101

2) Nivel Intermedio En este nivel se realizan procedimientos que exigen la posibilidad de

establecer una serie de primitivas que luego la maquina ejecuta. Un procedimiento es una serie de comandos que se escriben para

que juntos realicen algo que tu quiera. Cada procedimiento tiene un nombre que puede estar formado por cualquier carcter menos el espacio en blanco. Una vez que un procedimiento esta definido, ya es una palabra que Logo conoce, es decir, es un comando que se ejecuta como sus primitivas.

2.1) Crear procedimientos Para poder crear un procedimiento en MswLogo hay que utilizar la

primitiva reservada para seguida del nombre que se vaya a poner al procedimiento y de los parmetros que tenga ste, si es que los tiene. Despus se pondr la definicin del procedimiento con toda la lista de instrucciones, para finalizar el procedimiento se utiliza la primitiva reservada fin.

Cmo crear un procedimiento Para crear procedimientos, existen 2 maneras distintas de

realizarlos:

En la ventana de trabajo: se escribe en la ventana de comandos la siguiente instruccin Para nombre [lista de parmetros], luego se ha de pulsar la tecla Enter o el botn Ejecutar. Una vez se ha realizado la anterior accin aparecer la siguiente ventana.

PARA nombre_del_procedimiento [lista de parmetros] Lista de instrucciones .

.

FIN

102

Figura 73: Ventana para crear procedimientos En esta ventana se irn introduciendo una a una las instrucciones

de las que va a constar el procedimiento, segn se vaya poniendo cada instruccin se ir pulsando el botn Ok para ir aadindolas al procedimiento. Para terminar con la definicin del procedimiento se introducir la primitiva Fin.

A fin de visualizar mejor esta manera de crear un procedimiento veamos el siguiente ejemplo:

Los comandos que Logo conoce, los cuales hacen que la tortuga dibuje un cuadrado son:

Repite 4 [av 200 gd 90] (Ver figura 12) Por consiguiente, le puedes ensear a Logo a ejecutar estos

comandos cuando escribas la palabra CUADRADO, creando un procedimiento de la siguiente forma:

1er Paso: escribe en la ventana de comando Para CUADRADO y luego pulsa el botn Enter.

2do Paso: Escribe en la ventana que se despliega, la instruccin mencionada anteriormente pulsando en cada una de ellas el botn Ok.

3er Paso: Cuando hayas terminado de colocar cada una de las instrucciones, se coloca la primitiva Fin, luego pulsa Ok.

De esta manera quedara definido el procedimiento CUADRADO. Para ver el resultado, escribe en la ventana de comandos CUADRADO.

La ventana de edicin: es una ventana en la que se irn poniendo las instrucciones, previamente tenemos que poner el nombre al procedimiento despus de la palabra para. Se accede a esta ventana a travs del men Archivo - Editar. Adems de definir

103

procedimientos, en la ventana de Edicin se pueden definir variables, asignar valor a dichas variables, escribir comentarios, etc. Cuando se ha acabado de definir el procedimiento se guardar en la opcin del men Archivo Guardar. Luego de quedar definido este puede ser modificado a travs del editor.

Figura 74: Ventana para crear procedimiento Ejemplo: utilizando este mtodo, se creara un procedimiento para el

cuadrado. 1er Paso: en la ventana grafica ir al men Archivo Editar, de aqu

se despliega la ventana editar procedimiento donde se debe presionar Ok. 2do Paso: aparecer una ventana (ver figura 72) donde se debe

escribir CUADRADO seguido de la palabra Para, despus se colocara la lista de instrucciones.

3er Paso: guardar el procedimiento en Archivo-Guardar.

Figura 75

104

Sugerencias para escribir procedimientos. El nombre del procedimiento puede estar formado por cualesquiera

caracteres menos el espacio en blanco. Selecciona para tus procedimientos nombres que:

Te recuerden qu hace el procedimiento. Sean fciles de recordar. Sean fciles de escribir. No se confundan con otros nombres.

Si realizas varios procedimientos que hagan casi lo mismo pero con alguna diferencia, llmalos igual pero ponles un numero diferente a cada uno como parte del nombre. Por ejemplo:

Es conveniente que al final de un procedimiento, la tortuga quede en su posicin original, es decir, la posicin en que estaba antes de hacer el procedimiento.

Si quieres combinar dos palabras para nombrar un procedimiento, nelas con un punto, que es un carcter. Por ejemplo: DOS.CUADRADOS. Porque si colocas DOS CUADRADOS se llamara DOS porque el nombre termina al encontrar el primer espacio en blanco.

CUADRADO CUADRADO 1 CUADRADO 2

105

2.1.1) Comentarios en las instrucciones Es recomendable completar con comentarios las lneas de

instrucciones del programa que puedan resultar difciles de entender o puedan suscitar alguna duda a un lector del procedimiento.

Para incluir comentarios en la lista de instrucciones se utiliza el smbolo ; (punto y coma). Todo lo que se escriba a continuacin del punto y coma no se ejecuta en el programa. 2.1.2) Guardar un fichero de programacin de MswLogo

Hay 2 maneras diferentes de guardar todo el trabajo que se ha realizado en una sesin de MSWLogo:

Desde el men Archivo Guardar o Archivo Guardar como podemos guardar los trabajados con un nombre con extensin lgo.

Figura 76: Guardar procedimiento Se utiliza la primitiva guarda nombfichero.lgo en el que se

guarda las definiciones de todos los procedimientos, variables y listas de propiedades.

106

Figura 77: Guardar procedimiento Nota: Desde el men Bitmap Guardar o Bitmap Guardar como

podemos guardar los trabajados con un nombre con extensin bmp. Es importante resaltar que ste solo puede guardar la imagen mas no los procedimientos.

Figura 78: Guardar procedimiento con extensin bmp 2.1.3) Cargar un fichero de programacin

Hay 2 maneras diferentes de cargar un fichero de programacin de MswLogo.

Desde el men de Archivo Cargar se abre una ventana desde donde podemos cargar un archivo de programacin de MswLogo. En esta ventana solo aparecen los archivos con extensin .lgo.

107

Figura 79: Cargar procedimiento Se utiliza la primitiva carga nombfichero.lgo para que cargue el

archivo de programacin de MSWLogo especificado. Es importante destacar que cuando se carga un fichero lgo se cargan todos sus procedimientos en el entorno de MSWLogo.

Figura 80: Cargar procedimiento

Comprueba tus conocimientos 1) Crea un procedimiento que multiplique el nmero 100 por 3 y rotule

el resultado. 2) Crea un procedimiento que sume los nmeros 150, 200 y 300 y

rotule el resultado. 3) Crea un procedimiento que dados los nmeros 500 y 7 los sume,

reste, divida y multiplique. Debe escribir y rotular el resultado de estas cuatro operaciones.

4) Escribe un procedimiento, llamado construcono, que dibuje una figura compuesta por un cuadrado, de lado cualquiera, que tiene un

108

tringulo equiltero en cada uno de sus lados, como se muestra en la siguiente ilustracin:

Figura 81: Construcono 5) Crea un procedimiento llamado BANDERA para hacer un dibujo

como se muestra en la figura 80 y luego utiliza BANDERA para hacer el dibujo que se muestra en figura 81.

Figura 82: Bandera

Figura 83: Varias banderas

109

6) Escribe un procedimiento que dibuje un rectngulo de lados 50 y 20 pxeles. Llmalo RECTANGULO. Luego con el comando RECTANGULO y CUADRADO dibuja una hlice que tenga la siguiente forma:

Figura 84: Hlice 7) Crea un procedimiento llamado ptalo (ver ejercicio del nivel

elemental) y utilizando este comando construye una flor que tenga la siguiente forma:

Figura 85: Flor 8) Utiliza el comando CUADRADO para construir la siguiente figura:

110

Figura 86: Rota cuadrado 9) Construye un procedimiento llamado ESTRELLA que dibuje una

estrella de 8 puntas como la que se muestra a continuacin:

Figura 87: Estrella 10) Escribe un procedimiento que dibuje un triangulo issceles que

tenga ngulos internos 45 y 90 y sus lados iguales midan 200 pxeles como se muestran a continuacin:

Figura 88: Triangulo issceles

111

Luego llena la siguiente tabla: VERTICE ANGULO

INTERNO ANGULO

ROTADO SUMA

A B C

2.2) Subprocedimientos: cuando un procedimiento se usa como parte de la definicin de un nuevo procedimiento, el primero se denomina subprocedimiento.

Utilizado subprocedimientos puedes resolver un problema grande dividindolo en problemas ms pequeos y resolviendo cada problema por separado y luego unindolo.

