Tich phan 212_lg_hoa_ham_vo_ti
10
Click here to load reader
Transcript of Tich phan 212_lg_hoa_ham_vo_ti
Bài 6. Phương pháp lượng giác hóa tích phân hàm vô tỉ
189
BÀI 6. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HOÁ TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ
I. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN VÀ CÁC PHÉP ĐỔI BIẾN SỐ THÔNG DỤNG
Dạng tích phân Đổi biến số Điều kiện biến số
( )2 2f x, a x dx−∫ x a sin t= t ,
2 2π π ∈ −
( )2 2f x, x a dx−∫
ax
cos t= ) )3t 0, ,
2 2π π ∈ ∪ π
( )2 2f x, x a dx+∫ x a tg t= )t 0,
2π∈
a xf x, dx
a x
+
− ∫ x a cos 2t= ( )t 0,2π∈
( ) ( )( )f x, x a b x dx− −∫ ( ) 2x a b a sin t= + − t 0,
2π ∈
II. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA:
1. Dạng 1: ( )−∫2 2f x, a x dx . Đặt x a sin t= ;
2 2t ,π π ∈ −
x 1/2 1
t π/6 π/2 •( )−
∫31 2
1 3
1 2
1 xI = dx
x. Đặt
2 2x sin t ;t ,π π = ∈ −
⇒
dx costdt
( ) ( )32 2 2 22 4 4 4
1 3 3 3 4
6 6 6 6
1 sin t cos t dt cos t dt cos t dt cos td cos tI
sin t sin t sin t sin t
π π π π
π π π π
−⇒ = = = = −∫ ∫ ∫ ∫
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
6 3 2 3 2 3 2 3 24 4 4 2
2 2 2 2 22 2 2 2
2 0 0 0 0
cos td cos t u du 1 1 u du 1 udu du
1 u1 cos t 1 u 1 u 1 u
π
π
− − += = = = −
−− − − −∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )
( ) ( )
23 2 3 2 3 2 3 222 2
2 2
0 0 0 0
1 1 u 1 u 1 u 1 1 1 1 udu du du du
4 1 u 1 u 4 1 u 1 u1 u 1 u
+ + − + + = − = + −
+ − − + − −∫ ∫ ∫ ∫
( )3 2
0
1 1 1 1 u 3 2 3 3 33ln 4u 3 ln 3 ln 2 3
4 1 u 1 u 1 u 4 2 22 3
+ + = − − + = − + = − + − + − −
• ( )− −∫3 2
2 22I = 3 x 3 x dx . Đặt 3
2 2u sin t ;t ,π π = ∈ −
⇒
u 0 3 2
Chương II: Nguyên hàm và tích phân −−−− Trần Phương
190
t 0 π/6
du 3 cos t dt
Khi đó: ( ) ( ) ( )6 6
2 2 2 2
2
0 0
I 3 3sin t 3 3sin t 3 cos t dt 3cos t 3cos t 3 cos t dt
π π
= − − =∫ ∫
( ) ( )
( )
6 6 622
2 2
0 0 0
6 6
0 0
6
0
1 cos 2t 99 cos t dt 9 dt 1 2 cos 2t cos t dt
2 4
9 1 cos 4t 91 2 cos 2t dt 3 4 cos 2t cos 4t dt
4 2 8
9 1 9 3 9 81 33t 2sin 2t sin 4t 3
8 4 8 2 8 16 64
π π π
π π
π
+ = = = + +
+ = + + = + +
π π = + + = + + = +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
u 0 1
t 0 π/6 •( )− −∫1
32 2
0
dxI =
4 x 4 x. Đặt 2
2 2u sin t ;t ,π π = ∈ −
⇒
du 2costdt
Khi đó: ( )
6 6
32 2 2 2
0 0
2cos t dt 2cos t dtI
4 4sin t 4 4sin t 4cos t 4cos t
π π
= =
− −∫ ∫
( )66 6
200 0
dt 1 1 1 1d tg t tg t tg
4 4 4 6 4 34cos t
ππ ππ
