Rc\'ista lnternacional de Metodos l\umericos para Calculo y Diseno en lngenieria. Vol. 11.4.683-693(1995)

,v

METODO ADAPTATIVO DE ELEl\tIENTOS FINITOSNA COMPUTAQAO DE CARGA LIMITE E DE

SHAKEDOWN EM CAS CAS FINAS AXI-SIMETRICASI

...,JOSE H.Q. FRAI\CO'ALAN R.S. paNTER"

eJ.TTNSLEY ODEN'"

• Escola de Engenharia da UFMGAv. Contomo, 84220. andar BH/MG 30110-060, Brasil

•. Engin. Department, Leicester' UniversityUniversity Road. Leicester. LEI TRH England

..• University of Texas. TICAM Allstin. TX. USA

SUMARIO

Este paper descreve tecnica para uma formulac;ao de deslocamento para analise limitee de "shakedown" via E.F. de vasos de pressao axi-sirm'tricos. Asslllne-se que 0 material sejaelastico-perfeitarnente plastico. A tccnica foi desenvolvida baseada numa forrnllla<;ao cinermitica(upper bound) para condir;oes de escoamento Iinearizadas para caseas. Uma relaGiio consistent.eentre 0 campo de deslocamento admissivel e os incrementos de deformac;ao puramente plasticoprecisou ser irnposta. Tal exigimcia foi satisfeita usando a teoria elas aproximaGocs conjugadaspara minimizar 0 residuo entre as duas descriGoes independentes dos incrementos de deformaGiioplastica: definielos em termos de deslocamento nodais e em termos de multiplicadores plasticos.o problema discretizado foi ent.ao reduzido a um problema de minimizac;ao e resohido pOl'programaGao linear. Urn refinamento adaptativo h da malha e um indicador de erro foi usadopara melhorar as solliGoes numericas.

SUl'vUvIARY

In this paper a displacelllent based formulatiolJ for limite and shakedown /inite clementanalysis ofaxisYlIletric pressure vessels is described. The material is assumed to be elasticperefectly plastic. The basis for the formulation is kinematic (upper bound) with linearizedflow rule for the shell. A consistent relationship between the displacement field and the purelyplast ie strain increments had to be imposed. Such reqnirement has been sat.isfied using the

• theory of conjugated approximations to minimize the residual between the two independent

Recibido: Enero 1!l95

@lJuiversitat Politecnica de Catalunya (Espana) ISSN 021:H:H5 683

684 J.R.Q. FRA:\CO. A. R.S PO:\TEH E J.T. ODE:\

descriptions of the, plastic increments. defined as a fUllction of nodal displacements in onecase and plastic mult.iplier in tllP other. The disercte problem has then been reduced to aminimization problem and solved using linear programming. An h adaptive mesh refinement,ac; well as an error indicator. have been used to improve the nllrnerical results.

1. 0 PROBLEMA MODELO

Hipoteses Basicas: 0 prohlema pode ser descrito como 0 comportamellto de UlII tcorpo elcistico-perfeitamente plcistico submetido a nm processo de ddormaGao ciclicadurante 0 colapso. 0 est ado scm deforma<;ao do corpo corresponde a um dominiolimitado aberto V C R3(ou volume F) com contorno suave ou snperficie S dividida emduas partes Sp and Su. i.e. S = Su U Sp. 0 corpo esta sujeito a fon:;as de superficie kPiprescritas eIII Sp, onde k e UlIl parametro proporciorml de carga e a forc;as pOI' unidade devolume bi. Sobre 0 restante da superficie total Su. dcslocamentos superficiais aplicadosUi tambl'm sao prescritos. Al(;I11<lisso. uma historia de ciclos de temperatura. O(;r, t)com urn ciclo de tempo b.t pode ocorrer em urn ponto :r dentro do domfnio V. dado pOI'O(x. t) = Bo+B(;r. t) onde ()o dcnota alguma temperatura de refercncia e ()(~'.t) e um cicioquasi-estatico de temperatura dado pOI' O(x,t) = n(x)µ(t)b.() a < fl < LO < n < 1 eb.O e a maxima diferen<;a de temperatura e O(x) l' Ulna funcao de forma adimensional.T6das as deforma<;oes sao consideradas suficientelllcnte pequenas para que mudanGasna geometria possam ser desprezadas.

Estado de Tensao: Assullla O'ij (.r) como 1IU1 tensor de tCllsao ('Ill urn ponto x =(XI: X2, X3) E l", 0 qual satisfaz as condi<:;oesde equilfbrio :i;+bi = () in V (i = 1,2,3).