Ejemplo 1: Dibujar una araa utilizando subprocedimientos. 1er Procedimiento:

Para PATADERECHA Av 200 Gd 90 Av 100 Re 100 Gi 90 Re 200 Fin

2do Procedimiento: Para partederecha Gd 90 Repite 3[pataderecha gi 30] Fin

3er Procedimiento: Para PATAIZQUIERDA Av 200

112

Gi 90 Av 100 Re 100 Gd 90 Re 200 Fin

4to Procedimiento: Para PARTEIZQUIERDA Gi 90 Repite 3[pataizquierda gd 30] Fin

5to Procedimiento: Para ARAA Partederecha Parteizquierda Av 50 Centro Fin

Figura 89: Araa

113

Ejemplo 2: Dibujar un rbol utilizando subprocedimientos 1er Procedimiento:

Para HOJA Poncl [100 162 64] Gd 45 Av 75 Re 75 Gi 90 Av 75 Re 75 Gd 45 Fin

2do Procedimiento: Para RAMA Poncl [197 136 18] Av 75 Hoja Poncl [197 136 18] Av 75 Hoja Poncl [197 136 18] Av 75 Re 225 Fin

3er Procedimiento: Para ARBUSTO Gd 60 Repite 6[rama gi 20] Rama Gd 60 Fin

114

4to Procedimiento: Para ARBOLVERDE Poncl [197 136 18] Av 150 Arbusto Re 150 Poncl [0 0 0 ] Fin

Figura 90: rbol Ejemplo 3: Plano Cartesiano

Construir un procedimiento que grafique el plano cartesiano. 1er Procedimiento:

Para EJEX Gd 90 Re 200 Repite 8 [Gd 90 Av 2 Re 4 Av 2 Gi 90 Rotula (coorx) Av 50] Rotula "X Fin

2do Procedimiento Para EJEY Re 200

115

Repite 8 [Gd 90 Av 2 Re 4 Av 2 Rotula (coory) Gi 90 Av 50] Gd 90 Rotula Y Fin

3er Procedimiento: Para PLANOCARTESIANO Ejex Sl Centro Bl Ejey Sl Centro Bl Fin

Figura 91: Plano cartesiano

Comprueba tus conocimientos 1) Realiza un procedimiento llamado CASTILLO utilizando

subprocedimientos y que tenga la siguiente forma:

116

Figura 92: Castillo

2) Crea un procedimiento llamado REHILETE utilizando el comando CUADRADO.

Figura 93: Rehilete 3) Crea el procedimiento FLOR utilizando el comando ptalo.

117

Figura 94: Flor 4) Construye un procedimiento llamado FLORES con el comando

FLOR como se muestra a continuacin:

Figura 95: Flores

5) Crea un procedimiento llamado MARIPOSA. Define tus procedimientos para dibujar cada una de sus partes y fjate que todos se unen en un punto en comn.

118

Figura 96: Mariposa 6) Construye un procedimiento llamado ESTRELLADECOLOR para

realizar la siguiente figura:

Figura 97: Estrella de color 7) Construye un procedimiento llamado BICICLETA.

119

Figura 98: Bicicleta 8) Realiza un procedimiento denominado ESTRELLADEMAR

utilizando sus subprocedimiento, que construya la figura siguiente:

Figura 99: Estrella de mar 2.3) Variables En esta parte se aprender cmo Logo mantiene el control de la

informacin con el empleo de variables. Una variable es un elemento de informacin con un nombre. La computadora almacena el nombre y la informacin en su memoria de trabajo. Puede cambiar fcilmente o variar

120

la informacin siempre que lo quiera. Esto es un motivo por el que recibe el nombre de variable.

2.3.1) Procedimientos que toman una variable de entrada Una entrada es el trmino que se utiliza para el nmero requerido

por comandos como av, re, gd, gi Hasta ahora los procedimientos han hecho siempre lo mismo cada

vez que se utilizan. Por ejemplo, si se quiere hacer un cuadrado de lado 200 pxeles lo haces as: Para CUADRADO Repite 4 [av 200 gd 90] Fin (Ver ejemplo de la seccin 2.1)

Si se quiere hacer un cuadrado de lado 150 pxeles, se debe escribir otro procedimiento:

Para CUADRADO1 Repite 4 [av 150 gd 90] Fin La diferencia entre los dos es que en el comando AV de

CUADRADO tiene como entrada un 200 y el AV de CUADRADO1 tiene como entrada 150.

En conclusin, seria ms fcil tener un solo procedimiento llamado CUADRADO y darle una entrada que le indique cuanto queremos que se desplace con el AVANZA (AV), de manera que se puedan dibujar cuadrados de diferentes tamaos.

En otras palabras, para construir un cuadrado de algn tamao se podra hacer de la siguiente forma: Avanzar algn tamao Girar 90 grados a la derecha Avanzar algn tamao Girar 90 grados a la derecha Avanzar algn tamao

121

Girar 90 grados a la derecha Avanzar algn tamao Girar 90 grados a la derecha

Ahora si se traduce esto al lenguaje Logo, se tiene: Para CUADRADO :Lado Av :Lado Gd 90 Av :Lado Gd 90 Av :Lado Gd 90 Av :Lado Gd 90 Fin

O usando el comando REPITE: Para CUADRADO :Lado Repite 4[Av :lado gd 90]

De esta manera se pueden dibujar cuadrados de diferentes tamaos, con un solo procedimiento. Por ejemplo: CUADRADO 300

Figura 100: Cuadrado 300

122

Se observa un cuadrado de lado 300 pxeles, porque :Lado toma el valor de 300 y Logo coloca dentro del procedimiento CUADRADO un numero 300 en lugar de :Tamao cada vez que aparece :Tamao.

Mientras que al escribir CUADRADO 400, dibujara un cuadrado de 400 pxeles, porque :Lado toma el valor de 400 dibujando la figura que se muestra a continuacin:

Figura 101: Cuadrado 400 Por lo tanto, :Lado es lo que se conoce como variable de entrada

porque es una entrada cuyo valor cambia, ya que el tamao del cuadrado varia de acuerdo a la entrada del procedimiento. Cada vez que se quiera usar el comando CUADRADO, hay que decirle qu valor debe tomar :Lado, dndole una entrada y as Logo dibujara un cuadrado de es tamao esa vez. El mismo procedimiento CUADRADO se puede usar despus para hacer un cuadrado de otro tamao, dndole otra entrada diferente.

De esta misma forma se pueden hacer otros procedimientos con otras variables.

Ejemplo 1: Utilizando el procedimiento CUADRADO dibujar la siguiente figura:

CUADRADO 50 CUADRADO 100

123

CUADRADO 150 CUADRADO 200 CUADRADO 250 CUADRADO 300 CUADRADO 350 CUADRADO 400

Figura 102: Crece cuadrado Ejemplo 2:

Definamos un procedimiento que dibuje un triangulo equiltero de lado variable. Para TRIANEQUILATERO :lado Gd 90 Repite 3[av :lado gi 120] Ponrumbo 0 Fin

Luego utilizando el comando TRIANEQUILATERO dibujar la siguiente figura: Trianequilatero 50 Trianequilatero 100 Trianequilatero 150 Trianequilatero 200

124

Trianequilatero 250 Trianequilatero 300 Trianequilatero 350 Trianequilatero 400

Figura 103: Crece Triangulo equiltero

Comprueba tus conocimientos 1) Construye un procedimiento que realice un pentgono que tenga

como entrada el tamao de su lado. 2) Construye un procedimiento que realice un decgono que tenga

como entrada el tamao de su lado. 3) Realiza un procedimiento que dibuje un ptalo y que tenga el

tamao de variable. Luego utiliza ese comando para realizar la siguiente flor:

125

Figura 104: Flor 4) Construye un procedimiento que dibuje estrellas de la misma

longitud pero de diferente nmero de puntas. 2.3.2) Procedimientos de varias entradas. Los procedimientos de Logo pueden definirse de forma que precisen

mas de una entrada, simplemente se escoge un nombre para cada entrada y se incluyen en la lnea de ttulos, precedidos por dos puntos.

Ejemplo1 El siguiente procedimiento de doble entrada sirve para dibujar

rectngulos de diferentes tamaos y forma: Para RECTANGULO :ALTURA :LONGITUD Repite 2[av :altura gd 90 av:longitud gd 90] Fin

Al ejecutar la orden RECTANGULO 300 20 se dibuja un rectngulo esbelto como se muestra a continuacin:

126

Figura 105: Rectngulo 300 20

Comprueba tus conocimientos Realiza un procedimiento para hacer estrellas de diferentes tamaos

y ngulos. 2.3.3) Entradas como nombres privados Definir un procedimiento Logo significa agrupar conjuntamente una

serie de ordenes bajo un nombre escogido por el programador. El uso de entradas tambin implica el otorgamiento de un nombre pero en diferente sentido. Aunque un nuevo procedimiento se incorpore al vocabulario activo, el nombre de una entrada es privativo dentro del procedimiento que lo usa.

Puesto que los nombres de entradas son privados, diferentes procedimientos pueden usar idnticos nombres para sus entradas sin que estos infieran entre si. Por ejemplo, el procedimiento RECTANGULO :ALTURA :LONGITUD y el procedimiento DOS.CUAD :ALTURA.

2.3.4) Utilizando subprocedimientos con una entrada Para dibujar dos cuadrados del mismo tamao, uno encima del otro,

separados por 20 pasos, como se muestra en la figura:

127

Si se desea cambiar el tamao de los cuadrados se debe definir el procedimiento DOS.CUAD con una variable de entrada llamada :LADO, que indicara de qu tamao sern los cuadrados, as: Para DOS.CUAD :Lado CUADRADO :Lado Sl Av :Lado +20 Bl CUADRADO :Lado Fin

Donde: Para CUADRADO :Lado Repite 4[av :lado gd 90]

En esta caso el procedimiento DOS:CUAD utiliza el subprocedimiento CUADRADO con una entrada llamada :LADO

Si colocamos DOS.CUAD 150 quedara la siguiente forma:

128

Figura 106: DOS.CUAD 150 Ejemplo: Construir un procedimiento llamado FLOR que tenga como entrado

el tamao de cada ptalo. 1er Procedimiento:

Para PETALO :Tamao Arc2 60 :Tamao Gd 120 Arc2 60 :Tamao Gd 150 Sl Av 10 Poccr 13 Rellena Re 10 Bl Gi 30 Fin

2do Procedimiento: Para FLORESCENCIA :Tamao Repite 6[PETALO :Tamao gd 60]

129

Fin 3er Procedimiento:

Para TALLO :Tamao Av :Tamao PETALO :Tamao Av: Tamao*2 Fin

4to Procedimiento Para FLOR :Tamao TALLO :Tamao FLORESCENCIA :Tamao Poncl 8 Re :Tamao*3 Poncl 0 Fin

Al ejecutar FLOR 100 se muestra la siguiente figura:

Figura 107: Flor 100

Comprueba tus conocimientos 1) Realiza un procedimiento que dibuje casas de diferente tamao

como se muestra a continuacin:

130

Figura 108: Casas 2) Realiza un procedimiento denominado JUNTACIRCULO, el cual

consiste en dibujar la unin de 36 crculos de diferente radio como se muestra en la figura:

Figura 109: Juntacirculo 150 3) Construye un procedimiento denominado GIRACIRCU que tenga

como parmetro el radio de la circunferencia, el cual ste consiste en que varias circunferencias giran en un solo punto fijo.

