZAKRETANJA I PREGIBI
y ′(x) pada za x ∈ (−∞,x0) tj. y ′′(x)< 0y ′ raste za x ∈ (x0,∞) tj. y ′′(x)> 0y ′′(x0) = 0, (y se pregiba u x0)
x x0
y a pregib(infleksija) `
y ′′ − 0 +
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 18 / 38
Tok funkcije Zakretanja i pregibi
Primjer 1.
Nadite intervale na kojima funkcija y = x3−x +4 zakrece gore,odnosno dolje te odredite tocke pregiba. Nacrtajte zatim kvalitativangraf.
Rjesenje.Domena funkcije i njezinih derivacija je R.y ′ = 3x2−1⇒ y ′′ = 6x = 0⇒ x0 = 0.Tablica:
x 0y a pregib
(infleksija) `
y ′′ − 0 +
Funkcija je konkavna (zakrece prema dolje) na (−∞,0), konveksna(zakrece prema gore) na (0,∞). Dakle, u tocki x0 = 0 je pregib.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 19 / 38
Tok funkcije Zakretanja i pregibi
Primjer 1.
Nadite intervale na kojima funkcija y = x3−x +4 zakrece gore,odnosno dolje te odredite tocke pregiba. Nacrtajte zatim kvalitativangraf.
Rjesenje.Domena funkcije i njezinih derivacija je R.y ′ = 3x2−1⇒ y ′′ = 6x = 0⇒ x0 = 0.Tablica:
x 0y a pregib
(infleksija) `
y ′′ − 0 +
Funkcija je konkavna (zakrece prema dolje) na (−∞,0), konveksna(zakrece prema gore) na (0,∞). Dakle, u tocki x0 = 0 je pregib.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 19 / 38
Tok funkcije Zakretanja i pregibi
Rjesenje(nastavak).Za skicu kvalitativnog grafa odredimo prvo kriticne tocke:y ′ = 3x2−1 = 0⇒ x1,2 =± 1√
3Tablica(objedinjeno):
x − 1√3
0 1√3
y ↗a lok .max ↘a pregib ↘` lok .
min. ↗`y ′ + 0 − − − 0 +
y ′′ − − − 0 + + +
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 20 / 38
Tok funkcije Zakretanja i pregibi
Rjesenje(nastavak).y
x− 1√3
1√3
4
y = x3 − x+ 4
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 21 / 38
Tok funkcije Zakretanja i pregibi
Zadatak 1.Nadite intervale zakretanja i tocke pregiba za
1 y = x3−6x2
2 y = x4−4x3
3 y = x5−x4
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 22 / 38
Tok funkcije Alternativno ispitivanje ekstrema∗
Alternativno ispitivanje ekstrema∗
y
xx1 x2 x3
y ima max u x1y ′(x1) = 0, y ′′(x1)< 0
y ima min u x2y ′(x2) = 0, y ′′(x2)> 0
U x3 funkcija y nema ekstrem jer iako je y ′(x3) = 0, y ′′(x3) = 0
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 23 / 38
Tok funkcije Alternativno ispitivanje ekstrema∗
Primjer 2.
Odredimo ekstreme funkcije y = x3−3x +1.
Rjesenje.
y ′ = 3x2−3 = 3(x2−1) = 3(x +1)(x−1)x1 =−1 i x2 = 1 su kriticne tocke.y ′′ = 6x ⇒ y ′′(−1) =−6 < 0⇒ u x1 =−1 je lokalni maksimum.y ′′ = 6x ⇒ y ′′(1) = 6 > 0⇒ u x1 = 1 je lokalni minimum.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 24 / 38
Tok funkcije Alternativno ispitivanje ekstrema∗
Primjer 2.
Odredimo ekstreme funkcije y = x3−3x +1.
Rjesenje.
y ′ = 3x2−3 = 3(x2−1) = 3(x +1)(x−1)x1 =−1 i x2 = 1 su kriticne tocke.y ′′ = 6x ⇒ y ′′(−1) =−6 < 0⇒ u x1 =−1 je lokalni maksimum.y ′′ = 6x ⇒ y ′′(1) = 6 > 0⇒ u x1 = 1 je lokalni minimum.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 24 / 38
Tok funkcije Alternativno ispitivanje ekstrema∗
x
t
USPORAV A UBRZAV A
Ako x = x(t) opisuje gibanjecestice po osi x onda je x ′′ =x ′′(t) njezina akceleracija.AKO JE x ′(t)> 0:
x ′′(t)> 0 CESTICA UBRZAVA
x ′′(t)< 0 CESTICA USPORAVA
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 25 / 38
Tok funkcije Alternativno ispitivanje ekstrema∗
x
t
USPORAV A UBRZAV A
Ako x = x(t) opisuje gibanjecestice po osi x onda je x ′′ =x ′′(t) njezina akceleracija.AKO JE x ′(t)< 0:
x ′′(t)> 0 CESTICA USPORAVA
x ′′(t)< 0 CESTICA UBRZAVA
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 26 / 38
Tok funkcije Granicno ponasanje funkcije
GRANICNO PONASANJE FUNKCIJE
Primjer 1.
