Bµi d¹y

Bµi 3. TÝch v« h­íng cña hai vÐc t¬ (tiÕt 2)

Së Gi̧ o dôc vµ ®µo t¹o H¶I Phßng

Bµi 3. TÝch v« h­íng cña hai vÐc t¬

C©u hái kiÓm tra bµI cò

1. H·y ph¸t biÓu ®Þnh nghÜa tÝch v« h­íng cña hai vÐct¬2. X¸c ®Þnh c¸c mÖnh ®Ò sau ®óng hay sai?

a. nÕu ⊥r r ra.b = 0

ra

rb

b. ra = (1;2) ⇒ ⊥

r r rb = (- 2;1) a b,

c. lµ mét sèr

k.a

Bµi 3. TÝch v« h­íng cña hai vÐc t¬

3. C«ng thøc h×nh chiÕu:

a. §Þnh nghÜa:

Cho vÐc t¬ vµ ®­êng th¼ng d. Gäi A’, B’ lÇn l­ît lµ h×nh chiÕu cña A, B trªn d. Khi ®ã, lµ h×nh chiÕu cña vÐct¬ trªn ®­êng th¼ng d.

r uuura = AB ur uuuur

a' = A'B'ra

A

B

A’ B’d

ra

A

B

A’ B’d

ra A1

B1

A1’ B1’ d’

rb

urb'

ura'

NhËn xÐt: Cho hai vÐct¬ , lÇn l­ît cã h×nh chiÕu lµ , ra

rb

ura'

urb'

Khi ®ã: ⇒r r ur ura = b a' = b'

Bµi 3. TÝch v« h­íng cña hai vÐc t¬

b. §Þnh lý:

. .=r r r urab ab'

ϕO

B

A B’d r

a

rb

urb'

dϕ

B’ O

rb

urb'

ra A

B

Tr­êng hîp 1 Tr­êng hîp 2

Cho vµ , lµ h×nh chiÕu cña lªn ®­êng th¼ng chøa . Khi ®ã:

ra

urb'

rb

rb

ra

NhËn xÐt

4. C¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña tÝch v« h­íng:

a. §Þnh lý: Víi mäi vÐct¬ vµ víi mäi k R r r ra,b,c ∈

+) (tÝnh chÊt giao ho¸n) . .=r r r rab ba

+) (tÝnh chÊt ph©n phèi)

( )r r r r r r ra b+c = a.b+a.c

+) (tÝnh chÊt kÕt hîp)uur r r r

(ka).b =k(a.b)

Bµi 3. TÝch v« h­íng cña hai vÐc t¬

r r r r r r2 22(a+b) = a +2a.b+b

−r r r r r r2 22(a b) = a -2a.b+b

+ −r r r r r r2 2

(a b)(a b) = a -b

VÝ dô 1: Cho ®o¹n th¼ng AB, O lµ trung ®iÓm. Chøng minh r»ng víi mäi M:

uuur uuur2 2MA.MB=OM -OA

Gi¶i

VT = ( ) ( )uuur uuur uuur uuur uuur uuurMA.MB= MO+OA MO+OB

= ( ) ( )−uuur uuur uuur uuurMO+OA MO OA

= MO2 – OA2 = VP (® p cm ) O BA

4. C¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña tÝch v« h­íng:

Bµi 3. TÝch v« h­íng cña hai vÐc t¬

M

b. VÝ dô

VÝ dô 2: Cho h×nh vu«ng ABCD víi I vµ J lµ trung ®iÓm t­¬ng øng cña AB, BC.Chøng minh r»ng c¸c ®­êng th¼ng AJ vµ DI vu«ng gãc víi nhau.

Gi¶i A

B C

D

I

J

Do I, J lµ trung ®iÓm cña AB, BC nªn:

V× ABCD lµ h×nh vu«ng nªn:

( )uur uuur uuur1DI= DA+DB

2

( )uur uuur uuur1AJ = AB+AC

2vµ

( ) ( )⇒uur uur uuur uuur uuur uuur1AJ.DI= DA+DB AB+AC

4

( ). . .+ +uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur1

= DA.AB+DA AC DBAB DBAC4

uuur uuur

uuur uuurDA.AB=0

DB.AC=0

b. VÝ dô

MÆt kh¸c, theo ®Þnh lý vÒ c«ng thøc h×nh chiÕu

uuur uuur uuur uuur uuur uuur2DA.AC= -AD.AC= -AD.AD= -AD

uuur uuur uuur uuur uuur uuur2DB.AB=BD.BA =BA.BA =BA

Do ®ã ( ) 0=uur uur

2 21AJ.DI= BA - AD

4

VËy: AJ ⊥ DI

A

B C

D

I

J

VÝ dô 2

5. BiÓu thøc to¹ ®é cña tÝch v« h­íng

§Þnh lý:Trong hÖ to¹ ®é Oxy, cho hai vÐct¬r

1 1a = (x ;y )r

2 2b = (x ;y ).,Khi ®ã, ta cã:

Chøng minh

Ta cã: ⇔ +r r r r

1 1 1 1a = (x ;y ) a = x i y j

⇔r r r r

2 2 2 2b = (x ;y ) b = x i+y j

. )⇒r r r r r r

1 1 2 2ab = (x i+y j)(x i+y j

= x1.x2 + y1.y2 (® p cm )

Bµi 3. TÝch v« h­íng cña hai vÐc t¬

r r1 2 1 2a.b = x .x +y .y

VÝ dô: Trong hÖ to¹ ®é Oxy, cho A(7; -3), B(8; 4), C(1; 5)

5. BiÓu thøc to¹ ®é cña tÝch v« h­íng

TÝnh :

uuur uuurAB.BC , tõ ®ã nhËn xÐt g× vÒ tam gi¸c ABC ?

xO

y

7

-3

81

4

5

A

B

CTa cã:uuurAB= (1;7)

uuurBC= (-7;1),

⇒uuur uuurAB.BC =1.7+(-7).1= 0

VËy: Tam gi¸c ABC vu«ng t¹i B

Gi¶i

Bµi 3. TÝch v« h­íng cña hai vÐc t¬+) TÝch v« h­íng cña hai vÐct¬

.

.

r rr r

r ra b

cos(a,b) =a b

Ta cã:

r r 22a = avµ

+) C«ng thøc h×nh chiÕu

Trong ®ã, lµ h×nh chiÕu cña lªn ®­êng th¼ng chøa . urb'

rb

ra

. .=r r r urab ab'

r r r r r ra.b = a . b .cos(a,b)

r rcos(a,b) < 0 nÕu

r ro(a,b)> 90⇒

r rcos(a,b) > 0 nÕu

`

r ro(a,b)< 90⇒

+) BiÓu thøc to¹ ®é cña tÝch v« h­íngTrong hÖ to¹ ®é Oxy, cho hai vÐct¬

r1 1a = (x ;y )

r2 2b = (x ;y ).,

r r1 2 1 2a.b = x .x +y .y

Bµi tËp vÒ nhµ