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Todos los Pares de Rutas más Cortas(All-Pairs Shortest Paths)
DR. JESÚS A. GONZÁLEZ BERNAL
CIENCIAS COMPUTACIONALES
INAOE
Problema de Encontrar todos los Pares de Rutas más Cortas
22
Encontrar las rutas más cortas entre todos los pares de vértices de un grafo
Es el problema para hacer una tabla de distancias entre todos los pares de ciudades en un Atlas de carreteras
Partimos de un grafo pesado y dirigido G = (V, E) con una función de pesos w : E R que mapea arcos a pesos con valores reales
Encontrar para cada par de vértices u, v ∈ VUna ruta más corta (con menor peso) de u a v
Donde el peso de la ruta es la suma de los pesos de sus arcos
Salida en forma tabularEntrada en renglón u y columna v es el peso de la ruta más corta entre u y v
Problema de Encontrar todos los Pares de Rutas más Cortas
33
Podemos resolver el problema ejecutando el algoritmo de rutas más cortas con una sola fuente |V| veces, una para cada vértice como la fuente
Si todos los pesos son no-negativos, podemos utilizar el algoritmo de Dijkstra
Con un arreglo lineal implementando una priority-queuepodemos tener un tiempo de O(V3 +VE) = O(V3)
Con min-heap binario para priority-queue, O(VElgV)Mejora para grafos poco densos
Con Fibonacci-heap para priority-queue O(V2lgV+VE)
Problema de Encontrar todos los Pares de Rutas más Cortas
44
Si hay pesos negativos ya no podemos utilizar DijkstraEntonces utilizaríamos Bellman-Ford (aunque más lento), una vez para cada vértice
O(V2E), que para un grafo denso se convierte en O(V4)
Estos tiempos se pueden mejorar con otros algoritmos
Algunos algoritmos utilizan representación de matriz de adyacencia y no la de lista de adyacencia como en los algoritmos de una sola fuente
Modelado del Problema55
Grafo dirigido y pesado, G = (V, E)
Representación de matriz de adyacencia
Pesos: W =(wij)
Se permiten arcos con peso negativo
El grafo de entrada no contiene ciclos con peso negativo
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∉≠∞∈≠
==
E j) (i,y j i si E, j) (i,y j i si j) (i, dirigido arco del peso el
j, i si 0wij
Modelado del Problema66
Salida tabular de todos los pares de rutas más cortas
Matriz de n x n, D = (dij)
dij contiene el peso de una ruta más corta del vértice i al j
δ(i,j) denota el peso de la ruta más corta del vértice i al jEn la terminación del algoritmo dij = δ(i,j)
También calculamos una matriz de predecesoresΠ = (πij), con valor NIL si i = j o si no hay ruta de i a j y en otro caso πij es el predecesor de j para alguna ruta más corta desde i
Modelado del Problema77
Subgrafo predecesor El subgrafo inducido por el i-ésimo renglón de la matriz Π debe ser un árbol de rutas más cortas con raíz en i
El subgrafo predecesor de G para i se define como Gπ,i = (Vπ,i, Eπ,i), donde
Vπ,i = {j ∈ V : πij ≠ NIL} ∪ {i}, y
Eπ,i = {(πij, j) : j ∈ Vπ,i – {i}}.
Imprimir Ruta más Corta de i a j88
Dada la matriz de predecesores Π podemos imprimir la ruta más corta de i a j
Rutas más Cortas y Multiplicación de Matrices99
Solución con programación dinámica para el problema de todos los pares de rutas más cortas con un grafo dirigido G = (V, E)
Invoca operación parecida a multiplicación de matrices
Primer algoritmo Θ(V4)
Mejora en Θ(V3lgV)
Recordando Programación Dinámica1010
4 pasosCaracterizar la estructura de la solución óptima
Definir recursivamente el valor de una solución óptima
Calcular el valor de la solución óptima de manera bottom-up
Construir la solución óptima con la información calculada
Estructura de la Ruta más Corta, con Lema 24.111
kpjk
jpij
iip vvvv ⎯→⎯⎯→⎯⎯→⎯ 1
1
11
)()()()( 1 jkiji pwpwpwpw ++=
Prueba al lema 24.1Descomponemos la ruta p en:
Tenemos entonces que:
Asumimos que hay una ruta p’ij de vi a vj con peso:
Entonces la ruta de v1 a vk que pasa por p’ij:
Con peso:
Tiene un peso menor a w(p)
Contradice lo que asumimos, que p es una ruta más corta de v1 a vk.
)()'( ijij pwpw <
kpjk
jijp
iip vvvv ⎯→⎯⎯→⎯⎯→⎯ '1
1
)()'()( 1 jkiji pwpwpw ++
Solución Recursiva para Todos los Pares de Rutas más Cortas
1212
Sea lij(m) el mínimo peso de una ruta del vértice i al j que tiene al menos m arcos
Cuando m = 0, hay una ruta más corta de i a j sin arcos sí y solo si i = j, entonces
Para m ≥ 1, calculamos lij(m) como el mínimo de lij
(m-1) y el mínimo peso de la ruta de i a j con a lo más m arcos
Con todos los posibles predecesores k de j
Los pesos de la ruta más corta están dados porδ(i,j) =lij
(n-1) = lij(n) = lij
(n+1) = ….