131

Figura 110: Giracircu 100 4) Crea un procedimiento que dibuje un cuadrado de cualquier lado y

que este circunscrito a una circunferencia. 5) Crea un procedimiento que dibuje una estrella de cualquier lado y

que este circunscrita a una circunferencia. 6) Realiza un procedimiento, llamado SOL, el cual tenga como

parmetro el tamao del Sol.

Figura 111: Sol 75 7) Construir el procedimiento SEGMENTO, cuyas 4 entradas sean las

coordenadas de 2 puntos y que dibuje el segmento de extremos dichos puntos.

132

8) Definir el procedimiento CUADRILA, cuyas 8 entradas sean las coordenadas de 4 puntos y dibuje el cuadriltero de vrtices dichos puntos.

9) Definir el procedimiento DISTAN, cuyas 4 entradas sean las coordenadas de 2 puntos, que calcule y devuelva la distancia entre ellos.

10) Definir el procedimiento TRIAN, cuyas 6 entradas sean las coordenadas de 3 puntos y que dibuje el tringulo de vrtices dichos puntos y lo rellene.

2.4) funciones en Logo Una funcin es una regla de correspondencia entre dos conjuntos de

tal manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y slo un elemento del segundo conjunto.

Al primer conjunto (el conjunto D) se le da el nombre de dominio. Al segundo conjunto (el conjunto C) se le da el nombre de

contradominio o imagen. Una funcin se puede concebir tambin como un aparato de clculo.

La entrada es el dominio, los clculos que haga el aparato con la entrada son en s la funcin y la salida sera el contradominio.

Funcin

Entrada Salida

Funcin

133

Notacin: al nmero que "entra" a la mquina usualmente lo denotamos con una letra, digamos x o s, o cualquier otra.

Al nmero que "sale" de la mquina lo denotamos con el smbolo f(x) f(s).

Ejemplo 1 Si la regla es sumar 4 a la entrada: f(x) = x + 4 y la entrada es

En Logo puedes definir tu propia funcin (procedimiento) que toma una (o ms) entradas. Calcula una funcin y luego da salida a un valor (lo devuelve) para que sea usado por otro procedimiento o comando.

f(x) La mquina funcin le hace algo a la(s) entrada(s) y devuelve el

resultado como salida

Entrada Salida

3 + 4

Entrada Salida

134

DEV (o DEVUELVE) es el comando que sirve para dar salida a un valor.

Luego de definir la funcin es importante decirle a Logo qu hacer con el resultado fuera del procedimiento que define la regla de la funcin.

En general:

Ejemplo 2: Funciones reciprocas en Logo Para construir la funcin MULTDIEZ se debe realizar el siguiente

procedimiento: Para MULTDIEZ :X Dev :X*10 Fin

Ahora se puede crear una funcin que invierta el efecto de MULTDIEZ de la siguiente forma:

Ejemplo anteriorPara SUMACUATRO

:num

DEV :NUM + 4 FIN

Otra funcin Para CUADRAR :N

DEV :N * :N FIN

Prueba: ESCRIBE SUMACUATRO 3

Prueba: AV CUADRAR 10

Para escribesuma :num Escribe sumacuatro :num Fin

Para TRAZACUADRAR :N Av cuadrar :num Fin

135

Para dividiez :Y Dev :Y/10 Fin

Ejemplo 3: Definir un procedimiento que calcule el rea de un rectngulo y lo escriba en la pantalla.

1er Procedimiento: Para AREA.RECT :base :altura Dev :base*:altura Fin

2er Procedimiento: Para AREA.RECTAN :base :altura Gd 90 Rotula [Area del rectangulo=] Sl Av 200 Bl Rotula (area.rect :base :altura) Fin

Figura 112: Area.rect 20 30

136

Comprueba tus conocimientos 1) Inventa y prueba tus propias funciones (con una y con varias

entradas). 2) Construye una funcin llamada RESTACINCO, donde la regla

consista en restar 5 a la entrada. Luego, crea otra funcin que invierta el efecto de RESTACINCO.

3) Crea una funcin que transforme un valor de temperatura de grados Fahrenheit (F) a grados centgrados (C). Luego escribe un procedimiento que invierta esta funcin, es decir, que convierta la temperatura de grados centgrados (C) a grados Fahrenheit (F).

4) Escribe un procedimiento que convierta Bolvares a dlares y otro para convertir dlares a Bolvar.

5) Crea una funcin que calcule 582 23 xxx 6) Escribe una funcin que te devuelva el promedio de dos o ms

nmeros.

7) Crea una funcin que devuelva 56742 42232 zyxzyxyzx

137

3) Nivel avanzado Este nivel lo constituye el uso de instrucciones condicionales que se

ejecutan solo si se da una condicin que ha establecido el loguista y el uso de varias tortugas.

3.1) Ejecucin Condicionada En algunos casos, para escribir el cdigo de un programa, basta con

escribir una serie ordenada de primitivas, que se ejecutarn una detrs de otra (ejecucin secuencial). Pero es frecuente tambin que en un programa haya que ejecutar unas primitivas u otras en funcin de alguna condicin. De esta forma la ejecucin del programa se ramificar por unas primitivas u otras, segn se vayan dando determinadas condiciones (ejecucin condicionada).

La ejecucin condicionada se utiliza para indicarle al computador que debe determinar si una condicin es verdadera o falsa y, a partir del resultado, ejecutar el bloque de instrucciones correspondiente. La forma ms comn est compuesta por una proposicin (condicin) que se evala y dos bloques de instrucciones que se ejecutan, uno cuando la condicin es verdadera y otro cuando sta es falsa. Un bloque de instrucciones puede contener una o varias instrucciones que se ejecutan una detrs de otra.

Para que una proposicin sea valida, debe poder afirmarse que es verdadera o falsa. En programacin, se utilizan operadores relacionales () para establecer la relacin que existe entre dos elementos de la proposicin.

Adicionalmente, las condiciones pueden ser sencillas o compuestas. Las condiciones compuestas se forman con dos o ms condiciones sencillas unidas por operadores lgicos (y, o, no). Cuando se unen dos condiciones por medio del operador lgico y, significa que ambas condiciones deben ser verdaderas (conjuncin). Cuando se unen dos condiciones por medio del operador lgico o, significa que por lo menos una de las dos condiciones debe ser verdadera (disyuncin).

138

Primitivas para crear condicionales: Si

Realiza una instruccin o un conjunto de instrucciones si se cumple la condicin expresada. SI condicin [listadeinstrucciones] (SI condicin [listadeinstrucciones1] [listadeinstrucciones2]) Condicin: Expresin de la que se quiere comprobar la veracidad. Listadeinstrucciones:(LISTA) Lista de instrucciones que Logo va a ejecutar si la condicin es VERDADERO. Listadeinstrucciones1:(LISTA) Lista de instrucciones que Logo va a ejecutar si la condicin es VERDADERO. Listadeinstrucciones2:(LISTA) Lista de instrucciones que Logo va a ejecutar si la condicin es FALSO. Ejemplo 1:

Realizar un procedimiento que calcule la raz cuadrada de un nmero. Para RAIZ :N Escribe (si :n

139

Figura 113 Nota: Como en las dos listas de instrucciones se va a utilizar la

primitiva ESCRIBE, sta se coloca fuera de los parntesis. Ejemplo 2: Realizar un procedimiento que calcule y avance la raz cuadrada de

un nmero. Para RAIZ2 :N (Si :n

140

Listadeinstrucciones1:(LISTA) Lista de instrucciones que Logo va a ejecutar si la condicin es VERDADERO.

Listadeinstrucciones2:(LISTA) Lista de instrucciones que Logo va a ejecutar si la condicin es FALSO. Ejemplo:

Realizar un procedimiento que calcule el logaritmo de un nmero. Para logaritmo :a Ot Gd 90 Sisino :a>0 [rotula (log :a)] [rotula [la base debe ser mayor que cero]] Sl Centro Bl Fin

Figura 115: Logaritmo -1000 Haz

Comando que asigna el valor a la variable, sta variable se le debe asignar un nombre el cual debe ser una palabra. Los nombres de variables no son sensibles al contexto. Si ya existe una variable con el mismo nombre, el valor de la variable se cambiar. Si no, se crear una nueva variable global.