]

As seguinte condic:;6es sao tambern prescritas no conttmlO lli = 0 on Su and O'ijnj =kPi on Sp onde nj indica os coscnos diretores da normal a Sp e Pi e constante.

Estado de Deformac,;ao: 0 estado de elefol'lua<:;aoem tim ponto e definido pclotensor sirnetrico de eleformaGiw t'ij representando mil componcnte elastico, um phlsticoe um posslvd componenle de expansao terrnica, f'ij = ffj + t'fj + f?j onde a parteelastica da relac:;ao constitutiva para. um material isotropico tom a a forma da lei deHooke O'ij = Dijklt'kl e Dijkl denota 0 tensor usual de elasticidade, simetrico e positin>

Tdefinido. A parte phistica e definida pOl' ~ffj = ~ffj(T) = I ifj(t)dt na qual ifj

oe governaelo pela lei incremental ell' escoamen(.o. A qualquer instanle do processocfdico, 0 cOlllpoJ'tumento chistico estll cOllfinado Jlcla desigllaldade ¢(O'ij) ~ 0 on de¢ e a fllllc:;aode escoamcnto, a qual satisfaz a conclic.;aoCJueescoal1ll'lIto so occorre para¢ = O. COllsidcrando 0 caso ek plasticidade ilssociada. a tlLxas de defonna<:;ao plcisticasao e1escritas pl'\a lei de escoanll'nto nil forma f'ij = >'I:~~;onele >. e lima flln<:;aoescalarnao negativil que leva ern conta 0 carater permanente elas deforrnac:;6es plasticas. Parapcquena,<; ddorma<:;oes. 0 tensor de defonnac:;ao e expresso em terrnos de deslocamentos

() I [~+~]como fij II = 2 ax; nx;' 1,•

METODO ADAPTATIVO PAllA CARGA LIMITE E DE SHAKEDOW:\' 685

(1)

(

2. RELAQOES FUNDAMENTAlS PARA A TEORIA DE SHAKEDOWN

Teorema extendido de Koiter para carregamento termico ciclico

Os trabalhos de Frallco2 e Franco e POllter3 ll10stram uma fonnula<;ao. para vasosde pressao Sllbllletidos a carregaml'ntos termicos cfclicos e cargas mcccinicils est,it.icas,baseada em prillcipios cinematicus do teorema c\;u,sico de shakedown proposto pOl'Koiter1. 0 leol'cma de Koilcr pode SCI' formulado como se segue: a estl'lltura mloatillge um estado de .,shakedown ,., eIll outras palavras. a estrutura sofre Otldeformac;aoillcremental(ratchetting) ou plasticidade revers a , se 11111 sistema qualquer de cargasexternas ciclicas e uma taxa de deforma<;ao plc1.sticaadmisslvel qualquer l'i/t) satisfaz,dentro de limites prescritos, a seguinte ineqllac;ao

T T TJ dt./ bitl'f(t)dV + k J dt / piuf(t)dS + J dt./ a?j(~" t)fij(t)dV >o I' [) Sp 0 F

T

> J dt J afj(t)fij(t)dV() F

onde bi e Pi sao respectivamel1te forc;as de volume e de superficie independcntes dotempo, arj(J;, l) deHota as tellsoes el;isticas devido as cargas dcpcndentes do tempo, quepode incluir algullm carga medmica vari,lvel c aij e um estado de tcnsao na sllperficiede escoamento associado com os illcrementos de deformac;ao purarnentc p\;istico Efj (t).Otilllizac;ao da equac;ao (1) com base na nao varia<;ao da tensao aij, durante 0 colapsopode ser cOHscgllida re-arralljando 0 teorellla de hoiter (cquac;ao 1) e a..'isurnindo asfor<;asde volUllH'bi = O.

o problema de minilllizac;ao pode ser agora enunciado como; para k~ 2 k minhnize

(2)

Para solucionar este problemil de Il1mIl11izac;ao,as condi<;oes de escoament.ogovernalldo 0 comportamento plcistico do material para cascas de parede fina, seradescrito em segllida.