= = = = = ∫ ∫
u 0 a
t 0 π/2 • ( )0; a− >∫a
2 2 24
0
I = x a x dx . Đặt 2 2
u a sint ;t ,π π = ∈ −
⇒
du acostdt
Khi đó: ( )
2a
2 2 2 2 2 2 2 2
4
0 0
I x a x dx a sin t a a sin t a cos t dt
π
= − = −∫ ∫
( ) ( )
( )
2 2 242 2 4 2 2 2
0 0 0
22 44 4 4
00
aa sin t a cos t a cos t dt a sin t cos t dt sin 2t dt
4
aa a 1 a1 cos 4t dt t sin 4t
8 8 4 8 2 16
π π π
ππ
= = =
ππ = − = − = ⋅ =
∫ ∫ ∫
∫
Bài 6. Phương pháp lượng giác hóa tích phân hàm vô tỉ
191
•( )
( )
1 20
221 2 0
11 1 112 44
dx du
ux−
=−
+ −+ − +
∫ ∫ ∫0
5
-1 2
dxI = =
1 + x 1 + x
u 0 1/2
t 0 π/2 Đặt 1
2 22u sin t ;t ,π π = ∈ −
⇒
du (costdt)/2
Khi đó ta có:
2 2 2 2
52
0 0 0 0
cos t dt cos t dt 2 dtI 1 dt 2 2J
2 cos t 2 cos t 2 2 cos t 22 1 sin t
π π π ππ π
= = = − = − = − + + + + −
∫ ∫ ∫ ∫
( )( )
( )
2 2 2 2
2 22 20 0 0 0
2
13
0
t2 d tgdt dt dt 2
Jt tt t2 cos t 1 2cos 3 tgcos 1 tg 22 22 2
ttg2 2 1 9 4 32arctg arctg I 2
2 183 3 3 3 3 3 3 3
π π π π
π
= = = =+ + ++ +
π π π − π= = = ⇒ = − ⋅ =
∫ ∫ ∫ ∫
•( ) ( ) ( )
( )1 2 2
2 2 2 21 3 3
1
41 4 1
xdx u du
u ux x
− − −
− − −
+= =
− − −− − −∫ ∫ ∫
1 2
6 2 21 3
xdxI =
x 1 3 + 2x x
u 3− 2−
t −π/3 −π/4 Đặt 2
2 2u sin t ;t ,π π = ∈ −
⇒
du 2costdt
Khi đó ta có:
( ) ( )
( )
44 4 4
6 22 233 3 3
44 4
2 233 3
1 2sin t 2cos t dt 1 2sin t dt 1 1 dtI cotg t
4 2 sin t4sin t4sin t 4cos t
3 3 1 sin t dt 3 3 1 d cos t 3 3 1 1 cos tln
12 2 12 2 12 4 1 cos t1 cos t 1 cos t
3 3 1 2 2ln l
12 4 2 2
−π−π −π −π
−π−π −π −π
−π−π −π
−π−π −π
+ + = = = +
− − − += + = − = −
−− −
− += − −
−
∫ ∫ ∫
∫ ∫
3 3 1 3 2 2n 3 ln
12 4 3
− += −
u 0 1/2
t 0 π/6 •
( )−∫
1 2 2
75
20
x dxI =
1 x
. Đặt 2 2
u sin t ;t ,π π = ∈ −
⇒
du costdt
⇒
( )( )
6 6 6 62 22 3
7 452 00 0 0
sin t cos t dt sin t dt 1 1I tg t d tg t tg t
3 9 3cos t1 sin t
π π π π
= = = = =
−∫ ∫ ∫
Chương II: Nguyên hàm và tích phân −−−− Trần Phương
192
2. Dạng 2: ( )−∫2 2f x, x a dx . Đặt
ax
cos t= ; ) )30
2 2t , ,π π ∈ ∪ π
x 2 2
t π/4 π/3 •−
∫2
12
2
dxI =
x x 1. Đặt ) )31 0
2 2x ; t , ,
cos t
π π = ∈ ∪ π
⇒
dx sintdt/cos2t
3 3 3 32
12
4 4 4 42
sin t dt cos t sin t dt sin t dtI dt
cos t. tg t 3 4 121 1 cos t tg t1cos t cos t
π π π π
π π π π
π π π⇒ = = = = = − =
−∫ ∫ ∫ ∫
x 2 2
t π/4 π/3 •−
∫2 2
22
2
x dxI =
x 1. Đặt ) )31 0
2 2x ; t , ,
cos t
π π = ∈ ∪ π
⇒
dx sintdt/cos2t
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )( )
3 3 32 2 2 2 4
2 42 24 4 42
2 2
23 3 3
4 22
4 4 4
sin t sin t1 dt dtx dx cos t dtcos t cos t cos tI