141

Haz nombrevar valor Nombrevar:(PALABRA) Nombre de la variable que se quiere asignar. Valor:(OBJETO) Objeto que se asigna a la variable. Ejemplo: Para suma_de_fracciones Gd 90 Haz "suma_de_fracciones [a/b + c/d con b,d distinto de cero] Rotula :suma_de_fracciones Fin

Figura 116: Suma de fracciones Haz.hasta

Repite la lista de instrucciones tantas veces hasta que se cumpla la condicin. Primero lee el conjunto de instrucciones, de esta forma se asegura que las instrucciones se ejecutan al menos una vez antes de comprobar la condicin.

Haz.hasta [listadeinstrucciones] [condicin] Listadeinstrucciones:(LISTA) Lista de instrucciones que en Logo

se ejecutan mientras la expresin sea FALSO. Condicin: Lista de expresiones que devuelven la veracidad sobre

si las instrucciones debera continuar o no.

142

Ejemplo: Haz "i 0 haz.hasta [haz "i :i+1 escribe :i] [:i>3] 1 2 3 4

Figura 117 Hasta

Repite la lista de instrucciones tanta veces hasta que se cumpla la condicin. Si la condicin expresada se cumple, no se ejecutan las instrucciones ni una sola vez. Hasta [condicin] [listadeinstrucciones] Condicin: Lista de condiciones que devuelven la veracidad sobre si las instrucciones deberan continuar o no. Listadeinstrucciones:(LISTA) Lista de instrucciones en Logo que se ejecutan mientras la expresin es FALSO. Ejemplo: Haz "i 0 Hasta [:i>3] [haz "i :i+1 escribe :i] 1 2 3 4

143

Figura 118 Haz.mientras Repite la lista de instrucciones tantas veces como se de la condicin

expresada. Primero lee el conjunto de instrucciones, de esta forma se asegura que las instrucciones se ejecutan al menos una vez antes de comprobar la condicin. Haz.mientras [listadeinstrucciones] [condicin] Listadeinstrucciones:(LISTA) Lista de instrucciones que Logo ejecuta mientras la expresin sea VERDADERO. Condicin: Lista de expresiones que devuelve la veracidad que indica si las instrucciones mientras deberan continuar. Ejemplo: Haz "i 0 haz.mientras [haz "i :i+1 escribe :i] [:i

144

Mientras [condicin] [listadeinstrucciones] Condicin: Lista de expresiones que devuelven la veracidad sobre si las instrucciones debera continuar o no. Listadeinstrucciones:(LISTA) Lista de instrucciones en Logo que se ejecutan mientras la expresin es VERDADERO. Ejemplo: Haz "i 0 Mientras [:i

145

5) Programa que calcule la hipotenusa de un tringulo rectngulo, dados sus dos catetos, usando un subprocedimiento que devuelva el cuadrado de un nmero dado.

6) Crea un procedimiento que resuelva una ecuacin de segundo grado. Si la solucin no est dentro de los nmeros reales debe mostrar un mensaje de error y volver a preguntar los valores de los coeficientes.

7) Crea un procedimiento que dibuje cuadrados cada vez mayores hasta que el valor del lado sea igual a 200.

8) Crear un programa que dibuje crculos cada vez mayores hasta que se alcanza un valor del radio introducido por el usuario.

3.2) Procedimientos recursivos Hasta ahora se ha controlado el nmero de ciclos que se ejecutaba

una serie de ordenes mediante la primitiva REPITE, pero a veces es necesario que el programa est ejecutndolas de forma permanente. En estas situaciones podemos hacer que el procedimiento se llame a si mismo como un subprocedimiento. Para interrumpir un procedimiento recursivo de forma voluntaria se utiliza la primitiva ALTO. Ejemplo: Para cuad Cuadrad Gd 45 Cuad Fin

Figura 121: Cuad

146

El procedimiento recursivo anterior es un ejemplo sencillo, ya que nicamente repite indefinidamente un ciclo invariable. La recursividad es mucho mas poderosa que puede utilizarse para obtener efectos mas complicados.

3.2.1) Deteniendo la recursin En el ejemplo anterior se realizo un procedimiento recursivo el cual

no se detena por si solo; para que este procedimiento se detenga, es conveniente realizar los siguientes pasos:

El primer paso, es definir una variable denominada :veces, la cual indica el numero de veces que se va a repetir CUAD y luego se detenga el procedimiento quedando de la siguiente manera:

Si se quiere repetir 3 veces entonces se debe decir a Logo: CUAD 3, pero cuando el se llame as mismo despus de hacer un cuadrado, deber llamarse con CUAD 2 para hacer 2 cuadrados, y despus con CUAD 1, para hacer un solo cuadrado y ah detenerse, entonces, la llamada recursin de CUAD (cuando el se llame as mismo) debera ser CUAD :veces-1 quedando el procedimiento de la siguiente manera: Para CUAD :veces Cuadrad Gd 45 Cuad :veces-1 Fin

Ahora, al colocar CUAD y ejecutarlo se observara que el comando no se detiene ya que cuando la llamada recursiva es por ejemplo CUAD 2-1 o CUAD 1 se debe realizar el ultimo cuadrado. Para detener el procedimiento se utiliza el comando ALTO y se emplea el condicional SI que toma la decisin de pararlo solamente cuando se haya terminado el dibujo quedando el procedimiento de la siguiente manera: Para CUAD :veces Si :veces=0 [alto]

147

Cuadrad Gd 45 Cuad :veces-1 Fin Ejemplo: Cuad 3

Figura 122: Cuad 3 Veamos paso a paso cmo funciona CUAD as definido: La flecha indica el orden en que se ejecutan las instrucciones.

148

CUAD 3 Si 3=0 [alto] Cuadrado Gd 45 Cuad 2 Fin

Si 2=0 [alto] Cuadrado Gd 45 Cuad 1 Fin

Si 1=0 [alto] Cuadrado Gd 45 Cuad 0 Fin

Si 0=0 [alto] Cuadrado Gd 45 Cuad -1 Fin

Esto se debe a que la ltima instruccin de CUAD 3, es CUAD 2 pero hasta que no se termine de ejecutar CUAD 2 Logo no lee el FIN de CUAD 3 para terminar el procedimiento CUAD 3. Por eso, mientras se ejecuta CUAD 2, CUAD 3 espera y as sucesivamente.

Pasa el control a CUAD 3

Pasa el control a CUAD 2

Pasa el control a CUAD 1

149

Es importante destacar que cada llamada recursiva es otro nivel de recursin. Al terminarse cada nivel de recursin, se pasa el control al nivel superior (procedimiento que lo llamo).

En general, el proceso recursivo no hace mas nada que dar vuelta a la siguiente regla:

Cuando se llama a un procedimiento, el otro procedimiento desde que se le llamo, espera hasta que aqul encuentra en su ejecucin un alto y a partir de entonces continua con las instrucciones que sigue a la llamada.

Ejemplo 1: Crear un procedimiento utilizando recursividad llamado CIRCULO.ENCOGE el cual dibuje un circulo y luego va a encoger el tamao del mismo y as sucesivamente. Para CIRCULO.ENCOGE :radio Si :radio

150

Poncl 4 Av :x Gd 90 Espera 10 Espiral :x 5 Poncl 0 Fin

Figura 124: Espiral 300 Ejemplo 3: Crear un procedimiento recursivo llamado ARBOL el

cual consiste en construir un programa que dibuje un rbol binario. Descripcin recursiva de un rbol binario: Un rbol binario es una horquilla con un rbol ms pequeo en cada

extremo y cada rbol mas pequeo es a su vez otra orquilla con un rbol todava ms pequeo en cada extremo y as sucesivamente. Al transformarse esta descripcin en un procedimiento recursivo el cual va a hacer que la tortuga dibuje una horquilla de cierta longitud y retorne a su posicin inicial: Gi 45 Av :longitud Re :longitud Gd 90

151

Av :longitud Re :longitud Gi 45

Esta es la horquilla bsica del rbol.

Figura 125: Horquilla bsica del rbol Ahora, de acuerdo con la descripcin recursiva, el arbol completo

esta formado por esta horquilla junto con otras mas pequeas (la mitad) dibujadas en cada extremo. Por lo tanto, como el procedimiento ARBOL debe quedar de la siguiente forma: Para ARBOL :longitud Si :longitud

152

Figura 126: Arbol 200 Se puede modificar el procedimiento ARBOL para producir otro

procedimiento ARBOL1, donde la abertura de la horquilla se produzca como una entrada. Para ARBOL1 :longitud :ngulo Si :longitud

153

Ejemplo: arbol1 200 20

Figura 127: Arbol1 200 20 Es importante resaltar que muchos diseos complejos admiten

descripciones recursivas simples y pueden ser dibujados por programas realmente breves.

Comprueba tus conocimientos 1) Escribe un procedimiento recursivo y dibuje un triangulo equiltero

y que lo rote tantas veces como se le indique como entrada como se muestra a continuacin:

Figura 128: Triangulo equiltero rotado 10 veces

154

2) Escribe un procedimiento que dibuje una torre de cuadrados cada vez ms pequeos. donde cada cuadrado sea 10 veces mas pequeo que el anterior. Y colcale como entrada el tamao del primer cuadrado como se muestra a continuacin:

Figura 129: Torrecuad 100 3) Crea un procedimiento recursivo llamado GIRARECT, que consiste

en girar 30 un rectngulo, el cual debe ser cada vez ms pequeo, dndole como entrada la altura del primer rectngulo.

Figura 130: Girarect 200

155

4) Crea un procedimiento llamado ARBOLB utilizando recursividad, que tenga como entrada la longitud y el ngulo de abertura de la horquilla en la que la rama izquierda de cada horquilla es dos veces mas larga que la rama derecha.

