Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek...

• Gazdaságtudományi Kar• Gazdaságelméleti és Módszertani Intézet

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek tesztelése I.

- A hibatagra vonatkozó feltételek tesztelése -

Kvantitatív statisztikai módszerekPetrovics Petra


Többváltozós lineáris regressziós modell

• x1, x2, …, xp és y közötti kapcsolatot ábrázoló egyenes.

• Az y függ:

• x1, x2, …, xp – p db magyarázó változótól

• A véletlen ingadozásától (ε)

• β0, β1, …, βp regressziós együtthatóktól.

Y = β0 + β1x1 + β2x2 +…+ βpxp +ε


A hibatagra vonatkozó feltételek

1. Várható értéke 0 M(ε) = 0

2. Varianciája konstans Var(ε) = 2

3. A hibatag értékei nem autokorreláltak.

4. Normális eloszlású valószínűségi változó.


A magyarázó változókra vonatkozó feltételek

1. Egymástól lineárisan függetlenek legyenek. (egyik magyarázó változót se lehessen a többi magyarázó változó lineáris kombinációjaként előállítani)

2. Értékeik rögzítettek legyenek, neváltozzanak mintáról mintára.

3. Mérési hibát nem tartalmaznak.

4. Nem korrelálnak a hibatényezővel.


Standard lineáris regressziós modell

Ahol az előbb említett feltételek teljesülnek.

Amennyiben a mintabeli adatok nemigazolják a feltételek teljesülését,bonyolultabb modellre és becslésieljárásokra van szükség.


SPSS (Feladat)

y - árbevétel x1-vagyon x2-létszám

1 35 54 98

2 27 52 120

3 42 50 95

4 47 58 145

5 53 82 184

6 45 72 106

7 61 120 240

8 58 108 175

9 65 92 165

10 77 122 202

10 véletlenszerűen kiválasztott vállalat adatai a következők:


A hibatagra vonatkozó feltételek ellenőrzése

a) Várható értéke 0 M(ε) = 0

b) Varianciája konstans Var(ε) = 2

c) A hibatag értékei nem autokorreláltak.

d) Normális eloszlású valószínűségi változó.


1. M(ε) = 0

• A hibatagok pozitív és negatív értékeikiegyenlítik egymást.

• Ha eltér a 0-tól, annak oka lehet, hogykihagytunk a modellből egy szignifikánsmagyarázó változót.

• Nehéz a gyakorlatban ellenőrizni.

• Ha feltételezzük, hogy a legkisebb négyzetekmódszere érvényesül, akkor teljesül ez a feltétel.


2. Homoszkedaszticitás (Var(ε) = 2)

• A hibatag varianciája állandó.

Ha nem: heteroszkedaszticitás

Logaritmizálni!

• Tesztelése:

o Grafikus – a becsült reziduumokat a kiválasztott

magyarázó változó vagy az ŷ függvényében ábrázoljuk

o Statisztikai tesztek – Goldfeld-Quandt-féle teszt


xi xi

Homoszkedaszticitás grafikus tesztelése

Homoszkedasztikus hibatag Heteroszkedasztikus hibatag

e

xi

e e

ŷ ŷŷ

e – reziduum xi – becsült érték


• H0: j2 = 2

H1: j2 ≠ 2

• Lépései:

1. Rangsor

2. Független részminták ( , ahol r > 0, > p )

3. Regressziós függvények, reziduális szórásnégyzet (se2)

4. F-próba:

Homoszkedaszticitás Goldfeld-Quandt-féle tesztelése

2

2

r-n

2

2

2

1

2

2

2

1

s

s

e

eF

2

r-n;;

2

r-nr

2

r-n

221

rn

(a varianciák eloszlást követnek és ezek egymástól függetlenek)

H0

F(1-α/2); ν1,ν2F(α/2)


Analyze / Regression / Linear… - Plots

SPSS

Függő változóStandardizált becsült érték

Standardizált reziduumTörölt reziduum

Korrigált becsült értékStudentizált reziduum

Studentizált törölt reziduum

Standardizált becsült érték (ZPRED) és a standardizált reziduum(ZRESID) viszonya – Homoszkedaszticitás?