1 cos tx 1 sin t1cos t cos t
cos t dt d sin t 1 1 sin t 1 sin td sin t
4 1 sin t 1 sin tcos t 1 sin t
π π π
π π π
π π π
π π π
⋅
⇒ = = = =
− −
+ + −= = =
+ − −
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
( )( ) ( )
( )
3 32
2 2 2
4 4
1 1 1 1 1 1 2d sin t d sin t
4 1 sin t 1 sin t 4 1 sin t1 sin t 1 sin t
π π
π π
= + = + + − + −− + ∫ ∫
3
4
1 1 1 1 sin t 1 2 2 2 3ln ln
4 1 sin t 1 sin t 1 sin t 4 2 3 2 3 2 3
1 2 2 2 2 2 3 2 1 7 4 3ln ln
4 2 42 2 2 2 2 2 3 2 2
π
π
+ += − + = − + − − + − − + −
+ − −− − + = +
− + − −
x 4 8
t 0 π/3 •−
∫8 2
3
4
x 16I = dx
x. Đặt ) )34 0
2 2x ; t , ,
cos t
π π = ∈ ∪ π
⇒
dx 4sintdt/cos2t
3 3 322 22
3
0 0 0
4sin t dt116 116 tg t sin t dtcos t cos t
I 4 tg t dt4 cos t
cos t
π π π − ⋅
⋅ ⇒ = = =∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )3 3 3
32
0
0 0 0
4 1 tg t 1 dt 4 d tg t dt 4 tg t t 4 33
π π ππ π = + − = − = − = −
∫ ∫ ∫
Bài 6. Phương pháp lượng giác hóa tích phân hàm vô tỉ
193
•( )− −∫4
2 2 2 2
dxI =
x a x a (a > 0). Đặt ( ) ( )0
2 2
ax ;t , ,
cos t
π π= ∈ ∪ π
( )
4 2 3 32 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2
a tg t dt1 asintdtI
cos t a cos t tg t1 1a 1 a 1
cos t cos t
dt 1 cos t dt 1 d sin t 1c
.a cos t tg t .a sin t .a sin t .a sin t
⇒ = ⋅ =ε ⋅
− −
−= = = = +
ε ε ε ε
∫ ∫
∫ ∫ ∫
trong đó ε = 1 nếu tgt > 0 và ε = −1 nếu tgt < 0
x a 2 2a
t π/4 π/3 •−
∫2a 2 2
5
a 2
x aI = dx
x. Đặt ) )30
2 2ax ; t , ,
cos t
π π = ∈ ∪ π
⇒
dx asintdt/cos2t
2
3 3 32 22 22
5
4 4 4
a sin t dt1a 1a tg t sin t dtcos t cos t
I a tg t dta cos t
cos t
π π π
π π π
− ⋅ ⋅
⇒ = = =∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )3 3 3
32
4
4 4 4
a 1 tg t 1 dt a d tg t dt a tg t t a 3 112
π π ππ
π
π π π
π = + − = − = − = − −
∫ ∫ ∫
x a 2 2a
t π/4 π/3 •−
∫2a 2 2
6 2
a 2
x aI = dx
x. Đặt ) )30
2 2ax ; t , ,
cos t
π π = ∈ ∪ π
⇒
dx asintdt/cos2t
( )
2
3 3 32 2 22 2
5 2 2 3
4 4 4
a sin t dt1a 1a tg t sin t dt sin tcos t cos t
I dta cos t cos ta
cos t
π π π
π π π
− ⋅ ⋅
⇒ = = =∫ ∫ ∫
( )( )
( ) ( )
( ) ( )( )
23 3 32 2
4 22
4 4 4
sin t cos t sin t 1 1 sin t 1 sin tdt d sin t d sin t
4 1 sin t 1 sin tcos t 1 sin t
π π π
π π π
+ − −= = =
+ − −∫ ∫ ∫
( )( ) ( )
( )
3 32
2 2 2
4 4
1 1 1 1 1 1 2d sin t d sin t
4 1 sin t 1 sin t 4 1 sin t1 sin t 1 sin t
π π
π π
= − = + − − + −− + ∫ ∫
( )3
4
1 1 1 1 sint 1 2 2 2 3 2 3 ln 2 3ln ln
4 1 sint 1 sint 1 sint 4 22 3 2 3 2 3