Figura 131: Arbolb 100 70 5) Haz el dibujo (o dibujos) que tu quieras, usando procedimientos

recursivos con condiciones de parada.

3.3) Mltiples Tortugas Logo puede trabajar con varias tortugas a la vez, manteniendo cada

tortuga su propia direccin, posicin, control y color del lpiz, aunque no el color del lpiz. Para ello se estudiara los siguientes comandos:

Activa (tortuga) Selecciona la tortuga que se quiere controlar. Cada tortuga mantiene su propia Direccin (orientacin 3D), Posicin, y Control del Lpiz, pero no ocurre lo mismo con el color del lpiz. Las tortugas comienzan con 0, que es la tortuga predeterminada. Hay un lmite fijado en 1024 tortugas, lo que significa que el mayor valor que puede tomar una tortuga es 1023 (comenzamos en el 0 y no en el 1). Todas las tortugas que estn entre 0 y la tortuga ms alta que se haya seleccionado, estarn activadas. Por eso no tiene mucho sentido elegir la tortuga 100 y la 200 si solo necesita

156

2 tortugas. Para seleccionar automticamente la tortuga 0 y desactivar las dems tortugas, se utilizara el comando BORRAPANTALLA. Activa tortuga Ejemplo 1: Para mltiples Repite 10[Activa 0 gd 10 av 20] Repite 10[Activa 1 gi 10 av 20] Fin

Figura 132: Utilizando dos tortugas Ejemplo 2: Para colocar Activa 0 sl ponpos [-100 -80] poncl 1 bl av 200 Activa 1 sl ponpos [-50 -80] poncl 2 bl av 200 Activa 2 sl ponpos [0 -80] poncl 3 bl av 200 Activa 3 sl ponpos [50 -80] poncl 4 bl av 200 Activa 4 sl ponpos [100 -80] poncl 5 bl av 200 Fin

157

Figura 133: Utilizando 5 tortugas Tortuga

Devuelve la tortuga que en ese momento se est controlando. Muestra tortuga Ejemplo: Activa 8 Muestra tortuga 8

Figura 134 Tortugas

Devuelve la mxima tortuga que se ha seleccionado desde la ltima vez que se ejecut un BORRAPANTALLA. Muestra tortuga tortugas Tortuga: Devuelve la tortuga que en ese momento se est controlando

Tortugas: Mxima tortuga que se ha llegado a seleccionar (lo que a su vez indica cuntas tortugas estn activas).

158

Ejemplo: Bp Activa 8 Activa 4 (Muestra tortuga tortugas) 4 8

Figura 135 Haztortuga

Dada una tortuga, sita la tortuga en la posicin posx, posy y orienta su rumbo segn el ngulo dado. Despus de hacer eso, ejecuta sobre la tortuga la instruccin. El procedimiento devuelve como salida el resultado de la ejecucin de la instruccin, si es que lo hay. Haztortuga tortuga [posx posy ngulo instruccin] Tortuga:(ENTERO) Tortuga sobre la que se quiere ejecutar la instruccin una vez cambiada su posicin y rumbo. Posx:(ENTERO) Coordenada x de la posicin absoluta en la que se quiere situar la tortuga. Posy:(ENTERO) Coordenada y de la posicin absoluta en la que se quiere situar la tortuga. ngulo:(NMERO) ngulo en grados hacia el que se quiere orientar la tortuga. Instruccin:(LISTA) Es una lista de un elemento en la que se indica la instruccin a ejecutar por la tortuga (la instruccin incluye sus argumentos).

159

Ejemplo 1: Crear un procedimiento llamado doscuadrado, que genere los lados

de dos cuadrados simultneamente. Para doscuadrados Haztortuga 0[100 0 0 [av 100 espera 10]] Haztortuga 1[-100 0 0 [av 100 espera 10]] Haztortuga 0[100 100 90 [av 100 espera 10]] Haztortuga 1[-100 100 -90 [av 100 espera 10]] Haztortuga 0[200 100 180 [av 100 espera 10]] Haztortuga 1[-200 100 -180 [av 100 espera 10]] Haztortuga 0[200 0 270 [av 100 gd 90 espera 10]] Haztortuga 1[-200 0 90 [av 100 gd -90 espera 10]] Fin

Figura 136: Doscuadrados Ejemplo 2: Para plano.cartesiano Haztortuga 0[-200 0 90 [Repite 8 [Gd 90 Av 2 Re 4 Av 2 Gi 90 Rotula (coorx) Av 50] Rotula "X espera 10]] Haztortuga 1[0 -200 0 [Repite 8 [Gd 90 Av 2 Re 4 Av 2 Rotula (coory) Gi 90 Av 50] gd 90 Rotula "y]]

160

Fin

Figura 137: Plano Cartesiano

Comprueba tus conocimientos 1) Define un procedimiento en el que 5 tortugas dibujen al mismo

tiempo los cinco aros olmpicos.

Figura 138: Aros Olmpicos 2) Define un procedimiento para cada figura geomtrica utilizando

varias tortugas el cual permita dibujar la figura y calcular el rea al mismo tiempo de:

161

Triangulo rectngulo. Triangulo issceles. Cuadrado. Rectngulo. Paralelogramo. Trapecio. Circulo. Semicrculo.

162

CAPTULO V

DOCUMENTACION DE LOS PROYECTOS DE APRENDIZAJE

5.1 Introduccin.

5.2 Polgonos regulares.

5.3 Circulo.

5.4 Arco.

5.5 Curva de Koch.

5.6 Funcin Seno y Funcin Coseno.

163

5.1 Introduccin. En el presente capitulo se analizara los proyectos de aprendizaje

(polgonos regulares, circulo, arco, curva de Koch, funcin seno) que se realizaron utilizando el lenguaje de programacin MswLogo 6.5a, donde se explicara detalladamente el proceso realizado para llevar a cabo dichos proyectos como tambin los fundamentos matemticos que se emplearon; a fin de que el lector tenga una mejor comprensin de los resultados obtenidos.

Por otra parte, se anexar al trabajo de investigacin, un CD donde el usuario tendr acceso a los proyectos de aprendizaje antes mencionados. Para ello, se debe instalar inicialmente el programa MswLogo 6.5a si no ha sido instalado anteriormente en el ordenador. Luego se procede a cargar los archivos en formato LGO llamados: polgonos regulares, crculo, arco, curva de Koch y Funcin Seno.

164

5.2 Polgonos regulares. Un polgono regular es aquel en el que todos los lados tienen la

misma longitud y todos los ngulos interiores o exteriores son de la misma medida.

En tal sentido, MswLogo se puede utilizar para facilitar el aprendizaje de ciertos conceptos geomtricos, por medio de la construccin de figuras tales como tringulos, cuadrados y en general polgonos regulares. Para ello se construy un procedimiento llamado POLIGONO que dibuja polgonos regulares de diferentes nmeros y longitud de lados, basndose en la posicin actual de la tortuga.

Para la creacin de este procedimiento, se realizaron los siguientes pasos:

Primero se construyeron polgonos regulares de varios lados y longitud 100 utilizando la primitiva REPITE:

Triangulo equiltero Para trian Repite 3[av 100 gd 120] Fin

Cuadrado Para Cuadrado Repite 4[av 100 gd 90] Fin

Pentgono Para penta Repite 5[av 100 gd 72] Fin

165

Hexgono Para Hexa Repite 6[av 100 gd 60] Fin

De esta manera se elaboro la siguiente tabla:

TTabla 3: Polgonos regulares

A partir de esta tabla se obtuvo la siguiente generalizacin: Repite n[av l gd ] n:numero de lados

: angulo exterior l: Longitud del lado

Los ngulos utilizados para la construccin de dichos polgonos fueron los ngulos exteriores, el cual es formado por un lado y la prolongacin de un lado consecutivo; el cual viene dado por la siguiente formula:

n360

Donde n es el nmero de lados

Luego se encontr una relacin entre el nmero de repeticiones y el ngulo exterior obtenindose el siguiente resultado:

Repite n[av l gd 360/n] Por consiguiente, el comando POLIGONO esta conformado de la

siguiente manera:

Polgono N de Lados

Angulo exterior de rotacin

Triangulo 3 120 Cuadrado 4 90 Pentgono 5 72 Hexgono 6 60

n

166

Para POLIGONO :Longitud :Nlados ;Se inicia el procedimiento llamado . Gd 90 ;Gira 90 grados hacia la derecha (en sentido de las agujas del reloj), para que la tortuga comience a dibujar el polgono en posicin horizontal. Repite :Nlados [av :Longitud gi 360/:Nlados] ;avanza hacia delante :LONGITUD y gira a la izquierda 360/:NLADOS, esta lista de instrucciones se repite tantas veces indique :NLADOS. Gi 90 ;la tortuga gira 90 grados hacia la izquierda (en sentido contrario de las agujas del reloj), para que culmine en su orientacin inicial. Fin ;Fin del procedimiento

Este comando se utiliza de la siguiente forma: POLGONO :Longitud :Nlados :Longitud es la longitud de cada lado del polgono que se desea dibujar. :Nlados es el numero de lados del polgono que se desea dibujar. Ejemplo: POLIGONO 120 10

Figura 1: Decgono de longitud 120 pxeles.

167

5.3 Circulo. Un crculo, en geometra, es el lugar geomtrico de los puntos del

plano cuya distancia a otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual que la longitud del radio.