3. LEI DE ESCOAMENTO ASSOCIADA CO.l\·1A SUPERFICIE DEESCOAMENTO PARA CASCAS DE R.EVOLUQAO DE PAREDE FINA

A classe de campos de deslocamcntos propostos aqlli foram original1llentc definidospOl' Drucker4 and Drucker and Shield" de versao simplificada de superficies deescoarnento para cascas de revohl<;;io, onde a curvatura meridional OCOlTesornente empontos nodais e as deforrnac;ocs meridional e circunferencial de membraua ocorrem

68£i JRQ. FRA~CO, A. R.S. PONTER E J.T. ODEN

dentro do elemento sem mudanc;a na curvatura. Esta hipotese produz l'stimativassuperior (upper bounds) da carga de shakedown e da cClrga limite4. Algum erro einduzido, associ ado it esta dissipa<;ao de energia devido a llludan<;a de curvatura doeleml'nto durante a cleformac;ao plastica. a qual nao e considerada. A extensao dotrabalho para descrever a superncie de escoaml'nto para 0 caso geml de \lIn elementocilindrico submeticlo a um conjullto completo de esfor<;os foi prop05to pOl' Onat6 e .,.denominado superficie de escoalllento illterativH limit-ada de mIl momento, elll 3D.Drucker and Shields talllbem mostraram que a superficie de escoamento para cascascilindrica..'i de parecle fina podem ser usadas para qualqller casca de revohH;ao de paredefina como uma aproximac;ao muito boa.

G Prisma Hexagonal: ApI'sar de todas as simplificcu:;ol's. que 0 usa cia rcferidasuperficie de l'scoamento em 3D pode trazer para 0 ca..'iogeral cle amilise de casca.'ide rl'volu<;ao, a sua forma original ainda aprescnta urn alto grau de cornplcxidade, 0

qual e incompativel com a praticiclade necessaria da analise como uma ferramenta deprojeto. Portanto, pelo simplicidade e pela conveniencia da aplicac;ao a projetos napnitica. superficies linearizaclas illscrit.as ou circunscritas (Prisma Hexagonal, Figura1). as quais fornen'm respectivallll'nte estimativas inferiores (' superiores clas cargas.foram propostas. U ma vez que 0 prisma hexagonal (Figura 1) e singular devido a suasarestas e cantos, ell' cleve ser clescrito por um nllmero finito de fUll<;oesde escoamento<Pk = ¢dN"" No, AI",) ~ 0 para k = 1. 8. 0 dOIlllnio elastico e definido pelos valoresllegativos de todas as fUll~oes cle escoamento e Illn valor zero de uma ou mais fUllc;oesrepresent a um estaclo de tensao nil superficit> iiI' f'scoamento.

Figura 1. Sllperrfcie de f1ui"l1cia priSII1litica hexagonal para cascas delgadas

As deforma<;oes phisticas e curvaturas sao rl'lacionaclas com as tensoes generalizadaspela lei do escoaml'nto. associada com superficie cle escoamento hexagonal prismatica,na forma T

c ~ a<Pk (' D<Pk 'Ejj = L Ak -a .. entre rotulas Kij = Ok -a ., nas rotllias plastlcas

k=1 (I,) (II)

(3)

IvlETODO ADAPTATIVO PARA CARGA LIMITE E DE SHAKEDOWN 687

onde Ak sao llllllt.iplicadores phisticos positivos e Ok sao rotat;oes positivas induzidaspelas curvaturas phisticas irrestritas nos circulos nodais cle rotnlas pi<isticas. Aminililizac:;ao do problema enunciado em (2) somente pocIe ser resolvida para problemasna pnitica pelos recursos de ttknicas de elementos finitos. A discretizac;ao de cascasa..xisimetricas e disclltida em segllida.

4. DISCRETIZAQA.O DE CASCAS AXISIMETRICASVIA ELEMENTOS FINITOS

o modelo de defonnaC;ao elasto-plastica para cascas finas pode ser definido emtermos do campo de deslocamento cia sua superficie meclia Ue (s) e a deformac;ao phisticaem termos de ll111ltiplicaclores plasticos A"'(8), que caracterizam 0 comportamentoplastico clo material. A varicivel" s" represent a a distancia de uma sec;ao transversalgenerica do no inicial "i" do elemento C01110 mostraclo na Figura 2. E convenientedescren'r 0 campo de cleslocamento usando componcntes de deslocamentos globais nadirec;iio horizontal l'V(s) e na direc;ao vertical U (8), respectivamente perpcudiculare paralela ao eixo de simetria como mostl'ado na Figura 2. As componentes doscleslocamentos locais normal w(s) e tangencial u(s) a direc:;ao meridional podem serobtidas pOl' simples transformac;ao. A formulac:;ao de elementos finitos para 0 problemaelasto-plastico de cascas finas po de sel' clerivado de interpolac;ao adcquada dos camposde deslocamento e de mllltiplicaclores plcisticos como func;oes de valores lloclais. Paraeste proposito, discretiza-se a casca em NE elementos finitos. 0 campo de deslocamentodentro do elelllento i1h pode se expresso em termos clos desiocalilentos nodais globais{ UN} i. 0 superscrito ivai ser usado para se referir ao elemento. Os deslocamentosno dais do elelllento {U,v } i po de ser dividido em duas partes illdependentes; movimentosde corpo rigido constantes {U&} que nao contribue para 0 campo de deformac;ao e 0