π
π
+ + − += − − = − − =
− + − − + −
Chương II: Nguyên hàm và tích phân −−−− Trần Phương
194
3. Dạng 3: ( )∫2 2f x, x + a dx . Đặt x a tg t= ; )0
2t , π∈
x 1 3 1
t π/6 π/4 •( )
∫51 2
1 8
1 3
1 + xI = dx
x. Đặt )0
2x tg t ;t , π= ∈ ⇒
dx 2dt cos t
( )( )
( ) ( ) ( )
55
24 4 4 4
2 2
1 8 8 8 8
6 6 6 6
4 48
766
dt 1 dt1 tg t
cos t dt d sin tcos tcos t cos tItg t tg t sin t sin t
1 1 128 8 2sin t d sin t 8 2 128
7 77sin t
π π π π
π π π π
π π−
ππ
+
⇒ = = = =
− −= = − = − =
∫ ∫ ∫ ∫
∫
• ( ) ( )0 1
2 2
1 0
1 1 1 1x d x u du
−
= + + + = +∫ ∫ ∫0
22
-1
I = x + 2x + 2dx
u 0 1
t 0 π/4 Đặt )02
u tg t ;t , π= ∈ ⇒
du 2dt cos t
Khi đó ta có:
( )
( )
4 4 4 41
2 2
2 2 3 4 22
0 0 0 0 0
dt dt cos t dt d sin tI u 1 du tg t 1
cos t cos t cos t 1 sin t
π π π π
= + = + = = =
−∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
24 4 2
0 0
1 1 sin t 1 sin t 1 1 1d sin t d sin t
4 1 sin t 1 sin t 4 1 sin t 1 sin t
π π + + −
= = + + − − + ∫ ∫
( ) ( )( )
44
2 2 200
1 1 1 2 1 1 1 1 sin td sin t ln
4 4 1 sin t 1 sin t 1 sin t1 sin t1 sin t 1 sin t
ππ +
= + + = − + − + − −− + ∫
1 2 2 2 2 2 1ln ln 3 2 2
4 2 42 2 2 2 2 2
+= − + = + +
− + −
•−∫
1 2
3
0
1 + xI = dx
1 x. Đặt
( )
2
2 22
1 1 4
1 1 1
x u uduu x ;dx
x u u
+ −= ⇒ = =
− + +
u 1 3
t π/4 π/3 ⇒ ( )
3 2
3 22
1
4u duI
u 1
=
+∫ . Đặt ( )0
2u tg t;t , π= ∈ ⇒
du dt/cos2t
⇒ ( )
33 3
2
3
44 4
1 3I 4sin u du 2 1 cos 2u du 2 u sin 2u 1
2 6 2
ππ π
ππ π
π = = − = − = + −
∫ ∫
Bài 6. Phương pháp lượng giác hóa tích phân hàm vô tỉ
195
•
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 2 3
3 32 2 2 21 1 12 2 1
−
− −
= =
++ + + ∫ ∫ ∫3-2
432 21
dxI =
x + 2 x + 4x + 5
dx d u
u ux x
u 1 3
t π/4 π/3 Đặt )02
u tg t ;t , π= ∈ ⇒
du 2dt cos t
Khi đó ta có:
( )
33 3 33 3 2
4 2 2 2 244 4 4
cos t dt cos t 1 sin t 1I dt d sin t sin t
sin ttg t cos t sin t sin t
2 3 2 2 7 6 9 2 7 3
2 2 63 2 2 3 2 2
ππ π π
ππ π π
− − ⇒ = ⋅ = = = −
− − − −= − − − = + =
∫ ∫ ∫
•− −
⋅−−
∫2 2
5 221
x x 2x + 2 dxI =
x 2x + 2x + x 2x + 2
( )
( ) ( )
22
221
x x 1 1 dx
x 1 1x x 1 1
− − += ⋅
− ++ − +∫
u 0 1
t 0 π/4 1 2
220
u 1 u 1 du
u 1u 1 u 1
+ − += ⋅
++ + +∫ . Đặt )0
2u tg t ;t , π= ∈ ⇒
du 2dt cos t
( )
4 42
5 2 220 0
4 4
0 0
tg t 1 tg t 1 dt sin t cos t 1I dt
sin t cos t 1cos t tg t 1tg t 1 tg t 1
2 dt1 dt 2 2J
sin t cos t 1 4 sin t cos t 1 4
π π
π π
+ − + + −⇒ = ⋅ =
+ +++ + +
π π = − = − = −
+ + + +
∫ ∫
∫ ∫
( )( )
( )
4 4 4