En MswLogo se pueden dibujar crculos, para ello se crearon los siguientes comandos:

Circulo1: Dibuja un crculo basndose en la posicin orientacin de la tortuga.

El tamao viene dado por la longitud del radio. La posicin actual de la tortuga estar en el centro del crculo.

Es importante resaltar a medida que crece el nmero de lados de un polgono regular, su apariencia se asemeja cada vez ms a la circunferencia de un crculo. Es por ello que para la creacin de este procedimiento se tom del comando POLIGONO lo siguiente:

Repite :NLados [av :Longitud gi 360/:NLados] (*) Donde :NLados es el numero de lados del polgono y :LONGITUD

es la longitud de cada lado. Por lo anteriormente expuesto se puede considerar :NLados=360 Para dejar :Longitud en funcin del radio del circulo se utilizaron las

siguientes formulas: 1. P=D* 2. P=:NLados*:Longitud 3. D=2*:radio

Sustituyendo las formulas 2 y 3 en 1 se tiene: :NLados*:Longitud=2*:radio*

Sustituyendo :NLados en esta ecuacin se obtiene: 360*:Longitud=2*:radio*

Despejando :Longitud :Longitud=(2*:radio* )/360

P: Permetro de la circunferencia D: Dimetro de la circunferencia :Longitud: Longitud de cada lado del polgono :Radio: radio de la circunferencia

:Longitud=:radio*

168

Por lo tanto (*) quedara de la siguiente forma: Repite 360 [av :radio*/180 Gi 1] (**)

En consecuencia, utilizando (**) para dibujar el crculo y las primitivas adecuadas para que la posicin actual de la tortuga se encuentre en el centro del crculo, el comando CIRCULO1 queda estructurado de la siguiente forma:

Para CIRCULO1 :radio ;Se inicia el procedimiento llamado . Gd 90 ;Gira la tortuga 90 grados hacia la derecha (en sentido de la aguja del reloj). Sl ;Sube el lpiz para que la tortuga no pinte. Av :radio ;Mueve a la tortuga hacia adelante tantos pasos indique el radio. Gi 90 ;Gira la tortuga 90 grados hacia la izquierda (en sentido contrario de las agujas del reloj) para comenzar a dibujar el circulo. Bl ;Baja el lpiz para que la tortuga pinte. Repite 360[av (pi*:radio)/180 gi 1] ;La tortuga avanza (PI*:RADIO)/180 pasos y luego da un giro de 1 grado hacia la izquierda, esta lista de instrucciones se repite 360 veces para dibujar el circulo. Sl ;Sube el lpiz para que no pinte. Gi 90

169

;Gira la tortuga 90 grados hacia la izquierda (en sentido contrario de las agujas del reloj) para que la tortuga este dirigida hacia el centro del circulo. Av :radio ;Mueve a la tortuga hacia adelante tantos pasos indique el radio. Gd 90 ;Gira a la tortuga 90 grados hacia la derecha (en sentido de la aguja del reloj) para que culmine en su orientacin inicial. Bl ;Baja el lpiz para que la tortuga pinte. Fin La forma de utilizar este comando es la siguiente: Circulo1 :Radio

Ejemplo: Circulo1 200

Figura 2: Circulo1 de radio 100 pxeles. Circulo3:

En este comando, el borde del circulo comienza donde esta situada la tortuga, y la deja ubicada donde haya terminado de dibujar el circulo y no en el centro.

Radio del crculo que se desea dibujar

170

En consecuencia, (**) se utilizo para crear el comando circulo3 quedando de la siguiente forma:

Para CIRCULO3 Repite 360[av (pi*:radio)/180 gd 1] Fin

La forma de utilizar este comando es la siguiente: Circulo3 :RADIO

Ejemplo: Circulo3 200

Figura 3: Circulo3 de radio 200 pxeles.

Radio del crculo que se desea

171

5.4 Arco. Un arco es una lnea curva que es parte de la circunferencia de un

crculo. Con MswLogo se pueden dibujar arcos, para ello se crearan los

siguientes comandos: Arco1: Es un comando en el que la tortuga no se mueve, es decir, queda en

su posicin inicial una vez terminada de dibujar el arco. El arco se inicia en la parte posterior de la tortuga y el recorrido esta dado por la cantidad del ngulo. El tamao de sta se basa en la longitud del radio. La posicin actual de la tortuga estar en el centro del arco.

Para construir un procedimiento que dibuje un arco en MswLogo, se utilizo (**) (ver documentacin del circulo1).

Repite 360[av (pi*:radio)/180 gi 1] Puesto que el arco es parte de la circunferencia de un circulo, el

numero de repeticiones de la lista de instrucciones av (pi*:radio)/180 gi 1 va a estar dada por el ngulo del arco, es decir:

Repite :angulo [av (pi*:radio/180) gd 1] (***) En consecuencia, utilizando (***) para dibujar un arco y las primitivas

adecuadas para que el recorrido del arco comience en la parte posterior de la tortuga y una vez dibujado se site en su posicin inicial, el comando ARCO1 queda estructurado de la siguiente forma: Para ARCO1 :ngulo :Radio ;Se inicia el procedimiento llamado . Gd 180 ;Gira la tortuga 180 grados hacia la derecha (en sentido de la aguja del reloj), para que el arco se inicie en la parte posterior de la tortuga. Sl ;Sube el lpiz para que la tortuga no pinte. AV :Radio ;Desplaza la tortuga hacia adelante tantos pasos indique el radio.

172

Gd 90 ;Gira la tortuga 90 grados hacia la derecha (en sentido de la aguja del reloj) para comenzar a dibujar el arco. Bl ;Baja el lpiz para que la tortuga pinte. Repite :ngulo [av (pi*:Radio/180) gd 1] ;La tortuga avanza (PI*:Radio)/180 pasos y luego da un giro de 1 grado hacia la derecha, esta lista de instrucciones se repite tantas veces me indique :ANGULO, dando como resultado el arco de una circunferencia. Gd 90 ;Gira la tortuga 90 grados hacia la derecha (en sentido de la aguja del reloj), para que la misma este dirigida hacia el centro del arco. Sl ;Sube el lpiz para que la tortuga no pinte. Av :Radio ;Desplaza la tortuga hacia adelante tantos pasos indique :RADIO. Gi :ngulo ;Gira la tortuga hacia la izquierda tantos grados indique :ANGULO (en sentido contrario de la aguja del reloj), para que culmine en su orientacin inicial. Bl ;Baja el lpiz para que la tortuga pinte. Fin ;Fin del procedimiento.

La forma de utilizar este comando es la siguiente:

Arco1 :ngulo :radio

Nota: Para ARCO1 360 a un determinado radio, dibuja un crculo.

Angulo del arco

Radio del arco

173

Ejemplo: Arco1 120 200

Figura 4: Arco1 120 200 Arco2

En este comando, la tortuga no se mueve, es decir, queda en su posicin inicial una vez terminada de dibujar el arco. El borde del arco, comienza donde esta ubicada la tortuga, por lo tanto la tortuga no va estar ubicada en el centro del mismo.

En consecuencia, solo se utilizo (***) para crear el comando arco2 quedando de la siguiente forma:

Para ARCO2 :ANGULO :RADIO Repite :ngulo [av (pi*:Radio/180) gd 1] Fin

La forma de utilizar este comando es la siguiente:

Arco2 ngulo radio

Ejemplo: Arco2 120 200

Angulo del arco

Radio del arco

174

Figura 5: Arco 2 120 200

175

5.5 Curva de Koch Para construir la curva de Koch se toma un segmento de recta, se

divide en tres partes iguales, luego se reemplaza la parte central por dos partes de igual longitud formando un ngulo de 60 grados entre ellos. As mismo, con los cuatro segmentos, se procede de la misma manera, lo que da lugar a 16 segmentos ms pequeos en la tercera iteracin. Y as sucesivamente.

Esta curva puede ser dibujada con Mswlogo usando procedimientos recursivos, es decir procedimientos que se llaman a si mismos, ya que este programa tiene la caracterstica de resolver en forma compacta procesos largos.

Para construir la curva de Koch primeramente se debe ubicar la tortuga en el borde derecho de la pantalla grafica de MswLogo, ya que esta posicin es adecuada para comenzar a dibujar dicha curva, para ello se cre un comando llamado COMIENZO.

Para COMIENZO Gd 90 Sl Av 500 Bl Gd 180 Fin

El nivel 1 de la curva de Koch constituye el caso base, definido de la siguiente forma: Para KOCH1 Segmento Fin

Donde, Para SEGMENTO Av 1000

176

Fin Ejemplo1: Comienzo Koch1

Figura 6: Nivel 1

Usando Koch1 como base, podemos definir el nivel 2 de dicha curva, es decir Koch2:

Para KOCH2 Koch1 Gd 90 Koch1 Gi 120 Koch1 Gd 60 Koch1 Fin

Donde el comando SEGMENTO quedara redefinido de la siguiente manera:

Para SEGMENTO Av 1000/3 Fin Ejemplo2:

1000*1/3=1000/3

177

Comienzo Koch2

Figura 7: Nivel 2. Luego utilizando koch2 se puede dibujar el nivel 3 de la curva, es

decir koch3:

Para KOCH3 Koch2 Gd 90 Koch2 Gi 120 Koch2 Gd 60 Koch2 Fin

En este nivel, el comando SEGMENTO quedara redefinido de la siguiente forma: Para SEGMENTO Av 1000/potencia 3 2 Fin Ejemplo3 Comienzo Koch3

1000/3*1/3=1000/32

178

Figura 8: Nivel 3. No obstante, se puede observar que los procedimientos anteriores

tienen la misma estructura, por lo tanto se puede definir un procedimiento general llamado KOCH el cual dibuje la curva de koch en diferentes niveles usando un procedimiento recursivo. Es importante destacar que este procedimiento utiliza el comando SEGMENTO como un subprocedimiento.