challlado deslocamentos naturais que geralll os modos de deformac;ii.o {U:1}. Assilll

(4)

onde [rns)] e lima matrix de fun<;oes de interpola<;ao adequaclamente escolhidas, quegarante a contirmidade entre elenlent.os adjacelltes, quando a nlOntag('m dos mesmose feitel. ]\lllitiplicanclo os deslocamento globais pOl' uma matrix de transformac;aoapropriacla [T] obtem-se a campo de dcslocamento local Com compolwlItes normal etangencial it slJlwrffcie meridional cia casca (Figura 2).

Consider an do as hipoteses de Kirchhoff-Love c desprezando os efeilos de Ale nacurvatura circnnferencial como cliscutido enfl-6, tres componentes de deforrnac;ao saoobtidas pela relac;ao desiocamento-deforlllac;ao de la sec;ao 1.

(5)

688 J.R.Q. FRANCO, A RS. POl\TER E J.T. OI1El\

A I'ela<;ao clcissica. independente de lIloyimentos de corpo rigido, so pata pontosc1enfro do elementa, se torna

(6)

oll<le a matrix [EI e a matrix que define a I'ela<;ao classica desiocalllento-defoflua<;cio.Assume-sc a mudanGa na curvatura Ii~ localizada nos circulos de rotlllas plci~tica nodais.

UI

Figura 2. Deslocamentos locais e globais para cascas de I'evolu<;aodelgadas

A lei de escoamento associada com 0 prisma hexagonal (Figura 1) relaciona asdeforma<;ocs plasticas corn os multiplicadores phisticos via uma matrix adequada [N).AssllInindo a nao variaC;ao de deformaGao atran§s da espessura da casca, as relac;oesentre deforrna<;oes plasticas e multiplicadores plasticos pode SCI' definidas como se segue

para k = 1. G (7)

Sirnilal'llll'lIte no campo de deslocamellto, 0 campo de Illult iplicadoJ'('s plcisticos parao elcmcllto !Jude SCI' interpolado em termos de parallletros nodais Iltmla aproxima<;aode elenll'ntus 1111it08.{>'i(8)} = [Ai(8)] {Ak} uncle a ullica restric;ao em _\t(s) e que temque ser Ilao Ilcgat.ivos. A redu<;ao do teorema cillerw1tico equac;iio (1) para \!Ill problemade prograllla<;ao linear I'equer que as descric;oes separadas clo inCrellH'lIto pl,1.stico dadas 7

pelas cqm\<;()(!s(G) e (7), prccisam ser cOllsistentes llrna com a outra IIOS nos e dentrodo (']enwnt o.

METODO ADAPTATIVO PAHA CARGA LIl\IITE E DE SHAKEDOWN

5. RELAQAO CONSISTENTE ENTRE DESLOCAMENTOSE MULTIPLICADORES PLA-STICOS NO DAIS

689

AsslImindo que 0 comportamcllto de elemelltos individuais pode ser ckscritoem tenll05 de variavt'is genericas, 0::; campos de t ensao e de del'ormac;ao dent.1'O doelemento pode ser expresso seguilldo pl'Ocedimenlos amilogos it t<,oria das aproximac.;oesconjugadas proposta pOl' aden and Brauchli7• Deixe [tb(s)] ser uma matrix deinterpolac.;ao adequada, que forncce uma distribuic.;iio interna de tl'nsao em termus deesforc.;os generalizados {F} para dar {a!j} = [1/Jii] {Fd. Similannente, considere 0

campo de deformac.;ao em fllnGao de deslocament.os nodais, equac.;c'to(G). Na presenteformulac.;ao. as tensoes e deforrnac.;oes w'neraJizadas sao substituidas , respectivamente,pOl' forGas e deslocarnentos sem trallslac.;oes de corpo rigido, tal que 0 principio dosdeslocarnentos virtuais furnece

(8)