2 20 0 0
4 4
1200
dt dt dtJ
t t t t tsin t cos t 1 2sin cos 2cos 2cos 1 tg2 2 2 2 2
td tg2 tln 1 tg ln 1 tg ln 2 I 2 ln 2 ln 2t 2 8 4 41 tg2
π π π
π π
= = =+ + + +
π ππ= = + = + = ⇒ = − = −
+
∫ ∫ ∫
∫
• ( ) ( )1 0
2 2
0 1
1 1 1 1x x dx u u du
−
− = − + = + +∫ ∫ ∫1
26
0
I = x x 2x + 2 dx
u −1 0
t −π/4 0 Đặt )02
u tg t ;t , π= ∈
⇒
du dt/cos2t
Khi đó ta có:
Chương II: Nguyên hàm và tích phân −−−− Trần Phương
196
( )0 0 0
2
6 2 3 4
4 4 4
1 tg tdt sin t cos tI 1 tg t 1 tg t dt dt
cos t cos t cos t−π −π −π
+ += + + = =∫ ∫ ∫
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
20 0 0 0
4 2 42
4 4 4 4
sin t dt d sin t d cos t 1 sin t 1 sin td sin t
1 sin t 1 sin tcos t cos t1 sin t−π −π −π −π
+ + −= + = − +
+ − −∫ ∫ ∫ ∫
( )
( ) ( )( )
( )
0 20
34 4
0
2 2 2
4
0
4
1 1 1d sin t
1 sin t 1 sin t3cos t
1 2 2 1 1 2d sin t
3 1 sin t1 sin t 1 sin t
1 2 2 1 1 1 sin tln
3 1 sin t 1 sin t 1 sin t
1 2 2 2 2 2 1 1 4 2ln 2 ln 1 2
3 32 2 2 2 2 1
−π −π
−π
−π
= + +
− +
− = + + +
−− +
− += + − +
− + −
− − += − − + = + +
+ − +
∫
∫
•( )
23 2 2
2
3 2
3 22
xdx
x
+=∫ ∫
3 2 2
7 2
3 2
9 + 2xI = dx
x
x 3 2 3 2
t π/6 π/4 Đặt )30
22x tg t ;t , π= ∈ ⇒
dx ( )23 2dt cos t
Khi đó ta có:
( ) ( ) ( )2 2
2 23 2 4
7 2 2 2
63 2
x 3 2 3 2 tg t 1 3dtI 2 dx 2
x 2 cos t3 tg t2
π
π
+ += = ⋅
∫ ∫
( )
( ) ( )
4 4 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 26 6 1 2 1 2
dt d sin t du u 1 u2 2 2 2 du
cos t sin t cos t sin t u 1 u u 1 u
π π
π π
+ −= = = =
− −∫ ∫ ∫ ∫
2 22 2 2 2
2 2
1 21 2 1 2
du du 1 1 u 1 2 3 2 22 2 ln ln 2 2 2
2 1 u u 2 31 u u
+ + = + = − = − + − − ∫ ∫
• ∫1
3 2I = x 1 + x dx . Đặt )0x tg t ;t , π= ∈ ⇒
x 0 1
Bài 6. Phương pháp lượng giác hóa tích phân hàm vô tỉ
197
t 0 π/4
dx 2dt cos t
⇒ ( )
4 4 4 43 3 23 2
8 2 3 6 6
0 0 0 0
tg tdt sin t 1 cos tI tg t 1 tg t dt dt d cos t
cos t cos t cos t cos t
π π π π−
= + = = = −∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )
( )44 4
6 4 5 3
00 0
d cos t d cos t 1 1 21 2
15cos t cos t 5cos t 3cos t
ππ π
= − + = − = +
∫ ∫
x 0 1
t 0 π/4 •( )∫
1 2
92 2
0
x dxI =
x + 1 x + 1. Đặt )0
2x tg t ;t , π= ∈ ⇒
dx 2dt cos t
( )( )
4 4 4 42 2 2 2
9 2 2 22 20 0 0 0
tg t dt sin t sin t cos t sin tI dt dt d sin t
cos tcos t cos t 1 sin t1 tg t 1 tg t
π π π π
= ⋅ = = =−+ +
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )44
2
00
1 1 1 sin t 21 d sin t ln sin t ln 1 2
2 1 sin t 21 sin t
ππ +
= − = − = + − − − ∫