Para KOCH :nivel ;Se inicia el procedimiento llamado . Si :nivel = 1 [segmento alto]. ;Cuando el nivel de la curva de koch es igual a 1;es el caso BASE donde traza el primer segmento y luego se detiene. Koch :nivel - 1 ;Cuando el nivel de la curva de koch es distinto de 1, el procedimiento se va a llamar as mismo utilizando el nivel anterior. Gd 60 ;Gira la tortuga 60 grados hacia la derecha (en sentido de las agujas del reloj). Koch :nivel - 1 ;Cuando el nivel de la curva de koch es distinto de 1, el procedimiento se va a llamar as mismo utilizando el nivel anterior. Gi 120

179

;Gira la tortuga 120 grados hacia la izquierda (en sentido contrario de las agujas del reloj). Koch :nivel - 1 ;Cuando el nivel de la curva de koch es distinto de 1, el procedimiento se va a llamar as mismo utilizando el nivel anterior Gd 60 ;Gira la tortuga 60 grados hacia la derecha (en sentido de las agujas del reloj). Koch :nivel - 1 ;Cuando el nivel de la curva de koch es distinto de 1, el procedimiento se va a llamar as mismo utilizando el nivel anterior Fin ;Fin del procedimiento.

Donde, Para SEGEMENTO ;Se inicia el procedimiento llamado . Av :Tam ;Mueve la tortuga hacia adelante tantos pasos indique el valor de la variable :tam. Fin ;Fin del procedimiento.

Es importante resaltar que el comando SEGMENTO, tiene como funcin trazar cada segmento de la curva de koch, donde su longitud depende del nivel de dicha curva es decir:

:Tam=1000/potencia 3 :nivel-1 Para centrar la curva de koch en la pantalla y para definir

correctamente la longitud de cada segmento se crea el procedimiento CURVA

Para CURVA :Nivel ;Se inicia el procedimiento llamado .

180

Ot ;Hace invisible la tortuga. Haz "tam 1000/potencia 3 :nivel-1 ;Define correctamente la longitud de cada segmento de la curva de Koch. Comienzo. ;Procedimiento ya definido. Koch :nivel ;Procedimiento ya definido. Gd 90 ;Gira la tortuga 60 grados hacia la derecha (en sentido de las agujas del reloj). Mt ;Hace visible la tortuga. Fin ;Fin del procedimiento.

La forma de utilizar este comando es la siguiente: Curva :nivel

Ejemplo3: Curva 8

Figura 9: Nivel 8.

Nivel de la curva de koch que se desea dibujar

181

5.6 Funcin Seno y Funcin Coseno Aportes tericos para la construccin de la grafica de la

Funcin Seno y Funcin Coseno a partir de la circunferencia trigonomtrica.

En un sistema de ejes cartesianos con centro el origen de las coordenadas y radio la unidad se traza una circunferencia llamada circunferencia trigonomtrica.

Figura 10: Circulo trigonomtrico. Estudiando las coordenadas de un punto P que se desplaza sobre la

circunferencia partiendo del punto A (interseccin de la circunferencia con el eje X) y considerando positivo el sentido contrario a las agujas del reloj (y negativo el sentido de las agujas del reloj). En la figura 10, tomando en cuenta que el punto P esta en el primer cuadrante, ha recorrido un arco AP en sentido contrario a las agujas del reloj que corresponde al ngulo que es positivo.

En el triangulo rectngulo OPP se definen las razones trigonomtricas del ngulo teniendo en cuenta que la hipotenusa OP vale 1 porque es el radio de la circunferencia trigonomtrica.

'1

''. PPPPOPPP

hipopcatSen 'PPSen

182

445

990 135 180

2225

2270

3315 60

1

1

-1

'1

''. OPOPOPOP

hipadycatCos 'OPCos

Relacionando las coordenadas de P con las razones trigonomtricas de se llega a las siguientes conclusiones:

yPPSen '

xOPCos '

Apoyndose en esta propiedad se pueden definir dos funciones: a. Funcin Seno la cual aplica el ngulo a la ordenada de P y se

abrevia Sen, por lo tanto Seny .

b. Funcin Coseno la cual aplica el ngulo a la abscisa de P y se abrevia Cos, por lo tanto Cosx .

Representacin grafica de la Funcin Seno:

Figura 11: Grafica de la funcin Seno En la figura 11 se puede observar como se construye la curva de la

funcin seno a partir de la circunferencia trigonomtrica.

45

90

135

180

225

270

315

183

445 90 135 180

2225

2270

3315 360

1

Representacin grafica de la Funcin Coseno:

Figura 12: Grafica de la Funcin Coseno. En la figura 12 se puede observar como se construye la curva de la

funcin coseno a partir de la circunferencia trigonomtrica. La curva de la funcin seno se puede construir a partir de la

circunferencia trigonomtrica utilizando MswLogo, para ello se har uso de las siguientes primitivas:

Avanza (av). Retrocede (re). Giraderecha (gd). Giraizquierda (gi). Ocultatortuga (ot). Poncolorlapiz (poncl). Goma (go). Pi. Circulo. Rotula. Haz.hasta.

45

90

135

180

225

270

315

0

184

Haztortuga. Espera.

Curva de la Funcin Seno en MswLogo En primer lugar, se cre un comando llamado PLANO.CARTESIANO

el cual dibuja el plano cartesiano, donde en el eje X se ubicaran las abscisas mas resaltantes de la funcin Seno, y en el eje Y las ordenadas 1 y -1 que es el recorrido de dicha curva. En el procedimiento PLANO.CARTESIANO se utiliz el comando MARCAX como un subprocedimiento el cual marca la ubicacin de las abscisas.

Para PLANO.CARTESIANO ;Se inicia el procedimiento llamado .

Haztortuga 0[0 0 90 [marcax Rotula "0 Av 90 marcax rotula "pi/2 av 90 marcax rotula "pi av 90 marcax Rotula "3pi/2 Av 90 marcax rotula "2pi av 90 Rotula "X espera 10]]. ;Activa la tortuga 0,la ubica en su posicin inicial y le da un giro de 90 grados hacia la derecha. Luego marca la posicin donde va a estar ubicada la abscisa correspondiente y luego la escribe, avanza hacia adelante 90 pasos y ejecuta las dems instrucciones hasta marcar 2pi, luego avanza 90 pasos y se ubica en una posicin adecuada para escribir X, por ultimo espera 0.166 segundos. Con este procedimiento se dibuja el eje X.

Haztortuga 1[0 -150 0 [av 50 Gd 90 Av 2 rotula "-1 Re 4 Av 2 gi 90 av 200 Gd 90 Av 2 rotula "1 Re 4 Av 2 gi 90 av 50 gd 90 rotula "Y GI 90 AV 10]]. ;Activa la tortuga 1, la ubica en el punto (0,-150),luego avanza 50 pasos hacia adelante, marca el lugar donde esta ubicada la ordenada correspondiente y despus la escribe, esta lista de instrucciones se repite 2 veces, por ultimo avanza 50 pasos y se ubica en una posicin adecuada para escribir Y. Con este procedimiento se dibuja el eje Y.

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Fin ;Fin del procedimiento

Donde: Para MARCAX :Comienza el procedimiento llamado . Gd 90 ;Gira la tortuga 90 grados hacia la derecha. Av 2 ;Avanza la tortuga 2 pasos hacia adelante. Re 4 ;Retrocede la tortuga 2 pasos hacia atrs. Av 2 ;Avanza la tortuga 2 pasos hacia adelante. Gi 90 ;Gira la tortuga 90 grados hacia la izquierda. Fin ;Fin del procedimiento. Ejemplo: Plano.cartesiano

Figura 13: Plano Cartesiano

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En segundo lugar se creo un comando llamado CIRUNITARIO el cual construye el crculo unitario, ubicando los ngulos 0, /2, /3, /2, como se muestra a continuacin:

Para CIRUNITARIO ;Se inicia el procedimiento llamado .

Haztortuga 0 [-300 0 0 [circulo 100]] ;Activa la tortuga 0, la ubica en la posicin (-300,0), luego dibuja un circulo de radio 100.

Haztortuga 0[-190 0 90 [rotula "0]] ;Activa la tortuga 0, la ubica en la posicin (-190,0) y le da una orientacin de 90 grados, luego escribe 0.

Haztortuga 0[-300 130 90 [rotula "pi/2]] ;Activa la tortuga 0, la ubica en la posicin (-300,130) y le da una orientacin de 90 grados, luego escribe pi/2.

Haztortuga 0[-420 0 90 [rotula "pi]] ;Activa la tortuga 0, la ubica en la posicin (-420,0) y le da una orientacin de 90 grados, luego escribe pi.

Haztortuga 0[-300 -110 90 [rotula "3pi/2]] ;Activa la tortuga 0, la ubica en la posicin (-300,-110) y le da una orientacin de 90 grados, luego escribe 3pi/2.

Fin ;Fin del procedimiento.

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Ejemplo: Cirunitario

Figura 14: Circulo unitario. En tercer lugar se creo un comando llamado PUNTO que ubica de

acuerdo a las coordenadas dadas, un punto en el plano cartesiano que trae implcito MswLogo.