A distribuic.;ao de tensao em termos de esforc.;os generalizados em acrescimo as. T .

equac.;oes (G) e (8) implicit na condic.;flOde bi-ortogonalidaele 11/ [1l'ij] [Bl] dV = [I]. A

soluc.;ao para tal condic.;iio pode sel' obtida imJ>onelo ['l/Iij] = [Bi] [ll]i limn procedilllentoamilogo a aquele em la ref. 7 [H]' c uma matrix sim{>trica e naa singular elefinida como

onde [RI e uma matrix arbitniria elo lllesnlO tamanho de [B].Uma relac.;ao consistente entre as duas definic.;oes independentes do campo ell'

eleformac.;ao {E}j} and {ETj} pode agora ser definida requerenelo que

onele {aij} foi elefillielo preyiamente para valores arbitrarios de {F}. Substituindo (6),(7) e (n) elll (10) fomcee 0 resllltado

{VII} = [L] pn ( 'I)

onde [LI = [HjT {IF[R]T[K(s))dF} (' [K(s)) = [N][A(s)].Obtem-se assim, a rela<;ao reqllerida entre os valores noelais {Ak} dos

multiplicadores plasticos e os deslocamentos Jlodais {Vn} tal que a rela<;iioconsistente1utE l-rntE2 e sernpre satisfeita. Esta soluc.;ao geml e cCJIlstruida em ten nosde uma matrix arbitniria [R] e a dificuldade desta fOl'lllUla<;aoe qt\(, nao lui lUll critl'rioobvio para escolher a [RI. Afim ell' se discutir lUll procedimento para escolher a matrix

690 J.R.Q. FRANCO, A. R.S. PO:'\TEH E J.T. ODE:'\

[R], re-arrallja-se a rela<;ao (11) llllllH\ forma mais simples, multiplicalldo-se ambos oslados pOl' {.I~.[Rf [B] d\l}. que foruece a condic;ao

J [njT ({ed - {c:z})dV = 0\'

(12)

Esta cOlldic;ao requer que a diferellc.;a entre {f!j} e {f[j} seja or(ogonal a. matrix[R]. Os elementos de [R] precisam, portcmto.serl'lll escolhidos tal que a diferellc.;a dasdeformac.;oes seja tao peqllena quanto posslvel. Os componentes de [HI podem agoraserem vistos como urn conjunto de func;oes. num proccdirnento tipo de Galerkin, paraa rninimizac;ao das diferellf;as clas deformac;ocs. A escolha final foi a seguinte

Esta escolha implica que

o(1-sjl!djR2

(13)

J. (e~-c~) dll = 0 (14)

(15 )

(16)

i.e.: ((~ - f~) e zero na media dentro do elemento e as equac.;ao (15) e (16) saoequi\'alelltes a impor a ortogollalidade de (f~ - f~) it func;oes lineares.

Estas quantidades sao usadas para mediI' 0 erro local dentro do elemento e provaramser indicadores de e1'1'oslocais Illuito bans .. U1l1 refinamento adaptati\'o h de malha.com base nestes indicadores ell' erro, penllitira1l1 a rnelhoria das soll\(;oes fornecendolimit($ de shah-down mais precisos e 1l1ecHnisIllosde ruptura mais cxalos.

H. 0 ALGOR.ITMO DE ELEMENTOS FINITOS

o teorema cinenuitico extendido foi definido na sec;ao 2 e pode ser forllllliado paracascas finas axi-simetricas na lllesma forma da ('qua<;ao (1). ASSUIUilldo que k e 0

fatal' atimo cle carga limite 011 de shakedown, a c01l1plexidade da fun<;ao de custo podcser reduzida escalonando 0 problema a'3surnindo que .J~PiUrdS = ], 0 que adicionaao problema uma restri<;ao global euvolvcndo lodos os elementos finitos. 0 mcsmoproblema pode agora ser formulado como: para /,:8 ? k

minimize

!\IETODO ADAPTATIVO PARA CARGA LIMITE E DE SHAKEDOWN

T

kS = J dt J [crfj(t) - afj(x. t)] Efj(t)dl'o \/

691

(17)

Em acreseimo it restri<;ao global, 0 problema de otilllizac:;ao esta slIjeito ils seguintesrestri<;oes

{u} = constant on Su (Colldicoes de Contoruo) (18)

(Condicoes de Compatibilidade) (19)

{fi}} = [N] {>.} (Lei de Escoamento) (20)

onde {>.} > 0Considcrando a uatureza purarnente phistica das deformac.;oes durante 0 colapso.

assume-se que as tellsoes permauecem constantes.