x 1 3 1
t π/6 π/4 •( )
∫1 2 2
10 3
1 3
x + 1 x + 1I = dx
x. Đặt )0
2x tg t ;t , π= ∈ ⇒
dx 2dt cos t
( )4 4 42 2
10 3 2 3 2 4 2
6 6 6
1 tg t 1 tg t dt dt sin tI dt
tg t cos t sin t cos t sin t cos t
π π π
π π π
+ += ⋅ = =∫ ∫ ∫
( )
( )
( )
( ) ( )( )
( )( ) ( )
( )
24 4 4 2 2
2 2 22 2 2 26 6 6
4 4 4 42 2
2 2 2 2
6 6 6 6
d cos t d cos t cos t 1 cos td cos t
1 cos t cos t1 cos t cos t 1 cos t cos t
cos t 1 d cos t d cos t cos td cos t 2 d cos t
cos t1 cos t 1 cos t cos t 1 cos t
π π π
π π π
π π π π
π π π π
+ −= − = − =
− − −
= + = + +
− − −
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
( )
4 4 2
6 0
4
6
1 cos t 1 1 1 12 ln d cos t
1 cos t cos t 4 1 cos t 1 cos t
9 1 cos t 1 1 1 1 9 1 2 2ln ln 1 2
4 1 cos t cos t 4 1 cos t 1 cos t 2 2 3 3
π π
π
π
π
+ = − + −
− − +
+ + = − + − = + − −
− − + +
∫
Chương II: Nguyên hàm và tích phân −−−− Trần Phương
198
4. Dạng 4:
− ∫a + x
f x, dxa x
. Đặt 2x a cos t= ; ( )02
t , π∈
x 0 5/2
t π/4 π/6 •−∫
5 2
1
0
5 + xI = dx
5 x. Đặt 5 2 0
2x cos t ; t , π = ∈
⇒
dx −10sin2tdt
⇒ ( )
( )( ) ( )
6 4 2
1 2
4 6
5 1 cos 2t cos tI 10sin 2t dt 10 2sin t cos t dt
5 1 cos 2t sin t
π π
π π
+= − =
−∫ ∫
( )( )44 4
2
66 6
1 5 5 2 310 2cos t dt 10 1 cos 2t dt 10 t sin 2t
2 6 2
ππ π
ππ π
π − = = + = + = +
∫ ∫
x 0 3/2
t π/4 π/6 •−∫
3/2
22
0
3 + xI = x dx
3 x. Đặt 3 2 0
2x cos t ; t , π = ∈
⇒
dx − 6sin2tdt
⇒ ( )( )
( )( ) ( )
6 4 22 2
2 2
4 6
3 1 cos 2t cos tI 9cos 2t 6sin 2t dt 54 cos 2t 2sin t cos t dt
3 1 cos 2t sin t
π π
π π
+= − =
−∫ ∫
( ) ( ) ( )4 4 4
2 2 2 2 3
6 6 6
44
66
54 cos 2t 2cos t dt 54 cos 2t 1 cos 2t dt 54 cos 2t cos 2t dt
1 cos 4t cos 6t 3cos 2t 27 1 1 354 dt 2t sin 4t sin 6t sin 2t
2 4 2 2 6 2
27 1 3 3 3 3 27 43
2 2 6 2 3 4 4 2 6 3
π π π
π π π
ππ
ππ
= = + = +
+ + = + = + + +
π π π = − + − + + = + −
∫ ∫ ∫
∫
5. Dạng 5: ( ) ( )( )− −∫ f x, x a b x dx . Đặt ( ) 2x a b a sin t= + − ; t 0,
2π ∈
x 3a b
4+ a b
2+
t π/6 π/4 •
( ) ( )− −∫
a+b2
1
3a+b4
dxI =
x a b x (a < b). Đặt
( ) 2
02
x a b a sin t
t ,
= + −
π ∈
⇒
dx (b−a)sin2tdt
⇒ ( )
( ) ( )
4 4 4
12 2 22 2
6 6 6
b a sin 2t dt 2sin t cos t dtI 2dt 2
4 6 6sin t cos tb a sin t 1 sin t
π π π
π π π
− π π π = = = = − =
− −∫ ∫ ∫
III. CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO BẠN ĐỌC TỰ GIẢI
( ) ( )
2 2 2 1
3 2 3
1 2 3 43 2 3 23 2 3 2
1 o3 2 3
dx dx 2 xI x 4 x dx ; I ; I ; I x dx
2 xx x 1 x x 4−
+= − = = =
−− +
∫ ∫ ∫ ∫