Hay a lo más n-1 arcos en la ruta más corta de i a j asumiendo que no hay ciclos con peso negativo
⎩⎨⎧
≠∞=
=j. i si j, i si 0)0(
ijl
)(min
}){min,min()1(
1
)(
)1(
1
)1()(
kjm
iknk
mij
kjm
iknk
mij
mij
wll
wlll
+=
+=
−
≤≤
−
≤≤
−
Calculando los Pesos de la Ruta más Corta Bottom-UP13
Tomamos como entrada la matriz W = (wij)
Calculamos las matricesL(1), L(2), …, L(n-1), donde para m = 1, 2, …, n-1 tenemos que L(m)
= (lij(m))
La matriz final tiene los pesos de las rutas más cortaslij
(1) = wij para todos los vértices i, j ∈ V, entonces L(1) = W
Algoritmo1414
Dadas las matrices L(m-1) y W regresa L(m)
Extiende las rutas más cortas obtenidas hasta ahora con un arco
Algoritmo15
El algoritmo se basa en la ecuación recursiva
Tiempo de ejecución Θ(n3) por los ciclos anidados
Parecido a multiplicación de matrices
Algoritmo1616
Algoritmo para encontrar todos los pares de rutas más cortas
Basado en Extend-Shortest-Paths
Este algoritmo se ejecuta en un tiempo de Θ(n4)
Ejemplo1717
Algoritmo más Rápido1818
No queremos calcular L(m) porque el resultado lo tenemos desde L(n-1) asumiendo que no hay ciclos con peso negativo, L(m) = L(n-1) para todos los enteros m ≥ n-1
Podemos calcular L(n-1) en ceiling(lg(n-1)) con la secuencia:L(1) = W
L(2) = W2 = W ⋅ W
L(4) = W4 = W2 ⋅ W2
L(8) = W8 = W4 ⋅ W4
L(2 ⎡ lg(n-1)⎤ ) = W2 ⎡ lg(n-1)⎤ = W2 ⎡ lg(n-1)⎤ -1 ⋅ W2 ⎡ lg(n-1)⎤ -1
Continuamos hasta L(2 ⎡ lg(n-1)⎤ )
Proceso conocido como técnica de “repeating squaring”Requiere solo ⎡lg(n-1)⎤ productos de matrices, llamadas a Extend
Algoritmo más Rápido1919
Tiempo de ejecución Θ(n3lg n)
Algoritmo Floyd-Warshall20
Utiliza un enfoque diferente de programación dinámica
Tiempo de ejecución de Θ(V3)
Puede haber vértices con peso negativo pero no ciclos con peso negativo
Seguimos el proceso de programación dinámica para desarrollar el algoritmo
Algoritmo Floyd-Warshall21
Considera los vértices intermedios de una ruta más cortaSi p = <v1, v2, …, vl>
v2 … vl-1 son los vértices intermedios
El algoritmo Floyd-Warshall trabaja reduciendo sucesivamente el número de vértices intermedios que pueden ocurrir en una ruta más corta y sus subrutas
Sea el grafo G = (V, E) con vértices V numerados de 1...n, V = {1, 2, …, n}, y considerando un subconjunto {1, 2, …, k} para algún k
Sea p el mínimo peso de ruta desde el vértice i al vértice j para el que los vértices intermedios son tomados de {1, 2, …, k}, puede ocurrir una de dos situaciones:
Algoritmo Floyd-Warshall22
1) k no es un vértice intermedio de pi ↝p jContiene los vértices de {1, 2, …, k-1}
2) k es un vértice intermedio de pi ↝p1 k ↝p2 jContiene los vértices de {1, 2, …, k-1}p1 es la ruta más corta desde 1 a kp2 es la ruta más corta desde k a jEsto por el lema 24.1
Solución Recursiva23
Sea dij(k) el peso de la ruta más corta desde i a j con
todos los vértices intermedios en {1, 2, …, k}Como para cada ruta, los vértices intermedios están en el conjunto {1, 2, …, n}, la matriz D(n) = (dij
(n)) contendrá la solución final δ(i,j) para cada i, j ∈ V.Recurrencia:
||)],,([][
1 k si ),min(0 k si
)()(
)1()1()1()(
VnjidD
dddw
d
nij
n
kkj
kik
kij
ijkij
===⎩⎨⎧
≥+=
= −−−
δ
Algoritmo24
Calcula valores dij(k) en orden creciente de los valores de k
Entrada, matriz nxn W
Regresa D(n) con los pesos de las rutas más cortas
Tiempo de ejecución es Θ(n3), mejor que los anteriores con O(n3lgn) y O(n4)
Ejemplo25
Ejemplo26
Ejemplo27
Ejemplo28
Construcción de la Ruta más Corta29
Hay varios métodos de construir las rutas con el algoritmo Floyd-Warshall
Construir la matriz D de pesos de rutas más cortas y luego la matriz de predecesores Π a partir de D
Construir la matriz de predecesores en línea, conforme el algoritmo Floyd-Warshall construye las matrices D(k)
⎪⎩
⎪⎨⎧
+>+≤
=
⎩⎨⎧
∞≤≠∞==
=
−−−−
−−−−
)1()1()1()1(
)1()1()1()1()(
ij
ij)0(
si si
. y w j i si i, wó j i si
kkj
kik
kij
kkj
kkj
kik
kij
kijk
ij
ij
dddddd
NIL
ππ
π
π
Ejercicio
Ejecute el algoritmo de Floyd Warshall para el siguiente grafo