Esta hipotese permite 0 estabelecilllellto de relac.;iioconsistente eutre os desloca-mentos llodais e os multiplieadores ph\sticos nodais clefinidos respect.i\'amcnte pel asequac.;oes (19) e (20) pennitindo 0 problernCl de minimizac.;ao ser forrllulado em terl1lOSde qualqucr llma das variclveis. 0 algoritil1lo e as estrategias para eoustruir tal rela<;iioeonsistellte estao apresentados na sec.;ao5. A discretizac.;ao da cascas e a separac.;ao daflex"lo nos uos do comportamento de mernbraua clentro do elemento requer a definic;aode curvaturas irrestritas(rotac.;oes) em cada no. Estas restric.;oes nodais sao definidascomo (h = U;( -) + U;( +) e cOllstituel1l 0 conjuuto maior de restri<;oes 110dais para 0

problema cle minimiz"l(;ao.

7. SOLUQAO NUMERIC A

Esta tccniea geml para vasos de pressao cst"l associ ada com quatro tipos basicosde elementos axi-simetricos de easeas: cilllldrico. eOllieo. esfcrico e toroidal. 0 metodoperrllite qualquer combillac.;ao destes elementos.

Cargas Lhnite em Cascas C6nicas: A soluc.;ao apresentada aqni COllsiste domecanismo de colapso e da carga limite de uma cascas cOllica totalmente engastada,submetida a pressao intern a como mostrado na Figura 3a). Estimativas inferion~s esuperiores deste problema foram deterrninados pOl' v"trios autores8-1O e os resultadosobtidos aqui comparam favoran>lmellte. Figura 3b) mostra a distribuic.;ao do erro delltrodos elementos de acordo com Ulll dos indicatores de erro discutidos na sec;aos 5.

692

1.

J.R.Q. FRAi\CO, A. R.S. PONTER E J.T. ODE;>';

ERROR FOR THE "RESlOU"-l9 OF THE ciRtut-EERENTlAl STRAIN

vQlUlE; INTEGRAL OF (EPST,·EPST2)

Figura 3a). Cascas conicas: SolliGao emecanismos de colapso

Figura :~b). Casca conica: Distribuic;aolocal do erro

CONCLUSOES

Uma fOl'lllula<;aode deslocamento para a amilise limite e de shakedown de cascasa.xi-sinH~tricas foi desenvoh·ida. Uma classe especial de campo de deslocarnento foiescolhida, a qllal nao leva em conta a Yaria<;aoda curvatura deutro do elernento. Estahipotese foi importante para permitir 0 projeto de urn elernento com comportamentosglobal de membrana e flexao nodal localizada separados, uma vez que os rnesrnoswio sao simulU\'neamente relevalltes. A formulac;ao corresponde assulllir a superficiehexagonal para as condi<;oes ell' escoamento de 1I1ll elemento de casca fina. Duasdescric;oes independentes dos incrementos de deforIlH;ao phistica foram produzidas emtermos de deslocamentos e de multiplicadores phisticos nodais. A teoria da aproximac;aoconjugada foi decisiva para estabelecer uma relac;iio consistente entre os campos dedeslocamentos e de deformaC;ao. A formulac;ao serve para demonstrar qlle a teoria naoproduz soluc;oes unicas. 0 metodo de Garlckin foi entao usado para minirniilar 0 residuoentre os dois campos de deforllla<;ao. Para a classe particular de deslocamento usadaaqui os proccdimentos de minillliza<;ao iudllziram (l residuo de dcfol'lllac;iio na dire<;iiolneridional a ser zero ua mcdia. .I<i na dirc<;ao circlInferencial lima condic;ao muitomais forte foi estabelecida, onde 0 residllo 6 ortogonal it lima func;ao linear arbitniria.lIdesmo assim. a tecnica c gcral e independente da escolha de lima classe de campo dedeslocamento. Para estabelecer a ortogonalidade entre 0 residua da deforrnac;ao e afunc;ao linear arbitniria em ambas clirec;oes,a tecnica so requer 0 usa de polinonios deordem superior para descrever 0 campo de deslocamento, os quais possarn incorporar amudan<;a na curvaturC1 dentro do elcment.o. Esta formula<;ao melhorada sera exploradaem trabalhos fnturos.

?vtETODO ADAPTATIVO PARA CARGA LllvlITE E DE SHAKEDOWN

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693

.'

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