Output

A reziduumok varianciája ~konstans Homoszkedaszticitás


Ha heteroszkedasztikus…LOGARITMIZÁLÁS!Transform/Computevariable…


A hibatag értékei korrelálatlanok• Egyszerű véletlen mintavétel esetében ez a feltétel

automatikusan teljesül.

• Ha a modell idősoros adatokra épül, gyakran előfordul ahibatagok autokorreláltsága.

• Autokorreláció oka:

– Nem megfelelő függvénytípus.

– Nem véletlen jellegű mérési hiba.

– A modellben nem szerepel valamennyi lényegesmagyarázó változó (nem tudjuk, hogy kell / túl rövid idősor / nincs

adat).


A kihagyott változókmiatt a reziduumoknem véletlenszerűek,hanem az egymástkövető értékek közöttjelentős korrelációvan.

Autokorreláció grafikus tesztelése

t

e e

t

e

t

Az autokorreláció afüggvénytípus helytelenmegválasztásának akövetkezménye.

+KVANTITATÍVTESZTEK!


H0: ρ = 0 korrelálatlan

H1: ρ ≠ 0 autokorreláció

0 dl du 2 4-du 4-dl 4

Autokorreláció tesztelése Durbin-Watson próbával

- zavaró autokorreláció

+ zavaró autokorreláció

Határai:

Pozitív autokorreláció:

Negatív autokorreláció:

Bizonytalansági tartomány: nem tudunk dönteni

• Növelni kell a megfigyelésekszámát

• Új változót kell bevonni

40 d

20 d

42 d

Elfogadási tartomány

n

t

t

n

t

tt

e

ee

d

1

2

2

2

1)(


A Durbin-Watson próba döntési táblázata

H1 Elfogadjuk H0:p=0Elvetjük

Nincs döntés

p>0Pozitív autokorreláció

d>du d<dl dl<d<du

p<0Negatív autokorreláció

d<4-du d>4-dl 4-dl<d<4-du

Forrás: Kerékgyártó-Mundruczó [1999]

du illetve dl értékét a Durbin-Watson táblázatból határozzuk meg


Durbin-Watson próba - SPSS

Analyze / Regression / Linear… - Statistics


Durbin-Watsonstatisztika (5%-os szignifikanciaszint

mellett)

n m = 1 m = 2 m = 3 m = 4 m = 5dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU

15 1,08 1,36 0,95 1,54 0,82 1,75 0,69 1,97 0,56 2,21

16 1,10 1,37 0,98 1,54 0,86 1,73 0,74 1,93 0,62 2,15

17 1,13 1,38 1,02 1,54 0,90 1,71 0,78 1,90 0,67 2,10

18 1,16 1,39 1,05 1,53 0,93 1,69 0,82 1,87 0,71 2,06

19 1,18 1,40 1,08 1,53 0,97 1,68 0,86 1,85 0,75 2,02

20 1,20 1,41 1,10 1,54 1,00 1,68 0,90 1,83 0,79 1,99

21 1,22 1,42 1,13 1,54 1,03 1,67 0,93 1,81 0,83 1,96

22 1,24 1,43 1,15 1,54 1,05 1,66 0,96 1,80 0,86 1,94

23 1,26 1,44 1,17 1,54 1,08 1,66 0,99 1,79 0,90 1,92

24 1,27 1,45 1,19 1,55 1,10 1,66 1,01 1,78 0,93 1,90

25 1,29 1,45 1,21 1,55 1,12 1,66 1,04 1,77 0,95 1,89

26 1,30 1,46 1,22 1,55 1,14 1,65 1,06 1,76 0,98 1,88

27 1,32 1,47 1,24 1,56 1,16 1,65 1,08 1,76 1,01 1,86

28 1,33 1,48 1,26 1,56 1,18 1,65 1,10 1,75 1,03 1,85

29 1,34 1,48 1,27 1,56 1,20 1,65 1,12 1,74 1,05 1,84

30 1,35 1,49 1,28 1,57 1,21 1,65 1,14 1,74 1,07 1,83

31 1,36 1,50 1,30 1,57 1,23 1,65 1,16 1,74 1,09 1,83

32 1,37 1,50 1,31 1,57 1,24 1,65 1,18 1,73 1,11 1,82

33 1,38 1,51 1,32 1,58 1,26 1,65 1,19 1,73 1,13 1,81

34 1,39 1,51 1,33 1,58 1,27 1,65 1,21 1,73 1,15 1,81

35 1,40 1,52 1,34 1,58 1,28 1,65 1,22 1,73 1,16 1,80

36 1,41 1,52 1,35 1,59 1,29 1,65 1,24 1,73 1,18 1,80

37 1,42 1,53 1,36 1,59 1,31 1,66 1,25 1,72 1,19 1,80

38 1,43 1,54 1,37 1,59 1,32 1,66 1,26 1,72 1,21 1,79

39 1,43 1,54 1,38 1,60 1,33 1,66 1,27 1,72 1,22 1,79

40 1,44 1,54 1,39 1,60 1,34 1,66 1,29 1,72 1,23 1,79

50 1,50 1,59 1,46 1,63 1,42 1,67 1,38 1,72 1,34 1,77

60 1,55 1,62 1,51 1,65 1,48 1,69 1,44 1,73 1,41 1,77

70 1,58 1,64 1,55 1,67 1,52 1,70 1,49 1,74 1,46 1,77

80 1,61 1,66 1,59 1,69 1,56 1,72 1,53 1,74 1,51 1,77

90 1,63 1,68 1,61 1,70 1,59 1,73 1,57 1,75 1,54 1,78

100 1,65 1,69 1,63 1,72 1,61 1,74 1,59 1,76 1,57 1,78

Forrás: Statisztikai képletgyűjtemény


0 dl du 2 4-du 4-dl 40,95 1,54 2,46 3,05

1,381

dl<d<du → nincs döntés

→Be kell venni még változót a modellbe / Növelni kell a megfigyelések számát!






d) Normális eloszlású valószínűségiváltozó.


A hibatag eloszlása normális

Tesztelése:

• Grafikusan – a reziduumokat várható értékükfüggvényében ábrázoljuk

haranggörbe – normális eloszlás

• Kvantitatív módszerekkel – illeszkedésvizsgálat

- próba

• Ferdeségi, csúcsossági mérőszámokkal

2


Analyze / Regression / Linear… - Plots

Grafikus tesztelés - SPSS

Függő változóStandardizált becsült érték

Standardizált reziduumTörölt reziduum

Korrigált becsült értékStudentizált reziduum

Studentizált törölt reziduum

Hisztogram


Output

A harang alakú standard normális eloszlás középértéke 0, szórása 1.

Közelítőleg NORMÁLIS (de nem egyértelműen)


2. megoldás

Analyze / Regression / Linear… - SAVE


Graphs / Histogram - Display normal curve

Közelítőleg normális eloszlás.

A normális eloszlásgörbe harang alakú.

Normális eloszlás grafikus tesztelése 2. -SPSS


Nonparametric TestAnalyze / Nonparametric Test / 1-Samle K-S...

H0 - normális eloszlásH1 - nem normális eloszlás


Output

Ha a szignifikanciaszint (p) kisebb mint 5% (0,05), elutasítjuk a nullhipotézist. Most nagyobb 0,05-nél, vagyis elfogadjuk, hogy normális eloszlású a görbe.

Normális eloszlású


Köszönöm a [email protected]

Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek...

Documents

Transcript of Többváltozós lineáris regressziós modell feltételeinek...