Para PUNTO :A :B ;Se inicia el procedimiento llamado . SL ;Sube el lpiz para que la tortuga no pinte. PONX :A ;Mueve la tortuga a lo largo del eje X desde su posicin actual a una nueva coordenada :A. PONY :B ;Mueve la tortuga a lo largo del eje X desde su posicin actual a una nueva coordenada :B. BL ;Baja el lpiz para que la tortuga pinte. AV 1 ;Avanza la tortuga 1 paso hacia adelante.

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RE 1 ;Retrocede la tortuga 1 paso hacia atrs. Fin ;Fin del procedimiento.

En cuarto lugar, se construy un procedimiento llamado CORY que tiene como propsito devolver el valor de la coordenada Y de un punto P que se ha desplazado sobre el crculo unitario de acuerdo a un determinado ngulo.

Para CORY :i ;Se inicia el procedimiento llamado

Ot ;Oculta la tortuga

Dev haztortuga 0[-300 0 90[gI :i poncl [255 0 0] av 99 coory]] ;Activa la tortuga 0, la ubica en la posicion (-300,0), es decir, en el centro del circulo unitario. Luego gira la tortuga 90 grados hacia la derecha, gira hacia la izquierda tantos grados como indique el ngulo (:i), despus cambia el color del lpiz a rojo y avanza 99 pasos hacia adelante para dibujar el radio y ubicarse en el punto que se ha desplazado sobre la circunferencia. Por ultimo devuelve la coordenada Y de dicho punto.

Fin ;Fin del procedimiento.

En quinto lugar, se creo un comando que ubica la tortuga 1 en una determinada posicin, para luego escribir el nombre de la curva.

Para NOMBRES ;Inicia el procedimiento

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Haztortuga 1[250 120 90 [rotula [Funcin Seno]]] ;Activa la tortuga 1,se ubica en la posicion (250,120) y gira a la derecha 90 grados, luego escribe Funcin Seno. Fin ;Fin del procedimiento.

Finalmente se creo el comando SENO el cual consiste en hacer girar un determinado ngulo del circulo unitario (desde 0 hasta 360) con el fin de buscar la ordenada del punto P que se ha desplazado a lo largo del circulo, para luego tomar las coordenadas (ngulo,ordenada) respectivas y graficarlo en el plano cartesiano ya explicado anteriormente y as sucesivamente hasta construir la curva de la funcin Seno, seguidamente escribe el nombre de la misma.

Para SENO ;Se inicia el procedimiento llamado . Ot ;Hace invisible la tortuga. poncl 0 ;Coloca el lpiz de color negro. Plano.cartesiano ;Dibuja el plano cartesiano. Cirunitario ;Dibuja el circulo unitario. Haz "i 0 ;Asigna el primer valor que va a tomar el ngulo (:i), es decir 0 grados. Haz.hasta [haz "i :i+1 activa 1 poncl 0 punto :i (cory :i) espera 1 activa 0 goma re 99 pla] [:i=360] ;Evala el valor del ngulo, activa la tortuga 1, coloca el lpiz de color negro, ubica en el plano cartesiano las coordenadas determinadas por el valor del ngulo y la ordenada del punto que se ha desplazado en el circulo unitario, luego espera 0,06 segundos y activa la tortuga 0 para que

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sta se ubique en el circulo unitario, borra el radio que ha sido dibujado. Estas instrucciones se repiten hasta que el ngulo (:i) sea igual a 360 grados. Nombres ;Una vez trazada la curva de la funcin seno, escribe en la parte superior el nombre de la misma. Fin ;Fin del procedimiento.

La manera de utilizar este comando es escribiendo en la ventana de comandos la palabra Seno Ejemplo: Seno

Figura 15: Curva de la funcin seno.

Como ejercicio, se deja al lector construir la grfica de la funcin Coseno a partir del crculo trigonomtrico.

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CAPTULO VI

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

6.1 Conclusiones

6.2 Recomendaciones

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6.2 Conclusiones Tomando en cuenta la realizacin, el anlisis y la documentacin de

los proyectos de aprendizaje que fueron creados por las investigadoras en cuestin y considerando los objetivos propuestos en la investigacin, se enuncian las siguientes conclusiones:

En cuanto a la adquisicin de los conocimientos referentes a los comandos bsicos del lenguaje de programacin MswLogo necesarios para construir geometra, en principio se debe realizar una revisin detallada de cada una de las funciones de dichos comandos, as como tambin la forma de ejecutarlos, para luego interactuar con este programa por medio de ejercicios que van desde los mas elementales, donde se ejecutan las instrucciones directamente, es decir, se escribe la primitiva, se ejecuta y por ultimo se ve el resultado, hasta los mas avanzados donde se realizan procedimientos que exigen establecer una serie de primitivas que luego la maquina ejecuta. Adems, por medio de la interaccin con Logo, el investigador puede adquirir por si mismo dominio y destreza en la resolucin de problemas, fortaleciendo simultneamente su propia visin, como constructor de estructuras intelectuales.

Por otra parte durante la aplicacin de Logo a determinados proyectos de aprendizaje (polgonos regulares, circunferencia, arco, curva de Koch, funcin seno y funcin coseno) se logra reforzar los conocimientos matemticos adquiridos durante la carrera, ya que se realizo una revisin bibliogrfica de los conceptos matemticos involucrados y algunas propiedades, adems del contenido matemtico que trae implcito el lenguaje de programacin Logo el cual es significativo.

Asimismo, con Logo, es el usuario quien tiene control de la computadora, es quien programa la maquina para que ejecute acciones que l planific, dise y program. Cuando el loguista se esfuerza por aprender a manejar este contexto, aprende acerca de su propio

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pensamiento, sobre la mejor manera de comprender los problemas, resolverlos y sobre el mejor modo de plantear soluciones.

Todo lo antes mencionado nos permite concluir que cualquier estudiante de la carrera de Educacin mencin Fsica y Matemtica de la ULA-NURR puede adquirir en un corto periodo de tiempo los conocimientos bsicos del lenguaje de programacin Logo para luego ser aplicados como una TIC para construir geometra.

Por otra parte, a travs de la revisin terica realizada durante el trabajo de investigacin y de nuestra experiencia, se puede concluir que el proceso de enseanza-aprendizaje a nivel medio, diversificado y superior debe mejorarse, por lo que se deben buscar nuevas vas y alternativas que permitan posibilitar un aprendizaje significativo.

En tal sentido, el avance tecnolgico en nuestros das en todos los niveles de nuestra sociedad y especficamente en el campo educativo es impresionante, es por ello que la enseanza de la matemtica necesita acoplarse a esta nueva era, tal como lo aseveran Abrantes, Barba y otros (2002):

La prctica de las matemticas obliga a reexaminar la educacin matemtica. Las sociedades actuales han ampliado de manera significativa el papel de esta materia en las ciencias, en el mundo de los negocios y en la tecnologa. Las nuevas generaciones que vivirn y trabajarn utilizando computadoras como herramientas habituales necesitan conocer unas matemticas diferentes a las de sus antepasados. (p.35).

Es por ello que el NURR, debe ir a la par de estos avances, ya que estos nuevos recursos tecnolgicos corren el riesgo de ser desaprovechados si se conciben como simples aparatos aislados del contexto sociocultural de los educandos y si no se explotan las ricas posibilidades que ellos abren para la interlocucin. Por esta razn uno de nuestros objetivos fue el de disear un manual para la versin de MswLogo 6.5 en espaol como propuesta, que pueda contribuir a mejorar el proceso de enseanza aprendizaje de la geometra. Este manual

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puede resultar una fuente de informacin y una herramienta didctica para aquellos estudiantes de Educacin mencin Fsica y Matemtica de la ULA-NURR que deseen adquirir los conocimientos bsicos del lenguaje de programacin Logo, con el fin de ser aplicados como una TIC en las Instituciones Educativas que cuenten con los CEBIT, como una estrategia de enseanza-aprendizaje para construir geometra.

Por ultimo, hay que tener siempre presente que las tecnologas no resolvern por s mismas todos los problemas de la educacin. Somos nosotros, los docentes los que tenemos la responsabilidad de asumir, junto a los padres y la comunidad, esa gran misin.

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6.2 Recomendaciones Una vez culminado el presente trabajo de investigacin,

consideramos necesario hacer las siguientes recomendaciones:

El NURR-ULA debe incentivar la actualizacin del personal docente no nicamente en el uso de las TIC, sino en el diseo de estrategias y actividades didcticas que utilicen las TIC como medio para generar aprendizajes.

Se recomienda seguir reconstruyendo la Formacin y Actualizacin del Docente que los nios y jvenes de la Venezuela del Siglo XXI necesitan y esperan, sin olvidar que esa reconstruccin no debe ni puede hacerse de manera individual, aislada; sino con la unin, la integracin de todos: Universidades, Escuelas, Comunidades y Estado respetando las misiones y roles propios.

Modificar el programa de la ctedra Introduccin a la Informtica de la carrera de Educacin del NURR-ULA, donde se incluya la formacin en cuanto al uso y aplicacin de las TIC, ya que sta actualmente se refiere solo a aspectos bsicos del uso de la computadora que la mayora de los estudiantes tienen dominio desde muy temprana edad; asimismo, es conveniente cambiar el nombre de la materia y ser cursada en un semestre mas avanzado; con objeto de fomentar la actualizacin del futuro egresado.

Incluir en la ctedra Taller de Matemtica, el estudio de programas de computacin como por ejemplo Logo, que sirvan como una herramienta tecnolgica para la enseanza y aprendizaje de la matemtica.

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