Ispitati granicno ponasenje funkcije y =1+x1−x
.
Rjesenje.Ponasanje u ”beskonacnosti”:
limx→±∞
1+x1−x
= (L′Hopital) = limx→±∞
(1+x)′
(1−x)′= lim
x→±∞(−1) =−1
Dakle, y =−1 je horizontalna asimptota funkcije.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 27 / 38
Tok funkcije Granicno ponasanje funkcije
GRANICNO PONASANJE FUNKCIJE
Primjer 1.
Ispitati granicno ponasenje funkcije y =1+x1−x
.
Rjesenje.Ponasanje u ”beskonacnosti”:
limx→±∞
1+x1−x
= (L′Hopital) = limx→±∞
(1+x)′
(1−x)′= lim
x→±∞(−1) =−1
Dakle, y =−1 je horizontalna asimptota funkcije.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 27 / 38
Tok funkcije Granicno ponasanje funkcije
GRANICNO PONASANJE FUNKCIJE
Rjesenje.Funkcija ima prekid u x = 1. To je kandidat za vertikalnu asimptotu:
limx→1−
1+x1−x
= limx→1x<1
1+x1−x
=+∞
limx→1+
1+x1−x
= limx→1x>1
1+x1−x
=−∞
Dakle x = 1 jest vertikalna asimptota funkcije.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 28 / 38
Tok funkcije Granicno ponasanje funkcije
GRANICNO PONASANJE FUNKCIJE
y
x
−1
1
y = 1+x1−x
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 29 / 38
Tok funkcije Granicno ponasanje funkcije
Zadatak 1.Zapisite limese koji karakteriziraju granicno ponasanje funkcije
y
x1
−2
Slika: 1.
y
x
Slika: 2.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 30 / 38
Tok funkcije Granicno ponasanje funkcije
Rjesenje.Slika 1. lim
x→±∞y(x) = 1, lim
x→−2−y(x) =−∞ lim
x→−2+y(x) = ∞
Slika 2. limx→−∞
y(x) = 0, limx→∞
y(x) = ∞, limx→0−
y(x) = ∞ limx→0+
y(x) = ∞.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 31 / 38
Tok funkcije Granicno ponasanje funkcije
Zadatak 2.Zapisite limese koji karakteriziraju granicno ponasanje funkcije
y
x
1
−1
2
Slika: 1.
y
x
2
Slika: 2.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 32 / 38
Tok funkcije Granicno ponasanje funkcije
Rjesenje.Slika 1.lim
x→−∞y(x) =−1, lim
x→∞y(x) = 1 lim
x→0−y(x) = 1 lim
x→2+y(x) = ∞
Slika 2. limx→0+
y(x) = 0, limx→∞
y(x) = 2.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 33 / 38
Tok funkcije Granicno ponasanje funkcije
HORIZONTALNA ASIMPTOTA
Ako je limx→∞
y(x) = c, c konstanta, onda graf funkcije y = y(x) ima sdesne strane horizontalnu asimptotu y = c.
Ako je limx→−∞
y(x) = d , d konstanta, onda graf funkcije y = y(x) ima s
lijeve strane horizontalnu asimptotu y = d .
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 34 / 38
Tok funkcije Granicno ponasanje funkcije
VERTIKALNA ASIMPTOTA
Ako je x0 tocka prekida funkcije y = y(x), u kojoj je
limx→x0−
y(x) =±∞ ili limx→x0+
y(x) =±∞
onda graf funkcije y = y(x) ima vertikalnu asimptotu x = x0.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 35 / 38
Tok funkcije Granicno ponasanje funkcije
Zadatak 3.Ispitajte granicno ponasanje funkcija:
1 y =− x(x−2)2
2 y =2x +1x−2
3 y =x2 +1x2−1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 36 / 38
Tok funkcije Granicno ponasanje funkcije
TOK FUNKCIJE-OBJEDINJENO
1 DOMENA2 PARNOST: y(−x) = y(x); NEPARNOST: y(−x) =−y(x)3 GRANICNO PONASANJE: VERTIKALNE I HORIZONTALNE
ASIMPTOTE4 RAST I PAD, EKSTREMI (1. DERIVACIJA)5 NEKE OSOBITE TOCKE GRAFA: SJECISTA S OSIMA6 ZAKRETANJA I PREGIBI (2. DERIVACIJA)7 SKICA GRAFA FUNKCIJE
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 37 / 38
Tok funkcije Granicno ponasanje funkcije
Zadatak 4.Ispitajte tok i skicirajte graf funkcija:
1 y = x3−x
2 y =x2−1
x3 y =
xx2 +1
4 y =x2 +xx−1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. sijecnja 2016. 38 / 38